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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL INTRODUCCIÓN El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de Ley de Enfriamiento de Newton.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL I.

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura es depositado en un medio ambiente que se mantiene a una temperatura constante, con , la experiencia nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende a ser igual a la del medio ambiente. Es decir, si es la temperatura de cuerpo en el tiempo , entonces cuando crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue: En

En

En

Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la Ley de Newton; ésta afirma que la rapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es, [

]

Donde es la constante de proporcionalidad. Notemos aquí dos situaciones: 1. Cuando y por lo mismo , en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene que [

decrece y que

y por lo mismo [

, por lo que

]

2. Cuando tiene que

, es decir,

crece y que

, en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se , es decir,

, por lo que

]

Conclusión.- Sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación diferencial: [

] tiene sentido siempre y cuando

Tenemos entonces que la temperatura determinada por: [

], con la condición inicial

sea negativa

.

del cuerpo en el instante

está

.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL Resolviendo la ecuación diferencial: [

∫

]

[

] |

|

|

∫

|

por una constante, es decir: |

Para hallar la constante decir:

[

|

| Podemos reemplazar

]

|

podemos operar la ecuación para las condiciones iniciales, es

Reemplazando se tendría la siguiente ecuación:

Esta es la fórmula que vamos a usar durante los siguientes ejemplos y ejercicios

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL a. Ejemplos.a.1. Un cuerpo que tiene una temperatura es depositado en un lugar donde la temperatura se mantiene a . Después de minutos, la temperatura del cuerpo ha disminuido a . a.1.1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de

minutos?

a.1.2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga

?

SOLUCIÓN Primero plantearemos la ecuación con los datos iniciales:

a.1.1. i. Ahora el tiempo será

:

( )

( )

[ ]

a.1.2. i. Ahora nos pide hallar el tiempo, usando los siguientes datos:

( )

4

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL * +

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

a.2. Un objeto que tiene una temperatura de un horno que se mantiene a . A las ¿A qué hora estará el objeto a ?

se coloca a las horas en horas su temperatura era .

SOLUCIÓN Plantearemos la ecuación con los datos iniciales:

i. Teniendo en cuenta el anterior resultado, tendremos:

*

*

[ [

] ]

[ [

+

+

] ]

[

]

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL b. Ejercicios.b.1. Supongamos que la razón a que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea. Un cuerpo originalmente a se enfría hasta en minutos en aire a . Encontrar una expresión para la temperatura del cuerpo en un instante cualquiera . SOLUCIÓN i. Nuestros datos son:

ii. Ahora reemplazando en la ecuación:

(

)

(

)

[ ]

b.2. Un químico desea enfriar desde hasta una sustancia contenido en un matraz. Se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a . Se observa que después de minutos la temperatura ha descendido a . Estimar el tiempo total de enfriamiento. SOLUCIÓN i. Como primero datos tenemos:

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL ii. Ahora utilizamos los siguientes datos:

( )

( )

[ (

]

)

[

]

Entonces el tiempo total que demora este proceso será: minutos.

b.3. Un termómetro que marca se lleva fuera donde la temperatura es de . Cuatro minutos después el termómetro marca . Encontrar: b.3.1. La lectura del termómetro siete minutos después de que este haya sido llevado al exterior. b.3.2. El tiempo que le toma el termómetro caer desde medio grado con respecto a la temperatura del aire.

hasta más o menos

SOLUCIÓN b.3.1. i. Tenemos:

i. Para la primera pregunta tendremos:

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( )

( )

( )

[

]

b.4. Dentro de cuánto tiempo la temperatura de un cuerpo calentado hasta descenderá hasta . Si la temperatura del local es de y durante los primeros minutos el cuerpo en cuestión se enfría hasta . SOLUCIÓN i. Para el caso de los primeros

minutos, tenemos:

ii. Hallaremos el tiempo requerido para que se enfríe hasta los

(

(

:

)

)

[ ] (

[ ]

)

[ ]

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL minutos.

b.5. El Presidente y el primer Ministro piden café y reciben tazas a igual temperatura y al mismo tiempo. El Presidente agrega inmediatamente una pequeña cantidad de crema fría; pero no se toma café hasta minutos después. El primer Ministro espera minutos y, luego añade la misma cantidad de crema fría y comienza a tomarse su café. ¿Quién tomará el café más caliente? SOLUCIÓN i. Para el caso del Presidente y del primer Ministro tendremos lo siguiente:

Presidente Para

Para

Primer Ministro Para

la ecuación será la siguiente:

Para

la ecuación será la siguiente:

Aquí la temperatura final será:

Aquí la temperatura final será:

Ahora:

Ahora:

Notamos lo siguiente:

El que tomará el café más caliente será el Presidente.

b.6. Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. Él sirvió dos tazas de café. Blanca le agregó crema fría suficiente como para bajar la temperatura de su café . Después de minutos, Luis agregó suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en . Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frío? SOLUCIÓN Consideremos: i. Para el caso de Blanca:

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La ecuación será:

ii. Para el caso de Luis:

La ecuación será:

Pero cuando los dos empiezan a beber después de estos cinco minutos: -

Blanca empezará a tomar el café con la siguiente temperatura:

-

Y Luis empezará a tomar el café con la siguiente temperatura: Le hemos restado temperatura .

debido a que Luis recién le agrega la crema con una cierta

Luego podemos hacer que: . Ya que es una cantidad constante, entonces las temperaturas respectivas de Blanca y Luis serán:

Luego notamos que:

Por tanto decimos que Luis tenía el café más frío. b.7. A las horas un termómetro que indica se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de . A las horas, el termómetro indica . Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las horas el termómetro da una lectura de . ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?; ¿Cuál era la lectura del termómetro en ese momento? SOLUCIÓN En este problema tenemos dos tipos de contenedores que también funcionan como ambientes con temperaturas constantes.

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL Congelador

Cuarto

i. Para el caso en el termómetro es llevado desde el congelador al cuarto, la temperatura del medio o ambiente será la misma del cuarto:

ii. Ahora plantearemos la ecuación para un tiempo , antes de que el termómetro sea llevado recién del cuarto al congelador:

( )

( )

[

]

ii. Después del tiempo transcurrido, el termómetro es llevado recién del cuarto al congelador, en este caso la temperatura del ambiente será la misma de la del congelador:

( )

{[

[

]

]

}

( )

Pero sabemos que: ( )

{

[

[

]

(

]}

[

)

]

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL ( )

{[

[

]

(

]}

[

(

[

]

[

]

[

)

]

[

] (

[

)

]

]

[ (

[

]

[

]

)

] )

[

]

Por tanto el termómetro se regreso del cuarto al congelador a las ii. Ahora para hallar la lectura del termómetro en el instante simplemente reemplazamos:

horas. horas,

( )

[ (

[

] )

]

[

]

[

]

b.8. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de , para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho . Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará la cerámica es de y que, después de minutos, la temperatura del

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL material es de . ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso? SOLUCIÓN i. Para las primeras condiciones:

ii. Ahora calcularemos el tiempo para la temperatura requerida:

(

(

[ [

]

[

)

)

] ]

[

]

minutos. Por tanto el tiempo calculado será:

b.9. Un termómetro en el que lee se lleva al exterior. Cinco minutos más tarde el termómetro indica . Después de otros cinco minutos el termómetro señala . ¿Cuál es la temperatura del exterior? SOLUCIÓN i. Primer caso:

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL ii. Segundo caso:

iii. Resolviendo las dos ecuaciones:

Reemplazando:

( )

b.10. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de al exterior, donde la temperatura del aire es de . Después de medio minuto el termómetro indica . ¿Cuál es la lectura del termómetro en minuto?¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los SOLUCION i. Se tiene los primeros datos:

ii. Para

, tenemos:

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[ ]

[ ]

b.11. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a . Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó . Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de . Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a y que la temperatura del corazón en ese momento era de . Determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? SOLUCION i. Primero analizamos durante el tiempo de descubrimiento:

ii. Ahora nos remontamos a la hora del deceso, entonces:

[ ] [

]

[ ]

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL II.

BIBLIOGRAFÍA  Análisis Matemático IV por: EDUARDO ESPINOZA RAMOS.  Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera por: DENNIS G. ZILL – MICHAEL R. CULLEN  Ampliación de Matemáticas por: ANTONIO BAEZA SALAS  Ecuaciones Diferenciales Aplicadas por: MURRAY R. SPIEGEL  Ecuaciones Diferenciales por: DENNIS G. ZILL

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