• Author / Uploaded
• kassan4791

Citation preview

Matemáticas académicas

4ESO B

IES Gaia 2017-18 Colección de actividades y algunas ideas teóricas de la asignatura de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas en 4º ESO B Profesor: XIMO NEBOT Alumno/a: __________________________________________________

RÚBRICA PARA EVALUAR EL CUADERNO + Diario de aprendizaje

Nombre y apellidos: Curso: Asignatura: Matemáticas orientadas a las enseñanzas Criterios

Indicadores

1

Alumno Niveles 2 3

4

1

Profesor Niveles 2 3

4

La gramática y la ortografía son siempre Gramática y ortografía correctas. Las páginas están ordenadas y todas ellas Orden, numeración y están numeradas y con el nombre del autoría autor/a Todas las actividdes están corregidas (tanto Correcciones si están bien como si están mal) El cuaderno contiene todo lo que se ha Contenidos trabajado en clase (y en casa) hasta el actualizados momento El cuaderno tiene una presentación Presentación agradable que hace amena la lectura y el estudio (DA) Frecuencia de Escribe aportaciones todas las semanas aportación Cantidad de dibujos y Se incluyen un número significativo de esquemas dibujos y/o esquemas adecuados Calidad de los Todos los dibujos/esquemas son correctos y dibujos/esquemas relevantes El diario de aprendizaje es atractivo (DA) Orden y limpieza visualmente, está todo ordenado y limpio (DA) Extensión de los Tienen la extensión adecuada para el artículos tratamiento del tema (DA) Calidad de los Presenta los artículos en forma lógica y artículos organizada, de forma tal que se hace fácil su (Comprensión) comprensión. (DA) Calidad de los La redacción se caracteriza por la fluidez y artículos (Organización la cohesión y coherencia) (DA) Calidad de los artículos (Contenidos de clase) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 1) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 2) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 3) Propuestas de mejora

Se incluyen todas las ideas principales que se han desarrollado en clase durante el periodo entre un artículo y el siguiente Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué he aprendido?, ¿cómo he aprendido? Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué ha sido más fácil? ¿y difícil? ¿y novedoso? Aporta sus reflexiones sobre: ¿para qué me ha servido? ¿cómo lo puedo mejorar? Aporta propuestas de mejora respecto de actividades, evaluación, etc.

El alumno debe indicar el nivel de consecución de cada uno de estos criterios previamente a que lo haga el profesor. Todos los ítems serán ponderados de la misma forma para la calificación del Diario de aprendizaje.

(1)Nunca (2)Excasamente (3)Con frecuencia (4)Siempre

RÚBRICA PARA EVALUAR EL CUADERNO + Diario de aprendizaje

Nombre y apellidos: Curso: Asignatura: Matemáticas orientadas a las enseñanzas Criterios

Indicadores

1

Alumno Niveles 2 3

4

1

Profesor Niveles 2 3

4

La gramática y la ortografía son siempre Gramática y ortografía correctas. Las páginas están ordenadas y todas ellas Orden, numeración y están numeradas y con el nombre del autoría autor/a Todas las actividdes están corregidas (tanto Correcciones si están bien como si están mal) El cuaderno contiene todo lo que se ha Contenidos trabajado en clase (y en casa) hasta el actualizados momento El cuaderno tiene una presentación Presentación agradable que hace amena la lectura y el estudio (DA) Frecuencia de Escribe aportaciones todas las semanas aportación Cantidad de dibujos y Se incluyen un número significativo de esquemas dibujos y/o esquemas adecuados Calidad de los Todos los dibujos/esquemas son correctos y dibujos/esquemas relevantes El diario de aprendizaje es atractivo (DA) Orden y limpieza visualmente, está todo ordenado y limpio (DA) Extensión de los Tienen la extensión adecuada para el artículos tratamiento del tema (DA) Calidad de los Presenta los artículos en forma lógica y artículos organizada, de forma tal que se hace fácil su (Comprensión) comprensión. (DA) Calidad de los La redacción se caracteriza por la fluidez y artículos (Organización la cohesión y coherencia) (DA) Calidad de los artículos (Contenidos de clase) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 1) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 2) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 3) Propuestas de mejora

Se incluyen todas las ideas principales que se han desarrollado en clase durante el periodo entre un artículo y el siguiente Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué he aprendido?, ¿cómo he aprendido? Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué ha sido más fácil? ¿y difícil? ¿y novedoso? Aporta sus reflexiones sobre: ¿para qué me ha servido? ¿cómo lo puedo mejorar? Aporta propuestas de mejora respecto de actividades, evaluación, etc.

El alumno debe indicar el nivel de consecución de cada uno de estos criterios previamente a que lo haga el profesor. Todos los ítems serán ponderados de la misma forma para la calificación del Diario de aprendizaje.

(1)Nunca (2)Excasamente (3)Con frecuencia (4)Siempre

RÚBRICA PARA EVALUAR EL CUADERNO + Diario de aprendizaje

Nombre y apellidos: Curso: Asignatura: Matemáticas orientadas a las enseñanzas Criterios

Indicadores

1

Alumno Niveles 2 3

4

1

Profesor Niveles 2 3

4

La gramática y la ortografía son siempre Gramática y ortografía correctas. Las páginas están ordenadas y todas ellas Orden, numeración y están numeradas y con el nombre del autoría autor/a Todas las actividdes están corregidas (tanto Correcciones si están bien como si están mal) El cuaderno contiene todo lo que se ha Contenidos trabajado en clase (y en casa) hasta el actualizados momento El cuaderno tiene una presentación Presentación agradable que hace amena la lectura y el estudio (DA) Frecuencia de Escribe aportaciones todas las semanas aportación Cantidad de dibujos y Se incluyen un número significativo de esquemas dibujos y/o esquemas adecuados Calidad de los Todos los dibujos/esquemas son correctos y dibujos/esquemas relevantes El diario de aprendizaje es atractivo (DA) Orden y limpieza visualmente, está todo ordenado y limpio (DA) Extensión de los Tienen la extensión adecuada para el artículos tratamiento del tema (DA) Calidad de los Presenta los artículos en forma lógica y artículos organizada, de forma tal que se hace fácil su (Comprensión) comprensión. (DA) Calidad de los La redacción se caracteriza por la fluidez y artículos (Organización la cohesión y coherencia) (DA) Calidad de los artículos (Contenidos de clase) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 1) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 2) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 3) Propuestas de mejora

Se incluyen todas las ideas principales que se han desarrollado en clase durante el periodo entre un artículo y el siguiente Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué he aprendido?, ¿cómo he aprendido? Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué ha sido más fácil? ¿y difícil? ¿y novedoso? Aporta sus reflexiones sobre: ¿para qué me ha servido? ¿cómo lo puedo mejorar? Aporta propuestas de mejora respecto de actividades, evaluación, etc.

El alumno debe indicar el nivel de consecución de cada uno de estos criterios previamente a que lo haga el profesor. Todos los ítems serán ponderados de la misma forma para la calificación del Diario de aprendizaje.

(1)Nunca (2)Excasamente (3)Con frecuencia (4)Siempre

RÚBRICA PARA EVALUAR EL CUADERNO + Diario de aprendizaje

Nombre y apellidos: Curso: Asignatura: Matemáticas orientadas a las enseñanzas Criterios

Indicadores

1

Alumno Niveles 2 3

4

1

Profesor Niveles 2 3

4

La gramática y la ortografía son siempre Gramática y ortografía correctas. Las páginas están ordenadas y todas ellas Orden, numeración y están numeradas y con el nombre del autoría autor/a Todas las actividdes están corregidas (tanto Correcciones si están bien como si están mal) El cuaderno contiene todo lo que se ha Contenidos trabajado en clase (y en casa) hasta el actualizados momento El cuaderno tiene una presentación Presentación agradable que hace amena la lectura y el estudio (DA) Frecuencia de Escribe aportaciones todas las semanas aportación Cantidad de dibujos y Se incluyen un número significativo de esquemas dibujos y/o esquemas adecuados Calidad de los Todos los dibujos/esquemas son correctos y dibujos/esquemas relevantes El diario de aprendizaje es atractivo (DA) Orden y limpieza visualmente, está todo ordenado y limpio (DA) Extensión de los Tienen la extensión adecuada para el artículos tratamiento del tema (DA) Calidad de los Presenta los artículos en forma lógica y artículos organizada, de forma tal que se hace fácil su (Comprensión) comprensión. (DA) Calidad de los La redacción se caracteriza por la fluidez y artículos (Organización la cohesión y coherencia) (DA) Calidad de los artículos (Contenidos de clase) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 1) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 2) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 3) Propuestas de mejora

Se incluyen todas las ideas principales que se han desarrollado en clase durante el periodo entre un artículo y el siguiente Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué he aprendido?, ¿cómo he aprendido? Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué ha sido más fácil? ¿y difícil? ¿y novedoso? Aporta sus reflexiones sobre: ¿para qué me ha servido? ¿cómo lo puedo mejorar? Aporta propuestas de mejora respecto de actividades, evaluación, etc.

El alumno debe indicar el nivel de consecución de cada uno de estos criterios previamente a que lo haga el profesor. Todos los ítems serán ponderados de la misma forma para la calificación del Diario de aprendizaje.

(1)Nunca (2)Excasamente (3)Con frecuencia (4)Siempre

RÚBRICA PARA EVALUAR EL CUADERNO + Diario de aprendizaje

Nombre y apellidos: Curso: Asignatura: Matemáticas orientadas a las enseñanzas Criterios

Indicadores

1

Alumno Niveles 2 3

4

1

Profesor Niveles 2 3

4

La gramática y la ortografía son siempre Gramática y ortografía correctas. Las páginas están ordenadas y todas ellas Orden, numeración y están numeradas y con el nombre del autoría autor/a Todas las actividdes están corregidas (tanto Correcciones si están bien como si están mal) El cuaderno contiene todo lo que se ha Contenidos trabajado en clase (y en casa) hasta el actualizados momento El cuaderno tiene una presentación Presentación agradable que hace amena la lectura y el estudio (DA) Frecuencia de Escribe aportaciones todas las semanas aportación Cantidad de dibujos y Se incluyen un número significativo de esquemas dibujos y/o esquemas adecuados Calidad de los Todos los dibujos/esquemas son correctos y dibujos/esquemas relevantes El diario de aprendizaje es atractivo (DA) Orden y limpieza visualmente, está todo ordenado y limpio (DA) Extensión de los Tienen la extensión adecuada para el artículos tratamiento del tema (DA) Calidad de los Presenta los artículos en forma lógica y artículos organizada, de forma tal que se hace fácil su (Comprensión) comprensión. (DA) Calidad de los La redacción se caracteriza por la fluidez y artículos (Organización la cohesión y coherencia) (DA) Calidad de los artículos (Contenidos de clase) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 1) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 2) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 3) Propuestas de mejora

Se incluyen todas las ideas principales que se han desarrollado en clase durante el periodo entre un artículo y el siguiente Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué he aprendido?, ¿cómo he aprendido? Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué ha sido más fácil? ¿y difícil? ¿y novedoso? Aporta sus reflexiones sobre: ¿para qué me ha servido? ¿cómo lo puedo mejorar? Aporta propuestas de mejora respecto de actividades, evaluación, etc.

El alumno debe indicar el nivel de consecución de cada uno de estos criterios previamente a que lo haga el profesor. Todos los ítems serán ponderados de la misma forma para la calificación del Diario de aprendizaje.

(1)Nunca (2)Excasamente (3)Con frecuencia (4)Siempre

RÚBRICA PARA EVALUAR EL CUADERNO + Diario de aprendizaje

Nombre y apellidos: Curso: Asignatura: Matemáticas orientadas a las enseñanzas Criterios

Indicadores

1

Alumno Niveles 2 3

4

1

Profesor Niveles 2 3

4

La gramática y la ortografía son siempre Gramática y ortografía correctas. Las páginas están ordenadas y todas ellas Orden, numeración y están numeradas y con el nombre del autoría autor/a Todas las actividdes están corregidas (tanto Correcciones si están bien como si están mal) El cuaderno contiene todo lo que se ha Contenidos trabajado en clase (y en casa) hasta el actualizados momento El cuaderno tiene una presentación Presentación agradable que hace amena la lectura y el estudio (DA) Frecuencia de Escribe aportaciones todas las semanas aportación Cantidad de dibujos y Se incluyen un número significativo de esquemas dibujos y/o esquemas adecuados Calidad de los Todos los dibujos/esquemas son correctos y dibujos/esquemas relevantes El diario de aprendizaje es atractivo (DA) Orden y limpieza visualmente, está todo ordenado y limpio (DA) Extensión de los Tienen la extensión adecuada para el artículos tratamiento del tema (DA) Calidad de los Presenta los artículos en forma lógica y artículos organizada, de forma tal que se hace fácil su (Comprensión) comprensión. (DA) Calidad de los La redacción se caracteriza por la fluidez y artículos (Organización la cohesión y coherencia) (DA) Calidad de los artículos (Contenidos de clase) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 1) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 2) (DA) Calidad de los artículos (Reflexión 3) Propuestas de mejora

Se incluyen todas las ideas principales que se han desarrollado en clase durante el periodo entre un artículo y el siguiente Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué he aprendido?, ¿cómo he aprendido? Aporta sus reflexiones sobre: ¿qué ha sido más fácil? ¿y difícil? ¿y novedoso? Aporta sus reflexiones sobre: ¿para qué me ha servido? ¿cómo lo puedo mejorar? Aporta propuestas de mejora respecto de actividades, evaluación, etc.

El alumno debe indicar el nivel de consecución de cada uno de estos criterios previamente a que lo haga el profesor. Todos los ítems serán ponderados de la misma forma para la calificación del Diario de aprendizaje.

(1)Nunca (2)Excasamente (3)Con frecuencia (4)Siempre

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

Matemáticas Académicas

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad.

NÚMEROS

4º ESO

REPASO / según corresponda. 1. Completar con los símbolos ∈, ∉, ⊆ ó ⊆ 4 ........ ℕ

2.

& '

........ ℚ

2........ I

ℝ ........ ℝ

N ........ ℝ

0, 3........ I

{–2, $, 0} ........ ℤ

ℕ

........

ℤ

........

ℚ

........

ℝ

Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural. b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural. c) El cuadrado de un número racional negativo es un racional positivo. 1 d) Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y 2 .

e) El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.

3. Responder:

a) Si , = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13, 15 y 16 en términos de ,? b) Sea - un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior? c) Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior? d) Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿Y x – 1? e) Si x es cualquier entero, ¿2x es par o impar? ¿Y 2x – 1? ¿Y 2x + 1?

4. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser verdadera.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 1

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad.

a) si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0 b) (–a) ⋅ (–b) = –(a . b) c) el cociente entre un número y su opuesto es igual a –1 d) a + (–b + c) = a – b + c &

e) el inverso de 2 es − . '

f)

a : (b + c) = a : b + a : c, siendo b + c ≠ 0,

b≠0yc≠0

g) b – [–c ⋅ (2 – 1) – 1] = b h) a – (b + c) = a – b + c i)

(b + c) : a = b : a + c, con a ≠ 0

j)

para todo a ∈ ℝ, a : a

−1

=1

−1 −1

k) para todo a ∈ ℝ, (a ) l)

=a

a ⋅ (–b) = a ⋅ b

m) a ⋅ (b – c) = a ⋅ b – a ⋅ c n) la ecuación 2x = 1 tiene solución en ℤ o) –(–a) = a

5. Calcular:

a) b)

5+3

'

'

5

3

−1

=

;

5' + 3' = ' 5

;

3

c)

−2

3

;

d)

−2

37

;

−1

36' −2

3 '

6. Completar con = o ≠ y mencionar qué propiedades se cumplen o no se cumplen:

a)

8 + 9 : ..........8 : + 9 :

b) 8 ; .......... 9 < =

>

c)

8 ; .......... 8 ;

d)

?. A < ……? < . A < 4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 2

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad.

7. En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Indicar cuáles son y corregirlos.

a)

2' . 263 . 2B

b) 5' 5 : 563 c)

GH . G7

I



GJ 7

=

d) 7 .2 − 14

F

'

'

= 25

'

= 2&C

= 5C ∶ 56C = 5F = 1

GH . GK7 GKL

=

−7

'

= 49

+ 5F = 2

8. Determinar si han sido resueltos en forma correcta los siguientes ejercicios y justificar:

a)

4⋅9 = 4 ⋅ 9 = 2⋅3 = 6

b)

− 4 ⋅ − 9 = (−4) ⋅ (−9) = 36 = 6

c)

(−2) ⋅ (−8) = 16 = 4

d)

9 + 16 = 3 + 4 = 7

e)

9 + 16 = 25 = 5 3

f)

− 64 : 3 − 8 = 3

− 64 3 = 8=2 −8

9. Unir con flechas las expresiones iguales, siendo a, b ∈ R+ :

R

64 8 B . 216 9 Q

3 8 . 9

5FF

4

'B H

R

24 8 9 3 8 '

8 Q . 9 G . S T B

5 8. 9 − . 8 3

H

;7 2)

50. Con la ayuda de la factorización (como has hecho en los ejercicios previos), resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor de 2:

a. x3-7 x2+7x+15=0 b. x3-2 x2-x+2=0

c. x4+x3-16 x2- 4x+48=0 d. 3x4-2x3-3 x2+2x=0 e. x3- 2x2- 5x+6=0 f. 4x3+4 x2- x - 1=0 g. 6x4+x3-7 x2- x+1=0 h. 4x4-x3-28 x2+31x-6=0 i.

(4x2-9)(9 x2- 16)=0

j.

x3- 4x=0

k. x4-11x3-+41 x2- 61x +30=0 l.

12x3- x2-x=0

Soluciones: a. –1,3,5 f. –1,-1/2,1/2 j. 0,4

b. –1,1,2

g. –1,1,-1/2,1/3

k. 1,2,3,5

c. –2,2,3,-4

d. 0,-1,1,2/3

e. 1,-2,3

h. –3,1,2,5/2 i. 3/2,-3/2,4/3,-4/3

l. 0, 1/3, –1/4

Ecuaciones bicuadradas

51. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x 4 − 20x 2 + 64 = 0 b) x 5 − 41x 3 + 400x = 0 c) x 6 − 3x 3 + 2 = 0

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 28

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Solución: a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación: z2 - 20z + 64 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 16. Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -4 y x = 4 b) Sacando factor común x y realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación: x·(z2 - 41z + 400) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, z = 16 y z = 25. Calculando las raíces cuadradas de las soluciones (z) obtenidas queda: x = 0; x = -4; x = 4; x = -5 y x = 5 c) Realizando el cambio de variable: x3 = z queda la ecuación: z2 - 3z + 2 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 2. 3 Calculando las raíces cúbicas de las soluciones obtenidas queda x = 1 y x = 2

52. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a. x4-5x2+4=0 b. x4+2x2-3=0 c. 6x4+2x2-8=0 d. x4-4x2=0 e. 4x4-17x2+4=0 f.

9x4-3x2+4=0

g. x4-6x2-27=0 Soluciones: a. x=-1, x=-2;

b. x=-1;

e. x=-2, x=-1/2

f. x=-1/3, x=-2

c. x=-1

d.. x=0, x=-2; g. x=-3

Ecuaciones con radicales (irracionales)

Una ecuación irracional es una ecuación en la que intervienen radicales. Para resolverla eliminaremos las raíces elevando los dos miembros al cuadrado (una vez despejada la raíz en uno de los miembros). Hay veces en las que este proceso hay que repetirlo varias veces. Finalmente, hay que comprobar las soluciones puesto que al elevar al cuadrado es posible que aparezcan como soluciones valores que realmente no lo son.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 29

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

53. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: a.

x+

x = 30

b.

x +1=

x+9

c.

7 - 3x - x = 7

d. . x + 4 = 3 -

x -1

e.

5

x + 3 = 2x

f.

3

6x + 1 - 5 = 2 x 4x + 5 -

g.

3x + 1 = 1

h. . 2x - 1 + i.

x+4 = 6 x x +1 = 3

.1 +

j.

3 x - 2

x =

k.

x-3 +

x+4 =

l.

2

x+4 =

4x + 1

5 x+4

2 x + 3x +7 = 5

m.

n. 3 o.

x

2

x = x+1 2x - 1 =

6x - 5 +

p.

2x + 5 + 6 = 3x + 3

q.

3x + 10 = 1 +

r.

3x - 2 - 4 = 0

s.

2x + 1 = x - 1

2x - 9

3x + 3

Soluciones: a. x=25, x=36;

b. x=16;

c. x=-3, x=-14;

d. x=13/9;

e. x=9, x=1/4;

f. x=8, x=1/2;

g. x=5, x=1;

h. x=5, x=221;

i. x=15, x=0;

j. x=0, x=-3;

k. x=12;

l. x=12;

m. x=3, x=-6;

n. x=1, x=4;

o. x=5;

p. x=2/9, x=2;

q. x=2;

r. x=6;

s. x=4, x=0;

t. x=5/8;

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 30

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Fracciones algebraicas y ecuaciones radicales

Fracción algebraica: es toda expresión de la forma

p( x) , donde p(x), q(x) ∈ P(x); q(x) ≠ 0. q( x)

El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica Ejemplos:

x+5 ( x ≠ 3) x−3 2x − 3y (c ) 7 (a)

8 ⎛ 3⎞ ⎜x ≠ − ⎟ 2x + 3 ⎝ 2⎠ 3x + 4 (d ) 2 ( x ≠ 4, x ≠ − 2) x − 2x − 8 (b)

Simplificación de expresiones algebraicas

Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

24a 3b3 8a 2 ⋅ 3ab3 8a 2 = = 21ab5 7b 2 ⋅ 3ab3 7b 2 (a) (b)

5 x − 10 y 2x − 4 y Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

5 x − 10 y 5 ( x − 2 y) 5 = = 2 x − 4 y 2 ( x − 2 y) 2 (c)

x 2 − 7 x + 12 x 2 − 16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 31

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)(x − 3) x 2 − 16 = ( x + 4)(x − 4) Luego:

x 2 − 7 x + 12 ( x − 4) ( x − 3) x − 3 = = x 2 − 16 ( x + 4) ( x − 4) x + 4

x3 −1 (d) 2 x + x +1 Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1) Entonces:

( x − 1) ( x 2 + x + 1) x3 − 1 = = x −1 x2 + x + 1 ( x 2 + x + 1)

Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales

Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores. Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos

En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador) A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común Multiplicación de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 32

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

División de fracciones algebraicas

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad.

54. Comprueba si las fracciones son equivalentes: a)

x+2 1 y 3x + 6 3

b)

2 x + x x+1 y 2 x x

c)

3x 3 y x -x x-2

d)

3x - 3 1 y 2 9 x - 9 3x - 3

2

Solución: a) Sí; b) Sí; c) No; d) No 55. Calcula: a)

1 3 1 + 3x 2x x

b)

2 1 3 - 2 + 3x x 2 x2

3 x x x -1

- x 2 + 3x - 3 c) x (x - 1)

4x + 3 b) 6 x2

5 Solución: a) 6x

c)

d)

1 1 x - 1 x +1

d)

2 x -1 2

56. Saca factor común y luego simplifica: a)

2

5x + 5 3x + 3

b)

Solución: a) 5/3

x - 3x 2x - 6

c)

b) x/2

c)

2 x +x 2 x -1

x x -1

d)

d)

12x 4 x2 + 2x

d)

2 x + 4x + 4 2 x -4

6 2x + 1

57. Descompón en factores y simplifica: a)

2 x -1 x+1

e)

2 x - 16 2 x + 8x + 16

b)

2 x -1 (x - 1 )2

f)

Solución: a) x-1; b)

x (x + 2) 2 x + 4x + 4

2

c)

x -4 2x - 4 g)

2 x - 6x + 8 2 x -9

h)

2 x -9 4 x - 81

1 x+2 x+2 x-4 x x-3 x+1 ; c) ; d) ; e) ; f) 1; g) ; h) 2 2 x-2 x+4 x+2 x+3 x -1 x +9

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 33

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

58. Opera y simplifica:

1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 - x ⎟:⎜ + ⎟ 2 ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x

a) ⎜

b)

2 x+2 x -4 . x (x + 2 )2

⎡ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ + .x ⎟ : ⎜x ⎟ x +1 ⎠ ⎝ x + 1 ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ x

c) ⎢ ⎜

d)

2 1 ⎞ x ⎛ 2 .⎜ : ⎟ 2 ⎝ x x+2 ⎠

x + 2 x +1 ⎞ ⎛ 3 + ⎟ . 2 x2 2 x x-2 ⎠ ⎝ x

e) ⎜

Solución: a) 4-2x

b)

x-2 x

d) x2+2x

c) 3x+2

2

e) -

x + x+2 2 x (x - 2)

59. Haz las operaciones indicadas y simplifica:

⎛ x+ y x- y ⎜⎜ x+ y a) ⎝ x - y

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ x y ⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎝ y x ⎠

⎛ 1 1 x+ y ⎜⎜ + y xy b) ⎝ x

⎞ 2xy ⎟⎟ . ⎠ x+ y

x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x +1 ⎜ ⎟ .⎜ x ⎟ x +1 ⎠ ⎝ x ⎠ c) ⎝ x - 1 Solución: a) 4

b)

4y x+ y

c)

3x + 1 x

60. Opera: a)

1 1 x-1 + - 2 x-1 x - 3 x - 4x + 3

b)

1 3 x +1 + - 2 x+2 x -1 x +x - 2

c)

x 3 x-1 - 2 x - x - 2 x + 1 x - 3x + 2

d)

x 3 x+2 - 2 x - 1 x +1 x + x - 2

2

Solución: a)

1 x -1

b)

3x + 4 x +x-2 2

2

c)

- 3x + 5 ; 2 x -x-2

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 34

d)

2 - 3x 2 x -1

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

61. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 35

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Logaritmos. Si a>0 y a≠1, se define el logaritmo en base a de un número N de la siguiente manera:

log a N = x ⇔ a x = N O sea, como el exponente al que hay que elevar "a" para obtener "N". Ejemplos:

log 2 8 = 3

porque

23 = 8 ; log10 100 = 2

porque 102 = 100 ; etc.....

Los logaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) y los logaritmos neperianos(de base el número e≅ 2'71828182....). Ambos tienen una notación especial:

log 10 N = log N

; log e N = ln N .

PROPIEDADES.

• • • • •

El logaritmo de la unidad es 0. O sea, loga1=0 El logaritmo de la base es 1. O sea, logaa=1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. O sea, loga (N·M)=loga N + loga M El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. O sea, loga (N:M)=loga N - loga M El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. O sea, loga (NM)= M·loga N

62. Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión utilizando las propiedades de los logaritmos:

3log 2 +

1 1 log 8 − log 25 3 2

Solución:

1 1 3log 2 + log 8 − log 25 = log 23 + log 3 2

3

8 − log

25 =

= log 8 + log 2 − log 5 = log( 8 ⋅ 2) − log 5 = log16 − log 5 = log

16 5

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 36

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

63. Halla el valor de x, utilizando la definición de logaritmo: a) log x 16 = 4

b) log 3 x = 4

Solución: a) log x 16 = 4 → x 4 = 16 → x = 2 b) log3 x = 4 → 34 = x → x = 81

64. Utilizando la definición de logaritmo, calcula: log2 32 + log3 3 81 − log5

1 25

Solución: log 2 32 + log 3 3 81 − log 5

1 4 4 25 = log 2 25 + log 3 3 4 3 − log 5 5 −2 = 5 + − (− 2) = 5 + + 2 = 25 3 3 3

65. Sin utilizar la calculadora, resuelve los siguientes logaritmos:

a) log 3 27 = log 3 33 = 3 b) log 3

1 = log 3 3 − 4 = −4 81

c) log 1 27 = log 1 33 = 3 3

3

4

log 3 3 1 =3 = −3 1 0 −1 log 3 3

1 ⎛1⎞ = log 1 ⎜ ⎟ = 4 3 81 3 ⎝ 3⎠ 3 3 e) log 5 125 = log 5 5 2 = 2 log 5 5 1 f ) log 1 625 = log 1 5 4 = 4 =4 = −4 5 5 1 0 −1 log 5 5 d ) log 1

2

1 ⎛1⎞ g ) log 1 = log 1 ⎜ ⎟ = 2 5 25 5⎝5⎠ 3 3 log 5 5 3 1 3 h) log 1 125 = log 1 5 2 = = =− 1 2 0 −1 5 5 2 2 log 5 5 log 5 5 log 5 5 1 i ) log 25 5 = = = log 5 25 log 5 5 2 2 4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 37

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

66. Escribe las siguientes expresiones como el log de una sola expresión, lo más simple posible. 5

5

3 3 5 a 3b 2 a)3 log a + 2 log b − log c + log d = log a 3 + log b 2 − log c 2 + log d 2 = log 3 + log d 2 = 2 2 c 2

= log(

a 3b 2

⋅ 2 d 5 ) = log

a 2b 2 d 2 d

c c c c 1 1 1 b) log(x 2 + 4) + log(x + 3) + log(x − 3) = log x 2 + 4 + log x + 3 + log x − 3 = 2 2 2

= log

(x

2

+ 4)(x + 3)(x − 3) = log

(x

2

+ 4)(x 2 − 9) = log x 4 − 5 x 2 − 36

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que las incógnitas forman parte de un exponente.

Ejemplo: a 2 x −5 = a 3 x + 2 Veamos cómo debemos resolver este tipo de ecuaciones: Calcular x en la ecuación 2 x = 128 Podemos transformarla en 2 x = 2 7 de donde se obtiene que x = 7. En general si a x = a y ⇒ x = y si a x = b x ⇒ a = b

Ejemplo: Resolver la ecuación exponencial: 3 x −1

(3 )

2

= (3 )

1 3

ð

3

3 x −3

27 x −1 = 3 9 .

=3

2 3

ð

3x − 3 =

2 3

ð

x=

11 9

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo.

Por ejemplo: log(x + 7) = 1 + log(x - 4) Resolver la ecuación log(x+6) = log(2x-1). Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 38

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

El método para resolver numéricamente las ecuaciones logarítmicas se basa en lo siguiente: Se trata de conseguir por tanto una ecuación del tipo log(...) = log(...). Para ello se deben tener muy claras las propiedades de los logaritmos: Ejemplo: Determinar el valor de x en la ecuación log(x+6) = 1 + log(x-3). log(x+6) = 1 + log(x-3) ð

ð

log(x+6) = log 10+ log(x-3) ð ð

log(x+6) = log 10(x-3)

x+6 = 10(x-3)

ð

x = 4.

Debemos considerar, al resolver ecuaciones logarítmicas, lo siguiente: En algunas ecuaciones logarítmicas podemos obtener soluciones numéricas que no son válidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación inicial para decidir sobre su validez

Ejemplo: 2 Resolver la ecuación log (3 - x ) =log 2 + log x 2 log (3 - x ) =log 2x

ð

2 3 - x =2x

x 2 + 2x – 3 = 0

ð

de donde se obtiene que x1 = 1 y x 2 = -3 Al sustituir el valor -3 en la ecuación inicial, se obtiene que log(-6) = log2 + log (-3), pero los logaritmos de números negativos no existen. Por tanto la única solución de esta ecuación es x = 1.

67. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log x = log 2 + log(x − 3) → x = 2(x − 3) → x = 6 b) log(3x + 1) − log(2 x − 3) = 1 − log 5 →

3x + 1 10 = → 3x + 1 = 4 x − 6 → x = 7 2x − 3 5

c) log(20x) + log(2x) = 3 → 20x.2x = 1000 → 40x = 1000 → x = 25 d ) log(x + 2) + log(10 x + 20 ) = 3 → (x + 2)(10 x + 20 ) = 1000 → (x + 2)(x + 2)10 = 1000 x 2 + 4 x + 4 = 100 → x 2 + 4 x − 96 = 0 (resolver la ecuación de segundo grado)

e) log x + log 50 = 3 → 50 x = 1000 → x = 20 5

5

f )5 log(x + 3) = log 32 → (x + 3) = 32 → (x + 3) = 2 5 → x + 3 = 2 → x = −1 g )2 log x = log(10 − 3x ) → x 2 = 10 − 3x → x 2 + 3x − 10 = 0 (se resuelve la ecuación de segundo grado)

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 39

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

68. Resuelve las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados: a.

3

5 2 x −1 = 25

x 2 − 14

b. 4x+1+2x+3 -320=0 c. 32(x+1) -28·3x +3 =0 d. 5x -97·5x/2 +64 =0 e. 10 3-x = 1 f.

22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984

g. 2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960 h. 3x +31-x =4 i.

4e -3x -5e -x+ex =0

j.

21− x =

2

1 8

Soluciones: a. x1 =1/2 y x2 =1/5

d. x1 =8log52, x2 =8log53 h. x1 =0 , x2 =1

b. x=3

c. x1 =1, x2 =-2

e. x=0

f. x=5

g. x =10

j. x1=2, x2=-2

69. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a. (x2-5x+9)log2+log125=3 b. lg(22-x)2+x+log1250=4 c.

log 2 + log (11 − x 2 ) =2 log(5 − x)

d. (x2-4x+7)log5+lg16=4

) (

(

)

e. log x + x 2 − 1 + log x − x 2 − 1 = 0 ; x ≥ 1 f. 3logx -log32 =log(x/2) g. log 2 x · log x 2x · log 2x y = log x x2 h. 5 log

x x 32 + 2 log = 3 log x − log 2 3 9

i.

2log x =3 + log (x/10)

j.

log 3x + 1 − log 2 x − 3 = 1 − log 5

Solución: a. x1 = 2, x2 = 3 d. x1=1, x2=3 h. x=3

b. x1=1, x2=-1

e. x=1 i. x=10

f. x = 4

c. x1=3, x2=1/3, g. y=4, ∀x>0

j. x=11/5

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 40

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Repaso de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

70. Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción. x + 2y = 5 ⎫ ⎬ a) 2x + y = 7⎭

2x + 4y = 10⎫ ⎬ b) 2x + y = 7 ⎭

Solución: a) Sustitución: x + 2 y = 5⎫ x = 5 - 2y ⎬ 2 x + y = 7⎭ 2(5 - 2 y) + y = 7 10 − 4 y + y = 7; - 3 y = -3; y = 1 ⇒ x = 3

Reducción − 2 ⋅ (x + 2 y = 5 )⎫ - 2 x- 4 y = -10 ⎬ 2 x+ y = 7 ⎭ 2 x+ y = 7 - 3 y = - 3 ⇒ y = 1; x = 3

b) Sustitución 2 x + 4 y = 10⎫ y = 7 - 2x ⎬ 2 x + y = 7 ⎭ 2 x + 4(7 - 2 x) = 10 2 x + 28 − 8 x = 10; - 6 x = -18; x = 3

⇒ y =1

Reducción: − (2 x + 4 y = 10)⎫ - 2 x- 4 y = -10 ⎬ 2 x+ y = 7 ⎭ 2 x+ y = 7 - 3 y = -3 ⇒ y = 1; x = 3

71. Partiendo de la ecuación: 2x + y = 9 añade otra que forme con esta un sistema que no tenga solución. 72. Resuelve los siguientes sistemas aplicando el método que quieras.

4x 3y ⎫ + =7 ⎪ 3 2 a) ⎬ − 2x y + = −1⎪ 3 2 ⎭

5⎫ 2x + 2y = ⎪ 3 b) 5⎬ 4x − y = ⎪ 6⎭

Solución: a) x = 3; y = 2

b) x = 1/3; y = 1/2

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 41

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

73. Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 años, la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edad tienen? 74. Dos números suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. Halla los números. 75. Un ejercicio realizado en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada cuestión no contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el ejercicio, ¿cuántas cuestiones ha contestado correctamente? 76. El perímetro de un rectángulo tiene 28 cm. Calcula el área de este rectángulo sabiendo que uno de sus lados tiene cuatro centímetros más que el otro. 77. La razón entre dos números es 2/3. Si se añaden 20 unidades al más pequeño y 5 al más grande la razón se invierte. ¿De qué números se trata?

Sistemas de ecuaciones no lineales.

78. Resuelve el siguiente sistema no lineal:

3 ⎫ 4 ⎪⎪ ⎬ 1⎪ 2 2 x − y − xy = − ⎪ 4⎭ x 2 + y 2 + xy =

Solución:

1 1 x=− ,y=− ; 2 2

1 x = − , y = 1; 2

x=

1 , y = −1; 2

x=

79. Resuelve el siguiente sistema no lineal:

2x − 1 y + 3 ⎫ + = 3⎪ x +1 y +1 ⎬ x (x − 2) = y(1 − y )⎪⎭ Solución:

x = 2, y = 1;

x=

2 3 ,y=− 13 13

80. Resuelve el siguiente sistema no lineal:

x 2 + y 2 = 65⎫ ⎬ xy = 28 ⎭ Solución:

x = -7, y = -4;

x = -4, y = -7;

x = 4, y = 7;

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 42

x = 7, y = 4

1 1 ,y= 2 2

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

81. Halla dos números sabiendo que el doble del primero más el segundo es igual a 13, y que la suma de sus cuadrados es 34. (Solución: 27/5 y 11/5) 82. Una chapa tiene 28 m de perímetro. Si le cortamos 2 m de largo y otros 2 m de ancho, el área de la nueva chapa es de 24 m2. Halla las dimensiones de la chapa inicial. (Solución: 8cm y 6cm) 83. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a.

(Solución: x=3, y=2)

b.

(Solución: x=1, y=2)

c.

(Solución: x=2, y=3 / x= 9/7, y= 4/3)

84. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

85. Resuelve el sistema:

⎧log( x + y ) − log( x − y ) = log 5 ⎪ x ⎨2 ⎪ y =2 ⎩2

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 43

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Inecuaciones. Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante las operaciones algebraicas. Los signos de desigualdad son: , ≥ Las inecuaciones se clasifican por su grado y por su número de incógnitas. Soluciones de una inecuación son los valores de la(s) incógnita(s) que cumplen la desigualdad. En las inecuaciones suele hablarse de conjunto de soluciones, pues las soluciones se dan mediante intervalos. Resolver una inecuación es encontrar sus soluciones. Para resolver una inecuación hay que despejar la incógnita. Para ello hay que tener en cuenta las siguientes propiedades: 1.

A < B ⇔ A + n < B + n.

También: A − n < B − n

2.

A < B ⇔ A · n < B · n, si n > 0 También: A/n < B/n, si n ≠ 0, si n ≠ 0

3.

A < B ⇔ A · n > B · n, si n < 0 También: A/n > B/n, si n ≠ 0, si n ≠ 0

OJO: Si se multiplica por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones de primer grado

Para resolverlas se utilizan las tres propiedades indicadas. Además, en todos los casos se tendrá en cuenta el orden de prioridad de las operaciones. Ejemplos: q

Resolver 2(x + 1) + 3 ≤ 5(x + 2) − 10

Operamos los paréntesis y trasponemos términos:

5 ≤x 2x + 2 + 3 ≤ 5x + 10 −10 ⇔ 5 ≤ 5x − 2x ⇔ 5 ≤ 3x ⇔ 3 La solución son los puntos de [5/3, ∞ )

q

x − 2 2x − 4 < 5 Resolver 3

1º. Multiplicamos ambos miembros por 15: 5(x − 2) < 3(2x − 4) 2º. Operamos los paréntesis:

5x − 10 < 6x −12

3º. Trasponemos términos:

5x − 6x < −12 + 10

4º. Agrupamos:

−x < −2

5º. Multiplicamos por −1:

x>2

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 44

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Inecuaciones de segundo grado

La expresión ax 2 + bx + c puede ser mayor, menor o igual que 0. Esto es, podemos plantearnos:

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx + c > 0

En los tres casos conviene resolver la ecuación de segundo grado asociada y escribir el 2

trinomio ax + bx + c como producto de factores. Dependiendo de las raíces de esa ecuación escribiremos: → ax 2 + bx + c = a( x − x1 )(x − x2 ) < 0 (si hay dos soluciones distintas x1 y x2). → ax 2 + bx + c = a( x − x1 ) 2 < 0 (si sólo hay una solución, x1) → si no hay soluciones reales, la inecuación no puede descomponerse en factores.

En cada caso, estudiando los signos de los factores se encuentran los intervalos solución. Observación. En los tres casos puede no haber solución o soluciones.

Ejemplos: Para resolver 2 x 2 + 4 x − 6 < 0 hallamos las soluciones de la ecuación asociada; son: x1 = −3 y x2 = 1. q

Por tanto, 2 x 2 + 4 x − 6 = 2( x + 3)( x − 1) . Con esto escribimos:

2 x 2 + 4 x − 6 < 0 ⇔ 2( x + 3)( x − 1) < 0 . Como el primer factor, 2, es positivo, el signo del producto dependerá del signo de cada uno de los otros dos factores, (x + 3) y (x −1). (+) · (−) → (x + 3 > 0) · (x − 1 < 0) → (x > −3) y (x < 1) ⇒ −3 < x < 1 (−) · (+) → (x + 3 < 0) · (x − 1 > 0) → (x < −3) y (x > 1) ⇒ No hay puntos comunes. Nota: Hemos hallado los puntos para los que 2 x 2 + 4 x − 6 = 0 → x = −3 y x = 1. También hemos hallado los puntos para los que 2 x 2 + 4 x − 6 < 0 → −3 < x < 1. En consecuencia, para todos los demás valores de x se cumplirá que 2 x 2 + 4 x − 6 > 0 . Esto es, para x < −3 y para x > 1.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 45

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

Por tanto, al resolver

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

2x 2 + 4x − 6 < 0 también queda resuelta la inecuación

2x 2 + 4x − 6 > 0 Gráficamente, la situación es la siguiente:

2x2 + 4x − 6 = 0

2

2x + 4x − 6 > 0

2x2 + 4x − 6 > 0

x < –3

x>1

–3

2x2 + 4x − 6 < 0

1

–3 < x < 1

Observación: Puede ser oportuno recordar que la función y = 2 x 2 + 4 x − 6 , es una parábola. Si se representa gráficamente, su curva: corta al eje OX en los puntos x = −3 y x = 1, que son las soluciones de la ecuación

2x 2 + 4x − 6 = 0 ; y está por debajo del eje OX en el intervalo (−3, 1), precisamente las soluciones de

2x 2 + 4x − 6 < 0 . q

Resolvamos ahora x 2 + 4 x + 4 < 0 .

Como la ecuación x 2 + 4 x + 4 = 0 sólo tiene una solución doble, x = −2, se deduce que

x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 : Y como un cuadrado nunca es negativo, la inecuación planteada no tiene solución, pues x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 ≥ 0 , para cualquier número real de x. Observación: Como puede verse fácilmente, la parábola y = x 2 + 4 x + 4 tiene su vértice (su mínimo) en el punto (−2, 0), de abscisa x = −2; para los demás valores de x siempre está por encima del eje OX. q

Por contra, la inecuación − x 2 + 4 x − 6 < 0 es cierta para todo valor de x, pues

− x 2 + 4 x − 6 = 0 no tiene soluciones reales. Por tanto, sólo hay dos posibilidades: o siempre es mayor que cero; o siempre es menor que cero. Como para x = 0 vale −6, siempre será negativa; esto es, − x 2 + 4 x − 6 < 0 es cierta para todo valor de x. Observación: Para este caso, también puede verse que la gráfica de la parábola

y = − x 2 + 4 x − 6 siempre queda por debajo del eje OX.

Menor que 0 y mayor que 0 en productos y cocientes

Muchas veces interesa conocer sólo el signo de una expresión algebraica. Esto es, saber cuándo es menor que cero (negativa) y cuándo es mayor que cero (positiva). El mejor

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 46

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

procedimiento, salvo en casos inmediatos, es descomponer dicha en factores y, después, tener en cuenta las reglas de los signos: Pueden presentarse los siguientes casos:

⎧A < 0 y B > 0, o ⎨ • Producto A · B < 0 ⇔ ⎩ A > 0 y B < 0 (Un factor es positivo y otro negativo.) ⎧A < 0 y B < 0, o ⎨ • Producto A · B > 0 ⇔ ⎩ A > 0 y B > 0 (Los dos factores tienen el mismo signo)

Ejemplos: q

La expresión 2x > 0 cuando x > 0. Análogamente, 2x < 0 si x < 0.

q

−x2 siempre es negativa, pues x2 > 0 para todo x.

q

x2(x − 1) será positiva cuando x − 1 > 0; esto es, cuando x > 1.

⎧A < 0 y B > 0, o A ⎨ 0 y B < 0 (Los dos términos con distinto signo) ⎧A < 0 y B < 0, o A ⎨ >0 • Cociente B ⇔ ⎩A > 0 y B > 0 (Los dos términos con el mismo signo)

Ejemplos:

q

x −1 >0 x+2 cuando x – 1 > 0 y x + 2 > 0: [(+) : (+) = (+)] ⇒ x > 1.

También, cuando x – 1 < 0 y x + 2 < 0: [(–) : (–) = (+)] ⇒ x < –2

q

x2 −1 x−3 2 2 El signo de las expresiones x o de ( x + 2) sólo depende del numerador, pues el

denominador siempre es positivo, salvo en x = 0 y x = −2, respectivamente, en donde dichas expresiones no están definidas. Así:

x−3 x 2 = 0 si x − 3 = 0 ⇒ x = 3;

x−3 x 2 > 0 si x > 3;

x−3 x 2 < 0 si x < 3.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 47

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

x2 −1 ( x + 2) 2 = 0 si x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1; x2 −1 x2 −1 ( x + 2) 2 > 0 si x < −1 o x > 1; ( x + 2) 2 < 0 si −1 < x < 1.

86. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8

R. ] - ∞ , 0 [

b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8

R. ] - ∞ , 7/2 [

c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5

R. [ 14/5 , + ∞ [

d)

3_6B 5

e) 1 − f)

_VC 3

−

_6C

a6B Q

&'

3x - 9

R. IR - ⎨3⎬

j) 3 > x ( 2x + 1)

R. ] -3/2 , 1 [

k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 )

R. IR - ] -1 , 15/16 [

l) ( x - 2 ) 2 > 0

R. IR - ⎨2⎬

m) ( x - 2)2 ≥ 0

R. IR

n) ( x - 2)2 < 0

R. ∅

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 48

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

88. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales con una variable:

x >0 a) x − 1

R. IR - [ 0 , 1 ]

x+6 2 d) x + 5

R. ] - ∞ , -5 [

1 ≤0 f) x − 3

R. ] - ∞ , 3 [

x −1 ≥0 g) x + 1

R. IR - [ -1 , 1 [

x2 + 2 >x j) x + 3

R. IR - [ - 2/3 , 3 ]

89. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

⎧2x + 2 < 6 ⎩3x − 1 ≥ −7

⎧x − 2 ≥ 0 ⎩2x ≤ 10

a) ⎨

Solución:

b) ⎨

[ ]

[

a) − 2,2)

b) 2,5

90. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

⎧5 - x < -12 ⎩16 - 2x < 3x - 3

⎧3x − 2 > −7 ⎩5 - x < 1

a) ⎨

Solución:

b) ⎨

⎛ 19 ⎞ ,17 ⎟ ⎝5 ⎠

b) (4,+∞ )

a) ⎜

91. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

⎧6x + 5 ≤ 5x − 2 ⎪ a) ⎨ 1 ⎪⎩3x − 2 > −5 Solución:

a) Ø

⎧x + 1 < 2 ⎩x − 1 > −2

b) ⎨

b) (− 1,1)

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 49

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

92. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

⎧6 - x ≤ 4x - 5 ⎩1 - 2x ≥ -3

a) ⎨

⎧2x − 6 < 0 ⎩ x − 4 > −5

b) ⎨

Solución: b) (− 1,3)

a) Ø

93. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

⎧2x - 15 ≤ x - 5 ⎩− x + 12 ≥ 6

a) ⎨

⎧2x − 10 > − x + 2 ⎩10 − 4x > −3x

b) ⎨

Solución:

]

a) (− ∞,6

b) (4,10)

Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad. Expresión general: son de la forma ax + by < c y todas sus equivalentes ax + by ≤ c ,

ax + by > c , etc. … Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas. Pueden ser de grado mayor que uno en las dos o en una sola de las variables.

y − x 2 + 2x < 5 , o bien x 2 − y2 ≤ 16 . Método de resolución: se trata en el fondo de ecuaciones de rectas o parábolas que debemos resolver y luego analizar las zonas del plano en que se cumple la desigualdad inicial.

Para las inecuaciones de la forma ax + by < c , pasamos primero a la ecuación lineal

y = mx + b , despejando de modo adecuado. Esta no es más que la ecuación de una recta en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que y > mx + b y el otro los puntos tales que y < mx + b . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello: Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto del plano que no esté contenido en la recta y sustituimos en la inecuación. Si cumple la desigualdad

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 50

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

indicada en esa inecuación, entonces ese semiplano es la solución (todos los puntos de su semiplano la cumplirán). Si no la cumple, el semiplano solución es el otro.

•

Ejemplo: sea la inecuación 2x + y > 4 . Pasamos a la ecuación de la recta

y = −2x + 4 , la cual dibujamos dando valores a x e y. x y 0 4 2 0 con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos puntos pasa una y solo una recta. Elegimos el punto (0,0) que no pertenece a la recta. Al sustituir en la inecuación: 0>0+4 no es cierto, con lo que el semiplano inferior (que contiene al (0,0)) no es la solución: es el semiplano superior.

•

Ejemplo: 2x + y ≤ 4 , es similar al anterior, solo cambia el sentido de la desigualdad y al sustituir el punto (0,0) sí que la cumple, de forma que la solución es el semiplano que contiene al origen.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 51

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

2

Para las inecuaciones de la forma dy + ax + bx + c < 0 , pasamos primero a la 2

ecuación y = Ax + Bx + C , despejando de modo adecuado. Esta no es más que la ecuación de una parábola en el plano, la cual divide al mismo en dos semiespacios. Uno de esos semiespacios contiene los puntos tales que

y > Ax 2 + Bx + C y el otro los puntos tales que y < Ax 2 + Bx + C . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello procedemos de forma análogo que con las lineales. 2

Ejemplo: sea la inecuación x − y < 1. Pasamos a la ecuación, 2

despejando siempre la y, y = x − 1 la cual dibujamos dando valores a x e y, o bien aplicando las técnicas vistas para dibujar parábolas:

xv =

−b 2a

=

−0 2 ⋅1

= 0 ⇒ y v = −1

•

Vértice,

•

Puntos de corte con el OX ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = ±1

•

Punto de corte con el OY ⇒ y = c ⇒ y = −1

2

El punto (0,0) no pertenece a la parábola, sustituyendo en la inecuación: 0-0 y

i) − x + 2 ≥ − y

95. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

⎧x − y ≥ 3 ⎩x + y ≤ 2

⎧x − 2y ≥ 5 ⎩x + y < 1

a) ⎨

b) ⎨

Solución: a)

b)

96. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

⎧- x + y ≤ 3 ⎩x + y - 3 > 0

a) ⎨

⎧2x - y > 6 ⎩3x + 5y - 10 < 0

b) ⎨

Solución: a)

b)

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 54

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

97. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

⎧2x + y ≥ −1 ⎩- x + y ≥ −1

⎧x + y > 0 ⎩- 2x + y > 1

a) ⎨

b) ⎨

Solución: a)

b)

98. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

⎧2x - y ≤ 4 ⎩- x + 3y ≥ −1

a) ⎨

⎧x + 2y ≥ 2 ⎩x + y ≤ 1

b) ⎨

Solución: a)

b)

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 55

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

Matemáticas Académicas

4º ESO

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

TRIGONOMETRÍA - VECTORES

Semejanza.

Recordemos que dos polígonos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales.

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero no el mismo tamaño (ni, quizás, su posición)

En el caso particular de los triángulos, tenemos los siguientes criterios de semejanza (estos criterios “relajan” las condiciones a comprobar porque el hecho de ser triángulos ya supone que sus propiedades harán cumplir el resto de condiciones):

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 56

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

a) 2 triángulos con 2 ángulos iguales, son semejantes. Y es así porque como en todos los triángulos la suma de sus 3 ángulos sale 180º , el tercer ángulo que nos queda también medirá lo mismo obligatoriamente, y por tanto tendrán los 3 ángulos iguales (1ª condición de los triángulos semejantes). Ejemplo. 1er triángulo, 2 ángulos de él miden 35º y 68º 2º triángulo, 2 ángulos de él miden 68º y 77º ¿Serán semejantes? Si calculamos el ángulo que nos falta en el 1er triángulo (180º - 35º - 68º = 77º), vemos que mide lo mismo que el 2º del 2º triángulo. Por lo tanto, cumple el 1er criterio que es tener 2 ángulos iguales (68º y 77º) y los 2 triángulos son semejantes. b) 2 triángulos con los lados homólogos proporcionales, son semejantes. Ejemplo. 1er triángulo, sus lados miden 4, 6 y 7 cm 4.8, 7.2 y 8.4 cm.

2º triángulo, sus lados miden

¿Serán semejantes? Hagamos las 3 razones y lleguemos al final.

4 40 5 6 60 5 Lados medianos = = = = 4.8 48 6 7.2 72 6 7 70 5 mayores = = . Por tanto, sí lo son. 8.4 84 6 Lados pequeños -

Lados

c) 2 triángulos con un ángulo igual y los dos lados que forman dicho ángulo proporcionales, son semejantes. Ejemplo 1er triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 6 y 7.2 cm 2º triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 15 y 18 cm

Observamos que los 2 ángulos son iguales y, por lo tanto, cumple lo primero del 3er criterio. Con respecto a los lados, las razones nos salen Lados mayores -

Lados menores -

6 2 = 15 5

7.2 72 2 = = 18 180 5

1. Calcula x en el siguiente dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x se denomina segmento cuarto proporcional)

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 57

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

Solución:

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

a c 3 6 6·4 = ⇒ = ⇒x= = 8 cm b x 4 x 3

2. Los triángulos que forman esta figura ¿son semejantes

Solución: Sí, pues los lados son paralelos entre si, y por tanto los ángulos comprendidos son iguales y los dos triángulos son semejantes

3. Para calcular la profundidad de un pozo, hasta no hace mucho tiempo, se utilizaba una vara de un metro de largo que se apoyaba en el suelo y se iba separando del borde del pozo hasta que se veía el extremo del fondo. Aquí tienes una representación esquemática

Si te has separado a 75 cm del borde, ¿cuál será la profundidad del pozo si tiene 1,5 m de diámetro?

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 58

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Solución: AB = 1m = 100cm

BC = 75cm

DE =1,5m = 150cm

La profundidad del pozo será CD. Son dos triángulos semejantes puesto que sus ángulos son iguales. Por ser semejantes, tenemos que

AB CD 100 CD 100·150 = ⇒ = ⇒ CD = = 200 cm = 2 m BC DE 75 150 75

4. Si en la figura siguiente conoces AB = 3 cm, BC = 1 cm, DE = 8 cm, calcula CD

Solución:

AB CD 1 CD 8 = ⇒ = ⇒ CD = = 2,67 cm BC DE 3 8 3

5. Calcula el valor de x en esta figura

Solución:

3 x 55·3 = ⇒x= = 33 m 5 55 5

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 59

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

6. En la siguiente figura, calcula D si conocemos h = 1,65 m; d = 2 m; H = 14,85 m

Solución:

h H H·d 14,85·2 = ⇒D= = = 18 m d D h 1,65

7. Una escalera de 10 m está apoyada contra la pared. Su pie está a 1,6 m de la base de la misma. ¿Cuánto dista de la pared el escalón situado a 2,4 m de altura? Solución:

10 10 − 2,4 1,6·7,6 = ⇒x= = 1,21m 1,6 x 10

8. ¿Cuál es la altura de una torre sabiendo que proyecta una sombra de 32 m si al mismo tiempo un bastón de 1,2 m proyecta una sombra de 1,5 m? Solución:

x 1,2 32·1,2 = ⇒x= = 25,6 m 32 1,5 1,5

Aplicando la semejanza y el teorema de Thales a triángulos rectángulos en esta posición:

R´

R´ ´

R O P

α P

P´

P´ ´

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 60

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

es fácil deducir que:

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

RP R´P´ R´´P´´ = ´= OR OR´ OR´´

y que

OP OP´ OP´´ = ´= OR OR´ OR´´

Es decir, el valor de esta razón no depende de los lados del triángulo sino, únicamente, del ángulo α. Por este motivo, vamos a darle un nombre a estas razones:

sen α =

RP R´P´ R´´P´´ = ´= OR OR´ OR´´



cos α =

OP OP´ OP´´ = ´= OR OR´ OR´´

Con el mismo razonamiento podemos definir también:

tg α =

RP R´P´ R´´P´´ = ´= OP OP´ OP´´

De otra forma: Definimos las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo como:

sin g =

>j:horlj

tg g =

nokjhi:lm
j:horlj

(tangente)

Antes de seguir con las razones trigonométricas, haremos un INCISO sobre la medida de los ángulos. Hasta ahora hemos medido los ángulos en un sistema sexagesimal de grados, minutos y segundos. Se pueden medir también, de forma equivalente en otra unidad denominada “radianes”. Un radián es la medida del ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. De esta forma, el ángulo de 360º es equivalente a 2π rad. A partir de aquí se puede obtener el resto de equivalencias.

9. Realiza las siguientes transformaciones: A radianes

π /3 =

0=

2π /3 =

π /4 =

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 61

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

A grados

135° =

30° =

150° =

90° =

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos encontrar las siguientes relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo: uv-' g + Swu ' g = 1 xy g =

sin g cos g

10. Demuestra, a partir de las definiciones, las relaciones anteriores. 11. Un ángulo agudo α tiene sin α =

3 . Halla las restantes razones trigonométricas 5

de este ángulo. Solución: 1º método: Usando triángulos Por teorema de Pitágoras buscamos el otro cateto del triàngulo, es que es 4

2º método: Usando las identidades básicas

5

3

α Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonometricas y encontramos:

3 5 c.op. 3 tgα = = c.co. 4

cos α =

sin α =

12. Si sin β =

c.co. 4 = hip 5

Por la identidad que:

sen 2α + cos 2 α = 1 tenemos

cos 2 α = 1 − sin 2 α 2 9 ⎛3⎞ 2 cos α = 1 − ⎜ ⎟ à cos 2 α = 1 − 25 ⎝5⎠ 16 4 à cos 2 α = cosα = 25 5

Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno, calculamos:

3 sin α . 5 3 tgα = = = cos α . 4 4 5

7 , encuentra las otras razones. Entrega los valores simplificados y 4

racionalizados.

13. Si cos β = 0,2 , encuentra las otras razones.

4ESO Matemáticas Académicas – Pág. 62

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018 14. Si tgα =

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

5 , encuentra las otras razones. 9

Angulos complementarios: En el triángulo rectángulo siguiente Los ángulos α y β son complementarios.

Y se cumple que:

sin β = sin(90º −α ) = cos α cos β = cos(90º −α ) = sin α tgβ = tg (90º −α ) La principal aplicación de la Trigonometría es la de resolver triángulos (calcular todos sus elementos: ángulos y lados).

15. Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. a) α = 24º y c =16.

B

b) a = 32.46 y b = 25.78

c

c) α = 24º y a =16

a

d) β = 71º , c = 44

C

b

e) a = 312.7 ; c = 809 f) b = 4.218 ; c = 6.759 g) β = 81º12’ ; a = 43.6

16. Una torre de 136 pies de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta es de 36.3º. ¿Cuál es la anchura del lago?

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 63

A

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

17. Dos embarcaciones salen de puerto al mismo tiempo. La primera navega con un curso de 35º a 15 nudos, mientras que la segunda lo hace a un curso de 125º a 20 nudos. Obtén, después de 2h a. la distancia entre las naves b. la orientación de la primera embarcación respecto a la segunda y c. la orientación de la segunda respecto a la primera.

18. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

19. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determina la altura del edificio señalado

20. Los puntos A y B están en una misma recta horizontal con el pie de una colina, y los ángulos de depresión de estos puntos desde la cima son 30.2º y 22.5º respectivamente. Si la distancia entre A y B es 75m, ¿cuál es la altura de la prominencia?

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 64

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

21. Al observar desde el último piso de un edificio de 60 pies de altura el ángulo de elevación del extremo superior de un poste vertical, es de 14º. Desde la base del edificio el ángulo de elevación del extremo del poste es de 28º. Obtén la altura del poste y la distancia del edificio al poste.

22. Desde un punto a ras de suelo los ángulos de elevación que presentan la base y la punta de un mástil de 6m de altura, colocado sobre un acantilado son 38º y 46º. Estima la altura del acantilado.

23. Calcula la altura de la antena que está sobre el tejado de la casa:

24. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 65

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Problemas con solución.

25. Calcula la altura de un edificio que, desde una distancia de 100 m, se ve bajo un ángulo de 30o. Solución: 57,74 m. 26. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 8 m cuando los rayos solares forman un ángulo de 60o con el suelo. Solución: 13,86 m. 27. Desde una cierta distancia, el ángulo que forma la horizontal con el punto más alto de un árbol es de 60º. Si nos alejamos 10 metros el ángulo anterior es de 30º ¿Cuál es la altura del árbol? Solución: 5 3 = 8,66 m 28. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 60 cm y el ángulo que forman 42o 14´. Calcula la base, la altura y el área del triángulo. Solución: b = 43,23 m; h = 55,97 cm; S = 1209,79 cm2. 29. Calcula la apotema de un octógono regular de lado 8 cm. Solución: 9,66 cm. 30. Los tres lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Calcula sus ángulos y su área. Solución: ángulos: 36º 52´ 12´´, 53º 7´ 48´´ y 90º; S = 6 cm2 31. Halla el área de un pentágono regular de 30 cm de lado. Solución: 1548,75 cm2. 32. Las ramas de un compás miden 14 cm. ¿Qué ángulo tendrán que formar para dibujar una circunferencia de 3 cm de radio? Solución: 12º 18´ 5´´. 33. De un triángulo ABC se conoce a = 8 cm, c = 14 cm y B = 50º. Halla los ángulos que forma su mediana ma con el lado BC. Solución: 65º 2´ 4´´ y 114º 57´ 56´´. 34. Desde el pueblo A se ven los pueblos B y C, que distan entre sí 6 km, bajo un ángulo de 63º. Si la distancia entre A y B es de 4 km, calcula lo que distan A y C. Solución: 6,64 km

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 66

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

35. Calcula el área del triángulo ABC representado en la figura siguiente: Solución:106,88 cm2.

36. Las agujas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente. a) ¿Cuál es la distancia que hay entre sus extremos cuando el reloj marca las cuatro? b) ¿Cuál es la superficie del triángulo que determinan a esa hora? Solución: a) 19,08 cm; b) 51,96 cm2. 37. Calcula los lados y el área de un triángulo de 80 cm de perímetro si sus ángulos están en progresión geométrica de razón 2. Solución: 15,85 cm; 28,55 cm y 35,60 cm; S = 220,6 cm2. 38. Calcula la longitud de la diagonal de un pentágono regular de 4 cm de lado. Solución: 6,47 cm 39. El lado de un rombo mide 18 cm y un ángulo 63º. Halla el área. Solución: 288,72 cm2. 40. Halla el área de un hexágono regular de 7 cm de lado. Solución: 127,26 cm2 41. Las diagonales de un rectángulo miden 17 cm y uno de los ángulos que forman al cortarse es de 63º. Calcula el perímetro y el área. Solución: 46,74 cm; 128,67 cm2. 42. La aguja en que termina el edificio Chrysler de Nueva York se ve, desde cierto punto del suelo, bajo un ángulo de 70º. Si retrocedemos 106 m se ve bajo un ángulo de 55º. Calcula la altura del edificio. Solución: 315,25 m. 43. Para salvar un barranco de 25 m de profundidad se quiere construir un puente. Desde cada una de las orillas se ve la misma piedra del fondo bajo ángulos de 43º y 27º respectivamente. Calcula la longitud del puente. Solución: 75,88 metros.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 67

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

44. Dos aviones que se encuentran a 7 y 9 km de un aeropuerto se observan desde éste bajo un ángulo de 39º. ¿Qué distancia separa a los aviones? Solución: 5,66 km 45. Desde nuestro lugar de observación vemos dos hoteles, situados en la orilla de un lago, bajo un ángulo de 65º. Calcula la distancia entre los dos hoteles si distan de nuestro lugar de observación 3,5 y 2,6 km respectivamente. Solución: 3,36 km. 46. Dos barcos salen al mismo tiempo del puerto. Toman rumbos que forman entre sí un ángulo de 58º. El primero navega a una velocidad de 35 km/h y el segundo a 42 km/h. ¿Qué distancia les separa al cabo de 3 horas de navegación? Solución: 113,49 km.

Circunferencia goniométrica.

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o “círculo unidad” es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas, de un plano euclídeo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares. Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1.

Así, las coordenadas de un punto P sobre esta circunferencia serán: P(cosα, sinα) A partir de este razonamiento podemos visualizar cómo varía el signo de las diferentes razones trigonométricas según en qué cuadrante esté el ángulo α.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 68

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Relación con ángulos del primer cuadrante. Ángulos suplementarios (α+β=π rad)

Ángulos cuya diferencia es π rad (α+π =β)

Ángulos opuestos (α+β=2π rad)

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 69

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

47. Indica de qué ángulos del 2º, 3º y 4º cuadrante puedes calcular las razones trigonométricas conocidas las correspondientes a: a. 30º b. 45º c. 60º 48. Calcula las razones trigonométricas de 240º dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica Solución: En el dibujo se observa que: 3 2 1 cos 240° = −cos 60° → cos 240° = − 2 sen 240° ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Luego: tg 240° = = ⎜− ⎟ : − = 3 cos 240° ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ sen 240° = −sen 60° → sen 240° = −

→ tg 240° = 3

49. Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 135º y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante Solución: Se observa en la circunferencia goniométrica que: sen 135° = sen 45°

→ sen 135° =

2 2

cos 135° = −cos 45° → cos 135° = −

2 2

Luego, tg 135º=-1. 50. Representa en la circunferencia goniométrica sin 150º, cos 150º y tg 150º. Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150º con un ángulo del primer cuadrante Solución: En la circunferencia goniométrica observamos: sen 150° = sen 30°

→ sen 150° =

1 2

cos 150° = −cos 30° → cos 150° = − tg 150° = −tg 30°

→ tg 150° = −

3 2

3 3

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 70

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Razones trigonométricas de ángulos mayores que 2π rad (360º)

51. Expresa, con valores comprendidos entre 0º y 360º, el ángulo de 2130º. Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante Solución: 2130º = 5 · 360º + 330º, luego calcular las razones trigonométricas de 2130º equivale a calcular las razones trigonométricas de 330º.

sin 2130º = sin 330º = - sen 30º cos 2130º = cos 330º = cos 30º Así: 1 3 3 sen 2130° = − ; cos 2130° = ; tg 2130° = − 2 2 3

Más actividades con resolución.

52. Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25º. Calcula la altura del árbol y la anchura de río

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 71

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Solución: Hacemos una representación del problema y llamamos:

h : altura del árbol x : anchura del río

tg 35° =

h x

tg 25° =

h x +5

⎫ ⎪⎪ ⎬ → h = ( x + 5 ) tg 25° ⎪ ⎪⎭ → h = x ⋅ tg 35°

x tg 35° = ( x + 5) ⋅ tg 25° → 0,7x = ( x + 5) ⋅ 0,47 → 0,7x = 0,47x + 2,35 → → 0,23x = 2,35 → x ≈ 10,22 m

h = 10,22 · 0,7 = 7,15 m La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m.

53. El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40º. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Solución: Sea x la longitud de la sombra del árbol. Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la tangente es la razón trigonométrica a usar: tg 40° =

15 x

→

x=

15 15 ≈ ≈ 17,86 m tg 40° 0,84

La sombra del árbol mide 17,86 m.

54. La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40º. Calcula el perímetro y el área del triángulo Solución: Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 72

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x. En cada triángulo conocemos el ángulo de 20º y el cateto opuesto a este ángulo que mide 64 = 32 cm. 2 32 32 32 → x= ≈ = 94,12 cm x sen 20° 0,34 h h cos 20° = → cos 20° = → h = 94,12 ⋅ cos 20° x 94,12 sen 20° =

h = 94,12 · 0,94 = 88,47 cm Luego: Perímetro = 64 + 2 · 94,12 = 252,24 cm Área =

64 ⋅ 88,47 = 2831,04 cm2 2

55. Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30º. Solución: Llamamos h a la altura de la antena. Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la tangente será la razón trigonométrica a usar: tg 30° =

h 18

→ h = 18 ⋅ tg 30° = 18

3 = 6 3 ≈ 10,39 m 3

La altura de la antena es de 10,39 m.

56. Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50º; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35º. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago Solución: Hacemos una representación. Llamamos:

h = altura de la estatua x = radio del lago

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 73

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018 h x

⎫ ⎪⎪ ⎬ h tg 35° = → h = ( x + 45 ) ⋅ tg 35° ⎪ x + 45 ⎭⎪ tg 50° =

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

→ h = x ⋅ tg 50°

→

x ⋅ tg 50° = ( x + 45 ) ⋅ tg 35°

→

→ x ⋅ 1,19 = ( x + 45) ⋅ 0,7 → 1,19x = 0,7x + 31,5 → 0,49x = 31,5 → x = 64,29 dm Luego h = 64,29 · 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m Calculamos la superficie del lago circular: 2

ACIRCULO = π ⋅ x 2 ≈ 3,14 ⋅ ( 64,29 ) ≈ 12978,26 dm2 ≈ 129,78 m2

La superficie del lago es de 129,78 m2

57. Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa. Solución: Trazando la altura desde la casa al lado rectángulos: CHA y CHB.

AB,

conseguimos dos triángulos

Del dibujo deducimos: tg 45° =

h x

tg 42° =

h 8−x

⎫ ⎪⎪ ⎬ → h = ( 8 − x ) ⋅ tg 42° ⎪ ⎭⎪

→ h = x ⋅ tg 45°

x tg 45° = (8 − x ) tg 42° → x = (8 − x ) 0,9 → x = 7,2 − 0,9x → 1,9x = 7,2 → → x = 3,79 km, luego h = 3,79 km

De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso: 2

b = h2 + x 2 = 2 ⋅ (3,79) = 3,79 2 ≈ 5,36 km 2

a = h2 + (8 − x ) = 3,792 + 4,212 ≈ 5,66 km

La ambulancia A está a 5,36 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 74

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Ampliación.

Debes saber que existen otras tres razones trigonométricas que están relacionadas con las tres que ya conoces: Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sin), coseno (cos), tangente (tg), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec). B c a C

A

b

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue: sin α =

cateto opuesto hipotenusa

tg α =

sec α =

hipotenusa cateto contiguo

cos α =

cot α =

cateto contiguo cateto opuesto

cateto opuesto cateto contiguo cateto contiguo hipotenusa

cosec α =

hipotenusa cateto opuesto

Y, como habrás deducido rápidamente, se cumple que: cot

α

=

cos α 1 = sin α tgα

sec

α

=

1 cos α

cosec

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 75

α

=

1 sin α

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

VECTORES

!

58. Dados los siguientes vectores calcula gráficamente a + b , a − b , 2a +

b 2

8⃗

9Å⃗

59. Halla el producto escalar de los vectores z = (2,0) y } = (2,4). Calcula el ángulo que forman. 60. Dados los vectores 8 = 2, −5 y 9 = (], 3) calcula el valor de x en los siguientes supuestos: a. 8 ⊥ 9 b. 8 ∥ 9 c.

9 =5

d. 8 ⊥ 8 + 9 61. Halla el valor de m sabiendo que los vectores z = ,, 2 y } = (2,2) forman un ángulo de 45º.

!

!

62. Dados los vectores u = (1, − 2) y v = (−2,2) , calcula:

! !

a. u ⋅ v ! ! b. 2·u ⋅ v c.

(u! + v! )·v! !

⎛1 ⎝3

⎞ ⎠

63. Calcula el valor de m para que el vector u = ⎜ , m ⎟ sea unitario.

!

64. Calcula un vector unitario y perpendicular a u = (8,−6)

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 76

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

65. Halla las componentes del vector libre WY, siendo A(2, −3) y B(−5, 9).

!

!

66. Dados los vectores u = (2,−1) y v = (3,3) , calcula:

! ! u ⋅v ! b. u a.

c. z + }

! !

d. cos (u , v )

!

!

67. Halla el valor de x para que los vectores u = (6, − 8) y v = (4, x) sean paralelos.

!

!

!

!

68. Dados los vectores x = (a, 1) e y = (−2, b) , halla los valores de a y b para que x e y sean perpendiculares y que

! y = 2 2.

!

69. Dado el vector u = (−3, 4) , halla: a. El ángulo que forma con } = (2. −1) ! b. El valor de k para que Ç = (2, É) sea perpendicular a u 70. Averigua cual es el valor de m para que los puntos A(1, 0), B(4, −1), C(m, 2) estén alineados.

Rectas. Ecuaciones de las rectas.

Ecuación vectorial:

→ → → → ! OP = OA+ AP = OA+ t ⋅ v

( x , y ) = ( x0 , y 0 ) + t ⋅ (v1 , v 2 ) Ecuaciones paramétricas:

Ecuación continua:

;

t∈R

;

t∈R

x = x0 + t ⋅ v1 ⎫ ⎬ t∈R y = y0 + t ⋅ v2 ⎭

x − x0 y − y 0 = v1 v2

Ecuación punto-pendiente: y − y0 =

v2 ⋅ ( x − x0 ) v1

⇒

y − y 0 = m ⋅ ( x − x0 )

Ecuación general (o implícita): a x + b y + c = 0

!

Vector director: v = (−b , a)

!

Vector normal: n = (a , b)

Ecuación explícita: y = m x + n

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 77

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

71. Determina la ecuación de la recta en los siguientes casos: a)

Pasa por A(-1,3) tiene como vector director } = (−3,2)

b)

Pasa por A(3,1) y B(-2,4)

c)

Es incidente con M(2,-5) y tiene como vector perpendicular - = (−1,3)

d)

Es incidente con P(3,-2) y su pendiente es –3/2

e)

Pasa por el punto P(-1,1) y su ordenada en el origen es –5.

f)

Su pendiente es 3 y su ordenada en el origen es 2.

72. Dada la recta de ecuación y = -3x + 5, obtén un punto de la recta y la pendiente. Escribe todas sus otras ecuaciones. 73. Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 0). 74. Escribe todas las ecuaciones de la recta que: a. pasa por el punto A(1,3) y es paralela a la recta: 2 x + y − 1 = 0 b. pasa por el punto B(2,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por P(1,0) y Q(-2,-3)

Posiciones relativas.

Incidencia de punto y recta: Se dice que el punto A es incidente con la recta r, cuando A∈ r . Decimos que el punto A( x0 , y0 ) pertenece a la recta r ≡ a x + b y + c = 0 si, y solo si:

a x0 + b y0 + c = 0 Posiciones relativas de dos rectas en el plano: Sean r ≡ A x + B y + C = 0 y s ≡ A' x + B' y + C ' = 0 dos rectas del plano. 1) Si

A B r y s son secantes. ≠ A' B'

2) Si

A B C r y s son paralelas. = ≠ A' B' C '

3) Si

A B C r y s son coincidentes. = = A' B' C '

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 78

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Si las rectas r y s vienen dadas en forma explícita: y = m x + n e y = m' x + n' 1) Si m ≠ m'

r y s son secantes.

2) Si m = m' y n ≠ n'

r y s son paralelas.

3) Si m = m' y n = n'

r y s son coincidentes.

Nota: (Otra forma de estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano) Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano basta con resolver el sistema formado por sus ecuaciones. Si el sistema tiene solución única, las rectas son secantes; si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas y si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

75. De entre los siguientes pares de rectas, indica cuáles son paralelas, cuáles son coincidentes y cuáles son secantes:

a)

d)

r : 2x + 3y = 0 s : 4x + 6 y + 8 = 0

b)

r:x− y =0 s : 2x + y −1 = 0

r : x − 2y +1 = 0 s : 4x + 2 y = 3

r: y = x−2 e) x y s : + =1 3 2

c)

r : 3x + 2 y − 5 = 0 s : 2x − 3y + 4 = 0

x = 3t + 4 f)

y = t −1 x = 6t + 2 y = 2t + 3

76. Dada la recta de ecuación y = x + 2 calcula la ecuación de la recta paralela a esta que pasa por el punto (1,1). ¿Qué ángulo forman con el semieje positivo de abscisas estas rectas? 77. Halla la ecuación de la recta, perpendicular a la recta 3x – y +2 = 0 y que pasa por el punto de corte de las rectas: x = 1; 2x+y = 0. 78. Halla la ecuación de la recta que corta a 2x –3y = 6 en el punto de abscisa 6, y forma con ella un ángulo de 450. 79. Calcula el valor de k para que la recta r de ecuación 2x − (k + 1)y − 4 = 0 pase por el punto (1, 1) 80. Calcula el valor de a para que las rectas r: 2x + ay = 3 y s: 3x + 5y = 1 sean rectas paralelas.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 79

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

81. Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta r perpendicular a la recta 2x − y + 4 = 0

que pasa por

P=(3, −2) y es

82. a) Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P=(1, 2) y por el punto de corte de las rectas: x − 2y + 3 = 0 , 2 x + y + 1 = 0. b) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a) con 2x − 4y +1 = 0. 83. Calcula el ángulo formado por las rectas: y = −2x + 3, y = 4x + 1 84. Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes, hallando el punto de intersección si se cortan:

⎧ x = 1− λ r≡⎨ ⎩y = 2 + λ

s≡ x+2=

y 3

85. Dada la recta r : 3x − 2 y + 1 = 0 y el punto P(4, -1), determina: a. La ecuación de la recta paralela a r por el punto P. b. La ecuación de la recta perpendicular a r por el punto P.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 80

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

Matemáticas Académcias

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

4º ESO

FUNCIONES

Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la primera magnitud, llamada variable independiente, le corresponde un único valor de la segunda magnitud, llamada variable dependiente o función. Una misma función se puede representar mediante una fórmula, una tabla, o mediante un gráfico.

Ejemplo: Ñ = ]

'

x y

2 4

1 1

0 0

-1 1

-2 4

1. Dada la siguiente tabla, contesta las siguientes preguntas: Diámetro

1

2

3

4

5

Longitud de la circunferencia

3,14

6,28

9,42

12,57

15,71

a) ¿Puedes encontrar alguna fórmula que relacione las dos variables?

b) ¿Cuál sería la variable independiente y cuál la dependiente?

2. Escribe las fórmulas que corresponden a los siguientes enunciados: a) A cada número le corresponde el mismo más dos. b) A cada número le corresponde su doble. c) A cada número le corresponde su cuadrado. d) A cada número le corresponde su inverso.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 81

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

3. Una persona sale de paseo de su casa y durante su recorrido para en cuatro lugares diferentes. El gráfico representa esta situación. a) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo? b) ¿Cuánto tiempo ha estado en cada uno de los cuatro sitios? c) ¿Cuál es el sitio que se encuentra más lejos de su casa? d) ¿En qué momentos ha ido más deprisa? Distancia a casa (m)

300

200

100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Tiempo (s)

Dominio y recorrido de funciones

Se llama dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. A cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. Se llama recorrido al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Ejemplo:

Y 3 2

Recorrido

y=x

1 1 -1

2

3 Dominio

4

5

6

X

Dominio: R Recorrido: R

-2

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 82

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

4. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función y = + x ?

5. Indica el dominio y el recorrido de la función, dada por la fórmula y = x + 1.

6. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones, su recorrido y los puntos de corte con los ejes OX y OY: 1 1 a. f ( x) = f. f ( x) = x−2 x−2 3 3x + 5 b. f ( x) = (x − 1) g. f ( x) = 2 2x − 4x − 6 2− x c. f ( x) = x 2 − 4x (x + 1)2 h. f ( x) = 2 x + 16 d. f ( x) = 2 x − 4 e.

i.

f ( x) = 3 x − 2

f ( x) = ln x − 1

Representación gráfica de funciones

Los ejes de coordenadas cartesianas son

Ejemplo: Y

el eje horizontal de abscisas (OX) y el

D(-2,3)

eje vertical de ordenadas (OY). Al punto

A(3,1)

donde se cortan ambos ejes se le llama

X

origen de coordenadas, O. Un punto del

C(-1,-1) B(1,-2)

plano está definido por un par de valores (x, y). Las funciones se representan mediante sus gráficas cartesianas. Los valores

Ejemplo: y = x + 1 Y

de la variable independiente se

x 0 1 2 3 ...

representan en el eje OX y los valores

y 1 2 3 4 ...

1

de la variable dependiente o función en

X 1

el eje OY. Los pares de valores (x, y) se ordenan en una tabla y los puntos obtenidos son la gráfica de la función.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 83

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

7. Consideremos todos los rectángulos de área 10 m2. Escribe y representa la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el valor que tome la base.

8. Consideremos los rectángulos cuyo perímetro es 200 m. Escribe y representa la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el valor que tome la base.

Propiedades globales de las funciones (I): Continuidad

Una función se dice que es continua cuando su gráfica puede efectuarse de una sola vez, sin necesidad de levantar el lápiz del papel donde la estamos dibujando. En caso contrario se dice que es discontinua.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Y

Y 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

X

-3

-2

-1

1

2

3

-1

Función continua

Función discontinua

en [-2, 3]

en x = 0

Propiedades globales de las funciones (II): Simetría Simetría respecto del eje de ordenadas. Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:f(-x) = f(x) .Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares. Simetría respecto al origen.Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:f(-x) = -f(x).Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 84

X

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Propiedades globales de las funciones (III): Crecimiento, máximos y mínimos

Una función es creciente cuando al aumentar el valor de x, aumenta y. Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de x, disminuye y.

Ejemplo 1:

Función creciente

Función en un punto si crece a la izquierda de Una función presenta un máximo relativo ese punto y decrece a la derecha. Sidecreciente la función decrece a la izquierda y crece a la derecha presenta un mínimo relativo. Y

Ejemplo 2: Máximo

Mínimo X crece

x1

decrece

x2

crece

Propiedades globales de las funciones (IV): Periodicidad Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se f(x) = f(x + z T) verifica:

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 85

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

9. Estudiar la simetría de las siguientes funciones:

a) y = x3 − 5 x

c) y = x 2 + x

x3 − 5 x b) y = 3 x − 2x

x3 d)y = 2 x −4

10. Estudia si las siguientes funciones tienen simetría y de qué tipo es a. f ( x) = x 3 + 7 x − 2 b.

f ( x) =

4 x 8 + 12 x2

c.

f ( x) =

x5 x+7

d.

f ( x) = 7 x 5 + 3x

11. Indica dónde es creciente la función cuya gráfica está representada en la figura, así como sus máximos y sus mínimos: Y 2 1

X -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 86

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

12. Dibuja gráficas para unas funciones que posean las siguientes características: a) Dominio: todo R; recorrido: todos los números menores que 3; único máximo para x = 3. b) Dominio: desde -3 hasta 4; recorrido: los números reales negativos; siempre creciente. c) Dominio: R; recorrido: R+. un máximo para x = -1 y un mínimo para x = 3.

Tasa de variación media. Incremento de una función Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función. Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución T.V.M. [0, 2] =

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 87

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Propiedades globales de las funciones (V): Asíntotas

Las asíntotas son rectas (que no pertenecen a la gráfica de la función) de forma que la función se acerca de forma indefinida a ellas pero sin tocarlas. Ejemplos:

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 88

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

13. Estudia las asíntotas y ramas infinitas, así como la simetría de las siguientes funciones:

x2 − 4 x −1 x2 −1 h) y = 2x + 4 x2 + 1 i) y = 2 x − 4x + 3

x x +1 x2 e) y = x −1 x2 + 1 f )y = 2 x −1

1 a) y = 2x − 3 4 b) y = 2 + 4 − x2 1 c) y = x − x

d)y =

g) y =

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos se dibujan de la misma forma que el resto de funciones, por ejemplo construyendo las tablas de valores, pero teniendo en cuenta qué condiciones tiene que cumplir la variable independiente en cada uno de los trozos. Ejemplo:

El dominio lo forman todos los números reales menos el 2. Ejemplos particulares de este tipo de funciones son: Función parte entera de x Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior. f(x) = E (x) x

0

0.5

0.9

1

1.5

1.9

2

f(x) = E(x)

0

0

0

1

1

1

1

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 89

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Función valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.

Dominio=

Otro ejemplo:

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 90

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

14. Dibuja las siguientes funciones definidas a trozos: ⎧ x si x < 0 a. f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x si x ≥ 0

b.

⎧ x − 1 si x < −2 f ( x) = ⎨ 2 ⎩2 x − 5 x + 1 si x ≥ −2

c.

− 3 si x < 0 ⎧ ⎪ 2 f ( x) = ⎨− x + 3x si 0 ≤ x ≤ 3 ⎪ − x + 3 si x > 3 ⎩

15. Representa las siguientes funciones a trozos e indica su dominio y recorrido:

⎧ 1 ⎪ x , si x < -2 ⎪ b) g(x) = ⎨3, si - 2 ≤ x < 1 ⎪ x , si 1 ≤ x ⎪ ⎩

⎧ x − 1, si x < −3 ⎪ a) f(x) = ⎨- x + 1, si - 3 ≤ x < 0 ⎪ 3, si 0 ≤ x < ∞ ⎩

16. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a las funciones que se dan a continuación?

⎧ ⎪ x, si 0 ≤ x ≤ 3 ⎪ b) g(x) = ⎨ 3, si 3 ≤ x ≤ 10 ⎪−1 ⎪⎩ 2 x, si 10 ≤ x ≤ 16

⎧⎪ 3 si x ∈ (0,4) a) f(x) = ⎨ 2 ⎪⎩− 3 2 si x ∈ (4,8) 1

2 y

3

y

2 4 6 8 10

y

x 2 4 6 8 10 12

x

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 91

x

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Rectas Y

La representación gráfica de una función del tipo y = ax + b siempre es una recta.

A(0,1)

El número a es la pendiente de la recta

X

y b, la ordenada en el origen (corte eje OY).

B(-1,-1)

La recta que pasa por dos puntos de coordenadas, (x1, y1) y (x2, y2), tiene por Y y − y1 x − x1 ecuación: = y 2 − y1 x 2 − x1 A(1,1)

y −1 x −1 Ejemplo 2: ⇒ y = -x + 2 = 0 −1 2 −1

B(0,2)

X

17. Representa la recta que tiene por ecuación y = 2x + 3. ¿Cuál es su pendiente y su ordenada en el origen?

18. Representa la recta que tiene por ecuación y = -3x - 1. ¿Cuál es su pendiente y su ordenada en el origen?

19. Representa en los mismos ejes las rectas: a) y = x + 2 d) y = 4x + 2

b) y = 2x + 2 e) y =

c) y = 3x + 2

1 x+2 2

20. Representa en los mismos ejes: a) y = -2x + 1 d) y = -5x + 1

b) y = -3x + 1 e) y = -

c) y = -4x + 1 1 x+1 2

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 92

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

21. Representa en los mismos ejes: a) y = 2x

b) y = 2x + 2

c) y = 2x + 1

d) y = 2x + 3

c) x = 0

d) x = -2

22. Representa en los mismos ejes: a) x = 3

b) x = 1

23. Halla analítica y gráficamente el punto de corte de las rectas y = 2x - 4 y = -x - 1.

e

24. Halla el punto de corte de las rectas y = 2x + 3 e y = 2x + 1. ¿Cómo son estas rectas?

25. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, 3).

Paralelismo y perpendicularidad de rectas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así, las rectas y=ax +b e y =ax+c son paralelas.

Ejemplo 1: y = 2x + 1 e y = 2x + 5 son paralelas porque tienen la misma pendiente a = 2. Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. Así, las rectas y = ax + b e y = cx + d son perpendiculares si se cumple que a·c = -1.

Ejemplo 2: y = -5x + 3 e y = 1/5·x + 6 son perpendiculares porque (-5)·1/5 = -1.

26. Dadas las siguientes rectas decir cuáles de ellas son paralelas entre sí. a) y = 2x - 5

c) y = 3

e) x = 1

g) y = -2x - 3

1 b) y = - x + 4 3

d) y = -2x - 1 f) y = 2x + 4 h) y = 6

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 93

i) x = -1 3 1 j) y = - x + 9 3

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

27. Dada la recta y = 2x + 1 escribe tres rectas cualesquiera que sean paralelas a ella. 28. Dada la recta y = -4x + 2 halla la ecuación de la recta paralela a ella que pase por el punto (1, 2). 29. Dadas las siguientes rectas, decir cuáles son perpendiculares entre sí. a) y = 3x - 1 b) y =

2 x 3

c) y = 4

e) x = -6

d) y = -4x + 3

f) y = -

g) y =

2 x+4 6

1 x-1 4

h) y = -

3 x+5 2

30. Dada la recta y = 3x - 3, escribe las ecuaciones de cinco rectas perpendiculares a ella.

Ecuación general de la recta

La ecuación de una recta se puede expresar de la forma ax + by + c = 0. Esta forma se conoce como ecuación general de una recta.

Ejemplo: Escribe la ecuación general de la recta y = Pasando todo al primer miembro: -

3 x - 5. 2

3 x+y+5=0 2

Quitando denominadores: -3x + 2y + 10 = 0 ⇒ 3x - 2y - 10 = 0

Otra caracterización del paralelismo:

Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son paralelas ⇔

Ejemplo: 2x + 3y + 1 = 0 y 4x + 6y + 5 = 0 cumplen que

a b = a ʹ bʹ

2 3 = , luego son paralelas. 4 6

Otra caracterización de perpendicularidad:

Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son perpendiculares ⇔ a·a’ = b·b’

Ejemplo: x - 3y + 1 = 0 y 3x - y + 5 son perpendiculares porque 1·3 = (-3)·(-1)

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 94

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

1 1 x+ . 3 2 32. Las rectas 2x - 3y + 4 = 0 y 4x – 6y + 3 = 0 ¿son paralelas? ¿Por qué? 33. Dada la recta x - 4y + 3 = 0.

31. Escribe en forma de ecuación general la recta y = -

a) Escribe la ecuación de una paralela cualquiera. b) Escribe la ecuación de la paralela que pasa por (3, -4). 34. ¿Son perpendiculares x + 3y - 1 = 0 y - 3x + y - 4 = 0? ¿Por qué? 35. Dada la recta 2x + y - 1 = 0: a) Escribe la ecuación de una perpendicular a ella. b) Escribe la ecuación de la perpendicular que pasa por (0, 2).

Parábolas.

La forma general de una función cuadrática es Ö ] = 8] ' + 9] + S El dominio de las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los reales, y el recorrido es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta más infinito o menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba o hacia abajo El exponente más grande es 2. La representación gráfica de estas funciones, es una curva denominada parábola ( de la familia de las cónicas ), que tienen alguna de las siguientes formas:

El valor de la constante a ( el coeficiente de x2 ) es el que determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo. Cuando a > 0 , la parábola abre hacia arriba. Sin embargo, si a < 0, la parábola abre hacia abajo. Estas gráficas tienen un punto máximo o mínimo dependiendo de si abren hacia abajo o hacia arriba, respectivamente. Este punto recibe el nombre de vértice. La coordenada x del vértice está dada por la siguiente expresión:

Vx = −

b 2a

Y la coordenada y se puede obtener sustituyendo en la función misma.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 95

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Ejemplo:

f ( x ) = − x2 + 4x − 3 . En este caso las constantes son: a = -1, b = 4, c = -3. Esta parábola abre hacia abajo dado que a = −1 ; su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es:

Vx = −

b 4 −4 =− = =2 2a 2 ( −1) −2

A este valor de x le corresponde f ( 2) = − ( 2)2 + 4 ( 2) − 3 = −4 + 8 − 3 = 1 Por lo que el vértice de la parábola es el punto ( 2, 1 ). Al igual que en la recta, el término independiente indica el punto donde la parábola intersecta al eje y. En esta función es el punto (0,-3). Esta parábola cruza el eje x en dos puntos, esto es, tiene dos raíces. Al igual que con la función lineal, para encontrar las raíces se resuelve la ecuación f ( x) = 0 :

f ( x ) = − x2 + 4x − 3 → 0 = − x2 + 4x − 3 ⎧ ⎪ 2 −4 ± ( 4 ) − 4 ( −1)( −3) −4 ± 16 − 12 −4 ± 2 ⎪ x= = = =⎨ 2 ( −1) −2 −2 ⎪ ⎪ ⎩ Las raíces son x = 1 y x = 3 . La representación gráfica de esta función, obtenida de la tabla es:

El dominio de esta función es ( − ∞, ∞ ) y el recorrido es ( − ∞, 1] .

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 96

−4 + 2 =1 −2 −4 − 2 =3 −2

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

36. Halla el vértice y los puntos de corte con el eje OX de las siguientes parábolas. Posteriormente dibuja sus graficas. a. y= (x-1)² + 1 b. y= 3(x-1)² + 1 c. y= 2(x+1)² - 3 d. y= -3(x - 2)² - 5 e. y = x² - 7x -18 f. y = 3x² + 12x - 5 37. Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: a. y = x² - 5x + 3 b. y = 2x² - 5x + 4 c. y = x² - 2x + 4 d. y = -x² - x + 3

38. Representa gráficamente las funciones cuadráticas anteriores y las que se indican a continuación: a. y = -x² + 4x – 3

b. y = x² + 2x +1

39. Indica la expresión analítica de una función cuadrática que tenga mínimo en el punto x= -2 y corte al eje OY en (0,-1).

40. Indica la expresión analítica de una función cuadrática con máximo en (5,4).

41. Indica la expresión analítica de una función cuadrática que tenga como puntos de corte con el eje horizontal los valores x=3 y x=-2 y como vértice un máximo.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 97

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

42. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a

43. Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c

44. Determina la expresión analítica de la siguiente parábola:

Otras funciones polinómicas.

Una función polinómica es de la forma

f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n en donde a0 , a1 , a2 , . . ., an son constantes llamadas coeficientes, y n que es el exponente más alto se llama el grado del polinomio. Observa que las funciones constantes, lineales y cuadráticas son funciones polinómicas de grado cero, uno y dos, respectivamente. El grado n de una función polinómica indica la forma general de su gráfica y determina el número de raíces. Ejemplos:

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 98

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

700

10

600

5

500

0 -3

400

-2

-1

0

1

2

3

-5

300 -10

200

-15

100

-20

0 -3

-2

-1

-100

0

1

2

3 -25

f (x ) = x 6

f (x ) = − x 4 + 8 x 2 − 16

n=6

n=4

Puede tener hasta 6 raíces reales.

Puede tener hasta 4 raíces reales.

x6 = 0

− x 4 + 8 x 2 − 16 = 0

x=0

− x2 − 4

Presenta una sola raíz de multiplicidad 6.

x2 − 4 = 0 x = ±2

(

2

)

=0

Presenta dos raíces, en x = 2 y en x = -2. La ordenada al origen es 0.

La ordenada al origen es -16.

Ambas funciones, al igual que las cuadráticas, tienen grado par. Para una función cuadrática, se establece que la función abre hacia arriba cuando el coeficiente de la x de mayor grado es positivo y hacia abajo cuando el coeficiente de la x de mayor grado es negativo. De igual forma, sucede en los polinomios de orden 6 mayor a 2. En el caso de f (x ) = x , el coeficiente de la x de mayor grado es 1, por lo tanto, se espera que la función abra hacia arriba. Sin embargo,

f (x ) = − x 4 + 8 x 2 − 16 presenta un coeficiente de -1 para la x de mayor grado, implicando que abre hacia abajo. Esto se puede ver claramente tanto en la representación tabular como en la gráfica

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 99

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad 100

100 75

50

50 25 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 -25

0

1

2

3

4

5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-50

-50 -75 -100

-100

f (x ) = x 3

f (x ) = −3 x 3 − 6 x 2 + 3 x + 6

n=3

n=5

Presenta una sola raíz de multiplicidad 3.

Presenta 3 raíces reales.

x3 = 0

− 3x 3 − 6 x 2 + 3x + 6 = 0

x=0

(x + 1)(1 − x )(3 x + 6 ) = 0 x = −1 x=1 x = −2 Estos valores se pueden observar en la tabulación.

El coeficiente de la x de mayor grado es 1, El coeficiente de la x de mayor grado es -3, por lo tanto, la función en sus extremos es por lo tanto, la función en sus extremos es creciente. decreciente.

De los polinomios se puede decir que: •

• • •

El grado representa el número total de raíces de un polinomio. Hay diferentes tipos de raíces: imaginarias y reales. Las raíces pueden presentar multiplicidad. El grado indica el número máximo de raíces reales que puede tener un polinomio. El término independiente indica la ordenada al origen. La forma general de la gráfica está dada por el grado (par o impar) y el coeficiente de la x de mayor grado.

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 100

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

45. Sea f ( x ) = ( x − 2)( x + 3)( x + 2) . intenta un esbozo de su gráfica.

Hallar sus características generales e

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que su producto es constante. La función que relaciona estas magnitudes es del tipo: x·y = k ⇒ y =

k x

Ejemplo: El tiempo t que tarda en llenarse un recipiente es inversamente proporcional al caudal c (l/s) que arroja un grifo, pues, a más caudal, menos tiempo tarda en llenarse: t·c = k ⇒ t =

k c

Y

El dominio de las funciones inversamente proporcionales es R – {0}, ya que el cociente k/0 no está definido.

X

Su representación gráfica es una hipérbola (y =

k ) x

1 y x represéntala posteriormente. (Indicación: da valores muy próximos a cero positivos y negativos, así como muy grandes en valor absoluto.)

46. Construye la tabla de valores correspondiente a la función y =

47. Representa en los mismos ejes las funciones: a) y =

1 x

b) y =

2 x

c) y = -

2 x

d) y =

3 x

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 101

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

48. La presión p y el volumen V de una misma masa de gas son magnitudes inversamente proporcionales cuando la temperatura del gas permanece constante. Representa la gráfica correspondiente a un gas que se mantiene a temperatura constante: p (atmósferas)

1

2

4

6

V (litros)

20

10

5

2,5

Funciones racionales

Las funciones racionales son del tipo y =

p( x) donde p(x) y q(x) son polinomios y q( x)

q(x) ≠ 0. El dominio de una función racional está formado por todo R salvo los valores que anulan el denominador (raíces de q(x)).

Ejemplo: y =

2x + 1 2 ⋅1 + 1 3 tiene como dominio R - {1} pues = no está definido. 0 1−1 x −1 Y

Las funciones racionales de la forma y=

k ax + b son hipérbolas del tipo y = x cx + d

X

que posteriormente han sufrido un desplazamiento horizontal y vertical.

49. Representa en los mismos ejes las funciones: a) y =

1 3x

b) y =

1 3x − 1

c) y =

−1 3x − 2

50. Representa en los mismos ejes las funciones: a) y =

1 2x

b) y =

1 +1 2x

c) y =

1 -2 2x

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 102

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

51. Representa en los mismos ejes las funciones: a) y =

1 +1 2x − 1

b) y =

1 +2 2x + 1

3x + 1 . x+2 r −5 3x + 1 D (Indicación: =c+ ⇒ =3+ ) d d x+2 x+2 52. Representa la función y =

Funciones exponenciales. 1. La función exponencial y = ax con a>1

La siguiente tabla muestra las potencias de 2 tomando como exponentes números negativos y positivos. Representamos los pares de puntos obtenidos x

x ... -4 -3 -2 -1 0

y=2 ... 1/16 1/8 1/4 1/2 1

1 2 3 4 ...

2 4 8 16 ...

Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, por ejemplo: 20,75 = 1,681..., por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos. La gráfica obtenida es la de la función exponencial de ecuación y = 2x . Procediendo de igual forma, representamos las siguientes funciones: y = 3x

y = 3x y = 5x y = 10x

y = 5x y = 10x

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 103

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

En las funciones exponenciales de ecuación: y=ax se verifica que a cada número real x (exponente) le corresponde un único número y (potencia). Leyendo las gráficas de estas funciones se observa que, funciones de la forma y = ax, con a > 1, tienen las siguientes propiedades: • • • • •

Su dominio es toda la recta real. Su recorrido son los números reales positivos. Son crecientes y continuas en todo su dominio. Cuando x tiende a - ∞, se verifica que y tiende a cero. Cuando x tiende a + ∞, se verifica que y tiende a +∞.

2. La función exponencial y = ax (0 < a < 1). La tabla siguiente muestra las potencias de

1 2

tomando como exponentes números

negativos y positivos. X

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...

y = (1/2)x ... 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 ...

Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, como por

⎛1⎞ ejemplo ⎜ ⎟ ⎝2⎠

0,75 = 0,594.... , por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos. La gráfica x

⎛1⎞ obtenida es la de la función y = ⎜ ⎟ . Esta función se puede asociar, por ejemplo, a un ⎝2⎠ fenómeno químico como la desintegración de una sustancia radiactiva. El radio es un compuesto químico radiactivo que, aproximadamente cada 1600 años, se reduce a la mitad. Este número de años se llama periodo de semidesintegración del radio. El valor de “y” y= x podría representar, entonces, los gramos (1/3) y= residuales que provienen de 1 gr. inicial de radio, (1/5)x y= cuando han transcurrido “x” períodos, es decir, (1/10)x 1600.x años. Procediendo de forma análoga, representamos en el mismo gráfico las siguientes funciones:

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 104

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝5⎠

x

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

x

Leyendo las gráficas se observa que, funciones de la forma y = ax, con 0 < a < 1, tienen las siguientes propiedades: • • • • •

Su dominio es toda la recta real. Su recorrido son los números reales positivos Son decrecientes y continuas en todo su dominio. Cuando x tiende a - ∞, se verifica que y tiende a +∞. Cuando x tiende a + ∞, se verifica que y tiende a 0.

53. Al nacer Juan, su padre depositó 3.000 € al 12%. Si no retira el dinero ni los intereses, ¿qué capital tendrá al año, a los dos años, etc.? ¿Qué capital tendrá cuando cumpla 18 años?

54. Una población crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la situación y determina el tiempo que tardará en duplicarse la población manteniendo la misma tasa de crecimiento

55. Una población tiene una tasa de crecimiento anual del 2%. Se pide: a) La función exponencial del crecimiento. b) Si se mantiene ese ritmo de crecimiento, ¿cuánto tiempo tardará en duplicarse la población

56. Se coloca un 6.000 euros al 12% de interés. a) ¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 10 años? b) ¿En cuánto tiempo se duplicará

57. Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 3’5 % al año. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo en estas condiciones? Otro bosque tiene 50000 m3 y la misma tasa de crecimiento. ¿Tardará el mismo tiempo en duplicarse? ¿Depende el tiempo de duplicación de la cantidad de madera inicial?

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 105

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

58. Pedro y Luis se han inventado una mentira a las diez de la mañana. Al cuarto de hora, cada uno de ellos se la ha contado a tres amigos. Al cabo de otro cuarto de hora, cada uno de cuales comunica la mentira a otros tres amigos, los cuales continúan extendiéndola de igual modo. ¿Cuántas personas conocerán la mentira a las dos de la tarde?

59. Tres países, A, B y C, tienen cada uno una población de un millón de personas. La población del país A crece uniformemente un millón cada período de 10 años. La población del país B crece uniformemente dos millones cada período de 10 años. La población del país C se multiplica por 1,5 a lo largo de cada período de 10 años. a) Dibuja en unos mismos ejes las gráficas de las tres poblaciones. b) ¿En qué período alcanza la población C a la población A? ¿Y a la población B?

60. La presión atmosférica disminuye a medida que se asciende. Aproximadamente, al ascender 1 km la presión atmosférica es 0’9 veces la existente 1 km más abajo. Al nivel del mar la presión atmosférica es de una atmósfera. Si un montañero desciende de 1000 m al nivel del mar y otro desciende desde una latitud de 5000 m a 4000 m ¿aumentará su presión lo mismo? ¿Sus organismos lo sentirán de la misma forma

61. Parece ser que los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4 días. Si un niño tiene un piojo en su cabeza, y considerando que todos viven: a) b) c) d)

¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días ¿Y de 20 días? Escribe la función y represéntala. Tiene sentido unir los puntos. Si en el momento inicial el niño tenía 10 piojos, contesta nuevamente a los apartados a y b.

62. Se administran 50 mg de anestesia a un paciente al principio de la operación. Sabiendo que la concentración en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la función f(x) = k.0’95x , donde k es la cantidad inicial y x el tiempo en minutos que ha transcurrido desde su administración. Haz un estudio de dicha función. ¿Cuántos miligramos de anestesia quedan en la sangre del paciente a la hora y media de su administración? 4ESO Matemáticas académicas – Pág. 106

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

63. Se calcula que la población mundial del año 2033 será el doble que la población de 1993. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual?

64. ¿Qué relación existe entre las gráficas de las funciones f(x) = 3x y g(x) = 3-x. Dibuja la gráfica de esta última sabiendo que la gráfica de f(x) es la siguiente:

La función logarítmica y = log x

Para calcular logaritmos en base 10, o logaritmos decimales con la calculadora científica, pulsa la tecla log . x

log x

-1

error

0

error

0’1

-1

1

0

Formamos2la tabla 0’30103 de valores y representamos la gráfica de la función y = log x. 10

1

100

2

Leyendo la gráfica, se tiene que la función logarítmica y = log x tiene las siguientes propiedades:

• • • • •

Su dominio es el conjunto de los números reales positivos. Su recorrido son todos los números reales. Es creciente y continua en todo su dominio. Cuando x tiente a 0+, se verifica que y tiende a −∞: (x → 0+ ⇒ y → −∞) Cuando x tiente a +∞, se verifica que y tiende a +∞: (x → +∞ ⇒ y →−∞)

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 107

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

¿Qué relación existe entre la función exponencial y la función logarítmica?

Si introduces un número cualquiera en tu calculadora y pulsas la tecla 10x y a continuación la tecla log , ¿qué obtienes? 2’3 10x 199’52623 log 2’3

Por ejemplo:

Esto quiere decir que la composición de las funciones y = 10x e y = log x es igual a la función identidad [i(x) = x]. Entonces las funciones y = 10x e y = log x son inversas o recíprocas y sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Por ello se puede obtener la gráfica de una función logarítmica de cualquier base por simetría con la bisectriz del 1er cuadrante con la exponencial de la misma base.

y= (1/2)x

y = 2x

y = log2 x

y = log1/2 x

Función logarítmica de base a > 1

Como la función f ( x) = log a x es inversa de la función g ( x) = a x . Cuando la base es a > 1 : Propiedades de y = loga x con a > 1 : x

y=a

a>1

y = logax

1

• • • • •

Dominio : Recorrido : Creciente en su dominio Continua en su dominio Asíntota vertical “x = 0” a la derecha de 0

1 •

4ESO Matemáticas académicas – Pág. 108

IES Gaia – Departament de Matemàtiques Curs 2017/2018

4ESO B Ejercicios y problemas 4º ESO Mat Acad

Función logarítmica de base 0 < a < 1 Propiedades de y = loga x con 0 < a < 1 :

Analogamente cuando la base 0 < a