• Author / Uploaded
• Alejandra Pedraza

Citation preview

Lewis Fry Richardson

Lewis Fry Richardson (11 de octubre de 1881 - 30 de septiembre de 1953) fue un matemático, físico, meteorólogo y pacifista inglés. Fue pionero en las modernas técnicas matemáticas de la predicción del tiempo atmosférico y en la aplicación de técnicas similares para el estudio de las causas de las guerras y el cómo prevenirlas. También destacó por su trabajo pionero sobre fractales. Fue miembro de la Royal Society. Richardson También aplicó sus habilidades matemáticas en el servicio de sus principios pacifistas, en particular en el entendimiento de las raíces del conflicto internacional. Por esta razón, es hoy día considerado fundador, o co-fundador (junto con Quincy Wright y Pitirim Sorokin así como con otros como Kenneth Boulding, Anatol Rapaport y Adam Curle), del análisis científico de los conflictos; un área interdisciplinaria de ciencias sociales cuantitativas y matemáticas dedicada a sistematizar la investigación de las causas de la guerra y las condiciones de la paz. Así como hizo con el tiempo atmosférico, analizó la guerra usando principalmente ecuaciones diferenciales y la teoría de la probabilidad. Considerando el armamento de dos naciones, Richardson postuló un sistema idealizado de ecuaciones donde la tasa adquisición de armamento es directamente proporcional a la cantidad de armas que tiene su rival y también a las quejas sentidas hacia el rival, e inversamente proporcional a la cantidad de armas que ya tiene. La solución de este sistema de ecuaciones permite obtener conclusiones visionarias en relación a la naturaleza y la estabilidad de varias condiciones hipotéticas que se puedan obtener entre los distintos estados. Richardson también creó la teoría de que la propensión a la guerra entre dos estados era una función de la longitud de la frontera común entre ambos territorios. En su documentos Armas e inseguridad (1949) y Estadísticas las peleas mortales (1950), buscó analizar estadísticamente las causas de la guerra. Entre los factores que evaluaó se

incluyeron la economía, el idioma y la religión. En el prefacio del segundo documento, escribió: Hay en el mundo una gran cantidad de brillante y cuerda discusión política que no lleva a convicciones estables. Mi objetivo ha sido diferente: a saber, examinar algunas nociones por medio de técnicas cuantitativas con la esperanza de llegar a una respuesta fiable. Extrapolación de Richardson El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (18811953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg. Presentación del principio Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:

Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:

Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto en orden de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor:

Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:

Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson: Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden . De tal forma que:

Donde: es un estimador del error, usando la notación de Landau. son constantes desconocidas. Tal que

Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:

Multiplicando la última ecuación por

Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:

Despejando A:

De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error, . De igual manera se pueden remover más términos de error de modo que se obtengan mejores aproximaciones de A.

Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:

siendo

el orden del error

con:

Aplicaciones en métodos numéricos Las aplicaciones más inmediatas de la Extrapolación de Richardson en los métodos numéricos son dos: derivación numérica mediante diferencias centradas y las fórmulas de Newton-Cotes para la integración numérica. Extrapolación de Richardson en la derivación numérica1 Dada una tabla equiespaciada de datos, el procedimiento de mejora de un resultado obtenido mediante derivación por diferencias centradas es el siguiente:

1. Determinar primero el valor buscado, en este caso la derivada (D0), con un espaciado e0

2. Determinar de nuevo el mismo valor (D1) con un espaciado menor e1, el resultado será por tanto más preciso, debido a que el espaciado es más pequeño. 3. Entonces puede determinarse la diferencia del segundo resultado de la siguiente forma: Igualando el valor real de la derivada en las dos estimaciones se obtiene:

Siendo el error de truncamiento (resto), que depende del espaciado elevado a una determinada potencia:

y siendo

el orden de error del método utilizado

Sustituyendo en la diferencia del valor más preciso se tiene una nueva estimación de la derivada:

Esta nueva estimación del valor tiene una diferencia de orden en+2 y el error del método se puede calcular aproximadamente mediante el valor del término corrector en valor absoluto:

Siguiendo este procedimiento se puede llegar a un resultado mejorado para la estimación de la derivada y también una estimación de su error. Además, el procedimiento puede aplicarse sucesivamente para así obtener resultados cada vez más precisos.

Número de Richardson El número de Richardson (Ri) se llama así en honor a Lewis Fry Richardson (1881 1953). Es un número adimensional que expresa la relación entre la energía potencial y la energía cinética de un fluido. Es más frecuente utilizar el recíproco de la raíz cuadrada del número de Richardson, conocido como número de Froude. Se define como:

En donde: •

g es la aceleración de la gravedad.

•

h es una longitud característica vertical.

•

u es una velocidad característica del flujo.

Al considerar flujos con diferenciales de densidad pequeños (aproximación de Boussinesq), es común utilizar la gravedad reducida g' y el parámetro relevante es el número densimétrico de Richardson que se utiliza en el estudio de flujos oceánicos o atmosféricos.

Si el número Richardson es mucho menor a la unidad, la flotación es poco importante en el flujo. Si es mucho más grande que la unidad, la flotación es dominante en el sentido que hay insuficiente energía cinética para homogeneizar el fluido Aviación En aviación, el número de Richardson se usa como una medición aproximada de la turbulencia esperada. Un valor inferior a la unidad indica un alto grado de turbulencia. Oceanografía En oceanografía, el número de Richardson tiene una forma más general que indica estratificación. Es una medida de la relativa importancia de los efectos mecánicos y de densidad en una columna de agua.

En donde N es la frecuencia de Brunt-Väisälä