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• Pablo Narvaez

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Capítulo I LEYES FUNDAMENTALES APLICADAS A LOS MOTORES ELÉCTRICOS 1.1 Ley de Faraday 1.2 Ley de Lenz 1.3 Ley de Lorentz 1.4 Ley de Oersted 1.1 LEY DE FARADAY 1.1.1 Datos Biográficos de Michael Faraday Nació en la localidad de Newington Butts, situada cerca de Londres en 1791. Perteneció a una familia humilde, aprendió a leer y escribir en una escuela de catequesis y debido a las carencias económicas que sufría desde los 14 años tuvo que trabajar en un taller de encuadernación. En su tiempo libre se dedicaba a leer los libros que le llevaban a encuadernar. En vista de la oportunidad que le dió un cliente de nombre Humphry Davy, Faraday pudo asistir a conferencias sobre temas de química. Davy quedó satisfecho con el trabajo de Faraday en 1812 y lo contrató como asistente. Dentro de las principales aportaciones de Faraday destacan: 1.- La obtención de los primeros compuestos de carbono y cloro: el hexacloroetano (C2C16) y tetracloroetano (C2C4) que llevó a cabo a principios de los años veinte. 2.- Descubrió el Benceno en el gas de alumbrado. 3.- Consiguió licuar el cloro y/o gases como el amoniaco y los anhídridos carbónico y sulfuroso. Las investigaciones Faraday lo llevaron a crear una propuesta en donde argumentaba que “Todas las fuerzas de la naturaleza (luz, electricidadmagnetismo) se reducen en una sola”. 1 1.1.2 Ley de Faraday Esta ley dice que la magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio de flujo a través del circuito. La fem inducida puede producirse de varias formas. Por ejemplo, una fem inducida y una corriente inducida pueden producirse en una espira cerrada de alambre, cuando el alambre se mueve dentro de un campo magnético.

La Ley de Faraday nos dice que la magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio del flujo magnético a través del circuito. La fem se puede inducir, al igual que la corriente, mediante una simple bobina o un simple alambre dentro de un campo magnético. La ley de Faraday matemáticamente se expresa de la siguiente forma (ecuación 1.1):

Es decir, la fem es inducida en un circuito cuando el flujo magnético a través de un circuito varía en el tiempo. En la ecuación 1 denotamos a , como el flujo magnético. El signo negativo en la formula 1 representa la oposición que existe en los campos inducidos por el flujo magnético y la fem. La corriente eléctrica aparece en la bobina cuando ésta se desplaza a lo largo del imán. La misma corriente aparece cuando el imán se mete en la bobina y se desplaza por ésta. Faraday descubrió que el movimiento relativo de la bobina y el imán crean electricidad. 1.1.3 Demostración de la Ley de Faraday Con una bobina, un amperímetro y un imán se pueden realizar los siguientes experimentos: 1. Se sitúa el imán en reposo dentro del solenoide. 2. Se introduce despacio/de prisa el imán en el solenoide. 3. Se saca despacio o de prisa el imán del solenoide. 4. Se observa el movimiento de la aguja del amperímetro. 5. Se aplica la ley de Lenz, para determinar el sentido de la corriente inducida. Para demostrar la Ley de Faraday, emplearemos una bobina de N espiras apretadas de radio R que es atravesada por un imán, tal como se muestra en la Fig. 1.3.

El imán se mueve con velocidad constante v sobre un carril de aire, como se muestra en la Fig. 1.4. Como se observa el campo magnético producido por un imán, se aproxima a la suma vectorial de los campos producidos por un par de cargas puntuales magnéticas o monopolos situados en sus extremos. Un imán largo y delgado se puede aproximar por un sistema formado por dos cargas magnéticas iguales y opuestas colocadas en sus extremos. Si la longitud del imán es L, y su momento bipolar magnético es m, las cargas magnéticas valen q=±m/L. Ver la Fig.1.5. La ecuación del campo magnético B se muestra a continuación y corresponde a las proximidades de un polo magnético, como se ve tiene una expresión similar a la del campo eléctrico de una carga puntual. (ecuación 1.2)

Donde m0=4π.107 es la permitividad magnética en el vacío. El campo tiene dirección radial y apunta hacia fuera o hacia la carga según sea q positiva o negativa, su módulo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia a la carga magnética. El campo magnético total en un punto del eje del imán a una distancia z (Fig.1.6) de su centro, es la suma del campo magnético producido por la carga positiva y el campo producido por la carga negativa. Midiendo el campo magnético B a una distancia z del centro del imán, podemos determinar el momento magnético m del imán, como se expresa en la ecuación 1.3. 1.2. LEY DE LENZ 1.2.1. Datos biográficos de Lenz Este físico, que estudio en la universidad de Dorpat y llegó a ser profesor de la de San Petersburgo, es conocido principalmente por formular La ley de la oposición de las corrientes inducidas que lleva su nombre, y que enunció en 1833.

Realizó importantes investigaciones sobre la conductividad de los cuerpos, en relación con su temperatura, descubriendo en 1843 la relación entre ambas, lo que luego fue ampliado y desarrollado por James Prescott Joule, por lo que pasaría a llamarse "Ley de Joule". 1.2.2. Ley de Lenz Esta Ley nos dice que las fuerzas electromotrices o las corrientes inducidas serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjeron. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía. La polaridad de una fem inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.2 El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano se calcula en la ecuación 1.4: Donde: (FI)= Flujo magnético. La unidad en el S.I. es el Weber (Wb). B = Inducción magnética. La unidad en el S.I. es el tesla (T). S = Superficie del conductor. (TETA) = Ángulo que forman el conductor y la dirección del campo. Si el conductor está en movimiento el valor del flujo será: En este caso la Ley de Faraday afirma que la fem inducida en cada instante tiene por valor: El signo (-) de la ecuación 6 indica que la fem inducida se opone a la variación del flujo que la produce. Este signo corresponde a la ley de Lenz. 1.2.3. Aplicaciones de la ley de Lenz Problemas: 1.- Una varilla metálica de 40 cm. de longitud se mueve en ángulo recto en un campo magnético de 50.000 gauss de densidad de flujo con una velocidad de 25 cm./seg. ¿Cuál es la fem inducida en la varilla? Alternativamente, la varilla atraviesa un área de 40 cm. X 25 cm./seg. = 1,000cm2/seg. (Durante cada segundo). Por lo tanto el flujo que corta en 1 segundo 2.- Una bobina circular de 200 espiras de alambre y 15 cm de radio se mantiene sobre una tabla horizontal, de forma tal que la componente vertical del campo magnético terrestre pase a través del plano de la bobina

(ver Fig. 1.8). La bobina se gira respecto de su plano horizontal, 180° en 1/50 segundo (eje N-S). Determinar la fem inducida en la bobina, si la intensidad del campo terrestre es 0,4 Oersted y la inclinación (ángulo de inclinación) es 60°. 3 Solución: Cuando la bobina se gira 90° sobre el eje horizontal, su plano será vertical y por lo tanto, paralelo a la componente vertical del campo terrestre, Y. (no pasa flujo a través de la bobina). Cuando la bobina se gira otros 90°, hasta su posición original, su plano está nuevamente horizontal y por lo tanto, perpendicular a Y. Entonces, cada espira de la bobina corta el doble de las líneas verticales de flujo (Y) que se hallan en el área de la bobina. La componente horizontal del campo X, no pasa por el área de la bobina en ningún momento en el aire: B = H = 0,4 Líneas / cm2 Componente vertical, Y = H sen Ɵ= 0,4 sen 60°= 0,4 x 0,866 = 0,346 línea/cm2 . El flujo total cortado = 2 x Y A= 2 x 0,346 líneas/cm2 x π (15 cm.)2 = 489 líneas Por tanto, E= (El signo menos no debe ser tenido en cuenta). 1.3. LEY DE LORENTZ 1.3.1. Datos biográficos de H. A. Lorentz Fig. 1.9. Hendrik Antoon Lorentz Hendrik Antoon Lorentz.- Físico matemático holandés, y último gran representante de la física clásica y precursor de la nueva, reunía a la lúcida lógica del matemático virtuoso la aguda intuición que le permitía ver escondidas realidades en los símbolos de las teorías. Profundidad y claridad a la vez distinguen las ideas de este eminente innovador. Profesor a los veinticinco años de la Universidad de Leyden, en Holanda, se convirtió, durante los dos primeros decenios del siglo, en inspirador-guía de toda una generación de investigadores. Nació en Arnhem, Holanda (Países Bajos), el 18 de julio de 1853. Hijo de Gerrit Frederik Lorentz propietario de una guardería infantil y su esposa Geertruida van Ginkef. Cuando él contaba con cuatro años de edad, su madre murió, y en 1862 su padre se volvió a casar con Luberta Hupkes. En aquellos años, la enseñanza que se impartía a los niños y jóvenes era

bastante rigurosa y sacrificada, ya que los horarios de clases muchas veces se extendían hasta el anochecer (se aplicaba en algún sentido el método de Dalton) y, fue bajo ese régimen de estudios, que Hendrik Antoon Lorentz adquirió los conocimientos de la enseñanza básica. Por ello, cuando en 1866 se inauguró el primer establecimiento de enseñanza media (H.B.S) en Arnhem, Lorentz, como alumno talentoso que era, ingresó a ese establecimiento de inmediato al tercer año. Al finalizar su quinto año de estudios medios y de haber recibido durante un año formación sobre los clásicos, se incorporó a la Universidad de Leyden en 1870, donde obtuvo su licenciatura en matemáticas y física, recibiendo el correspondiente título en el año 1871. En 1872, Lorentz vuelve a Arnhem donde ocupa un cargo de profesor de enseñanza media y, a la vez, trabaja en la preparación de su tesis de doctorado que se basa sobre el reflejo y refracción de luz. En 1875, a la temprana edad de 22 años, obtiene su grado de doctor, y tres años más tarde es nombrado profesor titular de la cátedra de física teórica de la Universidad de Leyden, donde, a pesar de recibir muchas invitaciones de universidades extranjeras para impartir clases, él siempre permaneció fiel a su Alma Mater, pese a que, en 1812, aceptó desempeñar la doble función de Director del Gabinete de física de la Fundación Teyler y Secretario de la "Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen" ( Sociedad Holandesa de Ciencias), él continuó a Leyden como profesor extraordinario, entregando su aporte como docente las mañanas de los lunes por el resto de su vida. La visión que tuvieron los directivos de la Fundación Teyler, para darle forma al contrato que ligaba a Lorentz con la institución, fue lo que permitió a éste desligarse de las obligaciones rutinarias académicas y liberalizar su mente, expandiendo las alas del pensamiento tras la consecución del asombro y el ritual de lo bello, transitando así dentro del reino más alto de la ciencia, algo que siempre en la humanidad ha estado restringido a unos pocos. Desde el comienzo de su trabajo científico, Lorentz -dentro de sus propósitos de investigación- asumió como una de sus tareas trabajar en la extensión de la teoría de Maxwell sobre la electricidad y la luz. Ya en la tesis de su doctorado, él trató los fenómenos de refracción y reflección de la luz desde un punto de vista que era entonces bastante novedoso, insertando en su trabajo fundamental sobre los campos de la óptica y de la electricidad, concepciones sobre la naturaleza de la materia que fueron consideradas revolucionarias y bellas. En 1878, Lorentz publicó un ensayo sobre la relación entre la velocidad de luz y la densidad y composición del medio de tránsito. La fórmula resultante, que propuso para ello, fue presentada casi simultánea a otra relacionada sobre lo mismo, elaborada por el físico danés Lorenz, lo que dio origen a lo que hoy en física se conoce como la fórmula Lorenz-

Lorentz. Por otra parte, las contribuciones de Lorentz para el estudio de los fenómenos sobre el movimiento de los cuerpos, alcanzaron ribetes importantísimos dentro del almacenamiento de conocimientos que comporta la física. En un extenso tratado sobre la aberración de la luz y sus consecuencias problemáticas que acarrea, postuló, siguiendo la hipótesis de A.J. Fresnel, la existencia de un éter de absoluta inmovilidad, y ensayó reconciliar el turbador silencio de los hechos con su teoría del electromagnetismo. Lo anterior, fue lo que sirvió de base para la formulación de una teoría general sobre los fenómenos eléctricos y ópticos de cuerpos en movimiento. Por otro lado, Lorentz introduce el concepto del electrón a la teoría de Maxwell. Él admite la presencia, en todos los cuerpos, de partículas eléctricas con carga negativa, semejantes entre ellas y de masa pequeñísima. Supone que las partículas -los electrones- llevan una carga igual al cuanto de electricidad revelado por las leyes electrolíticas de Faraday. Sin embargo, los electrones ligados a los átomos no son los únicos presentes en la materia. Los buenos conductores, los metales, contienen también electrones libres, cuyo movimiento, en general. ,es desordenado. Si una fuerza electromotriz les impone un desplazamiento conjunto, aparecen en nuestra escala como corriente eléctrica: suposición concorde con el experimento (1876) de Henry Rowland, con la prueba de que el transporte mecánico de una carga electroestática produce idénticos efectos que la corriente. Como la energía cinética de los electrones crece con la temperatura, se comprende por qué los buenos conductores del calor lo son también de la electricidad. En su desplazamiento de conjunto, los electrones libres chocan frecuentemente con los átomos; la energía que transmiten a éstos se manifiesta como calor liberado (efecto Joule, 1840) durante el pasaje de la corriente. Si la velocidad que la agitación térmica confiere a los electrones es bastante elevada, les permite dejar el metal y dar origen, en tubos al vacío, a una corriente electrónica (efecto Edison, 1884). Un campo magnético exterior actúa sobre los electrones que se desplazan en el conductor y desvían la corriente de su trayectoria (efecto Hall, 1880). Estos ejemplos son algunos entre los muchos que mostraron cómo la hipótesis lorentziana de la presencia, en un conductor, de electrones libres, esclareció el mecanismo de la conducción de la electricidad en los metales y otros fenómenos descubiertos por la experiencia, sin que la teoría, antes de la intervención del gran holandés, hubiera logrado, ni siquiera cualitativamente, interpretarlos. A través del desarrollo de su trabajo científico, el físico holandés deduce en 1904, por consideraciones teóricas, la transformación de las coordenadas del espacio y del tiempo «transformación lorentziana», que permite a la

descripción de los fenómenos electromagnéticos pasar de un sistema fijo a otro dotado con velocidad constante. La transformación de Lorentz deja la forma de las ecuaciones de Maxwell sin alteración -invariante- como la transformación de Galileo deja sin modificación la forma de las ecuaciones newtonianas. La primera asegura, pues, en los sistemas móviles, la conservación de las leyes del electromagnetismo, como la segunda, la de las leyes de la mecánica. Empero, por una diferencia importantísima, la transformación de Lorentz implica una consecuencia completamente extraña a los postulados básicos de la mecánica newtoniana: la distancia entre dos puntos y la duración de un acontecimiento dado no tienen los mismos valores en dos sistemas uno fijo, otro dotado de movimiento. Exige, pues, que la duración de un mismo acontecimiento sea distinta en los dos sistemas. La distancia se acorta, la duración se dilata, si se pasa de un sistema a otro. El carácter absoluto de distancia y duración, formulado por la transformación de Galileo, está en la transformación de Lorentz. Aquí es cuando nos encontramos a Lorentz cerca de Einstein. Existe bastante justicia, de parte del mundo de la física teórica, cuando a Hendrik Antoon Lorentz se le considera como el alma que completó la labor teórica pendiente de sus predecesores y preparó el terreno para que se generara una fructífera recepción a nuevas ideas con base en la teoría cuántica. Hendrik Antoon Lorentz, recibió, en el año 1902, el Premio Nobel en física, compartido con un discípulo suyo, Pieter Zeeman, quién había hecho las verificaciones experimentales de la teoría de Lorentz sobre la estructura atómica, demostrando los cambios que producen los efectos de un campo magnético fuerte sobre las oscilaciones de las longitudes de onda de la luz. En 1919, fue nombrado presidente del comité que se abocó al estudio del movimiento de las aguas marinas durante y después del reclamo del Zuyderzee en los Países bajos, trabajo que es considerado como uno de los mayores aportes que se han realizado en el estudio de la hidráulica. Sus cálculos teóricos, que corresponden al trabajo de ocho años, han sido reiteradamente confirmados en la práctica y constituyen parte de la estructura científica de la hidráulica. Lorentz, merecidamente gozó de un gran respeto por parte de la comunidad científica mundial, y recibió una cantidad abrumadora de honores y distinciones provenientes de la mayoría de las partes del planeta. Frecuentemente, los congresos y simposios a los cuales a él le tocaba asistir, los presidía a solicitud de los concurrentes a ellos, manejando las sesiones con una habilidad excepcional, haciendo gala de su inteligencia, de su amable personalidad, y de su fluido dominio de varios idiomas. Presidió hasta el día de su muerte, los Congresos Solvay y, en el año 1923, fue elegido miembro permanente del "Comité de intelectuales para la cooperación internacional" de la Liga de las Naciones, el cual estaba

constituido, únicamente, sólo por los que se consideraba los siete más destacados eruditos del mundo. Lorentz lo presidió en 1925. Gracias a su enorme prestigio, Lorentz gozaba de una gran influencia dentro de los círculos gubernamentales de su país, Holanda. Ello, le permitió convencer a sus gobernantes sobre la importancia del estudio y la investigación de las ciencias para el desarrollo del país. Con esas condiciones, él pudo iniciar los pasos que finalmente condujeron a la creación de un organismo especializado en la promoción para hacer ciencia, el cual generalmente se le conoce bajo las siglas T.N.O. (Centro de Investigación Científica Aplicada). 1.3.2. Ley de Lorentz Toda vez que una carga se desplaza dentro de un campo magnético, recibe una fuerza que es directamente proporcional al valor de la carga, a su velocidad, al campo magnético y al seno del ángulo formado por el vector velocidad y el vector campo magnético. Y que en forma vectorial se puede expresar como el siguiente producto vectorial de vectores : El campo magnético lo definimos como dirigido en esa dirección privilegiada. En realidad la inducción magnética aunque corrientemente se le llama campo magnético. Unidad de campo magnético: La unidad de B es la Tesla (T) y su unidad se compone de las siguiente manera dado que despejando de la ley de Lorentz nos queda que: ( Tesla = 1x104 Gauss) 1.3.2.1 Regla de la mano izquierda o de la acción del motor Una regla de la mano derecha de Fleming, relaciona la dirección del flujo magnético, la dirección del movimiento y la dirección del voltaje inducido resultante. Existe también una relación similar mutuamente ortogonal (perpendicular entre sí) entre la dirección del campo magnético o flujo, la dirección del voltaje aplicado y la corriente, así como la dirección de la fuerza magnética resultante o acción del motor. La mano izquierda establece esta relación, si se coloca el dedo índice de norte a sur y se fija la posición del dedo medio en la dirección del voltaje aplicado y de la corriente resultante. En estas condiciones el dedo pulgar apunta en la dirección de la fuerza que esta desarrollada por la Ley de Lorentz. 1.3.3 Aplicaciones de la ley de Lorentz Ejercicio 1: La inducción magnética en un punto de la tierra tiene un valor de 0.6 x 10-

4 Wb/m2 y está dirigido hacia abajo y hacia el norte formando un ángulo de 70º con la horizontal. Un protón se mueve horizontalmente en dirección norte con v = 1 x 107 m/s. Calcular la fuerza ejercida por el campo magnético sobre el protón. Datos: Carga del protón +1.6 x 10-19 C Resolución: Para calcular la fuerza ejercida sobre la carga en movimiento debemos recurrir a la aplicación de la ley de Lorentz. Como se observa en el cálculo realizado hemos obtenido el módulo de la fuerza aplicada sobre la carga positiva y aplicando la regla de la mano izquierda se determina el sentido de la fuerza como se ve en el dibujo adjunto. Respuesta: Por lo tanto el valor de la fuerza es de 9x10-17 N y dirigida hacia el Oeste. Ejercicio 2: ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de Lorentz sobre un electrón cuya velocidad es 2,0 x 106 m/s en un campo magnético de 2,0 x 10-2 T dirigido perpendicularmente con respecto a la velocidad? ¿Qué intensidad de campo eléctrico es necesaria para producir una fuerza igual? Datos: Carga del electrón -1,6x10-19 C Solución: Aplicando la ley de Lorentz tenemos que siendo sen f = 1 porque el ángulo es de 90º Para calcular el valor del campo eléctrico que produciría una fuerza de igual módulo debemos aplicar la expresión correspondiente a la definición de intensidad de campo eléctrico E. Y si los ángulos son rectos se produciría la siguiente igualdad entre la expresión de la fuerza de Lorentz y la deducida de la definición de campo eléctrico Respuesta: La intensidad de campo eléctrico que debe producirse es de 4x104 N/C. 1.4. LEY DE OERSTED 1.4.1. Datos biográficos de Oersted Fig. 1.9. Hans Christian Oersted

Hans Christian Oersted, nació en Rudkobing, Dinamarca el 14 de agosto de 1777. Físico y químico que descubrió la acción magnética de las corrientes eléctricas. Estudió Física y Farmacia (Influido por su padre, que era farmacéutico) en la Universidad de Copenhague. Terminados sus estudios, fue nombrado adjunto de la Facultad de Medicina. En 1820 descubrió la relación entre la electricidad y el magnetismo, y que llevó a cabo ante sus alumnos. Oersted logró demostrar este hecho, cuando descubrió que una aguja magnética se desvía al paso de la corriente por un conductor situado en sus proximidades. Este descubrimiento constituye en realidad la base fundamental del electromagnetismo y, por lo tanto, el fundamento en todas las aplicaciones técnicas de la electricidad moderna. Oersted estaba preparando su clase de física en la Universidad de Copenhague, una tarde del mes de abril, cuando al mover una brújula cerca de un cable que conducía corriente eléctrica notó que la aguja se deflectaba hasta quedar en una posición perpendicular a la dirección del cable. Más tarde repitió el experimento una gran cantidad de veces, confirmando el fenómeno como se ve en la fig.1.10. Por primera vez se había hallado una conexión entre la electricidad y el magnetismo. Entre los grandes logros alcanzados por este filósofo de la naturaleza, catedrático de física y director de la escuela superior de Copenhague se cuenta el descubrimiento de la existencia de una estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. Este descubrimiento lo realizó en colaboración con el físico Alemán Johann Wilhelm Ritter, con el que intercambiaba información científica con periodicidad. Oersted inventó además un aparato que permite determinar la compresibilidad que presentan los líquidos. Fallece en Copenhague, el 9 de marzo de 1851 a la edad de 74 años, mas de 200,000 personas acudieron a su entierro; y la población Danesa sintió mucho su muerte puesto que gracias a sus descubrimientos y a sus dotes de orador, había contribuido a transmitir una imagen activa y positiva de Dinamarca. 4 1.4.2. Ley de Oersted La Ley de Oersted dice que: la densidad de flujo alrededor de un alambre portador de corriente es directamente proporcional a la corriente, e inversamente proporcional a la distancia a partir del centro axial del alambre. 5