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Métodos numéricos. Extrapolación de Richardson. Fue desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este método utiliza dos estimaciones de la derivada para calcular una tercera aproximación más exacta. Para esto utilizaremos la siguiente:

𝐷 ≅ D(ℎ2 ) +

1 ℎ ( 1 )2 −1 ℎ2

[𝐷(ℎ2 ) − 𝐷(ℎ1 )]

(1)

Donde D (ℎ1 ) y D (ℎ2 ) son estimaciones de la derivada obtenidas usando dos tamaños de paso, h1 y h2. Debido a su conveniencia cuando se expresa como un algoritmo computacional, esta fórmula usualmente se escribe para el caso en que h2=h1/2, como: 4

1

3

3

D ≅ 𝐷(ℎ2 ) − 𝐷(ℎ1 )

(2)

Para aproximaciones por diferencia centrada en O (h2), la aplicación de esta fórmula dará una estimación de la derivada de O (h4). Es decir, el error por diferencia centrada eran proporcionales al cuadrado del tamaño de paso, y ahora tenemos un error proporcional al tamaño de paso elevado a la cuatro.

EJEMPLO: Utilizando la función f(x)=-0.1x4-0.15x3-0.5x2-0.25x+1.2, estime la primera derivada en x=0.5 empleando tamaños de paso h1=0.5 y h2=0.25. Después, con la ecuación (2) calcule una mejor estimación con la extrapolación de Richardson. Recuerde que el valor verdadero es -0.9125.

Solución: Las estimaciones de la primera derivada se calculan con diferencias centradas como sigue: 𝐷(ℎ1 ) = 𝐷(0.5) =

0.2−1.2 1

= −1,

Presentando un error porcentual de: 𝑒𝑝 = |

−0.9125−(−1) |∗ −0.9125

𝐷(ℎ2 ) = 𝐷(0.25) =

100 = 9.6%. 0.6363281−1.103516 0.5

= −0.934375,

Presentando un error porcentual de: 𝑒𝑝 = |

−0.9125−(−0.934375) |∗ −0.9125

100 = 2,4%.

Se determina una mejor estimación aplicando la ecuación (2) al obtener 4

1

𝐷 = 3 (−0.934371) − 3 (−1) = −0.9125. Que, en este caso, es un resultado perfecto; es decir, 𝑒𝑝 = 0. En este caso el resultado es perfecto debido a que la función analizada es un polinomio de grado de cuarto grado. En Realidad la Extrapolación de Richardson es equivalente a ajustar un polinomio de grado superior a los datos y después evaluar las derivadas con diferencias divididas centradas. Así, este caso concuerda, precisamente, con la derivada del polinomio de cuarto grado. Para las funciones que no son polinomios por supuesto, esto no ocurriría y nuestra estimación de la derivada será mejor, aunque no perfecta. El procedimiento puede aplicarse de manera iterativa usando el algoritmo de Romberg, hasta que el resultado se halle por debajo de la tolerancia permitida.

BIBLIOGRAFÍA: 

Chapra, Canale MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS, Prentice Hall, 2005.

Presentado por:  

Juan Manuel Martínez Mantilla. Gerson Enrique Ardila Tavera.