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FÍSICA GENERAL

Impreso en el Perú

 DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS Autor/Editor: Martín Sandoval Casas. Coautor: Reenaty Huatay Enríquez. [email protected] [email protected]

Tiraje: 100 ejemplares

ISBN: 978–9972–33–831–1 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2008 – 10611 Martín Sandoval Casas RUC 10166281437 Av. Javier Prado 3627 – San Borja Primera Edición Impreso en computadora

Printed in Perú

PROLOGO El objetivo de este texto, Problemas Resueltos y Propuestos de Física, es ofrecer a los estudiantes del curso de Física General de la UNALM, un material de ayuda para complementar la teoría y la solución de problemas. Cada capítulo desarrollado tiene un fundamento teórico, problemas con solución y problemas propuestos, asimismo se dan estrategias de solución a los problemas en cada capítulo. La idea es implementar un libro de consulta completo, con teoría, estrategias de solución de problemas, problemas resueltos, problemas propuestos, exámenes parciales y finales, experimentos de laboratorio. Esto se logrará con el aporte de los colegas profesores del Departamento de Ingeniería Ambiental Física y Meteorología y sobre todo con las sugerencias y necesidades de nuestros estudiantes. Esta primera edición es el resultado de los años en la enseñanza del curso de Física General que se imparte en la Universidad Nacional Agraria La Molina. En esta edición se incluyen problemas con alternativa múltiple, que han sido evaluados en ciclos anteriores. Un agradecimiento especial al colega Julio Arakaki y a todos los profesores del Departamento de Ingeniería Ambiental, Física y Meteorología, que han colaborado con problemas de Mecánica y Termodinámica. Los exámenes parciales y finales propuestos en este libro han sido proporcionados por la Ing. Reenaty Huatay Enríquez, estos exámenes fueron tomados mientras era coordinadora del curso de Física General en el periodo 2005–I y 2005–II. Esperamos con este modesto trabajo, llenar en parte el vacío de la falta de teoría y problemas para el nivel que desarrollamos en la UNALM. El autor.

PRESENTACION El profesor Martín Sandoval Casas, es Físico y Magíster en Enseñanza de la Física, graduado en la Pontificia Universidad Católica del Perú. Tiene experiencia en el dictado del curso de Física General en la UNALM y es un connotado docente en el Centro Pre– Universitario de la UNALM. Los libros de texto en la Universidad constituyen un material curricular que tiene una influencia notable en la actividad que se desarrolla en el aula debido a que no sólo presentan información, sino que suelen incluir una propuesta didáctica implícita o explícita. Como es sabido, muchos profesores utilizan los libros de texto como guía principal en sus labores docentes. Dada la enorme influencia que ejercen los libros de texto en el aprendizaje de los alumnos, no resulta raro que formen el núcleo de una línea de investigación y actuación orientada a descubrir sus múltiples inconvenientes o defectos y a mejorar, en lo posible su elaboración y utilización. Este problema podría ayudarnos a entender algunas de las dificultades de aprendizaje de los alumnos de enseñanza en los primeros años de la Universidad Nacional Agraria La Molina. Con el fin de situar el marco general en el que se ubica, el libro comienza con una teoría sustentada en el curso de Física General que se imparte en la UNALM, además de un conjunto de problemas resueltos, y para afianzar los conocimientos adquiridos, se presenta un conjunt o de problemas propuestos. Cabe señalar que este libro es una guía para el estudiante de los primeros ciclos de la Universidad, ya que pone a disposición una gama de exámenes parciales y finales, y lo más importante, para atacar a solucionar los problemas y ejercicios, presenta estrategias de solución.

Lic. Juan Pesantes Rojas

A nuestras hijas SANDHY y NATHALY Que son la FUERZA EXTERNA, Fuente de inspiración y ENERGÍA MOTOR y alegría de nuestra vida.

INDICE

                   

Vectores – Teoría Vectores – Problemas Resueltos Vectores – Problemas Propuestos Cinemática – Teoría Cinemática – Problemas Resueltos Cinemática – Problemas Propuestos Dinámica – Teoría Dinámica – Problemas Resueltos Dinámica – Problemas Propuestos Trabajo y Energía – Teoría Trabajo y Energía – Problemas Resueltos Trabajo y Energía – Problemas Propuestos Mecánica de Fluidos – Teoría Mecánica de Fluidos – Problemas Resueltos Mecánica de Fluidos – Problemas Propuestos Calor y Termodinámica – Teoría Calor y Termodinámica – Problemas Resueltos Calor y Termodinámica – Problemas Propuestos Problemas para medio curso y final Exámenes parciales y finales

01 – 07 – 13 – 20 – 30 – 48 – 58 – 62 – 73 – 81 – 84 – 92 – 100 – 102 – 116 – 123 – 129 – 133 – 137 – 151 –

06 12 19 29 47 57 61 72 80 83 91 99 101 115 122 128 132 136 150 177

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay.

VECTORES En la física hay muchas magnitudes que no quedan descritas completamente solo con mencionar su magnitud, es decir, se necesita saber su dirección, así tenemos: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. Por esta razón es necesario conocer las técnicas de cómo operar magnitudes vectoriales. Los vectores entonces son una herramienta de gran utilidad en el desarrollo del curso de física general.

ESCALAR. Es una cantidad que queda descrita totalmente con solo su valor, es decir, su magnitud. Ejemplo: temperatura, longitud, área, volumen, masa, energía, trabajo, potencia, calor, intensidad de corriente eléctrica, potencial eléctrico, etc. VECTOR. Es una cantidad que se describe con dos características: magnitud y dirección. Cantidades físicas que tengan estas características se denominan cantidades vectoriales. Ejemplo: posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, etc. En general una cantidad física que quede descrita solo con su magnitud recibe el nombre de cantidad escalar, pero si se necesita expresar su dirección para que quede totalmente descrita, entonces, estamos frente a una cantidad física vectorial. Las operaciones definidas para los vectores son: la suma (suma o resta) y la multiplicación escalar y vectorial. En Física, las operaciones vectoriales son aplicadas en:    

La suma. El cálculo de la resultante de fuerzas de diferente tipo, la resultante de campos eléctricos y magnéticos, etc. La resta. El cálculo del desplazamiento, velocidad media, aceleración media, etc. El producto escalar. Es aplicado al concepto de trabajo, flujo de campo, etc. El producto vectorial. Es aplicado al concepto de torque o momento de una fuerza, fuerza sobre un conductor que transporta una corriente eléctrica en presencia de un campo magnético.

SIMBOLO O NOTACION. Los vectores se denotan con letras minúsculas o mayúsculas, pero con una  

flecha encima de ellas o con letra negrita. Así, por ejemplo: A, F , v , p o A, F, v, p.

1

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay.

SUMA GRAFICA. – Este método resulta eficaz si se hace en un papel milimetrado, con un transportador y el cuidado debido en cada trazo, el procedimiento se da a continuación. 





Dados los vectores A , B y C :



A









B

Coger cualquiera de los vectores dados y ubicarlo en el origen de coordenadas.



C

Coger otro vector y ubicarlo a continuación del anterior. Repetir esto cuantas vectores sean necesarios.



Final C 



  

B

R  A B C

Finalmente unir el punto de partida (Inicio) con el punto de llegada (Final). Este vector será el vector suma o vector resultante.



Inicio

A

SUMA ANALITICA (Método del paralelogramo) Este método tiene la restricción de usarse solo para sumar dos vectores. Pero, si son más de dos los vectores a sumar y queremos aplicar este método, entonces debemos empezar sumando dos vectores, el resultado sumarlo a un tercero y así hasta terminar el proceso. 





Dados los vectores A y B :

A



B



B





A

Unir los inicios de los vectores.



B





Trazar paralelas a los vectores.

 

A





Trazar la diagonal que sale del vértice de los vectores y se dirige hacia la intersección de las paralelas trazadas.

B





 

A

2





R  A B



VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay.

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA (Método del paralelogramo) En el triangulo rectángulo MPQ. 

 

R  A B



B



A

N B cos 

2

2

Q Bsen 



 

M

2

MQ  MP  PQ

Pero MP  (MN  NP)

P 2

2

MQ  (MN  NP) 2  PQ

R 2  (A  B cos )2  (Bsen)2

R 2  A2  B2 cos2   2ABcos   B2sen 2

Sabiendo que: B2 cos2   B2sen 2  B2 (cos2   sen 2)  B2 

Se obtiene

 

R  A  B  A 2  B2  2AB cos 

Para hallar la dirección , aplicamos la ley de senos de donde obtenemos:

R B  sen sen

B  sen  R 

  arcsen 



COMPONENTES RECTANGULARES Si definimos un eje de coordenadas, x – y en el plano ó x – y – z en el espacio, este será de gran utilidad para la ubicación y medición de las cantidades físicas que se desean medir. En este caso se introduce el concepto de vector unitario en cada uno de los ejes, ˆi para el eje de las abscisas (x), ˆj para el eje de las ordenadas (y) kˆ para el eje z. y





AY ˆj

Ahora el vector A , es expresado como una combinación lineal de los vectores unitarios iˆ y ˆj

A



A  A X ˆi  A Y ˆj

AX iˆ

x

3

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay.

MODULO DE UN VECTOR EN COMPONENTES RECTANGULARES Se puede notar que las componentes rectangulares son los catetos y el vector resultante la hipotenusa de un triangulo rectángulo, por lo tanto, se puede hallar el modulo aplicando el muy útil y famoso teorema de Pitágoras.

y AY ˆj



AY ˆj

A



A  AX2  AY2

 AX iˆ

También podemos expresar las componentes rectangulares en

x



función del vector A y el ángulo . 



AX  A cos y AY  A sen 

Si queremos hallar la dirección del vector, entonces podemos aplicar  AY  AX

  arctg

  

VECTOR UNITARIO Es un vector cuya magnitud es la unidad, muy usado en Física para dar dirección a vectores, los vectores unitarios ˆi , ˆj , no son los únicos, en si tenemos infinitos vectores unitarios. La figura esquematiza este hecho.

y



x

ˆ 

A 



A

A X ˆi  A Y ˆj AX2  AY2

SUMA VECTORIAL 

Dados los vectores:

A  AX iˆ  AY ˆj



B  BX iˆ  BY ˆj , la suma es:

y

 

A  B  (A X  BX )ˆi  (A Y  BY )ˆj





 

Si A y B son fuerzas, entonces A  B es la fuerza resultante. 







Si A y B son el vector posición inicial y final respectivamente, entonces B  A es el vector desplazamiento.

4

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES  

 

 

 

A . B  B . A  A X .BX  A Y .BY (Es conmutativo) 

A . B  B . A  A B cos 

(Esta relación es muy usada para hallar el ángulo entre dos vectores)  

A. B cos     A B 



PROYECCION DE UN VECTOR A PRODUCTO ESCALAR)

SOBRE EL VECTOR B

(APLICACIÓN DEL



A





El vector buscado es:

B

 Acos 

    A.B  B P B A  A cos        B  B  B

P B A











B

EN TRES DIMENSIONES Ángulos Directores. Cada uno de estos ángulos, indica la dirección con respecto a cada eje cartesiano. z



A



Az



 Ay

Ax

y



 :

Ángulo entre A y el eje x.

 :

Ángulo entre A y el eje y.

 :

Ángulo entre A y ele eje z.





x Cósenos Directores cos =

AX 

,

cos =



A

A 

AY

cos =

AZ 

A

cos 2   cos 2   cos 2   1 (Tarea: demostrar la igualdad)

5

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay. 



A  AX iˆ  AY ˆj  AZ kˆ

Sean los vectores:

B  B X iˆ  BY ˆj  BZ kˆ

y

SUMA VECTORIAL 



A B  ( AX  B X )iˆ  ( AY  BY ) ˆj  ( AZ  BZ )kˆ

PRODUCTO ESCALAR  

 

 

 

A . B  B . A  AX .B X  AY .BY  AZ .BZ  

A . B  B . A  A B cos

PRODUCTO VECTORIAL

kˆ

iˆ

ˆj

A x B  AX

AY

AZ  iˆ( AY .BZ  AZ .BY )  ˆj ( AX .BZ  AZ .B X )  kˆ( AX .BY  AY .B X )  C

BX

BY

BZ







C 





CA

y



CB

B 







Propiedad: A x B   B x A , esta operación no es conmutativa. 





A



A x B  A . B sen 

Esta operación es aplicada a: 

Geométricamente, su magnitud representa el área del paralelogramo formado por los vectores.



Físicamente, Si los vectores A y B fueran posición y fuerza, el producto seria el torque o momento





producido por la fuerza.

6

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

PROBLEMAS RESUELTOS – VECTORES 1. Halle el módulo de la resultante en el siguiente sistema de vectores. 53 º

2. Exprese la fuerza F como un vector, en 





función de los vectores unitarios i , j y k . (ver figura). Si el módulo de F es 170 N.

7

15

z

Solución: 9

y 12 8

x

Solución: La resultante es: 

Hallamos un vector unitario ˆ F , en la dirección del vector buscado. Ubicamos dos puntos por donde pase el vector F

    

R  A  B C D E ….(*)

z (0, 0, 9)



Usamos los vectores auxiliares x . 





B  A x 



(1)

F

9

y

C  A 2 x

(2)

8

x 





D  A 3x 



 12ˆi  8ˆj  9kˆ

ˆ F 

(3)

122  82  92



E  A 4 x

(4) 

E A 4

(5)





R

lo calculamos 

multiplicando el módulo del vector F por su vector unitario ˆ F .

 

(5) en (6)

F

El vector buscado

(1), (2), (3) y (4) en (*)

R  4 A 6 x  E

 12ˆi  8ˆj  9kˆ 17

ˆ F 

 

De (4) se tiene: x 



12 (12, 8, 0)



(6)



 5    R   A  E  2 



F  F ˆ F



5 2 5 7  152  2.7.15cos 53º  400 2 2

F



R  50



170  12ˆi  8ˆj  9kˆ 17



 F  120ˆi  80ˆj  90kˆ 7

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

3. Sean los vectores:

4. Halle el vector resultante de los vectores dados. Si, 



a  3 iˆ  2 ˆj  6 kˆ



b  2 iˆ  2 ˆj  4 kˆ .

y



A  6 iˆ  10 ˆj  16 kˆ , B  2 iˆ  2 ˆj 



C  10 2 y D  15

Halle el vector que resulta de proyectar el   vector b sobre el vector a .





El vector C está en el plano xy, y D está en el plano yz

Solución: z



b



D

 

P



37º





y

a

b

45º

a

x



C

Como se puede ver la magnitud de la proyección es b cos , pero Solución:  

a.b ab

cos 

y además la proyección











R  A  B C  D



(1)

tiene la dirección del vector a . Tenemos   

 

P



  

b  b cos  ˆ   b

a

a

que

A, B, C y D

a .b a ab a

expresar

los

vectores



en función de los vectores

unitarios iˆ, ˆj, kˆ . 

 

P



a

  

A  6 iˆ  10 ˆj  16 kˆ



a .b a b  ( b .ˆ  ) ˆ  ...(1) a a a a

(2)



B  2 iˆ  2 ˆj



(3)





C  C cos 45º iˆ  C sen 45º ˆj



El vector unitario en la dirección de a es:



C  10iˆ  10 ˆj 

ˆ a 

3ˆi  2ˆj  6kˆ

 ˆ a 

32  2 2  6 2

(4)





D  D cos 37º ˆj  D sen37º kˆ

3ˆi  2ˆj  6kˆ 7



D  12 ˆj  9 kˆ

(5)

(2), (3), (4) y (5) en (1)   P a b 



  3iˆ  2 ˆj  6 kˆ  3iˆ  2 ˆj  6 kˆ     2iˆ  2 ˆj  4kˆ . 7 7    

R  (6  2  10) iˆ  (10  2  10  12) ˆj  (16  9) kˆ

 





Pa b  

6 iˆ  4 ˆj  12 kˆ 7

8



R  18iˆ  30 ˆj  25kˆ

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

5. Halle la expresión vectorial de un vector de magnitud 5 y perpendicular a los vectores: 

7. Dados los vectores: 



Solución:











ˆi



ˆj

1

2



0  (4  6)kˆ  2kˆ 0







1





B  5iˆ  7 ˆj  3kˆ ¿Cuál es el ángulo que 

2

2



C



5 2iˆ  ˆj  2kˆ  3

Solución: 



6. Dados los vectores:

A  miˆ  2 ˆj  kˆ y

B  2miˆ  mˆj  4kˆ ¿Para qué valores de 

" m"

los vectores perpendiculares?

A



y

B son





A B  3kˆ y ˆ Z  kˆ

Solución: 

  ( A  B ).ˆ Z  3kˆ.kˆ cos       1 3x1 A  B ˆ Z

Si A y B forman 90º, el producto escalar de los dos vectores debe ser nulo (0).

    AB  cos A, B   0

  arccos 1  180º

 

A. B  0  2m 2  2m  4  0

Las soluciones a la ecuación cuadrática encontrada, son los valores para m.

(m  2)(m  1)  0  m  2  m  1





Hallamos el vector A B , luego haciendo uso del producto escalar se calcula el ángulo que este vector forma con el eje Z para el cual lo representamos por un vector unitario en la dirección de Z.







forma el vector A B con el eje Z.

A x B  2 1  2  3 2



8. Se tiene el vector: A  5iˆ  7 ˆj y el vector







C .( A x B)  0

2

A x B  2 iˆ  ˆj  2 kˆ y 



kˆ

C .( A x B)  (2iˆ  3 ˆj ).  2kˆ  0

kˆ

AxB  0 2

ˆj

3 4

B , con esto podemos tener un vector unitario. Para obtener el vector pedido lo multiplicamos por su magnitud 5, según dato.



iˆ

AxB  1 2

vector perpendicular a los vectores dados A y

    A  x B C  5       AxB   



Solución:

El producto vectorial nos proporcionara un





C  2iˆ  3 ˆj . Calcule: C .( A x B)

B  iˆ  2 ˆj  2kˆ

y

B  3iˆ  4 ˆj y





A  2 ˆj  kˆ



A  iˆ  2 ˆj;

m  2  m  1 9

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay 

9. Sean los vectores: 

11. Sean los vectores: r 1  (a 2  b 2 )ˆi  abˆj y



A  3iˆ  2 ˆj y B  2iˆ  3 ˆj











b. Solución:

Solución: 





A B  iˆ  5 ˆj

Comparando componentes se obtiene:



A B  5iˆ  ˆj

iˆ ˆj kˆ      A B  x A B   1 5 0  26 kˆ     5 1 0





r 2  20 iˆ  6 ˆj . Si r2  2r1 . Determine a y

    Halle el vector:  A B  x A B      

a 2  b2  10

(1)

ab  3

(2)

Reemplazando (2) en (1) :

     A B  x A B   26 kˆ    

a 4  10 a 2  9  0  (a 2  1)(a 2  9)  0

 a  1  b  3  a  3  b  1



A  5iˆ  3 ˆj  2kˆ

10. Dados los vectores

y

12. Halle un vector unitario perpendicular al plano que forman los vectores A y B. El lado del cubo es “a”.



B  iˆ  3 ˆj  2kˆ . Halle un vector unitario

perpendicular al vector suma.

z Solución: Hallamos el vector suma 



A B  6iˆ  6 ˆj

 A

(1)

 B

y

El vector a determinar debe ser unitario

ˆ   x iˆ  y ˆj  x 2  y 2  1

(2)

x Solución:

y perpendicular al vector suma De la gráfica dada obtenemos los vectores 





( A B).ˆ   0



 6x  6 y  0  x   y

 a a A  a iˆ  a kˆ y B   iˆ  ˆj 2 2

(3)

Por lo tanto el vector perpendicular al plano que forman estos vectores, lo calculamos con ayuda del producto vectorial.

Reemplazando (3) en (2) se obtiene: x

2 2



y



A y B.

2 2

ˆ   



ˆ   

2ˆ 2 ˆ i j 2 2



AxB 



AxB

10

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

iˆ   AxB  a a  2

kˆ a2 ˆ ˆ ˆ a  i  j k 2 0

ˆj 0 a  2



14. Sabiendo que la figura es un cuadrado de





lado “L” .Exprese el vector x en función 



de M y N

a2 ˆ ˆ ˆ ( i  j  k )  iˆ  ˆj  kˆ 2 ˆ    2  a 3 12  12  1 2 2  iˆ  ˆj  kˆ  ˆ    3



M 

x



N



13. Calcule el vector h en función de los 



Solución:

vectores a y b , sí AC = Diámetro. B





M

b 



h

x

30º

A

C



a 

N

Solución:





Por el hecho de AC ser diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo B es rectángulo. B 

El modulo de x es: x  ( L 

2 L) 2



Un vector unitario de x es:

b 

h

A





m 30º

M

x 

C









(M  N ) L 2

m 

 

El vector buscado es: x  x  x MBC: m = bcos30º ...(1) 

ABC: b = a cos30º ..(2)



x  (L 

(2) en (1) y obtenemos: m 



3 a 4 













b  h  m  h  m b  

h

3  a b 4

3  a b 4 11







2 (M  N) 2 ( M  N) L)  (1  ) 2 2 L 2 2

 2  1      M  N  x      2 



VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay 

NOTA. Estos ejercicios requieren el prerrequisito del Análisis Matemático, los temas de derivadas e integrales.

16. Sea a  t 2 iˆ  2tˆj  kˆ la aceleración de una partícula. Determine la velocidad y la posición de la partícula para t = 2 s. Si 



posición que describe la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio. Determine:

Solución: La velocidad de la partícula la hallamos, integrando, de la siguiente relación.





d r (t ) dt



   d v (t ) a (t )   d v (t )  a (t )dt  v (t ) dt

d 2 r (t ) dt 2



De una interpretación física a estas derivadas.









d r (t )  (12t 2  2t )iˆ  12t 3 ˆj  5kˆ dt



d 2 r (t ) d d r (t )  ( )  (24t  2)iˆ  36t 2 2 dt dt dt



Hallamos el vector C usando la condición 



inicial v (O )  0 .  0  C





v (t ) 



t3 iˆ  t 2 ˆj  tkˆ 3

La posición de la partícula la hallamos de la siguiente relación.

 r (t ) representa el cambio de

posición de una partícula, entonces la primera derivada de esta función se





 d r (t ) v (t )   d r (t )  v(t )dt dt

 dr (t )  denota por un vector v (t )  que dt representa la velocidad de la partícula para cualquier tiempo (t).





Donde C es un vector que representa la constante de integración y depende de las condiciones iníciales del problema.



Si



 t3 v (t )  (t 2iˆ  2tˆj  kˆ)dt  iˆ  t 2 ˆj  t kˆ  C 3

Solución:













v (O )  0 y r (O )  5iˆ

15. Sea r (t )  (4t 3  t 2 )iˆ  3t 4 ˆj  5tkˆ el vector







 t3 t4 t3 t2 r (t )  ( iˆ  t 2 ˆj  tkˆ)dt  iˆ  ˆj  kˆ  C 3 12 3 2







La segunda derivada de r (t ) o la

Hallamos el vector C usando la condición

 dr (t )  primera de v (t )  representa la dt





inicial r(O )  5iˆ .  C  5iˆ

aceleración de la partícula, para cualquier tiempo t dado y se denota con  la letra a .



12



t4 t3 t2 r (t )  (  5)iˆ  ˆj  kˆ 12 3 2

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

PROBLEMAS PROPUESTOS – VECTORES → → →

→

4. Se muestran los vectores A , B, C y D .

1. La figura muestra un sistema de vectores unitarios. Determine el módulo y la dirección del vector resultante.

Halle el modulo de la resultante si D = 8 y C = 3. →

C

→

D

60º →

B →

A Rpta. 14

29 ; arctg(0,4)

Rpta.

5. Halle el modulo del vector resultante del sistema de vectores que se muestra en la figura, si A = 3 y E = 4.

2. En la figura que se muestra, halle el modulo 

de la resultante de los vectores si B = 4

→

→

C →

D E

→

A

B 53º →

→

→

B

A

→

→

G

G

E

C

→

→

F

Rpta. 5 →

→

F

D

6. En la figura se muestra dos cubos. Si el volumen del cubo mayor es 8 veces el del cubo menor, determine el vector:

Rpta. 10



3. Determine el vector unitario paralelo a la resultante del conjunto de vectores mostrados. Si la arista del cubo mide “L”.

G  2 6uˆ1  5uˆ 2 , donde uˆ1 es el vector unitario a lo largo de AB y uˆ 2 es el vector unitario a lo largo de CD. z

z →

B

B

→

→

A

C

A

y

x

x Rpta.

Rpta. 5 ˆj  2kˆ

10 (3iˆ  ˆj ) 10 13

C

y

D

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay 

7. La figura muestra un cubo de arista a = 4 



10. Halle el vector unitario paralelo a b  a z





m. Exprese 2 A – B +3 C , en m. z →



1

C

b 2

→

a

2 y

y



1

B

3

x

→

A x

Rpta. Rpta.  8ˆi  20ˆj  4kˆ

3 ˆ ˆ ˆ (i  j  k ) 3 

11. Dados los vectores P  2iˆ  4 ˆj  4kˆ y



8. Halle el vector P , si su modulo es

6



Q  4iˆ  3 ˆj , determine el cociente de los

z





módulos de la proyección de P sobre Q 



entre la proyección de Q sobre P . y Rpta. 1,2 2

4

x



2



Rpta.  2iˆ  ˆj  kˆ

Halle

 



y

b



53º

z

F1 = 50 N Rpta. 3 4

a

x

4ˆ k 3

13. Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

45º



–4 F3 = 20 2 N –7



axb a.b

9. Se sabe que al sumar las tres fuerzas que se indican con una cuarta fuerza, se obtiene una fuerza resultante de modulo 50 N y que forma 53º con el semieje +x. Determine la cuarta fuerza, en N.

–4



12. Los vectores a y b de la figura tienen magnitudes 3 y 5 unidades respectivamente.



A  4ˆi  ˆj  3kˆ y B  2ˆi  ˆj  2kˆ

F2 = 60 N

Rpta. uˆ  

Rpta.  38iˆ  66 ˆj 14

 iˆ  2 ˆj  2kˆ 3

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

14. Dados los siguientes vectores:   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y a   2 i  3 j  k ; b  4 i  3 j  3 kˆ  ˆ c   ˆj  4 k . Determinar:  a) a  b  b) a  3 b  2 c  c) ( a  2 b )  3 c   d)  ( 4 b  3 c )  2 b e) El ángulo que forma el vector a con

20. Dados

   c y a b



  b y 3a



22. Sean

los



vectores: 

a  ( 2 ;  1; 3 ) , 

b  (5;1; 3) , c  (1;1;0 ) .y d  (5; 3; 8) Halle los vectores: 





y

c. Calcular la proyección de a en la  dirección de 2c . d. Calcular un vector unitario perpendicular al plano que forman















v  a 2 b  3 c y w  2 a b  3d Rpta. (–5, 0, –3) y (24, –10, –15)

17. Dados los vectores: A (2, –1, 2), B (4, 0,–2) y C (0,0,1). a. Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas. 

4)

21. Dados los vectores: a  2 iˆ  3 ˆj  4 kˆ ;  b   iˆ  4 ˆj  3 kˆ y c  3 iˆ  5 ˆj  6 kˆ a. Calcular el ángulo que forma el vector   a  3c con los ejes x e y. b. Calcular el ángulo entre los vectores

x  2 A B y su



3,



16. Sean los vectores A (2, 4, –2) y B (–1, 3, 2). a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares. b. Calcule el vector suma y su módulo. c. Calcula el vector módulo.

A(5,

c) Los cosenos directores del vector B .

15. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5 N al Sur. F2 = 10 N 30º al Sur–Este y F3 = 7 N 45º al Nor–Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.



vectores

B  2 iˆ  3 ˆj  4 kˆ Calcule: a) El producto escalar. b) El ángulo que forman.

cada uno de los ejes coordenados.  f) El ángulo entre los vectores: 3b y  2c .



los



23. Sean los vectores: 

a  ( x  y  z ; 3 ;  2)





b  (2 ;  x  y  z ; x  z ) y. Halle x, y,

b. Determina el vector x  A 2 B C . c. Efectúa el producto escalar de A y B.







z. Si a  2 b  c Rpta. –1, –3 y 3.

18. Sean los vectores A(3, 0, –1) y B( 0, –2, 0) determina: a. El producto escalar b. El producto vectorial.

24. Se tiene los siguientes vectores:    A  4iˆ  8 ˆj  12kˆ , B  2iˆ  4 ˆj y C es un

19. Exprese los vectores mostrados en términos de los vectores unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad.

vector situado en el plano yz con una inclinación de 45° con el eje positivo y, está dirigido hacia el origen y tiene una magnitud 10 2 . Halle el módulo de la 





suma A  B C Rpta.

76

25. Dado los siguientes vectores:

15

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay







, B  5 ˆj  10kˆ

A  4iˆ  2 ˆj  6kˆ ,



A  2ˆi  5 ˆj y B  6ˆi  10 ˆj

y



Determine el módulo, la dirección, y el

C  2iˆ  8 ˆj  7kˆ

Halle la siguiente 1     A B  C  A 2 B 2 Rpta. 26,08



Rpta. 13 u, 22,62º y

12iˆ  5 ˆj 13

31. Determine el área de un triángulo, en forma vectorial si sus puntos son: P (3, –1, 2), Q (1, –1, –3) y R (4, –3, 1) Rpta. 6,42

26. Dado los siguientes vectores: 



vector unitario de 3 A  B

expresión:



A  2ˆi  4 ˆj  5kˆ y B  3ˆi  2 ˆj  kˆ ,

Halle:  



a ) A. B

32. Dados







los 

b) A x B

B  3ˆi  4ˆj y C  2ˆi  3ˆj .

Rpta. 9 y  14iˆ  17 ˆj  8kˆ

Calcule: C .( A x B)







27. Sean los vectores:





33. Sean



a  3iˆ  2ˆj  6kˆ

b  2iˆ  2 ˆj  4kˆ .

y

 vector b sobre el vector

A  3iˆ  2 ˆj



28. Dado los siguientes vectores:

34. Sean



A  iˆ  2 ˆj  3kˆ y B  2iˆ  3 ˆj  kˆ 

los

vectores:



A  6iˆ  3 ˆj  kˆ ,



B  2iˆ  3 ˆj  kˆ y C  5iˆ  4 ˆj  2kˆ .



Pr oy A y Pr oy B







Calcule: 3 A 2 B  4 C

A

Rpta. 11(2, –3,1)/14 y 11(1, –2, 3)/14

 

35. Dados

29. Dado los siguientes vectores: 



Halle: 



AxB 



b. El ángulo entre los vectores A y B



A. B



  



d.



a) 2( a  b  c )

 

c.

los

b) a . b . c



Pr oy A y Pr oy B B

vectores



a,b y c

perpendiculares entre sí; con las magnitudes de estos vectores se forman un paralelepípedo rectangular de aristas a, b y c. El volumen del mismo se puede expresar como:

A  10iˆ  20 ˆj  3kˆ y B  10 ˆj  12kˆ

a.

y

      Halle el vector:  A  B  x  A  B     

. a

B

vectores

B  2iˆ  3 ˆj .

Rpta. (6, 4, 12)/7

Halle:

los



Halle el vector que resulta de proyectar el



A  ˆi  2ˆj;

vectores:



A





c) 2 a . ( b  c ) 

Rpta. (270, –120, –100); 117,7º; –164 y –0,67 (0, –10, 12) –0,32(10, 20, 3)

d)





a . (bxc ) 





e) ( a x b x c ) 30. Dado los vectores

16

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

36. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son las correctas? a) La magnitud de las componentes de un vector no puede ser mayor que la del propio vector. b) Si la componente de un vector sobre un eje es nula, podemos concluir que la magnitud del vector también lo es. c) Si un vector es perpendicular a un eje, la componente del vector sobre dicho eje es nula. d) Si un vector es paralelo a un eje, la magnitud de la componente del vector sobre el eje es igual a la del vector. e) Si ambas componentes rectangulares de un vector son nulas, podemos concluir que la magnitud del vector también lo es.

41. Averiguar cuál de los siguientes vectores no es un vector unitario 

q  Sen ˆi  Cos ˆj



3 4 s   iˆ  ˆj 5 5  3 5 ˆj  kˆ t  iˆ  4 2  1 1 3 ˆ ˆj  w iˆ  k 3 3 3

c) d) e)

Rpta. d 42. Determine el área de un triángulo, si sus vértices son: P (3, –1, 2) , Q(1, –1, –3) y R (4, –3, 1). 43. Sean los puntos A (1, 1, 2) y B (2, 3, 5). Halle: a) El vector que se dirige B hacia A. b) El modulo del vector BA c) Su vector unitario de BA



a) Los vectores posición A y B y su modulo correspondiente. b) El vector desplazamiento de A hacia B c) El vector unitario de B hacia A. 

1 3 ˆj iˆ  2 2



b)

37. Dados los puntos A (1, –2, –3) y B (2 , 3 , –2), halle: 

p

a)

44. Dados los puntos en el espacio A = (2, –3, 5) B = (–2, 5,–3). Determine:



d) El ángulo entre los vectores A y B .



Los vectores posición A y B .

b)

El modulo de los vectores A y B .

c)

El vector desplazamiento de A hacia B.

d)

El ángulo entre los vectores A y B





38. Se tiene el vector: A  5ˆi  7ˆj y el vector 

B  5ˆi - 7ˆj - 3kˆ . ¿Cuál es el ángulo que 



39. Dado los siguientes vectores:



45. ¿Cuál de los siguientes vectores es un vector unitario? a) iˆ  ˆj  kˆ



A  5ˆi  2ˆj  3kˆ y B  5ˆj  2kˆ

Halle el ángulo “” comprendido entre los 





forma el vector ( A  B) con el eje Z.





a)

1 3 iˆ  ˆj 2 2 1 1 1 iˆ  ˆj  kˆ c) 3 3 3 1 1 d) iˆ  ˆj  kˆ 2 2



b)

vectores A y B 40. Si el triángulo pqr es equilátero de lado “G”. Halle el módulo de la resultante. Si G es el baricentro.

e)

3ˆ 3ˆ 3ˆ i j k 3 3 3

Rpta. e 17

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay 

46. La figura mostrada es un cuadrado, hallar el 



50. Si



vector x en función de los vectores A y B







 

 





A B C  0 ,

A  4, B  5, C  6 y  

Determine A. B  A.C  B .C .



Rpta. -38,5

A

51. En la figura mostrada, halle el vector 





resultante en función de los vectores f y d .

x 

B





 2      A B  Rpta. 1   2   



c

a

f



e



b



47. Si se tiene un vector 26 unidades

d

en la



dirección del vector A  3ˆi  4ˆj  12 kˆ y un





Rpta. 2( f  d )

segundo vector de 30 unidades en la 

dirección del vector

B  5ˆi  10ˆj  10 kˆ .



52. Del

Calcule: a) El ángulo entre los vectores. b) El vector resultante. c) Halle la componente vectorial de A en la dirección de B.

gráfico

siguiente:

Si

A  14u ,





B  9 5 u y C  21u . Determine:   

a)

A B  C   

48. Determine el vector unitario perpendicular

b) ( A x B ). C





al plano determinado por A  2iˆ  6 ˆj  3kˆ



c) El ángulo entre A y B



y B  4iˆ  3 ˆj  kˆ .

d) El área del paralelogramo formado por 



los vectores B y C 49. El gráfico mostrado, determine: 

a) b)





e) El vector que resulta de proyectar B

A xC Un vector unitario en la dirección de



sobre A



A

z

z

 A 

A

6

 C

12 

C

4 x

3

y x

3

18

2

y

 B

VECTORES

M. Sandoval, R. Huatay

Rpta.  24iˆ  10 ˆj  24kˆ , 1296, 125,09º, 

120,74 m2 y 2,4iˆ  1,6 ˆj  4,8kˆ

56. Halle el vector

x

53. La figura es un hexágono regular, cada lado y las diagonales son vectores. Encuentre la resultante en función de los vectores A, B y C.





A

B 

x







vectores unitarios rectangulares. A  24 . z 

A 2

y 2

1

Rpta.  8iˆ  16 ˆj  16kˆ 

55. Hallar el vector x en función de los 



vectores A y B , si G es baricentro y M es punto medio. 



A

B 

x 



( B  A) Rpta. x  6 





3 A 3B Rpta. x   8 4

54. Exprese el vector A en términos de los

x

en función de los

    vectores A y B , sabiendo que  A = B .

19

CINEMÁTICA

M. Sandoval, R. Huatay

CINEMÁTICA

En cinemática es muy importante el sistema de referencia, a partir de él se toman los datos del movimiento. Una torre de control de un aeropuerto es un ejemplo claro de la utilidad del sistema de referencia. La torre de control toma datos de la posición de los aviones, su velocidad, su altura, etc. Aparte de las condiciones climáticas del lugar y tiene por objetivo dirigir a los aviones para un aterrizaje exitoso.

La cinemática es una parte de la mecánica, que estudia el movimiento de los cuerpos sin indagar en el ¿Por qué?, es decir solo evalúa variables de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. En este capítulo es muy importante conocer la posición del móvil en función del tiempo, de allí se puede predecir las posiciones sucesivas para cualquier tiempo. Si estamos en tres dimensiones y conocemos la posición x(t), y(t), z(t), podremos determinar la trayectoria de la partícula. Por ejemplo en astronomía si se conoce la ecuación de trayectoria del Sol y la tierra se puede predecir los eclipses que van a ocurrir a futuro. Para abordar el desarrollo, debemos precisar algunas definiciones previas: 

z

SISTEMA DE REFERENCIA

Es un eje de coordenadas espaciales a partir del cual se toman medidas del movimiento, este sistema de referencia debe ser Inercial, es decir estar en reposo o con velocidad constante MRU.

O

y

x Un ejemplo real de sistema de referencia lo constituye una torre de control en un aeropuerto; los móviles en estudio son los aviones que tienen que aterrizar, para este fin los técnicos en la torre de control toman datos de altura, velocidad, etc. y buscan las óptimas condiciones para un aterrizaje exitoso. 

MOVIL

Es el objeto de estudio, del cual se va a describir su movimiento, medidos a partir del sistema de referencia elegido. 



z

rA

VECTOR POSICIÓN

Es un vector trazado desde el origen de coordenadas del sistema de referencia hacia la ubicación instantánea del móvil.

O x

20

y

CINEMÁTICA



M. Sandoval, R. Huatay

MOVIMIENTO Si el vector posición cambia con el tiempo, entonces decimos que hay movimiento.



z

TRAYECTORIA

Las continuos cambios del vector posición dan origen a la trayectoria descrita por el móvil (líneas punteadas). Esta trayectoria da origen al nombre del movimiento. Así por ejemplo: Movimiento Rectilíneo – trayectoria línea recta, Movimiento Parabólico – trayectoria parábola, Movimiento Circular – trayectoria circunferencia, etc. 

y

O x

DISTANCIA RECORRIDA Es una magnitud física escalar que mide la longitud de la trayectoria descrita por el móvil.



DESPLAZAMIENTO

Es un vector independiente de la trayectoria descrita por un móvil, se traza entre dos posiciones sucesivas en un intervalo de tiempo dado. 

VELOCIDAD MEDIA

z 





 r  r B r A

Es una cantidad vectorial que mide como cambia el vector posición con relación al tiempo.

 

rB

rA 

r vm  t



x

Presenta las características siguientes: o o o 

y

O

Tiene la misma dirección que el vector desplazamiento. Se mide en un intervalo de tiempo. Su unidad es el m/s.

z

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Es un vector tangente a la trayectoria, que se deriva de la velocidad media, cuando el intervalo de tiempo se hace tender a cero. Como se puede ver, si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero, matemáticamente t  0. Observamos como el vector desplazamiento se aproxima cada vez más a ser tangente a la trayectoria.

21





rB

rA O x

y

CINEMÁTICA

M. Sandoval, R. Huatay 



r d r v  Lim v m  Lim  t  0 t  0 t dt





Presenta las características siguientes: o o o 

Es tangente a cualquier punto de la trayectoria. Se mide en un instante de tiempo. Su unidad es el m/s.

RAPIDEZ Es una cantidad física escalar y es la magnitud de la velocidad.





vA

ACELERACIÓN MEDIA



Es una cantidad vectorial que mide como cambia el vector velocidad con relación al tiempo.





rB

rA



y

O

Presenta las características siguientes: o



x

o

Tiene la misma dirección que el vector cambio de velocidad. Se mide en un intervalo de tiempo.

o

Su unidad es el m/s2.

vA 



vB



vA

Es un vector hacia adentro de la concavidad de la trayectoria, que se deriva de la aceleración media, cuando el intervalo de tiempo se hace tender a cero. Como se puede ver, si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero, matemáticamente t  0. Observamos como el vector cambio de la velocidad se aproxima cada vez más hacia la concavidad de la trayectoria.

z  



vB

rB

rA

O x

     v d v d  d r  d2 r a  Lim a m  Lim    t 0 t 0 t dt dt  dt  dt 2   

Presenta las características siguientes: o o

Es hacia adentro de la concavidad a cualquier punto de la trayectoria. Se mide en un instante de tiempo.

o

Su unidad es el m/s2. 22



v  v B  v A

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA



vB



v am  t



z

y

CINEMÁTICA

M. Sandoval, R. Huatay

De lo anterior podemos llegar a lo siguiente, muy útil en la solución de problemas, utilizando la derivada y la integral. 





dr v dt





d v d2 r a  dt dt 2

y



Si se conoce la posición r (t ) de una partícula, entonces por derivación de la posición podemos obtener 



la velocidad la v (t ) y con la derivada de la velocidad tendremos la aceleración a (t ) . 

Sin embargo si conocemos la aceleración, a (t ) , de una partícula, por integración de la aceleración 



obtendremos la velocidad v (t ) e integrando de nuevo la velocidad obtendremos la posición r (t ) . En el proceso de integración es necesario conocer condiciones iniciales para poder encontrar las constantes que resultan de la integración. COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN EN UN MOVIMIENTO CURVILINEO 

ACELERACIÓN TANGENCIAL

Es una componente de la aceleración y mide como cambia la rapidez con relación al tiempo, su dirección es tangente a la trayectoria, en la misma dirección de la velocidad si el movimiento es acelerado y contrario a la velocidad si el movimiento es desacelerado. 





d v d2 r a  dt dt 2



ACELERACIÓN CENTRÍPETA

Es una componente de la aceleración y se encarga del cambio en la dirección de la velocidad, por lo tanto cualquier movimiento curvilíneo presentara esta aceleración. Vamos a cuantificar la magnitud de la aceleración centrípeta, para eso partimos de dos instantes muy cercanos en su trayectoria. Por semejanza podemos afirmar que: v2

v1 R

S  R

v S  v R

v vS  t Rt En el límite cuando t  0 , tenemos:

Pero amedia 

v v S v 2  lim  t 0 t R t 0 t R

a  lim

O en función de , a  R  , es necesario tener en cuenta que R es radio de curvatura, que en 2

general puede ser variable si se trata de una curva diferente a la circunferencia.

23

CINEMÁTICA

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Este movimiento describe una línea recta y con velocidad constante, es decir, el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. v es positiva si el móvil se dirige hacia la derecha y negativa si el móvil se dirige hacia la izquierda.

x  xO  vt v

x

O

xO v x

O

xO

En el primer caso, el móvil parte de una posición positiva, es decir a la derecha del origen del sistema de referencia y se dirige hacia la izquierda, es decir con velocidad negativa. En el segundo caso el móvil parte de una posición positiva y se dirige hacia la derecha, es decir con velocidad positiva.

GRAFICAS x–t Y v–t DE UN MRU

x

x

v

t

v0

t

v0

La primera grafica x–t, representa un movimiento que se inicia a la derecha del sistema de referencia y con velocidad negativa. La segunda grafica x–t, representa un movimiento que se inicia a la izquierda del sistema de referencia y con velocidad positiva. La tercera grafica v–t, representa un movimiento con velocidad negativa. La cuarta grafica v–t, representa un movimiento con velocidad positiva.

24

CINEMÁTICA

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Este movimiento es en línea recta y con aceleración constante, es decir, el móvil varia uniformemente su velocidad ya sea aumentando o disminuyendo, dependiendo si el sistema esta acelerado o desacelerado. En este caso el móvil recorre espacios desiguales en tiempos iguales. Se debe hacer notar que la condición para que un movimiento sea acelerado o desacelerado, es comparando los signos de la velocidad y la aceleración. Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo estamos en un movimiento acelerado (la rapidez crece uniformemente) y si tienen direcciones opuestas, estamos en un movimiento desacelerado (la rapidez decrece uniformemente). Por lo anterior, la aceleración sola no brinda suficiente información sobre como se esta desarrollando el movimiento.

1 x  xO  vO t  at 2 2

v  vO  at

y

vo O

x

xO

GRAFICAS x–t , v–t y a–t DE UN MRUV

x

v

a

t

x

t

v

a

t





t

t

t

Las graficas de posición versus tiempo son parábolas, pues provienen matemáticamente de una cuadrática. Parábola hacia abajo indica aceleración negativa y parábola hacia arriba indica aceleración positiva. La grafica v–t (superior) indica un movimiento con velocidad inicial positiva y aceleración negativa, es decir la rapidez disminuirá hasta llegar a cero, luego aumentara negativamente y será un movimiento acelerado.

25

CINEMÁTICA





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La grafica v–t (inferior) indica un movimiento con velocidad inicial negativa y aceleración positiva, es decir la rapidez disminuirá hasta llegar a cero, luego aumentara positivamente y será un movimiento acelerado. El área de una grafica v–t representa el desplazamiento y el área de una grafica a–t representa el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo.

CAÍDA LIBRE Caída libre o lanzamiento de proyectiles en tiro vertical, se considera en este movimiento la única interacción con el campo gravitatorio terrestre, es decir, se desprecia los efectos de la resistencia del aire. Este movimiento es un caso particular de MRUV, es decir un movimiento con aceleración constante.

y  yo  vot  4,9t 2

y

v  vo  9,8 t

y  yo  y  vot  4,9t 2 v=0

tb

ts v1

N.H.R. ts = tb v1 = v2

v2 vo

y

vy

a

t

t

t

Las figuras muestran el comportamiento de las gráficas posición, velocidad y aceleración en función del tiempo para una caída libre.

26

CINEMÁTICA

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MOVIMIENTO PARABÓLICO Es el caso general de movimiento de proyectiles, se comunica al móvil una velocidad inicial v0 que forma un ángulo 0 por encima (o por debajo) de la horizontal. El movimiento del objeto será la combinación de dos movimientos; en la dirección horizontal un MRU. y en dirección vertical un MRUV tal como se observa en la figura.

M R U V

y  yO  vOY t  4,9 g t 2

y

x  xO  vOX t

y

vY  vOY  9,8 t Vx0 Vy

V Vx0

V0

Vx0

Vy0

–Vy

H

V

y 0 Vx0

M.R.U. x

x R

Restricciones del Movimiento Parabólico.  

La rapidez inicial de lanzamiento debe ser baja, de tal manera que el rozamiento del aire sea despreciable. Es un movimiento libre de interacciones, la única fuerza presente es la gravitatoria.

Particularidades del Movimiento Parabólico.  

El máximo alcance horizontal se logra si, el ángulo de lanzamiento es de 45º. Dos tiros parabólicos tienen el mismo alcance horizontal, si cumplen dos condiciones al mismo tiempo: 1. La rapidez inicial de ambos es la misma. 2. Los ángulos de lanzamiento son complementarios. vOA = vOB y  +  = 90º vOA D

vOB D   D

27

CINEMÁTICA

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Empezaremos por definir lo siguiente: 

Periodo. Es el tiempo que se demora una partícula en realizar una vuelta completa. Si una partícula ha dado n vueltas el periodo se calcula por: tiempototal númerode vueltas

T

Su unidad en el SI es el segundo (s). 

Frecuencia. Es el número de vueltas por unidad de tiempo. Si una partícula ha dado n vueltas en un tiempo t, la frecuencia se calcula por: f 

numerode vueltas tiempototal

Su unidad en el SI es el s–1, que se denomina hertz. 

Velocidad angular. Es una cantidad vectorial que mide como cambia la posición angular con respecto al tiempo. La dirección de este vector, por convención, es perpendicular al plano del movimiento y con ayuda de la mano derecha se puede determinar su dirección.



 2  t T

Su unidad en el SI es rad/s. En general, se dice que un móvil realiza un movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferencia. El movimiento es circular uniforme, cuando en iguales intervalos de tiempo (t), los ángulos centrales descritos () y las distancias recorridas correspondientes (S) son iguales.

  O   t

R t

S

s  sO  vt

ó



 t



S

t

S

Como se puede observar en la figura el vector velocidad está cambiando en dirección, por lo tanto experimenta aceleración, aceleración centrípeta específicamente. 28

CINEMÁTICA



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Relación entre la rapidez y el modulo de la velocidad angular. Como sabemos S  R y la rapidez se define como:

v 

S ( R)   R  R t t t

Relación entre la aceleración centrípeta y las magnitudes de las velocidades.

a

v2  R2 R

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) En general, se dice que un móvil realiza un movimiento circular, cuando la trayectoria que describe es una circunferencia. El movimiento es circular uniformemente variado, cuando en iguales intervalos de tiempo (t), los ángulos centrales descritos () y las distancias recorridas correspondientes (S) no son iguales.

1 2    O  t

   O  Ot   t 2

ó

ó

1 s  sO  vO t  at 2 2 v  vO  at

Estrategia para resolver problemas de cinemática Para resolver problemas de cinemática debemos tener en cuenta las siguientes recomendaciones:   

Elegir un sistema de referencia. Plantear las ecuaciones de posición para cada móvil. Establecer las condiciones del problema a resolver.

29

CINEMÁTICA

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PROBLEMAS RESUELTOS – CINEMATICA 1. Un automóvil marcha a 100 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo empleará el automóvil en pasar a un tren de 40 m de largo que marcha a 60 km/h en la misma dirección. Solución:

O

O Automóvil Tren 40 m

O representa el origen de coordenadas de nuestro sistema de referencia elegido. La posición para el automóvil es: xA = 100 t La posición para el tren xT = 40x10–3 + 60 t Como se podrá notar, el automóvil pasara al tren en las posiciones iguales. –

t

xA = xT

40  103  103 h  3,6 s 100  60

tAB = 3,6 s

2. Un móvil recorre entre dos árboles, la distancia de 60 m. Al pasar por el primer árbol, su rapidez era de 12 m/s; y al pasar por el segundo árbol, su rapidez era de 18 m/s. Encuentre su aceleración y el tiempo transcurrido en recorrer de un árbol al otro árbol. Solución: Aplicando el concepto de aceleración a 

v f v o t



18  12 6  t t x  vO t 

Ahora usamos la relación de desplazamiento: x = 60 m, vo = 12 m/s 1 2 1 at  12t  6t  15t 2 2 t  4 segundos 60  12t 

Reemplazando en la primera relación se obtiene:

a  1,5 m / s 2 30

1 2 at 2

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3. Un automóvil parte del reposo a lo largo de una trayectoria horizontal de tal forma que en un primer tramo acelera con 5 m/s2. y en un segundo tramo desacelera con 10 m/s2. hasta quedar finalmente en reposo. Si el tiempo total de recorrido es de 30 segundos. Calcule la distancia, en metros, que recorrió el automóvil. Solución:

d1

d2

vA = 0

vB = v tBC = 30 – t

tAB = t aAB = 5 m/s

2

aBC = –10 m/s2

TRAMO AB vB = vA + aABtAB vB = 5t

(1)

TRAMO BC VC = VB + aBCtBC 0 = vB – 10(30 – t)

(2)

Reemplazando (1) en (2): 5t = 300 – 10t t = 20 s.  tAB = 20 s y tBC = 10 s. vB = 100 m/s

d1 

2 a AB t AB 5(202 )   1 000 m 2 2

d 2  vBt BC 

vC = 0

2 aBC t BC 10(102 )  100.10   500 m 2 2

dT  d1  d 2  1500 m

31

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4. Una persona se encuentra en el punto medio de la distancia que separa a dos grandes superficies planas verticales y se pone en movimiento hacia una de ellas con una velocidad constante de magnitud 10 m/s en el preciso instante que se emite un grito. Calcule la distancia, en metros, de separación entre dichos planos sabiendo que la persona escucha los ecos del grito con un intervalo de tiempo de 0,25 s (vSONIDO EN EL AIRE = 340 m/s)

x1 x2 Solución: Con el sonido hacia la derecha. d – x1 = vSt1 ......(1) Con el sonido hacia la izquierda. d + x2 = vSt2 ......(2) Con la persona se obtienen las siguientes ecuaciones. x1 = vPt1 ......(3) x2 = vpt2 ......(4) (2) – (1)

x2 + x1 = vs(t2 – t1)

(4) – (3)

x2 – x1 = vp(t2 – t1)

x2 

(vS  v P )(t 2  t1 ) ......(5) 2

(5) en (2) y obtenemos: d  x2 

vS v x2  d  x2 ( S  1) vP vP

d

(vS  v P )(t 2  t1 )(vS  v P ) (vS2  v P2 )(t 2  t1 )  2v P 2v P

d

(3402  102 )(0,25)  1443,75 m 2(10)

32

CINEMÁTICA

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5. Una avispa revolotea alrededor de un girasol haciendo el recorrido mostrado en la figura.

a.

b.

3m

¿Qué velocidad media tenía entre los puntos A y C, si se tarda 10 s en ese recorrido?. Si en "O", su velocidad es 10 m/s, y al pasar por D lo hace con 5 m/s (en sentido a E); ¿cuál era la aceleración

1m

5m 2m

media, en m/s2, que tenía entre esos puntos, si se demora 40 s entre ese tramo?.

1m 4m

Solución: a.

Considerando que el origen está en “0” y que las curvas son arcos de circunferencia, se pueden ubicar los puntos A y C: A = (6 ;–2 ) m, C = (3 ;–3 ) m. La definición de velocidad media es: 

vm







r2  r1  t 2  t1

(1)



Donde r 1 y r 2 son los vectores de posición inicial y final, respectivamente, y están dados por 



Ay C. Reemplazando los datos: r 1 = (6;–2) m, r 2 = (3;–3) m, t2 – t1 = 10 s, en la ec (1). 

Se obtiene que: v m = (–0,3 iˆ +– 0,1 ˆj ) m/s, es la velocidad media en ese tramo. b. Para hallar la aceleración media, se usa una definición similar: 



v 2  v1 am  t 2  t1





(2) 

Reemplazando los datos: v 1 = 10 m/s iˆ , v 2 = 5 m/s ˆj , t2 – t1 = 40 s, en la ec. (2): 

Se encontrará que:

a m = –0,25 m/s2 iˆ + 0,125 m/s2 ˆj , es la aceleración media en ese

tramo. Las direcciones se deducen del hecho que la velocidad es tangente a la trayectoria.

33

CINEMÁTICA

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6. Un punto material se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la ecuación x = t3 – 11t2 + 30t. Donde x se mide en metros y t en segundos. Calcule: a. La posición instantánea del móvil cuando t = 3 s y cuando t = 10 s. b. El valor de la velocidad instantánea en los instantes cuando la posición instantánea es igual a cero. c. El valor de la aceleración instantánea en los instantes cuando la velocidad instantánea es igual a cero. Solución: a. Se nos pide evaluar la posición del punto cuando el tiempo es 3 s y 10 s. x(t) = t3 – 11t2 + 30t

x(3) = (3)3 – 11(3)2 + 30(3) = 18 m x(10) = (10)3 – 11(10)2 + 30(10) = 200 m

b. La velocidad instantánea del punto material la obtenemos aplicando la derivada temporal a la posición. dx(t ) v(t )   v(t )  3t 2  22t  30 dt Hallamos los valores del tiempo en que la posición del punto se hace cero. x(t) = 0  t3 – 11t2 + 30t = 0

t(t2 – 11t + 30) = 0  t(t – 5)(t – 6) = 0

De la ecuación anterior obtenemos los valores buscados de t.  t = 0 s , t = 5 s , t = 6 s. v(5) = 3(5)2 – 22(5) + 30 = –5 m/s

v(0) = 30 m/s v(6) = 3(6)2 – 22(6) + 30 = 6 m/s

c. La aceleración instantánea del punto material la obtenemos aplicando la derivada temporal a la velocidad.

a(t ) 

dv(t )  a(t )  6 t  22 dt

Hallamos los valores del tiempo en que la velocidad del punto se hace cero. v(t) = 0  3t2 – 22t + 30 = 0 3t2 – 22t + 30 = 0  t  t

22  (22) 2  4(3)(30) 2(3)

11  31 t = 1,8 s y t = 5,5 s. 3

a (1,8) = 6(1,8) – 22 = –11.2 m/s2

a (5,5) 34

=

6(5,5)

–

22

=

11

m/s2.

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7. Un punto material se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la ecuación: x(t) = t3/3 – 5t2/2 + 6t, donde x se mide en metros y t en segundos. Halle: a. El valor de la posición instantánea en los instantes donde la velocidad instantánea es igual a cero. b. El desplazamiento para t = 10 s. Solución: a.

Hallamos la velocidad y obtenemos los valores de t para la cual la velocidad se hace cero (0).

v(t) = t2 –5t + 6  t2 –5t + 6 = 0  t = 2 s y t = 3 s. Luego evaluamos la posición para estos valores de t hallados. x(2) = 8/3 – 10 + 12 = 14/3 m = 4,7 m. x(3) = 9 – 45/2 + 18 = 9/2 m = 4,5 m. b.

El desplazamiento lo obtenemos evaluando la posición de t = 0 s a t = 10 s.

x = x(10) – x(0) = 143,3 – 0 = 143,3 m. 8. Un trabajador parte de su casa todos los días a la misma hora y realiza un movimiento uniforme, llegando a su destino a las 10:15 a.m. Si duplicara su velocidad llegaría a las 9:45 a.m. ¿A qué hora parte de su casa?. Solución: Como en ambos casos se trata de movimientos rectilíneos uniformes, debe aplicarse: x = vt (1) La hora de partida (instante inicial) to y el desplazamiento x, se mantienen en ambos viajes. Lo que cambia es la velocidad: “v” y “2v” (vea figuras 1.a y 1.b), en el primer y segundo caso respectivamente, y la hora de llegada (instante final): t en el primer viaje y t’ en el segundo viaje. Entonces, si se emplea la ec. (1) a cada caso, se obtiene: Primer viaje:

x = vt

(1a)

Segundo viaje:

x = 2v (t –30)

(1b)

Figura 1.a

Figura 1.b

Como en ambos casos recorre lo mismo v t = 2v (t –30) v t = 2v (t –30)

t = 60 minutos

Si llega a las 10:15, en la ec. (1a), se halla que t = 9:15 a.m. es la hora a la que parte de su casa. 35

CINEMÁTICA

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9. Un ratón corre en un bosque a la rapidez v = 9 m/s, en su camino se cruza con un gato montés que en ese instante estaba en reposo. El último inmediatamente arranca persiguiendo al roedor y aumentando su rapidez a razón de 0,15 m/s2. Entonces, calcule: el tiempo que demora el felino en alcanzar a su presa y el desplazamiento que realiza cada uno. Solución: El ratón se mueve a velocidad constante, y el gato con aceleración constante. Como parten del mismo punto y llegan al mismo punto, sus desplazamientos deben coincidir. Además son movimientos simultáneos por lo que tardan el mismo tiempo en recorrer ese tramo. Las ecuaciones que les corresponden serían: Ratón: Gato:

x=vt x = vot + ½ at2 = ½ at2

(1) (2)

Se ha tenido en cuenta que el felino parte del reposo por lo cual v o = 0. Igualando las partes derechas de las ecuaciones (1) y (2): v t = ½ at2 (3) y reemplazando los datos: v = 9 m/s, a = 0,15 m/s2, Se obtiene que: t = 0 (solución trivial, cuando se encuentran por primera vez) t = 120 s es el tiempo que tarda el gato montés en atrapar a su presa. Para encontrar el desplazamiento, se puede usar el resultado hallado del tiempo en la ec. (1) o (2) y obtener que: x = 1 080 m es el desplazamiento que realiza cada uno. 10. Se lanza verticalmente hacia arriba una bola, a partir de la orilla de un edificio, a una rapidez de 14,7 m/s. ¿Dónde se encontrara el objeto 2 s después de haber sido lanzado?, ¿Estará subiendo o bajando en ese momento?. Solución: El movimiento de caída libre es un tipo particular de un MRUV, con la característica de que su  ˆ aceleración es siempre: g = –9,8 m/s2 j (aceleración hacia abajo).

Entonces las ecuaciones que deben usarse son las mismas que para cualquier MRUV. La relación que debe usarse es: y = vot – ½ g t2 (1) En donde se ha tomado el punto de lanzamiento como punto de referencia; todos los desplazamientos se medirán entonces a partir de ese punto. Si se emplean los datos: vo = 14,7 m/s, t = 2 s, en la ec. (1) Se obtiene que: y = 9,8 m es la posición de la bola y como el signo es positivo, está por encima del punto de lanzamiento. Para responder a la interrogante de si está subiendo o bajando en ese momento, se puede calcular su velocidad: v = vo – 9,8t (2) Si se usa los datos anteriores, se encuentra que: v = –4,9 m/s. El signo negativo de la velocidad, indica que el cuerpo está bajando.

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11. Un objeto es lanzado hacia abajo con una rapidez inicial de 4,9 m/s y tarda un segundo en recorrer los últimos 19,6 m de su trayectoria vertical. Determine la altura desde la cual fue lanzado. Solución: Analizamos el tramo BC.(sistema de referencia en B) A

yBC = VBtBC + ½ gt2BC –19,6 = VB – 4,9  VB = –14,7 m/s

h Ahora se analiza el tramo AB.(sistema de referencia en A) H

B 20 m

C

VB = VA –9,8 tAB –14,7 = –4,9 –9,8 tAB 2 yAB = vAtAB + ½ gt AB tAB = 1 segundo 2 –h = –4,9x1 – 4,9x1 = –9,8  h = 9,8 m Entonces la altura H desde donde fue el lanzamiento es: H = (19,6 + 9,8) m H = 29,4 m

12. En un proceso de manufactura, los bloques de material están sobre una correa transportadora que se desplaza a 24 cm/s, caen sobre otra correa situada 75 cm debajo. Halle: a) Si el proceso requiere que un bloque de la correa superior caiga sobre la correa inferior y que siempre se encuentre un solo bloque en el 24 cm/s aire, ¿Que espacio debe haber entre los bloques de la correa superior? 75 cm b) Si los bloques se encuentran a 22,5 cm de distancia en la correa inferior ¿Cuál es la rapidez requerida en la correa inferior? Solución: Hallamos el tiempo que demora un bloque en pasar de la faja superior a la faja inferior. Aplicamos y  voyt  4,9t 2 entonces – 0,75= – 4,9 t2

de donde t = 0,39 s.

a) La faja superior debe tener entre bloque y bloque un espacio de x = vt, sabiendo que la faja se mueve con MRU y con una rapidez de 0,24 m/s. Obtenemos: x = (0,24)(0,39)= 0,094 m. b) En la faja inferior cae un bloque cada 0,39 s, por lo tanto si están separados 0,225 m, la rapidez de la faja debe ser: v

x 0,225   0,58 m / s t 0,39

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CINEMÁTICA

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13. Una piedra se deja caer a un pozo. El sonido del choque de la piedra con el agua se escucha 7,48 s después. La rapidez del sonido en el aire es 340 m/s. a) Calcule a que profundidad esta el agua. b) Se lanza una segunda piedra al pozo. El sonido del choque de este pozo con el agua se oye 14,25 s después. Encuentre su rapidez inicial. Solución:

NR a) Con la piedra en caída libre  H  4,9t12

H

(1)

Con el sonido tenemos un MRU

H  340t2

(2)

Combinando (1) y (2) tenemos:

t12  69,39t 2

Según el problema t 1  t 2  7,48 s (4) en (3) y obtenemos:

(4)

t12  69,39 (7,48  t1 )

t12  69,39 t1  519,04  0

De donde se obtiene la ecuación cuadrática

t1 

(3)

 69,39  69,39 2  (4)(1)( 519,04)  69,39  83,01   6,81s (2)(1) (2)(1)

Reemplazando en (4) obtenemos t 2  0,67 s Para calcular H, hacemos uso de (1): H  4,9x6,812  227,24 m.

b) Si el sonido se escucho 14,25 s después, podemos deducir que el tiempo de caída libre es: t = 14,25 – 0,67 = 13,58 s Con este dato, aplicamos a la ecuación de posición en caída libre:  227,24  voy (13,58)  4,9x13,582

De donde voy  49,8 ˆj m / s.

38

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14. A 78,4 m sobre el suelo, se suelta una piedra. Si falta 1 s para que impacte contra el suelo, ¿Cuál es la distancia que separa al cuerpo del suelo? Solución: Primero se calcula el tiempo que tardaría la piedra en recorrer los 78,4 m: y = vot –½ g t2 = –½ g t2

(1)

Reemplazando los datos: g = 9,8 m/s2, y = –78,4 m (desplazamiento hacia abajo) Se halla que: t = 4 s. Luego, se encuentra el desplazamiento que recorre el cuerpo en el tiempo t’ = 3 s. y’ = –½ g t’2 Se obtiene que:

y’ = –44,1 m

La distancia buscada se calcula restando los desplazamientos: d =  y – y’ Se halla que: d = 34,3 m es la distancia que separa a la piedra del suelo. 15. Una bala es disparada, desde el punto A con una rapidez inicial de 100 m/s haciendo un ángulo de 60 º con la horizontal, determine: a) La altura máxima alcanzada por el proyectil. b) Su alcance horizontal.

vo A

60 º

50 m

Solución:

x

a) Obtenemos HMAX cuando la velocidad en y, es igual a cero. Usamos v y  v o  9,8t 0 = vO.sen60º – 9,8 t

t

VO sen 60º 100 3   8,84 s. 9,8 2(9,8)

y  vOY t  4,9 t 2 y  H MAX  50  (

100 3 )(8.,84)  (4,9)(8,84)2 2

H MAX  432,65m El movimiento horizontal es MRU entonces usamos para el alcance horizontal x = vXt  x = vOcos60º tV (1) Hallamos el tiempo de vuelo de la bala. y  v oy t V  4,9 t 2V  50  100sen 60º t V  4,9 t 2V  50 3 t V - 4,9 t 2V

tV = 18,234 s. Reemplazamos en (1) y obtenemos D.  D = 50x18,234 = 911,7 m

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16. Una partícula es lanzada con cierta velocidad vO desde el punto P = (–2, 3) y al cabo de 2 segundos 

alcanza la velocidad v = (12 iˆ + 8 ˆj ) m/s; Si su aceleración es – 9,8 ˆj m/s2. Determine: a. Su velocidad inicial vO. b. El tiempo que demora en llegar a tierra (eje x es la superficie horizontal). c. La velocidad con la cual llega a tierra. Solución: 

a.

Tenemos r (0) = (–2, 3) m ; y en 2 segundos alcanza una velocidad de →

v

→

(2)

= (12 ˆi + 8 ˆj ) m/s y a 

→

 v

→

(2)

- 9,8 ˆj m / s 2 →

→

= (12 ˆi + 8 ˆj ) = v O + a t = v O – 9,8(2) ˆj

→

 v O = (12 ˆi + 27,6 ˆj ) m/s. b.

Encontremos el tiempo que tarda la partícula en llegar a tierra, para lo cual conocemos la velocidad inicial voY = 27,6 m/s, la altura desde donde fue lanzada 3 m y la gravedad g = 9,8 m/s2: y

→

v

O=

Analizamos el movimiento en el eje Y 0 = 3 + 27,6 t – 4,9 t2

12 ˆi + 27,6 ˆj

4,9 t2 – 27,6 t –3 = 0

t=

27,6 ± 27,6 2 + (4)(4,9)(3) 2(4,9)

3m t = 5,739 s x 2m

c.

Ahora calculemos la velocidad con que llega a tierra.  

La velocidad en el eje x es constante y es 12 m/s. La velocidad en el eje y varia por efecto de la aceleración de la gravedad y esta gobernada por la ecuación siguiente:

vY = voY – 9,8t  VY = 27,6 –(9,8)(5,739) = –29 m/s  VY = –28,64 m/s Por lo tanto la expresión vectorial para la velocidad en el momento que la partícula llega a tierra es: 





v  12ˆi - 28,64ˆj m / s

40

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17. Dos pelotas son lanzadas simultáneamente desde los puntos A y B con las direcciones que se indican en la figura y sabiendo que vA = 20 m/s; y que se chocan en el punto P en el aire, determine la velocidad en dicho punto de la pelota desde B. vB 30º

h

B

vA 10 m 60º A 40 m x

Solución:

Analizando la partícula A y B en el movimiento horizontal, (sistema de referencia en A): (A)

xA = vAcos60ºt = 10 t...........

(1)

(B)

xB = 40 – vOBcos30ºt ..........

(2)

(1) = (2)  40 = 10t +

3 3 vOBt = t( 10 + VOB)..... 2 2

(*)

Analizando la partícula A y B en el movimiento vertical, se obtiene lo siguiente: (A)

yA = vAsen60ºt – 4,9t2 ..

(B)

yB = 10 + vOBsen30ºt – 4,9t2......

(3) = (4)  10 = 10 3 t –

(3) (4)

1 1 vOBt = t( 10 3 – vOB).. 2 2

(**)

3 VOB ) (20  3VOB ) 2 (*) / (**)  4 =  1 (10 3  VOB (20 3  VOB ) 2 (10 

80 3 – 4VOB = 20 +

 vOB 

3 vOB  80 3  20  (4  3 )VOB

80 3  20 = 20,7 m/s 4 3

Si hallamos el tiempo en este tramo se obtiene t = 1,433 segundos. Esto lo usamos para hallar la velocidad de B en el momento del impacto. 

vB  vOB cos 30º iˆ  (vOB  9,8t ) ˆj 

vB   17,91iˆ  6,64 ˆj m / s 41

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18. Ud. golpea una pelota de golf lanzándola con una velocidad de 15 m/s, y formando un ángulo  (tg= 3/4) con la dirección horizontal. Encuentre las componentes horizontal y vertical de: (Tome como sistema de referencia el punto de lanzamiento) a. La velocidad inicial. b. La velocidad a los 2 s. c. La posición a los 2 s. Solución: a. Las componentes de la velocidad inicial se encuentran por trigonometría. En la figura, vo es la hipotenusa, y vox y voy son los catetos. vox = vo cos voy = vo sen

(1) (2)

Reemplazando los datos: vo = 15 m/s, tg = ¾, en las relaciones (1) y (2) Se halla que: vox = 12 m/s, voy = 9 m/s, son las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. b. recuerde que en el eje horizontal (x), la velocidad es constante, y por lo tanto: vx = vox = vo cos Para hallar la componente vertical de la velocidad, se puede aplicar la ec. de caída libre: vy = voy – gt

(3)

Donde voy es la componente vertical de la velocidad, que ya se halló antes. Reemplazando éste y los otros datos: g = 9,8 m/s2, t = 2 s, en la ec. (3). Se encuentra que: vx = 12 m/s, vy = –10,6 m/s, son las componentes horizontal y vertical de la velocidad a los dos segundos. c.

La componente horizontal del movimiento es un MRU, por lo que se calcula con: x = vx t

(4)

y la componente vertical se comporta como un MRUV, en la que se usa: y = voyt –½ g t2 (5) Empleando los datos anteriores, en las ec. (4) y (5) se obtiene que: x = 24 m, y = –1,6 m, son las componentes horizontal y vertical de la posición a los dos segundos. Finalmente se puede expresar las respuestas en forma vectorial: 

v O = 12 m/s iˆ + 9 m/s ˆj ,

Velocidad inicial: 

Velocidad a los 2 s:

v = 12 m/s iˆ – 10,6 m/s ˆj , 

Posición a los 2 s:

r = 24 m iˆ – 1,6 m ˆj .

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19. Un bloque se desplaza a 80 cm/s y cae al borde de una mesa de 78,4 cm de altura. a. ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo?, ¿A qué distancia del pie de la mesa la bola choca contra el suelo?. b. ¿Cuál es la velocidad con que impacta contra el piso?. Solución: a. Primero se analiza el movimiento vertical, como es de caída libre, se puede aplicar: y = voyt –½ g t2 = –½ g t2 (1) Al inicio la velocidad solo tiene la componente horizontal, por lo cual v yo=0. Reemplazando los datos: g = 9,8 m/s2, y = –0,784 m en la ec. (1), Se obtiene que: t = 0,4 s es el tiempo que tarda en caer al suelo. Luego, se puede encontrar el desplazamiento horizontal: x = vxo t = vo t

(2)

Donde vxo = vo = 0,80 m/s, puesto que la componente horizontal se mantiene constante. Se encuentra que: x = 0,32 m es la distancia al pie de la mesa a la que impacta el bloque con el piso. b. La componente horizontal de la velocidad es la velocidad inicial: vx = vo, La componente vertical de la velocidad, se calcula con: vy = voy – gt Reemplazando los datos se obtiene que: vx = 0,80 m/s, vy = –3,92 m/s. Para encontrar el módulo de la velocidad, se puede aplicar el teorema de Pitágoras: v 

vx 2 

vy2

Encontrando que: v = 4,00 m/s, es la velocidad a la que impacta contra el piso. 20. Una rueda de diámetro 0,8 m, gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. Una mancha ubicada en la parte externa, se mueve a la velocidad de 12 m/s. Resuelva: a. ¿Cuál es la velocidad angular con que gira?. b. ¿Qué aceleración centrípeta sufre la mancha?. Solución: La velocidad de 12 m/s es lo que comúnmente se denomina como velocidad tangencial. Hay una relación directamente proporcional entre las velocidades lineal y angular, y es: v = R (1) Usando los datos: v = 12 m/s, R = 0,8 m/2 = 0,4 m, en la ec. (1). Se encuentra que:  = 30 rad/s, es la velocidad angular a la que gira la rueda. La aceleración centrípeta se determina con la ec.:

ac = v2/R

Usando los mismos datos anteriores en la ec. (2), se halla que: centrípeta que sufre la mancha.

43

(2) ac = 360 m/s2, es la aceleración

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21. Un cascarón esférico de 2 m de diámetro gira con una velocidad angular constante de 30 rad/s, respecto de un eje vertical fijo que pasa por su centro. Halle la máxima velocidad de la bala, tal que pase por el centro del cascarón haciendo un solo agujero. Solución: La bala se moverá en línea recta, con velocidad constante (se desprecia los efectos de la gravedad). Se aplica entonces: x = vt

(1)

Simultáneamente, el cascarón está girando a velocidad angular constante, por lo que se usa: = t

(2)

Para que se cumpla la condición mencionada, debe ocurrir que cuando el cascarón gira media vuelta, la bala deberá recorrer un diámetro. Dividiendo (1) entre (2) se obtiene:

Reemplazando los datos:

x v   

(3)

 = 30 rad/s, x = 2 m,  =  rad, en la ec. (10c).

Hay otras velocidades que también cumplirían la condición, por ejemplo, que la bala recorra un diámetro cuando el cascarón gire 1½ vuelta, 2½ vuelta, 3½ vuelta, etc. pero serían menores. Se halla que: v = 60 m/s, es la máxima velocidad de la bala tal que pase por el centro del cascarón haciendo un solo agujero. 22. Un disco horizontal gira con una velocidad angular constante de 2 rad/s. una persona deja caer un pequeño cuerpo sobre un punto “P” del disco. ¿Cuál es la mínima altura desde la cual se debe dejar caer el cuerpo para que al llegar al disco lo haga justamente sobre el punto “P”?

H P

Solución: El tiempo que el disco demora en dar una vuelta completa (periodo) es igual al tiempo que usa el cuerpo en caer. Calculamos el periodo:

T=

2



; por dato   2 rad/s  T = 1 s

Ahora podemos calcular la altura para este tiempo. 1 1 –H = – gt 2   (9,8)(1) 2  4,9m 2 2

Por lo tanto la altura pedida es: H= 4,9 m

44

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23. Un disco acelera a razón de 4 rad/s2. si emplea un tiempo “t” en dar la tercera parte del número de vueltas dadas. ¿Cuál debe ser la velocidad angular inicial para que las dos terceras partes restantes lo haga también en un tiempo “t”. Solución: Teniendo en cuenta que el porcentaje de vueltas es igual al porcentaje del ángulo recorrido. Para la tercera parte se uso un tiempo t, entonces obtenemos la ecuación siguiente:

 3

 O t 

1 2 t 2

.........(1)

Para recorrer las dos terceras partes restantes también se uso un tiempo t, entonces para todo el recorrido se uso un tiempo total 2t.

1 2

   O (2t )   (2t ) 2 De (1) y (2) se tiene: 3O t 

.........(2)

3 2 t  2O t  2t 2 2



O  2 t

24. Una partícula parte del reposo con MCUV y al finalizar el cuarto segundo habrá dado 8 vueltas. Halle su velocidad angular en ese instante. Solución: Datos

O  0 f ?   2n  2 (8)  16 t  4s Hallamos la aceleración de la partícula:

1 1 rad    t 2  16   ( 4 )2    2 2 2 2 s Calculamos la velocidad angular final

 f  t   f  2 (4)  8  f  8

45

rad s

rad s

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25. Dos ruedas parten de un mismo punto en sentidos contrarios con velocidades angulares de 5 rad/s. una mantiene un MCU y la otra un MCUV acelerando a razón de 2 m/s 2. Calcule la suma de los radios de ambas ruedas en metros, sí después de 4 seg. están distanciados 156 m. Solución: MCU

MCUV

rad s 2 a  2m / s

 O  5

 O  5

rad s

R1

R2

d1

d2 d1 + d2 = 156 m t = 4 s

MCU

d1 = v1t = R1wOt

(1)

1 2 1 at = R2wOt + at 2 2 2 1 2 (1) + (2)  d1 + d2 = R1wOt + R2wOt + at = 156 2 MCUV

d2 = v2t +

(2)

 156 = wOt ( R1 + R2 ) + ½ (2)(4)2 = 5(4) ( R1 + R2 ) + 16  156 – 16 = 20 ( R1 + R2 ) 

( R1 + R2 ) = 7/

26. En una pista circular se corre una carrera de persecución individual, para lo cual la partida de dos ciclistas se hace en puntos diametralmente opuestos, uno en persecución del otro. Si un ciclista en los entrenamientos comprobó que daba 7 vueltas por un minuto y el otro 8 vueltas por minuto. ¿Cuánto tiempo después de la partida el segundo alcanza al primero? Solución:

Vemos que se trata de un MCU. El ángulo de separación es de  rad y tenemos como dato la frecuencia de los dos ciclistas. fA = 8 rev/min fB = 7 rev/min

S =  A

 A  2 (8)  16 rad/min

B

 B  2 (7)  14 rad/min Calculamos el tiempo de alcance: tA 

46

S    0,5 min  A  B 2(8  7)

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27. Un cilindro, cuyo parte interior es vacía, comienza a girar con MCUV alrededor de su propio eje, en el preciso instante que se suelta un cuerpo desde una altura conveniente para que pase por un agujero (En la base superior) situado justamente en la proyección del punto en el momento de ser soltada, en un tiempo mínimo. Determine la altura mínima que deberá tener el cilindro para que le cuerpo pase por otro agujero, situado en la misma vertical que el anterior, sabiendo que cuando el cuerpo estuvo dentro del cilindro transcurrió 1 seg.

A

B

Solución: Hmin TRAMO AB

Cuerpo: VB = gt1

(1) C

Cilindro: 2 =

1 t12 (2) 2

 B  t1

(3)

TRAMO BC Cuerpo: H min  V B t 2 

1 2 gt 2 (4) 2

Cilindro: 2   B t 2 

1 2  t 2 (5) 2

1 2 1 t1  t1    Simplificando  se tiene: 2 2 t12  2t1  1  0  t1  1  2 t1  1  2 ...(6) y (6) en (4) : H min  g (1 

2) 

g 2

H min  5(3  2 2 ) m

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PROBLEMAS PROPUESTOS – CINEMATICA (considere que la rapidez del sonido es 340 1. El movimiento de un cuerpo obedece a la m/s.) ecuación siguiente: x  12  5t Indica el Rpta. 1 750 m. tipo de movimiento del cuerpo y realiza un esquema de su trayectoria. 6. Un tren se tarda 120 s para atravesar un ¿Qué aspecto tendrán las gráficas x/t y v/t? túnel de 1 500 m de longitud, y se demora ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el 20 s en pasar delante de un observador. origen? ¿Cuál es la longitud del tren?. Rpta. 300 m 2. Dado el siguiente esquema 7. En el instante que un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s2 , otro automóvil pasa a su lado con rapidez constante de 10 m/s. Calcular: a) al cabo de cuanto tiempo, el primero vuelve a alcanzar al segundo b) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento el primer auto?

a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados. b) ¿A qué distancia del origen se encuentran? 3. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m para llegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de magnitud 0,3 m/s2. Justo en ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con rapidez constante de 6 m/s.  Haz un dibujo de la situación indicando donde tomas el punto de referencia.  Escribe las ecuaciones del movimiento del pasajero (ecuación de la posición) y del autobús (ecuación de la posición y de la velocidad).  ¿Conseguirá alcanzar el pasajero al autobús?. En caso afirmativo, indica cuando y donde. Interpreta el resultado. Rpta. 35,16 m con el nivel de referencia en la partida del pasajero.

8. Desde una altura de 44,5 m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente hacia abajo un segundo después que se soltó la primera. Las dos llegan al suelo al mismo tiempo. Calcular la rapidez inicial de la segunda piedra. Rpta. 12,45 m/s.

4. Un automóvil marcha a 100 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo empleará el automóvil en pasar a un tren de 400 m de largo que marcha a 60 km/h en la misma dirección. Rpta. 36 s.

9. Dos móviles siguen trayectorias que se cortan formando un ángulo de 106º. Si desde la intersección de las trayectorias se desplazan con velocidades constantes de módulos 40 m/s y 80 m/s, halle la rapidez de un tercer móvil que parte del punto de intersección y se desplaza por la bisectriz de este ángulo, para que en cualquier instante equidiste de los otros dos. Rpta. 100 m/s.

5. Un automóvil se acerca hacia una pared a una velocidad constante de 10 m/s de magnitud. Si en determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s. escucha el eco, calcule a que distancia se encontraba el automóvil cuando el chofer hizo sonar la bocina

10. Un móvil tiene la siguiente ley de movimiento x = 15+24t–3t2, se pide calcular para t = 6 s. a. La posición del móvil. b. El desplazamiento. c. La distancia recorrida. d. La velocidad.

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e. La aceleración.

b. Si el tiempo de reacción es de 3,5 s ¿Cuán rápido viajara cuando golpee al mamífero? Rpta. a. 3 s y b. 7,07 m/s. 16. Un automóvil, al ser probado en una pista circular de 300 m de radio, parte del punto A, como se muestra. a) Trace en la figura, el vector D que representa el desplazamiento del automóvil luego de haber efectuado media vuelta. b) ¿Cuál es la magnitud de este desplazamiento? c) ¿Cuál será la magnitud del desplazamiento del auto después de haber dado una vuelta completa?

2

Rpta. 50 m, 35 m, 61 m, -12 m/s y 6 m/s . 11. Un observador que mira con un solo ojo se encuentra a 30 cm frente a una ventana de 20 cm de ancho, y a 12 m de él pasa un camión con una rapidez constante de 20 m/s. si el observador lo vio durante 1 s, ¿Cuál es la longitud del camión? Rpta. 12 m. 12. Un cuerpo con MRUV acelera a razón de 2 m/s2, de modo que al cabo de tres segundos triplica el valor de su rapidez. ¿Qué espacio recorre en ese tiempo? Rpta. 18 m 13. Se tiene un móvil que se mueve según la ecuación x= –20 + 10t – t2 . Halle para t = 10 s: a) La posición. b) El desplazamiento. c) La distancia recorrida d) Su velocidad. Rpta. –20 m, 0 m, 50 m y –10 m/s.

A

Rpta.

, 600 m, 0 m.

17. De una altura de 80 m se suelta un cuerpo A y un segundo después desde la misma altura se lanza un cuerpo B en la misma dirección del movimiento de A. Hallar con que velocidad se lanzo B si ambas chocan simultáneamente en la superficie de la tierra. Rpta.  11,42 ˆj m / s .

14. Un auto está esperando que cambie la luz de un semáforo. Cuando la luz cambie a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s2, después de lo cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión se mueve en la misma dirección con velocidad constante de 10 m/s y lo pasa ¿En qué tiempo y a qué distancia se encontraran nuevamente el auto y el camión? Rpta. 18 s y 180 m.

18. Los planos inclinados lisos dispuestos en la figura forman entre sí un ángulo de 90°¿Cuál de las partículas llegara primero al vértice O. Si las partículas son soltadas en el mismo instante? Haga su respectiva demostración.

15. Un automovilista viaja a 36 km/h. Cuando ve un mamífero en el camino, a una distancia de 40 m adelante. Si la desaceleración máxima del vehículo es de 5 x

x O 19. Un ascensor desciende con una velocidad v constante y su altura es de 4,9 m (del techo al piso del ascensor). Si del techo se desprende un perno. ¿Cuál debe ser el valor

m/s2. Halle. a. ¿Cuál es el tiempo de reacción máxima del automovilista de tal manera que no llegue a golpear al espécimen?

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de v para que cuando el perno llegue al piso del ascensor, este ha bajado 3,5 m? Rpta. −3,5 ˆj m/s

al motociclista; y el desplazamiento que realiza el camión. Rpta. 2 h y 80 km.

20. Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo observándose que en el tercer segundo de su movimiento se eleva 24,5 m. Determine el tiempo que el cuerpo permanece en el aire. Rpta. 10 s.

26. Un cuerpo que cae libremente recorre durante el último segundo de su caída la mitad del camino total. Halle la altura de la cual el cuerpo se deja caer. Rpta. 57,12 m. 27. Un carrito de demostraciones se mueve a lo largo de una regla con aceleración constante. Cuando el cronómetro marcaba t1 = 7 s, el carrito se encontraba en x1 = 70 cm; en el tiempo t2 = 9 s, x2 = 80 cm; y en el instante t3 = 15 s, x3 = 230 cm ¿Qué aceleración poseía el carrito?

21. Desde el origen xo = 0 parte un cuerpo con velocidad v = 3t, en trayectoria rectilínea. Entonces la distancia recorrida desde 0 hasta 10 s, es. 22. Un cuerpo que cae recorre 24,5 m en el último segundo de su movimiento Suponiendo que el cuerpo partió del reposo, halle la distancia de la cual cayo el cuerpo. Rpta. 44,1 m.

28. Se lanza verticalmente hacia arriba una bola, a partir de la orilla de un edificio, a una velocidad de 25 m/s. ¿Dónde se encontrara el objeto 4 s después de haber sido lanzado?, ¿Estará subiendo o bajando en ese momento?. ¿Dónde se encontrara a los 6 s?. Rpta. y(4)=21,6 m y v(4)=–14,2 m/s bajando y y(6)= –26,4 m.

23. Un piloto de avión se lanza hacia abajo para describir un rizo siguiendo un arco de circunferencia cuyo radio es 300 m. En la parte inferior de la trayectoria, donde su velocidad es de 180 km/h, ¿cuáles son la dirección y el modulo de su aceleración?, ¿cuál es su velocidad angular?.

29. Desde el piso se lanza hacia arriba una piedra, 2 segundos más tarde del mismo punto y con la misma velocidad inicial se lanza también hacia arriba otra piedra que alcanza a la primera después de 4 s. Determine la máxima altura que alcanza la primera piedra. Rpta. 122,5 m

Rpta. ac = 8,33 ˆj m/s2 y  = (1/6) rad/s 24. Dos autos viajan inicialmente a la misma rapidez sobre una carretera recta. El primero lleva una delantera de 100 m al segundo. Este segundo automóvil desarrolla una aceleración de 2,4 m/s2. y la aceleración constante del primero es de 1,8

30. Un auto que se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x con velocidad constante 45 m/s de pronto frena en un stop.

2

m/s . Determine el tiempo necesario para que el segundo auto alcance al primero. Rpta. 18,25 s.

Si la deceleración es de 6 m/s2 y el móvil se detiene. a. ¿Qué tiempo dura el frenado? b. ¿Qué distancia recorre? Rpta. 7,5 s y 168,75 m.

25. Un motociclista avanza por la carretera a la velocidad de 40 km/h, en su camino se cruza con un camión cisterna que está en reposo. El conductor del último inmediatamente arranca el camión persiguiendo al motociclista, aumentando su velocidad a razón de 40 km/h2. Calcule el tiempo que demora el camión en alcanzar

31. Una maceta cae desde una repisa de un edificio de departamentos. Una persona de un departamento inferior que tiene un cronómetro observa que la maceta tarda 50

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CINEMÁTICA

0,1 s en pasar a través de su ventana que tiene 2 m de altura. ¿Qué altura sobre el borde superior de la ventana esta la repisa de la cual cayo la maceta?. 32. Una bola se lanza verticalmente hacia arriba, desde la parte inferior de la ventana de un edificio que se halla a 9,8 m. del suelo. Si la bola permanece en el aire 2 segundos. ¿Qué altura deberá tener la ventana, en metros, para que la bola alcance su punto de máxima altura justamente en la parte superior de la ventana. Rpta. 1,225 m

se encuentran al cabo de 1 minuto y si es hacia la izquierda al cabo de 3 minutos. Halle la aceleración de B en m/s2. Rpta. 1 m/s2. 38. Un automóvil viaja a razón de 25 km/h durante 4 minutos, después a 50 km/h durante 8 minutos y finalmente a 20 km/h durante 2 minutos. Encuentre: a) La distancia total recorrida en km. b) La rapidez media de todo el viaje en m/s. 39. Desde la azotea de un edificio de 100 metros de altura se lanza, un pequeño misil de prueba, con una rapidez de 40 m/s hacia arriba. Calcule: a) El tiempo que llega el misil a la base del edificio. b) La rapidez de impacto con la base del edificio. c) La posición con respecto a la base del edificio después de 8 s de su lanzamiento.

33. Después de saltar de un helicóptero, un paracaidista cae 78,40 m en forma libre, y abre en ese instante el paracaídas, lo cual le produce un retardo en su velocidad de 2 m/s2, llegando al suelo con una velocidad de 1,2 m/s ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire? Rpta. 23 s. 34. Un rifle dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 300 m/s de salida en la boca del arma. Despreciando la fricción con el aire. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bala. Rpta. 4 591,8 m.

40. En el pozo de la figura caen gotas de agua a razón de 1 gota/s. Un objeto asciende a una rapidez constante de 10 m/s, y es alcanzado por una gota cuando esta a una profundidad h = 490 m ¿Cuánto subirá el objeto aproximadamente, en metros, hasta ser alcanzado por la siguiente gota?

35. Halle la velocidad media y la aceleración media entre t = 1s y t = 5s. Para un móvil que se mueve según su ecuación de  posición r  2t 2iˆ  (4t  1) ˆj  t 3kˆ y su

490 m

 velocidad v  4tiˆ  4 ˆj  3t 2 kˆ .

v 36. La ley de movimiento para dos móviles A y B viene dado por: A  x = 4t2 + 5t – 1 B  x = 3t2 + 5t +8 En los cuales x esta en metros y t en segundos. Halle la velocidad de A en el momento en que se cruzan.

Rpta. Subirá 9,1 m. 41. Un globo aerostático asciende con rapidez constante de 10 m/s. Si después de cuatro segundos de haber partido se suelta una piedra del globo. Se pide determine: a) Su posición de la piedra en t = 2 s después de haber sido soltada. b) El tiempo que demora la piedra en llegar a tierra. c) La altura máxima alcanzada por la piedra, con respecto a tierra.

37. Dos móviles, separados 2,7 km parten en el mismo instante de A y B. El de B parte del reposo y con aceleración constante y el de A lo hace con velocidad constante. Si el movimiento de ambos es hacia la derecha, 51

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CINEMÁTICA

d) La velocidad de la piedra cuando impacta con el piso. Rptas: 40,m; 4,05 s; 45,1 m y –29,6 m/s.

desde donde el chofer ve el semáforo. (considere tiempo de reacción media de un conductor 7/10 s) Rpta. 47. La gráfica velocidad (v) versus tiempo (t) que se muestra, representa el movimiento de un objeto con M.R.U.V. Determine: a) La ecuación de su velocidad. b) Su desplazamiento, en metros, para t = 2 s. c) La posición para t = 2 s, si su posición inicial es de –6 m.

42. Se tienen dos cuerpos en la misma línea vertical separados una distancia de 32 m. Los cuerpos son puestos simultáneamente en movimiento, de modo que el de arriba se deja caer, y el de abajo es lanzado hacia arriba con rapidez de 8 m/s. ¿Después de cuánto tiempo los cuerpos se encuentran?. Localice el punto de encuentro. Rpta.

v (m/s) 50 40 30 20 10

43. Un piloto suelta una bomba desde un helicóptero estático en el aire y después de 120 s escucha la detonación. Si la velocidad del sonido es igual a 340 m/s, halle la velocidad de la bomba al tocar tierra. Rpta. –618,5 m/s.

t (s) 1 2 3 4 5 Rpta. v  20 6t , 52 m y 46 m.

44. Un jabalí se mueve de manera no uniforme por el bosque, y tiene entre los instantes de tiempo de 3 s y 12 s, las velocidades de (5ˆi - 3ˆj) m/s y de (3ˆi  5ˆj) m/s. Encuentre:

48. Del gráfico calcule la posición del móvil para t = 5 s. si en t = 3 s el móvil se encontraba en x = +8 m.

a. La aceleración media en ese intervalo de tiempo. b. El desplazamiento, si su velocidad media es (-12ˆi  4ˆj) m/s, en el anterior

v (m/s)

intervalo de tiempo. Rpta.

5

45. En un cierto instante una partícula, que se desplaza a lo largo de una curva tiene una velocidad y una aceleración dada por las

t (s)

–20



relaciones

v  6 ˆi  2 ˆj  27 kˆ

m/s

y

Rpta. x(5) = 0 m.



2 a  2ˆi  18kˆ m/s , determine: a. El radio de curvatura. b. Su aceleración normal y tangencial. 

49. Dos móviles A y B parten desde x0A= 10 m y x0B= – 800 m respectivamente, siendo sus gráficas velocidad – tiempo la que se muestra en la figura. ¿Qué distancia los separa cuando sus velocidades se igualen?



c. El ángulo entre los vectores v y a en dicho instante. Rpta.

v (m/s)

46. Un auto viaja a 20 m/s, cuando ve el semáforo en rojo y aplica los frenos, retardando uniformemente su movimiento a

28

B A

razón de 5 m/s2. Si el auto se detiene justo al lado del semáforo, determine la distancia

53º 52

–12

t (s)

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Rpta. 210 m.

53

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50. La gráfica x vs t, que se muestra describe el desplazamiento de un objeto con respecto a un cierto marco de referencia. Determinar el valor y signo de la mayor velocidad que se presenta a lo largo de todo el movimiento, y además, la velocidad media en el intervalo de tiempo de 4 s a 10 s.

53. Un proyectil es disparado con una rapidez de 20 m/s, bajo un ángulo de 37º con la horizontal, desde un techo de 4 m de altura, tal como se muestra en la figura. Simultáneamente desde el punto B parte un móvil con rapidez constante de 40 m/s. Halle la distancia AB sabiendo que los cuerpos chocan en C.

x (m)

O 37º

50

4m ´O

20

A

9 0 –10

2

4

5

10

11

C

B

t (s)

Rpta. 153,78 m.

Rpta. 30 m/s (de 4 s a 5 s) y – 2,5 s. 54. Con igual rapidez v se lanzan las esferas y al mismo tiempo. Si tan=1/3. Halle ß para que estos choquen. v v

51. Un punto material se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la gráfica mostrada determine: a. El tiempo que tarda en llegar al reposo. b. Si partió de xo = 5 m, determine la posición final del móvil.





v Rpta. 37º.

55. Se lanza un proyectil con una velocidad de (50i + 60 j) m/s. Calcule las componentes de la aceleración en t = 3 segundos de su movimiento.

t

5 –10

Rpta. 5 s y – 20 m. 52. Un punto material se desplaza en movimiento rectilíneo a lo largo del eje x según la gráfica mostrada determine: a. El tiempo que tarda en llegar al reposo. b. La distancia total recorrida hasta quedar en reposo.

56. Al mismo instante se lanzan dos cuerpos A y B con velocidad de igual magnitud. Hallar la distancia X si se sabe que A y B chocan en H/2. A

v

v (m/s) H 37º

10

H/2

v

53º 0

40

x

100

Rpta. 130t(s) s y 4 000 m. 54

B

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57. Una bola se desplaza a 30 cm/s y cae al borde de una mesa de 80 cm de altura. a. ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo?, ¿a qué distancia del pie de la mesa la bola choca contra el suelo?. b. ¿Cuál es la velocidad con que impacta contra el piso?. Rpta.

61. Dos pelotas son lanzadas simultáneamente desde los puntos A y B con las direcciones que se indican en la figura y sabiendo que vA = 20 m/s; y que si chocan en un punto P en el aire, determine la velocidad en dicho punto de la pelota lanzada desde B. vB 37º B vA

58. Dos cuerpos A y B, cuyas verticales se encuentran separadas 8 m se lanzan al encuentro. El cuerpo A se encuentra a 2 m y el B a 6 m del suelo; A es lanzado horizontalmente con una velocidad de 8 m/s. y B hacia abajo con una velocidad inicial tal que forma un ángulo de 45º con la horizontal. Calcule: a. La velocidad inicial de B. b. Las coordenadas del punto de encuentro. c. El tiempo que tardan los cuerpos hasta el encuentro. d. Las velocidades de los cuerpos en el instante en que se encuentran. Rpta.

10 m A

40 m Rpta. –13 ˆi – 5,93 ˆj 62. Un carro se mueve por propulsión a chorro acelerando a 1,5 m/s2, cuando llega al borde de un desfiladero su velocidad era 13,4 m/s. ¿Cuál será el alcance del carro asumiendo que los cohetes todavía funcionan y que la altura del desfiladero es 150 m? a = 1,5 m/s2

59. En el punto O hay un cañón; el cual lanza dos proyectiles bajo ángulos diferentes. Si los proyectiles alcanzan la misma altura h; Halle el ángulo, , de lanzamiento del segundo proyectil. Si vOA = 30 m/s y vOB = 25 m/s

R Rpta. 97,1 m

30º

63. Según la figura mostrada, determine el tiempo a partir de la posición de la figura, en que el avión debe soltar una bomba para destruir el velero.(rapidez del avión = 200 m/s y rapidez del velero 10 m/s)

A B

v = 13,4 m/s

150 m

y β

53º

x

O Rpta. 53º 60. Un dardo se lanza desde un punto a la velocidad vo = 25 m/s y con un ángulo de inclinación  = 45°, con la horizontal, y se incrusta perpendicularmente en una pared inclinada un ángulo  = 60° con la horizontal [sentido horario]. Calcule el tiempo de viaje del proyectil, y su rapidez en el instante en que impacta contra la pared. Rpta. 0,76 s y 20,41 m/s.

980 m

19 km Rpta. 76,33 s. 55

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CINEMÁTICA

64. Un proyectil es lanzado con una velocidad vo en un plano como se indica. Determine el desplazamiento AB sobre el plano inclinado. B

67. El grafico que muestra la figura, es el lanzamiento de un penal a 12 m del arco, de 2 m de altura, si el disparo choca en el parante horizontal y su velocidad inicial fue de 20 m/s. ¿Con que ángulo se lanzo el balón?

vO  

A

20 m/s 2m



Rpta.

12 m

65. Se lanza una pequeña piedra con una rapidez de 10 m/s en la forma mostrada en la figura. Si la piedra se introduce en un tubo que se orienta 45º respecto a la vertical, de modo que el movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo, se pide calcular los valores de x e y en el instante que la piedra penetra en el tubo.

Rpta. 17,9º. 68. Se lanza una partícula con una rapidez vo = 15 m/s. Haciendo un ángulo de lanzamiento ß = 36,87°. a. Halle las componentes de la velocidad inicial vo, y exprese el vector vo = vox iˆ + voy ˆj . b. Encuentre los vectores unitarios en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria, cuando t = 3 s.

o 45º

53º

y

(12 ˆi +9 ˆj ) m/s; –0,86 ˆi –0,5 ˆj .

1,2 m

Rpta.

0,5 ˆi –0,86 ˆj

y

x 69. Desde el punto A de la figura se dispara un proyectil con una inclinación do 53º. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil respecto al eje x es 50 m. Determine: a. Su velocidad inicial. b. Su alcance horizontal.

Rpta. 8,57 m y 2,62 m. 66. Determinar la velocidad con la cual debe lanzarse un objeto desde M para que al caer en P llegue simultáneamente con otro objeto lanzado horizontalmente 10 s después desde Q con una rapidez de 48 m/s.

y

vo M

vo

 220 m

A Q

20 m

P 480 m

53 º

480 m

B x 30 m

Rpta. (48 ˆi +62,5 ˆj ) m/s Rpta.

56

O

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70. Un jugador de básquet lanza la pelota y encesta como lo muestra la figura.

73. Un esquiador sale de la cima de una loma (A) con una rapidez de 40 m/s. Determinar a qué distancia de “A” el esquiador vuelve a la loma.



vo 60º

0,75 m

vO

5m A a. Halle la velocidad de lanzamiento del balón b. Halle el ángulo  que el vector velocidad de la pelota forma con la vertical cuando encesta. Rpta. 7,87 m/s y 34,98º.

37º

Rpta. 306,12 m

74. Halle la distancia “d” que está protegida contra los proyectiles que lanza el cañón mostrado. Desprecie la altura del cañón.

71. Un acróbata debe conducir un auto a través del pozo de agua mostrado en la figura. Determinar la mínima velocidad que le debe imprimir el auto y el ángulo “” de la rampa.

vo = 200 m/s

1 000 m

3m

Rpta. d = 13,53 m

d

1 2

75. En la figura de muestra dos proyectiles que son lanzados con la misma rapidez inicial y simultáneamente. Determine: a. La altura máxima del proyectil que llega más alto. b. ¿Qué proyectil logra el alcance horizontal máximo?, Determine dicho alcance.



12 m Rpta. 9,9 m/s y 45º 72. Según la figura mostrada, se lanza un proyectil del punto A, determine: (Considere O como origen de coordenadas) a. La posición B (altura máxima). b. La velocidad en C

y

vO=100 m/s 37º

y

vO=100 m/s

B

37º

vo = (10 iˆ +20 ˆj ) m/s

x

A

76. Desde un plano inclinado un ángulo , es lanzada una piedra con una velocidad inicial vo y perpendicular al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae está piedra? Rpta.

105m C O

100 m

x

Rpta. 57

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CINEMÁTICA

77. Calcule la velocidad angular con que debe girar el disco horizontal de la figura, para que la partícula que suelta caiga justo sobre el punto P, después que el disco de dos vueltas.

82. Un disco gira a partir del reposo con una aceleración angular constante. Si la segunda vuelta la dio en 0,96 s. Encuentre el tiempo que tarda en dar la primera vuelta y su aceleración angular. Rpta.

 19,6 m

83. ¿Con qué rapidez tangencial deberá girar un punto situado en la periferia de la plataforma circular, para que un hombre partiendo de dicho punto (siguiendo una trayectoria rectilínea) con una velocidad constante de 7 km/h. llegue a un punto diametralmente opuesto, después que la plataforma ha dado una revolución alrededor de su eje? (  = 22/7) Rpta.

P Rpta. 2 rad / s 78. Un cuerpo parte de un punto A de una circunferencia y acelera a razón de 2 rad/s2. En cierto instante pasa por un punto B, y un segundo después pasa por un punto C. Si BC = 90º, calcule la velocidad angular en C y el tiempo transcurrido desde A hasta B. Rpta.

84. Una partícula parte del reposo con MCUV y con una aceleración angular  = (6/7) rad/s2. en una trayectoria cuyo radio es (49/6) m. ¿Cuál es la aceleración total de la partícula al término del segundo segundo? Rpta.

79. Un móvil da 90 RPM, se pide calcular:  Su periodo.  Su frecuencia.  Su rapidez angular. Rpta. 80. Una partícula parte del reposo, con MCUV Entre dos instantes de tiempo (t A, tB) describe un ángulo central equivalente a 125 revoluciones demorándose 2 minutos. Si en el instante tB, tiene una velocidad angular de 80 rpm determine el número de revoluciones desde el reposo hasta el instante tB. Rpta. 81. Dos móviles parten simultáneamente desde el mismo punto y en el mismo sentido recorriendo una trayectoria circular. El primero está animado de movimiento uniforme de velocidad angular 2 rad/s, y el segundo hace su recorrido con aceleración angular constante de 1 rad/s2 y velocidad angular inicial de 2 rad/s. ¿Cuánto tiempo tardaran en encontrarse de nuevo? Rpta. 58

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DINÁMICA

DINÁMICA

Las Leyes de Newton son los pilares de la mecánica, son tres principios con relación al ¿porqué del movimiento de los cuerpos?. La formulación matemática de estas leyes fue publicada por Isaac Newton en 1687, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Estas leyes constituyen, junto con las transformaciones de Galileo, la base de la mecánica clásica. En el tercer volumen de los Principia, Newton mostró que, combinando estas leyes con la Ley de gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Las leyes de Newton son validas para sistemas de referencia inerciales, es decir, sistemas de referencia en reposo o con MRU. En sistemas de referencia no–inerciales, es decir, acelerados junto con las fuerzas reales deben incluirse las llamadas fuerzas ficticias o fuerzas de inercia que añaden términos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí. Fuerza. Definimos fuerza como la interacción entre dos cuerpos, capaz de deformar o cambiar el estado de movimiento de los cuerpos. Tipos de fuerza. Las interacciones pueden ser a distancia, es decir, sin contacto, como: la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica, la fuerza magnética, etc. y fuerzas de contacto, como la fricción, la normal, la tensión, etc. Fuerzas de contacto. 

La normal. Es una componente del resultado de la interacción efectiva entre dos cuerpos en contacto (reacción). Su naturaleza es electromagnética y siempre es perpendicular a la superficie de contacto.



La fricción. Si dos cuerpos están en contacto y hay un desplazamiento tangencial entre ellos o un intento de desplazamiento, entonces aparece esta fuerza de rozamiento, que siempre es tangente a la trayectoria y en su mayoría de casos se opone al movimiento, pocas veces se encuentra a favor del movimiento.

|

59

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DINÁMICA



La tensión. Generalmente es una fuerza que aparece en las cuerdas, como resultado del estiramiento de la cuerda por fuerzas en sus extremos.

Fuerzas de acción a distancia. 

El peso. Es el resultado de la interacción entre la tierra y los cuerpos que la rodean. Su dirección es hacia el centro de la tierra (hacia abajo en una pequeña porción de tierra).



Fuerza eléctrica. Es el resultado de la interacción entre cargas eléctricas. Es una fuerza conservativa y su dirección es en la línea que une las cargas y puede ser de atracción o repulsión, dependiendo del signo de las cargas.



Fuerza magnética. Es el resultado de la interacción de imanes y puede ser de atracción o repulsión, dependiendo de los polos en interacción.

Medición de una fuerza. Una fuerza se mide a través de un dinamómetro, que es un resorte calibrado que obedece a la ley de Hooke. Cuyo modelo matemático, es: F  kx

Donde F es la fuerza que ejerce el resorte, x es el estiramiento o deformación del resorte, k es la constante elástica del resorte y el signo menos obedece a que la fuerza del resorte siempre es opuesta a la deformación. Primera Ley o Ley de Inercia. (ley del equilibrio) 

Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula, el cuerpo se encuentra en equilibrio, en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza resultante que le obligue a cambiar dicho estado estacionario.

La Primera ley constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en física el concepto de sistema de referencia inercial. Segunda Ley 

Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es diferente de cero, entonces el cuerpo presenta aceleración, esta aceleración es proporcional a la fuerza resultante aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

Existen otras maneras de formular la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas actuantes y la variación de la cantidad de movimiento o momento lineal. La formulación siguiente es válida tanto en mecánica newtoniana como en mecánica relativista:

60

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DINÁMICA 

La variación de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.

En esta parte de la mecánica, ya nos preocupamos del ¿Por qué? del movimiento, que origina el movimiento. La explicación, radica en las fuerzas, de todo esto se ocupo Isaac Newton, al enunciar las tres leyes de la mecánica, que son el pilar en el desarrollo y entendimiento de la mecánica. Matemáticamente: 

  dp , con p  m v F dt 

Efectuando la derivada 

F





d (m v ) d v  dm m v dt dt dt

m  constante 

si

dm 0 dt

La masa m, puede ser variable, como por ejemplo en el lanzamiento de un cohete al espacio, si m es constante, llegamos a la formulación de la segunda ley de Newton. 



 dv F m  ma dt



Donde si la analizamos desde la causalidad, debe ser expresada de la siguiente forma: 



F a m



Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción 

 

Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de dirección opuesta al cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y dirección opuesta. No se equilibran por actuar en cuerpos diferentes. Son de la misma naturaleza, es decir, a un peso le corresponde un peso de reacción, a una normal le corresponde una normal, etc.

Dinámica Lineal. Sin la trayectoria de una partícula es una línea recta y las fuerzas que actúan tienen una resultante en la línea recta, entonces la aceleración lineal se puede calcular, por: 

F a



FAVOR



m

61



F

CONTRA

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DINÁMICA

ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS   

Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. Definir una posible dirección del movimiento Aplicar la ecuación anterior. Si la aceleración tiene signo negativo, este signo nos esta indicando que el móvil se mueve en dirección opuesta al que hemos asumido.

Dinámica circular. Si la trayectoria descrita es una circunferencia, entonces existe fuerza resultante radial, es decir en la dirección del radio, esta fuerza es la fuerza centrípeta y es responsable del cambio en la dirección de su movimiento. a

v2  R2  R

F

ADENTRO



F

AFUERA

m

ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS    

Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. Definir la circunferencia donde se produce el movimiento e identificar el centro y el radio de la circunferencia. Trazar los ejes de referencia. Uno a partir del centro de la circunferencia hacia la masa en estudio y el otro eje perpendicular a este. Descomponer las fuerzas que quedaron fuera de los ejes coordenados y aplicar la ecuación anterior al eje radial.

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DINÁMICA

PROBLEMAS RESUELTOS – DINAMICA 1. N bloques idénticos (cada uno con una masa mo) están situados sobre una mesa sin rozamiento como se muestra en la figura. si se empuja a la primera masa con una fuerza horizontal P, responda: a. ¿Con qué aceleración se mueve el conjunto?. b. ¿Cuál es la fuerza con que actúa la masa de la posición [N–1] sobre la masa de la posición [N]?.

Solución:

a. ¿Con qué aceleración se mueve el conjunto? La segunda Ley de Newton indica que: F = ma

(1)

Aplicándola a todo el conjunto, la única fuerza externa es la fuerza “P”, y la masa del sistema es: mo + mo + mo+ ... = Nmo: P = Nmo a

(1a)

Despejando la aceleración “a” en la ec. (1a), se obtiene que: a = P/(Nmo)

(1b)

b. Aplicando la segunda Ley de Newton a solo el último bloque: f = mo a

(1c)

Donde “f” es la fuerza buscada y sería la única fuerza que actúa sobre el enésimo bloque. Como la aceleración no es dato, hay que reemplazarla la expresión (1b) en (1c), para encontrar que: f = mo P/(Nmo) = P/N

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DINÁMICA

2. Si el sistema (m1 = 12 kg, m2 = 8 kg, tang = 3/4) se deja en reposo, encuentre: a. La aceleración con que se mueve el bloque 2. b. La tensión de la cuerda.

Solución: Primero se hace el diagrama de cuerpo libre de cada bloque, es decir, se aísla cada cuerpo del resto y se le dibujan las fuerzas que actúan sobre cada bloque. Estos esquemas se muestran a lado derecho de la figura. En el caso del bloque que está sobre el plano inclinado, es conveniente descomponer todas las fuerzas en las direcciones paralela y perpendicular a dicho plano. a. hay que aplicar la segunda Ley de Newton a cada cuerpo, en la dirección en que se mueven.

F = ma Bloque 1:

T – m1g sen = m1a

(2a)

Bloque 2:

m2g – T = m2a

(2b)

En donde se ha tenido en cuenta que las tensiones a ambos lados de la polea son iguales, y que los bloques se mueven a la misma velocidad. Además de que el sentido en que se mueven es con el bloque 2 descendiendo. Este sentido es tomado al inicio arbitrariamente. Si el resultado numérico de la aceleración sale positivo, el sentido se tomó como correcto, si sucede que el signo de la aceleración es negativo, el sentido se tomó equivocadamente. En cualquiera de los dos casos, el valor absoluto de la aceleración es el mismo. Sumando (2a) + (2b), se encuentra que: m2g – m1g sen = ( m1 + m2) a

(2c)

Despejando la aceleración y reemplazando los datos en la ec. (2c) se obtiene que: a = 0,392 m/s2 b. La tensión de la cuerda se puede hallar despejando de la ec. (2a) o ec. (2b), usando la aceleración como dato, calculando se halla que: T = 75,264 N

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DINÁMICA

3. Un auto viaja a 29,4 m/s, por una carretera horizontal. Los coeficientes de fricción entre la carretera y los neumáticos son 0,6 y 0,4. ¿cuánto tiempo tardará el auto en llegar al reposo si se frena: a. suavemente. b. con dureza. Solución: a. La figura muestra a las fuerzas que actúan sobre el auto cuando éste se frena. Ya que no hay aceleración vertical, la primera Ley de Newton indica que: Fy = N – mg = 0

(3a)

Donde N es la fuerza normal. Para simplificar, se supuso que el peso del auto se distribuye por igual sobre las cuatro ruedas y que los frenos se aplican a las cuatro ruedas. Cuando se frena suavemente, las ruedas no deslizan, esto significa que la fuerza de fricción que ejerce la cartera es estática. Si se aplica la segunda Ley de Newton en la dirección horizontal se obtiene: Fx = f = –sN = m a

(3b)

En donde se ha considerado el sentido de la velocidad como positiva. s es el coeficiente de rozamiento estático. Usando (3a) en (3b), despejando la aceleración se encuentra: a = –sN/m = –smg/m = –sg

(3c)

Y reemplazando los datos en la ec. (3c), se halla que: a = –5,88 m/s2. Para encontrar el tiempo que tarda en frenar se usa las ec. del MRU. v = vo + a t

(3d)

Donde v = 0, despejando t en (3d), y calculando con los datos se obtiene: t=5s b. cuando el vehículo se frena con dureza, las ruedas se bloquean, es decir, se deslizarán por la carretera y la fuerza de frenado será de fricción cinética. El razonamiento usado en la parte (a) es el mismo que puede emplearse en esta pregunta. El único cambio que debe hacerse es emplear el coeficiente de rozamiento cinético: a = –kg El tiempo también se halla con la ec. (3d): t = –vo/ a Entonces los valores serán ahora: a = –3,92 m/s2, t = 7,5 s

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DINÁMICA

4. Un coche de masa 1 200 kg viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 27 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas del coche y la pista es 0,6; ¿cuál es la máxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. Solución: La figura muestra el diagrama de fuerza correspondiente al auto. La fuerza normal se debe equilibrar con el peso: N – mg = 0 (4a) La única fuerza horizontal que obliga al vehículo a seguir la trayectoria de una circunferencia es la fuerza de rozamiento estático y debe ser igual a la fuerza centrípeta: f = mv2/R

(4b)

Entonces se deduce que la velocidad máxima a la que puede ir el auto, ocurre cuando la fuerza de rozamiento estático toma su máximo valor: v(máx)  f(máx) = N

(4c)

Si se despeja “v” de la ec. (4b), se usa (4c) y luego (4a), se encuentra que: v(máx) =

f(máx)R/m

=

NR / m =

mgR/ m =

gR

(4d)

y se reemplaza los valores numéricos en la ec. (4d), se obtiene: v(máx) = 12,6 m/s 5. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es de 9,8 N. ¿cuál es la masa de la piedra? Solución: La tensión máxima y la tensión mínima, ocurren en los puntos más bajo y más alto respectivamente. Como se trata de un movimiento circular, hay una fuerza resultante dirigida hacia el centro de la circunferencia, que es la fuerza centrípeta: F = mv2/R (5) Aplicando la definición de fuerza centrípeta, en cada uno de los puntos (1 y 2): Punto más alto (1):

T1 + mg = mv2/R

(5a)

Punto más bajo (2): T2 – mg = mv2/R (5b) Donde se ha tomado en cuenta que la velocidad es la misma, ya que se menciona que gira uniformemente. Ya que el dato que se menciona es: T 2 – T1 = 9,8 N, Lo adecuado sería restar las ecuaciones, (5b) – (5a): T2 – T1 – 2 mg = 0

(5c)

Despejando “m” en (5c) y reemplazando los datos, se encuentra que: m = 0,5 kg. 66

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DINÁMICA

6. Un hombre de 700 N. se encuentra de pie sobre una báscula en el piso de un elevador. La báscula registra la fuerza de todo lo que se ponga sobre ella ¿Cuál es la lectura de la balanza si el elevador tiene una aceleración de: a. 2 m/s2 hacia arriba. b. g hacia abajo. Solución:

a. Cuando el elevador sube, se tiene un peso aparente, que marca la báscula de : WA = m( g + a )  si a = 2 m/s2. WA = 842,86 N b. Cuando el elevador baja, se tendrá un peso aparente de:

mg

WA= m(g –g)  si a = g WA = 0 N 7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.

m1 m2 1

2

Solución: T DCL de m1:

Del DCL de m1

N m1 m1gsen1

1

m1gcos1

Asumiendo que el movimiento es hacia la dirección de m1gsen1, entonces tenemos lo siguiente: m1gsen1 – T = m1 a .....(1)

m1g

67

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DINÁMICA

DCL de m2:

Del DCL de m2 El movimiento es hacia la dirección de T, entonces tenemos lo siguiente:

T m2gcos2

m2 2

T – m2gsen2 = m2a ......(2)

m2gsen2 m2g

Sumando (1) y (2) se tiene: g(m1sen1 – m2sen2) = (m1 + m2) a

a

g (m1sen1  m2 sen2 ) .....(3) m1  m2

Hallamos la tensión reemplazando (3) en (1):

T

m1m2 g ( sen1  sen2 ) m1  m2

8. Una masa de 15 kg desliza en un plano inclinado 30º con la horizontal, y está unida mediante una cuerda que pasa por una polea, a una masa suspendida libremente de 35 kg. como se muestra en la figura. Halle la tensión en la cuerda y la aceleración del sistema, suponiendo que el coeficiente k = 0,2.

30º

Solución:

DCL de la masa de m1 = 15 kg: con  = 30º y g = 10 m/s2. T N

Analizando las fuerzas en la dirección normal, sin movimiento, se tiene:

 m1gcos

m1g

El movimiento es hacia la dirección de T, entonces tenemos lo siguiente: T – (m1gsen + Fr) = m1 a .....(1)

m1

Fr m1gsen

Del DCL de m1

N = m1gcos .....(2) Además: Fr = N  Fr =  m1gcos.....(3) (3) en (1) : T – (m1gsen +  m1gcos ) = m1 a .....(4)

68

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DINÁMICA

DCL de la masa de m2 = 35 kg: T

Del DCL de m2 El movimiento es hacia la dirección de m2g, entonces tenemos lo siguiente: m2g – T = m2 a .....(5) Sumando (4) y (5) se tiene: g[m2 – (m1sen + m1cos)] = (m1 + m2)a

m2

a m2g

g [ m2  ( m1sen  m1 cos  )] .....(6) m1  m2

a = 4.88 m/s2 T = m2(g – a) = 172,17 N

9. En la figura los pesos de los objetos son 200 N y 300 N. Se considera que las poleas no tienen fricción y que sus masas son despreciables. La polea P1 tiene un eje estacionario, la polea P2 puede subir o bajar libremente. Calcule las tensiones T 1 y T2 así como la aceleración del cuerpo A.

P1 T2 P2 T1

Solución:

DCL de A:

A

B

200 N

300 N

DCL de P1: Considerando despreciable la masa de la polea, se tiene: T2 T2

El movimiento es hacia el peso de 200 N, entonces: 200 – T2 = 20 a A .....(1)

2T2 = T1 .....(3)

T2

T1

aA A

Además considerando que el desplazamiento de A es el doble del desplazamiento de B, se tiene:

200N

a A  2aB .....(4) T1

aB

DCL de B:

B

El movimiento es hacia la tensión T1 entonces:

300N

T1 – 300 = 30 aB .....(2) 69

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DINÁMICA

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos:

a A  1,78m / s 2 y a B  0,89 m / s 2 T1 = 326,7 N y T2 = 163,35 N 10. En el sistema mostrado. Halle “F”, en newton, con la finalidad de que los bloques de masas “2m” y “m” no se muevan respecto del carro de masa “M”. Considere que no hay fricción. Tome M = 90 kg y m = 10 kg. 2m

m

M

Solución: Considerando todas las masas como un único sistema, acelerado por la fuerza F.

DCL de m : T 

F = (M + 3m) a.....(1) Teniendo en cuenta que las masas m y 2 m experimentan fuerzas inerciales proporcionales a la aceleración siguiente:

a

se tiene lo

mg

De (4) y (2): cos = ½ .   = 60º  a

DCL de 2m: T

Tsen = mg.....(3) Tcos = m a...(4) (3)/(4) tan = g/ a a = g ctg 

10 3  F = 400 3 N 3

 T = 2m a.....(2)

11. Halle la máxima velocidad a la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30. Solución: La fuerza que evita que el automóvil deje la pista debido a su velocidad es la fuerza de rozamiento, por lo tanto se tiene la siguiente relación:

mv2  fR  v2  R  g R v  R  g  8,59 m / s 70

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DINÁMICA

12. Un vehículo de una “montaña rusa” tiene una masa de 500 kg. está completamente cargado de pasajeros. a. Si el vehículo tiene una rapidez de 20 m/s en el punto A .¿ Cuál es la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo en ese punto? b. ¿Cuál es la rapidez máxima que puede tener el vehículo en ese punto B para que se mantenga sobre la vía. B 15 m 10 m

A

Solución:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A : (A) Sea FV la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo en estudio.

10 m Fv

FC 

mv 2 mv 2  FV  mg  FV  mg  R R

500  20 2 FV  500  10   25  103 N 10

mg

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B:

(B) mg

15m

La rapidez máxima en el punto B, la calculamos justo en el momento supuesto que el vehículo está apunto de despegar de la vía, es decir la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo es casí cero:

mg 

mv 2  v  gR  9,8 15  12,12 m / s R

71

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DINÁMICA

13. Un piloto de masa m, que vuela en un avión de reacción ejecuta una maniobra de “rizar el rizo”, como se muestra en la figura. En ese vuelo modelo, el avión se mueve en un circulo vertical de radio 2,7 km a una rapidez constante de 225 m/s. Determine la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto en: a. La parte inferior del rizo. b. La cima del rizo. De las respuestas en términos del peso del piloto.

Solución:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA PARTE INFERIOR DEL RIZO:

FA

mg

FA mg

Sea FA la fuerza que ejerce el asiento del avión sobre el piloto.

mv2 mv2 FC   FA  mg  FA  mg  R R  v2     2,91 mg FA  mg1   Rg  

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA CIMA DEL RIZO: En este caso el avión esta volteado, FA y mg tienen la misma dirección. Haciendo el diagrama de cuerpo libre se tiene:

mv2 mv2  FA  mg  FA   mg R R v2 FV  mg(  1 )  0,91 mg Rg FC 

72

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DINÁMICA

14. Se hace girar una masa m en un plano vertical con velocidad angular constante w, al extremo de una barra delgada pero rígida, de longitud ro, la masa de la barra es despreciable en comparación de la masa m. Calcule: a. La tensión en la varilla cuando la masa está en el punto más alto de su trayectoria. b. La tensión de la varilla cuando la masa está en el punto más bajo de su trayectoria.

A

T



B

Solución:

A DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A: T

mg

FC = T + mg 

mv 2 mR 2 2  mg   mg R R

T 

T  m( 2 R  g ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B: FC = T – mg 

T

T  mg

mv 2 mR 2 2  mg   mg R R

T  m( 2 R  g ) O

15. Una bola B está unida al extremo de un hilo de 24 cm de longitud cuyo extremo es un punto fijo O. La bola describe una circunferencia horizontal de radio CB como indica la figura. Halle la velocidad de la bola sabiendo que el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical.

30º

Solución: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE : B

T 60º B

mg

mv 2 .....(1) R T sen 60º  mg.......( 2) T cos 60º 

v2 c tg 60º  v Rg Con R = 12 cm = 12x10–2 m  v = 0,824 m/s 73

12 cm

C

Dividiendo (2) / (1) se obtiene:

gRc tg 60º

DINÁMICA

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PROBLEMAS PROPUESTOS – DINAMICA 1. Haga un diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B .Considere rozamiento en todas las superficies

5. Halle la aceleración y la tensión de la cuerda en el sistema mostrado. Considere bloques iguales de masa 10 kg y coeficiente de rozamiento cinético 0,2.

B A

B

2. El sistema mostrado se mueve con velocidad constante, en una superficie con rozamiento cinético 0,2, determine: a) La masa m, que hace posible este movimiento. b) Si del carro extraemos 20 g y le agregamos a m, la aceleración del sistema será: NOTA: Haga un cálculo teórico exacto, sin aproximaciones.

1,2 kg

A 37º Rpta. 1,18 m/s2 y 86,2 N 6. De acuerdo al gráfico mostrado, si el sistema esta inicialmente en reposo. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a. La fuerza resultante sobre el sistema es de 19,6 N. b. La fuerza resultante sobre el sistema es de 29,4 N. c. El sistema se mueve hacia la derecha. d. El sistema se mueve hacia la izquierda.

20 g/ cada una

Rpta. 0,26 kg y 0,15 m/s2

m

3. En el sistema mostrado, las masas parten del reposo y se mueven 1,2 m en 4 segundos, en una superficie con rozamiento cinético . Determine: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda. c) El coeficiente de rozamiento cinético .

10 kg E = 0,5

Todas son Falsas.

7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible, se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleración del sistema y la tensión en la  cuerda.

1,2 kg

40 g Rpta. 0,15 m/s2, 0,386 N y 0,02.

a



a

m1

4. Sobre un bloque de 4 kg de masa se aplica una única fuerza F, que varia según la ley F = 7t + 5, donde F esta en N y t en segundos. Al cabo de que tiempo la aceleración del bloque es de 10 m/s2 4 kg

2 kg

m2 1

2

Rpta. a = g(m1sen1–m2sen2)/(m1+m2) 8. Una cuerda pasa sobre una polea sin fricción y con una masa despreciable. Un objeto de 4 kg se cuelga en un extremo y en el otro un objeto de 12 kg. Calcule la aceleración y la tensión en la cuerda.

F Liso

Rpta. 5 s.

Rpta. 4,9 m/s2 y 58,8 N 74

DINÁMICA

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9. Determine la fuerza de reacción entre los bloques A y B, si las masas son de 3 kg y 2 kg respectivamente. Considere que no hay rozamiento. F1=60 N

A

14. Si el sistema (m1 = 18 kg, m2 = 5 kg,  = 0,14) se deja en reposo encuentre: a. La aceleración con que se mueve el bloque 2 y la tensión de la cuerda. b. La rapidez v con que se mueve el bloque 1, si se ha desplazado una distancia 0,3 m.

F2=40 N B

1

Rpta. 48 N 10. Un auto de 900 kg viaja a 20 m/s en un camino plano. ¿Cuál es la magnitud de una fuerza retardadora constante necesaria para detener el auto a una distancia de 30 m. Rpta. 6 000 N

2 Rpta. 1,06 m/s2 y 43.7 N – 0,79 m/s.

11. Sobre una mesa se halla un bloque, m1 = 20 kg, que está unido por una cuerda a otros dos, m2 = 5 kg y m 3 = 3 kg como se muestra. El coeficiente de rozamiento entre m1 y la mesa vale 0,2. Calcular: a. La aceleración con que se mueven. b. La tensión de los hilos.

15. Determine el ángulo mínimo "" para que los bloques empiecen a moverse.  = 45°. El coeficiente de rozamiento estático entre los bloques y la superficie es 0,5. m 

1

m

 

2

Rpta. 26,56º.

Rpta. 1,4 m/s2 , T1= 67,2 N y T2= 25,2 N

16. Una bala de 300 g de masa impacta contra un tablón fijo de 10 cm de espesor. Si ingresa con v1 = 300 m/s y sale con v2 = 200 m/s. ¿Cuál es la fuerza media de rozamiento, en N, que le imprimió el tablón, considerándola constante? Rpta. 75 000 N.

12. Un hombre cuya masa es de 85 kg se encuentra en un ascensor. Determinar la fuerza que ejerce el piso sobre el hombre cuando: a. El ascensor asciende con velocidad uniforme. b. El ascensor desciende con aceleración de 4,9 m/s2. c. El ascensor asciende con aceleración de

17. Para el sistema de bloques mostrado, calcule: a. La aceleración del sistema. b. La tensión en la cuerda.

6,3 m/s2. Rpta. 833 N, 416,5 N y 1368,5 N.

20 kg

13. Calcule la aceleración del cuerpo de masa m2; Si, m1 = 10 kg y m2 = 20 kg.  = 30°

80 kg

m1 Rpta. 1,635 m/s2.



37º

Desprecie el rozamiento entre las superficies en contacto

Rpta.4,704 m/s2 y 94,08 N.

m2 75

DINÁMICA

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18. Un péndulo de masa m = 3 kg cuelga de una cuerda, suspendida de un extremo del techo del móvil de masa M = 9 kg, cuando el sistema es jalado con una fuerza F = 36 N, permanente y según corno se indica en la figura, la cuerda del péndulo se separa de la vertical un ángulo . Calcule: a. La aceleración del sistema.

21. Calcular la masa del bloque A, para que el bloque B de masa 24 kg, pueda descender

A

b. La medida del ángulo “”. c. EI valor de la tensión en la cuerda.

37º

24 kg

Rpta. 9,47 kg.

 F

m

22. Determinar el valor de la fuerza F que impedirá que el bloque de masa m1 = 5 kg resbale, sobre el coche de masa M = 32 kg, sabiendo además que m2 = 3 kg, la masa de la cuerda, polea, y rozamiento entre los bloques es despreciable.

M =0

Rpta. 3 m/s2, 17,02º y 30,74 N.

m

19. Un elevador parte del reposo y sube con una aceleración constante, se mueve 2 m en los primeros 0,6 s. Un pasajero en el elevador sostiene un paquete de 3 kg con una cuerda. ¿Cuál es la tensión en la cuerda durante la aceleración?. Rpta. 64,8 N.

1

F

A

=0

Rpta. 294 N 23. Calcular la aceleración del bloque B, si mA = 3 kg, mB = 4 kg y F = 210 N. No F considere rozamiento. B

A 30º

Rpta. 1,06 m/s2 24. N bloques (con masas m, 2m ,3m, Nm) están situados sobre una mesa sin rozamiento como se muestra en la figura. Si se empuja a la primera masa (m) con una fuerza horizontal F, ¿cuál es la fuerza con que actúa la masa antepenúltima (de masa [n–2]m) sobre la masa penúltima (de masa [n–1]m)?.

FA

B C

m

M

2

20. Tres bloques A, B y C, están colocados como se muestra en la figura, sus masas son mA = 12 kg, mB = 16 kg y mC = 24 kg. Sobre cada bloque se ejerce una fuerza horizontal FA = 30 N FB = 85 N y FC = 20 N. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre los bloques A y B son respectivamente s(AB) = 0,4 y k(AB) = 0,2; y los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre los bloques B y C son respectivamente s(BC) = 0,15 y k(BC) = 0,05. No hay fricción entre C y la mesa. Determine la aceleración de A con respecto a la mesa. FB

m/s2.

aceleradamente a razón de 2 Considere rozamiento despreciable.

FC

76

m

2m

3m

Nm

1

2

3

N

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25. Las masas de los bloques A, B y C de la figura son 15 kg, 25 kg y 10 kg respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento entre B y la superficie horizontal es 0,10, calcule: a. La tensión en cada cuerda. b. La aceleración del cuerpo B.

29. Para el sistema de bloques conectados mostrado en la figura, determine: a. La tensión en las cuerdas. b. La aceleración de cada bloque. Considere que el coeficiente de rozamiento cinético entre B y el piso es 0,25; mA = 100 kg; mB = 50 kg; mC = 150 kg. mB

B

C

A

mA

mC

Rpta. TAB = 139,65 N, TBC = 102,9 N y 0,49 m/s2.

Rpta. 30. Las masas de los bloques A y B del sistema mostrado en la figura son: 5 kg y 12 kg respectivamente. El sistema se mueve debido a la fuerza horizontal F = 150 N y el bloque “A” adquiere una aceleración hacia

26. Para el sistema mostrado el coeficiente de rozamiento cinético en todas las superficies es 0,2; calcular: a. La aceleración de los bloques. b. La tensión en las cuerdas. 3 kg A

arriba de 2 m/s2. Halle el coeficiente de rozamiento entre el bloque B y la superficie horizontal. F B

2 kg B

C 7 kg 27. Los bloques mostrados tienen masas m1 = 1 kg y m2 = 2 kg. si la fuerza F = 16 N, halle la aceleración de los bloques. No hay rozamiento.

Rpta. 0,61. A 31. Sí el sistema con m1 = 21 kg, m2 = 14 kg, c = 0,3; se deja en reposo; encuentre la aceleración del punto P, cuando el bloque 1 se ha desplazado una distancia de 0,7 m. Radio de la Polea, R = 2,1 cm.

m1 m2

F

28. En la figura mostrada el bloque de masa “M” tiene una aceleración doble que el bloque de “2 M”. El coeficiente de rozamiento entre los bloques es K y entre bloque 2 M y el piso es K/6. Halle el coeficiente K. K

M

K/6

2M

Rpta. 32. Determine la aceleración del sistema y las masas de A y C, si T A = 30 N y TC = 60 N. Considere rozamiento con c= 0,2 y la masa de B es de 5 kg. B

M Rpta. 0,5.

A

77

C

DINÁMICA

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33. En la figura, se muestran los bloques A y B de masas 2 kg y 4 kg respectivamente. Los coeficientes de rozamiento son A = 0,70 entre los cuerpos A y B; y B = 0,20 entre B y la superficie horizontal. Calcule las aceleraciones en los cuerpos al aplicar al cuerpo A una fuerza de 20 N.

37. La cuña B tiene una aceleración horizontal de 5 m/s2 según se muestra en la figura. Un bloque de masa “m” se encuentra encima de la cuña, sin considerar rozamientos, halle la aceleración relativa del bloque respecto a la cuña. Indica hacia donde se mueve el bloque.

20 N

A

A a

B

B

30º

Rpta. 3,14 m/s2 y 0,49 m/s2.

38. El móvil de masa “m” se desliza hacia abajo con velocidad constante y apoyada sobre la pared vertical mostrada. Haga el diagrama de cuerpo libre de la masa “m”. Explique cada una de las fuerzas que identifique.

34. En el sistema que muestra la figura, encuentre el peso del bloque A, si partiendo del reposo y descendiendo recorre la distancia de 27 m en 3 segundos. No considere rozamiento ni el peso de las poleas.

F

A 100 N

39. El sistema se mueve con velocidad constante cuando la masa colgante es de 100 g, como se muestra en la figura, determine la aceleración del sistema cuando de la masa 9,9 kg se le quite 1,9 kg y se le agregue a la masa colgante de 100 g.

27 m

Rpta. 17,2 kg. 35. Haga el diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B, Si el peso de A es 200N y el de B es de 150 N. Determine la fuerza de contacto entre los bloques.

9,9 kg

A B

100g

F = 700 N

40. Halle el coeficiente de rozamiento entre la masa “m” y el carrito M, de tal modo que el bloque de masa “m” se mantenga en reposo con respecto al carrito M.

Rpta. 36. La aceleración del bloque de 2 kg, que desliza por el plano lizo de la figura, es:

a = 8 m/s2

m

Rpta.

37º

37º

Rpta. 0,56. 78

M

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45. Una carretera tiene una curva de radio r = 25 m y un peralte de  = 10º, se sabe que el coeficiente de fricción entre los neumáticos y el pavimento es  = 0,3 ¿Cuál es la máxima rapidez que puede mantener el automóvil sin salir resbalando por la carretera? (Peralte, es la inclinación de la carretera). Rpta. 11,1 m/s.

41. Se quiere subir con movimiento uniformemente acelerado un cuerpo de 2 kg por una rampa del 10 por 100 de pendiente y 5 m de longitud en un tiempo de 10 s. El coeficiente de rozamiento vale 0.4. Calcule la fuerza paralela a la rampa que se debe aplicar. F

46. Se tiene un péndulo que oscila en un plano vertical. La masa es m, la longitud de la cuerda es L y la aceleración de la gravedad es g , responda: a. ¿ Cuál es la tensión de la cuerda cuando la masa llega a su punto mas alto?. Inicialmente la masa se separo de su posición de equilibrio de modo que la cuerda formaba un ángulo  con la vertical. b. ¿Dónde es mayor la tensión de la cuerda, si la masa esta en el punto mas bajo o en el punto mas alto?.

ß 42. Un auto viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 30 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática es 0,6; calcule: a. ¿cuál es la máxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. b. Repetir la pregunta anterior para un peralte de 5º. Rpta. 13,28 m/s y 14,22 m/s. 43. En la figura se muestra tres bloques A, B y C de pesos WA = 100 N, WB = 200 N y WC = 500 N respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre A y B es 0,2 y entre B y la superficie horizontal 0,3; halle la aceleración relativa del bloque A con respecto a B.



L m

Rpta. mgcos y en el punto más bajo.

A

47. Halle la máxima rapidez a la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30. Rpta. 8,57 m/s.

B

C

44. Una piedra gira en un plano vertical describiendo una circunferencia. Si la cuerda que la mantiene en movimiento tiene una tensión 6 veces el peso de la piedra, calcular la velocidad de la piedra para la posición mostrada en la figura (Longitud de la cuerda 5 m)

48. Una masa de 0,2 kg colgada de un hilo de 1 m de longitud describe una circunferencia de 0,5 m de radio con rapidez constante, como se indica en el gráfico. Calcule: a. La tensión del hilo. b. La rapidez con que gira. Rpta. 2,26 N y 1,68 m/s.

Rpta. 15.65 m/s. 79

DINÁMICA

M. Sandoval, R. Huatay

49. Un automóvil arranca, y aumentando la rapidez uniformemente avanza por un tramo de carretera horizontal en forma de arco de circunferencia con ángulo , el radio de la circunferencia es r = 180 m ¿Cuál es la rapidez máxima “v” que puede salir el automóvil a la parte recta de la carretera?. El coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento es  = 0,25.

plataforma que gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante. El coeficiente de rozamiento estático entre los bloques y la plataforma es 0,2. Despreciando el peso de la pequeña polea, determinar: a. A cuantas revoluciones por minuto empiezan a deslizarse los bloques. b. La tensión en la cuerda. 15 cm

45 cm



A 24N

B 16N

v

O Rpta. 21 m/s.



50. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es 9,8 N. ¿Cuál es la masa de la piedra? Rpta. 0,5 kg.

54. La masa A esta moviéndose en un plano horizontal según se muestra en la figura. La longitud de la cuerda es 5 m. La rapidez de la masa de 1 kg en todo instante es: 

51. Un niño ata una pita de 0,5 m de longitud a una pelota de 0,25 kg de masa y lo hace girar en un círculo vertical. La rapidez de la pelota en el punto más alto es de 4 m/s y en el punto más bajo 6 m/s. Haga el DCL de la pelota en el punto más alto y en el punto más bajo y halle el valor de la aceleración centrípeta y la tensión en dichos puntos. 2

Rpta. 31,5 rev/min y 11,2 N.

37º

A

Rpta. 4,7 m/s. 55. Una bolita de masa "m" descansa inicialmente en la parte baja de un casquete semiesférico cuyo interior es liso, tiene 2 m de radio. ¿Qué ángulo "" habrá subido "m" cuando el casquete gire a razón constante de  rad/s.

2

Rpta. 32 m/s y 72 m/s ; 5,55 N y 20,45 N.

52. El sistema de la figura gira con velocidad angular constante alrededor del eje vertical. Si la rapidez del bloque A es de 2 m/s, halle la tensión de la cuerda. mA = 0,5 kg (longitud de la cuerda 5 m)





53°

m = 1 kg

R 

A

Rpta. 60,23º.

Rpta. 3,34 N. 53. Dos bloques tienen el peso y la posición indicados en la figura. Descansan sobre una 80

DINÁMICA

M. Sandoval, R. Huatay

56. Se tiene una barra doblada en “L” (b = 0,57 m) en su extremo hay una cuerda de longitud “” = 0,83 m, y está unida a una masita m = 4,74 kg y  = 50°. Calcular: a. La velocidad angular con que debe girar el eje de la barra; y la tensión de la cuerda. b. Si la tensión máxima que puede soportar la cuerda es 98 N; encontrar el ángulo “” que se inclinaría la cuerda.

59. Una partícula puntual de masa m, sujeta al extremo de una cuerda de longitud L, gira describiendo circunferencias verticales alrededor de un punto fijo O, que es el otro extremo de la cuerda. a) Demostrar que la velocidad de la partícula en el punto superior de la trayectoria es menor que en el inferior. b) Calcular la tensión de la cuerda en ambos puntos. Rpta. a) v12 + 4 gL = v22; b) T1 = m (v12/ L – g), T2 = m (v22/ L + g). 60. Una partícula puntual de masa m, sujeta al extremo de una cuerda de longitud L, gira describiendo circunferencias horizontales de radio R, siendo v su velocidad. Al mismo tiempo, el hilo describe la superficie de un cono (péndulo cónico). Determinar el ángulo  que forma la cuerda con la vertical, así como la tensión que experimenta. Rpta. tg  = v2 / Rg; T = (v4/ R2 + g2)1/2.

Rpta. 3,12 rad/s y 61,7 º 57. 12.– Sobre la superficie completamente lisa de un cono de revolución, que gira alrededor de su eje vertical OO´ con una velocidad angular de 15 RPM. está situado un cuerpo A, de 2 kg de masa, sujeto al vértice del cono por un hilo inextensible y sin masa, de 4 m de longitud. Calcular: a) La velocidad lineal del cuerpo A tomando como sistema de referencia la Tierra. b) La reacción de la superficie del cono sobre el cuerpo. c) La tensión del hilo. d) La velocidad angular a que debe girar el cono para anular su fuerza de reacción sobre el cuerpo.

61. Una plataforma circular, colocada horizontalmente, gira con una frecuencia de dos vueltas por segundo alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Sobre ella colocamos un objeto de madera, tal que el coeficiente estático de rozamiento entre el cuerpo y la plataforma es 0,4. Hallar la distancia máxima al eje de giro a la que debemos colocar el cuerpo para que éste gire con la plataforma sin ser lanzado al exterior. Rpta. r = 2,5 cm.

Rpta. a) v =  m/s; b) N = 1,25 N; c) T = 21,9 N; d)  = 1,68 rad/s.

62. Calcular el valor mínimo del radio que puede tener una curva de la carretera, de ángulo de peralte , para que un automóvil que la recorre a la velocidad v no se deslice hacia el exterior, siendo  el coeficiente de rozamiento dinámico. Rpta. r = v2/g · (1 –  tg ) / ( + tg ); si no hay peralte: r = v2/g; si no hay rozamiento: tg  = v2/rg.

58. Un ciclista corre sobre una pista circular peraltada 30º respecto a la horizontal, describiendo su centro de gravedad una circunferencia de 65 m de radio. Calcular la velocidad angular que debe llevar el ciclista si desea mantener el plano de la bicicleta completamente perpendicular respecto al suelo de la pista, sin que vuelque. Rpta.  = 0,295 rad/s.

Rpta. v = 10 m/s.

81

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

TRABAJO DE UNA FUERZA Una fuerza al actuar sobre un cuerpo tiende a cambiar el estado energético del mismo, o deforma al cuerpo macroscópica o microscópicamente. Si la fuerza cambia el estado energético del cuerpo, con la energía también se puede realizar trabajo y trasferir energía a través de trabajo mecánico a otros cuerpos. Matemáticamente, se define trabajo mecánico como: 

r

W 

 f







F .d r



Si

F  constante



 r

f













 W  F .  d r  F . r  F .( r f  r O ) 

rO

rO

ENERGÍA CINETICA. Es la capacidad que tiene un cuerpo de realizar trabajo debido a su rapidez. Se debe tener en cuenta que es una energía relativa, es decir, depende del nivel de referencia.

Matemáticamente.

EK 

1 2 mv 2

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar trabajo debido a la posición que ocupa dentro de un campo gravitatorio. Se debe tener en cuenta que es una energía relativa, es decir, depende del nivel de referencia. Matemáticamente.

E Pg  mgy

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA. Es la capacidad que tiene un resorte para realizar trabajo debido a la deformación a la que ha sido sometido.

Matemáticamente.

E PK 

1 2 Kx 2

ENERGÍA MECÁNICA. La suma escalar de las energías anteriormente descritas, constituye la llamada Energía Mecánica.

EM  EK  EP 

1 2 1 mv  mgy  Kx 2 2 2

FUERZAS CONSERVATIVAS. Se llaman así a las fuerzas que presentan las siguientes características. 

Toda fuerza conservativa tiene asociada una energía potencial, también se puede decir que si existe una energía potencial, esta proviene de una fuerza conservativa. 82

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.



El trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es cero, no se puede decir, que si una fuerza realiza trabajo nulo en una trayectoria cerrada esta fuerza no necesariamente es conservativa.



El trabajo de un punto a otro, no depende de la trayectoria descrita, solo de su oposición inicial y final.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. Si todas las fuerzas que realizan trabajo son conservativas, entonces la energía mecánica se conserva. En un determinado proceso puede haber transformación de un tipo de energía a otra, es decir, de energía cinética a energía potencial y viceversa. Matemáticamente se expresa:

EM 

1 2 1 1 1 mv1  mgy1  Kx12  mv22  mgy2  Kx 22  constante 2 2 2 2

TRABAJO DE FUERZAS NO CONSERVATIVAS. Las fuerzas no conservativas, ocasionan cambio en la energía mecánica, este cambio viene dado por la relación:

1 1 1  1  WFNC  E M   mv22  mgy2  Kx 22    mv12  mgy1  Kx12  2 2 2  2 

TRABAJO DE FUERZAS CONSERVATIVAS. Las fuerzas conservativas, ocasionan un cambio negativo en la energía potencial, este cambio viene dado por la relación:

 1 1    WFC  E P    mgy2  Kx 22    mgy1  Kx12  2 2    

TRABAJO NETO O TRABAJO DE LA FUERZA RESULTANTE. Es la suma total de todos los trabajos, tanto de las fuerzas conservativas como no conservativas, si sumamos las dos relaciones anteriores obtenemos:

1  1  WFR  E K   mv22    mv12  2 2    

POTENCIA. Es la rapidez con que las fuerzas externas realizan trabajo, este término esta asociado con máquinas, una máquina es más potente que otra, si hace el mismo trabajo en menos tiempo o más trabajo en el mismo tiempo.

P

W t

83

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

EFICIENCIA. Es el grado de aprovechamiento de la energía en una máquina. Toda máquina se usa para realizar trabajo, esta máquina se alimenta y también pierde energía en forma de calor. Por lo tanto tenemos: Ps= potencia suministrada o consumida por la máquina. Pu = Potencia útil o potencia desarrollada por la máquina. Pp = potencia perdida o disipada por la máquina. La eficiencia se calcula por:  

Pu Ps

Si se desea en forma porcentual, se tiene: % 

Pu *100 Ps

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TRABAJO Y ENERGIA

Martín. Sandoval Casas.

PROBLEMAS RESUELTOS – TRABAJO Y ENERGIA 1. Un bloque de masa 10 kg, se empuja hacia arriba sobre un plano inclinado liso por medio de una fuerza constante “F” paralela al plano inclinado (ángulo de 37°), de modo que asciende a velocidad constante. El bloque se desplaza una distancia de 25 m sobre el plano. Calcúlese el trabajo efectuado por la fuerza “F”. Solución: Si se usa la definición el trabajo buscado debería ser: W = F.d

(1)

o para este caso particular: W = Fd

(1a)

Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, se puede trabajar solo con los módulos. Para hallar la fuerza “F”, se usa la primera Ley de Newton, en la dirección paralela al plano. F = F – mgsen = 0

(1b)

Reemplazando la fuerza F de (1a) en (1b), se encuentra que: W = mgsen d

(1c)

Calculando con los datos, se obtiene que:

W = 1 470 J

2. Calcule el trabajo realizado por la fuerza de 120 N, al trasladar el cuerpo del punto A al punto B., por el camino curvado.  = 37°. |AC| = 8 m, |CB| = 6 m. Solución Como la trayectoria no es una línea recta, es conveniente dividir el recorrido total en pequeños tramos, tales que cada uno sería aproximadamente una línea recta, y evaluar el trabajo en cada tramo, es decir: W1 = F . d1,

W2 = F . d2,

W3 = F . d3... (1a)

Donde d1, d2, d3,...son los desplazamientos de cada tramo. Luego, se suman los trabajos de cada tramo para encontrar el trabajo total: W = W1 + W2 + W3 + ...

(1b)

Empleando (1a) en (1b): W = F . d1 + F . d2 + F . d3 + ... W = F . (d1 + d2 + d3 + ...) = F . dAB 85

(1c)

TRABAJO Y ENERGIA

Martín. Sandoval Casas.

Donde se ha empleado la propiedad distributiva del producto escalar de vectores, puesto que la fuerza es la misma. La suma de todos los pequeños desplazamientos es igual al desplazamiento que hace el cuerpo desde el punto inicial (A), hasta el punto final (B). Para aplicar la ec. (1c), hay que descomponer la fuerza en sus componentes horizontal y vertical, lo cual se hace por trigonometría.

Fx = Fsen Fy = Fcos

(1d)

Las componentes del desplazamiento son datos:

dx = |AC|=8 m, dy = |CB| = 6 m.

Reemplazando (1d) en (1c), se obtiene que: W = F sen dx + F cos dy

(1e)

Calculando con los datos en (7e), se encuentra que: W = 1 152 J

3. En el sistema de bloques que se deja en libertad las masas son m1 = 16 kg; m2=24 kg. Resuelva: a. ¿Cuál es la energía cinética del bloque 2, si el bloque 1 ha adquirido una energía cinética 15,68 J?. b. ¿Qué distancia ha recorrido el bloque 2 hasta que el bloque 1 adquiera la energía cinética de 15,68 J?. Solución. a. por def. de energía cinética, se puede hallar la velocidad del bloque 1: ½m1v2 = 15,68 J Obteniéndose: v = 1,4 m/s Como ambos bloques se unen por una cuerda, tienen la misma velocidad y se puede hallar entonces la energía cinética del bloque 2: ½m2v2 = 23,52 J b. recuerde que el teorema del trabajo y la energía, indica que: WF Resultante = (½mv2)

86

(1)

TRABAJO Y ENERGIA

Martín. Sandoval Casas.

Empleando este teorema a cada bloque, se obtiene que: bloque 1:

(T – m1g)d = ½m1v2 – ½m1vo2 = ½m1v2

(1a)

bloque 2:

(m2g – T)d = ½m2v2 – ½m2vo2 = ½m2v2

(1b)

Donde “d” es la distancia que se mueven los bloques. Además se usó el dato de que vo = 0 (el sistema se deja en libertad). Sumando (1a) + (1b), se encuentra que:

1 1 m1v 2  m2v 2 2 2 d  m2 g  m1 g

(1c)

Reemplazando los datos en la ec.(1c) los datos se obtiene que: d = 0,5 m.

4. Se empuja un bloque de 6 kg, contra un resorte cuya constante de fuerza es de 600 N/m, comprimiéndolo 14 cm (punto A en la figura). Luego se suelta, y el resorte empuja al bloque por una superficie horizontal lisa, continuando luego por un plano inclinado a 53°. Resuelva: a. ¿Cuál es la rapidez del bloque en el momento en que se separa del resorte (punto B)?. b. ¿Qué distancia llega a recorrer subiendo por el plano inclinado hasta quedar en reposo (punto c)?. Solución Como solo intervienen fuerzas conservativas, la energía mecánica se mantiene constante en todo momento. Si se elige el nivel de referencia a la superficie horizontal, la energía mecánica al inicio consta solo de la energía potencial elástica del sistema, bloque más resorte, es decir: Em,A = ½kx2

(1a)

Cuando se separa del resorte solo tiene energía cinética: Em,B = ½mv2

(1b)

Igualando las energías mecánicas en los puntos A y B, se obtiene que: ½kx2 = ½mv2

(1c)

Reemplazando los datos en la ec. (1c), se encuentra que:

v = 1,4 m/s.

Cuando el bloque se desliza hacia arriba por el plano inclinado, su rapidez decrece hasta anularse a su máxima altura (punto C), donde quedará momentáneamente en reposo. Su energía mecánica es entonces puramente energía potencial gravitacional: 87

TRABAJO Y ENERGIA

Martín. Sandoval Casas.

Em,C = mgh

(1d)

La energía mecánica se mantiene en su valor, por lo que se puede igualar las energías en los puntos Ay C: ½kx2 = mgh

(1e)

Calculando con los datos, en la ec. (1e) se obtiene que: h = 0,10 m. Y la distancia “s”, que recorre el bloque en el plano inclinado es: “s” = h/sen = 0,125 m

5. Un cuerpo de masa 5 kg se deja en libertad en el punto (A) a la altura de 10 m sobre el nivel. La pista mostrada consta de una parte curva AB que es lisa; y de una parte recta (BC) que es rugosa, El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la pista en el tramo BC es 0,4. La longitud del tramo BC es 30 m. Halle el trabajo hecho por las fuerzas de rozamiento desde el punto (A) hasta que quede en reposo. Solución Como la única fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento que ejerce la parte horizontal sobre el cuerpo, el trabajo de esa fuerza debe ser igual al cambio de energía mecánica: Wfnc = (½mv2) + Ug = Ug

(1a)

Donde se ha tomado en cuenta que solo hay cambio de energía potencial gravitacional. Como el bloque parte del reposo y finaliza en reposo, las energías cinéticas al inicio y al final son iguales a cero. El cambio de energía potencial es: Ug = –mgh

(1b)

Puesto que el bloque desciende, aparece un signo menos. Reemplazando (10b) en (10a), se obtiene que: Wfnc = –mgh

(1c)

Usando los datos, se encuentra que: Wfnc = –490 J

88

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

6. Una fuerza neta de 5 N actúa sobre un cuerpo de 15 kg que se encuentra inicialmente en reposo. a. Calcule el trabajo hecho por la fuerza durante el primer segundo. b. Calcule la potencia instantánea ejercida por la fuerza al terminar el tercer segundo. Solución: d = f( a )

a. W = F.d

a

F =m a

vO = 0

= F/m = 1/3 m/s2

d=½

a t2 = 1/6

W = 5/6 joule. b. P = W/t = F d/t = F.V V(3) =

a t = 1/3. 3 = 1 m/s

P=5W L

7. El clavo de la figura está localizado a una distancia “d” bajo el punto de apoyo. Encuentre el mínimo valor de la distancia “d” para que la bola pueda dar una vuelta completa en un círculo con centro en el clavo.

d

Solución:

Tomando como sistema de referencia el clavo y aplicando conservación de energía se obtiene:

EA = EC 

L

mgd = mg( L – d ) +

mVC2 .....(1) 2

A DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE EN C : d C

La rapidez mínima en C para que pueda la bola dar una vuelta completa alredor del clavo es: SR FC = mg 

mVC2  mg  VC2  g ( L  d ) ...(2) Ld

Reemplazando (2) en (1) se obtiene: mgd = ½ mg( L – d ) + mg ( L – d ) d = 0,6 L

89

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

8. Se usa una cuerda para bajar verticalmente un bloque de masa “M” una distancia “d” con una aceleración constante hacia abajo g/4. Halle el trabajo efectuado por la cuerda sobre el bloque. Solución: T

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE M: Mg – T = Ma = M (g/4) 

M

T = 3Mg/4

WT = – 3Mgd/4 Mg 9. El cable de un elevador de 17 800N se revienta cuando el elevador se encontraba en reposo en el primer piso, de manera que su fondo estaba a una altura d = 2 m sobre un resorte cuya constante elástica es k = 32 000 N/m. un sistema de seguridad afianza las guías contra los rieles en tal forma que al movimiento del elevador se opone una fuerza de rozamiento constante de 1800 N. Encuentre la distancia “x” que se deformará el resorte.

d

Solución:

Considerando como sistema de referencia el punto final C:

A

Wf = EC – EA

......(1)

d x C

B

–fr ( d + x ) = ½ kx2 – mg (d + x) ( mg – fr )(d + x ) = ½ kx2 16000 ( 2 + x ) = ½ . 32 000x2 2 + x = 10 x2



x1 = 0,5 m

x2 = – 0,4 m

Donde la máxima compresión es 0,5 m y 0,4 es la máxima altura que alcanza el resorte en el

90

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.



10. La fuerza potencial y constante F  7iˆ  6 ˆj  2kˆ N, actúa sobre la partícula. Calcule el trabajo efectuado sobre la partícula cuando se desplaza desde el origen de un sistema de coordenadas hasta

 r  3iˆ  4 ˆj  16kˆ N.

Solución:

 

W = F .r  ( 7ˆi  6 ˆj  2kˆ ).( 3ˆi  4 ˆj  16 kˆ )  21  24  32  29 J . W = 29 J 11. Considérense dos observadores, uno de los cuales tiene el marco de referencia fijo al suelo y otro con marco de referencia fijo a un tren que se mueve con velocidad uniforme “v” con respecto al suelo. Cada uno observa que una partícula de masa “m”, que se encuentra inicialmente en reposo respecto al tren, es acelerado hacia delante, adquiriendo la aceleración “a”, por medio de una fuerza constante aplicada a ella durante un tiempo “t”. Halle el trabajo hecho respecto al observador con marco de referencia fijo al suelo. Solución : v= O’

O’

O

dt

dm

El observador fijo al suelo (O) determina un trabajo W = F.( dt + d m ) F = ma ...(1) dt = t ...(2)

dm = ½ at2

....(3)

...(*)

reemplazando en (*)

W = ½ ma2t2 + mat 12. La fuerza F(x) = 3x2 –2 x actúa sobre una partícula de masa 2 kg, Desde x = 2 m hasta x = 10 m. Calcule el trabajo, en joule, hecho por esta fuerza en el intervalo mencionado. Solución: 10

10

10

10

W( F )   (3x  2 x).dx  3 x dx  2 2

2

2

2

2

10

 x3   x2  xdx 3   2   (10)3  (2)3  (10)2  (2) 2  3 2  2 2

W( F)  1000 8  100  4  896 joule. W( F )  896 J

91

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

13. La partícula de masa “m” de la figura se mueve en un circulo vertical de radio R dentro de la vía. No hay rozamiento. Cuando “m” se encuentra en su posición más baja, lleva una velocidad “V”. Supóngase que V = 0,775VO (donde VO es la velocidad mínima que la partícula tendría en su posición más baja para que dé una vuelta completa sin despegarse de la vía). En estas condiciones, la partícula se moverá por la vía hasta cierto punto P, en el cuál se despegará de la vía y seguirá moviéndose según la trayectoria marcada a trazos. Encuentre, en forma aproximada, la posición angular  del punto P.

P

R  v

Solución: A

P

Circulo mayor.(sistema de referencia B)

R

EA = EB

½ mVO2 = ½ mVA2 + mg(2R) ....(1)

DCL en A :

mVA2 /R = mg

(2) en (1)

½ mVO2 = ½ mgR + 2mgR

 v



VA2 = Rg ....(2)

 VO = 5Rg ....(3)

B

Analizando B y P. Circulo punteado (sistema de referencia B). ½ mV2 = mg ( R + Rsen ) + ½ mVP2  ½ ( 0.775)2VO2 = gR( 1 + sen ) + ½ VP2 ...(4) Haciendo DCL en el punto P. mVP2 / R = mgsen 

VP2 = Rgsen ....(5)

(5) en (4)

½ ( 0.775)2VO2 = gR( 1 + sen ) + ½ Rgsen ...(6)

(3) en (6)

½ ( 0.775)2.5Rg = gR( 1 + sen ) + ½ Rgsen

/ Rg

3/2 = 1 + 3/2 sen  Simplificando se obtiene:

sen  = 1/3

92

 = arcsen 1/3

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M. Sandoval, R. Huatay.

PROBLEMAS PROPUESTOS – TRABAJO Y ENERGÍA 1. Se lanza un bloque de 5 kg con una rapidez vo= 10 m/s de una altura de 5 m, realizando una compresión máxima al resorte mostrado en 20 cm. La constante de deformación del resorte, en N/m, es

4. Una esfera de 1 kg pasa por A con una rapidez de 2 m/s y por B, con 4 m/s. Determine el trabajo neto, en J, de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. A

vo = 10 m/s H = 0,5 m

5m

B 37º Rpta. 6 J.

K

5. Un pequeño bloque desliza hacia abajo a lo largo de un alambre recto partiendo desde el punto A con una rapidez de 5 m/s. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el alambre y el bloque es 0,35, determine la rapidez del bloque cuando pasa por el punto B.

Rpta. 25 240 N/m. 2. Se lanza hacia abajo la masa de 2 kg con una velocidad de –10 j m/s, a una altura de 5 m, sobre un resorte sin estirar, si la compresión máxima del resorte es de 10 cm, determine la constante elástica del resorte.

5m A

m 5m

B Rpta. 7,51 m/s.

K

6. Una masa pequeña m esta ligada al extremo de una cuerda de longitud 3 m. La masa se suelta desde el punto A dándole una rapidez de salida de 2 m/s. En el punto C la cuerda encuentra un clavo, determine el ángulo  al cual llega la masa m.

Rpta. 39 992 N/m. 3. Calcule el trabajo realizado por el peso, al trasladarse por la fuerza F = 150 N al cuerpo de masa m = 10 kg a lo largo de la trayectoria ABCD. D

53 º

1m D

60º C

12 m

F

C

 37º

B

A

m

A 16 m

Rpta. 81,49º

Rpta. –1176 J.

93

m

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M. Sandoval, R. Huatay.

7. El bloque de 30 kg parte del reposo desde el punto “A” donde esta el resorte inicialmente sin deformar. Calcule la constante “K” del resorte. La rapidez del bloque es 10 m/s al pasar por la posición B ( F = 250 N ) 4

F

3m

10. Una masa de 2 kg es atada O a un hilo de 5 m de 37º longitud, fijo en O, si se suelta de la posición A. Determine: A a. El trabajo realizado B por la tensión de A hacia B. b. La rapidez del móvil al pasar por B. c. La tensión de la cuerda en A. d. La tensión de la cuerda en B

3 A

4m

Rpta. 238 N/m

B Rpta. 0 J, 4,43 m/s, 15,68 N y 27,4 N.

8. Si el móvil de 10 kg mostrado en la figura, sube con velocidad constante por acción de la fuerza F, en un piso sin fricción. Determine el trabajo efectuado por la fuerza F, de A hacia B.

11. Sean las fuerzas F1, F2, F3 aplicadas a un cuerpo de masa m, si el cuerpo parte de A con rapidez vo y recorre una trayectoria arbitraria, pero regresa al mismo punto A y con la misma rapidez vo. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: (Solo F 1 es conservativa) ( ) WF1 = 0 ( ) WF2 + WF3 = 0 ( ) WFR = 0 ( ) WF1 = Ep ( ) WF2 + WF3 = Ek ( ) WF2 = WF3 ( ) WFR = Ep ( ) WF1 = Wpeso Ep : energía potencia gravitatoria Ek : energía cinética W : trabajo FR : fuerza resultante Rpta. VVVFFFFV

B 6m

F 32º

A

Rpta. 588 J. 9. Se tiene un resorte que se somete al siguiente experimento. Se le cuelga ciertos pesos W y el resorte experimenta cierta deformación x. Peso (N) 2 4 6 8 10

Deformación(m) 0,020 0,040 0,060 0,085 0,100

Luego se procede a hacer el experimento siguiente: 5 kg Una masa de 5 kg se suelta sobre el resorte desde una altura 2m de 2 m, tal como muestra la figura. Determine la máxima deformación que experimenta el resorte. Rpta. 1,97 m 94

12. Un bloque de 2 kg pasa por A con cierta rapidez vA, en un piso rugoso hasta B y con  = 0,4, luego ingresa a una pista semicircular lisa de radio 4 m. El móvil al pasar por C experimenta una fuerza de reacción del piso de 80 N. Determine la velocidad vA.

vA

C 4m

A Rpta. 17,79 m/s.

10 m

B

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

13. En el sistema de bloques 1 y 2 que se muestra, las masas son m1 = 60 g, m2 = 40 g, la altura es H = 30 cm y el ángulo de inclinación es  = 75°. Asuma que la energía potencial del conjunto 1 y 2 es 0,250 J, cuando el sistema se deja en libertad. Después que el bloque 2 se ha desplazado en el plano inclinado, una distancia de 15 cm, ¿Cuál es la energía mecánica del conjunto?.

16. El sistema se deja en libertad con el resorte en su posición natural, halle la rapidez de m2, cuando este haya descendido un metro. k m1 m1 = 2 kg m2 = 6 kg k = 20 N/m  = 0,3

m2

1

1m Rpta. 3,27 m/s. 2

H

17. Una fuerza neta de 5 N actúa sobre un cuerpo de 15 kg que se encuentra inicialmente en reposo.



Rpta. 0,250 J.

a. Calcule el trabajo realizado por la fuerza durante el primer segundo.

14. Se dispone un sistema como muestra la figura con vo = 0. Determine el trabajo realizado por la tensión en el bloque de 2 kg después de 5 segundos de instalado el sistema.

b. Calcule la potencia instantánea ejercida por la fuerza en t = 3 s. Rpta. 0,83 J y 5 W. 18. Una masa de 5 kg se traslada de A hacia B, por acción de una fuerza F. El trabajo realizado en este tramo por el peso, en J, es:

5 kg s = 0,5 k = 0,3

y B (4, 7)

2 kg Rpta. 0 J. F=12i+40j

15. El collarín de m = 2 kg se suelta desde A con  = 37º y baja por el tubo sin fricción. Halle su velocidad cuando pase 5 m por debajo del punto B. En  = 0º el resorte no esta deformado. (K = 31,4 N/m)

A

Rpta. –343 J. 19. Un niño se deja caer desde el punto “A” a través de la esfera. Cuánto vale el ángulo “ ” , sabiendo que el niño se desprende en el punto” B” no hay rozamiento.

m k

A



B

x

A (0, 0)

R

12 m

R

Rpta. 20 m/s. Rpta. 48,2º 95



B

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

24. La fuerza F(x) = 3x2 –2x actúa sobre una partícula de masa 2 kg, desde x = 2 m hasta x = 10 m. Calcule el trabajo realizado por esta fuerza en el intervalo mencionado. Rpta. 896 J.

20. Un bloque de 1 kg de masa desciende por el plano inclinado que se muestra en la figura, si la superficie es rugosa, k = 0,4 , determine la distancia “d” hasta que se detiene vo = 5 m/s

25. Un cuerpo de masa “m” se deja en libertad en el punto (A) a la altura “h1” sobre el nivel. La pista mostrada consta de una parte curva AB que es lisa; y de una parte recta (BCD) que es rugosa, y está a una altura ”h2” sobre el nivel. Los coeficientes de rozamiento entre el cuerpo y la pista en los tramos BC y CD son respectivamente “1” y “2”. Las longitudes de los tramos BC y CD son respectivamente, “1” y “2”; g = aceleración de la gravedad. Halle el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento desde el punto (A) hasta que quede en reposo.

h=5m 37º d

Rpta. 9 m.

21. El valor nominal de la energía contenida en la mantequilla es de 2,5×107 J/kg. ¿Cuántos gramos de mantequilla serían equivalentes a la energía necesaria para impulsar a un hombre de 50 kg desde una altura de 2 000 m hasta 4 000 m? 22. Halle la mínima altura H para que el cuerpo de masa 2 kg pueda llegar al punto C de la circunferencia mostrada. Si el cuerpo se suelta del reposo del punto A y recorre el plano inclinado con  = 0,4, después de B la superficie es lisa.

1

Am B h1

2 C

h2

1

D

2

A 26. Dos masas “m” y “M” se dejan reposo como se muestra en la figura. El peso de “M” vence a la fuerza de fricción estática que hay entre “m” y la mesa; acelerando el conjunto. La masa “m” avanza una distancia “h + x” hasta que se detiene en la posición (P). La posición inicial de la masa “M” con respecto al suelo, es “h”. Hallar el trabajo que hace la fuerza de rozamiento (el coeficiente no se conoce).

C 2m

H 37º Rpta. 10,71 m

B

23. Se tiene un bloque de masa 2 kg. en reposo sobre una superficie rugosa con c = 0,3, si se le aplica una fuerza constante, de 20 N, paralela a la superficie y durante 5 segundos, determine: a. La aceleración del bloque durante los 5 primeros segundos y la rapidez instantánea a los 5 segundos. b. La aceleración después de 5 segundos y el tiempo que tarda en detenerse después de dejar de aplicar la fuerza de 20N. c. El trabajo realizado por la fuerza de 20N. d. El trabajo de la fuerza de rozamiento.

m

P h

x M

h

Rpta. –Mgh.

96

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

27. Una cuenta de masa m parte del reposo desde el punto A (h1 = 83,6 cm), y comienza a deslizarse a lo largo del alambre. Cuando llega al punto B (h2 = 13,4 cm), la bolita ha perdido en el camino un 26,7% de su energía inicial (tomando como nivel de referencia el indicado en la figura). Calcule la rapidez de la bolita en el punto B. A

Rpta. 0,39 m 30. Se deja en reposo un cuerpo de masa m, desde una altura H = 3R, y desliza sin fricción por el camino. El rizo circular tiene un radio R. Calcular: a. La rapidez del cuerpo en el punto más alto del rizo circular. b. La altura h a la que llegaría el cuerpo en el rizo circular, si se suelta ahora desde una altura H = 9 R/4.

B

m

h1 h2 H

Nivel de referencia

R

28. M es un `motor que tira de una caja (m) de 1 542 kg. La caja avanza a 1,87 m/s2. En cierto momento la rapidez de la caja es 6,7 m/s, pasados 4,7 s, ¿Cuál es el trabajo realizado por el motor?, ¿Qué potencia proporciona el motor en ese instante?.  = 35°. M

Rpta.

2 gH y 11R/6

31. Un bloque de masa “m” se ha colocado suavemente sobre un resorte vertical de longitud L y constante elástica K, teniendo su otro extremo fijo al piso. ¿En que relación se encuentra la deformación máxima xm con la deformación xo que presenta el bloque cuando el sistema queda en reposo?

m 

Rpta. 602 327,5 J y 178 916,54 W.

m k

29. En la figura la masa A esta ligada a un resorte de constante elástica 200 N/m y a un bloque B. Si el sistema parte del reposo en la posición no estirada del resorte y si el coeficiente de rozamiento cinético entre A y el plano inclinado es 0,3 determine: a. La máxima elongación del resorte. Considere mA = 100 kg y mB = 80 kg

32. En el sistema de bloques que se mueve aceleradamente, las masas son m1 = 3 kg, m2 = 8 kg; la inclinación es  = 30°. Aceleración del bloque 2 es 2,45 m/s2. Suponga que la tensión de la cuerda 2 ha hecho un trabajo de –294 J sobre el bloque 2. Encuentre el trabajo que hace el peso del bloque 1 sobre el bloque 1 y el trabajo que hace el peso del bloque 2.

B K

A

cuerda 1

30º

1  97

cuerda 2 2

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

Rpta. –147 J y 392 J. 98

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

33. En el doble plano inclinado ( = 35°), los bloques 1 y 2 se dejan en libertad. Si m1 = 171 kg, m2 = 29 kg,. Calcule: a. ¿Con qué aceleración se mueve el bloque 2?. ¿cuál es la tensión de la cuerda?. b. ¿después de cuánto tiempo el bloque 1 se desplaza una distancia de 13 m?.

36. El móvil de 4 kg de masa pasa por A con una rapidez de 10 m/s, al llegar a B tiene una rapidez de 25 m/s. El trabajo, en J, de la fuerza resultante en este tramo es: A

1

5m

2 B



37. Inicialmente el bloque 2 está en reposo, con el resorte sin deformar. Encuentre el trabajo hecho por la tensión de la cuerda, sobre el bloque 2, si el resorte se ha estirado en x = 10 cm. m1 = 6 kg, m2 = 4 kg, k = 490 N/m.

Rpta. 3,64 m/s2, 338,42 N y 2,67 s. 34. Un objeto de masa m = 2 kg pende, como indica la figura, de una cuerda de 2 m de longitud y de masa despreciable, se tira lentamente de modo que exista equilibrio en todo instante, con una fuerza variable F, que, siendo inicialmente nula, aumenta hasta que la cuerda forma un ángulo de 60º con la vertical. Calcule el trabajo realizado por la fuerza. ¿Cuál es el valor de F al final del desplazamiento?

1

2

Rpta. –3,332 J.

38. Un pequeño cuerpo es soltado desde A, e ingresa a una cavidad esférica de radio R = 8 m, para luego ingresar desde B a un plano inclinado, donde =1/4. Se desea averiguar en que punto C definido por h se detendrá el cuerpo. Si = 37°.

T 60º F ho h

A

mg

c

0

Rpta. 19,6 J y 33,95 N.

h 

35. El bloque de 2 kg. se mueve desde A hacia B sobre una pista circular sin rozamiento de radio R = 0,6 m que termina en un tramo horizontal rugoso; en este recorre una distancia R y hace contacto con un resorte de constante k = 80 N/m. Calcule la rapidez inicial del bloque para que comprima al resorte 0,5 m. con coeficiente de rozamiento de 0,25. A

B 39. A lo largo de un plano inclinado se desplaza un cuerpo de peso W. La altura del plano inclinado es H y tiene el 30 por 100 de pendiente, y además el coeficiente cinético de rozamiento entre la superficie y el cuerpo es . Determine. a) La fuerza mínima horizontal para subir el cuerpo con movimiento uniforme. b) La fuerza paralela al plano para subir al cuerpo en un tiempo t con movimiento uniformemente acelerado. c) El trabajo desarrollado, por la fuerza paralela al plano, diga en que se ha invertido dicho trabajo. d) La potencia media desarrollado.

R

R

K

B

Rpta. 1,9 m/s. 99

TRABAJO Y ENERGIA

M. Sandoval, R. Huatay.

40. Una barra no homogénea de 10 kg. Se encuentra en posición horizontal. Si la barra se mueve lentamente a la posición mostrada y el trabajo realizado por el peso para llevarla es de –588 J. Si la barra mide 12 m. ¿A que distancia del punto “B” se encuentra su centro de gravedad?

46. Un motor que lleva la indicación 1,5 kW eleva un peso de 200 kg a una altura de 7 m en 12 s. ¿Cuál ha sido el rendimiento? ¿Qué energía se ha disipado como calor? 47. Un péndulo de 1 m de longitud y 200 g de masa se deja caer desde una posición horizontal. Calcule la rapidez que lleva en el punto más bajo de su recorrido.

F B

A

37º

Rpta. 2 m. 41. El motor de una excavadora tiene una potencia de 5 000 W. ¿Qué trabajo puede realizar en una hora de funcionamiento?

Rpta. 4,43 m/s

43. Una grúa eleva una carga de 500 kg desde el suelo hasta una altura de 15 metros en 10 segundos. Halla la potencia desarrollada por la grúa en kW.

48. Un automóvil de 1 000 kg de masa circula por una carretera horizontal con una rapidez constante de 72 km/h; el motor aplica sobre él una fuerza de 200 N en la dirección de su movimiento a lo largo de 500 m. a. ¿Cuál es la energía cinética inicial del vehículo? b. ¿Qué trabajo ha realizado el motor sobre el automóvil? ¿Cuál será la energía cinética final suponiendo que no hay rozamiento? c. ¿Cuál es la rapidez final del automóvil?

44. Una máquina consume una energía de 1000 J para realizar un trabajo útil de 650 J. Calcula su rendimiento.

49. Una pequeña esfera de 100 g de masa se deja caer desde el punto A por el interior de una semiesfera hueca como se indica en la figura. El radio de la semiesfera es de 30 centímetros. Se supone que no existen rozamientos. a. Calcula la energía potencial de la esfera en el punto A. b. ¿Qué tipo de energías tiene en M y cuáles son sus valores? ¿Y en N? ¿Y en B?

42. Se sube una caja de 100 kg a una altura de 1,4 m del suelo (a un camión). Indica qué trabajo se realiza al subirla directamente o al subirla mediante una tabla de 3 m de longitud. ¿En qué caso se realiza más fuerza?.

45. Para subir un cuerpo de 10 kg una altura de 2 m mediante un plano inclinado de 5 m de longitud, se necesita aplicar una fuerza constante de 50 N paralela al plano. Calcula el rendimiento. 100

TRABAJO Y ENERGIA

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50. Una esfera metálica de 100 kg de masa se deja caer desde una altura de 5 m sobre un suelo arenoso. La esfera penetra 40 cm en el suelo. Calcule la fuerza med ia de resistencia ejercida por el suelo.

51. Un cuerpo de 5 kg se deja caer desde el punto más alto de un plano de 3 metros de longitud inclinado 45º. Calcula: a. La variación de energía potencial del cuerpo al llegar al punto más bajo del plano. b. La energía cinética en ese momento. c. El trabajo realizado sobre el cuerpo. d. La rapidez del cuerpo al final del plano. e. La rapidez con que hubiera llegado si hubiera caído libremente desde la misma altura.

52. Una bomba de 1,5 kW de potencia extrae agua de un pozo de 20 m de profundidad a razón de 300 litros por minuto. Calcula: a. El trabajo necesario para elevar cada litro de agua. b. El trabajo realizado cada minuto. c. La potencia desarrollada por la bomba. d. El rendimiento de la bomba. 101

MECANICA DE FLUIDOS

M. Sandoval, R. Hautay

MECÁNICA DE FLUIDOS HIDROSTÁTICA DENSIDAD. Es una propiedad de la materia, sea sólido, líquido o gas, en un cuerpo homogéneo, es decir, con igual distribución de masa en todo su volumen se define como, la cantidad de masa por unidad de volumen. m  V Su unidad en el SI es kg/m3. PRESIÓN EN UN FLUIDO. Un fluido estático ejerce una fuerza perpendicular en todas las superficies que mantienen contacto con el fluido. Se define entonces la presión como la fuerza perpendicular aplicada por unidad de área, matemáticamente: P

F A

Su unidad en el SI es N/m2, a esta unidad se denomina pascal Pa. PRESIÓN ATMOSFÉRICA. Es la presión debido al peso de la atmosfera, por esta razón la presión atmosférica varia con la altura. La presión al nivel del mar es aproximadamente 101 kPa. PRESIÓN HIDROSTÁTICA. La presión P debido al peso de un fluido a una profundidad h dentro del fluido, es: PM   gh PRESIÓN ABSOLUTA. Esta presión es total, y se debe al peso de un fluido más el peso de la atmósfera, a una cierta altura y, es:

PA  PO  PM  PO   gy

con

PO  1,013x105 Pa

PRINCIPIO DE PASCAL. El incremento de presión aplicada a un fluido encerrado se transmite por igual a todas las partes del fluido. Matemáticamente.

P1  P2

ó

F1 F2  A1 A2

En este principio se basa el diseño y construcción de los elevadores hidráulicos. FLOTACIÓN – PRINCIPIO DE ARQUIMIDES. Si un cuerpo de densidad  y volumen V se sumerge un cierto volumen parcial V S , en un líquido de densidad  L , este cuerpo experimentara una fuerza vertical y hacia arriba, que es consecuencia de la diferencia de presiones que actúan en el cuerpo. La magnitud de esta fuerza viene dada por:

E   L gVS En este principio se basa la construcción de los submarinos. 102

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M. Sandoval, R. Hautay

HIDRODINÁMICA FLUJO DE UN FLUIDO. Las formulas que se describirán, son validas para fluidos ideales, con las siguientes características: 

Incompresible, es decir que su densidad permanece constante.



Es no viscoso, es decir no presenta fricción interna.



Es estacionario, es decir independiente del tiempo, el tiempo pasa y las líneas de corriente se mantienen constantes en el tiempo.



Es laminar, es decir las líneas de corriente se desplazan suavemente una sobre otra en un régimen estable.

ECUACION DE BERNOULLI. En un fluido puede cambiar la velocidad, la presión y la altura con respecto a un nivel de referencia. El trabajo realizado por el fluido circundante sobre un volumen unitario es igual a la suma de los cambios de energía cinética y potencial por unidad de volumen.

P1 

1 1  v12   gy1  P2   v22   gy 2  constante 2 2

ECUACION DE CONTINUIDAD (conservación de masa). La masa de un fluido se mantiene constante, es decir, la masas que ingresa a una tubería es la misma que sale por la tubería. Matemáticamente:

Q

V  A1 .v1  A2 .v2  constante t

103

MECANICA DE FLUIDOS

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PROBLEMAS RESUELTOS – HIDROSTATICA 1. El depósito de la figura contiene aire comprimido cuya lectura manométrica es de 18,4×104 Pa. Si los tres líquidos no miscibles situados debajo de él tienen densidades 1 = 0,6×103 kg/m3. 2 = 1,0×103 kg/m3 y 3 = 13,6×103 kg/m3. ¿Cuál es La presión manométrica en la superficie de separación entre 2 y 3.

Aire 1

1,0 m

2

1,0 m

3

2,0 m

Solución: La presión manométrica pedida según el problema lo ubicamos en el punto A (según figura de solución)

aire 1

Aplicando la formula para presión manométrica de un fluido.

1,0 m

2

1,0 m

Pman = gH

3

A

2,0 m

En el punto A observamos que actúa la presión del aire, además de la presión manométrica debida a los líquidos 1 y 2. PA = Paire + 1gh1 + 2gh2 ....(1) Reemplazando los datos en (1) obtenemos: PA = (18,4×104 + 0,6x103×9,8×1 + 1,0×103×9,8×1)Pa PA = 1,9968×105 Pa 2. Un cubo de madera de arista 30 cm con densidad 0,6 g/cm3 esta sumergido parcialmente en agua, y sobre el cubo se encuentra un cilindro metálico como se muestra en la figura. Si las 3/4 partes del cubo están bajo el agua, calcule el peso del cilindro. Solución: Haciendo diagrama de cuerpo libre del cuerpo y aplicando la primera condición de equilibrio en el agua se tiene: E – WM – WC = 0

.....(1)

E WM + WC

WC = E – WM = aguagVS – MgVM

WC = aguag3VM/4 – MgVM = (1×103×9,8×0,75×0,33 – 0,6×103×9,8×0,33)N

104

MECANICA DE FLUIDOS

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WC = (198,45 – 158,76) N = 39,69 N

105

MECANICA DE FLUIDOS

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3. La figura muestra un recipiente cilíndrico con tres líquidos no miscibles, con densidades 0,6 g/cm3; 0,8 g/cm3 y 1,2 g/cm3 respectivamente. Calcule la presión manométrica, en P, en el fondo del recipiente.

1

4m

2

2m

3

3m

Solución: La presión manométrica en el fondo del recipiente será:

1

4m

2

2m

3

3m

PF = 1gh1 + 2gh2 + 3gh3 PF = (0,6×103×9,8×4 + 0,8×103×9,8×2 + 1,2×103×9,8×3) Pa PF = (23,52×103 + 15,68×103 + 35,28×103) Pa = 7,448x104 Pa

4. Una pieza de aluminio suspendida de un resorte se sumerge completamente en un recipiente con agua. La masa del aluminio es de 1 kg y su densidad es 2,7×103 kg/m3. Calcule la tensión del resorte. a. Cuando el cuerpo esta en el aire. b. Cuando el cuerpo esta sumergido en el agua.

Solución:

Haciendo diagrama de cuerpo libre del cuerpo en el aire se tiene: T–W=0

T



T = W = mg = 1×9,8 = 9,8 N

Haciendo diagrama de cuerpo libre del cuerpo y aplicando la primera condición de equilibrio en el agua se tiene: T+E–W=0 

T = W – E = 9,8 – aguagVS

W Tenemos como dato del problema que la masa del aluminio es 1 kg y su densidad es 2,7×103 kg/m3 y el cuerpo esta totalmente sumergido.

T

E W

 = m/V



106

VS = m/ =

1 kg = 0,37×10–3m3 3 3 2,7 ×10 kg / m

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T = 9,8 – 1×103×10×0,37×10–3 = 9,8 – 3.7 = 6,1 N

107

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1. Calcular la densidad de la esfera A si se sabe que al ser suspendida en el aire de un resorte, este se estira x1 = 15 cm. Pero al ser sumergida totalmente en agua, dicho resorte se comprime x 2 = 5 cm. En el aire kx = mg

K

A

K

k(15) = mg

TE

Agua

F

A E = k(5) + mg E = 4mg/3 W

Rpta. 750 kg/m3. Peso

5. Un bloque de cierto material de 9 m de altura y 2

con una base de 5 m flota entre tres líquidos no miscibles de densidades: 0,6 g/cm3; 1,0 g/cm3 y 1,2 g/cm3 respectivamente según se muestra en la figura. Si el peso colocado en uno de los platillos de la balanza es de 200 000 N para que esta se mantenga horizontal, halle la densidad del bloque y la presión manométrica del punto M.

1m

1m

1

4m

2m 4m

2

4m

3

3m

Solución: Hacemos diagrama de cuerpo libre a la balanza Peso A 1m

1m

1m T

T 4m

Aplicamos la segunda condición de equilibrio en el punto A.

1 2m

4m

2

4m

3

200 000N 1m

 MA = 0 3m 108

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1×T – 1×200 000 = 0

.....(1)

de (1) obtenemos T = 200 000

Haciendo diagrama de cuerpo libre al bloque y aplicando la primera condición de equilibrio en el eje Y obtenemos lo siguiente:

T = 200 000 N 4m

1

4m

2

4m

3

2m

200 000 + E1 +E2 +E3 = W W = mg = Vg

3m

Según Arquímedes.

W E1 +E2 +E3

.....(2)

E = LgVS = LgAhS

E1 = 1gAh1 = 0,6×103×10×5×2 = 5,88×104 Pa E2 = 2gAh2 = 1,0×103×10×5×4 = 19,6×104 Pa E3 = 3gAh3 = 1,2×103×10×5×3 = 17,6×104 Pa

W = XgAhg = X×9,8×5×9 = 441×X

Reemplazando en la ecuación (2)

20×104 + 5,88×104 + 19,6×104 + 17,6×104 = 441××

× = 1,43×103 kg/m3

Ahora la presión manométrica en el punto M es:

PM = 1gh1 + 2gh2 + 3gh3

PM = (0,6×103×9,8×4 + 1,0×103×9,8× 4 + 1,2×103×9,8× 3 ) Pa

PM = (23,52×103 + 39,2×103 + 35,28×103) Pa = 9,8×104 Pa 109

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6. Determine la densidad de una esfera, kg/m3, que flota entre dos líquidos de densidades 0,8 g/cm3 y 1 g/cm3, sabiendo que la línea de separación de los dos líquidos pasa por el diámetro de la esfera. Solución

1 = 0,8×103 kg/m3, 2 = 1×103 kg/m3 y X = ? 1

Como la esfera se encuentra en equilibrio, entonces tenemos:

X 2

W = E1 + E2 XgV = 1g

W E1 + E2

.....(1)

V V + 2g .....(2) 2 2

X = (1 + 2)/2

.....(3)

X = 0,9×103 kg/m3 7. Halle la densidad de los líquidos. A + B = 1 600 kg/m3.

0,2 m A 0,3 mB Solución

0,2 m A 0,3 mB Tomando como sistema de referencia las líneas punteadas y teniendo en cuenta que el fluido se encuentra en reposo, se tiene lo siguiente: PA = PB Po + AghA = Po + BghB De la ecuación anterior obtenemos: A×0,5 = B×0,3 

5×A = 3×B

Teniendo en cuenta el dato del problema que señala que: A + B = 1 600 kg/m3 A + 5A/3 = 1 600 kg/m3  A = 600 kg/m3

y

8A/3 = 1 600 kg/m3

B = 1 000 kg/m3.

110

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8. Un tubo simple en forma de U contiene agua y kerosene de 6 cm de altura, como se muestra en la figura. Halle la diferencia H entre las alturas de las superficies de los dos líquidos no miscibles. (K =

H

820 kg/m3)

6 cm

Agua

Solución

H Agua

h1

6 cm

Tomando como sistema de referencia las líneas punteadas y teniendo en cuenta que el fluido se encuentra en reposo, se tiene lo siguiente: P1 = P2 Po + 1gh1 = Po + 2gh2 De la ecuación anterior obtenemos: 1×h1 = 2×h2

.....(1)

Reemplazando los datos del problema tenemos: 1×103×(6 – H) = 0,82×103×6 De donde obtenemos el valor de en cm H = 1,08 cm 9. Un manómetro abierto de mercurio se conecta con un tanque de gas. El mercurio está 39 cm más alto en el lado derecho que en el izquierdo, cuando un barómetro cercano marca 76 cm.Hg. ¿Cuál es la presión absoluta del gas?

Hg Tanque De gas

39 cm

Solución: Hg Tanque De gas

39 cm

Tomando como nivel de referencia la línea punteada SR

Pgas = PHg + PO Pgas = 39 cmHg + 76 cmHg Pgas = 115 cmHg 111

MECANICA DE FLUIDOS

M. Sandoval, R. Hautay

10. Un tubo en U cilíndrico de 4 cm2 y 20 cm2 de sección transversal contiene Hg a un mismo nivel. Por el tubo de mayor sección se vierte lentamente 816 g de H 2O. Determine la altura

4 cm2

que sube el nivel del Hg en el otro tubo. Hg = 13,6 g/cm3.

20 cm2

Solución

4 cm2 20 cm2

Tomando como sistema de referencia las líneas punteadas y teniendo en cuenta que el fluido se encuentra en reposo, se tiene lo siguiente: P1 = P2

H2O h1 h2

Po + 1gh1 = Po + 2gh2

Hg

De la ecuación anterior obtenemos: 1×h1 = 2×h2

.....(1)

Teniendo en cuenta 1 = m/V, para el agua (lado izquierdo) se tiene: 1×103 = 816×10–3/V1 –6

816×10

–4

= 5×10 ×h1

 

V1 = 816×10–6 m3 h1 = 54,4×10

–2

y

V1 = Ah1

m = 0,544 m

Reemplazando el anterior resultado en la ecuación (1) obtenemos: 1×103×0,544 = 13,6×103×h2 h2 = 0,04 m 11. Un cascarón esférico de hierro flota casi completamente sumergido en agua. Si el diámetro exterior es “d” y la densidad relativa del hierro es r, encuentre el diámetro interior. Solución: Como el cuerpo se encuentra en equilibrio, entonces el empuje es igual al peso del cuerpo. W = E y r 

 Fe H O 2

g FeVFe  g H 2OVH 2O VFe 

4 (d 3  d13 ) 24

.....(1)

V H 2O

4d 3 24

.....(2)

 r 1      r  

Reemplazando (2) en (1) y simplificando g, se tiene: d I  d  3

112

MECANICA DE FLUIDOS

M. Sandoval, R. Hautay

12. Dos recipientes cilíndricos idénticos contienen ambos un líquido de densidad “”. El área de cada una de las bases es A, pero en un recipiente la altura es h1, y en el otro es h2. Calcule el trabajo que hará la gravedad al igualarse los niveles cuando se conectan los dos recipientes. Solución: Suponemos que h1 > h2 Antes de conectarse se tiene, para el volumen. VT = h1A + h2A

.....(1)

Después de conectarse, cuando los niveles se igualan, se tiene: VT = hA + hA

(1) = (2)

.....(2)

h



h1  h2 2

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, en este proceso es:

 h1  h2    2 

W = mTgh = mTg 

.....(3)

 h1  h2   .....(4)  2 

mT = V = Ah = A 

 h  h2  (3) en (4) W = Ag  1   2 

2

W=

gA 4

(h1  h2 ) 2

13. Un tanque de forma cilíndrica contiene aceite de densidad  = 0,8 g/cm3 y agua. La altura del aceite es de 2 m y del agua 1 m. Halle la presión total en el fondo del recipiente. Solución: PO

La presión total en el fondo del recipiente, viene dado por la expresión siguiente: PT = PO + aceitegh1 + aguagh2

h1=2 m

h2=1 m

Reemplazando los datos del problema, obtenemos. PT = [1,013×105 + 0,8×103×9,8×2 + 1×103×9,8×1)]Pa PT = 1,2678×105 Pa

113

MECANICA DE FLUIDOS

M. Sandoval, R. Hautay

14. Una bola de concreto (r = 2 ) se deposita suavemente en la superficie de una corriente de agua que lleva una rapidez de 3 m/s y cuya profundidad es de 10 m. a. ¿Cuánto tiempo tarda la bola en tocar el fondo?. b. ¿A qué distancia medida horizontalmente desde el punto de partida tocará el fondo?

v = 3 m/s h = 10 m

Solución:

E

Haciendo el diagrama de cuerpo de libre de m se tiene Despejando de (1), hallamos la aceleración ( a ) con que cae la bola.

mg

a=

mg – E = m a .....(1) E: empuje = H2OVg

 mVg   H OVg  mV 2

Simplificamos V y factorizando g, se tiene:

m = mVg

a = g (1 

H O 1 )  g (1  ) m r 2

a = g/2 Analizando la caída de la bola, se tiene:

H=½

a t2, con los datos. H =

1g 2 t  t2 = 4  t = 2 s. 22

2 segundos es el tiempo que tarda la bola en tocar el fondo. Luego, analizamos el movimiento horizontal, con el tiempo que ya hemos obtenido. d = vt  d = 3×2 = 6 m Por lo tanto la bola tocará el fondo a 6 m del punto de partida.

114

MECANICA DE FLUIDOS

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15. En un recipiente se coloca mercurio (Hg = 13,6 g/cm3) y agua. Un recipiente cilíndrico de 20 cm de altura flota en la superficie de separación de los dos líquidos, sumergido 8 cm en el mercurio. ¿Cuál es la densidad del recipiente cilíndrico? Solución: Como existe equilibrio, entonces:

H2O

E1 + E2 = W .....(1) HgV1 + aguagV2 = XgV .....(2)

X

Además V = V1 + V2 y h = h1 + h2

Hg

Reemplazando en la ecuación (2) HgAh1 + aguaAh2 = XAh Simplificando y despejando X, se tiene: X = 6,04×103 N/m3

Xh = (Hgh1 + aguah2)/h 16. En la figura se muestra un tanque conectado a un tubo en “U”. Cuando la superficie del agua está en el nivel H2O A, el valor de “h” es 1m. Se agrega agua al tanque, elevando el nivel en 3,4 m sobre A. En estas condiciones, halle el nuevo valor de “h”. ( Hg =

A

Hg

h

13,6 g/cm3) Solución: H2 O

A

En un primer caso se tiene:

Hg

h

PH 2O   Hg gh S.Ref.

...(1)

Luego de agregar agua se tiene lo siguiente:

PH 2O   H 2O g (3,4)   Hg gh' ...(2) De la ecuación (2), calculamos el h’ buscado.

h' 

PH 2O   H 2O g (3,4)  Hg g



 Hg gh   H 2O g (3,4)  Hg g



 Hg h   H 2O (3,4)  Hg

Reemplazando datos, obtenemos:

h' 

13,6 x10 3 x1  1x10 3 x3,4 13,6  3,4   1,25 m 13,6 13,6 x10 3 115

h'  1,25 m

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PROBLEMAS RESUELTOS – HIDRODINAMICA 17. A través del tubo AB pasa una corriente de aire de 15 L por minuto. El área de la sección transversal

A

aire

de la parte ancha del tubo AB es igual a 2 cm2, la

B

2

de la parte estrecha del tubo abc es igual a 0,5 cm . Halle la diferencia de niveles h que tendrá el agua que hay en el tubo abc. Considerar que la densidad del aire es igual a 1,6 kg/m3.

agua c a

Solución:

h

b

Aplicando la ecuación de Bernoulli, en A y B,(agua) se tiene: PA + ½ airevA2 + h1 = PB + ½ airevB2 + h2

sí h1=h2 y  = g

PA – PB = ½ aire( vB2 – vA2 ) .....(1)

Analizando el tubo en U, con agua, se tiene lo siguiente: PA = PB + aguagh

.....(2)

De (1) y (2) obtenemos: h =

 aire ( vB2 – vA2 ) 2  agua g

.....(3)

Para hallar las magnitudes de las velocidades vA y vB, consideramos la ecuación de continuidad, además el caudal es dato y es igual a 15 litros/minuto. Q = 15 litros/minuto = 2,5×10–4 m3/s. Q = AAvA = ABvB Reemplazando los datos, tenemos las magnitudes de las velocidades buscadas. vA =

5 m/s y vB = 5m/s 4

Estas velocidades la reemplazamos en (3) h =

1,6 (25 – 25/16) 2 ×103 × 9,8

116

MECANICA DE FLUIDOS

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h = 1,9133×10–3 m = 1,9133 mm. 18. Considérese el tubo de Venturí de la figura, sin manómetro. Sea A igual a 5a. Supóngase que la presión en A es de 2 atm. Calcule los valores de V en “A” y de V’ en “a” para los cuales la presión “p” en “a” es igual a cero (El fenómeno que ocurre en “a” cuando “p” es igual a cero se llama cavitación, el agua se vaporiza en pequeñas burbujas) ( 1 atm =

A a v

v´

1×105 Pa; g = 10 m/s2 ) Solución: Aplicamos la ecuación de Bernoulli, y se tiene lo siguiente: PA + ½ vA2 = Pa + ½ va2 Por condición del problema, se tiene Pa = 0 PA = ½ (va2 – vA2) .....(1) Aplicamos la ecuación de continuidad, relacionamos las magnitudes de las velocidades. 

AAvA = Aava

5avA = ava 1/ 2

 50 PA     24  

(2) en (1) va =

 vA = va/5

.....(2)

1/ 2

 50 x 2 x105     3   24 x10 

Operando obtenemos: vA =

5 25 6 m/s y va = 6 m/s 3 3

19. En la figura se muestra un tanque de área de sección muy grande que contiene agua. Calcule la presión manométrica en el punto A en el instante en que el chorro de agua toca el suelo. Considere g = 9,8 m/s2. Embolo

Solución: Aplicando caída libre al chorro de agua, se obtiene que la rapidez de salida por el orificio mostrado es 12 m/s.

3,1 m

A

Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos A y el orificio de salida del fluido.

4,9 m

p A   .g.3,1 

Agua

12 m

117

1  (12) 2 2

MECANICA DE FLUIDOS

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De aquí obtenemos la presión en A, que es 41 620 Pa.

20. De un deposito sale una tubería de 20 cm. de diámetro. Luego por medio de una reducción, el fluido pasa a otra tubería de 10 cm. de diámetro descargando luego libremente. El caudal de salida es 120 lt/s. Calcule la rapidez de salida en ambos tubos. H2O Solución:

El caudal lo expresamos en m3/s. 120

lt  1m 3  m3    0,2 s  1000lt  s

Aplicamos la ecuación de continuidad en ambas secciones y aprovechamos el dato del caudal. Q = A1v1= A2v2

D12 0.12  v1 4

v1 

0,12 x4  3,82 m / s x0,2 2

D22 v2 4

v2 

0,12 x4  15,28 m / s x0,12

0.12 

21. Un tanque cerrado y lleno de agua tiene una presión manométrica de 7,8×104 Pa en el fondo. Si se hace un agujero en la tapa del tanque sale un chorro verticalmente hacia arriba alcanzando una altura de 4,9 m por encima de la tapa. Calcular la altura H que tiene el tanque. Solución: 4,9 m Aplicando la ecuación de Bernoulli, cogiendo el fondo con el orificio de salida se tiene: H

p1 

1 2 1 v1  gh1  p2  v22  gh2 2 2

Hallando la rapidez en el orificio de salida. Aplicando conservación de energía mecanica 2 0 = v 2 – (2)(9,8)(4,9)

Tenemos

v2 = 9,8 m/s Reemplazando datos:

118

MECANICA DE FLUIDOS

1 p1  v22  gH 2

M. Sandoval, R. Hautay

H

Obtenemos

119

1 2 1 v2 7 ,8* 104  x1000x9,8 2 2 2   3m g 1000* 9,8

p1 

MECANICA DE FLUIDOS

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22. Un tanque cilíndrico abierto tiene una altura H = 10 m. El área de su sección transversal es A = 20 m2. A una profundidad h = 6 m con respecto al nivel del liquido se hace un orificio de área a = 1 2

m . Si la rapidez en la superficie superior del líquido es “v1”, halle la rapidez de salida del líquido a través del orificio. Adicionalmente determine la distancia “x” que alcanza el chorro.

h H

vO

x

Solución:

1 h H

vO

2 NR

x

Aplicando la ecuación de continuidad a los puntos 1 y 2 obtenemos: A1v1 = A2v2

20v1=1v0

Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 del fluido.

p1 

1 2 1 v1  gh1  p2  v22  gh2 2 2

Las presiones manométricas 1 y 2 son nulas, además v1 = v0/20

1 v02 1   gH  v02  g ( H  h) 2 400 2

1 2

gh  v02 (  

1 ) 800

Despejando v0 y reemplazando datos: v0 

gh gh   10,86 m / s 1 1 1 1 (  ) (  ) 2 800 2 800

Aplicando ciada libre para determinar el tiempo de caída del chorro. –4 = –4,9 t2 de donde t = 0,9 s Por lo tanto x = v0×t = 10,86×0,9 = 9,8 m.

120

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23. La tubería horizontal de 10 cm. de diámetro se reduce a 4 cm. de diámetro. Calcule la cantidad de agua, en m 3, que pasa por la tubería en 1 minuto. Si las presiones manométricas son 0,5×105 Pa y 0,3×105 Pa.

Solución: Aplicando la ecuación de continuidad a los puntos 1 y 2 obtenemos: 1

A1v1 = A2v2

2

K×100v1=k×16v2

v1 

16 v2 100

Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 del fluido.

p1 

1 2 1 v1  p 2  v22 2 2

Remplazando datos: 2

1 1  100v1  0,5 ×10  ×1 000v12  0,3 ×105  1 000  de donde obtenemos v1= 1,025 m 2 2  16  5

Calculando el volumen Q = Av = V/t A= 

d2 4

V= 

V = A.v.t

d2 .v.t = 0,48 m3 4

121

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PROBLEMAS PROPUESTOS – FLUIDOS Rpta. 1,28 ×105 Pa 2. En la figura se muestra un recipiente conteniendo tres sustancias: aceite, glicerina 5. Dos líquidos no miscibles están en equilibrio y otra desconocida. En A la presión tal como se muestra en la figura. Determinar la relación entre las presiones hidrostáticas manométrica es de 3,5×104 N/m2 y esto en los puntos A y B (ambos están a la misma hace que la glicerina suba hasta el nivel Q. altura). Determinar la densidad de la sustancia desconocida. Datos:

(aceite)= 850 kg/m3 (glicerina)= 1 250 kg/m3

2H A

B

H

H

A Q SUSTANCIA

2m

ACEITE

4m

6m

Rpta. 3PA = 4 PB.

R

6. El diagrama muestra los niveles de los líquidos equilibrados. Halle la presión manométrica del nitrógeno si la presión del aire en el manómetro registra 10 kPa. La

T GLICERINA

Rpta. 264,28 kg/m3. 3. Tres líquidos no miscibles se distribuyen en un tubo en U. Calcular la densidad ,

densidad del aceite empleado es 0,6 g/cm3 y la del mercurio 13,6 g/cm3.

sabiendo que 1 = 0,8 g/cm3 y 2 = 0,9

N2 ACEITE

g/cm3.

AIRE AGUA

1

50 cm

a

40 cm

a 2

 35 cm

a

30 cm 3

Rpta. 1,25 g/cm .

Hg Rpta. 4 316 Pa.

4. Halle la presión absoluta del gas encerrado en el recipiente A mostrado en la figura. El líquido del manómetro es mercurio

7. El pistón de un elevador hidráulico de automóviles tiene 30 cm de diámetro. a) ¿Cuál es la presión que se requiere para elevar un auto cuya masa es de 1 500 kg? b) Considerando que el pistón pequeño del elevador hidráulico es de 10 cm de

Hg=13,6 g/cm3 Po=1,013×105 Pa

Gas A

20 cm

122

MECANICA DE FLUIDOS

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diámetro, ¿cuál es la fuerza necesaria para elevar el auto? Rpta. 207 962,46 Pa y 1 633,3 N. 8. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista flota en la superficie de separación de aceite y agua como indica la figura, estando su cara inferior 2 cm por debajo de la superficie de separación. La densidad del

Rpta. 75 N. 11. Evaluar, para los siguientes casos, la presión hidrostática a una profundidad “h” en el interior de un líquido de densidad “”. a. Sí el recipiente sube con aceleración g/2. b. Sí el recipiente cae libremente. c. Sí el recipiente sube con aceleración g. Rpta. 3ρgh/2, 0 y 2ρgh.

aceite es 0,6 g/cm3. calcule: a. ¿Cuál es la masa del bloque? b. ¿Cuál es la presión manométrica en la cara inferior del bloque?

12. Un tanque abierto de forma cilíndrica contiene aceite de densidad  = 0,8 g/cm3 y agua. La altura de aceite es de 2 m y del agua 1 m. Halle la presión total en el fondo del recipiente. Rpta. 126 780 Pa.

ACEITE H2=10 cm MADERA

h1=10 cm

AGUA 13. Un cilindro macizo flota en benceno cuya Rpta. 0,68 kg y 784 Pa.

densidad es 0,879 g/cm3. El cuerpo tiene dos partes: la superior es de madera, de altura h

9. En la figura se muestra un cuerpo cilíndrico

= 1,12 m y área A = 8,01 cm2 y la inferior es de hierro. a. ¿Cuál es el peso, en N, de la porción de hierro, si la parte no sumergida de la madera tiene una altura y = 19,9 cm?. Densidades de madera y de hierro: d1 = 0,7 g/cm3 y d2 = 7,9 g/cm3; respectivamente. b. ¡Cuál es la presión manométrica de un punto situado a una profundidad de 1,2 m en benceno? c. ¡Cuál es la presión absoluta de un punto situado a una profundidad de 1,2 m en benceno?

2

cuya área de sección recta es 10 m sumergido en los líquidos no miscibles de densidades 0,6 g/cm3, 0,8 g/cm3 y 1,2 g/cm3 respectivamente. Si la altura del cuerpo es h = 5 m, calcular la presión manométrica en el punto “1” y la densidad del cuerpo.

4m

A

2m

B

1m

madera

1

C

y h

Rpta. 50 960 Pa y 800 kg/m3.

benceno hierro

Rpta. 0,22 N, 10 337,04 Pa y 111 637,04 Pa.

10. En la figura, calcular el valor de la fuerza F necesaria para levantar el peso W = 14 400 N. Los radios de los pistones son: R1= 5 cm. y R2= 20 cm.

14. Determine la presión absoluta del gas. Hg = 13

M F

W

600 Presión

R2 60 cm

kg/m3.

Gas 24 cm

Hg 0

5 cm

123

P R 1

MECANICA DE FLUIDOS

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atmosférica 1,013×105 Pa.

15. En la figura se muestra un tanque conectado a un tubo en “U”. Cuando la superficie del agua está en el nivel A, el valor de “h” es 1 m. Se agrega agua al tanque elevando el nivel en 3,4 m sobre A. En estas condiciones, halle el nuevo valor de “h”. (

Rpta. Sobresale 0,25 m. 18. En un tubo en “U” se vierten tres líquidos A, B y C quedando en equilibrio en la forma mostrada en la figura. Sabiendo que las densidades de A y C son de 0,5 g/cm3 y 0,3

Hg = 13,6 g/cm3)

g/cm3 respectivamente, la densidad, en kg/m3, del líquido B es:

H2O Hg

A

h 25 cm

C

15 cm

A

5 cm

B 3

16. Un líquido de densidad 1,25 g/cm llena parcialmente el vaso de la figura. ¿Cuál será la presión manométrica en el punto D, ubicado 0,20 m debajo de la superficie del vaso.

19. Se tiene un cilindro de madera de altura 3m, área de su base 1,2 m2 y densidad 0,6 g/cm3 sumergido parcialmente entre dos líquidos no miscibles de densidades 0,8 g/cm3 y

g/cm , y con una masa m encima, como muestra la figura. Determine la máxima masa “m” que se le puede agregar para que el cilindro quede en la posición mostrada.

aire r= 1,25

B 0,50 m

C 0,20 m

1

3

D

Rpta. – 64 190 Pa.

m r= 13,6

2

2m

17. Un prisma de un metro de altura cuya densidad es 750 kg/m3 está sumergido en agua, en la posición mostrada en la figura. Al soltar el prisma. a. ¿Sobresale el prisma sobre la superficie o se va al fondo? b. Sí sobresale, calcular la altura “x” que sobresale cuando el prisma adquiere el equilibrio.

1

Rpta. 960 kg. 20. Se tiene un gas encerrado a alta presión, conectado a un tubo en U que contiene mercurio, como se muestra, además con una segunda conexión al agua. Determine, La presión absoluta del gas. (Hg=13,6 g/cm3 y agua =1 g/cm3)

124

MECANICA DE FLUIDOS

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24. Halle la densidad de los líquidos. A + B = aire

1600 kg/m3.

Gas 0,2m mercurio

0,2 m agua

A

1,2m

0,3 m B Rpta. 139 716 Pa. 21. Una conejita esta ubicada en un tazón semiesférico de radio 6 cm flota con el tazón justo a ras del nivel del agua impura de

Rpta. 600 kg/m3 y 1000 kg/m3. 25. La figura muestra un tubo “U” contenido dos líquidos A y B no miscibles. Hallar la densidad de los líquidos sabiendo que la

densidad 1,20 g/cm3. Si despreciamos la masa del tazón, halle la masa de la conejita. El tazón no contiene agua.

densidad de A+densidad de B= 1 600 kg/m3.

0.2m

A

B

0.3m

y

x

Rpta. 0,543 kg. 22. Determine la densidad del cilindro, de 1 m

26. El bloque A de 120 N cuelga de una cuerda y bordea la polea fija, sin peso, para sostener el bloque B de forma cúbica y arista 0,2 m completamente sumergido en agua y en contacto con una pared del depósito. Calcule la densidad del bloque B para que se mantenga en equilibrio. CB//MN

de altura y 1 m2 de área de sección circular, que flota en agua, como se muestra en la figura.

60 cm

C

A Rpta 600 kg/m3.

M B 37 º

23. Una piedra que pesa 600 N en el aire, pesa 350 N cuando se encuentra debajo del agua. Calcular a) El volumen y b) La densidad de la piedra.

N

Agua

Rpta. 3 551 kg/m3 27. Determinar la densidad de una esfera que flota entre dos líquidos de densidades 0,8 g/cm3 y 1 g/cm3, sabiendo que la línea de

Rpta. 0,0255 m3 y 2400 kg/m3.

125

MECANICA DE FLUIDOS

M. Sandoval, R. Hautay

presión manométrica de 3×105 Pa. Halle la presión manométrica en un punto situado 20 m por debajo del primero, si su sección transversal es la mitad que la del primero.

separación de los dos líquidos pasa por el diámetro de la esfera.

Rpta. 4,945×105 Pa.

28. Calcular la densidad de la esfera A si se sabe que al ser suspendida en el aire de un resorte, este se estira x1 = 15 cm. Pero al ser sumergida totalmente en agua, dicho resorte se comprime x2 = 5 cm.

32. Una tubería horizontal tiene sectores de diferente ancho: las áreas de sección transversal en el primero y en el segundo son respectivamente: 12,6 cm2 y 5,4 cm2. La densidad del líquido que atraviesa la tubería

K

es 0,18 g/cm3; la rapidez en la parte más ancha es 4,7 m/s y la presión en la parte más estrecha es 13 864 Pa. Calcule:  La rapidez en la parte más estrecha.  Su presión manométrica en la parte más ancha.

A Agua Rpta. 750 kg/m3.

Rpta. 10,97 m/s y 2,27×104 Pa.

29. ¿Cuál es la presión manométrica del gas A?.

33. El tubo, representado a continuación tiene

Densidades: d1(aceite) = 0,8 g/cm3; d2(agua)

una sección transversal de 36 cm2, en las

= 1 g/cm3, d3(mercurio) = 13,6 g/cm3. Alturas: h1 = 3,2 m; h2 = 1,3 m y h3 = 36 cm;

partes anchas y de 9 cm2 en el estrechamiento. Cada 5 segundos salen del tubo 27 litros de agua. a) Calcule la rapidez en la parte ancha y estrecha de la tuberia. b) Calcule la diferencia de presiones entre estas partes. c) Calcule la diferencia de alturas h entre las columnas de mercurio del tubo en U.

p0 = 1,013 × 105 Pa. Gas A h1

Aceite

h2

Agua

h3 Mercurio

Rpta. 1,015×104 Pa

A1v1

30. ¿Cuál es la superficie del menor bloque de hielo de 30 cm, de espesor que soportará, exactamente, el peso de un hombre de 90

A2v2

h

kg? La densidad del hielo es 0,917 g/cm3 y esta flotando sobre agua dulce?

mercurio

Rpta. 3,61 m2

Rpta. 6 m/s y 1,5 m/s, 16 875 Pa y 0,1367 m.

31. En un punto de una tubería vertical, que contiene agua, la rapidez es de 1 m/s y la 126

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34. Una tubería horizontal de 300 mm de diámetro tiene un estrechamiento de 100 mm de diámetro. Teniendo estas secciones una diferencia de presiones hidrostática igual a 2500 Pa, según se muestra en la figura. Calcule el caudal de la tubería.

37. Por un tubo horizontal AB pasa un líquido. La diferencia de niveles de este líquido en los tubitos a y b es igual a 10 cm. Los diámetros de los tubitos a y b son iguales. Halle la rapidez de la corriente de líquido en el tubo AB. b a h

A

Rpta. 0,0177 m3/s. Rpta.

B

2 gh

35. La figura muestra una parte de tubería por donde circula agua. Con A1 = 4 A2.

38. Se deja caer una esfera compacta de densidad  desde una altura h sobre el nivel

P1(manométrica) = 105 Pa, A1 = 0,02 m2. Determine: a. La rapidez de salida del agua b. El caudal

de un líquido de densidad igual a 0,4 g/cm3. Hallar la densidad de la esfera con la condición de que ella recorra en el líquido una distancia igual a 2h. Rpta. 0,27 g/cm3. 39. La altura de agua en un depósito cerrado es h1 = 1,8 m. Una tubería horizontal parte del fondo del depósito disminuyendo su área de sección transversal a la mitad. La tubería tiene una prolongación vertical abierta a la atmósfera. La rapidez con que desciende el nivel de agua en el compartimiento cerrado es de 0,5 m/s, la presión manométrica del gas encerrado es dos veces la de la atmósfera. ¿Cuál es la rapidez del agua en el tubo horizontal de mayor diámetro?.

v1 P1

37º 8m Rpta. 9,3751 m/s y 0,0469 m3/s.

36. En la figura se muestra un sifón que descarga agua del tanque de sección muy grande. La diferencia de nivel entre la superficie libre (Punto A) y el vértice del sifón (Punto C) es de 0,8 m y entre C y B es de 2,05 m. El diámetro de la tubería es de 40 mm. Determine el caudal (en litros/s) y la presión absoluta en el vértice C. C

aire gas h1

v1

agua

h3 aire

v2

Rpta. 10,49 m/s.

0,8 m

40. Por la tubería inclinada a 37º mostrada en al figura, circula agua. Calcule la presión manométrica en un punto P de la sección de

A 2,05 m

3 cm2, sabiendo que el agua sale por la boquilla de 1 cm2.

B Rpta. 6,22 l/s y 93 460 Pa

127

MECANICA DE FLUIDOS

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5m

43. Un tubo de Pitot va montado en el ala de un avión para determinar su rapidez con relación al aire. El tubo contiene mercurio e indica una diferencia de 20 cm. Si la densidad del aire es aproximadamente de

1 cm2

P 3 cm2

10 m

0,0013 g/cm3, ¿cuál es la rapidez del avión?. Densidad del mercurio: 13,6 g/cm3.

37º 10 m Rpta. 50 011,6 Pa. mercurio 41. Un tanque con agua de sección muy grande tiene un agujero en su parte inferior como muestra la figura, determine la rapidez inicial de salida del chorro.

h

Rpta. 202,5 m/s. 44. Por el tubo mostrado en la figura circula agua, se le pide determine la presión absoluta en el punto 1. Si sale un chorro que llega al punto C. (A1 = 5A2) 2

5m 4,9 m

Rpta. 9,9 m/s.

1

C 10 m

42. En la figura se representa un tubo de Venturi para la medida del caudal de agua, con un típico manómetro diferencial de mercurio. El diámetro mayor es de 40 cm, y el de la garganta o estrangulamiento es de 20 cm. Si la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 30 cm y la

Rpta.197 320 Pa. 45. El área de la sección transversal de una tubería horizontal por donde circula agua es 10 cm2 en un estrechamiento, el área de la sección transversal es de 5 cm2. Si la diferencia de presión entre ambas secciones es de 300 Pa. ¿Cuántos metros cúbicos de agua saldrán de la tubería en un minuto? Rpta. 0,0268 m3

3

densidad de mercurio es de 13,6 g/cm ; encuentre el caudal en m3/s.

Mercurio

h

Rpta. 0,28 m3/s

128

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129

CALOR Y TERMODINAMICA

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TEMPERATURA La temperatura es una cantidad física escalar, medible directamente a nivel macroscópico, como la sensación de frío o calor, pero que tiene su origen a nivel microscópico. La temperatura microscópicamente esta íntimamente relacionada con la energía cinética molecular media de las partículas que integran un cuerpo. La temperatura es una propiedad intensiva, es decir que no depende de la masa ni del tamaño del cuerpo o sistema estudiado. TERMOMETRO Cualquier cuerpo o sustancia que cambie sus propiedades físicas con la temperatura, puede ser usado como termómetro, para esto es necesario llevar a cabo un proceso de calibración. Así tenemos: 



Termómetro de vidrio: Este termómetro se basa en la dilatación del mercurio o de la sustancia que esta siendo usada, tiene una escala graduada. Este termómetro fue inventado por Fahrenheit en 1714. La termocupla o termopar, que se basa en la variación de la resistencia eléctrica,

ESCALAS DE TEMPERATURA ºC

Los termómetros se han diseñado con las características que imponen sus creadores, estas 100 escalas se dividen en absolutas y relativas. Las absolutas empiezan en cero y las relativas admiten temperaturas negativas. Todas estas escalas tienen 0 puntos comunes de comparación, como son el punto de fusión del hielo y el punto de ebullición del agua. A continuación se muestra la relación –273 geométrica de las escalas de temperatura usadas.

ºF

K

212

373

32

273

–460

0

Si aplicamos el teorema de Thales para segmentos proporcionales, finalmente se llega a la relación siguiente:

º C º F  32 K  273   5 9 5 Estas relaciones permiten la conversión de lecturas de una escala a otra. Es decir, si una escala indica un cierto valor, cuanto indicara otra escala. VARIACIONES DE TEMPERATURA

º C  º F K   5 9 5 Las relaciones anteriores sirven para relacionar variaciones de temperaturas en las diferentes escalas. Es decir, si ocurre un incremento de temperatura en una escala, cuanto será este incremento en otra escala.

130

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DILATACIÓN TÉRMICA Si a un cuerpo se le trasfiere energía calorífica y este cambia su temperatura, entonces el cuerpo cambiará sus dimensiones. Este cambio, en el caso de longitud será: 

1 l L T

1 L 1 dL  T 0 L T L dT

en el limite   Lim

Separando variables e integrando, tenemos: Obtenemos T  Ln

T



dT 

To



L

Lo

1 dL L

L Lo

despejando tenemos, e T 

L Lo

Finalmente L  LoeT

Desarrollando e T , en series de Taylor, se tiene e T  1  T Reemplazando llegamos a:

L  Lo(1  T )

o

L  LT

De la misma manera se demuestra para el caso de dilatación superficial o volumétrica. S  S O 2 T

ó

S F  S O (1  2 T )

V  VO 3 T

ó

VF  VO (1  3 T )

  2

y

  3

con

CALORIMETRÍA El calor es una forma de energía en movimiento debido a una diferencia de temperatura. Este flujo energético, fluye de manera natural de mayor a menor temperatura. Si el calor se hace fluir de menor a mayor temperatura debe ejecutarse un trabajo externo, tal como se hace en un refrigerador. El calor tiene tres formas de propagarse, conducción, radiación y convección. 

Conducción. Se hace a través del choque de electrones, los electrones conducen el calor, de allí que los buenos conductores del calor son buenos conductores de la corriente eléctrica.



Radiación. Esta forma de propagación se hace a través de ondas electromagnéticas.



Convección. En este caso un fluido en movimiento se encarga de llevar el calor.

131

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CAPACIDAD CALORÍFICA. la cantidad de calor necesario para que un cuerpo cambie de temperatura, es una propiedad extensiva, es decir, depende de la cantidad de masa. Por ejemplo 2 litros de agua tendrá el doble de capacidad calorífica que un litro de agua.

C

Q  mce T

CALOR ESPECÍFICO. Es el calor necesario para que la unidad de masa cambie de temperatura en un grado, en la escala elegida. Es una propiedad intensiva, es decir, no depende de la cantidad de masa, es propia de cada material y puede variar según la fase en que se encuentre. Ejemplo el calor especifico del agua en fase líquida es 1 cal/g ºC y en fase vapor es 0,48 cal/g ºC.

ce 

C Q  m mT

CANTIDAD DE CALOR (cambio de estado). Es el calor que se le trasfiere a un cuerpo para que cambie de temperatura. El calor es usado para cambiar la variable de estado, temperatura.

Q  mce T CANTIDAD DE CALOR (cambio de fase). Es el calor que se le trasfiere a un cuerpo para que cambie de fase.

QX  mLX EQUILIBRIO TÉRMICO. Es el mecanismo de transferencia de energía por el contacto térmico de dos o más cuerpos a diferente temperatura. En forma natural el calor fluye de mayor a menor temperatura, el proceso inverso se puede realizar con ayuda de un motor. Cuando hay mezcla de sustancias a diferente temperatura el flujo energético cesa cuando todos los cuerpos llegan al equilibrio térmico, es decir, alcanzan una misma temperatura. La siguiente expresión matemática es una aplicación más del principio de la conservación de la energía. n

 Q

i

i 1

0

EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR. Es el trabajo mecánico necesario para producir una cantidad de calor. Joule encontró que con 4,18 joule se puede producir una caloría de calor. Es necesario acotar que el proceso inverso no es correcto, es decir, con una caloría de calor no se puede producir 4,18 joule d e trabajo mecánico, la segunda ley de la termodinámica lo limita, esto lo veremos mas adelante. J  4,18

joule caloría

132

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TERMODINÁMICA ECUACIÓN DE LOS GASES IDEALES Es un gas idealizado con ciertas características, estas son:   

Se desprecia su interacción entre las partículas del gas. Los choques se consideran perfectamente elásticos, de tal manera que se conserva la energía. No se considera energía potencial de las partículas.

La ecuación para gases con estas características, es: PV  nRT Los gases reales que se aproximan a un gas ideal, son los gases monoatómicos a baja presión y alta temperatura. TRABAJO EN UN GAS Si sobre un gas se aplica una presión o el gas ejerce presión, el gas puede expandirse o contraerse, el trabajo se calcula con la expresión: VF

W   PdV VO

El trabajo puede ser positivo o negativo, dependiendo si el gas se expande o se contrae, respectivamente. PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA Esta es una extensión del principio de conservación de energía, se establece que: “el calor que se le trasfiere a un cuerpo se distribuye en trabajo mecánico y cambio de energía interna.

Q  U  W CAMBIO DE ENERGIA INTERNA En un gas ideal el cambio de energía interna es solo función de su temperatura y tiene la forma siguiente, independiente del proceso termodinámico que se esté realizando.

∆U = ncvΔT PROCESOS TERMODINÁMICOS

P

Proceso Isotérmico. T = constante En este proceso la ley de gases ideales se reduce a: PV= nRT, donde nRT es constante, matemáticamente, si despejamos P en función de V, tenemos: nRT P V 133

V

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Esta relación representa una hipérbola equilátera, donde dependiendo del valor de T, simplemente se traslada la grafica hacia la derecha. La variación de energía interna es nula, la energía interna es solo función de la temperatura, entonces todo el calor que se le trasfiere al cuerpo sirve para realizar trabajo sobre el gas.

U  0 V W  Q  nRT ln  F  VO

  VF   PV 1 1 ln    VO

  VF    PV  2 2 ln    VO 

Proceso Isobárico. P = constante En este proceso la ley de gases ideales se reduce a: PV= nRT, donde nR/P es constante, matemáticamente, si despejamos V en función de T, tenemos: V

nR T P

Esta relación representa una línea recta, en una grafica V =f(T).

V

P

V

T Donde el W, Q y U, se calcula con las siguientes relaciones:

W  PVF  VO 

Q  nc P T

U  Q  W  ncV T

Proceso Isocórico o isométrico. V = constante En este proceso la ley de gases ideales se reduce a: PV= nRT, donde nR/V es constante, matemáticamente, si despejamos P en función de T, tenemos: P

Esta relación representa una línea recta, en una grafica P =f(T).

nR T V

P

P

T 134

V

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Donde el W, Q y U, se calcula con las siguientes relaciones:

W  PVF  VO   0

Q  ncV T

U  Q

Proceso Adiabático. Q  0

P En este proceso no hay entrada ni salida del calor del sistema, por lo tanto Q = 0, entonces el trabajo en el gas se hace a expensas de la energía interna del sistema:

W  U  Además:  

P1V1  P2V2  1

cP cV

y

V

c P  cV  R

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA Esta ley explica la direccionalidad de algunos procesos naturales, por ejemplo si soltamos una piedra, su energía potencial se trasforma en cinética mientras viaja y finalmente en calor al impactar con el piso, el proceso inverso de este proceso es imposible en forma natural. Visto de otra forma, se niega la construcción de una maquina de calor que opere al 100%. La cuantificación de esta ley se da a través de la entropía S.

S 

Q T

EFICIENCIA DE UNA MAQUINA TÉRMICA Una maquina térmica aprovecha el calor para producir trabajo mecánico, pero siempre existe un sumidero como desfogue de calor, es decir siempre existirá una perdida de calor. Por lo tanto la eficiencia viene definida por:



WUTIL QENTREGADO

135

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CALOR Y TERMODINAMICA

1. Calcule la densidad del mercurio a la temperatura de 50°C, si su densidad a 0°C es 13,6 g/cm3, Hg= 1,8×10–4 °C–1. Solución TO = 0°C 

O=13,6 g/cm3, 

Tf = 50 °C Sabemos que:

f = ?



f



o 1 

 T

Hg 



f



 To 

Hg= 1,8×10–4 °C–1



f

  o 1   

 T T    o Hg  f  

1



Reemplazando datos:

f = 13,84 g/cc

2. Una wincha metálica de 5m de longitud es exacta a 15 °C. Un día que la temperatura del ambiente es 35 °C se mide un terreno, obteniéndose 100 m de longitud ¿Cuál es la verdadera longitud del terreno, sabiendo que metal = 4×10 –4 °C–1. Solución 1 nuevo metro = Lo (1 + t) 1 nuevo metro = 1(1 + 4.10 –4(35–15)) 1 nuevo metro = 1,008 m La longitud verdadera del terreno será Lv = 100 nuevos metros = 100×1,008=100,8 m

3. Se tienen dos escalas termométricas A y B, de tal modo que el agua hierve a 240 °A y 180 °B. Si aumenta la temperatura en 1°A equivale a aumentar esta en 1,5 ºB, calcule a que temperatura coinciden las escalas A y B. Solución El grafico que se muestra a la derecha, es la interpretación de los n datos del problema Aplicamos la proporción, teorema de Thales ºA ºB X

X

x  240 x  180  241 240 181,5  180

(x–180)

(x–240) 1,5 x –360 = x – 180

241

181,5

De donde finalmente, obtenemos x:

240

180

x = 360 136

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4. Se tiene “m” gramos de hielo a 0°C, y se sumergen en “m” gramos de agua a 100°C ¿Cuál será la temperatura final del sistema?. Desprecie toda ganancia o pérdida de calor con el exterior. Solución Analizando tenemos que la temperatura estará entre 0°C y 100°C queda en fase liquida. Q1 = mL = 80 m

Para el hielo

Q2 = m.1.(T–T1)

Para la mezcla T (ºC)

Q3 = m.1.(T2–T)

Para el agua 100

Q1 + Q2 = Q3 mL + m.1.(T–T1) = m.1.(T2 –T)

T

80m + m(T–0) = m(100 –T)

Q(cal)

0 T = 10 ºC

5. Halle el trabajo realizado por un gas ideal, en un

P 1

ciclo de Carnot.

Q1 2 T1

4

Q2

3 T2 V

SOLUCIÓN Para un gas ideal, el trabajo total W es igual a la suma algebraica del calor absorbido Q 1 de la fuente de mayor temperatura y el Q2 entregado a la fuente de temperatura menor.

W  Q  Q ..... 1 1 2 PERO

V Q  nRT ln 2 .... 2 1 1 V 1

V Q  nRT ln 4 ..... 3 2 2 V 3 Pero los puntos 2 y 3 pertenecen a la misma adiabática lo mismo que 4 y 1 luego, T V  1  T V  1 ..... 4 1 2 2 3

137

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T V   1  T V   1 ..... 5 11 2 4

Dividendo (4) y (5) se obtiene V V 2  3 ..... 6 V V 1 4

Considerando finalmente (1), (2), (3) y (6) tenemos V W  nRT  T  ln 2 2 V  1 1

V V W  nRT ln 2  nRT ln 2 1 V 2 V 1 1

6. Halle el incremento de energía interna de un gramo de agua cuando este se convierte es 1200 cc de vapor, cuando hierve a la presión de 1 atmósfera. El calor de vaporización es 540 cal/g. SOLUCIÓN Por la primera Ley sabemos que U  Q  W Como P es constante  W  PV  P(V V ) 2 1

W  1,01x105 x1200x10 6  121,2J Convirtiendo 121,2 J = 29 cal El proceso de cambio de agua a vapor se realiza a la temperatura de ebullición, tal que el calor ganado por el sistema es debido solamente al cambio de fase. Luego Q  mL 1g x 540 ca / g  540 cal U  (540  29) cal  511 cal

7. Una bola de Cobre de calor especifico 0,39 kJ/kgK y de 0,20 kg de masa, cae a partir del reposo, y su rapidez es 15 m/s después de haber caído una distancia de 20 m. Suponiendo que toda la energía perdida como trabajo contra la fricción del aire se transforma íntegramente en calor absorbido por la bola; ¿Cuál será el aumento de temperatura experimentado por este cuerpo?. vo=0 m/s

H = 20 m

SOLUCIÓN

2 Wfric  mv  mgh 2

Wfric  16,7 J vo = 15 m/s

QW

fric

 16,7 J

Q  mCet  16,7 J  t  0,21C 138

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8. Un gas experimenta una expansión isobárica desde la temperatura T 1= 27 °C. Calcular la temperatura final del proceso en °C, si la masa equivalente a 0,4 mol. P(Pa)

1

Isobara

2

277 T1 V (m3) 1,2 m3

SOLUCIÓN

W  nRT  área bajo la curva

0,48,31 T2  T1   277 x1,2 

 T  2



 T   100 K 1

Recordando que  1 °K   1°C  T  2

 T   100C  T  127C 2 1 P (Pa)

9. Determine el trabajo que debe efectuar un gas

1

ideal para lograr expandirse isotérmicamente a 27 °C desde el estado 1 hasta el estado 2, si además se sabe que su masa equivale a 0,1 mol.

Isoterma

2 V (m3) 3

1,2 m V

10 V

SOLUCIÓN

W  nRT ln

V

f

T  27  273  300 K

Vo

W  0,18,31 300 ln

10Vo Vo

 574,03 J

139

V  10Vo f

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140

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CALOR 6. Se llena un frasco de vidrio a la temperatura de 3 20 °C, con 680 g de mercurio. ¿Cuántos gramos 1. Se tiene un recipiente de vidrio de 1 000 cm de de mercurio se derramarán si el conjunto se capacidad con 980 cm3 de mercurio a 20 ºC. calienta hasta 100 °C?. El coeficiente de Hasta que temperatura se pueden calentar sin que dilatación lineal del vidrio es de 8×10–6/°C; se derrame mercurio. Si v=2×10–5 ºC–1 y coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio γHg = 1,8×10–4 ºC–1 es 1,8×10–4/°C. Rpta. 191,82 ºC. 2. Se tiene “m” gramos de hielo a 0 °C, y se sumergen en “m” gramos de agua a 100 °C ¿Cuál será la temperatura final del sistema?. Desprecie toda ganancia o pérdida de calor con el exterior. Rpta. 10 ºC. 3. Usando los datos mostrados en el diagrama de presión–volumen de n moles de un gas ideal monoatómico, determine: a. El calor absorbido (ó cedido) por el sistema en el tramo AB. b. El cambio de energía interna del gas en el tramo DE.

Rpta. 8,36 g. 7. En el interior de un recipiente se coloca un bloque de hielo de 180 g de masa a 0 ºC y luego se le agrega 400 g de plomo líquido a una temperatura de 327 ºC y a esta mezcla se le agrega 0,1 kg de agua a 100 ºC. Sabiendo que el plomo se funde a 327 ºC, calcule la temperatura de equilibrio de la mezcla total. cePb = 0,04 cal/g ºC, LfPb = 5,5 cal/g, Lfhielo = 80 cal/g. Rpta. 10,24 ºC. 8. Un anillo de cobre de 21,6 g tiene un diámetro de 2,54000 cm a la temperatura de 0 ºC. Una esfera de aluminio tiene un diámetro de 2,54533 cm a la temperatura de 100 ºC. La esfera se sitúa sobre el anillo y se deja que ambos lleguen al equilibrio térmico, sin que se disipe calor alguno al entorno. La esfera pasa justamente a través del anillo a la temperatura de equilibrio. Halle la masa de la esfera. Coeficiente de dilatación lineal del aluminio: 2,4×10–5 ºC–1. Coeficiente de dilatación lineal del cobre:

Rpta. 15 PoVo (absorbido) y 3PoVo.

1,7×10–5 ºC–1. Calor especifico del aluminio: 0,212 cal/g ºC. Calor especifico del cobre: 0,094 cal/g ºC.

4. El aula N invento su termómetro, considerando las siguientes especificaciones. El punto de fusión del hielo es 20 ºN y el punto de ebullición del agua es de 160 ºN. En este termómetro el punto de ebullición del alcohol, 76 ºC, es: Rpta. 126,4 ºN.

Al 100 ºC Cu

5. Un kg de agua hierve a la presión atmosférica normal (p = 1,013×105 Pa), y se convierte en 1 500 l de vapor. Calcule el cambio de energía interna. Rpta. 2 105 353,1 J

Rpta. 7,37 g

141

0 ºC

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9. Se tiene una regla de acero cuya longitud exacta es de 1 m a 0 °C. Otra regla también hecha de acero tiene una longitud exacta de 1 m a 25 °C. ¿Cuál será la diferencia entre las longitudes de estas reglas a 20 °C?. (acero) = 1,1×10–5 °C–1. Rpta. 2,75×10–4 ºC. 10. Una wincha metálica de 5 m de longitud es exacta a 15 °C. Un día que la temperatura del ambiente es 35 °C se mide un terreno, obteniéndose 100 m de longitud ¿Cuál es la verdadera longitud del terreno, sabiendo que metal=4×10–4°C–1. Rpta. 100,8 m 11. Dos maquinas térmicas tienen eficiencias e1 y e2. Las maquinas operan de tal forma que el calor que libera la que tiene eficiencia e1, es el calor de entrada de la que tiene eficiencia e2. Determine la eficiencia global. Rpta. e1 – e2 – e1e2. 12. Un frasco de vidrio cuyo volumen es exactamente 1 000 cm3, a 0 ºC se llena completamente de mercurio a esta temperatura. Cuando el frasco y mercurio se calienta a 100 ºC se derrama 15,2 cm de líquido. Si el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 0,000182/ºC. Calcúlese el coeficiente de dilatación lineal del vidrio. 13. Un alambre libre (α = 5×10–5 ºC–1) es doblado para formar una semicircunferencia de 30b cm de radio. Al calentarlo uniformemente desde 20 ºC hasta 220 ºC. Cuál será el aumento entre los extremos a y b del alambre? 14. Un trozo de metal cuyo coeficiente de dilatación lineal es  se cuelga de un hilo y se sumerge en un líquido a 0 °C; sufriendo un empuje E. Cuando el líquido está a la temperatura T °C (T > 0), el metal sufre un empuje E*. Encuentre el coeficiente de dilatación volumétrico del líquido. Rpta. E(1+3T)/TE* − 1/T

depósito de baja temperatura. temperatura de ese depósito.

Calcule

la

Rpta. 400 K. 16. La longitud de un alambre de plomo cuyo Pb = 2,9×10−5 ºC−1 es medido correctamente con una cinta de acero a 0 ºC, mientras que a 60 ºC indica una longitud de 0,7217 m. Halle la medida original del alambre, sabiendo que Ac = 1,2×10–5 ºC−1 y que la temperatura inicial es de 0 ºC. Rpta. 0,7209 m 17. Un trozo de aluminio se calienta a 120 °C, y luego se sumerge en 100 g de agua a 20 °C. Si la temperatura final de la mezcla es de 23 °C; ¿Cuál es la masa de aluminio que se usó?. ce(aluminio) = 0,90 kJ/kg K. 18. Se tiene inicialmente 80 g de agua a 20 °C. Luego se agrega a la masa de agua, 15 g de hielo a su temperatura de fusión y 10 g de vapor de agua a su temperatura de condensación. Encuentre la temperatura final de equilibrio. Rpta. 64,8 ºC. 19. Una bola hecha de cierto material de calor específico ce y de masa mo, esta inicialmente a la temperatura To. El cuerpo desciende por una colina a partir del reposo. Su rapidez es v después de haber bajado una altura h, quedando con una masa m (m < mo), y a una temperatura T (T > To). Asumiendo que toda la energía perdida como trabajo contra la fricción se transforma íntegramente en calor absorbido por la bola, ¿cuánta energía seria necesaria gastar para fundir toda la masa de la bola a la temperatura de fusión?. Rpta. mo(mogh–mv2/2–moce(T–To))/(mo–m). 20. Calcule la densidad del mercurio a la temperatura

15. Una máquina de Carnot cuyo foco calorífico tiene una temperatura de 227 °C, toma 400 J a esa temperatura en cada ciclo, y cede 320 J al

142

de 50 °C, si su densidad a 20 °C es 13,6 g/cm3 Hg= 1,8×10–4°C–1. Rpta. 13,53 g/cm3.

CALOR Y TERMODINAMICA

M. Sandoval, R. Huatay.

21. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se encuentran “m” gramos de hielo a 0 °C. Se introducen 120 g. de H2O a 60 °C que permite fundir todo el hielo. ¿Qué cantidad de hielo había en el recipiente?

es 50 °C. Hallar la temperatura inicial del platino en este caso. 27. El péndulo de un reloj marca exactamente el tiempo cuando la temperatura es 25 °C. El péndulo es de acero cuyo coeficiente de dilatación

22. Un calorímetro, cuyo equivalente en agua es de 2,5 kg contiene 22,5 kg de agua y 5 kg de hielo a 0º C. Halle la temperatura si introducen en el 2,5 kg. de vapor de agua a 100 ºC.

lineal es 1,2×10–5 °C−1. a) Calcular la variación relativa de la longitud de la varilla cuando se enfría a 15 °C. b) ¿Cuántos segundos por día se adelantará o retrasará el reloj a 15 °C?

23. Una lámpara que consume 54 vatios fue sumergida en un calorímetro transparente que

Rpta. 1,2×10−4 y 46,42 s.

contiene 560 cm3 de agua. Durante 3 minutos el agua eleva su temperatura en 3,6 ºC. ¿Qué parte de la energía consumida por la lámpara se emite por calorímetro al exterior en forma de energía radiante? Rpta. 1293,12 J 24. Un recipiente de aluminio de 500 g. De masa contiene 110 g. de agua a 20 °C. Si se introduce un bloque de fierro de 200 g de masa a 75 °C Calcular la temperatura final de equilibrio. CeAlum=0,22 cal/g°C, CeFe=0,11cal/g °C 25. En el gráfico se muestra un gas ideal, si al sistema se le entrega 6 000 J de calor de A hacia B, determine la variación de energía interna en este tramo. P(kPa) B

1,5

0,5

28. Se tiene una esfera hueca de radio “R” y espesor despreciable, en ese interior se halla otra esfera de radio “r” ¿En qué relación se encuentra sus radios R/r para que el volumen de la parte intermedia no varié al incrementar la temperatura, si: r = 8 R. Rpta. 2 29. Una licuadora aislada térmicamente contiene 100 g de hielo picado a –30 ºC. Halle el tiempo mínimo en que el hielo se convertirá en líquido, si la licuadora emplea para mover sus aspas un motorcito eléctrico de 0,133 kW. Rpta. 296,7 s. 30. En el ciclo se muestra una maquina térmica hipotética, por ciclo se le entrega 4 000 J de calor al sistema. Determine a) El calor cedido al ambiente y la eficiencia de la maquina térmica. P(kPa) 1,5

B

A V(m3) 1

0,5

A

C

5

V(m3) 1

Rpta. 2 000 J 26. Un recipiente de capacidad calorífica despreciable contiene cierta cantidad de mercurio a 15 °C, si se introduce una esfera de platino a 120 °C se alcanza una temperatura de equilibrio de 40 °C en un segundo caso con los mismos elementos, si el mercurio está a 20 °C la temperatura de equilibrio

5

Rpta. 2 000 J y 50% 31. Si 0,1 kg. de vapor a 130 °C, se condensa en 2,5 kg de agua a 30 °C contenida en un calorímetro de aluminio que pesa 0,5 kg. ¿Calcular la temperatura final de la mezcla? (Calor específico del aluminio 0,21 cal/g ºC, calor específico del vapor 0,5 cal/g ºC) Rpta. 53,05 ºC.

143

CALOR Y TERMODINAMICA

M. Sandoval, R. Huatay.

32. Un termómetro Fahrenheit indica cierta temperatura, un termómetro Celsius indica la mitad que el termómetro anterior. Determine dicha temperatura en Fahrenheit. 33. Determine el incremento de energía interna para llevar 10 g de agua a 50 ºC a 600 cm3 de vapor a 120 ºC. Exprese el resultado en J (1cal = 4,18 J y calor especifico del vapor de agua es 0,48 cal/g ºC) Rpta. 25 003,513 J.

144

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE

M. Sandoval, R. Huatay.

PROBLEMAS PARA EXAMEN DE MEDIO CURSO Y FINAL 4. Si el módulo de la suma de dos vectores es 8 1. Un auto se mueve sobre una pista circular de los módulos de cada vector son 5 y 10, radio 4 m. Parte de la posición A y un tiempo entonces el módulo de la diferencia es: después pasa por la posición B, como se A) 125 observa en la figura. El vector unitario en la B) 5 dirección del desplazamiento del auto, es: C) 128 A) 4i + 4j B) – 4i + 4j

B

Y

C) (i + j)/ 2

A

D) (–i + j)/ 2 E) – i + j 

X







2. Las fuerzas F1 , F2 , F3 y

F4 de igual

modulo F, actúan sobre un cuerpo colocado 



en el punto “o”. Las fuerzas F2 y F4 son 



D)

186

E)

195

5. Se tienen dos fuerzas de magnitudes 10 y 20 N. La resultante es de 10 N. El ángulo a que forman las dos fuerzas es tal que: A) 0 v2 1 2 III. La disposición correcta de h es la mostrada en la figura. A) Sólo I es correcta. B) Sólo II es correcta. h C) Sólo III es correcta. MERCURIO D) I y III son correctas. E) II y III son correctas

176

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

9. Complete la oración: ....................., es la transferencia de energía térmica, de un cuerpo A a un cuerpo B, cuando entre estos cuerpos hay una diferencia de .................................. A) Calor específico – masa B) Capacidad calorífica – temperatura C) Temperatura – energía cinética D) Calor – temperatura E) Calor latente – fase 10. Relacione los conceptos dados: I.

Es la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de un cuerpo. II. Es la transferencia de energía a causa de un gradiente de temperatura. III. Es la relación entre el trabajo mecánico y el calor producido.

a. b. c. d. e.

Calor específico. Capacidad calorífica. Calor Temperatura. Equivalente mecánico del calor.

A) I–a, II–d y III–e C) I–b, II–c y III–e E) I–e, II–c y III–a B) I–a, II–d y III–b D) I–b, II–a y III–c 11. En un experimento de dilatación, con el fin de calcular  (coeficiente de dilatación lineal del aluminio), se realiza el experimento siguiente: Por una varilla hueca, de aluminio, se hace circular agua a diferentes temperaturas, midiendo L y T. Cuando el instrumento que mide L se detenga, señal que se ha llegado al equilibrio térmico, la temperatura T, se toma al agua del vaso, que es la que circuló por el canal de aluminio. ¿Que garantiza que la temperatura medida en el agua del vaso es la temperatura de la barra de aluminio? A) Solo el bajo calor especifico del aluminio. B) Solo el alto calor especifico del agua. Agua C) Solo el bajo calor especifico del aire. D) Todos los parámetros antes mencionados. Manguera E) El buen estado del termómetro. Medidor de L

Pistón

Tubo de escape

Tubo de aluminio

Fijador

Mesa soporte

Vaso

Soporte

12. La grafica P–V muestra dos ciclos cerrados de ciertos procesos termodinámicos de un gas. Indique la alternativa correcta, en relación al trabajo en I y II. P A) WI > 0 y WII < 0 B) WI > 0 y WII > 0 II C) WI < 0 y WII < 0 D) WI < 0 y WII > 0 I E) WI = WII = 0 V

177

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

PROBLEMAS PARA RESOLVER. TENGA EN CUENTA QUE SE EVALUARA EL PROCEDIMIENTO. (4 PUNTOS CADA PREGUNTA) 1. En la figura mostrada los bloques de masa “M” tiene una aceleración doble que el bloque de masa “2M”. El coeficiente de rozamiento entre los bloques es K y entre bloque “2M” y el piso es K/6. Halle el coeficiente el valor del coeficiente K.

K M K/6

2M M

2. Un frasco de vidrio cuyo volumen es exactamente 1 000 cm3, a 0 ºC se llena completamente de mercurio a esta temperatura. Cuando el frasco y mercurio se calienta a 100 ºC se derrama 15,2 cm de líquido. Si el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 0,000182/ºC. Calcúlese el coeficiente de dilatación lineal del vidrio.

178

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

EXAMEN FINAL DE FÍSICA GENERAL 2005 – II INSTRUCCIONES: LAS UNIDADES DE TODAS LAS PREGUNTAS PROPUESTAS ESTAN DADAS EN EL SI DE UNIDADES Y EN LOS QUE SEA NECESARIO USAR LA GRAVEDAD, CONSIDERE EL VALOR 9,8 m/s2. (1 PUNTO POR PREGUNTA DE 1 A 12) 1.

¿Cuál de los gráficos v–t y a–t tienen la mejor descripción del movimiento de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba sobre la superficie terrestre? v

A) B) C) D) E)

v

Iy1 Iy2 II y 1 II y 2 III y 2

v

t

t

I

t

II

III

a

a

t

1

t

2

2. La figura muestra un coco inicialmente en la palmera (posición 1) y cae hasta llegar al suelo donde permanece en reposo (posición 3). ¿En cuál(es) de las tres posiciones actúa la fuerza de la gravedad sobre el coco? A) Solo 1. B) Solo 2. C) Solo 1 y 2. 1 D) Solo 1 y 3. 2 E) 1, 2 y 3. 3

3. Un cuerpo de masa “m” resbala por un plano inclinado con velocidad constante. La afirmación correcta, es: A) El cuerpo se desplaza debido a una fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. B) Una de las componentes del peso, la que está a lo largo del plano, es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. C) La fuerza resultante en el eje x, es diferente de cero. D) La fuerza resultante en el eje y, es diferente de cero. E) La fuerza resultante a lo largo del eje x es cero, lo mismo que a lo largo del eje y. 4. Considere un cuerpo sometido solo a fuerzas conservativas, la alternativa incorrecta es: A) El trabajo neto es igual al cambio de su energía cinética (WNETO = ∆ EK). B) El trabajo no depende de la trayectoria. C) La energía mecánica se conserva. D) El trabajo neto es igual al cambio de su energía potencial (WNETO=∆U). E) El cambio de su energía cinética es igual al negativo del cambio de su energía potencial (∆EK= – ∆U).

179

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

5. Con relación a la presión en un determinado punto, diga cual expresión es verdadera: A) La manométrica es siempre positiva. B) La absoluta puede ser menor que la manométrica. C) La absoluta, puede tomar valores negativos. D) La manométrica puede tomar valores negativos. E) La absoluta se debe solo al peso de un fluido.

6. Con respecto a la Ecuación de Continuidad. La proposición correcta, es: A) Nos dice que la velocidad del flujo varía en razón directa al área de la sección trasversal de la tubería. B) Define la conservación de la energía para cualquier tipo de flujo. C) Expresa la conservación de la masa en un flujo de fluidos. D) Define el caudal por unidad de tiempo en cualquier sección de la tubería. E) Es aplicable a fluidos con densidad variable.

7. Sean mA y mB dos masas iguales de líquidos de diferente calor especifico (c A > cB). Si se le trasfiere una igual cantidad de calor Q a cada uno de los cuerpos y se grafica T = f(t) para cada cuerpo, entonces la mejor representación gráfica es: T

T A

T B

A

t

T B

B

A

B

A)

T

t

t

B)

C)

A

A t D)

B

E)

8. Suponga que en un experimento se mide cuidadosamente 100 veces a una misma magnitud física, entonces, sucede que: A) Todas las medidas son exactamente iguales. B) Sólo dos de las medidas sean exactamente iguales. C) Todas las medidas menos una sean exactamente iguales. D) La mayor parte de las medidas son parecidas y algunas iguales. E) Todas las medidas son diferentes y no cercanas.

9. En el experimento de laboratorio sobre dilatación térmica, la causa y el efecto, respectivamente son: A) La longitud final – El coeficiente de dilatación lineal. B) La variación de longitud – La variación de temperatura. C) La variación de temperatura – La variación de longitud. D) El coeficiente de dilatación lineal – La variación de temperatura. E) La longitud final – La longitud inicial

180

t

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

10. Se le trasfiere calor a un gas ideal en un proceso ISOTERMICO. Con relación a la Primera Ley de la Termodinámica, indique la proposición correcta. A) El calor trasferido, aumenta la energía interna del gas. B) Parte del calor sirve para expandir el gas. C) Todo el calor sirve para comprimir el gas. D) La variación de energía interna es nula. E) El calor es mayor que el trabajo de expansión del gas.

11. La ENTROPÍA en un sistema aislado aumenta cuando el sistema experimenta un cambio …………………………….. A) Irreversible. B) Reversible. C) Irreversible o reversible. D) Infinitamente lento. E) Transitorio.

12. En las figuras se representan tres cargas puntuales y las fuerzas eléctricas de interacción correspondientes, aproximadamente a escala. Indique la configuración correcta.

2

1

A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

3

5

4

181

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

PROBLEMAS PARA RESOLVER. TENGA EN CUENTA QUE SE EVALUARA EL PROCEDIMIENTO. (4 PUNTOS CADA PREGUNTA) m1 = 6 kg

1. Inicialmente el bloque 2 está en reposo, con el resorte sin deformar. Encuentre el trabajo hecho por la tensión de la cuerda, sobre el bloque 2, si el resorte se ha estirado en x = 10 cm. (Constante del resorte K = 384 N/m)

2. En el ciclo se muestra una maquina térmica hipotética, por ciclo se le entrega 4 kJ de calor al sistema. Determine el calor cedido o recibido, si:

1

2 m2 = 4 kg

P(kPa) B

1,5 a) El ciclo es ABCA. b) El ciclo es ACBA

0,5

A

C V(m3)

1

182

5

EXAMENES

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SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE FÍSICA GENERAL 2010–I INSTRUCCIONES: LAS UNIDADES DE TODAS LAS PREGUNTAS PROPUESTAS ESTAN DADAS EN EL SI DE UNIDADES Y EN LOS QUE SEA NECESARIO USAR LA GRAVEDAD, CONSIDERE EL VALOR 9,8 m/s2. (1 PUNTO POR PREGUNTA DE 1 A 12) 1. Un móvil describe un MCU en sentido antihorario, la dirección aproximada de la aceleración media cuando el móvil se dirige de A hacia B, es: y

a. b. c. d.

B A

x

Correcta

2. La gráfica muestra como varia la velocidad en función del tiempo de un móvil que se mueve en línea recta. La proposición correcta, es: v(m/s) a. b. c. d.

En t = 1 s, el móvil esta en reposo. En t = 3 s, el móvil se esta moviendo hacia la izquierda. En t = 4 s, el móvil tiene aceleración cero. La posición en t = 2 s es la misma que en t = 6 s.

t(s) 0

3. El sistema de masas M y m se encuentra inicialmente en reposo, si E = 0,50 y C = 0,25. Indique la mínima masa m en función de M, para que el sistema presente aceleración. a. m = 0,25 M b. m = 0,50 M c. m = 0,60 M d. m = 1,50 M

2

4

6

M

m

4. Una partícula de masa m sujeta a una cuerda, se mueve en un círculo vertical de radio R y con movimiento circular uniforme. Con relación a la tensión en la cuerda en las posiciones 1, 2, 3 y 4 la proposición correcta; es: 1 a. b. c. d.

T1 = T2 = T3 = T4 T1 = T3 y T2 > T4 T1 > T3 y T2 = T4 T1 < T3 y T2 = T4

4

2

3

5. Un bloque de masa m es soltado de A y llega a B, con altura máxima h, se sabe que en este tramo AB perdió la tercera parte de su energía mecánica inicial, la altura h en función de H, es: a. b. c. d. e.

h = 2H/3 h = H/3 h = 4H/3 h=H

A B H h

183

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

6. La expresión correcta para calcular el trabajo de una fuerza conservativa es: a. b. c. d.

WFC = Ep WFC = –Ep WFC = EM WFC = –EC

WFC Ep EM EC

7. Un manómetro muestra tres líquidos no miscibles, la proposición correcta es: a. b. c. d.

: : : :

Trabajo de una fuerza conservativa. Cambio de energía potencial. Cambio de energía mecánica. Cambio de energía cinética

Liquido A

Liquido B

1 2 3

La presión en 2 es igual que la presión en 5. La presión en 1 es la presión atmosférica. La presión en 4 es mayor que la presión en 3. La presión en 4 es mayor que la presión en 2.

5 4 Liquido C

8. El cilindro macizo de peso W, área de la base A y altura H se encuentra en equilibrio en dos líquidos no miscibles de densidad 1 y 2. La ecuación que define el equilibrio, es: a. b. c. d.

W = 1gy1+2gy2. W = 1g(y1+y2)A+2g(y1+y2)A W = 1gy1A+2gy2A WH = 1gy1A+2gy2A

y0 y1

1

y2

2

9. Por el tubo mostrado en la figura, circula agua de izquierda a derecha. De las proposiciones: I. P1 > P2 II. v1 < v2 1 III. La disposición correcta de h es la mostrada en la figura. 2

a. b. c. d.

Sólo I es correcta. Sólo II es correcta. Sólo III es correcta. Todas son correctas

h MERCURIO

10. La grafica muestra la relación entre la escala arbitraria A con la escala Celsius. Con relación a la escala de temperatura A, la proposición correcta, es: A a. b. c. d.

Existe una temperatura de coincidencia con la escala ºC. Es una escala absoluta. El agua hierve a – 100 A en condiciones normales. El agua se congela a 0 A en condiciones normales.

0 –200

184

200

ºC

EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

11. La circunferencia metálica muestra un corte con un ángulo central  a 50 ºC, si la temperatura disminuye a 0 ºC. Con relación al ángulo central , podemos afirmar que: a. Disminuye. b. Aumenta. c. Se mantiene constante. d. Depende del coeficiente de dilatación lineal.

 R

12. En una expansión isotérmica de un gas ideal, la proposición correcta es: a. La energía interna aumenta. b. El trabajo de expansión es debido al cambio de energía interna. c. El trabajo de expansión es debido a que el sistema libera calor al entorno. d. El trabajo de expansión es debido al calor absorbido por el sistema.

PROBLEMAS PARA RESOLVER. TENGA EN CUENTA QUE SE EVALUARA EL PROCEDIMIENTO. (4 PUNTOS CADA PREGUNTA) P(kPa)

1. En el gráfico se muestra un gas ideal, si al sistema se le entrega 6000 J de calor de A hacia B, determine la variación de energía interna en este tramo.

B

1,5

0,5

A V(m3) 1

5

2. El tubo, representado a continuación tiene una sección transversal de 36 cm2, en las partes anchas y de 9 cm2 en el estrechamiento. Cada 5 segundos salen del tubo 27 litros de agua. d) Calcule las velocidades en las partes anchas y en la parte estrecha del tubo. e) Calcule la diferencia de alturas entre las columnas de mercurio del tubo en U.

h mercurio

( agua = 1 g/cm3 y Hg = 13,6 g/cm3)

BIBLIOGRAFÍA SEARS, Francis W. FREEDMAN, Roger A. YOUNG, Hugh D. ZEMANSKY, Mark W. FISICA UNIVERSITARIA – VOLUMEN 1. Undécima edición. México: Pearson Educación, 2004. 864 p. ISBN 978–970–260–511–9 SERWAY, Raymon A. y JEWETT, Jhon W., Jr. FISICA I – Texto basado en calculo. 3a edición. México: Thomson Paraninfo S.A, 2004. 661 p. ISBN 970–686–339–7.

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EXAMENES

M. Sandoval, R. Huatay.

SERWAY, Raymon A. y JEWETT, Jhon W., Jr. FISICA – VOLUMEN I – Para Ciencias e Ingeniería. 6a edición. México: Thomson Paraninfo S.A, 2005. 702 p. ISBN 970–686–423–7. TIPLER, Paul y MOSCA, Gene. FISICA – Para la Ciencia y la Tecnología. 5a edición. España: Editorial Reverte S.A, 2006. 604 p. ISBN: 84–291–4411–0. HEWITT, Paul. FISICA CONCEPTUAL. 10a edición. México: Pearson Educación, 2007. 780 p. ISBN: 978–970–26–0795–3.

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