• Author / Uploaded
• HerramientasdeMatemáticas

• Categories
• Aprendizaje
• Física y matemáticas
• Matemática
• Conocimiento
• Complejidad

Citation preview

Horacio Solar Concepción, Agosto 2013. (Chile)

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

En agosto del 2012 recibo una invitación para asistir al “I Encuentro Internacional de Matemáticas y Física: Conocimiento e Investigación Aplicados a la Educación” durante los días 12, 13 y 14 de septiembre en la ciudad de Florencia Caquetá, Colombia. ...Al ir conociendo sus trabajos que se presentaban en el Encuentro, pude apreciar cómo nuestro grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT) y el grupo de investigación DII habían recorrido caminos similares para entender la naturaleza de las competencias matemáticas. En aquel entonces, recuerdo haber estado en la presentación de varias de las investigaciones que son presentadas en este libro, y es una verdadera alegría poder evidenciar que aquellas experiencias en el aula en que se indagaba por el desarrollo de competencias matemáticas como Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, con sus respectivos objetos matemáticos, llegaron a plasmarse en un libro. Por ello es que quiero iniciar este prólogo del libro “Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje”, felicitando a los profesores e investigadores que se atrevieron a realizar esta investigación, por tres razones: la primera razón es por el tesón y prolijidad con que han estudiado la noción de competencia matemática… La segunda razón es por haber caracterizado un modelo de competencia, denominado Modelo Teórico a Priori, para estudiar el desarrollo de competencias en los estudiantes. La tercera razón, y quizás la más importante, es porque este libro presenta evidencias del aprendizaje de los estudiantes y el desarrollo de las competencias, ello es particularmente relevante porque a la fecha existe una carencia de investigaciones y experiencias que tengan evidencia sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes, y en este libro, por medio de diferentes experiencias, se describe el desarrollo en los estudiantes de diferentes competencias matemáticas. Ello es sin duda un aporte a la comunidad de Educación Matemática, tanto desde el punto de vista de la docencia como de la investigación. La lectura del libro para mí ha sido de gran interés, en lo personal, porque me encuentro con que el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que se generó a raíz de mi tesis doctoral (Solar 2009), permitió el desarrollo del Modelo Teórico a Priori que permite caracterizar las competencias. …Finalmente, quiero invitar a los lectores a adentrarse en el modelo teórico a priori que propone este libro, su lectura me dio una visión de cómo investigar sobre el aprendizaje de las competencias y, sin duda, me servirá de inspiración para futuros estudios sobre el desarrollo de competencias en los estudiantes.

Bernardo E. García Q. Arnulfo Coronado. Leonardo Montealegre Q. Albeiro Giraldo O. Blanca Adriana Tovar P. Samuel Morales P. Dawson D. Cortés J.

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE

Competencias matemáticas y actividad matemática de aprendizaje / Bernardo García Quiroga ... [et al.]. -- Florencia : Universidad de la Amazonía, 2013. 360 p. : il. ; 24 cm. Incluye bibliografía. ISBN 978-958-8770-17-8 1. Matemáticas - Enseñanza superior 2. Matemáticas - Problemas, ejercicios, etc. 3. Enseñanza de las matemáticas 4. Métodos de enseñanza I. García Quiroga, Bernardo, 1956510.7 cd 21 ed. A1427244 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Competencias matemáticas y actividad matemática de aprendizaje. © Universidad de la Amazonia Sede Principal Calle 17 Diagonal 17 con Carrera 3F - Barrio Porvenir © Autores: Varios Autores Primera Edición: 300 Ejemplares Florencia - Caqueta, Colombia - Septiembre 2013 ISBN: 978-958-8770-17-8 © Universidad de la Amazonía Sede Principal Calle 17 Diagonal 17 con Carrera 3F - Barrio Porvenir Teléfono: (098) 4358786 ISBN 978-958-8770-17-8 Autores: Varios Autores Diagramación: Artes Gráficas del Valle S.A.S Primera Edición: 300 Ejemplares Florencia - Caqueta, Colombia - Septiembre 2013 Impreso en los talleres gráficos de Artes Gráficas del Valle S.A.S Calle 14 No 50 - 96 Tel: 3332742 - 3827503 www.artesgraficasdelvalle.com Cali - Colombia La responsabilidad de los textos contenidos en esta publicación es exclusiva de(l) (os) autor(es). Prohibida la reproducción total o parcial, por cualquier medio fotográfico o digital, incluyendo las lecturas universitarias, sin previa autorización de(l) (os) autor(es).

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE

BERNARDO GARCÍA QUIROGA, ARNULFO CORONADO, LEONARDO MONTEALEGRE QUINTANA, ALBEIRO GIRALDO OSPINA, BLANCA ADRIANA TOVAR PIZA, SAMUEL MORALES PARRA, DAWSON DIDIER CORTÉS JOVEN.

NUESTRO RECONOCIMIENTO

Al Departamento de Ciencia y Tecnología (Colciencias), a la Universidad de la Amazonia, a la Gobernación del Caquetá, al Consejo Departamental de Ciencia, Tecnología e Innovación CODECYT+ I, CAQUETÁ, a la Caja de Compensación Familiar del Caquetá (COMFACA), a los estudiantes de la Maestría Ciencias dela Educación , Énfasis en Didáctica de las Matemáticas,primera cohorte, al doctor Horacio Solar Bezmalinovic líder del grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT, Chile), a los profesores de matemáticas y Directivos de las Instituciones Educativas participantes: Su apoyo a nuestra actividad investigativa es esencial para la formación y consolidación de la comunidad regional de profesores e investigadores en Educación Matemática.

CONTENIDO

Prólogo

.............................................................................................. 13

DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD .................................................... 21

Competencias Matemáticas: conceptualización, retos y ............................. 25 perspectivas. .............................................................................................. 25 ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que están presentes en la competencia matemática?.................................................... 27 ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ............................... 29 ¿Cuáles son sus componentes?.................................................................... 29 ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje?........................... 33 Modelo teórico a priori para caracterizar las competencias matemáticas del estudiante.......................................................................... 44 Significado para Educación Matemática ..................................................... 50 CARACTERIZACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL ESTUDIANTE COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL ............................................... 55

Los Sistemas Semióticos de Representación............................................... 58 La Competencia Matemática Representar. ................................................. 63 Aspectos Asociados A La Competencia Matemática .................................. 66

Aspecto Afectivo ......................................................................................... 69 La tendencia de acción................................................................................. 70 Procesos Asociados a Los Aspectos de La Competencia Matemática Representar............................................................................... 71 Indicadores Asociados a Los Componentes de La Competencia Matemática Representar .............................................................................. 74 Complejidad de Las Tareas.......................................................................... 79 Aplicación Y Resultados Del Modelo Teórico A Priori............................... 81 COMPETENCIA MATEMATICA MODELIZAR: EL CASO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA........................................... 105 Función cuadrática....................................................................................... 119 Fenomenología de la función cuadrática..................................................... 123 Modelo teórico a priori de la Competencia Matemática Modelizar (CMM).................................................................... 128 Sub-procesos matemáticos presentes en las fases de modelización.................................................................................. 128 Tareas y actividad matemática..................................................................... 131 Niveles de Complejidad............................................................................... 133 El Componente metacognitivo de la CMM................................................. 136 Componente de interacción social............................................................... 138 Propuesta de un modelo de competencia matemática modelizar (MCMM)................................................................. 140 Discusión de resultados y conclusiones....................................................... 153 COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR: EL CASO DE LA RAZÓN Y LA PROPORCIÓN...................................... 161 Competencia Matemática Pensar Y Razonar............................................... 163 Objeto Matemático Razón y Proporción...................................................... 173 El concepto matemático de razón................................................................ 175 Razones o fracciones.................................................................................... 176

Sistemas de Representación......................................................................... 177 Fenomenología de La Razón y Proporción.................................................. 177 En La Cotidianidad...................................................................................... 178 En La Matemática ...................................................................................... 179 Teorema De Thales...................................................................................... 179 El Modelo Teórico A Priori.......................................................................... 180 El Aspecto Afectivo..................................................................................... 182 La Tendencia De Acción.............................................................................. 183 Procesos Asociados a los Aspectos de la Competencia Matemática Pensar Y Razonar............................................... 183 Procesos asociados al aspecto cognitivo...................................................... 184 Proceso asociado al aspecto afectivo........................................................... 185 Proceso asociado a la tendencia de acción................................................... 185 Descriptores Asociados a los Componentes de La ..................................... 186 Competencia Matemática Pensar y Razonar................................................ 186 Tarea y Actividad Matemàtica..................................................................... 187 Complejidad en Las Tareas Matemáticas..................................................... 189 Aplicación del Modelo Teórico a Priori y Caracterización de la Competencia Matemática Pensar y Razonar............ 191 Primeras Conclusiones................................................................................. 204 COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS: EL CASO DE LA MEDIANA COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS Y EL APRENDIZAJE DEL OBJETO MATEMÁTICO LA MEDIANA ................................................................ 215 Sistemas de representación numérico y algebraico..................................... 230 Modelo Teórico a Priori de la investigación................................................ 235 Secuencias Didácticas.................................................................................. 237 Caracterización de la competencia Matemática .......................................... 243

Conclusiones .............................................................................................. 253 COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR Y APRENDIZAJE DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS TRIÁNGULO Y CIRCUNFERENCIA....................................................... 267 Concepción De Competencia Matemática .................................................. 270 PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO:........................................................ 270 REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA GRÁFICA.......................................... 274 ASPECTO AFECTIVO:.............................................................................. 278 ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN............................................... 278 PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA:......................................... 278 Aspecto afectivo........................................................................................... 281 Aspecto de tendencia de acción:.................................................................. 282 Procesos Matemáticos Asociados al Aspecto Cognitivo De La Cmc.......... 283 Para El Caso de La Circunferencia.............................................................. 283 Proceso asociado al aspecto afectivo........................................................... 287 Proceso asociado al aspecto de tendencia de acción.................................... 288 Capacidades Asociadas A La Competencia Matemática ............................ 288 Comunicar

.............................................................................................. 288

Descriptores Y Actuaciones Asociadas A La Competencia ........................ 290 Matemática Comunicar................................................................................ 290 Tareas, Situaciones Matemáticas y Niveles de Complejidad....................... 290 Situación Matemática................................................................................... 291 Modelo Teórico A Priori (Mtap) ................................................................ 292 Actividades de Intervención En El Aula...................................................... 299 Tarea 1: Trazado y Clasificacion De Triángulos.......................................... 300 Tarea 2: Trazado y Clasificacion De Triángulos.......................................... 302 Tarea 3: Clasificacion de Triángulos............................................................ 303 Descriptores de los Aspectos Afectivos y Tendencia de Accion de La Cmc ................................................................ 305

Para El Caso De La Circunferencia:............................................................ 305 Aplicación Del Modelo Teórico A Priori (Mtap) y Caracterización de La Cmc........................................................... 306 Descriptores para evaluar el nivel de complejidad de la competencia matemática comunicar: oral – escrita..................................... 308 Análisis de información............................................................................... 310 Descriptores de los aspectos afectivos y tendencia a la ............................. 327 acción de la CMC......................................................................................... 327 Procesos asociados al aspecto cognitivo...................................................... 334 Procesos asociados al aspecto afectivo y .................................................... 337 tendencia de acción...................................................................................... 337 Balance de los procesos afectivos y de tendencia de acción...................... 340 Balance General del Proceso y Resultados de La Intervencion en El Aula.......................................................................... 340 RECONOCIMIENTO ESPECIAL............................................................. 345 BIBLIOGRAFÍA......................................................................................... 347 SOBRE LOS AUTORES............................................................................. 357

PRÓLOGO

En agosto del 2012 recibo una invitación para asistir al “I Encuentro Internacional de Matemáticas y Física: Conocimiento e Investigación Aplicados a la Educación” durante los días 12, 13 y 14 de septiembre en la ciudad de Florencia Caquetá, Colombia. Evento organizado por el Programa de Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad de la Amazonia. Ante mi sorpresa conocían los trabajos sobre competencias matemáticas que estaba desarrollando, y me decido a ir rumbo a Florencia a conocer a este grupo conformado por académicos y profesores que también estaban trabajando sobre el tema de competencias matemáticas. Es así como conocí a Bernardo, Arnulfo, y a todo el grupo de investigación Desarrollo Institucional Integrado (DII) de la Universidad de la Amazonia. Al ir conociendo sus trabajos que se presentaban en el I Encuentro internacional, pude apreciar cómo nuestro grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT) y el grupo de investigación DII habían recorrido caminos similares para entender la naturaleza de las competencias matemáticas. En aquel entonces, recuerdo haber estado en la presentación de varias de las investigaciones que son presentadas en este libro, y es una verdadera alegría poder evidenciar que aquellas experiencias en el aula en que se indagaba por el desarrollo de competencias matemáticas como Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, con sus respectivos objetos matemáticos, llegaron a plasmarse en un libro. Por ello es que quiero iniciar este prólogo del libro “Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje”, felicitando a los profesores e investigadores que se atrevieron a realizar esta investigación, por tres razones: la primera razón es por el tesón y prolijidad con que han estudiado la noción de competencia matemática; en un libro anterior de estos mismos autores (García, Coronado, Montealegre, Tovar, Giraldo, Morales y Cortés 2012) se realiza un

Varios Autores

estudio acabado sobre las competencias matemáticas y se dan los fundamentos para lo que serán los planteamientos de este libro. La segunda razón es por haber caracterizado un modelo de competencia, denominado Modelo Teórico a Priori, para estudiar el desarrollo de competencias en los estudiantes. La tercera razón, y quizás la más importante, es porque este libro presenta evidencias del aprendizaje de los estudiantes y el desarrollo de las competencias, ello es particularmente relevante porque a la fecha existe una carencia de investigaciones y experiencias que tengan evidencia sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes, y en este libro, por medio de diferentes experiencias, se describe el desarrollo en los estudiantes de diferentes competencias matemáticas. Ello es sin duda un aporte a la comunidad de Educación Matemática, tanto desde el punto de vista de la docencia como de la investigación. La lectura del libro para mí ha sido de gran interés, en lo personal, porque me encuentro con que el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que se generó a raíz de mi tesis doctoral (Solar 2009), permitió el desarrollo del Modelo Teórico a Priori que permite caracterizar las competencias matemáticas en el estudiante. Los componentes del MCM y de qué manera se utiliza elz Modelo Teórico a Priori, se pueden encontrar en el primer capítulo del libro, así que prefiero detenerme en explicar los orígenes del MCM. Entre los años 2005 y 2006 en una revisión de la literatura sobre competencias matemáticas, pude darme cuenta de que no existía una variada literatura de libros sobre la importancia de desarrollar competencias matemáticas en el aula, pero a su vez, había una carencia de investigaciones que mostraran experiencias concretas. En aquella búsqueda me encontré con el libro” Principios y Estándares para la Educación Matemática”, del National Council of Teachers of Matemathics (NCTM, 2003), propuesta curricular de esta reconocida sociedad de profesores de EEUU, cuya problemática dio origen a lo que sería la línea de competencia matemática que estamos actualmente desarrollando. Permítanme citar la introducción del capítulo de aquel libro en que se describen los estándares (NCTM; 2003, pag 31): ¿Qué contenidos y procesos matemáticos deberían conocer y ser capaces de usar los estudiantes a medida que progresan en su escolarización? …Principios y Estándares presenta la propuesta del NCTM sobre lo que debería valorarse en la enseñanza de las matemáticas. Se requieren unos estándares ambiciosos para lograr una sociedad que tenga la capacidad de pensar y razonar matemáticamente, y una base útil de conocimientos y destrezas matemáticas. Los diez Estándares que se presentan en este capítulo describen un conjunto coherente de conocimientos y competencias matemáticas; una base comprensiva recomendada para todos los estudiantes, en vez de un menú a partir del cual tomar decisiones curriculares. Son descripciones de lo que la enseñanza matemática debería lograr que los estudiantes conozcan y hagan. Especifican la comprensión, el conocimiento y las destrezas que deberían adquirir los alumnos, desde Prekindergarten al nivel 12. Los Estándares de Contenidos (Números y operaciones, Álgebra, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad) describen explícitamente

14

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje los contenidos que deberían aprender. Los Estándares de proceso (Resolución de problemas, Razonamiento y demostración; Comunicación, Conexiones y Representación) ponen de relieve las formas de adquisición y uso de dichos contenidos.

Esta relevancia que se le atribuyen a los procesos matemáticos, el detalle en describirlos en cada nivel educativo y la manera de diferenciarlos de los contenidos, permite concluir que esta propuesta curricular dio un gran paso para mostrar cómo desarrollar procesos matemáticos. Pero a su vez dejó una pregunta abierta que sirvió de inspiración para idear el modelo de competencia matemática: ¿De qué manera se puede articular los contenidos con los procesos? Esta pregunta asentó las bases para caracterizar el Modelo de Competencia Matemática, en que se consideró como premisa de que las competencias matemáticas se desarrollan en un objeto matemático específico; por ejemplo, los procesos involucrados en modelar en el estudio de funciones lineales, pueden ser diferentes que en el estudio de cuadriláteros. Por ello es necesario un estudio profundo del objeto matemático para llegar a encontrar los procesos involucrados en una competencia matemática. Este punto de vista está fuertemente arraigado en este libro, en que se realiza un estudio acabado de objetos matemáticos tales como la función lineal y cuadrática, razón y proporción, la mediana, el triángulo y la circunferencia, que sirven de base para promover los procesos en juego en las competencias de representar y modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, respectivamente. Finalmente, quiero invitar a los lectores a adentrarse en el modelo teórico a priori que propone este libro, su lectura me dio una visión de cómo investigar sobre el aprendizaje de las competencias y, sin duda, me servirá de inspiración para futuros estudios sobre el desarrollo de competencias en los estudiantes.

Horacio Solar Concepción, Agosto 2013. (Chile)

15

INTRODUCCIÓN

Este libro es un avance del proyecto de investigación “Desarrollo de Competencias Matemáticas en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá” adelantado por el grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado” de la Universidad de la Amazonia. El avance se corresponde con el final de la primera fase, la cual se centró en caracterizar las competencias matemáticas de los estudiantes de las instituciones educativas que participaron de la investigación durante los últimos cuatro años. Asumir este foco de investigación implicó el estudio de las siguientes cinco competencias matemáticas articuladas al aprendizaje de unos objetos matemáticos específicos: • Competencia matemática Representar y objeto matemático función lineal • Competencia matemática Modelizar y objeto matemático función cuadrática • Competencia matemática Pensar y Razonar y objeto matemático Razón y proporción. • Competencia matemática Plantear y Resolver problemas y objeto matemático la Mediana. • Competencia matemática Comunicar y objetos matemáticos Triángulo y Circunferencia. El desarrollo de este proceso condujo al grupo de investigación a planificar un trabajo continuo de intervención didáctica en el aula en torno a situaciones de enseñanza y aprendizaje focalizadas en el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Este proceso, de naturaleza compleja y prolongada, se

Varios Autores

instaló en el marco de tres problemas centrales que sintetizaron esta primera fase del proceso investigativo: • ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que se evidencian en la competencia matemática? • ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ¿cuáles son sus componentes? • ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? Por la transversalidad conceptual de estos problemas en la investigación, cada uno de ellos se aborda en el primer capítulo del libro y constituyen el marco general para la caracterización de las competencias matemáticas investigadas. El primer problema se aborda desde los referentes teóricos de D’Amore, Godino y Fandiño (2008), quienes reconocen en una competencia matemática tres aspectos: • El cognitivo: conocimiento de la disciplina; • El afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna) y • La tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (p, 44) El segundo problema asume el referente conceptual de Solar (2009), quien plantea un Modelo de Competencia Matemática. Según el autor, una competencia matemática se compone de: las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad. Estos componentes y la propuesta de modelo de competencia fueron esenciales en nuestra investigación para la caracterización del aspecto cognitivo de las competencias matemáticas. El tercer problema lo relacionamos directamente con conceptos claves en el desarrollo de competencias matemáticas y estratégicos en nuestra investigación. Desde Rico y Lupiañez (2008), se estudió una perspectiva curricular que relaciona contenidos y procesos matemáticos y, una perspectiva didáctica que relaciona expectativas de aprendizaje a corto plazo (los objetivos) con expectativas de aprendizaje a largo plazo (las competencias). Bishop (2005) aporta la importancia de compartir y desarrollar el significado matemático como propósito central de la clase. Sfard (2008), contribuye a resignificar el aprendizaje desde la metáfora de la participación y la capacidad discursiva del estudiante para comunicar matemáticas en su comunidad de aprendizaje (la clase). Tobón, Pimienta y García (2010), aportan el concepto de secuencia didáctica y enriquecen el concepto de competencia. Valero y Skovmose (2012), amplían el panorama conceptual y la

18

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

perspectiva didáctica y curricular desde la visión sociopolítica de la educación matemática. La segunda parte del libro se presenta en el capítulo 2, en él se desarrolla la caracterización de cada una de las cinco competencias matemáticas enunciadas. Esta caracterización se focalizó en: • El aspecto cognitivo de la competencia: se formulan tareas matemáticas específicas, se planifican unos procesos matemáticos asociados a cada competencia y se asumen los niveles de complejidad planteados por la prueba PISA (Reproducción, Conexión y Reflexión). El estudiante, entonces, en su actividad matemática de aprendizaje, resuelve tareas y desarrolla procesos matemáticos de complejidad creciente para evidenciar la movilización y el progreso de sus competencias matemáticas. • El aspecto afectivo: se asumen de este aspecto los procesos de disposición, voluntad y deseo de usar socialmente su competencia matemática. • El aspecto de tendencia de acción: se asumen los procesos de persistencia y continuidad como objetos de valoración de la competencia. Consideramos que este segundo capítulo es un aporte específico y concreto a problemas que caracterizan la cotidianidad del profesor de matemáticas: ¿qué son las competencias matemáticas? ¿Cómo progresan las competencias matemáticas? ¿De qué manera se relacionan los contenidos con las competencias matemáticas? (Solar, 2009, p. 13). Estos problemas se inscriben en el proceso complejo y prolongado del desarrollo de competencias matemáticas del estudiante. Contribuir a estudiar esta complejidad y a construir soluciones alternativas, no solo es un reto y un deber científico de la comunidad internacional de Educación Matemática; es además, contribuir a desarrollar y consolidar esta nueva línea de investigación y sobre todo, representa un esfuerzo intelectual para proponer caminos alternativos de construcción de un discurso potente para resignificar el concepto de competencia, instalarlo en un enfoque de naturaleza sociocultural que asuma las matemáticas como un fenómeno cultural y la competencia matemática como “la reflexión sobre el empleo y uso de las matemáticas en la sociedad” (García, Acevedo y Jurado, 2003, p. 13). De esta manera, el grupo de investigación espera que este aporte a la Educación Matemática colombiana genere nuevas investigaciones y nuevos procesos que contribuyan a que nuestro estudiante no solo sea competente con las matemáticas como estudiante sino también y muy especialmente, como ciudadano.

19

CAPÍTULO I DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD

DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD

¿Qué sería una competencia sin el deseo, sin la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella? (Bruno D’Amore, 2008)

El término competencia está cargado de una alta complejidad: no solo su etimología, que lo hace polisémico, también su carga ideológica, atribuida especialmente a sus orígenes por fuera del campo educativo y en el marco de un Saber – Hacer eficientista al servicio de tendencias económicas globalizantes y de influencia neoliberal. No obstante, es esta misma complejidad del término la que, en el campo de la Educación, la Pedagogía, la Didáctica y el Currículo, permite asumirlo como un objeto de estudio nuevo, complejo y potente para la investigación y, en consecuencia, para ayudar a generar nuevas perspectivas teóricas y metodológicas que orienten una propuesta didáctica que apenas comienza a construirse en educación matemática: enseñar para el desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante. Aunque el propósito de este libro es presentar unos primeros resultados de investigación en Competencias Matemáticas, es necesario hacer unas precisiones sobre algunos aspectos de la complejidad que subyace al concepto de competencia. Para un mayor conocimiento de este aspecto, recomendamos al lector ver García et al (2012). Para García, Acevedo y Jurado (2003), el concepto de competencia es muy ambiguo y sus sentidos deben asumirse desde dos dimensiones que implican visiones políticas divergentes sobre la educación:

Varios Autores

• la competencia asociada con la educación para la eficacia y las demandas del mercado, en donde el saber – hacer que se reclama debe entronizarse con la tendencia de la economía mundial hacia la globalización y los modelos neoliberales; y • la competencia asociada con la educación integral y la formación de sujetos críticos, en donde el saber – hacer que se invoca ha de vincularse con los contextos socio – culturales y el sentido ético humanístico en las decisiones sobre los usos del conocimiento y la cualificación de las condiciones de vida de las personas. (p. 12) Nuestro grupo de investigación adhiere a la postura socio – cultural sobre las competencias, asume que es mucho más que un Saber – Hacer y, por tanto, su dimensión teórica se instala más en el concepto de Formación que en el de Instrucción: involucra aspectos cognitivos, afectivos, volitivos, éticos y de tendencia de acción que implica una pragmática de uso social de la misma competencia. En esencia, de eso se trata este libro: a partir de un proceso de conceptualización sobre las complejidades del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante, se construye la caracterización del proceso de movilización de competencias de los estudiantes focalizado en su actividad matemática de aprendizaje. Continuando con las precisiones, nos interesa presentar algunas planteadas por el Dr. Carlos Vasco en el 11° Congreso de la Asociación Colombiana de Matemática Educativa (ASOCOLME), Octubre de 2010, respecto a la concepción de competencia: • Sobre la etimología de “competencia”: del latín “competere” que se puede entender como competir. • También proviene de “cum-petere”: “dirigirse con”, tender hacia una meta conjuntamente con otros. El Dr. Vasco afirma que “puede acentuarse en lo competitivo o en lo cooperativo” Asume además una postura que, a nuestro juicio, ilumina un poco la opción teórica del maestro y del investigador: Prefiero pensar que la palabra “competencia” en el ámbito educativo no viene de competir, sino de “ser competente”. Ya veremos que no es lo mismo que “ser experto”…pero si es lo contrario de ser incompetente… Desde la perspectiva socio – cultural que comparte nuestro grupo de investigación, asumimos las matemáticas como un fenómeno cultural, histórico, que postula un conocimiento construido y compartido social y culturalmente; además, socialmente útil. Esta utilidad social de las matemáticas es clave que el maestro la comprenda y la asuma para promover desde sus prácticas de enseñanza una pragmática de uso, aprendizajes situados y solución de problemas contextualizados.

24

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

En esta dirección teórica, asumimos los aportes de Vasco (2010), en el sentido de que enseñar para el desarrollo de competencias se inscribe en la etimología de “cum – petere”, pues este desarrollo no solo es individual, sino también y muy especialmente, social y cultural. Por ello, es el maestro quien debe poner el énfasis en lo cooperativo, en la interacción entre los sujetos que aprenden y menos, mucho menos, en lo competitivo. No es suficiente para una educación matemática de calidad, que el estudiante sea competente con las matemáticas solo como estudiante, es indispensable que lo sea también como ciudadano, en contextos extraescolares. Esto no será posible si no comprende la utilidad social de las matemáticas. En su conferencia el Dr. Vasco plantea una interesante disyuntiva frente a las alternativas de las competencias en lo educativo: rechazar los discursos asociados al concepto de competencia, entre otras causas, por su carga ideológica; o, a cambio, construir como comunidad académica un “concepto potente de competencia y configurar un discurso propio pedagógicamente productivo sobre las competencias. Yo prefiero trabajar en lo segundo”. Desde luego que nuestro grupo de investigación también asumió esa opción, es más, este libro es un producto de esa alternativa: investigar para nutrir el debate académico y construir colectivamente un camino pedagógico, didáctico y curricular que oriente una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas. COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: CONCEPTUALIZACIÓN, RETOS Y PERSPECTIVAS.

El propósito de este apartado es argumentar en torno a las principales concepciones que influyeron en la investigación, especialmente en la discusión sobre los aspectos del desarrollo humano presentes en las competencias matemáticas, en sus componentes y su articulación didáctica y curricular. Es esencial que el profesor asuma postura teórica respecto a las diversas concepciones de competencia matemática, ello marcará su rol frente a problemas cotidianos de aula como: ¿Cómo lograr en el estudiante una inclinación cultural favorable hacia las matemáticas? ¿Qué hacer en clase para que aprender matemáticas sea socialmente útil para los estudiantes? ¿Cómo transformar las tareas matemáticas en propuestas significativas de trabajo en la cotidianidad del estudiante? ¿Qué competencias matemáticas promover y contribuir a movilizar en clase? ¿Cuál es la(s) perspectiva(s) didáctica y la(s) perspectiva(s) curricular que se asumen para el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante?

25

Varios Autores

¿Cómo se asume la actividad matemática de aprendizaje? y ¿cómo se articula esta con el desarrollo de los procesos matemáticos? Estos son problemas complejos, retos y perspectivas en educación matemática muy actuales para el maestro, las instituciones educativas y el Ministerio de Educación Nacional (MEN). Su solución se instala más en la investigación y el trabajo de comunidades académicas y menos en los decretos y resoluciones administrativas. En nuestra investigación, estos problemas se asumieron desde dos consideraciones teóricas en educación matemática, ambas inscritas en la perspectiva sociocultural y política: • “¿Cómo los significados de las matemáticas escolares y las competencias que ellas pretenden promover se constituyen en un campo de práctica social” (Valero y Skovmose, 2012, p. XII) que articule las tareas matemáticas y la actividad matemática de aprendizaje con problemas de contextos escolares y extraescolares? • ¿Cómo situar en el centro de la clase de matemáticas “la necesidad de compartir y desarrollar el significado matemático? (Bishop, 2005, p. 23) Es desde esta óptica que abordamos el proceso de conceptualización en competencias matemáticas. No se trata de hacer un registro antecedente al respecto, para ello recomendamos al lector ver García et al (2012). A cambio, se trató de desarrollar un amplio proceso de conceptualización que permitiera asumir un corpus teórico y metodológico para intervenir en el aula de matemáticas y contribuir al complejo y prolongado proceso de desarrollo de competencias matemáticas del estudiante. Entonces, el proceso de conceptualización sobre el desarrollo de las competencias matemáticas, se instaló en el marco de tres problemas específicos para nuestra investigación: • ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que están presentes en la competencia matemática? • ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ¿cuáles son sus componentes? • ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? A continuación se abordan cada uno de estos problemas.

26

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje ¿CUÁLES SON LOS ASPECTOS DEL DESARROLLO HUMANO QUE ESTÁN PRESENTES EN LA COMPETENCIA MATEMÁTICA?

Este problema se considera esencial para el profesor de matemáticas, además de relacionarse directamente con la concepción de competencias, su estudio y comprensión tiene implicaciones didácticas y curriculares evidentes para el proceso de enseñanza y para la actividad matemática de aprendizaje. Para estudiar este problema, el referente teórico base fue D’Amore, Díaz Godino y Fandiño (2008). Nuestros planteamientos sobre este problema giran en torno a desarrollar su idea de que en una competencia matemática se evidencian tres aspectos: • el cognitivo: conocimiento de la disciplina • el afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna) • la tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (p. 44) Al considerar que en la competencia matemática se evidencian estos tres aspectos, los autores instalan el desarrollo de competencias en la formación más que en la instrucción del estudiante. Por tanto, es necesario tomar distancia de evaluar el desarrollo de la competencia matemática del estudiante focalizando el proceso evaluativo en lo cognitivo. Se asume que, además de este aspecto, es esencial ayudar a generar una inclinación cultural favorable del estudiante hacia las matemáticas, hacia su aprendizaje y uso social. Sin ello, difícilmente se involucrará con gusto y voluntad en el desarrollo de procesos matemáticos y en la resolución de problemas por muy contextualizados que sean. Como lo dicen los autores “¿Qué sería una competencia sin el deseo, sin la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella? (Ibid, p. 21). Lo anterior implicó para el grupo de investigación tomar prudente distancia del propósito evaluativo de las pruebas masivas en competencias matemáticas tanto internacionales como nacionales (PISA, TIMSS, LLECE, SABER, etc.). Si bien reconocemos el aporte en los niveles de complejidad asociados a la evaluación del aspecto cognitivo de la competencia, consideramos que, en el aula de clase, el docente debe contribuir a generar procesos de interacción entre los sujetos que contribuyan al desarrollo de aspectos afectivos, volitivos, éticos, metacognitivos y de pragmática de uso de la competencia matemática. Ello permitiría no clasificar al estudiante, sino valorar la calidad de su actividad matemática de aprendizaje y caracterizar el desarrollo de sus competencias a partir de la movilización de procesos matemáticos específicos asociados a estas. Esta postura didáctica se desarrolla más adelante en este libro al caracterizar las competencias matemáticas objetos de estudio en la investigación. Consideramos que es un pri27

Varios Autores

mer aporte del libro al debate sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes. Como una consecuencia lógica de los anteriores argumentos, los autores plantean que la competencia matemática es, por tanto, un concepto complejo y dinámico: • Complejo porque aborda dos componentes: a) Uso (exógeno, externo, consciente, intencional y contextualizado) y b) el Dominio (endógeno), requiere elaboración cognitiva y creativa. Hace referencia a los contenidos matemáticos. • Dinámico porque además de los aspectos anteriores, comprende factores metacognitivos: voluntad, deseo de saber y de usar los conocimientos, de aumentar la propia competencia, de valorar la calidad de su aprendizaje. (p. 11) Puede apreciarse que para los autores es claro que la competencia matemática se asocia a la capacidad de afrontar problemas y actividades matemáticas de aprendizaje significativas y complejas por parte del estudiante, es decir, se focaliza en el aprendizaje del estudiante, no en la enseñanza. Como afirma Vasco (2010): “…prefiero hablar de enseñanza para el desarrollo de competencias…” Esto es muy importante para el profesor de matemáticas: es la calidad de la actividad matemática de aprendizaje la que determina la calidad de los procesos matemáticos que desarrolla el estudiante y, por tanto, de su nivel de complejidad e integralidad creciente. Otra consecuencia didáctica se deriva al postular los autores que la filosofía de las matemáticas que subyace a las competencias es de naturaleza pragmática (p. 47), por tanto, se distancia de las corrientes realistas centradas en la metáfora de la “adquisición” (Sfard, 2008) y en el transfer cognitivo (relación causal), como se presenta en la figura 1:

Figura 1: Competencia matemática como adquisición.

Una teoría pragmática asume que todo aprendizaje es situado y que la competencia se moviliza en el uso social; es la situación y la pragmática de uso (en forma simultánea) lo que determina la construcción del conocimiento y el desarrollo de competencia matemática del estudiante. El uso y el contexto sociocultural dan sentido a los conceptos, por ello, conocimiento y competencia se construyen 28

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

simultáneamente en la misma acción en forma complementaria, en una relación de recíproca influencia, como se presenta en la figura 2:

Figura 2: Competencia y aprendizaje situado. (D’Amore, et al, 2008, p.47)

Este aporte es de mucha utilidad teórica y metodológica para la didáctica de las matemáticas, además de dar mayor solidez al concepto de utilidad social de las matemáticas, caracteriza la naturaleza del aprendizaje articulándolo con el contexto socio – cultural del estudiante y a la actividad matemática de este en contextos escolares y extraescolares, a condiciones de uso social de la competencia por parte del sujeto que aprende. Por ello se habla de aprendizaje situado. En general, puede concluirse entonces, que el desarrollo de la competencia matemática se instala en una concepción integral del desarrollo del sujeto que aprende matemáticas. Por tanto, la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, debe movilizar conocimientos, procesos matemáticos, actuaciones que evidencien voluntad, disposición, persistencia e inclinación cultural favorable a usar las matemáticas en contextos escolares, extraescolares y sociales. Esta actuación y uso de las matemáticas deben ceñirse a la ética y la responsabilidad social y cultural propia de un ciudadano que aprende y hace uso de un bien cultural de la humanidad como son las matemáticas. Continuando con la conceptualización, se arriba al segundo problema central en nuestra investigación: ¿CUÁL ES LA ESTRUCTURA DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA? ¿CUÁLES SON SUS COMPONENTES?

Este problema, igual que el anterior, es una de las preguntas que se hace el profesor de matemáticas que se propone enseñar para el desarrollo de competencias matemáticas. Conocer la estructura de la competencia matemática es definitivo en la calidad de esa enseñanza.

29

Varios Autores

Para el estudio de este problema, el referente central fue la tesis doctoral del Dr. Horacio Solar (2009), destacado profesor e investigador chileno en la línea de Competencias Matemáticas. El inicia el estudio de este problema con las siguientes preguntas: …¿de qué manera se adquiere la competencia matemática? y como consecuencia las preguntas derivadas: ¿qué son las competencias matemáticas? ¿cómo progresan las competencias matemáticas? ¿de qué manera se relacionan los contenidos con las competencias matemáticas? (p. 13).

En el proceso de construir respuestas a estos interrogantes, el autor manifiesta que “…se concretó el primer objetivo de la investigación que consistía en elaborar un modelo de competencia matemática que fuera útil tanto para planificar una secuencia didáctica como para analizar su desarrollo en el aula de matemáticas” (p. 13) Solar parte de Abrantes (2001) y de Niss (1999), al identificar también las competencias con los procesos matemáticos tales como comunicar, resolver problemas, representar, calcular, modelizar entre otros. De esta manera, el trabajo de investigación se centró en formular un modelo en el cual las competencias sean los procesos matemáticos organizadores del currículo. En ese orden de ideas, cada nivel escolar deberá especificar en su propuesta curricular de matemáticas, qué competencias asume desarrollar. Esto es posible, pues se asume que las competencias matemáticas, al igual que los procesos matemáticos, son expectativas de aprendizaje a largo plazo y, en general, su desarrollo es transversal a los contenidos de las matemáticas escolares. …las competencias se desarrollan desde un tópico matemático que incorpora tanto los procesos que conforman una competencia como los contenidos formulados en términos de tareas matemáticas. Las tareas no son las actividades que se presentan en una secuencia didáctica, sino que caracterizan “las matemáticas” que se encuentran en las actividades. Las tareas son parte del contenido a tratar, estas cambian de una secuencia didáctica a otra y se desarrollan a corto plazo.

Respecto a la pregunta ¿cómo progresan las competencias matemáticas?, el autor la asume en dos nuevos interrogantes: ¿de qué manera se progresa? y ¿cuáles son las variables a considerar para estudiar el progreso de los estudiantes? (p.14) Resolver estas preguntas, permite al profesor Solar aportar otro elemento esencial en su propuesta de modelo de competencia: los niveles de complejidad asociados a la competencia. Estos niveles de complejidad son los que el estudiante debe enfrentar cuando resuelve tareas matemáticas. Es decir, es en la actividad matemática de aprendizaje que el estudiante evidencia el progreso de su competencia. Al resolver tareas con creciente nivel de complejidad, el estudiante desarrolla procesos matemáticos, despliega capacidades, usa la competencia ma30

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

temática para resolver problemas contextualizados cada vez más complejos. El autor lo expresa así: Nos sentamos sobre la base de que por medio de la actividad matemática se puede estudiar el desarrollo de las competencias; este mismo principio se aplica al progreso de una competencia, con el propósito de poder identificar el progreso según el tipo de actividades que son capaces de resolver los estudiantes. (p. 14)

Entonces, la actividad matemática de aprendizaje como la asumió nuestra investigación, es propia del estudiante y su progreso está dado por los diferentes niveles de complejidad que se evidencian con el progreso de la competencia del estudiante. Este progreso se expresa cuando es evidente que el estudiante piensa, razona, representa, modeliza, comunica, etc. en su actividad matemática de aprendizaje; cuando moviliza sus capacidades, demuestra voluntad, persistencia, comprensión y una aceptación cultural para hacer uso social de sus competencias matemáticas de forma ética y responsable. Es necesario precisar que Solar no asume la actividad matemática de aprendizaje del estudiante como un componente de la competencia. Es nuestra investigación que, apoyados en su investigación, la asume como un componente de nuestro modelo teórico a priori de competencia focalizado en el aprendizaje como se argumentará más adelante. De esta manera, Solar (2009, p.57) presenta uno de sus principales aportes en su tesis doctoral: el Modelo de Competencia Matemática (MCM), con el siguiente gráfico:

Cultura matemática

Competencias Matemáticas

Tareas Matemáticas

Procesos Matemáticos Niveles de complejidad

Figura 3. Modelo de Competencia Matemática (MCM). (Solar, 2009, p. 57)

Para el autor, una competencia matemática se constituye de tareas matemáticas, procesos matemáticos y niveles de complejidad (p. 68). Esto se puede com31

Varios Autores

prender mejor cuando se estudia el propósito básico del MCM y sus implicaciones didácticas. Este propósito se centra en articular las expectativas de aprendizaje a corto plazo (los objetivos específicos), con las expectativas de aprendizaje a largo plazo (las competencias). Es decir, el modelo “…es una estructura o estrategia articuladora…” entre estas dos expectativas de aprendizaje (p. 55). Específicamente, los objetivos son de la clase, de la unidad didáctica, de un conjunto de actividades que se desarrollan en el corto plazo. En este proceso, el estudiante debe evidenciar que “progresa” en el desarrollo de su competencia. Este progreso se demuestra cuando en su actividad matemática de aprendizaje enfrenta tareas matemáticas con nivel creciente de complejidad, cuando pone en juego capacidades, aspectos afectivos, volitivos, metacognitivos y de tendencia de acción específicos. Nosotros incluimos también como evidencia de este progreso, el saldo pedagógico del error del estudiante y de su persistencia para identificarlo, comprenderlo y superarlo. Esto es esencial para dignificar el aprendizaje de las matemáticas escolarizadas. Aunque más adelante se profundizará en cada uno de los componentes de una competencia matemática, es necesario presentar aquí una breve idea de ellos. Cultura Matemática: el autor asume que la Alfabetización Matemática (mathemátical literacy) “se logra mediante el desarrollo de competencias matemáticas” (p. 54). Entonces, propone como punto de partida para el MCM la noción de Alfabetización Matemática, pues la asume como sinónimo de la competencia matemática; no obstante, opta por el término del francés “Culture mathematique” que, a su juicio, recoge un mejor sentido de la versión dada en lengua castellana a la expresión inglesa Mathematical literacy (Alfabetización matemática), como se asume en OCDE (2003). Competencias matemáticas: las asume como procesos que articulan el currículo a distintos niveles. Para ello, deben cumplir los siguientes criterios: • vincular a una competencia una serie de procesos matemáticos específicos • contribuir a organizar las actividades matemáticas en función de las competencias que se desarrollan y • ser significativas para la actividad matemática escolar. Ello contribuye a generar sentido y calidad a la actividad matemática de aprendizaje. Procesos matemáticos: cada competencia se compone de proceso matemáticos como representar, demostrar, argumentar, analizar, resolver, graficar, calcular, modelizar, visualizar, etc. Destacamos una implicación curricular de este componente: en la concepción tradicional y hegemónica aún, se organiza el currículo de matemáticas a partir de los contenidos y se subordinan a ellos los procesos matemáticos. En un enfoque por competencias, son los procesos matemáticos los organizadores del currículo; los contenidos matemáticos, como elementos del

32

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

dominio matemático, se deben “poner al servicio” del desarrollo de los procesos matemáticos del sujeto que aprende matemáticas. Esta es otra de las complejidades de una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas. Niveles de complejidad: el nivel de complejidad de una competencia matemática está asociado tanto a la complejidad de las tareas como a la complejidad de los procesos matemáticos vinculados con esa competencia. En este componente el autor asume los siguientes niveles de complejidad propuestos por PISA (2003, 2006): reproducción, conexión y reflexión. En nuestra investigación, estos niveles se asumieron para valorar y caracterizar el aspecto cognitivo de las competencias matemáticas; no obstante, dado que tomamos distancia conceptual y metodológica de las pruebas masivas (reconociendo su aporte en lo cognitivo), también se asumieron criterios e indicadores de evaluación para valorar y caracterizar los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos presentes en las competencias de los estudiantes. Se puede concluir entonces, que los componentes de una competencia matemática son las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad. Este aporte de la tesis doctoral de Solar (2009), fue el que permitió a nuestro grupo de investigación avanzar de manera más ilustrada y sólida en el proceso de formular un modelo teórico a priori, focalizado en la actividad matemática de aprendizaje y para el desarrollo de las competencias matemáticas Plantear y resolver problemas, Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, y Comunicar, en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá, como se presentará en el siguiente capítulo. Como consecuencia lógica de los argumentos respecto a los dos problemas reconocidos en esta fase de la investigación, se plantea el tercer problema y la forma como se abordó. ¿CÓMO SE ARTICULAN LOS COMPONENTES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA CON LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE?

Este interrogante hace referencia a uno de los problemas más complejos que debe enfrentar el profesor para orientar sus prácticas de enseñanza hacia el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. En esencia, el problema se centra en ¿cómo articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? Como puede entenderse, este problema está directamente relacionado con los dos problemas anteriores; del nivel de comprensión que el profesor tenga de ellos y de su competencia didáctica y curricular para proponer alternativas de estudio y abordaje, dependen en alto grado sus posibilidades de solución y aplicación de dichas soluciones en el aula de matemáticas. Pero no basta con esto, es necesario 33

Varios Autores

instalar estas alternativas didácticas y curriculares en desarrollos conceptuales potentes en competencias matemáticas. Esta es aún una gran dificultad para el desarrollo de la línea de investigación en competencias matemáticas que también la sufre nuestro grupo. El campo de investigación es reciente en Educación Matemática, no hay aún experiencias investigativas consolidadas en Iberoamérica, menos en Colombia. Pero esta realidad debe asumirse como un circulo virtuoso, como un reto investigativo complejo y prolongado que debe asumirse ya. De manera específica, estas alternativas deben hacer posible incorporar conceptos y teorías que reconozcan el nuevo rol del estudiante, la importancia de su actividad matemática de aprendizaje, máxime cuando la competencia se adscribe al aprendizaje, no a la enseñanza, al estudiante, no al profesor; que priorice la pragmática de uso social de las competencias y de las matemáticas como bien cultural y social de la humanidad. Sobre todo, se requiere que esta forma de comprender la complejidad del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante contribuya a generar procesos de interacción entre estudiante – estudiante y estudiante – profesor; interacciones que se deben enmarcar en dos propósitos: • la clase de matemáticas como escenario privilegiado para compartir y desarrollar el significado matemático sobre la base de la comunicación y la negociación cultural entre los sujetos (Bishop, 2005) y • la metáfora de la participación (Sfard, 2008) que asume al estudiante como participante de una comunidad de aprendizaje (la clase) y al aprendizaje como un discurso cada vez más calificado de ese participante. Estos dos propósitos, de clara orientación sociocultural, resignifican al aprendizaje; ahora, “…el prerrequisito más importante para el aprendizaje es el deseo del estudiante de ser parte de una cierta comunidad”. La actividad matemática de aprendizaje no se concibe separada del contexto dentro del cual ocurre, por ello es situado, contextual y articulado a lo cultural y a la mediación social. Como lo resume la Dra. Sfard, “…aprender matemáticas ahora se concibe como un proceso de convertirse en miembro de una comunidad matemática”. Por ello, el estudiante debe aprender a comunicarse en el lenguaje de esta comunidad, a compartir sus reglas, a ser parte integral del grupo, a ser un participante activo. Esta opción teórica sociocultural implica una nueva epistemología, una forma diferente y contemporánea de ver las matemáticas, su aprendizaje, su enseñanza y, desde luego sus opciones teóricas y metodológicas de investigación. …la ciencia o las matemáticas no se pueden considerar nunca más como como entidades independientes; en cambio, se tienen que considerar como aspectos de actividades sociales en curso. Los investigadores no deben insistir más en aislar el conocimiento del conjunto de las interacciones sociales” (Sfard, 2008, p. 33)

34

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Los replanteamientos anteriores sobre el aprendizaje de las matemáticas y sobre las matemáticas, fueron decisivos a la hora de proponer alternativas al problema de la articulación de las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje. Esto se demostrará un poco más adelante en este capítulo. Otro aporte teórico y didáctico importante, inscrito en las características ya enunciadas, lo asumimos de Tobón, Pimienta y García (2010) desde su enfoque socioformativo en competencias. “Las competencias son actuaciones integrales ante actividades y problemas del contexto, con idoneidad y compromiso ético, integrando el saber ser, el saber hacer y el saber conocer en una perspectiva de mejora continua” (p. 11). Destacamos en esta concepción de competencias, algunos aspectos útiles a nuestro propósito de investigación como los siguientes: el primero es una implicación para el aprendizaje que dialoga con nuestra opción sociocultural en educación matemática. Se reconoce una lógica contraria para aprender: ya no es la lógica clásica de “aprender” los contenidos y luego esperar que el estudiante los aplique. La actividad matemática de aprendizaje requiere aquí una lógica contraria: el estudiante debe enfrentarse a resolver tareas matemáticas relevantes, significativas, contextualizadas y de complejidad creciente. Ello requiere aprendizajes situados para contribuir a que situación y pragmática de uso (en forma simultánea), contribuyan al desarrollo de los procesos matemáticos y, por tanto, de las competencias. Una segunda implicación instala el proceso de desarrollo de competencias matemáticas como parte de la formación humana integral del estudiante, propósito histórico de la escuela. Esta formación se asume “…a partir del proyecto ético de vida de cada persona, dentro de escenarios educativos colaborativos y articulados con lo social, lo económico, lo político, lo cultural, el arte, la ciencia y la tecnología” (p. 8) Y una tercera implicación se relaciona con la integración de los saberes del sujeto: “…una competencia, entonces, no es solo tener un saber hacer, un saber conocer y un saber ser por separado, sino movilizar los diversos saberes (ser, hacer y conocer) hacia el logro de una meta determinada en el contexto…”(p. 12) Una síntesis del aporte de los autores a nuestra investigación se expresa en la concepción de las competencias como actuaciones integrales del estudiante para identificar, analizar y resolver problemas del contexto integrando el saber ser (actitudes y valores), el saber conocer (conceptos y teorías) y el saber hacer (habilidades, procedimientos y técnicas). Para la caracterización y valoración de los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos presentes en las competencias matemáticas del estudiante, se hace uso en el capítulo siguiente de la propuesta de secuencia didáctica de

35

Varios Autores

los autores y se adapta un instrumento de evaluación inspirado en los conceptos del enfoque socioformativo. Las perspectivas teóricas de Bishop (2005) y Sfard (2008), desde un enfoque sociocultural y comunicacional de la educación matemática, aportan nuevos conceptos para resignificar el aprendizaje de las matemáticas y para reconocer la necesidad de una nueva epistemología que oriente la enseñanza y la investigación en educación matemática. El enfoque socioformativo de Tobón et al (2010), amplía la visión de las competencias, genera unas implicaciones didácticas para el aprendizaje, la enseñanza para el desarrollo de competencias y la integración de los saberes del sujeto en el marco de un concepto integral de formación humana, del cual las competencias forman parte. Para situar la importancia de la articulación de los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje, fue necesario fortalecer la visión de las competencias matemáticas, especialmente su dimensión sociocultural y política. En la dimensión política nos planteamos con Valero y Skovmose (2012), las siguientes preguntas: ¿Cuál es el significado de las matemáticas en un entorno educativo que no tiene como objetivo educar matemáticos puros sino ciudadanos?, ¿cuáles son las competencias, las habilidades y los valores que tal educación pretende dar a estas personas? (p. 16) Para los autores es claro que las competencia matemáticas no son neutras ni se desarrollan en sujetos ahistóricos, todo lo contrario, ellas no operan aisladamente fuera de la escuela, “sino como parte de unidades integradas que se ensamblan en la escolaridad” (p. 16), esto ratifica la implicación didáctica para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de asumir la interdisciplinariedad entre las áreas del currículo escolar como materia de estudio e investigación. Por ello es indispensable que la investigación en educación matemática asuma como problemas de investigación los aspectos interdisciplinarios de las matemáticas. Por ejemplo, problemas como la relación de la educación matemática con la democracia y la necesidad que las aulas de matemática representen formas democráticas de interacción; el papel de las matemáticas y las competencias matemáticas en los procesos de globalización; la necesidad que “las competencias matemáticas del ciudadano le permitan comprender la tecnología y su aplicación en el puesto de trabajo y, por consiguiente, ser competitivos en el mundo” (p. 4), entre otros problemas. Este tipo de investigaciones contribuirá bastante a comprender que “los significados de las matemáticas escolares y las competencias que ellas pretenden promover se constituyen en un campo de práctica social” (p. XII). Sobre la complejidad de la competencia matemática y su desarrollo conceptual, Valero y Skovmose plantean la vigencia e interdependencia nacional e internacional de este problema de investigación; planteamiento que compartimos:

36

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

…cualquier definición de competencia matemática está inmersa dentro de una red compleja de discursos sobre las funciones de la educación matemática. Tales discursos conectan las ideas de la educación matemática desde los ámbitos más globales e internacionales de política educativa hasta los de práctica de maestros dentro de una escuela determinada. (p. XII). Ahora, abordar el problema del desarrollo de competencias matemáticas pasa también por discutir si este es un problema de naturaleza individual, que se explica desde las particularidades del sujeto que aprende matemáticas o, como se postula, también involucra variables de naturaleza social y cultural que inciden en los sujetos, los contextos y en la vida misma de una comunidad de aprendizaje como es la clase de matemáticas. Al respecto Rico y Lupiañez (2008), parten de asumir que la “competencia matemática es saber matemáticas y hacer cosas con ellas”. Sustentan esta idea en las características principales de las competencias matemáticas. Para ellos las competencias matemáticas: …consisten en utilizar la actividad matemática en contextos tan variados como sea posible; ponen especial énfasis en aspectos sociales como la comunicación y la argumentación; muestran cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana; y, se alcanzarán en la medida que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana. (p. 214).

Para los autores, enseñar matemáticas para el desarrollo de competencias exige nuevas perspectivas curriculares y didácticas que, considerándolo, trasciendan el enfoque funcional para ir más allá de lo cognitivo del sujeto que aprende matemáticas. Estas perspectivas sobre lo curricular y lo didáctico de las matemáticas escolares deben instalarse en un enfoque integrado que asuma el desarrollo de las competencias matemáticas en una dimensión individual y en una dimensión social y cultural. En la dimensión individual del desarrollo humano, además de resaltar lo cognitivo, también se considera: el conocimiento y dominio de estrategias metacognitivas, una formación centrada en la promoción de la creatividad y en la capacidad para valorar la herencia cultural de las representaciones matemáticas y una inclinación cultural favorable al gusto, cultivo y curiosidad por las matemáticas y por su aprendizaje. La dimensión social y cultural asume por finalidad la resolución de problemas contextualizados, la argumentación y justificación de las ideas que orientan este proceso matemático, el cultivo y movilización de diversas competencias matemáticas para interactuar en contextos escolares y extraescolares vinculándolas a la comprensión y solución de problemas sociales y culturales de una comunidad específica. 37

Varios Autores

Podemos afirmar ahora que el problema didáctico del desarrollo de competencias matemáticas del estudiante es de naturaleza individual y de naturaleza social. De un lado, lo individual se expresa en adscribir este desarrollo al aprendizaje, al sujeto que aprende matemáticas y, en principio, este aprendizaje pasa por movilizar los marcos cognitivos del sujeto, el desarrollo de procesos y pensamientos matemáticos; igualmente involucra sus intereses afectivos, sus actitudes, su voluntad, decisión y persistencia de usar esas competencias en su cotidianidad. La naturaleza social y cultural de las matemáticas, así como su condición de discurso construido y compartido social y culturalmente, hacen de las matemáticas un “fenómeno cultural” (García, Acevedo y Jurado, 2003) potente y socialmente útil. El desarrollo de competencias matemáticas, como problema de investigación de la Educación Matemática y desde una perspectiva sociocultural, se sitúa “en la reflexión sobre el empleo y uso de las matemáticas en la sociedad” (Ibíd., p. 13); por tanto, la construcción del significado matemático en el aula, ha de ser un proceso compartido y validado en esa sociedad sui generis que es la clase de matemáticas; y, las competencias asociadas a ese significado, se constituyen en un campo de práctica social, en interacción comunicativa entre los sujetos. Es esta dimensión sociocultural de la competencia matemática la que explica por qué el estudiante no solo debe ser competente con las matemáticas como estudiante, sino también como ciudadano. Ahora estamos en mejores condiciones didácticas para asumir las alternativas de articulación entre las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, como un problema esencial para el profesor de matemáticas. Una primera idea es comprender cómo se relacionan las tareas matemáticas, los procesos y los niveles de complejidad, como componentes de una competencia matemática. Esta relación se evidencia en el marco de un conjunto de actividades de aprendizaje que se articulan todas en una secuencia didáctica. Hablamos de actividades de aprendizaje sin pretender desconocer el rol del profesor en esta interacción en el aula desde sus prácticas de enseñanza; no obstante, como ya se ha dicho, el foco de investigación es la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, allí convergen todas las demás actividades que se planifiquen en la secuencia didáctica, toda vez que la competencia la debe desarrollar es el estudiante, no el profesor. Una secuencia didáctica es un conjunto de pasos ordenados de forma progresiva y articulada para desarrollar actividades de aprendizaje, caracterización y evaluación. Se requiere la planeación, orientación, monitoreo y acompañamiento del profesor, unas finalidades o propósitos de aprendizajes compartidas, unas formas horizontales y democráticas de trabajo, que estimulen la interacción y el trabajo cooperativo y afiliativo entre profesor y estudiantes. Igualmente, requieren de una serie de recursos didácticos y tecnológicos acordes con la naturaleza del con-

38

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

junto de actividades y de los propósitos de las mismas. En el próximo capítulo, la caracterización de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas asociada al aprendizaje del objeto matemático La Mediana, se hace con la implementación de las secuencias didácticas, por tanto, habrá mayor ilustración y ejemplificación sobre conformación y aplicación. La complejidad, entonces, de esta articulación, se sitúa en función de las tareas matemáticas y los procesos matemáticos considerados en la secuencia didáctica. Ya se ha planteado que las tareas hacen referencia a los contenidos matemáticos, se asocian al dominio matemático, a las nociones matemáticas que se abordan en una clase o actividad matemática. Las tareas matemáticas se diseñan y proponen por parte del profesor, se adscriben a su rol en la clase; se asocian a expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivos de la clase, de la unidad, del tema, etc.) formulados para el desarrollo de procesos matemáticos que ponen en juego capacidades del estudiante. Una característica básica de las tareas es su complejidad creciente, es decir, que de manera progresiva, el estudiante requiere desarrollar procesos matemáticos de mayor nivel de complejidad para resolverlas, en la medida que avanza en el conocimiento de los contenidos o nociones matemáticas a lo largo de su escolaridad. La actividad matemática de aprendizaje, aunque no es asumida como un componente de la competencia por el autor, si es un concepto central articulado a las tareas que el profesor diseña y propone a los estudiantes. La actividad matemática de aprendizaje, Solar (2009, p. 69), la adscribe al estudiante, es decir, el estudiante desarrolla actividad matemática resolviendo tareas que el profesor diseña y propone. Los niveles de complejidad de la actividad matemática están articulados a la complejidad creciente de las tareas propuestas y se expresan, finalmente, en los niveles de complejidad de los procesos matemáticos que deben desarrollar los estudiantes. Para Solar, cada competencia matemática se compone de procesos matemáticos (2009, p. 56). Estos procesos son consustanciales con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde siempre: resolución y planteamiento de problemas, razonar, comunicar, modelizar, representar, argumentar, demostrar, calcular, visualizar, graficar, etc., han estado siempre en los currículos de matemáticas (ver, por ejemplo, Lineamientos curriculares de Matemáticas, 1998, p. 74). No obstante, en el proceso de movilización de competencias matemáticas del estudiante, hay una novedad en la forma como se asume este componente: los procesos no son subalternos de los contenidos, como tradicionalmente ocurría. Al contrario, solo es posible el desarrollo de competencias matemáticas (expectativa de aprendizaje a largo plazo) en el marco del desarrollo de procesos matemáticos de complejidad creciente. Esta complejidad progresiva evidenciada al resolver tareas, debe estar asociada a expectativas de aprendizaje de corto plazo; estos son los objetivos de la tarea, de la unidad o del tema, o incluso, del área durante el

39

Varios Autores

año escolar. Son estos objetivos los que van “iluminando” el camino e indicando la forma como progresan y se movilizan las competencias matemáticas del estudiante. Una adecuada comprensión por parte del profesor de matemáticas, de la articulación de estas dos expectativas de aprendizaje, será de mucha utilidad en el proceso de desarrollo de competencias de los estudiantes. Para Solar, tareas y procesos implican desarrollo y crecimiento en la riqueza cognitiva del estudiante, se basan en conocimientos y actuaciones. No obstante, los procesos matemáticos movilizan diversos conocimientos y una mayor riqueza cognitiva, pues se ponen en juego cuando el estudiante aborda tareas complejas en situaciones complejas. (Ibid, p. 57). Es decir, el estudiante se involucra en procesos matemáticos cuando resuelve tareas matemáticas. Esta relación entre tareas, procesos y actividad matemática del estudiante, ha tenido para nuestra investigación mucha utilidad didáctica, pues permite generar interacción comunicativa en el aula entre profesor - estudiante y estudiante – estudiante, en el complejo proceso de construir el significado matemático compartido para el desarrollo de procesos que contribuyan a elaborar soluciones y a negociar el desarrollo de los significados compartidos entre profesor y estudiante (Bishop, 2005). Algunas razones que demuestran la importancia de esa interacción: • El docente diseña, propone y comunica las tareas matemáticas al estudiante, lo orienta y asesora. • El estudiante hace actividad matemática resolviendo tareas, desarrolla procesos matemáticos que le permiten comunicar, con argumentos matemáticos, el proceso y el producto de su actividad, la valoración de la calidad de estos procesos, de su rol en el grupo, de las dificultades y de los avances. Es decir, moviliza procesos de riqueza cognitiva, pero además, de naturaleza metacognitiva, afectiva y volitiva. Por ello, es un participante que expresa la calidad de su aprendizaje en el marco de su discurso matemático en una comunidad con la que se comunica: la clase. (Sfard, 2008) • Esta interacción en el aula es un elemento sustancial en nuestra investigación, pues no se trata de clasificar al estudiante a la manera de las pruebas masivas. Se trata de desarrollar en la clase interacción entre los sujetos del proceso de enseñanza y aprendizaje para movilizar las competencias matemáticas del estudiante resolviendo problemas significativos de su contexto sociocultural.

40

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

La figura 4 ilustra los anteriores planteamientos:

Comunicación

Negociación !

Tareas matemáticas

PROCESOS MATEMÁTICOS

Actividad matemática de aprendizaje

Comunicación

Negociación PROFESOR

ESTUDIANTE

Figura 4. Organización del proceso comunicativo en el aula para compartir y desarrollar el significado matemático.

En la figura 4 puede apreciarse que la alternativa didáctica que se propone para articular las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje tiene un núcleo: la comunicación y la participación para compartir y desarrollar el significado matemático. Tratemos de explicar la esencia de ese núcleo articulador tomando como referente teórico a Bishop (2005) y Sfard (2008) ya citados. Lo primero que debe hacer la clase como comunidad de aprendizaje, es acordar la finalidad de la enseñanza de las matemáticas y de la clase de matemáticas. Nuestra opción sociocultural nos llevó a adherir a la propuesta de Bishop (2005, p. 22, 23) de que esta finalidad se sitúa en el propósito central de “compartir y desarrollar el significado matemático” (p.22). Para el autor, esta opción tiene las siguientes implicaciones: Sitúa al profesor con todo el grupo de la clase; enfatiza en la naturaleza dinámica, interactiva e interpersonal de la enseñanza, es decir, el profesor sabe que está trabajando con seres que aprenden, no meramente, estimulando que se dé el aprendizaje; se reconoce la importancia tanto del contenido como del contexto; toma en cuenta el conocimiento, las habilidades y sentimientos del estudiante, poniendo énfasis en el desarrollo más que en un enfoque teórico del aprendizaje; enfatiza en el desarrollo del significado matemático incluyendo tanto metas cognitivas como metas afectivas; reconoce la existencia de muchos métodos y organizaciones de la clase; y, es una concepción que permite el desarrollo del profesor a través de la formación inicial y la posterior a ella. (p. 22)

41

Varios Autores

La idea del significado matemático es la esencia, se busca priorizar la naturaleza personal del significado de cualquier concepto matemático; es condición previa para luego poder compartir significados en la clase. Si este se conecta con lo que el sujeto conoce, tiene mayores posibilidades de ser significativo para él, no solo en el campo de las matemáticas, también en el de la vida real. El estudiante tendrá significados diferentes a los del profesor, eso es lo que dinamiza y enriquece el proceso de compartir y desarrollar significado matemático a través de la comunicación y la negociación. Hay tres aspectos fundamentales en esta concepción: • Actividades matemáticas. Se busca enfatizar el involucramiento del estudiante con las matemáticas y no la presentación del contenido por parte del profesor. • Comunicación. Aspecto con el que se busca enfatizar el proceso y el producto de compartir significados. • Negociación. Aspecto con el que se busca enfatizar la asimetría de la relación profesor/alumno en el desarrollo de significados compartidos. (p. 23) Sobre las actividades matemáticas es necesario agregar dos cosas: la primera es que se hace necesario que el profesor haga una planificación y conversión del contenido y el conocimiento matemático en términos de las actividades matemáticas del estudiante, ese es el punto de convergencia; y, la segunda es la necesidad de estimular y organizar el trabajo colaborativo, el aprendizaje cooperativo; es una forma de trabajo que los estudiantes han llegado a valorar mejor que los profesores. La comunicación hace alusión a la necesidad de comunicar, discutir, argumentar significados matemáticos en la clase. Comprender y compartir estos significados es conectar las ideas que en la clase se tienen sobre ellos, charlar sobre ellos, exponer las ideas, escribirlas, representarlas en diversas formas de representación semiótica (símbolos, gráficos, diagramas, algoritmos, etc.); solo así será posible conectarlas con las ideas previas de los estudiantes y compartir sus significados entre profesor – estudiantes y entre estudiante – estudiante. Este es el sentido de lo que la Dra. Sfard llama la metáfora de la participación: “…aprender matemáticas ahora se concibe como un proceso de convertirse en miembro de una comunidad matemática” (2008, p. 29). Por ello, el estudiante debe aprender a comunicarse en el lenguaje de esta comunidad, a compartir sus reglas, a ser parte integral del grupo, a ser un participante activo. Si se acepta que la comunicación tiene que ver con compartir significados, entonces, la negociación gira en torno al desarrollo de significados. La negociación es de tipo cultural, es una interacción orientada por unas metas que los

42

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

participantes buscan alcanzar. Generalmente, el profesor pretende que las metas que se ha fijado para la actividad matemática se alcancen todas, es lo ideal. No siempre es así, es más, frecuentemente ocurre que esa metas no se alcanzan. Es aquí donde la autoridad y el poder del profesor, históricamente reconocidos, no deben imponerse. Es necesario estimular al docente para no imponer su conocimiento a los estudiantes, a que reconozca la asimetría en la relación de saber con el estudiante en el desarrollo del significado compartido. Es entonces cuando la negociación del desarrollo de los significados matemáticos compartidos asume la naturaleza de interacción entre los participantes y sitúa este desarrollo de significados matemáticos como un problema de construcción social al interior de la clase de matemáticas. Como puede apreciarse, es un proceso complejo, prolongado y que requiere competencia comunicativa, pedagógica, curricular y didáctica del profesor de matemáticas; lo mismo que una disposición total del estudiante a participar, involucrarse, argumentar, preguntar, sustentar, proponer y, en síntesis, comunicarse con la comunidad de aprendizaje de la que forma parte: la clase. Este es un escenario y un clima propicio para articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante. Por tanto, es una alternativa para contribuir mejor al desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante y a mejorar la calidad de la educación matemática. Esta alternativa fue, en sentido general, el camino didáctico que se eligió en esta primera etapa de la investigación, de manera especial, para caracterizar las competencias matemáticas Representar, Plantear y Resolver problemas, Modelizar, Comunicar y, Pensar y Razonar. Todo el proceso de caracterización de las competencias matemáticas del estudiante y la valoración de la calidad de su actividad matemática de aprendizaje, se presentarán en el siguiente capítulo. Para llegar a esta caracterización que implicó intervención didáctica en el aula, se hizo necesario formular “una estructura o estrategia articuladora…” (Solar, 2009, p. 55) como asume Solar el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que propone. Es necesario precisar que nuestra investigación, apoyada en el MCM de Solar, asume como foco para formular este modelo, la actividad matemática de aprendizaje, no la enseñanza como lo hace el Dr. Solar en su tesis Doctoral ya citada. Eso implica que el MCM, además de articular las expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivos) con las expectativas de aprendizaje a largo plazo (competencias), como lo plantea el autor (2009, p. 55), debe, en nuestra investigación, situarse en el marco de este tercer problema: ¿Cómo articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? Es decir, no se trata solamente de articular los componentes de la competencia matemática, sino también, de articular estos con la actividad matemática de

43

Varios Autores

aprendizaje. Por ello, esta actividad matemática se incorpora como un elemento del modelo de competencia matemática centrado en el aprendizaje y como tal, se incorpora al proceso de caracterización de las competencias del estudiante. Asumir como centro la actividad matemática del estudiante, favoreció nuestra articulación con el grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT) del Dr. Solar quienes asumen como foco de investigación la actividad del profesor (enseñanza) y lo curricular. Esta relación académica nos ha permitido avanzar en intercambios científicos y de producción intelectual conjunta. Abordados, entonces, los tres problemas que orientaron el proceso de conceptualización sobre el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante, es posible plantear ahora el proceso que nos aproximó a la concepción, formulación e implementación de nuestro Modelo Teórico a priori (MTAP) para caracterizar las competencias matemáticas arriba enunciadas. Ese es nuestro próximo problema. MODELO TEÓRICO A PRIORI PARA CARACTERIZAR LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL ESTUDIANTE

¿Qué se asumió por Modelo? ¿Por qué a priori? Fueron los interrogantes que primero abordó la investigación. De la definición que hace el diccionario de la Academia de la lengua española nos interesó la característica de esquema teórico que se elabora para facilitar la comprensión, estudio y comportamiento de un sistema o de una realidad compleja. En nuestro caso, esta complejidad es el proceso de caracterización del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Este esquema teórico es una abstracción, es un constructo que se usará como dispositivo didáctico para hacer esta caracterización. Puig (2006), plantea la necesidad de construir un Modelo Teórico Local (MTL) para la organización de una investigación y de sus resultados. Este MTL debe dar cuenta de los fenómenos producidos en el proceso didáctico, debe abordar unos contenidos matemáticos concretos con un grupo específico de estudiantes; por ello su carácter local. Este tipo de modelos tienen por finalidad ayudar a describir, analizar y explicar los aspectos centrales del proceso didáctico; son un apoyo esencial a la hora de concluir sobre los resultados de la investigación. En todo caso, este tipo de modelos debe involucrar los elementos del triángulo didáctico: profesor, estudiante y el saber matemático. El MTL tiene un fuerte componente comunicativo que contribuye en la construcción de sentido de las situaciones matemáticas desarrolladas; este sentido se genera a partir de cuatro componentes: el de competencia, de actuación, de enseñanza y, de comunicación. Como puede entenderse, todos son componentes inherentes a un proceso de desarrollo de competencias matemáticas. 44

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

En nuestra investigación, el Modelo Teórico a priori (MTAP) se asume como una estructura para organizar, describir y explicar los aspectos de la competencia matemática a caracterizar; por ello su finalidad es contribuir a analizar y explicar de manera coherente y progresiva todo el proceso de movilización de las competencias matemáticas cuando el estudiante resuelve tareas y desarrolla procesos matemáticos de complejidad creciente. Su carácter de “a priori” se explica en el modelo porque sus diferentes componentes fueron concebidos y asumidos como parte del modelo y de la propuesta, previo al proceso de caracterización en el trabajo de aula. La finalidad del MTAP se focalizó en articular los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje. Es decir, el MTAP contribuyó a caracterizar el proceso de articulación de las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante. Ello significa que el proceso de desarrollo de competencias matemáticas del estudiante se describe, explica y caracteriza a partir de: • La naturaleza de las tareas matemáticas que, como ya se planteó, están vinculadas a un contenido matemático. Son formuladas y propuestas por el profesor y se asocian a expectativas de aprendizaje a corto plazo, en este caso, sus objetivos específicos. • Los procesos matemáticos que conforman cada una de las competencias. Estos procesos deben ser especificados en el modelo y en el instrumento que organiza la secuencia didáctica. En el capítulo siguiente, se evidenciarán los procesos matemáticos seleccionados por los participantes para cada competencia a caracterizar. • Los niveles de complejidad. Además de ser un componente específico de la competencia, es también un elemento que debe estar presente en el instrumento que organiza el proceso didáctico. En el aspecto cognitivo de la competencia, se asumieron los niveles de complejidad de Reproducción, Conexión y Reflexión, asumidos por las pruebas PISA. • La actividad matemática de aprendizaje es el elemento del modelo que posibilita la valoración y caracterización del proceso de desarrollo de las competencias matemáticas. Cuando el estudiante resuelve tareas cada vez más complejas, su actividad matemática evidencia el desarrollo de procesos matemáticos complejos que se expresan como pensar, razonar, argumentar, calcular, demostrar, graficar, representar, matematizar, modelizar, entre otros. En este desarrollo el estudiante evidencia el despliegue de capacidades, habilidades, sentimientos, voluntad y disposición de hacer uso social de sus competencias matemáticas. Es este complejo proceso lo que demostrará la calidad de su actividad matemática y, por tanto, el logro de

45

Varios Autores

las expectativas de aprendizaje a corto plazo expresadas en los objetivos planteados para la actividad. El avance en el logro de estos objetivos, que bien pueden estar representados en los objetivos de la tarea, de la unidad temática, del período o, incluso, del curso escolar, es lo que va a determinar el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante; estas, como expectativas de aprendizaje a largo plazo, requieren de procesos evaluativos más prolongados e integrales dada la complejidad de los aspectos que se asumen como objeto de evaluación: cognitivos, afectivos, volitivos, metacognitivos, de uso, etc. Con estos argumentos se llega a la figura 5 que sintetiza los elementos del MTAP para la caracterización de las competencias matemáticas del estudiante.

Figura 5. Propuesta de elementos del modelo teórico a priori para la caracterización de competencias matemáticas en el estudiante.

La figura 5 no debe leerse como si se estuviese planteando un nuevo modelo de competencia matemática. Como su nombre lo indica, se está formulando un esquema, una estructura para organizar los elementos del MTAP que se aplicará para caracterizar las competencias matemáticas del estudiante, en ese sentido, sus componentes involucran todos los componentes de las competencias matemáticas propuestos por Solar (2009) ya tratados y, además, se incorporan tres elementos adicionales: Actividad matemática de aprendizaje, Objetivos (expectativas de aprendizaje a corto plazo) y Formas de evaluación. Estos tres elementos son consustanciales con las características como se concibió el modelo: focalizado en 46

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

la actividad matemática de aprendizaje. Puede apreciarse que el modelo de competencia matemática propuesto por Solar es la base para construir nuestro modelo teórico a priori. Se argumenta en forma breve sobre ello: La valoración de la actividad matemática de aprendizaje. Este es, sin duda, el aspecto más complejo, la evaluación. La complejidad radica esencialmente en: a) La concepción y estructura de las competencias matemáticas. Como ya se planteó, los aspectos cognitivos, volitivos, metacognitivos, actitudinales y de uso social de la competencia, deben ser asumidos como objetos de evaluación. b) El tipo o los tipos de evaluación que se deben implementar. Una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas no agota su perspectiva de evaluación en la clásica heteroevaluación del profesor, centrada en lo cognitivo. Por ello, se abordó este problema desde dos perspectivas: • La evaluación de lo cognitivo, focalizada en los niveles de complejidad propuestos por Niss (2002) y aplicados por la OCDE en las pruebas PISA (2006). No obstante, se reitera que nuestra investigación toma distancia de las pruebas masivas, por tanto, no se hará “clasificación” del estudiante. Se optó por la interacción en el aula y, en lo cognitivo, se priorizó la caracterización del nivel de complejidad de la competencia y de la calidad de la actividad matemática de aprendizaje del estudiante como participante. Se eligió el siguiente instrumento como apoyo al proceso (Mora y Rosich, 2010):

Competencias

Objetivos

Actividad

Tipo de respuesta (reproducción)

Según la solución (conexión)

Estrategias de solución(Reflexión)

• La evaluación de los aspectos afectivos, metacognitivos, volitivos, y de uso social de la competencia, se apoya en el enfoque socioformativo de Tobón (2010) y en su propuesta de secuencia didáctica. Igualmente, de este autor adaptamos su propuesta de instrumento siguiente:

47

Varios Autores Actividades Actividad del docente

Evaluación de lo volitivo, afectivo, actitudinal y de uso social de la competencia Actividad matemática de aprendizaje

Objetivos

Criterios

Indicadores

Metacognición Autorregulación (planifica, controla, evalúa, autoevalúa, coevalúa)

Entonces, las formas de evaluación asumidas comprenden procesos de autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación. Estas formas permiten que el estudiante ejerza la autocrítica (autoevaluación) de su actividad matemática y de la calidad de sus procesos; que valore la calidad de los procesos de sus compañeros y el rol del profesor (coevaluación); además, que su actividad matemática sea objeto de valoración (heteroevaluación) y se haga en la clase la evaluación de la evaluación que hacen de todo el proceso los participantes (metaevaluación). Entonces, la caracterización de las competencias matemáticas del estudiante asumió dos perspectivas absolutamente complementarias y articuladas: la evaluación de los aspectos cognitivos de la competencia y, la evaluación de los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos de la misma. La valoración y caracterización del aspecto cognitivo se focalizó en la complejidad de las tareas y de los procesos matemáticos requeridos por el estudiante para resolverla. Entonces, la actividad matemática del estudiante tendrá un mayor o menor nivel de complejidad, según sean las tareas y los procesos matemáticos que deba desarrollar. En este componente de la competencia asumimos los niveles de complejidad de la competencia adoptados en PISA (2003): reproducción, conexión y reflexión. Estos niveles han sido asumidos por nuestra investigación, de la mano de Rico y Lupiañez (2008), PISA (2003, 2004), (Mora y Rosich, 2011) y Solar (2009) de la siguiente manera: • Reproducción: en este nivel la expectativa de aprendizaje se focaliza en reproducir un determinado procedimiento rutinario (único) sin necesidad de relacionar datos; requiere el conocimiento de hechos, representación de problemas comunes, reconocimiento de propiedades y objetos matemáticos familiares, aplicación de algoritmos y realización de cálculos habituales. Es el nivel mínimo, se relaciona con el tipo de respuesta. • Conexión: este nivel se relaciona con el tipo de solución que el estudiante da a la tarea. Se apoya sobre las capacidades requeridas en el nivel de reproducción. Si el estudiante interpreta la información, identifica los elementos y conceptos matemáticos que se requieren para resolver el problema, propone más de una solución, articula procesos que orientan hacia la respuesta, utiliza más de una representación semiótica del objeto matemático y hace conexión de procesos cada vez menos rutinarios, sin dejar 48

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

de ser familiares, su actividad matemática de aprendizaje caracteriza su desempeño y actuación en el grupo de conexión. • Reflexión: este nivel se relaciona con el tipo de estrategias de solución que el estudiante utiliza, los procesos que emplea para resolver el problema. El estudiante propone nuevas estrategias de solución y las aplica en escenarios más complejos y nuevos, explora nuevas vías de trabajo, emplea la heurística y comunica en forma verbal y escrita sus argumentos matemáticos. Este nivel implica producción y utilización del pensamiento creativo para resolver el problema (Goñí, 2008, p. 133). Las competencias que se caracterizaron en esta investigación y que se presentan en el próximo capítulo, han sido valoradas con estos niveles de complejidad en el aspecto cognitivo. La valoración de los aspectos afectivos, metacognitivos y de tendencia de acción de las competencias matemáticas caracterizadas se focalizó en los siguientes elementos de cada uno de los aspectos asumidos como se explica a continuación: El afectivo: disposición, voluntad, deseo de usar la competencia La tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (D’Amore, 2008) Lo metacognitivo: lo esencial es promover en el estudiante su capacidad de autorregulación, de planificar, monitorear, controlar, evaluar, autoevaluar y coevaluar la calidad de su actividad matemática de aprendizaje, la de sus compañeros y la calidad de las prácticas de enseñanza del profesor para el desarrollo de competencias matemáticas. Este proceso se orientó desde el enfoque Socioformativo de Tobón, Pimienta y García (2010). Igualmente, en el próximo capítulo se presenta la caracterización de las competencias en el marco de estos aspectos y se mostrará cómo se articula y complementa con la valoración y la caracterización del aspecto cognitivo. Todos los argumentos anteriores respecto a la valoración y caracterización de las competencias matemáticas del estudiante, ratifican la perspectiva asumida sobre el tipo de evaluación que postulamos en nuestra investigación: no se evalúa al estudiante, ni se clasifica según sus resultados; no se agota en el aspecto cognitivo de la competencia, ni es el factor prioritario, es uno de ellos. Se evalúa la calidad de su actividad matemática de aprendizaje, sus actuaciones y desempeños integrales con la competencia, la calidad de su comunicación y su discurso como participante en la clase como comunidad de aprendizaje. Es por ello que se trata de un proceso complejo, prolongado y que requiere formación y competencia del maestro de matemáticas. Su carácter integral, su articulación con la disciplina matemática, el aprendizaje y el uso social de la competencia, aporta elementos para construir una nueva perspectiva didáctica en el desarrollo de competencias matemáticas.

49

Varios Autores

Como nuestra línea de investigación (Competencias matemáticas), se inscribe en el campo de problemas propios de la Educación Matemática, conviene precisar que el desarrollo de las competencias matemáticas asumidas como objetos de investigación, se articuló a objetos matemáticos específicos, entendidos como elementos de la base disciplinar de las competencias; objetos que se abordan en las tareas matemáticas que el profesor diseña y propone a los estudiantes. En este sentido, estos objetos matemáticos requieren de una construcción de significado que trascienda el concepto tradicional de contenidos en las matemáticas escolares, y que se articule a la dimensión sociocultural de las competencias matemáticas que el grupo de investigación ha asumido. Este aspecto lo trataremos a continuación. SIGNIFICADO PARA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Para Luis Rico (2012), la educación matemática tiene tres ámbitos de actuación; en estos ámbitos se asumen sus tres significados: Un primer significado es curricular. El sentido de este significado viene dado por la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de la calidad de ese proceso en las matemáticas escolarizadas. En un proceso de enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas, el significado curricular es esencial para el profesor de matemáticas. Además de su formación en la disciplina matemática que enseña, debe comprender la ruptura con la visión tradicional del currículo escolar que asume los procesos matemáticos como subalternos de los contenidos. Un enfoque por competencias, asume en lo curricular que los procesos matemáticos son la base para el desarrollo de las competencias del estudiante y, por tanto, la importancia del contenido se asocia ahora a los procesos matemáticos que contribuya a desarrollar según el nivel de complejidad de esos contenidos. Es una concepción curricular radicalmente diferente a la que se ha venido desarrollando en el currículo escolar de matemáticas en Colombia, por ello requiere ser muy bien estudiada, comprendida y aplicada por el profesor de matemáticas en ejercicio y en formación. Esta es una responsabilidad que también les compete al MEN y a las Secretarías de Educación, especialmente, al diseñar y aplicar políticas de formación y actualización del maestro en ejercicio. Un segundo significado es profesional, “cuyo sentido lo establecen los contextos de formación, preparación, actuación y desarrollo de los profesionales que asumen intencionalmente los procesos de enseñanza y aprendizaje” (Kilpatrick, 2009. Citado por Rico, 2012, p. 51). Este significado hace referencia a la formación de docentes de matemáticas, tanto en servicio, como los de formación inicial en la universidad.

50

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Como nuestra investigación se desarrolla en el nivel de educación básica y media, nos interesa más la formación continuada del profesor de matemáticas en ejercicio. En principio nos interesó saber (ver García, 2012): …cómo asumen el concepto de competencia, de competencias matemáticas, cuáles de ellas están trabajando en clase, cómo las evalúan, qué apoyos han recibido de la institución y de las Secretarías de Educación y cuáles son sus referentes bibliográficos, entre otros aspectos. (García, 2012, p. 85)

Se encontró que una de las principales limitaciones para promover y consolidar una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas es el conocimiento y comprensión incipiente del docente de este nuevo enfoque, la ausencia de una concepción de competencias matemáticas convergente en una misma institución y que se asuma como significado personal del profesor. Ello implica que tampoco haya significados institucionales al respecto. Además de otros problemas, estas limitaciones del docente afectan directamente la calidad de la actividad matemática de aprendizaje y la calidad de la evaluación del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Respecto a la evaluación se encontró que …los profesores argumentaron más sobre el qué evaluar pero no fueron muy explícitos en el cómo evaluar el desarrollo de las competencias matemáticas. Esto podría explicarse, de un lado, en lo relativamente nuevo (más aún en el país) del problema de evaluación de competencias matemáticas además de su complejidad teórica y metodológica y, de otro, en la ausencia de una discusión colectiva sobre los componentes de la competencia matemática y de la relación estrecha entre ellos” (p.107).

Uno de los propósitos de este libro, como otro resultado de la primera fase de la investigación, es aportar orientaciones didácticas y curriculares para los docentes en el complejo proceso de desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Somos conscientes que sin un profesor con buena formación y buen apoyo institucional, no es posible transformar la calidad de las prácticas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ni ningún tipo de reforma que mejore la calidad de la educación matemática en el país. Un tercer significado es investigador, que, a nuestro juicio, es el significado que debe iluminar todos los desarrollos de la educación matemática. Desde la investigación se construye nueva teoría, nuevas perspectivas didácticas y curriculares para la educación matemática, la formación de maestros y, por tanto, para mejorar las prácticas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolarizadas. En nuestro caso, el significado investigador de la educación matemática asume como problemas de investigación el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante, la naturaleza y estructura de estas competencias, la articulación de sus componentes con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, la

51

Varios Autores

naturaleza compleja de su evaluación, entre otros aspectos esenciales frente a los cuales este libro aporta una alternativa didáctica específica. En el marco de estos significados para Educación Matemática (Rico, 2012) instala el significado de un concepto matemático. Primero, asume de Frege (1998), la diferencia entre signo y significado de un término y, dentro del significado, distingue entre sentido y referencia de un mismo término. Citando a Frege explica cómo la referencia de un enunciado es su veracidad o falsedad y su sentido es el pensamiento que se expresa. La búsqueda de la verdad es la que incita a avanzar del sentido a la referencia. El valor veritativo de un enunciado es su referencia. Cada enunciado asertivo, en el que tengan importancia las referencias de las palabras, debe ser considerado, pues, como un nombre propio y su referencia, caso de que exista, es bien lo verdadero o bien lo falso (Ibid, p. 93).

Apoyado en esta concepción de significado, Rico plantea, entonces, que el triángulo semántico viene dado por el signo o término con el que se expresa, por su referencia o concepto propiamente como tal y por su sentido o modo en que vienen dados los objetos que caen bajo el concepto. Signo

Objeto

Concepto

Figura 6. Triángulo semántico (Rico, 2012, p. 52)

El interés investigativo del autor por el significado se instala en la matemática escolar, ello le permite adoptar estas ideas de Frege para proponer que el significado de un concepto matemático, en el ámbito educativo, debe construirse atendiendo a tres dimensiones: los sistemas de representación, la estructura conceptual y la fenomenología.

52

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje Sistema de Representación

Estructura conceptual

Fenomenología

Figura 7. Triángulo semántico de un objeto matemático (Rico, 2012, p. 52)

En nuestra investigación se asumió también que construir el significado de un objeto matemático es desarrollar su fenomenología, sus sistemas de representación y su estructura conceptual. Entonces, a cada competencia matemática investigada se asoció un objeto matemático específico y se desarrolló cada uno de estos tres elementos de su significado: Los sistemas de representación, definidos por los conjuntos de signos, gráficos y reglas que hacen presente dicho concepto y lo relacionan con otros. La estructura conceptual, que comprende conceptos y propiedades, los argumentos y proposiciones que se derivan y sus criterios de veracidad. La fenomenología, que incluye aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que están en el origen del concepto y le dan sentido. (Rico, 2012, p. 53) Para una mayor explicación el lector encontrará en el próximo capítulo los siguientes objetos matemáticos asociados a las respectivas competencias matemáticas: Función lineal, asociada a la Competencia matemática Representar Función cuadrática, asociada a la competencia matemática Modelizar Triángulos, asociados a la competencia matemática Comunicar Circunferencia, asociada a la competencia matemática Comunicar Mediana, asociada a la competencia matemática Plantear y Resolver problemas y La Razón y la Proporción, asociadas a la competencia matemática Pensar y Razonar. Este fue el camino teórico que se siguió para construir el significado de los objetos matemáticos, ello permitió contribuir a formular unas tareas matemáticas en forma de problemas contextualizados y significativos para los estudiantes, en el marco de la postura sociocultural que se asumió en la investigación para el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante. 53

CAPÍTULO II CARACTERIZACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL ESTUDIANTE COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL

COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL “No es posible estudiar los fenómenos relativos al conocimiento sin recurrir, a la noción de representación”. Duval (1999).

Representar y su efecto o resultado, la representación – asociado a la función lineal – visto desde la perspectiva de las competencias matemáticas, constituyen la esencia de la competencia matemática representar y del presente capítulo. Este capítulo tiene como propósito contribuir al conocimiento de las competencias matemáticas en general y de la competencia matemática Representar (CMR) en particular, de ella se hará su caracterización para promover su desarrollo en el ámbito escolar. Al respecto Solar (2009), manifiesta que existe al interior del profesorado una sensación de carencia de herramientas que contribuyan a impulsar el desarrollo de las competencias en el aula y que sorprende la amplia diferencia a favor de las innovaciones sobre competencias matemáticas, al compararlas con las investigaciones empíricas que desde la mirada de la didáctica se han realizado. El aporte anunciado se realiza a partir de resultados de investigación relacionados con la caracterización de la CMR, en este caso, asociada a la función lineal, realizada como parte del macroproyecto de investigación “Desarrollo de competencias matemáticas en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá”, que adelanta el grupo de investigación Desarrollo Institucional Integrado, de la Universidad de la Amazonia. Si la cultura es considerada un sistema de signos, Eco (1973, citado por D`Amore, 2006), y la producción de estos nacen con el hombre y su uso es determinante en el desarrollo de su naturaleza social, entonces, las matemáticas son un lenguaje y, como tal, inciden de manera directa en su enseñanza y aprendizaje. El presente capítulo se inicia con una presentación de las funciones de los sistemas semióticos de representación. Para ello se toman como base los pla-

Varios Autores

neamientos de Raymond Duval y su libro “Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales” traducido al español en 1999. Seguidamente, a partir de los referentes conceptuales asumidos por los autores de la investigación se aborda la CMR, se describe el modelo teórico a priori (MTA) construido, se presentan los resultados obtenidos al aplicar el modelo y se precisan las conclusiones. LOS SISTEMAS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN De la expresión a la objetivación.

Para Aristóteles, el ser humano es un ser social por naturaleza, tiene el deseo de saber y la capacidad de aprender. Ello indica que la disposición del ser humano a vivir en sociedad no es circunstancial ni depende de su devenir histórico o económico, sino de algo profundo y fundamental como es la esencia humana. El hombre para realizarse como tal en la búsqueda de la perfección, y por tanto, de aprender necesita de la sociedad. Lo anterior implica la necesidad en el ser humano de comunicar o expresar sus ideas, su pensamiento y sus conceptos; en consecuencia, el hombre requiere indiscutiblemente de notaciones, símbolos, graficas, signos, figuras y expresiones usuales; que en el caso de las Matemáticas, y según Sierra, Gonzáles y López (1998), conforman un conjunto de signos, símbolos y reglas que se usan para expresar o representar una estructura matemática, y que ha recibido distintas denominaciones en la Educación Matemática: Skemp (1980) utiliza simplemente el término símbolos, Kieran y Filloy (1989) enfatizan el carácter sistémico de este conjunto y lo denominan sistemas matemáticos de signos, Kaput (1992) se refiere a él como sistemas de notación, Duval (1993) se centra en los aspectos lingüísticos hablando de sistemas semióticos y más recientemente Castro y otros (1997) lo generalizan mediante la expresión sistemas de representación (p. 91).

Duval (1999), plantea que el aprendizaje de las Matemáticas es algo particular que requiere el uso de sistemas de expresión y de representación (distintos a los del lenguaje natural o de las imágenes), como son los distintos sistemas de escritura para los conjuntos de números, las notaciones de los objetos matemáticos a través símbolos,las escrituras algebraica y lógica, que facilitan la presentación, entre otras, la presentación de las relaciones y las operaciones, las figuras geométricas, los gráficos cartesianos, las redes, los diagramas y los esquemas. Para Duval (1999), las representaciones semióticas son el medio de que dispone el ser humano para hacer visibles sus representaciones mentales; de esta manera, las representaciones semióticas cumplen la función de comunicación o expresión. 58

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

De manera complementaria, Duval argumenta que las representaciones semióticas estructuran un sistema con base en tres actividades cognitivas propias a toda representación: • forman un conjunto de marcas perceptibles, que son la representación de alguna cosa de acuerdo al sistema al que pertenece, (formación). Ejemplo y = 2x Registro algebraico. • se transforman en otras representaciones al interior de un sistema de acuerdo con las reglas propias del sistema, (tratamiento). Ejemplo y = 2x y – 2x = 0 • se transforman en representaciones en otro sistema, (conversión).

Ejemplo y = 2x Registro Algebraico

Registro Gráfico

También plantea que las representaciones pueden ser internas, externas, conscientes y no conscientes. En este caso, nos focalizamos en las representaciones externas y conscientes, es decir, en las representaciones semióticas que, como tales y como componentes de un sistema, cumplen con las funciones de expresión, transformación de la información y de objetivación o toma de conciencia. La función de expresión facilita al ser humano, como se manifestó anteriormente, comunicar, mostrar, presentar sus ideas, pensamiento o conceptos. En el caso del objeto matemático función lineal, hace posible expresar su concepto o idea en diferentes sistemas de representación, ya que los sistemas semióticos constituyen la manifestación más tangible de los conceptos, posibilitan el acceso a los objetos matemáticos, pues, no se dispone de objetos reales (o cosas) para mostrar en su lugar. En lo que concierne a la función lineal, esta se puede presentar mediante registros de representación algebraica, gráfica o tabular.

59

Varios Autores

Ejemplo

Registro gráfico

y = 2x Registro algebraico

X

Y

0

0

2

4

4

8

Registro Tabular Para el sujeto, la representación funciona como tal (le permite el acceso al objeto representado), si dispone mínimo de dos sistemas semióticos distintos para producir la representación de un mismo objeto, y si las representaciones producidas las convierte de un sistema semiótico a otro sin notarlo, es decir si realiza conversiones espontáneamente. Sobre la necesidad de varios sistemas de representación en el aprendizaje de las matemáticas, Duval puntualiza que no puede haber comprensión matemática si no se establecen diferencias entre un objeto y su representación; es de suma importancia entonces, no confundir los objetos matemáticos: funciones, números, figuras geométricas, etc., con sus representaciones: símbolos, los gráficos o las escrituras. De igual manera sostiene que toda confusión entre el objeto y su representación reduce la comprensión, y recuerda que un mismo objeto acepta diferentes representaciones aumentando las capacidades cognitivas y en consecuencias sus representaciones mentales, que jamás, pueden considerarse separadamente de las representaciones semióticas. La segunda función o actividad de transformación de la información, si se da al interior de un mismo sistema semiótico de representación se denomina tratamiento, y si se produce entre diferentes sistemas semióticos de representación se denomina conversión. En ambos casos la nueva representación conserva parcial o totalmente el contenido de la representación semiótica inicial, esto hace que de acuerdo con el sistema semiótico de representación utilizado, se hagan notables algunos aspectos del contenido y se oculten otros. De ahí que en un solo sistema

60

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

de representación resulta imposible observar todos los aspectos de un contenido u objeto matemático. Siguiendo a Duval, en términos generales, en la descripción de los procedimientos y todo cuanto hace el estudiante para llegar al resultado, es decir sus estrategias de respuesta, no se realiza la distinción entre las actividades de tratamiento y conversión de representaciones, se reduce a un tratamiento común, transformar las representaciones dadas. Frege (1971, citado por Duval, 1999) fue el primero en estudiar las transformaciones al interior de un registro de representación. Como ejemplos de tratamientos se tiene el cálculo, la paráfrasis y la anamorfosis, es decir, transformaciones que se presentan dentro de los sistemas semióticos simbólicos de cifras o de letras, de la lengua natural y de las figuras respectivamente. En general el tratamiento es una actividad de transformación que genera una expansión de la información. La conversión es una transformación de una representación dada en un registro, en otra representación en un registro diferente, que conserva parte del significado de la representación inicial pero al mismo tiempo da otras significaciones al objeto representado. Esta condición hace que la conversión sea una transformación externa al registro de partida En la actividad matemática de manera frecuente se movilizan distintos sistemas semióticos de representación y se realiza el paso de un sistema de representación a otro distinto al de partida; esto, para nada es evidente y espontáneo, para un alto porcentaje de estudiantes es una operación difícil e imposible para algunos; entre otras razones, porque se les dificulta identificar un mismo objeto matemático en diferentes sistemas semióticos. El paso en comento se realiza de manera espontánea cuando hay congruencia entre las representaciones, o sea cuando cumple las siguientes tres condiciones: • Correspondencia semántica entre las unidades significantes que constituyen las representaciones. • Univocidad semántica terminal. • Igual orden posible de aprehensión entre las unidades significantes de las dos representaciones. En consecuencia, una actividad de aprendizaje focalizado en los diferentes sistemas semióticos de representación, utilizando sus propias posibilidades, comparando sus correspondencias y traducciones mutuas, favorece la coordinación entre sistemas semióticos o registros de representación (congruencia entre repre61

Varios Autores

sentaciones de distintitos sistemas semióticos), y por tanto, contribuye al desarrollo de las competencias y los desempeños de los estudiantes. La tercera y última función de las representaciones semióticas, como representaciones externas y conscientes, es la de objetivación o toma de conciencia, la cual se alcanza al pasar de lo no consciente a lo consciente, por tanto, el sujeto descubre por sí mismo aquello de lo que no sospechaba a pesar de haber recibido en muchas ocasiones explicación al respecto. Las representaciones conscientes tienen carácter intencional, por tanto están indiscutiblemente ligadas a la aparición de alguna cosa en la conciencia, preceden lo súbito, espontáneo o deliberado, es decir cumplen con la función de objetivación. Desde lo cognitivo, lo intencional de las representaciones conscientes reconocen el papel preponderante de la significación en la determinación de los objetos que observa el sujeto, pues, a través de ella – la significación – se logra la aprehensión conceptual de un objeto, en este caso de la función lineal. No es posible que el estudiante tome conciencia sin la significación, en otras palabras mirar los objetos matemáticos mediante el uso de puntos, trazos caracteres, sonidos, etc., que tienen el valor de significantes; esta, es una condición necesaria de la objetivación. La función de objetivación junto con la función de expresión producen con frecuencia representaciones semióticas, pero la función de objetivación produce también representaciones internas o mentales, que en muchas ocasiones van acompañadas de representaciones semióticas que no son suficientes, aceptadas o comprensibles desde la función de expresión. Lo contrario no implica que se logre toma de conciencia en el sujeto que las produce, es decir, que las representaciones semióticas producidas satisfactoriamente desde la función de expresión, correspondan a una objetivación del sujeto que las produce, pues con frecuencia este la produce por mera imitación. La objetivación ha generado gran interés en los investigadores en Didáctica de las matemáticas. Radford (2006), en su artículo “ELEMENTOS DE UNA TEORIA CULTURAL DE LA OBJETIVACIÓN”, y que será referente en adelante, plantea que la objetivación es un proceso de adquisición de saber mediante la elaboración activa de significados, lo que implica, toma de conciencia de conceptos culturales y un proceso de formación de las capacidades propias de cada persona. De ahí, que desde esta teoría inspirada en las escuelas antropológicas y socioculturales del conocimientos, el aprendizaje “se trata de dotar de sentido a los objetos conceptuales que encuentra el alumno en su cultura” (p. 113); aprender es un proceso mucho más que apropiarse de algo y asimilarlo, es un proceso en cuyo desarrollo se forman las capacidades de los sujetos. De otra manera, aprender matemáticas es más que hacer en matemáticas, de trata de ser en matemáticas. En consecuencia, es de suma importancia aprender a vivir en el salón de clases como expresión amplia de comunidad, aprender a estar con otros, mantenerse

62

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

dispuesto a comprender otras conciencias y otras voces; en términos puntuales a ser con otros. LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR.

La representación semiótica, está estrechamente ligada a la acción de representar, ya que esta es el efecto o resultado de hacer presente algo con figuras, signos, tablas, símbolos o palabras. En el caso de las matemáticas y de la función lineal, representar es la acción en la que mediante gráficas, expresiones algebraicas, tablas y lenguaje verbal oral entre otros, se presenta la función lineal, el producto o resultado es una representación de la función lineal. El representar ha sido entendido por algunos investigadores como una competencia. Abrantes (2001, citado por Solar, 2009), no conceptúa sobre la competencia representar, pero precisa que, la capacidad de discusión con otros y de comunicar el pensamiento matemático, utilizando el lenguaje escrito y el lenguaje oral, debe ser incluida en la competencia matemática, entendida esta, como la integración de actitudes, habilidades y conocimiento. De igual manera, Niss (2002), tampoco expresa en que consiste la CMR, pero a partir de las ocho competencias matemáticas que propone y lo que argumenta por competencia matemática, se deduce que la CMR está relacionada con la habilidad para manejar símbolos y formalismos matemáticos, y expresión de entidades matemáticas, en situaciones y contextos en los que la representación tiene incidencia. A diferencia de los autores anteriores, OCDE PISA (2006), si conceptúa sobre la CMR, plantea que esta se relaciona con la capacidad de descodificar, codificar, traducir, interpretar y distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones matemáticas; las interrelaciones que existen entre las diversas representaciones; y la elección y alternancia entre distintos tipos de representación según las situaciones y objetivo (p. 102).

Sánchez y Martínez (2013), en su investigación “Una caracterización de la CMR. El caso de la función lineal”, realizada en el marco del macroproyecto de investigación Formación y desarrollo de competencias matemáticas, que realiza el grupo de investigación Desarrollo institucional integrado de la Universidad de la Amazonia, adoptan los aspectos asociados a la competencia (cognitivo, afectivo y tendencias de acción) presentados por D´Amore, Fandiño y Godino (2008), y asumen la CMR como La movilización que efectúan los estudiantes de sus aspectos cognitivos, afectivos y tendencias de acción, con el fin de participar en la solución de problemas asociados a la función lineal y que necesitan de procesos de codificación, descodificación y traducción. (p. 34)

63

Varios Autores

Esta postura la utilizan de base y construyen un modelo teórico a priori de competencia matemática para caracterizar la competencia matemática representar asociada al objeto matemático función lineal. EL MODELO TEÓRICO A PRIORI.

La literatura al respecto nos muestra diferentes acepciones sobre modelo. En el Diccionario de la Real Academia Española, RAE, se halla el modelo como esquema teórico de un sistema o de una realidad compleja, que se construye con fin de facilitar la comprensión y el estudio de su comportamiento. En otros diccionarios se encuentra modelo como ente que de manera precisa representa algo que ya existe o se va a realizar. También se encuentra que el modelo es: una forma de representar un objeto real que mediante la abstracción el hombre concibe para satisfacer sus necesidades de conocimiento; un medio de pensamiento científico; una forma partícular, diferente de abstracción de la realidad; un instrumento de que contribuye a la actividad investigativa que puede ser de carácter teórico y es creado para reproducir el fenómeno en estudio; una reproducción simplificada de la realidad, que cumple una función heurística, ya que permite descubrir y estudiar nuevas relaciones y cualidades del objeto de estudio; y una construcción teórica que como herramienta conceptual posibilita la comprensión de un evento Chacín (2008), coincide con la RAE en cuanto al fin del modelo pero lo denomina espacio conceptual. Expresa que de la realidad compleja toma los elementos más representativos, establece relaciones entre ellos y enfatiza en los aportes a la investigación y los nuevos conocimientos que se producen cuando este se lleva a la práctica. Becerra (2003), sobre modelo teórico, (MT), expresa que “es el producto de un proceso de modelización del objeto de investigación, y por lo tanto, un experimento mental” (p.1). En este sentido Otálvarez (2011), hace un llamado a reconocer que el modelo teórico como proceso complejo de abstracción para su generalización y concreción, debe estar ligado con conocimientos teóricos y prácticos, contar con información correspondiente y necesaria, para dar cuenta con precisión del proceso y objeto investigado. En el campo de la Educación matemática, varios profesionales han utilizado los modelos teóricos a priori (MTA) para realizar sus investigaciones. Por ejemplo, Font, Planas y Godino (2009), en su artículo “modelo para el análisis didáctico en educación matemática”, socializan los avances sobre un modelo construido para analizar los procesos didácticos de las matemáticas y que les permitió realizar la descripción, explicación y valoración de episodios en la clase de matemáticas. Puig (2008), en su publicación: “sentido y elaboración del componente de competencia de los modelos teóricos locales en la investigación de la 64

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos específicos”, a partir de los planteamientos de Filloy (1984) y Rojano (1985), afirma que para organizar la investigación y los resultados se debe construir un Modelo Teórico Local (MTL), ya que es una necesidad dar cuenta de los fenómenos que se producen en el proceso didáctico, con unos contenidos matemáticos específicos y unos estudiantes de un nivel determinado, de ahí, su carácter local. Establece diferencias con el modelo en general al precisar que el término modelo se caracteriza por analizar los fenómenos de tipo descriptivo, explicativo y predictivo de la investigación, teniendo en cuenta que las situaciones presentadas en el proceso de enseñanza y aprendizaje también se pueden analizar desde cualquier otro modelo acompañado desde su respectiva teoría. En los MTL para que las situaciones se consideren de comunicación y sentido hay que tener en cuenta los tres actores involucrados en su construcción: el profesor, el alumno y las matemáticas; y los cuatro componentes del modelo: un componente de competencia, un componente de actuación (o de los procesos cognitivos), un componente de enseñanza y un componente de comunicación. Solar (2009), en su tesis doctoral, competencia de modelización y argumentación en interpretación de gráficas funcionales: propuesta de un modelo de competencia aplicado a un estudio de caso, asumió el modelo como una estructura que liga las expectativas de aprendizaje, es decir los objetivos específicos, con las competencias. Esta postura le posibilitó la construcción, aplicación y caracterización de un modelo de enseñanza por competencias para octavo básico. Este modelo compuesto por tres componentes: un contenido matemático en términos de tareas, procesos organizadores del currículo en términos de competencias específicas, y el progreso de la competencia en términos de niveles de complejidad; es considerado un aporte significativo al desarrollo de competencias matemáticas por su aplicabilidad en el aula y al análisis de una unidad didáctica. Con los planteamientos anteriores como base, el MTA construido se entiende como una herramienta o instrumento que facilita la comprensión o descripción de una determinada situación o fenómeno, en este caso, contribuye a la caracterización de la CMR articulada a la función lineal como objeto de matemático. En concordancia con Chacín (2008), los componentes del MTA en comento, corresponden a los elementos más representativos de una realidad que es compleja, en este caso la CMR, que de acuerdo con D´Amore, Fandiño y Godino (2008), y Solar (2009), presenta los siguientes elementos representativos: • Los aspectos asociados a la competencia matemática. • Los procesos asociados a los aspectos de la CMR. • Las situaciones problémicas o tareas que involucren aspectos sustanciales de la función lineal. • Los niveles de complejidad de las tareas o situaciones problémicas.

65

Varios Autores

Los anteriores componentes del MTA se ampliarán, profundizarán y describirán en la medida que avance el texto hasta lograr una esquematización del modelo. ASPECTOS ASOCIADOS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR. CONCEPTO BASE DE COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR

Movilización que realizan los estudiantes de sus aspectos cognitivos, afectivos y tendencia de acción, para participar en la solución de problemas que requieren procesos de codificación, descodificación y traducción, asociados a la función lineal. ASPECTOS ASOCIADOS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR

COGNITIVO

AFECTIVO

TENDENCIA DE ACCIÓN

Figura 8. Aspectos asociados a la competencia matemática en el MTA

Los aspectos asociados a la competencia matemáticas como son: el cognitivo: conocimiento de la disciplina; el afectivo: disposición, voluntad, deseo de dar respuesta a un requerimiento (interno o externo); y la tendencia de acción: persistencia, continuidad y dedicación, son tomados de D´Amore, Godino y Fandiño (2008), y adaptados a la CMR. El aspecto cognitivo. En el aspecto cognitivo, centran la atención en el conocimiento de objeto matemático función lineal, por tanto, recurren a los siguientes tres componentes que según Rico (2012) determinan el significado de un concepto. Los sistemas de representación, definidos por los conjuntos de signos, gráficos y reglas que hacen presente dicho concepto y lo relacionan con otros. La estructura conceptual, que comprende conceptos y propiedades, los argumentos y proposiciones que se derivan y sus criterios de veracidad. La fenomenología, que incluye aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que están en el origen del concepto y le dan sentido. (p. 52-53)

En concordancia con lo anteriormente planteado, resulta apenas pertinente abordar de manera sucinta lo concerniente a la estructura conceptual y la fenomenología del objeto matemático función lineal. Sobre el tercer componente, los sistemas de representación lineal, se asume lo planteado al respecto al inicio del presente capítulo anterior, no sin antes manifestar que según D’Amore, (2005):

66

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje La construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad de usar registros de representaciones semióticas de dichos conceptos, de representarlos en un registro dado, de transformar esas representaciones al interior de un mismo registro y de realizar actividades de conversión de uno a otro registro de representación semiótica (p. 33).

Gómez (2007), precisa que la estructura conceptual contiene las relaciones del concepto con otros conceptos, ya sea en la estructura matemática de la que el concepto hace parte o, en la estructura matemática que dicho concepto configura. En consecuencia, la función lineal y sus relaciones con los conceptos de otros objetos matemáticos, configura una de sus estructuras conceptuales; pero a su vez, la función lineal hace parte de las estructuras conceptuales que otros objetos matemáticos configuran, por ejemplo, la estructura conceptual de la proporcionalidad directa. En la estructura conceptual que configura la función lineal, o cualquier otro objeto matemático, las distintas definiciones del concepto constituyen un foco desde el cual pueden evidenciarse relaciones con otros conceptos. En este sentido, en la teoría de las funciones, “una función f lineal se define cuando a todo x se le hace corresponder el mismo x multiplicado por el cociente m” (García, Serrano, y Espitia, 2000, p. 49). En el Algebra Lineal se tiene que una transformación lineal T, es una función definida entre espacios vectoriales V y W, sobre el mismo conjunto de escalares, que cumplen las siguientes propiedades: T(r+s) = T(r) + T(s), para todo r, s de V. Propiedad de aditividad T(kr) = kT (r), para todo r de V y cualquier escalar k. Propiedad de homogeneidad Estas propiedades de linealidad: aditividad y homogeneidad indican que la transformación conserva la adición y la multiplicación, definidas en los números reales como espacio vectorial real, Coronado y Montealegre (2007). Lo anterior implica que de manera gráfica las funciones lineales representan una línea recta que pasa por el origen del plano cartesiano, y que, independientemente de la longitud del segmento tomado para la cantidad de magnitud control y los puntos que lo definen, el cambio en la otra cantidad de magnitud es directamente proporcional a éste; en consecuencia, el cociente entre ellos es constante. Esto quiere decir que en la función lineal se cumple que si se duplica el valor o se reduce a la mitad o se multiplican por n los valores de una variable, la otra variable siente el mismo efecto matemático, por tanto existe un cociente constante entre pares de valores correspondientes, que se pueden representar de la siguiente manera;

67

Varios Autores

La función lineal hace parte de la estructura conceptual que configura la proporcionalidad simple directa, pues, esta se puede representar o modelar por una función lineal, cuando en los patrones de variación entre ambas variables se puede verificar la linealidad de las variaciones, de tal forma que a cada elemento x que pertenece al conjunto A, mediante la función, en este caso f, le corresponde un único elemento y = f(x) de la forma mx, en el conjunto B, en la que m es la llamada constante de proporcionalidad. Además f cumple con las siguientes relaciones: • Relación de orden monótona: Para todo x,y en R, si xa

HERRAMIENTAS CONVENCIONALES

SOFTWARE DE GEOMETRIA DINAMICA

Mapa1. Criterio de trazabilidad de triángulos. Fuente: Cruz (2013)

Clasificación de triángulos: A partir de la longitud de los lados, los triángulos se clasifican en: Escaleno, Isósceles y Equilatero. Un triángulo es Escaleno: cuando la medida de la longitud de dos lados cualesquiera son desiguales; esto trae como consecuencia que las medidas de los tres ángulos internos sean desiguales entre sí. Usualmente se afirma que un triángulo es escaleno cuando sus tres lados son desiguales. 271

Varios Autores

Triángulo Isósceles: Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados de igual medida; el otro lado se reconoce como base del triángulo; trae como consecuencia que los ángulos opuestos a dichos lados son agudos y congruentes. Triángulo Equilátero: un triángulo es equilátero cuando tiene sus tres lados de igual medida; trae como consecuencia que los tres ángulos internos son congruentes; es decir el triángulo es equiángulo; cada ángulo interno mide exactamente 60°. De acuerdo a la medida de la amplitud de los ángulos internos del triángulo, éstos se clasifican en: Obtusángulo, Rectángulo y Acutángulo. Triángulo Obtusángulo: un triángulo es obtusángulo cuando tiene un ángulo obtuso; por consiguiente, los otros dos ángulos son agudos. Triángulo Rectángulo: Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto; al igual que en el obtusángulo, también tiene los otros dos ángulos agudos. Triángulo Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. A constinuación, con base en el mapa se ilustra la esctructura conceptual del objeto matemático triángulo TRIANGULOS se pueden CLASIFICAR según la medida de

ANGULOS

LADOS

ISOSCELES que tienen

2 LADOS DE IGUAL MEDIDA

ESCALENO que tienen 3 LADOS DE DISTINTAS MEDIDAS

EQUILATERO

ACUTANGULO

OBTUSANGULO

RECTANGULO

que tienen

que tienen

que tienen

que tienen

3 LADOS DE IGUAL MEDIDA

3 ANGULOS AGUDOS

1 ANGULO OBTUSO

1 ANGULO RECTO

Mapa 2. Estructura conceptual: Clasificación de triángulos. Fuente: Cruz (2013)

Se pueden combinar las dos clasificaciones para construir triángulos con características específicas, como por ejemplos: triángulo escaleno obtusángulo, escaleno rectángulo, escaleno acutángulo; Isósceles obtusángulo, Isósceles acutángulo, Isósceles rectángulo, como se muestra a continuación.

272

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Triángulo Escaleno - rectángulo

triángulo Escaleno - Obtusángulo

triángulo Escaleno - acutángulo triángulo Isósceles - obtusángulo

triángulo Isósceles - acutángulo triángulo Isósceles - rectángulo

Figura 47. Combinación de las dos clasificaciones del triángulo

Sistemas de Representación: Apoyados en Duval, se trata de asociar dichos conceptos al registro de los sistemas de representación de los triángulos. Para un sujeto una representación funcionará como tal solo si cumple: • Disponer mínimo de dos sistemas semióticos diversos de representación. • Espontáneamente puede convertir de un sistema al otro, casi sin darse cuenta.

273

Varios Autores

• Las representaciones externas son, por naturaleza, representaciones semióticas. Para el caso de los triángulos es notoria la existencia de dos sistemas semióticos de representación: El teórico, en el que el triángulo se nombra usando el símbolo –ícono – ∆ al que se le unen los vértices del mismo, designados con letras mayúsculas y el gráfico; en el que se consideran dos posibilidades: que el triángulo se ubique en el espacio (en este caso a cada vértice se le asigna una letra mayúscula) y el caso de los triángulos ubicados en el plano cartesiano, en él se marcan los vértices asignándoles las coordenadas de los tres puntos correspondientes. SISTEMAS DE REPRESENTACION

VERBAL

GRAFICA

LIBRE

EN PLANO CARTESIANO

Mapa 3. Sistemas de representación de los triángulos. Fuente: Cruz (2013) REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA GRÁFICA

Por ubicación libre y en el espacio: Se traza el triángulo y los vértices se denominan con letras mayúsculas; se puede hacer su representación usando la notación: ΔABC. Igualmente es posible denotarlo como: ΔACB; ΔCBA; ΔCAB; ΔBAC; ΔBCA; que representan el mismo objeto, aunque parten de distintos vértices, lo que podría señalarse como “tratamiento”, habida cuenta que esta transformación genera otra representación en el mismo registro.

Figura 48. Representación semiótica gráfica por ubicación libre y en el espacio

Figura 49: Representación semiótica gráfica usando el sistema de coordenadas del plano Cartesiano.

274

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Por ubicación en el plano cartesiano: El triángulo se traza en el plano cartesiano, a los vértices de los ángulos le corresponden parejas ordenadas de números reales. Este tratamiento permite una aproximación al triángulo desde la Geometría analítica En el caso del triángulo representado en la figura 49 se puede nombrar usando los vértices que corresponden a los puntos donde se ubican estos; para este caso se expresa ∆ (3,4) ;(-5,-2) ;(4,-3), aunque cualquier orden al nombrar los vértices señalará el mismo triángulo (tratamiento). Podría finalmente señalarse que se da la “conversión”, dado que la transformación que se hace al pasar de la notación gráfica a la notación nombrando los vértices genera una representación distinta a la inicial. Fenomenología: La fenomenología de este objeto matemático permite que se trate desde la relación que tiene con: Otros Objetos Matemáticos Círculo, circunferencia, Ángulos, Línea recta En Relación con las Matemáticas Geometría, Trigonometría, Algebra vectorial, Sistemas numéricos, cálculo Desde la Relación con otras Ciencias Pintura, Geodesia, Agrimensura, Astronomía, Física, Óptica, Cartografía, Náutica, Telecomunicaciones En la Cotidianidad Construcción, Deportes, Arquitectura moderna, Diseño, Medios de comunicación

275

AGRIMENSURA ASTRONOMIA

ALGEBRA VECTORIAL SISTEMAS NUMERICOS

ANGULOS

276 Mapa 4. Fenomenología del triángulo. Fuente: Cruz (2013)

TELECOMUNICACIONES

NAUTICA

CARTOGRAFIA

OPTICA

FISICA

GEODESIA

GEOMETRIA

CIRCUNFERENCIA

PINTURA

CON OTRAS CIENCIAS

TRIGONOMETRIA

CON LAS MATEMATICAS

LINEA RECTA

OTROS OBJETOS MATEMATICOS

relacionado con

FENOMENOLOGIA

TRIANGULO

MEDIOS DE COMUNICACION

DISEÑO

ARQUITECTURA

DEPORTES

CONSTRUCCION

EN LA COTIDIANIDAD

Varios Autores

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Teniendo en cuenta que las tareas diseñadas se orientan hacia tratamientos relativos al entorno de los estudiantes o que sean representativos para los mismos y que para la investigación los aspectos que se tienen en cuenta se sintetizan en aplicaciones concretas, la fenomenología para el tratamiento de las tareas planeadas se restringen a La agrimensura: La Agrimensura estudia la medición y división de superficies de terrenos. En este caso se utiliza para la medición de un terreno de cultivo, situación inherente a la fundamentación conceptual de geometría. Las superficies encerradas dentro de los polígonos pueden calcularse: • Por Triangulación del polígono. • Por coordenadas • Mecánicamente (con planímetro) El procedimiento de triangular el polígono sólo se emplea para trabajos de dimensiones reducidas y donde se pueden medir las distancias y formar los triángulos, como en los levantamientos con cinta, exclusivamente. Para el caso del trabajo con los estudiantes de modalidad agroecológica en el manejo de cultivos agrícolas propios de la Amazonía, dos de las tareas planeadas para investigar la caracterización de la competencia matemática comunicar en relación con los triángulos están relacionadas con la medición de un terreno por el denominado modelo de triangulación del polígono irregular. En los Deportes: En los deportes de conjunto, tales como el fútbol y el baloncesto, los diseños estratégicos de ofensiva y defensiva se basan en la ubicación de tres jugadores, los cuales deben desplazarse siguiendo una figura triangular para desarrollar sus objetivos defensivos o de ataque. Una forma estratégica de mantener la posesión del balón, radica en posicionar los jugadores en forma triangular y jugar la esférica rotándosela perimetralmente triangular, teniendo en cuenta que los tres jugadores no siempre son los mismos y que los triángulos se conforman de acuerdo a las posiciones estratégicas que los deportistas mantienen en su sistema de juego y teniendo presente el sitio establecido para mantener la bola. En Baloncesto, la posición de ataque que mantiene el jugador denominado “armador” y los dos “postes” del equipo, siempre debe ser la de un triángulo; entre el armador, que es el vértice más lejano del aro que atacan y los “postes” ocupan las posiciones denominadas poste alto (lejano del aro) y el poste “bajo”, los otros dos vértices. Una posición diferente para estos tres jugadores, en ataque, son expresión de debilidad y un bajo nivel de formación táctica del equipo. Una situación de ataque en superioridad numérica 3 contra 2, los jugadores atacantes se deben colocar en posición de triángulo, con vértice lejano en el armador, para aproximar la superbola al aro contrario. Si uno de los defensas, o

277

Varios Autores

los dos, se decide por una marcación individual, inmediatamente el balón le es entregado al jugador libre quien debe terminar con un ataque de corta distancia. Otra aplicación de los triángulos, que se encuentra en los deportes está en la forma que tienen las pistas sobre las cuales se llevan a cabo las competencias. Para trabajar con los estudiantes se planeó una tarea relativa a una competencia de barcos de vela que deben hacer un recorrido en una pista de forma triangular. Este tipo de pistas se diseña sobre regiones oceánicas en las que los vértices del triángulo se representan con boyas y se obliga a los deportistas a realizar su competencia con vientos en tres direcciones distintas actuando sobre el barco de vela lo que pone en funcionamiento toda la experiencia y conocimiento de los deportistas. Para el control de la prueba los jueces se ubican en sitios estratégicos desde los cuales vigilan el desarrollo de la competencia, dado que al desplazarse en embarcaciones motorizadas generan oleaje que modifica las condiciones de la “pista”. ASPECTO AFECTIVO:

Se consideran la disposición, voluntad, el deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna); en este aspecto se asume el deseo del estudiante de ser parte activa al interior de su comunidad matemática de aprendizaje y desde ésta, adelantar procesos de negociación para desarrollar el significado matemático compartido a partir de cada una de las actividades matemáticas. ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN

Persistencia, continuidad, dedicación; el estudiante es persistente cuando se mantiene en el desarrollo de los procesos de la actividad matemática a pesar de las dificultades para lograr los resultados esperados, cuando replantea procesos. Hay continuidad cuando ante una dificultad o por cualquier otra situación, el estudiante reanuda el trabajo e interactúa con el grupo y con el profesor para llegar finalmente a unos resultados. El estudiante y su grupo de trabajo son dedicados cuando concentran su atención al desarrollo de la actividad. PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA:

Aspecto cognitivo: La circunferencia en el análisis de contenido busca identificar y describir el significado del objeto matemático en las matemáticas escolares. A su vez, en el análisis de contenido se tienen en cuenta tres tipos de significados: la estructura conceptual, los sistemas de representación y los modelos (análisis fenomenológico). Para este caso, se asumieron en el aspecto cogniti-

278

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

vo, la estructura conceptual y el análisis fenomenológico de la circunferencia, tal como se ve más adelante. Para el desarrollo de la tarea se asumieron unos focos conceptuales, relacionados en la estructura conceptual del objeto matemático circunferencia, esos focos específicos a nivel curricular se adaptan y son propuestos en los contenidos del grado noveno tal como se muestran en las siguientes figuras: OBJET O MAT EM ÁT ICO

ES T RUCT URAS MAT EM ÁT ICAS RELACIONADAS

RELACIONES DE REP RES ENT ACION

RELACIONES CONCEPT UALES

Mapa 5. Elementos claves de la estructura conceptual

Elementos

Puntos y líneas

Circunferencias relacionadas

Rectas relacionadas

Mapa 6. Elementos de la circunferencia

279

Ángulos

Varios Autores

Mapa 7. Definiciones de la circunferencia como línea

En el análisis fenomenológico y para la investigación se utilizó los dos últimos contextos que se representan en la figura 7.

Mapa 8. Análisis fenomenológico

La Fenomenología de la circunferencia en la cotidianidad, corresponde a las actividades, prácticas y situaciones del día a día donde la circunferencia generaliza y describe el funcionamiento de estos fenómenos y sus aplicaciones entre otras, en sectores como: La música, las armas, el transporte, el sistema horario, los deportes, entre otros. Para el caso de la investigación, los estudiantes vivenciaron en la actividad matemática en la parte en que la tarea alcanzaba el nivel de complejidad de reproducción, la identificación de algunos elementos y conceptos relacionados con la circunferencia en la ruedas de los automóviles estacionados en el parqueadero de la Institución, tales como observar el radio, el diámetro y recta tangente en llantas de bicicletas y carros.

280

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

La Fenomenología matemática de la circunferencia. Hace referencia a los elementos matemáticos que organiza la circunferencia, así como los objetos matemáticos para los cuales el concepto es el medio de organización y se muestra la relación con dichos objetos. Tales como, la relación de los elementos de la circunferencia. Diámetro, radio, cuerdas, arco, polígonos inscritos, entre otros. En el caso de la investigación, los conceptos que intervinieron en el aspecto cognitivo corresponde a: La relación de los elementos de la circunferencia,

Figura 40. Relación de los elementos de la circunferencia

Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. Tangente: Recta que interseca en un punto a la circunferencia. Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. ASPECTO AFECTIVO

En el aspecto afectivo: se considera que para desarrollar competencias matemáticas implica también un “desear conocer”, un “desear hacer”, una manifestación afectiva expresada como volición y actitud. Como lo plantea D`amore: “¿Qué sería una competencia sin el deseo, la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella? (2008, p.21) D´Amore, Diaz y Fandiño (2008), en el aspecto afectivo enfatizan en la disposición, la voluntad y el deseo que manifiesta el estudiante a dar respuesta a

281

Varios Autores

solicitudes de conocimiento que pueden ser externas o internas, inclinación favorable del estudiante para comunicar en su actividad matemática de aprendizaje. De acuerdo con Gómez y Figueiral (2007), las emociones se caracterizan como episodios en los que coactúan los sistemas de valoración, afectivo y de comportamiento (acción). Emergen a través de las interacciones entre lo cognitivo, afectivo y conativo (motor y motivacional). Por tanto, las emociones no son respuestas automáticas biológicamente dadas, son un producto de la interacción social, en particular de cómo el sujeto evalúa y maneja sus respuestas emocionales, a partir de las ideologías y normas que posee. Este manejo no se limita a la expresión, sino que se extiende a la vivencia emocional misma. Las emociones son el producto de las evaluaciones y reevaluaciones que las personas realizan a partir de su experiencia, de sus formas de soporte y de enfrentamiento social ante estímulos dados El proceso seleccionado asociado al aspecto afectivo fue la motivación. Como lo plantea D`amore, Díaz & Fandiño (2008, p. 24): el profesor puede hacer mucho para favorecer una correcta motivación, pero de manera pertinente entra en juego la correspondiente volición por parte del estudiante. Los mismos autores plantean la motivación entendida como componente esencial para que la competencia: Sea vista como algo que permite mejorar la calidad de vida de la sociedad. Como valoración específica del ser humano como persona. Sea la expresión misma de la propensión al conocimiento y al uso de los conocimientos adquiridos para proceder en la misma dirección, hacia nuevos conocimientos (p.40, 41).

ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN:

El aspecto de tendencia de acción: tiene que ver con la persistencia, continuidad o dedicación seguida por el participante en el desarrollo de la actividad matemática. En este sentido, se valora la pragmática de uso, aplicación o uso social de la competencia matemática cuando el estudiante resuelve problemas contextualizados, es decir, siente necesidad de ser partícipe de su propio conocimiento, siente motivación y un deseo y voluntad para involucrarse en las actividades y hacer uso del conocimiento en situaciones contextualizadas. En este aspecto se seleccionó el proceso de la dedicación entendida como el esfuerzo o el empeño puesto en marcha por el estudiante al enfrentarse a la solución de la problemática presentada en una situación matemática durante su actividad de aprendizaje.

282

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje PROCESOS MATEMÁTICOS ASOCIADOS AL ASPECTO COGNITIVO DE LA CMC PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO: Se comparte con Rico & Lupiañez (2008. p.247) lo que se entiende por procesos de la CMC; es decir, se espera que los estudiantes, con respecto a lo cognitivo de la competencia matemática comunicar, para el estudio del triángulo, movilicen los siguientes procesos matemáticos:

• Expresar de forma oral o escrita su discurso acerca de las matemáticas, y • Comprender e interpretar matemáticamente los correspondientes enunciados orales o escritos de otras personas La persona comunica en forma oral o por escrito los resultados de los procesos que desarrolla cuando resuelve situaciones – problemáticas o de aprendizaje –relacionadas con sus conocimientos matemáticos del contexto. En la investigación se consideró que comunicarse matemáticamente de manera oral y en forma escrita, constituye un aprendizaje al interior de la institución escolar; en él se pone en pleno funcionamiento el compartir y negociar el significado matemático. El desarrollo de este proceso complejo permite caracterizar la competencia matemática Comunicar a partir de valorar la actividad matemática de aprendizaje en términos de desarrollo de conceptos acerca del triángulo y su clasificación; para ello, cada alumno desde su equipo de trabajo, hace su aporte de concepciones, de clasificaciones, de representación simbólica y gráfica, contribuye con estructuras de relación, comparación, analogías y generalizaciones; da ejemplos, para ir conformando su argumentación. La competencia matemática comunicar también se desarrolla en la medida que se logra comprender e interpretar desde las matemáticas, los enunciados orales o escritos de otras personas; con base en la entonación, el estudiante se da cuenta cuándo uno de sus compañeros o el profesor le está ordenando o pidiendo algo o está compartiendo significados del objeto matemático, de esta forma, desarrolla procesos de compartir y desarrollar el significado matemático. PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA

De acuerdo con Solar, Rojas y Ortiz (2011), cada competencia matemática se compone de procesos matemáticos, que se presentan de manera transversal a los contenidos matemáticos y se desarrollan a largo plazo. Estos procesos se articulan a cada uno de los aspectos asociados a la CMC mediante acciones que determinan actuaciones de los participantes durante la actividad matemática en función del trato del objeto matemático circunferencia, promueven el desarrollo cognitivo, afectivo o de tendencia de acción de los estudiantes y por ende, el de 283

Varios Autores

la CMC. Los procesos matemáticos asociados a los aspectos seleccionados para caracterizar la CMC se muestran en la siguiente figura.

Figura 51. Procesos matemáticos asociados a los aspectos de la competencia matemática comunicar

Procesos asociados al aspecto cognitivo: Los procesos considerados en este aspecto son: La participación, la negociación y la actividad discursiva. La participación: En el contexto sociocultural del estudiante, la participación es primordial para formar una comunidad de aprendizaje. El carácter social en la participación se entiende como procesos de negociación de significados, surgida de la interacción explicita (cara a cara) tal como lo enuncia Rogoff: El rápido desarrollo del niño hacia formas más hábiles de participación en la sociedad se lleva a cabo a través de la participación guiada del niño, de una forma rutinaria y a menudo tácita, en el curso de actividades culturales; es decir, los niños observan y participan con otras personas en culturas totalmente establecidas.(Rogoff, 1993, p. 38)

Apoyados en Gorgorio y Prat (Citado por Rojas, 2009) se asume la participación como la contribución a la discusión matemática que tiene lugar cuando se propone un problema, se discute o resuelve colectivamente en busca de dar significado a un determinado contenido matemático. 284

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Para Rojas (2009), la participación es el proceso de argumentar públicamente las ideas matemáticas que el alumno desarrolla en la discusión colectiva de la práctica matemática de aula. En Sfard (2008), caracterizar los términos discurso y comunicación en el contexto de la práctica del aula, significa que el estudiante se debe ver como una persona interesada en la participación. Ahora, aprender matemáticas, bajo la metáfora de la participación de Sfard, indica el proceso por el cual un estudiante - participante de la clase se convierta en miembro de una comunidad matemática. Es por medio de la participación, que el estudiante demuestra habilidad para comunicarse en el lenguaje propio de esta comunidad y actuar según sus normas particulares y negociadas en el proceso de consolidar la comunidad. En el proceso de participación no sólo se comparte y negocia la asignación de significados a los objetos matemáticos discutidos, sino que es esencial tener en cuenta las normas con las que se desarrolla la actividad matemática. En otro sentido, claramente se ve que en la comunicación del estudiante, por medio de la argumentación y la justificación de sus ideas, este se convierte en un participante constructor de significados matemáticos.´ En el aprendizaje desde la metáfora de la participación, es prerrequisito el deseo del estudiante de ser parte de una cierta comunidad y poner de manifiesto las habilidades cognitivas como cualidades sociales más que intelectuales que Sfard enuncia, “ser capaz de negociar normas de comportamiento y luego seguirlas, ser capaz de desarrollar una buena comunicación con otros miembros del grupo, tener una buena influencia sobre otros y, preferiblemente, cualidades de liderazgo.” (p. 34)

Otro cambio en la visión de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, dirigida desde una nueva práctica democrática, inducida por la participación, también lo expresa la misma autora, y es el, . . . hecho de que no se habla más de la permanencia-permanencia de las posesiones humanas o de los rasgos humanos. La nueva metáfora promueve un interés centrado en la gente en acción más que en la gente como tal, y ve la realidad como algo en constante flujo.” (Sfard, 2008, p. 34).

La negociación: Según Bishop (2005) En este aparte se considera importante tomar la idea del aspecto de la negociación, como proceso matemático componente de la CMC. Al aceptar que la comunicación tiene que ver con compartir significados, se considera entonces que la negociación gira en torno al desarrollo de significados, por ende, la negociación para Bishop. “una interacción dirigida por metas, en la que los participantes buscan alcanzar sus respectivas metas”(p.25).

285

Varios Autores

Por lo general, el profesor pretende que se alcancen todas las metas fijadas en la tarea, pero con frecuencia eso no ocurre. Es en este momento que la autoridad y el poder del profesor no deben imponerse, en cambio, reconocer la asimetría en la relación de conocimiento con el estudiante en el desarrollo del significado compartido. El proceso matemático de la negociación anima a los estudiantes a jugar un mejor papel en el desarrollo de sus propios significados matemáticos compartidos al interactuar entre los participantes de la clase de matemáticas. La actividad Discursiva: Como se ha argumentado, el discurso juega un papel fundamental en el desarrollo de la interacción en el aula para contribuir a la comprensión de los procesos de participación y negociación para compartir y desarrollar significados matemáticos. Asumiremos que para definir la actividad discursiva como proceso matemático, se tendrá en cuenta la actividad en la que se desarrolla el discurso, concepto que además de caracterizarse por ser extraordinariamente polisémico (Iñiguez, 2006a, p.104, citado por Rojas, 2009), es un fenómeno relativamente nuevo en la atención de los investigadores por atender las regularidades surgidas de la interacción en el aula durante las acciones comunicativas presentes, ya sea a nivel de matemáticas o en cualquier otro campo disciplinar. Algunas concepciones de discurso son presentadas por este autor, y se presentan porque se consideran que hacen parte del constructo del proceso matemático de la actividad discursiva que se pretende conceptualizar. • discurso como enunciado o conjunto de enunciados dicho/s efectivamente por un/a hablante. • discurso como conjunto de enunciados que construyen un objeto. • discurso como conjunto de enunciados dichos en un contexto de interacción en esta concepción se resalta el poder de la acción del discurso sobre otra u otras personas, el tipo de contexto (sujeto que habla, momento y espacio, historia, etc.). • discurso como conjunto de enunciados en un contexto conversacional (y por tanto normativo). • discurso como conjunto de constricciones que explican la producción de un conjunto de enunciados a partir de una posición social o ideológica particular. • discurso como conjunto de enunciados para los que se pueden definir sus condiciones de producción (Rojas, 2009, p. 56) Planas (2001, 2005) aporta una noción de discurso del aula matemática basada en explicar las diferentes interpretaciones de las normas, o las diferentes inter-

286

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

pretaciones de las tareas matemáticas para las cuales comúnmente se supone una única interpretación posible. Al respecto, El Discurso en un aula de matemáticas, por ejemplo, es el conjunto de significados legitimados que delimitan la cultura del aula: qué se acepta como demostración matemática, a qué criterios se da prioridad en el proceso de resolución de un problema, qué papel se otorga al profesor, etcétera […]. El discurso en un aula de matemáticas consiste en todas las formas de usar el lenguaje, creer, valorar y actuar coexistentes, incluyendo las no aceptadas dentro del aula.(Planas, 2005, p. 21)

El concepto de discurso que adoptamos para permitir el análisis comunicacional de los participantes del aula de matemáticas es: El vocablo discurso supone tanto las ideas como la forma en que se presentan las ideas (reglas del nivel de los objetos y reglas metadiscursivas) y abarca cualquier forma de comunicación, bien sea escrita, oral, gestual e incluso mental, en el caso de la comunicación de una persona consigo misma. Sfard (2008, p.17)

De acuerdo con Sfard (2008), aprender matemáticas en este contexto significa desarrollar un discurso de complejidad y de calidad creciente, de tal manera que se llegue a pensar que cambie no sólo la manera como se enseña matemáticas sino también la manera sobre lo que se ha aprendido. Para la autora, el aprendizaje desde este punto de vista se define como: “el proceso de cambiar de cierta manera, bien definida, las formas discursivas propias.” (p.44)

En este mismo sentido, el lenguaje como elemento constitutivo de la perspectiva de la comunicación y teniendo en cuenta que en el discurso como lenguaje en acto, toma relevancia el papel y la importancia que juega la voz individual (Bakhtin, 1981, citado por Rojas, 2009) como ente conformador que incide en el desarrollo de las relaciones sociales y prácticas sociales conjuntas y construidas colectivamente, como manera de analizar la contribución del profesor y estudiantes en el dialogo y ver la forma en que éste posibilita generar espacios de participación. El discurso matemático dota de un lenguaje académico propio utilizado por el profesor y sus estudiantes para participar en la actividad matemática y lograr construir significados matemáticos. PROCESO ASOCIADO AL ASPECTO AFECTIVO

La motivación: El Diccionario de la real academia española (DRAE) plantea que:

287

Varios Autores La motivación, es un estímulo que anima a una persona a mostrar interés por una cosa determinada, o, la causa o razón que hace que una persona actúe de una manera determinada.

Para Nuttin (1980, citado por Belaustegui, 2005) ¨la motivación concierne a la dirección activa de la conducta hacia categorías preferenciales de situaciones o de objetos¨. En este sentido, se presta atención a los objetos hacia los cuales se dirige (el contenido) y por otro, a los procesos que intervienen en el funcionamiento de la motivación (los mecanismos). Este carácter muestra la motivación como una manera de organización para la acción al integrar los aspectos cognitivos con los emocionales. PROCESO ASOCIADO AL ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN

La dedicación: Según el diccionario de la real academia, este proceso significa: Acción y efecto de dedicar, lo cual corresponde a una entrega intensa a una actividad determinada o fin al que se destina una cosa. Para el caso de esta investigación, la dedicación está relacionada con el esfuerzo con que los estudiantes desarrollaron las actividades planteadas en la tarea matemática. Esta actitud tiene que ver con la firmeza del estudiante para alcanzar el objetivo que se propone en la tarea o el interés que presenta en hacer de la mejor manera las actividades que se realizan. En momentos que se lo proponen los estudiantes llegan a un final definido por ellos mismos, es querer algo que se propusieron. Así esta virtud conocida también como la perseverancia permite llevar a satisfacción, en nuestro caso, tuvo que ver con acciones durante todo el proceso de la actividad matemática de aprendizaje en contextos escolares y extraescolares. Otros conceptos que se asocian a la CMC en el estudio del objeto matemático circunferencia y que tienen que ver con la actividad de aprendizaje del estudiante son: CAPACIDADES ASOCIADAS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR

Es inherente al significado de proceso matemático hablar de capacidad por estar relacionado también al desarrollo de contenidos, Como lo afirma Rico y Lupiañez (2006), en las relaciones de la noción de capacidad (ver figura 8) se muestra que capacidad, es un elemento que relaciona los aspectos cognitivos (un individuo desarrolla una capacidad), de contenido (es específica a un tema concreto) y de instrucción (se refiere a tipos de tareas o problemas).

288

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Figura 52. Aspectos, procesos matemáticos y capacidades asociadas a la competencia matemática comunicar.

Las capacidades se refieren a la actuación de los participantes en el esfuerzo de realizar cierto tipo de tarea, es decir, capacidad es la expresión externa específica de carácter activo de la competencia individual (D’amore, Godino y Fandiño, 2008). Lo anterior es evidente cuando el estudiante desarrolla y moviliza capacidades por medio de las actuaciones, es decir, cuando se enfrentan a la resolución de tareas los participantes se van haciendo más competentes en matemáticas.

Figura 53. Relaciones de la noción de capacidad (Gómez y Lupiáñez, 2007)

Las capacidades que se describen en el MTAP tienen que ver con el desarrollo del constructo de la comunicación que se generan en la interacción social en el aula de matemáticas, tal como se presentan a continuación: En el aspecto cognitivo y los procesos matemáticos de la Participación, negociación y Actividad discursiva: • comprender y describir • Expresarse en publico • comunicarse en forma textual y grafica 289

Varios Autores

• argumentar En el aspecto de la afectividad y de la tendencia de acción, se involucran iguales capacidades articuladas con el aspecto cognitivo y los procesos matemáticos de participación, negociación y actividad discursiva: • participar de la actividad matemática • compartir y negociar los significados matemáticos • discutir con argumentos situados en la construcción de significados matemáticos DESCRIPTORES Y ACTUACIONES ASOCIADAS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR

Un descriptor de carácter académico enuncia genéricamente las expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivo) respecto a las capacidades y habilidades relacionados con las cualificaciones que subyacen a la actuación del estudiante durante la actividad matemática, especialmente para este caso, las que se promueven de la manifestación de las distintas formas de comunicación en la interacción social en el aula de matemáticas. Los descriptores deben interpretarse dentro del contexto y del uso del lenguaje puesto en marcha a través de tareas matemáticas; las actuaciones de los estudiantes se asumen como la manera de proceder para ejecutar o llevar a cabo la consecución de cada descriptor, la acción propia e individual del estudiante. TAREAS, SITUACIONES MATEMÁTICAS Y NIVELES DE COMPLEJIDAD

El diseño de tareas y las actividades matemáticas es asumido por Goñi (2009), para manifestar una didáctica para el desarrollo de la competencia matemática, o sea una didáctica que considere la comunicación como el eje del trabajo organizado del profesor, debe partir del doble concepto de tarea-actividad, como medio para establecer el nexo comunicativo que se busca como fundamento y explicación de la didáctica de la matemática. Para el diseño de tareas matemáticas se tuvo en cuenta lo expuesto por Rico y Lupiañez (2008), en estructurar una tarea como una expectativa de aprendizaje a corto plazo fundamentada en la consecución de objetivos específicos que irán a encaminarse a conseguir a largo plazo desarrollar la competencia matemática. Según este autor, las tareas, son parte fundamental del trabajo matemático a realizar en el aula de clase, por ello, al diseñar y seleccionar una tarea se debe tener en cuenta algunos criterios: Que sean compatibles con el análisis y la selección del contenido matemático que se está trabajando; que contribuya a lograr los objetivos específicos seleccio290

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

nados y a superar dificultades o errores de los estudiantes; que permitan incorporar recursos y materiales que optimicen el logro de los objetivos de aprendizaje; que sean compatibles con técnicas de gestión de la clase; que contribuyan en la planificación de las secuencias de aprendizaje. Algunos de los criterios planteados anteriormente en el diseño de la tarea matemática aparecen a continuación. TAREA MATEMÁTICA Situación matemática 1

Situación matemática 2

Situación matemática 3

Identificación y descripción de elementos de la Circunferencia. Actividad realizada con las ruedas de las bicicletas, motos y carros estacionados en el parqueadero de la Institución.

Análisis de la información recogida sobre las mediciones realizadas en la cancha de microfútbol de la Institución contando vueltas con la rueda metro.

Simulación realizada por los estudiantes sobre elementos y propiedades de la circunferencia mediante el uso de un software de geometría dinámica.

Tabla25. Descripción de las situaciones matemáticas presentes en la tarea

Para el desarrollo de las tareas bajo esta visión, es necesario tener en cuenta en su estructura unos focos conceptuales (como los expuestos anteriormente), relacionados en la estructura conceptual del objeto matemático circunferencia, esos focos específicos a nivel curricular son propuestos y se adaptan por los temas del grado noveno de secundaría. Un ejemplo de tarea matemática con la que se intervino en el aula de matemáticas, se puede observar en el anexo 1. De otro lado, la situación matemática aunque no se asume como un componente de la competencia, si es un concepto fundamental articulado a las tareas que el profesor diseña y propone a los estudiantes, por ello se aborda su conceptualización a continuación. SITUACIÓN MATEMÁTICA

El concepto de situación matemática se introduce en los aspectos relacionados con el análisis de los episodios de clase registrados durante la actividad matemática desarrollada por los estudiantes en el aula y que propician el desempeño y las actuaciones de los participantes en el desarrollo de las capacidades. Para Cerda (2011), las situaciones matemáticas, en el dominio de la didáctica, son modelos de situaciones bajo el cual los estudiantes producen y aprenden los conocimientos que se reconocen como matemáticos. Una situación matemática tiene por objeto representar el mínimo de condiciones necesarias para explicar o

291

Varios Autores

justificar la puesta en obra de un enunciado matemático sin intervención didáctica exterior. Una situación didáctica puede involucrar una situación matemática. Entonces, toda actividad matemática se desarrolla bajo condiciones específicas de un conocimiento preciso, es decir, una situación matemática hace parte de la actividad matemática que realiza el estudiante en el desarrollo de tareas, puesto que las actividades están fundamentadas en problemas, como forma básica usada en una situación matemática para los procesos de enseñanza - aprendizaje. En este mismo marco de ideas, una situación matemática coincide con una aproximación conceptual de situación problema, por su estructura y puesta en marcha en el desarrollo de las tareas seguidas por los estudiantes participantes de esta investigación, y según lo expuesto por Obando y Muñera (2002), quienes afirman que Una situación problema se puede interpretar como un contexto de participación colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos mismos, y con el profesor, a través del objeto de conocimiento, dinamizan su actividad matemática, generando procesos conducentes a la construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir la acción, la exploración, la sistematización, la confrontación, el debate, la evaluación, la autoevaluación, la heteroevaluación (p. 1).

Respecto al concepto de situación problema, Moreno y Waldegg (citados por Obando y Muñera (2002), plantean: [...] La situación problema es el detonador de la actividad cognitiva, para que esto suceda debe tener las siguientes características: •Debe involucrar implícitamente los conceptos que se van a aprender. •Debe representar un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, debe ser accesible a él. • Debe permitir al alumno utilizar conocimientos anteriores [...] (2002,56).

MODELO TEÓRICO A PRIORI (MTAP)

El MTAP que se asumió para caracterizar la CMC, presenta en su estructura los siguientes componentes. PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO: Según García Ruiz, J (2013, p. 2,3) “El modelo es una reproducción simplificada de la realidad, que cumple una función heurística, ya que permite descubrir y estudiar nuevas relaciones y cualidades del objeto de estudio” en nuestro caso, la caracterización de la CMC.

292

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje “El modelo teórico (también denominado por algunos autores, analítico) utiliza símbolos para designar las propiedades del sistema real que se desea estudiar. Tiene la capacidad de representar las características y relaciones fundamentales del fenómeno, proporcionar explicaciones y sirve como guía para generar hipótesis teóricas”.

Según Solar (2009, p.55-57), el Modelo de Competencia Matemática permite interpretar el currículo articulando las competencias; considera cinco elementos en su propuesta de modelo: La cultura matemática, las competencias matemáticas, los procesos matemáticos, las tareas y los niveles de complejidad. Para la construcción de nuestro modelo teórico a priori consideramos tres de éstos: La Competencia matemática, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad. En el capítulo anterior se conceptualizó sobre ellos, por tanto, solo se argumentará lo específico de la CMC y los objetos matemáticos triángulo y circunferencia Procesos matemáticos: los contenidos matemáticos se estructuran en tareas matemáticas; en los procesos de aprendizaje del triángulo se tomaron tres aspectos: la trazabilidad del triángulo o aplicación de la desigualdad triangular; la clasificación del triángulo a partir de la medida de la longitud de los lados y una tercera tarea relacionada con el aprendizaje de la clasificación de los triángulos a partir de la medida de la amplitud de sus ángulos internos. En desarrollo de la actividad matemática de aprendizaje, los alumnos llevan a cabo procesos matemáticos con los cuales se enfrentan a la exploración y estudio de la tarea, mediante la interacción con sus compañeros y el profesor se desarrolla el proceso de compartir y desarrollar significado matemático, se valoran las acciones realizadas frente al problema en estudio. De acuerdo con Rico & Lupiáñez (2008, p.246-247), los procesos cognitivos inherentes a la competencia matemática comunicar “tienen que ver con que los estudiantes: se expresen de manera oral o escrita acerca de las matemáticas, y, comprendan e interpreten los enunciados orales o escritos de otras personas”. • Niveles de complejidad cognitiva: para la caracterización de la competencia matemática Comunicar se asumen tres niveles de complejidad organizados en función de las tareas y los procesos que conforman la competencia, a saber: niveles de reproducción, conexión, reflexión. Las tareas se diseñaron e implementaron para caracterizar el nivel de complejidad de la CMC, en los aspectos cognitivos, afectivos y de tendencia de acción. Rico & Lupiáñez (2008, p.258), establecen y definen como clases de complejidad para las tareas, las siguientes: “Primera clase: Reproducción y procedimientos rutinarios. Segunda clase: conexiones e integración para resolver problemas estándar.

293

Varios Autores Tercera clase: Razonamiento, argumentación, intuición y generalización para resolver problemas originales”.

En las tres tareas se propusieron procesos que permitieron establecer cada uno de los niveles de complejidad; por ejemplo, en la actividad uno para el nivel de reproducción se pide que a partir del dibujo construido (Ver Tarea 1) exprese el nombre genérico de ciertos polígonos como triángulos, cuadriláteros o polígonos de cinco lados – no pentágonos – utilizando las letras correspondientes a los vértices, denote cuadriláteros, triángulos y clasifiquelos a partir de las medidas de lados; mida los ángulos internos. En la misma tarea, para caracterizar el nivel de conexión se le dan las formas geométricas del polígono a construir; se pide que con base en las medidas de las longitudes de los lados reconstruyan la forma del terreno de cultivo; se induzcan en el enunciado de la desigualdad triangular y la aplicación del criterio de trazabilidad, generalicen la clase de los ángulos internos a partir del triángulo rectángulo; midan los ángulos internos del triángulo y con base en éstas clasificarlo. Para el nivel de Reflexión en la misma tarea, debe construir y expresar en forma general el enunciado del criterio de trazabilidad del triángulo; habiendo clasificado un triángulo de acuerdo a la longitud de los lados inferir la relación entre los ángulos internos del mismo; elaborar una clasificación de triángulos que relacione clase de ángulos y clasificación de triángulos. Aunque Rico & Lupiañez (2008, p.260) manifiestan que la competencia de los estudiantes se refiere a las capacidades individualmente desarrolladas y se ponen de manifiesto por el tipo de tareas abordadas con éxito, en el grupo de trabajo cada alumno sigue sus propios procesos de solución; sin embargo, se pretende que todos en su condición de miembros de la comunidad matemática de aprendizaje, lleguen a construir un discurso matemático con niveles de complejidad progresiva; es decir, la Comunicación en la clase se desarrolla fundamentalmente para compartir, negociar significados y conexiones de índole matemática, logrando las expectativas básicas de aprendizaje a corto plazo propuestas en las tres tareas que el profesor planteó, enfatizando en la participación de los estudiantes. La estrategia didáctica permite a cada uno alcanzar el nivel de profundización y formalización al establecer las conexiones entre la nueva idea o concepto y sus conocimientos previos, de acuerdo al nivel de complejidad de la Competencia que se está movilizando para su caracterización. Parafraseando a Rico &Lupiáñez (2008, p. 263) y considerando los tres niveles de complejidad, las expectativas de aprendizaje para la competencia matemática Comunicar tiene los siguientes indicadores: Grupo de reproducción: Comprender y saber expresarse oralmente y por escrito sobre cuestiones matemáticas sencillas, tales como reproducir el proceso para calcular el perímetro del triángulo, verificar la definición de perímetro cuando el triángulo es escaleno o isósceles; dibujar los triángulos dadas las medidas 294

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

de los lados, medir los ángulos en los triángulos construidos; diligenciamiento de tabla de datos con base en las medidas de los triángulos dibujados previamente. Grupo de Conexión: Comprende y sabe expresarse oralmente y por escrito sobre la clasificación del triángulo como escaleno o isósceles relacionando la medida de los lados y el criterio de trazabilidad; justifica en forma oral o por escrito por qué se puede o no dibujar el triángulo con las medidas pedidas para que éste se pueda clasificar como escaleno o isósceles; medir los ángulos de los triángulos que les fue posible trazar y con base en éstas hacer la clasificación correspondiente. En este nivel de complejidad, también se puede corroborar la capacidad que tiene el estudiante para entender las afirmaciones orales o escritas hechas por los compañeros de otros equipos de trabajo o por el profesor en relación con el triángulo como objeto de estudio. Grupo de reflexión: Comprender y saber expresarse oralmente y por escrito sobre cuestiones matemáticas que tienen que ver con: justificar por qué, con base en las medidas de los lados y el criterio de trazabilidad se puede construir el triángulo y clasificarlo como escaleno o isósceles; deducir la propiedad de que a mayor lado se opone mayor ángulo; inferir la clasificación de los ángulos internos del triángulo a partir de la clasificación de acuerdo a la longitud de los lados. Establecer relaciones de clasificación de triángulos a partir de la medida de los lados y la clasificación de acuerdo a la medida de los ángulos internos. Planeación de tareas: Siguiendo a Rico & Lupiáñez (2008, p. 289 - 311) para el caso del estudio del objeto geométrico triángulo, la tarea planeada comprende los tópicos o elementos que se explicaron previamente y que listamos a continuación: • • • • • • • • • • • • • •

Focos conceptuales prioritarios y desglose de focos Mapas conceptuales por focos Construcción de triángulos Clasificación de los triángulos * Figura 53 Sistemas de representación Mapas conceptuales de sistemas de representación Análisis fenomenológico Situaciones Mapa conceptual de situaciones Definición de prioridades Objetivos específicos por temas Relación de objetivos específicos con competencias Actividades de intervención en el aula Evaluación de la competencia matemática comunicar

295

Varios Autores

Focos conceptuales prioritarios y desglose de focos: CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

Desigualdad triangular Gráfico de triángulos escalenos Gráfico de triángulos isósceles Gráfico de triángulos equiláteros

CLASIFICACION

De acuerdo a medida de lados - Escalenos - Isósceles - Equiláteros De acuerdo a medida de los ángulos - Obtusángulo - Rectángulo - Acutángulo

AREA Y PERIMETRO

Determinación del perímetro. Determinación de área a partir de medidas de base y altura. Determinación de área a partir de la medida de los lados

LINEAS Y PUNTOS NOTABLES

Altura Mediana Mediatriz Bisectriz Ortocentro Baricentro Circuncentro Incentro

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Criterios de congruencia LAL ALA LLL

Tabla 26. Focos conceptuales prioritarios y desglose de focos. Adecuación de Rico y Lupiáñez. (2008)

Los mapas conceptuales por focos relacionados con la construcción y clasificación de triángulos y lo correspondiente a los sistemas de representación: Oral - Escrita: Nombrando los vértices del triángulo “∆ABC” • Gráfica: Dibujando el triángulo - En el plano Cartesiano - En el espacio y el relacionado con la fenomenología del objeto matemático presentados previamente. Situaciones: Al realizar el análisis fenomenológico de una estructura matemática, en primer lugar se deben delimitar algunas situaciones donde los conceptos matemáticos tienen uso y muestran su funcionalidad. Toda tarea matemática se asocia con una situación que se considera como aquella parte del mundo real en que se sitúa la tarea para el individuo. Las situaciones que se consideran son: Personales: Se refiere a cómo los estudiantes aplican sus conocimientos sobre triángulos en situaciones laborales en sus fincas o sitios donde llevan a cabo sus cultivos. Educativas, ocupacionales o laborales: Se aplica a situaciones de tipo académico que el estudiante encuentra en el desarrollo del área de Proyectos Productivos Agrícolas o en su área de preparación técnica. Públicas: En las que el estudiante encuentra que sus conocimientos pueden aplicarse en un entorno social más amplio y en el cual como ciudadano puede

296

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

interpretar, analizar y evaluar información relativa a los triángulos, que aparece en los medios de comunicación. Mapa conceptual de las situaciones: En el mapa conceptual que se expone a continuación, se establece la interrelación entre las situaciones donde los conceptos matemáticos relacionados con el triángulo tienen uso y muestran su funcionalidad. TRIANGULO aplicado en estas situaciones SITUACIONES

PERSONALES

EDUCATIVAS

PUBLICAS

relativas a

realtivas a

relativas a

ACTIVIDAD DIARIA

QUEHACER ACADEMICO

INFORMACION

P. P. A.

TECNICA

dada en MEDIOS DE COMUNICACION

del

del relacionados con ALUMNO

del

ENTORNO SOCIAL

para INTERPRETAR

ANALIZAR

EVALUAR

Mapa 10. Clasificación de las situaciones. Fuente: Cruz (2013)

Definición de prioridades: A partir del desglose, análisis y organización de los contenidos se deben definir prioridades para el aprendizaje de los contenidos en este tema. Rico & Lupiáñez (2008. p. 304). Esta investigación prioriza a partir de la propuesta de los Estándares de calidad de matemáticas (MEN, 2003) y la propuesta del plan de área de matemáticas vigente en la IEAB. CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

CLASIFICACION

Desigualdad triangular Gráfico de triángulos escalenos Gráfico de triángulos isósceles Gráfico de triángulos equiláteros

De acuerdo a medida de los lados Escalenos Isósceles Equiláteros De acuerdo a medida de los ángulos Obtusángulo Rectángulo Acutángulo

Tabla 27. Definición de prioridades. Fuente: Israel Cruz Perdomo 297

Varios Autores

Objetivos específicos por temas:Cuando se planearon y construyeron las tres tareas matemáticas, se hizo con la perspectiva de considerarlas como expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivos), que junto con las implementadas previamente a la investigación y las posteriores a éstas, contribuyen al logro de las expectativas de aprendizaje a largo plazo (competencias) para los estudiantes; a la vez, con el propósito de desarrollar la investigación tendiente a la caracterización de la competencia matemática Comunicar, se pensó en objetivos relacionados con la construcción del triángulo, usando las herramientas convencionales: regla, escuadra, el transportador, el compás y lo inherente a la clasificación de éstos con base en la medida de las longitudes de los lados y de los ángulos; estos los registramos en la siguiente tabla.

No.

Objetivos específicos por temas en CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

Objetivos específicos por temas en CLASIFICACION DE TRIANGULOS

1

Acordar la aplicación de criterios para la construcción de triángulos teniendo en cuenta la desigualdad triangular

Sustentar los criterios que definen un triángulo escaleno

2

Concluir sobre los procesos para construir triángulos equiláteros

Argumentar los criterios para determinar triángulos isósceles

3

Explicar los procesos para construir triángulos escalenos

Determinar las características que definen un triángulo equilátero

4

Establecer los procesos para construir triángulos isósceles

Explicar y aplicar los criterios que definen un triángulo obtusángulo

5

Argumentar los criterios para determinar triángulos rectángulo

6

Conceptualizar las características que definen un triángulo acutángulo

Tabla 28. Objetivos específicos por temas en construcción de triángulos.

Relación de objetivos específicos con competencias: Rico & Lupiáñez (2008. p. 268) consideran que algunos temas contribuyen mejor al desarrollo de algunas competencias, por lo que en el desarrollo de la investigación sobre la caracterización de la CMC, se consideraron como las más favorecidas las que se referencian a continuación: PR: Pensar y razonar A: Argumenta, C: Comunicar M: Modelar, R: Representar

298

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

COMPETENCIAS PR

A

C

M

R

1

Acordar la aplicación de criterios para la construcción de triángulos teniendo en cuenta la desigualdad triangular

x

x

x

2

Concluir sobre los procesos para construirtriángulos equiláteros

x

x

x

3

Explicar los procesos para construir triángulos escalenos

x

x

x

4

Determinar los procesos para construir triángulos Isósceles

x

x

x

Tabla 29. Relación de objetivos específicos con competencias

CLASIFICACION DE TRIANGULOS

COMPETENCIAS PR

A

C

M

R

1

Sustentar los criterios que definen un triángulo escaleno

x

x

x

2

Argumentar los criterios para determinar triángulos isósceles

x

x

x

3

Determinar las características que definen un triángulo equilátero

x

x

x

4

Explicar y aplicar los criterios que definen un triángulo obtusángulo

x

x

x

5

Argumentar los criterios para determinar triángulos rectángulo

x

x

x

6

Conceptualizar las características que definen un triángulo acutángulo

x

x

x

Tabla 30. Relación de objetivos específicos con competencias ACTIVIDADES DE INTERVENCIÓN EN EL AULA

Para la implementación de la investigación se diseñaron tres tareas que fueron aplicadas en tres sesiones en equipos de trabajo de cuatro estudiantes. A cada grupo le fue tomada una grabación de audio y un video, además se les recoge un documento en el que muestran sus resultados escritos como los soportes con los cuales se hace el análisis de la información.

299

Varios Autores TAREA 1: TRAZADO Y CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS

En el terreno tomado para un cultivo se hace una serie de mediciones, las cuales se presentan y se representan gráficamente a continuación:

Ubica las medidas en los correspondientes lados de la figura Clasifique los triángulos ΔAEB, ΔACB y ΔBEF de acuerdo a la medida de sus lados y justifique dicha clasificación. NOTA 1: En todo triángulo se cumple que la suma de las medidas de dos lados cualesquiera es mayor que la medida del otro lado. Dibuje por separado cada uno de los triángulos que se muestran en el gráfico, sin importar la orientación que los mismos tengan

• Sume por pares los lados de cada triángulo, compare con la otra medida y registre sus comparaciones en el cuaderno. • Dibuje un triángulo de medidas 4m, 6m y 12 m. • ¿Encuentra alguna dificultad para hacerlo? Justifique su respuesta y continúe con el desarrollo de la actividad. Sume por pares los lados de este triángulo y compare con el otro lado. ¿Encuentras alguna diferencia respecto de los lados medidos en los triángulos en los puntos 3 y las comparaciones hechas en el punto 4? 300

Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje

Enuncie una afirmación que relacione la medida de los lados de un triángulo y la posibilidad de su trazado NOTA 2: En cualquier triángulo, la suma de la medida de los ángulos internos, es igual a 180. • El triángulo ΔAEB es un triángulo rectángulo. ¿Cómo se justifica esta afirmación? Escriba por lo menos dos justificaciones. • (Complete) En el ΔAEB el