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• Yhon Nestor Ilachoque

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• Electromagnetismo
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• Corriente eléctrica
• Campo eléctrico
• Mecanica clasica

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Contenido INTRODUCCION ................................................................................................................................... 2 1.

OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 3

1.

OBJETIVO ESPECIFICO ............................................................................................................. 3

2.

LOS AUTORES .......................................................................................................................... 3

2.1.

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS ........................................................................................ 3

2.1.1. 2.2.

ANDRE MARIE AMPERE ....................................................................................................... 4

2.2.1. 3.

CONTRIBUCIONES A LA TEORIA DEL POTENCIAL ............................................................ 3

APORTES A LA TEORIA DEL POTENCIAL ........................................................................... 5

LEY DE GAUSS .......................................................................................................................... 5

3.1.

CARGA PUNTUAL EN EL CENTRO DE UNA ESFERA .............................................................. 5

3.2.

CARGA PUNTUAL ENCERRADA POR UNA SUPERFIIE IRREGULAR ....................................... 8

3.3.

ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS................................................................. 11

4.

LEY DE AMPERE ..................................................................................................................... 12

4.1.

CAMPO MAGNETICO EN UN SOLENOIDE O BOBINA ........................................................ 15

4.2.

APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE .............................................................................. 16

4.2.1.

FORMA INTEGRAL ......................................................................................................... 16

4.2.2.

FORMA DIFERENCIAL..................................................................................................... 17

4.3.

EJEMPLOS DE LA LEY DE AMPERE ..................................................................................... 17

4.3.1.

EJEMPLO 1.- CAMPO DE UNA CORRIENTE RECTILINEA................................................. 17

4.3.2.

EJEMPLO 2.- CAMPO DE UN CABLE COAXIAL ................................................................ 18

4.3.3.

EJEMPLO 3.- CAMPO DE UN CABLE COAXIAL ................................................................ 20

CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 24 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 24

Página 1

INTRODUCCION La ley de GAUSS es una expresión fundamental de la ley de Coulomb y constituye una de las leyes fundamentales del electromagnetismo. La aplicación de la ley de Gauss facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos. En particular simplifica mucho el cálculo del campo eléctrico cuando la distribución presenta una alta simetría. Además la aplicación de la ley de Gauss permite analizar el comportamiento de los conductores. Para aplicar la ley de Gauss se necesita en primer lugar el conocimiento del flujo eléctrico, magnitud física análoga a aquel flujo que se estudió en mecánica de fluidos. La ley de GAUSS es otra forma de describir el comportamiento de las cargas y los campos eléctricos. Una consecuencia de esta ley es que las cargas estáticas de un conductor se encuentran en la superficie de estas de una esfera y no en su interior. La ley de Ampere es una de las leyes fundamentales de las magnetostatica, y juega un rol equivalente al de la ley de Gauss en electrostática: permite calcular fácilmente el campo magnético cuando la simetría de la distribución de corriente lo permite. En su forma diferencial, la ley de Ampere establece que una densidad de corriente

es fuente de un campo magnético rotacional

En física del magnetismo, la ley de Ampere, modelada por André-Marie Ampere en 1831,1 relaciona un campo magnético estático con la causa, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica. La ley de Ampere explica que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es proporcional a la corriente que recorre en ese contorno. El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente. El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor.

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1. OBJETIVO GENERAL Lograr que esta información sea una alternativa para comprender en que consiste la ley de Gauss y la ley de Ampere. 1. OBJETIVO ESPECIFICO  Comprensión de la definición de la ley de Gauss y la ley de Ampere.  Explicar las aplicaciones de la ley de Gauss y la ley de Ampere 2.

LOS AUTORES

2.1. JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS Johann Carl Friedrich Gauss fue un matemático, astrónomo, geobotánico y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado el Princeps Mathematicorum,nota 1 Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae, a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes. 2.1.1.

CONTRIBUCIONES A LA TEORIA DEL POTENCIAL

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El teorema de la divergencia de Gauss, de 1835 pero publicado en 1867, es fundamental para la teoría del potencial y la física. Coloca en un campo vectorial la integral del volumen para la divergencia de un campo vectorial en relación con la integral de superficie del campo vectorial alrededor de dicho volumen. 2.2. ANDRE MARIE AMPERE (Lyon, 1775 - Marsella, 1836) Físico francés. Fundador de la actual disciplina de la física conocida como electromagnetismo, ya en su más pronta juventud destacó como prodigio; a los doce años estaba familiarizado, de forma autodidacta, con todas las matemáticas conocidas en su tiempo. Esta línea de trabajo le llevó a formular una ley empírica del electromagnetismo, conocida como ley de Ampère (1825), que describe matemáticamente la fuerza magnética existente entre dos corrientes eléctricas. Algunas de sus investigaciones más importantes quedaron recogidas en su Colección de observaciones sobre electrodinámica (1822) y su Teoría de los fenómenos electromagnéticos (1826). Su desarrollo matemático de la teoría electromagnética no sólo sirvió para explicar hechos conocidos con anterioridad, sino también para predecir nuevos fenómenos todavía no descritos en aquella época. No sólo teorizó sobre los efectos macroscópicos del electromagnetismo, sino que además intentó construir un modelo microscópico que explicara toda la fenomenología electromagnética, basándose en la teoría de que el magnetismo es debido al movimiento de cargas en la materia (adelantándose mucho a la posterior teoría electrónica de la materia). Ampere fue asimismo el primer científico que sugirió cómo medir la corriente: mediante la determinación de la desviación sufrida por un imán al paso de una

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corriente eléctrica (anticipándose de este modo al galvanómetro). Su vida, influida por la ejecución de su padre en la guillotina el año 1793 y por la muerte de su primera esposa en 1803, estuvo teñida de constantes altibajos, con momentos de entusiasmo y períodos de desasosiego. En su honor, la unidad de intensidad de corriente en el Sistema Internacional de Unidades lleva su nombre. 2.2.1.

APORTES A LA TEORIA DEL POTENCIAL André Marie Ampere (1775 – 1836): Matemático y físico francés que formula la teoría de “Electromagnetismo”, a partir de los trabajos de Hans Christian Orsted, estudia la relación entre la corriente eléctrica y el magnetismo. Señala que en una brújula, la aguja se mueve dependiendo de la dirección de una corriente eléctrica cercana, pudo demostrar que el paso de la corriente a través de un cable conductor producía un campo magnético a su alrededor. Posteriormente demuestra que la dirección de las líneas de fuerza del campo magnético que se producía se relacionaba directamente con la dirección que llevaba el flujo de la corriente que circula por el conductor. En su honor, la unidad de intensidad de corriente eléctrica recibe su nombre de Ampere.

3.

LEY DE GAUSS La ley de gauss es una alternativa de la ley de Coulomb, aunque es totalmente equivalente a la ley de coulomb, la ley de Gauss ofrece una forma diferente de expresar la relación entre la carga eléctrica y el campo eléctrico. Fue formulada por Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Muchos campos de las matemáticas ostentan el distinto de su influencia e hizo aportaciones igualmente importantes a la física teórica.

3.1. CARGA PUNTUAL EN EL CENTRO DE UNA ESFERA Nosotros desarrollaremos la ley de Gauss gradualmente, primero consideraremos el caso de una carga puntual q en el centro de una superficie esférica Gaussiana de radio R, tal como se muestra en la figura 1.1. El flujo eléctrico a través del área dA, está dado por:

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Para determinar el flujo neto a través de toda la superficie esférica debe sumarse (integrarse), la ecuación (a) sobre toda el área de la superficie esférica, esto es

Figura 1.1 Flujo eléctrico a través de una superficie esférica imaginaria de radio r debido a una carga puntual.

En este caso el campo eléctrico es radial y según la ley de Coulomb está dado por Aquí la integral se evalúa sobre la superficie de radio R. es un vector unitario normal a la superficie esférica, pero también es radial como lo es el vector unitario

. Debido a que el radio de la superficie esférica Gaussiana permanece

constante y de acuerdo a la definición de producto escalar se cumple que , entonces se tiene

La evaluación de la integral sobre el área de la superficie gaussiana y teniendo en cuenta que

, obtenemos

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La ecuación indica que el flujo neto a través de una superficie gaussiana esférica con una carga puntual en su cetro, es independiente del radio R de la superficie esférica. Depende únicamente de la carga q encerrada en la superficie. Este resultado puede interpretarse también en términos de las líneas de fuerza. La figura 1.2 muestra dos superficies esféricas concéntricas de radios R y 2R, respectivamente centradas en la carga puntual q. Cada línea de flujo que atraviesa la superficie pequeña también atraviesa la superficie grande, por lo que el flujo neto a través de cada superficie es el mismo. Lo que es verdad acerca de la superficie esférica gaussiana en su totalidad lo es también para cualquier porción de la superficie. En la figura 1.2 un área dA aparece dibujada sobre la superficie de radio R y luego proyectada sobre la superficie de radio 2R trazando líneas que parten del centro y que pasan sobre la frontera de dA. El área proyectada sobre la superficie más grande es ahora 4dA. No obstante, dado que el campo para una carga puntual decrece con , la magnitud del campo es cuatro veces menor en la superficie de radio 2R que en la de radio R. Por lo tanto el flujo eléctrico en ambas áreas es el mismo e independiente de R.

Figura 1.2 Proyección de un elemento de área dA de una esfera de radio R sobre una superficie esférica de radio 2R.

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3.2. CARGA PUNTUAL ENCERRADA POR UNA SUPERFIIE IRREGULAR Los resultados anteriores pueden extenderse considerando alguna superficie de forma arbitraria cerrada conteniendo la carga. Recalcamos aquí que el flujo eléctrico es una medida del número de líneas de campo eléctrico pasando a través de una superficie. Una línea de campo que pasa a través de una esfera también pasará a través de alguna superficie cerrada de forma arbitraria pero que contiene a la carga. Notamos también que cuando una línea de campo entra a una superficie hay una contribución negativa al flujo y existe una contribución negativa cuando abandonan la superficie. Una línea que a la vez que ingresa a la superficie, sale de ésta, no contribuye al flujo. De ello se deduce que cualquier superficie cerrada que contiene la carga tiene un flujo . Sin embargo, en cualquier superficie cerrada que no contiene la carga el flujo es cero. La discusión anterior es menos precisa que uno podría pensar. Hemos apelado a la noción intuitiva de que el flujo es una medida del número de líneas pasando a través de una superficie, pero la discusión carece de precisión. Podemos hacer estos comentarios más precisos considerando el ángulo sólido. Un ángulo sólido (en estereorradianes) puede ser definido como un área de una región en una esfera unitaria. El área total de una esfera unitaria es 4π, de modo que es el máximo ángulo sólido. Para determinar el flujo a través de una superficie cerrada no esférica consideremos una carga puntual q en el interior de una superficie cerrada S, de forma arbitraria tal como se muestra en la figura 1.3.

Figura 1.3 (a) carga puntual encerrada por una superficie de forma arbitraria mostrando que el flujo a través del área dA es proporcional al ángulo sólido subtenido por el elemento de área, (b) ángulo solido subtenido por elemento.

Para evaluar el flujo eléctrico dividamos a la superficie en elementos de área dA Página 8

ubicados a una distancia r de la carga puntual +q, el campo eléctrico será colineal con el vector unitario a lo largo de r y el vector unitario normal a la superficie n, está formando un ángulo θ con el campo eléctrico. Por lo tanto el flujo eléctrico a través de dA será.

El flujo neto a través de la superficie de forma arbitraria se obtiene sumando (integrando) la ecuación, es decir

De la definición de ángulo sólido dΩ, subtendido por elemento de superficie visto desde la carga (véase la figura 1.3b), se tiene.

Remplazando la ecuación en esta ecuación se obtiene el siguiente resultado.

Sabemos que el ángulo sólido alrededor de toda la superficie es 4𝜋 estereorradianes, con lo cual el flujo será.

Este resultado es el mismo que el encontrado en la sección anterior para el caso de una carga puntual encerrada en una superficie esférica. Por lo tanto, el flujo eléctrico a través de una superficie de forma arbitraria con una carga en su interior es independiente de la posición de la carga dentro de la superficie y solo depende de la carga.

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Si ahora consideramos que la caga puntual q’ está fuera de la superficie como se muestra en la figura 1.4a, el flujo eléctrico neto a través de la superficie es nulo, ello se justifica observando que el número de líneas de campo que ingresan a la superficie es igual al número de líneas que salen de la superficie.

Los resultados anteriores se pueden ampliar a un sistema de cargas puntuales N en el interior de la superficie gaussiana y otro sistema N’ de cargas puntuales en el exterior como se muestra en la figura 1.4b.

Figura 1.4 (a) carga puntual situada en un punto exterior a superficie gaussiana, (b) superficie que contiene cargas exteriores así como cargas interiores

Donde , es el campo resultante en cualquier punto de la superficie y es la carga total encerrada por la superficie gaussiana. Para el caso en el cual la distribución de carga es continua (lineal, superficial o volumétrica), la carga encerrada se obtiene integrando cada dq asumida. Por tanto el flujo eléctrico es

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Después de haber calculado el flujo eléctrico para diferentes configuraciones estamos en condiciones de enunciar la ley de Gauss, la misma que establece: “Dada una distribución de carga, discreta o continua, el flujo eléctrico total producido por la carga y que va a través de cualquier superficie gaussiana cerrada S, está relacionada con la carga total dentro de la superficie por la ecuación.

Donde

, es el campo eléctrico producido por todas las cargas, las interiores y las

exteriores, y es la

carga total contenida en la superficie gaussiana”.

3.3. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS 

La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a distribuciones de carga con alto grado de simetría, particularmente para distribuciones de carga con simetría esférica, cilíndrica o plana.



Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una cierta distribución con de cargas.



Para aplicar la ley de Gauss al cálculo del campo eléctrico debido a una cierta distribución de cargas con propiedades de simétrica adecuadas es aconsejable seguir el siguiente procedimiento: Seleccionar una superficie gaussiana que tenga las siguientes propiedades: (a) la superficie debe tener la misma simetría que la correspondiente distribución de carga; (b) en cada punto de la superficie, E debe ser normal o tangencial a la superficie; (c) en todos los puntos en los que E es normal a la superficie, E debe tomar un valor constante. Los casos más frecuentes son:  para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetría esférica, debe Página 11

  

elegirse como superficie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribución de carga; para líneas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse una superficie cilíndrica coaxial con la línea de carga o cilindro; para planos (o láminas) cargados que tienen simetría plana, debe elegirse como superficie gaussiana un cilindro pequeño simétrico con el plano. Calcular el flujo y a través de dicha superficie.

3. Calcular la carga total Qint dentro de la superficie, y usar ley de Gauss, ∅ = 𝑄𝑖𝑛𝑡 / 𝜀_𝑜 = "0, para obtener el campo E. Los trabajos de mantenimiento serán efectuados exclusivamente por personal capacitado, debidamente autorizado por la empresa para su ejecución. Los establecimientos efectuarán el mantenimiento de las instalaciones y verificarán las mismas periódicamente en base a sus respectivos programas, confeccionados de acuerdo a normas de seguridad, registrando debidamente sus resultados.

4. LEY DE AMPERE Cuando estudiamos el campo eléctrico generado por distribuciones de carga que presentaban un alto grado de simetría, vimos que era posible recurrir a la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en vez de utilizar la ley de Coulomb. Una situación semejante se plantea en el estudio del campo magnético creado por distribuciones de corriente que presentan un elevado grado de simetría. En esta sección estudiaremos la ley de Ampère, que es precisamente la ley que permite establecer esta analogía. Tanto la ley de Ampère como la ley de Gauss son importantes desde una perspectiva teórica. Además, ambas son válidas aunque el sistema no goce de simetría. Sin embargo, si además se da tal simetría, estas leyes son útiles para evaluar el campo eléctrico (ley de Gauss) o el campo magnético (ley de Ampère) asociado a las distribuciones de carga y corriente, respectivamente. Al analizar el límite en que este sistema adquiría una longitud infinita, vimos que el campo magnético creado por el hilo en un punto que se encontraba a una distancia (perpendicular) r del mismo es:

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Observamos además que las líneas de campo en cualquier punto P que se encuentra a una distancia (perpendicular) r del hilo son tangentes a una circunferencia de radio r centrada en el mismo. El sentido de B se puede determinar haciendo uso de la regla de la mano derecha haciendo que el dedo pulgar de la mano derecha indique la dirección y sentido de la corriente. En este caso, el resto de dedos de la mano indican el sentido del campo magnético.

Figura 2.1. Dirección del campo magnético debido a un hilo rectilíneo muy largo por el circula una corriente perpendicular al plano del papel (xy) y que sale del mismo (sentido z>0)

Hagamos uso de este caso particular para explorar la ley de Ampere. Consideremos la circulación de este campo magnético a lo largo de un circuito cerrado C. Si elegimos como circuito a lo largo del cual se evalúa la circulación del campo magnético creado por el hilo conductor, una trayectoria circular centrada en el hilo de forma que la superficie plana S que encierra la trayectoria cerrada sea perpendicular al mismo (tal y como ilustra la Figura 2.2), se obtiene

Ya que el campo magnético es paralelo al circuito a lo largo del que se evalúa la circulación del mismo. Además, el módulo del campo magnético es constante a lo largo todo el circuito de integración. En este caso hemos decidido (por simplicidad) recorre el circuito en el mismo sentido en que lo hace el campo magnético (es decir, en sentido horario). ¡Tened cuidado de no confundir el segmento del circuito

a

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lo largo del cual se evalúa la circulación del campo con el asociado a un elemento diferencial de corriente del hilo!

Figura 2.2. Ilustración de la selección del bucle de Ampère en el caso de un hilo conductor por el que circula una corriente I

Fijaos que la corriente I es aquella corriente neta que penetra en el área S definida por el circuito cerrado C. A menudo, esta corriente se denota como Ic. Si bien hemos llegado a la expresión:

Partiendo de un caso particular, la ley de Ampere es más general y relaciona la circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada (también denominada circuito o bucle de Ampere) C con la corriente Ic neta que penetra un área S limitada por el circuito C. La ley de Ampere se cumple para cualquier circuito (cerrado) si las corrientes implicadas son estacionarias y continuas. La formulación matemática de la ley de Ampere es, por tanto:

De lo anterior se deriva que la circulación del campo magnético será la misma para cualquiera de los bucles que se muestran en la Figura 2.3, ya que la corriente que Página 14

atraviesa las distintas áreas S definidas por éstos, es la misma en todos los casos.

Figura 2.3. Ilustración de que incluye varios bucles de Ampere. La corriente que atraviesa la superficie plana que define cada uno de ellos es la misma.

Fijaos que la superficie (abierta) S no está unívocamente definida a partir de la curva C. Claramente, la superficie abierta más sencilla que podemos considerar para evaluar la corriente que atraviesa la misma es una superficie plana cuya frontera es el circuito C. Sin embargo, la ley de Ampere es igualmente válida si se elige cualquier superficie abierta que no sea plana pero cuya frontera esté delimitada por este mismo circuito C. Tomaremos como convenio que el sentido positivo para el camino de integración queda fijado por la regla de la mano derecha con el dedo pulgar indicando el sentido de la corriente que atraviesa la superficie S definida por la curva C. Visto de otro modo, podemos decir que si la corriente atraviesa la superficie S definida por el circuito C en el sentido que indicaría el dedo pulgar al aplicar la regla de la mano derecha cuando los dedos de la palma de la mano están indicando el sentido en el que se está recorriendo el circuito de integración, la corriente se toma como positiva. Sería negativa si atravesase la superficie S en sentido contrario. Este convenio quedará más claro en el siguiente ejemplo.

4.1. CAMPO MAGNETICO EN UN SOLENOIDE O BOBINA El solenoide o bobina consiste en un conjunto de espiras conductoras arrolladas estrechamente en forma de hélice que se utiliza para producir un campo magnético intenso y uniforme en la región que queda en el interior de las espiras.

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El solenoide juega en el campo magnético un papel análogo al de un condensador de placas paralelas en el campo eléctrico. El campo magnético creado por un solenoide es el que crea una serie de N espiras idénticas situadas unas junto a otras. En la bibliografía recomendada encontraréis un análisis detallado del cálculo que debe seguirse para obtener exactamente el campo magnético en todas las regiones del espacio. En este curso, asumiremos la aproximación por la que el campo es constante dentro del solenoide y nulo en el exterior para proceder al cálculo del campo magnético en el interior de la bobina. Esta aproximación se indica en la Figura 2.4. Para determinar el campo, escogemos el camino de integración C indicado en la figura y aplicamos la ley de Ampere. Puesto que

es perpendicular a b tanto en un

lado como en el otro del circuito de integración y es nulo fuera del solenoide, si tenemos una densidad de espiras n=N/a en el segmento de longitud a, se verifica:

Figura 2.4: Cálculo del campo magnético en el interior de un solenoide haciendo uso de la ley de Ampère. I (Figura adaptada de P. A. Tipler and G. Mosca «Physics for Scientists and Engineers»).

4.2. APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE La ley de Ampere generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxell que introdujo la corriente de desplazamiento cuando una versión generalizada de la ley e incorporándola a las ecuaciones de Maxwell. 4.2.1. FORMA INTEGRAL Siendo el último termino la corriente de desplazamiento. Siempre cuando la corriente sea constante y directamente proporcional al campo magnético, y su integral (E) por Página 16

su masa relativa.

4.2.2. FORMA DIFERENCIAL Esta ley también se puede expresar de forma diferencial para el vacío:

4.3. EJEMPLOS DE LA LEY DE AMPERE

4.3.1. EJEMPLO 1.- CAMPO DE UNA CORRIENTE RECTILINEA En general, el cálculo del campo magnético generado por distribuciones de corriente con simetría cilíndrica es muy simple gracias a la ley de Ampere. Para ilustrar esto, recordemos que en el ejemplo 7.10 se calculó (utilizando la ley de Biot-Savart) el campo magnético generado por una línea de corriente I, como se ve en la figura.

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Debido a la simetría de la densidad de corriente, la magnitud del campo magnético debe ser constante e igual a B(r) en todo punto de una circunferencia Ӷ de radio r concéntrica al conductor, y su dirección siempre tangente a ésta curva (esto es fácil de ver a partir de la ley de Biot-Savart; en coordenadas polares la densidad de corriente es paralela a ḱ, mientras que un punto arbitrario sobre la circunferencia se escribe 𝑥⃗ = 𝑟𝑟̂ . Luego, la dirección del campo magnético en 𝑥⃗ estará dada por . De esta forma:

De donde

4.3.2. EJEMPLO 2.- CAMPO DE UN CABLE COAXIAL Considere un cable coaxial, compuesto de dos conductores cilíndricos muy largos y concéntricos. El conductor interior lleva una corriente Io, mientras que el conductor exterior lleva una corriente de igual magnitud pero en sentido contrario. Encuentre el campo magnético en función de la distancia r respecto al eje del cable.

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Solución: Dada la simetría cilíndrica de la distribución de corrientes, sabemos que el campo magnético es de la forma

. Definamos 4 curvas cerradas circulares de

radio r, tales que

Además, en cada curva

. Utilizando la ley de Ampere, se obtiene:

Donde i = 1, 2, 3,4. Asumiendo que la densidad de corriente Jo en el cilindro interior es uniforme (es decir

), se tiene que la corriente encerrada por Ӷ es Página 19

La corriente encerrada por Ӷ2 es simplemente I2 = Io. Si la densidad de corriente en el cilindro exterior es 𝐽"0 , se tiene Io = (𝑅32 𝑅22 ) 𝐽0′ luego la corriente encerrada por Ӷ3 es.

Finalmente, la corriente total encerrada por Ӷ4 es cero. Con esto:

4.3.3. EJEMPLO 3.- CAMPO DE UN CABLE COAXIAL Corriente no uniforme en un cilindro. Considere un conductor cilíndrico de radio R y de extensión infinita, que lleva una corriente I cuya densidad de corriente es no uniforme:

Donde a es una constante a determinar, y r es la distancia de un punto interior al conductor al eje de simetría. Encuentre el campo magnético en todo el espacio.

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Solución: Dada la clara simetría cilíndrica, utilizamos la ley de Ampere para encontrar el campo magnético. Sea G una curva circular de radio r, con 0 < r < R, concéntrica al eje de simetría del conductor. Es claro que la magnitud del campo magnético solo puede ser función de r, y su dirección tangente en todo punto a la curva Ӷ.

Así, veamos que ocurre con la circulación del campo a través de Ӷ

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Por la ley de Ampere, la circulación sobre Ӷ es igual a 𝑢0 𝐼(Ӷ)donde I (Ӷ) es la corriente que atraviesa Ӷ. Sea ḱ la dirección de la corriente. Entonces:

De esta forma.

Para encontrar el campo magnético exterior, se utilizan los mismos argumentos de simetría, y se utiliza una nueva curva Ӷ circular de radio r > R.

La ley de Ampere en este caso se escribe:

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Y tendremos donde Ӷ. Esto nos permitirá determinar la constante 𝛼.

es la corriente que atraviesa

Pero J(r) = 0 si r > R, de forma que

Luego

Y se tiene

Página 23

CONCLUSIONES 

La ley de Gauss nos indica que el flujo a través de cualquier superficie cerrada que rodea a una carga puntual, tiene un valor que depende de esa carga y es independiente de la forma de la superficie.



El campo eléctrico exterior redistribuye los electrones libres en el conductor, lo que deja en ciertas regiones de la superficie exterior una carga neta positiva, y negativa en otras. Esta distribución de cargas ocasiona un campo eléctrico adicional de manera que el campo total en el centro sea igual a cero como afirma la ley de gauss.



El campo de una esfera conductora cargada. La carga es distribuida de manera uniforme a la superficie de la esfera. Por simetría, consideraremos una superficie Gaussiana esférica. Dentro de la esfera conductora es:

Fuera de la esfera



Tras el estudio de la ley de Ampere, se puede concluir que es muy importante, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria



Además a través de este trabajo se logró conocer para el cálculo del campo creado por determinadas distribuciones de carga y para el cálculo de campos magnéticos creados por determinadas distribuciones de corriente.



Creemos que el resultado obtenido tas el trabajo de investigación fue positivo, ya que cumple la información teórica y práctica del tema.

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