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• Hamner D Ballesteros Jaraba

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LEY DE AMPERE

En física del magnetismo, la ley de Ampère, descubierta por André-Marie Ampère en 1826,[1] relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica. 

Ley de Ampère original En su forma original, la Ley de Ampère relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica que lo genera. La Ley se puede escribir de dos maneras, la "forma integral" y la "forma diferencial”. Ambas formas son equivalentes, y se relacionan por el teorema de Stokes. Forma integral Establece que la integral de línea de H sobre cualquier trayectoria cerrada es exactamente igual a la corriente constante encerrada por dicha trayectoria. También, dada una superficie abierta S por la que atraviesa una corriente eléctrica I, y dada la curva C, curva contorno de la superficie S, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

donde es la intensidad del campo magnético, es la densidad de corriente eléctrica, es la corriente encerrada en la curva C, Y se lee: La circulación del campo a lo largo de la curva C es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta S, de la cual C es el contorno. En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico.

Definición:

donde es la densidad de flujo magnético, es la permeabilidad magnética del vacío, es la permeabilidad magnética del medio material, Luego, es la permeabilidad magnética total. es el vector magnetización del material debido al campo magnético. es la susceptibilidad magnética del material. Un caso particular de interés es cuando el medio es el vacío (

o sea,

):

Forma diferencial A partir del teorema de Stokes, esta ley también se puede expresar de forma diferencial:

donde es el operador rotacional es la densidad de corriente que atraviesa el conductor.

AMPLIACIÓN DE LA LEY ORIGINAL: LEY DE AMPÈRE-MAXWELL La ley de Ampère-Maxwell o ley de Ampère generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell que introdujo la corriente de desplazamiento, creando una versión generalizada de la ley e incorporándola a las ecuaciones de Maxwell. Forma integral

siendo el último término la corriente de desplazamiento. siempre y cuando la corriente sea constante y directamente proporcional al campo magnético, y su integral (E) por su masa relativa. Forma diferencial Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:

o para medios materiales:

Ejemplos de aplicación Hilo conductor infinito

Campo magnético creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente , en el vacío. El objetivo es determinar el valor de los campos

,

y

en todo el espacio.

Escribimos la Ley de Ampère:

. 

Utilizamos coordenadas cilíndricas por las características de simetría del sistema.



Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio ρ.

 

El diferencial de longitud de la curva será entonces Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor:

. 

Como el sistema posee simetría radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia de otro que esté en otro ángulo sobre la misma curva), podemos decir que el campo y el radio ρ son independientes de la coordenada . Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunferencia, desde 0 a 2π.

. 

La integral que queda no es más que el perímetro de la circunferencia: .



Despejamos y nos queda en función de ρ. La dirección es en la regla de la mano derecha:



Como estamos trabajando en el vacío, μ = μ0, por lo tanto:



Y por la misma razón, en ausencia de materiales magnéticos:

, por

Forma del ángulo sólido Si c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y Ω es el ángulo sólido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intensidad de campo magnético está dada por:

FLUJO MAGNÉTICO

El flujo magnético Φ (representado por la letra griega fi Φ), es una medida de la cantidad de magnetismo, y se calcula a partir del campo magnético, la superficie sobre la cual actúa y el ángulo de incidencia formado entre las líneas de campo magnético y los diferentes elementos de dicha superficie. La unidad de flujo magnético en el Sistema Internacional de Unidades es el weber y se designa por Wb (motivo por el cual se conocen como weberímetros los aparatos empleados para medir el flujo magnético). En el sistema cegesimal se utiliza el maxwell (1 weber =108 maxwells). [Wb]=[V]·[s]1

Flujo magnético por una espira. Si el campo magnético B es vector paralelo al vector superficie de área S, el flujo Φ que pasa a través de dicha área es simplemente el producto del valor absoluto de ambos vectores:

En muchos casos el campo magnético no será normal a la superficie, sino que forma un ángulo φ con la normal, por lo que podemos generalizar un poco más tomando vectores:

Vectores normales a una superficie dada.

Generalizando aún más, podemos tener en cuenta una superficie irregular atravesada por un campo magnético heterogéneo. De esta manera, tenemos que considerar cada diferencial de área:

Se denomina flujo magnético a la cantidad de líneas de fuerza que pasan por un circuito magnético.

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MEGNÉTICO Forma diferencial Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen

y, operando se llega a que puede escribirse como

de donde es inmediato que

esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético. Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que esta ley expresa que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnéticas (conocidas como monopolos). Realmente, la ecuación sólo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinámicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.

1.1 Demostración Para demostrar la ley de Gauss para el campo magnético partiendo de la ley de Biot y Savart, hacemos uso de la identidad

lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como

y aplicando la identidad vectorial

podemos separar el campo en dos integrales

La segunda integral se anula porque es función de , no de . En la primera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre y el otro sobre , resultando finalmente

2 Forma integral La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo,

La demostración es inmediata a partir de la forma diferencial, sin más que aplicar el teorema de Gauss

2.1 Significado geométrico El que el flujo se anule para cualquier superficie se puede interpretar como que en cada superficie cerrada entran tantas líneas de campo como entran. Ello prohíbe que las líneas de campo sean abiertas (comiencen o acaben en puntos), ya que el flujo magnético alrededor de un extremo sería no nulo.

En términos de imanes, quiere decir que no se pueden separar los Polos Norte de los Polos Sur. 3 Condición de salto La ley de Gauss para el campo magnético lleva aparejada su correspondiente condición de salto, para el caso de que tengamos una frontera (material o geométrica) entre dos regiones. Esta condición es

Esta condición equivale a decir que la componente normal del campo magnético es continua en cualquier interfaz. 4 ¿Son cerradas las líneas de campo magnético? El que las líneas de campo magnético no tengan extremos, esto es, que no puedan ser abiertas, parece indicar que deben ser cerradas. Sin embargo, no tiene por qué ser así. Lo que son es no abiertas. Existen tres posibilidades: 

Que sean efectivamente cerradas, como las líneas del campo de una espira circular o de un hilo infinito.



Que vayan del infinito al infinito. Por ejemplo, la línea de campo que va por el eje de una espira circular o de un solenoide.



Que se enrollen sobre sí mismas sin llegarse a cerrar. Supongamos la superposición de dos sistemas simples, una espira circular y un hilo infinito.

En los dos primeros casos las líneas son cerradas. Sin embargo, en su superposición, las líneas giran alrededor del hilo a la vez que lo hacen en torno a la espira, resultando líneas que dan vueltas por la superficie de toros, sin llegar a cerrarse nunca (en la figura se ve parte de una sola línea de campo). Para sistemas un poco más complejos, las líneas pueden ser incluso caóticas, llenando toda una región del espacio. De hecho, dado que los sistemas reales no poseen la perfecta simetría de una circunferencia o de un hilo idealmente rectilíneo, lo que ocurre en todos los casos prácticos es que las líneas no son cerradas, sino que forman madejas.

APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNÉTICO

A continuación, se calcula de forma directa el campo eléctrico producido por distribuciones continuas de cargas con cierta simetría, para asociar la dirección del campo eléctrico con la simetría de la distribución de carga, y como paso previo a la explicación de la ley de Gauss del campo eléctrico.

Explicar la ley de Gauss entraña una doble dificultad, el concepto abstracto de campo, y el concepto de flujo. El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria permite formular la ley de Gauss, lo que es equivalente a la dependencia de la interacción electrostática de la inversa del cuadrado de la distancia. Para aplicar la ley de Gauss a una distribución de cargas, es necesario seguir una cierta estrategia: 1. Determinar la dirección del campo eléctrico, de acuerdo a la simetría de la distribución de cargas (esférica, cilíndrica, plana). 2. Elegir una superficie cerrada apropiada que contenga carga, y calcular el flujo. 3. Calcular la carga en el interior de la superficie cerrada. 4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico. Posteriormente, se representará el campo en función de la distancia, al centro, eje o plano de simetría, y se calculará la diferencia de potencial entre dos puntos. Muchos estudiantes tienen dificultad en identificar la superficie cerrada en la región adecuada y determinar la carga en el interior de dicha superficie, por lo que es necesario resolver varios ejercicios con distintas distribuciones de carga.

Una de las propiedades más importantes de la carga, además de la conservación, es que está cuantizada. El descubrimiento del electrón tiene dos partes: en el primero se muestra que es una partícula y se halla la relación entre su carga y su masa (experimento de Thomson), y en la segunda se determina su carga (experiencia de Millikan). Ambas experiencias son muy instructivas, ya que en la primera nos volvemos a encontrar con las ecuaciones de un movimiento curvilíneo bajo aceleración constante (entre las placas del condensador) y rectilíneo (fuera de las placas). Y en la segunda, el movimiento de la gotita de aceite del experimento de Millikan, nos lleva a enlazar con el estudio de las fuerzas dependientes de la velocidad en el capítulo de Dinámica.

El campo magnético tiene un estudio diferente al campo eléctrico. Primero, se estudian los efectos del campo magnético sobre las cargas en movimiento, y después se estudian las fuentes del campo magnético. La principal dificultad que se presenta a los estudiantes en este capítulo es la representación espacial de las magnitudes vectoriales que intervienen en la descripción del campo producido por una corriente, o de las fuerzas que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento o sobre una corriente.

Estudiamos mediante programas interactivos o applets varios ejemplos ilustrativos del efecto del campo magnético sobre las cargas en movimiento, con o sin el efecto combinado con el campo eléctrico:   

El espectrómetro de masas. El selector de velocidades. El ciclotrón.