CEPRU UNSAAC -2- UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO PRIMER EXAMEN 1. Determinar el valor de n, para q
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CEPRU
UNSAAC
-2-
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO PRIMER EXAMEN 1. Determinar el valor de n, para que el polinomio: n n-1 2n+1 n+1 3 P(x,y) = (x +y )(5x -4y )(x+3y -5) sea de grado absoluto 10, con n>0. Rpta. 2 2
2
2
2. Si a+b+c=7 y a +b +c =31. Determinar el valor de la expresión: M= 18 - 2ab bc + ac Rpta. 2 3. Dado los polinomios: a-1 b-1 b-1 a a+2 b-1 P(x,y)=ax y +bx y -cx y a+1 2-b 2-b a a-1 3-b Q(x,y)=rx y +tx y +ux y . Sabiendo además que GA(P)=8 y GA(Q)=6. Calcular el valor de GRx(P)+GRy(Q). Rpta. 12 4. Si el grado del polinomio: 2 n 3 n-2 5 P(x)=(25x +7) (100x -1) (2x -1), es 49. Calcular el valor de la expresión: E= n + 6 Rpta. E=4 5. Simplificar la expresión, aplicando productos notables: (a 2 + b 2 ) 2 + (a 2 − b 2 ) 2 M= (a 4 + b 4 ) 2 - (a 4 − b 4 ) 2 , 1 1 a 4 + b 4
Rpta. M=1/2 6. Hallar el coeficiente del polinomio m -n 3m+2n 5m-n P(x,y)= 9 3 x y . Sabiendo además que su grado absoluto es 10 y grado relativo respecto a x, es 7. Rpta. 1 7. Dado el polinomio:
P(x,y)= 2x
m+5 n-3
y +5x
2m-1 n
y (x
1-m
4
+y )+8x
m+2 n-1
y
De grado absoluto 22 y de grado relativo respecto a x igual a 7. Hallar el valor de la expresión: E= mn. Rpta. 30 8. Utilizando productos notables, simplificar la expresión: 2 2 2 E = (a+b+c) +(a+b-c) +(a-b+c) + 2 2 2 2 (b+c-a) -4(a +b +c ) Rpta. 0 9. ¿Cuántas y cuales de las siguientes proposiciones son falsas? I El grado absoluto de 11 7 P(x)=0x +2x +2 es 11. II En todo polinomio, el grado absoluto siempre es igual al grado relativo con respecto a uno de sus variables. III El coeficiente principal del polinomio 3 4 3 4 5 2 P(x,y)= (2x +y ) (x +3y ) es 72. IV P(x,y)= 2x 4 y 6 + 3 xy 6 + 7 , es un trinomio entero. La suma de coeficientes del 100 polinomio: P(x,y)=(x-2y) (2x+y-1); es -2. Rpta. 4 V
10. Si el polinomio: 2 P(x)= (m+1)x +(5m-3)x+2m+3, es un trinomio cuadrado perfecto. Calcular el valor de la expresión E=34m. Para mb.
5 7
Rpta.
3 + 2 . 4 5 + 24
2 + 1.2 x 3 − 2 2
Rpta. 3 + 2 128. Transformar la expresión:
10 + 60 − 40 − 24 ,
a:
Rpta. 8x + 60x 2 + 8x - 4 122. Expresar como la suma de radicales simples:
3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 −1 Rpta.
3
123. Calcular el cubo de Rpta. 5 2 + 7
4
17 + 12 2
3
3
denominador se reduce a: Rpta. 13 133. Racionalizar el denominador de: 3
12 9 + 33 3 − 3
Rpta.
3
2
129. Hallar uno de los radicales simples de:
x 2
3
, el
2 −1
135. Al racionalizar el denominador de
1 , es: 3− 2
Rpta. 1
−
9 +3 3
5− denominar queda: Rpta. 17.
5+ 3− 2
Rpta.
5x - 1 + 3x + 1
1 , el 3 3 − 36 + 2 3 2
E=
a suma de radicales simples: Rpta.
, es:
132. Al racionalizar la siguiente expresión:
3
x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 + 2 x
x 2
x y4 z7
3
x
Rpta.
1 13
5
134. Al racionalizar
B= C=
8x + x 15 , uno de sus radicales
T=
4 + 15 + 4 − 15 6 + 35 + 6 − 35
121. Hallar el radical doble que dió origen
24 + 4 15 − 4 21 − 2 35
3
127. Transformar
simples, es:
115. Expresar en radicales simples:
x + 2x + 1 x + 2x - 1 + 2 2 3
3 + 2.2 n 7 − 4 3
4+ 7 7 7
se tiene:
n
Rpta. 6. 120. Al transformar el radical doble
2 + 16 + 5 7
x 3 + 2x + x 6 + 4x 4 + 4x 2 - 1 ,
Rpta.
UNSAAC racionalizado de la expresión
Rpta. Sexto grado
A=
( 3 − 1)( 2 − 1)( 3 + 1)( 2 + 1) .2 2
114. Calcular el valor equivalente a:
E=
∀a, b ∈ Q +
II El radical doble 3 − 3 es posible transformar a diferencia de radicales simples. III a+b+c-2 ab+2 ac-2 bc= a + c − b , a,b,c∈R+ Rpta. Sólo I y III.
113. Si:
3 + 7 13 − 7 − 5 − 7 . 125. Transformando a radicales simples:
a + b - 2 ab = a − b
I
E=
- 10 -
Rpta. 4.
4
118. Las proposiciones verdaderas son: E=
CEPRU 124. Simplificar
Rpta. a=9, b=1
136. El denominador racionalizado de E=
1 7 + 6 +1
, es:
Rpta. 12. 137. Al racionalizar:
130. Calcular n , si:
6 + 2n 10 + 2 8 − 2 7 = 7 + 1
3
14 , 15 − 2 + 3 6 − 3 5 3
el denominador, es: Rpta.1.
Rpta. 1. 131. El grado absoluto del denominador
138. Al reducir la siguiente expresión el denominador racionalizado de:
E=
9+4 2 − 9−4 2 , 5+ 3
ALGEBRA es:
2010-II
- 11 Rpta. 1 147. Al racionalizar:
Rpta. 1 E= 139. Al racionalizar la expresión: 10 M= ; se tiene:
como respuesta el denominador. Rpta. 13.
2 − 12 + 18 3
Rpta. 2+
3
3
12
148. EL denominador racional de la
5 fracción: , es: 3 2+ 5
140. Racionalizar: F=
Rpta.
20 2 , x> 7 7 x + 2 − 7x - 2
Rpta. 13.
38 , el 149. Al racionalizar: 3 2 4 +3 6
5( 7 x + 2 + 7x - 2 )
141. El denominar racionalizado de: 3 5 −1
, es:
6 + 2 2 + 24 + 12 + 3 + 2 − 1 Rpta. 2
142. El denominador racionalizado y simplificado de la expresión
17 , 3+ 3 7
es: Rpta. 2 143. El denominador:
4
3 , es: 4− 3
Rpta. 1
6 5 − 6 + 10 − 15 Rpta. 5 + 15 − 10 − 6
144. Racionalizar
145. Si:
2 8 + 4p
= 5 − 3,
el valor de p, es: Rpta. 15. 146. Racionalizar E=
3 , dar 80 + 15 − 32 − 6
5 8 − 4 81
denominar es: Rpta. 1. 150. En la siguiente expresión calcular el denominador racionalizado 4 2+ 7+ 5 Rpta. 5. 151. Luego de racionalizar la expresión:
CEPRU 2
2
ax - a bx - b + = x , a≠0, b≠0 b a Rpta. x=a+b. 156. Sea la ecuación:
x -a x -b x -c 1 1 1 + + = 2( + + ) . bc ac ab a b c Hallar x. Rpta. a+b+c. 157. ¿Qué valor debe tomar n, para que la ecuación: n ( x - n) = m ( x - m) donde m n n≠m, sea incompatible? Rpta. m=-n. 158. En la siguiente ecuación determinar el valor de x. a b a-b − = x -a x -b x +a -b Rpta. x= b/2. 159. Hallar el valor de x que satisface la ecuación:
1 , (a + b) - 2ab
(a 2 + ab)x ab3 - a 2 b 2 − 3 3 =x a 2 + ab + b 2 a -b
indicar su denominador. 2 2 Rpta. a +b
Rpta. a.
SEGUNDO EXAMEN 152. Si la ecuación: mx+(3-n)x=5x+2m-10+n, tiene infinitas soluciones, entonces el valor de m-n, es: Rpta. 8. 153. Determinar el mínimo valor entero de x, en: 4 ≤ 7-2 x < 13 Rpta. -2 154. Si a, b ∈ R la solución de la ecuación: 2 3 2 3 a x-a +b x-b =abx, es: Rpta. x=a+b. 155. Resolver:
UNSAAC - 12 162. ¿Qué valores enteros de x satisfacen la desigualdad: 2x-5 ≤ x+3 ≤ 3x-7? Rpta. {5,6,7,8}
160. Si a≠0, el valor de b para que la Ecuación:
2x - 1 x + a + b , = 2x + 1 x + a - b
sea incompatible, es: Rpta. -1/2. 161. La ecuación: 3 5 3 x , − = + x + 2 x2 − 4 x + 2 x2 − 4 al resolverlo, es: I Compatible determinado. II Compatible indeterminado. III Incompatible. IV Tiene por solución x=-2 V Tiene por solución x ∈ R-{-2,2} Rpta. I.
163. Determinar el valor de x en la ecuación: 1 1 1 x - 1 − 1 − 1 = 0 4 3 2 Rpta. x=32. 164. Calcular a para que la ecuación: 2(3ax-5)+
7x − 9 =0, 2
sea imposible Rpta. -7/12. 3 3 165. Calcular x-ab, si a +bx=ax+b 2 2 Rpta. a +b . 166. Al formar una ecuación cuadrática, cuyas raíces son la suma y el producto de las raíces de la ecuación 2 ax +bx+c=0; ¿esta ecuación tiene por término independiente? 2 Rpta. –bc/a 167. Si p y q son raíces de la ecuación 2 x +2bx+2c=0, entonces el valor de 2 1 1 Rpta. b - c + 2 , es: 2 c2 p q 168. Si los cuadrados de las dos raíces 2 reales de la ecuación x +x+c=0 suman 9, entonces el valor de c, es: Rpta. -4 169. Si la ecuación: 3 2 2 2 3 ax -3x +6x-2a =ab-bx-bx +2x , es cuadrática cuyo coeficiente del término cuadrático es 1, la suma de sus raíces es: Rpta. -10 170. Si las raíces de la ecuación:
ALGEBRA - 13 2 (k-1)x -(5-2k)x+4k+5=0 son reciprocas, la suma de sus raíces, es: Rpta. -3 171. Si las ecuaciones: 2 2 (5m-52)x +(4-m)x+4=0 y (2n+1)x 5nx+20=0, son equivalentes. Hallar m+n. Rpta. 18. 172. Las raíces x1 y x2 de la ecuación: 2 2 x -3kx+ k =0, son tales que: 4 4 (x1 + x2) -( x1 - x2) =14 x1x2. Determinar el producto de todos los valores de k. Rpta. -1/4. 173. Calcular m en la ecuación: 2 2x -(m-1)x+m+1=0, si la diferencia de sus raíces es uno. Rpta. 11y-1 174. El conjunto de valores de k para que 2 La ecuación (k+5)x +3kx-4(k-5)=0, no tenga raíces reales. Rpta. 175. Si x1 y x2 son raíces de la ecuación: 2 2x +x-1=0, forman una ecuación cuadrática de incógnita x cuyas raíces son: x1 + 1 y x + 1 2
x1
x2
2
Rpta. 2x -x-10=0 176. De las siguientes proposiciones cuál o cuáles son verdaderas, dada la 2 ecuación: ax +bx+c=0, a≠0. 2
I) Si b -4ac=0, entonces las raíces son reales y diferentes 2 II) Si b -4ac0, entonces las raíces son reales e iguales
2010-II 2 2 IV) Si b -4ac=k (cuadrado perfecto) siendo a, b y c números racionales, entonces las raíces de la ecuación serán racionales. Rpta. II y IV
177. El valor de k, si las raíces de la Siguiente ecuación: 2 (2k+2)x +(4-4k)x+k-2=0, son reciprocas, es: Rpta. k=-4. 2
178. Si: x +2x+m=0; ¿Qué valor debe tener m para que represente la diferencia de las 2 raíces? Rpta. -2 ± 8
179. Resolver la ecuación:
x 2 − 6x + 10 x - 3 = x 2 + 8x + 17 x + 4
2
Rpta. -1/2. 180. Determinar el menor valor entero negativo de k para que la ecuación 2 (k+2)x +4x-2=0 tenga raíces reales diferentes, es: Rpta. k=-3 181. Hallar a y b para que la ecuación (2a+4)x-3b+9=0, sea compatible indeterminado. Rpta. a=-2, b=3. 182. La diferencia de las raíces de:
CEPRU
Rpta. x=-2 184. Hallar el valor de m para que una de las raíces sea el triple de la otra en: 2 2 x -(3m-2)x+m -1=0 Rpta. m=2, m=14/11 185. Para que valor de m la ecuación 2 cuadrática: (m+1)x -2mx+m-3=0 tiene dos raíces reales e iguales. Rpta. -3/2 186. Calcular la suma de las raíces reales 6 3 de: x -18 2 x +64=0 Rpta. 3 2 187. Que valor tendrá m para que las 2 raices de mx -(m+3)x+2m+1=0, difieran en 2 unidades. Rpta. m=1, m=-9/11 188. Si x1 y x2 son las raíces de la 2 ecuación: 3x +5x-1=2+x. Calcular: -1 -1 (x1+1) +(x2+1) Rpta. -1/2 2
189. Si p y q son las raíces de x -2x-5=0. Hallar la ecuación cuadrática cuyas 2 2 raíces son p y q . 2 Rpta. x -14x+25=0 190. Calcular el valor de k de: 2 2kx +(3k-1)x-3k+2=0. De manera que una de sus raíces sea la unidad. Rpta. k=-1/2 191. Determinar m para que las raíces de: 2 (m+4)x -(2m+2)x+m-1=0, sean números reales e iguales. Rpta. m=5
2
x -ax+15=0, es 2 5 . Hallar el valor de a. Rpta. a= ± 4 5 183. Al resolver la ecuación: 4x - 3 1 - x x + 1 x + 2 . + = − 30 15 6 10 La ecuación es: Rpta. ∀x ∈ R
UNSAAC
- 14 -
192. Hallar m para que: 2 x -m(2x-8)=15, tenga raíces iguales. Rpta. m=3,m=5 193. Determinar el mínimo valor entero de x, en: 4 ≤ 7-2 x < 13
194. Al resolver la inecuación: 2 18 ≤ x -7≤114, se obtiene: Rpta. [5,11]U[-11,-5] 195. Resolver:
3 5x 3 x − 2 = + 2 x+2 x −4 x−2 x −4 Rpta. Es imposible. 196. Si 1 ≤ x ≤ 3 . Hallar m tal que 4 2
x-2 ≥m. x-4 Rpta. 1/5 197. Resolver: 10 + 2 − 4x - 3 < x . x -7 x -7 x -7 Calcular la suma de los valores enteros que verifican dicha inecuación. Rpta. 50. 198. Determinar el menor valor entero de x que satisface a la inecuación 2 42≤x +x≤110, es: Rpta. x=-11 199. Calcular la suma de los valores enteros que verifica la desigualdad: 2x-5≤ x+1 < 3x-7 Rpta. 11. 200. Hallar el conjunto solución de la Inecuación: x+4 >x x +1 Rpta. − ∞,−2 U − 1,2 201. Si x ∈ [2,3], hallar a+b en
4 ∈ [a,b] 1− x
Rpta. -6 202. Determinar el menor valor entero de k
ALGEBRA 2 en: 12x -4x+5≥k. Rpta. k=5
203. Entre qué límites está comprendido n, 2 sabiendo que x +2nx+n > 3 . 16 Rpta. n ∈ − ∞, 14 U 34 ,+∞ 204. Hallar el conjunto solución de 4x0. Rpta. R. 208. Resolver: x Rpta. [-3,5]
2
- 9 ≤ 2x + 6
209. Determinar el conjunto solución de:
3 1 9 11 - x < (5x + 14) ≥ (2 + x) 2 3 5 Rpta. 2,8] 210. La suma de todos los enteros que satisface a la inecuación: 2x-70, es: Rpta.
Rpta. [1/2,+∞[
Rpta. 4. 224. ¿Cuántos valores enteros satisfacen a la inecuación 3x - 4 ≤ x + 4 ?
2
214. Al resolver x -5x+25 6x-6, es: Rpta. R.
Rpta. 5. 225. El conjunto solución de: 2x + 8 < 5x + 6 , es:
216. Determinar el número de enteros que 2 satisface a x + 3x + 2 ≤ 0 x 2 + 4x - 5 Rpta. 5 217. El conjunto solución de: x ≥
2x + 5 > 4x − 3
1 ,es: x
Rpta. [-1,0>U[1,+∞> 218. El menor entero positivo que satisface a: x − 12 ≥ 1 x Rpta. 4 219. Al resolver:
x2 − 2 x , ≥ 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 el conjunto solución, es: Rpta. −4 , es:
Rpta. R.
Rpta. 4. 221. El conjunto solución de 3x - 1 = 5x - 15 , es:
234. El producto de las raíces de la
231. La solución de: x − 2 ≤ 1 , es el conjunto: Rpta. [-3,-1]U[1,3]
1 2x + 1 −7 + 6 = 0 , es: 2 2 2
2x +
Rpta. -2. 239. Al resolver la inecuación: x − 4 − x − 6 < 0 , el conjunto solución, es:
Rpta.
240. Determinar el conjunto solución de x - 5 = 4x Rpta. {-5/3,1}
232. Al resolver: 2 - x ≥ 2x + 3 el conjunto solución es: Rpta. [-5,-1/3]
241. Hallar el conjunto solución de la inecuación:
3x + 7 < 4
Rpta.
ALGEBRA
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- 17 -
242. La ecuación 2x - 7 = x − 5 , tiene como conjunto solución: Rpta. Φ
El número de proposiciones verdaderas es: Rpta. 1. 248. Sea
243. Dar el conjunto solución de la inecuación: 3 - 2x < 3x − 8 Rpta.
7 - 2 1 . A = - 1 2 4 4 0 5
El elemento
a 23 de la matriz A-1, es:
Rpta. -29/20 244. Si la matriz: 1 - 42 y - 3x , A = 6x 20 1 1 30 0
es simétrica. 2 2 El valor de E=18x +y , es: Rpta. 1323 245. Calcular x+y+w, si la matriz: x -1 − 2 27 − y , 2 3 A = x-7 3 4w - 24 y − 3 w−6 14 9
es diagonal. Rpta. 40 246. Sabiendo que las operaciones de la multiplicación y adición de las matrices A, B y C están definidas. Entonces indicar las proposiciones verdaderas: I) A(B+C)=AB+AC II) Si AB=0, entonces A=0 v B=0 III) La igualdad AB=AC no implica que B=C
IV) A+B ≠ B+A V) (AB)C=A(BC) Rpta. I, III y V 247. Dada las siguientes proposiciones: I) Toda matriz cuadrada tiene inversa II) Si A, B y C son matrices cuadradas de orden nxn. Si AB=BC entonces A=C III) Sea I la matriz identidad nxn. k
Entonces I = I,
∀k ∈ z
249. Calcular la traza de X en la ecuación AX=AB-BX, donde: 1 2 ; 0 - 2 A= B= 3 4 - 3 - 3
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1 2 3 k + 2 3 k − 1 A= 1 0 4 y B= 2 1 7 . 2 1 3 1 k 1
es antisimétrica.
si la trazade AB es 48, Determinar el valor de k.
Rpta. Si.
Rpta. 4
254. Dada la ecuación:
x2
a + b a 6 3a 3b . + = 3 − 1 2d 3c 3d b+c . Hallar a+d 4 c + d
251. Hallar el valor de x, en: x +1 − 3 = 8+ x 1 2 Rpta. X=3 252. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Una matriz triangular superior es si aij=0 para i0. Si │M│=4, Hallar la matriz M , es:
− 2 − 6 − 2
Rpta. 1. Rpta. -24 250. Determinar la traza de: 2 3 7 − 6 A= + - 5 4 8 2 Rpta. 15
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- 18 -
1 2 0 , A = − 1 0 3 − 2 − 3 0
Rpta. 2
255. Si: 1 − 1 0 3 , A = 2 − 3 4 1[1 2 1] 0 0 1 1
Hallar
A.
Rpta. 0. 256. Si: x/3 z + 12 − ( m − 2) , − ( n − 3) 6 − n y /3 5 − m n+ p −3 p
M=
es una matriz escalar. Hallar 3n-2m+p Rpta. 5. 257. Dadas las matrices: 1 1 3 0 − 4 A= 2 0 y B= . 1 − 1 2 3 − 5 t
t
La traza de la matriz B A , es: Rpta. -18. 258. Sean:
260. ¿Cuántos de las siguientes proposiciones son falsos? I) En una matriz triangular superior se cumple aij=0, ∀ i0. Rpta. -46. 276. Si:
a - 2 c -8 4 A = b - 3 6 - a x + 4 , n - 1 m + 6 8 + x es una matriz escalar. Hallar la traza de A. Rpta. 12. 277. Si:
5 a + 3 7 A = 8 - 9 b - 2 , 7 - 4 10
278. Dada las matrices:
1
2 − 1 0 y B = − 2 A= 3 − 4 1
3
t
5 4 , − 1
t
la traza de la matriz B A , es: Rpta. 2. 279. Hallar el valor de k, sabiendo que la matriz: 2 3 − 2 , A = 1 − 4 0 0 k 1 es singular. Rpta. -11/2 280. Calcular el valor de x. 2 − 4 −1 Si: 2 x − 2 = 5
1 3 Rpta. -5.
2
281. Sabiendo que determinante de la matriz:
a b c m n p es 12; el valor del x y z determinante de la matriz: - 5a 15b - 5c m - 3n p , es: - x 3y - z Rpta. -180 282. Dada la matriz: 1 0 . Calcular At = 1 1 Rpta. 1. 283. Dadas las matrices:
A12
ALGEBRA
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- 21 -
4 − 1 1 − 3 y B= A= . 2 5 2 6 t
t
El número de proposiciones verdaderas es: Rpta. 2.
CEPRU si existe. -1
284. Hallar los valores de x para que la Matriz:
x 2 − 5 1 A= , Tenga inversa. 4 x 1 Rpta. x ∈ R − {5,−1} 285. Si la matriz: a - b - 1 1 A= 2 3 b b - x a - x 4
288. Dada la matriz simétrica c - 11 15 - d a A = 31 - c c 19 + a . d + 5 15 - a d La suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz de cofactores de A, es: Rpta. -436 289. Hallar el valor de x, en:
2+ x x x
2
Es simétrica, hallar A Rpta. 6 7 - 3 7 14 5 - 3 5 18
286. Dada las siguientes proposiciones: I) Toda matriz escalar es matriz identidad II) Los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica no todos son cero. III) Toda matriz simétrica es igual a su transpuesta. IV) Si A es una matriz antisimétrica, entonces el valor de su traza es cero. El número de proposiciones verdaderas es: Rpta. 2 287. De las siguientes proposiciones: I) Sea la matriz A=[aij]nxn entonces T A+ A es simétrica. II) Toda matriz cuadrada A es igual a la suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica. III) Si A es una matriz antisimétrica, entonces kA es también antisimétrica ∀ k ∈ R.
x
x
3+ x x =0 x 4+ x
293. Calcular el valor de m-n+p. Si: a +9 p+b a-m A = a + 6 b - 1 n + b 2a + 12 b + 8 - 2c + 1
es una matriz diagonal.
1 − 2 1 A = 1 − 3 1 1 − 4 1
Calcular
1 0 0 y B = 0 1 0 . 0 0 1
A+B
Rpta. 1.
40 − a m − 11 4 4m − 15 11
es la matriz identidad. Rpta. 104.
Rpta. -6 294. Si la matriz: a + 2 1 - 2a - b - 5 , A = a + 6 a + b 7 2a - c c + 1 c - 2
es simétrica.
Rpta. 26/3
290. Si:
298. Calcular el valor de a+b+m, si la matriz:
25a − 15 2a − b A = a2 − b 35b − 11 a 10a − b5 −1 40
Hallar el valor de a+b+c. Rpta. X=-12/13
Rpta. 27.
Rpta. NO existe la inversa A
Hallar X, en (A-B) +X=2(B +A).
13 − 2 Rpta. 4 23
UNSAAC
- 22 -
295. Hallar la suma de elementos de la matriz inversa de: 1 − 2 4 A = 0 1 − 2 1 − 1 − 3 Rpta. -5
291. Dada la matriz: 2 1 − 3 A = 2 5 1 . 1 3 2 El elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz adjunta, es: Rpta. -16.
296. Dadas las matrices: 4 5 6 1 y B= A = 1 − 1 − 1 4 2 7
292. Hallar la inversa de: 2 − 1 4 A = 3 2 6 , 4 1 8
297. Calcular m+n+p de modo que A sea una matriz escalar.
0 − 2
299. Si A y B son matrices cuadradas multiplicable; de las siguientes proposiciones: t I) Traz(A) = Traz(A ) 2 II) Si A =I entonces A=I III) Si A es una matriz antisimétrica, entonces traz(A)=0 IV) Traz(AB)=Traz(A)Traz(B) El número de proposiciones verdaderas, es: Rpta. 2 300. Sea: d c a − b , a b + 1 − 4 e 4 c − 2
A=
una matriz antisimétrica. El valor de a+b+c+d+e, es: Rpta. -1 301. Dada la matriz: A= 2 3 . 3 2
2
El valor de A -4A, es: Rpta. 5(I)
Hallar la traza de la matriz AB. Rpta. 2
0 b − 10 m − 4 0 n − 8 10 − n 6 − m m + n − 16 p − 9
A=
302. El producto de las soluciones del sistema: 2x − 3 y − z = 3 , 3x − 4 y + z = 9 5 x + 2 y + 3z = 9 es: Rpta. -2
ALGEBRA 303. El sistema:
2010-II - 23 309. El valor de m para que el sistema sea Indeterminado:
(a + b) x + (a − b) y = 15 , (2a − 3b) x + (2a − 5b) y = a + 2b
3 x + 2my = 5 , 4 x − 2(m + 1) y = 8
Admite como solución x=3 y Y=-7. El valor de b-a, es: Rpta. -165/2
es:
304. El valor de a+b+c, del sistema: 4a − 2b + c = 8 , 16a − 4b + c = 64 9a − 3b + c = 27 es: Rpta. 59 305. Si el sistema: ax + 3 y = 1 , 2 x + by = 5 es compatible indeterminado, el valor de (5a+b/3), es: Rpta. 7 306. La suma de los cuadrados de las soluciones del sistema: − 2x + y + z = 1 , x + 2 y − 3z = 7 3 x − 4 y + 10 z = 9 es: Rpta. 38 307. El valor de m+n, para que el sistema:
3x + 2my = n + 2 , 5x + 2(m + 2)y = 30 sea indeterminado, es: Rpta. 19 308. Hallar x, en el siguiente sistema: x + y =7 y + z = 13 z + x = 10
Rpta 2
Rpta. -3/7
CEPRU III) Si el sistema lineal no acepta solución alguna, entonces a1 b1 c1 = = a 2 b 2 c2 Rpta. VFF 314. Dado el sistema: 1 1 5 x + y = 6 . 7 5 11 − = x y 6
310. Calcular el valor de m para que el sistema:
(2m + 4) x + 2my = 2 , (m − 1) x + (m + 1) y = 8 Sea incompatible. Rpta. -1/2
315.
319.
El valor de x+y, es: Rpta. 19/14 Dado el siguiente gráfico.
Rpta. 1/18 312. Al resolver el sistema: x+y+z=3 2x + 3y + 4z = 11 3x + y − 2z = −5 El valor de y, es: Rpta. y = -3 313. Dado el siguiente sistema lineal L1: a1x+b1y=c1 L2: a2x+b2y=c2 Donde L1 y L2 son las ecuaciones de dos rectas ubicadas en el plano XY Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Si el sistema lineal acepta solución única, entonces: a 1 ≠ b1 a 2 b2 II) Si el sistema lineal acepta infinitas soluciones, entonces a1 = b1 ≠ c1 a 2 b2 c2
320.
ax+y=1 5
316.
317.
5
Compatible indeterminado. El valor de 3a + 5b, es:
X
Hallar a+b. Rpta. 6 ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Un sistema es compatible, si tiene una única solución. II) Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones. III) Los sistemas determinados son aquellos que tienen más ecuaciones que incógnitas. IV) Un sistema es incompatible si admite infinitas soluciones Rpta. 1 El sistema lineal: (a - 3)x - 5y = 4 , 2 y + (a - 1)x = 8 tiene solución, cuando el valor de a, es: Rpta. R - {11/7}
Dado el sistema: ( a + 2) x + 3 y = 5 , 4 x + (b − 1) y = 6
b+1
0
Calcular a-b, para que el siguiente Sistema sea compatible indeterminado: 3x + 5 y = 1 . Rpta. 80
3x-2y=5
4 x + 2 y + 3 z = 3 3x − 6 y + 4 z = 3 . x + 2y + z =1
UNSAAC Determinar el valor de m, para que el siguiente sistema sea compatible determinado. (m + 1) x + 5 y = 2 (m + 2) x + 3 y = 6 Rpta. R- {-7/2}
ax − by = 10
Y
311. Hallar y, del siguiente sistema:
- 24 318.
321.
Rpta. 27 Para que valor de n, el siguiente sistema:
(n − 1) x + 3 y = 1 , ( n − 5 ) x − 2 y = 3 no tiene solución. Rpta. 17/5 322.
¿Qué valor debe tomar a para que el siguiente sistema sea compatible determinado?
(a − 7) x − y = 3 . ax − 2 y = 2 Rpta. R-{14} 323.
El valor de a para que el sistema: 2x + 5y = a − 4 3x - 2y = 2 − a Sea compatible determinado, es: Rpta. R- {16/5, 2/3}
ALGEBRA 2
2
324. Si a ≠ b , en el siguiente sistema :
x x − y a − b = b x x − y =a − a b El valor de x-y, es: Rpta. 0 325. Calcular x en el sistema: x = 3(y - 1) y = 3(z - 1) z = 3( x − 1)
Rpta. 3/2 326. Para que valor de a, el sistema es compatible indeterminado: ax + y = 0 ay + z = 1 az + x = a Rpta. -1 327. Determinar el valor de y del sistema: 2 x − y + 3z = 9 3 x + y + 2 z = 11 x− y+z =2
Rpta. 2
2010-II - 25 330. Hallar el valor de x del siguiente sistema:
4 x + 4 y − 3 z = 3 2 y + 7 z = −11 81z = −81 Rpta. 2 TERCER EXAMEN 331.Sea R una relación de A en B. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? -1 I) R es un subconjunto de BxA II) Si n(A) = a y n(B) = b, existen ab relaciones distintas de A en B. III) Si A=B, R es una relación definida en A IV) AxB se llama la relación total. Rpta: Todas 332.Dada la relación 2 2 2 R={(x,y) ∈ R / x +y +10y-75=0}. Hallar el Ran(R). Rpta: [-15,5] 333.Dados los conjuntos: A={x ∈Z / -12; 2
tiene como rango: Rpta. {0,1,2}
4
X
(4, b - 1 ),(5,
a ),(6, 5 + b )}.
Hallar Dom(f)∩Ran(f) Rpta. {2}. 517.La gráfica de la función y =U2(x+1), es: Rpta.
Y 1 0
0 1
X
0 518.Sea f una función lineal tal que f(1)=-3, f(3)=1 el valor de f(-2), es: Rpta. -9.
527.Hallar el dominio de f(x) =
1− x .
Rpta. [-1,1]. Su regla de correspondencia, es: Rpta. g(x)=
Hallar el valor de g(-4). Rpta. 6 516.Dada la función: f={(2,2),(4,3),(2, a + 1 ),
524.Sean las siguientes funciones reales de una variable real cuyas reglas de correspondencia son: 2 I f(x)=ax +bx+c, a≠0, ∀ x ∈ R II f(x)=4, ∀ x ∈ R III f(x)=ax+b, a≠0, ∀ x ∈ R IV f(x)=│x│, ∀ x ∈ R ¿Cuál o cuáles son funciones inyectivas? Rpta. Solo III. 525.Si ∀ x ∈ R definimos g(x-1)=3x+1. -1 -1 Hallar g [g (4-x)]. Rpta. -1/9(x+12). 526.El rango de la función f definida por: Sgn(x) , es: f(x) = 3 Rpta. {1/3,1,3}.
2 0
2x + 1 +U4(x+1).
UNSAAC
- 38 V f : R→[-1,1] / f(x)=
x-4 +2
522.Indicar los valores de verdad de los siguientes proposiciones: I El dominio de la función signo es: {-1,0,1}. 2 II La función f definida por f(x)=ax +b tiene por gráfica una parábola que se abre hacia abajo cuando a 2 III f(x)=x , ∀ x ∈ [0, +∞>
x ∀ x ∈ R 0+
Rpta. Todas 533.El rango de la función inversa de: f(x)=
1 , es: x +1
Rpta. R-{-1} 534.Sea f: R → B, definida como: f(x)=
x , x ∈ R. x +1 2
Hallar B talque f es suryectiva: Rpta. B= [- 12 , 12 ] 3
2
g: R→R / g(x)= x -9 h: R→R / h(x)=x+2 ¿Cuál o cuáles de los siguientes enunciados son correctos? I f es una función inyectiva II g es una función inyectiva III h es una función biyectiva Rpta. Solo III 530.¿Cuántas de las siguientes funciones son suryectivas? 2
I f : R→R / f(x)= x II f : R→R / f(x)= 3x+b, b ∈ R
x
III f : [0,+∞>→R / f(x)= IV f : R→[0,+∞> / f(x)=
x x
Rpta. 2 2 531.Sea f: [0,3>→[0,9> / f(x)=x . ¿f es una función suryectiva? Rpta. Si
IV f(x)=
Y
515.Dada la función g, de variable real tal que: g(x)=Sgn(x-3)+
CEPRU
x
535.Dada la función real tal que f(x)=6x +7. Hallar su inversa, si existe: -1
Rpta. f (x)= 3
x -7 . 6
536.Sean f y g funciones definidas por: 2 f(x)=x +2x, g(x)=2x-m; m es inyectiva. V Toda función inyectiva, es suryectiva. Rpta. f es inyectiva. VI Toda recta, es función. Rpta. VFFFFF. 545.La función f: [0,5]→[1,10] definida por 2 f(x)=x -6x+10, es: 540.¿Cuántas de las siguientes funciones I Inyectiva. son biyectivas? Si f: A → B, donde II Suryectiva. A={1,2,3,4,5,6} y B={a, b, c, d, e}: III Biyectiva. I f={(2,a),(3,c),(4,e),(6,d)}. Rpta. f es suryectiva II f={(1,c),(2,b),(3,d),(5,c)}. III f={(1,c),(2,d),(3,b),(5,a),(6,e)}. 546.¿Cuántas proposiciones dadas son Rpta. III. falsas? I Toda función inyectiva es suryectiva. 2 541.Dados los conjuntos A={1,2,3} y II La relación real definida por y =x-1 es B={1,2,3,4} , g={(3,1),(x,y),(1,3)} es una una función. función inyectiva de A en A y III Una función f: A ⊂ R → B ⊂ R es f={(1,1),(2,z),(3,2),(4,2)} es una función biyectiva si y solo si para cada y ∈ B suryectiva de B en A, el valor de xy - z, existe un único x ∈ A tal que y=f(x). es: IV Una función cuadrática definido por 2 Rpta. 1. f(x)= ax + bx +c, ∀ x ∈ R, a≠0, es 542.Dada las siguientes gráficas: inyectiva. V Una función f: A ⊂ R → B ⊂ R es suryectiva si y solo si para cada Y Y y ∈ B existe x ∈ A tal que f(x)=y. VI Toda función inyectiva tiene inversa. Rpta.FFVFVV. 0 0 X X (I) (II) 547.¿Cuátas de las siguientes funciones tienen inversa? Y
0
Y
0
X
X
I II III IV V
Signo. Mayor entero. Lineal. Valor absoluto. Escalón unitario
CEPRU g(x)=3x-1, ∀ x ∈ . Hallar Dom(f ◦ g) Rpta. .
(IV)
¿Cuál o cuáles son funciones inyectivas?
Rpta. 4. 548.Si f(x)= 4x+3,
2
550.Dada las funciones: 0 f={(2,1),(3,2 ),(6,-1)} g={(x+2,x) / x ∈ N } 2 h={(x,x +1) / x ∈ Z} ¿Cuáles son funciones inyectivas? Rpta. g 551.Si f(x)=
4 - x y g(x)=
1 x2 − 4
, son
funciones. Determinar el dominio de (f.g)(x) Rpta. U} y g={(2,-5),(0,1),(-4,6),(8,-3),(-7,10)}. Hallar fog. Rpta. {(0,0),(-4, 3
5 ),(-7,3)}.
570.Dadas las funciones reales f(x)=
1 y g(x)= . x Hallar el valor de k, si (gof)(k)=1. Rpta. 3.
x-2
f(x1 + x 2 ) = f(x1 ).f(x 2 ) II f(x1 )/f(x 2 ) = f(x1 − x 2 ) ∀ f(x2)≠0 x III [f(x1 )] 2 = f(x1 + x 2 ) I
581.La inversa de la función: f (x)= 2+Ln(x-2), es: -1 -x-4 Rpta. f (x)=2+e .
590.Si f(x)=a , ∀ a>0 es una función que pasa por el punto A=(3,1/64). Determinar el valor de a. Rpta. 1/4.
x
x −9
586.El dominio de la función inversa de:
2
,
Rpta. . 589.Si f(x)=3 , es una función, su rango es: Rpta.
585.Si f(x) =b , es una función. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I x≥0 II f es biyectiva, si b>0 y b≠1 III f es decreciente, si b>1 IV f es decreciente si 0 < b1es una función, ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I Es creciente y pasa por (1,0). II Es decreciente y pasa por (0,1) III Es creciente y pasa por (0,1). IV ∀ x ∈ R, f(x)≥0. V ∀ x ∈ R, f(x)>0 Rpta. 2 575.Hallar el dominio de la función: x-2 -x f(x)=4 .2 , es: Rpta. R.
577.EL dominio de la función f(x)=1+3 es: Rpta.
x
x-1
579.Si f(x)= 2 +3, es una función en R; su rango es: Rpta. .
582.Una función exponencial pasa por el punto (2,4); la regla de correspondencia de la función es: x Rpta. f(x)=2 .
3
569.Si f(g(x))=x +x+1; g(x)=x +1. Halle g(f(9)). 3 Rpta. 11 +1
CEPRU UNSAAC - 42 578.El dominio de la inversa de la función: 587.El dominio de la función: f(x)=Log4(Log1/4(Log3x)), es: 5x , es: f(x)= x Rpta. . 1+ 5 Rpta. .
2x f(x)= , es: 1 + 2x
2(x+2)
x
ax+1
591.Dada la función f(x)=2 tal que x1, x2 ∈ R, x1f(x2). El valor de “a” que verifica la condición es: Rpta. a0 III Si 0