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• Kenyi Meza Paredes

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INTRODUCCIÓN En este tema estudiaremos los conceptos fundamentales de la Teoría de la Probabilidad, ilustrándolos desde la perspectiva de la Teoría de Conjuntos. Comenzaremos describiendo datos obtenidos de experimentos aleatorios, que son aquellos en los que interviene el azar, y analizando los sucesos que pueden surgir, a través de operaciones básicas como la unión o la intersección. El principal objetivo de un experimento aleatorio suele ser determinar con qué probabilidad ocurre cada uno de los sucesos que lo forman. Las leyes de probabilidad que veremos son fundamentales en el campo de ciencias de la salud, en la evaluación de pruebas diagnósticas. Ya que las pruebas diagnósticas no son infalibles es importante conocer probabilidad de la presencia o ausencia de una enfermedad en un paciente a partir de los resultados (positivos o negativos) de pruebas o de los síntomas (presentes o ausentes) que se manifiestan. Trabajaremos en este capítulo con el siguiente ejemplo, que nos servirá para entender los conceptos y resultados que presentaremos a lo largo del tema.

HISTORIA DE LA PROBABILIDAD La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos. Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae,un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre , del teorema central del límite. En 1809 Gauss »inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

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A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.

PROBABILIDAD La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, las matemáticas, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos. El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aun realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cuál de los resultados se va a presentar:

DENOTACIÓN La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento “no ocurra” equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q. También se conoce como la ley de

P(Q) = 1 - P(E)

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EXPERIMENTO ALEATORIO. SUCESOS Y ESPACIO MUESTRAL Debemos distinguir entre experimentos deterministas, en los que existe una relación de causa-efecto, y experimentos aleatorios.

EXPERIMENTO ALEATORIO Es aquel experimento que, repetido sucesivas veces en condiciones idénticas, produce resultados diferentes e imprevisibles.

EXPERIMENTO DETERMINISTA Es aquel experimento que repetido sucesivamente en condiciones idénticas siempre produce los mismos resultados. Un experimento determinista puede volverse aleatorio si se introduce un error asociado (por ejemplo, un error de medida).

Para el estudio de los experimentos aleatorios, debemos definir el concepto de espacio muestral y de suceso.

SUCESO ELEMENTAL Es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.

ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los sucesos elementales. Se denotará por Ω.

SUCESO Es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. En particular, Ω se denomina suceso seguro, mientras que ∅ (el conjunto vacío) es el suceso imposible.

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LEYES DE LA PROBABILIDAD (MORGAN) LEY DE LA UNIÓN La probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos calcular de la siguiente manera: Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

Ahora, si el caso es que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene: Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B. Es decir

P(A u B) = P(A) + P(B)

Ilustración 1

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Ejercicio En la imagen hay 10 objetos. Si se selecciona un objeto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cuadrado o una figura de color negro?

Número total de casos posibles = 10 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) =

5 10

= 0.5

6 = 0.6 10

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𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 10 = 0.2

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.5 + 0.6 − 0.2 = 𝟎. 𝟗

Ejercicio Un chef observó que el 65% de todos sus clientes consume mayonesa, el 70% consume kétchup, y el 80% consume mayonesa o kétchup. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar consuma las dos salsas a la vez? 𝑃(𝐴) = 65% 𝑃(𝐵) = 70% 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 80% 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 65% + 70% − 80% = 𝟓𝟓%

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LEY DE LA PROBABILIDAD CONTRARIA O DEL COMPLEMENTO Otra propiedad que se deriva de las anteriores es cuando se busca la probabilidad del complemento de un evento E, que denotaremos como ~E: Si E es un evento y ~E su complemento, entonces:

P(~E) = 1 – P(E)

Ejercicio Siguiendo con el ejemplo del ejercicio anterior ahora hallaremos la probabilidad de que no consuma mayonesa ni kétchup.

Probabilidad de que consuma mayonesa y kétchup P = 55% Probabilidad de que no consuma mayonesa ni kétchup = 1 – P = 1 – 55% = 45%

LEY DE LA DEPENDENCIA DE LOS EVENTOS. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:

P(A|B) = P (A n B) / P (B)

Esta propiedad no es conmutativa, situación que sí ocurre con la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no hay que confundir P(A|B) y

P(B|A).

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Ejercicio En un colegio, la probabilidad de que un alumno consuma mayonesa es de 65%, la probabilidad de que consuma kétchup es de 70% y la probabilidad de que consuma mayonesa y kétchup es de 55%. Calcular la probabilidad de que un alumno consuma mayonesa, dado que consume kétchup.

𝑃(𝐴) = 65% 𝑃(𝐵) = 70% 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 55% 𝐴 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 55% 𝑃( ) = = = 𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟕 𝐵 𝑃(𝐵) 70%

LEY DE LA INDEPENDENCIA DE EVENTOS Dos eventos A y B son independientes si y sólo si no están relacionados d ninguna manera:

P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)

o, que es lo mismo:

P(A n B) = P(A) • P(B)

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Ejercicio En San José, el 8% de las personas ganan más de $ 1000 al mes, mientras que el 60% le gusta el chocolate. Si se selecciona una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de $ 1000 al mes y le guste el helado de chocolate? A = Ganar menos de $ 1000 al mes = P(A) B = Gusto por el helado de chocolate = P(B) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) = 𝟎. 𝟎𝟖 ∗ 0.6 = 0.048 = 4.8%

REGLA DE LAPLACE La Regla de Laplace establece que: La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir:

P(A)=1

Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad. La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

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EJERCICIOS ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el número que salga sea 6?

Casos favorables = 1 Casos totales = 6 𝑷(𝑨 = 𝟔) =

𝟏 𝟔

APLICACIÓN Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama “análisis de vías de dispersión”, y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.

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BIBLIOGRAFIA Universidad de la República. (2017). Notas de curso de probabilidad.(Tesis pregrado).Universidad de la República.

BLOCK DE MATEMÁTICAS Y TIC S, de:https://matematics.wordpress.com/tag/leyes-de-de-morgan/

LEYES

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http://soy-

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INDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 1 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD .................................................................................................... 1 PROBABILIDAD .............................................................................................................................. 2 DENOTACIÓN ............................................................................................................................ 2 EXPERIMENTO ALEATORIO. SUCESOS Y ESPACIO MUESTRAL ...................................................... 3 EXPERIMENTO ALEATORIO ....................................................................................................... 3 EXPERIMENTO DETERMINISTA.................................................................................................. 3 SUCESO ELEMENTAL ................................................................................................................. 3 ESPACIO MUESTRAL .................................................................................................................. 3 SUCESO ...................................................................................................................................... 3 LEYES DE LA PROBABILIDAD (MORGAN) ....................................................................................... 4 LEY DE LA UNIÓN ....................................................................................................................... 4 Ejercicio ..................................................................................................................................... 5 Ejercicio ..................................................................................................................................... 5 LEY DE LA PROBABILIDAD CONTRARIA O DEL COMPLEMENTO ................................................ 6 Ejercicio ..................................................................................................................................... 6 LEY DE LA DEPENDENCIA DE LOS EVENTOS. ............................................................................. 6 Ejercicio ..................................................................................................................................... 7 LEY DE LA INDEPENDENCIA DE EVENTOS .................................................................................. 7 Ejercicio ..................................................................................................................................... 8 REGLA DE LAPLACE .................................................................................................................... 8 EJERCICIOS................................................................................................................................. 9 APLICACIÓN ................................................................................................................................... 9 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 10

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