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Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura

Electricidad, Magnetismo, Óptica y Sonido Trabajo Práctico Nº 13: Lentes delgadas.

Año 2011. Segundo Cuatrimestre. Profesora titular: Dra. Noemí Sogari. Profesor a cargo del grupo: Guillermo Cabral. Grupo Nº3 Miércoles 14 -16 hs Comisión: Integrantes:  Aristiqui, María Florencia; LU nº42369.  Kallus, Claudia Silvina; LU nº38690  Peón, María Gabriela; LU nº39181  Peralta, Gabriela Guadalupe; LU nº43037

Fecha de realización: 26 de octubre de 2011 Fecha de entrega: 02 de noviembre de 2011

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Objetivos del trabajo:  Determinar la distancia focal de una lente delgada convergente y de una lente delgada divergente, aplicando el método del espejo plano (para la lente convergente) y el método de Gauss (para ambas).

Introducción Una lente es un sistema óptico formado por dos o más superficies refringentes que pueden ser porciones de esfera (lentes esféricas), o porciones de superficies curvas no esféricas (elípticas, hiperbólicas, parabólicas, todas ellas se clasifican con lentes asféricas), que pueden tener una superficie plana en una de sus caras. Si las superficies son dos se trata de una lente sencilla, si hay más superficies es un sistema compuesto. Según el efecto que generan en los rayos de luz que las atraviesan las lentes pueden clasificarse en convergentes o divergentes. Las lentes convergentes pueden ser biconvexas , plano-convexas o con menisco convergente: 1) Lentes biconvexas

2)Lente plano-convexa

3) Menisco convergente:

Las lentes divergentes pueden ser: bicóncavas, plano-cóncavas, o con menisco divergente: 1- Lente bicóncava

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2- Lente plano-cóncava

3- menisco divergente:

El sistema óptico puede contar con dos o más superficies refringentes Todas las lentes reales tienen un espesor distinto de cero, es decir son lentes gruesas, pero a efectos de simplificar los cálculos en muchos casos conviene despreciar el grosor: a ese sistema se lo denomina una lente delgada. Para el caso de las lentes delgadas los planos principales coinciden y ambos coinciden con el eje óptico de la lente.

Materiales 3

El foco objeto de una lente, F, es un punto sobre el eje óptico, tal que si colocamos una fuente puntual de luz en él, todos los rayos serán paralelos luego de atravesar la lente. Similarmente el punto focal imagen F ́ es el punto común sobre el eje óptico en donde se interceptan rayos que inciden paralelos (al eje óptico) en la lente. Si la lente es delgada se definen las distancias focales objeto e imagen como las distancias que hay desde F y F ' ́ al centro de la lente respectivamente. Si el índice de refracción de los materiales que hay a ambos lados de la lente es el mismo (p.ej aire), las distancias focales f y f ' tienen un valor común f (f). En una lente convergente los focos son reales: en ellos se da una convergencia real de rayos. En la lente divergente los focos son virtuales. Se trazan mediante la extensión de las prolongaciones de los rayos divergentes, que parecen converger en un punto, aunque en verdad no es así. La imagen se ve pero no puede recogerse en una pantalla. Si se comparan las lentes convergentes y las divergentes pueden observarse las siguientes diferencias: Las lentes convergentes son más delgadas en los bordes que en el centro, los rayos paralelos que inciden en ellas convergen al atravesarlas y se cortan en un punto. Los focos de estas lentes son reales. La lente convergente puede generar imágenes reales o virtuales según la naturaleza del objeto y su posición. Las lentes divergentes, en cambio, son más delgadas en el centro. Los rayos paralelos que inciden en ellas divergen: sus prolongaciones se cortan en un punto del eje virtual. Los focos de estas lentes son virtuales. La lente divergente sólo forma imágenes virtuales a partir de objetos reales. Sólo se obtienen imágenes reales a partir de un objeto virtual. En este trabajo, para calcular las distancias involucradas se hace uso de las fórmulas de la óptica geométrica, en particular de la fórmula de Gauss: que relaciona la distancia imagen S' y la distancia objeto S con la distancia focal de la lente f. 4

Para su correcta aplicación debe tenerse en cuenta la convención de signos:  Se considera que los rayos luminosos avanzan de izquierda a derecha.  El sentido positivo para las distancias imágenes es aquel en el cual van los rayos luminosos, es decir S’ es positivo , si la imagen se forma a la derecha de la lente. Caso contrario es negativa.  El sentido positivo para las distancias objeto es opuesto al de los rayos luminosos, es decir S es positivo si el objeto se encuentra a la izquierda de la lente.



El radio de curvatura es positivo si el centro de curvatura se encuentra a la derecha del vértice de la superficie

considerada. Caso contrario es negativo.



La lente es convergente si su distancia focal es positiva, y es divergente si dicha distancia es negativa.

 Las distancias medidas por encima del eje principal son positivas.

Materiales  Banco óptico  Jinetes porta lentes  Fuente Luminosa (objeto)  Pantalla

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 Lentes convergente y divergente  Espejo plano

TECNICA OPERATORIA Lentes convergentes: 1) Método del espejo plano: a)Se disponen los elementos sobre el banco óptico: la fuente luminosa que sirve de objeto (la silueta de una flecha iluminada), la lente convergente y un espejo que se colocará detrás de la lente de modo tal que refleje la imagen que se forme. El objetivo es que la imagen reflejada se forme a la misma distancia que el objeto pero invertida coincidiendo tanto la distancia imagen como la distancia objeto con la distancia focal

b) Para lograrlo se mueven conjuntamente el espejo plano (EP) y la lente convergente (L) hasta que la imagen de la flecha se forma superpuesta al objeto. c)- La experiencia se repite dos veces más y los datos se vuelcan en una tabla. 2- Método de Gauss El segundo método que se emplea es la aplicación de la fórmula de Gauss para las lentes delgadas. Para llevarlo a cabo es necesario determinar previamente las distancias objeto e imagen.

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Para ello se coloca la lente convergente entre el objeto y la pantalla .

Manteniendo fijo el objeto se mueven la pantalla y la lente para obtener una imagen nítida. Se toman los valores de las posiciones del objeto, la pantalla y la lente para calcular la distancia objeto y la distancia imagen. Se repite la experiencia 4 veces más hasta obtener cinco pares de datos que se vuelcan en una tabla, y se observa en cada caso las características de la imagen obtenida.

LENTES DIVERGENTES Fórmula de Gauss Para trabajar con una lente divergente deben usarse recursos más complejos ya que primero debe generarse un objeto virtual a partir del cual la lente divergente pueda crear una imagen real que pueda recogerse sobre una pantalla. Para ello se utiliza una lente convergente: ella genera una imagen real e invertida del objeto que actúa como objeto virtual para la lente divergente.

Para ello se procede de la siguiente manera: a) Con ayuda de la lente convergente (la misma que se utilizó en la experiencia anterior), se obtiene una imagen

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real. b) Luego se intercala entre la lente convergente y la pantalla la lente divergente. c) Se determinan las posiciones de la pantalla y de la lente divergente. La distancia entre ambas es la distancia objeto para la lente divergente. d) Se mueve la pantalla hasta que se forme nuevamente en forma nítida la imagen, que es en este caso la imagen de la lente convergente. e) Se registra la nueva posición de la pantalla. La distancia entre la lente y la pantalla es la distancia imagen para la lente divergente. f) Se repite el procedimiento para obtener cinco pares S, S'.

Datos experimentales: Lente convergente: a) Método del espejo plano:S=S'= f Posición del objeto en cm

Posición de la lente en cm

Distancia focal f en cm

Características de la imagen

33,6

54,7

21,1

Imagen real, invertida y de igual tamaño

36,5

57,65

21,15

Imagen real, invertida y de igual tamaño

40,5

61,55

21,05

Imagen real, invertida y de igual tamaño

Promedio

21,1

Mediante este método se encuentra que la distancia focal de la lente convergente es de 21,1 cm. 8

b) Fórmula de Gauss: Posición Posición Posición Distancia Distancia del de la de la objeto imagen objeto lente pantalla S S' converge nte

Distancia focal

Características de la imagen

10 cm

40

104,25

30

64,25

Imagen real, invertida, y más grande

10 cm

45

93,1

35

48,1

Imagen real, invertida, y más grande

10 cm

50

90,45

40

40,45

Imagen real, invertida, y más pequeña

10 cm

55

91,25

45

36,25

Imagen real, invertida, y más pequeña

10 cm

60

93

50

33

Imagen real, invertida, y más pequeña

Lentes divergentes:

Posición Posición Posición del de la imagen objeto lente P1 converg ente

Posición Posición Distanci Distanci Distanci lente imagen a objeto a a focal divergen P2 imagen te

Caracter ísticas de la imagen

10

82,8

111,45

102,8

106,55

-8,65

3,75

Real,der echa, y de menor tamaño

10

84,5

112

107,9

113,9

-4,1

6

Real,der echa, y de menor tamaño

10

86

112,9

109,2

115,2

-3,7

6

Real,der

9

echa, y de menor tamaño 10

87,5

114,3

110,55

116,55

-3,75

6

Real,der echa, y de menor tamaño

10

90,5

117

113,25

119,2

-3,75

5,95

Real,der echa, y de menor tamaño

Cálculo de las distancias focales mediante la Fórmula de Gauss

Se despeja 1/S' en función de 1/S, obteniéndose una función lineal de pendiente igual a -1 y ordenada al origen igual a -1/f. Luego se calculan los valores de 1/S y 1/S' para ambas lentes y se halla el valor de la ordenada al origen usando para ello la planilla de cálculo Excel que aplica la fórmula de los mínimos cuadrados y realiza la regresión lineal a partir de los datos proporcionados.

Lentes convergentes: fórmula de Gauss 1/S

1/S' 0.033 0.0286 0.025 0.022 0.02

0.0156 0.021 0.025 0.028 0.03

Fórmula de Gauss para lentes delgadas convergentes Cálculo de la distancia focal 0.04

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1/S' en 1/cm

0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01

f(x) = -1.1x + 0.05 R² = 1

0 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03

1/S en 1/cm

Si se despeja el valor de la distancia focal de la ordenada al origen: 1 1 =0,05 → f= cm= 20 cm f 0,05

Si se compara el valor obtenido por el método del espejo plano con el método de Gauss, la diferencia es:

 21,1 cm−20 cm/20 cm  . 100=5,5 %, una diferencia muy pequeña, atribuible a imprecisiones a la hora de fijar la verdadera posición de la imagen (debido a la subjetividad a la hora de apreciar la mayor o menor nitidez de la imagen) y en la toma de datos, realizada por personas distintas cada vez.

Lentes divergentes: fórmula de Gauss 1/S

1/S' -0.116 -0.244 -0.27 -0.267 -0.267

-0.267 -0.167 -0.167 -0.167 -0.168

Fórmula de Gauss para lentes delgadas divergentes Cálculo de la distancia focal

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1/S' en 1/cm

0 -0.28 -0.26 -0.24 -0.22 -0.2 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25

f(x) = -0.67x - 0.34 R² = 0.97

1/S en 1/cm

-0.3

Si se despeja el valor de la distancia focal de la ordenada al origen: f=

−1 cm= −2 . 94 cm 0,34

Si bien no se tiene otro valor con el cual comparar puede observarse que se ha cometido un mayor error en esta determinación: la pendiente obtenida no es -1 y la bondad de ajuste lineal también es menor. Debe tenerse en cuenta la mayor complejidad del procedimiento que supone mayor riesgo de errores y las dificultades que hubo en todo momento para enfocar con claridad la imagen.

Marcha de rayos Lente convergente: Método del espejo plano:

El fundamento físico del método del espejo plano es el siguiente: Los objetos colocados sobre el foco de la lente convergente dan lugar a rayos paralelos que se cortan en el infinito: si se coloca en el camino de esos rayos un espejo plano, el espejo refleja los rayos y estos convergen formando una imagen a la misma distancia que

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el objeto original pero invertida. Esto se debe a que el espejo plano forma imágenes reales a partir de objetos virtuales, como la imagen generada por la lente convergente.

Método de Gauss:

Lentes divergentes:

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Actividades complementarias CUESTIONARIO a) Definir potencia de una lente e indicar su unidad de medida b) Puede obtener la distancia focal de la lente divergente empleando el método del espejo plano? c) Explicar cómo variará la distancia focal de las lentes: - si se cambia el medio que las rodea, por ej aire por agua. - si se cambia la longitud de onda incidente por otra de 400 m d) A qué distancia de la lente convergente hay que colocar un objeto real de 1 cm de altura para que la imagen final sea aumentada al doble?

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e) Si se observa un objeto a través de una lente divergente; este se ve aumentado o disminuido? f) La imagen producida por la lente convergente y recogida en la pantalla es invertida respecto del objeto. Entonces, si queremos observar un objeto mediante una lupa; deberíamos invertirlo para poder verlo derecho? ¿Por qué? g) La miopía y la hipermetropía son defectos del ojo humano; explicar en qué consisten y con qué tipo de lentes es posible corregirlos.

Desarrollo a) Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen P=1/f´ y mide la mayor o menor convergencia de los rayos emergentes, a mayor potencia mayor convergencia de los rayos. La unidad de potencia de una lente es la dioptría, que se define como la potencia de una lente cuya distancia focal es de un metro. b) No puede utilizarse ese método para la lente divergente, porque la imagen formada por la lente divergente es virtual y no puede reflejarse en el espejo ni actuar como objeto virtual para el mismo como sí lo hace la imagen formada por la lente convergente. A continuación buscamos la distancia focal por el método indirecto. Para ello en lugar de colocar un espejo plano a la derecha de lente, colocar una pantalla para que de ese modo pudiésemos encontrar la distancia imagen moviendo la pantalla sobre el banco óptico hasta obtener una imagen nítida del objeto. c) Variación de la distancia focal, si cambio: - Aire por agua: el índice de refracción del agua, es mayor que el del aire, por lo tanto, como la formula que utilizamos fue en un medio donde “n” es igual a uno, no fue necesario aclararlo, pero en este caso debemos colocar otro valor, mayor que el del aire, y este se ve en la formula: 1 n 1 + = S S' f Por lo tanto, al aumentar “n”, aumentara el valor de la suma, lo que hará que al despejar “f”, esta se vea disminuida en comparación con lo obtenido en aire. d) La fórmula para calcular el aumento de la imagen

y´ S´ m= =− y S

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es:

m=

2 cm =2 1 cm

⇒

S=−

S´ 2

El signo menos significa que la imagen será invertida. El valor numérico 2 es mayor que la unidad, es decir que el tamaño de la imagen será en este caso el doble del original. La distancia del objeto a la lente será la mitad de la distancia imagen. e) El objeto observado a través de una lente divergente se verá disminuido. Debido a que una superficie de lente cóncava desvía los rayos incidentes paralelos al eje de forma divergente; a no ser que la segunda superficie sea convexa y tenga una curvatura mayor que la primera, los rayos divergen al salir de la lente, y parecen provenir de un punto situado en el mismo lado de la lente que el objeto. Estas lentes sólo forman imágenes virtuales, reducidas y no invertidas. f) No debemos invertir el objeto para observarlo con una lupa. Si la distancia del objeto es mayor que la distancia focal, una lente convergente forma una imagen real e invertida. Si el objeto está lo bastante alejado, la imagen será más pequeña que el objeto. Si la distancia del objeto es menor que la distancia focal de la lente, la imagen será virtual, mayor que el objeto y no invertida. Este es el caso de lupa o microscopio simple. El ángulo que forma en el ojo esta imagen virtual aumentada (es decir, su dimensión angular aparente) es mayor que el ángulo que formaría el objeto si se encontrara a la distancia normal de visión. g) La miopía, es el estado refractivo en el que el punto focal se forma delante de la retina cuando el ojo se encuentra en reposo, en lugar de en la misma retina como sería normal; inverso por lo tanto a la hipermetropía, en el que la imagen se forma por detrás de la retina. La miopía se corrige con lentes divergentes, ya sean gafas o lentes de contacto. En algunos casos puede utilizarse la cirugía.

Conclusión Se logró determinar la distancia focal de una lente convergente mediante el método del espejo plano (21,1 cm) y la fórmula de Gauss (20 cm) hallándose un valor de distancia focal muy similar con un error del 5,5% . También se determinó la distancia focal de una lente divergente mediante el método de Gauss hallándose un valor de -2,94 cm (distancia negativa como corresponde a una lente divergente).

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Bibliografía  Fernández- Galloni. Trabajos prácticos.  Jenkins White. Fundamentos de óptica.  Sears, Francis. Fundamentos de física. Tomo III. Óptica. Editorial Aguilar.

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