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INDICE INTRODUCCIÓN.........................................................................................................................3 1 CAMPO MAGNÉTICO..........................................................................................................4 1.1 TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO MAGNÉTICO..................4

TECNICAS DE ALTA TENSION -------- LEY DE AMPERE Y LEY DE GAUSS

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1.2 INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO.................................................................5 2 LA LEY DE AMPÈRE...........................................................................................................7 2.1 MATERIALES MAGNETICOS....................................................................................11 2.2 Diamagnetismo.......................................................................................................12 2.3 Paramagnetismo.....................................................................................................12 2.4 Ferromagnetismo..................................................................................................13 2.5 Anti ferromagnetismo......................................................................................13 2.6 Ferromagnetismo..................................................................................................13 2.7 APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE..........................................................14 Campo magnético creado por un hilo infinito.....................................14 Campo en el interior y exterior de un conductor largo y cilíndrico...................................................................................................................14 Ley de Ampère calcular el campo creado por tipos de corriente.....................................................................................................................16 3 LEY DE GAUSS..................................................................................................................17 3.1 FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO...........................................................................17 Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme........................................................................................................................18 Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior.................................................................................................................19 3.2 DEDUCCIONES............................................................................................................20 Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb. .20 Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss................................21 Forma integral de la ley de Gauss.............................................................22 3.3 INTERPRETACIÓN.....................................................................................................22 3.4 APLICACIONES.........................................................................................................23 Distribución lineal de carga.........................................................................23 Distribución esférica de carga....................................................................24 Analogía gravitacional...........................................................................................26 4 POTENCIAL ELÉCTRICO..................................................................................................26 Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica................................27 Diferencia de Potencial eléctrico.................................................................29 Campo eléctrico uniforme..................................................................................31 Campo eléctrico no uniforme...........................................................................33 Potencial debido a dos cargas puntuales...............................................33 Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas.....................................................................................................................34 Potencial eléctrico generado por una distribución continua de carga........................................................................................................................34 Potencial eléctrico generado por un plano infinito.....................35 Esfera conductora cargada................................................................................35 5 CONCLUCIÓN.......................................................................................................................36 6 BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................37

INTRODUCCIÓN TECNICAS DE ALTA TENSION -------- LEY DE AMPERE Y LEY DE GAUSS

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Si bien algunos marcos magnéticos han sido conocidos desde la antigüedad, como por ejemplo el poder de atracción que sobre el hierro ejerce la magnetita, no fue sino hasta el siglo XIX cuando la relación entre la electricidad y el magnetismo quedó plasmada, pasando ambos campos de ser diferenciados a formar el cuerpo de lo que se conoce como electromagnetismo. Antes de 1820, el único magnetismo conocido era el del hierro. Esto cambió con un profesor de ciencias poco conocido de la Universidad de Copenhague, Dinamarca, Hans Christian Oersted. En 1820 Oersted preparó en su casa una demostración científica a sus amigos y estudiantes. Planeó demostrar el calentamiento de un hilo por una corriente eléctrica y también llevar a cabo demostraciones sobre el magnetismo, para lo cual dispuso de una aguja de brújula montada sobre una peana de madera. Mientras llevaba a cabo su demostración eléctrica, Oersted notó para su sorpresa que cada vez que se conectaba la corriente eléctrica, se movía la aguja de la brújula. Se calló y finalizó las demostraciones, pero en los meses siguientes trabajó duro intentando explicarse el nuevo fenómeno. ¡Pero no pudo! La aguja no era ni atraída ni repelida por ella. En vez de eso tendía a quedarse en ángulo recto. Hoy sabemos que esto es una prueba fehaciente de la relación intrínseca entre el campo magnético y el campo eléctrico plasmada en las ecuaciones de Maxwell. Como ejemplo para ver la naturaleza un poco distinta del campo magnético basta considerar el intento de separar el polo de un imán. Aunque rompamos un imán por la mitad éste "reproduce" sus dos polos. Si ahora volvemos a partir otra vez en dos, nuevamente tendremos cada trozo con dos polos norte y sur diferenciados. En magnetismo no existen los monopolos magnéticos.

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CAMPO MAGNÉTICO

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El campo magnético es una región del espacio en la cual una carga eléctrica puntual de valor q que se desplaza a una velocidad , sufre los efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al campo, llamada inducción magnética o densidad de flujo magnético. Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente igualdad.

(Nótese que tanto F como v y B son magnitudes vectoriales y el producto cruz es un producto vectorial que tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B). El módulo de la fuerza resultante será La existencia de un campo magnético se pone de relieve gracias a la propiedad localizada en el espacio de orientar un magnetómetro (laminilla de acero imantado que puede girar libremente). La aguja de una brújula, que evidencia la existencia del campo magnético terrestre, puede ser considerada un magnetómetro. Un campo magnético tiene dos fuentes que lo originan. Una de ellas es una corriente eléctrica de convección, que da lugar a un campo magnético estático. Por otro lado una corriente de desplazamiento origina un campo magnético variante en el tiempo, incluso aunque aquella sea estacionaria. La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica está dada por la ley de Ampère. 1.1 TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO MAGNÉTICO La desviación de una aguja magnética bajo la acción de un campo originado por una corriente, según el experimento de Oersted, pone de manifiesto la existencia de una fuerza magnética que el campo aplica sobre la aguja. Si existe una fuerza hacia alguna dirección, según la tercera ley de Newton, debe existir una segunda fuerza equivalente y de sentido contrario, que actúe sobre el conductor o sobre las cargas en movimiento. Esto se da realmente, ya que si colocamos una barra conductora en un imán en forma de “u”, observaremos que se mueve saliendo o entrando en el imán, hacia el lado de la corriente que este dispuesto. Al experimentar en esta forma nos damos cuenta que el sentido de la corriente, el campo y el movimiento son perpendiculares entre sí. Esto permite señalar varias reglas para determinar con precisión uno de éstos sentidos cuando se conocen los otros dos. 1.2 INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO Si lanzamos diversas partículas cargadas a un campo magnético, este ejercerá sobre ellas cierta fuerza magnética. Esta fuerza magnética es perpendicular al plano que forman los vectores

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velocidad y campo magnético. De esto, podremos comprobar que la fuerza magnética sobre una partícula es proporcional a su carga, a su velocidad, y al seno del ángulo que forma el vector campo magnético con la velocidad de la partícula, es decir que mientras más rápido se mueva una partícula cargada, mayor será la fuerza magnética ejercida sobre ella. Todos estos efectos se han podido comprobar con tubos de rayos catódicos, parecidos a los que se usan en los televisores. En estos tubos, que son hechos al vacío, los electrones son producidos mediante el efecto termoiónico en un filamento caliente (cátodo) y aceleradas hacia una placa (ánodo) a potencial eléctrico más elevado; los electrones pueden atravesar esta placa porque es hueca en el medio. Pasado el ánodo, los electrones ya acelerados golpean a gran velocidad contra una pantalla fluorescente, donde producen una mancha en el punto de incidencia.

Si acercamos un imán al tubo, observamos una desviación de la mancha luminosa en la pantalla. Esta desviación va a depender de la orientación del imán respecto a la trayectoria inicial de los electrones, y también a la intensidad del campo.

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Variando la distancia del imán al tubo, de modo que varíe la intensidad del campo magnético, y modificando el voltaje aplicado entre el cátodo y el ánodo, de modo que varíe la velocidad de la carga, se puede analizar como afectan estos dos factores a la fuerza que actúa sobre la carga. Luego, se designa como B la intensidad del campo magnético, y vemos que si lanzamos una partícula en dirección perpendicular a un campo magnético, podemos establecer la relación entre las magnitudes F, v y B: Newton = Coulomb X m/s X tesla

Ahora, cuando un campo magnético es perpendicular al plano del papel y está dirigido hacia fuera, se representa por puntos (figura a) y cuando está dirigido hacia dentro se representa por cruces (figura b). La relación anterior nos permite determinar el campo magnético si conocemos la fuerza, la velocidad y la carga. La unidad de medida del campo magnético en el SI es el Tesla (T). Deducimos entonces de las unidades de las otras magnitudes que la intensidad de un campo magnético va a ser de 1 Tesla si una carga de 1 Coulomb que se mueve perpendicularmente al campo magnético con una velocidad de 1 m/s experimenta una fuerza de 1 Newton.

2 LA LEY DE AMPÈRE TECNICAS DE ALTA TENSION -------- LEY DE AMPERE Y LEY DE GAUSS

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La ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría. 1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.

2. Elegimos

 

como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma. El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. El módulo del campo magnético B tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia.

La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale

3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r. 4. Despejamos el módulo del campo magnético B.

Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot. Consideremos un elemento dl por el circula una corriente de intensidad I:

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Recordemos que

y que I = jS, donde:

n = número de portadores de carga por unidad de volumen q = carga de cada portador dQ = carga móvil que hay en el elemento dl, siendo dQ = nq S dl La carga móvil dQ equivale a una sola carga que se mueve a velocidad

:

Teniendo en cuenta que, queda, finalmente:

La Ley de Ampere relaciona una intensidad de corriente eléctrica con el campo magnético que ésta produce. Se utiliza en conductores considerados teóricamente de longitud infinita, por ejemplo para calcular el campo alrededor de un conductor rectilíneo (a diferencia de otros, por ejemplo una espira cerrada, en dónde se utiliza la Ley de Biot-Savart).

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μ0=Constante de permeabilidad magnética i=Intensidad de la corriente B=Campo magnético dl= Diferencial de longitud del circuito que se toma alrededor del conductor θ = Angulo formado con el diferencial de longitud En otras palabras, si hacemos circular una corriente en un conductor colocado paralelamente sobre una aguja imantada y en una dirección de norte a sur, la punta de la aguja que señala al norte, se moverá hacia la derecha, este movimiento indica que las líneas se mueven de izquierda a derecha, por debajo del conductor, y de derecha a izquierda sobre el conductor. Son pocos los ejemplos sencillos de aplicación de la ley de Ampère, pero es necesario hacer los problemas siguiendo un orden, análogo al propuesto para la resolución de problemas de aplicación de la ley de Gauss: 1. Determinar la dirección del campo magnético, de acuerdo a la distribución de corrientes (rectilíneas o espiras apretadas). 2. Elegir un camino cerrado apropiado que sea atravesado por corrientes, y calcular la circulación. 3. Calcular la intensidad que atraviesa el camino cerrado. 4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético. Como ejemplos ilustrativos de aplicación de la ley de Ampère se estudia el solenoide, el toroide, y variantes de la corriente rectilínea indefinida: Un experimento simple realizado por primera vez por Oerted en 1820 demostró claramente el hecho de que un conductor que lleva una corriente produce un campo magnético. En este experimento, varias brújulas se colocan en un plano horizontal cercanas a un alambre largo vertical. Cuando no existe corriente en el alambre, todas las brújulas apuntan en la misma dirección (que el campo terrestre) como se esperaría. Sin embargo, cuando el alambre lleva una gran corriente estable, las brújulas necesariamente se desviarán en la dirección tangente a un círculo. Estas observaciones demuestran que la dirección B es congruente con la regla de la mano derecha. Cuando la corriente se invierte, necesariamente las brújulas se invertirán también. Puesto que las brújulas apuntan en la dirección de B, se concluye que las líneas de B forman círculos alrededor del alambre. Por simetría, la magnitud de B es la misma en cualquier lugar sobre una trayectoria circular que esté centrada en le alambre y que se encuentre en un plano perpendicular al alambre. Si se varía la corriente y la distancia al alambre.

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Ahora se evaluará el producto B * ds y se sumarán estos productos sobre una trayectoria circular centrada en el alambre. A lo largo de esta trayectoria, los vectores ds y B son paralelos en cada punto, así que B * ds =Bds. Además, B es constante en magnitud sobre este círculo. Por lo tanto la suma de los productos Bds sobre la trayectoria cerrada, la cual es equivalente a la integral de B * ds está dada por:

Donde

es la circunferencia del círculo.

Este resultado, conocido como ley de Ampere, fue encontrado para el caso especial de una trayectoria circular alrededor del alambre. Ampère empezó a investigar el efecto en su casa. Para empezar se dio cuenta de que Oersted no había entendido correctamente el fenómeno, ya que no había tomado en cuenta el efecto del magnetismo terrestre. Ampère diseñó entonces un experimento en el que éste fuera neutralizado. Así encontró el verdadero efecto que tenía la corriente eléctrica sobre la aguja imantada: ésta siempre se alinea en una dirección perpendicular a la dirección de la corriente eléctrica. Arreglé dos partes rectas de dos alambres conductores que están unidos en sus extremos con dos pilas voltaicas, en direcciones paralelas. Un alambre estaba fijo y el otro suspendido sobre puntos, de manera que pudiera moverse hacia el alambre fijo o separarse de él, pero siempre paralelo a él. Observé entonces que cuando hacía pasar una corriente de electricidad en ambos alambres simultáneamente, se atraían cuando las corrientes tenían el mismo sentido y se repelían cuando tenían sentidos opuestos.

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Ampère determinó también que estas fuerzas entre los alambres que conducían corriente eléctrica se debían a efectos magnéticos: un alambre que conduce electricidad crea un efecto magnético a su alrededor (un campo), y el otro alambre, que también conduce corriente eléctrica, experimenta una fuerza. Es decir, propuso que el magnetismo que produce la corriente eléctrica en uno de los alambres genera a su vez una fuerza sobre el otro alambre que conduce electricidad. Pudo verificar que estas fuerzas no se debían a las cargas eléctricas que circulaban por cada uno de los alambres. A partir de sus experimentos Ampère encontró que las fuerzas entre los alambres dependen de la magnitud de las corrientes que circulan por ellos. A mayor corriente en cada alambre, mayor será la magnitud de la fuerza. Posteriormente, Ampère descubrió que aun si los alambres no eran paralelos también había fuerzas entre ellos si ambos conducían corriente eléctrica, y que las características de estas fuerzas dependían de la colocación geométrica en que se encontraran. Ampère encontró cómo calcular la fuerza electromagnética entre dos conductores de electricidad que tuvieran posiciones y formas arbitrarias.

2.1 MATERIALES MAGNETICOS Existen diversos magnéticos: el paramagnetismo.

tipos de comportamiento de los materiales ferromagnetismo, el diamagnetismo y el

En los materiales diamagnéticos, la disposición de los electrones de cada átomo es tal que se produce una anulación global de los efectos magnéticos. Sin embargo, si el material se introduce en un campo inducido, la sustancia adquiere una imantación débil y en el sentido opuesto al campo inductor. Si se sitúa una barra de material diamagnético en el interior de un campo magnético uniforme e intenso, esta se dispone transversalmente respecto de aquel. Los materiales paramagnéticos no presentan la anulación global de efectos magnéticos, por lo que cada átomo que los constituye actúa como un pequeño imán. Sin embargo, la orientación de dichos imanes es, en general arbitraria, y el efecto global se anula. Así mismo, si el material paramagnético se somete a la acción de un campo magnético inductor, el campo magnético inducido en dicha sustancia se orienta en el sentido del campo magnético inductor. Esto hace que una barra de material paramagnético suspendida libremente en el seno de un campo inductor, se alinee con este.

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El magnetismo inducido, aunque débil, es suficiente intenso como para imponer al efecto magnético. Para comparar los tres tipos de magnetismo se emplea la razón entre el campo magnético inducido y el inductor. Materiales magneticos Existen unos cuantos materiales que son magnéticos de forma natural, o que tienen el potencial de convertirse en imanes. Algunos de estos materiales son:  hierro  hematita  magnetita  gases ionizados, (como el material del que están hechas las estrellas ) Se puede hacer un imán para atraer objetos que contengan material magnético, como el hierro, aunque este no esté magnetizado. Pero no se puede hacer un imán para atraer materiales plásticos, de algodón o de cualquier otro material, como roca de silicato, pues estos no son materiales magnéticos. 2.2 Diamagnetismo En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. El diamagnetismo es una forma muy débil de campo magnético que no es permanente y persiste sólo mientras un campo externo está presente. Un campo magnético que actúa sobre un átomo, induce un dipolo magnético en todo el átomo, influyendo sobre el momento magnético a través de los electrones orbitales. Estos dipolos se oponen al campo magnético, causando que la magnetización sea menor que la unidad. Este comportamiento proporciona una permeabilidad relativa de aproximadamente 0,99995 y la susceptibilidad magnética es negativa. El comportamiento diamagnético no tiene aplicaciones importantes en materiales o dispositivos magnéticos. Cuando estos materiales se colocan entre los polos de un fuerte electroimán son atraídos hacia las regiones donde el campo es menor. 2.3 Paramagnetismo Cuando los materiales tienen electrones no pareados, se les asocia un momento magnético neto debido al espín o giro electrónico. Cuando se aplica un campo magnético los dipolos se alinean con el mismo, lo aumentan, y dan origen a una permeabilidad relativa mayor que la unidad (1,01) y a una pequeña pero positiva susceptibilidad magnética. las susceptibilidades para los materiales paramagnéticos van desde 10-5 a 10-2. Sin embargo, debido a que los dipolos no interactúan, se requieren campos magnéticos extremadamente grandes para alinear a todos los dipolos. Este efecto es importante solamente a temperaturas elevadas. 2.4 Ferromagnetismo

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Estos materiales metálicos poseen un momento magnético permanente en ausencia del campo externo aplicado y manifiestan magnetizaciones permanentes muy grandes. Este comportamiento se debe a los niveles de energía incompletos en el nivel 3d (para el hierro, níquel y el cobalto), o bien el nivel 4f (para el gadolinio). En este tipo de materiales los dipolos permanentes no pareados se alinean con el campo magnético aplicado. Debido al reforzamiento mutuo de los dipolos se produce una gran intensificación del campo impuesto, aun para campos magnéticos pequeños, proporcionando permeabilidades relativas altas. Los materiales ferromagnéticos pueden tener susceptibilidades magnéticas tan altas como 106. Los momentos magnéticos resultan de los momentos magnéticos atómicos debido al espín de los electrones, aunque también hay un aporte del momento magnético orbital pero esta es muy pequeña comparada con el momento de espín. La magnetización de saturación, Ms, representa la magnetización que resulta cuando todos los dipolos magnéticos en una pieza sólida están mutuamente alineados con el campo externo, también hay una densidad de flujo de saturación Bs. La magnetización de saturación es igual al producto del momento magnético neto de cada átomo y el número de átomos presentes. Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie. La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770oC; arriba de esta temperatura, el hierro es paramagnético. 2.5 Anti ferromagnetismo En algunos materiales, los momentos magnéticos producidos en los dipolos circundantes se alinean oponiéndose unos a otros en el campo magnético. Estos materiales tienen una magnetización nula. La diferencia entre el ferromagnetismo y el antiferromagnetismo estriba en las interacciones entre los dipolos circundantes, ya sea que se refuercen o se opongan entre sí. 2.6 Ferromagnetismo En los materiales cerámicos, los diferentes iones tienen momentos magnéticos distintos. En un campo magnético, los dipolos del ion A pueden alinearse con el campo mientras que los dipolos del ion B se oponen al campo. Pero debido a que las resistencias de los dipolos no son iguales, resulta una magnetización neta. Este tipo de materiales puede proporcionar una buena intensificación del campo aplicado.

2.7 APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE

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Campo magnético creado por un hilo infinito Como aplicación de la ley de Ampère, a continuación se calcula el campo creado por un hilo infinito por el que circula una corriente I a una distancia r del mismo.

Las líneas del campo magnético tendrán el sentido dado por la regla de la mano derecha para la expresión general del campo creado por una corriente, por lo que sus líneas de campo serán circunferencias centradas en el hilo, como se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura. Para aplicar la ley de Ampère se utiliza por tanto una circunferencia centrada en el hilo de radio r. Los vectores y dl son paralelos en todos los puntos de la misma, y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de la trayectoria. La integral de línea queda:

Campo en el interior y exterior de un conductor largo y cilíndrico

El conductor cilíndrico con radio “R” Transporta una corriente “I”, la cual está distribuida de manera uniforme sobre la superficie de la sección transversal del conductor. Entonces establecemos dos casos para hallar el campo magnético en este conductor.

 Campo magnético dentro del conductor

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Para encontrar el campo magnético, se tomó la trayectoria de integración como un círculo de radio r < R, entonces:

•

tiene la misma magnitud en todo punto de la trayectoria circular de integración.

•

Para calcular la corriente

dentro de la trayectoria,

notamos que la densidad de corriente (por unidad de área)

r

es

R

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•

Para calcular la corriente

dentro de la trayectoria,

notamos que la densidad de corriente (por unidad de área) es:

Por lo que:

•

Por último:

Obteniéndose así:

 Campo magnético fuera del conductor Para r>R se aplican los mismos argumentos de simetría y la magnitud de

de nuevo resulta ser

.La aplicación de la

Ley de Ampere da la misma ecuación que en un conductor largo y recto, independiente del radio R sobre el que se distribuye la corriente. Por lo tanto:

Ley de Ampère calcular el campo creado por tipos de corriente

Dos ejemplos clásicos son el del toroide circular y del solenoide ideal (*), cuyos campos se muestran en siguiente tabla. Toroide circular

el la

Solenoide ideal*

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Un solenoide ideal es una bobina de longitud grande cuyas espiras están muy juntas. En la expresión del campo magnético que crea, n es el número de espiras por unidad de longitud.

Sea d = radio medio=

, la circunferencia media c =2

=

, n= número de vueltas por unidad de longitud = N/c .Por lo tanto la ecuación

, también se puede escribir como:

3 LEY DE GAUSS En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.

3.1 FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO

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Flujo eléctrico a través de una superficie esférica. El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico. La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera. En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado. y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados. El flujo, entonces, se define como sigue:

(1) TECNICAS DE ALTA TENSION -------- LEY DE AMPERE Y LEY DE GAUSS

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O sea:

(2) Flujo para uniforme

una

superficie

cilíndrica

colocada

en

un

campo

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica. Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme

tal como muestra la figura:

El flujo ΦE puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

(3) Para la tapa izquierda, el ángulo θ, para todos los puntos, es de π, E tiene un valor constante y los vectores dS son todos paralelos. Entonces:

(4) Siendo S = πR2el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

(5) Finalmente, para la superficie cilíndrica:

(6)

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Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro. (7) Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera. Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica. En consecuencia: (8)

3.2 DEDUCCIONES Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.

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El ángulo sólido ΔΩ que es subtendido superficie esférica, se define como:

por

ΔA

sobre

una

Siendo r el radio de la esfera. Como el área total de la esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr) Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera ΔΩ es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba ΔΩ = 4π para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

Que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss. Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss Tomando la ley de Gauss en forma integral.

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Aplicando al primer divergencia queda

término

el

teorema

de

Gauss

de

la

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío). Esta

ley

se

puede

generalizar

cuando

hay

un

dieléctrico

presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas. Forma integral de la ley de Gauss Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

Donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permisividad eléctrica del vacío.

3.3 INTERPRETACIÓN

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La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell. Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está. Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss. Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

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3.4 APLICACIONES Distribución lineal de carga Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilíndricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss:

Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).

Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:

Distribución esférica de carga

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Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:

Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:

Dividiendo miembro apropiadamente:

a

miembro

ambas

expresiones

Como se demostró en una sección anterior en cuenta que según la ley de Gauss

y

operando

y teniendo , se obtiene:

Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:

Y para puntos exteriores:

En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.

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Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo. En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

Donde ρm densidad de corriente ley de Faraday

, la cual obliga a modificar la

Analogía gravitacional Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe

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Siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean. Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espacio tiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).

4 POTENCIAL ELÉCTRICO El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:

Considérese una carga puntual de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:

De manera equivalente, el potencial eléctrico es

=

Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica Considérese una carga puntual q en presencia de un eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica.

campo

Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo

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eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero sentido contrario, es decir: (1)

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro.De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza entonces, expresado como:

. El trabajo queda,

Nótese que en el caso de que la fuerza no esté en la dirección del desplazamiento, sólo se debe multiplicar su componente en la dirección del movimiento. Será considerado trabajo positivo el realizado por un agente externo al sistema carga-campo que ocasione un cambio de posición y negativo aquél que realice el campo. Teniendo en cuenta la expresión (1):

Por lo tanto, el trabajo total será:

Si el trabajo que se realiza en cualquiera trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo. Expresándolo matemáticamente:

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Ahora bien, sea una carga q que recorre una determinada trayectoria en las inmediaciones de una carga Q tal como muestra la figura.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria, o sea:

Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial. Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante del centro de fuerzas y la posición final B, distante del centro fijo de fuerzas:

De lo anterior se concluye que el trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. lo cual implica que la fuerza de atracción F, que ejerce la carga Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es:

Por

definición,

el

nivel

cero

de

energía

potencial

se

ha

establecido en el infinito, o sea, si y sólo si . Diferencia de Potencial eléctrico Considérese una carga de prueba positiva en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:

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El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 joule/coulomb. Un electronvoltio (eV) al moverse a través de = 1,6x10-19 J. Algunas energía, y se usan electronvoltios (MeV) keV=103 eV, 1 MeV = 106

es la energía adquirida para un electrón una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV veces se necesitan unidades mayores de los kilo electronvoltios (keV), mega y los giga electronvoltios (GeV). (1 eV, y 1 GeV = 109 eV).

Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía que posee cada unidad de carga al paso por dicho punto. Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyendóse en corriente eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica (número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo). Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito) de toda carga y el potencial eléctrico a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto poniendo y eliminando los índices:

Siendo el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de prueba desde el infinito al punto en cuestión. Obsérvese

que

la

igualdad

planteada

depende

de

que

se

da

arbitrariamente el valor cero al potencial en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido seleccionar cualquier otro punto de referencia.

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También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque un agente exterior debe ejercer una fuerza (trabajo negativo en este caso) para sostener a la carga de prueba (positiva) cuando esta (la carga positiva) viene desde el infinito. Por último, el potencial eléctrico escalar porque y son escalares.

queda

definido

como

un

Tanto como son independientes de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el punto B no tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.

Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el campo de carga q siguiendo una de dos trayectorias. Las flechas muestran a E en tres puntos de la trayectoria II Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad se han escogido los puntos A y B en una recta radial. Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria. La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas secciones se pueden hacer tan pequeñas como se desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales, porque a lo largo de los arcos, la fuerza

y el corrimiento

son perpendiculares y en tales

casos es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria I, porque cada trayectoria

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está compuesta del mismo conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B. Aun cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza central de las fuerzas electrostáticas. Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que , donde d es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la región entre las placas. Campo eléctrico uniforme Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B. La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:

Teniendo en cuenta que:

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Sustituyendo eso que está mal se obtiene:

Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial. El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. Campo eléctrico no uniforme En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza que sea exactamente igual posiciones del cuerpo de prueba.

a

para

todas

las

Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es . Para obtener el trabajo total hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:

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Como que

, al sustituir en esta expresión, se obtiene

Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,

el

Estas

de

dos

ecuaciones

permiten

calcular

la

diferencia

potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce

.

Potencial debido a dos cargas puntuales El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

Siendo y las distancias entre las cargas respectivamente.

y

y el punto P

Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

siendo el valor de la enésima carga y la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se

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representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

Potencial eléctrico generado por una distribución continua de carga Si la distribución de carga es continúa y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

Siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto. Potencial eléctrico generado por un plano infinito Un plano infinito con densidad de carga de superficie crea un potencial eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

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Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0 Esfera conductora cargada Sea Q/2 la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior. Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera

Donde es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

Donde

es el radio de la esfera.

5 CONCLUCIÓN Puesto que la corriente eléctrica siempre sale de la terminal negativa de la fuente de energía, el flujo de corriente en un circuito siempre tendrá la misma dirección si la polaridad de la tensión de la fuente permanece siempre invariable. Este tipo de flujo de corriente recibe el nombre de corriente directa o continua y a la fuente se le llama fuente de corriente directa. Todo circuito que use una fuente de corriente directa es un circuito de corriente continua. Los tres tipos de fuentes que se usan con más frecuencia en circuitos de corriente continua son: la batería, el generador de corriente continua y las fuentes de electrones.

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Como pudimos ver el campo magnético es producido por la corriente eléctrica que circula por un conductor. También analizamos que este campo de fuerzas está formado por cargas eléctricas en movimiento, que se manifiestan por la fuerza que experimenta una carga eléctrica al moverse en su interior. Para determinar la expresión del campo magnético producido por una corriente se emplean dos leyes: la ley de Biot-Savart y la ley de Ampère. Podemos afirmar que la ley de Ampère proporciona una formulación alternativa de la relación de los campos magnéticos con las corrientes. Es análoga a la ley de Gauss en electrostática. En cuanto a la ley de Biot-Savart decimos que nos da el campo magnético producido por un pequeño elemento de conductor por el que circula una corriente. Se puede utilizar para encontrar el campo magnético creado por cualquier configuración de conductores con corriente, resumiendo un poco, esta ley describe la fuerza magnética entre dos circuitos con corriente. Es valioso conocer los experimentos realizados por Faraday y el estudio de su ley, así como la de Lenz, pues sientan las bases para el cálculo cinemático, el movimiento relativo y la evaluación de los campos eléctricos.

6 BIBLIOGRAFÍA PAGINAS WEB http://www.lasalle.es/vina/contenidos/temasfisica/electromagnetismo/index. htm http://www.colegiosanrafael.cl/gustavo/sitios4.html http://www.todo-ciencia.com/fisica-mates/0i81056300d990262239.php http://www-istp.gsfc.nasa.gov/Education/Mmfield.html http://www.nalejandria.com/archivos-curriculares/ http://www.geocities.com/tresmileniosdeliman/tema14.html http://webmineral.com/help/ChemicalFormula.shtml http://www.ejercitando.com.ar/teorquim/magnetita.htm http://www.ifent.org/lecciones/electrostatica/eletica24.htm http://www.irabia.org/web/ciencias/electricidad/electricidad/diferencia.htm http://www.tochtli.fisica.uson.mx/castillo/HTM/CORRIENT.HTM http://www.extremadurasi.org/contenidos_docentes/electro/t3.htm#4

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