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• Brayan Villavicencio Tovar

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

CUSCO – PERÚ

TEMA 10

ALGEBRA |2

1.PAR ORDENADO Un par ordenado de componentes “a” y “b” es un ente matemático denotado por donde “a” es la primera componente y “b” la segunda componente. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus componentes son iguales. Es decir: Ejemplo: determinar el valor de de tal manera que Solución:

De en 2.PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos . se llama producto cartesiano de en ese orden al conjunto formado por todos los pares ordenados tal que , se denota por esto es:

Ejemplo: Sean los conjuntos y , entonces: Cuando los conjuntos finitos y tienen y elementos respectivamente, entonces el producto cartesianotiene elementos. Es decir: Ejemplo: y Entonces: Pares ordenados. PROPIEDADES: Sean A,B,C y conjuntos, entonces:

1. A  B  A x B  B x A 2. A  B  A x B  B x A 3. 4. 5. 6. 7. 8. Si entonces

RELACIONES BINARIAS Sean dos conjuntos no vacios. Un conjunto de pares ordenados, se llama relación binaria de , si es un subconjunto cualquiera de , es decir: Es una relación binaria de si y solo si Ejemplo: Sean los conjuntos y , entonces las siguientes son relaciones de por ser subconjuntos del producto cartesiano

OBSERVACIÓN: Si tiene elementos, entonces tiene subconjuntos, por lo tanto existen relaciones de . Del ejemplo:

Por lo tanto existenrelaciones de DOMINIO Y RANGO Dada la relación binaria entonces:

ALGEBRA |3

Ejemplo: Sea la relación entonces:

RELACIONES REALES DE VARIABLE REAL Si , se obtienen relaciones reales de variable real. En general una relación real se expresa como: Donde: es una expresión algebraica ral. Ejemplo: CÁLCULO DEL DOMINIO Para determinar el dominio de una relación real expresada como una ecuación , se despeja la variable en términos de , luego se analiza los valores reales que toma la variable para que la variable sea real. Ejemplo: Calcular el dominio de la relación: Solución:

CALCULO DEL RANGO Para determinar el Rango de una relación real expresada como una ecuación , se despeja la variable en términos de , luego se analiza los valores reales que toma la variable para que la variable sea real. Ejemplo: Calcular el rango de la relación

Solución:

EJERCICIOS

1.



R  (x, y)  ℝ 2 y 3  x 2 y  x 2  0

Se R una relación del conjunto A en el conjunto B, en las siguientes proposiciones marcar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda. I. La relación R es un subconjunto de

Rpta:

A B .

A  B , entonces R es un subconjunto de A A Rang ( R)   y / y  B, ( x, y )  R  A III. II. Si

5.

el dominio de R es  4, 2 la suma de los números enteros de su rango es: Rpta: 15 Hallar el dominio y rango de la Relación

su rango es:

Q  ( x, y )  ℝ 2 / x  12  0

paralela al eje X . En el orden en que aparecen, es: Rpta : FFF 3.

El rango de la relación

2



2

6.

. Si

}

0; 4 

Dada

la

relación.

R  (x, y )  ℝ 2 / x 3  y 2  2y  3x  2  0 ,

Hallar su dominio

2

III. La relación

{

Rpta:

.

R  ( x, y )  ℝ / 2 y  2  0



R = ( x, y ) Î ¡ / y = x - 4x , y £ 0

D  ( x, y )  ℝ 2 / y  7 x  2

 2, 

R  (x, y )  ℝ 2 / y  x 2  2x  2  0

Sea

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) siguientes proposiciones:

Su rango es:  II.De la relación

 0,1

4.

La secuencia correcta, es: Rpta: VVF

I. De la relación

 es:

ℝ

1; 

7.

Rpta: Dada la relación



 , el rango de la

R  ( x, y )  ℝ 2 / x 2  1  y  1 es una recta

relación R, es: Rpta: ℝ 8.

Dada la relación

ALGEBRA |4



R  ( x, y )  ℕ 2 / x 2 y 2  x 2  y 2  1  0



, suma de elementos del rango de la relación R, es: Rpta: 0

n  Ran(R)  , es:

El Rpta: 4

la 22.

9. Determinar la el dominio de la relación:

Rpta:

R:ℝ  ℝ , R  ( x, y )  ℝ / y  5 x 2  4 x  3

definida por

23.

es:

19  ,  5 24.



2

,

2

el

 ; 2 ∪ 0; 

Sea la relación definida por. , Hallar el dominio de la relación. Rpta: .

14.

Hallar

el



dominio

, es:

A  1, 2, 3  se define las relaciones

   (x, y)  A

2



xy 5



B  R1  R 2 es:

de

la

R  ( x, y )  R 2 / y  2  5  4 x  x 2 Rpta:[-1,5] 15.



El número de elementos del conjunto Rpta: 4

Dados los conjuntos y . Al determinar la relación , el valor de E= . Rpta: .

13.

x 2

  ,12 

En el conjunto

R1

rango de la relación R, es:

12.



R1  (x, y)  A 2 x  y

R  ( x, y )  ℝ / ( y  x )( x  y  2)  0 2

Rpta:

El rango de la relación

Rpta:

Dada la relación

 .Si el dominio

2

R  (x, y)  ℝ 2 12  y 

2

11.

2x  3 y  5  0

 6 ,  1  .La suma de los números enteros

R

1,1 ∪ 1,3

El rango de la relación

2

de es de su rango, es:

Rpta: 

Rpta:



R  (x, y)  ℝ

5 1   R  ( x, y )  ℝ 2 / y    x  2 x  1 3  x  

10.

Dada la relación

relación:



Sea , se definen las relaciones: , , El Dom es. Rpta.: .

25.

Sean los pares ordenados iguales. El valor de “a-b”; es. Rpta:1

26.

Si ; . Hallar n(AXB). Rpta: 18

27.

El dominio de la siguiente relación ; es. Rpta:

28.

Dada la relación ; su dominio; es. Rpta:

29.

Dada la relación: ; Hallar . Rpta:.

30.

Hallar si definida por: ; siendo Rpta: .

y.

16.

Sea el conjunto , donde la relación está definido por . Hallar . Rpta.: 10.

31.

Hallar los puntos de intersección de la siguiente relación: ; con los ejes coordenados. Rpta: (0,-3/2).

17.

La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es:

32.

El dominio de la relación: ; es. Rpta: .

33.

El rango de la relación: : ; es. Rpta: .

34.

Dados los conjuntos: ; se definen las relaciones:

Rpta: 10. 18.

Hallar el dominio de la relación:



S  (x, y)  ℝ x ℝ 3  2xy  xy 2  0 Rpta: 19.



Dom(S)  , 3   0, 

Hallar el dominio de la relación



T  (x, y)  ℝ x ℝ x 2 y 2  4 y 2  4x 2  0 Rpta: 20.



.Hallar Rpta: 35.

Dom(T)  , 2  2,    0 

Dados los conjuntos

Rpta: . 36.

Dados los conjuntos y . Determinar la relación . Hallar . Rpta:

37.

Sea y dadas las relaciones en , definidas por: , , calcular el . Rpta.: .

38.

Dados los conjuntos ; , hallar la suma de los elementos del dominio de la relación , definido por: . Rpta: 14.

A   3x  1 x  ℕ ,1  x  4 

B   2y  1 y  ℕ , 0  y  3  R   (a, b)  AxB a  b  6  y la relación La suma de los elementos del dominio, es: Rpta: 17 21.

Dada



A   2 , 3 , 4 , 5  .Se define la relación en A

R  (x, y)  A

2

xy 7



El dominio de la relación ; es

ALGEBRA |5 Rpta: {-1; 0; 1; 2} 39.

Sean , , , hallar . Rpta: 12.

55.

56.



de

la

relación





R  (x; y )  ℝ 2 / x 2 y  x 2  4xy  4 y  0

,

determinar el conjunto que no satisface al conjunto Dom(R) ∩ Ran(R) Rpta: {1; 2}

Rpta: . 58.

42. En , se define la relación: , Si

Determinar

el



dominio

y

rango

de

R  (x; y )  ℝ 2 / xy 2  3 y 2  1  0

, Calcular

59.

Rpta: Dom(R) = 3; + Ran(R) = ℝ  {0} Dada



la

2

R  (x; y )  ℝ / y  15  x  2

Rpta: 10.



la

relación

relación

;

x    a; b  , determinar el valor de 2a+3b.

43.

Sea , Hallar el dominio de la relación. Rpta.: .

44.

En , se define la relación: , si “” es la suma de los elementos del dominio y “” es la suma de los elementos del rango. Hallar “”. Rpta.: .

Rpta: 73 60.

Sea , donde la relación . Hallar . Rpta.: 45.

Hallar

el

dominio

 R  (x; y )  ℝ 2 / y  

de 4

la

relación

2

  

x 4  4x x x

2

rango

relación

Rpta: –2; 2 – {0} 61.

Hallar



el

dominio

y

de

la

2

R  (x; y )  ℝ / y  2  5  4x  x

Hallar el dominio de la siguiente relación:

2



Rpta: Dom(R) = –8; 4 Ran(R) = –2; 1

Rpta.: . La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es:

62.

Rpta: 3. 48.

rango

.

Rpta: Dom(R) = ℝ  {3} Ran(R) = ℝ  {1} 57. Dada la relación

41. Sea , se definen las relaciones: , , Hallar: Dom.

47.

Hallar Dom(R) ∩ Ran(R) Rpta: 2; 4 Hallar el dominio y

R  (x; y )  ℝ 2 / xy  x 2  5 x  3 y  6

Rpta: 3.

46.



R  (x; y )  ℝ 2 / x 2 y  4x 2  2y  4  0

40. Sean , y y , , , hallar el valor de: .

45.

En la relación

Dado los conjuntos:

A  2x  1 / x  ℕ,  1  x  5 y B  1  2x / x  ℕ,  2  x  4

R como R   x, y   A  B / x  y  8

Definimos la relación

El dominio de la relación

. Hallar

n  R

Rpta:10 49.

63.

El rango de la relación

Dom  R  ∩ Ran  R  de la siguiente relación: R   x, y   ℝ 2 / x 2  2x  y 2  4 y  11  0 Hallar



Rpta: 50.

El dominio de la relación

51.

El rango de la relación

52.

Hallar el dominio y rango de la relación:

64.

 5, 2 A  2; 4

R   x; y  / x  A, y  B, x  y 



Rpta: Dom(R) = –9; 3 Ran(R) = –8; 4 53. Dada la relación real

65.

Hallar el número de elementos del conjunto AxB, si.

x 1   A  x  ℕ /  0 x 7  y 2 B  x ℤ / x  4





R  (x; y)  ℝ 2 /  2  y   9  x 2 2

 . Hallar Dom(R) ∩

Ran(R) Rpta: –1; 3



Rpta:18

66.

 x2 5  R   x, y   ℝ 2 / y  x   4 4  es una  Sea relación real. Hallar su rango

54.

El conjunto de números enteros que satisfacen el rango de la relación



R  (x; y )  ℝ 2 / 2x 2 y  4x 2  3 y  6  0 es:

B  2; 2; 8

Sean los conjuntos y . Hallar la intersección del Dominio y Rango de la relación R:AB, siendo Rpta: {2}

R  (x; y)  ℝ 2 / x 2  y 2  6x  4y  23  0





,

Rpta:

1/ 4, 

ALGEBRA |6 67.

Hallar

R

el

valor

 x, y   ℝ

2a  3b

de 2

en

/ y  15  x  2

x   a, b 

la

,

Rpta: [-3,3], [-1,5] si

Dados los conjuntos definen las relaciones:

A  2, 3, 5 y B  1, 4 . Se

R1   x, y   A  B / x  y  R 2   x, y   A  B / y  x  2 R 3   x, y   A  B / x  y  9 Hallar

el

dominio

 R1  R 2  ∪  R 3

69.

Rpta: 

3,5

Hallar

el

R Rpta:

Dominio

 x, y   ℝ

de

 R2 

2

y

Rango

2

la

relación

de

2

/ y x  3y 1  0

la

relación

la

relación



Dom  S   3, 

Ran  S   ℝ  0

70.

Hallar

T Rpta:

el

Dominio

 x, y   ℝ

2

y

Rango

2

de

2

/ x y  x  4xy  4 y  0



Dom  T   ℝ   2

Ran  T    0,   1

71.

 x, y   A   x, y   A   x, y   A



R1 

2

/ yx

R2

2

/ y2  x

2

/ y x 2 0

E



se

define

las



n  R1   n  R 2 

Hallar Rpta:3/2 72.

A  3, 5, 7

Dado el conjunto siguientes relaciones:

R3

n R3 

El rango de la relación:



, es:

R  ( x, y )  R 2 / x 2 y  4 x 2  2 y  4  0 Ran( R )  [2, 4 Rpta: 73.

Dados los conjuntos:

A  {4,10,14} y B  {6,8} . Hallar la suma de los elementos del dominio de R : A  B , Talque R  ( x, y )  AxB / x  y  16.

Rpta:24 74.

Hallar el rango de la siguiente relación:





R  ( x, y )  R 2 / y ( x  3)  x 2  5 x  6 Rpta: Ran( R )  R  {1} 75.

Hallar el rango de la relación:





R  ( x, y )  R 2 / 2 x 2 y  4 x 2  3 y  6  0 Rpta: Ran( R )  76.

79.

El dominio de la relación:



R  (x, y )  ℝ 2 / y 2  x 2  4y  6x  23  0

Rpta:73 68.

(2  y )2  9  x 2

relación

 2, 2

Hallar el dominio y rango de la siguiente relación:





R  ( x, y )  R 2 / y  x 2 y  1  0

Rpta: Dom( R )  R  {1,1}; Ran( R )  R  [0,1



R  (x, y )  ℝ 2 / y  x 2  4x  3  0



77.

Sea: Si el dominio de R es [-3,1]. La suma de los números enteros de su rango, es: Rpta: 35.

78.

Hallar el dominio y rango de:

,es: Rpta: [-9,3]



ALGEBRA |7

TEMA 11

ee

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos y está dada por: Y B  d A  X

PROPIEDADES 1. 2. 3. 4. PUNTO MEDIO El punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son los puntos y , esta dado por:

B Punto medio

A Ejemplo: Hallar el punto medio entre los puntos y Solución: ECUACIONES DE LA RECTA 1. ECUACIÓN GENERAL Esta dada por: Donde: Pendiente de una recta: se define como la relación entre el cambio en con respecto a

2. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE Esta dada por:

Donde: P



θ



Punto de paso de la recta L; p0 Pendiente de la recta L Medida del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje positivo

3. ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN Está dado por:

Donde: Pendiente de la recta L Punto de intersección de L y el eje Y

ALGEBRA |8



4. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por los puntos

y esta dado por:

B  A

Donde: = Punto de paso de la recta L;A.

5. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

  POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS 1. RECTAS PARALELAS Dos rectas

no verticales son paralelas, si sus pendientes son iguales.

Es decir:

2. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas no verticales son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a menos uno. Es decir:

ALGEBRA |9



OBSERVACIONES: 1.La ecuación de la recta paralela a la recta es 2.La ecuación de la recta perpendicular a la recta es DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto a la recta esta dado por:



PROPIEDADES:

1. 2. 3. Ejemplo: La distancia del punto a la recta es:

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Sean dos rectas paralelasy la distancia entre estas dos rectas está dado por:

EJERCICIOS 1.

a , b, c  ℝ

La ecuación ax  by  c  0 donde , gráficamente representa a una recta en el plano

XY . En las siguientes proposiciones cartesiano indicar (V) ò (F): a0

I.Si horizontal.

y

b, c  ℝ  0 ,

a, b, c  ℝ  0 , II.Si

2.

La medida del ángulo de inclinación de una recta que no pasa por el segundo cuadrante es 45°. Si su distancia al origen es 6, la ecuación de la recta es: Rpta:

3.

Dada la recta L: con no ceros simultáneamente. En las proposiciones siguientes:

es una recta

I. si entonces L es una recta vertical. II. si entonces L es una recta vertical. III. si entonces L es una recta de pendiente .

es una recta con pendiente

igual a cero.

Son falsas

a, c  ℝ  0

b0

III.Si y , es una recta con pendiente no definida o indeterminada. IV.Si

P  (m, n)

es un punto y

esta dado por La secuencia correcta, es: Rpta: VFVF

4.

Sean los puntos y , hallar la pendiente del segmento Rpta:

5.

Si la recta es perpendicular a la recta , el valor de , es: Rpta: -1

6.

La recta pasa por los puntos y , su ecuación general, es: Rpta:

L : ax  by  c  0

una recta en el plano, entonces la distancia de

d ( P, L ) 

RPta: I y III

ma  nb  c a2  c2

Pa L

A L G E B R A | 10 7.

Rpta: 26

Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de

5

longitud

extremo es

es el punto

(3; 2)

. Si la abscisa de un

18.

6 . Hallar su ordenada.

"n"

Calcule los puntos:

si

P  (n  1; n  1)

 10 17   ,  Rpta:  3 3 

equidista de

A  (1; 2) y B  (5; 6)

Rpta: 9.

7/2

19.

Dados los puntos:

que forman un triángulo al unir los puntos. Calcular su perímetro

10.

20.

33  65

21.

Determinar uno de los valores de “a” de modo que las

22.

L 1 : 2x  y  9  0 , L 2 : 5x  ay  17  0 y L 3 : ax  2 y  14  0

L 1 : ax  2y  b  6  0 pasa por el P  2, 3  y es paralela a la recta

Si la recta punto

23.

24.

L1 pasa por el punto (2,1) y es perpendicular a L : 4 x  3 y  4  0 . La distancia del punto la recta 2 (6,3) a la recta L1 es: La recta L1 : 3k x  5 y  3k  n  1  0 pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la recta

25.

26.

27.

Rpta: x+y-6=0

y

recta

, tenga pendiente igual

P   2, y  ,

entonces el por el menor valor de x ,

k , k  0, 3, 2  P= 

tales que la distancia a

la

recta

sea de 4 unidades.

IL : y  mx  b . bajo qué condiciones de y b la gráfica de IL pasa por cuadrantes I , III , IV ? Rpta: b  0, m  0 Dada la recta

m

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso.

2 x  5 y  3  0 tiene pendiente negativa. x es la recta y  0 La recta IL : x  5  0 tiene pendiente cero Dado IL : 7 x  3 y  c  0 , entonces la recta IL IL : 3 x  7 y  k  0 es

En las siguientes proposiciones Escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.

El valor de “n” para que el punto equidistante de los puntos

(5, n ) y Rpta: -4

L 2: x  y  0 que pasa por el

d  R, S   5 2 ,

la

positiva La secuencia correcta, es: Rpta: FVFF

PQ , es:

punto Q

d  P, Q   72

que

L : x  5  0 tiene pendiente cero II. La recta L : y  2  0 tiene pendiente cero III. La recta L : x  0 es el eje X IV. La recta 3x  5 y  7  0 es de pendiente

P (k , k  1) y Q( 1,2) . La ecuación general de una recta perpendicular a la recta L que pasa por el punto

Sí y producto del mayor valor de es:

para

I. La recta

Una recta L de pendiente 3 pasa por los puntos

Q   8, 7  , R   x, 1 y S   5, 2  .

k

perpendicular a Rpta: FVFV

Rpta: -22/3

L Determine la ecuación general de la recta 1 que pasa P (a  1,3) y Q(2,3  b ) , y por los puntos

punto

IV.

L 2 : 5 x  3 y  7  0 . Entonces el valor de “n”, es:

Sea las coordenadas de los puntos

de

Determinar el valor de

II.El eje III.

Rpta : 4

perpendicular a la recta

valor

L : kx  (k  1) y  18  0

I. La recta

13. La recta

17.

2

L : 5 x  12 y  3  k  0 Rpta: 16

Rpta: -8

medio del segmento Rpta: x+3y+5=0

El

del

L 2 :  b  2  x  3 y  a  0 . hallar “a+b”.

16.

son iguales. Encontrar el valor de

a , es: Rpta:

se cortan en un punto. Rpta: -16/9

15.

y

Rpta: 48

rectas

14.

 9,3b  1

 2a  1, 8

Si  2

  4,  1    5 Rpta: 

12.

Si los siguientes pares ordenados

E   a  b   a  b

1 ,5    , es uno de los extremos de un segmento   7 ,  26    10  rectilíneo y su punto medio viene a ser  4

es paralela a la

L2 : 5 x  3 y  7 . Hallar el valor de k .

2

las coordenadas del otro extremo, son:

11.

L1 : 3kx  5 y  k  2

La recta recta Rpta:

A  ( 4;3) , B  ( 4; 13) y C  (4; 2)

Rpta:

A   2, 1 , B   3, 4  y la 1,1 recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto   pasan por los puntos

Rpta: -6 8.

Determine el punto de intersección de las rectas que

El punto

(3, 2)

sea

es:

es uno de los extremos de un

segmento de recta cuyo punto medio es (4, 4) .Las coordenadas del otro punto extremo del segmento, es: Rpta:

28.

( n , 3)

( n , n )

(5, 6)

(1, 2) y L : 2x  3y  5  0 , es:

La ecuación de la recta que pasa por el punto es perpendicular a la recta Rpta:

3x  2y  7  0

A L G E B R A | 11 29.

Una de las ecuaciones de la recta paralela a

L 1 : 4x  5 y  5  0

41

y que dista de ella

43.

Sea la recta L paralela a la recta

44.

La recta

unidades, es: Rpta: 30.

4x  5 y  46  0

Si uno de los extremos de un segmento de recta es el

A  (3, 5) A  (6, 7) .Hallar la

punto

y

tiene

por

punto

medio

suma de coordenadas del otro extremo de dicho segmento. Rpta: -39 31.

¿Cuál es el valor de k, si la distancia del punto

P  (3, k )

Rpta: 32.

a

Q  (1, 0) , es 4 .

45.

L 1 : (k  2)x  2 y  3  0 Si las rectas L 2 : 3 x  (k  3)y  2  0 son perpendiculares. Hallar el valor de Rpta: 9

33.

a la recta L Rpta: -16 34.

y

P  (3, 2)

Cuál es el valor de k, si la distancia del punto al punto es 4u. Rpta. .

48.

Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto . Hallar la suma de las coordenadas del otro extremo de dicho segmento, si el punto medio es . Rpta: 3.

49.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y . Rpta: .

50.

Para qué valor de k, las rectas paralelas.

51.

Para qué valor de k, las rectas ; son perpendiculares. Rpta: -1/3.

52.

Hallar el valor positivo de k, de modo que la distancia del punto a la recta , sea 3unidades. Rpta: 75.

La ecuación de la recta que pasa por.

53.

y cuya suma de sus intersecciones con los ejes coordenadas es 3. La ecuación de dicha recta es:

Hallar la distancia del punto a la recta . Rpta: 5.

54.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por y paralela a la recta . Rpta: .

55.

Hallar los valores de “a” y “b” para que las rectas ; pasen por . Rpta: 11/2 y -23/2.

56.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y cuya suma de componentes de los puntos de intersecciones con los ejes coordenados es 3unidades. Rpta:.

57.

La recta pasa por punto de intersección de las rectas y . Hallar el valor de m. Rpta: -1/5.

58.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos y es 3 unidades. El valor de A; es. Rpta: .

59.

La ecuación de la recta paralela a y que dista unidades, es. Rpta: .

60.

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1 y la distancia del punto , es 13 unidades. Rpta: 6.

61.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos y es 3. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a esta recta que pasa por el punto A.

P  (2,1)

y

sea

paralela

a

la

recta

(7 ,1)

y

(2 , m )

La distancia entre los puntos valor de “m”, es: Rpta: 1

36.

Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de

es 5.El

longitud 5 unidades es el punto P  (3 , 2) .Si la abscisa del otro extremo es 6.Su ordenada positiva, es: Rpta: 2 El punto medio del segmento de recta es extremo es el punto Rpta:

(4 , 5)

(1, 4) , si un

(2 , 3) .El otro extremo, es:

A  (2 ,  4)

Rpta:

4x  y  4  0

L 1 : (x  2 y  1)a  (3 x  2)b  20  0 pasa por el punto P  (1, 2) y es perpendicular a L 2 : 2 x  3 y  5  0 .El valor de ab ,es: Si la recta

Rpta: 6 El valor de “k” para que la distancia del origen a la recta

y  5  k (x  3)

Sea 3 unidades, es: Rpta: -8/15 El área de un cuadrado que tiene los lados colineales con

L 1 : 3x  4y  10  0

L 2 : 3x  4y  15  0 2 Rpta: 25 u

42.

, es:

47.

Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto

35.

41.

entonces el valor de

Rpta: -1

Rpta: 5

40.

Sea la ecuación de las rectas

Sean los pares ordenados iguales. El valor de “a-b”; es. Rpta:1

es 4 unidades.

3x  4y  10  0 Hallar la distancia del punto P  (2, 5) a la recta L : 3x  4y  1  0

39.

y

L : x  y 3  0

L 2 : 3x  2y  11  0 Si L 1 es perpendicular a L 2 ,

Rpta:

38.

A  (3, 2)

46.

L : 3  4y  8  0

37.

pasa por el punto

B  (1, 6) .La recta L que pasa por el punto medio de A y B y perpendicular a L 1 , es:

k ,k  ℤ

: 5x  12y  k  3  0

L1

L 1 : (k 2  1)x  (k  1)y  3  0 y

2 m1  5 m 2 .

Hallar el valor de k, si la distancia del punto

pasa por los

puntos A  (2, 2) y B  (3, 4) , Si L es paralelo a L 1 y pasa por el punto P  (7, 8) , entonces la ecuación de la recta L , es: Rpta: L : 6x  5 y  82  0

Rpta:

2 3

L 1 que

P  (m , 4) es equidistante a las rectas L 1 : 13x  9y  10  0 y

Si el punto

L 2 : x  3y  6  0

El mayor valor de m, es: Rpta: 2

y Rpta: 1/3.

son

A L G E B R A | 12 Rpta:.

80.

62.

Hallar el valor de k para que la distancia del origen a la recta sea 3 unidades. Rpta: -18/15.

63.

Hallar los puntos de ordenada 3, cuya distancia a la recta es 4 unidades. Rpta: .

64.

65.

66.

Determinar la suma de coordenadas de la ecuación de una recta que pasa por los puntos y . Rpta: 1.

67.

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1y la distancia al punto (-4,-6), es 13. Rpta: 6.

68.

La recta , es paralela a la recta . Hallar el valor de “”. Rpta: 2.

69.

Determinar el valor de , de modo que la distancia de a la recta sea de 6 unidades. Rpta: 18. Hallar la distancia del punto medio del segmento a la recta , sabiendo que Rpta: .

70.

71.

La distancia del punto a la recta que pasa por los puntos y , es: Rpta: 4.

72.

Sean los puntos , y ,que se encuentran sobre al recta Calcular

73.

Hallar la longitud de la diagonal de un cuadrado, si y

74.

Una recta tiene pendiente positiva y forma con el eje de las ordenadas un Angulo de 37º. Hallar la pendiente de dicha recta

75.

76.

y por el menor valor de x ,

Si

 7; 8

La distancia entre los puntos

 6, b 

unidades. Hallar la suma de valores de Rpta:14 83.

y

 b, 8 

es 10

b.

Determine la distancia del punto

P  2, 2  a la recta que

pasa

paralela

 5, 7 

por

y

6x  3y  4

es

a

la

recta

3 5 Rpta: 5 84.

Determinar el punto de intersección de las rectas

L1

y L2 6

O

3

1 2

x

-3

 9 15   ,  Rpta:  8 4  85.

Determine el punto de intersección de las rectas que

A  2, 1 , B  3, 4  y la recta que 1,1 tiene pendiente 2 y pasa por el punto   pasan por las puntos

 10 17   ,  Rpta:  3 3  86.

Halla la pendiente de la recta que pasa por el punto

 2, 2 

y por el punto de intersección de las rectas

3x  4 y  5  0 Rpta: 87.



y

x  y 1  0 .

4 3

Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al

2 10 unidades. 3 x  y  20  0 , 3 x  y  20  0 Rpta:

es uno de los extremos de un segmento y su

 4; 3

a  4; 6  es el punto medio entre los puntos Si   4  2a; 11 y 12; 1 . Hallar el valor de a .

88.

89.

La recta

 12

L1 : 3k x  5 y  k  2

es paralela a la

L 2 : 5x  3y  7 . Hallar el valor de k .

recta Rpta: 25/9

Los puntos medios de las lados de un triángulo son

 0; 1 ,  3; 5 y  1; 2  , hallar los vértices. 4; 4  ,  2;6  y  4; 2  Rpta: 

 6, 0 

Una recta pasa por formando un triángulo de área 12u2 en el cuarto cuadrante con los ejes coordenados. Hallar la ecuación de dicha recta.

Rpta: 2 x  3 y

Rpta: 6 79.

x , es:

origen es

punto medio es , hallar la suma de las coordenadas del otro extremo. Rpta: –1 78.

82.

d  E, F   6 , siendo E   x; 2  , F   5;8  y d  C, D   8 donde C   3; 4  , D   5; y  , hallar 50 xy .

Encontrar el valor de

d  P, Q   72 , donde P   2, y  Q   8, 7  d  R, S  5 2 R   x, 1 , y donde S   5, 2  . El producto del mayor valor de y por el ,

Si

3

y

Conociendo que

menor valor de Rpta: 26

d  P;Q   72 con P   2; y  , Q   8;7  y d  R,S  5 2 donde R   x; 1 y S   5; 2  ; el

el valor de Rpta: 10 77.

81.

Si

producto del mayor valor de es: Rpta: –26

 9, 3b  1 son iguales.  a  b  2   a  b 2

 2a  1, 8 

Rpta: 48

El punto el punto medio del segmento de la recta es si uno de los extremos es el punto . Hallar la distancia de A hasta B. Rpta:. Hallar la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es y cuya intersección con el eje X es 2. Rpta:.

Si los siguientes pares ordenados

90.

k  0 de modo que la distancia L : 5x  12y  3  k  0 recta

Determinar el valor de

 3, 2 

de a la sea de 4 unidades. Rpta: 16

A L G E B R A | 13 91.

Hallar las coordenadas del punto

IL : 3x  y  3  0

Q

de la recta

que equidista de los puntos

A   2, 4  y B   6, 2  Q 2, 3  Rpta:  92.

la recta

IL : 2 x  y  1  0

B   4,5 

Rpta: 93.

3 5 5

A  1,1 ,

Si

B   4,3

encuentran sobre la recta . Rpta: 9 94.

AB a A  2,3  y sabiendo que

Hallar la distancia del punto medio del segmento

y

C   2, 1

se

IL : ay  bx  c , calcular a b

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(-3,1) y es perpendicular a la recta:

L : 3y  x 1  0 Rpta: 3 x  y  8  0

95.

Sea A=(2,3), B=(3,6) y C=(5,4) vértices de un triángulo ABC. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura que parte del vértice B. Rpta: L : 3 x 

96.

y  15  0

L1 : ax  (2  b) y  23  0 L2 : (a  1) x  by  15  0 . Hallar

Si:

a y b, para que representen rectas que pasan por (2,-3). Rpta: a=4, b=7 97.

Hallar el valor de k para que la recta:

L : kx  (k  1) y  18  0

, sea de pendiente 4/3

Rpta: 4/7 98.

Desde el punto (-1,2) se traza la perpendicular a la recta:

99.

Si la distancia de la recta :

L : 3 x  4 y  6  0 .¿A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto (4,3)? Rpta: 23/5

a la recta la recta

L2

L2

L1 : 5 x  12 y  12  0

es 4 unidades y

L1 // L2

,

. la ecuación de

, es:

Rpta: 5x  12y  64  0  5x  12y  40  0 100. Calcular el valor de k para el cual la recta:

L1 : kx  (k  1) y  3  0 , recta: L2 : 3 x  2 y  11  0

sea perpendicular a la

Rpta: 2 101. La ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,-2)

4y  3x  2  0 Rpta: 3y  4x  14  0

perpendicular a la recta:

, es:

102. La ecuación de la recta que pasa por el punto(1,-2) y es perpendicular a la recta:

L : 2x  3y  5  0

Rpta: 3 x  2 y  7  0

, es:

103. La ecuación de la recta L que pasa por el punto P=(-1,-5) y es perpendicular a la recta:

L1 : 3 y  5 x  1  0

Rpta: 3 x  5 y  28  0

104. Sean las rectas:

, es:

2 x  a 2 y  0 y x  2 y  2 . Calcule la suma de los

valores de a si no se interceptan. Rpta: 0

A L G E B R A | 14

TEMA 12

DEFINICIÓN: una circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro . La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio

K+r

A



ELEMENTOS



1. Centro:

C







M

K -r

2. Radio:

B

3. Diámetro:

N

4. Cuerda: 0

h -r

h +r

Nota: Longitud de la circunferencia ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA Por definición de distancia entre dos puntos se tiene: Elevando al cuadrado …………….. (1) Ejemplo: Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es Solución: entonces:

2. ECUACIÓN CANÓNICA Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces La ecuación de la circunferencia se reduce a: ………….. (2) Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de coordenadas y radio r =5 Solución: entonces 3. ECUACIÓN GENERAL Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.

Donde: …………(3) A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y F. Completando cuadrados para se tiene.

Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:

Analizando el radicando 1. Si

La ecuación (3) representa a una circunferencia de centro y

Radio 2. Si

en

La ecuación (3) representa sólo un punto que es ; puesto que

A L G E B R A | 15

3. Si

La ecuación (3) no representa una circunferencia en porque su radio .

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia. Solución: Simplificando la ecuación:

La ecuación dada, representa una circunferencia con centro y radio

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución: Simplificando la ecuación:

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA: 1.

Si el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas:

 0

Ejemplo: Sea la circunferencia

, determinar el domino y el rango

Solución: 1.

Si el centro de la circunferencia es

K+r

C



K-r

0

h-r

h+r

Ejemplo: Sea la circunferencia Determinar el domino y el rango. Solución:

y r=3

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia en el punto de tangencia, esta dado por: Una recta tal que recibe al nombre de recta normal. Ejemplo: Hallar la recta tangente a la circunferencia , en el punto de tangencia Solución:

Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es: CASOS PARTICULARES:

A L G E B R A | 16 1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X

C



Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje de centro Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje se cumple La ecuación de la circunferencia es:

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y

C



Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje , de centro en Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple La ecuación de la circunferencia es 3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS

r==

C

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro en Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple =

La ecuación de la circunferencia es: EJERCICIOS

1.

2

5  ( x  2)2   y    9 2  Rpta:

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera 0 (F) si es falsa

x 2  y 2  4x  2y  5  0 es una circunferencia de centro (2 , 1) I. La ecuación

4.

a la circunferencia , es: Rpta: 9

2 2 II. La ecuación x  y  2x  6 y  7  0 es una

circunferencia de radio 3 III.

La

ecuación

x 2  y 2  4y  0

circunferencia de centro (0 La secuencia correcta, es: Rpta: FFV 2.

, 2)

es

Dada la ecuación de la circunferencia , su centro y su radio, es: Rpta:

6.

Uno de los puntos de intersección de la circunf. con la recta , es: Rpta:

y radio 2.

I. El centro de una circunferencia tangente al eje X , esta en el primer cuadrante. II. Si una circunferencia con centro tangente al eje

, entonces el radio es

III. Una circunferencia con centro en al eje X .

C  ( h, k ) r h.

(0, k )

es

La ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia y que es tangente a la recta L: , es :

7.

8.

Sean las circunferencias concéntricas si , el valor de y radio de Rpta: Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos (2;3) y circunferencia

es tangente

Rpta.: FVF 3.

5. una

Escribir (V) si es verdadero o´ (F) si es falso en las siguientes proposiciones:

Y

La longitud de la tangente trazada desde el punto

Rpta: 9.

(4;5) . Hallar la ecuación de dicha

( x  1) 2  ( y  4) 2  10

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el

C  (0; 2) y que L : 5 x  12 y  2  20

punto

es tangente a la recta

A L G E B R A | 17 Rpta: 10.

22.

x 2  ( y  2) 2  4

(4, 0)

Determinar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la circunferencia:

( x  6) 2  ( y  6) 2  25 L : x  y  12  0

y

la

recta

Rpta: 23.

11. La ecuación canónica de la circunferencia que es tangente

L : y  4  0 , es:

Rpta: C 12.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta L : 2 x  3 y  12 , comprendida en el segundo cuadrante.

13.

2

0

25.

y que pasa por los puntos

26.

La longitud de la circunferencia

El radio de la circunferencia

3

( x  3)  ( y  3)  9 2

Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es:

C : x 2  y 2  x  6y  3  0

centro esta en sobre la recta L : 2 x  y  3  0 , es:

27.

Rpta:

5

Una

recta

es

tangente

El

centro

de

la

circunferencia

C :  2 x 2  2y 2  ax  2 x  (b  1)y  52  0

es

(a-2, 6). El valor de a+b, es: Rpta. 27 15.

C :(n  3)x  4 y  8(n  5)x  20 y  25  0 y que

28.

pasa

por

la

intersección

de

las

29.

rectas

diámetro la porción de la recta L : 2 x  3 comprendida en el segundo cuadrante es:

C :(x  3)2  (y  2)2  13

La ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia

Rpta:

Una circunferencia pasa por los puntos y cuyo centro esta sobre la recta . La diferencia de los componentes del centro es:

y  12  0

C : 4 x 2  4 y 2  16 x  20 y  25  0 y que es tangente a la recta L : 5x  12y  1  0 , es:

5 81 ( x  2)2  ( y  )2  2 4 Rpta: 16.

circunferencia

La ecuación de la circunferencia que tiene como

Rpta:

2

L 1: x  2y  2  0 y L 2: x  y  4  0

la

2

.Hallar la pendiente de la recta tangente.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia 2

a

C : (x  3)  (y  12)  100 , en el punto (5, 6) 2

14.

(7, 3)

(x  6)2  (y  6) 2  178

Rpta:

Una de las ecuaciones ordinarias de la circunferencia tangente al eje X que pasa por el punto (6,3) y cuyo

Rpta.

(x  4)  (y  5)  25

C : 25x 2  25 y 2  30x  20 y  62  0 , es:

 ( y  2)2  13

2

2

C : 4x 2  4 y 2  16x  20 y  25  0 , es: Rpta: 4

: x 2  y 2  16

Rpta: ( x  3)

2

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta

Rpta: 24.

(7,1) , es:

y pasa por el punto

L : x  2y  6  0 y (3, 7) , es:

Rpta: -12

a la recta

La ecuación de la circunferencia tangente al eje X en

30.

 x  2 2

2

5  y   9 2 

La longitud de tangente trazada desde el punto

P  (6 , 4) a la circunferencia

C : x 2  y 2  4 x  6 y  19 , es: Rpta: 17.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos circunferencia es:

31. y

Si el centro de la

C : x 2  y 2  (a  4)x  by  17  0 es (a  1,1) .Hallar el radio

El dominio de la

Rpta: 32.

18. Hallar la ecuación de la circunferencia de

rectas cuyas ecuaciones son:

Rpta:

L1 : 3 x  2 y  24  0

y 33.

( x  6)  ( y  3)  25 2

2

Hallar la ecuación de la circunferencia

Hallar la ecuación de la circunferencia con

( x  3) 2  ( y  1) 2 

49 2

2

Rpta: x  y  4 x  6 y  11  0

de

la

circunferencia

de

centro

en

y es tangente a la recta:

ℂ : x 2  y 2  8 x  2y  35  0

x 2  y 2  25 , está sobre la recta cuya ecuación es: x  7 y  25  0 la Una cuerda de la circunferencia

Rpta: 35.

d(A, B)  5 2

Considere la ecuación de la circunferencia . El centro y radio; es.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4). 2

ecuación

longitud de la cuerda es:

centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta

Rpta.

x 7

(x  2)2  (y  5)2  81

C  (4 ,  1)

Rpta: 34.

x  y 3 0.

La

y es tangente a la recta

L : 3x  2y  12  0

cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta en el punto de tangencia

21.

Hallar la ecuación de la circunferencia , de centro

(2 , 5)

Rpta.

20.

3

radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las

L2 : 2 x  7 y  9  0

19.

9

Rpta: y . 36.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos y . La ecuación de la circunferencia; es.

A L G E B R A | 18 Rpta:. 37.

Rpta:. 38.

Determinar el perímetro del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias ; y . Rpta:12.

39.

El centro de una circunferencia tangente a la recta en el punto , esta sobre el eje Y. La ecuación general; es. Rpta: .

40.

Rpta: .

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto y tangente a la recta ; es.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta comprendida en el segundo cuadrante.

56.

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta y que pasa por los puntos y , es: Rpta:.

57.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con y que es tangente a la recta . Rpta: .

58.

La ecuación de la circunferencia de centro y que pasa por , es: Rpta: .

59.

La ecuación de la circunferencia de centro tangente a la recta

Rpta:. 41.

42.

60.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y si su centro pertenece a la recta . Rpta: .

43.

, es: Rpta:.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es y que es tangente a la recta . Rpta:.

61.

62.

Rpta: .

Una circunferencia cuyo centro es pasa por el punto . Hallar la ecuación. Rpta:.

45.

46.

47.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y una cuerda cuyos extremos son los puntos y. Rpta: . Hallar la ecuación de la circunferencia de centro y pasa por el punto . Rpta:.

49.

50. 51.

52.

63.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos y El dominio de la circunferencia es:

64.

Hallar si la circunferencia es tangente a los ejes coordenados con centro

65.

Una cuerda de la circunferencia esta sobre la recta cuya ecuación es . Hallar la longitud de dicha cuerda. Rpta:. La ecuación de la circunferencia de centro y que es tangente a la recta , es: Rpta: .

Rpta: secante 66.

Determine si la recta 3 x  4 y  27  0 es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia

x 2  y 2  4 x  2 y  20  0 Rpta: tangente 67.

Determine si la recta x  y  10  0 es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia

x 2  y 2  4 x  2 y  20  0 Rpta: exterior 68.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su

centro en la recta x  2 y  5 y pasa por los puntos

1, 2 

Rpta: 

Hallar el radio y centro de la circunferencia: Rpta: 7 y .

Determine si la recta 3 x  y  5  0 es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia

x 2  y 2  2x  3  0

El centro de una circunferencia es y que es tangente a la recta . Hallar su ecuación. Rpta:. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas y . Rpta:.

Una recta es tangente a la circunferencia en el punto de tangencia La pendiente de la recta tangente es:

Hallar la suma de todos los enteros que verifican el dominio de la circunferencia . Rpta: 7.

48.

Una circunferencia pasa por los puntos y cuyo centro esta sobre la recta . La suma de los componentes del centro es: Rpta: -2 Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta en el punto de tangencia

El rango de la circunferencia , es:

44.

69.

y

 5, 0 

x  3   y  1  5 2

5

Hallar la máxima distancia del punto 2

53.

55.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.

y

a la

Rpta: 15 70.

Hallar

el

2

radio

y

centro

de

la

circunferencia

2

C : x  y  4 x  6 y  12  0

Determinar la suma de los valores de “”, para que la recta , sea tangente a la circunferencia Rpta:.

10, 7 

2

circunferencia C : x  y  4 x  2 y  20  0

Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia Rpta:14.

54.

y que es

Rpta: 5 y 71.

 2, 3

Determinar el valor de

L : 2x  3y  k  0

k0

para que la recta

sea tangente a la circunferencia de

2 2 ecuación C : x  y  6 x  4 y  0

Rpta: 25

A L G E B R A | 19 72.

2

2

Hallar la recta tangente a C : x  y  2 x  y  5 en

 3, 1 .

el punto

74.

86.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el

 7, 5

de

las

rectas

Rpta: x 75.

Si

2

la

es

tangente

4x 2  4 y 2  8 y  4

a

la

Rpta: x

2

 4, 0 

 7,1

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con 2

que

2

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y . Rpta:

91.

La ecuación de la circunferencia es el punto medio de una cuerda de esta circunferencia es . Hallar la ecuación de la cuerda. Rpta:

x  y 3 0.

92.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos , y . Rpta:

93.

Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia en . Rpta:

94.

Hallar la suma de elementos enteros del dominio de la circunferencia . Rpta:

95.

Determinar si la recta es una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia . Rpta: es exterior

Rpta: ( x  3)  ( y  1)  49 / 2 2

2

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:

L1 : 3x  2y  24  0

L 2 : 2x  7 y  9  0 2

2

Rpta: (x  6)  (y  3)  25 Si

el 2

centro

de

la

2

circunferencia:

x  y  (a  4)x  by  17  0 , es

(a  1, 1)

.

Hallar el radio. Rpta:3 Encontrar la ecuación de la circunferencia C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:

x 2  y 2  4x  4 y  7  0 , y cuyo radio es r = 4. La ecuación de la circunferencia C1, es: 2 2 Rpta: x  y  4x  4 y  8  0

82.

El punto (3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta L : 2x  5 y  18  0 en una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es. 2

2

Rpta: (x  3)  (y  1)  38 83.

Calcular la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante. 2

2

Rpta: (x  3)  (y  8)  9 84.

2

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta

81.

es el centro de una circunferencia

que intercepta a la recta L : 2 x  5 y  18  0 es una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es:

90.

es

5  x  2 2   y    9 2  Rpta:

80.

C (3, 1)

2

 y  8 x  10 y  16  0

4x  4 y  16x  20 y  25  0 y tangente a la recta IL : 5 x  12y  1  0

79.

El punto

2

Rpta.: ( x  3)  ( y  1)  38

2

2

?

La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos D= (2,1); R=(1,-1) y Q= (0,-1). 2

89.

y que pasa por el punto

(3, 4) y (3 2, 7) C : x 2  y 2  25

Rpta.: x  y  x  y  2  0

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X en

y  x  0 . Además, pasa por los

puntos

en el punto

Q   a, b  , hallar a  b

78.

esta sobre la recta

88.

x y 3 0

recta

2

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro

Rpta.:

Rpta: 1

77.

87.

 y 2  8 x  4 y  38  0

circunferencia

76.

2

y

IL 2 : 2x  5 y  2  0

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta Rpta: (x  4)  (y  1)  52

y cuyo centro es el punto de intersección

IL1 : 7x  9y  10  0

x 2  y 2  4x  6 y  11  0

L : 3x  2y  12  0 , es:

x 2  y 2  9 y tangente a la recta L : x  2 y  10  0 . 2 2 Rpta: x  y  20 punto

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4). Rpta:

Rpta: 4 x  3 y  15 73.

85.

Dada las circunferencias:

C1 : x 2  y 2  10 x  2y  10  0 C 2 : x 2  y 2  2x  2y  2  0 Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2 Rpta: x

2

 y 2  14x  2y  34  0

96. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje y una cuerda cuyos extremos con los puntos y . Rpta: 97. Hallar el dominio y rango de . Rpta: 98.

La ecuación de la circunferencia de centro y que es tangente a la recta , es: Rpta:

A L G E B R A | 20

TEMA 13

A L G E B R A | 21

DEFINICIÓN: Una parábola ,, es el lugar geométrico del conjunto de puntos , tal que la distancia de un punto arbitrario a un punto fijo llamado foco es igual a la distancia de a la recta fija llamada directriz . Son iguales. Es decir: ECUACIONES DE LA PARABOLA I.

ECUACION DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

Y

L

Q







Eje focal



Donde: - la parábola se abre a la derecha

 0



X

- la parábola se abre a la izquierda

Directriz

ELEMENTOS: 1. Vértice: 2. Foco: 3. Recta Directriz 4. Eje focal 5. Longitud del lado recto(ancho focal): 6. Extremos del lado recto: 7. Excentricidad de una parábola:

2. ECUACIÓN CANÓNICA Cuando el vértice entonces:

3. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por: Con ; A La parábola se abre hacia la derecha. La parábola se abre hacia la izquierda. DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en y foco en Solución: Cuando las ordenadas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela Vértice Foco: (Se abre hacia la derecha) Entonces la ecuación de la parábola es:

II. ECUACION DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

al eje .

A L G E B R A | 22 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

Y

Eje focal

Donde: 

 R

L

 



R’



L

- la parábola se abre hacia arriba

Q

- la parábola se abre hacia abajo Directriz

X 0

ELEMENTOS: 1. Vértice: 2. Foco: 3. Recta Directriz 4. Eje focal 5. Longitud del lado recto(ancho focal): 6. Extremos del lado recto: 7. Excentricidad de una parábola: 2. ECUACIÓN CANÓNICA Cuando el vértice entonces:

3. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por: Con ; A La parábola se abre hacia arriba. La parábola se abre hacia abajo. DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en y foco en Solución: Cuando las abscisas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela

al eje.

Vértice Foco: (Se abre hacia abajo) Entonces la ecuación de la parábola es:

EJERCICIOS 1.

En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa

La secuencia correcta, es: Rpta: FVF

2

I. La ecuación y  4y  2x  6  0 es una parábola con eje focal paralelo al eje “Y” 2

II. La ecuación x  8 y focal paralelo al eje Y 2

 0 es una parábola con eje

III. La ecuación y  4x es una parábola de recta directriz paralelo al eje “x”

2.

La ecuación de la parábola con foco en el punto (2,1) ; L : 3x  7 y  1  0 y directriz vértice sobre la recta horizontal, es: Rpta:

( x  2) 2  8( y  1)

A L G E B R A | 23 3.

El

foco

de

la

P : my 2  2mx  10my  25m  6  0

(1,5) , el valor de " m 2 "

parábola es

el

Hallar la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje y vértice y pasa por los puntos y ( Rpta:

19.

Hallar la longitud del lado recto de la parábola. 2

punto

es:

Rpta:4 4.

18.

y  2 x  10 y  27  0

Dada la ecuación de la parábola

Rpta: 2

x  4 y  2mx  m  8  0 , hallar las coordenadas 2

2

de su foco Rpta: (m,-1) 5.

20.

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia C :2 x  2y y foco en el punto (2, 2), es: 2

Rpta:

2

 20 x  8 y  56  0

( y  3)2  20( x  8)

Hallar el valor positivo de parábola

M en la ecuación de la

2

x  4 x  4 My  8  0 .

2, 2  . foco es 

y 2  12 x  32  0

La ecuación de la parábola de recta directriz vertical,

(2, 3)

foco

y

vértice

sobre

L : 5x  2y  4  0 , es:

Sabiendo que el

y

(2;0) .

Rpta: 22.

x  6

Halle la ecuación de la parábola de directriz de foco

foco (3,-3), y vértice sobre la recta L : x  2y  2  0 , es:

7.

( y  5) 2  8( x  3)

( y  2)2  12( x  5)

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y

Rpta:

V  (3;5) y cuyos extremos del lado recto son: L  (5;9) y R  (5;1) Rpta:

21. 6.

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice

Rpta:

la

recta

(y  3) 2  16(x  2)

Rpta: 3 23. 8.

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta

P : x 2  4y

IL : 5 x  2 y  4  0 , es:

Rpta: 9.

10.

2

foco Rpta: 11.

24.

C : 2 x 2  2 y 2  20 x  8 y  56  0 y

26.

El foco de la parábola

y  4 y  20 x  64  0 27.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz 2 x  4  0 .

15.

16.

28.

17.

Sean y vértice y foco de una parábola respectivamente, la recta directriz es: Rpta:

y vértice sobre la recta

L : 5x  2y  4 ,

(y  3)2  16(x  2)

La ecuación de la parábola de foco directriz Rpta:

29.

L : x  5  0 , es:

La ecuación de la parábola

Rpta: 30.

P

L : y  3 es:

y de recta

con vértices en

(3 ,  1)

(x  3)2  8(y  1)

La ecuación de la parábola

(3 , 5)

P

que tiene el vértice en

y cuyos extremos

del lado recto son Rpta:

(7 , 2)

(y  2)2  4(x  6)

y directriz

03. Dada la parábola , el vértice es: Rpta: Dada la ecuación de la parábola , sus extremos del lado recto es: Rpta: y

(2 , 3)

Rpta:

y de directriz la

02. La ecuación de la parábola cuyos vértice es (5,-1) y foco (5,-4), es: RPta:

Rpta: La ecuación de la parábola de eje horizontal, con foco en es:

Rpta: 14.

y foco

 5  1,   2

2

13.

(1,1)

recta

P : 4 y 2  20 y  48 x  71  0 , es:

2

Rpta. y  2 y  12 x  13  0 La ecuación de la parábola de foco recta L: y+5=0, es:

la

P : y  ax 2  bx que pasa por los puntos A  (2, 8) y B  (1, 5) es: 1 1  ,  3 Rpta:  3 El vértice de la parábola

3 x 2  3 y 2  18 x  12 y  27  0

12.

a

P : y 2  2y  16x  15  0

25.

 y  2  2  12  x  5

Rpta:

perpendicular

La ecuación de la parábola de vértice

Rpta:

 2, 2  , es:

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la recta IL : x  2 y vértice el centro de la circunferencia

es

(3,1) , es:

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

que

L : x  2y  8  0 , es: Rpta: 20

y 2  6 y  16 x  23  0

Sea la parábola y  ax  bx  c de vértice (2,3) y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta: 9/4

La longitud de la cuerda focal de la parábola

2

L  (5, 9)

(y  5)  8 (x  3)

y

R  (5,1)

A L G E B R A | 24 31.

Dada la ecuación de la parábola . Hallar su rango. Rpta: .

32.

Determinar el lado recto de la parábola . Rpta:3.

54.

Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola , cuya ordenada es 3 unidades. Rpta:5.

Dada la parábola: recto. Rpta: 4

55.

Sea

33.

34.

Hallar la suma de coordenadas del vértice de la parábola . Rpta: -3.

36.

El vértice de una parábola cuya directriz es es el centro de la circunferencia . Rpta: .

37.

Hallar las coordenadas del foco de la parábola . Rpta: (2,0).

39.

40.

Sean (2,1) y (2,4) vértice y foco de una parábola respectivamente. Hallar la longitud del lado recto. Rpta: 12.

41.

Una parábola cuyo vértice es (2,1) y su foco tiene como coordenada el punto (5,1). Hallar la ecuación de la parábola. Rpta:.

42.

43.

Hallar la ecuación de la parábola de foco (7,2) y la recta directriz . Rpta: ).

la

y

parábola

a  2b  3c

( x  2) 2 2 4 . Determinar el lado

y  ax 2  bx  c .

si pasa por los puntos

56. 57.

2

y  6x  x 2  0 . Si x   4, 10 

Rpta: 58.

 40, 160

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

C : 2x 2  2y 2  20 x  8 y  56  0

 y  2 2

M

Rpta:3 60.

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la recta IL : x  2 y vértice el centro de la circunferencia

3 x 2  3 y 2  18 x  12 y  27  0 2

Rpta: y  4 y  20 x  64  0 61.

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el centro de

2x 2  2y 2  20 x  8 y  56  0

Rpta: y  4 y  12 x  56  0

45.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F= (1,-1) y recta directriz . Rpta:.

de

la

circunferencia

2

62.

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta

IL : 5 x  2 y  4  0 , es: 2

Rpta: y  6 y  28 x  131  0 63.

Sea la parábola de ecuación . Hallar la distancia del foco a la recta directriz. Rpta: 4.

La ecuación de la parábola con vértice sobre la recta

IL1 : 3 x  2 y  19  0 , foco sobre la IL2 : x  4 y  0 y directriz la recta IL : x  2 , es:

recta

2

Rpta: y  4 y  12 x  64  0 64.

49.

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, y que pasa por el punto . Hallar la directriz de dicha parábola. Rpta:.

65.

50.

Sea la parábola . Determinar , si pasa por los puntos . Rpta: 36.

66.

51.

Determinar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta , foco sobre la recta . Rpta:. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (0,0), (8,-4) y (3,1) 2 Rpta: ( y  1)  x  1

centro

5 x 2  5 y 2  20 x  20 y  35  0

Determinar la suma de los puntos de intersección de la parábola y la recta , en el cuarto cuadrante. Rpta:.

52.

de la ecuación de la

2 parábola x  4 x  4 My  8  0 . Sabiendo que el 2, 2  . foco es 

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (-3,5) y cuyos extremos del lado recto son (-5,9) y (-5,1). Rpta: .

48.

foco

 12  x  5 

Rpta:: 59. Hallar el valor positivo de

44.

47.

y

 2, 2  , es:

la circunferencia y foco el

Encontrar la ecuación de la parábola con foco en (0,-2) y recta directriz . Rpta:.

y

Sea la parábola de ecuación y  4 x  6 y  25  0 . Hallar la distancia del foco a la recta directriz. Rpta:2 Determinar el rango de la parábola de ecuación

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (3,-1) y recta directriz la . Rpta: .

46.

Determinar

1, 0  ,  0, 0 

Rpta: 1

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-1,1) y foco (3,1). Rpta: . Hallar la ecuación de la parábola de foco F= (1,1) y de recta directriz . Rpta: .

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto (4,-2), Hallar la directriz. Rpta: y  2

 1, 2  .

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (6,4) y su recta directriz es . Rpta:.

35.

38.

53.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz 2 x  4  0 . 2 Rpta: y  2 y  12 x  13  0

Sea la parábola y  ax  bx  c de vértice (2,3) y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta: 9/4 2

Si se tiene foco F=(5,1) y directriz cuya ecuación es y+7=0 de una parábola. Hallar el dominio y rango de la parábola. Rpta: Dom( P )

 R, Ran( P)  [3,  

A L G E B R A | 25

TEMA 14

Una elipse ,, es el lugar geométrico del conjunto de puntos tal que la suma de las distancias del punto a los puntos fijos llamados focos, es igual a una constante. Es decir:

C

Notaciones: 1. Longitud del eje mayor: 2. Longitud del eje menor: 3. Distancia focal: 4. 5. , 6. ECUACIONES DE LA ELIPSE ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

a

b c

ELEMENTOS: 1.

:Centro de la elipse

2.

Vértices o extremos del eje mayor:

3.

Focos

4.

Extremos del eje menor:

5.

Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices:

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro está en el origen de coordenadas entonces: ECUACIÓN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

A L G E B R A | 26

A L G E B R A | 27 Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse Solución:

       

Vertices: Focos Extremos del eje menor: Longitud de cada lado recto: Excentricidad: Eje focal: Directrices: Dominio y rango de la elipse   ECUACIÓN CARTESIANA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

a

c C

b

ELEMENTOS:

1.

: Centro de la elipse

2.

Vérticeso extremos del eje mayor:

3.

Focos

4.

Extremos del eje menor:

5.

Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices:

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro está en el origen de coordenadas entonces:

ECUACIÓN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse Solución:

  Vértices:  Focos

A L G E B R A | 28  Extremos del eje menor:  Longitud de cada lado recto:  Excentricidad:  Eje focal:  Directrices: Dominio y rango de la elipse

EJERCICIOS

1.

¿Cuál de las ecuaciones dadas representa una elipse? I.

x2  y 2  x  2 y  1  0 2

6.

Los focos de una elipse son y . Hallar la ecuación de la elipse, si uno de los vértices esta sobre la recta Rpta:

7.

Una elipse pasa por el punto , uno de sus focos y su recta directriz correspondiente al foco es . Hallar la longitud del lado recto. Rpta:

8.

Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que pasa por el punto y cuyos focos son los puntos y Rpta: 10

9.

La ecuación de la elipse de vértices es: Rpta:

10.

La ecuación de la recta directriz de la elipse es: Rpta:

11.

De las siguientes ecuaciones dadas, corresponden a una elipse: I. II. III. IV. Rpta:IV

12.

En una elipse de ecuación: 2 2

2

II. x  y  4 x  2 y  6  0 2

2

2

2

III. 2 x  y  4 x  4 y  4  0 IV. y  x  2 y  5 x  10  0 2

2

V. x  2 y  2 x  4 y  1  0 Rpta: Solo V 2. De las siguientes proposiciones: 2

2

I. La ecuación x  y  2 x  4  0 corresponde a una circunferencia. II.El centro de cualquier circunferencia es un punto de dicha circunferencia III. El foco de una parábola es un punto de dicha parábola. 2

2

IV. La ecuación x  4 y  8 y  0 corresponde a una circunferencia La verdadera, es: Rpta: solo I 3. En las siguientes proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa

2x 2  8x  y 2  2y  10  0 es

I. La ecuación una elipse

x 2  4 y 2  24 y  36  0 no es

II. la ecuación elipse

2

2

III. La ecuación 2x  y  4 x una elipse La secuencia correcta, es: Rpta: FVF En las siguientes proposiciones 2

2

9x  4y  36

I. La ecuacion elipse. II. La ecuacion elipse .

2

5 x  9 y  30 x  18 y  9  0

 4 y  4  0 es

Hallar las coordenadas de su centro. Rpta:

13.

2

2y  4x  4 , representa una 2

Rpta: 14.

2

3x  4y  12 tiene rectas directrices

IV. La elipse al eje Y ¿Cuantas proposiciones son correctas? Rpta: son tres popociones correctas 4.

Los foceos de una elipse son los vértices esta sobre la recta ecuación de la elipse, es:

(4,1)

y

(2,1) .Si uno de

Dada la elipse

y que pase por el punto

( x  1) 2 ( y  2) 2  1 45 20

Encontrar la ecuación de una elipse cuyos vértices son:

(0; 7) (0;5) . Rpta:

y

(0;7) ;

y

sus focos

(0; 5)

y

x2 y 2  1 24 49

L : x  3y  2  0 , la

2 2 Rpta: 3(x  1) 4(y  1)  108

5.

(6; 2)

(1; 2) ,

(4;6) .

2

2

Encontrar la ecuación de la elipse de centro uno de los focos

representa a una

9y  4x  1 , representa a una

III. La ecuacion elipse.

(3; 1)

E : 4x 2  n y 2  16x  6 y  2  0

3 2 , de eje menor horizontal y cuya excentricidad es .La suma de las coordenadas del centro es: Rpta: 1

15.

El punto B=(3,-1) es uno de los extremos del eje menor

de una elipse cuyo centro está sobre la recta L : y  6 . la longitud del lado recto de dicha elipse con excentricidad Rpta. 4 6

e  2 / 2 , es:

A L G E B R A | 29 16.

Hallar la ecuación de la elipse que tiene su centro en el origen de coordenadas, uno de sus vértices es el punto (0, -7) y que pasa por el punto Rpta.

17.

( 5 , 14 / 3)

Los focos de una elipse son los puntos (-4, -2) y (-4, -6), y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de sus rectas directrices 27.

2

 y 2  2 x  4  0 corresponde a una

28.

x 2  4 y 2  8 y  0 corresponde a una

 3,3 longitud del eje menor y que pasa por el punto 20.

2

29.

Rpta:

31.

2

x2  y 2  x  2 y  1  0

32.

2

II) x  y  4 x  2 y  6  0 2 2 III) 2 x  y  4 x  4 y  4  0 2

2

22.

Rpta:

33.

 2x  4 y  1  0

(9, 0)

y

(15, 0)

( x  3) 2 y 2  1 144 225

( x  3)2 ( y  5)2  1 25 Rpta : 16 La distancia entre las directrices de una elipse es 18, hallar su ecuación si los focos son los puntos

1,3

Rpta: 25.

5 Rpta: La ecuación cartesiana de la elipse cuyos focos son

(2 , 3)

y

(6 , 3) , eje menor 8 unidades, es:

Los focos de una elipse son los puntos

F1  (3, 8)

y

F2  (3, 2) , la longitud de su eje menor es 8, la suma

1,5

y

Rpta. 9( x  2) 2  8( y  3) 2  512

3

focos

de

una

elipse

sobre

las

rectas

L 1 : 3x  5 y  12  0 y L 2 : 2x  3y  6  0 , el eje focal es la recta L : x  6 .Si su eje menor mide 2

 9 y 2  300 x  3 y  711  0

34.

La longitud del eje menor de la elipse a; es. Rpta: 4.

35.

Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que los vértices son y focos son . Rpta:.

36.

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. hallar su ecuación que pasa por los puntos y . Rpta: .

37.

Hallar la excentricidad de la elipse, si la distancia entre sus directrices es el triple de la distancia entre sus focos. Rpta:.

38. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos y su excentricidad es igual a 2/3. Rpta:.

2

El centro de una elipse es el punto (-2,3) y su eje mayor paralelo al eje Y es igual a 16, Hallar su ecuación siendo su excentricidad 1/3.

Los

Rpta: 25 x

8  y  4   9  x  1  72 2

9

6 unidades, la ecuación de la elipse es:

y cuya excentricidad es

23. Los focos de una elipse son los puntos (3,8) y (3, 2) , la longitud de su eje menor es 8; la ecuación de la elipse, es:

24.

La ecuación de la recta directriz de la elipse de ecuación

Rpta: 13 o

Hallar la ecuación de la elipse con extremos del eje menor en 3/5.

2 2 , es:

de las coordenadas de una de sus vértices es:

y 2  x 2  2 y  5 x  10  0

V) x  2 y Rpta: Solo V

e

(x  2)2 (y  3)2  1 32 16 Rpta:

¿Cuál de las ecuaciones dadas representa una elipse?

IV)

longitud del lado recto de la elipse

5 2

y  1 

9  x  5   25  y  2   225 2

2

2 3,

9x 2  4y 2  36x  8 y  4 , es:

IL1 : 2 x  9 y  0 y IL2 : 2 x  y  0 , el eje focal es la recta ILE : y  2 , hallar la ecuación de la elipse, si el

I)

e

El punto (3 ,  1) es uno de los extremos del eje menor de una elipse cuyo centro está sobre la recta

con excentricidad

eje mayor mide 10 unidades.

21.

y de excentricidad

L : y  6  0 .La

30.

 9 y 2  90

F2  (2, 0)

es: Rpta: 14

Los focos de una elipse están sobre las rectas

Rpta:

y

La suma de los coeficientes de los términos cuadráticos de una elipse cuyos focos son y

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el ejeX, la longitud del eje mayor igual a tres veces la

Rpta: x

V  (5, 1)

Hallar la excentricidad de la elipse de ecuación

F1  (2, 0)

VII. El foco de una parábola es un punto de dicha parábola.

19.

y uno de los vértices

5 3 Rpta:

VI. El centro de cualquier circunferencia es un punto de dicha circunferencia

VIII. La ecuación circunferencia La verdadera, es: Rpta: solo I

B  (1, 1)

 : 9x 2  4 y 2  8 y  32  0

De las siguientes proposiciones: V. La ecuación x circunferencia.

La longitud del lado recto de la elipse de centro

2 e 3 , es: excentricidad 20 Rpta: 3

9 x 2  49 y 2  441

Rpta. L : y  4  8 18.

26.

39.

La ecuación de la recta directriz de la elipse ; es: Rpta: .

40.

El dominio de la elipse ; es: Rpta: .

A L G E B R A | 30 2

41.

42.

43. 44.

45.

46.

Calcular la ecuación canónica de la elipse, si la distancia focal es 4 unidades; un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Rpta: .

Hallar la ecuación de una elipse de focos , y longitud del eje menor de 4 unidades. Rpta: . Hallar la ecuación de la elipse que pasa por , tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es doble del eje menor. Rpta: . El producto de las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse: ; es: Rpta: 80. Los focos de la elipse son los puntos (-4,-2) y (-4,-6); el lado recto es 6 unidades. Hallar la excentricidad. Rpta: ½.

En una elipse de vértices (3,5); (3,-1) y de excentricidad 2/3. La longitud del lado recto, es: Rpta: .

52.

53.

Determinar la ecuación de la elipse con el eje focal horizontal, que pasa por el punto y cuyo eje menor mide 6 unidades. Rpta:. La distancia focal de una elipse es 8. Un punto de la elipse dista de sus focos 3 y 7 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse. Rpta: . Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es: . Rpta: .

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el eje X, la longitud del eje mayor igual a cuatro veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto . Rpta:. Los focos de una elipse están sobre las rectas y , el eje focal es la recta . Hallar la ecuación de dicha elipse, si el eje mayor mide 8 unidades. Rpta:

55.

La distancia entre las directrices de una elipse es 16 unidades. Hallar su ecuación, si los focos son los puntos y. Rpta:.

56.

Hallar la longitud del eje menor de la elipse que pasa por el punto y cuyos focos son los puntos y . Rpta: 6. Determine la ecuación de la elipse con eje focal horizontal, que pasa por el punto menor mide 4. 2

 2,1

y cuyo eje

2

Rpta: 3 x  4 y  16 58.

La distancia focal de una elipse con eje horizontal es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse

x2 y 2  1 Rpta: 16 12 59.

1,3

61.

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el X, la longitud del eje mayor igual a tres veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto

 3, 3

1,5 

y

8  y  4   9  x  1  72 2

Los focos de una elipse están sobre las rectas

IL1 : 2 x  9 y  0 y IL2 : 2 x  y  0 , el eje focal es la recta IL : y  2 , hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor mide 10 unidades.

9  x  5   25  y  2   225 2

Rpta: 62.

2

Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que pasa por

Q  1, 5  y cuyos focos son los puntos  5, 2  y  3, 2 

el punto Rpta:10

63. Una de las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse: 16 x  25 y Rpta: 3 x  25  0 2

64.

2

 50 y  375  0 , es:

El centro de una elipse es el punto (-2,3) y su eje mayor paralelo al eje Y es igual a 16, Hallar su ecuación siendo su excentricidad 1/3. Rpta: 9( x  2)  8( y  3)  512 2

65.

2

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por: ( 6 , -1) y (2, 2 ) .

x2 y2  1 4 Rpta: 8 66.

Hallar la ecuaciones de la elipse cuya suma de las distancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fijos (-4,-5) y (6,-5) es igual a 16.

( x  1) 2 ( y  5) 2  1 64 39 Rpta: 67.

Hallar las rectas directrices de la elipse de ecuación . Rpta: .

54.

57.

hallar su ecuación si los focos son los puntos 2

48.

51.

La distancia entre las directrices de una elipse es 18,

Rpta:

Los focos de una elipse son y. Hallar la ecuación de la elipse, si uno de los vértices esta sobre la recta . Rpta:.

50.

60.

Hallar la ecuación de una elipse de focos , y excentricidad . Rpta: .

47.

49.

2

Rpta: x  9 y  90

La ecuación de la elipse de centro Fo=(2,-3) eje mayor paralelo al eje Y de longitud 12 y eje menor de longitud 8, es:

( y  3) 2 ( x  2) 2  1 36 16 Rpta: 68.

Los focos de una elipse están sobre las recta:

L1 : 2 x  9 y  0 y L2 : 2 x  y  0 El eje focal es la recta y=2. Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor mide 10 unidades. ( x  5) 2 ( y  2) 2  1 25 9 Rpta:

69.

Hallar la ecuación de una elipse si su centro está en el origen de coordenada, la longitud del eje mayor es 16, los focos están sobre el eje X y la curva pasa por el punto (4,3). Rpta: 3x2+16y2-192=0

70.

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (±2,0) y su excentricidad es igual a 2/3

Rpta:

x2 y2  9 5

=

A L G E B R A | 31