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ECONOMIA FINANCIERA Jose M. Marin / Gonzalo Rubio Prologo de Andreu Mas·Colell

Amoni Bosc h edilo r, S.A. I'al Jl base a las funciones que sirven, en lugar de funcionar principalmenle porgue existen. Estns organizaciones son, por 10 tanto, end6genasa la toorfa. 4 En cualquier caso, para desarrollar las funciones de estas organizaciones cs nccesa rio estudiar y deriva r, en primer lugar, el comportamienlo de los agenles economicos 0 individuos.

°

En esta linea de trabajo, siguicndo una costumbre yn tradicional, resulta conveniente dividir la decision de inversion por p..1fte de los individuos en dos componen\t.·g: • la decision de "consumo-ahorro", en la cuallos individuos decideo la cantidad optima de su riqueza actual que debe asignarse a consumo prcsentc y la cantidad que debe dl'Stin a rse a inversion pa ra p.arta. Sin embargo, no es un.1 O.tunidad de arbitraje oompr.ndo un timlu de A y n>ndiendo uoo de B. serfa "'.;or rompmr dos titulos de A y "ender dos de B y asf suc..'Siv""'''''te). lEn 105 ambitos prolcsionak'S y en la pn"'So' eaja.

Arl,ilrtlj, ell IOn colPl,xlo de m,'a fiji> si" riesgo (c. 2) I 29

nera que sc conviertan en bonos de un unico pago a un vencimiento determ inado. Asi, podemos argumentar con rela tiva tranquilidad que nuestro supuesto sobl"(' la existencia de bonos cup6n cero a eada uno de los anos eonsiderados en el ejemplo 2.1.1 es perfectamente justifi ca blc en la practica. En de/illiliva, ell UI! mereorlo ftllollciero sin /riccioncs, si existen dos inversioncs que sc rql/iClln III 11110 0 I" olr" pero sc ncgoci"n 0 precios difcrenles, o/iremos ql/c exisle Illia oporlunidad de arbUmje ql/c cOllsisle ell colIII"or la inversion que se lIegocia 01 prccio

mas bajo y vellder (ell desel/bier/o) la illversion qlle sc /legocia al prccio mas e/evado. Imaginemos, volviendo al ejcmplo 2.1.1, que eI bono con (Up6n se (.osta ncgociando en el mercado scClmd ario de deud a publica a un precio de 10.CXXJ€, superior, por tanto, al precio de noarbitraje de 9.1J4O€. Ante dicho desajuste, podrtamos I"('uliz¥ la siguicnle est rategia de arbitraje penSJda para explotar la oportunidad que se nos presenta: Hoy: • ven ta en descubierto del bono con cup6n, por 10 que recibimos de manera mmediata 1O.OOO€, • compra de la cartera d e 5 bonos cUpOn cero, con un coste total de 9.040€,

=- ingresamos, por tanto, de forma inmediata un lotal de 960€. Futu ro : • d e volvemos los pagos del bono con cUpOn, que consisten en 500€ al final de los 4 primeros anos y 1O.5OO€ a1 finalizar eJ 5° ano, • eJ dinero para las devoluciones anteriores 10 obtenemos exactamente de los ingresos que nos ha producido la cMlera de bonos cUpOn cero ya que estaba construida precisamenle para ofrecer los mismos p a gos que 1'1 b0no con cupOn, _ nuestro comp romiso de p ago futuro es, por tanto, igual a ce ro. Esta estrategia nos gener a un ingreso actual de 960€ sin ningun compromiso futuro; es, por tanto, una cstra tegia de arbitraje. Una estr ategia similar (pero mve rsa) se conslruiria si el bono con cup6n sc estuvicse ncgociand o por debajo de su precio de no arbi traje de 9.040€. N6tese que la puest~ en marcha de estas estrategias por parte de muchos invcrsores haee que los precios del bono a va lorar y su carlera replica &e igualen. En definitiva, bajo auscncia de arbitraje, dos Jcti vos que tienen los mismos pagos futuros, hoy deben tener el mismo prccio. Esta es una forma elegan te de pensar en el conceplo de merclldos eftcieliles. Se dice que un mercado es eficienIe euando los prccios rcflcjan tod a la informaci6n, de manera que tales prccios sean precisamente los de no arbitraje y, por tanto, no permitan oportunidades de arbitraje . Una forma aJte mativa de enu nciar este concepto es sen cilia men te dccir que los mercados eficientes sc caracterizan por valorar activos financieros

de manera que cl Va lor Actualizado Neto (VAN) de comprar y vender dichos aclivos sea siste maticamente igual a cew. A 10 largo del libro ampliaremos el analisis a c~rteras replica bajo incertidumbre, 10 cual represen ta, obviam,--nte, un caso de mucho mayor in ter&.; que los ami.1isis dondc, por simplicidad, suponemos certeza. I'uede resulta r sorprendente para el lector ya avanzado en dertos temas financieros descubrir que el tcorema de irrelevancia sobre la estructura de capit~1 de las empresas de Modigliani y Miller y la f6rmula de valoraci6n de opciom.'S de Black y Scholes son aplicaciones inm('(\ia tas de Ja k'cnica de v(lloraci6n medi(ln te carteras replica. Induso, el modelo de valoracion de activos financie ros con cartera de mercado bajo incerlidumbrc, denominado generalmenle, Glpital Asset Pricillg Model (CAPM) y que discutiremos ampliamente a 10 largo de ('Sie libro, puedc interpretarsc utilizando estos mismos conceptos. Se demuestr(l que, bajo ciertas circunstandas, cl rendimiento esperado de cualquier activo financiero puede obtenersc median te una carrera replica que comb ina el activo librc de riesgo y la denominada ca rtera de mercado. En este modelo la cartera replica de referenda ('St1' "

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ero as :

8 ..

,. ,bp, ,, ,. , };

(0,90)500 + (0.85)500 + (0.80)10,500

~

9.275.

Altemativamente podemos calcular el numero de bono$ de cada ~po necesarios para obIa· ne' los mismos pagos Mums que con eI bono que queramos ""Iofar: 500 .. 5.ooon, .. l OOn, .. 500":1 500 .. On, + 5.100n, .. 500":1 10.500 .. On, + On, + 5.500":1 _ n, _ - 0,089; n, _ - 0.089;

":I _ 1.909.

EI valof de aSIa cattera replica (Ioo"mada par 0.089 unidades de cada uno de los acfivos I Y 2 vendidos en descubOeno, y Ia compra de 1,900 unidades del activo 3) se ra:

v .. (- 0.089) 4.500 -

(0.089) 4.425 .. (1 .909) 5275 _ 9.275.

• Si su preOO de me rcaOO loora igual a 9.000 , Ia aSl ratagia de arbitraie conslstirra an compnl r el nueYO bono y vander (en descul)ierto) Ia ca rtera r~plica: vaOOerlamos 500 unjdades de los

ArMraje f" ,m conlexM de rt'lllafrja sill r","go (c. 2) I 43

DOnos tJasicos con vel"oCimientos en 1 y 2 a~os, y 10.500 del bono Msico con vencimiooto en 3 ai\os (0 10 que as 10 mismo, comprarlamos 0.089 unidaOOs de los 63

0.86J8

14(l.80

2002

""

0.8227

13\.63

0.7835

1\3.61

'998 >999

2003

I

-

"5

- 250

I

VALOR AcruAL NErO (VAN)

264.83

I

Bajo .los supuestos par,l los que ('Stamos analizando el proyccto, el VAN cs igual a 264.83€. Dado que este valor cs superior acero, el valor actual de los flujos que genera el proyccto cs superior al coste de la inversi6n, una veZ que tenemos en cue nta el factor de dcscuen to apropiado dado el ricsgo de! proyccto. Por tanio, el proyecto deberia aceptarse. lmaginemos que los flujos que ge nera el proyccto no los podemos considerar sin riesgo. Tendriamos que ulilizar un factor de dcscuenlo q ue reflejase el coste de oportunidad del invcrsor si acepla el proyecto. Debcriamos ulilizar el tipo de interes que podriam05 oblener de una inversi6n aiternaliva de ricsgo similar. lmaginemos que fuesc eI 4O'Yo. El VAN seria en cste hipolctico caso:

_____-,--___'::. '":.:''''' 05 O __'_'C'-A:':.A'---_ _ __ ___-1 _____ACI99: "::c-__+I _C"C"C;C~C"": dC'C':.;C.'---tfadOr ~e dcscuento '999

"'"

0

Valor actual

0.7143

o

0.5\02

72.45

'63

59.40

2002

160

0.2603

4\.65

200J

'"

0.1859

26.96

VALOR AcruAL NErO (VAN)

- 49,54

El VAN cs negativo. En esle caso debcriam05 rechazar el proyecto. No genera los suficienlcs fl ujos de caja fu turos para compcnsar eJ valor temporal del d inero y cJ ricsgo asociado a la inversi6n, dadas las altemativas d isponiblcs de riesgo cquivalente.

48 / EcoNoMfA F1NANCI £1lA

AA Anua lidades y perpetuidades Una perpetuidad es un activo financicro que paga un determinado flujo de caja para siempre (Ia siguiente tabla supone que la fecha actual es 1998):

FLUJOS D E CAJA

"98

"'" HJO

0

2DOO

,."

...

...

00

100

100

100

100

100

El valor actual de estos flujos seria VA ==

100 + (1+r)

100

100

+

(1+r)2

{l+r)3

+ ... +

100 {I + r)""

A con tin uaci6n demostramos que esla expresi6n puede simplificarse de forma que el valor actual de esta perpetuidad cs VA =100.

,

Sea C el flujo de caja por periodo que paga una perpetuidad y r el tipo de interes apropiado, de manera que si el pago es mensual dicho tipo de interes seria mensual y si fuese, por ejemplo, anual, el tipo de interes cstaria anua liza do. Supondremos que el primer pago sc hara al final del periodo actual. Demos traremos que: VA =e -.

,

!2A.l]

Para verlo,

I&e

(1+r)

+

(1+r)

+

eel'

(1+r)2

_ VA(1 +r)=C+ VA-=o-VA"

+

(1+ r)3

+ ... =

(l + r)

(C+VA)

f. ,

Una anualidad es un activo financiero que paga un determinado f1ujo de caja durante un numero de periodos especificado:

Aroitmje," "" COII/.XU> de "",laflin 5i/l r",go (c. 2) / 49

FLUJOS DE CAJA

.998

"99

WOO

200'

2002

2003

2004

0

'00

WO

WO

'00

.00

WO

Su valor actual sera: 100 +

VA=

(l + r)

100

(1 + r)2

+

100 + 100 + 100 + 100 . (1 + r)3 (1 + r)4 (1 + r)5 (1 + r)6

A continuaci6n demostrarcmos que csta exprcsi6n pucde simplificilfsc de manera que VA = 100

,

donde el termino

. (, 1)

r

(1 + r)6

cs el factor de descuen to de una onunlidnd que, en general. viene dado poT

-,-(._ 1) r

!2A.2]

(l+r)"

donde / cs el numero de pcriodos durante los cuales el activo paga el nujo de caja constante C y r cs el tipo de interes por pcriodo. Si los pagos sc hacen anualmente entonces I serra, como en el ejemplo, el numero de anos y r SCTta cl tipo de interes anual. 5i los pagos fuesen mensuales, I seria el numero de meses y r seria el tipo de interes mensualizado. Para comprobar que la expresi6n !2A.2] se obtiene, cfoxtuamos las siguicntes manipulaciones: VA"C + C C C (l+r) (I + r)2 + (I+r)3 + ···+ (l+r)' =

1

fc+ (l c+r) + (l+r)2 C + C (l + r)3

(l+r) \

" 1 (C+VA- C) (l +r)

(l+ r)'

C

+ ···+(I +r)'-1

)

50

I

EcoNoMIA FINANCIERA

I (

1.\ _ C (I 1.\ - (l+rY-(l+r) -(1 + r)1

( , .\ _ C (I I)

~VA

\(l + rY - (1+r)

C(I ')

VA _ -7

- (1+r)1 -

-(1 + r)"

que resulta ser la exprcsi6n del valor actual de una anualidad. Es util interpretar una anualidad como la diferencia entre dos perpetuidades. lmaginemos dos pcrpetuidades, A y B, donde la primera genera flujos de caja a partir del primer ano mientras que B los genera a partir del tercer ano. Tendremos la siguiente situaci6n:

FLUJOS DE CAJ A

I

1998

I

1999

I I

'""

A

])

100

100

B

])

0

])

A -B

])

100

100

200l

...

00

100

100

100

I I I

100 ])

I I

100 ])

I I

100 ])

I

Es evidente que la diferencia entre ambas perpctuidadcs cs una anualidad de dos anos. EI valor actual de la pcrpetuidad A cs VA (A)

0;

100,

EI valor actual de In perpetuidad B seria, VA (B) '"

1 0+r)2

('0r0)·

Por tanto, el villor actual de la difercncia A - B es VA(A - B) o;

100r _(1 +Ir)2 ('0r0) =100 (1_ (I +1r)2·) r

A modo de ejemplo, podcmos pensar en la tipica hipoteca a un tip de interes constante como en una anualidad. EI flujo de pagos mensualcs que suek hacerse queda especificado en el contrato e imagincmos que cstamos pensando en una hipoteca a 20 anos con las siguientes caracterfsticas:

Arbilrafr ell ,m colllerla d~ "",,'a fila 5;"

• • • • •

r;~go

(c. 2) I 51

Valor de la vivienda :: 150.{)())€. Pago inicia! '" 3O.000€. Hipoteca '" 120.{)())€. Tipo de inreres '" 6%, Plaw en ai'ios '" 20.

Supondremos que los pagos se realizan anualmente. N6tese que bajo el s uPUL'Sto de que el 6% refleja el rendimiento justo del capital para el banco financiador de la operaci6n, el valor actual de los pagos futu ros descontados al 6% deberia ser prccisamcnte igua! al valor micial de la hipoteca de forma que evitemos la posibilidad de arbitraje. ,Que pago anua l debe hacerse de forma que el valor actual de los flujos de caja futuros sea igua! a 120.()()()€? EI problema es eneontrar el pago anual. C. de forma que 120JXlO", C (11 0.06 (1,06)

20)'" C(11,469921)_C:: 10.462.15,

Dado el pago anual de I O.462.15€ lquc porcentaje de dicho pago se asociara al pago de intereses y que parte al pago del principal? A! final del primer ano y justo antes de producirsccl primer pago de la hipoteea, el titular de dicM hipoteca debe el principal original de 120.000€ mas el interes eorrcspondiente a dicho ano, 0.06{120.000), 10 que resulta en un saldo de 127.200€. Despues del pago, el saldo se vuelve 116.737.85 (127.200 - 10.462.15). Asi, del pago del primer ano igual a lO.462.15€ se destinan 7.200€ al pago de intereses y el resto, 3.262.15€, al pago del principaL La siguiente tabla muestra el flujo de pagos a traves de los 20 anos de hipote.::a. Anos

,

Inte..., ....

Pago total 10.462.15

I I I

7.200.00

68.82

I "'.S
d: 100 en descubierto (corIO) un ntimero 00 unidades del bono cup6n 5% que nos pellTiOta fonanciar Ia compra ante1le.to 00 ceftelJ. donde los Upos 00 interes at ct>1tado (0 reotabilidaoos al--.ci· ilonos eup6n cero) arnJalizados de j"""rsiones a I. 2. 3, 4 Y5 ai\os son los sigrJienles:

~

mie-nto 00

74 I ECONOMfA FINANClhRA

" * 5% '2 - 5,5% 'l- 6% " _ 6.5% '5 ~ 7%.

Se pide: a) Los p,ecios hoy de los bonos Mslcos aI, 2, 3, 4 Y 5 a/'los. b) La ,enlab ~ idad al veoo mienlo (TfR) de cada UrIO de dichos bonos. c) EI tipo de I01eres 5e9Jro que reg;rlI en eI meratdo entre los ai'los 0 y 1: 1 y 2: 2 y 3: 3 y 4: 4 y 5. Se piden, po< tanto, los lipos de interns para inversiones de 1 a/'Io, ES1amOS per ,a'!do 00 inve,· siones QU9 sa hanln en sucesiws peliodos de un a/'Io 00 eI futuro. Dichos tipos de inIl!f de inter~s al cootado asociado a los bonos (MSK;oS) cup6n cerO deberlan ajuSiar&e mediante la correS!)OOdien1e prima de riesgo. Una pa rte importanla de aSia libro se dedk:ara a anatizar la fofma apropOada de incorporer Ia prima de riesgo . •

EJE MPLO 3 .2.3

Tenemos la siQUienla Infoffnaci6n: a) Un bono de cup6n cero a 1 ai'oo y nominal igual a 1.Q(l()E tiene un precio actual de mercaoo ;gual a 952,36€. b) Un bono de cup6n cero a 2 ai'ios y nominal ;gual a 1.Q(l()E Uene un precio actual de merca00 igual a 865.8O€. c) Un bono coo cup6n a 20 ai'ios, nominal ;gual a t.Q(l()E e Inleri!s del 8'1'. liene un prado actual de mercaoo igual a 1.Q(l()E . Sa pide: a) tCual sara al precio del bono de cup6n cero a 2 ai'oos dentra de un ai'Io? b) ~Cu;i l Se ra al precio del 0000 coo cup6n a 20 alios denlro de un ar.o? c) ~Cual sera el precio del bono coo cup6n a 20 ai'ios dentro da 005 ailos? lmaginar un contexlO de ca rteza sin lricclones en al mercado. Para discutir eSle ejerc;c;o daoominemos P al precio de los bonos cup6n cero y B al precio de los bonos con cup6n. Gada uOO de ellos llevara un subindice COfrespondien1e a su de1emlinac!o ven· cimienlo en alios. e) EI precio del bono CfJpOO cero a un ai'oo se poede ootener como:

P ~ 1.000 , 1+r

,

•

, + rr

~

t. 000

• ""

952 .38 • •. v ....

Sea ,P2 el precio dej bono cupOO caro a o de inter,;s al contaoo a un ai'oo que esta,;! vigenle den/ro de un ai'oo:

1 ..

,r2~ ~~ ~I.IO.

78 / EcONQ.\.dA FINANCIERA

Utilizando

~

m;smo argumento que en el apartado anlerior, pero trabajando entre kls ailos uoo

y 0;10&:

1,10.

-

2~

2~+C ,~

- 1.10(970) - 80.987. •

EJEMPl O 3.2.4 Supongamos que quaremos COOOCe, 10 que vald,ia un bono de cup6n cen:> a 2 a/los que llNiese un nominal de l00€. Desaforlunadamente , un bono de esas caracteristicas 00 se cotiza en el mercado. Sin embargo, imaginemos que se C01izan 10$ s-iguientes bonos : I. Un bono de cup6n os primeros ai'oos debe se, igual af precio de un b0no qua ofrece preci5amente dichos ftujos de caja, lar>dremos:

, V " L bP," b,C, + ~c,,, (0,9524)(575) . b..! (10.575) "

10.000

I~ 1 _

~

~

0.8938.

De esta forma hemos obtanido at precio hoy 00 un eura enlregao con cerlaza en dos aoos 0 , allamativamente, et tipo de interes al contado anualizado para una inve rsiOn a os aflos que ha reo suUao ;gual al 5.772% De ta misma forma , podemos ealcu lar et tipo de interes al COI1tado 00 un bono cup6n cero a t,..,10 de ..,. _ (... ... roo)

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" _ 5.00

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La estruct"'" tett,)",,,,r d. los tipos d. illteM; '" "" c=00

Z

-

"'" Zb

= 3 mill. onzas =

~

640 mill. euros.

EI valor (coste) dc Ia mrtera replica y, por tanto, e! valor dc Ia mina dc oro consistente con la ausencia de arbitraje es v = 25Oz 0r0 + 0.945z b '" 250 X 3 - 0.945 X 640 = 145.2 mill. euros. Es importante dejar claro desde el principio que si cOl15ideriira mos, por ejem-

plo, cuatro estados de la naturalcza, necesitariamos disponcr dc cua tro activos financieros que generen flujos de caja linealmente independientes. de forma que pudieramos resolver un sistema d(' cuatro ecuaciones lineak-s para obtener 111 cantidad necesaria dc los acti vos disponiblcs qu(' repliquen ('I activo a valorar. N6tese que en el ejemplo anterior teniamos dos cstados de naturale:z.1 y dos activos disponibles linealmente indepcnd ientes; el oro y eI bono basico. Es to nos permitia resolver el sistema de ecuaciones para obtener z.m Y Zb' Con cuatro estados de la naturaleza neCl'Sitariamos cuatro activos financieros. Si el ejercicio exigiera 5 estados de la naturalcza nos harian falta 5 activos financieros linealmente independientes. Recuerdese que csta exigencia es la misma que teniamos en e! capitulo 2 cuando nea.-sitabamos tlidades:

Prob.M(s .. 1) . 0.6 Prob. M (s . 2) .. 0.4 Prob.l(s .. l)

.. 0.5

Prob. I (s ~ 2)

.. 0.5.

as dedI, Ie probabilidad de que eI me rcado aSle en expansi60 es e16O%. mientras Que una recesi60 gene",1 sa espera con un 40% de posJbilidades.L8 induslr;" pre.ente. sin embargo. Ie misma pmbat>lidad pare cada astado. U"" idea csocla l as delinlr con precisi6n 10 que enlaodemos par irrversores bien di'fflrsilicados. I'odefoos Oedr que los Irrversores bien diversilicaOOs son neulraies ante cualquie r riesgo qoo 00 sea el rlesgo global 001 mercado 0 la &COOOr1lia. Dadas sus posiciooes di'fflrsificadas. al riesgo proveniente de industrias especllicas 0 sectores concretos 00 es relevante para ellos. El Unito liesgo que las preocupa as al riesgo que, en uKimo t~rmioo. 00 pueden diversificar. Se trate de oblener los Ilujos de ceja que espera gene'ar eSIa empresa condicionades a que el marcado (pera s6Io eI mercado) asl~ an un detarminado astado de natu",ieza: E(X IM ~ 1]2 (0.4 X 100 .. 0.2 X 40)/0.6" 60

ElXIM .. 2]" (0.1 X 50 .. 0.3 X 2O)/OA .. 30. Es ded" Ia empresa espe'" gene",r 80.000 auras coodicionado a que Ia oconom(a se situ... en el estado de expansiOn (s~ I) y 30,000 condicionado a que al mercado estt; en el segundo "stad, Lo Importanta es qoo Ia descripcl6n de los estados de Ia oaturaleza ralevantas quede reducida a des

Ac/ioos Arrow-Dtureu Jlla ecuacwn fi",dammlal de ",/omckin ... (c. 4) I 135

en luga' do los coalm originales. Eslo impIica qoo los inversoJ1 tc los vaJoresespemdos de los flUj05 futuros gcm~rad05 por ambos s perm ite ingresa' 5€ en eI momento actual sin tene' obIigaci6o de pago Milia independientemente del estaOO de Ia naturaieza que se produzca .•

Una esclareercado tinanciero en el Qitraje: al) (P,: P~) .. a2) (P,: P~) '" 03) (P, : P2) .. a4) (P,: P2) ~ a5) (P ,: PJ .. a6) (P,: P2) '"

(7: 4)

(0.7: 0.4 ) (1; 2) (200: SO) (3: 3) (2: 7).

Recordemos qe>e definimos am~ raje como la JX>sibflkfa "" I .. 0 y reellI8 posiliva en / ~ 1. De manera mas lormal. sea

z, i

a I, .. " N, eI ""< 3 •

Actl _

Ganancio nets

• 1>0

,

l x 2. _2 .6,0

_ 1>0

" N6t""" que la rregunt. es si "'" preclos son consistent""" no COI'I 13 ausencia de amit,aje. Nos basta ~'t>COfltrar una est,.tegia que impli,!ue I. au""""i. d~ .rbit raj 0

Ganaocia ".Ia

.4 > 0

• '4> 0

Una vez mas. a, iSla Ia posJbilidad de amro-aje, as) P, • P2 y. po r lanto. no exiSla la posibilidad de a.bilraje dada la mat.i. de pagos del ejemplo. a6) En eSle wOO P, < P2 y por cada tflulo que vendamos del activo 2 podemos comprar 3.5 tI· tulos del activo 1:

htado.

X/. n ..

X/. n ..

X/.n ..

3.S x 2 . 7 - lXJ _ _ 3

3.5 X 4 . 14

3.5 x 6 _ 21

_ I X2 _ _ 2

- I X5__S

Activo.

ACT. I ACT. 2

Gano""", O&\a

+4>0

+

12 > 0

• 16

>

0

Luego e.iSle posibilidad de atbit raje. b) Los pt! .... La malriz de pagos de las diferentes opclones, segun la expresi6n cr = max(O, P r - Kj, y al vec· lor de preclos a los Que sa negoc;aban las 5 opc;ones de compra el 26 de enero son:

.., .., .. , ... .. , .., C... dro •. 6(8). Opc_

+ 2.800

_

.-. __ .,. _

on "'" _

2.750

do cOra _ _

,.~

2.650

.. 1BEX..15 _I"" ....,.". ... ~ _

.t indl« bu .... ri..

,~

............... .., _

2.550

"'""" """" • 2.1"".

Acf;WS Arrow-Debreu !I/a /Xund6n fundamental de va /Q,ad6,1... (c 4) I 163

Se trata de lItilizar la ecuaci6n fundamental de valoraciOn

y aplK:a~a a cada una de las opciones, tomando como precios de 00 arbitraja los precios a los que sa astAn cotizando las opciooes da compra. Po, tanio,

100ft. 2.0(0) " 1t 1 ~. 2.0100) + SOfe2.1OO) " t9 200+ U OO) .. l00~P.;Q) .. SOfe2.1OO) .. 31 " 2.000) + lSO~150) + l 00fe2.>OO) + 5Ofe2.&5O) " 54 ~ . 2.800) + 200+(2-750) + l 5Ofc2.700) + l00fez 05OO) + SOffe2 000) " 83.

250fc.

De donde obtenemos:

fe . fe. fe. fe. fe. fe.

2.000) "' 0 .11 2.750) " 0.05 2.7(0) " 0.08 2.650) .. 0.22 2.0100) .. 0.12 2S50) " ?

.

Para calcutar el (Jkimo de los p;OMIA F!NANC!UV'

compra) y una posici6n larga en la accion igual a fl tftulos. Esla cartera sin riL'Sgo debe ofrL'Cer un rendimienlo ig uaI aI tipo de interes del activo seguTO 0, en caso conlrario, exislirfa la posibilidad de arbitraje. Se trala de cnconlra r eI numeTO de tituIos, fl, que deben comprarsc del subyacenle para manlener un.l posici6n Iibre de riL'Sgo. Si no se compraran titulos del subyacente, Ia carlera estaria sometida al riesgo asociodo a 10 posicion coria en la opei6n de compra. Sin embargo, al invertir lambie n exaclamenle fl tftulos del subyacente se logra una posici6n libre de riesgo que cubre la posici6n arriesgada cn la opei6n. Esta eslrategia redbe el nombre de cobertura del ta. En dcfini tiva, fl cubre la posici6n corta en la opeion. Con los datos del cjemplo 4 .4.5, si la acci6n aumenta y termina con un valor igual a 75€, cI valor de la carlera seni 75fl, mienlras que 1'1 valor de la opei6n sera igual a 10€ . Como en la carlera de cobertura se ha "cndido la opei6n call y su tilular la ejereed, 1'1 va lor de la carlera ser6 75fl - l0. Si la acci6n desciende a 48€, la cartera valdr,a 4Sf>. La ca rtera de cobertura formada por 13 acci6n y 13 opei6n debe pagar 10 mismo independ ien temenle del estado de la na turaleza, 75t.. - iO '" 48fl =:>

fl

=

0,3704.

Por lanto, una carlera que replica la posici6n sin ricsgo consiste en una posici6n larga de 0.3704 litulos en la acci6n y una posici6n corta de una opci6n call. En otras palab ra s, una posici6n fl '" 0.3704 titulos del subyace nle cubre 13 posici6n corta en la opci6n. AI vcncimien to de la opci6n, la car tera va ldn'i 75 (0,3704) - 10 '" 17.78 '" 48 (03704) independienlemente del estado de la na turaleza que ocurra. El valor actua l de dicha cantidad cier ta es

v:c = 17.78 1.10

'" 16 16.

.

Para evilar posibilidades de arbitraje, 1'1 coste de la carte ra replica hoy debe ser igual a 16.16€; esloes, al valor actual de la cantidad cierta recibida co 1'1 futuro, 60(0.3704) - c = 16.16

=- c = 6.1)6, tal como habialllOS obtenido anleriormenle. Illlaginelllos a continuacion que la vida de la opei6n se cxtiende a dos periodos de un ano cada uno. Los rcndimicntos brulos II '" 1.25 Y d '" 0.80 se suponen constantcs. Ademas, dado que r es lambien constante, la probabilid ad neutral al riesgo sera la misma e n cada periodo e igual a JI": '" 0.663 Y ;rJ = 0.333. EI nuevo arbol binomial scr~

Act no,;>;; A,,.,.,w-Deoreu y In (l:uaci5

Pit" = 93.75

' "" = 28.75

Peo 60 c = to.57 Il '" 0.6456

Pd= 48 cd = 0 Il J '" 0

AI final de los dos periodos es inmediato conocer el prccio de la opci6n de compra que vendrj dado por la expresion [4.15]. Cuando falta un pcriodo al vencimiento y estamos situado en un valor del subyacente igual a 75€, tendf('mos que Cu

_.-!..-O 1.1

[(0.667)(28.75) + (0.333)(0)[

"f"c-"~',

=

17.43

28.75 - 0

llu = p(lI _ d) = 93.75_60= 0.8519. Por otro lado, cuando P = 48, Cd '" 0 Y IlJ '" O. Retrocediendo un pcriodo mjs, el valor de I:. opci6n de oompr~ en el momento inicial cs C=

1 ((0.667)(17.43) + (0.333)(0)] = 10.57. 1.10

Es int eresante apuntar que el pn.'Cio de la opci6n de compri! se ha incrcmct~ ­

do con rclaci6n a su valor del ejemplo 4.4.5 en el que 0010 habia un pcriodo hasla el vencimienlo. Esle es un resultado general. Sin dividendos, cuanto mayor es el tiempo hasla el vencimiento, mayor sera el valor de la opci6n ya que el titular tiene mas posibilidades de que el precio del subyacen te ascienda. Sc podriil c~[­ CUlM d i recl~menle c1 precio actu al de la opcion de compra como 1 T

(l+r)

IJl~2C"" + 2lr:(1 - Jl~)c,, •/ + (1-Jl~)2cdd)

- -;-;;10;, ,[(0.445)(28.75») = to.57. l.hr

Hemos mencionado la importancia de la volatilidad en la valoraci6n de opciones. Es clave notar que la vola tilidild del subyacente esla implicita en las magnitudes de las oonslantl.OS H y d que reflejan In variaci6n en cI precio del subyaccnte en cada pcriodo. EVidentemente, este modelo supone que la volatilidad del subyacente es constante durante la vida de la opci6n.

166/ !leoNOM!'" FE." ANCIEJIA

Observemos la evoluci6n d e la cobertum A. En un primer momenlo debemos manlener 0.6456 lilulos del subyacenle para cubrir la posici6n corta en la opci6n. Ahora bien, cuando 1'1 precio del subyacenle aumenta (desciende), la A tambien aumenta (desciende). Este comportamiento de cobertura es 16gico. Si eI precio del subyacente se incrementa, 1'1 titular de la call tiene mas probabilidades de ejercer su d erecho al vencimienlo por 10 que 1'1 inversor con una posici6n corta en la opci6n esta mas descubierto que antes de la subida del subyacente. Para volver a cubrirse adeiana da· do por F. 1'(1 .. rj . 9.3OOIU16) . 9.858. Sabemos que 91 precio teQrico del COO1rato de tuturo 0 precio de enl r&9B "" ~ momenta de li.mar dicOO conl.ato lIS tal que el valor del connato de Muros sea igua l a celo. de Iorma que ambas pa.tes e.men en un contrato con valor actual neto /gual a cem. Naluralmeme, a 10 targo de ra \/ida del futuro, eI contralo tend';) un valor positivo 0 negativo sagun evoIucione al subyacente y, po. con· sigWante, al precio deltutum con relaci6n al precio de ent'&9B. Sea F .. X eI p.ecio te6tico iobal del contrato de tLJIuro y supongamos que eI precio del futuro puede convertiroo eo F.o Fd al Iioal del siguien/e pe F

0

P,- F (" 0)

Pr - F

-c

0

Pr - F

P

PT-F("O)

0

Momento Compr~

d el futuro

Compra mil; K '" F

Venia pili; K _ r Tota l carlera

I

I'

~clual l

,

I

P, F (" 0)

I

Pr - F

Notesc '1ue. para evitar posibilid ades de arbi traje, los precios hoy deben se r tales '1ue el cosle de ambas carteras sea el mismo, p - c: O .... p:c,

10 '1ue precisamente ocurre al ser K : F. Ulilkemos la relacion de paridad pul-call para opciones e uropeas para ana lizar la rclaci6n entre los futuros y las opcioncs. Sabcmos '1ue la rcl aci6n de paridad pul -call es

p+ P ",c +K

1

l+ r

=c - p"'P -K

1

l+r

AeI,,,,,, Arrow-Deb,..." y Iff ff UffCroll / ulldffmmlal de w lonlcio)" ... (c. 4) I 173

Tambicn &lbemos que F es aquel valor del prccio de ejcrcieio pMa el eual c '" p. Por tanto, usando la relaci6n de parid 0, por 10 que el rendimien to de los bonos (libn>!; de riesgo) a mas largo plazo excede el tipo de inleres libre de riesgo a corto plazo. EJEMPLO 4.6.1 Supongamos que ~ probabiIidad aI alza es "2 y Ii! p1'ima de riesgo a un pe-riodo es)., E 0.2. mientras que Ii! prima. de 'i&sQo a. (los pefiodos os "" ~ O. t . Los precios de los bonos anaIizados previarnente son:

, • .oe , '. • ,... , '. • ""[i2 , • , .M, M

t

((0.3)(9.615) + (0.7)(8.929)] .. 6.456 ((0.4)(9.804) + (0.6)(9.434)] .. 9.213 ((0.4)(9.434) + (0.6)(8.475)] • 7.909 {(0.3)(9.213) + (0.7)(7.909)] • 7.685 . •

EJEMPLO 4.6.2 En Ii! p,&ctica Ia prima de riesgo debe eS1imarse a par1i, de Ia estruc\ura temporal de los tipos de Inter/is observada.

Sopoogamos que AI .. 6.300: L,," 9.200: L,," 7.800. Como

M •

'..

,

,"00

[(1).5 - ).)(9 .615) + (0.5 + Aj{6.929)I _ }.

E

0.449

[(1).5 - ).J(9.804) + (0.5 + \){9.434}1 _ Au ~ 0.138

, 1.12

[(0.5 - )..1(9.434) + (0.5 + ).J(8.475)1 - ).,, " 0.228 . •

4.7 Valoraci6n de activos financieros: rendimientos, martingalas y probabiJidades neulrales al riesgo Consideremos una economia de un s610 perlOOo en la que ca raclerizamos la incertidumbre a trNoMIA F1NANClEIVI

Cuadro 4.7 (6). Malrlz de pagos. X/ en ~

X/ en 5 , x 1_ ,

,

,

Compra 1 litulo del activoU

Venta en clescublerto de 0.9 titulos del '2

-0.9XOEO

Ven!a en ooscubieno de 1.45 titulos dol '3

-1 .45 X O _ 0

-0.9

1 XI. 1

x

-V2 X(- 1)~0.5

"

1-

-0,9XO _ O, 1.45 X 1. - 1,45

-1.45 x O.0

,

,~,

Xl. 1

-'/~xO .. O

-V2 x'l.-1

Venta en ooscubierto 00 0.5litulos 001.5

X/en ~

0.10

0.05

Esta carlera pmd!.lOO paOOS 00 nega!iVOS eo !odos los estados do la naturaleza V estriclarT1(lnte posit""os en algun estallo. Si la cartera 00 ILNillse hoy coste alguoo tendriamos un artlilraje. Sin emba rgo, el COSle de III carlera es 0.90

x , - 0,60 X '1 2 - 0.30 x 0.9 - 0.20 x 1.45" 0,04 .

N6tese QUI! nos hubiera costado exactamenle 10 mismo comprar el palr6l'l de pagos 1u1uros qUI! produce dicha eSl1alegia a traves de los activos Arrow-Debrau. Simplemente comprando 0.10 lilulos del ae1ivo AfT_·Debrau _2 V 0.05 Iitulos del activo ArfOW·Debreu _3 hubOeramos Iogrado el mismo patf6r1 de pagos. EI coste de esta ca rtela 00 acl""os MfOW·Oebreu stlria COSle. 0.10 x 0.30 + 0,05 x 0.20.0.04 , que coincide exactamente con el de la eSlraleg;a . Esto de arb:! + 2; ' . 0,9 no es vahdo para et ""'"'" '3. AI no exisbr un conjunto pos~ivo de preclos de los actives Arrow·Debreu valOdo para todos los acli..:m ex~tantes debe 5er positJle rea~zar una estrategia (Ie am;trnje. A modo cIe ejemplo, aqui describimos una:

Act;""" Arrow·D 0 es imposible dado que Z = 0 es admisible (satisface la restricci6n y

puede construirse) y tiene un coste igual a cero. •

si6n: Prima de riesgo '" E(Rml - r.

15.9]

En eI cuadro, el rcndimiento espcrado del mercado sc aproxima por la media muestral del rendimiento del IGBM. mientras que el rcndimiento del activo seguro es la media muestral del tipo de interes de las letras del Tesoro a un ano cotizadas en el mercado secunda rio. Esta prima de riesgo mide el grado de aversi6n al riesgo que soporlil un determinado mercado bursatil al reflcjar 10 que los inversores exigen, en promooio, sobre el tipo de interes libre de riesgo para invertir en renla variable. Como veremos a 10 largo de los capitulos dellibro, es una magnitud de griln importancia en Economia Financiera. Como observamos en eI cuadro, en promedio, enl re 1963 y 1997, III primll de riesgo del merclldo bursalil espaliol /111 sido drl6.8 %. Asimismo, observamos c6mo la prima de riesgo, tal como dclx'ria ser, tiende a ser posi tiva cuando utilizamos periodos de tiempo suficienlemente largos. En otms palabras. en promcdio. los inveTSOres en el mercado bursalil espanol han sido compcnsados por soportar el riesgo asociado a la renla variable. Es de destacar el incremento experimentado por la prima de riesgo dcsdc los nivcles de los anos sesenta y selenta, Dcsde 1980, la prima de riesgo alcanza pnlcticamenle un 11%. Este incremenlo de 13 prima de riesgo ha venido acompanado por un aumento, en promedio, de la volatilidad del mercado. Mienlras que en los anos sesenta y selenta, la volatiJidad del [GBM era aproximadamente del 14%. d urante las dos ultimils decadas la volalilid ad del indicc 11.1 ascendido, en promedio, a nivdes cercanos al22%.

Cu~dro

5.4. Pnma de

Periodo

rie~go~

en el

Rendimiento del merc~do en 'l'. (ICBM) '

1963-97

merc~do

13.17

bur-dtil esp.iiol: enero 1963-junio 1997.

Rend imiento de las letras del Tesoro (%)

Prima de nesgo (%)

'"

,:n

118.55)'

(1.10)

(18,54)

5.66 (14 .20)

3.22 (0.33)

2.« (14.28)

1980-97

20.47 (21.79)

9.49 (0.81)

10.98 (21.86)

1963-73

14.69

2.51 (0.19)

12.18 (11.11)

07.65)

6.69 (O.94)

- 0.60 (17.33)

19.11 (19,67)

9.81 (0.69)

9.30 (24.43)

4.49 (19.67)

0."

3.95~

( 1. 14)

(19.54)

053

0.25

(1.10)

(18.09)

1963-79

(11 .11)

1974-85

(-" Ener03

Resto del aild!

,.09

0.78 (18.08)

, Rcndimiento anu'ti .... d" dd Indice General de I. Sol.. de Madrid . 2 Desviaci60

o.

o . 0" g. 8" "' N"N

,,"'~ - - - - •- •- •- •-

8' ~ >

g~

8~

~- ~M",

Figu ra 5.1. Prima de rie>go: 1980-1998. Mercado bursJ til espano!.

Hcmos dcstacado 13 importanciF + 2 w1Wz [R j - E(R 1)j[R2 - E(R 2)i + ~ [ R2 - E(R 2)FI = wfat + ~o ~ + 2 w1"-'lE{ [R j - E(R 1)j[ R2 - E(R 2)Jl.

POT 10 que podemos cond uiT que la varianza de los rendimientos de una cartera compuesta de dos activos financicros es

[5.10) donde 0[2 es la cova riultZil en tre los rendimicn tos de los dos activos. La covarianza es una medida de c6mo los rendimientos de los activos tienden a moverse (vaTiar) conjunlamente, mcdida que juega un papel fundamental en In valoraci6n de aclivos financicros. N6tese que, a dife rencia de In varianza q ue n unca puede ser

E/ Q,,,J/js;s de III nwintos de Iii carlera se 5 dO'! roI'ju"lo de qporl""itl&ks dades de Inversi6n en el espacio rendimienlo asps rado·volalilidad comp;Jeslo de 5 acciones. Una de las carle ras eliclenles conSlruida con las 5 acciones (primer londo) liene las slgu ienles ponderaciones: .0', ~ 30%. "'2 ~ 10% • .0'3 ~ 10%. ~ 30% Y E 20%. La Olra carlere (segundo fondo) se conS!ruye con Ie misma proporci6n en las dos primeres acciones WI ~ 20%. I ~ 1. 2: Is misma en las dos ollimas WI ~ 25% . j z 4. 5 Y el .esto an la eccl6n j z 3. "'3 ~ 10% . Po. elleorama de separeciOn en dos Iondas. s.abemos que el reslo de las carleras e/icienles se conS!ruye como el promedio ponderado de los dos loodos anteriofes . Sea w la ponderaci6n en el primer londa que nos permite generar Ie fronte.a eliciente, entonces es posible delini. lodas las ca rleras eticientes mediante tas ponderaciones w,. w~. w3. w. y w5 que sal islacan las elANCllRA

pueden generar las carteras eficientes med iante 1a combinaci6n de la cartera de min ima v~rinnza, CVM, y cualquier carlera tangente hipoletica. En cuolquier caso, 10 relevante es que los inversorcs mantienen en ult imo h~r­ mino carteras de activos incierlOS eficienles y, de hecho, si exis te un activo seguro y las expecla tivas son homogeneas, sOlo exisle una carlera e{jciente de ac tivos inciertos. As., el riesgo apropiodo 01 que se enfrentan los individuos es la volalilidad 0 dcsviaci6n estandar de la carlero eficiente cscogida. 1.,.1 Vilriabi lida d que experimenta eI rcndimiento de dicha carlera eficienle es la medida de riesgo final que debe preocupar al inversor. Sin embargo, 110 es 10 nlismo hllblar de la carlera tficicl!te ell III qlle i/!Vierlc 1111 illdividuo, ell wyo casa IIOS pmxlliltmi III oolal ilidad como medidll de riesgo, qlle IIablllr lie aeliDOS illliivir/uilies domle 10 que dew preocllfillr a los im!t'rsores es como Y CIIa'lto dicho actioo individual cOllfribllY" al ricsgo (11()/alilidad) de la car/era 'ficiellie jillaimt'll/c escogida. L...'1 dislinci6n enlre eI riesgo apropiado para carte ras eficientes y para activos individuales es crucial en Economia Fina nciera. En dcfini tiva, pnl\.'Ce evidente que cuanlo mas conlrib uya un activo individual iI la variabilidad del rendimienlo de la cartera eficiente escogida 0, si existe un activo seguro, a la variabil idad del rcndimiellto de la carlera tangentc T, mas arriesgado sera cl activo en cuesli6n. Al fin y al cabo, un activo que contribuye en gran medida a la variall1..a 0 volatilid ad de la carlera eficiente que mantiene un detenninado ind ivid uo puede interpTl'tarse como el activo CII/pable de la gnm varinbilidad y riesgo de la cartera. Ahora bien. In pregunta l"l'levante es ,c6mo medir la con tribuci6n de lUl activo a la varianza 0 volatilidad (riesgo) do:.' In carlera cficienle? Utilizamosen primer lugar un ejemplo pa ra, posleriormente, d(''So1rrolbr una presenlaci6n formal de la respuesta. EJE MPl06.6.1

Supongamos qoo !enemos una cartera bien diversiticada formaoa con 10 activos !inar.cieros. ' o La doesviaci6n est~ndar 0 voIati!idad de cada uno Oe estos acti'IQs es Ia misma e igua l a 0.40 (40% Oe 'lQlalilidad anua!). La correladoo entre los rendim;"ntos de dos ac!ivo:s cualesquiera de dicha carte· ra es igua! a 0,30. Estamos pensando en al'>adir un actiV "ez que ... "~"dan ~ad" uno de los cual", acti"os siguienlc'S. Cad" compooen!c de la carlera resullante rec;bira una pon_ de,ac;6n de 1/ 11.

Car/eras eficie"I"; 'I d ,iesgo df m, aClioo indil'id"QI (c. 6) / 269

resto as

(Hi)

EI aci;", C iien" una voialUidagual II - 025 (S41S p.ecios y. pot tanlo. sus fIIndim>enlos l>er.deo a mo\Ierse de maoom coot raria al ,eslo de los activos de Ia cartara).

Aapresentemos Ie varianza de Ia rlUeva cartara coo t 1 activos pa ra ~ case> (i) en III qua a~adi­ mos al activo A a la ca'tara o