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LECTURAS DE HISTORIA DE LAS ´ MATEMATICAS Luis Cornelio Recalde 16 de noviembre de 2017.

Contenido

Glosario de s´ımbolos Introducci´ on 0.1 Aspectos te´ oricos y metodol´ogicos del libro 0.2 Historia e investigaci´ on matem´atica . . . . . 0.3 Historia y Educaci´ on matem´atica . . . . . . 0.4 Descripci´ on de cada uno de las Lecturas . . 0.5 Poblaci´ on objeto del libro . . . . . . . . . . 0.6 Las fuentes utilizadas . . . . . . . . . . . . . 0.7 Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . .

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x x xiii xiv xv xviii xviii xix

Lectura 1: Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega 1.1 Las matem´ aticas griegas y sus ra´ıces l´ udicas . . . . . . 1.2 El Programa euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La matem´ atica en la filosof´ıa aristot´elica . . . . . . . . 1.4 N´ umero y Magnitud en los Elementos . . . . . . . . . 1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos . . . 1.6 Elementos, un tratado sobre teor´ıa de la medida . . . 1.7 La medida de figuras planas y el teorema de Pit´agoras 1.8 El ´ algebra geom´etrica de Euclides . . . . . . . . . . . . 1.9 Seguimiento Lectura 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 5 6 7 18 26 33 39 41

2: N´ umero y magnitud en los Elementos La relaci´ on n´ umero-magnitud en la escuela Pitag´orica . . . . . . . La teor´ıa de n´ umeros pitag´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnitudes conmensurables e inconmensurables en los pitag´oricos Posibles contextos del surgimiento de la inconmensurabilidad . . . La inconmensurabilidad de ra´ız de dos . . . . . . . . . . . . . . . . La antiphairesis y el surgimiento de lo inconmensurable . . . . . . El caso del pent´ agono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El caso del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umero y magnitud en la filosof´ıa de Plat´on y Arist´oteles . . . . .

43 43 44 47 50 51 53 54 55 57

Lectura 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

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iii

Contenido

2.10 La Teor´ıa de proporciones en los Elementos 2.11 Teor´ıa de semejanza en los Elementos . . . 2.12 La teor´ıa de n´ umeros en los Elementos . . . 2.13 La irracionalidad en Euclides . . . . . . . . 2.14 Seguimiento Lectura 2 . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lectura 3: Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas 3.1 El programa matem´ atico de Arqu´ımedes . . . . . . . . . 3.2 La obra de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Arqu´ımedes y los primeros pasos del c´alculo matem´atico 3.4 La cuadratura de la par´abola por medios mec´anicos . . . 3.5 El m´etodo exhaustivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Arqu´ımedes y la cuadratura del c´ırculo . . . . . . . . . . 3.7 El algoritmo de Arqu´ımedes para el c´alculo de π . . . . 3.8 Cuadratura de la par´ abola por el m´etodo exhaustivo . . 3.9 El arenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Seguimiento Lectura 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lectura 4: Las ra´ıces del ´ algebra: Diofanto y Al-Khowarizmi 4.1 Caracter´ısticas del ´ algebra como disciplina independiente . . 4.2 Las matem´ aticas aplicadas en la antig¨ uedad . . . . . . . . . 4.3 Los trabajos de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Las contribuciones matem´aticas de Her´on de Alejandr´ıa . . ´ 4.5 El Algebra sincopada de Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 La obra y el m´etodo de Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Contenido de la Aritm´etica de Diofanto . . . . . . . . . . . 4.8 An´ alisis de algunas proposiciones de la aritm´etica . . . . . . 4.9 El fin de la Edad de Plata de la matem´atica griega . . . . . 4.10 El aporte Hind´ u al desarrollo de las matem´aticas . . . . . . 4.11 Los ´ arabes y el desarrollo del ´algebra . . . . . . . . . . . . . 4.12 Las ra´ıces ´ arabes del ´algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Al-Khowarizmi, el verdadero padre del ´algebra . . . . . . . 4.14 El c´ alculo por Al-jabr y muq¯abalah . . . . . . . . . . . . . . 4.15 El aporte ´ arabe al problema de las cuadraturas . . . . . . . 4.16 La decadencia ´ arabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17 Seguimiento Lectura 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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59 67 69 76 79 81

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84 84 85 90 91 96 99 101 109 111 112 113

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116 116 118 118 122 123 124 125 128 131 132 135 135 137 138 140 142 143 145

Lectura 5: La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri 147 5.1 La tradici´ on algebraica en la Europa medieval . . . . . . . . . . . . 147

Contenido

5.2 Los algoritmos operativos y los sistemas de representaci´on . 5.3 Los n´ umeros del renacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Los algebristas italianos y la soluci´on de la ecuaci´on c´ ubica 5.5 El Ars magna de Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Soluci´ on de la ecuaci´ on polin´omica de cuarto grado . . . . . 5.7 La evoluci´ on de la teor´ıa de ecuaciones . . . . . . . . . . . . 5.8 La instauraci´ on del m´etodo de los indivisibles . . . . . . . . 5.9 La nueva propuesta de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Descripci´ on general de la obra de Cavalieri . . . . . . . . . . 5.11 Los presupuestos de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 El concepto de “todas las l´ıneas” en Cavalieri . . . . . . . . 5.13 El principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Cuadraturas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Seguimiento Lectura 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

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148 152 153 154 158 159 167 168 169 170 172 174 176 179 180

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182 182 184 187 189 190 194 197 202 203 206 208 210 211

Lectura 7: El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas 7.1 Las t´ecnicas precursoras del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 El c´ alculo de la tangente en Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 El c´ alculo de la tangente seg´ un Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Wallis y las primeras huellas del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 El programa matem´ atico de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 El binomio de Newton y la cuadratura del c´ırculo . . . . . . . . . . 7.7 Newton y la generalizaci´on de las cuadraturas . . . . . . . . . . . . 7.8 La obra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 El paso a lo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213 213 217 219 221 232 234 236 240 242

Lectura 6: Descartes y el m´ etodo de coordenadas 6.1 El ´ algebra y el m´etodo anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Las ra´ıces m´ agicas del programa Cartesiano . . . . . . . . . 6.3 El m´etodo cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Contenido y m´etodo de la Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . 6.5 Descartes y la aritm´etica de segmentos . . . . . . . . . . . 6.6 Descartes y la resoluci´on de las ecuaciones de segundo grado 6.7 El problema de Pappus y el planteamiento de ecuaciones . . 6.8 El sistema coordenado cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Clasificaci´ on de las curvas en Descartes . . . . . . . . . . . . 6.10 Teor´ıa de ecuaciones de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Descartes y la soluci´ on de la trisecci´on del ´angulo . . . . . . 6.12 Seguimiento Lectura 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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v

Contenido

7.10 El teorema fundamental del c´alculo en Leibniz . 7.11 La emergencia del lenguaje simb´olico en Leibniz 7.12 Seguimiento Lectura 7 . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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246 248 251 252

Lectura 8: La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas 255 8.1 Las primeras huellas del an´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 La rigorizaci´ on del an´ alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 En busca de los infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 El programa matem´ atico de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 De las variaciones a las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 El concepto de l´ımite en Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Cauchy y las series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 La derivada de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 La integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 El programa matem´ atico de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12 La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13 Seguimiento Lectura 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255 257 258 260 260 263 265 270 271 274 278 281 290 292

Lectura 9: El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas 9.1 Los nuevos paradigmas de las matem´aticas como parte de las revoluciones del siglo XIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 De la resoluci´ on de ecuaciones al ´algebra abstracta . . . . . . . . . 9.3 Abel y la imposibilidad de resolver la ecuaci´on de quinto grado . . 9.4 Gauss y la ecuaci´ on ciclot´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 La teor´ıa de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 La constituci´ on hist´ orica del concepto de grupo . . . . . . . . . . . 9.7 Las incertidumbres del quinto postulado de Euclides . . . . . . . . 9.8 Las demostraciones del quinto postulado . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Los precursores de las geometr´ıas no euclidianas . . . . . . . . . . 9.10 Or´ıgenes de las geometr´ıas no euclidianas . . . . . . . . . . . . . . 9.11 La geometr´ıa de Bolyai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.12 La geometr´ıa de Lobachevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.13 La geometr´ıa de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.14 La recepci´ on de las geometr´ıas no euclidianas . . . . . . . . . . . . 9.15 Geometr´ıa y realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.16 Seguimiento Lectura 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295 295 297 297 301 302 309 312 312 317 323 324 326 331 335 337 339 341

Contenido

vi

Lectura 10: La emergencia de la teor´ıa de conjuntos 10.1 El enfoque conjuntista en matem´aticas . . . . . . . . 10.2 La teor´ıa de n´ umeros reales de Richard Dedekind . . 10.3 Los irracionales y las cortaduras de Dedekind . . . . 10.4 La continuidad de los n´ umeros reales seg´ un Dedekind 10.5 La teor´ıa de n´ umeros reales de Cantor . . . . . . . . 10.6 El proyecto matem´ atico de Cantor . . . . . . . . . . 10.7 La definici´ on formal de conjunto infinito . . . . . . . 10.8 Las diversas clases de infinitos y el continuo . . . . . 10.9 Cantor y la potencia del plano . . . . . . . . . . . . . 10.10 El problema de la dimensi´on en Cantor . . . . . . . . 10.11 De los conjuntos derivados a los n´ umeros transfinitos 10.12 Formalizaci´ on de los n´ umeros transfinitos . . . . . . 10.13 De los ordinales transfinitos a los alephs . . . . . . . 10.14 La Hip´otesis del Continuo y la Topolog´ıa de la Recta 10.15 Seguimiento Lectura 10 . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lectura 11: El problema de los fundamentos de las matem´ aticas 11.1 La necesidad hist´ orica de legalizar el infinito . . . . . . . . . . . 11.2 Las paradojas de la teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Las respuestas fundacionistas a comienzos del siglo XX . . . . . 11.4 La respuesta desde la axiom´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 La teor´ıa axiom´ atica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 El logicismo de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 El logicismo de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Principia Mathem´ atica de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 La respuesta desde el constructivismo . . . . . . . . . . . . . . 11.10 La vida intelectual de David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 11.11 El programa formalista de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 11.12 La filosof´ıa del signo de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.13 Seguimiento Lectura 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lectura 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

12: El Estructuralismo en matem´ aticas La vida intelectual de G¨odel . . . . . . . . . . . . . . . El teorema de incompletitud de G¨odel . . . . . . . . . Las consecuencias formales del teorema de G¨odel . . . El programa bourbakista . . . . . . . . . . . . . . . . . La teor´ıa de categor´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los problemas modernos de la teor´ıa de conjuntos: el continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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344 344 346 349 351 352 354 355 357 360 362 363 367 369 373 374 375

. . . . . . . . . . . . . .

378 378 379 381 382 383 385 391 392 396 401 404 409 410 411 414 414 417 422 423 427

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tama˜ no del . . . . . . . 428

vii

Contenido

12.7 Los modelos de la teor´ıa de conjuntos . . . . . . 12.8 El modelo constructivo de G¨odel . . . . . . . . . 12.9 El modelo de Cohen: la t´ecnica del “forcing” . . . 12.10 El forcing y el circuito de medir, contar y ordenar 12.11 Categor´ıas vs conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 12.12 Seguimiento Lectura 12 . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa Lectura 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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428 430 431 432 432 435 436

´ Indice de libros

439

´Indice

443

GLOSARIO DE S´IMBOLOS

rect.

Ret´ angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

cuad.

Cuadrado o cuadratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 223

nAB

La suma del segmento AB, n veces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

M CD

M´ aximo com´ un divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

(p, q)

M´ aximo com´ un divisor entre p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

∆Y

Representa la inc´ognita al cuadrado para Diofanto . . . . . . . . . . . 125

KY

Representa la inc´ognita al cubo para Diofanto. . . . . . . . . . . . . . . . 125

∆Y ∆

Representa un bicuadrado para Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

∆K Y

Representa un cuadradocubo para Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

KY K

Representa un cubocubo para Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

ς

N´ umero inc´ ognita o arithmo para Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

m

S´ımbolo de la resta para Nicol´as Chuquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

amk

Representa ax−k para Nicol´as Chuquet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

p

S´ımbolo de la suma para Nicol´as Chuquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Rx

Ra´ız cuadrada para Nicol´as Chuquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

co

Representa la inc´ognita x para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

ce

Representa la inc´ognita x2 para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

cu

Representa la inc´ognita x3 para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

ce.ce

Representa la inc´ognita x4 para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

p

Representa el s´ımbolo + para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

m

Representa el s´ımbolo − para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

R o R2

Representa la ra´ız cuadrada para Luca Pacioli. . . . . . . . . . . . . . . . 151

R3

Representa la ra´ız c´ ubica para Luca Pacioli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

OF (l)

Todas las cuerdas “l” de F que son paralelas a una regula . . . . 173

.

x

Representa la fluxi´on de la cantidad fluente x . . . . . . . . . . . . . . . . 238

0.0 Glosario de s´ımbolos

ix

dx

Incremento infinitesimal en el eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

ds

Arco infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

omn

La suma de la totalidad de los indivisibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Ci (E)

Contenido de Jordan interior del conjunto E . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Ce (E)

Contenido de Jordan exterior del conjunto E . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

C(E)

Contenido de Jordan del conjunto J-medible E . . . . . . . . . . . . . . . 278

me (E)

Medida exterior de Lebesgue del conjunto acotado E . . . . . . . . . 281

mi (E)

Medida interior de Lebesgue del conjunto acotado E . . . . . . . . . 281

I

N´ umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

ℵ0

Cardinal de los conjuntos infinitos numerables. . . . . . . . . . . . . . . . 345

ℵ1

El primer cardinal mayor que el cardinal ℵ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

M ∼N

Indica que los conjuntos M y N son equipotentes . . . . . . . . . . . . 346

Φ, Ψ

Se utilizan como predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

Wq (x)

Es la proposici´ on: x es richardiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

O(C)

Clase de objetos de una categor´ıa C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

M

N´ umero cardinal del conjunto M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Set

Categor´ıa de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Top

Categor´ıa de los espacios topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

G

Categor´ıa de los grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

VecK

Categor´ıa de los espacios vectoriales sobre un cuerpo K . . . . . . 406

HC

Hip´ otesis del continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

AC

Axioma de elecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

ZFC

Axiomas de Zermelo-Fraenkel + Axioma de elecci´on. . . . . . . . . . 408

ZF

Axiomas de Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Introducci´on 0.1.

Aspectos te´ oricos y metodol´ ogicos del libro

En este libro se busca describir un panorama general del desarrollo hist´orico de las matem´ aticas en un periodo relativamente largo: desde la antig¨ uedad griega hasta el ocaso del siglo XX. Las tem´ aticas del texto giran en torno a la b´ usqueda de un corpus te´ orico mediante el cual especificar, de manera cuantitativa, las actividades de medir, contar y ordenar. Tambi´en se puede considerar separadamente estructurar, aunque es un actividad que se suele tomar como una forma refinada de ordenar. En general, todos los desarrollos matem´aticos, por abstractos que parezcan, hunden sus ra´ıces en los problemas de cuantificaci´on que plantearon los antiguos griegos, los cuales se subsumen en estas tres actividades. Esto parece contraponerse con el car´acter formal, simb´ olico y, sobre todo, variado que fueron adquiriendo las matem´aticas a partir del siglo XIX, dada la enorme cantidad de disciplinas matem´aticas que han proliferado en todas las latitudes. Esta eclosi´on de ramificaciones ha hecho que la actividad matem´ atica haya evolucionado paulatinamente tanto en su metodolog´ıa, como en sus formas de representaci´on, dando lugar a mundos complejos que parecen clausurar los v´ınculos con la intuici´on. Si bien existe una gran diferencia entre el car´ acter de las matem´aticas antiguas, sustentadas por la aritm´etica y la geometr´ıa, las matem´ aticas modernas, fundadas por la geometr´ıa anal´ıtica, el algebra y el an´ ´ alisis, y las matem´aticas contempor´aneas, establecidas en el ´algebra universal, la teor´ıa de conjuntos y la teor´ıa de categor´ıas, un an´alisis hist´orico de la evoluci´on de las matem´ aticas permite identificar la existencia de vasos comunicantes con las actividades de medir, contar y ordenar. Sin duda el mismo Arist´ oteles estar´ıa de acuerdo en que su definici´on de la matem´atica, como ciencia de la cantidad, no se compadece con la variada gama de situaciones que deben enfrentar los matem´aticos en la actualidad. Si a esto le adicionamos la demanda por la especializaci´on, dif´ıcilmente encontraremos un matem´atico que maneje completamente las diferentes disciplinas matem´aticas. Seguramente para cada especialista, las matem´ aticas tendr´an un significado propio, de acuerdo a su campo de investigaci´ on o concepci´on filos´ofica. Para Bertrand Russell, la matem´atica es un cap´ıtulo de la l´ ogica. Ludwig Wittgenstein, sugiere que las matem´aticas son juegos del lenguaje. Henri Poincar´e planteaba que es el arte de dar el mismo nombre a distintas cosas; idea muy cercana a la concepci´on de los integrantes del grupo

0.1 Aspectos te´ oricos y metodol´ ogicos del libro

xi

Bourbaki, quienes caracterizaban la matem´atica como la ciencia de las estructuras. Una menci´ on especial amerita Saunders Mac Lane, uno de los fundadores de la teor´ıa de Categor´ıas, quien concibe la matem´atica como “un orden de formas, que codifican ideas extra´ıdas de las actividades humanas y de los problemas cient´ıficos, y que est´ an desplegadas en un tramado de reglas formales, teoremas expl´ıcitos con sus demostraciones cuidadosamente elaboradas, y la variedad de interconexiones de todas las formas.” 1 Entender las matem´aticas como un armaz´on de formas, seg´ un el planteamiento de Mac Lane, elude todo tipo de discusiones ontol´ogicas y epistemol´ ogicas, delineando una matem´atica absolutamente precisa que existe independiente de los seres humanos. Sin embargo, este tipo de absolutismos son peligrosos porque esconden la aventura del proceso y pretenden reducir las matem´aticas a la consistencia l´ ogica de los resultados formalizados, ignorando las etapas previas en las que impera la conjetura, el ensayo-error y la aventura intelectual; esto es, concebir las matem´ aticas como un constructo hist´orico, erigido durante siglos en contextos sociales y culturales que las han determinado. En el desarrollo hist´ orico las matem´aticas se pueden advertir las siguientes tres vertientes que caracterizan la actividad matem´atica: ´ 1. Matem´ aticas puras: Aritm´etica, Geometr´ıa, Algebra, An´alisis, Topolog´ıa, entre otras. 2. Matem´ aticas de aproximaci´on: An´alisis num´erico. 3. Matem´ aticas de fundamentaci´on: L´ogica, Teor´ıa de conjuntos, Historia de las matem´ aticas, Teor´ıa de Categor´ıas. La premisa b´ asica desde una perspectiva hist´orica es entender las matem´aticas no como los resultados de una actividad, sino como la actividad misma; no como un producto, sino como un proceso complejo que alberga tanto los resultados y las t´ecnicas, como los interrogantes, las conjeturas y los m´etodos que en una ´epoca dada permiten que un proceso determinado se transforme en un objeto matem´atico. En todo caso, las concepciones de los saberes t´ecnicos como resultados acabados, independientemente del proceso que los gener´o, pueden ser eficientes en el sentido de producir teoremas o definiciones, pero son muy limitadas, pues al conducir al pensamiento por la sola l´ınea efectista de operar con resultados, sin consultar su esencia, produce una niebla te´orica que impide encontrar las l´ıneas de conexi´on entre lo abstracto y lo concreto, entre el reino de las formas y las actividades de medir, contar y ordenar. Los estudios hist´ oricos realizados desde una perspectiva sociocultural exigen tener en cuenta la mayor cantidad de variables en el desarrollo de los conceptos. Sin embargo, dadas las circunstancias particulares que han motivado la composici´on de 1

1986. Mathematics, Form and Function. Springer-Verlag., p.455

xii

Introducci´ on

este libro, se maneja una directriz epistemol´ogica, con algunos matices ontol´ogicos. Esto presupone que si bien en ocasiones se hacen algunas reflexiones de contexto sociocultural s´ olo son de tipo referencial. Es claro que solamente se han abordado algunos aspectos espec´ıficos del desarrollo hist´ orico de las matem´ aticas. No puede ser de otra manera dada la copiosa producci´on de nociones y procedimientos matem´aticos que se han asentado durante m´ as de 2.500 a˜ nos en todas las latitudes. En este sentido se han seleccionado aquellos desarrollos reconocidos en los libros de historia de las matem´aticas, documentos de investigaci´ on, seminarios y congresos, los cuales se considera decisivos en la instauraci´ on de las ramas m´ as importantes de las matem´aticas y que hacen parte de una formaci´on can´ onica en matem´ aticas. Existen excelentes y variados libros de historia de las matem´aticas, los cuales gozan de gran reconocimiento a nivel internacional. Basta poner de presente Historia de la matem´ atica de Carl Boyer, El pensamiento matem´ atico de la Antig¨ uedad a nuestros d´ıas de Morris Kline y The historical development of the Calculus de C. H. Edwards. El texto de Boyer, Historia de la matem´ atica, ofrece un excelente panorama historiogr´ afico desde las primeras huellas de matem´aticas en el ambiente de los antiguos pueblos de Egipto y Mesopotamia hasta mediados del siglo XX. No maneja una directriz epistemol´ ogica. Aborda los diferentes periodos de manera cronol´ogica, destacando los ambientes sociol´ogicos que incidieron en la actividad matem´atica ya sea a trav´es de las biograf´ıas de los principales matem´aticos o de hechos hist´oricos relevantes. Los conceptos son presentados de manera referencial, sin profundizar en su riqueza t´ecnica. No necesita ning´ un prerrequisito te´orico, lo que permite su lectura al p´ ublico con concimientos b´asicos de matem´aticas. Algunos de sus datos bibliogr´aficos han enriquecido el presente libro. En El pensamiento matem´ atico de la Antig¨ uedad a nuestros d´ıas, Morris Kline presenta un panorama amplio del desarrollo de las matem´aticas muy similar al de Carl Boyer. Aunque hace un manejo m´as cercano a lo epistemol´ogico, la gran cantidad de tem´ aticas que aborda hace que no logre establecer desarrollos acabados en cada uno de los t´ opicos. De esta forma, incluso el lector con buenos conocimientos matem´aticos encontrar´ a, en muchas ocasiones, problemas para entender la din´amica de los procesos que se dieron en entornos espec´ıficos. The historical development of the Calculus de C. H. Edwards es un libro de corte completamente internalista de la evoluci´on del c´alculo desde las civilizaciones antiguas hasta el desarrollo del an´alisis no est´andar por Abraham Robinson en 1960. Solo al principio de cada cap´ıtulo contextualiza el entorno de las tem´aticas que se abordar´an; pero se trata de un aditamento que no tienen relaci´on con la parte propiamente matem´atica. Una de sus limitaciones es que hace una presentaci´on de los conceptos y procedimientos en un estilo moderno. En el presente texto se hace una presentaci´on hist´orica diferente a las propuestas anteriores. Si bien se sigue una l´ınea epistemol´ogica, se ponen de presente las principales discusiones filos´ oficas sobre la naturaleza de las matem´aticas y su incidencia

0.3 Historia e investigaci´ on matem´ atica

xiii

en el quehacer de los matem´ aticos. Se busca una presentaci´ on autocontenida de tal forma que el lector pueda seguir el discurso matem´atico presente en cada situaci´on estudiada.

0.2.

Historia e investigaci´ on matem´ atica

Hay libros que han cambiado la manera de hacer matem´aticas y de investigar en matem´ aticas. Indiscutiblemente los Elementos de Euclides ocupan un papel destacado en ese inventario. Como se discutir´a en el primer cap´ıtulo, no es claro que Euclides haya sido su autor directo; ni siquiera hay seguridad sobre su existencia. Muchos prefieren hablar del “autor euclidiano”. Sin embargo, en general, se acepta que los Elementos corresponde a un compendio de los desarrollos matem´aticos establecidos por m´ as de doscientos a˜ nos en la antig¨ uedad griega. Para la elaboraci´on de esta singular construcci´ on, el autor euclidiano tuvo que fungir de historiador y escudri˜ nar en muchos documentos matem´aticos y filos´oficos de sus antecesores. Es curioso que muchos matem´ aticos ortodoxos piensen que los documentos antiguos son anacr´onicos y carecen de importancia para las matem´aticas actuales. Algunos ejemplos pueden contradecir tal aseveraci´on. Para nadie es un secreto que la Geometr´ıa de Ren´e Descartes jug´ o un papel determinante en la forma de entender y producir matem´ aticas. El m´etodo de coordenadas permiti´o resolver algunos problemas irresolubles desde la ´ optica euclidiana. Unos dos mil a˜ nos separan a Descartes de Euclides. Descartes est´ a m´ as cerca de nosotros que de Euclides. Sin embargo, Descartes vuelve a Euclides para revisar y complementar su m´etodo de resoluci´on de problemas. Descartes es un lector de Euclides. Isaac Newton est´a m´as cerca de nosotros que de Euclides; pero es claro que los Elementos fue uno de sus libros referenciales, al igual que la Geometr´ıa de Descartes. Newton siempre se mostr´o agradecido con sus predecesores, como lo atestigua su famosa frase: “Si he logrado ver m´as lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes”. Uno de los matem´aticos m´as prol´ıficos del siglo XX, David Hilbert, retorna al planteamiento geom´etrico de Euclides como pre´ ambulo a su programa formalista de las matem´aticas. Hilbert es casi contempor´ aneo nuestro, pero entiende que en el pasado reposan muchos de los insumos b´ asicos que gobiernan la actividad matem´atica del presente. Muy similar es el caso de Henri Lebesgue, el creador de la teor´ıa moderna de la integral, quien en su tesis doctoral de 1903, confiesa que los principios rectores de la medida abstracta los encontr´ o en la teor´ıa de la medida de magnitudes de Arqu´ımedes. Tanto Hilbert como Lebesgue utilizaron el an´ alisis hist´orico como metodolog´ıa de investigaci´on. Ellos siguieron el precepto que el matem´atico franc´es Carl Gauss recomendaba a sus alumnos y que lo gui´ o desde muy ni˜ no: “Leer a los maestros”.

xiv

0.3.

Introducci´ on

Historia y Educaci´ on matem´ atica

Durante sus cursos de pregrado y posgrado se suele atiborrar a los estudiantes de gran cantidad de informaci´ on sobre t´ecnicas y procedimientos matem´aticos sin explicitarles ni su g´enesis ni las motivaciones que les dieron lugar. El estudiante se ve enfrentado a un c´ umulo de saberes matem´aticos que, en muchas ocasiones, aparecen aislados y sin aparente relaci´on. Eso tiene incidencia en el proceso de ense˜ nanza y aprendizaje de las matem´aticas si propugnamos por una educaci´on matem´atica que vaya mucho m´ as all´a de la simple repetici´ on de t´ecnicas y algoritmos de demostraci´on. La historia de las matem´ aticas nos brinda herramientas para introducir la discusi´on sobre la producci´ on, apropiaci´on y el control de los saberes en el ´ambito social e individual, permitiendo que el docente y el alumno tomen conciencia del funcionamiento, tanto de las teor´ıas y t´ecnicas matem´aticas, como de la investigaci´on matem´ atica. La historia de las matem´aticas brinda la posibilidad de convertir la clase en un laboratorio epistemol´ogico, es decir un medio para “experimentar” sobre distintas posibilidades te´ oricas, planteamiento de conjeturas y diferentes maneras de resolver problemas matem´aticos. En esta dimensi´ on cobra importancia la noci´ on de obst´ aculo epistemol´ ogico. La teor´ıa de los obst´aculos epistemol´ogicos fue establecida por el pensador franc´es Gaston Bachelard en su libro La formaci´ on del esp´ıritu cient´ıfico (1938), para explicar los problemas conceptuales que impiden el desarrollo de pensamiento cient´ıfico. Para Bachelard los obst´aculos epistemol´ogicos no son producto de la ignorancia o ausencia de conocimiento, sino que corresponden a conocimientos que en un periodo determinado fueron fruct´ıferos, y luego se convierten en lastres para nuevos conocimientos. En este sentido, los obst´aculos epistemol´ogicos no se producen por las dificultades sensoriales o cognitivas; se deben a condicionamientos psicol´ ogicos que constri˜ nen la aceptaci´on de nuevos conocimientos cient´ıficos. Esos condicionamientos son inevitables pues constituyen el acumulado conceptual de nuestra formaci´ on acad´emica y vivencial. Son las armas con las cuales enfrentamos los nuevos saberes; como dice el mismo Bachelard, “es entonces imposible hacer, de golpe tabla rasa de los conocimientos usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que deber´ıa saberse. Cuando se presenta ante la cultura cient´ıfica, el esp´ıritu jam´as es joven. Hasta es muy viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecer espiritualmente, es aceptar una mutaci´on brusca que ha de contradecir a un pasado.” El estudio del desarrollo hist´orico de las matem´aticas permite la identificaci´on de los obst´ aculos epistemol´ ogicos, los cuales, como muestra Bachelard, no son propios de comunidades cient´ıficas espec´ıficas o de una determinada etapa hist´orica, sino que son cuestiones inherentes al esp´ıritu cient´ıfico sin importar ´epocas ni latitudes. La noci´on de obst´ aculo epistemol´ogico, fue adaptada a la educaci´on matem´atica por el didacta franc´es Guy Brousseau en su Teor´ıa de situaciones did´ acticas de 1976. Esta teor´ıa plantea que un estudiante aprende a partir de un proceso en el cual se

0.4 Descripci´ on de cada uno de las Lecturas

xv

ve enfrentado a situaciones problema cuya soluci´on exige el conocimiento en consideraci´on. De esta manera, cuando el estudiante aborda un determinado problema lo hace mediante un conjunto de conocimientos previos los cuales funcionan muy bien en situaciones similares, pero que llevan a errores o dificultan la soluci´on. Algunas de estas dificultades provienen de obst´aculos epistemol´ogicos, es decir no corresponden a limitaciones cognitivas o a falta de conceptualizaci´on, sino a dificultades intr´ınsecas del concepto. Muchas veces, desconociendo estas dificultades, se intenta que el estudiante se apropie de conceptos y teor´ıas que han requerido muchos siglos para su consolidaci´ on, en un corto tiempo. La identificaci´on de los obst´aculos epistemol´ogicos, que pueden visualizarse a trav´es de la lente hist´orica, tiene un papel importante en el proceso de ense˜ nanza y aprendizaje de las matem´aticas.

0.4.

Descripci´ on de cada uno de las Lecturas

Las doce Lecturas del libro, en t´erminos generales, se presentan en orden cronol´ ogico. En cada cap´ıtulo se han escogido los autores mas representativos. Pero esto es algo referencial, pues se considera que los resultados matem´aticos se dan en contextos sociales gracias al aporte de un colectivo de pensadores, la mayor´ıa de ellos an´ onimos. En cada cap´ıtulo se hace una descripci´on general del contexto en el cual se ubica la problem´ atica particular, tratando de ubicar los elementos conceptuales y filos´ oficos. En la Lectura 1 se hace una presentaci´on general del pensamiento matem´atico griego. Se describen sus ra´ıces filos´oficas; en particular se analiza la incidencia de Arist´oteles en el dise˜ no del modelo hipot´etico-deductivo, desarrollado por Euclides en los Elementos. Se analizan los dos primeros libros de los Elementos con el prop´osito de describir el procedimiento seguido por Euclides en la cuadratura de figuras rectil´ıneas planas. La Lectura 2 est´ a dedicada a la teor´ıa de razones y proporciones, a la semejanza y a la teor´ıa de n´ umeros. Para la teor´ıa de razones y proporciones se toma como referencia el libro V de los Elementos. Para la semejanza, el libro VI. La teor´ıa de n´ umeros est´ a desarrollada con base en los libros VII, VIII y IX de los Elementos. En la Lectura 3 se estudian algunos de los resultados de Arqu´ımedes, considerado uno de los matem´ aticos de mayor relevancia en la historia de las matem´aticas, junto a Euclides. Se describen sus avances en torno a la cuadratura del c´ırculo, que involucran una aproximaci´ on sistem´atica de π. Adem´as, se presentan los dos m´etodos que emple´ o para la cuadratura de la par´abola: por medios mec´anicos y por el m´etodo exhaustivo, una herramienta te´orica, que prefigura el concepto de l´ımite y por lo cual, Arqu´ımedes es considerado uno de los precursores del c´alculo diferencial e integral. La Lectura 4 est´ a dedicada al an´alisis de los trabajos de Diofanto y Al-Khowarizmi, en cuyas obras puede rastrearse el origen del ´algebra como rama de las matem´aticas.

xvi

Introducci´ on

Se sustenta la idea de que si bien en Diofanto se pueden encontrar algunos principios de la resoluci´ on de ecuaciones, propiamente hablando, el pensamiento algebraico emerge de la tradici´ on ´ arabe, especialmente con la obra Al-jabr wa’l muqab¯ alah de Mohammad ibn Musa Al-Khowarizmi. En la Lectura 5 se analizan dos vertientes de pensamiento matem´atico en relaci´on con la evoluci´ on de las actividades de medir y contar. En la primera parte se estudian los m´etodos de resoluci´on de ecuaciones polin´omicas, que inician con la b´ usqueda soluciones generales para la ecuaci´on c´ ubica en el ambiente italiano del siglo XVI, con Niccolo Tartaglia, Rafael Bombelli y Gerolamo Cardano, continuando con la resoluci´on de la ecuaci´on cu´artica y luego la b´ usqueda de soluciones, por medio de radicales, para las ecuaciones de grado mayor a cuatro, por parte de algunos matem´aticos destacados, como Joseph-Louis Lagrange. En la segunda parte de esta Lectura se describe el M´etodo de los Indivisibles, incorporado por Bonaventura Cavalieri, como salida conceptual a algunos de los problemas de cuadraturas y cubaturas, que eran imposibles de resolver con las herramientas introducidas por los matem´aticos de la tradici´ on griega. En la Lectura 6 se detallan algunas cuestiones en torno al surgimiento de la geometr´ıa anal´ıtica, como herramienta alternativa a la geometr´ıa sint´etica euclidiana. Se describen algunos antecedentes de la Geometr´ıa de Ren´e Descartes, quien es considerado el forjador del pensamiento moderno. Se hace una revisi´on general de la Geometr´ıa, haciendo hincapi´e en la introducci´on del m´etodo de coordenadas, la teor´ıa de ecuaciones y la respuesta al problema de la trisecci´on del ´angulo. La Lectura 7 est´ a dedicada al estudio del surgimiento del c´ alculo diferencial e integral a partir de los desarrollos de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. En la primera parte se describen los desarrollos de John Wallis, en cuyo libro Aritm´etica del Infinito, logra establecer un puente de contacto entre los indivisibles y los infinitesimales, incorporando un m´etodo novedoso para el c´alculo de sumas infinitas. La noci´ on de infinitesimal es empleada como herramienta te´orica en el c´alculo integral de Newton y en el c´ alculo diferencial de Leibniz. Estos dos pensadores dan salida, de forma simult´ anea, al problema de las cuadraturas. Al final de la Lectura se llama la atenci´ on sobre los problemas conceptuales impl´ıcitos en la noci´on de las cantidades infinitamente peque˜ nas. En la Lectura 8 se describe el proceso de instauraci´on del an´alisis como rama de las matem´ aticas. Se inicia detallando la discusi´on en torno a los problemas de rigor en el tratamiento del infinito a comienzos del siglo XIX. Se describe el programa matem´ atico de Augustin-Louis Cauchy, quien es se˜ nalado como uno de los forjadores del an´ alisis matem´ atico moderno. En particular, se estudian sus nociones de l´ımite, funci´on derivada e integral. En la segunda parte se analiza la respuesta dada por Riemann a la exigencia de una definici´on de integral para funciones altamente discontinuas. Al final se describen los desarrollos de Lebesgue en torno a los problemas del ´area, la integral y la medida. En la Lectura 9 se estudia la emergencia de dos teor´ıas revolucionarias, al in-

0.4 Descripci´ on de cada uno de las Lecturas

xvii

corporar nuevos m´etodos y otras formas alternativas de hacer matem´aticas, como lo son el ´ algebra abstracta y las geometr´ıas no euclidianas. Primero, se analizan los elementos de causalidad que dieron origen al ´algebra estructural. Se describe el proceso seguido por Niels Henrik Abel para demostrar la imposibilidad de resolver las ´ ecuaciones polin´ omicas de grado mayor a cuatro y se analizan los desarrollos de Evariste Galois, en el marco de resoluci´on de ecuaciones, que dan origen a las nociones de grupo, anillo y cuerpo. Por u ´ltimo, se describe el proceso de instauraci´on de las geometr´ıas no euclidianas, partiendo de la discusi´on del quinto postulado de la geometr´ıa euclidiana. Se estudia la emergencia de la geometr´ıa de Nikolai Lobachevski y la geometr´ıa riemanniana. En la Lectura 10 se especifica la manera en la que se introduce el enfoque conjuntista en matem´ aticas, mediante el cual se acoplan las actividades de medir, contar y ordenar. Se describen algunos elementos de causalidad, en particular las construcciones de los n´ umeros reales por parte de Georg Cantor y Richard Dedekind. Se estudia la introducci´ on de los n´ umeros actualmente infinitos, por parte de Cantor, primero en Fundamentos de la Teor´ıa de conjuntos de 1893 y despu´es en Contribuciones a la fundamentaci´ on de la teor´ıa de los sonjuntos transfinitos de 1895-1896. Se especifica el proceso de instauraci´ on de los n´ umeros cardinales y ordinales transfinitos, las definiciones b´ asicas, sus operaciones y la incorporaci´on de los alephs. La Lectura 11 est´ a dedicada a estudiar los problemas de fundamentaci´on que surgieron en el marco de la teor´ıa de conjuntos actualmente infinitos. Se describen las principales paradojas que se produjeron en el marco de la teor´ıa intuitiva de conjuntos, desarrollada por Cantor, y se analiza las respuesta a esta problem´atica por parte de tres escuelas fundacionistas: el logicismo, el intuicionismo y el formalismo; estudiando los planteamientos filos´oficos y conceptuales de cada una de estas corrientes y detallando sus limitaciones. La Lectura 12 inicia con una presentaci´on informal del teorema de Kurt G¨ odel, el cual desnuda los problemas de la propuesta formalista en matem´aticas. A continuaci´on se hace un an´ alisis del desarrollo hist´orico del estructuralismo en el siglo XX. La corriente estructuralista en matem´aticas surge a partir de los desarrollos del grupo Bourbaki en Francia, cuyo objetivo primario era dise˜ nar un compendio que abarcara las m´ ultiples disciplinas matem´aticas que aparec´ıan dispersas seg´ un el tipo de objetos tratados. Se analiza la propuesta de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane de la teor´ıa de categor´ıas; una superestructura que busca materializar el ideal bourbakista de unificaci´ on de las matem´aticas. Al final se contrastan las propuestas fundacionistas de la teor´ıa de conjuntos, basada en la teor´ıa de modelos, y la propuesta categ´ orica, en especial la teor´ıa de topos.

xviii

0.5.

Introducci´ on

Poblaci´ on objeto del libro

Lecturas de historia de las matem´ aticas es un libro dise˜ nado para servir de texto gu´ıa en cursos de historia de las matem´aticas, ofrecidos a los estudiantes de las carreras de Matem´ aticas, Licenciatura en Matem´atica-F´ısica y Educaci´on matem´atica, ya sea de nivel de pregrado o posgrado. Para los estudiantes de pregrado puede dictarse en un solo curso o en dos cursos. Si se toma la opci´on de una sola asignatura es reco´ mendable que el estudiante haya cursado Geometr´ıa euclidiana, Algebra abstracta, An´alisis en los reales y Teor´ıa de conjuntos. Si se opta por dos cursos, el primero corresponder´ıa a las seis primeras lecciones, teniendo como prerrequisito Geometr´ıa euclidiana. El segundo abarcar´ıa las u ´ltimas seis lecturas con las exigencias antes anotadas. Para los cursos de pregrado es recomendable no hacer un seguimiento exhaustivo de cada uno de los cap´ıtulos del libro si se tiene la intenci´on de cubrir todas las doce lecturas. Se busca que el estudiante entienda algunos elementos de causalidad que fueron delineando las ramas cl´asicas de las matem´aticas: geometr´ıa, aritm´etica, an´ alisis y ´ algebra abstracta, siguiendo un camino conceptual. Para ello el profesor debe llamar la atenci´on y discutir aquellos procedimientos mediante los cuales se va dando salida a las actividades de medir, contar y ordenar. En las primeras diez lecturas esto aparece muy bien establecido. Aunque los cap´ıtulos once y doce se dedican al problema de los fundamentos, el estudiante puede identificar los hilos conductores de las problem´aticas de medir, ordenar y contar en un contexto estructuralista. Para los estudiantes de Maestr´ıa y Doctorado el libro puede servir de base para un curso de fundamentaci´on. Si suponemos que en este nivel de escolaridad los estudiantes cuentan con un buen nivel de preparaci´on, la lectura del libro se puede complementar con la revisi´on de algunas fuentes primarias que se documentan en la bibliograf´ıa.

0.6.

Las fuentes utilizadas

Una de las mayores dificultades del trabajo hist´orico tiene relaci´on con las fuentes. Las fuentes primarias corresponden a las producciones elaboradas directamente por el autor particular que estamos estudiando. Las fuentes secundarias corresponden a estudios elaborados a partir de las fuentes primarias. Cuando el autor pertenece a una ´epoca antigua es imposible pensar en documentos originales. Generalmente los textos usados corresponden a traducciones de traducciones, de tal suerte que las versiones que circulan en el medio acad´emico no corresponden a traducciones de los originales, dado que el idioma primigenio corresponde a una lengua muerta como el lat´ın o el griego antiguo. En este caso la comunidad de historiadores deposita la confianza en los fil´ ologos y la autoridad de los investigadores. Teniendo en cuenta la aclaraci´ on anterior, en el libro se combinan fuentes primarias y secundarias. En cada una de las lecturas se han utilizado fuentes primarias para abordar el an´alisis

0.7 Agradecimientos

xix

de las tem´aticas centrales. En general se describe la vida intelectual de cada autor y se toma como referencia sus resultados originales para hacer an´alisis epistemol´ogico. Para las biograf´ıas intelectuales de los autores se han tomado como referencia algunas fuentes secundarias, como libros de Historia de las Matem´aticas y algunas p´ aginas de internet. Al final de cada Lectura se espec´ıfican las referencias que fueron usadas. Para las producciones modernas se han usado los documentos en su versi´on original o traducciones al ingl´es. Para los documentos antiguos se han usado las versiones en ingl´es, las cuales generalmente gozan de un buen reconocimiento por los historiadores de las matem´ aticas. Todas las citas han sido traducidas al espa˜ nol para facilitar la lectura del libro o para que los lectores avanzados contrasten con sus propias traducciones.

0.7.

Agradecimientos

Este libro no habr´ıa sido posible sin la colaboraci´on y la intervenci´on de muchos colegas y amigos. En particular el autor tiene una deuda invaluable con los miembros del Grupo de Historia y Educaci´ on Matem´atica de la Universidad del Valle. A partir de la u ´ltima d´ecada del siglo XX, sus integrantes, Luis Carlos Arboleda, Gabriela Arbel´ aez, Maribel Anacona, Fernando G´alvez, Martha Bobadilla, Luz Victoria de la Pava, Guillermo Ortiz y Luis Recalde, han desplegado actividades docentes, divulgativas e investigativas en la l´ınea de Historia de las matem´aticas. Esta versi´on de Lecturas de Historia de las Matematicas es fruto de ello. Se recogen aqu´ı, muchos de los aspectos discutidos en el Seminario Permanente de Historia de las Matem´aticas y en los cursos impartidos a estudiantes de los planes de matem´aticas, de la Licenciatura en Matem´ aticas y la Maestr´ıa y el doctorado en Educaci´on Matem´atica, programados por el Departamento de Matem´aticas y el Instituto de Educaci´ on y Pedagog´ıa de la Universidad del Valle. Muchas correcciones a versiones anteriores fueron realizadas a partir de discusiones con algunos agudos estudiantes, entre los que quisiera destacar a Oscar Perdomo, Jos´e Perea, C´esar Ceballos y Diego Velasco. Es conveniente hacer un reconocimiento especial a los profesores Carlos Alvarez de la Universidad Aut´ onoma de M´exico, Jos´e Ferreiros de la Universidad de Sevilla, Marco Panza, de la Universidad Paris VI y Carlos Vasco de la Universidad del Valle. Durante los seminarios que ellos impartieron en el marco del Doctorado Interintitucional de Educaci´ on, desarrollaron muchas de las tem´aticas que sirvieron de base para algunos cap´ıtulos de este libro. El autor agradece la generosidad inconmensurable de cada uno de ellos. Es necesario resaltar la colaboraci´on de los estudiantes Harold Erazo, Sandra Moreno y John Ericson Casta˜ no, quienes revisaron, corrigieron y editaron el manuscrito original. No s´ olo realizar´ on comentarios de forma sino de contenido.

xx

Introducci´ on

Euclides me ense˜ no ´ que sin suposiciones no hay demostraciones. Por lo tanto, en cualquier argumento, examinen las suposiciones. Entonces, en la presunta demostraci´ on, est´en alerta de suposiciones inexpl´ıcitas. Los descuidos notorios de Euclides llevaron esta lecci´ on a casa. Mathematics Magazine, Vol. 23-24. (1949), p. 161 Eric Temple Bell

Lectura

1 Las matem´aticas en la antig¨uedad griega 1.1.

Las matem´ aticas griegas y sus ra´ıces l´ udicas

A pesar de la distancia temporal y conceptual que nos separa, sabemos que las matem´aticas modernas despliegan sus ra´ıces en la Grecia antigua. Esto no niega la existencia de unas pr´ acticas matem´aticas anteriores. De hecho, los antiguos templos babilonios, las pir´amides de Egipto, los palacios persas, y muchos monumentos m´as, insin´ uan el uso de unas t´ecnicas matem´aticas m´as o menos desarrolladas. Pese a ello existe algo que nos separa de ellas. ¿Qu´e es lo que marca la diferencia? Es mucho lo que se ha escrito y especulado al respecto; sin embargo, se pueden identificar algunos aspectos generales en este sentido. Las matem´aticas egipcias y babilonias son unas matem´ aticas pragm´aticas, muy ligadas a los problemas de construcci´ on, conteo y administraci´ on. Los griegos, en cambio, construyeron un universo de objetos matem´ aticos con una din´amica propia y sin las ataduras que las necesidades pr´acticas les impon´ıan cotidianamente. Se trata de un cuerpo te´orico cimentado en la necesidad de demostrar. La demostraci´ on matem´ atica constituye el legado fundamental de la matem´atica griega antigua. Aunque la manera de demostrar ha sufrido modificaciones en el devenir hist´ orico, el m´etodo general, de ir de la hip´otesis a la tesis a trav´es de concatenaciones l´ ogicas, conforma el paradigma vigente de la demostraci´on. Es conveniente aclarar que la necesidad de demostrar no proviene s´olo de la matem´ atica, sino tambi´en como consecuencia de la necesidad de dirimir conflictos

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

jur´ıdicos, epistemol´ ogicos y filos´oficos. Es un aspecto que conforma el epicentro del logos griego, m´ as tarde traducido como “raz´on” en la teor´ıa de magnitudes. Las matem´ aticas griegas tienen su inicio en el siglo VI a.C. con Tales y Pit´agoras. Estos dos pensadores son muy importantes en el desarrollo del pensamiento occidental. A Tales se le reconoce como el “padre de la geometr´ıa”, y se le atribuyen las primeras demostraciones de los siguientes teoremas: 1. El di´ ametro divide al c´ırculo en dos partes iguales. 2. Los ´ angulos de la base de un tri´angulo is´osceles son iguales. 3. Los ´ angulos opuestos por el v´ertice son iguales. 4. Los tri´ angulos que tengan dos lados respectivamente iguales y el ´angulo comprendido entre ellos tambi´en igual, son congruentes. De Pit´ agoras se afirma que fue el primero en caracterizar la matem´atica como una disciplina libre; es decir, aquella que se cultiva no por utilidad sino por placer. Matem´aticamente, el legado de Pit´agoras es invaluable. En la escuela pitag´orica se desarroll´ o la primera teor´ıa abstracta de n´ umeros y tambi´en surgi´o la primera gran crisis con la aparici´ on de las magnitudes inconmensurables. Es muy poco lo que conocemos de los desarrollos conceptuales de Pit´agoras y Tales. Sabemos de su existencia por antiguos historiadores como Proclo,1 y especialmente por Arist´ oteles y Plat´on. Pese al velo oscuro que los cubre, ellos ocupan un lugar privilegiado en la posteridad; se les reconoce como los iniciadores de lo que con Euclides se convertir´ a en una manera paradigm´atica de “hacer matem´aticas”, la cual se ha mantenido vigente por m´as de veinticinco siglos. Naturalmente que esta forma particular de “hacer matem´aticas” no fue producto de un esfuerzo individual, sino que surgi´o en un espacio temporal de m´as de cinco siglos, con el aporte de muchos pensadores, y que es lo que hist´oricamente reconocemos como “la antig¨ uedad griega”. En este sentido se pueden reconocer tres per´ıodos principales: 1. Los presocr´ aticos. Entre los que se destacan: Tales de Mileto (640-550 a.C.), Pit´ agoras de Samos (569-500 a.C.), Anax´agoras de Claz´omene (500-428 a.C.), Zen´ on de Elea (495-435 a.C.), Dem´ocrito de Abdera (460-370 a.C.). 2. La escuela de Atenas. Corresponde a la ´epoca de Plat´on (429-348 a.C.), Eudoxo (408-355 a.C.), Arist´ oteles (384-322 a.C.). 1

Proclo es considerado como uno de los comentadores m´ as autorizados de Euclides. Vivi´ o entre los a˜ nos 410 y 485 d. C. Lo interesante de Proclo, es que utiliz´ o para sus investigaciones fuentes originales griegas y tambi´en se bas´ o en otros historiadores y fil´ osofos. Su obra Comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides, constituye un legado invaluable para los historiadores de las matem´ aticas.

1.2 El Programa euclidiano

3

´ 3. La escuela de Alejandr´ıa. Epoca de mayor florecimiento matem´atico. Se destacan: Euclides (330-275 a.C.), Arqu´ımedes (287-212 a.C.), Apolonio, Diofanto (236-152 a.C.). Los presocr´ aticos conforman el grupo de pensadores griegos m´as antiguos. Habitaron en las islas j´ onicas, colonias griegas del Asia menor, y por ello suele denomin´arseles tambi´en como fil´ osofos j´onicos. La escuela de Atenas se desarroll´o en la parte continental de la Grecia antigua. La escuela de Alejandr´ıa ocup´o parte del continente africano, principalmente la ciudad fundada por Alejandro Magno, y algunas islas del mediterr´ aneo. Cada uno de estos pensadores aport´o en la construcci´on de lo que denominamos la matem´ atica griega antigua. Sin embargo, el estudio exhaustivo de todos ellos excede los objetivos de este libro. Se centrar´a la atenci´on en las figuras de mayor rango: Euclides, Arqu´ımedes y Diofanto.

1.2.

El Programa euclidiano

Los Elementos de Euclides conforman uno de los monumentos te´oricos m´as preciados de todos los tiempos. Es una fina construcci´on conceptual de visita obligatoria para quien quiera comprender los cimientos hist´oricos de las matem´aticas. Es mucha la tinta que han gastado los hermeneutas en la interpretaci´on de los textos euclidianos; a pesar de ello se tiene incertidumbre respecto a las fuentes, traducciones y filiaciones. Esto impone la necesidad de buscar los principios conceptuales en obras anteriores. Filos´ oficamente, Plat´on y Arist´oteles son referentes necesarios, mientras que Eudoxo y Teeteto lo son respecto a los desarrollos matem´aticos. Una de las cuestiones que m´ as intriga a los especialistas, se refiere a la intencionalidad de los Elementos. De un lado, se discute la poblaci´on para la cual fue escrito; concretamente si corresponde al ´ambito escolar o al investigativo. La denominaci´on de Elementos, en su acepci´ on m´as com´ un, se refiere a tratado, compendio o compilaci´on; pero tambi´en a las proposiciones (principios, axiomas o incluso teoremas) sobre los cuales reposa la organizaci´on deductiva de todos los resultados obtenidos. Estos tratados, que constituyen una tradici´on en Grecia, fueron elaborados con fines disciplinarios y pedag´ ogicos. De acuerdo con Proclo, antes de Euclides, otros autores como Hip´ ocrates de Qu´ıos, Teudio de Magnesia y Herm´otimo de Colof´on elaboraron tratados similares. Un examen de las caracter´ısticas epistemol´ogicas de los Elementos de Euclides, reclama algunos interrogantes con respecto al tipo de preocupaciones te´oricas que lo movilizaron y con respecto a los presupuestos conceptuales que le sirvieron de base. Lo primero tiene que ver con el programa intelectual de Euclides, mientras que lo segundo apunta a la manera como lo desarrolla. Proclo y otros comentaristas han insistido bastante en lo segundo, atendiendo al hecho de que los Elementos se han constituido en el derrotero de la actividad matem´atica. Desde entonces, la

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

determinaci´ on de los objetos matem´aticos, la exposici´on de las proposiciones que se refieren a sus propiedades, la forma de demostrarlas y la secuencia l´ogica de los axiomas, definiciones y teoremas, guardan estrechas relaciones con el patr´on de la obra de Euclides. Es necesario aclarar que Euclides no es el iniciador del m´etodo deductivo en matem´aticas. Al menos ya lo encontramos en la filosof´ıa de Plat´on y Arist´oteles. Precisamente, la Metaf´ısica y la F´ısica de Arist´oteles son de consulta obligatoria para entender la din´ amica de los Elementos. Podr´ıa decirse que algunos cap´ıtulos de estos libros conforman el pr´ologo de los Elementos. Si se quiere tener una comprensi´ on m´ as completa de los trece libros que conforman esta obra, se hace necesario estudiar textos filos´ oficos significativos del entorno intelectual en que fue escrita. M´as all´ a de los problemas filol´ ogicos, los Elementos responden a una necesidad te´ orica de la cual Euclides es el int´erprete. El m´etodo axiom´atico como tal, trasciende la obra euclidiana. As´ı como una composici´on del alem´an Richard Wagner, por s´ı sola, no explica el romanticismo en la m´ usica, no podemos entender los Elementos sin tener en cuenta el contexto sociocultural del que procede. De esta manera, algunas cuestiones de los Elementos no se explicitan porque hacen parte del acervo cultural de la ´epoca; representan los prerrequisitos que un lector deb´ıa poseer para abordar el estudio del texto especializado. ¿En d´ onde encontrar las bases conceptuales necesarias para interpretar los textos euclidianos? La empresa es compleja. Afortunadamente existe una larga tradici´on de estudios consagrados a revisar los conceptos y m´etodos usados por Euclides, compar´andolos con autores contempor´aneos o de la ´epoca. Los m´as representativos son Plat´on, Arist´oteles, Teeteto y Eudoxo. Algunos problemas, especialmente los correspondientes a la teor´ıa de los inconmensurables, fueron tomados de Plat´on y m´as concretamente de Teeteto; la teor´ıa de las proporciones se debe a Eudoxo. Pero las bases estructurales de los Elementos corresponden a la filosof´ıa aristot´elica. Por lo menos las definiciones, los postulados y axiomas est´an acordes con las concepciones de Arist´ oteles. Sabemos que es imposible constituir una teor´ıa matem´atica sin establecer las nociones de contar y medir, y sin tener una concepci´on sobre su estructura deductiva. Precisamente estas preocupaciones constituyen uno de los focos centrales de los pensadores m´ as famosos de la antig¨ uedad griega, especialmente de Plat´on y Arist´oteles. La filosof´ıa plat´ onica planta el germen de lo que en la filosof´ıa aristot´elica aparece acabado y sistematizado. Plat´ on traza los planos conceptuales de aquello que en Arist´ oteles se constituye en un edificio, el cual ser´a tomado como referencia durante muchos siglos.

1.3 La matem´ atica en la filosof´ıa aristot´elica

1.3.

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La matem´ atica en la filosof´ıa aristot´ elica

Arist´ oteles presenta tres g´eneros de ciencias especulativas o te´oricas: la f´ısica, la matem´ atica y la teolog´ıa. Las tres tienen por objeto el ser en sus diferentes acepciones. La teolog´ıa tiene por objeto el ser en cuanto ser. La f´ısica estudia los seres atendiendo a su movimiento, sin importar su esencia ni sus accidentes. La matem´ atica da 2 cuenta de los aspectos cuantitativos del ser sin atender a su movimiento. ... la ciencia f´ısica se ocupa tambi´en de un g´enero de lo que es (se ocupa, efectivamente, de aquel tipo de entidad cuyo principio del reposo y del movimiento est´ a en ella misma), es obvio que no es ciencia ni pr´actica ni productiva... la f´ısica ser´ a una ciencia te´orica, pero te´orica acerca de un determinado tipo de lo que es, de aquello que es capaz de movimiento.3 Una vez hemos ya definido de cu´antas maneras se emplea el t´ermino naturaleza, hemos de ver a continuaci´on en qu´e difiere el matem´atico del f´ısico, ya que los cuerpos naturales poseen superficies y vol´ umenes, l´ıneas y puntos, cosas todas ´estas que caen dentro del campo de estudio del matem´ atico.4 ... aunque el matem´ atico se ocupa tambi´en de estas cosas, no las considera en tanto l´ımites de un cuerpo f´ısico, ni tampoco estudia los atributos mencionados en tanto que atributos de tales cuerpos. Por eso tambi´en los separan, pues por el pensamiento se los puede separar del movimiento, lo cual no introduce ninguna diferencia ni conduce a error.5 Arist´ oteles establece en la Metaf´ısica una ontolog´ıa de las matem´aticas. Concretamente, en el libro XIII aborda el problema de la naturaleza de los seres matem´ aticos y del tipo de existencia que poseen. Para Arist´oteles, el hombre construye lo matem´ atico mediante la aphairesis: la operaci´ on mental de abstracci´on y generalizaci´on. ¿C´ omo se lleva a cabo este proceso? La aphairesis es un producto de la contemplaci´ on de las cosas. Es una operaci´on que entra˜ na el doble movimiento de omisi´on y fijaci´ on. Ayudado por la raz´on, el matem´atico desecha las propiedades sensoriales como sabor, color, dureza, textura, qued´andose con aquellos aspectos que tienen que ver con la cantidad y la forma. Los objetos matem´aticos, despojados de su materialidad, adquieren vida propia y entran a engrosar la gama de seres que pueblan la imaginaci´ on. 2

Para Arist´ oteles las matem´ aticas est´ an constituidas por varias ramas como la Geometr´ıa, la A´ ritm´etica, la Optica, la M´ usica y la Astronom´ıa. Sin embargo, aqu´ı nos centraremos en su concepci´ on de las matem´ aticas atendiendo s´ olo a la Geometr´ıa y la Aritm´etica, por ser las que hist´ oricamente mantuvieron ese estatus. 3 [Arist´ oteles 1999], p. 267. 4 [Arist´ oteles 1967], p. 587. 5 [Arist´ oteles 1999], p. 68.

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

¿C´ omo diferenciar los seres matem´aticos del resto de seres imaginarios como los c´ıclopes, los lestrigones y las medusas? Los seres matem´ aticos constituyen el tipo de seres accidentales e inm´ oviles. Accidentales porque son verdaderos par´asitos que se nutren de los objetos f´ısicos. Son seres atemporales, regidos por dos principios b´ asicos que en la actualidad conocemos como el principio del tercero excluido y el principio de no contradicci´ on.

1.4.

N´ umero y Magnitud en los Elementos

Como ya dijimos antes, gran parte del programa euclidiano se inscribe en el marco de la filosof´ıa aristot´elica. Es importante insistir en este aspecto para comprender en toda su profundidad la perspectiva te´orica de los Elementos. De esta forma, acorde con Arist´ oteles, en los Elementos encontramos bien diferenciadas dos l´ıneas te´ oricas: la correspondiente a las magnitudes y la que corresponde a los n´ umeros. Esa distancia te´ orica hace que Euclides repita algunas proposiciones, respecto a razones y proporciones, en el libro V y en el libro VII, el uno dedicado a las magnitudes y el otro a los n´ umeros. Este es un planteamiento acorde con la ontolog´ıa aristot´elica, en la cual hay un abismo conceptual entre n´ umero y magnitud, que lleva a establecer las dicotom´ıas: Aritm´etica − Geometr´ıa Discreto − Continuo Finito − Infinito

Contar − Medir

Vemos aqu´ı parcelas muy particulares del conocimiento que involucran m´etodos y procedimientos que dependen de la singularidad de cada disciplina. Las magnitudes corresponden a la geometr´ıa, los n´ umeros a la aritm´etica; las magnitudes son continuas mientras los n´ umeros son discretos. De lo u ´ltimo se desprende que las magnitudes puedan dividirse infinitamente mientras en los n´ umeros s´olo existe la disgregaci´ on en una cantidad finita de partes. Aqu´ı Euclides es congruente con los delineamientos de Arist´ oteles respecto a la existencia del infinito. Los n´ umeros se pueden dividir s´ olo de manera finita, no podemos hablar de un conjunto actualmente infinito de n´ umeros. Los n´ umeros son infinitos porque son inagotables; dado un n´ umero determinado siempre es posible generar otro a partir de la adici´on de la unidad. Igualmente no existe una magnitud infinitamente peque˜ na. Las magnitudes se pueden dividir indefinidamente, pero nunca se llega a un final. En resumen, Euclides no acepta la idea de que exista el infinito en acto, sino s´olo el infinito en potencia. Destierra el infinito actual y acoge el infinito potencial.

1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos

1.5.

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El sistema hipot´ etico-deductivo de los Elementos

Como se ha comentado al principio, la necesidad de demostrar constituye el legado fundamental del pensamiento matem´atico griego. En contra de las argumentaciones ret´ oricas de los sofistas, la demostraci´ on emerge como salida al problema de dirimir conflictos acad´emicos o querellas jur´ıdicas. De esta forma, desde la grecia antigua, matem´ aticas y demostraci´ on conforman una simbiosis indisoluble. Durante m´ as de veinticinco siglos, los Elementos de Euclides se constituyeron en el paradigma del proceso demostrativo. Aunque Euclides es un sistematizador de los resultados y m´etodos matem´ aticos de la ´epoca, su mayor logro fue haber acu˜ nado en un compendio esa manera particular de hacer matem´aticas que la posteridad reconoce como el m´etodo hipot´etico-deductivo. Al respecto, Lewis William Hull, en su Historia y filosof´ıa afirma: La principal contribuci´ on de Euclides es obra de su genio por la organizaci´ on y la disposici´ on l´ogica del material. Ensambl´o los teoremas conocidos, cubriendo los hiatos l´ogicos y suministrando nuevas demostraciones cuando le resultaban necesarias. Y lleg´o as´ı a construir un gran sistema deductivo.6 Sin embargo, vale la pena recordar que el modelo hipot´etico-deductivo ya hab´ıa sido discernido por Plat´ on y Arist´oteles. En el libro sexto de La Rep´ ublica, Plat´on identifica las matem´ aticas como un tipo especial de conocimiento, el cual es diferente al conocimiento emp´ırico y explicita el m´etodo demostrativo t´ıpico de ir de las hip´otesis (las cuales no son menester justificar) a la tesis. La teor´ıa de la demostraci´on aristot´elica aparece dilucidada en la Metaf´ısica y en su compendio de l´ogica, al cual pertenecen los textos: Categorias, De la Expresi´ on e Interpretaci´ on, Anal´ıtica primera, Anal´ıtica Posterior y los Argumentos sof´ısticos. Los principios l´ ogicos aristot´elicos que gobiernan las demostraciones de los Elementos no aparecen expl´ıcitamente. Se supone que los principios rectores del silogismo y de la deducci´ on aristot´elica, incluyendo la demostraci´on directa y tambi´en el m´etodo de reducci´ on al absurdo, eran conocidos por los estudiosos de los Elementos. De esta forma, la presentaci´ on hipot´etico-deductiva del programa euclidiano abarca dos niveles: 1. Un nivel impl´ıcito, correspondiente a los principios de la teor´ıa de la demostraci´ on aristot´elica, que abarca las leyes de la l´ogica cl´asica y tres principios b´asicos en cualquier teor´ıa cient´ıfica, como lo son: el principio de identidad, el principio de no contradicci´ on y el principio del tercero exclu´ıdo. 6

Ve´ ase la introducci´ on de [Euclides 1999], p. 8

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

2. Un nivel expl´ıcito que tiene que ver con los contenidos del texto como tal, y que abarca las definiciones, los postulados, las nociones comunes y las proposiciones. El m´etodo hipot´etico-deductivo responde a la concepci´on aristot´elica que plantea la imposibilidad de descender hasta el infinito de conocimiento en conocimiento. El acto legislativo que permite la concreci´on del m´etodo hipot´etico-deductivo es la axiom´ atica. ¿Qu´e es un axioma? La versi´ on m´as com´ un nos muestra los axiomas como aquellos enunciados verdaderos en s´ı mismos; enunciados privilegiados que no necesitan demostraci´ on por ser intuitivamente verdaderos. Etimol´ogicamente, el vocablo axioma proviene del griego α´ξ´ıωµα: proposici´on admitida. Para Arist´oteles, los axiomas son principios universales que constituyen la simiente de toda teor´ıa cient´ıfica. Arist´ oteles identifica tres axiomas b´asicos sobre todos los dem´as: el principio de identidad, el principio de no contradicci´on y el principio del tercero excluso. El primero permite reemplazar cosas iguales en contextos diferentes; el segundo proh´ıbe que los contrarios se den al mismo tiempo, mientras el tercero excluye t´erminos intermedios entre los contrarios. Coloquialmente: el tercero excluso nos dice que un enunciado s´olo puede ser falso o verdadero. El principio de no contradicci´on impide la presencia de proposiciones que sean falsas y verdaderas a la vez. En la Metaf´ısica, Arist´ oteles plantea que todas las ciencias se sirven de los axiomas, porque se aplican al ser en tanto que ser, y el objeto de toda ciencia es el ser. Pero insiste en que no corresponde al matem´atico la discusi´on sobre la naturaleza de los axiomas; el matem´ atico es un simple usuario de ellos: Ahora bien, todas estas (ciencias), al estar circunscritas a algo de lo que es, es decir, a un cierto g´enero, se ocupan de ´este, pero no de lo que es, en sentido absoluto, es decir, en tanto algo que es, y tampoco dan explicaci´ on alguna acerca de qu´e-es, sino tom´andola como punto de partida−unas, tras exponerlo a la percepci´on sensible; otras, asumiendo el qu´e-es como hip´ otesis− demuestran, con mayor necesidad o mayor laxitud, los atributos que pertenecen, por s´ı mismos, al g´enero de que se ocupan.7 El contenido de los Elementos Trece libros componen usualmente los Elementos, aunque algunos editores incorporan dos libros m´ as de discutida procedencia, y ap´ocrifos, para la mayor´ıa de estudiosos. Uno de los problemas que se presenta en el estudio de los textos antiguos tiene que ver con las diversas traducciones e interpretaciones. La historia de los Elementos 7

[Arist´ oteles 1999], p.208.

1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos

9

de Euclides es muy prolija en este sentido. Las versiones modernas son el producto de m´ ultiples revisiones, comentarios, lecturas, relecturas, adiciones y mutilaciones, al punto de no tener certeza sobre los aut´enticos contenidos. No contamos con una copia original del autor que la posteridad designa bajo el apelativo de Euclides, cuya existencia algunos cuestionan, optando por hablar del autor euclidiano. Las dudas se deben a los escasos datos que se tienen sobre su existencia. Proclo lo ubica en el per´ıodo comprendido entre el a˜ no 306 y 285 a. C., durante el reinado de Ptolomeo ´ I. En el Libro de los Indices, Kit¯ab al-Fihrst, afirma que Euclides era originario de Tiro e hijo de Neucrates y Berenice. G. Junge sostiene que Euclides naci´o hacia el a˜ no 372 a. C. y escribi´ o los Elementos entre los a˜ nos 330 y 320. T. Vogt afirma que Euclides vivi´ o entre los a˜ nos 365 y 325 a. C. Sin embargo, la mayor´ıa de eruditos aceptan que el autor de los Elementos primero vivi´o en Atenas y luego se traslad´o a Alejandr´ıa, donde muri´ o hac´ıa el a˜ no 275 a. C. Retomemos algunos aspectos del itinerario seguido por los Elementos, en un per´ıodo de m´ as de veinte siglos: 1. Se atribuye a Te´ on de Alejandr´ıa por el a˜ no 470 d. C. una primera redacci´on de la obra, completando algunas demostraciones dejadas inconclusas por Euclides. 2. El fil´ osofo neoplat´ onico Manlio Boecio (480-524) lo translad´o al lat´ın arcaico. 3. Haggaz Abeny´ usuf se atribuye una versi´on ´arabe realizada a principios del siglo I. 4. En 1130, bajo el nombre de Campano, Athelard de Bath realiz´o la primera traducci´ on del ´ arabe al lat´ın. 5. Se reconoce como la edici´ on pr´ıncipe de los Elementos a la realizada en Venecia por Erhard Ratholt en 1482. 6. La segunda edici´ on, en caracteres romanos, tambi´en es de venecia en 1491. ´ 7. La tercera edici´ on, contiene adem´as de los Elementos, las Opticas y los Datos. 8. La cuarta versi´ on es una de las m´as famosas, pues fue realizada hacia 1508 por el monje italiano Luca Pacioli, reconocido por su libro Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalit` a (1494). 9. La quinta edici´ on data de 1516 y se atribuye a Faber Stapulensis. 10. Del siglo XVI, son famosas las traducciones de Commandino (Pisa, 1572) y Clavio (Roma, 1574). 11. Al matem´ atico italiano Tartaglia se debe la primera edici´on de corte moderno en 1565.

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

12. A Peyrard, se debe una traducci´on triling¨ ue: griego, latino y franc´es, realizada en Paris, entre los a˜ nos 1814 y 1818. 13. La edici´ on m´ as difundida es la de Johan Ludvig Heiberg y Heinrich Menge: Euclides Opera omnia, compuesta por ocho vol´ umenes y realizada en Leipzig, entre los a˜ nos 1883 y 1916. 14. La edici´ on de Heiberg y Menge fue trasladada al ingl´es por Thomas L. Heath, en tres vol´ umenes, bajo el nombre de The thirteen books of the Elements. En espa˜ nol tenemos las siguientes traducciones: 1. En 1576, Rodrigo Zamorano, catedr´atico de Cosmograf´ıa de la Casa de Contrataci´ on de Sevilla tradujo los seis primeros libros. 2. Juan David Garcia Bacca de la Universidad Aut´onoma Nacional de M´exico, tradujo en 1944, los dos primeros libros. La traducci´on de los libros III, IV y ´ V fue realizada por Jos´e Alvarez Laso en 1956. 3. Una de las m´ as difundidas es la versi´on de Francisco Vera, la cual aparece en la monumental obra Cient´ıficos Griegos, editada por Aguilar en 1970. 4. Es famosa la traducci´ on de Mar´ıa Luisa Puertas, de la editorial Gredos (1991), la cual sigue el texto griego de Heiberg, y contiene en 180 p´aginas una excelente introducci´ on de Luis Vega. Una descripci´ on general del contenido de los Elementos es la siguiente: 1. Libro I. Teoremas relativos a congruencias, rectas paralelas. 23 definiciones; 5 postulados; 9 nociones comunes; 48 proposiciones. 2. Libro II. Operaciones y equivalencias entre figuras planas rectil´ıneas. Cuadratura del rect´ angulo. 2 definiciones; 14 proposiciones. 3. Libro III. C´ırculos, cuerdas, arcos. 11 definiciones; 37 proposiciones. 4. Libro IV. Construcciones con regla y comp´as. 7 definiciones; 16 proposiciones. 5. Libro V. Teor´ıa de proporciones; 18 definiciones; 25 proposiciones. 6. Libro VI. Estudio de figuras semejantes. 4 definiciones; 33 proposiciones. 7. Libro VII. Teor´ıa de n´ umeros; 22 definiciones; 39 proposiciones. 8. Libro VIII. Teor´ıa de n´ umeros; 27 proposiciones.

1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos

11

9. Libro IX. Teor´ıa de n´ umeros; 36 proposiciones. 10. Libro X. Magnitudes conmensurables e inconmensurables; 115 proposiciones. 11. Libro XI. Geometr´ıa del espacio; 28 definiciones, 39 proposiciones. 12. Libro XII. Geometr´ıa de s´ olidos y esferas; 18 proposiciones. 13. Libro XIII. Geometr´ıa de s´ olidos y esferas. Estudia los cinco s´olidos plat´onicos; 18 proposiciones. La mayor´ıa de los libros de los Elementos inician con las definiciones necesarias para el desarrollo de los conceptos. El car´acter de estas definiciones es algo que tambi´en ha llevado a pol´emicas muy interesantes, especialmente en lo concerniente a la gran cantidad de presupuestos manejados por Euclides. Sin embargo, es necesario revisar los planteamientos de Arist´oteles al respecto para entender de una manera m´ as clara la propuesta euclidiana. En los Anal´ıticos, los T´ opicos y la Metaf´ısica, principalmente, Arist´ oteles aborda el problema de la definici´on; al respecto plantea: La raz´ on por la que se formula la definici´on es la de hacer conocido el t´ermino afirmado, y hacemos conocidas las cosas no tomando t´erminos cualesquiera al azar, sino aquellos que son anteriores y m´as inteligibles, como se hace en las demostraciones ya que es as´ı como ocurre con todo lo que sea ense˜ nar y aprender; en consecuencia, es evidente que quien no formula su definici´ on en t´erminos de esta clase, no ha definido en 8 absoluto. Pero la definici´ on constituye un enunciado que es uno, no porque las partes est´en juntas como La Il´ıada, sino porque es definici´on de algo que es uno.9 Para Arist´ oteles, desde el punto de vista de su esencia, cada ser no puede tener m´ as de una definici´ on. La definici´on da cuenta de la naturaleza del objeto que se define. Hay seres cuya naturaleza puede describirse directamente, y hay otros cuya naturaleza se describe a trav´es de nociones intermediarias; esto permite identificar el objeto a trav´es de sus propiedades, pero teniendo el cuidado de garantizar la esencia; es el caso de los objetos de las ciencias como la matem´atica y la f´ısica. Por ejemplo, el enunciado, “ocho es par”, no constituye la definici´on de ocho; pues “ser par” s´ olo constituye una propiedad de ocho, no su esencia. Las definiciones que se dan atendiendo a la naturaleza ´ıntima de lo definido se denominan definiciones esencialistas. Las definiciones nominales: son aquellas en las cuales se trata de darle un nombre simple a un proceso o noci´on, obrando como econom´ıa de lenguaje. 8 9

[Arist´ oteles 1967], T´ opicos, p. 486. [Arist´ oteles 1999], p. 300.

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

Por ejemplo, cuando denominamos tri´angulo equil´atero al tri´angulo con tres lados iguales. ¿Son las definiciones de Euclides esenciales o nominales? En el libro I, Euclides escribe Oϱoι, que literalmente traduce “conf´ın” o “moj´on”, y que se puede adoptar como “delimitaci´ on”; acepci´ on que parece la m´as indicada desde el punto de vista filos´ofico, para designar una definici´on. En particular, respecto al “horror al infinito”. Una de las preocupaciones centrales en la construcci´on de un aparato te´orico (como el geom´etrico) tiene que ver con la negaci´on del regreso al infinito. En este sentido, las definiciones, oρoι, constituyen un veh´ıculo para dotar de un marco concreto a los objetos geom´etricos, esquivando los peligros del infinito actual. En resumen, las definiciones demarcan el territorio admitido y permiten delinear los objetos aceptados como geom´etricamente id´oneos. No es casual, entonces que Euclides inicie la constituci´ on de su geometr´ıa con la noci´on de punto, como aquello que no tiene partes; definici´ on incorporada por la v´ıa de la negaci´on10 y que involucra el t´ermino indefinido “partes”. Dos cosas habr´ıa que decirse al respecto: (i) Para indicar el punto, Euclides incorpora el vocablo σηµε˜ıo´ν, que traduce “se˜ nal”11 o “signo”12 y que da cuenta de su car´acter abstracto, en contraposici´on con el vocablo στ ιγµη ′ , que traduce estigma y que etimol´ogicamente equivale al “punto”utilizado para designar la se˜ nal que dejaba en la piel el hierro al rojo en los esclavos o que tambi´en designa a un agujero realizado por un estilete. (ii) La noci´on de partes tampoco pertenece al orden emp´ırico, sino a la perspectiva te´orica establecida por Arist´ oteles desde el ´ ambito de la cantidad. En la Metaf´ısica define parte como aquello en que se puede dividir una cantidad cualquiera. Porque siempre lo que se quita de una cantidad, en tanto cantidad, se llama parte de esa cantidad. En la Metaf´ısica, hace alusi´ on al car´ acter indivisible del punto, el cual no se debe confundir con la m´ onada o unidad fundamental del ser. Para ´el, lo que es indivisible con relaci´ on a la cantidad, en tanto que cantidad, lo que es absolutamente indivisible y no tiene posici´on se llama m´ onada. El punto tambi´en participa de esta propiedad pero ocupa una posici´ on. En esta misma direcci´on, lo divisible en un s´olo sentido es una l´ınea. Aquello que puede ser dividido en dos sentidos es una superficie. Lo que puede serlo por todos lados y en tres sentidos, bajo la relaci´on de la cantidad, es un cuerpo. Definici´ on. Las 23 definiciones presentadas por Euclides en el libro I son las si13 guientes: 1. Punto es lo que no tiene partes. 2. Una l´ınea es una longitud sin anchura. 10

A este tipo de definiciones ya hab´ıa hecho alusi´ on Arist´ oteles en sus T´ opicos, libro V, cap´ıtulo

6. 11

Como lo refiere Francisco Vera en Cient´ıficos griegos, p. 702. Como lo refiere Levi Beppo [Levi 2000], p. 94, 13 Se ha tomado de [Euclides 1999], pp. 189-196. 12

1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos

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3. Los extremos de una l´ınea son puntos. 4. Una recta es la que yace por igual respecto de los puntos que est´an en ella. 5. Una superficie es lo que s´ olo tiene longitud y anchura. 6. Los extremos de una superficie son l´ıneas. 7. Una superficie plana es la que yace por igual respecto de las l´ıneas que est´an en ella. 8. Un ´ angulo plano es la inclinaci´on mutua de dos l´ıneas que se encuentran una a otra en un plano y que no est´an en l´ınea recta. 9. Cuando las l´ıneas que comprenden el ´angulo son rectas, el ´angulo se llama rectil´ıneo. 10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ´angulos adyacentes iguales entre s´ı, cada uno de los ´ angulos iguales es recto, y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que est´a. ´ 11. Angulo obtuso es el (´ angulo) mayor que el recto. ´ 12. Angulo agudo es el (´ angulo) menor que el recto. 13. Un l´ımite es aquello que es extremo de algo. 14. Una figura es lo contenido por uno o varios l´ımites. 15. Un c´ırculo es una figura plana comprendida por una l´ınea [que se llama circunferencia] tal que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que est´ an dentro de figura son iguales entre s´ı. 16. Y el punto se llama centro del c´ırculo. 17. Un di´ ametro del c´ırculo es una recta cualquiera trazada a trav´es del centro y limitada en ambos sentidos por la circunferencia del c´ırculo, recta que tambi´en divide al c´ırculo en dos partes iguales. 18. Un semic´ırculo es la figura comprendida entre el di´ametro y la circunferencia por ´el cortada. Y el centro del semic´ırculo es el mismo que el del c´ırculo. 19. Figuras rectil´ıneas son las comprendidas por rectas, tril´ateras las comprendidas por tres, cuadril´ ateras las comprendidas por cuatro, multil´ateras las comprendidas por m´as de cuatro rectas. 20. De entre las figuras tril´ ateras, tri´angulo equil´atero es la que tiene los tres lados iguales, is´ osceles la que tiene s´olo dos lados iguales, y escaleno la que tiene los tres lados desiguales.

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

21. Adem´ as, de entre las figuras tril´ateras, tri´angulo rect´angulo es la que tiene un ´angulo recto; obtus´ angulo la que tiene un ´angulo obtuso, acut´angulo la que tiene los tres ´ angulos agudos. 22. De entre las figuras cuadril´ateras, cuadrado es la que es equil´atera y rect´angular; el rect´ angulo la que es rectangular pero no equil´atera, rombo la que es equil´ atera pero no rectangular, romboide la que tiene los ´angulos y los lados opuestos iguales entre s´ı, pero no es equil´atera ni rect´angular; ll´amanse trapecios las dem´ as figuras cuadril´ateras. 23. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos. De 1 y 3 se sigue que la noci´ on de “punto” involucra dos de los aspectos claves de las definiciones como lo son la finitud y la delimitaci´ on, o como dice Garcia Bacca, “el punto posee la funci´ on de delimitar por extremos”.14 La definici´ on 2, tiene el mismo estatus que la definici´on 1, en el sentido que se establece de manera negativa y adem´as involucra el t´ermino indefinido de anchura. Tambi´en tiene el car´ acter delimitador como se explicita en la definici´on 6. Las primeras trece definiciones le brindan a Euclides la mater´ıa prima para “constituir” las figuras, tales como c´ırculos, tri´angulos, ´angulos, etc. Las apreciaciones anteriores parecen mostrar el car´acter esencial, desde el punto de vista aristot´elico, de las definiciones euclidianas, excepto las definiciones 9, 11, 12, 16, 20, 21 y 22, las cuales son eminentemente nominales. Los postulados y nociones comunes Las definiciones constituyen el primer m´odulo te´orico para esquivar el regreso al infinito; el segundo est´ a constituido por los postulados y las nociones comunes. En las teor´ıas axiom´ aticas modernas, las cuales estudiaremos en la lectura 11, no utilizamos ni postulados ni nociones comunes. Simplemente se habla de axiomas, como aquellas proposiciones que se toman como punto de partida en una determinada teor´ıa deductiva. Sin embargo, en la matem´atica griega existe una gran distancia conceptual. Mientras que los postulados son principios que se establecen para un universo de objetos particulares15 y las nociones comunes son para las magnitudes, los axiomas corresponden a enunciados establecidos para cualquier disciplina cient´ıfica.16 Los postulados corresponden a cierto tipo de operaciones iniciales que se les permite 14

[Garcia 1992], p. LI. Por ejemplo los postulados de la geometr´ıa plana. 16 Las nociones comunes son principios que se cumplen para las operaciones y la relaci´ on de orden de las magnitudes en general. 15

1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos

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a los objetos geom´etricos previamente introducidos en las definiciones. Estas operaciones, establecidas como acciones a trav´es de verbos en infinitivo como trazar, prolongar y describir, parecen re˜ nir con el caracter est´atico de los seres matem´aticos. Sin embargo, en ello reposa la magia del m´etodo axiom´atico; se trata de dotar a los objetos geom´etricos de una cinem´ atica te´ orica que no es menester para los objetos f´ısicos, los cuales se mueven por s´ı mismos. En este sentido, cada propiedad cinem´atica de los objetos matem´aticos debe estar completamente caracterizado por el aparato axiom´ atico, ya sea como postulado o como proposici´on, deducida de los postulados y de otras proposiciones; es lo que se denomina el movimiento matem´ atico. En adelante, los verbos trasladar, aplicar y prolongar, entre otros, se entender´an en el ´ambito de la “cinem´ atica matem´atica”. Los cinco postulados de la geometr´ıa, planteados por Euclides en el libro I de los Elementos son los siguientes:17 1. Trazar una l´ınea recta desde todo punto hacia todo punto. 2. Prolongar una l´ınea recta continuamente en l´ınea recta. 3. Describir un c´ırculo con cualquier centro y distancia. 4. Todos los ´ angulos rectos son iguales unos a otros. 5. Si una l´ınea recta que cae sobre dos rectas hace los ´angulos adentro y contra la misma parte menores a dos rectos, las dos l´ıneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran sobre el lado en el cual los ´angulos son menores que dos ´ angulos rectos. En este texto se sigue la traducci´on de Mar´ıa Luisa Puertas,18 quien presenta los postulados de la siguiente manera: 1. Post´ ulese el trazar una l´ınea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. 2. Y el prolongar continuamente una recta finita en l´ınea recta. 3. Y el describir un c´ırculo con cualquier centro y distancia. 4. Y el ser todos los ´ angulos rectos iguales entre s´ı. 5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ´angulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrar´ an en el lado en que est´an los (´angulos) menores que dos rectos. 17 18

Seg´ un traducci´ on de [Euclid 1956], p 154-155. [Euclides 1999] p. 197-198.

16

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

A trav´es de los tres primeros postulados, Euclides nos ense˜ na como trazar rectas y circunferencias, constituyendo te´ oricamente la regla de trazar y el comp´as plega19 dizo. De manera impl´ıcita se supone la unicidad de los dos primeros postulados, teniendo en cuenta que utiliza este hecho en las proposiciones I.4 y XI.1. Tradicionalmente, estos postulados se enuncian de la siguiente manera: 1. Por dos puntos pasa una recta y s´olo una. 2. Una recta es infinita. El postulado cuatro le permite establecer la coincidencia por superposici´on de los angulos rectos.20 Concretamente, Euclides postula un tipo particular de movimiento ´ de ´angulos. Es necesario aclarar un poco este aspecto. Para ello tomemos la figura 1.1 y supongamos que !ABD = !CBD y !EF H = !GF H. D

A

H

C

E

B

G F

Figura 1.1. Igualdad de ´angulos rectos Por la definici´ on cuatro, cada de estos ´agulos es recto. El postulado cuatro garantiza que todos ellos son iguales, es decir que !ABD encaja en !EF H y en !GF H. Modernamente, el primer encaje corresponder´ıa a una translaci´on, mientras el segundo corresponder´ıa a una rotaci´on. Esto es algo que no debemos pasar por alto, en el sentido de que Euclides est´a caracterizando la manera como se pueden “trasladar” los objetos matem´aticos, que por su naturaleza carecen de movimiento f´ısico, pero que permanecen invariantes en cantidad por cambios de posici´ on. En este caso se refiere a la medida de ´angulos, pero igualmente lo establece para la medida de magnitudes lineales, de dos dimensiones y de tres dimensiones. 19

Decimos regla de trazar porque no constituye el modelo te´ orico de una regla f´ısica con la cual podemos trasladar longitudes estableciendo se˜ nales, verbigracia la regla escolar. El comp´ as es plegadizo porque s´ olo sirve para trazar circunferencias, no se puede usar para trasladar longitudes. El comp´ as te´ orico, modelo del aparato f´ısico, que sirve para trasladar segmentos se incorpora a partir de la segunda proposici´ on del libro I. 20 En el apartado siguiente se discutir´ a el problema de la superposici´ on a partir de uno de los conceptos m´ as controversiales como lo es el de congruencia.

1.5 El sistema hipot´etico-deductivo de los Elementos

17

El quinto postulado es el que ha ocasionado mayores controversias. Incluso muchos matem´ aticos cercanos al mismo Euclides intentaron demostrarlo, argumentando que era un teorema, y que se pod´ıa deducir de los otros cuatro. Sin embargo, se mantuvo, resistiendo el desaf´ıo de selectos pensadores, hasta que la aceptaci´on de otras geometr´ıas, diferentes a la euclidiana, mostr´o su independencia de los otros cuatro. Popularmente se presenta de la siguiente manera: 5. Por el punto exterior a una recta pasa una y s´olo una paralela a ella. Enunciado que John Playfair, en 1795,21 demostr´o equivalente al presentado por Euclides y que se conoce como el postulado de las paralelas.22 Desde una interpretaci´ on moderna, las nociones comunes corresponden a propiedades de las operaciones sobre los objetos no s´olo geom´etricos, sino tambi´en sobre conjuntos de objetos sobre los cuales se pueda definir la suma y una relaci´on de orden; en general este tipo de objetos reciben el nombre gen´erico de “cantidades”. Las nociones comunes aparecen en la filosof´ıa aristot´elica como axiomas, que seg´ un Garcia Bacca se pueden traducir como “dignidades”, en el sentido de que se trata de proposiciones tan fundamentales que dominan sobre varias o todas las ciencias y son dignas, por tanto, de denominarse regentes, pr´ıncipes, “dignidades en la ciudad de la ciencia”.23 No hay un consenso en cuanto al n´ umero de nociones comunes incorporados por por Euclides. Para los procesos demostrativos se tomar´a como base la versi´on de Francisco Vera, el cual presenta las siguientes nueve nociones comunes:24 1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre s´ı. 2. Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los totales son iguales. 3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. 4. Si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los totales son desiguales. 5. Las cosas dobles de una misma cosa son iguales entre s´ı. 6. Las cosas mitades de una misma cosa son iguales entre s´ı. 7. Las cosas congruentes entre s´ı, son iguales entre s´ı. 8. El todo es mayor que la parte. 9. Dos rectas no comprenden espacio. 21

[Grattan-Guinnes 1982], p. 57 Se vuelve sobre este aspecto en la Lectura 9. 23 [Garcia 1992], p. LXXXII. 24 [Euclides 1970], p. 705 22

18

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

Muchos eruditos ponen en evidencia las nociones comunes 4, 5, 6 y 9. Proclo, por ejemplo, dice que las nociones comunes 4, 5 y 6 pueden deducirse de las anteriores. Tambi´en impugna la noci´ on com´ un 9 por considerar que se refiere al ´ambito espec´ıfico de la geometr´ıa, y que adem´ as se encuentra impl´ıcita en el primer postulado.

1.6.

Elementos, un tratado sobre teor´ıa de la medida

Sabemos que las matem´ aticas antiguas est´an cimentadas sobre el concepto de cantidad. Es as´ı que para Arist´ oteles las matem´aticas conforman la ciencia de la cantidad; entendiendo por cantidad aquello que es divisible en elementos constitutivos. De esta manera, existen dos tipos de cantidades: los n´ umeros y las magnitudes. Los n´ umeros que son divisibles en partes no continuas y las magnitudes que pueden dividirse en partes continuas. La forma segura de conocer la cantidad es a trav´es de la medida. En t´erminos generales, los Elementos constituyen el primer compendio sistem´atico de una teor´ıa de la medida. Aunque Euclides no establece una definici´on de medida, sigue las mismas directrices de la filosof´ıa aristot´elica en sus dos aspectos fundamentales. En primer lugar, establece una separaci´on tajante entre los n´ umeros y las magnitudes; y en segundo lugar sigue los derroteros de homogeneidad establecidos por Arist´ oteles, seg´ un los cuales, segmentos se miden con segmentos, superficies con superficies, ´ angulos con ´ angulos, etc. Actualmente nosotros usamos, sin que parezca extra˜ no, la misma escala num´erica para la representaci´ on tanto para longitudes como para ´areas y vol´ umenes. Hablando en t´erminos poco rigurosos, decimos que a cada segmento, cada superficie, cada cuerpo o cada ´ angulo, le corresponde un n´ umero real positivo, que es su medida. Esta forma de medir, que se nos antoja simple para nosotros hoy d´ıa, se dio en un proceso largo y arduo que justamente adquiere una primera dimensi´on conceptual en la antig¨ uedad griega, sufre algunos cambios en el renacimiento, especialmente con Descartes, y llega a su punto culminante con los trabajos de Cantor y Dedekind, en el siglo XIX, cuando se establece el matrimonio indisoluble entre n´ umero y magnitud. Entre lo aritm´etico y lo geom´etrico. De esta manera, en la perspectiva euclidiana, por un lado va la teor´ıa de las magnitudes y por otro la teor´ıa de los n´ umeros. La primera la desarrolla en los libros V y VI; la segunda la estudia en los libros VII, VIII y IX. Tan s´olo en el libro X, Euclides intenta establecer puentes de contacto entre estas dos instancias, concretamente, entre las magnitudes conmensurables y los n´ umeros. Para desarrollar su teor´ıa de la medida, Euclides utiliza algunas categor´ıas b´asicas que nunca define: la congruencia, la semejanza, la igualdad, mayor y menor. Sin embargo, su tratamiento est´ a muy acorde con las concepciones aristot´elicas. Por lo menos en la Metaf´ısica, Arist´ oteles las caracteriza de manera precisa. La igualdad se refiere a la cantidad: cosas iguales son aquellas que tienen la misma cantidad. La congruencia est´ a ligada al principio de identidad, en el sentido que decimos el

1.6 Elementos, un tratado sobre teor´ıa de la medida

19

mismo ser. Como por ejemplo, las l´ıneas rectas iguales son id´enticas (congruentes), tambi´en los cuadril´ ateros de lados iguales y ´angulos iguales. La semejanza tiene que ver con la forma; seres, que sin ser absolutamente id´enticos guardan relaciones en sustancia, siendo id´enticos en forma; por ejemplo el cuadrado mayor con el menor. Este tratamiento trae algunas implicaciones que a veces tienden a confundir y que es preciso aclarar. Para algunos traductores la noci´on de congruencia est´a ligada con la idea de “encajar”, o “ajustar”. Dos cosas ser´ıan congruentes si la una encaja perfectamente sobre la otra. Sin embargo esta noci´on involucra, de alguna manera, procesos mec´ anicos muy alejados de los procedimientos matem´aticos. Este es un problema de primer orden, pues todas las formas de cuantificar, ya sea el plano o en el espacio, presuponen la invarianza, tanto de forma como de tama˜ no por desplazamientos. Pero nuevamente este es un argumento de tipo extramatem´atico, que involucra la cualidad f´ısica denominada rigidez. Como ya enunciamos, el prop´osito de Euclides es establecer una teor´ıa de la medida. En los dos primeros libros aborda el problema de la medida de figuras planas rectil´ıneas. Para ello empieza enunciando 23 definiciones b´asicas, las cuales se han presentado antes. Vemos que hay cierta vaguedad en algunas de las definiciones; pero como ya lo hab´ıamos comentado, habr´ıa que recurrir a un an´alisis exhaustivo del entorno para interpretar los enunciados. Sin embargo, en este caso vamos a pasar por alto este problema y nos vamos a centrar en la propuesta euclidiana en torno al problema de la medida. En t´erminos generales, en estos dos primeros libros Euclides establece la medida de figuras rectil´ıneas. Justamente en la u ´ltima proposici´on del segundo libro, muestra c´ omo encontrar un cuadrado equivalente a una figura rectil´ınea cualquiera; para lograrlo, se basa en dos cuestiones: 1. El teorema de Pit´ agoras: probado al final del primer cap´ıtulo, constituye un algoritmo mediante el cual de la suma de dos cuadrados se obtiene otro cuadrado. 2. La llamada ´ algebra geom´etrica: equivalencias que se pueden interpretar como factorizaciones s´ olo que realizadas con figuras planas. Antes de entrar en la descripci´on de las proposiciones, es necesario entender la manera como adopta Euclides la filosof´ıa aristot´elica en este sentido. El cuadrado es la referencia adoptada en los Elementos para el c´alculo de ´areas. En general, el problema se enuncia de la siguiente manera: Dada una figura rectil´ınea, encontrar un cuadrado equivalente. No olvidemos que Euclides no posee un sistema num´erico referencial, ni una teor´ıa de ecuaciones que le permita despejar y calcular el lado del cuadrado de una manera

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Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

algor´ıtmica. Por ejemplo, si se nos pidiera encontrar un cuadrado equivalente a un 2 rect´ angulo que tiene √ de base 4 y de altura 5, bastar´a resolver la ecuaci´on: x = 4 · 5, de lo cual x = 20, donde la operaci´on ra´ız cuadrada est´a definida. Obs´ervese, que calcular el ´ area ha consistido en asignarle un n´ umero a la porci´on de superficie rectangular dada. El n´ umero 20 correspondiente al ´area pedida, representa la medida de la regi´ on rectil´ınea, en una operaci´on en la cual la magnitud “´area” se identifica con un n´ umero. Proceso que es l´ıcito realizar en la actualidad, dado que a trav´es de m´ as de veinte siglos, hemos construido una teor´ıa de la medida que reposa en el hecho de poder identificar magnitudes con n´ umeros. A diferencia de la separaci´on tajante entre n´ umero y magnitud, establecida en Arist´oteles y suscrita por Euclides, en la actualidad no tenemos ning´ un escr´ upulo te´orico en identificar los n´ umeros con las magnitudes y viceversa. En t´erminos t´ecnicos, hemos establecido que la medida de superficies (o de cuerpos) se define a trav´es de una funci´on, la cual le asigna a cada porci´on acotada de superficie un n´ umero real determinado. Incluso la porci´on de superficie puede no ser rectil´ınea. En t´erminos simb´ olicos, se define una funci´ on: F : {Regiones planas acotadas } → R+ 0. N´ otese que en la actualidad, el c´alculo de ´areas pasa por el conocimiento de los algoritmos correspondientes de acuerdo a la figura. Por ejemplo, decimos que el ´area de un cuadrado es lado por lado; el ´area de un rect´angulo base por altura, etc. Es importante no dejar pasar por alto algunos aspectos de suma importancia para nuestro an´alisis. En primer lugar hay que tener en cuenta que hemos utilizado el hecho de identificar longitudes con n´ umeros, o dicho en otros t´erminos, identificar magnitudes lineales con n´ umeros. Aunque esto es algo que en la actualidad nos parece normal, sabemos que hist´oricamente pasa por la identificaci´on del continuo geom´etrico con el continuo aritm´etico; resultado logrado en el crep´ usculo del siglo XIX. De otro lado, la identificaci´on de n´ umeros y magnitudes, nos permite incorporar, de manera natural, la operaci´on b´asica del producto entre magnitudes, que con la maquinaria euclidiana carece de sentido, y que es lo que nos impide escandalizarnos cuando decimos “base por altura”, a sabiendas que la base y la altura representan los segmentos que limitan el rect´angulo. De manera t´acita estamos incorpor´andole al producto de segmentos una propiedad b´asica de la multiplicaci´on num´erica, como es la propiedad clausurativa. Es conveniente llamar la atenci´on en el hecho que la propiedad clasurativa es muy importante en el desarrollo conceptual del n´ umero. Es una propiedad amarrada a las estructuras num´ericas, y que constituye una caracter´ıstica en cuyo fondo reposa la ontolog´ıa misma del n´ umero. Por lo menos desde Euclides, sabemos que los n´ umeros cumplen esta propiedad b´ asica. Pero las magnitudes euclidianas no cumplen con este requisito, pues no existe el producto entre longitudes, ´areas o vol´ umenes. Este es uno de los aspectos que les impide alcanzar la categor´ıa de n´ umero. En este

1.6 Elementos, un tratado sobre teor´ıa de la medida

21

sentido, como lo detallaremos mas adelante, Descartes da un paso fundamental al definir el producto entre dos segmentos como otro segmento. De acuerdo a lo anterior, el universo num´erico euclidiano se reduce a lo que modernamente son los n´ umeros naturales excepto el cero y el uno. Tampoco se cuenta con los n´ umeros racionales y menos con los irracionales. Volviendo al tema de la medida de figuras planas y de la idea central consistente en la utilizaci´ on del cuadrado como elemento referencial, tenemos que analizar con detenimiento el proceso que se da en los Elementos. En este sentido, la noci´on de igualdad juega un papel fundamental. Recordemos que la igualdad entre magnitudes tiene, en la tradici´on griega antigua, un car´ acter cuantitativo. Dicho en t´erminos modernos, esto significa que dadas dos figuras planas rectil´ıneas, ellas son iguales cuando tienen igual “´area”, sin importar la forma. Por ejemplo un rect´angulo de base 3 y altura 4, es igual a otro rect´angulo de base 2 y altura 6. Pero tengamos en cuenta que ´este es un estilo moderno de ver las cosas. En Euclides la cuesti´on es mucho m´as delicada. En primer lugar, se debe tener en cuenta que la geometr´ıa euclidiana es una geometr´ıa r´ıgida, es decir, invariante en cantidad bajo cambios de posici´on. Aunque esto es algo aceptado por todos los analistas, se discuten los presupuestos te´oricos presentes en los Elementos, que permiten esta conclusi´on. Al menos no hay problema en aceptar la “igualdad entre segmentos” dada en la Proposici´on 2 del libro I (Proposici´on I.2), en la cual Euclides construye un segmento igual a otro segmento dado. Visto en t´erminos modernos, un segmento es un representante de una clase de equivalencia de segmentos de acuerdo a la longitud. En este aspecto, Euclides sigue los c´anones permitidos en matem´ aticas, acordes con la concepci´on aristot´elica, seg´ un la cual los objetos matem´ aticos carecen de movimiento. Para ello se basa en las construcciones con regla y comp´ as, en el sentido antes descrito. Veamos un ejemplo: Sea el segmento AB de la figura 1.2: A

B

Figura 1.2. Segmento AB Tomando el punto A como centro (figura 1.3) y el segmento AB como radio, por el postulado 3, se puede trazar la circunferencia BED: De esta forma, la construcci´ on axiom´atica ha permitido obtener los segmentos AD y AE, los cuales son iguales a AB (de acuerdo a la definici´on 15, por ser todos radios de la misma circunferencia), pero en distintas posiciones. Lo interesante es que el proceso nos permite ubicar segmentos iguales en diferentes posiciones. Esto se puede interpretar como si el segmento AB rotara alrededor del punto A ocupando las posiciones de AD y de AE. Pero de la misma construcci´on se tiene que el segmento AB encaja completamente en los segmentos AD y

22

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

AE. Resultado que permite establecer la siguiente conclusi´on: “Dos segmentos son congruentes, si y s´ olo si son iguales”. D

A

B

E

Figura 1.3. Rotaci´on de segmentos El mismo proceso permite no s´olo rotar segmentos, sino tambi´en trasladarlos. La construcci´ on de la figura 1.4 da cuenta de este aspecto.

D C

A

B

Figura 1.4. Traslado de segmentos Euclides va mucho m´ as all´ a de estos tipos de construcci´on y muestra la manera de trasladar un segmento que tenga por extremo un punto determinado. Para ello utiliza la proposici´ on I.1: Proposici´ on I.1. Construir un tri´angulo equil´atero sobre una recta finita dada. Demostraci´ on. Dado el segmento AB, se trazan dos circunferencias: una con centro en A y radio AB y la otra con centro B y radio, tambi´en, AB. Estas dos circun-

1.6 Elementos, un tratado sobre teor´ıa de la medida

23

G

D

A

B

E

Figura 1.5. Tri´angulo equil´atero ferencias se cortan en el punto G. Por propiedades de la circunferencia y la noci´on com´ un 1, se tiene que el tri´ angulo ABG es el tri´angulo equil´atero pedido (Ver figura 1.5). Proposici´ on I.2. Poner en un punto dado (como extremo) una recta25 igual a una recta dada. Demostraci´ on. Sean, el punto A y el segmento BG dados. Se trata de construir un segmento equivalente a BG que tenga por extremo a A.

G D B A H L Figura 1.6. Traslado de un segmento a un punto Se traza el segmento AB (postulado 1) y siguiendo la Proposici´on I.1 se construye el tri´angulo equil´ atero ADB. Con centro en B y radio BG se traza una circunferencia 25

Euclides le da el apelativo de recta a nuestros actuales segmentos.

24

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

(Postulado 3). Se prolonga DB hasta cortar la circunferencia anterior en el punto H (Postulado 2), formando el segmento DH. Se tiene que GB es igual a BH, pues son radios de una misma circunferencia. Con centro en D y radio DH se traza una circunferencia (Postulado 3). Se prolonga AD hasta cortar la circunferencia anterior en el punto L, formando el segmento DL. El segmento DL es igual al segmento DH, por ser radios de la misma circunferencia. Dado que ADB es un tri´angulo equil´atero, DA es igual a DB, de lo cual se sigue que AL es igual a BH, pues a cosas iguales (DL y DH ) se le han quitado cosas iguales (noci´on com´ un 3). Por lo tanto, AL es igual a BG, pues, de acuerdo a la noci´on com´ un 1, cosas iguales a una misma cosa son iguales entre si, pues AL es igual a BH y BG tambi´en es igual a BH. En la proposici´ on I.3, Euclides utiliza la proposici´on I.2 para restar dos segmentos. En el proceso demostrativo incorpora la suma de segmentos haciendo uso del traslado de los segmentos sumandos, uno a continuaci´on de otro, sobre el segmento suma. Vemos pues, que el principio general, que se˜ nala la igualdad entre congruentes, de la noci´on com´ un 7, se da de manera trivial para los segmentos. El problema complicado se presenta en el caso de figuras planas; particularmente, Euclides aborda el caso de las figuras planas rectil´ıneas. En este aspecto, la proposici´on I.4 constituye la piedra angular de la geometr´ıa euclidiana. Proposici´ on I.4. Si dos tri´ angulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen igual el ´ angulo comprendido por las rectas iguales, tendr´an tambi´en las respectivas bases iguales y los ´angulos restantes iguales, y un tri´angulo ser´a igual al otro, a saber: los subtendidos por los lados iguales, ser´an tambi´en iguales respectivamente. En el fondo, a trav´es de esta proposici´on, Euclides nos quiere demostrar una primera condici´ on de igualdad entre tri´angulos (caso lado-´ angulo-lado, LAL, en presentaci´on moderna), que intuitivamente parece obvia. Las cr´ıticas m´as fuertes apuntan al “uso ilegal” de procesos que involucran aspectos no definidos, tal como el “movimiento” de las figuras geom´etricas. Sin embargo, esta cr´ıtica hay que analizarla a profundidad, si no queremos alejarnos del horizonte metodol´ogico y conceptual del programa euclidiano. Miremos los aspectos de la demostraci´on: Sean los tri´ angulos ABG y DEZ (figura 1.7), tales que AB es igual a DE, AG igual a DZ y los a´ngulos BAG y EDZ iguales. La idea general de la demostraci´on consiste en mostrar que efectivamente el tri´angulo de la derecha es el mismo que el de la izquierda s´ olo que ocupando otra posici´on. Dicho en t´erminos intuitivos, trata de mostrar que los dos tri´ angulos coinciden completamente el uno con el otro. Para ello, Euclides emplea la palabra εϕαρµoςειν, que traduce “encajar”, “ajustar”, “adaptarse”, que los traductores cl´asicos interpretan por aplicar o trasladar una figura sobre la otra, de tal manera que Euclides estar´ıa desplazando el tri´angulo

1.6 Elementos, un tratado sobre teor´ıa de la medida

25

B

A

E

D

G

Z

Figura 1.7. Traslado tri´angulos ABG y lo har´ıa coincidir con el tri´angulo EDZ, ello significar´ıa que son congruentes, por la noci´ on com´ un 7, y por lo tanto se dar´ıa la igualdad. Al margen de estas apreciaciones y usando terminolog´ıa moderna, hay que entender que Euclides va a demostrar que los dos tri´angulos pertenecen a la misma clase de equivalencia, o lo que es lo mismo, va a demostrar que corresponden al mismo tri´ angulo en diferente posici´ on. Para ello hace uso de la proposici´on I.2, al aplicar el segmento AB sobre el segmento ED, y el segmento AG sobre el segmento DZ. Obs´ervese que se ha utilizado la palabra “aplicar”, pero no en el sentido de “llevar” o “mover” el segmento AB hacia DE y el segmento AG hacia DZ ; sino en un sentido constructivo de la Proposici´ on I.2. La hip´otesis de los ´angulos iguales se usa para hacer corresponder los espacios comprendidos entre los segmentos, de tal suerte que efectivamente, haya “coincidencia en forma”, es decir, que no se da por ejemplo, el caso de la Figura 1.8, en la cual los tri´angulos HJI y KLM no coinciden a pesar de que HJ = KL, JI = LM , pues el ´angulo HJI es diferente al ´angulo KLM . J

L

K M H

I Figura 1.8. Tri´angulos congruentes

En la u ´ltima parte, Euclides emplea el proceso can´onico de reducci´on al absurdo, para demostrar que la base BG coincide con EZ ; pues en caso contrario las dos rectas encerrar´ıan espacio, en contraposici´on a la noci´on com´ un 9. Es necesario insistir que esta demostraci´on euclidiana ha sido una de las m´as debatidas, especialmente por la interpretaci´on que se le dan a algunos t´erminos usados por Euclides, particularmente la idea de “coincidencia”, bajo la operaci´on

26

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

de traslado, ligado a lo emp´ırico y razonando sobre las figuras. Por lo menos, para todos es claro que a trav´es de este resultado, independientemente de lo riguroso de la demostraci´on, Euclides y los dem´as los ge´ometras griegos admiten que el espacio no ejerce acci´ on deformante sobre los cuerpos bajo los cambios de posici´on. La mayor´ıa de matem´ aticos de la antig¨ uedad griega utilizan este hecho sin siquiera enunciarlo expl´ıcitamente. Sin embargo, las lagunas de las diversas interpretaciones llevaron a que algunos matem´ aticos hicieran algunas observaciones a esta proposici´on. ⋆ En 1557, el franc´es Jacobo Pelletier lo consider´o una definici´on. ⋆ En 1638, el italiano Giovanni Borelli aclaraba que la superposici´on de los tri´ angulos se deber´ıa hacer de forma intelectual no material. ⋆ En 1887, el alem´ an Hermann von Helmholtz, lo llam´o postulado de libre movilidad. ⋆ En 1889, David Hilbert lo incluy´o entre sus axiomas b´asicos. ⋆ En 1910, el matem´ atico y fil´osofo brit´anico Bertrand Russell le hizo algunas modificaciones, pero bajo el estatuto de axioma.

1.7.

La medida de figuras planas y el teorema de Pit´ agoras

Tomando la proposici´ on I.4 este resultado como marco de referencia, Euclides utiliza la maquinaria axiom´ atica para demostrar casos de igualdad entre figuras rectil´ıneas. El proceso consiste en efectuar descomposiciones y recomposiciones que den lugar a figuras equivalentes. De esta forma, el problema inicial se puede enunciar de la siguiente manera: Problema general de la cuadratura. Dada una figura plana rectil´ınea, se trata de buscar un cuadrado equivalente. Esto es, efectuar una “descomposici´on” de la figura de tal suerte que las “piezas” resultantes se puedan recomponer formando un cuadrado. Este problema se resuelve completamente en la proposici´on 14 del libro II de los Elementos. Para ello Euclides utiliza el teorema de Pit´agoras, que conforma la proposici´ on 46 del libro I. En esta demostraci´on se utiliza una serie de operaciones geom´etricas, puramente detalladas, que se conocen como geometr´ıa de la regla y el comp´as. Proposici´ on I.8. Si dos tri´ angulos tienen dos lados del uno iguales a los lados del otro e iguales las bases, tendr´ an iguales los ´angulos comprendidos entre los lados iguales.

1.7 La medida de figuras planas y el teorema de Pit´ agoras

27

Proposici´ on I.9. Bisecar un ´ angulo. Proposici´ on I.10. Dividir un segmento en dos partes iguales. Proposici´ on I.12. Trazar una recta perpendicular por un punto exterior a una recta dada. ´ Proposici´ on I.15. Angulos opuestos por el v´ertice son iguales. Proposici´ on I.22. Construir un tri´angulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante. Proposici´ on I.23. Construir un ´angulo rectil´ıneo igual a un ´angulo rectil´ıneo dado, sobre una recta dada y en uno de sus puntos. Proposici´ on I.27. Los ´ angulos alternos internos son iguales. Proposici´ on I.29. Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace que los angulos alternos iguales, los ´ ´ angulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ´ angulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos. Proposici´ on I.30. Las paralelas a una misma recta son paralelas entre s´ı. Proposici´ on I.31. Por un punto dado trazar una linea recta paralela a una recta dada. Proposici´ on I.33. Las rectas que unen por los extremos que est´an en el mismo lado a rectas iguales y paralelas son tambi´en ellas mismas iguales y paralelas. Proposici´ on I.34. Los ´ angulos opuestos de un paralelogramo son iguales y cada diagonal divide el paralelogramo en dos tri´angulos iguales. En la Proposici´ on I.34, por primera vez Euclides introduce los paralelogramos; se supone que su definici´ on se encuentra impl´ıcita en la Proposici´on I.33, como figura limitada por segmentos paralelos. Veamos ahora la demostraci´on de la Proposici´on I.35. Proposici´ on I.35. Los paralelogramos que est´an sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales entre s´ı. Demostraci´ on. Tomemos los paralelogramos ADGB y EZGB que est´an sobre la misma base BG y entre las paralelas AZ y BG. Los tri´ angulos ABE y DGZ cumplen las hip´otesis de la proposici´on I.4, por lo tanto, son iguales. Si se resta a ellos el tri´angulo com´ un DHE, resultan iguales los dos trapecios ABHD y ZGHE [noci´on com´ un 3]. Si a cada uno de ellos se a˜ nade el tri´angulo BHG, por la noci´ on com´ un 2, se tiene que los paralelogramos ADGB y EZGB son iguales, como se quer´ıa demostrar.

28

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

A

D

E

Z

H

B G Figura 1.9. Paralelogramos iguales En las proposiciones siguientes, hasta la I.46, Euclides establece equivalencias y construcciones indispensables para la demostraci´on del teorema de Pit´agoras, enunciado en la proposici´ on I.47. Los resultados m´as importantes son los siguientes: Proposici´ on I.36. Los paralelogramos que est´an sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales entre s´ı. A

D

E

Z

B G H I Figura 1.10. Paralelogramos sobre bases iguales Es una variaci´ on de la anterior, la diferencia es que los dos paralelogramos no necesariamente comparten la base. Demostraci´ on. Sean los paralelogramos ADGB y EZIH, cuyas bases BG y HI son iguales. Se trazan los segmentos EB y ZG, form´andose el paralelogramo EZGB, por la proposici´ on anterior, el paralelogramo ADGB es igual al paralelogramo EZGB, el cual, a su vez, es igual al paralelogramo EZIH. Por la noci´on com´ un 1, se tendr´a la igualdad entre los paralelogramos ADGB y EZIH, los cuales tienen iguales bases. A continuaci´ on Euclides establece las dos equivalencias anteriores para tri´angulos. Proposici´ on I.37. Los tri´ angulos que est´an sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales entre s´ı. Proposici´ on I.38. Los tri´ angulos que est´an sobre bases iguales y entre paralelas son iguales entre s´ı.

1.7 La medida de figuras planas y el teorema de Pit´ agoras

29

En la proposici´ on I.41, se establece la relaci´on entre tri´angulos y paralelogramos: Proposici´ on I.41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un tri´angulo y est´an entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del tri´angulo. Es interesante reiterar que a partir de esta proposici´on, se relacionan dos figuras planas de caracter´ısticas gen´ericas diferentes. Antes s´olo se hab´ıan relacionado paralelogramos entre s´ı y tri´ angulos entre s´ı. Proposici´ on I.42. Construir en un ´angulo rectil´ıneo dado, un paralelogramo igual a un tri´angulo dado. A

D

E

θ

B

G

H

Figura 1.11. Paralelogramo con un lado dado Demostraci´ on. Supongamos conocidos, el ´angulo θ y el tri´angulo ABH, mostrados en la figura 1.11. Localizamos el punto medio G de BH [Proposici´on I.10]. Trasladamos el ´ angulo θ sobre la recta HG y el punto G, de tal forma que ∠DGH = θ [Proposici´ on I.23]. Se Traza AE paralela a BH y EH paralela a DG [Proposici´on I.31]. Por las proposiciones anteriores se tiene la igualdad. Esta proposici´on es muy importante, pues se constituye en el primer paso en la b´ usqueda de cuadraturas. Es la primera construcci´on de una figura plana rectil´ınea a partir de otra dada. En la proposicion I.43, Euclides establece algunas igualdades b´asicas que resultan de la division de un paralelogramo por la acci´on de la diagonal y de paralelas a los lados. Proposici´ on I.44. Aplicar a una recta dada en un ´angulo rectil´ıneo dado, un paralelogramo igual a un tri´ angulo dado. Demostraci´ on. Sean dados el tri´angulo MNQ, el ´angulo θ y el segmento AB que aparecen en la figura 1.12. Se realizan las siguientes construcciones, que aparacen en la figura 1.13, sobre el segmento dado AB. Se prolonga AB hasta F y se construye el paralelogramo DBF E, igual al tri´angulo M N Q de tal forma que !DBF = θ [Proposici´on I.42]. Trazando las paralelas

30

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

respectivas se construye el paralelogramo DBAC. Se prolonga la diagonal del paralelogramo DBAC hasta G, de tal forma que BG sea la diagonal del paralelogramo BF GH. El paralelogramo ABHI ser´a el requerido, pues uno de sus lados es AB y !ABH = !DBF = θ. Q

A

θ B

M

N

Figura 1.12. tri´angulo, lado y ´angulo dados E

F G

D

B C

H A I

Figura 1.13. Paralelogramo igual a un tri´angulo, dados el lado y un ´angulo

Se puede notar que en esta proposici´on, Euclides condiciona de manera radical la proposici´ on I.42. No s´ olo se puede construir un paralelogramo igual a un tri´angulo dado, sino que la construcci´ on se hace condicionada al conocimiento de uno de los lados del paralelogramo. Proposici´ on I.45. Construir en un ´angulo rectil´ıneo dado, un paralelogramo igual a una figura rectil´ınea dada. Es una generalizaci´ on indispensable de la proposici´on I.42. Aqu´ı Euclides da un paso trascendental en la medida de figuras planas rectil´ıneas. Es importante tener en cuenta la manera como Euclides va desarrollando su teor´ıa de medida de ´areas. Es un proceso muy bien establecido, en el cual las construcciones se van dando en una secuencia l´ ogica necesaria. Recordemos que el objetivo principal consiste en encontrar un cuadrado equivalente a una figura plana rectil´ınea. A estas alturas,

1.7 La medida de figuras planas y el teorema de Pit´ agoras

31

Euclides ha solucionado s´ olo un problema adyacente, utilizando el hecho de que toda figura plana rectil´ınea se puede triangular y a cada tri´angulo se le puede asignar un paralelogramo equivalente, como nos lo ense˜ na la proposici´on I.42. Sin embargo, nuestro objetivo no es obtener varios paralelogramos que sumados sean equivalentes a la figura dada. Lo que se pide es obtener un s´olo paralelogramo. Esto es posible gracias a la proposici´ on I.44, mediante la cual obtenemos paralelogramos equivalentes a tri´angulos, pero bajo condiciones especiales. Detallemos un poco el proceso. D A

K

T

M

θ G

B

Z

H

L

Figura 1.14. Paralelogramo igual a figura rectil´ınea

Demostraci´ on. Sea la figura ABGD dada. A trav´es del segmento BD se obtienen los dos tri´ angulos ABD y DBG. Tomando el tri´angulo ABD y el ´angulo θ, tambi´en dado, mediante la proposici´ on I.42 se construye el paralelogramo equivalente ZKT H. Usando la proposici´ on I.44, se construye el paralelogramo HT LM , equivalente al tri´ angulo DBG. En este caso se toma el lado HT como dado. La manera como han sido construidos los dos paralelogramos hace posible obtener el paralelogramo ZKM L, igual a la suma de los dos anteriores. En la proposici´ on I.46, Euclides nos ense˜ na a construir un cuadrado a partir de un segmento dado. A continuaci´on, Euclides demuestra, quiz´a, al teorema m´ as famoso en matematicas; sin lugar a dudas, uno de los logros m´as importantes del pensamiento humano; un monumento hist´ orico, construido con finas formas arquitect´onicas, que a´ un resisten el paso del tiempo. El Parten´on, el palacio minoico de Cnosos, el templo de Apolo, el altar de Zeus, e incluso los bellos capiteles de Corinto, en este momento s´olo son remedos de lo que fueron. En cambio el teorema de Pit´agoras a´ un guarda su lucidez de anta˜ no. Ning´ un otro teorema cuenta con tantas formas demostrativas. Aunque parece que algunas culturas antiguas lo conoc´ıan en casos particulares, es con los griegos cuando alcanza un car´acter general. Incluso algunos investigadores como el matem´ atico dan´es Hieronymus Georg Zeuthen (1839-1920), lo consideran el pilar fundamental de la geometr´ıa racional griega. Desde el punto de vista que nos compete, el teorema de Pit´agoras se constituye en el algoritmo fundamental

32

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

para la suma de cuadrados. A trav´es de ´el, Euclides expone la manera de sumar dos cuadrados y obtener otro cuadrado equivalente, mediante la disposici´on especial de los lados en ´ angulo recto y la construcci´on de un tri´angulo rect´angulo. Proposici´ on I.47. En los tri´ angulos rect´angulos, el cuadrado del lado que subtiende el ´angulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el angulo recto. ´ Las equivalencias y construcciones, estudiadas antes, cobran un sentido especial en este teorema. T H K A Z

B

D

O

L

G

E

Figura 1.15. Teorema de Pit´agoras Para la demostraci´ on se toma como referencia la figura 1.15. Demostraci´ on. Dado el tri´ angulo rect´angulo ABG y los cuadrados respectivos, se trazan la recta AL, paralela a BD, y las rectas ZG, AD, AE y BK. La idea b´ asica de la demostraci´ on consiste en evidenciar la igualdad del paralelogramo BDLO con el cuadrado ZBAH, y la igualdad del paralelogramo GELO y el cuadrado AT KG. Esto se hace dando un rodeo.

1.8 El ´algebra geom´etrica de Euclides

33

Primero se demuestra que el paralelogramo BDLO es el doble que el tri´angulo ABD, y que el cuadrado ZBAH es el doble que el tri´angulo ZBG. A continuaci´on se demuestra la igualdad de los tri´angulos ABD y ZBG. Usando la noci´on com´ un 1 se llega a la igualdad entre el cuadrado ZBAH y el paralelogramo BDLO. De igual manera se procede para la otra equivalencia.

1.8.

El ´ algebra geom´ etrica de Euclides

El punto culminante de las cuadraturas de figuras rectil´ıneas lo desarrolla Euclides en el libro II. El procedimiento que usa constituye lo que hist´oricamente se conoce como ´ algebra geom´etrica. Sabemos que los Elementos carecen de un sistema de representaci´ on simb´ olica para cantidades; sin embargo, una traducci´on, aunque obviamente acomodada, nos remite a identificar propiedades algebraicas en esta obra. Veamos esto directamente en algunas de las proposiciones. Proposici´ on II.1. Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un n´ umero cualquiera de segmentos, el rect´ angulo comprendido por las dos rectas es igual a la suma de los rect´ angulos comprendidos por la recta no cortada y por cada una de los segmentos. La demostraci´ on de esta proposici´on consiste en construir una figura que describa la situaci´ on planteada. De esta forma, la figura 1.16 constituya la demostraci´on de la proposici´ on. B

D

E

G

H

K

L

T

Figura 1.16. Divisi´on de rect´angulos Como se ve, esta proposici´ on establece la igualdad de figuras rectangulares:26 rect.BDKH + rect.DELK + rect.EGT L = rect.BGT H.27 La idea se fundamenta en el proceso de descomposici´on y recomposici´on de figuras planas. 26

Recordemos que la igualdad se refiere a la igualdad de la medida de rect´ angulos. la expresi´ on “rect.” corresponde a “rect´ angulo”. La expresi´ on “cuad.” corresponde a “cuadrado” o “cuadrado de lado”. 27

34

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

Obs´ervese que si se establecen las designaciones: BH = a, BD = b, DE = c, EG = d, se obtiene la igualdad, a(b + c + d) = ab + ac + ad, 28 que no es otra cosa que la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Aqu´ı hay que tener mucho cuidado pues, como dijimos antes, no se pueden establecer traducciones directas. En primer lugar, en Euclides no hay una correspondencia entre segmentos y longitudes, porque ello exige una identificaci´on num´erica de las cantidades, que permita interpretar los segmentos en t´erminos de sus medidas. Desde nuestra ´ optica no tenemos ning´ un problema en decir que BH mide a, BD mide b, etc., pues contamos con un sistema num´erico de referencia (los n´ umeros reales). Si nos atenemos al rigor euclidiano la expresi´on a(b + c + d) representa un rect´angulo con lados a y a + b + c, donde a, b, c, d son designaciones que se han dado a los segmentos. Por otro lado, Euclides no puede establecer el producto de segmentos y menos a´ un su cociente. En el libro II, las cantidades tienen connotaciones geom´etricas, eludiendo as´ı el problema de asignaci´on de valores num´ericos. Es necesario aclarar que este proceso no constituye una salida facilista de Euclides; todo lo contrario, es un proceso riguroso de medida de segmentos y superficies muy acorde con los c´anones axiom´ aticos por ´el definidos. Esto es muy importante, pues nos muestra que los Elementos son un constructo te´orico que da cuenta conceptualmente del problema de la medida. Desde nuestra pr´actica actual, es algo que generalmente pasa desapercibido, pues aplicamos sin problema el algoritmo de encontrar el ´ area de rect´angulos. Todo se reduce a multiplicar la base por la altura. La cuesti´on de fondo es establecer la definici´ on precisa del producto entre cantidades. Por ejemplo, valdr´ıa√la pena preguntarse sobre la representaci´on de un rect´angulo de base π y altura 2 , y luego por la manera de calcular este producto. Algunos autores como Morris Kline establecen correspondencias entre los objetos de la matem´atica euclidiana y los usados modernamente.29 As´ı, los n´ umeros pueden sustituirse por segmentos de recta, el producto de n´ umeros puede interpretarse como el ´area de un rect´ angulo cuyos lados tienen por longitudes los dos n´ umeros; de esa misma forma, el producto de tres n´ umeros corresponder´ıa a un volumen. La ra´ız cuadrada de un producto de dos cantidades corresponde al lado de un cuadrado cuya ´area es igual a la del rect´ angulo formado por los dos lados. Las construcciones se hacen usando los presupuestos euclidianos ya presentados antes, incluyendo las construcciones con regla y comp´as. Adem´as, estas son traducciones solo referenciales y de ninguna forma se corresponden a identificaciones 28

En realidad, la proposici´ on permite un n´ umero arbitrario de sumandos: a(b1 + b2 + ... + bn ) = ab1 + ab2 + ... + abn . 29 [Kline 1994], p. 98-99.

1.8 El ´algebra geom´etrica de Euclides

35

absolutas. Pertenecen mas al ´ ambito pedag´ogico que al plano de identidades conceptuales. Con estas aclaraciones se presentan a continuaci´on, algunas proposiciones y sus respectivas traducciones algebraicas modernas, dejando algunos como ejercicios (ver ejercicio 13). Proposici´ on II.2. Si se corta al azar una linea recta, el rect´angulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos es igual al cuadrado de la recta entera. La demostraci´on consiste en exhibir la figura 1.17: a

b

b

b

a

a

a Figura 1.17

b

En notaci´ on algebraica moderna, la proposici´on II.2 plantea la siguiente igualdad: (a + b)a + (a + b)b = (a + b)2

Proposici´ on II.3. Si se corta al azar una linea recta, el rect´angulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rect´angulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho. Proposici´ on II.4. Si se corta al azar una linea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rect´angulo comprendido por los segmentos. Proposici´ on II.5. Si se corta una linea recta en segmentos iguales y desiguales, el rect´angulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que est´ a entre los puntos de secci´on, es igual al cuadrado de la mitad. Proposici´ on II.6. Si se divide en dos partes iguales una linea recta y se le a˜ nade, en linea recta, otra recta, el rect´ angulo comprendido por la recta entera con la recta a˜ nadida y la recta a˜ nadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta a˜ nadida.

36

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

Dos proposiciones merecen nuestra atenci´on por su importancia hist´orica. La Proposici´ on II.11 guarda relaci´ on con el c´alculo del n´ umero ´aureo y la Proposici´on II.14, mediante la cual se generaliza el problema de las cuadraturas. Veamos en detalle estas proposiciones. Proposici´ on II.11. Dividir una recta dada de manera que el rect´angulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante. En concreto la proposici´ on consiste en lo siguiente: dado el segmento AB, se trata de encontrar el punto T , tal que, medida del rect´ angulo de lados AB y T B = medida del cuadrado de lado AT . Demostraci´ on. Se construye el cuadrado ABDG de lado AB (Proposici´on I.46), y se localiza el punto medio E sobre AG. Se prolonga GA hasta Z, tal que EZ sea igual a EB. A continuaci´ on se construye el cuadrado AZHT de lado AZ, como se ve en la figura 1.18. Z

F

I

H

A

T

B

E

G

C

D

Figura 1.18. Igualdad de rect´angulos La recta GA cumple las hip´otesis de la proposici´on II.6, pues E la divide en dos partes iguales y AZ es la recta a˜ nadida, entonces, rect.GZHC + cuad.IF AE = cuadrado de lado EZ.30 30

Cuando se escribe rect´ angulo GZHC se hace referencia a la medida del rect´ angulo GZHC.

1.8 El ´algebra geom´etrica de Euclides

37

Como EZ = EB, entonces rect.GZHC + cuad.IF AE = cuad.EB

(1)

Dado que el tri´ angulo AEB es rect´angulo se tiene que, cuad.EB = cuad.IF AE + cuad.AB

(2)

Combinando (1) y (2) se tiene que, rect.GZHC + cuad.IF AE = cuad.IF AE + cuad.AB Aplicando noci´ on com´ un 3 se obtiene, rect.GZHC = cuad.AB

(3)

De la construcci´ on se tiene que: cuad.AB = rect.GAT C + rect.CT BD

(4)

De (3) y (4) se obtiene, rect.GZHC = rect.GAT C + rect.CT BD. Finalmente, como rect.GZHC = cuad.AZHT + rect.GAT C, entonces, cuad.AZHT = rect.CT BD = ´area de rect´angulo de lados AB y T B, tal como se quer´ıa demostrar. En la Lectura 2 se establece un resultado equivalente a trav´es de la definici´on VI.3 en t´erminos de razones y proporciones, al establecer la divisi´on de un segmento en raz´on media y extrema. Es justamente la relaci´on entre la diagonal y el lado de un pent´ agono regular, tal como se conoc´ıa desde los antiguos pitag´oricos, y que constitu´ıa la base conceptual para la construcci´on de la estrella pentagonal, emblema de esta escuela. 31

Proposici´ on II.14. Construir un cuadrado igual a una regi´on rectil´ınea dada. La construcci´ on se soporta sobre toda la maquinaria te´orica del libro I, especialmente en la proposici´ on I.45. Veamos esto:

38

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

B

E

G

D

A

Figura 1.19. Rect´angulo igual a figura Demostraci´ on. Dada la regi´ on rectil´ınea A (figura 1.19), utilizando la Proposici´on I.45, se construye el rect´ angulo BEDG equivalente a esta regi´on. Si BE = ED, el rect´ angulo corresponder´ıa al cuadrado buscado; en caso contrario, significa que uno de los lados es el mayor. Suponiendo que sea BE el lado mayor, se realiza la construcci´ on de la figura 1.20. T

H

B

G

E

Z

D

Figura 1.20. Cuadratura del rect´angulo Tomando como base el rect´ angulo BEDG, se prolonga BE hasta Z, de tal forma que ED = EZ. Se localiza H, punto medio de BZ. H divide en dos partes iguales a la recta BZ y E la divide en dos partes desiguales. Ello significa que cumple las 31

Si lo traducimos en una terminolog´ıa y m´etodos modernos, se puede seguir el siguiente proceso: Designando por x la distancia buscada AT , y llamamos a a la longitud del segmento AB, la proposici´ on plantea la resoluci´ on de la ecuaci´ on de segundo grado (a − x)a = x2 . Euclides entonces, estar´ıa resolviendo una ecuaci´ on cuadr´ atica.

1.9 Seguimiento Lectura 1

39

hip´ otesis de la Proposici´ on II.5, por lo tanto se tendr´a: rect.GBED + cuad.HE = cuad.BH.

(1)

El tri´ angulo HTE es rect´ angulo, por lo tanto, aplicando la Proposici´on I.47, se tiene: cuad.HT = cuad.HE + cuad.TE. Como HT = BH, (son radios de la misma circunferencia), entonces cuad.BH = cuad.HE + cuad.TE.

(2)

Combinando (1) y (2) se obtiene: rect.GBED + cuad.HE = cuad.HE + cuad.TE, de lo cual se sigue que: rect.GBED = cuad.TE. Por lo tanto, ET ser´ a el lado del cuadrado buscado. Con esta proposici´ on se logra la soluci´on general de la cuadratura de cualquier regi´ on rectil´ınea. Desde una visi´ on moderna, si se toma ED como unidad, entonces el ´area del rect´ angulo BEDG ser´ıa num´ericamente igual a BE, y por lo tanto TE representar´ıa su ra´ız cuadrada. Tenemos, entonces que desde esta interpretaci´on, el m´etodo euclidiano de regla y comp´as permite el c´alculo de ra´ıces cuadradas. Precisamente esto constituye la base conceptual utilizada por Descartes en su Geometr´ıa para definir ra´ız cuadrada de magnitudes lineales. En conclusi´ on, con la proposici´on 14 del libro II, se cierra un ciclo fundamental en la instauraci´ on de una experiencia de la medida, en la cual Euclides nos ense˜ na a cuadrar cualquier figura poligonal. Estamos en la alborada de una teor´ıa matem´atica de la medida que tendr´ a su s´ıntesis en las teor´ıas modernas de integraci´on por parte de Bernhard Riemann y Henri Lebesgue.

1.9.

Seguimiento Lectura 1

1. Reconstruya la proposici´ on I.1 de los Elementos y explique los problemas de rigor que encuentre en la demostraci´on. 2. Establezca diferencias entre los conceptos de congruencia, igualdad y semejanza en la geometr´ıa euclidiana. Indique la importancia de estos conceptos en el programa euclidiano de la medida de ´areas. 3. Analice la demostraci´ on de la proposici´on I.4. Compare sus apreciaciones con las anotaciones hechas en este cap´ıtulo.

40

Las matem´ aticas en la antig¨ uedad griega

4. Seg´ un su lectura, ¿cu´ al es la importancia de la filosof´ıa en el desarrollo de las matem´ aticas? 5. Establezca las diferencias fundamentales entre n´ umero y magnitud en la tradici´ on euclidiana. 6. Desde una interpretaci´ on moderna, las construcciones euclidianas permiten calcular la ra´ız cuadrada de una longitud determinada, ¿se puede generalizar a ra´ıces en´esimas? 7. Utilizando cuerpo te´ orico establecido por Euclides, demuestre las proposiciones 9, 10, 12, 22, 23, 31 y 46, presentadas en la Lectura 1. 8. Utilizando las construcciones euclidianas, resuelva las ecuaciones: a) ab = x2 b) ax = b2 c) x2 + 3x − 9 = 0 9. Reconstruya y complete la demostraci´on del teorema de Pit´agoras que aparece en las notas, ¿conoce usted otra demostraci´on? 10. Lea y analice detenidamente el siguiente p´arrafo: El m´etodo de razonamiento de Euclides es siempre sint´etico. Para la demostraci´ on de cualquier teorema el parte de la afirmaci´on v´alida a ciencia cierta, la cual se apoya en u ´ltima instancia en el sistema de condiciones iniciales. A partir de esta u ´ltima el desarrolla sucesivamente consecuencias que conducen a la afirmaci´on buscada. El camino inverso de razonamiento es: tomando el teorema buscado como demostrado, el deducir de ´el una sucesi´on de consecuencias, hasta que sea obtenida a ciencia cierta una afirmaci´on verdadera, en los Elementos en calidad de demostraci´on no se utiliza. En contraposici´ on a la s´ıntesis los antiguos denominaron a este m´etodo an´alisis. ([R´ıbnikov 1987], p.69.) i. Exprese con sus propias palabras en qu´e consisten los m´etodos de razonamiento sint´etico y anal´ıtico. ii. Vuelva sobre la demostraci´on de la proposici´on I.4 y cerci´orese que efectivamente Euclides razona de manera sint´etica. iii. De un ejemplo de una demostraci´on anal´ıtica. 11. ¿C´omo se define el producto de n´ umeros naturales? ¿el de racionales? ¿el de √ reales en general? ¿cu´ al es el resultado de multiplicar por 5 × 2?

1.9 Seguimiento Lectura 1

41

12. Pruebe los teoremas atribuidos a Tales, justificando cada paso. 13. Demuestre e interprete en terminolog´ıa algebraica moderna las proposiciones II.3, II.4, II.5 y II.6. descritas en esta lectura.

Bibliograf´ıa Lectura 1 [Arist´ oteles 1999] Arist´ oteles: Metaf´ısica. Editorial Planeta-DeAgostini, S. A. (De la Biblioteca cl´ asica Gredos, Barcelona, 1999. [Arist´ oteles 1967] Arist´ oteles: Obras Completas. Aguilar S. A. Ediciones, segunda edici´ on, Madrid, 1967. [Levi 2000] Beppo, Levi: Leyendo a Euclides. Libros del Zorzal, Buenos Aires, 2000 (Primera Edici´ on 1947). [Boyer 1982] Boyer, Carl: Historia de la Matem´atica. Alianza Editorial, Madrid, 1987. [Edwards 1982] Edwards, C. H: The historical Development of the Calculus. Springer-Verlag, New York, 1982. [Euclides 1999] Euclides: Elementos. Editorial Planeta-DeAgostini, S. A. (De la Biblioteca cl´ asica Gredos), Madrid, 1999. [Euclides 1999] Euclides: Elementos de geometr´ıa. En: Cient´ıficos griegos. Recopilaci´ on de Francisco Vera. Aguilar, Madrid, 1970, pp. 689-980. [Euclid 1956] Euclid: The thirteen books of the Elements. Dover Publications, Inc., segunda edici´ on, New York, 1956. (Transladada con Introducci´on y comentarios por Sir Thomas Heath) (Reimpresi´on de la edici´on de 1908) (Primera Edici´ on 1908). [Garcia 1992] Garcia Bacca, Juan David: Euclides. Elementos de Geometr´ıa. Universidad Aut´ onoma Nacional de M´exico, M´exico, 1992 (Primera Edici´on 1944). [Gray 1992] Gray, Jeremy: Ideas del espacio. Ediciones Mondadori, Madrid, 1992. [Kline 1994] Kline, Morris: El Pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Editorial, Madrid, 1994. [Plat´on 1967] Plat´ on: Obras Completas. Aguilar S. A. Ediciones, Madrid, 1967. [R´ıbnikov 1991] R´ıbnikov, Konstantin: Historia de las Matem´aticas. Editorial MIR, Mosc´ u, 1991.

La historia de las matem´ aticas alejandrinas empieza con los Elementos ´ de Euclides y cierra con el Algebra de Diofanto, de los cuales ambos est´ an fundados en descubrimientos de varios siglos anteriores. James Gow, A Short History of Greek Mathematics (1884)

Lectura

2 N´umero y magnitud en los Elementos 2.1.

La relaci´ on n´ umero-magnitud en la escuela Pitag´ orica

Tal como lo certifica Arist´ oteles en el cap´ıtulo 5, libro I, de la Metaf´ısica, los primeros atisbos de una teor´ıa sistem´ atica de n´ umeros se debe a los pitag´oricos. No hay claridad sobre las directrices que motivaron las investigaciones matem´aticas de esta escuela. Sabemos que planteaban la uni´on indisoluble entre los n´ umeros y las cosas, pero, a diferencia de los egipcios y babilonios antiguos, establecieron los elementos primigenios de unas matem´ aticas abstractas. Seg´ un Proclo, Pit´agoras reivindicaba el cultivo de los n´ umeros y las figuras geom´etricas como idealidades del pensamiento puro. No podemos establecer con exactitud la l´ınea filos´ ofica de los pitag´oricos, pues no contamos con fuentes primarias. Conocemos algunos planteamientos de esta escuela a trav´es de bi´ ografos y comentadores, cuyos datos, en ocasiones, son contradictorios. Por ejemplo, mientras que Eudomo sostiene que Pit´agoras fue el iniciador de la matem´atica pura, Arist´ oteles afirma que para los pitag´oricos los n´ umeros correspond´ıan al principio (arch´e) de las cosas. En tiempo de estos fil´ osofos y antes que ellos, los llamados pitag´oricos fueron los primeros que, dedicados a las matem´aticas, impulsaron esta ciencia. Absorbidos por los estudios de la matem´atica, llegaron a creer

44

N´ umero y magnitud en los Elementos

que los principios de los n´ umeros eran los principios de todos los seres.1 En la l´ınea de desarrollo que aqu´ı nos interesa, podemos decir que el establecimiento de una inmanencia num´erica en las cosas, establece una posici´on ontol´ogica que lleva a una correspondencia natural entre lo geom´etrico y lo aritm´etico, es decir, entre n´ umeros y magnitudes.

2.2.

La teor´ıa de n´ umeros pitag´ orica

Los pitag´ oricos desarrollaron una teor´ıa de n´ umeros basados en arreglos geom´etricos puntuales. As´ı, 1, 3, 6, 10, se conoc´ıan como triangulares, puesto que se pueden representar bajo esta conformaci´on como puede observarse en la figura 2.1.

1

3

6

10

Figura 2.1. N´ umeros triangulares Los numeros 1, 4, 9, 16, se llaman cuadrados, puesto que sus arreglos de puntos se pueden representar como cuadrados, tal como se presenta en la figura 2.2.

1

4

9

16

Figura 2.2. N´ umeros cuadrados Un n´ umero como el 12 se ubica en la clase de los n´ umeros oblongos, es decir, aquellos n´ umeros que se pueden representar en una configuraci´on rectangular con un 1

[Arist´ oteles 1999]; p. 917.

2.2 La teor´ıa de n´ umeros pitag´ orica

45

n´ umero de columnas mayor en una unidad que el n´ umero de filas, como se observa en la figura 2.3.

12 Figura 2.3. N´ umeros oblongos Uno de los aportes m´ as invaluables de los pitag´oricos tiene relaci´on con el m´etodo de demostraci´on por reducci´ on al absurdo, el cual se basa en la prohibici´on de la existencia simult´ anea de los opuestos. A trav´es del m´etodo de reducci´on al absurdo se va dando cabida a los procesos infinitos, lo cual lleva a la demostraci´on de la existencia de magnitudes inconmensurables, como lo veremos m´ as adelante. Arist´oteles, en la Metaf´ısica, establece la tabla de opuestos de la tradici´ on pitag´ orica, la cual se ha detallado en la Primera Lectura. Entre los opuestos la matem´ atica se interesa por la diada par-impar, que para los pitag´oricos correspond´ıa a las dos formas propias del n´ umero. La duplicaci´on y la divisi´on por dos eran las operaciones que defin´ıan la caracter´ıstica de los n´ umeros. Un n´ umero que se pueda dividir en dos mitades es un n´ umero par, en otro caso es un n´ umero impar. En el proceso de divisi´on sucesiva de un n´ umero par pueden ocurrir dos casos: se obtiene el 1 o se llega a un impar, en cuyo caso la operaci´on de divisi´on ya no se puede efectuar. A trav´es de las manipulaciones de los arreglos de puntos se pueden demostrar algunos resultados de la teor´ıa de n´ umeros. As´ı, para probar que n2 = 1 + 3 + 5 + · · · (2n − 1), basta establecer el arreglo de puntos de la figura 2.4:

Figura 2.4. Los cuadrados como suma de impares Con base en el mismo arreglo se puede notar que todo impar es la diferencia de

46

N´ umero y magnitud en los Elementos

dos cuadrados sucesivos. 4 − 1 = 3,

9 − 4 = 9 − (1 + 3) = 5,

16 − 9 = 16 − (1 + 3 + 5) = 7,

25 − 16 = 25 − (1 + 3 + 5 + 7) = 9, .. . n2 − (n − 1)2 = 2n − 1. Para la demostraci´ on “rigurosa” de este resultado, los pitag´oricos establec´ıan el esquema de la figura 2.5.

Figura 2.5. Demostraci´on de la relaci´on par e impar La figura en forma de escuadra, denominada gnomon, es la que determina la f´ ormula seg´ un la cual un n´ umero impar es la diferencia de dos pares. Dejamos al lector demostrar que cada gnomon es impar y todos los impares, excepto el uno, son gnomon. De esta manera, a trav´es de manipulaciones por medio del gnomon, los pitag´oricos obten´ıan las dos especies fundamentales de n´ umeros en la oposici´on par-impar. Una mirada fina a esta diada, tal como lo visualiza Arist´oteles en la Metaf´ısica, identifica lo par con el infinito y lo impar con lo finito. Seg´ un Rodolfo Mondolfo,2 la identidad entre el n´ umero y las cosas, que lleva a considerar las cosas como un “armaz´ on” de puntos, invita a tomar el intervalo que separa un punto con otro como vac´ıo. De esta manera si se disponen los n´ umeros en correlaci´on con el gnomon, vemos que los impares aparecen en torno a un punto unidad, mientras que los pares se organizan en los lados del gnomon. En la figura 2.6 se presenta la configuraci´on para el tres y el cuatro. 2

[Montesinos 1987]

2.3 Magnitudes conmensurables e inconmensurables en los pitag´ oricos

=

4

47

=

3

Figura 2.6. Ejemplos de gnomon De este modo los impares tienen el ´angulo cerrado por un punto, v´ertice o l´ımite, mientras los pares quedan sin un v´ertice l´ımite, pudiendo dividirse en mitades a pesar de que se prosiga agregando puntos a lado y lado del gnomon, produciendo pares de manera infinita.

2.3.

Magnitudes conmensurables e inconmensurables en los pitag´ oricos

Antes de empezar el estudio sistem´atico de la teor´ıa de magnitudes es necesario establecer algunas convenciones a fin de facilitar el seguimiento de la lectura. Como bien sabemos, el estilo usado por los antiguos es completamente ret´orico y muchas veces repetitivo debido a la falta de una simbolog´ıa apropiada. El segmento cuyos extremos son los puntos A y B, se escribe AB. Tambi´en una sola letra puede designar todo el segmento; en este caso utilizamos letras may´ usculas para las magnitudes y letras min´ usculas para los n´ umeros. De esta forma, si partimos del segmento AB y el n´ umero n, la expresi´ on nAB establece la suma del segmento AB, n veces: nAB = !AB + AB"# + . . . + AB$. n veces

Cuando se dice que un segmento AB es igual a un n´ umero determinado de veces el segmento CD, en este texto, y de acuerdo a la simbolog´ıa moderna, se escribe: AB = n CD, para alg´ un n´ umero n. En su forma primigenia, el proceso de medir dos magnitudes consiste en compararlas cuantitativamente; en este sentido, se tendr´ıa que los antiguos griegos manejaban las siguientes definiciones para segmentos: Definici´ on. Un segmento A mide a otro segmento B, si se tiene que B = nA, para alg´ un n´ umero n. Definici´ on. Dos segmentos (magnitudes) AB y CD se dicen conmensurables, si existen n´ umeros n y m, tales que nAB = mCD; o lo que es lo mismo: los segmentos AB y CD son conmensurables si se puede hallar otro segmento EF tal que: AB = nEF y CD = mEF , donde m y n son n´ umeros. Cuando dos segmentos no son conmensurables se dicen inconmensurables.

48

N´ umero y magnitud en los Elementos

Concretamente el proceso para determinar si dos segmentos (magnitudes) son conmensurables consiste en determinar las veces que el m´as peque˜ no est´a contenido en el grande. Si queda un excedente se repite el paso anterior, determinando n´ umero de veces que el excedente cabe en el menor segmento inicial, y as´ı sucesivamente. En t´erminos modernos, dos segmentos AB y CD son conmensurables si existe EF tal que: AB = nEF CD = mEF, %n& CD. Sin embargo, es necesario aclarar que la o, lo que es lo mismo, AB = m n expresi´on no tiene sentido num´erico en la matem´atica griega. m Para los pitag´ oricos siempre era posible finalizar este proceso en un n´ umero determinado de pasos. El problema se hizo tangible cuando aparecieron magnitudes que no cumpl´ıan con esto. Por ejemplo, la diagonal del cuadrado con uno de sus lados. La gran crisis de la escuela pitag´orica se da con el surgimiento de las magnitudes inconmensurables. Si los n´ umeros constituyen el principio rector del universo, parec´ıa natural que fueran suficientes en el proceso de medir magnitudes. Este es un proceso abstracto en el cual se trata de comparar las magnitudes en relaci´on con sus cantidades. Para entender el problema de fondo tomemos los tres segmentos A, B y C de la figura 2.7. A

B

C Figura 2.7. Comparaci´on de segmentos Observemos que B cabe tres veces en A, esto es A = 3B. Siguiendo la tradici´on pitag´ orica, tomando la unidad B por un punto, tendr´ıamos la representaci´on de la figura 2.8. Comparando B con C, tendremos que C = 2B. Ahora si comparamos A con C, vemos que no se puede conformar un arreglo de puntos tal que para un n´ umero n, nC = A. Sin embargo, tres agrupaciones de C corresponden a dos agrupaciones de A, como se visualiza en la figura 2.9.

2.3 Magnitudes conmensurables e inconmensurables en los pitag´ oricos

49

= tres veces B

A

Figura 2.8. Representaci´on puntual de comparaci´on = C

C 3 veces C

C

A

A dos veces A

Figura 2.9. Agrupaciones de puntos En este caso la relaci´ on entre A y C se puede establecer a trav´es de n´ umeros. Decimos que A es a C, como 3 es a 2. Lo anterior nos permite establecer la siguiente definici´on: Definici´ on. Dos magnitudes A y B son conmensurables si existen dos n´ umeros n y m, tales que nA = mB. En principio, para los pitag´oricos no cab´ıa duda de que dos magnitudes cualesquiera eran conmensurables. Sin embargo, en el interior mismo de la escuela pitag´orica se evidenci´ o que existen magnitudes A y B tales que, para todo n´ umero n y m, se ten´ıa que nA ̸= mB. En este caso se dice que las magnitudes A y B son inconmensurables. Observemos que la demostraci´on de la inconmensurabilidad pasa por un proceso infinito de corroboraci´on enmarcado en el cuantificador universal. Dada la imposibilidad de la comprobaci´on directa, los antiguos pitag´oricos incorporaron un proceso abstracto que mostraba esta imposibilidad. Las primeras huellas de lo irracional se dieron en el contraste aritm´etica-geometr´ıa, es decir desde la relaci´on n´ umero-magnitud. Hist´ oricamente, estas dos nociones han mantenido una tensi´on que alcanz´ o su s´ıntesis en la construcci´on de los irracionales por parte de Cantor y Dedekind en el siglo XIX. Aunque los primeros casos de magnitudes inconmensurables aparecen entre los a˜ nos 450 y 430 a.C, una espesa niebla cubre el rostro de los primeros descubridores y la fecha exacta del suceso. Por el Teeteto de Plat´on sabemos que alrededor del a˜ no 430 a.C, ya Teodoro de Cirene conoc´ıa la existencia de magnitudes inconmensurables correspondientes a nuestros n´ umeros irracionales. Por otro lado, es generalmente aceptado que la primera inconmensurabilidad fue la umero irracional √ de la diagonal del cuadrado respecto al lado, ligada con nuestro n´ 2 ; sin embargo, algunos historiadores plantean que el primer caso se present´o en la medida de la diagonal de un pent´agono regular a partir de uno de sus lados, la cual

50

N´ umero y magnitud en los Elementos

da lugar a la proporci´ on ´ aurea o proporci´on de oro, tan importante en la cosmolog´ıa pitag´orica.

2.4.

Posibles contextos del surgimiento de la inconmensurabilidad

Maurice Caveing se˜ nala tres contextos que motivaron la emergencia de lo irracional en el ambiente pitag´ orico.3 1. El contexto musical: Por medio del monocordio, Pit´agoras formul´o una teor´ıa musical a trav´es de razones de n´ umeros enteros. Para ello estableci´o el fundamento de la armon´ıa musical con base en la longitud de las cuerdas, teniendo en cuenta que si si se hace vibrar la mitad de la cuerda, se obtiene la consonancia de octava. En general, si se toma como referencia la frecuencia de una cuerda de longitud 1, para una cuerda de longitud 2, se obtiene un sonido de una octava m´as alta que la nota original. Si su longitud es 4/3 que la primera, la cuerda emite la cuarta de la nota base, y si su longitud es 3/2 de la inicial, la nota que suena es la quinta de la nota base. En t´erminos de razones, tal como lo manejan los antiguos griegos, significa que a la octava le corresponde la raz´on 2 : 1, a la cuarta 4 : 3, a la quinta 3 : 2 y al tono 9 : 8. Los pitag´ oricos encontraron que en el sonido musical se pueden establecer combinaciones a partir de las siguientes equivalencias: ∗ Una octava se compone de una cuarta y una quinta (octava = cuarta + quinta) ∗ Una quinta se compone de una cuarta y un tono (quinta = cuarta + tono) ∗ Una octava se compone de dos cuartas y un tono (octava = 2 cuartas + tono) Como veremos m´ as adelante, los antiguos griegos no le daban a las razones un sentido num´erico, sin embargo, si traducimos a lenguaje moderno los desarrollos pitag´ oricos interpretando las razones como n´ umeros racionales, de acuerdo a los resultados expuestos por ellos mismos, vemos que la sumas de las notas corresponden a multiplicaci´ on de dos racionales. De esta manera las igualdades anteriores se dan en el siguiente sentido: ' ( ' (' ( 4 3 2 = , 1 3 2 ' ( ' (' ( 3 4 9 = , 2 3 8 ' ( ' (' (' ( 4 4 9 2 = . 1 3 3 8 3

[Caveing 1998].

2.5 La inconmensurabilidad de ra´ız de dos

51

El problema se presenta cuando hay necesidad de dividir la octava en dos, lo cual conducir´ıa a la igualdad: octava = mitad de octava + mitad de octava (O = M + M ), que en t´erminos de los n´ umeros racionales ser´a: p 2 2 O = y M = , de lo cual se tendr´ıa que: = 1 q 1

' (' ( p p . q q

El problema se resuelve a condici´on de que podamos encontrar un n´ umero racional cuyo cuadrado sea dos. 2. El problema de la diagonal del cuadrado: Se considera el cuadrado la figura base en la teor´ıa de la medida relativa. A pesar de ser el pol´ıgono regular m´as simple, los pitag´ oricos demostraron que su lado y su diagonal son inconmensurables. Su demostraci´on se basa en la imposibilidad de encontrar dos n´ umeros m y n tales que nD = mL. 3. El problema de la diagonal del pent´ agono: El emblema de la escuela pitag´ orica era el pent´ agono regular. No demoraron mucho tiempo en demostrar que su misma insignia atentaba contra el principio gen´erico de que los n´ umeros constitu´ıan las componentes de las cosas, pues la diagonal y el lado de un pent´agono regular resultan ser inconmensurables. Para la demostraci´on de este resultado se basaron en un procedimiento llamado Antiphairesis, el cual detallaremos m´as adelante.

2.5.

La inconmensurabilidad de ra´ız de dos

Para los pitag´ oricos no tiene sentido num´erico ni las razones entre n´ umeros ni las ra´ıces inexactas. Formalmente, el concepto de n´ umero irracional se establece en el siglo XIX; sin embargo, las ra´ıces hist´oricas de los n´ umeros irracionales podemos localizarlas en el problema de la inconmensurabilidad y en la imposibilidad de establecer la ra´ız cuadrada de dos como raz´on entre dos n´ umeros enteros. Desde nuestra visi´ on moderna significa que no existe un n´ umero racional p tal que p2 = 2, que desde los pitag´ oricos se interpreta como la imposibilidad de encontrar n´ umeros enteros 2 m2 2 2 positivos m y n tales que n2 = 1 , o lo que es lo mismo: m = 2n . La demostraci´on se hace por el m´etodo de reducci´on al absurdo. Primera demostraci´ on: Supongamos que existen n´ umeros enteros positivos p y q los cuales satisfacen la igualdad p2 = 2q 2 . Se pueden presentar los siguientes casos:

(2.1)

52

N´ umero y magnitud en los Elementos

(i). p impar y q impar. (ii). p impar y q par. (iii). p par y q impar. (iv). p par y q par. Supongamos que se cumple (i). Puesto que p es impar, entonces p2 es tambi´en impar, pero por 2.1, p2 es par. Eso significar´ıa que p2 es par e impar, lo cual es una contradicci´ on y por lo tanto no puede darse (i). Una argumentaci´on similar prueba que no se puede dar (ii). No se puede dar (iii), puesto que si p es par, es de la forma p = 2t, donde t es un entero positivo. Reemplazando en 2.1 se tendr´ıa, (2t)2 = 2q 2 , 4t2 = 2q 2 , 2t2 = q 2 . Lo cual significa que q 2 es par; pero como q es impar, entonces q 2 tambi´en es impar. De esta forma, q 2 ser´ıa par e impar a la vez, lo cual es una contradicci´on. No se puede dar (iv), pues si p es par, es de la forma p = 2t1 , donde t1 es un entero positivo que es la mitad de p. Reemplazando en (I) se tendr´a, (2t1 )2 = 2q 2 , 4t21 = 2q 2 , 2t21 = q 2 . Como q tambi´en es par, entonces q = 2t2 , donde t2 es un entero positivo que es la mitad de q. Reemplazando en la tercera igualdad del listado anterior y simplificando se tendr´a que t21 = 2t22 . Lo cual reproduce la misma situaci´on inicial y, de acuerdo al proceso anterior, s´ olo queda la posibilidad que t1 y t2 sean pares. Eso significa que existe t3 , entero positivo, tal que t2 = 2t3 . De lo anterior se sigue que t3 es la mitad de t2 y, por ende, resulta de la divisi´ on doble de q. Podemos continuar indefinidamente el proceso anterior produciendo divisiones sucesivas tanto de p como de q. Sin embargo, esto no es posible pues dado que son n´ umeros pares, en alg´ un momento debemos llegar a 1 o a un n´ umero impar. Como no se da ninguno de los cuatro casos anteriores quiere decir que no existen p y q enteros positivos tales que p2 = 2q 2 . Segunda demostraci´ on: Nuevamente suponemos que existen n´ umeros enteros po2 2 sitivos p y q, tales que p = 2q . Si descomponemos p y q en sus factores primos, tendremos que tanto p2 como q 2 tendr´an un n´ umero par de factores primos, entonces 2 2 en el lado izquierdo de la igualdad p = 2q hay un n´ umero par de factores, mientras que en el lado derecho hay un n´ umero impar de factores, puesto que aparece el 2 como un factor primo adicional.

2.6 La antiphairesis y el surgimiento de lo inconmensurable

53

Las √ demostraciones anteriores no indican que los pitag´oricos hayan demostrado umero irracional. Ni siquiera podemos afirmar que hayan demostrado que 2 es un n´ que no sea un n´ umero racional, pues el universo num´erico de los pitag´oricos se reduc´ıa a nuestros n´ umeros naturales. Los pitag´oricos demostraron que no corresponde a ninguna on entre naturales; esto es, no existen n´ umeros naturales m y n tales √ raz´ que 2 : 1 = m : n. Sin embargo, en la raz´on entre n´ umeros naturales se va delineando la conformaci´ on de los n´ umeros racionales.

2.6.

La antiphairesis y el surgimiento de lo inconmensurable

Dados dos n´ umeros m y n, con m > n, podemos encontrar todos los divisores (partes al´ıcuotas) de m y todos los divisores de n, y determinar el mayor divisor com´ un a los dos. Es lo que denominamos MCD. Para hallar el MCD recurrimos a divisiones sucesivas. En primer lugar, dividimos m entre n y determinamos el primer cociente c1 , y el primer residuo r1 , de modo que, m − nc1 = r1 . Repetimos el proceso dividiendo n entre r1 y seguimos as´ı sucesivamente, obteniendo los siguientes pasos: P1 : m − nc1 = r1 ,

P2 : n − r1 c2 = r2 ,

P3 : r1 − r2 c3 = r3 , .. . Pn : rn−2 − rn−1 cn = rn , De esta forma se tiene que, Si r1 = 0, entonces el MCD de m y n es n. Si rn = 1, quiere decir que m y n no tienen divisores comunes; en este caso decimos que son primos relativos. Si rn = 0, n > 1, entonces el MCD de m y n es rn−1 . El mismo proceso podemos aplicarlo a las magnitudes. En este caso consiste en encontrar la mayor magnitud que mida a otras dos magnitudes dadas. Es lo que se denomina antiphairesis. Apliquemos el proceso de la antiphairesis a los segmentos AB y CD, de la figura siguiente, teniendo en cuenta que AB > CD. Al sustraer CD de AB, obtenemos EF. Si CD < EF , se sustrae CD de EF, obteniendo GF. Se aplica el mismo proceso repetidamente, hasta obtener un n´ umero k1 tal que AB = k1 CD o AB = k1 CD + A1 B1 , con A1 B1 < CD.

54

N´ umero y magnitud en los Elementos

A

B

C

D C

D

E

F G

Figura 2.10. Proceso de antiphairesis 1. Si AB = k1 CD, entonces CD es el mayor segmento que mide a AB y a CD. Si AB = k1 CD + A1 B1 , con A1 B1 < CD, se compara A1 B1 con CD y se procede como en el caso anterior hasta obtener k2 , tal que CD = k2 A1 B1 o CD = k2 A1 B1 + A2 B2 , con A2 B2 < A1 B1 . 2. Si CD = k2 A1 B1 , entonces A1 B1 es el mayor segmento que mide a AB y a CD. Si CD = k2 A1 B1 + A2 B2 , con A2 B2 < A1 B1 , se compara A2 B2 con A1 B1 y se repite el procedimiento anterior hasta obtener k3 , tal que A1 B1 = k3 A2 B2 o A1 B1 = k3 A2 B2 + A3 B3 , con A3 B3 < A2 B2 . Para el primer caso, A2 B2 es el mayor segmento que mide a AB y a CD. Si se da el segundo caso, se repite la misma operaci´ on. Si continuamos con el proceso, se pueden presentar dos casos: (i). Despu´es de n pasos encontramos un kn tal que An−2 Bn−2 = kn An−1 Bn−1 , entonces An−1 Bn−1 es el mayor segmento que mide a AB y a CD. En este caso las magnitudes ser´ an conmensurables. (ii). El proceso sigue infinitamente de tal forma que no existe un segmento que las mida. En este caso se tiene que AB y CD son magnitudes inconmensurables. El procedimiento de la antiphairesis est´a expuesto formalmente en el libro VII de los Elementos de Euclides para los n´ umeros y en el libro X para las magnitudes en general.

2.7.

El caso del pent´ agono regular

El car´ acter infinito de la antiphairesis se puede visualizar f´acilmente cuando comparamos el lado y la diagonal de un pent´agono regular. Tomemos el pent´ agono regular ABCDE, como en la figura 2.11:

2.8 El caso del cuadrado

55 C

B1

B

C1

D D1

A1 E1

A

E

Figura 2.11. Inconmensurabilidad en el pent´agono 1. Dado que ABCD1 es un paralelogramo, BC = AD1 , lo que significa que BC cabe una vez en AD, sobrando D1 D. 2. Debemos comparar ahora el sobrante D1 D con el lado BC = AD1 . Puesto que AE1 = D1 D, entonces, D1 D cabe una vez en AD1 y sobra E1 D1 . 3. Siguiendo el proceso de medici´on, debemos determinar las veces que E1 D1 cabe en AE1 , lo cual es lo mismo que determinar las veces que E1 D1 cabe en A1 C1 , ya que A1 C1 E1 A es un paralelogramo; en otras palabras, tenemos que medir la diagonal A1 C1 del pent´agono regular A1 B1 C1 D1 E1 con su lado E1 D1 , lo cual corresponde al problema inicial de determinar la medida de una diagonal de un pent´ agono regular por su diagonal, en este sentido, el proceso seguir´ıa indefinidamente.

2.8.

El caso del cuadrado

El caso de la inconmensurabilidad de la diagonal y del lado de un cuadrado es el m´ as conocido. Es un problema que tiene relaci´on directa con la imposibilidad de expresar como raz´ on de n´ umeros naturales la ra´ız cuadrada de dos; sin embargo son dos problemas diferentes. 1. En el marco de la aritm´etica, se muestra que no se puede expresar como raz´on de dos n´ umeros naturales. 2. En el marco de la geometr´ıa, se verifica que la diagonal del cuadrado no admite parte al´ıcuota com´ un con el lado. Aunque son dos asuntos hist´oricamente subsidiarios, el problema aritm´etico es mucho m´ as simple en su enunciado que el problema geom´etrico, pues expresa una propiedad del n´ umero 2, en cambio el problema geom´etrico no expresa una propiedad

56

N´ umero y magnitud en los Elementos

intr´ınseca de la diagonal del cuadrado, sino la relaci´on cuantitativa entre la diagonal y el lado del cuadrado. Sigamos el proceso de verificaci´on de la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un cuadrado tomando como referencia la figura 2.12, en la cual el lado del cuadrado es AB y la diagonal es AC. B

E

A

F

D

C

Figura 2.12. Inconmensurabilidad en el cuadrado Demostraci´ on. Siguiendo por reducci´on al absurdo, supongamos que BC es conmensurable con AC (figura 2.12); esto es, que existe un segmento, el cual designaremos como U, tal que, AB = BC = nU, AC = mU. 1. Por el teorema de Pit´ agoras tenemos que: cuad.(AC) = cuad.(AB) + cuad.(BC). 2. Como AB = BC, se tiene que: cuad.(AC) = 2cuad.(AB) cuad.(mU ) = 2cuad.(nU ). Entonces m2 cuad.U = 2n2 cuad.U. 3. De la u ´ltima igualdad se puede establecer la igualdad entre n´ umeros: m2 = 2n2 .

(2.2)

4. m2 par, implica que m es par, y como AC = mU , entonces la altura BD corta a la hipotenusa AC en el punto medio D, el cual corresponde al extremo de un segmento unidad. Si se toma m = 2k y se reemplaza en 2.2 se tendr´a que (2k)2 = 2n2 . De lo cual se deduce que n es par, es decir n = 2t.

2.9 N´ umero y magnitud en la filosof´ıa de Plat´ on y Arist´ oteles

57

5. Sea E el punto medio del lado AB. Se traza la recta EF , paralela a BD, form´ andose el tri´ angulo rect´angulo AED de catetos AE y ED (ver ejercicio). Debido a la construcci´ on, si se sigue el mismo proceso anterior se tendr´a que la hipotenusa AD, igual a la mitad del lado AC = mU , es igual a un n´ umero par de unidades U , y por lo tanto, la altura EF corta a AD en el punto medio; ello significa que F corresponde al extremo de un segmento unidad. Usando la misma construcci´ on se puede seguir indefinidamente. De otro lado, como m tiene un n´ umero finito de unidades, despu´es de un n´ umero finito de pasos se llegar´ıa a la unidad o a un n´ umero impar, en contradicci´on con lo anterior. Esta contradicci´ on lleva a concluir que no puede existir una unidad com´ un para AB y AC, es decir que no son conmensurables. Las magnitudes inconmensurables constituyen el primer antecedente de los n´ umeros irracionales. Tal vez el hecho de aparecer como entes “contradictorios” de los n´ umeros “razonables”, es decir, aquellos que pueden expresarse por razones de n´ umeros naturales, tuvo que ver con el nombre que adoptaron cuando hist´oricamente se pas´ o del concepto de magnitud al concepto de n´ umero. En otras palabras, cuando se pas´ o del contexto geom´etrico al aritm´etico.

2.9.

N´ umero y magnitud en la filosof´ıa de Plat´ on y Arist´ oteles

Plat´ on distingue entre n´ umero aritm´etico, un ente ideal perteneciente al reino de lo inteligible, y el n´ umero “numerado”, que sirve para “contar” los objetos de la realidad emp´ırica. Esta divisi´ on se entiende s´olo cuando examinamos conjuntos particulares, por ejemplo, en un conjunto de tres sillas, no es problem´atico aceptar la unidad representada en una silla, as´ı las sillas no sean exactamente iguales, porque nos basta identificarla por su funcionalidad. Para Plat´on, aqu´ı cabr´ıa el concepto de n´ umero numerado. El n´ umero ideal es un ente de naturaleza abstracta que se forma por la agrupaci´ on de unidades totalmente iguales. Para Arist´ oteles, al igual que para Euclides, el n´ umero es una pluralidad de unidades. Definici´ on que conlleva a ciertas consecuencias: ⋆ El uno no es un n´ umero, puesto que aquello con que se mide no puede medirse as´ı mismo. Adem´ as habr´ıa contradicci´on ya que la singularidad (el uno) y la pluralidad (n´ umero) no se diferenciar´ıan. ⋆ El cero tampoco aparece como n´ umero, pero no s´olo por no cumplir con la definici´ on, sino por cuestiones filos´oficas, pues dentro de las concepciones griegas no hay cabida para el no ser. ⋆ El universo griego de los n´ umeros corresponde a nuestros n´ umeros naturales menos el cero y el uno: N − {0, 1}.

58

N´ umero y magnitud en los Elementos

Un hecho de singular importancia en la matem´atica griega tiene que ver con el infinito y el continuo. Es importante aclarar que para los antiguos ten´ıa sentido decir que los n´ umeros son infinitos y que la recta es continua. Sabemos que el infinito es uno de los conceptos fundamentales en las matem´aticas; sin embargo, su utilizaci´ on ha sido causa de paradojas y problemas conceptuales. Por lo menos hist´ oricamente su aparici´on jug´o un papel devastador en la antig¨ uedad griega, con la emergencia de las paradojas de Zen´on y las magnitudes inconmensurables, cuestiones que atormentaron el pensamiento griego durante un largo periodo. En su F´ısica, Arist´ oteles realiza los primeros trazos hacia su refutaci´on. Para Arist´ oteles, el infinito s´olo existe como posibilidad, como ente en potencia y no como algo ya acabado. Las caracter´ısticas finitas del hombre le impiden tener acceso al infinito como un todo. De esta forma le niega legitimidad al infinito actual (el infinito tomado en un acto) y s´olo acepta el infinito potencial (el infinito como proceso). “Infinito es aquello que tomada una determinada cantidad, siempre es posible tomar por fuera algo de ella”, dice Arist´oteles, al mismo tiempo que plantea dos tipos de infinito: por adici´ on y por divisibilidad. El primero se sucede en el proceso de contar, pues aunque no existe un conjunto infinito de n´ umeros, ´estos son infinitos porque siempre es posible obtener un numero m´as grande que otro agreg´andole una unidad. El segundo infinito aparece en el proceso de divisi´on de una magnitud: se puede dividir un segmento en segmentos, que a su vez se pueden seguir dividiendo en segmentos m´ as y m´ as peque˜ nos, y as´ı sucesivamente. Las magnitudes tambi´en son continuas. Precisamente la continuidad es una propiedad muy importante que se manifiesta en desarrollos posteriores de las matem´aticas, especialmente en lo que respecta a la construcci´on de los n´ umeros reales. Al respecto, Arist´ oteles realiza un primer acercamiento conceptual en el libro V de la F´ısica, a trav´es de las siguientes definiciones: 1. Las cosas est´ an juntas en un lugar cuando est´an en un u ´nico lugar. 2. Las cosas est´ an separadas cuando est´an en diferentes lugares. 3. Las cosas est´ an en contacto cuando sus extremos est´an juntos. 4. Una cosa est´ a en sucesi´ on con otra si est´a despu´es de la inicial, sea en posici´on o en conformaci´ on (como por ejemplo los n´ umeros). 5. Una cosa es contigua a otra cuando est´a en sucesi´on y en contacto con ella. 6. Lo continuo es una categor´ıa de lo contiguo. Una cosa es continua con otra cuando sus l´ımites que se tocan llegan a ser uno. De esta forma, la categor´ıa continuo estar´ıa inmersa en lo contiguo. Al respecto, una reflexi´ on interesante ser´ıa preguntarse por estas categor´ıas en las matem´aticas

2.10 La Teor´ıa de proporciones en los Elementos

59

modernas. Georg Cantor y Richard Dedekind, afrontaron conceptualmente este problema en el proceso de acercar el continuo geom´etrico con el continuo aritm´etico, como lo veremos en la D´ecima Lectura.

2.10.

La Teor´ıa de proporciones en los Elementos

Como hemos dicho antes, hist´ oricamente se reconoce los Elementos de Euclides como uno de los libros de mayor importancia para las matem´aticas, en el cual se sintetiza gran parte de los adelantos griegos. Fundamentalmente es un libro de aritm´etica y geometr´ıa; un libro que profundiza en torno al n´ umero y a la magnitud, en torno a lo discreto y a lo continuo. Como ya se ha dicho, a lo largo de trece cap´ıtulos (libros), Euclides va construyendo un cuerpo te´orico paradigm´atico de caracter´ısticas milenarias. Por lo menos m´ as de veinte siglos corroboran tal afirmaci´ on. Euclides es un artesano cuidadoso que va tejiendo la urdimbre de los conceptos de forma gradual y sistem´ atica. Los libros VII, VIII y IX est´an dedicados a la aritm´etica, el resto a la geometr´ıa. Nos interesa, en este cap´ıtulo, analizar los libros V y VII, en los cuales Euclides presenta su teor´ıa de proporciones. En el libro V la desarrolla de manera general para magnitudes, mientras que en el VII lo hace para n´ umeros. Aunque Euclides desarrolla las dos teor´ıas de manera independiente, en el libro X establece cierto tipo de relaci´ on, basado en la teor´ıa de proporciones. La separaci´ on de las dos teor´ıas se debe fundamentalmente a la naturaleza de los conceptos de n´ umero y magnitud. La magnitud es infinitamente divisible, el n´ umero es finitamente divisible; el n´ umero es discreto, la magnitud es continua. Euclides comprende que la teor´ıa de proporciones es la salida conceptual a la cuesti´on de establecer relaciones cuantitativas. Desde una mirada moderna, tal vez nos sea dif´ıcil entender a cabalidad la profundidad conceptual que se esconde en el concepto de proporci´on, pues si tenemos A : B = C : D, que se puede simbolizar como C A = , B D donde A, B, C y D son magnitudes o n´ umeros reales, con B ̸= 0 y D ̸= 0, la representaci´ on A , B indica la divisi´ on de A entre B, y C , D la divisi´ on de C con D.

60

N´ umero y magnitud en los Elementos

La igualdad se da si y s´ olo si A · D = B · C, donde el producto est´a claramente definido. O tambi´en podemos decir: A es a B como C es a D. Por ejemplo, para nosotros es claro que: 4 2 = , puesto que 2 × 16 = 4 × 8. 8 16 √ √ √ 2 1 , puesto que 1 × 2 = 2 × 2. 2. √ = 2 2

1.

2 4 Obs´ervese que para el primer caso = 0,25 y = 0,25, que tambi´en muestra 8 16 la igualdad. En el segundo√caso es mucho m´as complicado por el proceso de divisi´on con el n´ umero irracional 2. El problema de fondo es que Euclides no contaba con definiciones para el producto y la divisi´ on de magnitudes. Descartes solucionar´a este impase siglos despu´es en su Geometr´ıa, como lo detallaremos en la sexta lectura. Euclides aborda las magnitudes en el cap´ıtulo V de los Elementos. La idea central se enmarca en la comparaci´on entre magnitudes. Aqu´ı se debe avanzar con mucho cuidado, pues las operaciones no son inmediatas. Especialmente en lo concerniente a la multiplicaci´on y a la divisi´on. Los conceptos b´ asicos, empleados por Euclides, para comparar las magnitudes, son proporci´on y raz´ on. A continuaci´on exploramos algunos resultados del libro V de los Elementos. Definici´ on V.1. Se dice que una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide. Es decir, la magnitud A es parte de la magnitud B si existe un n´ umero n, tal que B = nA. Definici´ on V.2. Y la mayor es m´ ultiplo de la menor cuando es medida por la menor. Es decir, la magnitud B es m´ ultiplo de la magnitud A si existe un n´ umero n, tal que B = nA. Euclides no defini´ o lo que entiende por magnitud, sin embargo, asumimos (y as´ı se percibe en los Elementos) que Euclides conserva la concepci´on aristot´elica de magnitud lineal, como un “pedazo” de recta continuo. Por otra parte, el verbo “medir” que aparece en las definiciones V.1 y V.2 significa que la magnitud m´ as grande es m´ ultiplo entero de la m´as peque˜ na. En t´erminos modernos, la Definici´ on V.1 establece que A es una parte de B, si existe un n´ umero natural n tal que B = nA, lo cual significa que n copias de A constituyen B ; en este caso, la Definici´ on V.2 establece que B es m´ ultiplo de A. Definici´ on V.3. Raz´ on es una relaci´on cualquiera entre dos magnitudes homog´eneas respecto de su cantidad.

2.10 La Teor´ıa de proporciones en los Elementos

61

“Cantidad” es una noci´ on bastante controversial por su significado. Traducida del griego, ha dado lugar a variadas interpretaciones. Los franceses la traducen por grandeur; los ingleses por size; los alemanes como gr¨osse. La palabra “raz´ on” proviene del griego “logos”. Hay que tener en cuenta que el logos griego va m´ as all´ a de lo cuantitativo y abarca los aspectos esenciales de la racionalidad griega. En la definici´on V.3, Euclides la toma como aquello expresable y representable num´ericamente por comparaci´on con una magnitud tomada como patr´on. De esta manera, la raz´ on entre dos magnitudes da cuenta de la relaci´on cuantitativa entre ellas. Esta definici´on muestra la perspicacia del pensamiento griego en toda su extensi´ on, pues sintetiza el proceso de comparaci´on entre el tama˜ no o cantidad en una sola palabra: La “raz´on” se presenta, entonces, como un proceso fundamental de la inteligencia y constituye una sutil metaforizaci´on de la comparaci´ on cuantitativa de dos cosas. Proceso que antrop´ologos e historiadores no han dudado en ubicar en las bases del entendimiento conceptual. La simbolizaci´on a : b es un paso adelante, que prefigura nuestro cociente ab o a/b, el cual posee un status ontol´ ogico diferente a las “razones”. M´as concretamente, la “raz´on” es un proceso de comparaci´on entre magnitudes (segmentos, por ejemplo); pero no se constituye en s´ı misma como algo acabado. En contraste con esto, a pesar de que consideramos la divisi´ on como un proceso, sabemos que el cociente “a/b” es a su vez un n´ umero. Gramaticalmente, la “raz´ on” es s´olo un verbo, mientras el cociente es sustantivo. Definici´ on V.4. Se dice que dos magnitudes tienen raz´on cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra. Esta definici´ on es muy importante, pues se basa en la propiedad arquimediana, seg´ un la cual, si A y B son dos magnitudes (que pueden ser inconmensurables), entonces siempre existe un entero n tal que nA > B. Esta propiedad, como sabemos, significa que todos los segmentos son de un orden de magnitud comparable, es decir, que no existe ni una magnitud infinitamente peque˜ na ni una infinitamente grande, ni tampoco una magnitud de cantidad cero. Definici´ on V.5. Se dice que la raz´on de una primera magnitud con una segunda es la misma que la de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier m´ ultiplo de la primera y de la tercera y de la segunda y cuarta, el m´ ultiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, seg´ un que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta. Es la definici´on esencial del libro V, porque iguala relaciones cuantitativas de una manera operativa. Desde la actualidad, podemos decir que en ella se encuentra un esbozo de caracterizaci´ on de los n´ umeros reales positivos. En t´erminos modernos, se dice como sigue:

62

N´ umero y magnitud en los Elementos

Sean 4 magnitudes A, B, C y D; se dice que A y B est´an en la misma raz´on que C y D – simb´ olicamente A : B = C : D – cuando para todo entero n y todo entero m se tienen las implicaciones siguientes, seg´ un los tres u ´nicos casos posibles: (i). Si nA > mB entonces, nC > mD (ii). Si nA = mB entonces, nC = mD (iii). Si nA < mB entonces, nC < mD. En una visi´ on moderna, Eudoxo, autor de este enunciado, est´a definiendo lo que conocemos como una cortadura en los n´ umeros racionales. Observemos que la variaci´on de m y n en los naturales, nos produce el universo de los n´ umeros racionales + positivos Q , de tal forma que podemos escribir las condiciones anteriores como: (i). Si

m C m A = entonces, = B n D n

(ii). Si

m C m A > entonces, > B n D n

(iii). Si

A m C m < entonces, < . B n D n

Observemos que con estas condiciones, si tomamos como base la raz´on A : B, el universo de los racionales positivos Q+ quedar´a fragmentado en tres o dos clases dependiendo si A y B son conmensurables o no. Est´a fragmentaci´on de Q+ es lo que se denomina una cortadura de Q+ . Si A y B son conmensurables se formar´a la clase (i) formada por el racional m n . La clase (ii) de los racionales positivos menores que A A B y la clase (iii) de los racionales positivos mayores que B . Si las magnitudes son inconmensurables tenemos que el conjunto de los racionales positivos Q+ quedar´a fragmentado s´ olo en las clases (ii) y (iii). Como veremos m´ as adelante, s´olo hasta el siglo XIX, el matem´atico alem´an Richard Dedekind prueba que existen infinidad de cortaduras que no son producidas por n´ umeros racionales, cada una de las cuales da origen a un n´ umero irracional que se considera completamente definido por ellas. Se tiene entonces que cada cortadura definida corresponde a un n´ umero racional o irracional y dos n´ umeros son diferentes, siempre y cuando correspondan a cortaduras esencialmente diferentes, como lo veremos en la D´ecima Lectura. Definici´ on V.6. Las magnitudes que tienen la misma raz´on se llaman proporcionales. Lo anterior es una definici´ on nominal que incluye el t´ermino proporci´on, como igualdad entre razones.

2.10 La Teor´ıa de proporciones en los Elementos

63

Definici´ on V.7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el m´ ultiplo de la primera supera al de la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta, se dice que la raz´ on de la primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta. Aqu´ı se est´ a definiendo una relaci´on de orden para las razones. A : B > C : D, si para dos enteros n y m se tiene que nA > mB y nC no es mayor que mD, se dice que la raz´on de A con B es mayor que la raz´on de C con D. N´ otese que esta definici´ on establece en efecto, un orden sobre las razones. Adem´as, si se tiene en cuenta la definici´ on V.5, vemos que el orden es total, puesto que dadas dos razones A : B y C : D, verificamos que s´olo una de las siguientes opciones se satisface: A : B > C : D; A : B = C : D; A : B < C : D. Definici´ on V.8. Una proporci´ on tiene, por los menos, tres t´erminos diferentes. Esta definici´ on se refiere a la llamada proporci´on continua, que tiene la forma A : B = B : C, en contraposici´ on con la discreta, que consta de cuatro componentes. Es importante acotar aqu´ı que la distinci´on entre discreta y continua, que muchos ´ analistas se la atribuyen a Pit´ agoras, aparece en el libro V, de la Etica a Nic´ omaco de Arist´oteles. Definici´ on V.9. Si tres magnitudes est´an en proporci´on, se dice que la primera tiene con la tercera una raz´ on duplicada de la que tiene con la segunda. En t´erminos modernos: si A : B = B : C, se tiene A : C = A2 : B 2 . Definici´ on V.10. Si cuatro magnitudes est´an en proporci´on, se dice que la primera tiene con la cuarta una raz´ on triplicada de la que tiene con la segunda. En t´erminos modernos: si A : B = B : C = C : D, se tiene A : D = A3 : B 3 . Hay que llamar la atenci´ on en el contenido de estas definiciones, especialmente en las traducciones modernas. Recu´erdese que A, B, C y D representan magnitudes cualquiera; en particular, representan segmentos de recta. Por lo tanto, en la construcci´on euclidiana no tiene sentido la expresi´on A2 = A · A, ya que no existe el producto entre segmentos. Lo mismo sucede con A3 . En las definiciones V.11 a V.18 Euclides define alternancia, inversi´on, composici´on, separaci´ on y conversi´ on. A continuaci´on demuestra veinticinco teoremas sobre magnitudes y razones entre magnitudes. Las demostraciones son de corte ret´orico, pero rigurosas en el sentido que Euclides acude a los enunciados precedentes sin usar presupuestos externos. En seguida se presentan algunos enunciados y su traducci´on moderna.

64

N´ umero y magnitud en los Elementos

Proposici´ on V.1. Dado cualquier n´ umero de magnitudes, sean cuales fueren. Equim´ ultiplos de otras magnitudes en igual n´ umero, cualesquiera que fueren las veces que de una de ellas sea m´ ultiplo de alguna, ese m´ ultiplo ser´a de todas. En t´erminos modernos: mA1 + mA2 + ... + mAn = m(A1 + A2 + ... + An ). Proposici´ on V.2. Si una primera magnitud es el mismo m´ ultiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y una quinta es tambi´en el mismo m´ ultiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta ser´a el mismo m´ ultiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta. En t´erminos modernos: Sean las seis magnitudes A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 y n´ umeros n y m, tales que A1 = nA2 , A5 = mA2 , A3 = nA4 y A6 = mA4 , entonces A1 + A5 = nA2 + mA2 = (n + m)A2 y A3 + A6 = nA4 + mA4 = (n + m)A4 . En general, Euclides est´ a planteando que para una magnitud cualquiera A y n´ umeros n y m, se cumple que: nA + mA = (n + m)A. Proposici´ on V.3. Si una primera magnitud es el mismo m´ ultiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y se toman equim´ ultiplos de la primera y la tercera, tambi´en por igualdad cada una de las dos magnitudes tomadas ser´an equim´ ultiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta. En t´erminos modernos: Sean las cuatro magnitudes A1 , A2 , A3 , A4 y n´ umeros n y m, tales que A1 = nA2 , A3 = nA4 , entonces mA1 = m(nA2 ) = (mn)A2 y mA3 = m(nA4 ) = (mnA4 ). En general, Euclides est´a planteando que para una magnitud cualquiera A y n´ umeros n y m, se cumple que: m(nA) = (mn)A. Con el prop´ osito de analizar el estilo demostrativo que Euclides utiliza en el tratamiento de magnitudes, detallemos la proposici´on V.4, tanto en la versi´on original como en su traducci´ on moderna. Proposici´ on V.4. Si una primera magnitud tiene con una segunda la misma raz´on que una tercera con una cuarta, los equim´ ultiplos de la primera y la tercera tendr´an la misma raz´ on que los de la segunda y la cuarta tomados en su orden. Demostraci´ on euclidiana. 4 Supongamos que la raz´on entre A y B es igual a la raz´on entre G y D (Figura 2.13); si se toman las magnitudes E y Z equim´ ultiplas de A y G, y las magnitudes H y T equim´ ultiplas de B y D, entonces la raz´on de E a H es la misma que la de Z a T. 4

[Euclides 1970]

2.10 La Teor´ıa de proporciones en los Elementos

65

A B E H K M G D Z T L N Figura 2.13. Raz´on entre magnitudes Sean las magnitudes K y L equim´ ultiplas de E y Z y otras cualesquiera M y N equim´ ultiplas de H y T . Por ser E equim´ ultipla de A como Z lo es de G y se ha tomado K y L equim´ ultiplas de E y Z, ser´a K equim´ ultipla de A como L lo sea de G, y por la misma raz´ on ser´a M equim´ ultipla de B como N lo sea de D, y puesto que la raz´ on de A a B es la misma que la de G a D, y L y K se tomaron equim´ ultiplas de A y G y otras cualesquiera M y N equim´ ultiplas de B y D, si K es mayor que M , ser´ a L mayor que N ; si K es igual a M , ser´a L igual a N y si K menor que M ser´ a L menor que N ; pero K y L son equim´ ultiplas de E y Z, y M y N equim´ ultiplas cualesquiera de H y T ; luego la raz´on de E a H es la misma que la de Z a T , l.q.q.d. Obs´ervese que la representaci´on se hace con casos particulares; sin embargo, se entiende que el m´etodo es gen´erico. A continuaci´on se presenta una interpretaci´on moderna de esta proposici´ on, guardando, obviamente, el esp´ıritu euclidiano. La simbolog´ıa moderna permite agilizar la prueba y alcanzar el grado de generalidad

66

N´ umero y magnitud en los Elementos

requerido. Proposici´ on V.4. Si A : B = C : D, entonces mA : nB = mC : nD. Demostraci´ on. Sean k y s tales que: (i). Si k(mA) > s(nB), entonces (km)A > (sn)B. Dado que A : B = C : D , se tiene que (km)C > (sn)D y por lo tanto, k(mC) > s(nD). (ii). Si k(mA) = s(nB), entonces (km)A = (sn)B. Dado que A : B = C : D , se tiene que (km)C = (sn)D. (iii). Si k(mA) < s(nB), por argumentos similares a (I) se tiene que (km)C < (sn)D y por lo tanto, k(mC) < s(nD). Las proposiciones V.5, V.6 y V.7 se presentan a continuaci´on en terminolog´ıa moderna: Proposici´ on V.5. Si A : B = C : D, entonces A : B = A − C : B − D. Proposici´ on V.6. Si A = B, entonces A : C = B : C y C : A = C : B, para toda magnitud C. Proposici´ on V.7. A > B, si y solo si A : C > B : C y C : A < C : B, para toda magnitud C. Proposici´ on V.11. Las razones que son iguales a una misma raz´on son iguales tambi´en entre si. Hist´oricamente, el libro V representa una salida conceptual al problema de la relaci´ on cuantitativa sin la extensi´on del universo num´erico. Como sabemos, los antiguos griegos no manejaban el concepto de n´ umero racional en general, ni mucho menos el concepto de n´ umero irracional. Eso se presenta como una limitaci´on en los primeros libros, pues se carece de un sistema de referencia, al cual amarrar una teor´ıa de la medida. En el libro V, justamente a partir de la teor´ıa de proporciones, Euclides logra colmar de alguna forma esa laguna. De todas formas debemos tener cuidado con los intentos de hacer traducciones de lo moderno a lo antiguo, porque, como lo afirma Jean Dhombres en su texto Nombre, mesure et continu: ´epist´emologie et histoire, no se encuentran en Euclides trazos de una definici´on consciente de “producto” de dos razones cualesquiera. El equivalente al producto entre razones puede asmilarse a la composici´on entre razones.

2.11 Teor´ıa de semejanza en los Elementos

2.11.

67

Teor´ıa de semejanza en los Elementos

En el libro VI de los Elementos, Euclides incorpora el concepto de semejanza en los siguientes t´erminos: Definici´ on VI.1. Figuras rectil´ıneas semejantes son las que tienen los ´angulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ´angulos iguales. Definici´ on que Arist´ oteles hab´ıa incorporado en los Segundos anal´ıticos.5 Definici´ on VI.2. Dos figuras est´an inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay razones antecedentes y consecuentes. Definici´ on VI.3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media raz´on cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor. Esta es√ una definici´ on muy especial, que modernamente da lugar al n´ umero irraumero de oro” o “raz´on aurea”. Como lo anotamos cional (1+ 5)/2, denominado “n´ en la primera lectura, corresponde a la raz´on existente entre la diagonal y el lado del pent´ agono regular; esto es: la diagonal del pent´agono es a uno de sus lados como este lado es a la diferencia entre la diagonal y el lado (ver ejercicios). En las primeras ocho proposiciones, Euclides establece condiciones para la semejanza de tri´ angulos. Proposici´ on VI.1. Los tri´ angulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son entre s´ı como sus bases. 6 Para la demostraci´ on Euclides utiliza la definici´on V.5. Es importante anotar que si bien las razones se definen para magnitudes homog´eneas, en las proporciones no se precisa de tal exigencia. Justamente en la proposici´on VI.1 se establece una proporci´on entre magnitudes lineales y magnitudes superficiales. Su demostraci´on se deja como ejercicio. Proposici´ on VI.2. Si se traza una recta paralela a uno de los lados de un tri´angulo, cortar´a a los otros dos proporcionalmente. Y si se cortan proporcionalmente los lados de un tri´angulo, la recta que une los puntos de secci´on ser´ a paralela al lado restante del tri´angulo. 5

De manera impl´ıcita, la definici´ on de semejanza contempla figuras con igual n´ umero de lados e igual n´ umero de a ´ngulos. Los a ´ngulos corresponden a a ´ngulos cuya medida no es ser mayor que dos rectos. 6 Esta proposici´ on significa que dos tri´ angulos entre paralelas guardan la misma raz´ on que sus bases.

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N´ umero y magnitud en los Elementos

A

D

E

B

G

Figura 2.14. Teorema de Tales Demostraci´ on. En la figura 2.14, sea la recta DE paralela a BG. Por la proposici´on I.37, se tendr´ a que: △DBE = △DGE. Por la proposici´ on V.7, se tiene que △DBE : △ADE = △GDE : △ADE. La proposici´on VI.1 permite establecer que, △DBE : △ADE = BD : DA y △GDE : △ADE = GE : EA. Aplicando la Proposici´on V.11, se obtiene el resultado requerido BD : DA = GE : EA. En las proposiciones VI.4 y VI.5 Euclides demuestra que para los tri´angulos basta una de las condiciones de semejanza. Proposici´ on VI.4. En los tri´ angulos equi´angulos, los lados que comprenden a los angulos iguales son proporcionales y los lados que subtienden a los ´angulos iguales ´ son correspondientes. Proposici´ on VI.5. Si dos tri´ angulos tienen los lados proporcionales, los tri´angulos ser´an equi´ angulos y tendr´ an iguales los ´angulos los cuales subtienden a los lados correspondientes. La demostraci´ on de estas proposiciones se deja como ejercicio. A trav´es de las proposiciones VI.10, VI.11 y VI.12, Euclides resuelve el problema de hallar la cuarta proporcional, la tercera proporcional y la media proporcional. En la proposici´ on VI.16 establece la relaci´on entre los lados de un rect´angulo y su medida. Esta proposici´ on es hist´ oricamente muy importante porque va allanando el camino para considera el ´ area de un rect´angulo como base por altura. Proposici´ on VI.16. Si cuatro rectas son proporcionales, el rect´angulo comprendido por las extremas es igual al rect´ angulo comprendido por las medias; y si el rect´angulo comprendido por las extremas es igual al rect´angulo comprendido por las medias, las cuatro rectas ser´ıan proporcionales.

2.12 La teor´ıa de n´ umeros en los Elementos

2.12.

69

La teor´ıa de n´ umeros en los Elementos

Euclides presenta la teor´ıa de n´ umeros en los cap´ıtulos VII, VIII y IX de los Elementos. A diferencia de la teor´ıa de magnitudes, los n´ umeros no se presentan de una manera axiom´ atica. Son ´estos los u ´nicos tres libros que Euclides dedica a la aritm´etica; en ellos estudia lo que modernamente tiene que ver con operaciones y razones entre n´ umeros naturales y sus propiedades. El libro VII consta de 22 definiciones, seguidas de 32 proposiciones, cuyas demostraciones no se apoyan en argumentaciones geom´etricas; las pruebas son de corte ret´ orico, fundamentalmente debido a la ausencia de una representaci´on algebraica apropiada. Dos de las definiciones que m´as han sido discutidas y que aqu´ı nos interesan de manera especial son las de n´ umero y unidad, que establece Euclides en el libro VII. Definici´ on VII.1. Una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada uno. Definici´ on VII.2. N´ umero es una pluralidad compuesta de unidades. De estas dos definiciones se puede inferir que la unidad es indivisible y que no corresponde a un n´ umero. Cuestiones que nos llevan, de nuevo, a tomar el marco referencial aristot´elico, en el cual podemos encontrar elementos te´oricos que nos aclaran el panorama conceptual euclidiano. Para Arist´oteles, nada puede ser num´ericamente uno. Esto se debe a que precisamente la esencia de la unidad consiste en ser el principio del n´ umero; es su medida, y la medida primera de cada g´enero de seres es un principio que nos permite conocer el g´enero, pero no constituye parte del g´enero, dado que la medida es diferente a lo medido. Dado que los opuestos no pueden gozar del mismo estatuto ontol´ogico, la pluralidad debe ser puesta en oposici´ on a la unidad. Por lo tanto, la unidad no puede ser un n´ umero. La definici´ on VII.2 est´ a acorde con la caracterizaci´on de n´ umero que hace Arist´ oteles en la Metaf´ısica. Seg´ un este fil´osofo, el n´ umero es una multitud medida con la misma unidad y multitud de medidas. En el mismo sentido, en el siglo I d. C., Nic´omaco de Gerasa define n´ umero como una multitud limitada. Tomando como base esta definici´on, se tiene que la unidad no ser´ıa n´ umero, pues no goza de la propiedad de pluralidad. Adem´as lo medido no se puede confundir con la medida. Al ser la unidad aquello con que se mide, ella no puede medirse a s´ı misma. Desde este punto de vista, notamos que la unidad precede al n´ umero, pues ´este se forma a partir de ella. El n´ umero se define con base a una unidad previamente establecida e indivisible. La representaci´on de la unidad es una raya, ya sea horizontal o vertical. Aunque la raya unitaria toma la forma de un segmento, no se deben

70

N´ umero y magnitud en los Elementos

confundir; el “segmento” que representa la unidad num´erica es indivisible mientras los segmentos que representan las magnitudes lineales son infinitamente divisibles. Si queremos representar n´ umeros, primero que todo debemos precisar la unidad. La representaci´ on de la unidad por la figura 2.15 no implica que se pueda tomar como un segmento normal del cual pueda obtenerse la mitad o la tercera parte, etc. Debe tomarse de manera sint´etica, como un “todo” indivisible. A

B

Figura 2.15. Unidad num´erica As´ı, lo que nosotros representamos por numeral 3, que corresponde al n´ umero tres, en Euclides aparecer´ıa como la uni´on de tres unidades (ver figura 2.16). CD D

C A

B

Figura 2.16. Representaci´on del numeral 3 se forma disponiendo tres veces la unidad AB en l´ınea recta, una a continuaci´on de otra, lo que evoca el car´ acter discreto del n´ umero. M´as concretamente, entre los n´ umeros representados por EF y CD, en la figura 2.17, no existe n´ umero alguno, es decir el n´ umero CD es sucesor del n´ umero EF , debido a la manera como se va adicionando la unidad. Este es el sentido que tiene la pluralidad en Euclides. Como F

E A

B D

C A

B

Figura 2.17. Car´acter discreto del n´ umero se ve, en la pluralidad euclidiana no se tiene el mismo sentido que la noci´on de conjunto o agrupaci´ on en sentido moderno. La pluralidad consiste en ir “pegando” la unidad y tomar luego como un todo el resultado. A su vez, el n´ umero visto como un todo, se puede disgregar en “paquetes” o “cuantos” que comprenden las unidades (ver figura 2.18).

2.12 La teor´ıa de n´ umeros en los Elementos

71

Figura 2.18. N´ umero como pluralidad de unidades La representaci´ on del n´ umero que se visualiza en la figura 2.17 permite incorporar un algoritmo de la suma y de la resta, que si bien no define expl´ıcitamente, se encuentra impl´ıcito en su obra. Es el proceso de sumar consistente en “adicionar” a la primera pluralidad la segunda, como se visualiza en la figura 2.19. EG representa

E

F

+

C

D

=

E

G

Figura 2.19. Suma de n´ umeros la suma de EF y CD, que en la actualidad representamos como 2 + 3 = 5. Definici´ on VII.3. Un n´ umero es parte de un n´ umero, el menor del mayor, cuando mide al mayor. Definici´ on VII.4. Pero partes cuando no lo mide. Definici´ on VII.5. Y el mayor es m´ ultiplo del menor cuando es medido por el menor. Los enunciados de las definiciones 3 y 5 son iguales a las definiciones V.1 y V.2, con la diferencia de que en lugar de magnitudes, µ´ εγεθoζ, aparece n´ umero, αριθµ´ oζ. Desde una visi´ on moderna el vocablo “parte” se puede traducir como divisor. El vocablo “fracci´ on” no se puede traducir directamente, en el sentido que represente un n´ umero como tal, lo u ´nico que se establece aqu´ı es la definici´on nominal de un n´ umero que no divide a otro. Definici´ on VII.6. Un n´ umero par es el que se divide en dos partes iguales. Definici´ on VII.7. Un n´ umero impar es el que no se divide en dos partes iguales, o difiere de un n´ umero par en una unidad. Las definiciones VII.8, VII.9 y VII.10 caracterizan propiedades de algunos n´ umeros; en la definici´ on VII.12, Euclides incorpora uno de los conceptos de gran riqueza te´orica:

72

N´ umero y magnitud en los Elementos

Definici´ on VII.12. Un n´ umero primo es el medido por la sola unidad. Dado que la unidad no tiene la categor´ıa de n´ umero, no se considera la divisibilidad de un n´ umero por s´ı mismo. En la Aritm´etica de Nic´omaco se define n´ umero primo como aquel que es incompuesto. En Etimolog´ıas, San Isidoro presenta una definici´on bastante afortunada al definir n´ umero primo como aquel que no tiene ninguna otra parte diferente a la unidad. Definici´ on VII.13. N´ umeros primos entre s´ı son los medidos por la sola unidad como medida com´ un. Esta definici´ on se refiere a nuestros primos relativos. Definici´ on VII.14. N´ umero compuesto es el medido por alg´ un n´ umero. Definici´ on VII.15. N´ umeros compuestos entre s´ı son los medidos por alg´ un n´ umero como medida com´ un. En el argot moderno, estos n´ umeros son los que se contraponen a los primos relativos. Tom´ as Vicente Tosca, en el siglo XVII, los define como aquellos que tienen alguna medida com´ un adem´ as de la unidad. Definici´ on VII.16. Se dice que un n´ umero multiplica a un n´ umero cuando el multiplicado se a˜ nade (as´ı mismo) tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un n´ umero. Corresponde al algoritmo fundamental y cl´asico de producto entre naturales a trav´es de la suma. Definici´ on VII.17. Cuando dos n´ umeros, al multiplicarse entre s´ı, hacen alg´ un (n´ umero), el resultado se llama (n´ umero) plano y sus lados los n´ umeros que se han multiplicado entre s´ı. Definici´ on VII.18. Cuando tres n´ umeros, al multiplicarse entre s´ı, hacen alg´ un n´ umero, el resultado es un (n´ umero) s´olido y sus lados son los n´ umeros que se han multiplicado entre s´ı. Las palabras “plano” y “s´ olido” tienen trasfondo geom´etrico; esto explica que se consideren tambi´en n´ umeros lineales, cuando se ten´ıan s´olo longitudes. De cualquier forma, aunque d´ebil, es un primer acercamiento entre lo geom´etrico y lo aritm´etico. El producto de dos n´ umeros representar´ıa un rect´angulo cuyos lados corresponden a los factores del n´ umero. Definici´ on VII.19. Un n´ umero cuadrado es el multiplicado por s´ı mismo o el comprendido por dos n´ umeros iguales. Definici´ on VII.20. Y un (n´ umero) cubo el multiplicado dos veces por s´ı mismo o el comprendido por tres n´ umeros iguales.

2.12 La teor´ıa de n´ umeros en los Elementos

73

Definici´ on VII.21. Unos n´ umeros son proporcionales cuando el primero es el mismo m´ ultiplo o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto. Esta definici´ on es diferente a la establecida para magnitudes, dado que todos los n´ umeros son conmensurables. En t´erminos modernos la definici´on VII.21 plantea que a : b = c : d, con a, b, c y d n´ umeros, si: 1. a = nb, para alg´ un n n´ umero, entonces c = nd. 2. b = ma, para alg´ un m n´ umero, entonces d = mc. 3. na = mb, con n, m n´ umeros, entonces nc = md. Definici´ on VII.22. N´ umeros planos y s´olidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales. Definici´ on VII.23. N´ umero perfecto es el que es igual a (la suma de) sus propias partes. En algunas traducciones se dice que n´ umero perfecto es aquel que es igual a la suma de sus partes al´ıcuotas. Las partes al´ıcuotas de un n´ umero corresponden, en lenguaje moderno, a los divisores del n´ umero excluyendo el propio n´ umero. Por ejemplo, 8 no es n´ umero perfecto, pues sus partes al´ıcuotas son 1, 2 y 4, cuya suma es 7. El n´ umero 6 es perfecto, pues sus partes al´ıcuotas son 1, 2 y 3, que suman precisamente 6. En la proposici´ on IX.36, se enuncia la ley fundamental de formaci´on de n´ umeros perfectos, seg´ un la cual, si 2n − 1 es primo, entonces 2n−1 (2n − 1) es perfecto. Despu´es de las definiciones, Euclides demuestra algunas propiedades de divisibilidad y luego hace un tratamiento de las proporciones. Proposici´ on VII.1. Dados dos n´ umeros desiguales y rest´andose sucesivamente el menor del mayor, si el que queda separado no mide nunca al anterior hasta separar una unidad, los n´ umeros iniciales son primos entre s´ı. Demostraci´ on. Tomando como referencia la figura 2.20, sean AB y GD n´ umeros que cumplen las hip´ otesis establecidas en la proposici´on. Si no son primos entre s´ı, alg´ un n´ umero E los dividir´ a. El primer paso consiste en llevar sucesivamente el menor GD sobre el mayor AB hasta el punto Z, tal que la longitud restante ZB sea menor que GD. Se repite el mismo proceso con GD y ZB hasta que HD sea menor que ZB y con HD y ZB hasta que quede la unidad TB. Dado que E mide a GD y GD a AZ, entonces E mide a AZ, y como tambi´en mide al total AB, medir´a al resto ZB ; pero ZB mide a GH, luego tambi´en E mide a GH. Por lo tanto E tambi´en mide a HD y por consiguiente mide a ZT y, por medir al total ZB, mide al resto, que es la unidad TB, lo cual es imposible. De esta forma, los n´ umeros AB y GD, no tienen un n´ umero que los mida, por lo tanto son primos entre s´ı.

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N´ umero y magnitud en los Elementos

A

Z

G

H

T

B

D

E Figura 2.20. N´ umeros primos relativos En lenguaje actual, esta proposici´on indica que si en el proceso de dividir un n´ umero por otro, ´este por el resto de la divisi´on y as´ı sucesivamente, se llega a la unidad, los dos n´ umeros son primos relativos. En la proposici´ on VII.2, Euclides ense˜ na como calcular el m´aximo com´ un divisor (MCD) entre dos n´ umeros a trav´es de divisiones sucesivas, como en la proposici´on VII.1. En adelante se utilizar´ a la expresi´on (a, b) para indicar el MCD entre los n´ umeros a y b. La proposici´ on VII.3 es una generalizaci´on de la anterior, en la cual se calcula el MCD de tres n´ umeros. La proposici´ on VII.4 es muy importante, pues a trav´es de ella se hace funcional la definici´ on VII.21 sobre proporciones entre n´ umeros. Proposici´ on VII.4. Todo n´ umero es parte o partes de todo n´ umero, el menor del mayor. El vocablo “parte”, µ´ ερη, se puede traducir modernamente como subm´ ultiplo o divisor, y el vocablo “partes”, µ´ ερη, como fracci´on irreducible. Para su demostraci´ on Euclides hace uso del c´alculo del MCD incorporado en las proposiciones anteriores. Sigamos el proceso: Demostraci´ on. Sean a, b los n´ umeros dados, con b < a; ellos pueden ser o no primos relativos. 1. Si (a, b) = 1, entonces a es partes de b. 2. Si (a, b) = d ̸= 1, entonces puede suceder que b divide a a, en cuyo caso, existe n tal que a = nb y b es parte de a. Si b no divide a a, entonces existen n´ umeros m y n tales que, a = nd y b = md, lo cual significa que b ser´ıa partes de a. Este resultado tiene un gran significado hist´orico, pues permite introducir un enunciado equivalente a la noci´ on de proporci´on establecida en la definici´on VII.21.

2.12 La teor´ıa de n´ umeros en los Elementos

75

De esta manera, dos razones a : b y c : d, est´an en proporci´on a : b = c : d, si existen n´ umeros p, q, m y n tales que a = mp, b = mq; c = np, d = nq. La equivalencia de este enunciado y la definici´ on VII.21 se deja como ejercicio. En t´erminos modernos este enunciado hace alusi´on al hecho de que cualquier fracci´on se puede simplificar al m´aximo, de tal suerte que el numerador y el denominador sean primos relativos. Obs´ervese que si a = mp, b = mq; c = np, d = nq, modernamente se puede escribir que: a p c = = , donde (p, q) = 1. b q d p corresponde a una fracci´on simplificada. q Tomando como base el anterior resultado se puede demostrar la proposici´on VII.19, mediante la cual se establece, de una manera directa, la igualdad entre razones.

Es decir,

Proposici´ on VII.19. Si cuatro n´ umeros son proporcionales, el producto del primero y el cuarto ser´ a igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro n´ umeros ser´an proporcionales. Las proposiciones VII.31, VII.32 y IX.14 tienen relaci´on con el teorema fundamental de la aritm´etica. Proposici´ on VII.31. Todo n´ umero compuesto es medido por alg´ un n´ umero primo. En esta demostraci´ on usa el hecho de que cualquier conjunto de n´ umeros enteros positivos tiene un m´ınimo. Veamos esto: Demostraci´ on. Sea a un n´ umero compuesto. Eso significa que es medido por alg´ un n´ umero b1 . Si b1 es un n´ umero primo, la demostraci´on est´a terminada. Si no lo es, significa que a b1 lo mide un n´ umero b2 , el cual tambi´en mide a a. Si b2 es primo hemos terminado la demostraci´on. En otro caso, a b2 lo mide un n´ umero b3 , el cual tambi´en mide a a. Siguiendo este proceso, se llega a un n´ umero primo que lo medir´a. En otro caso, se tendr´ a una sucesi´on infinita {bi }i∈N , bi+1 < bi , de n´ umeros que miden a a, lo cual no es posible. Con base en esta proposici´ on es f´acil demostrar la proposici´on siguiente. Proposici´ on VII.32. Todo n´ umero o es primo o es medido por alg´ un n´ umero primo. Proposici´ on IX.14. Si un n´ umero es el menor medido por n´ umeros primos, no ser´a medido por ning´ un otro n´ umero primo fuera de los que le median desde el principio.

76

N´ umero y magnitud en los Elementos

La proposici´ on 20 del libro IX, nos muestra el uso del infinito. Es interesante precisar que Euclides no demuestra que el conjunto de los n´ umeros primos sea infinito, ´el est´ a demostrando que son infinitos en sentido potencial, es decir, que dada una colecci´on de primos, siempre es posible encontrar otro por fuera de ellos. La demostraci´on utiliza de manera delicada todas las herramientas conceptuales anteriores. Es una demostraci´ on en la que Euclides hace gala de un gran despliegue est´etico, y que la posteridad no ha dudado en considerar como uno de los resultados culturales m´ as preciados. Proposici´ on IX.20. Hay mas n´ umeros primos que cualquier cantidad propuesta de n´ umeros primos.

2.13.

La irracionalidad en Euclides

Como hemos dicho antes, en congruencia con la filosof´ıa aristot´elica, Euclides considera dos tipos de cantidades: los n´ umeros y las magnitudes. Si bien Euclides no instaura los n´ umeros de una manera axiom´atica, su definici´on de n´ umero como pluralidad de unidades hace entrever el m´etodo de generaci´on t´ıpico a trav´es de la noci´on de sucesor, al estilo axiomas de Peano. La definici´on euclidiana de n´ umero excluye el cero y la unidad, pero establece el “uno” como generador de un proceso inductivo de conformaci´on de un conjunto infinito. En este sentido, el universo num´erico euclidiano corresponde a los n´ umeros naturales, excepto el cero y el uno. No hay en la antig¨ uedad griega un desarrollo te´orico de los n´ umeros reales, sin embargo encontramos algunos tratamientos que nos permiten ubicar las ra´ıces conceptuales de los n´ umeros racionales y los irracionales en los Elementos. Dos aspectos principales separan los n´ umeros de las magnitudes y hacen que Euclides desarrolle una teor´ıa de razones y proporciones para n´ umeros y otra para magnitudes. En primer lugar, dado que el “uno” constituye la unidad com´ un para todos los n´ umeros, no tiene sentido la inconmensurabilidad num´erica. No podemos decir lo mismo con las magnitudes lineales, puesto que no existe un segmento unidad generador. En segundo lugar, mientras que en los n´ umeros no tiene problema definir el producto, no es posible para las magnitudes. Precisamente la construcci´on hist´orica de los n´ umeros reales se posibilita en la medida que podamos operar las magnitudes como los n´ umeros. Un avance substancial al respecto s´olo se da, despu´es de quince siglos, en la Geometr´ıa de Descartes. Como lo veremos en la sexta lectura, Descartes encontr´o en Euclides la clave para su definici´ on de producto entre segmentos. Los ingredientes primigenios que permitieron incorporar la operaci´on producto para las magnitudes se pueden vislumbrar en las proposiciones VI.12, VI.16 y VII.19. En la proposici´ on VI.12 resuelve el problema de hallar la cuarta proporcional; esto es, dados los segmentos A, B y C, encontrar un segmento D, tales que la raz´on entre A y B sea igual a la raz´ on entre C y D, simb´olicamente: A : B = C : D.

2.13 La irracionalidad en Euclides

77

En la proposici´ on VI.16 establece que si A : B = C : D, donde A, B, C y D son segmentos, entonces el rect´ angulo que tiene por lados A y D es igual al rect´angulo que tiene como lados B y C. En la proposici´ on VII.19 establece el cl´asico resultado seg´ un el cual cuatro n´ umeros est´ an en proporci´ on si el producto de medios es igual al producto de extremos: m : n = s : t, si mt = ns. Observemos que la proposici´on VII.19 se posibilita gracias a la definici´on de producto entre n´ umeros, establecido por Euclides en la Definici´on VII.14, como lo vimos antes. Pero la operaci´ on producto no tiene sentido para los segmentos. El problema, como lo visualizaron los matem´aticos del siglo XVI y XVII, radica en la diferencia entre el uno y la unidad. Si aceptamos la multiplicaci´on entre segmentos, tendremos que la proposici´ on VI.16 servir´a de base para establecer la medida del rect´ angulo en t´erminos de longitudes. De esta manera se va abriendo paso el c´alculo del ´area de un rect´ angulo como base por altura. Sin embargo, m´ as all´ a de estos aspectos, que s´olo aparecen de manera impl´ıcita en los Elementos, Euclides establece un puente de contacto entre n´ umero y magnitud en el libro X de los Elementos en el cual establece las nociones de magnitudes conmensurables e inconmensurables. Definici´ on X.1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible que haya una medida com´ un. Si planteamos el segmento inicial como una unidad base, observamos que Euclides est´a estableciendo la posibilidad de referenciar el universo de las magnitudes, entendiendo que ese universo se compone de dos conjuntos disjuntos: los conmensurables y los inconmensurables. Definici´ on X.2. Las l´ıneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma ´area, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un ´ area como medida com´ un. Con estos supuestos, se demuestra que hay un n´ umero infinito de rectas respectivamente conmensurables e inconmensurables, unas s´olo en longitud y otras tambi´en en cuadrado con una recta determinada. En la proposici´ on X.1, establece la imposibilidad de tener un segmento unidad generador, menor que cualquier otro segmento, que posea las caracter´ısticas del “uno” en los n´ umeros. Esta proposici´ on constituye la base del m´etodo de exhauci´on, el cual servir´a de base a Arqu´ımedes para desarrollar algunos aspectos de la cuadratura del c´ırculo y calcular la cuadratura de la par´abola, como lo veremos en la tercera lectura. Proposici´ on X.1. Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (magnitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y as´ı sucesivamente, quedar´a una magnitud que ser´a menor que la magnitud menor dada.

78

N´ umero y magnitud en los Elementos

En la proposici´ on X.2 formaliza el proceso de antiphairesis planteado al inicio de esta lectura, mediante el cual se demuestra la inconmensurabilidad de magnitudes. Proposici´ on X.2. Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes ser´an inconmensurables. En la proposici´ on X.5 establece lo que podr´ıamos denominar el primer acercamiento formal entre n´ umero y magnitud. Proposici´ on X.5. Las magnitudes conmensurables guardan entre s´ı la misma raz´on que un n´ umero guarda con un n´ umero. Para la demostraci´ on identifica los dos procesos de medir que antes hab´ıa especificado para magnitudes y para n´ umeros. Sin embargo, el proceso de formalizaci´on de estos dos universos de cantidades dur´o m´as de veinticinco siglos y constituye lo que hist´oricamente se conoce como la constituci´on del continuo como objeto matem´atico. Demostraci´ on euclidiana. 7 Sean A, B magnitudes conmensurables. Digo que A guarda con B la misma raz´on que un n´ umero con un n´ umero. Pues, como A, B son conmensurables, alguna magnitud las medir´a. M´ıdalas una magnitud y sea Λ. Y cuantas veces Λ mida a A, tantas unidades haya en ∆, y cuantas veces Λ mida a B, tantas unidades haya en B. A

B

C

∆ E Figura 2.21 As´ı pues, dado que Λ mide a A seg´ un las unidades de ∆ y la unidad mide a ∆ seg´ un sus unidades, entonces la unidad mide al n´ umero ∆ el mismo n´ umero de veces que la magnitud Λ a la (magnitud) A; luego, como Λ es a A, as´ı la unidad es a ∆ [VIII Def. 20]; entonces, por inversi´on, como A es a Λ, as´ı ∆ a la unidad [V.7 Por.]. Como Λ mide a su vez a ∆ seg´ un las unidades de E, mientras que la unidad mide tambi´en a E seg´ un sus unidades, entonces la unidad mide a E el mismo n´ umero de veces que Λ a B. Luego, como Λ es a B, as´ı la unidad es al (n´ umero) E. Pero se ha demostrado que tambi´en como A es a Λ, ∆ es a la unidad. Luego, por igualdad, como A es a B, as´ı el n´ umero ∆ es al (n´ umero) E [V.22]. 7

[Euclides 1996]

2.14 Seguimiento Lectura 2

79

Por consiguiente, las magnitudes conmensurables A, B guardan entre s´ı la misma raz´ on que el n´ umero ∆ con el n´ umero E.8

2.14.

Seguimiento Lectura 2

1. Describa el impacto de la escuela pitag´orica en el desarrollo de las matem´aticas. 2. Establezca la influencia de la filosof´ıa de Plat´on y Arist´oteles en las matem´aticas de la antig¨ uedad griega. 3. Compare la Antiphairesis, aplicada a las magnitudes, con el proceso de divisibilidad num´erica. 4. ¿C´ omo incidi´ o la emergencia de la inconmensurabilidad en la cosmovisi´on pitag´ orica? 5. Revise la demostraci´ on de la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del pent´ agono regular. Demuestre que en la figura 2.11, ABCD1 es un paralelogramo. 6. Analice la relaci´ on de las proposiciones II.11 y VI. 30, que corresponden a la proporci´ on ´ aurea. 7. Muestre que el lado y la diagonal del pent´agono est´an en raz´on ´aurea. 8. Analice y comente la siguiente demostraci´on de la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del cuadrado: Con centro en B se traza la circunferencia ABC. Supongamos que existe un segmento HK que mide al cateto AB y a la hipotenusa BC; esto es: AC = AB = nHK BC = mHK AB = BF (radios) F D = AD (tangentes) 8

La prueba descansa, en parte, sobre la noci´ on de proporci´ on prevista para los n´ umeros y en el supuesto t´ acito de que los t´erminos que sean proporcionales en el sentido de la def. 20 del libro VII, tambi´en lo ser´ an en el sentido generalizado de la def. 5 del libro V. Euclides, despu´es de dar dos caracterizaciones aut´ onomas y separadas de la proporcionalidad, una para las magnitudes en el libro V y otra para los n´ umeros en el libro VII, viene a suponer que las segundas pueden considerarse un caso particular de las primeras. De una relaci´ on similar entre magnitudes y n´ umeros ya se hab´ıa hecho eco Arist´ oteles (Anal´ıticos Segundos, 74a17, 75b4-5). Pero esta correspondencia entre las magnitudes conmensurables y los n´ umeros no deja de resultar ahora un tanto inesperada. Se ha llegado a decir que la falta de una correlaci´ on expresa entre unas y otros, antes del libro X, constituye probablemente la mayor laguna de los Elementos en cuesti´ on de fundamentos (I. Mueller, op, cit., p´ ag 138).

80

N´ umero y magnitud en los Elementos

B F

A

D

C

Figura 2.22. Ejercicio 8 F C = BC − AB = mHK − nHK

F C = (m − n)HK = sHK

´angulos A y F son rectos

´angulo D = ´ angulo B = ´ angulo C F D = F C (tri´ angulo FDC es is´osceles) DC = AC − AD = AC − F D = AC − F C

DC = nHK − sHK = (n − s)HK = tHK

El mismo argumento se puede seguir con el tri´angulo is´osceles de FDC, de tal suerte que HK medir´ıa al cateto y a la hipotenusa de un tri´angulo is´osceles menor que FDC. El proceso se puede seguir indefinidamente y se llega a la misma conclusi´ on, lo cual es contradictorio.

9. Sean A, B, C, D, E y F magnitudes, demuestre: a A > B, s´ı y s´ olo si, para toda magnitud G, A : G > B : G. b Si A : B = C : D y C : D = E : F , entonces A : B = E : F . c Si A : B = C : D, entonces A : C = B : D. 10. Demuestre la proposici´ on VI.1: Los tri´angulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son entre s´ı como sus bases. 11. Revise las proposiciones VI.1, VI.2, VI.3 de los Elementos de Euclides y con base en ellas demuestre las proposiciones VI.4 y VI.5, mediante las cuales se establece que: Dos tri´ angulos son semejantes si y s´olo si tienen sus tres ´angulos iguales. 12. Demuestre la proposici´ on VI.11: Construir la tercera proporcional a dos rectas dadas.

2.14 Seguimiento Lectura 2

81

13. Demuestre la proposici´ on VI.12: Construir la cuarta proporcional entre tres rectas dadas. 14. Demuestre la proposici´ on VI.13: Construir la media proporcional entre dos rectas dadas. 15. Analice la demostraci´ on VII.1 y saque conclusiones sobre el estilo y la forma de demostrar resultados num´ericos como Euclides. 16. Demuestre la proposici´ on VII.2 de los Elementos de Euclides. 17. Demuestre que dos razones a : b y c : d, est´an en proporci´on, a : b = c : d, si existen n´ umeros p, q, m y n tales que a = mp, b = mq; c = np, d = nq 18. Sean a, b, c, d n´ umeros, demuestre: i. a : b = c : d implica a : c = b : d ii. a : c = b : c implica a = b iii. a : b = c : d implica (a + b) : b = (c + d) : d 19. Demuestre la proposici´ on VII.19: Si cuatro n´ umeros son proporcionales, el producto del primero y el cuarto ser´a igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro n´ umeros ser´ an proporcionales. 20. Analice las proposiciones VII.31, VII.32, IX.14 y con base en ellas, demuestre el teorema fundamental de la aritm´etica. 21. Demuestre la proposici´ on IX.20: Hay m´as n´ umeros primos que cualquier cantidad propuesta de n´ umeros primos. (Suponga un n´ umero finito de primos: P1 , P2 y . . . , Pn , considere el n´ umero: P1 P2 · · · Pn + 1). 22. ¿Puede demostrar que el conjunto de los primos es un conjunto actualmente infinito? 23. Teniendo como base la definici´on VII.23, de n´ umeros perfectos, demuestre la n proposici´on IX.36: Si el n´ umero 2 − 1 es primo, entonces 2n−1 (2n − 1) es un n´ umero perfecto. 24. Revise el proceso demostrativo de la proposici´on X.5 de los Elementos: Las magnitudes conmensurables guardan entre s´ı la misma raz´on que un n´ umero guarda con un n´ umero. Analice los elementos conceptuales que le permiten tender un puente entre las razones entre n´ umeros y las razones entre magnitudes.

Bibliograf´ıa Lectura 2 [Arist´ oteles 1999] Arist´ oteles: Metaf´ısica, Barcelona, Editorial Planeta-DeAgostini, S. A. (De la Biblioteca cl´ asica Gredos), 1999. [Arist´ oteles 1967] Arist´ oteles: Obras Completas. Madrid, Aguilar S. A. Ediciones, segunda edici´ on, 1967. [Levi 2000] Beppo, Levi: Leyendo a Euclides. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2000. [Bernab´e 1996] Bernab´e, A. (Traductor): De Tales a Dem´ocrito. Fil´osofos presocr´aticos. Barcelona, Atalaya S. A., 1996. [Boyer 1987] Boyer, Carl: Historia de la Matem´atica. Madrid, Alianza Editorial, 1987. [Caveing 1998] Caveing, Maurice:L’irrationalit´e dans les math´ematiques grecques jusqu’` a Euclide. Paris, Presses Universitaires du Septentrion, 1998. ´ [Dhombres 1980] Dhombres, Jean: Nombre, medure et continu. Epist´ emologie et histoire. Nantes, CEDIC/Fernand Nathan, 1980. [Edwards 1982] Edwards, C. H.: The historical Development of the Calculus. New York, Springer-Verlag, 1982. [Euclides 1996] Euclides: Elementos. Libros X-XIII. Madrid, Editorial Gredos S. A. (De la Biblioteca cl´ asica Gredos), 1996. [Euclides 1999] Euclides: Elementos. Madrid, Editorial Planeta - DeAgostini, S. A. (De la Biblioteca cl´ asica Gredos), 1999. [Euclides 1970] Euclides: Elementos de geometr´ıa. En: Cient´ıficos griegos. Recopilaci´ on de Francisco Vera. Madrid, Aguilar, 1970, pp. 689-980. [Euclid 1956] Euclid: The thirteen books of the Elements. Dover Publications, Inc., segunda edici´ on, New York, 1956. (Transladada con Introducci´on y comentarios por Sir Thomas Heath) (Reimpresi´on de la edici´on de 1908) (Primera Edici´ on 1908).

2.14 Bibliograf´ıa Lectura 2

83

[Garcia 1992] Garcia Bacca, Juan David: Euclides. Elementos de Geometr´ıa. M´exico, Universidad Aut´ onoma Nacional de M´exico, 1992. [Mondolfo 1942] Mondolfo, Rodolfo: El infinito en el pensamiento de la antiguedad cl´asica. Buenos Aires, Editorial Losada, S. A., 1942. [Kline 1994] Kline, Morris (1972): El Pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Madrid, Alianza Editorial, 1994. [Plat´on 1967] Plat´ on: Obras Completas. Madrid, Aguilar S. A. Ediciones, segunda edici´ on, 1967.

“¡Eureka!” Lo que exclam´ o mientras corr´ıa desnudo de su ba˜ nera, d´ andose cuenta de que midiendo el desplazamiento de agua que produce un objeto, comparado con su peso, el podr´ıa medir su densidad (y as´ı determinar la proporci´ on de oro que fue usada al hacer la corona del rey); como se cita por Vitruvius Pollio en De Architectura, ix.215 “Dadme un punto fijo y mover´e el mundo” Afirmaci´ on donde demuestra el principio de la palanca, como se cita por Pappus of Alexandria, Synagoge, Book VIII, c. AD 340; tambi´en en Chiliades (12th century) por John Tzetzes, II.130

Lectura

3

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas 3.1.

El programa matem´ atico de Arqu´ımedes

Como se ha estudiado en las dos primeras lecturas, los Elementos de Euclides constituyen una respuesta parcial al problema de construir un cuerpo te´orico que d´e cuenta de las actividades de contar, medir y ordenar. Euclides resuelve, en los libros I y II de los Elementos, el problema de la cuadratura de figuras planas rectil´ıneas con regla y comp´ as. Es lo que conocemos como geometr´ıa plana euclidiana. Arqu´ımedes complementa los desarrollos de Euclides, partiendo de tres consideraciones: 1. La adopci´ on de las fracciones y las ra´ıces inexactas como cantidades 2. La aceptaci´ on de algunos procesos f´ısicos como elementos heur´ısticos para obtener cuadraturas. 3. El establecimiento de un formalismo para los procesos infinitos. El primer aspecto le permite establecer una aproximaci´on de π. Un ejemplo de la segunda consideraci´ on es el uso de los principios de la palanca para establecer relaciones entre cuadraturas. A trav´es de este proceso Arqu´ımedes demuestra que un segmento parab´ olico es igual a 4/3 del tri´angulo mayor inscrito. Mediante el tercer aspecto Arqu´ımedes establece las primeras bases conceptuales del c´alculo infinitesimal al interrelacionar el problema del paso al l´ımite, los procesos infinitos y la composici´ on del continuo. Tres aspectos hist´oricamente conexos.

3.2 La obra de Arqu´ımedes

85

Para entender el valor hist´ orico de los desarrollos de Arqu´ımedes es conveniente tener en cuenta que para el tratamiento de los procesos infinitos, los primeros cient´ıficos se basaron en la filosof´ıa atomista. El pionero de esta corriente fue Dem´ocrito, quien consideraba que los cuerpos continuos se compon´ıan de magnitudes indivisibles denominadas ´ atomos. Para establecer la medida de las magnitudes bastaba con determinar la manera de sumar los infinitos ´atomos. La consideraci´ on de que las magnitudes continuas se compon´ıan de un conjunto infinito de indivisibles dio lugar a la aparici´on de la paradoja de la dicotom´ıa y la paradoja de Aquiles, enunciadas por Zen´on hacia el siglo V a. C., y las cuales conocemos gracias a Arist´ oteles: El segundo razonamiento es el que se llama con el nombre de ✭✭Aquiles✮✮. es este: el ser que corre m´as despacio en una carrera no ser´a jam´as alcanzado por el que corre m´as r´apido, pues el que persigue al tro debe comenzar por alcanzar el punto de que ha partido ya el fugitivo, de manera que el m´ as lento posee posee siempre una ventaja. Es el mismo argumento que el de la dicotom´ıa.1 Matem´ aticamente, las dos paradojas plantean la imposibilidad de realizar la suma infinita, ∞ ) 1 1 , donde 0 < < 1, n r r n=1

que modernamente, corresponde a una serie geom´etrica de raz´on menor que uno. De esta forma, las paradojas de Zen´on mostraban que los planteamientos atomistas llevaban directamente a manipulaciones contradictorias con el infinito, a menos que se elaborara un m´etodo convincente del paso al l´ımite. La primera salida fue dada por Eudoxo a trav´es del m´etodo exhaustivo. En el libro XI de los Elementos, Euclides desarrolla algunos aspectos relativos a la cuadratura del c´ırculo a trav´es del llamado m´etodo exhaustivo. Arqu´ımedes visualiz´o en el m´etodo exhaustivo la herramienta te´ orica para establecer la cuadratura de varias figuras planas no rectil´ıneas. Con este fin desarroll´ o algunas t´ecnicas por medio de las cuales pudo obtener unos l´ımites particulares. Por esta raz´ on es considerado uno de los forjadores del C´alculo, como disciplina matem´atica. A pesar de ser oriundo de Siracusa, Arqu´ımedes desarroll´o sus investigaciones en correlaci´ on con los matem´aticos del Museo de Alejandr´ıa.

3.2.

La obra de Arqu´ımedes

Desde un comienzo, los trabajos de Arqu´ımedes han influido poderosamente en las concepciones f´ısicas y matem´ aticas de diferentes ´epocas; primero fueron divulgadas por Her´on, Pappus y The´ on en Alejandr´ıa en los siglos III y IV d.C. Las versiones 1

[Arist´ oteles 1977], p.660.

86

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

que han llegado hasta nosotros corresponden a versiones bizantinas y ´arabes, que siguen el hilo conductor de las diversas guerras e invasiones acaecidas por m´as de veinte siglos. Las obras de Arqu´ımedes corresponden a breves e intensas monograf´ıas en las cuales guarda cierta distancia metodol´ogica con sus contempor´aneos, y se acerca a nuestra forma actual de hacer matem´aticas. Su producci´on, bastante copiosa, sin contar con lamentables p´erdidas y mutilaciones, se mantuvo en el anonimato hasta despu´es del siglo XIII. Entre sus principales obras se pueden se˜ nalar: 1. Sobre la esfera y el cilindro. Corresponde a dos comunicaciones al ge´ ometra Dositeo. 2. Medida del c´ırculo. Tratado breve que parece ser un resumen, con fines escolares, de la obra llamada Sobre la periferia del c´ırculo, citada por Pappus. 3. Sobre conoides y esferoides. En donde se explica y utiliza el m´etodo exhaustivo. Fue traducido al lat´ın por Commandino. 4. Sobre las espirales. La primera edici´on latina es tambi´en de Commandino. 5. Del equilibrio de los planos o de sus centros de gravedad. Trata de los centros de gravedad de los paralelogramos y los tri´angulos. Es una de las obras m´as famosas de Arqu´ımedes, traducida al franc´es por Pierre Forcadet de Bezi`eres en 1656. 6. El arenario. Constituye el m´as avanzado documento sobre la numeraci´on griega. La primera edici´ on latina es la de Hamel. Se trata de un trabajo dedicado al rey Gel´ on II, hijo de Hier´on II, con el fin de probarle que el n´ umero de granos de arena del universo no es infinito. Para ello, Arqu´ımedes concibe un sistema de numeraci´ on con el cual da cuenta de cantidades muy grandes. 7. De la cuadratura de la par´ abola. Junto con Del equilibrio de los planos, conforma un tratado de Est´ atica. Incluye un prefacio dedicado al alejandrino Dositeo, donde presenta soluciones mec´anicas y geom´etricas a la cuadratura de cualquier segmento parab´ olico. 8. Sobre los cuerpos flotantes. Se trata de dos libros traducidos por Tartaglia en 1543. 9. El m´etodo. Constituye uno de los hallazgos m´as importante en los tiempos modernos para el estudio de las matem´aticas griegas. De esta obra, que se consideraba perdida, s´ olo se ten´ıa una alusi´on de Suidas a un comentario de Teodosio, hasta que Johan Ludving Heiberg en 1906, confirm´o su sospecha de que el palimpsesto de Jerusal´en conten´ıa algunos de los trabajos de Arqu´ımedes; despu´es de algunos estudios, confirm´o la sospecha. En 1906, se traslad´o a Constantinopla para examinar el manuscrito.

3.2 La obra de Arqu´ımedes

87

Las obras que se consideran perdidas son las siguientes: 1. Principios. Libro dedicado a Zeusipo, que el propio Arqu´ımedes cita en el Arenario diciendo que se trata de los nombres de los n´ umeros. 2. Poliedros. Libro en el cual estudia los trece poliedros semi-regulares. 3. Sobre la palanca. Contiene deducciones de su ley de equilibrio y estudios de la balanza. 4. Sobre los centros de gravedad. Libro en el cual calcul´o el centro de gravedad de un segmento de paraboloide de revoluci´on. 5. Cat´ optrica. Citada por Te´on de Alejandr´ıa. Puede decirse que con Arqu´ımedes la ciencia griega alcanza su m´aximo florecimiento. Porque si bien con Euclides la matem´atica antigua logr´o encontrar la manera de validar los enunciados a partir de una axiom´atica, fue Arqu´ımedes quien, adem´as de complementarla y perfeccionarla, logr´o una mayor flexibilidad al incorporar procesos heur´ısticos. En general, Arqu´ımedes usa la ep´ıstola como m´etodo de divulgaci´on de sus investigaciones. Casi todas sus obras inician con un saludo al destinatario, acompa˜ nado del enunciado de los problemas a los cuales se va a referir. A continuaci´on presenta los presupuestos te´ oricos que le servir´an de base. Primero enuncia los axiomas y definiciones (no establece una clara distinci´on entre estas dos categor´ıas), luego los principios (postulados) y finalmente el cuerpo de proposiciones. Para visualizar estos aspectos tomaremos como referencia Sobre la esfera y el cilindro, uno de los textos de mayor significado hist´orico. Sobre la esfera y el cilindro corresponde a una carta enviada a Fositeo, en la cual aborda la medida de superficies y vol´ umenes de cuerpos “redondos” que no aparecen en la obra de Euclides. En el libro I, Arqu´ımedes presenta los siguientes resultados: 1. La medida de la superficie de una esfera es el cu´adruplo de la de su c´ırculo m´aximo. 2. La medida de un segmento esf´erico equivale a la de un c´ırculo de radio igual a la recta trazada desde el v´ertice del segmento a la circunferencia del c´ırculo base del segmento. 3. Un cilindro de base igual al c´ırculo m´aximo de una esfera y altura igual al di´ ametro de la misma esfera, es el triple de la mitad de la esfera. 4. La medida de la superficie del cilindro es tambi´en igual al triple de la mitad de la esfera.

88

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

5. Una pir´ amide es el tercio de un prisma de la misma base y de la misma altura. 6. Un cono es el tercio de un cilindro de la misma base y de la misma altura. Para llegar a estos resultados, Arqu´ımedes incorpora algunas definiciones y principios. Las definiciones describen los objetos geom´etricos considerados y los principios corresponden a los postulados de la geometr´ıa establecida por Arqu´ımedes.

Definiciones 1. En un plano hay ciertas l´ıneas curvas limitadas, todas las cuales est´an situadas del mismo lado de las rectas que unen sus extremos o, al menos, que no tienen ninguna parte del otro lado de estas mismas rectas. 2. Llamo c´ oncava en la misma direcci´on, a la l´ınea tal que las rectas que unen cualquiera de sus puntos caen completamente del mismo lado de la l´ınea. 3. Tambi´en hay superficies limitadas que, teniendo sus extremos en un plano sin yacer sobre ´el, est´ an todas situadas del mismo lado de aquel en que tienen sus extremos o, al menos, no tienen ninguna parte en el otro lado. 4. Llamo c´ oncava en la misma direcci´on a la superficie tal que las rectas que unen dos cualesquiera de sus puntos caen del mismo lado de la superficie o algunas de ellas del mismo lado, otras en la superficie y algunas a distinto lado. 5. Llamo sector s´ olido a la figura limitada por la superficie de un cono que corta a la esfera, teniendo el v´ertice en el centro de ´esta, y por la superficie de la esfera comprendida en el cono. 6. Llamo rombo s´ olido a la figura s´olida compuesta de dos conos de la misma base y v´ertice a distinto lado del plano de las bases, de modo que sus ejes est´en en la l´ınea recta. Es conveniente hacer algunas consideraciones con respecto a las anteriores definiciones. En primer lugar, observemos que algunas de estas definiciones introducen conceptos geom´etricos novedosos con respecto a la geometr´ıa euclidiana, como la noci´ on de concavidad. Se ampl´ıa el universo de las l´ıneas y las superficies. Euclides s´ olo trataba con rectas, circunferencias, cilindros y conos, en cambio, Arqu´ımedes trataba con l´ıneas y superficies en t´erminos generales.

Principios Los axiomas fundamentales usados por Arqu´ımedes son los siguientes: 1. L´ınea recta es la m´ as corta de todas las que tienen los mismos extremos.

3.3 La obra de Arqu´ımedes

89

2. Dos l´ıneas de un plano con los mismos extremos son desiguales cuando ambas son c´ oncavas en la misma direcci´on y una de ellas est´a completamente limitada por la otra y por la recta que tiene los mismos extremos que esta otra, o cuando una de ellas solo est´ a parcialmente limitada por la otra y el resto es com´ un. La l´ınea limitada es la m´ as corta. 3. An´ alogamente, de todas las superficies que tienen los mismos l´ımites en un plano, la menor es la superficie plana. 4. Dos superficies que tienen los mismos l´ımites en un plano son desiguales cuando ambas son c´ oncavas en la misma direcci´on y una de ellas est´ a completamente limitada por la otra y el plano que tiene los mismos l´ımites que esta otra, o cuando una de ellas solo est´a parcialmente limitada por la otra y el resto es com´ un. La superficie limitada es la menor. 5. Dadas dos l´ıneas, dos superficies o dos s´olidos desiguales, si el exceso de una de estas figuras sobre la otra se a˜ nade a s´ı mismo un cierto n´ umero de veces, se puede superar una u otra de las figuras que se comparan entre s´ı. El principio 1 intenta dar cuenta de una caracter´ıstica m´etrica de la recta. Corresponde a un enunciado de gran difusi´on entre los matem´aticos. Adoptada primero por Te´on de Esmirna en el siglo II d. C., alcanz´o gran popularidad a partir de ´ los Elements de g´eom´etrie (definici´on III, Par´ıs, 1794), de Legendre, quien lo tom´o como definici´ on. Sin embargo, es una definici´on m´as difusa que la del mismo Euclides. Supone que se tiene una caracterizaci´on previa de la longitud o, en lenguaje moderno, que se cuente con una funci´ on distancia con la cual “medir” las l´ıneas. Adem´as, involucra un proceso infinito ya acabado, pues equivale a decir que entre la totalidad de l´ıneas que pueden pasar por dos puntos, hay una m´as corta que las dem´as. Pero sabemos que se pueden trazar infinitas l´ıneas entre los dos puntos, y la escogencia exige que se tenga la totalidad de ellas. Este es un presupuesto bastante exigente sin la noci´on de infinito actual. Los principios 2, 3 y 4 corresponden a criterios de desigualdad no establecidos por Euclides. Adem´ as, incluye el concepto de m´ınimo, que Arqu´ımedes se vio obligado a postular debido a la imposibilidad de una demostraci´on con los recursos geom´etricos existentes. El principio 5 se conoce en la actualidad como axioma de Arqu´ımedes. Atribuido a Eudoxo de Cnido, corresponde a la definici´on 4, libro V, de los Elementos. Precisamente Euclides lo utiliza para la demostraci´on de la proposici´on 1 del libro X, base del llamado m´etodo exhaustivo, que le permite a Arqu´ımedes “cuadrar” figuras no rectil´ıneas como la par´ abola. El m´etodo exhaustivo (de exhaution en ingl´es o exhauci´on en espa˜ nol) corresponde, teniendo el cuidado de evitar causalidades directas, al antecedente m´as importante del c´ alculo infinitesimal.

90

3.3.

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

Arqu´ımedes y los primeros pasos del c´ alculo matem´ atico

Podemos decir que los trabajos matem´aticos de Arqu´ımedes constituyen el punto de partida en el desarrollo del c´ alculo moderno en el sentido de que en ellos se puede visualizar una primera respuesta general a problemas relacionados con el c´omputo de la medida de magnitudes. Al respecto encontramos una enorme diferencia con Euclides y la tradici´ on griega cl´asica de la escuela ateniense quienes reivindicaban el cultivo de unas matem´ aticas puras, desde˜ nando los c´alculos y aproximaciones. El caso de la cuadratura del c´ırculo, lugar com´ un de los dos matem´aticos, es un ejemplo esclarecedor. Ambos abordan el problema de la relaci´on entre el ´area de los c´ırculos y los cuadrados de sus di´ ametros. En la proposici´on XII.2 de los Elementos, Euclides plantea: Proposici´ on XII.2 (Elementos). Los c´ırculos son entre s´ı como los cuadrados de sus di´ametros. En la proposici´ on 2 de su libro Medida del c´ırculo, Arqu´ımedes enuncia la relaci´on de la siguiente manera: Proposici´ on 2 (Medida del c´ırculo). La raz´on de un c´ırculo al cuadrado de su di´ ametro es aproximadamente la de 11 a 14. El enunciado de Euclides no hace alusi´on ni al valor ni a la naturaleza de la relaci´on. El inter´es de Arqu´ımedes, en cambio, recae en el c´alculo de la constante de proporcionalidad. Hoy sabemos que se trataba de uno de los problemas de mayor trascendencia hist´ orica, como lo es el c´alculo de π. Aqu´ı es necesario aclarar que si bien, formalmente, el universo num´erico para los matem´ativos griegos corresponde al establecido por Euclides en el libro VII de los Elementos, el uso de las fracciones, incluyendo sus operaciones, era com´ un entre comerciantes y navegantes. En este sentido no podemos decir que las fracciones y las ra´ıces de n´ umeros fueron un invento de los alejandrinos. Sin embargo, correspondi´o a los matem´aticos de esta escuela incorporar tales cantidades al cuerpo te´orico de las matem´aticas. En particular, Arqu´ımedes hace uso tanto de las fracciones como de las ra´ıces cuadradas para realizar c´ alculos que a´ un hoy se nos antojan complejos. Tambi´en Arqu´ımedes realiz´ o c´alculos que incluyen el trazado de tangentes. Concretamente, para calcular la cuadratura de la par´abola por medios mec´anicos, debe construir un tri´ angulo cuya hipotenusa es tangente a la curva. La concepci´on arquimediana de recta tangente va m´as all´a de la de Euclides. En el libro III, de los Elementos, Euclides presenta la siguiente definici´on de tangente: Definici´ on III.2 (Tangente a una circunferencia). Se dice que una recta es tangente a un c´ırculo cuando lo toca y prolongada no lo corta.

3.4 La cuadratura de la par´ abola por medios mec´ anicos

91

En esta definici´ on, Euclides est´a incorporando el concepto de intersecci´on unitaria de una curva particular -la circunferencia-, y una recta -la tangente-. M´as tarde, Arqu´ımedes y Apolonio extender´an la noci´on a las c´onicas. Pero ´estas son curvas que no cambian de concavidad; en el caso de la hip´erbola, se define para cada una de las ramas ignorando la otra. S´olo Arqu´ımedes extiende el concepto a una curva diferente, como lo es la espiral, en la proposici´on 13 de su tratado Sobre las Espirales. Para Arqu´ımedes, la espiral reafirma la relaci´on entre geometr´ıa y mec´anica, en cuanto que su construcci´ on involucra un aspecto din´amico. Sabemos que la geometr´ıa euclidiana es una geometr´ıa esencialmente est´atica, que busca domesticar el movimiento a trav´es de un sistema axiom´atico. Por ejemplo, el c´ırculo se define como una figura plana circundada por una sola l´ınea, que se llama periferia, respecto de la cual las rectas que sobre ella inciden desde uno de los puntos colocado en el interior de la figura, son iguales entre s´ı. Definici´on que no involucra ning´ un tipo de movimiento, y donde los puntos aparecen est´aticos. En la definici´on de la espiral de Arqu´ımedes ocurre lo contrario: Definici´ on de Espiral. Si una l´ınea recta gira a una raz´on uniforme alrededor de una de sus extremidades, la cual permanece fija y retorna a la posici´on en la cual empez´ o, y si, al mismo tiempo que la l´ınea gira, un punto se mueve a una raz´ on uniforme a lo largo de la l´ınea recta comenzando desde la extremidad la cual permanece fija, el punto describir´a una espiral en el plano.2 En t´erminos generales, podemos se˜ nalar tres l´ıneas de desarrollo en las investigaciones matem´ aticas de Arqu´ımedes: 1. Aproximaciones a n´ umeros irracionales y representaci´ on de n´ umeros grandes. Es el caso de la aproximaci´on de π y la utilizaci´on de una nomenclatura adecuada para dar cuenta de que el n´ umero de granos de arena del universo es finito. 2. C´ alculo de la cuadratura de la par´abola por medios mec´anicos. 3. C´ alculo de cuadraturas y cubaturas por el m´etodo exhaustivo. En los siguientes apartados describimos algunos desarrollos de estos tres aspectos.

3.4.

La cuadratura de la par´ abola por medios mec´ anicos

A continuaci´ on vamos a presentar la cuadratura de la par´abola seg´ un la versi´on de El m´etodo. En esta demostraci´ on Arqu´ımedes hace uso de procesos de ´ındole extra matem´atico, como las leyes de equilibrio. El m´etodo, como dijimos antes, es un libro recuperado recientemente, en el cual Arqu´ımedes nos muestra la heur´ıstica de sus 2

[Arqu´ımedes 1970E], p. 151.

92

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

descubrimientos. Concretamente en los referentes a la cuadratura de la par´abola, y de algunas propiedades de cubaturas donde intervienen conos, cilindros, esferas y esferoides. Como se notar´ a, no tiene ning´ un problema en hacer intervenir principios f´ısicos en el logro de resultados matem´aticos. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el mismo Arqu´ımedes pensaba que no constitu´ıan demostraciones de manera rigurosa. El m´etodo es una hermosa carta a Erat´ostenes, en ese momento bibliotecario de Alejandr´ıa, al cual le expl´ıcita su idea de que si bien ha llegado a los resultados planteados, espera que otros lo resuelvan empleando m´etodos estrictamente matem´ aticos: Reconociendo, como digo, tu celo y tu excelente dominio en materia de filosof´ıa, am´en de que sabes apreciar, llegado el caso, la investigaci´on de cuestiones matem´ aticas, he cre´ıdo oportuno confiarte por escrito, y explicar en este mismo libro, las caracter´ısticas propias de un m´etodo seg´ un el cual te ser´ a posible abordar la investigaci´on de ciertas cuestiones matem´ aticas por medio de la mec´anica. Algo que, por lo dem´ as, estoy convencido, no es en absoluto menos u ´til en orden a la demostraci´on de los teoremas mismos. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentes por la mec´ anica, recibieron luego la demostraci´ on por geometr´ıa, habida cuenta de que la investigaci´on por este m´etodo queda lejos de una demostraci´on; como que es m´as f´acil construir la demostraci´on despu´es de haber adquirido por ese m´etodo cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto.3 Los presupuestos previos usados por Arqu´ımedes para llegar a sus resultados tienen que ver con algunas leyes de la mec´ anica. En su libro Del equilibrio de los planos presenta los postulados para problemas mec´anicos en los cuales integra figuras geom´etricas a trav´es de la noci´on de centro de gravedad (centroides, para las superficies, seg´ un terminolog´ıa actual). Para el caso de la cuadratura de la par´abola, desarrollada en el El m´etodo, Arqu´ımedes comienza asumiendo diez proposiciones sobre los centros de gravedad, a partir de las cuales basa todo su m´etodo de descubrimiento. Enunciemos aquellas que utiliza en la cuadratura de la par´abola. 1. Si de una magnitud se quita otra y el centro de gravedad de la magnitud total y de la quitada est´ an en el mismo punto, este punto es tambi´en el centro de gravedad de la magnitud restada. 2. Si de un peso se quita otro de distinto centro de gravedad, el del peso que queda es un punto de la prolongaci´on de la recta que une el centro de gravedad del peso primitivo y el quitado, cuyas distancias a estos est´an en raz´on inversa de los mismos. 3

[Arqu´ımedes 1986], p. 35.

3.4 La cuadratura de la par´ abola por medios mec´ anicos

93

3. El centro de gravedad de un tri´angulo es el punto en que se cortan mutuamente las rectas trazadas desde cada v´ertice al punto medio del lado opuesto. [M´as a´ un, el punto de corte de las medianas se llama baricentro y dos tercios de la longitud de cada mediana est´an entre el v´ertice y el baricentro, mientras que el tercio restante est´ a entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.] 4. El centro de gravedad de un paralelogramo est´a en la recta que une los puntos medios de los lados opuestos. 5. Los centros de gravedad de dos figuras que coinciden, tambi´en coinciden. 6. Dos pesos conmensurables se equilibran [en una palanca] a distancias [calculadas a partir del punto de apoyo] inversamente proporcionales a ellos. 7. El teorema es tambi´en cierto cuando los pesos son inconmensurables. Algunos de estos enunciados corresponden a postulados y otros a teoremas. Llama la atenci´ on que Arqu´ımedes no introduzca la noci´on de centro de gravedad. Es probable que lo hubiese hecho en Sobre la palanca o Sobre los centros de gravedad, anterior y que, como hemos dicho antes, es una de sus obras perdidas. Se supone que su definici´ on ha sido retomada por Pappus, para quien el centro de gravedad de un cuerpo corresponde a uno de sus puntos interiores que cumple la propiedad de que el cuerpo permanece en reposo si se admite suspendido de ese punto. La palanca de Arqu´ımedes se supone formada de un punto de apoyo y de dos brazos. En t´erminos modernos, la ley del equilibrio se puede visualizar en la figura 3.1. x

y

M

m

Figura 3.1. Ley de equilibrio Si el sistema est´ a en equilibrio entonces, y M = . m x Veamos el proceso seguido por Arqu´ımedes para establecer la cuadratura de la par´ abola utilizando las leyes de la mec´anica expuestas antes. Proposici´ on 1 (El m´etodo). Sea ABT un segmento de par´abola limitado por la recta AT y la par´ abola ABT, D el punto medio de AT, B el v´ertice de la par´abola, y la recta DB el eje de la par´ abola, entonces el segmento de par´abola ABT equivale a las cuatro terceras partes del tri´angulo ABT.

94

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

Demostraci´ on. Sea ZT la recta tangente a la par´abola en el punto T y ZA perpendicular a AT .

G Z

I

M

H

E N

K

C B O

A

F

D

T

Figura 3.2. Cuadratura de la par´abola por medios mec´anicos Sea F un punto cualquiera de AT . Se traza M F perpendicular a AT ; igualmente se traza IT , colineal con BT , tal que T K = KI . Las siguientes igualdades se cumplen para la par´abola (ver ejercicio): EB = BD,

MF TA = . FO AF

(3.1)

Los tri´ angulos AKT y F N T son semejantes, por lo tanto, TK TA = . KN AF

(3.2)

De las dos igualdades anteriores se tiene, MF TK KI = = . FO KN KN Esta proporci´ on se puede interpretar de manera mec´anica de acuerdo a las proposiciones 6 y 7 del libro Del equilibrio de los planos, como se puede visualiza en la figura 3.3. Los pesos MF y GH est´an equilibrados con respecto al eje ZA, tomando a K como punto de equilibro. De esta forma se tendr´ a que:

3.4 La cuadratura de la par´ abola por medios mec´ anicos

95

M G K

I

N

H F

Figura 3.3. Equilibrio de dos segmentos

1. KN es la distancia de M F a K y KI la distancia de GH a K, ¿por qu´e? 2. N es el centro de gravedad de M F , por ser su punto medio. 3. Se coloca el centro de gravedad de GH en I. Si llamamos R al segmento parab´olico ABT, se puede generalizar el resultado anterior, en el sentido de que se cumple para toda recta paralela a AZ del tri´angulo AZT y tambi´en para toda recta paralela a AZ del segmento parab´olico R. De esta forma tenemos que si R se coloca con su centro de gravedad se equilibrar´a con el tri´ angulo AZT colocado en su centro de gravedad, como muestra la figura 3.4.4 Z B x R

y

A A

T T

Figura 3.4. Par´ abola equilibrada por un tri´angulo 4

Como lo ha demostrado Arqu´ımedes, el centro de gravedad del tri´ angulo AZT se localiza en su mediana KT , es decir a 13 del v´ertice K, el cual se denota por el punto C en la figura 3.4.

96

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

De acuerdo a lo anterior se tendr´a, Par´abola R y = , Tri´angulo AZT x donde y = KC corresponde al centro de gravedad del tri´angulo AZT y x = KI. Dado que el centro de gravedad del tri´angulo es 31 de su mediana, cumple la relaci´on, 1 y = , x 3 entonces Par´abola R 1 = . Tri´angulo AZT 3 Por otro lado, como Tri´ angulo AZT = 4(Tri´angulo ABT ), entonces Par´ abola R =

4 (Tri´ angulo AZT ), 3

como se quer´ıa demostrar.

3.5.

El m´ etodo exhaustivo

Como manifestamos en el apartado 3.1, el m´etodo exhaustivo surgi´o como respuesta a las paradojas surgidas en el tratamiento de los procesos infinitos. Utilizado ya desde la ´epoca de Eudoxo, el m´etodo exhaustivo se soporta sobre la proposici´on X.1 de los Elementos. Proposici´ on X.1 (Elementos). Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad y se repite continuamente este proceso, quedar´ a una magnitud menor que la menor de las magnitudes dadas. Demostraci´ on. De acuerdo a la figura 3.5, sean AB y G dos magnitudes tal que AB es la mayor. Por la definici´ on V.4 de los Elementos de Euclides, llamado el principio 5 por Arqu´ımedes, se puede multiplicar G de tal forma que supere a AB. Sea DE un m´ ultiplo de G, tal que DE > AB. Euclides procede para el caso en el cual tres veces G supera a AB. Se toma en DE, las partes DZ, ZH y HE, iguales a G.

3.5 El m´etodo exhaustivo

97

A

B R K

D

G

T

Z

H

E

Figura 3.5. Divisibilidad de magnitudes En el segmento AB se efect´ ua el proceso planteado tantas veces como partes en que se ha dividido DE ; concretamente se toma en AB los segmentos AT, AK y AR, de tal forma que: 1 AT < AB, 2 1 AK < AT, 2 1 AR < AK, 2 3G = DE > AB, 1 1 1 (3G) = DE > AB > AT, 2 2 2 1 1 1 ( (3G)) > AT > AK. 2 2 2 Como DZ = G >

3 3 G y G > AK, entonces AK < G, como se ped´ıa. 4 4

En t´erminos modernos, esta proposici´on se puede enunciar de la siguiente manera: Sean M0 y ε dos magnitudes dadas, y sea M0 , M1 , M2 , . . . Mn . . ., una sucesi´on tal que, M1 < M0 , M2 < M1 , . . . , Mn+1 < Mn , . . . entonces existe n tal que Mn < ε, que en lenguaje moderno significa: l´ım Mn = 0.

n→∞

Estamos preparados para presentar el m´etodo exhaustivo. La esencia matem´atica de este m´etodo consiste en la sucesi´on de las siguientes operaciones, las cuales vamos a matizar tomando como referencia la figura 3.6, suponiendo que se va a “cuadrar” la figura no rectil´ınea R. Para el caso en consideraci´ on tomemos como base la figura 3.7.

98

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

R

Figura 3.6. Figura no rectil´ınea B E

D

C A

F Figura 3.7. M´etodo exhaustivo 1. Se inscribe (circunscribe) una sucesi´on de figuras rectil´ıneas A0 , A1 , A2 , . . . , An , . . . que crecen mon´ otonamente. En este caso: A1 = ABC, A2 = ABECF, . . ., etc. 2. Las figuras se escogen de tal suerte que la sucesi´on R − A1 , R − A2 , . . . , R − An , . . . cumpla con las hip´otesis de la proposici´on X.1. de los Elementos. 3. Con ayuda de consideraciones te´oricas, se presume el “l´ımite” en la sucesi´on de las figuras inscritas, el cual se designa por A. Se demuestra que el “l´ımite A”, es igual a la regi´on R: 1. Se supone R > A, de lo cual R − A > 0, y por lo tanto, por el principio de Eudoxo, existe n tal que R − An < R − A; esto significa que An > A, lo cual es imposible.

3.6 Arqu´ımedes y la cuadratura del c´ırculo

99

2. Se supone R < A, de lo cual A − R > 0, y por lo tanto, dado que la sucesi´on An tiene por l´ımite A, se tiene que existe n tal que A − An < A − R y de aqu´ı se deduce que An > R, lo cual es imposible.

3.6.

Arqu´ımedes y la cuadratura del c´ırculo

En su texto Medida del c´ırculo, Arqu´ımedes presenta tres proposiciones en las cuales expone sus avances en la resoluci´on del problema cl´asico de la cuadratura del c´ırculo. En la primera proposici´ on demuestra que todo c´ırculo es equivalente a un tri´angulo rect´ angulo cuyos catetos corresponden al radio y a la longitud de la circunferencia. Ello significa que la cuadratura del c´ırculo es posible, a condici´on de que se pueda calcular la longitud de la circunferencia. Para ello Arqu´ımedes se apoya en el hecho de que la raz´ on entre la longitud de la circunferencia y el radio es constante. Para establecer estos resultados Arqu´ımedes se basa en algunas proposiciones de los Elementos de Euclides. De esta manera, a pesar de que la proposici´on 7 de Sobre la esfera y el cilindro usa el m´etodo exhaustivo para demostrar que un c´ırculo se puede agotar a trav´es de una sucesi´on de pol´ıgonos, aclara que dicho resultado se encuentra desarrollado en los Elementos. Proposici´ on XII.2 (Elementos). Los c´ırculos son entre s´ı como los cuadrados de sus di´ametros. En el marco de la demostraci´on de esta proposici´on, Euclides demuestra que un c´ırculo se puede agotar por medio de pol´ıgonos inscritos; esto es, dado un c´ırculo C y una magnitud superficial ϵ, existe una sucesi´on de pol´ıgonos Pn inscritos en C, tal que C − Pn < ϵ, para alg´ un n´ umero n, como se puede visualizar en la figura 3.8. Demostraci´ on. Tomemos una sucesi´on de pol´ıgonos, inscritos en la circunferencia C: P0 : Cuadrado AEF H, P1 : Oct´ ogono ABEKF GHI, .. . Pn : Pol´ıgono regular 2n+2 lados inscrito en C, .. . De manera que M0 = C − P0 , M1 = C − P1 , M2 = C − P2 , . . . , Mn = C − Pn . Como M0 − M1 = C − P0 − (C − P1 ) = P1 − P0

= 4(Tri´angulo EKF )

100

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

= 2(Rect´angulo ECDF ) > 2(Sector EKF ) 1 = (C − P0 ) 2 1 = M0 . 2 Podemos afirmar que M1 < 12 M0 , como quer´ıamos demostrar.

C

K

E

D F

B

G

H

A I

Figura 3.8. El m´etodo Exhaustivo aplicado al c´ırculo Proposici´ on 1 (Medida del c´ırculo). Un c´ırculo es equivalente un triangulo rect´angulo cuyos catetos son iguales al radio y a la circunferencia del c´ırculo. Para la demostraci´ on Arqu´ımedes emplea reducci´on al absurdo, utilizando pol´ıgonos inscritos y circunscritos, como se visualiza en la figura 3.9. Demostraci´ on. Primero se supone que C > T , es decir C − T > 0, donde T es el tri´ angulo ABD. Por la proposici´on XII.2 de los Elementos, existe Pn un pol´ıgono inscrito en la circunferencia, tal que, C − Pn < C − T, de lo cual Pn > T. De otro lado, si consideramos l como la longitud de la circunferencia, se tiene que, Pn = n(Tri´ angulo que tiene de base Sn y altura h)

3.7 El algoritmo de Arqu´ımedes para el c´ alculo de π

101

D

Ln Rn l

h Sn

R = Rn

B

A

Figura 3.9. Cuadratura del c´ırculo = Tri´ angulo que tiene de base nSn y altura h < Tri´ angulo de lado l y altura Rn , puesto que nSn < l y h < Rn . Por lo tanto Pn < T , lo que contradice el resultado anterior. En segundo lugar se supone que C < T , de lo cual T −C > 0. Usando XII.2 de los Elementos, para el caso de pol´ıgonos circunscritos, existe Qn , pol´ıgono circunscrito, tal que, Qn − C < T − C, de lo cual Qn < T. De otro lado,

Qn = n(Tri´ angulo de base Ln y altura Rn ) = Tri´ angulo de base nLn y altura Rn > Tri´ angulo de lado l y altura Rn , puesto que nLn > l. Esto significa que Qn > T , lo cual contradice el resultado anterior. Por lo tanto, C = T , como se quer´ıa demostrar.

3.7.

El algoritmo de Arqu´ımedes para el c´ alculo de π

En el apartado 3.4 pusimos de presente que Arqu´ımedes, en la proposici´on 2 de la Medida del c´ırculo, aborda el problema de la relaci´on entre el ´area del c´ırculo y el

102

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

cuadrado de su di´ ametro, de manera distinta a como lo hace Euclides en la proposici´on XII.2 de los Elementos. El hecho es que mientras que Euclides se conforma en demostrar la relaci´ on, Arqu´ımedes busca cuantificar la situaci´on. Desde un punto de vista moderno, Arqu´ımedes est´ a planteando la aproximaci´on: 11 πR2 , ≈ (2R)2 14 es decir,

π 11 ≈ , 4 14

de lo cual se deduce que

44 = 3,15, 14 que es una aproximaci´ on poco confiable de π. Es claro que los resultados de Arqu´ımedes est´an medidos completamente por fuera de estos razonamientos. Refuerza este comentario la proposici´on 3 de la Medida del c´ırculo: π≈

Proposici´ on 3 (Medida del c´ırculo). La circunferencia de un c´ırculo es igual al triple del di´ ametro m´ as una parte de este, la cual es menor que la s´eptima parte y mayor que los diez setenta y un avos del di´ametro mismo.5 En lenguaje moderno Arqu´ımedes va a establecer que para una circunferencia de longitud C y di´ ametro D, se tiene que 3D +

1 10 D < C = Dπ < 3D + D. 71 7

lo que es equivalente a,

10 1

= , (3.5) HG ZG 153 153 que corresponde a la aproximaci´on para el dodec´agono circunscrito. Para el caso del pol´ıgono de 24 lados se aplica el teorema de Pit´agoras al tri´angulo HGE, obteniendo, EG2 + HG2 5712 + 1532 349450 EH 2 = > = , 2 2 2 HG HG 153 23409 que implica:

596 81 6 EH ≈ . HG 153 Aplicando el procedimiento anterior para los tri´angulos GEH y GET , se tiene que :

596 81 + 571 1167 81 HE + EG GE = > = . TG HG 153 153 Para las aproximaciones de los pol´ıgonos de 48 y 96 lados se utilizan los tri´angulos GEK y GEL, respectivamente. Siguiendo el m´etodo utilizado para los pol´ıgonos de 12 y 24 lados, se obtienen las siguentes proporciones: 2334 14 EG > GK 153 √ El valor 596 18 corresponde a una aproximaci´ on de 349450; aunque no es una buena aproximaci´ on, satisface la desigualdad requerida para la aproximaci´ on de π. 6

3.7 El algoritmo de Arqu´ımedes para el c´ alculo de π

105

4673 12 EG > . LG 153 En el u ´ltimo caso EG corresponde al radio del c´ırculo y LG a la mitad del lado del pol´ıgono de 96 lados: r = EG, (1/2)L96 = LG. Si denominamos D al di´ametro del c´ırculo, tenemos que, 4673 12 2EG D = > . L96 2LG 153 De esta forma, la relaci´ on entre el di´ametro del c´ırculo y el per´ımetro del pol´ıgono de 96 lados, p96 , circunscrito ser´ a: 4673 12 4673 12 D > = . 96L96 96 × 153 14688 Si colocamos p96 = 96L96 obtenemos: 14688 p96 < . D 4673 12 Si designamos con C a la longitud de la circunferencia, obtenemos: C p96 14688 . < < D D 4673 12 Dado que,

Por lo tanto:

3(4673 12 ) + 667 12 3(4673 21 ) + 71 (4673 12 ) 14688 = < . 4673 12 4673 12 4673 12 C 1

. D D Por lo tanto, C 10 6336 >3+ . > 1 D 71 2017 4

Interpretaci´ on moderna del algoritmo de Arqu´ımedes Algunos autores interpretan modernamente los desarrollos de Arqu´ımedes comparando pol´ıgonos regulares de n lados con pol´ıgonos de 2n lados. Para el caso de la aproximaci´ on por exceso consideran la figura 3.13, en la cual GE es el radio de la circunferencia de radio 1, centro E y LE biseca al ´angulo KEG. El segmento GK es la mitad del lado del pol´ıgono regular circunscrito de n lados, que se representa

3.7 El algoritmo de Arqu´ımedes para el c´ alculo de π

107

por Ln y GL corresponde a la mitad del lado del pol´ıgono circunscrito de 2n lados, el cual se representa por L2n .

K

L

P

G

E

Figura 3.13. Aproximaci´on por exceso Si se prolonga GE hasta P y se une P con K, de tal forma que LE es paralelo a KP, se tendr´ a que los tri´ angulos GLE y GKP son semejantes; por lo tanto el tri´angulo EKP es is´ osceles, por lo tanto, GK GL = . GE GE + KE Tenemos que GK = Ln y GL = L2n . Como el tri´angulo KGE es rect´angulo, si se toma GE = 1, por el teorema de Pit´agoras: * KE = 1 + L2n , obteniendo la proporci´ on:

L L2n *n , = 1 1 + 1 + L2n

de la cual se deduce la f´ ormula recursiva: L2n =

L *n . 1 + 1 + L2n

(3.6)

Para el caso de la aproximaci´on por defecto se considera la figura 3.14, en la cual AG es el di´ ametro de la circunferencia de centro E y LA biseca al ´angulo KAG. El segmento GK es igual a un lado del pol´ıgono regular circunscrito de n lados, denotado por Sn , y GL corresponde a un lado del pol´ıgono circunscrito de 2n lados, denotado por S2n . Dado que los tri´ angulos GAL, LGZ y ZAK son semejantes se tendr´an las siguientes proporciones: GZ AK ZK AG = y = ; AL LG AL LG

108

Arqu´ımedes y el problema de las cuadraturas

K

L

Z

G

E

A

Figura 3.14. Generalizaci´on aproximaci´on de π por defecto de lo cual se sigue que, AG + AK GZ + ZK GK = = . AL LG LG Si AG = 2, GK = Sn , GL = S2n y dado que el tri´angulo GKA es rect´angulo, se tiene que, * * AK = AG2 − GK 2 = 22 − Sn2 , de lo cual se deduce que,

2+ *

*

4 − Sn2

2 4 − S2n

=

Sn . S2n

Realizando las operaciones respectivas se obtiene: + % & * 2 , S2n 2 + 4 − Sn2 = Sn 4 − S2n % & * 2 2 S2n 4 + 4 4 − Sn2 + 4 − Sn2 = Sn2 (4 − S2n ), & % * 2 2 , 8 + 4 4 − Sn2 − Sn2 = 4Sn2 − Sn2 S2n S2n & % * 2 8 + 4 4 − Sn2 = 4Sn2 , S2n % & * 2 2 + 4 − Sn2 = Sn2 , S2n S2 *n , 2 + 4 − Sn2 , S2 *n = , 2 + 4 − Sn2

2 S2n =

S2n

3.8 Cuadratura de la par´ abola por el m´etodo exhaustivo

S2n = +

Sn . * 2 2 + 4 − Sn

109

(3.7)

√ Si en la ecuaci´ on (3.6) se toma L6 = 1/ 3 y en la ecuaci´on (3.7) se toma S6 = 1, se tendr´ıa que, √1 3

L12 = 1+

+

1+

1 3

=

1 √ , 2+ 3

1 1 S12 = * =* √ √ . 2+ 4−1 2+ 3

En t´erminos generales entonces se tendr´a que nSn < C < 2nLn , puesto que Sn es la longitud del lado del pol´ıgono inscrito y Ln es la mitad de la longitud del lado del pol´ıgono circunscrito en el c´ırculo, que tiene a C como la longitud de su circunferencia. Si tomamos como D el di´ ametro se tendr´ıa, en t´erminos modernos, que: nSn < πD < 2nLn .

(3.8)

Si tomamos, como lo hace Arqu´ımedes, n = 6 y D = 2, obtenemos S6 = 1 y √ L6 = 1/ 3. Calculando, de manera recursiva, L12 , L24 , L48 , L96 , S12 , S24 , S48 , S96 , se obtiene que L96 = 0, 032737 y S96 = 0, 065438. De acuerdo a la ecuaci´ on 3.8 se tendr´ıa que 96S96 < C < 96(2L96 ), que traducido al lenguaje moderno ser´ a 96S96 < Dπ < 96(2L96 ); reemplazando D = 2, se obtiene que √ 48S96 < π < 96L96 . Utilizando el hecho que 265/153 < 3 < 1351/780, llegamos a la aproximaci´ on: 10 1 3 1. 3. De los dos numerales anteriores se tiene que 1 < x < 2. 4. Pero x no puede ser una fracci´on de la forma p/q, donde p y q son n´ umeros naturales, puesto que, de acuerdo a la ecuaci´on (5.2), se tendr´a que, p2 p p3 + + = 2. 3 2 10q 5q q Esto no es posible puesto que, p3 p2 p + + 10q 3 5q 2 q no es un n´ umero entero. 5. De acuerdo a los tres numerales anteriores, la ecuaci´on (5.1) no tiene soluciones √ racionales. Tampoco puede darse que x = n, n un n´ umero natural, ya que, de acuerdo a la ecuaci´ on (5.1), 20 − 2x2 , x= 10 + x2 √

n = (20 − 2n)/(10 + n), lo cual no es posible. * √ 6. Despu´es de probar que x no puede tampoco tomar la forma (n + m), con n y m naturales, Fibonacci calcula x de una manera aproximada: x ≈ 1,368808106, que corresponde a la soluci´on de la ecuaci´on con un error menor que 0, 00000006. lo que implicar´ıa que

M´ as all´ a de que Fibonacci no haya logrado establecer el algoritmo para la soluci´on de ecuaciones c´ ubicas, que como veremos m´as adelante se desarroll´o en el siglo XVI, es importante destacar el reconocimiento de la existencia de soluciones no racionales que no corresponden a ra´ıces cuadradas. Esto marca una l´ınea de desarrollo que culmina con la construcci´ on de los n´ umeros reales en el siglo XIX. Los avances en la aritm´etica se fueron dando a la par del desarrollo de una simbolog´ıa potente; se exig´ıa una representaci´on que diera cuenta de las nuevas operaciones y de los “nacientes n´ umeros”. Este es uno de los aspectos que muestra la importancia de Nicol´ as Oresme (1328-1382), quien incorpor´o una notaci´on particular para los n´ umeros mixtos y para exponentes fraccionarios. En su obra Algorismus proportionum utiliza las representaciones:

150

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

p 1 3 2

corresponde a 3 12

1 p 3 7

corresponde a 7 13

p 1 1 3 2 2

corresponde a

+ 5

3 12

En De proportionibus proportionum, Oresme desarrolla propiedades de las razones y proporciones que traducidas a lenguaje moderno corresponden a las reglas: xn xm = x(n+m) y (xn )m = xnm . Incluso estableci´o algunos adelantos en lo referente a potencias irracionales, por√ejemplo presenta en lenguaje de proporciones una potencia que corresponder´ıa a a 2 e incorpor´o un sistema de representaci´on de cantidades que insin´ ua un sistema coordenado. En sus documentos Tractactus de lantitudinibus formarum y Tractatus de uniformitate et defformitate intensionum establece una representaci´ on gr´ afica del movimiento. En una l´ınea vertical representa los cambios de la velocidad, que denomina latitudes, y en la horizontal representa los cambios del tiempo, que denomina longitudes. En el siglo XV, Nicol´ as Chuquet (1445-1488) introduce el cero como exponente, algunas potencias negativas, perfecciona la simbolog´ıa algebraica con la incorporaci´on de algunos signos especiales y establece algunas representaciones para ecuaciones, en una especie de ´ algebra sincopada. Su obra Triparty en la science des nombres, editada en 1484, es el primer libro de ´algebra aparecido en Francia. En la primera parte de este libro establece algoritmos para las operaciones b´asicas, llamando la atenci´on sobre la potencia de la notaci´on indo-ar´abica. En la segunda parte introduce representaciones simb´ olicas para las ra´ıces y potencias de manera sincopada, de la siguiente forma: 1. Escribe 31 · 42 por 3x · 4x2 . 2. Para la resta (abreviatura de la palabra minus) utiliza m. 3. Para ax−k utiliza amk . 4. Para la suma utiliza p. 5. Para la ra´ız cuadrada utiliza Rx . * √ 4 As´ı, para 26 + 38 − 4−2 , Chuquet escrib´ıa Rx4 26pRx2 38m42m .

5.2 Los algoritmos operativos y los sistemas de representaci´ on

151

En la tercera parte del libro, Chuquet presenta m´etodos de resoluci´on de ecuaciones, introduciendo formas de representaci´on. El primer libro impreso de ´ algebra, escrito por Luca Pacioli (1445-1517) en 1494, corresponde a Summa de arithmetica, geometrica, proportiolanita. Editado en italiano, se trata de una recopilaci´on de resultados de aritm´etica, ´algebra, geometr´ıa euclidiana y contabilidad, en el cual Pacioli abrevia las formas de representaci´on de la manera como aparece en la tabla siguiente: Representaci´ on moderna x x2 x3 x4 + − √ − √ 3 −

Representaci´ on de la ´ epoca cosa censo cubus censo censo piu minus

Abreviatura de Pacioli co ce cu ce.ce p m R o R2 R3

Tabla 5.1 Este tipo de abreviaturas le permite desarrollar, de manera simplificada, los m´etodos de soluci´ on de ecuaciones lineales y cuadr´aticas. En lugar de los signos p y m para la adici´on y la resta usados por los italianos, el alem´an Johannes Widman incorpora, en una aritm´etica comercial de 1489, los modernos s´ımbolos + y −. En su libro Arithmetica integra de 1544, Michael Stifel opera con fracciones e incorpora nuestro s´ımbolo actual para las ra´ıces. Como se ve, a´ un se notan ciertos problemas de escritura, los cuales se van perfeccionando en los siguientes siglos. En su obra La Aritm´etica de 1585, el matem´atico Flandes Sim´on Stevin establece un cambio importante en el acercamiento hist´orico entre n´ umeros y magnitudes. Recordemos que para los antiguos griegos la naturaleza de las magnitudes era diferente a la de los n´ umeros. El n´ umero correspond´ıa a una colecci´on de unidades, de tal suerte que la unidad no pod´ıa catalogarse propiamente como un n´ umero, pues no era una pluralidad. Como consecuencia de ello, la unidad se conceb´ıa como un objeto sint´etico sin posibilidad de fraccionarse indefinidamente, la cual era una propiedad inherente a las magnitudes. Stevin no s´ olo ten´ıa el ambicioso objetivo de recopilar en La Aritm´etica todos los avances matem´ aticos hasta su ´epoca, sino tambi´en incorporar nuevos objetos como las fracciones. Para ello empieza asign´andole la propiedad de n´ umero a la unidad. Al plantear que “uno es n´ umero”, al inicio de La Aritm´etica, Stevin le confiere a

152

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

la unidad, cualidades de divisibilidad infinita propia de las magnitudes. Su idea era dotar a las partes de la unidad de propiedades aritm´eticas, abonando el camino para la construcci´ on hist´ orica de los n´ umeros racionales. Esa aritm´etica de las fracciones, obtenidas de la divisi´ on de la unidad, le permiten introducir la representaci´on decimal y perfilar la aplicaci´ on de la proposici´on VII.19 de los n´ umeros a las magnitudes, seg´ un la cual, en una proporci´ on el producto de medios es igual al producto de extremos. Sin embargo, el producto de magnitudes como tal s´olo tuvo que esperar a la publicaci´ on de la Geometr´ıa de Descartes cincuenta a˜ nos despu´es.

5.3.

Los n´ umeros del renacimiento

Hacia el siglo XVI, aunque se utilizaban algunos n´ umeros irracionales en los c´alculos, a´ un se dudaba si tales expresiones deber´ıan ser consideradas como n´ umeros. Algunos usaban las ra´ıces inexactas de acuerdo la tradici´on hind´ u y ´arabe de una manera libre, y al igual que el cero, las aceptaban como n´ umeros en un operativo. El *sentido √ m n a + b, y Gerolamo alem´ an Michel Stifel, por ejemplo, usaba ra´ıces de la forma Cardano no ten´ıa ning´ un inconveniente en trabajar y racionalizar ra´ıces c´ ubicas. Sin embargo, a´ un se dudaba si tales expresiones deber´ıan ser tomados como n´ umeros en un sentido estricto; al respecto, el mismo Stifel en su Arithmetica integra de 1544, escrib´ıa: Dado que, al analizar figuras geom´etricas, cuando nos fallan los n´ umeros racionales toman su lugar los irracionales y prueban exactamente las cosas que los n´ umeros racionales no pudieron probar... nos vemos movidos y obligados a afirmar que son verdaderos n´ umeros; obligados por los resultados que se siguen de su uso; resultados que percibimos como reales, ciertos y constantes. Por otra parte, otras consideraciones nos obligan a negar que los n´ umeros irracionales sean n´ umeros en absoluto. Esto es, cuando tratamos de someterlos a numeraci´on [representaci´on decimal]... hallamos que se escapan continuamente, de forma que ninguno de ellos puede ser aprehendido precisamente en s´ı mismo... Y nada de tal naturaleza carente de precisi´ on puede llamarse n´ umero... Por consiguiente, de la misma forma que un numero infinito no es un n´ umero, un n´ umero irracional no es un n´ umero verdadero, sino que yace oculto en una especie de nube de infinitud. M´ as tarde, pensadores como Blaise Pascal e Isaac Barrow se˜ nalaban que no se pod´ıan ver los irracionales como n´ umeros, sino como magnitudes geom´etricas; sustentaban la idea de que las ra´ıces inexactas no ten´ıan una existencia independiente de las magnitudes geom´etricas continuas cuya operatividad se soportaba en el principio de Eudoxo para las magnitudes.

5.4 Los algebristas italianos y la soluci´ on de la ecuaci´ on c´ ubica

153

De esta manera, no hab´ıa un consenso sobre la ontolog´ıa de los n´ umeros ni sobre sus fundamentos l´ ogicos. En general cohabitaban acercamientos diferentes: ∗ Para Simon Stevin los irracionales eran entidades independientes. No ve´ıa contradicci´ on en aceptarlos como n´ umeros que se obten´ıan mediante aproximaciones de racionales. ∗ John Wallis, en su Treatise of Algebra, tambi´en aceptaba los irracionales como n´ umeros en sentido estricto, basado en la idea de que el libro V de los Elementos era un libro de naturaleza esencialmente aritm´etica. ∗ Ren´e Descartes, en Reglas para la direcci´ on del esp´ıritu, admit´ıa los irracionales como n´ umeros abstractos que pueden representar magnitudes continuas. Consideraba u ´nicamente de manera parcial las ra´ıces negativas. ∗ En general no se aceptaban n´ umeros negativos. Nicolas Chuquet y Stifel, consideraban absurdo aceptar los n´ umeros negativos. ∗ Gerolamo Cardano consideraba las ra´ıces negativas de las ecuaciones como ficticias, mientras que a las positivas las denominaba ra´ıces reales. ∗ Rafael Bombelli fue uno de los primeros en intentar una definici´on clara de los n´ umeros negativos.

5.4.

Los algebristas italianos y la soluci´ on de la ecuaci´ on c´ ubica

La b´ usqueda de procedimientos algor´ıtmicos para la soluci´on de ecuaciones de la forma Pn (x) = 0, donde Pn (x) es un polinomio de grado n, se convirti´o en el problema central de los matem´ aticos renacentistas. En esta direcci´on, el primer referente importante, como vimos antes, es Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita de Luca Pacioli. Seg´ un Pacioli, para la ecuaci´on: cubo m´as cosa igual a n´ umero, que corresponde a nuestra moderna ecuaci´on no era posible encontrar una soluci´on general como el algoritmo de resoluci´on de la ecuaci´on de segundo grado. El problema de resolver ecuaciones c´ ubicas data de la antig¨ uedad griega. Por ejemplo, en la proposici´ on 5 de Sobre la esfera y el cilindro: “cortar una esfera por un plano de modo que los vol´ umenes de los segmentos producidos tengan una raz´on dada”, Arqu´ımedes plantea la ecuaci´on c´ ubica x3 − 3R3 x + 2kR3 = 0.1 En el libro VI de su Aritm´etica, Diofanto resuelve la ecuaci´on c´ ubica x3 − 4x2 + x − 1 = 0, en el marco del problema 17, consistente en “encontrar un tri´angulo 1

[Arqu´ımedes 1970], p. 83.

154

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

rect´ angulo tal que el n´ umero de su ´area, aumentado en el de la hipotenusa, forme un cuadrado, y el n´ umero de su per´ımetro sea un cubo”.2 La b´ usqueda de m´etodos para resolver las ecuaciones c´ ubicas fue afrontada por los matem´ aticos italianos del siglo XVI. Especialmente por Nicol´as Tartaglia (1500´ 1557), Rafael Bombelli (1526-1573) y Gerolamo Cardano (1501-1576). Este es un cap´ıtulo de la historia de las matem´aticas recargado de pasiones y envidias, donde unos y otros se ocultaban informaci´on, tratando de entorpecer y retrasar avances y reformulaciones. En general es aceptado que fue Escipi´on del Ferro (1465-1526), profesor de Bologna, quien fue el primero en resolver la ecuaci´on de tercer grado de la forma simplificada x3 + px = q, en un proceso que es transcrito por Cardano, el cual se presenta m´ as adelante. Parece que Del Ferro s´ olo le comunic´o su resultado a su disc´ıpulo Antonio Mar´ıa del Fiore, quien utiliz´ o esta informaci´on en su disputa con Nicol´as Tartaglia. En 1535 Fiore ret´o a Tartaglia a un debate p´ ublico con respecto a la resoluci´on de ecuaciones de tercer grado. El debate fue ganado, de lejos, por Tartaglia, quien logr´o resolver todas las ecuaciones; en cambio Fiore no pudo resolver ninguna. La victoria de Tartaglia lleg´o a o´ıdos de Cardano, quien ten´ıa el proyecto de producir una obra que sintetizara los desarrollos de la ´epoca. El 2 de enero de 1539, Cardano le escribe una extensa misiva en la cual le manifiesta estar enterado de su disputa con Fiore y de sus logros en la soluci´on de ecuaciones; al mismo tiempo, dado que est´ a en proceso de publicar una obra matem´atica de gran envergadura, le expresa que le ser´ıa muy grato socializar el m´etodo de soluci´on de la ecuaci´on c´ ubica y consignar el nombre de su descubridor. Si bien Tartaglia no accedi´o de inmediato, parece que guiado por su vanidad, le env´ıo sus resultados.

5.5.

El Ars magna de Cardano

Con la ayuda de Luis Ferrari, Cardano complet´o todos los detalles de la soluci´on de la ecuaci´on de tercer grado y los consign´o en su libro Artis magnae sive de regulis algebraicis, que sali´ o a la luz p´ ublica en 1545. Ars magna est´a escrito en lenguaje ret´ orico con algunos atisbos de ´algebra sincopada. Consta de veinte cap´ıtulos y en la introducci´ on hace reconocimientos a Tartaglia, del Ferro y Ferrari: Escipi´ on del Ferro, de Bolonia, encontr´o hace tiempo un cap´ıtulo verdaderamente bello y admirable del cubo y de las cosas iguales a n´ umero. Tal arte, superando a toda humana sutileza y al esplendor de todo ingenio mortal, atestigua el valor de su mente, y es cosa de tanta maravilla que quien la ha inventado puede vanagloriarse de que nadie le superar´a. ´ Emulo suyo es mi amigo Nicol´as Tartaglia, de Brescia, quien, en una 2

[Diofanto 1970], p. 1137.

5.5 El Ars magna de Cardano

155

disputa que sostuvo con Antonio Maria del Fiore, disc´ıpulo de Escipi´on del Ferro, tambi´en lo encontr´o y me lo comunic´o a mi luego, sin demostraci´ on, la cual he redactado en diferentes casos con el auxilio de mi antiguo disc´ıpulo Luis Ferrari. Lo de ´este va con su nombre y todo lo dem´ as es cosa m´ıa. En la introducci´ on de Ars magna tambi´en reconoce que ha seguido los trabajos de los ´arabes, Leonardo de Pisa y Luca Pacioli. A continuaci´on desarrolla su teor´ıa de soluci´on de ecuaciones. 1. En el primer cap´ıtulo aborda ecuaciones con soluciones dobles, llamando la atenci´ on en su rechazo a las soluciones negativas. Sin embargo, utiliza las cantidades negativas en los procedimientos operativos, enunciando sus leyes operativas. 2. En el segundo cap´ıtulo desarrolla algoritmos para resolver ecuaciones cuadr´aticas y algunas de tercer grado. 3. En el tercer cap´ıtulo expone a partir de un ejemplo, la manera de soslayar las soluciones negativas. 4. En el cuarto cap´ıtulo cataloga las soluciones de una ecuaci´on. 5. Del cap´ıtulo quinto al d´ecimo soluciona algunas ecuaciones particulares de segundo grado, obtiene unas soluciones a partir de otras y soluciona algunas ecuaciones con dos inc´ ognitas. 6. En los cap´ıtulos del XI al XXIII presenta los 13 casos de las ecuaciones c´ ubicas primarias. En Ars magna, Cardano establece el siguiente proceso para la soluci´on de la ecuaci´on c´ ubica. 1. Hace un cambio de variable para transformar esta ecuaci´on en otra ecuaci´on que no tenga t´erminos cuadr´aticos. 2. Ubica la ecuaci´ on c´ ubica de la forma x3 + px + q = 0 en uno de los casos del algoritmo de Tartaglia. Para la demostraci´on del m´etodo recurre a algunas proposiciones euclidianas que corroboran los pasos. 3. Presenta algunos ejemplos, mediante los cuales explica los procesos operativos y reafirma su demostraci´ on. Las soluciones desarrolladas por Cardano siguen los algoritmos establecidos por Tartaglia, pero no se limita a transcribirlos, sino que los interpreta y los explica de

156

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

manera geom´etrica. Para ello se basa en un cubo de lado a, el cual se divide en dos partes: b y a − b, obteniendo: (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 , de lo cual se sigue que (a − b)3 + 3ab(a − b) = a3 − b3 . Si se toma p = 3ab y q = a3 − b3 , entonces x = a − b es soluci´on de la ecuaci´on x3 + px = q. De acuerdo a lo anterior, dado que b = p/3a , tendremos que a3 −

p3 = q, 27a3

o, lo que es lo mismo: a6 − qa3 −

p3 = 0, 27

la cual es equivalente a la ecuaci´on (a3 )2 − q(a3 ) −

p3 = 0, 27

que puede interpretarse como ecuaci´on de segundo grado, con soluci´on: 0 q2 q p3 a3 = ± + , 2 4 27 de donde a=

, 3

q + 2

0

q2 4

+

p3 27

y

b=

, 3

q − 2

0

q2 p3 + 4 27

Observemos que si en la ecuaci´ on (a − b)3 + 3ab(a − b) = a3 − b3 , hacemos x = a − b, obtenemos la ecuaci´ on x3 +3abx = a3 −b3 y la equiparamos con x3 +px = q, tenemos que p = 3ab y q = a3 − b3 . Si utilizamos la sustituci´on u = a3 y v = b3 , tenemos que para obtener la soluci´ on de la ecuaci´on c´ ubica debemos resolver el sistema: uv =

% p &3

3 u − v = q.

,

De lo cual se puede deducir que x = u1/3 −v 1/3 , tal como fue planteado por Tartaglia, quien no s´ olo estableci´ o el algoritmo para este caso, sino para los otros, como se puede visualizar en el siguiente cuadro.

5.5 El Ars magna de Cardano

157

Cuando el cubo m´ as las cosas es igual a n´ umero, se buscan dos n´ umeros cuya diferencia es este n´ umero y cuyo producto sea igual al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas: la diferencia de sus ra´ıces c´ ubicas es la cosa principal Cuando, en cambio, el cubo est´ a s´ olo, se debe seguir esta regla: dividir el n´ umero en dos partes tales que su producto sea igual al cubo del tercio de las cosas y entonces la suma de las ra´ıces c´ ubicas de esas partes dar´ a lo buscado El tercer caso, si se mira bien, se resuelve como el segundo, al cual es similar

x3 + px = q u−v = q uv = (p/3)3 √ √ x= 3u− 3v

x3 = px + q u+v = q uv = (p/3)3 √ √ x= 3u+ 3v

x3 + q = px

Tabla 5.2 Para el caso 2, Cardano observa que se debe cumplir la desigualdad (p/3)3 ≤ (q/2)2 , con el objetivo de esquivar las soluciones con radicales negativos. En los casos planteados antes, los coeficientes p y q son positivos. En este sentido es conveniente observar que, desde un punto de vista moderno, a trav´es del algoritmo de Tartaglia-Cardano podemos solucionar todas las variantes de la ecuaci´on ±x3 ± px ± q = 0. Cardano tambi´en visualiz´ o los n´ umeros complejos√en el proceso de soluci´on de 3 la ecuaci´on x = 15x + 4, al topar con la expresi´on −121. Cardano no acepta el car´acter num´erico de √ esta expresi´on, a diferencia de Rafael Bombelli que introduce la notaci´ on i para −1, inici´ andose la implementaci´on de los n´ umeros complejos a las matem´ aticas. No se puede decir que Bombelli interpretara las ra´ıces negativas como n´ umeros; simplemente las utiliz´ o en los procesos operativos como cantidades, de tal suerte que le proporcionaran informaci´ on sobre las ra´ıces reales. Aclaremos esto para el caso 3 de la ecuaci´ on x = 15x + 4, la cual corresponde al caso 2. Si hacemos u + v = 4 y uv = (15/3)3 , obtenemos las soluciones: u=2+ v =2−

√

√

−121

−121.

158

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

Bombelli observ´ o que si operaba, sin preocuparse sobre la naturaleza de las ra´ıces negativas, podr´ıa obtener resultados relativamente coherentes: + √ √ √ √ 3 2 + −121 = 2 + −1, puesto que, (2 + −1)3 = 2 + −121. +

√

√ √ −1, puesto que, (2 − −1)3 = 2 − −121. √ √ Esto significaba que x = u(1/3) + v (1/3) = (2 + −1) + (2 − −1) = 4, que era efectivamente una soluci´ on de la ecuaci´on x3 = 15x + 4. 3

5.6.

2−

−121 = 2 −

√

Soluci´ on de la ecuaci´ on polin´ omica de cuarto grado

En Ars magna, Cardano aborda la soluci´on de ecuaciones polin´omicas de grado 4. Para ello sigue un procedimiento que le acredita a Ludovico Ferrari. Veamos el procedimiento desde una presentaci´on moderna. Sea la ecuaci´on general de cuarto grado: x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0, la cual es equivalente a la ecuaci´on: x4 + px3 = −qx2 − rx − s, Cardano completa el trinomio cuadrado perfecto en la variable x2 : (x2 )2 + px(x2 ) = −qx2 − rx − s, p 2 x2 p 2 x2 = −qx2 − rx − s + , 4 4 ' 2 ( % p px &2 2 = x + − q x2 − rx − s. 2 4

(x2 )2 + px(x2 ) +

A continuaci´ on se introduce la variable y, y se completa cuadrado respecto a % px & x2 + ; 2 para ello se le suma a los dos miembros de la igualdad los t´erminos,

% y2 px & 2 y+ : x + 2 4 ' 2 ( % % p y2 y2 px & px &2 % 2 px & 2 + x + y+ y+ . = − q x2 − rx − s + x2 + x + 2 2 4 4 2 4

5.7 La evoluci´ on de la teor´ıa de ecuaciones

Agrupando t´erminos quedar´ a: ' 2 ( ' 2 ( % % py & px y &2 p y 2 2 x + = + −q+y x + −r x+ −s 2 2 4 2 4

159

(5.3)

El segundo miembro es un trinomio de la forma Ax2 + Bx + C, donde A, B y C dependen de la variable y. Para que este trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto, de tal suerte que Ax2 + Bx + C = (ax + b)2 . Se debe cumplir que B 2 − 4AC = 0. Para nuestro caso, ' 2 (' 2 ( &2 % py p y −r −4 −q+y − s = 0. 2 4 4 Es decir: y 3 − qy 2 + (pr − 4s)y − [s(p2 − 4q) + r 2 ] = 0. Se resuelve esta ecuaci´ on por el m´etodo antes presentado y obtenemos una soluci´on y0 , que al reemplazarla en la ecuaci´on (5.3) quedar´a:

de donde

% px y0 &2 = (ax + b)2 , + x2 + 2 2

px y0 + = ax + b, 2 2 pues, como observamos antes, Cardano no acepta las soluciones negativas. x2 +

5.7.

La evoluci´ on de la teor´ıa de ecuaciones

A partir de los desarrollos establecidos por Cardano en Ars magna, quedaba por determinar la existencia de un algoritmo para la resoluci´on de ecuaciones de grado mayor que cuatro. Por algoritmo debemos entender un proceso que nos proporcione las soluciones en t´erminos de radicales, denominado el problema de los radicales. El m´etodo empleado para la soluci´on de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, suministraba una primera pista para abordar el problema. La idea giraba en torno a la reducci´ on del grado de la ecuaci´on a trav´es de un cambio de variable. Por ejemplo, la ecuaci´ on general de quinto grado: x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, se transforma en la ecuaci´ on y 5 + f y 3 + gx2 + hx + k = 0,

160

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

a partir de la sustituci´ on x = y − a/5. A continuaci´on, se busca plantear ecuaciones auxiliares de grado cuarto, las cuales ya sabemos calcular. La b´ usqueda de soluciones para las ecuaciones de grado quinto tiene sentido, pues un r´apido an´alisis a la ecuaci´on x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 muestra que a medida que damos valores grandes a la variable x, el valor de P (x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, es positivo, y va aumentando mon´otonamente; mientras que si damos valores negativos muy grandes a x, P (x) toma valores negativos. Sin mucha argumentaci´on, se aceptaba, de manera impl´ıcita, el teorema del valor intermedio, y se establec´ıa que para alg´ un valor de x0 , se tendr´ıa que P (x0 ) = 0. Despu´es de m´ as de cien a˜ nos de la publicaci´on del Ars magna, el alem´an Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708) realiz´o uno de los aportes m´as promisorios en la b´ usqueda de soluciones para ecuaciones polin´omicas. Se trataba de una serie de sustituciones, conocidas como “las transformaciones de Tschirnhaus”, mediante las cuales crey´ o haber encontrado un m´etodo general para resolver ecuaciones de la forma P (x) = 0, donde P (x) es un polinomio de grado n, con n = 1, 2, 3, . . . El m´etodo de Tschirnhaus consist´ıa en disminuir el grado del polinomio mediante un cambio de variable que generalizaba el m´etodo empleado por Cardano para reducir el grado el polinomio en consideraci´on. Por ejemplo, para un polinomio de tercer grado, Tschirnhaus usaba la sustituci´on y = x2 + ax + b, mediante la cual se reduc´ıa la ecuaci´on c´ ubica a la forma y 3 = c. La ecuaci´on cuartica la reduc´ıa la forma y 4 + dy 2 + e = 0. Sin embargo, el m´etodo de Tschirnhaus se mostr´o impotente para solucionar ecuaciones de grado mayor a cuatro. Uno de los resultado importantes en la b´ usqueda de soluciones para las ecuaciones polin´omicas es el de polinomios sim´etricos. Estos polinomios emergen al determinar la estrecha relaci´ on que existe entre las soluciones de los polinomios y los coeficientes de la ecuaci´ on. Si bien Cardano hab´ıa obtenido algunos resultados parciales, fue en los trabajos de Albert Girard (1595-1632) e Isaac Newton que cobraron la debida importancia; por esta raz´ on se conocen como Las identidades de Newton-Girard, las cuales se describen para las ecuaciones polin´omicas de segundo y tercer grado. 1. Para la ecuaci´ on cuadr´ atica: si x1 , x2 son las soluciones de la ecuaci´on x2 +ax+ b = 0, entonces se cumple que (x − x1 )(x − x2 ) = 0. Realizando las operaciones se obtiene x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0; lo cual significa que: x1 + x2 = −a x1 x2 = b

(5.4)

2. Para la ecuaci´ on c´ ubica: Sea la ecuaci´on x3 + ax2 + bx + c = 0 , con ra´ıces

5.7 La evoluci´ on de la teor´ıa de ecuaciones

161

x1 , x2 , x3 . Siguiendo el proceso anterior se cumple: x1 + x2 + x3 = −a.

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = b.

(5.5)

x1 x2 x3 = −c. Observemos que las ecuaciones anteriores no var´ıan si se intercambian las variables, por eso se denominan polinomios sim´etricos. En general, un polinomio de grado n, p(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ), es un polinomio sim´etrico si la ecuaci´on p(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) = 0, es invariante bajo cambios de las variables. Es importante anotar que no es necesario conocer expl´ıcitamente las ra´ıces, basta que apliquemos el teorema fundamental del ´ algebra, el cual garantiza la existencia de las ra´ıces. Las identidades de NewtonGirard jugaron un papel fundamental en los trabajos de Joseph-Louis Lagrange, ´ Niels Henrik Abel y Evariste Galois, como se notar´a m´as adelante. Un avance importante en el esfuerzo por dar respuesta al problema de los radicales se dio m´as de cincuenta a˜ nos despu´es en los desarrollos de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). En su Tratado sobre la resoluci´ on de las ecuaciones num´ericas de todos los grados, al revisar las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, llega a la conclusi´on de que cumplen propiedades que no poseen las ecuaciones de quinto grado y superiores. Para ello incorpora un m´etodo, actualmente llamado resolvente de Lagrange,3 el cual se explica a continuaci´on para las ecuaciones polin´omicas de segundo y tercer grado. Sea la ecuaci´ on c´ ubica de la forma: x3 + ax2 + bx + c = 0.

(5.6)

Eliminando el t´ermino cuadr´ atico se obtiene una ecuaci´on de la forma: x3 + px + q = 0.

(5.7)

Aunque en ese momento no existe una demostraci´on del teorema fundamental del algebra, a partir de Descartes, su resultado se da por descontado. Supongamos que ´ x1 , x2 , x3 son las ra´ıces de la ecuaci´on (5.7). Se define: r = µ 1 x1 + µ 2 x2 + µ 3 x3 ,

(5.8)

donde µ1 , µ2 , µ3 pertenecen a los n´ umeros complejos. Permutando las ra´ıces, se ob3

Este m´etodo hab´ıa sido utilizado por el franc´es Alexandre-Th´eophile Vandermonde (1735-1796) en 1770, pero al parecer sus resultados no eran conocidos por Lagrange.

162

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

tienen seis combinaciones: r1 = µ1 x1 + µ2 x2 + µ3 x3 . r2 = µ1 x1 + µ2 x3 + µ3 x2 . r3 = µ1 x2 + µ2 x3 + µ3 x1 . r4 = µ1 x3 + µ2 x2 + µ3 x1 .

(5.9)

r5 = µ1 x3 + µ2 x1 + µ3 x2 . r6 = µ1 x2 + µ2 x1 + µ3 x3 . Con r1 , r2 , . . . , r6 , Lagrange define la ecuaci´on de sexto grado: (y − r1 )(y − r2 )(y − r3 )(y − r4 )(y − r5 )(y − r6 ) = 0.

(5.10)

Como 5.7 se trata de una ecuaci´on c´ ubica, Lagrange recurre a la ecuaci´on c´ ubica 3 3 2 auxiliar, ω − 1 = 0, de√f´ acil resoluci´on, pues ω − 1 = (ω − 1)(ω + ω − 1), con ω = √ 3 3 1 1 o ω = − 2 + 2 i, y toma µ1 = 1, µ2 = ω, µ3 = ω 2 , donde ω corresponde a −2 − 2 i ´ una de las dos ra´ıces anteriores. Observemos que las dos ra´ıces de√la unidad anteriores √ cumplen propiedades singulares. Si se designa como ω1 = − 12 − 23 i y ω2 = − 12 + 23 i, se tendr´ a que ω12 = ω1 ω1 = ω2 , ω13 = ω2 ω1 = 1, ω14 = ω13 ω1 = 1ω1 = ω1 , es decir las potencias de ω1 generan todas las ra´ıces c´ ubicas de la unidad; propiedad que tambi´en cumple ω2 . En t´erminos que se establecer´an en m´as de 100 a˜ nos significa que el conjunto {1, ω1 , ω2 }, con el producto entre complejos, corresponde a un grupo c´ıclico, donde el generador es ω1 ´ o ω2 . Tomando µ1 = 1, µ2 = ω, µ3 = ω 2 , y reemplazando en 5.9, se tendr´ a: r1 = x1 + ωx2 + ω 2 x3 . r2 = x1 + ωx3 + ω 2 x2 . r3 = x2 + ωx3 + ω 2 x1 . r4 = x3 + ωx2 + ω 2 x1 .

(5.11)

r5 = x3 + ωx1 + ω 2 x2 . r6 = x2 + ωx1 + ω 2 x3 . Observemos que r1 , r2 , . . . , r6 , se han obtenido variando las posiciones de x1 , x2 , x3 , que corresponde a todas las permutaciones de un conjunto de tres elementos, que modernamente se designa como S3 , el grupo sim´etrico de orden 3. A partir de las anteriores igualdades se tiene que: ωr1 = r5 , ω 2 r1 = r3 , ωr2 = r6 , ω 2 r2 = r4 .

(5.12)

5.7 La evoluci´ on de la teor´ıa de ecuaciones

163

Lo cual significa que r1 y r2 generan subgrupos c´ıclicos disyuntos. Hist´oricamente es un resultado muy significativo, pues consituye un elemento de causalidad en los desarrollos de Galois. A este sistema Lagrange lo denomin´o inicialmente como la resolvente de la ecuaci´ on de tercer grado. Siguiendo el mismo procedimiento, Lagrange encuentra la resolvente para la ecuaci´on de cuarto grado, lo cual lo llev´o a pensar que era posible encontrar la resolvente para cualquier ecuaci´on polin´omica; sin embargo no pudo demostrarlo. Teniendo en cuenta la ecuaci´on 5.12, la ecuaci´on 5.10 quedar´a: (y − r1 )(y − r2 )(y − ω 2 r1 )(y − ω 2 r2 )(y − ωr1 )(y − ωr2 ) = 0,

(5.13)

Realizando las operaciones se tiene que (y − r1 )(y − r2 )(y − ω 2 r1 )(y − ω 2 r2 )(y − ωr1 )(y − ωr2 ) = (y 3 )2 − (r13 + r23 )y 3 + r13 r23 .

(5.14)

Utilizando la sustituci´ on y 3 = t, se tiene: (t)2 − (r13 + r23 )t + r13 r23 = 0.

(5.15)

Estableciendo operaciones en el sistema 5.11 se obtienen las siguientes igualdades:4 x1 = 13 [(x1 + x2 + x3 ) + r1 + r2 ]. x2 = 13 [(x1 + x2 + x3 ) + ω 2 r1 + ωr2 ].

(5.16)

x3 = 13 [(x1 + x2 + x3 ) + ωr1 + ω 2 r2 ]. Para resolver 5.15 hace falta calcular r13 + r23 y r13 r23 . Haciendo reemplazos directos y despu´es de abstrusos c´ alculos llegamos a la igualdad: r13 + r23 = 2(x31 + x32 + x33 ) + (ω + ω 2 )(3R) + 12x1 x2 x3 , donde: R = x21 x2 + x3 x22 + x1 x23 + x21 x3 + x22 x1 + x2 x23 . Dado que ω + ω 2 = −1, se tiene que: r13 + r23 = 2(x31 + x32 + x33 ) + (−3R) + 12x1 x2 x3 , (5.17) Para calcular x31 + x32 + x33 , se utilizan las siguientes igualdades, establecidas ya por Cardano, como lo hemos anotado antes, para las soluciones x1 , x2 , x3 , de la ecuaci´on c´ ubica x3 + px + q = 0: x1 + x2 + x3 = 0. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = p.

(5.18)

x1 x2 x3 = −q. 4

Por ejemplo, si se suman las dos primeras ecuaciones del sistema 5.11 se obtiene: r1 + r2 = x1 + ωx2 + ω 2 x3 + x1 + ωx3 + ω 2 x2 = 2x1 + (ω + ω 2 )x2 + (ω + ω 2 )x3 . Como ω + ω 2 = −1, se obtiene la primera igualdad de 5.16.

164

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

Partiendo de (x1 +x2 +x3 )3 y estableciendo las simplificaciones respectivas se obtiene: x31 + x32 + x33 = −(3R) − 6x1 x2 x3 .

(5.19)

Sustituyendo en 5.17 se obtiene: r13 + r23 = 2((−3R) − 6x1 x2 x3 ) + (−3R) + 12x1 x2 x3 .

(5.20)

De lo cual r13 + r23 = −9R. Teniendo en cuenta que: R = (x1 + x2 + x3 )(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) − 3x1 x2 x3 . por las ecuaciones 5.18, se tiene: R = −3x1 x2 x3 . Reemplazando en la ecuaci´ on 5.20 llegamos a la igualdad: r13 + r23 = −27q.

(5.21)

Por un procedimiento similar, se obtiene: (r1 r2 )3 = −27p3 .

(5.22)

Con base a las ecuaciones 5.15, 5.21 y 5.22 se pueden identificar las soluciones de la ecuaci´on cuadr´ atica: t2 − (−27q)t − 27p3 = 0. Ahora, como r1 y r2 son ra´ıces de la ecuaci´on c´ ubica, aplicando el m´etodo de radicales se obtiene: 0% & % & 272 q 2 4×27p3 −27 3 + . r1 = 2 q + 4 4 (5.23) 0% & % & 4×27p3 272 q 2 −27 3 r2 = 2 q − + 4 4 Tomando la expresion 5.16: x1 =

1 3

[(x1 + x2 + x3 ) + r1 + r2 ] .

Reemplazando 5.23 y teniendo en cuenta que x1 + x2 + x3 = 0 se tiene que : , , 0% 0% & % & & % & 272 q 2 3 −27 272 q 2 4×27p3 4×27p3 3 −27 + 4×272 + 2×27 q − + 4×272 . x1 = 2×27 q + 4×272 4×272

5.7 La evoluci´ on de la teor´ıa de ecuaciones

x1 =

0 3

−q 2

+

+- . q 2 2

+

- p .3 3

165

+

0 3

−q 2

−

+- . q 2 2

+

- p .3 3

,

que equivale a la soluci´ on establecida por Cardano. Lagrange sigue el mismo proceso anterior para la ecuaci´on de cuarto grado, buscando indicios para el caso general. Partiendo de la ecuaci´on: y 4 + a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0 = 0,

(5.24)

ubico, obteniendo una se emplea la sustituci´ on x = y + a43 para eliminar el t´ermino c´ ecuaci´on de la forma: x4 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0, de la cual se puede decir que tiene ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 , las cuales cumplen la ecuaci´on x1 + x2 + x3 + x4 = 0. La resolvente de Lagrange, para esta ecuaci´on, est´a compuesta por el conjunto {r1 , r2 , r3 , . . . , r24 } que consiste b´asicamente en las permutaciones de las ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 en la ecuaci´on: r = x1 + ux2 + u2 x3 + u3 x4 ,

(5.25)

donde u es una ra´ız, diferente de uno, de u4 −1 = 0; por resumir un poco los c´alculos, se toma u = −1. De las 24 combinaciones, solo son diferentes 6: r1 = x1 − x2 + x3 − x4 .

r2 = −x1 + x2 − x3 + x4 .

r3 = x1 + x2 − x3 − x4 .

r4 = −x1 − x2 + x3 + x4 .

r5 = x1 − x2 − x3 + x4 .

r6 = −x1 + x2 + x3 − x4 . De estas seis expresiones, hay tres con las que se pueden representar las otras, obteniendo la ecuaci´ on: (x − r1 )4 (x + r1 )4 (x − r2 )4 (x + r2 )4 (x − r3 )4 (x + r3 )4 = 0, que es equivalente a la ecuaci´ on: (x2 − r12 )(x2 − r22 )(x2 − r32 ) = 0. Realizando c´ alculos similares a los usados en el caso anterior, se obtienen las siguientes soluciones de la ecuaci´ on de cuarto grado: x1 = 14 [(x1 + x2 + x3 + x4 ) + r1 + r2 + r3 ], x2 = 14 [(x1 + x2 + x3 + x4 ) − r1 + r2 − r3 ],

166

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

x3 = 14 [(x1 + x2 + x3 + x4 ) + r1 − r2 − r3 ],

x4 = 14 [(x1 + x2 + x3 + x4 ) − r1 − r2 + r3 ]. Extrapolando el procedimiento seguido en el caso de la ecuaci´on de tercer grado se obtiene: r11 r13 r32 r51 r53

= r1 = u2 r1 = r1 = ur3 = (−1)r3 = r4 = r5 = u2 r5 = r5 .

r12 r31 r33 r52

= ur1 = (−1)r1 = r2 = r3 = u2 r3 = r3 = ur5 = (−1)r5 = r6

Tabla 5.3 De esta forma se obtienen tres grupos c´ıclicos: ⟨r1 ⟩ = {r1 , r2 }, ⟨r3 ⟩ = {r3 , r4 }, ⟨r5 ⟩ = {r5 , r6 }, tales que ⟨r1 ⟩ ∪ ⟨r3 ⟩ ∪ ⟨r5 ⟩ = {r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 }. Despu´es de hallar la resolvente para la ecuaci´on polin´omica de cuarto grado, Lagrange intenta, infructuosamente, generalizar el m´etodo para la de quinto grado. Para este caso, se tendr´ıan 120 posibilidades, con 24 diferentes, sin encontrar propiedades similares a los casos anteriores. Lagrange termina la mencionada memoria con la siguiente frase premonitoria: “De nuestro razonamiento vemos que es muy dudoso que los m´etodos que hemos considerado pudieran dar una completa soluci´on a las ecuaciones de quinto grado”.5 Tiempo despu´es Lagrange escrib´ıa en sus memorias que el problema de los radicales era uno de esos problemas que no han sido resueltos, aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos y constitu´ıa, seg´ un el mismo Lagrange, “Un reto para la mente humana”. En el momento que Lagrange coloca en duda sus procedimientos se genera un cambio de perspectiva en lo que tiene que ver con la resoluci´ on de ecuaciones de quinto grado o mayor, pues se empieza a considerar que no es posible encontrar el m´etodo por medio de radicales para resolverlas. Tomando como base los desarrollos de Lagrange, el matem´atico italiano Paolo Ruffini (1765–1822), en sus dos publicaciones: Teoria generale delle equazione y la Riflessioni intorno alla soluzione delle Equazioni algebraiche generali presenta una demostraci´ on sobre la irresolubilidad de la ecuaci´on de quinto grado por medio de radicales; sin embargo, la presentaci´on era tan compleja que fue dejada de lado. Le correspondi´ o al matem´ atico noruego Niels Henrik Abel (1802-1829), establecer un procedimiento detallado de la demostraci´on de la imposibilidad de la resoluci´on de la ecuaci´on polin´ omica qu´ıntica. Respecto del procedimiento de Ruffini, el mismo Abel comenta: 5

[Lagrange 1896], p. 305

5.8 La instauraci´ on del m´etodo de los indivisibles

167

El primero y, si no estoy equivocado, el u ´nico que antes que yo ha intentado demostrar la imposibilidad de la soluci´on algebraica de una ecuaci´on en general, ha sido el ge´ ometra Ruffini. Pero su demostraci´on es tan complicada que es muy dif´ıcil afirmar lo acertado de su razonamiento. Me parece que no son siempre satisfactorios.6 En la novena lectura se har´ a un seguimiento a la manera como Abel demuestra la imposibilidad de resolver, en t´erminos generales, las ecuaciones polin´omicas de grado mayor a cinco.

5.8.

La instauraci´ on del m´ etodo de los indivisibles

En el siglo XVI los problemas pr´ acticos requer´ıan el c´alculo de ´areas y vol´ umenes de figuras mucho m´ as complicadas que las cl´asicas. Sin embargo, se buscaba evitar las limitaciones del m´etodo exhaustivo y adquirir una nueva t´ecnica que diera cuenta de los procesos infinitesimales. En esta perspectiva sobresale la figura del matem´atico italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647) y su m´etodo de los indivisibles. La simiente del uso de los indivisibles se puede atisbar en El m´etodo de Arqu´ımedes cuando calcula la cuadratura de la par´abola usando leyes f´ısicas.7 El concepto de indivisible fue utilizado por Johannes Kepler (1571-1630) en su libro La Nova Stereometr´ıa. Su m´etodo consist´ıa en considerar los s´olidos compuestos de infinitas capas superficiales. De esa manera pudo calcular el volumen de los barriles de vino, una cuesti´ on que atormentaba a los comerciantes de la ´epoca. As´ı mismo utiliz´o los indivisibles para calcular la longitud de una elipse, problema surgido de sus investigaciones astron´ omicas. Tambi´en Galileo Galilei concibi´o la noci´on de indivisible. Desde su concepci´on geom´etrica del mundo, Galileo consideraba las ideas de infinito, infinitesimal e indivisible para afianzar su visi´ on de un universo continuo, el cual no se pod´ıa concebir integrado por entidades discretas. En este sentido mantuvo un esp´ıritu cr´ıtico frente a los desarrollos de Cavalieri. En 1641, Evangelista Torricelli (1608-1647), disc´ıpulo de Galileo, utiliz´o los indivisibles para definir una figura no acotada y de tama˜ no finito; se trata del volumen que se obtiene rotando una curva hiperb´olica sobre una as´ıntota. Pero su aporte m´as valioso, en este sentido, tiene relaci´on con el hecho de que consideraba los indivisibles con un cierto grosor, muy cerca de la concepci´on que seguir´ıan los matem´aticos de siglos posteriores y que constituye la base de la noci´on de infinitesimal. Hist´oricamente el nombre ligado directamente con el m´etodo de los indivisibles es el de Cavalieri. No obstante, las ideas subyacentes al m´etodo son muy poco conocidas, ocasionando que sus bases conceptuales se presenten, en la mayor´ıa de los casos, de una manera muy simplificada. 6 7

[Abel 1824], p. 218. Ver tercera lectura.

168

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

Existen pocos estudios al respecto. En el medio italiano se destacan los trabajos de Enrico Giusti (1980); de otras latitudes contamos con las investigaciones de Kirsti Andersen (1984). Aqu´ı se tomar´an como referencia fundamentalmente los trabajos Andersen.8

5.9.

La nueva propuesta de Cavalieri

Conocemos muchos aspectos de la vida de Bonaventura Cavalieri gracias a la relaci´on epistolar que sostuvo con algunos de sus colegas, entre los que sobresale la figura de su maestro y amigo Galileo Galilei. Tambi´en existen algunos documentos oficiales y una biograf´ıa, poco confiable, debida a su disc´ıpulo Urbano Daviso. Cavalieri naci´ o en Mil´ an en 1598. A los 17 a˜ nos ingres´o a la orden de los jesuitas. En 1616 fue trasladado a un monasterio jesuita en Pisa, bajo la tutor´ıa de Benedetto Castelli, quien visualiz´ o en ´el un diamante en bruto, y lo puso en contacto con Galileo Galilei. Durante el periodo 1619 a 1641, intercambiaron ideas a trav´es de una nutrida correspondencia de m´as de 110 cartas. En realidad fue una comunicaci´on unidireccional pues Galileo respondi´o muy pocas. Andersen refiere que seg´ un Daviso, para Cavalieri las matem´aticas se convirtieron 9 en el refugio de sus males. Al parecer, a los 23 a˜ nos Castelli lo convenci´o de que el estudio de las matem´ aticas era un remedio eficaz para la depresi´on y las jaquecas que lo visitaban permanentemente. Desde 1619 intent´o conseguir un asiento de profesor en Bologna, Mil´ an, Lodi y Parma. Por fin, y gracias a la intervenci´on de Galileo, obtuvo una plaza como profesor de matem´aticas en la Universidad de Bologna en 1629; en realidad eran contratos por tres a˜ nos, que renov´o hasta su muerte en 1647. Entre los libros que m´ as lo influenciaron se destacan los Elementos de Euclides, Theorica planetarum, y la astronom´ıa de Ptolomeo. Cavalieri public´o alrededor de una docena de libros sobre matem´aticas, astrolog´ıa y temas afines. Hist´oricamente, sus obras m´ as significativas son Geometr´ıa de los indivisibles y Seis ejercicios geom´etricos. Cavalieri public´ o su primer tratado de indivisibles en 1635, bajo el nombre de Geometria indivisibilibus continuorum novaquadam ratione promota, (Geometr´ıa avanzada de una nueva manera por los indivisibles del continuo, abreviadamente Geometr´ıa de los indivisibles). Parece que Cavalieri ya ten´ıa una primera versi´on en 1620 y una segunda m´ as o menos completa en 1627; sin embargo amarr´o la publicaci´on por 8 a˜ nos m´ as. Algunos historiadores consideran que esperaba la aprobaci´on directa de Galileo. Sea como fuere, al final le adicion´o un s´eptimo libro. Publicado en Bologna, fue el libro que lo catapult´o a la fama. Al respecto, Andersen dice: Es dif´ıcil seguirlo a trav´es de las casi 700 p´aginas que componen este libro, tan dif´ıcil que Maximilien Marie sugiri´o que si exist´ıa un premio para 8 9

[Andersen 1985] [Andersen 1985], p. 295.

5.10 Descripci´ on general de la obra de Cavalieri

169

el libro m´ as poco entendible ´este ser´ıa dado a Cavalieri por la Geometr´ıa; adem´ as, el lenguaje matem´atico que Cavalieri emple´o en la Geometr´ıa fue caracterizado por C. Boyer como “confusamente oscuro”. Sin embargo, la Geometr´ıa fue en su tiempo considerada tan importante que fue reimpresa en 1653 en una edici´on, la cual, a diferencia de la primera, fue paginada continuamente.10 La Geometr´ıa de los indivisibles tuvo buena recepci´on por parte de sus contempor´ aneos, principalmente porque desarrollaba una propuesta, diferente a la de sus antecesores, para el c´ alculo de cuadraturas y cubaturas. Aunque muy pocos matem´aticos se decidieran a penetrar en la profundidad conceptual plasmada por Cavalieri, nada impidi´ o que fuera catapultada a la posteridad como una de las obras m´ as importante en el desarrollo de las matem´aticas. En 1966 fue trasladada al italiano por Lucio Lombardo Radice y traducida parcialmente al ruso, en 1940, por S. J. Lure. Dadas las m´ ultiples cr´ıticas que recibi´o Geometr´ıa de los indivisibles debido a la poca claridad en el planteamiento de los conceptos, Cavalieri complement´o sus investigaciones sobre indivisibles, a trav´es de su obra Seis ejercicios geom´etricos (1647), la cual recibi´ o mucho menos atenci´on que la Geometr´ıa de los indivisibles, pero que los eruditos la consideran mejor fundamentada.

5.10.

Descripci´ on general de la obra de Cavalieri

La Geometr´ıa consta de 7 cap´ıtulos. En el primer cap´ıtulo, Cavalieri sigue los delineamientos cl´ asicos de este tipo de tratados, clarificando algunos de sus presupuestos relacionados con figuras planas y s´olidas. El segundo cap´ıtulo lo dedica a explicar su primer m´etodo de indivisibles; en especial su tratamiento de “paquetes” de indivisibles, cuestiones de operatividad y propiedades. En los cap´ıtulos III, IV y V presenta algunos resultados de las secciones c´onicas utilizando los planteamientos te´oricos del cap´ıtulo II. El cap´ıtulo VI consta de dos partes; en la primera aborda el problema de la cuadratura de la espiral, y en la segunda obtiene resultados de cuerpos redondos: cilindros, esferas, paraboloides y esferoides. En el u ´ltimo cap´ıtulo desarroll´o un segundo m´etodo de indivisibles que complementa el primer m´etodo. En el primero de sus Seis ejercicios geom´etricos Cavalieri realiza algunos cambios a su primer m´etodo de los indivisibles establecido en la Geometr´ıa. El segundo ejercicio puede considerarse un complemento al cap´ıtulo VII de la Geometr´ıa, en especial clarifica y profundiza sobre el segundo m´etodo de los indivisibles y desarrolla una nueva presentaci´ on de su segundo m´etodo. El tercer ejercicio constituye una respuesta a las cr´ıticas que Paul Guldin hiciera, en el libro Centrobaryca, al m´etodo de los indivisibles. En el cuarto ejercicio, 10

[Andersen 1985], p. 294.

170

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

Cavalieri realiza un paso fundamental en el desarrollo hist´orico del c´alculo de ´areas al usar su segundo m´etodo de indivisibles en el tratamiento de curvas algebraicas de grado mayor a dos. En el quinto y sexto ejercicio, Cavalieri usa el m´etodo de indivisibles para establecer propiedades y calcular centros de gravedad de diversas figuras. Con la publicaci´ on de Geometr´ıa, en 1635, se daba inicio a una manera de hacer matem´ aticas que empezaba a cortar las ataduras de la tradici´on en lo referente al c´alculo de cuadraturas y cubaturas. Ese proceso de construcci´on de pensamiento matem´ atico lo ha descrito el mismo Cavalieri en su correspondencia con Galileo.

5.11.

Los presupuestos de Cavalieri

En primera instancia, analicemos algunos de los presupuestos, expl´ıcitos e impl´ıcitos, que Cavalieri utiliza en conexi´on con su m´etodo de los indivisibles, seg´ un la presentaci´on de Andersen. En el libro I de la Geometr´ıa, Cavalieri establece propiedades de cilindros generales, s´ olidos de rotaci´ on, conos, y secciones de esos s´olidos. En algunos casos utiliza tangentes sin ninguna definici´ on expresa. S´ olo hasta el libro VII establece lo que entiende por tangente a partir de conceptos intuitivos. Yo digo que una l´ınea recta toca una curva situada en el mismo plano que la l´ınea cuando ´esta encuentra la curva o bien en un punto o a lo largo de una l´ınea y cuando la curva est´a o bien completamente a un lado de la l´ınea (en el caso cuando el encuentro es un punto) o no tiene parte al otro lado de ´esta (en el caso cuando el encuentro es un segmento).11

Por ejemplo, en el caso de la figura 5.1, T2 no cumple las condiciones de la definici´on, mientras que T1 si las cumple, por lo tanto “toca” la curva; adem´as, T3 y T4 tambi´en constituyen rectas que “tocan” al tri´angulo ABC. A trav´es de la definici´ on de recta que toca una curva Cavalieri incorpora el concepto de regula. Le regula es una recta que se toma como direcci´on. Dada una figura plana cerrada y una r´egula, si se traza otra recta, paralela a la regula, puede darse uno s´ olo de los tres siguientes casos: 1. La l´ınea toca la curva que limita la figura plana. 2. La l´ınea y la figura no tienen puntos comunes. 3. La l´ınea intercepta la figura en un segmento de l´ınea. 11

[Andersen 1982], p. 294.

5.12 Los presupuestos de Cavalieri

171 T2 T1

B T3

T4

A

C

Figura 5.1. La tangente de Cavalieri Este resultado constituye la base formal de su noci´on de “todas las l´ıneas”. Cavalieri sabe que debe realizar un cambio conceptual, respecto a la tradici´on, que le permita consolidar, de manera rigurosa, su teor´ıa de los indivisibles. Para ello debe contrariar la definici´ on cl´ asica de tangente, la cual le impedir´ıa efectuar c´alculos, incluso sobre tri´ angulos. En el fondo Cavalieri busca formalizar el hecho intuitivo de que toda figura plana cerrada simple se puede acotar entre dos rectas paralelas. En este sentido estas dos rectas se ganan el derecho de llamarse tangentes sin importar la unicidad. Por ejemplo, en la figura 5.2 no hay contradicci´ on en llamar a las rectas tangentes en el punto P, tanto a T3 como a T5 , pues la primera se considera paralela con respecto a la regula 1 y la segunda con respecto a la regula 2. T5

P T3

T6

P

R´egula 2

T4

R´egula 1

Figura 5.2. Diferentes r´egulas

172

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

5.12.

El concepto de “todas las l´ıneas” en Cavalieri

Basado en los presupuestos anteriores, Cavalieri incorpora en el libro II de la Geometr´ıa, la definici´ on de “todas las l´ıneas”: Si a trav´es de tangentes opuestas y paralelas a una figura plana dada, se engendran planos paralelos, perpendiculares o inclinados al plano de la figura dada, y si uno de los planos paralelos es movido hacia el otro, permaneciendo paralelo con ´este hasta que coincidan, entonces las l´ıneas que durante el movimiento se forman de la intersecci´on entre el plano que se est´ a moviendo y la figura dada, reunidas todas, son llamadas “todas las l´ıneas” de la figura tomando una de ellas como regula; esto cuando los planos son perpendiculares a la figura dada. Cuando sin embargo, los planos son inclinados a la figura las l´ıneas son llamadas “todas las l´ıneas” de la misma figura dada con respecto a un pasaje oblicuo (obliqui transitus), la regula siendo igualmente una de ellas.12 A cada una de las l´ıneas paralelas a la regula y que tambi´en generan la figura, Cavalieri les da el apelativo de indivisibles. En este caso se trata de los indivisibles para figuras planas. En general, los indivisibles son componentes cuya naturaleza depende de la dimensi´ on de los objetos. As´ı, para las superficies los indivisibles ser´an las l´ıneas; para los vol´ umenes, superficies, y en general, para objetos de dimensi´on n ser´an los objetos de dimensi´ on n − 1. Para el caso particular de las superficies el concepto de “todas las l´ıneas”, le permite establecer relaciones cuantitativas. Para visualizar este aspecto, tomemos, al igual que Andersen,13 la figura plana F = ABC y definamos la l´ınea AC como regula. B

B

A

C

A

OF (l)

C

Figura 5.3. Todas la l´ıneas En este caso la colecci´ on de “todas las l´ıneas” corresponde a la totalidad de cuerdas “l” de F que son paralelas a la regula AC. Al igual que Andersen, denotaremos 12 13

[Andersen 1985], pp. 300-301. [Andersen 1985], p. 11.

5.12 El concepto de “todas las l´ıneas” en Cavalieri

173

esta colecci´ on con el s´ımbolo OF (l) (La O corresponde a la primera letra de omnes lineae). Para un hombre como Cavalieri, apegado a la tradici´on griega, el rigor s´olo se lograba cuando sus demostraciones dejaran por fuera el uso de los indivisibles en s´ı mismos. Ello s´ olo era posible en la medida que no se concibieran de manera aislada, sino de manera “actual”; es decir, como un “todo” el cual se pudiera cuantificar de manera similar a las magnitudes griegas y as´ı poder aplicarles el principio de Eudoxo. El problema era como definir la raz´on entre dos colecciones infinitas de l´ıneas. La contradicci´ on con la tradici´ on aristot´elica parec´ıa eminente, pues si bien se trataba de medir objetos acotados, ´estos se conceb´ıan como un conjunto infinito de l´ıneas tomado de manera actual. En una carta del 15 de diciembre de 1621, Cavalieri le presenta a Galileo las dos caras del problema. De un lado el hecho de tomar la colecci´on de “todas las l´ıneas” involucra la aceptaci´ on del infinito actual, una noci´on ajena a las magnitudes. Por otra parte se tiene que a medida que la figura aumenta, tambi´en lo hacen las l´ıneas, que es una propiedad de las magnitudes. Para Cavalieri era posible establecer razones entre colecciones, pues cualquier colecci´on de l´ıneas pod´ıa ser “multiplicada” hasta exceder otra colecci´on dada de l´ıneas. En este sentido cuando usaba el t´ermino magnitud para “todas las l´ıneas” intentaba inscribir su m´etodo de indivisibles en la tradici´on griega de razones y proporciones establecida en los libros V y VI de los Elementos. Cavalieri reforzaba sus planteamientos aclarando que el manejo de “todas las l´ıneas” lo hac´ıa en el mismo sentido que, en algunas ocasiones, los algebristas, a´ un sin saber a ciencia cierta cual era la naturaleza de las ra´ıces, las operaban hasta lograr una soluci´ on que se adecuara a las exigencias requeridas. Sin embargo, estas explicaciones no lo libraron de diversas cr´ıticas. Espec´ıficamente se le reprochaba su manera de operar. Parec´ıa que en el proceso, seguido por Cavalieri, de recomponer el continuo a partir de indivisibles, suger´ıa que a trav´es del proceso inverso, de dividirlo (bisecci´on de un segmento, por ejemplo), se pod´ıa llegar a los indivisibles mismos, en contrav´ıa de la concepci´on aristot´elica en la cual se consideraba que en cada etapa se obtienen partes, susceptibles de ser nuevamente divididas, sin llegar nunca a los indivisibles. La posici´ on de Cavalieri parece ambigua; por un lado sus desarrollos se inscriben en la tradici´ on griega, en la cual se desconoce que el continuo est´a constituido, en su naturaleza ´ıntima, por indivisibles; pero, por otro lado su teor´ıa de “todas las l´ıneas” lo conduce al c´ alculo de cuadraturas. Al respecto, en octubre 2 de 1634, Cavalieri le escribe a Galileo: Yo absolutamente declaro que el continuo no est´a compuesto de indivisibles.

174

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

A continuaci´on declara que los indivisibles no son m´as que un instrumento para al c´alculo de cuadraturas, y su tratamiento matem´atico es independiente de la composici´ on del continuo. Nos enfrentamos entonces a un estilo que se tornar´a com´ un en el quehacer de los matem´ aticos, en el cual el nivel ontol´ogico no se conjuga con el epistemol´ogico. Este es el caso de Cavalieri; los indivisibles los utiliza en un nivel epistemol´ogico, es decir como conceptos auxiliares, sin asignarles categor´ıa de objetos matem´aticos, pero mediante los cuales se pueden obtener algunos resultados. M´ as all´ a de las lagunas conceptuales, Cavalieri nos ha legado un aspecto profundo en relaci´ on con el problema de medir, como es el hecho que para obtener la medida de un objeto geom´etrico no es necesario tener en cuenta todos sus elementos constitutivos. Modernamente decimos que los conjuntos de medida cero no aportan en la medida total. Este fue uno de los aspectos tomados en cuenta por Lebesgue, a principios del siglo XX, para desarrollar su teor´ıa abstracta de la medida, como lo detallamos en la octava lectura.

5.13.

El principio de Cavalieri

Los planos constituyen los indivisibles cuando se trabaja en tres dimensiones. As´ı, la noci´ on utilizada para recomponer una figura volum´etrica es la de “todos los planos” (omnes quadratum). Cavalieri imagina un volumen conformado de una cantidad infinita de capas sin espesor superpuestas. En el libro VII de la Geometr´ıa, Cavalieri establece una relaci´on entre los objetos volum´etricos y sus indivisibles mediante un resultado que ha pasado a la posteridad como el Principio de Cavalieri. B

C

F M

Z

G N

O

P

V

S

R

X

T

Figura 5.4. Principio de Cavalieri En primer lugar, y con base en la figura 5.4, se puede enunciar la versi´on directa del principio de Cavalieri aplicado a rectas y superficies planas de la siguiente

5.13 El principio de Cavalieri

175

manera: Principio de Cavalieri (Versi´ on 1). Sean las figuras F = BZV y G = CRT, que tienen iguales alturas con respecto a la regula ZT, y tal que las correspondientes cuerdas (o la suma de cuerdas) son iguales, es decir, M N + OP = SX,

(5.26)

entonces F = G (´ area de BZV igual al ´area de CRT ).14 . A continuaci´ on Cavalieri plantea el resultado cuando las cuerdas est´an en proporci´on. Para el caso anterior se plantear´ıa as´ı: tomando l1 = M N + OP y l2 = SX, F l1 = k, entonces = k. si l2 G La versi´ on m´ as conocida del principio de Cavalieri es la que relaciona ´areas y vol´ umenes. Principio de Cavalieri (Versi´ on 2). Si dos vol´ umenes tienen igual altura, y si secciones hechas por planos paralelos a las bases y a igual distancia de ellas est´an siempre en una raz´ on fija, entonces los vol´ umenes de los s´olidos tambi´en est´an en esa misma raz´ on. Cavalieri prueba este resultado de una manera que se antoja intuitiva, pero en correspondencia con el aparato te´orico definido al inicio. La idea general reposa en la conformaci´ on del s´ olido a trav´es de la superposici´on de los elementos indivisibles que son las ´ areas seccionales. Como ejemplo del Principio de Cavalieri, calculemos, aplicando procesos operativos modernos que Cavalieri desconoc´ıa, tal como lo hace Edwars,15 el volumen de un cono, compar´andolo con el volumen de una pir´amide. Supongamos que se tiene un cono recto C, de altura h y cuya base tiene un radio R. Comparemos este cono con una piramide P de la misma altura y que tiene por base un cuadrado de lado 1, como se presenta en la figura 5.5. Como sabemos el volumen de la piramide v(P ) es, v(P ) =

h . 3

(5.27)

Se toman, a una distancia x secciones de ´area, tanto de C como de P . Para estos casos, se tiene a(Cx ) = πR x2 a(Px ) = 2 h 14 15

[Andersen 1985] [Edwards 1982]

2x

2

h2

,

176

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

x C1

P1

r

h

R

Figura 5.5. Comparaci´on de un cono y una pir´amide de lo cual

a(Cx ) = πR2 , a(Px )

(5.28)

v(C) = πR2 . v(P ) h De ello se deduce que, v(C) = πR2 . 3

entonces, por el principio de Cavalieri,

5.14.

Cuadraturas Generalizadas

El an´ alisis epistemol´ ogico que se realiza a las producciones matem´aticas de uno o varios autores puede hacerse desde diversas perspectivas. En este libro estamos interesados en indagar sobre el desarrollo hist´orico de las matem´aticas teniendo como directriz las actividades de medir, contar y ordenar. Con Cavalieri se da un paso fundamental en el c´ alculo de cuadraturas y empieza a trazarse el camino para la incorporaci´ on de la integral, como noci´on matem´atica. Cavalieri es contempor´aneo de Ren´e Descartes, uno de los pioneros de la geometr´ıa anal´ıtica, como se sustenta en la Sexta lectura. No es claro que Cavalieri haya tenido como horizonte la representaci´on de curvas por ecuaciones, cuesti´on propia del m´etodo de coordenadas. Pero si bien la perspectiva investigativa de Cavalieri es eminentemente geom´etrica, da un paso fundamental al ampliar el universo de los objetos geom´etricos m´as all´a de tres dimensiones. En t´erminos del problema de la medida, se puede afirmar que con Cavalieri, el problema de encontrar cuadraturas empieza a perfilar el problema de encontrar el ´ area bajo la curva. En este sentido describiremos, tomando como referencia a Edwards,16 las generalizaciones de Cavalieri, empleando un lenguaje 16

[Edwards 1982]

5.14 Cuadraturas Generalizadas

177

moderno, lo cual nos permite entender la profundidad conceptual de sus desarrollos. Sea el cuadrado ABCD de la figura 5.6 y se define el segmento AB como regula. Este segmento es un indivisible del cuadrado, el cual podemos representar por a. A pesar de que Cavalieri no considera que la naturaleza ´ıntima del continuo sean los indivisibles, asume que en el c´alculo de las cuadraturas basta con ellos.17 . Esta observaci´ on permite entender la expresi´on ABCD = O(a)AD , como cuadratura de ABCD igual a la suma de todos los invisibles de medida a desde el punto A al punto D. La expresi´ on ABCD = 2O(x)AD tiene un grado de complejidad mayor que la anterior porque se est´ a sumando una colecci´on de indivisibles de medida variable, sin embargo, tengamos en cuenta que a Cavalieri le interesa la suma total que, en este caso da lugar a una pir´ amide de base cuadrada.

B

x x

C a/2

a y

a/2

y A

D

Figura 5.6. Suma de indivisibles en general De acuerdo a lo anterior se tiene: cuadABCD = O(a)AD , O(a)AB = 2O(x)AD . Adem´ as, teniendo en cuenta que a2 representa un cuadrado de lado a, que justamente es la secci´ on de un cubo de lado a, se tiene que O(a2 )AD = a3 , resultado que se puede generalizar de tal suerte que, O(a3 )AD = a4 , O(a4 )AD = a5 . 17

Modernamente se podr´ıa interpretar la visi´ on de Cavalieri en el sentido de que el conjunto de elementos que conforman tambi´en el continuo y que no son los indivisibles tienen medida cero. En la medida de Lebesgue, por ejemplo, bastar´ıa tomar las rectas con coordenada irracional, pues los racionales tienen medida cero

178

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

Obs´ervese que a partir de estos resultados se pierde el referente geom´etrico, puesto que O(a3 )AB , es un objeto que estar´ıa formado por indivisibles volum´etricos. Veamos como a partir de estos presupuestos, Cavalieri encuentra cuadraturas de figuras limitadas por curvas, cuyas gr´aficas, en t´erminos modernos representar´ıan funciones de la forma xn . Recordemos que en el caso de Arqu´ımedes, s´olo era posible calcular el ´ area de figuras limitadas por curvas que representan polinomios de segundo grado. En primer lugar, observemos que x2 representa los indivisibles volum´etricos de una pir´amide cuya base es un cuadrado de lado a y altura tambi´en a (figura 5.7).

B

C x

a x

a A

a

D

Figura 5.7. Los indivisibles de una pir´amide De esta forma O(x2 )AB representar´a el volumen de esta pir´amide, o sea, 2

O(x )AD

a3 = . 3

A continuaci´ on Cavalieri calcula las otras sumatorias para potencias de x. Veamos el proceso para calcular O(x3 )AD . O(a3 )AD = O((x + y)3 )AD = O(x3 )AB + 3O(x2 y)AD + 3O(xy 2 )AD + O(y 3 )AD . Por simetr´ıa tenemos que, O(x2 y)AD = O(xy 2 )AD , y O(x3 )AD = O(y 3 )AD , por lo tanto, O(a3 )AD = 2O(x3 )AD + 6O(x2 y)AD . Por otro lado, O(a3 )AD = aO(a2 )AD

5.15 Seguimiento Lectura 5

179

= a(2O(x2 )AD + 2O(xy)AD ) ( ' 2 2 O(a )AD + 2O(xy)AD =a 3 2 = O(a3 )AD + 2O((x + y)xy)AD . 3 de lo cual,

2 O(a3 )AD = O(a3 )AD + 4O(x2 y)AD , 3

y por lo tanto, O(x2 y)AD =

1 O(a3 )AD . 12

Reemplazando se tendr´ a que, O(x3 )AD =

. a4 1O(a3 )AD = . 4 4

Cavalieri verifica, a trav´es de arduos procesos algebraicos, hasta el caso n = 9. El resultado que se puede generalizar, O(xn )AD =

an+1 , n+1

y que representa la cuadratura de una regi´on limitada por una curva cuya ecuaci´on es de la forma xn . De esta forma, con Cavalieri se generaliza el c´alculo de cuadraturas, a trav´es de un proceso que abandona el m´etodo exhaustivo, dando paso a nuevas perspectivas en la b´ usqueda de un m´etodo permita obtener cuadraturas en general.

5.15.

Seguimiento Lectura 5

1. ¿El algoritmo de Tartaglia para ecuaciones c´ ubicas, soluciona el caso general 3 2 x + ax + px = q?. 2. ¿Tiene algunas limitaciones el caso x3 = px + q?. 3. Analice el algoritmo para la soluci´on polin´omica de grado cuatro. Utilice este algoritmo para solucionar la ecuaci´on x4 + 2x3 − 5x2 + x − 5 = 0. 4. ¿Cual es la importancia de la resolvente de Lagrange en el desarrollo de la teor´ıa de ecuaciones?. 5. ¿Cu´ ales son los avances de Cavalieri, en el c´alculo de ´areas con respecto a sus antecesores?.

180

La evoluci´ on del ´ algebra y los indivisibles de Cavalieri

6. ¿Qu´e son los indivisibles para Cavalieri?. 7. ¿Se aparta Cavalieri de la noci´on del continuo, proveniente de la antig¨ uedad griega?. 8. ¿Sobre qu´e bases conceptuales sustenta Cavalieri su m´etodo?. 9. (Tomado de [Edwards 1982]) Derive la f´ormula para el volumen de una esfera, comparando un hemisferio de radio R, con el s´olido que se obtiene de un cilindro de radio y altura R al cual se le ha removido un cono invertido cuya base es la tapa del cilindro y cuyo v´ertice est´a en el centro de la base del cilindro. 10. (Tomado de [Edwards 1982]) Un anillo esf´erico es obtenido de una esfera s´ olida a la cual se le ha hecho un agujero cil´ındrico cuyo eje es el di´ametro vertical de la esfera. Encontrar el volumen del anillo esf´erico por comparaci´on con una esfera cuyo di´ ametro es igual a la altura del anillo. 11. (Tomado de [Edwards 1982]) Considerar el s´olido intersecci´on de los cilindros x2 + z 2 = 1, y y 2 + z 2 = 1, a lo largo de los ejes y, y x respectivamente. Encuentre el volumen por comparaci´on con el s´olido obtenido de un paralelep´ıpedo rectangular cuya base es un cuadrado unitario y altura 2, al cual se le han removido dos pir´ amides cuadradas que tienen la tapa y el fondo del paralelep´ıpedo como sus bases, y teniendo com´ un el v´ertice y el centro del paralelep´ıpedo. 12. (Tomado de [Edwards 1982]) Considerar el ´area en el plano xy acotada por la l´ınea y = 1 y la par´ abola y = x2 . Sea P el s´olido obtenido girando esta ´area alrededor de la l´ınea y = 1. Considere P como la suma de las secciones circulares cruzadas. Aplique los resultados de Cavalieri para obtener v(P ) = 16π 15 .

Bibliograf´ıa Lectura 5 [Abel 1824] Abel, N. H.: M´emoire sur les ´equations alg´ebriques o` u on d´emontre l’impossibilit´e de la r´esolution de l’´equation g´en´erale du cinqui`eme degr´e. 1824. [Andersen 1982] Andersen, Kirsti: Las t´ecnicas del c´alculo moderno, 1630-1660. En: Del c´ alculo a la teor´ıa de conjuntos 1630-1910. Una introducci´on hist´orica. Recopilaci´ on de Grattan-Guinness I. Alianza Editorial, Madrid, 1982, pp. 22-68. [Andersen 1985] Ansersen, Kirsti: Cavalieri’s method of indivisibles. Denmark: Arch. Hist. Exact Sci, 1985. - 31, 292-367. [Arqu´ımedes 1970] Arqu´ımedes: Sobre Espirales. En: Cient´ıficos Griegos. Recopilaci´on de Vera Francisco. Aguilar, Madrid, 1970. [Boyer 1987] Boyer, Carl: Historia de la Matem´atica. Alianza Editorial, Madrid, 1987. [Cardano 1993] Cardano, Girolamo: Ars magna or the rules of algebra. Dover Publications, inc., New York, 1993. [Diofanto 1970] Diofanto: Aritm´etica. En: Cient´ıficos griegos. Recipilaci´on de Francisco Vera. Aguilar,Madrid, 1970. [Dunham 992] Dunham, William: Viaje a trav´es de los genios. Ediciones Pir´amide, S. A, Mdrid, 1992. [Edwards 1982] Edwards, C. H: The historical Development of the Calculus. Springer-Verlag,New York, 1982. [Kline 1994] Kline, Morris: El Pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Editorial, Madrid, 1994 (primera edici´on 1972), Vols. I, II , III. [Lagrange 1896] Lagrange, J. L.: Œuvres, Vol. 3, pp. 205- 421, Gautier-Villars, Par´ıs, 1867-1869. [Rey 1951] Rey, P. y Balb´ın, J: Historia de la matem´atica. Espasa, Buenos Aires, 1951. [Ribnikov 1987] Ribnikov, K: Historia de las Matem´aticas. Editorial MIR, Mosc´ u, 1987.

La lectura de todos los buenos libros es como una conversaci´ on con las mentes m´ as brillantes de los siglos pasados. Ren´e Descartes. Rules for the direction of the mind Tan ciega es la curiosidad por la cual son pose´ıdos los mortales, que frecuentemente conducen sus mentes a lo largo de rutas inexploradas, sin raz´ on alguna para esperar ´exito, sino simplemente estar dispuestos a arriesgarse en el experimento de encontrar si la verdad que buscan est´ a ah´ı. Ren´e Descartes. Rules for the direction of the mind: IV

Lectura

6 Descartes y el m´etodo de coordenadas 6.1.

El ´ algebra y el m´ etodo anal´ıtico

En las dos primeras lecturas advertimos que en la matem´atica griega, la aritm´etica y la geometr´ıa exist´ıan como disciplinas separadas, cada una con sus propios objetos, m´etodos y procedimientos operativos. En las lecturas cuarta y quinta, vimos que el ´algebra emerge en el ambiente ´ arabe y luego se desarrolla con la teor´ıa de ecuaciones de la escuela italiana del siglo XVI. A medida que el ´algebra va evolucionando, se logra ampliar el campo de las operaciones aritm´eticas b´ asicas a otros objetos diferentes de los n´ umeros. Recordemos que si bien Euclides define las operaciones de suma y producto para los n´ umeros, no hace lo propio para las magnitudes. La u ´nica operaci´ on clara en la geometr´ıa euclidiana es la suma de segmentos; no existe una definici´ on para el producto en el sentido de operaci´on que satisfaga la ley clausurativa. Si aceptamos que el ´ algebra constituye una disciplina en la cual se generaliza las operaciones de la aritm´etica, y que, en t´erminos globales, estudia las propiedades de las operaciones binarias definidas en un conjunto cualquiera de objetos, como lo anotamos en la cuarta lectura, entonces en los Elementos de Euclides no hay ´algebra. Obviamente, eso no nos impide aplicar un an´ alisis algebraico a las operaciones sobre magnitudes y sobre los n´ umeros, establecidas por Euclides. Si bien Ren´e Descartes (1596-1650) no invent´o el ´algebra, la dot´o de unos cimientos m´ as s´ olidos y la utiliz´ o, en toda su extensi´on, para fundamentar aquello

6.1 El ´algebra y el m´etodo anal´ıtico

183

que desde finales del siglo XIX reconocemos como geometr´ıa anal´ıtica. Descartes aplic´ o a la geometr´ıa los m´etodos y resultados del ´algebra; convirti´o los problemas geom´etricos en problemas algebraicos. Los t´erminos an´ alisis y s´ıntesis hab´ıan sido acu˜ nados por Arist´oteles en sus Anal´ıticos primeros y Anal´ıticos Posteriores. En el comienzo del libro VII de Colecci´ on matem´ atica, Pappus advierte que estos m´etodos han sido utilizados por Euclides, Arqu´ımedes, Apolonio y Aristeo el Viejo. En seguida incorpora la siguiente definici´on: El an´ alisis es el camino que parte de la cuesti´on que se busca, suponi´endola conocida, para llegar, por medio de las consecuencias que se deduzcan, a la s´ıntesis de lo que se dio por conocido. Suponiendo obtenido, en efecto, lo que se busca, se considera lo que se deriva de ello y lo que le precede hasta que, volviendo sobre los pasos dados, se llega a una cuesti´ on que ya se conoce o pertenece al orden de los principios; y este camino se llama an´alisis porque es una inversi´on de la soluci´on, mientras que en la s´ıntesis, por el contrario, suponiendo la cuesti´on, finalmente, conocida por el an´alisis, disponiendo sus consecuencias y causas en su orden natural y enlazando unas y otras, se llega a construir lo que buscamos; y este m´etodo es la s´ıntesis.1 En su trabajo In artem analyticem isagoge, Fran¸cois Vi`ete (1540-1603) se˜ nala el an´ alisis como un procedimiento, inventado por Plat´on, para llegar a la verdad en matem´aticas: se empieza asumiendo lo que se desea probar. Con base en ello se procede deductivamente y se obtienen enunciados conocidos; a partir de estos enunciados se deduce lo que inicialmente fue admitido. Vi`ete se˜ nala que la s´ıntesis consiste en partir de las hip´ otesis (lo asumido), para llegar, por deducci´on, al enunciado que se quiere probar. Es evidente que los Elementos constituyen un ejemplo t´ıpico de un sistema sint´etico: para demostrar cada proposici´on geom´etrica, se parte de lo que es admitido (postulados, axiomas u otras proposiciones previamente probadas), se procede por deducci´ on y se llega a lo inicialmente requerido. El m´etodo anal´ıtico aparece claramente dilucidado en la Geometr´ıa de Descartes: As´ı, si se quiere resolver alg´ un problema, debe de antemano considerarse como ya hecho, y dar nombre a todas las l´ıneas que parecen necesarias para construirlo, tanto a las que son desconocidas como a las otras. 2 No hay evidencia de que Descartes se hubiese basado en los trabajos de Vi`ete para desarrollar sus investigaciones. El mismo Descartes afirma que conoci´o la Log´ıstica especiosa de Vieta mientras estuvo en Francia, sin haber encontrado nada u ´til en ella. 1 2

[Pappus 1970], p. 991. [Descartes 1947], p. 53.

184

Descartes y el m´etodo de coordenadas

En el m´etodo de Vi`ete los problemas geom´etricos se resuelven de acuerdo a tres etapas sucesivas: “etapa zet´etica”, “etapa por´ıstica” y “etapa exeg´etica”. En la primera etapa se transforma el problema dado en una ecuaci´on, la cual se resuelve de acuerdo a los procedimientos establecidos. Se trata de un procedimiento anal´ıtico. En la segunda etapa, se verifican las conclusiones de la etapa “zet´etica”. En la u ´ltima etapa se exhibe la magnitud geom´etrica obtenida, probando que es la soluci´on. En la etapa exeg´etica se obra de manera sint´etica. Entre 1621 y 1629, Pierre de Fermat (1607-1665) se impuso la tarea de reconstruir los Lugares planos de Apolonio con base en la Colecci´ on Matem´ atica de Pappus. Esto lo incentiv´ o a establecer su propia manera de enfrentar los problemas de lugares geom´etricos. En su breve ensayo Ad locos planos et solidos isagoge de 1636, empleando la notaci´ on de Vieta, Fermat desarrolla los principios generales de la geometr´ıa anal´ıtica. Indudablemente en Vieta, como tambi´en en Fermat, ya se encuentran los elementos primigenios del m´etodo anal´ıtico. Sin embargo, correspondi´o a Descartes esclarecerlo completamente, y tomar conciencia de que se trataba de una nueva manera de hacer matem´ aticas. Hay que tener en cuenta que el t´ermino “an´alisis” no s´olo corresponde al apelativo de un m´etodo para conocer y demostrar, sino que concierne a una rama de las matem´aticas que se fue desarrollando durante los siglos XVII y XVIII, alcanzando su autonom´ıa en el siglo XIX. En este sentido podemos identificar dos tipos de an´alisis: el especioso y el infinitesimal. El an´alisis especioso se desarroll´o principalmente en la l´ınea francesa con Vieta, Fermat y Descartes; consist´ıa en c´alculos sobre s´ımbolos o especies que representaban magnitudes o n´ umeros. En el fondo consiste en un c´alculo algebraico y por esta raz´ on se designaba bajo el apelativo de an´ alisis algebraico. En el an´alisis infinitesimal se toma el “analizar” como un “diseccionar” el todo en las partes que lo constituyen y luego recomponerlo a partir de esas mismas partes. El adjetivo infinitesimal da cuenta de la descomposici´on en infinitas partes, y cada parte corresponde a una cantidad infinitamente peque˜ na, a un indivisible o a un diferencial en sentido moderno. Las matem´aticas de los siglos XVII y XIX se desarrollaron en relaci´ on con la evoluci´ on del an´alisis infinitesimal, como lo describiremos en la s´eptima y octava lectura.

6.2.

Las ra´ıces m´ agicas del programa Cartesiano

Descartes naci´ o el 31 de marzo de 1596 en La Haye, ciudad de la provincia de Turena (Francia) y falleci´ o en Estocolmo el 11 de febrero de 1650. Desde muy temprano Descartes tuvo una vida intelectual fren´etica. Curs´o el bachillerato en el afamado centro jesuita de La Fl`eche, donde recibi´o formaci´on en lenguas cl´ asicas (lat´ın y griego), matem´aticas, filosof´ıa aristot´elica y literatura. Estudi´ o, con una dedicaci´ on fren´etica, cuanto ense˜ naban las escuelas cl´asicas y no

6.2 Las ra´ıces m´ agicas del programa Cartesiano

185

cl´asicas. Viaj´ o a Alemania y se relacion´o con la cofrad´ıa de los hermanos Rosa Cruz, famosos por poseer una sabidur´ıa especial que les permit´ıa conocer la totalidad del mundo. Estudi´ o historia natural, astronom´ıa y las matem´aticas de Euclides, Arqu´ımedes, Apolonio y Diofanto. Buscaba el saber en las ciencias convencionales y en las ocultas. Deseaba el saber universal. A veces iba a tientas, sin rumbo fijo, viajando sin br´ ujula. Busc´ o en las tradiciones herm´etico-cabal´ısticas de Cornelius Agrippa e interrog´ o la obra del monje espa˜ nol Raimundo Lulio, tal vez la figura m´as prominente de la Edad Media, quien quiso crear una ciencia universal, cuyo tronco com´ un lo constitu´ıa la matem´ atica. Dice que tuvo la visi´ on de una “ciencia nueva y admirable” el 10 de noviembre de 1619, a trav´es de tres sue˜ nos en una noche febril. Visi´on que fue complementada en otro sue˜ no, al a˜ no siguiente por la misma fecha. Precisamente, el 11 de noviembre de 1620 escrib´ıa: “este d´ıa he comenzado a comprender los fundamentos de un descubrimiento digno de admiraci´on”. Ten´ıa entonces 23 a˜ nos. En 1623 se establece en Francia, con algunas permanencias en Italia, espec´ıficamente Roma y Florencia, donde posiblemente conoci´ o a Galileo. En Par´ıs, estableci´o amistad con selectos hombres de ciencia como el astr´ onomo Jean-Baptiste Morin, los matem´aticos Claude Mydorge, Marin Mersenne, Ville-bressieux y Hardy, con el ´optico Ferrier y con el cardenal B´erulle, hombre de la iglesia y amante del saber. En 1628 se traslada a Holanda, buscando el ambiente propicio para escribir sus pensamientos y teor´ıas como le recomendar´ıan sus amigos.3 A estas alturas no s´ olo le preocupa la filosof´ıa y la matem´atica en s´ı misma, sino tambi´en la ´ optica, y la relaci´on entre la geometr´ıa y los principios b´asicos para la construcci´ on de los lentes. Se conoce como uno de sus per´ıodos m´as productivos intelectualmente y se supone que fue durante estos a˜ nos cuando escribi´o sus tratados: El mundo, Reglas para la direcci´ on del esp´ıritu y algunas de las Meditaciones metaf´ısicas. Parece que en 1631 solucion´o el problema de Pappus, que le fuera propuesto por Golius, su profesor de matem´aticas en la Universidad de Leyden, cuando fuera alumno de ese establecimiento, donde tambi´en era profesor van Schooten, uno de sus m´ as insignes traductores y comentadores. A trav´es de ellos conoci´o a Huygens, quien gozaba de gran prestigio en los c´ırculos intelectuales. Precisamente la primera referencia conocida sobre la publicaci´on de sus obras se encuentra en una carta a Huygens, escrita en octubre de 1635. Posteriormente, en 1636, le escribe una carta a Mersenne en la cual le informa que pretende establecer una ciencia universal que proporcione el m´as alto grado de 3

Al respecto, en una carta a Mersenne comentar´ıa en 1938: “Para hablar entre nosotros, no hay nada que sea m´ as contrario a mis gustos que el ambiente de Par´ıs, a causa de una infinidad de diversiones que son inevitables; y mientras me sea permitido vivir a mi modo, permanecer´e siempre en el campo, en cualquier pa´ıs en que no pueda ser importunado por visitas de los vecinos, como lo hago aqu´ı ahora en un rinc´ on del Norte de Holanda; es esta sola raz´ on lo que me ha hecho preferir este pa´ıs al m´ıo; y ya estoy ahora tan acostumbrado a ´el que no tengo ning´ un deseo en dejarlo”.

186

Descartes y el m´etodo de coordenadas

perfecci´ on. Le dice que en este tratado expondr´a los fundamentos de su M´etodo. A trav´es de ´el piensa dar cuenta, entre otras, de la Di´ optrica, los Meteoros y la Geometr´ıa, usando un procedimiento general para resolver todos los problemas que no han sido resueltos a´ un. Finalmente, en 1637, despu´es de haber obtenido el imprimatur, sale a la luz p´ ublica una emisi´on de 3.000 ejemplares en dos ediciones, bajo el t´ıtulo de: Discurso del m´ etodo Para conducir bien la raz´on, y buscar la verdad en las ciencias. Adem´ as, La Di´ optrica, los Meteoros y La Geometr´ıa; que son ensayos de este m´etodo. Filos´ oficamente, Descartes es considerado el fundador de la modernidad. Como dice Hegel: Ren´e Descartes es un h´eroe del pensamiento, que aborda de nuevo la empresa desde el principio y reconstruye la filosof´ıa desde los mismos cimientos puestos ahora de nuevo al descubierto al cabo de mil a˜ nos.4 Pese a lo anterior, no podemos desconocer al Descartes inmerso en un ambiente, que si bien busca nuevas formas explicativas, a´ un mantiene v´ınculos estrechos con el paradigma renacentista herm´etico y m´agico-animista. Sabemos que aunque su filosof´ıa constituye una reacci´ on en contra de esas concepciones amparadas bajo un manto m´ agico-naturalista, muchos de sus planteamientos emergen de sus indagaciones e interpretaciones en las cuales participa el Descartes cient´ıfico y el Descartes herm´etico. Por lo menos sus investigaciones algebraicas guardan estrecha relaci´on con sus estudios de las artes l´ ogico-cabal´ısticas del m´edico y fil´osofo alem´an Cornelius Agrippa (1486-1535), quien conceb´ıa el mundo como un todo org´anico controlado por un esp´ıritu universal. En esta tradici´on se buscaba encontrar los arcanos del universo a trav´es de una codificaci´on y decodificaci´on num´erica del alfabeto hebreo. Para tal fin se hace uso de una t´ecnica antigua mediante la cual se busca establecer v´ınculos entre el objeto y su nombre. Entre estas t´ecnicas se destaca la gematr´ıa, que consiste en identificar resultados aritm´eticos y geom´etricos mediante palabras, las cuales se consiguen con base en c´alculos y diagramas geom´etricos. El resultado m´as sorprendente de esta t´ecnica lo constituye el c´alculo del radio de la circunferencia, en el cual se sintetizan, a la vez, el concepto natural de medida y n´ umero; de esta forma la longitud, el ´ area y el volumen toman un car´acter universal a partir de una unidad inicial, que constituye un arquetipo. Se empieza a establecer un puente entre aritm´etica y geometr´ıa. Sin embargo, el acercamiento de Descartes al mundo herm´etico no lo ubica del mismo lado del hombre renacentista; su b´ usqueda tiene por objeto constituir un 4

[Hegel 1955].

6.3 El m´etodo cartesiano

187

m´etodo que le permita dar cuenta del saber universal. As´ı, el 29 de abril de 1619, le escrib´ıa a su amigo Isaac Beeckman respecto a cierta conversaci´on con un erudito con quien pudo discutir sobre el Ars Generalis Magna de Lulio y que, seg´ un Descartes “se jactaba de poder disertar sobre cualquier tema. Pero era un hombre que hab´ıa sacado toda su ciencia de los libros, as´ı que la ten´ıa m´as en los labios que en la cabeza. Sin embargo, le interrogu´e con mucho inter´es sobre el libro de Lulio, pero hubo de convenir que ni en ´ese, ni en el de Agrippa, estaban reveladas las claves para llegar a los secretos de aquel arte”.5 Despu´es de unos febriles a˜ nos juveniles de b´ usqueda incesante e infructuosa por bibliotecas y sabios, se vuelve sobre s´ı mismo como bien lo expresa algunos a˜ nos despu´es en el Discurso del m´etodo: Por ello, tan pronto mi edad me permiti´o salir del dominio de mis preceptores, abandon´e completamente el estudio de las letras, y resuelto a no buscar otra ciencia que la que pudiera hallar en m´ı mismo, o bien en el gran libro del mundo, emple´e el resto de mi juventud en viajar.

6.3.

El m´ etodo cartesiano

Entre 1625 y 1629, Descartes empieza a combinar los saberes que anidaban dispersos en su cabeza: geom´etricos, f´ısicos, algebraicos y tambi´en los herm´eticos. Lo destacable es que Descartes no se queda naufragando en la b´ usqueda de las claves en el mundo m´ agico o enclaustrado en el universo matem´atico, sino que intenta la construcci´ on de un sistema filos´ofico que constituya un m´etodo, una fundamentaci´on metaf´ısica para el nuevo saber cient´ıfico. En este sentido, Descartes construye la primera filosof´ıa moderna. Su libro Reglas para la direcci´ on del esp´ıritu,6 publicado en 1629, constituye el primer paso fundamental en la perspectiva de la b´ usqueda de un m´etodo el cual deber´a ser matem´ atico y universal (mathesis universalis). Precisamente, en el regla IV, Descartes dar´ a su definici´ on de m´etodo: As´ı pues, entiendo por m´etodo reglas ciertas y f´aciles, mediante las cuales el que las observe exactamente no tomar´a nunca nada falso por verdadero, y, no empleando in´ utilmente ning´ un esfuerzo de la mente, sino aumentando siempre gradualmente su ciencia, llegar´a al conocimiento verdadero de todo aquello de que es capaz.7 5

[Descartes 1947], p. 20. Del lat´ın Regulae ad directionem ingenii. El libro, como lo expresa el mismo Descartes en la regla XII, deber´ıa constar de 36 reglas divididas en tres grupos. El primer grupo, formado por doce, corresponder´ıa a cuestiones generales. El segundo grupo estar´ıa dedicada a la matem´ atica, y en el u ´ltimo grupo, tambi´en de doce, tratar´ıa aspectos de la f´ısica. La obra no fue terminada y s´ olo consta de 21 reglas. 7 [Descartes 1989], p. 79. 6

188

Descartes y el m´etodo de coordenadas

Para Descartes, su nuevo sistema filos´ofico se antepone al viejo sistema metaf´ısico y l´ogico heredado de Arist´ oteles y los escol´asticos. En primer lugar, critica la consideraci´ on aristot´elica de que la actividad intelectual leg´ıtima queda establecida por la operaci´ on mental que conduce de lo particular a lo general. En segundo lugar, considera muy limitada la silog´ıstica, por tratarse s´olo de un medio para exponer la verdad, cuando el problema principal del conocimiento es precisamente descubrirla. En el Discurso del m´etodo, Descartes concluye que la eficiencia de un m´etodo no se puede medir por la cantidad de reglas, pues se corre el riesgo de caer en un modelo ret´orico intrascendente, como la silog´ıstica aristot´elica. En esta direcci´on, llega a la conclusi´ on que deben ser las siguientes cuatro reglas las que deben tomarse como base. Regla de la evidencia: “Nunca escoger nada como verdadero, si antes no se conoce que lo es con evidencia; por lo tanto evitar con cuidado la precipitaci´on y la prevenci´ on; y no abarcar en mis juicios nada que est´e m´ as all´a de lo que se presentaba ante mi inteligencia de una manera tan clara y distinta que exclu´ıa cualquier posibilidad de duda”. Regla del an´ alisis: “Dividir todo problema, sometido a estudio, en tantas partes menores como sea posible y necesario para resolverlo mejor”. Regla de s´ıntesis: “La tercera regla es la de conducir con orden mis pensamientos, comenzando por los objetos m´as simples y f´aciles de conocer, para ascender poco a poco, como a trav´es de escalafones, hasta el conocimiento de los m´as complejos; suponiendo que hay un orden, as´ı mismo, entre aquellos cuyos objetos no proceden naturalmente a los objetos de otros”. Regla de enumeraci´ on y revisi´ on: “La u ´ltima regla es la de efectuar, en todas partes, enumeraciones tan complejas y revisiones tan generales que se est´e seguro de no haber omitido nada”. La propuesta de Descartes utiliza como base estas reglas para ejercer la cr´ıtica, reduciendo lo complejo a lo simple y visualizando como se articulan los enunciados en una cadena deductiva sin perder el todo. Las reglas constituyen una protecci´on contra las nociones aproximadas o fantasiosas. La directriz de las indagaciones proviene del paradigma hipot´etico-deductivo de la matem´atica. La Geometr´ıa constituye una aplicaci´on concreta del m´etodo cartesiano. Desde el libro I, Descartes instaura los pasos esenciales que le posibilitan resolver, seg´ un ´el, cualquier problema geom´etrico. De esta forma aquello que designamos con el adjetivo de “m´etodo cartesiano” corresponde a una metodolog´ıa muy particular, un proceso que sigue tres pasos fundamentales: 1. Suponer que el problema est´a resuelto.

6.4 Contenido y m´etodo de la Geometr´ıa

189

2. Interpretar el problema algebraicamente; esto es, trasladarlo al lenguaje de las ecuaciones y resolverlo con los m´etodos propios del ´algebra. 3. Verificar que la soluci´ on satisface los requerimientos del problema.

6.4.

Contenido y m´ etodo de la Geometr´ıa

Como lo hemos expuesto en la primera lectura, la base fundamental de los Elementos corresponde a la filosof´ıa aristot´elica. Euclides retoma de Arist´oteles los principios ontol´ogicos necesarios que le permiten constituir sus objetos matem´aticos. En este sentido, la Metaf´ısica de Arist´oteles puede tomarse como un pr´ologo indispensable para entender los Elementos. La Geometr´ıa tambi´en responde a unos principios filos´ oficos referenciales, s´olo que en este caso no hay que buscarlos por fuera del autor sino en su propio programa filos´ofico. Para entender a cabalidad la propuesta inmersa en la geometr´ıa anal´ıtica es indispensable analizar el horizonte conceptual que moviliza el pensamiento cartesiano; de hecho el Discurso del m´etodo constituye el pr´ ologo de La Di´ optrica, Los meteoros y La Geometr´ıa. Aunque retoma los problemas que no hab´ıan podido ser resueltos en la geometr´ıa euclidiana, la geometr´ıa cartesiana no sigue sus directrices metodol´ogicas. Como lo explica el mismo Descartes en el Discurso del m´etodo, se trata de combinar las ventajas de la geometr´ıa con la del ´algebra, dejando de lado las limitaciones de cada una de ellas. Para Descartes, la geometr´ıa restringe la imaginaci´on al apoyarse demasiado en las figuras, mientras que el ´algebra no es m´as que una disciplina confusa que atiborra la mente con un exagerado n´ umero de reglas. La Geometr´ıa est´ a conformada por tres libros. La edici´on pr´ıncipe constaba de 120 p´aginas y 30 figuras diferentes. El libro primero trata sobre los problemas que pueden resolverse s´olo con c´ırculos y l´ıneas rectas. En los primeros cap´ıtulos generaliza las operaciones de multiplicaci´on, divisi´on y extracci´ on de ra´ıces para magnitudes; para ello se basa en la teor´ıa de proporciones y en la teor´ıa de n´ umeros; pero, a diferencia de Euclides, Descartes introduce una unidad referencial. A continuaci´on explica su m´etodo de planteo de ecuaciones, el cual lo aplica para solucionar el problema de Pappus; precisamente en este problema incorpora las coordenadas en su estado primitivo. En el libro segundo aborda el estudio de las l´ıneas curvas. Al igual que los antiguos, divide los problemas en planos, s´olidos y lineales, cuya distinci´on se da seg´ un el proceso de construcci´ on; en los primeros se utiliza s´olo rectas y c´ırculos; en los segundos es necesario usar alguna secci´on c´onica, y en los u ´ltimos se necesitan algunas l´ıneas m´ as complicadas, entre las cuales se cuentan las llamadas mec´anicas, las cuales, seg´ un ´el, no es necesario discriminarlas de las geom´etricas una vez que se demuestra que para determinar las propiedades de las curvas basta conocer las relaciones entre los puntos de la curva con los de l´ıneas rectas.

190

Descartes y el m´etodo de coordenadas

El libro tercero lo dedica a los problemas s´olidos y supers´olidos, los cuales le llevan a plantearse la soluci´ on de ecuaciones. De esta forma aborda la soluci´on de dos de los problemas cl´ asicos de la antig¨ uedad griega como los son la trisecci´on del ´angulo y la duplicaci´ on del cubo, teorizando fundamentalmente respecto a la soluci´on de ecuaciones de tercer grado. Al final, Descartes plantea el teorema fundamental del algebra el cual considera verdadero sin demostraci´on alguna. ´ Muchos de los procedimientos y s´ımbolos actuales fueron incorporados por Descartes. As´ı, para la suma y la resta utiliza “+” y “−”. Descartes considera las primeras letras del alfabeto para constantes y las u ´ltimas para las variables, teniendo en cuenta que representan, en general, segmentos. Adem´as incorpora la notaci´on exponencial an para designar la multiplicaci´on del segmento a, n veces.

6.5.

Descartes y la aritm´ etica de segmentos

Descartes inicia el libro primero de La Geometr´ıa planteando que dos magnitudes lineales, al igual que dos n´ umeros, se pueden no s´olo sumar y restar sino multiplicar, dividir y extraer ra´ız cuadrada. Recordemos que los conceptos de n´ umero y magnitud eran dicot´ omicos en la matem´ atica griega. Si bien los n´ umeros se pueden ubicar dentro de un “cuerpo num´erico”, es decir, existen operaciones binarias de suma y producto que satisfacen determinadas propiedades como la conmutativa, asociativa, etc., no sucede as´ı con las magnitudes geom´etricas, espec´ıficamente con las lineales, para las cuales no tiene sentido el producto. En este contexto si a y b son segmentos, el producto a.b representaba, para Vieta y sus predecesores, el ´area de rect´angulo de lados a y b. Para nosotros, el producto a.b no reviste mayor dificultad pues al identificar las magnitudes con los n´ umeros no tenemos ning´ un problema en adaptarle, a cada ´area, un n´ umero determinado que es su medida. Los primeros pasos en esta direcci´on se los debemos a Descartes al definir el producto de segmentos como una operaci´on cerrada. Analicemos c´ omo Descartes, en el libro I de La Geometr´ıa, establece las operaciones entre segmentos, soslayando, de paso, la distancia te´orica entre los n´ umeros y las magnitudes, establecida en los Elementos de Euclides. En primer lugar, Descartes se ve en la necesidad de introducir una magnitud que llamar´ a la unidad y seg´ un sus palabras le sirve para “relacionarla lo m´as posible con los n´ umeros y que ordinariamente puede ser tomada a discreci´on...”. Para multiplicar dos segmentos BD y BC primero se establece un segmento unidad AB y se busca un segmento BE, que es la cuarta proporcional de los segmentos AB, BC y BD, como se consigna en la figura 6.1, en la cual se han colocado en la misma l´ınea AB y BD, y en otra l´ınea el segmento BC. Uniendo los puntos A y C, se traza DE, paralela a CA.

6.5 Descartes y la aritm´etica de segmentos

E

191

C B

A D Figura 6.1. Producto de segmentos De acuerdo a la figura 6.1 tenemos que: BC AB = BD BE Por lo tanto BE es el producto de BD y BC. Tenemos aqu´ı algunas cuestiones profundas que no debemos dejar de lado. En primer lugar, Descartes est´ a extendiendo una propiedad num´erica al campo de las magnitudes, referente a la interpretaci´on de las proporciones. Sabemos que si AB, BC, BD y BE representaran n´ umeros, la anterior proporci´on dar´ıa lugar a la igualdad AB × BE = BC × BD. Por otro lado, Descartes toma el producto AB ×BE igual a BE, dado que AB es la unidad. Pero esta es una propiedad estructural muy profunda que hace referencia al car´ acter neutro de la unidad en el producto entre n´ umeros. Para la divisi´ on de segmentos, Descartes sigue el siguiente proceso: si se quiere dividir BD entre BC, u ´nase el segmento D con C y luego tr´acese AE paralela a DC, como se observa en la figura 6.2 D

E B

A C Figura 6.2. Divisi´on de segmentos Por lo tanto,

192

Descartes y el m´etodo de coordenadas

BC BD = . AB BE Entonces BE es el resultado de dividir BD entre BC. La otra operaci´ on que define Descartes es la radicaci´on: sea el segmento AB. Se construye el segmento AH, que es la suma de AB y la l´ınea unidad BH. A continuaci´ on se traza la semicircunferencia AIH, cuyo di´ametro es AH y radio AF , como se observa en la figura 6.3

I

F A

B

H

Figura 6.3. Ra´ız cuadrada de segmentos Resulta que BI es media proporcional entre AB y BH, por lo tanto: AB BI = , BI BH que en la reci´en inaugurada simbolog´ıa de Descartes se podr´ıa expresar como: BI =

√

AB.

Es necesario insistir que no podemos identificar la unidad cartesiana en el sentido de la definici´ on griega, desde la cual un n´ umero era visto como una colecci´on de unidades. Aqu´ı no se trata de identificar un segmento como un m´ ultiplo de la unidad. Estamos a´ un muy lejos de llegar a esa simbiosis entre n´ umero y magnitud. Descartes introduce esta unidad con el u ´nico sentido de dotar a los segmentos de las mismas operaciones de la aritm´etica, es decir para poder operar con las magnitudes de igual manera como se hace con los n´ umeros. Otro aspecto, igualmente importante, es el hecho de entender que las construcciones geom´etricas anteriores no eran extra˜ nas a la matem´atica griega, m´as concretamente corresponden a la teor´ıa de proporciones de los libros V y VII de los Elementos. Esto significa que si los griegos no llegaron a resolver el problema de multiplicar o dividir dos segmentos dados o extraerle la ra´ız cuadrada a un segmento no se debi´ o a un problema de imposibilidad te´orica, sino m´as bien a un problema

6.6 Descartes y la aritm´etica de segmentos

193

de fondo de tipo netamente conceptual. Sabemos que en la Grecia antigua, un abismo profundo separaba la aritm´etica de la geometr´ıa; la existencia de las magnitudes inconmensurables no permit´ıa visualizar los objetos geom´etricos en el mismo sentido que los aritm´eticos. Un hecho que amerita un an´ alisis pormenorizado tiene que ver con el papel que jug´ o la inserci´ on del lenguaje simb´olico y la introducci´on de cierto tipo de coordenadas, homologadas hoy con lo que reconocemos como coordenadas cartesianas, que en realidad distan mucho de las usadas por Descartes. En el libro I, luego de haber presentado las definiciones de las operaciones entre segmentos, Descartes establece la importancia del uso de una simbolog´ıa apropiada: “Pero frecuentemente no es necesario trazar de esta forma tales l´ıneas sobre el papel, siendo suficiente designar cada una de ellas por una letra. As´ı, para sumar la l´ınea BD con CD, llamo a la una a y a la otra b y escribo a + b”.8 De esta manera, cuando va a operar con l´ıneas no es necesario realizar la gr´ afica pues se puede maniobrar con las letras como se opera con los n´ umeros. Esto es muy importante, pues las l´ıneas ya no se tratan como “objetos gr´aficos”, sino que se pueden trabajar como se hace con los n´ umeros: a * a + b, a × b, , a2 + b2 b Recordemos que para los griegos, las u ´nicas operaciones entre segmentos que daban como resultado segmentos eran la suma y la resta. La incorporaci´on de la nueva representaci´ on simb´ olica, incorporada por Descartes, no s´olo permite econom´ıa de pensamiento, sino que obedece a una nueva concepci´on de n´ umero. De esta manera, el producto correspond´ıa a una l´ınea c. Es necesario aclarar que ni para los griegos ni para Descartes, la representaci´on de una l´ınea a trav´es del s´ımbolo a significaba “a veces” la unidad, era sencillamente la manera de denotar una l´ınea. Para Descartes era claro que las operaciones entre magnitudes deb´ıan respetar la homogeneidad. Cuando esto no suced´ıa se sobrentend´ıa que estaban multiplicadas o divididas tantas veces era necesario por la unidad: As´ı, si ha de extraerse la ra´ız c´ ubica de aabb − b, debemos considerar que la cantidad aabb est´ a dividida por la unidad y la cantidad b est´a multiplicada dos veces por la misma unidad.9 Esta declaraci´ on de Descartes nos muestra que todav´ıa no se ha desprendido del referente geom´etrico en el sentido de que la homogeneidad es un principio b´asico de la operatividad: no se puede sumar magnitudes superficiales con magnitudes lineales; pero Descartes elude esta dificultad suponiendo que multiplicando o dividiendo por la unidad, tantas veces como fuese necesario, se logra el equilibrio. S´olo hasta que 8 9

[Descartes 1994], p. 391. [Descartes 1994], p. 392

194

Descartes y el m´etodo de coordenadas

exista una fusi´ on entre n´ umero y magnitud, nos podemos olvidar totalmente del referente geom´etrico.

6.6.

Descartes y la resoluci´ on de las ecuaciones de segundo grado

Recordemos que Euclides resolv´ıa lo que reconocemos hoy como problemas algebraicos a trav´es de la geometr´ıa. Resolver, por ejemplo, la ecuaci´on x2 = a × b, a y b magnitudes lineales, consist´ıa en encontrar un cuadrado con ´area equivalente a la del rect´angulo con lados denotados por a y b. Hay que tener en cuenta que en este momento la resoluci´ on de esta ecuaci´on no reviste mayor dificultad incluso para los estudiantes del bachillerato; se tratar´ıa sencillamente de un problema de extracci´on de ra´ız cuadrada al producto a.b sin que intervenga para nada el referente geom´etrico. Es importante no dejar de lado estos aspectos, pues constantemente olvidamos que el rigor de las teor´ıas matem´ aticas no es algo absoluto sino que guarda el esp´ıritu de cada ´epoca. Los contextos tienen profunda incidencia en los c´anones de rigor y no funcionan en todas las latitudes temporales y espaciales de igual modo. En t´erminos generales, y en todo caso haciendo traducciones convenientes, en la proporci´on ´ aurea (II.11), Euclides resuelve la ecuaci´on, a(a − x) = x2 . Igualmente, las proposiciones II.5 y II.6 de los Elementos, pueden interpretarse como soluciones de la ecuaci´ on, ax ± x2 = b2 , la cual corresponde a la ecuaci´ on m´as general que podemos entrever en la matem´atica euclidiana. Adelantos mayores en este aspecto los encontramos en las ´arabes e hind´ ues, como lo vimos en lecciones anteriores. Recordemos que los algebristas italianos llegaron m´as all´a al encontrar algoritmos para las ecuaciones de tercer grado. Estos m´etodos de soluci´on aparecen sistematizados por Cardano en su libro Ars magna. Descartes llega a la resoluci´ on de ecuaciones a trav´es de los problemas geom´etricos, los cuales clasifica en planos, s´olidos y lineales. Los problemas planos se refieren espec´ıficamente a los problemas de la geometr´ıa euclidiana, problemas que se pueden resolver como intersecciones de c´ırculos y rectas. Los s´olidos se refieren a problemas que se resuelven a trav´es de las c´onicas y los lineales aquellos en los que se requieren curvas m´ as compuestas. La manera como Descartes da soluci´on a estos problemas corresponde a uno de los ejemplos m´ as categ´ oricos de aplicaci´on del m´etodo anal´ıtico. Vamos a analizar la forma en que este matem´atico resuelve la ecuaci´on general de segundo grado. Aqu´ı debemos decir que esta ecuaci´on, seg´ un Descartes, pertenece

6.6 Descartes y la resoluci´ on de las ecuaciones de segundo grado

195

a la rama de los problemas planos que se pueden resolver con los instrumentos euclidianos de regla y comp´ as. O m´as estrictamente los problemas que se pueden encontrar con intersecciones de c´ırculos y rectas. Luego veremos que las ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver como intersecciones de rectas y c´ırculos sino como intersecciones de c´ırculos y par´abolas; es decir, ya no pertenecen al ´ambito de la geometr´ıa euclidiana. En este sentido Descartes extiende la noci´on de comp´as euclidiano a la de su “comp´ as generalizado” del que hablaremos mas adelante. La ecuaci´ on de segundo grado la podemos expresar en su forma m´as general 2 como x ± ax ± b = 0, donde a y b son cantidades lineales. La primera ecuaci´on que resuelve es x2 = ±ax + b2 . Para ello se sigue el siguiente proceso: se traza la circunferencia de centro O y radio a/2. Por el punto T se traza la tangente T R y se une el punto R con el centro O y se prolonga, de tal suerte que corte a la circunferencia en el punto P . De esta forma se obtiene el tri´ angulo rect´angulo T OR de lados a/2 y b (Ver figura 6.4). P

O a 2

Q b

T

R

Figura 6.4. Soluci´ on geom´etrica a dos ecuaciones cuadr´aticas Llamando P R = x, se tiene que RQ = x − a. Apliando el Teorema de Pit´agoras al tri´ angulo rect´ angulo T OR, se tendr´a: % a &2 % a &2 = + b2 . x− 2 2

(6.1)

Realizando las operaciones se obtiene: 2

x − ax +

% a &2 2

=

% a &2 2

+ b2 ,

es decir, x2 − ax = b2 . Entonces, la soluci´ on de la ecuaci´on x2 − ax = b2 , de acuerdo a la ecuaci´on 6.1, se puede expresar como: ' ( 1 1 aa + bb . x = a + ra´ız cuadrada de 2 4

196

Descartes y el m´etodo de coordenadas

Si ahora, en lugar de x = P R tomamos x = QR, tenemos: % a &2 % a &2 x+ = + b2 . 2 2

(6.2)

Realizando las operaciones, se obtiene la ecuaci´on x2 + ax = b2 , lo cual significa, de acuerdo a la ecuaci´ on 6.2, que la soluci´on ser´a: ' ( 1 −1 a + ra´ız cuadrada de aa + bb . x= 2 4 De esta forma, hasta aqu´ı, Descartes ha resuelto las ecuaciones que tienen las formas: x2 ± ax − b2 = 0, que siempre tienen soluci´on. Enseguida Descartes resuelve la ecuaci´on de la forma: x2 ± ax + bb = 0 Sea la figura 6.5, R N a M 2 L

Q b

P

Figura 6.5. Ecuaci´on cudr´atica con una soluci´on donde LP es b, LN = 12 a y adem´as, supongamos que 21 a ≥ b. Si se toma P Q = x, se tiene, 1 M Q = b, N M = a − x 2 Como el tri´ angulo N M Q es rect´angulo se tiene que: -1 .2 - .2 + b2 = 12 a , 2a − x 1 2 4a

− ax + x2 + b2 = 14 a2 ,

que da lugar a la ecuaci´ on: x2 − ax + b2 = 0,

(6.3)

6.7 El problema de Pappus y el planteamiento de ecuaciones

197

cuya soluci´ on se puede expresar como: 1 x = a − ra´ız cuadrada de 2

'

( 1 aa − bb . 4

Si se toma P R = x, y se sigue el mismo proceso, se llega a la conclusi´on de que la otra soluci´ on de la ecuaci´ on x2 − ax + b2 = 0 es: ' ( 1 1 aa − bb . x = a + ra´ız cuadrada de 2 4 Y luego dice Descartes, “si el c´ırculo que tiene su centro en N y pasa por el punto L no toca ni corta la l´ınea P QR, no hay ninguna ra´ız de la ecuaci´on, de manera que pueda asegurarse que la construcci´on del problema propuesto es imposible”. Descartes aqu´ı se esta refiriendo al caso en que la ecuaci´on tenga una ra´ız de una cantidad negativa, lo que evidentemente en este contexto implica que no tiene representaci´ on geom´etrica. En el libro III de la Geometr´ıa, Descartes se referir´a a estas “cantidades” como imaginarias. Wallis algunos a˜ nos despu´es asignar´a a estos “entes” extra˜ nos una representaci´on geom´etrica. Estos son los inicios de lo que m´as adelante se formalizar´ a como n´ umeros complejos.

6.7.

El problema de Pappus y el planteamiento de ecuaciones

Descartes utiliza el “problema de Pappus”,10 para demostrar la potencia del m´etodo algebraico. Empieza llamando la atenci´on en el hecho de que se trata de un ejercicio geom´etrico que hab´ıa doblegado a Euclides, Apolonio y, en su versi´on m´as general, al mismo Pappus. Despu´es de presentar la versi´on de Pappus, Descartes pone de presente la perspectiva purista de los antiguos, que les imped´ıa combinar los m´etodos de la aritm´etica con los de la geometr´ıa, lo cual constituy´o el mayor obst´aculo en la perspectiva de dar una respuesta general al problema en consideraci´on. La versi´ on cartesiana del “problema de Pappus” es la siguiente: Teniendo tres, cuatro o un mayor n´ umero de rectas dadas en su posici´on, se intenta hallar en primer lugar un punto desde el cual se pudiesen trazar tantas l´ıneas rectas, una sobre cada una de las dadas, formando angulos dados, de modo que el rect´angulo formado por dos de las trazadas ´ desde el mismo punto, guarde una proporci´on dada con el cuadrado de la tercera, en el caso de que no hay sino tres; o bien con el rect´angulo de las otras dos sino no hay mas que cuatro; o bien, si hay cinco, que el paralelep´ıpedo formado por tres guarde la proporci´on dada con el 10

En la cuarta lectura observamos que Pappus fue un alejandrino de los siglos III y IV d.C.

198

Descartes y el m´etodo de coordenadas

paralelep´ıpedo construido sobre las dos restantes y otra l´ınea dada; si hay seis, que el paralelep´ıpedo construido sobre tres guarde una proporci´on dada con el paralelep´ıpedo formado por las otras tres; si hay siete, que el resultado obtenido cuando se multipliquen cuatro de ellas entre s´ı, guarde la proporci´ on dada con el resultado de las otras tres y tambi´en de una l´ınea dada; si hay ocho, que el resultado obtenido de la multiplicaci´on de cuatro guarde la proporci´ on dada con el resultado obtenido de las otras cuatro. De este modo, tal cuesti´on puede hacerse extensiva a cualquier otro n´ umero de l´ıneas. 11 En t´erminos generales se trata de hallar el lugar geom´etrico de los puntos del plano que cumplan una determinada propiedad. Para este caso concreto, dadas n rectas, n par, se busca el lugar geom´etrico de los puntos tales que el producto de los segmentos trazados desde ellos a n/2 rectas se encuentre en una relaci´on dada al producto de los segmentos trazados desde los mismos puntos a las otras n/2 rectas. Por ejemplo, supongamos que nos dan las rectas AB, AD, EF y GH, tal como aparecen en la figura 6.6 E

A

B

G

H F D

Figura 6.6. Planteamiento del problema de Pappus El problema consiste en hallar los puntos C, como se muestra en la figura 6.7, tales que al trazar los segmentos CB, CD, CH y CF con los ´angulos CBA, CDA, CFE y CHG conocidos, el producto de CD y CF est´e en una raz´on determinada con el producto de CH y CB. Congruente con su propuesta metodol´ogica, Descartes supone que el problema est´a resuelto, designando por “x” al segmento AB y por “y” al segmento BC. Dado que ´estas ser´ an las rectas referenciales en el proceso de resoluci´on del problema, se realizan las prolongaciones respectivas hasta que las otras rectas se corten con ellas, tal como se visualiza en figura 6.8 11

[Descartes 1996], pp. 400-401.

6.7 El problema de Pappus y el planteamiento de ecuaciones

E

A

B

199

G

H F C D

Figura 6.7. Ubicaci´ on de puntos en el problema de Pappus De acuerdo con los datos del problema, tenemos que los ´angulos de los tri´angulos ARB, DCR, ESB, CSF, BGT y TCH son conocidos. Eso significa que contamos con las razones de sus lados. Descartes establece las siguientes designaciones literales

(1)

z AB = BR b

(2)

z CR = CD c

(3)

z BE = BS d

(4)

z CS = CF e

(5)

z BG = BT f

(6)

z TC = CH g

Tabla 6.1 (i). Combinando (1) con el hecho que AB = x, se tiene que BR = bx/z. (ii). Tomando CR = BC +BR, y el hecho que BC = y, se tiene que CR = y+ (iii). Combinando (2) y (ii) se obtiene CD =

bx 12 . z

cy bcx + 2 . z z

(iv). Tomando EA = k, tenemos que EB = k + x. De acuerdo a (3) se tiene que dk + dx dk + dx , y como CS = BS + BC, se tiene que CS = +y = BS = z z dk + dx + zy . z 12

En este caso se toma B entre C y R. Si R estuviera entre C y B, entonces CR = y − bx/z; si C estuviera entre B y R, entonces CR = y − bx/z.

200

Descartes y el m´etodo de coordenadas

T S R E

A

G

B x y

H F C D

Figura 6.8. Sistema de coordenadas en el problema de Pappus e (v). De acuerdo a (4) y (iv) se obtiene CF = z dex dek e obtiene: CF = y + 2 + 2 . z z z

'

( dk + dx + zy . Simplificando se z

(vi). Tomando AG = l, tenemos que BG = l − x.13 De acuerdo a (5) se tiene que fl − fx zy + f l − f x , y por lo tanto CT = BC + BT = . BT = z z (vii). Bas´ andonos en (6) y (vi) obtenemos que CH =

T C.g gzy + f gl − f gx = . z z2

Dado que b, c, d, e, f, g, k, l y z son cantidades conocidas podemos escribir: a. CH = K11 x + K12 y + K13 b. CD = K21 x + K22 y + K23 c. CF = K31 x + K32 y + K33 d. CB = y, Donde Kij , 0 < i < 4, 0 < j < 4 son constantes. 13

En este caso se toma A entre E y B.

6.8 El problema de Pappus y el planteamiento de ecuaciones

201

De esta manera, si reemplazamos los valores antes anotados en CB × CH = c(CF × CD), que es la condici´ on requerida por el problema, obtenemos la ecuaci´on cuadr´atica general: Ax2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0.

(6.4)

Descartes puntualiza que para cada valor de x se obtiene una ecuaci´on cuadr´atica de y, la cual se puede resolver con regla y comp´as, como lo indicamos antes. Eso implica que si se le asignan infinitos valores a x, se obtienen infinitos valores de y, por ende, un n´ umero infinito de valores de C. El lugar geom´etrico de todos esos puntos constituye una curva cuya ecuaci´on est´a dada por 6.4. Observemos que la naturaleza de la ecuaci´on obtenida en la resoluci´on del problema de Pappus depende del n´ umero de l´ıneas. De esta forma, si el problema se plantea con seis l´ıneas, obtenemos una ecuaci´on c´ ubica y as´ı sucesivamente; tal como lo establece Descartes, As´ı mismo pod´eis ver que multiplicando varias de estas l´ıneas entre s´ı, las cantidades x e y que se encuentran en el producto pueden tener solamente tantas dimensiones como l´ıneas haya, a cuya explicaci´on sirven las que han sido multiplicadas. De suerte que nunca tendr´an m´as de dos dimensiones, cuando han resultado de la multiplicaci´on de dos l´ıneas; ni m´as de tres, cuando son el resultado de la multiplicaci´on de tres l´ıneas y as´ı al infinito.14 Una de las cuestiones, hist´ oricamente relevantes, que se desprende del “Problema de Pappus”, tiene relaci´ on con el m´etodo empleado para su resoluci´on. Tal como el mismo Pappus hab´ıa delineado, el procedimiento cartesiano se aleja de la geometr´ıa sint´etica de Euclides, inaugurando una nueva manera de hacer matem´aticas que se conoce como “m´etodo de las coordenadas”. Observemos que en el desarrollo del Problema de Pappus, Descartes escogi´o la recta AG como l´ınea referencial. El punto A constituye el origen de los segmentos que se van formando a medida que variamos el punto C. En este caso la letra x representa la longitud de estos segmentos. La letra y representa las longitudes de los segmentos que se forman desde el punto C a la l´ınea referencial AG. Se forma as´ı un sistema coordenado oblicuo en el cual las coordenadas toman s´ olo valores positivos. Al suponer que el lugar geom´etrico en consideraci´ on corresponde a una curva continua, Descartes est´a asumiendo, de manera impl´ıcita aunque inconsciente, la existencia de un n´ umero real positivo para cada longitud. Sin embargo la idea del conjunto de los n´ umeros reales como un continuo s´ olo fue establecida en el siglo XIX con los desarrollos de Cantor y Dedekind, como lo estudiaremos en la d´ecima lectura. 14

[Descartes 1996], pp. 407-408.

202

6.8.

Descartes y el m´etodo de coordenadas

El sistema coordenado cartesiano

La base de la geometr´ıa anal´ıtica, tal como la entendemos hoy, se fundamenta en la existencia de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Estas coordenadas permiten expresar en lenguaje algebraico conceptos geom´etricos y, a la inversa, permite trasladar ecuaciones algebraicas a un contexto geom´etrico. Uno de tales sistemas divide al plano euclidiano en cuatro subplanos y permite localizar cualquier punto del mismo mediante un par de n´ umeros reales. Examinemos m´ as de cerca uno de tales sistemas de coordenadas cartesianas. En la identificaci´on de cada punto del plano con un par ordenado (x, y) de n´ umeros reales que provienen de la proyecci´on ortogonal en cada uno de los ejes x y y respectivamente, se est´a asumiendo, en primer lugar, que la recta est´a hecha de puntos, y que cada punto se identifica con un n´ umero real. En segundo lugar, se presume que el plano tambi´en est´a formado por puntos y cada punto se identifica con una pareja de n´ umeros reales. En este sentido, el fundamento de un sistema de coordenadas radica en el hecho de que asume el continuo geom´etrico como hecho de puntos; esto es algo que no debemos olvidar si deseamos ir al fondo en el significado y valor matem´atico de los sistemas de coordenadas. Una de las principales utilidades de un sistema de coordenadas es que permite ubicar, de manera precisa, los objetos y las partes de los objetos respecto a un sistema de referencia fijo. En los Elementos, por ejemplo, no existe uno de tales sistemas referenciales porque Euclides trabaja sobre cada figura como un todo. Los sistemas de coordenadas modernos sintetizan las propiedades m´as importantes del continuo geom´etrico y permiten refundir la dualidad n´ umero-magnitud. Se establece as´ı un encuentro entre el continuo geom´etrico y el continuo aritm´etico. Este es un aspecto que se detallar´a con m´as profundidad en la novena lecci´on. El uso de sistemas referenciales data de la antig¨ uedad griega. Apolonio, en su tratado Secciones c´ onicas, utiliza algunos procedimientos similares a los de la geometr´ıa anal´ıtica. En particular utiliza coordenadas rectangulares formadas por el di´ ametro de una circunferencia y la tangente trazada desde uno de los extremos. Como anotamos en la lectura anterior, en el siglo XIV, Nicol´ as Oresme estableci´o modelos geom´etricos en los cuales relacionaba las posiciones de los puntos con dos l´ıneas fijas, emulando las representaciones de los ge´ografos que utilizaban la longitud y la latitud como referencias. Menci´ on especial ameritan los desarrollos de Vi`ete y Fermat; sin embargo, hist´oricamente, reconocemos a Descartes como el iniciador de un m´etodo que se tornar´a paradigm´atico en matem´ aticas. El “m´etodo de las coordenadas” se convirti´o en el modelo matem´ atico por excelencia. Tan s´olo a principios del siglo XX, con los espacios topol´ ogicos, surge una manera de hacer matem´aticas sin el uso de coordenadas. Si tenemos en cuenta lo expuesto al principio, el sistema de coordenadas incorporado por Descartes guarda diferencias con el sistema actual. Para Descartes todas las curvas geom´etricas no est´an referidas a un sistema u ´ni-

6.9 Clasificaci´ on de las curvas en Descartes

203

co, sino que existe un sistema de coordenadas intr´ınseco a cada curva geom´etrica. Sin embargo, si bien Descartes establece designaciones literales, tales como x, y, a, b, c, . . ., para los segmentos geom´etricos, cada una de esas cantidades no es un n´ umero sino que todas ellas son magnitudes geom´etricas. Por esto no podemos adjudicarle a Descartes un sistema de coordenadas con eje positivo y negativo; las relaciones que se establecen all´ı son relaciones entre cantidades geom´etricas en el sentido euclidiano y por tanto no tiene sentido lo negativo. Las letras denotadas como x y y no son las coordenadas del punto C, sino que ellas representan cantidades geom´etricas. Evidentemente el punto A que nosotros reconocer´ıamos como el punto (0, 0) no tendr´ıa ning´ un sentido. Esto marca una diferencia fundamental con nuestro sistema de coordenadas, Descartes no establece una fusi´on entre n´ umero, puntos de la recta y magnitudes geom´etricas; ´el opera con las magnitudes geom´etricas de la misma manera que se opera con los n´ umeros, pero son cosas diferentes.

6.9.

Clasificaci´ on de las curvas en Descartes

En la primera parte del libro II de la Geometr´ıa: De la naturaleza de las l´ıneas curvas, Descartes comienza por recordar la clasificaci´on que hicieron los antiguos griegos de las curvas geom´etricas. Los problemas “planos” se refer´ıan a los lugares engendrados por rectas y c´ırculos. Los “s´olidos” ten´ıan que ver con los lugares geom´etricos formados por las secciones c´onicas, y finalmente los “lineales”, que estaban constituidos por curvas que no eran ni rectas ni c´ırculos ni secciones c´onicas; eran las curvas que los antiguos llamaban mec´anicas, como la espiral y la cuadratriz.15 La cuadratriz o trisectriz se genera por un movimiento compuesto: supongamos en la figura 6.9, AB un segmento que gira en torno a A, en el sentido de las agujas del reloj, dejando fijo A, con una velocidad constante, hasta ocupar la posici´on AD. Al mismo tiempo BC se mueve hacia abajo manteni´endose paralela a s´ı misma y con una velocidad constante hasta alcanzar la posici´on AD. Los puntos de intersecci´on de estos dos segmentos, en sus diferentes posiciones, generan la cuadratriz. En nuestro caso, los puntos B, H, I, Q pertenecer´ıan a la cuadratriz. En la primera parte del libro II, presenta las categor´ıas de curvas y las relaciona con aquellas aceptadas por los antiguos griegos; en este sentido Descartes expresa: ... Considerando la geometr´ıa como una ciencia que ense˜ na generalmente a conocer las medidas de todos los cuerpos, no deben excluirse las l´ıneas por compuestas que sean, mientras pueda imagin´arselas descritas por un movimiento continuo, o por varios que se suceden y en que los u ´ltimos est´ an enteramente regidos por los que le preceden; pues por este medio se puede siempre tener un conocimiento exacto de su medida. 15

[Descartes 1996], p. 410.

204

Descartes y el m´etodo de coordenadas

C

B

B′

H

C′ I

A

Q

D

Figura 6.9. La cuadratriz En este sentido, Descartes no s´olo aceptaba las curvas construidas con regla y comp´as, sino tambi´en aquellas construidas a partir de un cierto aparato articulado que le permitiera expresarlas a trav´es de una ecuaci´on. Este no era el caso de la cuadratriz, y por esta raz´ on hace parte de las curvas mec´anicas.16 Los aspectos anteriores nos permiten entender el significado que asigna Descartes a la geometr´ıa, y nos ubica en el tipo de generalizaciones, con respecto al universo de las curvas, que tiene en mente. Al acoger geom´etricamente aquellas curvas que admiten una ecuaci´ on algebraica, Descartes supera la exigencia de constructibilidad de los antiguos como criterio de existencia. M´as adelante, Leibniz ir´a m´as all´a al clasificar las curvas en algebraicas y trascendentes, eliminando el requerimiento de amarrar las curvas a ecuaciones algebraicas. En la segunda parte del libro II: Sobre la clasificaci´ on de todas las curvas en g´eneros y sobre la relaci´ on de sus puntos con los de las rectas,17 Descartes postula que todas las curvas que denomina geom´etricas tienen alguna relaci´on con los puntos de una l´ınea recta, la cual se puede expresar en t´erminos de una ecuaci´on. Para explicar su m´etodo, Descartes presenta el siguiente caso de una curva que se forma a trav´es de la combinaci´ on de dos movimientos interrelacionados. Como si quisiera saber de qu´e g´enero es la l´ınea EC que imagino descrita por la intersecci´ on de la regla GL y la pieza CN KL, cuyo lado KN est´a prolongado indefinidamente hacia C, y que movi´endose sobre el plano, en l´ınea recta -es decir de tal manera que su lado KL se encuentre siempre aplicado sobre alguna regi´ on de la l´ınea BA prolongada de uno y otro lado- hace mover circularmente la regla GL alrededor del punto G, por 16

Como estas curvas son generadas por dos movimientos independientes que no tienen entre s´ı relaci´ on, no hay manera de que se puedan medir exactamente. 17 [Descartes 1996], p. 414

6.9 Clasificaci´ on de las curvas en Descartes

205

estar ella vinculada de tal manera que pasa siempre por el punto L.18 Enunciemos en nuestros t´erminos el procedimiento seguido por Descartes tomando como referencia la figura 6.10.

K

N C

L B

y

x G

A

Figura 6.10. Aplicaci´on del m´etodo de las coordenadas Las rectas referenciales que elige son AB y AG. Como siempre, Descartes asume que el problema est´ a resuelto y escoge un punto arbitrario C en la curva a la que desea encontrarle la ecuaci´ on. Tomando A como el origen referencial, comienza a denominar las cantidades conocidas y desconocidas con letras: las letras x y y para las cantidades indeterminadas y las primeras letras a, b, c, para las cantidades conocidas o dadas. La cantidad AB la denomina y y CB, donde CB es perpendicular a AB, la denomina x. Continuemos con la prueba. Descartes ahora comienza a establecer relaciones entre las cantidades conocidas y desconocidas: como los tri´angulos KLN y KBC son semejantes, se establece la siguiente proporci´on: CB LN = LK BK Por tanto

De otro lado,

c y = b BK

o,

' ( b BK = y c

' ( b BL = BK − b = y−b c

y

Tambi´en tenemos la siguiente relaci´on: GA CB = , LB LA 18

[Descartes 1996], p. 414.

' ( b AL = x + y−b c

206

Descartes y el m´etodo de coordenadas

por ser LCB y LGA tri´ angulos semejantes. La anterior relaci´ on la podemos escribir como: a y ' ( ' ( = , b b y−b y−b x+ c c de la cual se extrae la ecuaci´ on cuadr´atica: y 2 = ay −

%c& b

xy − ac + cy,

ecuaci´on que Descartes reconoce como la ecuaci´on de una hip´erbola.

6.10.

Teor´ıa de ecuaciones de Descartes

En el libro III de la Geometr´ıa, Sobre la construcci´ on de problemas s´ olidos y supers´ olidos, encontramos una teor´ıa general de ecuaciones en el marco del proceso resolutivo de algunos problemas geom´etricos. Descartes empieza estableciendo su definici´on de ecuaci´on: Una ecuaci´ on est´ a integrada por varios t´erminos, algunos de ellos conocidos y algunos de ellos desconocidos, siendo unos iguales a los otros o, m´ as bien, considerados conjuntamente, son iguales a cero; digo tal, pues lo m´ as conveniente ser´ıa considerarlos de este modo.19 A continuaci´ on plantea el teorema fundamental del ´algebra expresando que toda ecuaci´on tiene tantas ra´ıces como la dimensi´on de la cantidad desconocida. Aunque en principio no precisa la naturaleza de las ra´ıces, admite ra´ıces reales y complejas. A las ra´ıces positivas las denomina “ra´ıces verdaderas”, a las negativas “ra´ıces falsas”. Descartes no establece ning´ un proceso demostrativo del teorema fundamental del ´algebra, sino que se limita a mostrar que se cumple en el caso de la ecuaci´on x3 − 9x2 + 26x − 24 = 0, la cual, al tener x tres dimensiones, tiene las tres ra´ıces: 2, 3 y 4. En seguida, Descartes establece algunas propiedades relativas al n´ umero de ra´ıces positivas y negativas de acuerdo a los cambios de signo; tambi´en establece un procedimiento para transformar los coeficientes de una ecuaci´on, de tal manera que se obtenga una ecuaci´ on mucho m´as simple que la original. Para este caso toma como ejemplo la ecuaci´ on: √ 8 26 (6.5) x3 − 3x2 + x − √ = 0. 27 27 3 19

[Descartes 1996], p. 461.

6.10 Teor´ıa de ecuaciones de Descartes

Haciendo el cambio de variable y =

207

√

3x, obtiene:

y 3 − 3y 2 +

8 26 y − = 0. 9 9

(6.6)

Si se hace ahora el cambio de variable z = 3y, se obtiene la siguiente ecuaci´on con coeficientes enteros: z 3 − 9y 2 + 26y − 24 = 0, (6.7) Descartes muestra que la ecuaci´on c´ ubica general se puede reducir a uno de los siguientes tres casos: (1) z 3 = −pz + q (2) z 3 = pz + q (3) z 3 = pz − q En la lectura anterior mostramos que en Ars magna, Cardano hab´ıa dado un procedimiento para hallar la soluci´on de estos tres casos. Para el caso (1), la soluci´on es de la forma: ,0 ,0 & % & % % p &3 % q &2 q q 2 q p 3 3 3 + + + + − . (6.8) z= 3 2 2 3 2 2 Para el caso (2), Cardano establece la f´ormula: ,0 , 0% & & % & % 2 3 q 2 % p &3 p q q 3 3 q z= − + + − , − 2 2 2 2 2 3 con la condici´ on de que,

% p &3

(6.9)

% q &2

< . (6.10) 3 2 Las soluciones del caso (3), z 2 = pz − q, corresponden a las del caso (2), z 2 = pz + q, s´olo que con signos opuestos. Esto es, si z es soluci´on de (2) entonces −z es soluci´on de (3). Descartes observa dos aspectos muy importantes en el proceso de soluci´on de la ecuaci´on c´ ubica: 1. Las soluciones consignadas antes presuponen el c´alculo de ra´ıces c´ ubicas para magnitudes lineales. % q &2 % p &3 < no hace posible encontrar las 2. Para el caso (2), la condici´on 3 2 soluciones de la f´ ormula establecida. Pero esta ecuaci´on tiene al menos una soluci´ on real. ¿C´ omo hallar esta soluci´on?

208

Descartes y el m´etodo de coordenadas

A

E

C

F

L

Figura 6.11. C´alculo de la ra´ız c´ ubica Descartes soluciona el primer problema al resolver la ecuaci´on general: z 3 = a2 q. Para ello muestra que las soluciones corresponden al corte entre un c´ırculo y una par´abola, de acuerdo a la construcci´on presentada en la figura 6.11. El segmento AL corresponde al eje de la par´abola; design´andolo como el eje 2 coordenado y su ecuaci´ on ser´ a y = za . Se toma AC = 21 a, EC se traza perpendicular a AC y EC = 12 q. El punto E corresponde al centro del c´ırculo de radio EA. De este modo, F L = z. Se deja como ejercicio realizar la comprobaci´on. Mediante este procedimiento, Descartes ha solucionado el problema de milenario de la duplicaci´on del cubo, finalemente, se soluciona con el c´alculo de la ra´ız c´ ubica de un segmento. El segundo aspecto planteado lo resuelve Descartes en el marco de la soluci´on del problema de la trisecci´ on del ´angulo.

6.11.

Descartes y la soluci´ on de la trisecci´ on del ´ angulo

Para solucionar el problema de la trisecci´on del ´angulo, Descartes sigue el siguiente proceso. En la figura 6.12, sea el ´angulo NOP que se desea trisecar. Se traza el arco NP, de una circunferencia unitaria. Se supone que el problema est´a resuelto llamando z a la cuerda buscada (la cual corresponder´ıa a la tercera parte del ´angulo) y q a la cuerda dada por el problema. El problema entonces, consiste en hallar z en funci´on del valor dado q. Puesto que el tri´angulo ON Q es semejante al tri´angulo N RQ (ejericio 6), se tiene que QR = z 2 . Como el tri´ angulo ORM es semejante al tri´angulo OQT , se tiene que, QT 1 z OQ = , es decir, = , 2 OR RM 1−z RM

6.11 Descartes y la soluci´ on de la trisecci´ on del ´ angulo

209

N z

Q

R O

T

M

P

Figura 6.12. Ecuaci´on de la trisecci´on del tri´angulo de donde, RM = z(1 − z 2 ) = z − z 3 . Como los tri´angulos NRQ y TMP son is´osceles, entonces NR=MP=z y por lo tanto, N P = N R + RM + M P = z + z − z 3 + z

o, lo que es lo mismo, z 3 = 3z − q.

Como en el caso anterior, Descartes soluciona el problema recurriendo a par´abolas, c´ırculos y l´ıneas: sea la par´ abola AFG, como se muestra la figura 6.13, dada por la 2 ecuaci´on y = z , en el caso de tomar el eje y como el eje de la par´abola y los valores z corresponden a la distancia de cada punto de la par´abola a este eje.

A 1 2

C p 2

E

F

M

q 2

D

N

L

Figura 6.13. Soluci´ on de la ecuaci´on c´ ubica de la trisecci´on del ´angulo Tomando AC = 1/2 y CD = p/2, se traza DE = q/2 por el punto D, perpendicular al eje de la par´ abola. Con radio EA y centro en E se traza la circunferencia AF N . Las ra´ıces de la ecuaci´ on est´an dadas por las l´ıneas perpendiculares al eje de

210

Descartes y el m´etodo de coordenadas

la par´ abola y que se trazan desde ´este hasta los puntos de intersecci´on de la circunferencia con la par´ abola. Tenemos que la circunferencia intercepta a la par´abola en el v´ertice y, al menos, la cortar´ a una vez m´as de acuerdo a la construcci´on. Las ra´ıces tendr´ an el mismo signo que q cuando est´en del mismo lado del eje que el segmento DE y las otras tendr´ an signo contrario. Veamos que los segmentos construidos de acuerdo al proceso anterior satisfacen la ecuaci´on en consideraci´on. Demostremos que FL cumple con las condiciones: como el tri´angulo EAD es rect´ angulo entonces, 2

2

2

EA = ED + AD =

% q &2 2

+

'

1+p 2

(2

(6.11)

Tomando F L = z, se tiene que AL = z 2 . Trazando y teniendo en cuenta que el tri´angulo FEM es rect´angulo se tiene, ' ( % q &2 1+p 2 2 FE = FM + ME = z − + z − . 2 2 2

2

2

(6.12)

Dado que F E = EA, de 6.11 y 6.12 se obtiene, ' ' ( ( % p+1 2 1 + p 2 % q &2 q &2 2 + z − = + , z− 2 2 2 2

(6.13)

que nos permite obtener la ecuaci´on inicial.

6.12.

Seguimiento Lectura 6

1. Obtenga la ecuaci´ on cartesiana de la cuadratriz. 2. Tome como referencia la figura 6.8 del problema de Pappus, ¿qu´e pasar´a si una de las l´ıneas es paralela a AB o a BC? 3. Tome como referencia la figura 6.8 del problema de Pappus y demuestre que efectivamente los tri´ angulos ARB, DCR, ESB, CSF, BGT y T CH son conocidos. 4. ¿C´ omo establecer´ıa una demostraci´on informal, un poco m´as elaborada que la de Descartes, del teorema fundamental del ´algebra? 5. ¿D´ onde se usa la hip´ otesis de trisecci´on del ´angulo en la demostraci´on hecha por Descartes? 6. Demuestre que, en efecto, los tri´angulos N OQ y QN R son semejantes. 7. ¿Qu´e es una curva en la matem´atica moderna?

6.12 Seguimiento Lectura 6

211

8. Seg´ un usted, ¿qu´e quiere decir Descartes cuando habla de movimiento continuo? 9. Muestre que en la actualidad, el m´etodo de Tartaglia es suficiente para resolver la ecuaci´ on z 3 = 3z − q, proveniente de la trisecci´on del ´angulo. 10. Analice el siguiente procedimiento: Sea el ´angulo N OP como se muestra en la figura 6.14,

N

R O S

P

Figura 6.14. Falsa trisecci´on del ´angulo Sea ON = OP . Se divide N P en las tres partes iguales N R = RS = SP . Los ´ angulos N OR, ROS y SOP son iguales y comprenden cada uno la tercera parte del ´ angulo N OP . ¿Qu´e problemas le encuentra a este razonamiento? 11. Demuestre que efectivamente en la construcci´on de la figura 6.11, FL corresponde a la soluci´ on de la ecuaci´on dada. 12. La igualdad (6.13) nos lleva a una ecuaci´on de cuarto grado. Verifique que ella efectivamente conduce a la ecuaci´on de tercer grado buscada.

Bibliograf´ıa Lectura 6 [Boyer 1987] Boyer, Carl: Historia de la Matem´atica. Alianza Editorial, Madrid, 1987. [Descartes 1994] Descartes, Ren´e: Discurso del M´etodo. RBA Editores, Barcelona, 1994. [Descartes 1996] Descartes, Ren´e: Discurso del m´etodo. La di´optrica. Los Meteoros. La geometr´ıa. C´ırculo de Lectores, S. A, Barcelona, 1996. [Descartes 1947] Descartes, Ren´e: La Geometr´ıa. Editorial Espasa-Calpe S. A., Buenos Aires, 1947 . [Descartes 1989] Descartes, Ren´e: Reglas para la direcci´ on del esp´ıritu. Alianza editorial, Madrid, 1989. [Euclides 1970] Euclides: Elementos de geometr´ıa. En: Cient´ıficos griegos. Recopilaci´ on de Francisco Vera. Aguilar, Madrid, 1970, pp. 689-980. [Hegel 1955] Hegel, G. W. H: Lecciones sobre la historia de la filosof´ıa. M´exico, 1955. [Kline 1994] Kline, Morris: El pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Editorial, Madrid, 1994 (primera edici´on, 1972), Vols. I, II , III. [Pappus 1970] Pappus. 1970. Colecci´on matem´atica. En: Cient´ıficos griegos. Recopilaci´on de Francisco Vera. Aguilar, Madrid, 1970, pp. 909-1015. [Rey 1951] Rey, P. y Balbini, J: Historia de la matem´atica. Espasa, Buenos Aires, 1951. [Ribnikov 1987] Ribnikov, K: Historia de las Matem´aticas. Editorial MIR, Mosc´ u, 1987.

“Si he logrado ver m´ as lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes”. Nota: en una carta que Newton envi´ o a Robert Hooke el 5 de febrero de 1675 donde el primero escribi´ o estas famosas palabras. Estas palabras son a su vez una cita de Bernardo de Chartres (s.XII) y no obra del propio Newton, aunque en efecto usara estas palabras, que se han usado como una excelente caracterizaci´ on del proceso colectivo de construcci´ on del conocimiento cient´ıfico.

Lectura

7 El origen del c´alculo en el marco del problema de las cuadraturas 7.1.

Las t´ ecnicas precursoras del c´ alculo

La disciplina matem´ atica que actualmente se conoce como “c´alculo”, desarrollada simult´aneamente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, es heredera de los desarrollos producidos por matem´ aticos de diferentes latitudes en los primeros sesenta a˜ nos del siglo XVII. Tanto Newton como Leibniz sistematizaron y enriquecieron un acervo de t´ecnicas y m´etodos relacionados con la constituci´on hist´orica del c´alculo. Entre los elementos catalizadores del c´alculo podemos ubicar: 1. La instauraci´ on de la geometr´ıa anal´ıtica La geometr´ıa anal´ıtica transform´o el problema de las cuadraturas en el problema de hallar el ´ area bajo la curva. Como ya lo tratamos en el cap´ıtulo anterior, en su Geometr´ıa, Descartes establece clasificaciones de curvas e incorpora la representaci´ on algebraica de algunas de ellas. Una par´abola, por ejemplo, deja de estar amarrada a la acci´on de un plano que corta un cono para convertirse en una ecuaci´ on. El universo de las curvas aumenta, especialmente por el reconocimiento de las llamadas curvas mec´anicas, designadas luego como curvas trascendentes y que dar´ıan paso a las funciones del mismo nombre. Emergen las curvas logar´ıtmicas, las trigonom´etricas, las exponenciales, la cicloide y

214

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

muchas otras m´ as; las cuales se constru´ıan a partir de tablas de valores y se defin´ıan recurriendo al movimiento continuo de un punto en el plano. A partir de Descartes, el problema de las cuadraturas empieza a tener visos de c´alculo. 2. Algunos m´ etodos para el c´ alculo de ´ areas En su libro Nova stereometria doliorum vinariorum,1 Johannes Kepler calculaba el volumen de los barriles de vino a trav´es de m´etodos infinitesimales. Para ello consideraba los cuerpos s´olidos formados por una cantidad infinita de partes s´olidas, siguiendo los preceptos del m´etodo exhaustivo de Arqu´ımedes. Como vimos en la lectura anterior, Cavalieri establece cuadraturas y cubaturas a partir de su teor´ıa de indivisibles. El m´etodo de cuadraturas de Blaise Pascal se basa en el m´etodo de Cavalieri, pero en lugar de sumar indivisibles tomaba coordenadas infinitamente pr´oximas entre s´ı, de tal suerte que consideraba la suma de ´areas, resguardando el principio de homogeneidad y acerc´andose a un m´etodo de infinitesimales. Los desarrollos de Pascal fueron utilizados por Leibniz para fundamentar su c´alculo diferencial, como lo veremos m´as adelante. El antecedente m´ as cercano al c´alculo integral lo constituye el matem´atico brit´ anico John Wallis (1616-1703). Muchos de los procedimientos, desplegados en su libro Arithmetica Infinitorum (Aritm´etica de los Infinitos) de 1655, inspiraron a Newton en la creaci´on del c´alculo. Wallis tom´o como base la geometr´ıa anal´ıtica y el m´etodo de los indivisibles de Cavalieri. 3. El c´ alculo de tangentes Otro de los elementos que dinamizaron la emergencia del c´alculo corresponde a la determinaci´ on de tangentes. Hasta el siglo XVII, los problemas de cuadraturas y del trazado de tangentes se hab´ıan mantenido desligados uno del otro. Pero a partir de los problemas que se plantean los matem´aticos de este siglo, empecinados en resolver de una vez por todas, el problema de las cuadraturas, se encuentra la mutua dependencia de estos dos problemas. Entre los matem´ aticos que enfrentaron este problema podemos se˜ nalar principalmente a Descartes, Fermat y Gilles de Roberval. Descartes establece el trazado tangente en el segundo libro de la Geometr´ıa, cuyo m´etodo se describe en la segunda secci´on de esta Lectura. Gilles Personne de Roberval (1602-1675) y Evangelista Torricelli (1608-1647) desarrollaron m´etodos para trazar tangentes utilizando argumentos cinem´aticos. El m´etodo se basa en la idea de considerar la curva como la trayectoria de un punto en movimiento y la tangente en un punto particular se considera 1

Nueva medida de vol´ umenes de toneles para vino.

7.1 Las t´ecnicas precursoras del c´ alculo

215

como la direcci´ on del movimiento en ese mismo punto. De esta manera estudian curvas como la cicloide, la cuadratriz y la cisoide. El m´etodo cinem´atico de Roberval serv´ıa u ´nicamente para algunas curvas, puesto que part´ıa de sus propiedades particulares y no comportaba ning´ un m´etodo algor´ıtmico. Justamente estamos ad portas de la generalizaci´on de la noci´on de tangente a una curva cualquiera, mediada por la generalizaci´on del universo de las curvas como tal. Vemos entonces que el proceso de incorporar curvas cada vez m´as complejas involucra dos aspectos interrelacionados: la identificaci´on de los objetos particulares, en nuestro caso las curvas, y la caracterizaci´on de sus propiedades, como por ejemplo, el trazado de sus tangentes. 4. El teorema del binomio Para la cuadratura del c´ırculo Newton utiliza el m´etodo de interpolaci´on para deducir la expansi´ on del binomio (1 − x2 )(1/2) como una generalizaci´on del binomio (a + b)n , el cual hab´ıa sido estudiado por Blaise Pascal en su Trait´e du triangle arithm´etique de 1665. Los primeros indicios de la expansi´on binomial datan del siglo XIII en el marco de la matem´atica ´arabe. En 1544 Stifel despleg´o un procedimiento mediante el cual calcular (a + b)n a partir de (a + b)n−1 . Como lo observa Morris Kline,2 la obtenci´on de los coeficientes de la expansi´on binomial a partir del arreglo triangular 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6 ···

1 4

1

ya hab´ıa sido usado por Tartaglia, Stifel y Stevin, sin embargo, dado que fue Pascal quien lo populariz´ o pas´o a la posteridad bajo el apelativo de “tri´angulo de Pascal”. 5. M´ etodos para el c´ alculo de m´ aximos y m´ınimos Hist´ oricamente, se considera que la invenci´on de la geometr´ıa anal´ıtica no s´olo fue obra de Descartes, sino tambi´en de Pierre Fermat. Aunque el grueso de la obra de Fermat, bajo el t´ıtulo de Varia opera mathematica, se public´o en 1679, despu´es de su muerte, desarroll´o los principios generales de la geometr´ıa anal´ıtica hacia la segunda d´ecada del siglo XVII, incluso de una manera m´as cercana a la nuestra en muchos aspectos, como en el hecho de que tomaba los 2

[Kline 1994], p. 364.

216

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

ejes coordenados perpendiculares. En vida Fermat obtuvo reconocimiento fundamentalmente por un manuscrito que divulg´o en 1636, sin una publicaci´on oficial, bajo el t´ıtulo de Methodus ad disquirendam maximam et minimam, traducido como M´etodo para hallar m´ aximos y m´ınimos, el cual designaremos simplemente como M´etodo. Hist´oricamente, el M´etodo de Fermat es muy significativo porque en ´el encontramos el primer proceso anal´ıtico para hallar m´ aximos y m´ınimos, una de cuyas aplicaciones es el c´alculo de la tangente a una curva en un punto. En la siguiente secci´on presentamos los detalles generales de los planteamientos de Fermat. 6. Tratamiento de series Para establecer la cuadratura del c´ırculo, Wallis desarrolla una teor´ıa de sumas infinitas. En este aspecto despleg´o una intuici´on muy fina, que aunada a su capacidad de generalizar e inferir procesos, le permiti´o encontrar resultados para sumas infinitas a trav´es de su m´etodo denominado inducci´on incompleta. 7. La necesidad de establecer un sistema num´ erico Como lo hemos precisado en la quinta lectura, la resoluci´on de ecuaciones va perfilando la necesidad de incluir nuevas cantidades al universo num´erico. As´ı surgen los enteros negativos, los racionales y algunos irracionales algebraicos. La puerta de entrada a los irracionales transcendentes se establece a partir de la incorporaci´ on de t´ecnicas operativas en la trigonometr´ıa, los logaritmos y el c´alculo de exponenciales. En esta direcci´on tuvo gran importancia la representaci´ on de cantidades a trav´es de fracciones continuas. Una fracci´on continua es una expresi´ on de la forma: b1

a0 + a1 +

b2 a2 +

b3 .. .

donde a0 es un entero y a1 , a2 , . . . son enteros positivos entre 0 y 9. Cuando b1 = b2 = b3 = . . . = 1, se conoce como una fracci´on continua simple. Se puede demostrar que cualquier n´ umero real entre cero y uno se puede representar como una fracci´ on continua simple con a0 = 0 8. Las exigencias de la descripci´ on del movimiento proveniente de la f´ısica El estudio del movimiento fue uno de los problemas centrales que moviliz´o el pensamiento cient´ıfico europeo del siglo XVII. Se buscaba entender las leyes que reg´ıan el movimiento de los planetas, la ca´ıda de los cuerpos y la trayectoria de proyectiles.

7.2 El c´ alculo de la tangente en Descartes

217

Pero, a diferencia de sus antecesores, los investigadores del siglo XVII debieron ir m´ as all´ a de las consideraciones cualitativas que reivindicaban los pensadores medievales, adheridos a la tradici´on aristot´elica. Esta necesidad sentida de abandonar las consideraciones cualitativas en beneficio de consideraciones de tipo cuantitativo, repercuti´o en la forma de abordar y entender los problemas de la f´ısica. En la tradici´ on aristot´elica se reivindicaba la idea de que lo m´as importante era develar las causas que producen los fen´omenos. Para los cient´ıficos del siglo XVII, principalmente para Galileo y Newton, esto no era suficiente; era necesaria una explicaci´ on que describiera el fen´omeno en sus diferentes fases. Se impon´ıa as´ı, un estilo descriptivo en contraposici´on del viejo estilo explicativo, que si bien intentaba llegar a las causas primeras, en el fondo no daba datos para determinar las diversas variaciones del fen´omeno. Para aclarar esta diferencia, analicemos el tratamiento que se daba al movimiento de ca´ıda libre. Mientras para los seguidores de la tradici´on aristot´elica era suficiente decir que un cuerpo ca´ıa por su peso, Galileo planteaba que la velocidad de ca´ıda de un cuerpo era directamente proporcional al tiempo transcurrido. Como se ve, el problema de fondo consist´ıa en determinar variaciones con respecto al tiempo. La determinaci´on de las diversas posiciones de una trayectoria con las variaciones del tiempo, conduce directamente al concepto de relaci´on entre variables (la posici´ on var´ıa respecto al tiempo), que luego dar´ıa lugar a una de las nociones m´ as importantes en las matem´aticas, como lo es la noci´ on de funci´ on. De esta forma, la palabra “variable” guarda filiaci´on con las variaciones de una cantidad respecto a las variaciones del tiempo, que luego se generalizan en la cuantificaci´on de otras cuestiones como ´areas, vol´ umenes y, m´as tarde, en la interpretaci´on del fen´omeno del calor por parte de Fourier. En esta direcci´ on podemos decir que as´ı como el concepto de funci´on es pariente del movimiento, el de variable lo es del tiempo. Se observa entonces que la f´ısica se relacion´o de una manera tan directa con las matem´ aticas, que hubo un momento en que los adelantos matem´aticos proven´ıan de los requerimientos de la f´ısica. Los cient´ıficos transformaron m´etodos y abrieron camino a otras formas de hacer matem´aticas que difer´ıan de las cl´asicas. El c´ alculo es heredero de esta ´epoca; es un producto de la liberaci´on de los viejos m´etodos instaurados desde Euclides.

7.2.

El c´ alculo de la tangente en Descartes

En la Sexta Lectura se hab´ıa estipulado que en el libro segundo de la Geometr´ıa: De la naturaleza de las l´ıneas curvas, Descartes hace una ampliaci´on del universo de las curvas, establece clasificaciones y estudia sus propiedades. No est´a de m´as

218

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

insistir en la forma como Descartes generaliza el concepto de curva admisible en geometr´ıa. La idea fundamental que articula su trabajo reposa en la construcci´on misma. Sabemos que en la antig¨ uedad griega s´olo se conceb´ıan aquellas curvas que se describ´ıan por un movimiento continuo del comp´as y la regla, o aquellas que resultan al interceptar figuras conocidas. Descartes incorpora otros “movimientos” diferentes a los movimientos del comp´ as obteniendo nuevas curvas a las ya antes anotadas. Es importante especificar aqu´ı, que la aceptaci´on de los “nuevos objetos” matem´aticos est´a supeditada en Descartes al reconocimiento de sus propiedades. De esta manera, excluye aquellas curvas que no puedan ser representada mediante ecuaciones, es decir, las curvas llamadas mec´ anicas y que m´as tarde Leibniz llamar´a trascendentes. Para Descartes es claro que hablar de curvas es poder describir sus propiedades. Justamente las llamadas curvas mec´anicas son excluidas porque no existe manera de conocer sus propiedades a trav´es de procedimientos espec´ıficos. Al contrario de ´estas, las curvas construidas por su mecanismo articulado se pueden representar mediante ecuaciones algebraicas; para ellas existen procesos que permiten el trazado de sus normales y tangentes.3 El m´etodo seguido por Descartes para la determinaci´on de la normal es el siguiente: Sea la curva algebraica AFE, representada en la figura 7.1, y se desea trazar la normal a la curva en el punto F de coordenadas (x0 , y0 ). Se establecen las siguientes asignaciones: F M = x, AM = y, AP = v, F P = s. Desarrollemos el proceso seguido por Descartes en notaci´on moderna. Supongamos que la curva est´ a dada por la ecuaci´on, x = f (y)

E F C x

s

y A

M

P

v

Figura 7.1. La tangente de Descartes Una circunferencia C, con centro en el punto P y que pasa por F, tiene por ecuaci´on, x2 + (v − y)2 = s2 . En general, esta circunferencia corta a la curva AFE en dos puntos, uno de los 3

[Descartes 1947], pp. 73-101.

7.3 El c´ alculo de la tangente seg´ un Fermat

219

cuales, obviamente, es F. Los dos puntos de corte se hallan solucionando la ecuaci´on: (f (y))2 + (v − y)2 − s2 = 0,

(7.1)

la cual tiene dos ra´ıces. De esta forma, se obtienen las distintas circunferencias que pasan por F y que se trazan haciendo centro en diferentes puntos P localizados en la prolongaci´ on de AM . El segmento que va del centro de la circunferencia al punto F , ser´a la normal cuando la ecuaci´on anterior tenga las dos ra´ıces iguales. Descartes, utiliz´ o este m´etodo para hallar la normal a una elipse de la siguiente manera: sea una elipse de la forma, ' ( r x2 = ry − y2. q De acuerdo a la ecuaci´ on 7.1 se obtiene, ' ( rq − 2vq qv 2 − qs2 2 y + y+ = 0, q−r q−r la cual tiene una ra´ız doble, igual a y0 , cuando rq − 2vq = −2y0 q−r

y

qv 2 − qs2 = y02 . q−r

Como el punto C est´ a dado, y hemos obtenido el valor de y0, se puede obtener el valor de la subnormal a trav´es de la ecuaci´on, %r & 'r( − y0 . v − y0 = 2 q

7.3.

El c´ alculo de la tangente seg´ un Fermat

El proceso, expuesto por Fermat, para hallar los m´aximos y los m´ınimos sigue los siguientes pasos: 1. Se designa por a al t´ermino a maximizar, y por E a una cantidad inifinitamente peque˜ na. 2. Se reemplaza a por a + E, lo que significa que el m´aximo o el m´ınimo queda expresado en t´ermino de potencias de a y de E. 3. Las expresiones de los dos puntos anteriores se hacen aproximadamente iguales (“casi iguales”, escribe Fermat) y se realizan las respectivas simplificaciones y reducciones.

220

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

4. Se dividen las expresiones por una misma potencia de E, de tal suerte que al menos uno de los t´erminos resultantes no contenga E. 5. Se hace E igual a cero y se igualan las expresiones resultantes. 6. Se soluciona la ecuaci´ on resultante, obteniendo el valor m´aximo o m´ınimo relativo. Como ejemplo, Fermat resuelve el problema de hallar el punto P del segmento AB tal que el ´ area formado por los dos segmentos resultantes sea m´axima. Si se designa por AB = b y PB = a, se trata de maximizar el producto a(b − a). Denominando por el signo “∼” a la expresi´on “casi iguales” y remplazando a por a + E, se obtiene, (a)(b − a)) ∼ (a + E)(b − (a + E)). Realizando las operaciones se obtiene: ab − a2 ∼ (a + E)(b − a − E)

ab − a2 ∼ ab − a2 − aE + Eb − aE − E 2 . Despu´es de realizar las simplificaciones pertinentes se llega a la expresi´on: Eb ∼ 2aE + E 2 . Dividiendo por E ambas expresiones se llega a que, b ∼ 2a+E. Finalmente, haciendo E = 0, se obtiene que b = 2a. Una aplicaci´ on que presentaba Fermat de su m´etodo de m´aximos y m´ınimos era el c´ alculo de la tangente a una curva algebraica. Para una mejor comprensi´on de lo que hizo, dej´emonos seducir por la tentaci´on de interpretar su procedimiento en lenguaje moderno. Supongamos la curva ABC de la figura siguiente representada por la relaci´ on funcional y = f (x). Se requiere determinar la tangente en el punto que tiene por coordenadas (x0 , y0 ). El problema queda resuelto al determinar el punto D, el cual con B, determina la tangente de manera precisa. Sea un incremento E de la variable, el cual lo denotamos como △x y supongamos que el problema se soluciona para DH = a. De acuerdo a la construcci´on, los tri´ angulos DBH y DGF son semejantes. Si se toma GF como f (x0 + △x) se tiene que, GF HB = , DH DF o, lo que es lo mismo, f (x0 + △x) y0 = . a a + △x

7.4 Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

221

G (x0 , y0 )

a

y = f (x)

B

∆x

A D

C

H

F

Figura 7.2. La tangente de Fermat Dado que y0 = f (x0 ), si multiplicamos en cruz quedar´a: af (x0 ) + f (x0 )△x = af (x0 + △x), de donde f (x0 )△x = af (x0 + △x) − af (x0 ). Fermat establece simplificaciones, divide por x y luego hace x = 0, obteniendo el valor de a. Es interesante observar que las ecuaciones anteriores nos conducen a la igualdad, f (x0 + △x) − f (x0 ) f (x0 ) = , a △x

que sugiere el cociente diferencial usado en la actualidad para calcular la pendiente de la recta tangente; adem´ as, la acci´on de identificar el incremento x con cero, constituye uno de los antecedentes m´as importantes del concepto de l´ımite. Estos aspectos nos indican los linderos que toc´o Fermat respecto al desarrollo del c´alculo, y que llevaron a que Pierre Simon Laplace (1749-1827) lo se˜ nalara como el verdadero inventor del c´ alculo diferencial.

7.4.

Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

John Wallis (1616–1703) consign´o sus principales resultados en su libro La Aritm´etica de los Infinitos. A trav´es de 194 proposiciones, estableci´o una teor´ıa general para algunas familias de cuadraturas. Para ello utiliz´o, de manera particular, inducciones e interpolaciones.

222

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

Para Wallis, el problema de la cuadratura de una curva se reduce a calcular la raz´ on entre el ´ area de la figura curvil´ınea T (´area buscada), formada por la curva y los segmentos paralelos a los ejes coordenados, y el pol´ıgono P, circunscrito en T ; concretamente, se trata de calcular X, en la proporci´on: T 1 = . P X Aunque Wallis no emplea el lenguaje algebraico cartesiano, lo usaremos en la medida que nos economice la escritura. 4 Wallis empieza encontrando un valor para X en el caso de curvas de la forma y = xn . Tomando como referencia la figura siguiente, se trata de establecer la proporci´ on entre el tri´angulo curvil´ıneo OAB y el paralelogramo OCAB circunscrito en el tri´ angulo curvil´ıneo, tal como se describe en la figura 7.3.

A

C

A2

C2

C1 O

A1 B1

B2

B

Figura 7.3. Cuadratura de Wallis De acuerdo a las condiciones establecidas, tenemos que los segmentos A1 B1 y A2 B2 , paralelos a OC, tienen una raz´on n-´esima de la raz´on que hay entre los segmentos C1 A1 y C2 A2 , donde n es un entero positivo. En t´erminos modernos se tendr´ıa que: (C1 A1 )n A1 B1 = , n ∈ Z+ . n A2 B2 (C2 A2 ) Dado que tenemos la cuadratura del paralelogramo OCAB, el problema, entonces consiste en hallar X, tal que, Cuadratura de OAB : Cuadratura de OCAB = 1 : X, que escribimos como 1 cuad.OAB = . cuad.OCAB X 4

En lugar de escribir la ecuaci´ on y = x2 Wallis dice simplemente par´ abola, en lugar de y = x3 Wallis dice par´ abola c´ ubica, etc.

7.4 Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

223

Si n = 1, entonces OA se reducir´ıa a una recta, OAB a un tri´angulo rectil´ıneo y X ser´ıa igual a 2; resultado que se tiene de la geometr´ıa euclidiana. Lo interesante ocurre cuando n es mayor que 2. Para este caso, Wallis sigue los delineamientos de Cavalieri y considera el tri´ angulo OAB y el paralelogramo OCAB formados de una infinidad de segmentos paralelos. La gran idea de Wallis fue alejarse del m´etodo algebraico de Cavalieri, y establecer un formalismo para las sumas infinitas a trav´es del m´etodo de interpolaci´ on. De esta forma, si tomamos la regi´on limitada por la n curva y = x , el eje x y la recta x = a, como se visualiza en la figura 7.4, se tendr´a que: 1 - .n - .n - h.a .n 2 /a 1.a 0.a + + . . . + y cuad.OAB h h h = /ax=0 = n + an + . . . + an cuad.OCAB a x x=0 h→∞ 1/ 2 h in = /hi=0 n i=0 h h→∞ C

A

an

y

O

B b

Figura 7.4. Aritm´etica de los indivisibles en Wallis Para encontrar una f´ ormula general Wallis considera algunos casos particulares consignados en La Aritm´etica de Infinitesimale 1. El caso n = 1, aparece desarrolado en la proposici´on 2 de La Aritm´etica de infinitesimales: Si am es una sucesi´ on finita o infinita y bm = l, (donde l es el mayor de los t´erminos de am ) una sucesi´on constante con el mismo n´ umero de t´erminos que am , entonces la raz´ on entre la suma de los t´erminos de am y la suma de los t´erminos de bm es 1:2. Para demostrar este resultado Wallis toma los casos 1 ≤ m ≤ 6, y luego

224

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

determina el caso general. En t´erminos modernos, Wallis establece la igualdad: 1/ 2 1 h(h+1) 2 h i 1 2 = . = /hi=0 h(h + 1) 2 i=0 h h→∞

h→∞

2. Wallis sigue el mismo proceso para el caso n = 2, que desarrolla en la proposici´ on 20, obteniendo: 1/ 2 3 4 h 2 i 1 1 1 i=0 = + = . /h 2 3 3h h→∞ 3 i=0 h h→∞ 3. El caso n = 3, aparece en la proposici´on 40: 2 1/ 3 4 h 3 1 1 i 1 i=0 = + = . /h 3 4 4h h→∞ 4 i=0 h h→∞

4. Wallis establece el caso general en la proposici´on 44. Para ello consigna los resultados de las diez primeras potencias en la tabla 7.1:5

Iguales

1 1

1a1

Primera potencia

1 2

1a2

Segunda potencia

1 3

1a3

Tercera potencia

1 4

1a4

.. .

.. .

.. .

D´ecima potencia

1 11

1 a 11

Tabla 7.1 5

[Stedall 2004], p. 42.

7.4 Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

225

De esta tabla se colige el caso general: 2 1/ h n i 1 i=0 = . /h n n+1 i=0 h h→∞ Esto significa que en la proporci´on,

cuadratura OAB 1 = , cuadratura OCAB X se tiene que X = n + 1. De esta forma, si consideramos la regi´on limitada por la curva y = xn , la recta x = a y el eje x, dado que el ´area del paralelogramo OCAB es an+1 (tiene base 1 an+1 corresponder´a a la cuadratura de la regi´on a y altura an ), entonces n+1 OAB ; resultado que puede escribirse como: cuadratura [xn ]a0 =

1 an+1 . n+1

Sin embargo, debemos aclarar que esta presentaci´on contempla un salto cualitativo profundo, pues pasa por la acci´on de asignarle un valor num´erico a cada cuadratura, que modernamente corresponde a la noci´on de ´area. El primer paso en esta direcci´ on es la consideraci´ on de la cuadratura de un rect´angulo como base por altura. Aunque esto aparece impl´ıcitamente en Wallis, no es desarrollado en toda su extensi´on debido a la inexistencia de un corpus num´erico en el cual est´e bien definido el producto. El m´ aximo acercamiento a los n´ umeros irracionales corresponde a las ra´ıces inexactas. El establecimiento del ´ area de un rect´angulo como base por altura, permite interpretar cada sumando de la expresi´on, ( ' ( ' (n ' ( ' 1.a n i.a h.a n 0.a n + + ... + + ... + , h h h h que corresponde a una l´ınea, como un rect´ angulo de base ha y altura i, para i = 1, 2, . . . , h. Cuando n tiende a infinito, el ancho de cada uno de los rect´angulos corresponde a la noci´ on de infinitesimal. Seg´ un Wallis una parte infinitamente peque˜ na a de a se puede representar como ∞ . El uso de los infinitesimales constituye uno de los catalizadores del surgimiento del c´alculo. A continuaci´ on Wallis toma el caso de exponentes racionales positivos. Su m´etodo consiste en interpolar valores intermedios en la tabla 7.1; para ello debe develar la ley de formaci´ on. En este sentido observa que los denominadores de la segunda columna de la tabla 7.1 est´ an ordenados en una sucesi´on aritm´etica; eso lo lleva a la construcci´ on de la tabla 7.2.

226

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

p

0

1

2

3

4

···

10

1

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

···

1 11

2

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

···

2 12

3

3 3

3 4

3 5

3 6

3 7

···

3 13

4

4 4

4 5

4 6

4 7

4 8

···

4 14

5

5 5

5 6

5 7

5 8

5 9

···

5 15

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

10

10 10

10 11

10 12

10 13

10 14

···

10 15

q

Tabla 7.2 De acuerdo a la tabla anterior, Wallis obtiene la raz´on entre la cuadratura de la p regi´ on acotada por la curva y = x q , la recta x = a y el eje x; esto es: 1/ p 2 h iq q 1 , = = p /hi=0 n p+q + 1 i=0 h h→∞ q p

que corresponder´ a a la cuadratura de la regi´on OAB, limitada por la curva y = x q , la recta x = 1 y el eje x, 5 p 61 Cuadratura x q = 0

q . p+q

En t´erminos sugestivos, y teniendo en cuenta la aclaraci´on anterior, corresponde a la integral, 7 1 p q , p, q ∈ Z+ . xq = p+q 0 Tomando como referencia los resultados anteriores1 Wallis encuentra la cuadratura de la regi´ on OAB, limitada por la curva y = (1 − x p )q , la recta x = 1 y el eje x. Para ello simplemente aplica el desarrollo binomial en consideraci´on y supone aditividad, de tal forma que si tomamos, por ejemplo, p = 2 y q = 3, tenemos: 5 1 61 61 5 1 Cuadratura (1 − x 2 )3 = Cuadratura [1]10 − 3Cuadratura x 2 0

0

7.4 Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

227

5 3 61 5 2 61 + 3Cuadratura x 2 − Cuadratura x 2 . 0

0

Analizando las cuadraturas de la regi´on OAB, a partir de las variaciones de p y q, entre 1 y 10, Wallis encontr´ o una ley de formaci´on no directamente para la regi´on en consideraci´ on, sino para los valores inversos, los cuales designamos como F [p, q], de tal forma que: 1 F [p, q] = 5 61 . 1 q p Cuad. (1 − x ) 0

Los valores encontrados por Wallis se han consignado en la Tabla 7.3: p

0

1

2

3

4

···

10

0

1

1

1

1

1

···

1

1

1

2

3

4

5

···

11

2

1

3

6

10

15

···

66

3

1

4

10

20

35

···

286

4

1

5

15

35

70

···

1001

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

10

1

11

66

286

1001

···

184756

q

Tabla 7.3 Wallis observa que los argumentos de la Tabla 7.3 corresponden a los valores del tri´ angulo de Pascal con los valores ubicados de manera rectangular, en la cual se cumple la regla de formaci´ on: F [p, q] = F [p, q − 1] + F [p − 1, q].

(7.2)

Retomando el planteamiento inicial, Wallis entiende que la cuadratura del c´ırculo 1 corresponde a la cuadratura de la regi´on OAB, limitada por la curva y = (1 − x2 ) 2 y los ejes coordenados, como se representa en la figura 7.5. Lo anterior significa que la cuadratura del c´ırculo corresponde a los valores p = 1 1/2 y q = 1/2, en la curva y = (1 − x p )q . Wallis busca extrapolar los elementos de la tabla 7.3 para valores de p y q racionales; para ello empieza a identificar las siguientes propiedades de formaci´on en cada una de las filas:

228

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

A

C

O

B

Figura 7.5. Cuadratura del c´ırculo en Wallis 1. Los elementos de la tercera fila corresponden a los “n´ umeros triangulares”: 1, 3, 6, 10,. . .; lo cual significa que, F [2, q] =

1 (q + 1)(q + 2). 2

2. Los elementos de la cuarta fila corresponden a los “n´ umeros piramidales”: 1, 4, 10, 20,. . ., los cuales siguen la ley de formaci´on, 1 F [3, q] = (q + 1)(q + 2)(q + 3). 6 3. Wallis deduce que, en general, los elementos de la fila p + 1 deben seguir la ley de formaci´on: 1 F [p, q] = (q + 1)(q + 2) + . . . + (q + p). p! 4. Combinando los aspectos anteriores se tiene que: F [p, q] =

p+q F [p, q − 1]. q

(7.3)

La identificaci´ on de esta regularidad, le permite a Wallis insertar, en la tabla 7.3, elementos que corresponden a valores p o q iguales a 12 , 31 , 14 , . . .. Es claro que para valores de p enteros se puede aplicar directamente la regla anterior; por ejemplo, 3 (' (' ( 4 ' 1 1 1 105 35 1 1 F 3, +1 +2 +3 = = . = 2 6 2 2 2 48 16 Para los valores de q enteros se acude a la simetr´ıa del arreglo, por ejemplo, 4 3 4 3 1 1 , 3 = F 3, . F 2 2

7.4 Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

229

Wallis elabora entonces una nueva tabla que incorpora argumentos fraccionarios. Para ello realiza los siguientes cambios de variables: µ = 2p y v = 2q, de modo que, G[µ, v] = F

5µ v 6 , . 2 2

(7.4)

Las sustituciones le permiten elaborar una tabla con ´ındices de ubicaci´on enteros, con el prop´osito de aplicar las propiedades de la tabla 7.3. El problema es que no puede obtener todos los argumentos, pues no tiene regla de formaci´on para las ubicaciones donde los dos ´ındices son ambas fraccionarias, tal como se visualiza en la tabla 7.4. v

0

1

2

3

4

5

6

···

q

0

1 2

1

3 2

2

5 2

3

···

1

1

1

1

1

1

···

105 48

···

4

···

315 48

···

10

···

693 48

···

20 .. .

··· .. .

µ

p

0

0

1

1

1 2

1

2

1

1

3

3 2

1

4

2

1

5

5 2

1

6

3

1 .. .

.. .

3 2 3 2

2

15 8 5 2

5 2 15 8

35 8

.. .

4 .. .

7 2

35 8

7 2 105 48

3

6

63 8

63 8 315 48

.. .

10 .. .

695 48

.. .

Tabla 7.4 Wallis entiende que la tabla 7.4 no le proporciona el valor para F [ 21 , 12 ] = G[1, 1], que corresponde a la cuadratura del c´ırculo. En este sentido, se ve obligado a buscar este valor a trav´es de aproximaciones sucesivas. Para ello supone que la igualdad 7.4

230

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

se cumple para G[µ, v], de tal forma que, µ v 6 µ+v 5µ v 6 5µ v + 2 2 = , , −1 = G[µ, v − 2]. G[µ, v] = F F 2 2 2 2 2 v 2

(7.5)

Adem´as aplicando la igualdad (7.2) al caso general, se tiene que: 5µ v 6 G[µ, v] = F , 2 5 µ v2 6 5µ v6 =F , −1 +F − 1, 24 4 32 32 2 µ−2 v µ v−2 , , +F =F 2 2 2 2 = G[µ, v − 2] + G[µ − 2, v]. 8 9 Si se coloca F 12 , 12 = G[1, 1] = #, se pueden calcular, por ejemplo, los argumentos faltantes de la segunda fila de la tabla 7.3 en funci´on de #, como se visualiza en la v+1 G[1, v − 2]. tabla 7.4, teniendo en cuenta que G[1, v] = v v

µ 1

0

1

2

3

4

5

6

···

1

#

3 2

4 3#

15 8

8 5#

105 48

···

Tabla 7.5 De acuerdo a la regla de formaci´on se tendr´an dos casos: (i) Si v es impar tendremos que: a) G[1, 1] = # b) G[1, 3] = 43 # c) G[1, 5] = d) G[1, 7] =

64 5 3# 864 7 5 3#

En general,G[1, v] =

468 357

× . . . v+1 v #

(ii) Si v es par tendremos que: a) G[1, 0] = 1 b) G[1, 2] =

3 2

·1

7.5 Wallis y las primeras huellas del c´ alculo

c) G[1, 4] = d) G[1, 6] =

231

53 42 ·1 753 642 ·1

En general,G[1, v] = 1 ·

357 246

× . . . v+1 v .

La sucesi´ on G[1, v]∞ v=1 es creciente (ejercicio), lo cual significa que, G[1, 2v − 1] < G[1, 2v] < G[1, 2v + 1]. Reemplazando, obtenemos, v v v+1 : # : 2n 2n + 1 # : 2n < < , 2 n=1 2n − 1 n=1 2n 2 n=1 2n − 1 v :

n=1

(2n)2 2 < < (2n − 1)(2n + 1) #

;

v :

n=1

(2n)2 (2n − 1)(2n + 1)


1 Para calcular 0 zdx, Leibniz recurre a la figura 7.12: de donde, x =

y

1 !1 0

x dz

!1 0

z dx

1

x

Figura 7.12. Complemento de ´areas en Leibniz De esta forma, ( ' * 3 ' (4 7 1 7 1 =1 7 1 π 1 1 = zdx = = ydy = x 2x − x2 = + 1+ 1− xdz 4 2 2 0 0 0 0 3 4 7 1 7 1 z2 1 3 1 5 1 7 2 2 4 z (1 − z + z − . . .)dz = 1 − z − z + z . . . =1− dz = 1 − 2 3 5 7 0 1+z 0 y por lo tanto,

7.11.

1 1 1 π = 1 − + − + ... 4 3 5 7

La emergencia del lenguaje simb´ olico en Leibniz

Uno de los aspectos que ha movilizado el desarrollo de las matem´aticas tiene que ver con los sistemas de representaci´on. As´ı por ejemplo, la popularizaci´on de la representaci´ on decimal para las cantidades num´ericas en la Europa de los siglos XI y XII, produjo cambios cualitativos importantes en la resoluci´on de algunos problemas que se modelaban con ecuaciones polin´omicas. Es igualmente revelador el sistema de representaci´ on instaurado por Descartes en la geometr´ıa anal´ıtica. Uno de los

7.11 La emergencia del lenguaje simb´ olico en Leibniz

249

legados m´ as importantes de Leibniz, alrededor del desarrollo del c´alculo, tiene que ver con la instauraci´ on de un simbolismo que sintetiza las operaciones de calcular cuadraturas y trazar tangentes. El desarrollo conceptual y simb´olico del problema de las cuadraturas, establecido por Leibniz, aparece en los manuscritos fechados entre el 25 de octubre y el 11 de noviembre de 1675. En estos documentos, se revela el esp´ıritu incesante de Leibniz, buscando una salida general al problema de las cuadraturas. Tomando como referencia la figura 7.13 Leibniz retoma el m´etodo de indivisibles de Cavalieri, complement´ andolo con una conceptualizaci´on y simbolizaci´on propias.

D

O

x

w w

ult.x

y w w w B

w

C

Figura 7.13. Teorema Fundamental del c´alculo en Leibniz Leibniz considera las ordenadas y, que forman parte de la regi´on OBC, de tal forma que las distancias entre ellas corresponda a una unidad infinitamente peque˜ na w. No es claro si para Leibniz el continuo est´e conformado por indivisibles. Pero, en concordancia con Cavalieri, considera que la suma de la totalidad de los indivisibles a trav´es de la operaci´ on “ominus”, abreviadamente omn, produce la cuadratura de la regi´on limitada por los ejes coordenados y por la curva OCB. Tomando “ult. x = OB, de acuerdo a la figura 7.13, Leibniz obtiene la igualdad: omn.xw = (ult.x)(omn.w) − omn.omn.w.

(7.10)

Tomando como base la ecuaci´ on 7.10, Leibniz calcula otras cuadraturas por medio

250

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

de sustituciones convenientes. De esta manera, si se toma xw = a, quedar´ıa, % a& a omn.a = (ult.x) omn. − omn.omn. , x x

igualdad que para Leibniz corresponde a la “suma de los logaritmos en t´erminos de la cuadratura de la hip´erbola”. En seguida cambia a por xl, obteniendo: omn.xl = (ult.x)(omn.l) − omn.omn.l. Leibniz llama la atenci´ on en el hecho que los t´erminos de esta ecuaci´on cumplen los requerimientos de homogeneidad, esto es, omn. antepuesto a l corresponde a un ´area, omn. antepuesto a xl da un s´ olido, etc. Estas consideraciones de homogeneidad le sugirieron a Leibniz, como se expresa en Newton, Leibniz y la tradici´on leibniziana,10 el uso de un solo s´ımbolo en lugar de omn., como ´el mismo lo expresa: > > Ser´ıa conveniente escribir “ ” en lugar de “omn.” de tal manera que l represente omn.l, es decir la suma de todas las l. > El signo “ ” proviene de la primera letra de la palabra “summa” del lat´ın, un poco alargada y en forma de bastardilla. Bajo esta nueva nomenclatura, la igualdad u ´ltima toma la forma, 7 7 77 xl = x

l−

l,

teniendo presente que,

7

x2 x= 2

y

7

x2 =

x3 . 3

Reglas que se aplican, seg´ un Leibniz, a aquellas series en las que la raz´on de las diferencias de los t´erminos a los t´erminos mismos es menor que cualquier cantidad dada, o sea las series cuyas diferencias son infinitamente peque˜ nas. En este mismo manuscrito introduce el s´ımbolo “d” tomado de la primera letra de la palabra>“differentia” del lat´ın, como operaci´ on inversa a la “sumaci´on”, representada por . Esta identificaci´ on le permite trabajar con estos signos en t´erminos de operadores, como el mismo lo dice: Dada l y su relaci´ on con x, hallar l. Esto se> puede obtener mediante el c´ alculo inverso, es decir, supongamos > que l = ya, y sea l = ya/d; entonces de la misma > manera que la aumente las dimensiones, d las disminuir´ a. Pero la representa una suma y d una diferencia, y de la y dada podemos encontrar siempre y/d, es decir la diferencia de las y. 10

[Bos 1980]

7.12 Seguimiento Lectura 7

251

Como se nota, Leibniz introduce en realidad el s´ımbolo “ d1 ” debido a su interpretaci´ on dimensional de la cuesti´ on; sin embargo, despu´es se da cuenta que justamente d no representa una divisi´ on como tal, sino una operaci´on de diferencias, por lo cual ya pasa a escribir “d(ya)” en lugar de “ ”, que m´as tarde los utiliza de manera adid mensional. La incorporaci´ on de la simbolog´ıa para la integral y la derivada, le permite manipular diferenciales y sacar reglas de diferenciaci´on. De esta forma en el manuscrito de julio de 1677 determina f´ ormulas para d(xy): d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy

= xy + xdx + ydx + dxdy − xy

= xdy + ydx

La u ´ltima igualad se obtiene despreciando dxdy pues es infinitamente peque˜ no en relaci´ on con los otros t´erminos. Para el caso de la divisi´ on obtiene: d(y/x) =

y xy + xdy − xy − ydx xdy − ydx y + dy − = = 2 x + dx x x + xdx x2

En el u ´ltimo paso se ha despreciado xdx por ser infinitamente m´as peque˜ no que x2 . Es importante anotar que los primeros desarrollos de Leibniz, no fueron publicados oficialmente, sino que circulaban libremente entre los interesados. La primera publicaci´ on sobre c´ alculo diferencial de Leibniz apareci´o en Acta Eroditorum y corresponde a su art´ıculo Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus.

7.12.

Seguimiento Lectura 7

1. Enuncie los principales problemas pr´acticos que motivaron la emergencia del c´alculo. 2. Explique el uso del concepto de “variaci´on” en el caso de Newton y Leibniz. 3. ¿Cu´ al es el aporte de los siglos XVII y XVIII al concepto de funci´on?. 4. ¿C´ omo se define recta tangente a una curva en un punto?. 5. Verifique el resultado del m´etodo de la tangente de Descartes, aplicado a la √ elipse, visto en el cap´ıtulo y apl´ıquelo a la curva y = x. 6. Revise la ecuaci´ on 7.6, correspondiente a la cuadratura del c´ırculo por parte de Newton. Compruebe que es una serie que converge muy lentamente al

252

El origen del c´ alculo en el marco del problema de las cuadraturas

valor conocido de π, calculando z(1) con los cinco primeros t´erminos que se presentan. 7. Demuestre la existencia del rect´angulo BKHM , de la figura 7.7, tal que se cumple la igualdad: ´ area BDLM =´area BKHM = ov. 8. Lea detenidamente el p´ arrafo siguiente y saque sus propias conclusiones: Newton pensaba que a trav´es de incorporar al tratamiento de curvas una visi´on cinem´ atica, quedar´ıa resuelto el problema de los incrementos infinitamente peque˜ nos, los cuales cumpl´ıan la “extra˜ na ley” de poder dividir, por ser diferentes de cero, y desaparecer a conveniencia por no incidir en el resultado. “Cantidades evanescentes” que aparecen y desaparecen a conveniencia. Cuesti´on que ocasion´ o muchas incomodidades y un sin n´ umero de detractores, entre los cuales figuraba el obispo irland´es Berkeley. En su tratado El Analista, dedicado a un matem´atico infiel, que se supone era el astr´onomo ingles Edmund Halley, Berkeley arremete contra quien fuera enemigo de las doctrinas cristianas, argumentando que la teor´ıa de las “cantidades evanescentes” ni era m´as clara ni se hallaba mejor fundada que los principios de la teolog´ıa. Afirmaba que los matem´ aticos no hab´ıan dado una salida rigurosa a sus procedimientos, pues privilegiaban el razonamiento inductivo sobre el deductivo de manera libre; se refer´ıa de manera ir´ onica a las “cantidades evanescentes” d´andoles el apelativo de “fantasmas de las cantidades desaparecidas”. 9. Deduzca la ley de formaci´ on del tri´angulo arm´onico de Leibniz. 10. Demuestre que la suma de cualquier diagonal del tri´angulo arm´onico de Leibniz da el n´ umero inmediatamente anterior. 11. Compare las contribuciones de Newton a la notaci´on matem´atica con respecto a las de Leibniz. 12. Compare la forma del teorema binomial dada por Newton con la que usamos hoy; muestre que las dos formas son equivalentes. 13. Contraste las versiones del teorema fundamental del c´alculo en Newton y Leibniz. p q−p q dy = ,z = y. y dx x q Concluya del m´etodo del teorema de transmutaci´on que:

14. Considere la curva y q = xp , q > p > 0. Pruebe que

7

a

b

p x q dx

= p+q =b p q b = xy|a = x q == q p+q a

Bibliograf´ıa Lectura 7 [Bos 1980] Bos, Henk: Newton, Leibniz y la tradici´on leibniziana. En: Del c´alculo a la teor´ıa de conjuntos, 1630-1910. Una introducci´on hist´orica. Recopilaci´on de Ivor Grattan-Guinnes. Versi´on espa˜ nola de Mariano Martinez P´erez. Alianza Editorial, Madrid, 1984, pp. 69-124. [Boyer 1987] Boyer, Carl: Historia de la Matem´atica. Alianza Editorial, Madrid, 1987. [Descartes 1994] Descartes, Ren´e: Discurso del M´etodo. RBA Editores, Barcelona, 1994. [Descartes 1996] Descartes, Ren´e: Discurso del m´etodo. La di´otrica. Los Meteoros. La geometr´ıa. C´ırculo de Lectores, S. A, Barcelona, 1996. [Descartes 1947] Descartes, Ren´e: La Geometr´ıa. Editorial Espasa-Calpe S. A., Buenos Aires, 1947 . [Descartes 1989] Descartes, Ren´e: Reglas para la direcci´ on del esp´ıritu. Alianza editorial, Madrid, 1989. [Edwards 1982] Edwards, C. H: The historical Development of the Calculus. Springer-Verlag, New York, 1982. [Euclides 1970] Euclides: Elementos de geometr´ıa. En: Cient´ıficos griegos. Recopilaci´on de Francisco Vera. Aguilar, Madrid, 1970, pp. 689-980. [Galilei 1981] Galilei, Galileo: Consideraciones y demostraciones matem´aticas sobre dos nuevas ciencias. Editorial Navional, Madrid, 1981. [Grattan-Guinness 1982] Grattan Guinness, Ivor: Del c´alculo a la teor´ıa de conjuntos 1630-1910. Una introducci´on hist´orica. Alianza Editorial, Madrid, 1984. [Leibniz 1977] Leibniz, Gotifredo y Newton, Isaac. El c´alculo infinitesimal. OrigenPol´emica. Editorial universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires, 1977. [Kline 1994] Kline, Morris: El Pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Editorial, Madrid, 1994 (primera edici´on 1972), Vols. I, II , III.

254

Bibliograf´ıa Lectura 7

[Newton 1993] Newton, Isaac: Principios matem´aticos de la filosof´ıa natural. Ediciones Atalaya S. A., Barcelona, 1993 (primera versi´on 1687). [Newton 2001] Newton, Isaac: Tratado de m´etodos de series y fluxiones (Traducci´on e introducci´ on de Marco Panza). Servicios Editoriales de la Facultad de ciencias, UNAM., Colecci´ on matem´ atica, M´exico, 2001. 1736 (Primera versi´on 136). [Rey 1951] Rey, P. y Balb´ın, J: Historia de la matem´atica. Espasa, Buenos Aires, 1951. [Ribnikov 1987] Ribnikov, K: Historia de las Matem´aticas. Editorial MIR, Mosc´ u, 1987. [Stedall 2004] Stedall, Jacqueline: The arithmetic of infinitesimales. John Wallis 1656. Springer-Verlag, New York, 2004.

. . . muy frecuentemente las leyes deducidas por los f´ısicos de un gran n´ umero de observaciones no son rigurosas, sino aproximadas. Augustin Louis Cauchy (1868). Sept br`eves le¸cons de physique. Bureau du Journal Les Mondes. p. 15.

Lectura

8 La instauraci´on del an´alisis como rama de las matem´aticas 8.1.

Las primeras huellas del an´ alisis

Con Leibniz y Newton hay un cambio de enfoque con respecto al c´alculo de ´areas y a la construcci´on de la recta tangente a una curva en un punto determinado. Para ello tomaron como base la perspectiva algebraica instaurada, entre otros, por Descartes. Los m´etodos algebraicos dominaron durante muchos siglos en matem´aticas sin que se pueda hablar del an´ alisis como disciplina independiente. Para entender esto es importante volver sobre la definici´on que dio D’Alembert, hacia finales del siglo XVIII, en la Enciclopedia met´ odica de Diderot, de la palabra an´alisis: An´alisis es el m´etodo utilizado para resolver problemas matem´aticos al reducirlos a ecuaciones. El an´alisis, para resolver todos los problemas, utiliza la ayuda del ´ algebra o del c´alculo de las magnitudes en general; por eso estas dos palabras, an´alisis-´algebra se consideran a menudo como sin´ onimos. En la s´eptima lectura hab´ıamos llamado la atenci´on en que el c´alculo de fluxiones va delineando la necesidad de un nuevo concepto matem´atico mediante el cual modelar las variaciones en general. A partir de la interpretaci´on cinem´atica del c´alculo se abre la posibilidad de aplicar sus t´ecnicas a la descripci´on de fen´omenos como

256

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

el sonido, la elasticidad, el calor y el magnetismo, entre otros. Se busca interpretar estos fen´ omenos a trav´es de ecuaciones constituidas de variables relacionadas, que hist´oricamente se conoce como “estilo anal´ıtico” y que se hace evidente por la publicaci´on de una serie de grandes tratados como Teor´ıa anal´ıtica del calor de Joseph Fourier y la Mec´ anica anal´ıtica de Lagrange. El “estilo anal´ıtico” va esbozando un paradigma demostrativo en matem´aticas. Un ejemplo de ello es la demostraci´on del teorema del valor intermedio, realizada por Bernard Bolzano, la cual reconocemos como una de las primeras “demostraciones puramente anal´ıticas”. No podemos olvidar que uno de los escenarios matem´aticos donde primero se ventila lo anal´ıtico tiene relaci´ on con la aparici´on de las curvas trascendentes, las cuales plantean problemas que escapan al ´ambito del ´algebra. Por ejemplo, es imposible hacer c´ alculos en estas curvas (circulares, logar´ıtmicas, exponenciales, etc.), con la sola intervenci´ on de las operaciones de suma, resta, divisi´on, multiplicaci´on y radicaci´on. Ello plantea la necesidad de encontrar m´etodos para caracterizar propiedades de una curva cualquiera, ya sea de ´ındole algebraica o trascendente, conocida o definida en forma general. Estos m´etodos tienen v´ınculos estrechos con el infinito, un concepto que los matem´ aticos hab´ıan intentado eludir por todos los medios. El c´alculo diferencial e integral surge no s´olo en la perspectiva de resolver problemas f´ısicos o geom´etricos, sino de caracterizar y darle sentido a nuevos conceptos matem´aticos. Para entender esto es necesario profundizar en el papel jugado hist´oricamente por el c´ alculo en la exhibici´on de propiedades ya no limitados a las curvas geom´etricas sino a las funciones. La incorporaci´on de las funciones de variable real constituye un elemento fundamental en la formaci´on del an´alisis matem´atico como una rama de las matem´ aticas. A partir de mediados del siglo XVIII, la cuesti´on ser´ a estudiar las propiedades de las funciones algebraicas y trascendentes. En este sentido, el problema primigenio de la cuadratura de figuras planas se convierte en un problema subsidiario del an´ alisis. Si nos ubicamos en el contexto hist´orico del problema, vemos que del tratamiento de curvas geom´etricas de tipo algebraico, f´acilmente se llega a la caracterizaci´on de las funciones polin´ omicas. Para este tipo de curvas el an´alisis, a partir de las nociones derivada e integral, provee del m´etodo para el trazado de tangentes y el c´alculo de cuadraturas. El problema se presenta para las curvas trascendentes, en las cuales los procesos algebraicos no responden a las exigencias requeridas. La cuesti´on tiene caracter´ısticas similares al problema de la instauraci´on del status de n´ umero de los irracionales. Sabemos que no basta decir que de la soluci´o√ n de ecuaciones surge la necesidad de umero auextender el dominio num´erico. Por ejemplo, 2 no se identifica como n´ 2 tom´aticamente del hecho de ser soluci´on de la ecuaci´on x − 2 = 0. Es necesario exhibir tal objeto a trav´es de propiedades que permitan identificarlo como n´ umero. La dificultad de fondo es que no existe una forma de exhibici´on completa, porque su representaci´ on decimal es infinita y no peri´odica. S´olo la construcci´on de los reales,

8.2 La rigorizaci´ on del an´ alisis

257

a trav´es de sucesiones fundamentales en Cantor y cortaduras en Dedekind, hace posible la caracterizaci´ on completa, no s´olo de las ra´ıces no exactas, sino tambi´en de n´ umeros m´ as complicados como π, e y el resto de n´ umeros trascendentes. Este ejemplo nos permite relacionar, con el caso de las funciones, la cuesti´on de la representaci´ on de los n´ umeros irracionales. Sabemos que no es posible conocer a cabalidad todas las cifras decimales. Pero decimos que los tenemos bien determinados cuando podemos escribirlo con tantas cifras decimales como queramos. Con las curvas no algebraicas, que posterioremente dar´an lugar a las funciones trascendentes, pasa algo similar: al no poderlas caracterizar completamente, buscamos acercarnos a ellas a trav´es de aproximaciones. En esta contingencia se pueden entender los esfuerzos de matem´ aticos como Lagrange y Taylor al intentar representarlas a trav´es de series de potencias. Aunque en Newton y Leibniz ya encontramos indicios del an´alisis, es con Cauchy que se instaura como disciplina independiente de las matem´ aticas.

8.2.

La rigorizaci´ on del an´ alisis

El desarrollo hist´ orico del an´alisis en el siglo XIX se inscribe en el llamado periodo de “fundamentaci´ on” o “rigorizaci´on” de las Matem´aticas. Pero, ¿en qu´e consiste la rigorizaci´ on de las matem´ aticas? ¿A qu´e se denomina fundamentaci´on del an´alisis? Al respecto han surgido una serie de met´aforas afortunadas que buscan caracterizar el hecho: cimentar sobre un piso firme el edificio matem´atico; estructurar de manera ordenada las matem´ aticas; describir los principios de la arquitectura de las matem´ aticas, etc. “Dar a las ciencias matem´aticas las bases s´olidas”, dice Lagrange en su libro Teor´ıa de las funciones anal´ıticas (1797), en el cual se plantea dos objetivos concretos: 1. Desarrollar el c´ alculo diferencial sin las consideraciones metaf´ısicas de lo infinitamente peque˜ no y evitar el empleo del m´etodo de “fluxiones” que introduce en el an´ alisis la noci´ on “extranjera” de movimiento en el uso del concepto de l´ımite. 2. Unir el c´ alculo al ´ algebra, de tal manera que todo sea m´as que un s´olo m´etodo. La cuesti´ on de la fundamentaci´on del an´alisis ha sido muy bien caracterizada por el c´elebre matem´ atico franc´es Jean Cavaill`es en su libro Axiom´ atica y Formalismo de 1938. Para Cavailli`es, el proceso de rigorizaci´on hace alusi´on a tres aspectos b´asicos y mutuamente dependientes: 1. Escoger entre diferentes tipos de evidencia. 2. Dar prioridad a algunos desarrollos respecto a otros.

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La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

3. Situar la actividad matem´ atica en relaci´on con otras actividades de la conciencia. No se trataba de poner en duda la potencia y la veracidad de los m´etodos y los conceptos matem´ aticos; la b´ usqueda estaba encaminada, fundamentalmente, a encontrar una manera de evitar los contaminantes extramatem´aticos; se trataba de especificar un m´etodo que permitiera caracterizar aquellos conceptos que deber´ıan reconocerse como objetos matem´aticos propiamente dichos. Pero esto no es m´as que una a˜ noranza euclidiana. Como lo hemos planteado en la primera lectura, el esfuerzo de Euclides, proveniente de la filosof´ıa aristot´elica, era construir unas matem´aticas cuyos objetos pertenecieran al tipo de seres inm´oviles y accidentales. En el siglo XIX, y a´ un en la actualidad, este paradigma es el que predomina: la identidad matem´ atica de un objeto pasa por el esfuerzo de incorporarlo a un cuerpo te´orico que excluya cuestiones extra˜ nas a la matem´atica como el movimiento f´ısico. Los matem´ aticos de finales del siglo XVIII y de todo el siglo XIX que se comprometieron con la empresa de fundamentaci´on, buscaban reconstruir el an´alisis a partir de la aritm´etica. En el fondo se trataba de establecer el estatuto de una nueva operaci´on, ligada a los procesos infinitos, como lo era la convergencia. Para ello hab´ıa que esclarecer algunos conceptos cuyas definiciones eran difusas: la noci´on de funci´on, de derivada, de integral, la convergencia de series y en especial las nociones de lo infinitamente peque˜ no –infinit´esimo- y lo infinitamente grande.

8.3.

En busca de los infinitesimales

Como dijimos antes, los matem´aticos del siglo XVIII ten´ıan serias dudas sobre la existencia de las cantidades infinitamente grandes e infinitamente peque˜ nas. No sab´ıan como incorporarlas al cuerpo te´orico de las matem´ aticas sin caer en oscuridades conceptuales ni en consideraciones metaf´ısicas. Particularmente se desconfiaba del m´etodo de fluxiones de Newton y del c´alculo diferencial de Leibniz. La cr´ıtica m´ as aguda proven´ıa del agudo y polemista obispo irland´es George Berkeley, quien en su libro El analista (1734)1 , mostraba, de manera contundente, que los misterios de la religi´on no eran mayores que aquellos de los que estaba plagada la matem´atica. Las finas cr´ıticas de este hombre de la iglesia, obligaron a revisar la estructura del c´alculo. Si bien Berkeley no era matem´atico de carrera, entend´ıa a la perfecci´ on el problema de los fundamentos; problema que, por dem´as, los matem´aticos elud´ıan debido a la ausencia de una salida argumentativa desde la teor´ıa matem´atica misma, y tambi´en dados los ´exitos alcanzados. Aunque se sab´ıa la carga metaf´ısica de algunos conceptos empleados, ello no era causal de par´alisis en los desarrollos y avances del an´alisis. 1

Ver una traducci´ on en espa˜ nol en Newman, J. Sigma. El mundo de las matem´ aticas, T. 1, pp. 214-222

8.4 En busca de los infinitesimales

259

La cr´ıtica de Berkeley apuntaba no s´olo a cuestiones de ´ındole metodol´ogico sino tambi´en de significado. Ya desde 1707 hab´ıa empezado a tejer su ataque en su peque˜ no texto Of Infinites, en el cual adopta una posici´on sem´antica radical, planteando el uso de palabras sin ideas de respaldo. Aunque en El Analista suaviza esta posici´ on, plantea serios reparos al uso de aquellos aspectos ligados a la palabra infinito, espec´ıficamente al infinito en acto. Para Berkeley, los infinitesimales y los infinitesimales de los infinitesimales carec´ıan de sentido: Esto, sin embargo, es muy com´ un con los escritores de fluxiones o del c´alculo diferencial, etc. Ellos representan, en papel, infinitesimales de diferentes ´ ordenes como si tuvieran ideas en sus mentes que correspondiesen con estas palabras o signos o como si no concluyese una contradicci´on el que hubiese una l´ınea infinitamente peque˜ na y a´ un otra infinitamente menor a ella. A m´ı me es claro que no debemos usar ning´ un signo sin una idea que le corresponda y as´ı de claro es que no tenemos idea alguna de una l´ınea infinitamente peque˜ na; a´ un m´as, es evidentemente imposible que haya cualquier cosa as´ı, pues cualquier l´ınea, por diminuta que sea, es a´ un divisible en partes menores que ella misma; por tanto, no puede haber ninguna cosa tal como una l´ınea quavis data minor o infinitamente peque˜ na.2 La contradicci´ on a la que se refiere Berkeley tiene relaci´on con el principio de Arqu´ımedes-Eudoxo, seg´ un el cual, dadas dos magnitudes A y B, donde A < B, existe un n tal que, nA > B; propiedad que no se cumplir´ıa si A fuese infinitesimal.3 En este sentido, para Berkeley hab´ıa una confusi´on, operacionalmente hablando: los matem´aticos jugaban en los dos bandos. En principio usaban los infinitesimales en los procesos, especialmente la propiedad de ser diferentes de cero (por lo tanto era l´ıcito usarlos como denominador); pero al final, cuando aparec´ıan como sumandos, simplemente los hac´ıan iguales a cero, por tener un valor despreciable. Berkeley los denominaba jocosamente: los fantasmas de las cantidades evanescentes. En cuanto a lo metodol´ ogico, Berkeley muestra que el uso de un m´etodo incorrecto lleva a un resultado verdadero. Esto se debe a que el sendero utilizado se encuentra poblado de falacias a causa del uso de los infinitesimales. Con la adopci´on de ´estos, se produce un sistema inconsistente, del cual se puede obtener cualquier cosa. El hecho de llegar a resultados espec´ıficos se debe a la compensaci´on de errores; en primer lugar se comete un error por exceso, que luego se compensa con un error por defecto en la misma proporci´on. Seg´ un Berkeley, los dos errores se compensan y se llega a un resultado correcto. 2 3

Cita tomada de ([Robles 1987], 1993, p. 28). Es claro que tampoco se cumplir´ıa si B fuese una cantidad infinitamente grande.

260

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

8.4.

El programa matem´ atico de Cauchy

La formaci´ on matem´ atica de Agustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) inici´o a muy temprana edad bajo la direcci´ on de Lagrange. De 1802 a 1804, estudi´o lenguas ´ ´ cl´asicas en la Ecole centrale du Panth´eon. En 1805, ingres´o a la Ecole polytechnique, donde tom´ o cursos dictados por Sylvestre Lacroix, Gaspard de Prony, Jean Nicolas Pierre Hachette y Andr´e-Marie Amp`ere. A partir de 1810, cuando se gradu´ o de ´ ingeniero en la Ecole des ponts et Chauss´ees, combin´o sus trabajos de ingenier´ıa con sus investigaciones matem´ aticas. La producci´ on cient´ıfica de Cauchy es de una vastedad impresionante; dej´o 789 escritos en diversas disciplinas: an´alisis, teor´ıa de permutaci´on de grupos, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y f´ısica matem´atica. La gran variedad de tem´ aticas hace dif´ıcil un estudio del conjunto de su obra. Existen s´olo estudios parciales entre los que se pueden destacar los trabajos de Hans Freudenthal, Judith Victor Grabiner, Amy Dahan-Dalm´edico e Imre Lakatos. De hecho la obra general no est´a marcada por una u ´nica directriz, sino que corresponde a una producci´on desordenada y marcada por las condiciones particulares del autor. Sin embargo, en lo que se refiere a los fundamentos del an´alisis real y complejo Cauchy estableci´o una l´ınea de desarrollos coherente. El primer paso substancial en el proceso de rigorizaci´on del an´alisis fue dado por Cauchy a trav´es del Curso de an´ alisis 4 de 1821 y las Lecciones sobre c´ alculo 5 Infinitesimal de 1823. En estos dos libros de texto, basados en sus cursos dictados ´ en la Ecole Polytechnique de Paris, Cauchy perfila un cuerpo te´orico que contiene los conceptos soporte del an´ alisis matem´atico moderno: n´ umero real, funci´on, l´ımite, n´ umeros complejos, derivada e integral. A trav´es del concepto de l´ımite, Cauchy incorpora las cantidades infinitamente peque˜ nas e infinitamente grandes, el concepto de funci´on continua y la convergencia de series. En t´erminos generales, podemos decir que el Curso de an´ alisis de Cauchy est´a dedicado al estudio de las funciones continuas, la convergencia de series, la demostraci´on de una versi´ on general de la f´ormula del binomio de Newton y la demostraci´on del teorema fundamental del ´algebra. En este cap´ıtulo nos interesa analizar el aporte de Cauchy al an´alisis real.

8.5.

De las variaciones a las funciones

Parece que fue James Gregory, quien introdujo una primera definici´on de funci´on en su libro Vera circuli et hyperbolae quadratura de 1667. Gregory define funci´on como una cantidad que se obtiene a partir de otras cantidades a trav´es de operaciones algebraicas o mediante otra operaci´on. La idea de “cualquier operaci´on” era un lujo 4 5

Del franc´es Cours d´Analyse. Del franc´es Le¸cons sur le calcul infinit´esimal.

8.5 De las variaciones a las funciones

261

te´ orico que se permit´ıa Gregory y que se constituye uno de los primeros pasos en la idea de incorporar “el paso al l´ımite” como operaci´on legitima en matem´aticas, pues aunque no hab´ıa una explicaci´on rigurosa del hecho, la cuesti´on era que las series de potencias se utilizaban a discreci´on de una manera libre. Por la misma ´epoca, Newton utiliz´ o el t´ermino “fluentes” para designar las variables dependientes del tiempo que modernamente reconocemos como funciones param´etricas. Leibniz utiliz´o expl´ıcitamente la palabra funci´on para designar cualquier cantidad que var´ıa de un punto a otro en una curva. Aqu´ı hay algo interesante: con la incorporaci´on de una palabra para designar una acci´on espec´ıfica se est´ a identificando un concepto que busca autonom´ıa y que por lo tanto merece un tratamiento especial. Obviamente, esto no es suficiente para alcanzar el estatuto de objeto matem´atico. En este sentido, lo que podr´ıamos llamar la conciencia de la emergencia de un nuevo objeto matem´atico -funci´on-, con su simbolog´ıa y significado propio aparece en Euler y m´as espec´ıficamente en Cauchy. Sin embargo, ninguno de los dos logr´o una caracterizaci´on moderna de lo que es una funci´on, porque a pesar de la incorporaci´on de una definici´on determinada y una notaci´on precisa, a´ un no se la despojado la noci´on de aspectos extramatem´aticos. Por ejemplo, las llamadas cantidades variables, que emplean en sus respectivas definiciones, guardan reminiscencias del movimiento. El paso definitivo, a la noci´on de funci´on como una relaci´ on especial arbitraria, se dar´a hacia finales del siglo XIX con la adopci´ on de la teor´ıa de conjuntos y el empleo de los cuantificadores del c´alculo de predicados. Veamos, de manera panor´ amica, las diferentes variaciones del concepto de funci´on en los siglos XVIII y XIX: En su famoso libro Introductio in analysin infinitorum (1748), Leonhard Euler escribe: Una funci´ on de una cantidad variable es una expresi´on anal´ıtica compuesta, de cualquier manera que sea, de esta misma cantidad y de n´ umeros o cantidades constantes. Una expresi´ on anal´ıtica es una f´ormula constituida a partir de las operaciones elementales de la aritm´etica, la composici´on de funciones, las series y los productos infinitos, la integraci´ on y la derivaci´on. Lagrange en su Teor´ıa de las funciones anal´ıticas de 1797, define funci´on de una o m´as variables como una expresi´on del c´alculo en la cual entran dichas cantidades de una manera cualquiera. Lacroix, en la introducci´ on de su Trait´e (1797), presenta la siguiente definici´on: Toda cantidad cuyo valor depende de una o varias otras es llamada una funci´ on de estas u ´ltimas, ya sea que uno conozca o no por medio de qu´e operaciones es necesario pasar de las u ´ltimas a la primera cantidad.

262

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

En su obra cumbre, Teor´ıa anal´ıtica del calor (1822), Fourier extendi´o el concepto de funci´on, insistiendo que las funciones no necesitaban ser representables por una expresi´on anal´ıtica: En general la funci´ on f (x) representa una sucesi´on de valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria... no suponemos que estas ordenadas est´en sujetas a una ley com´ un; se suceden una a otra de cualquier manera, sea la que fuere... Cauchy, en el Curso de an´ alisis de 1821, presenta la siguiente definici´on: Cuando las cantidades variables est´an de tal modo relacionadas entre s´ı que, dado el valor de una de ellas, es posible concluir los valores de todas las dem´ as, expresamos ordinariamente diversas cantidades por medio de una de ellas, la cual toma entonces el nombre de variable independiente, y a las otras cantidades expresadas por medio de la variable las llamamos funciones de esta variable. En el sentido de Euler, el universo de las funciones corresponder´a al universo de las expresiones anal´ıticas, estableciendo la primera clasificaci´on de funciones: trascendentes y algebraicas. Al incorporar una definici´on que escapa al concepto de expresi´on anal´ıtica, Cauchy ha ampliado el universo funcional, estableciendo una clasificaci´ on similar a la de Euler. Sin embargo, Cauchy entiende que las funciones especificadas pertenecen a un tipo especial, como lo son las funciones continuas. En este sentido, incorpora de manera impl´ıcita la primera gran clasificaci´on fundamental: funciones continuas y funciones discontinuas.6 El an´alisis de Cauchy corresponde a las funciones continuas. El problema surge con la puesta en escena de contraejemplos a su resultado seg´ un el cual una suma arbitraria convergente de funciones continuas, es continua, como las series de Fourier. Es mucho lo que se ha hablado de este resultado y su v´ınculo con la emergencia de la convergencia uniforme; esto es importante, pero nos interesa aqu´ı el hecho de que a partir de esta controversia se abre un marco de discusi´on sobre la discontinuidad. El mundo se va tornando discontinuo. Al menos as´ı lo certifican algunos fen´omenos como la conducci´ on del calor. Los matem´aticos se dan cuenta de la necesidad de investigar al respecto. ¿C´omo caracterizar estos nuevos objetos, funciones discontinuas, de las cuales se tienen muy pocas referencias?, ¿Merecen el reconocimiento de funciones propiamente dichas? El primero en responder afirmativamente a esta pregunta fue el matem´ atico alem´an Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 7 (1805-1859) . En su art´ıculo Sur la convergence des s´eries trigonom´etriques qui servent ` a repr´esenter une fonction arbitraire entre des limites donn´ees (1837), plantea 6

Tambi´en Bolzano hab´ıa establecido esta clasificaci´ on, como se documenta en [Boniface 2002]. Dirichlet naci´ o el 13 de febrero de 1805 en D¨ uren, imperio franc´es (ahora Alemania) y falleci´ o el 5 de mayo de 1859 en G¨ ottingen, Hannover (ahora Alemania). 7

8.6 El concepto de l´ımite en Cauchy

263

no ver ning´ un inconveniente en aceptar funciones que no est´en sujetas a ninguna ley anal´ıtica. Para ´el, f es una funci´on si ella hace corresponder a todo valor de x un valor bien determinado de f (x); en seguida presenta el ejemplo de la funci´on caracter´ıstica de los racionales, prototipo de estas funciones.8 En este mismo art´ıculo, Dirichlet se traz´ o la meta de establecer una definici´on de integral para funciones con un n´ umero infinito de discontinuidades en un intervalo finito. Pero s´olo dio una respuesta de parcial. Como lo detallaremos m´as adelante, fue Riemann quien extendi´ o la integraci´ on a funciones con un conjunto denso de discontinuidades. En este sentido, Riemann logra una caracterizaci´on bastante significativa de las funciones discontinuas. El desarrollo de la teor´ıa de funciones, como rama de las matem´aticas, se abri´o paso fundamentalmente en la escuela de Weierstrass en Alemania y con Ren´e Baire, ´ Emile Borel y Henri Lebesgue en Francia entre finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX.

8.6.

El concepto de l´ımite en Cauchy

Desde el punto de vista del rigor, uno de los aportes m´as importantes de Cauchy fue haber escogido las definiciones y los procesos de demostraci´on del an´alisis tratando que estuviesen libres de todo referente geom´etrico, f´ısico o metaf´ısico. El concepto de l´ımite constituye el punto de partida del programa fundamentador de Cauchy, pues sobre ´el se soportan las definiciones de convergencia, derivada e integral. Al introducir una definici´on de l´ımite que prefigura su tratamiento en t´erminos de inecuaciones. El l´ımite de Cauchy prefigura un tratamiento en t´erminos de inecuaciones desarrollado posteriormente. En este sentido, se puede afirmar que los trabajos de Cauchy proveyeron el marco necesario de la propuesta de rigorizaci´on del an´alisis por la escuela alemana de mediados del siglo XIX, liderado por el matem´atico alem´an Karl Weierstrass. Antes de Cauchy, el l´ımite siempre estuvo vinculado al c´alculo en procesos de aproximaci´ on. Al colocarlo en la base de su exposici´ on sistem´atica de la teor´ıa, se ve en la necesidad de elaborar una definici´on precisa que permita establecer sus propiedades. Sus resultados fueron expuestos, en primera instancia, en sus clases de ´ la Ecole Polytechnique, y luego publicados en su libro Curso de An´ alisis (1821), en cuyos los preliminares presenta los presupuestos te´oricos que tomar´a como base de su construcci´ on. En primer lugar establece diferencias entre n´ umero y cantidad. Definici´ on de n´ umero. Los n´ umeros corresponden a la medida absoluta de las magnitudes. 8

Sin embargo, sabemos que Dirichlet estaba equivocado, puesto que a pesar de ser ´esta una funci´ on totalmente discontinua ella es representable anal´ıticamente.

264

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

Definici´ on de cantidad. Una cantidad es un n´ umero precedido de signos. Definici´ on de cantidad variable. Una cantidad variable es aquella que recibe sucesivamente varios valores diferentes los unos de los otros. Esta definici´ on prepara la incorporaci´on del concepto de l´ımite: Definici´ on de l´ımite. Cuando los valores que va tomando sucesivamente una variable particular, se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de tal manera que acaban por diferir de ´el tan poco como queramos, entonces ´este u ´ltimo valor, recibe el nombre de l´ımite de todos los anteriores. En seguida, Cauchy entiende que debe relacionar las nociones de l´ımite e infinito. Para ello su trabajo de fundamentaci´on debe pasar por darle ciudadan´ıa matem´ atica al infinito. En este sentido, incorpora definiciones para lo infinitamente peque˜ no y lo infinitamente grande: Definici´ on de cantidades infinitas. Un infinitamente peque˜ no es una cantidad variable cuyos valores num´ericos sucesivos decrecen indefinidamente, torn´andose menores que cualquier n´ umero dado. Una cantidad es infinitamente grande si toma valores sucesivamente crecientes, torn´andose mayores que cualqueir n´ umero dado. La sucesi´ on de valores, 1 1 1 1 , , ,..., ,... 2 3 4 n es un ejemplo de cantidad infinitamente peque˜ na; igualmente es una cantidad infinitamente peque˜ na si toma los valores desde uno hasta cero. La sucesi´on 1, 2, 3, . . . , n, . . . es un ejemplo de cantidad infinitamente grande. Aqu´ı hay algo muy fino que es necesario analizar para aclarar las concepciones matem´aticas de Cauchy sobre el infinito. El lenguaje de Cauchy es un poco oscuro, se aleja y se acerca de la tradici´on eucl´ıdea de vertiente aristot´elica. Es evidente que est´a tratando de negociar una salida equilibrada que si bien est´e acorde con la l´ınea tradicional, abarque los nuevos elementos conceptuales que se mostraban indispensables en el c´ alculo, pero sin los criticados elementos metaf´ısicos a los que hac´ıa alusi´ on Berkeley. En este sentido, Cauchy constituye un puente de contacto entre la tradici´ on y la modernidad. Porque si bien localiza el epicentro del problema, a´ un navega en algunos elementos for´aneos a la matem´atica. En la definici´ on de l´ımite dada por Cauchy, la expresi´on “aproximarse indefinidamente”, a´ un guarda reminiscencias del movimiento. Actualmente hemos superado este tipo de ambivalencias, y el l´ımite se presenta dentro de una caracterizaci´on completamente autoconsistente:

8.7 Cauchy y las series infinitas

265

El l´ımite de una funci´ on f (x) cuando x → a es L, lo cual se denota por: l´ım f (x) = L,

x→a

si (∀ε > 0) (∃δ > 0) (| x − a| < δ → | f (x) − L| < ε) . Observemos que esta definici´ on esconde completamente los procesos infinitos y desemboca en una noci´ on cuya existencia se asegura en el ´algebra de inecuaciones. M´as all´ a de que en el an´ alisis de Cauchy a´ un se use el lenguaje natural en lugar de una simbolog´ıa formal como la anterior, lo importante es su concepci´on particular sobre el continuo, y por lo tanto sobre variaci´on num´erica. Por ejemplo, en la definici´ on de lo infinitamente peque˜ no presentada antes, cuando Cauchy habla de valores num´ericos que disminuyen indefinidamente, no s´ olo se est´a refiriendo 1 a variaciones discretas, como el caso de la sucesi´on { n }, sino tambi´en que se est´a refiriendo a variaciones continuas. Este es uno de los conceptos novedosos del an´alisis de Cauchy. A trav´es de esta noci´on, Cauchy logra dar los primeros pasos en la formalizaci´ on del infinito potencial aristot´elico. Despu´es de esto, Cauchy incorpora formalmente su definici´on de funci´on continua a trav´es del lenguaje algebraico y tambi´en usando el lenguaje m´as intuitivo para los infinit´esimos: Definici´ on de funci´ on continua. La funci´on f (x) es una funci´on continua de la variable x entre dos l´ımites asignados, si para cada valor de x entre esos l´ımites, el valor num´erico (absoluto) de la diferencia f (x+a)−f (x) decrece indefinidamente con a. En otras palabras, la funci´ on f (x) ser´a continua entre dos l´ımites, si un incremento infinitamente peque˜ no de la variable siempre produce un incremento infinitamente peque˜ no de la funci´ on misma. Esta definici´ on es bastante similar a la enunciada por Bolzano en su Rein analytischer Beweis, y que se utiliza sistem´aticamente en pruebas de an´alisis como la del valor intermedio o la del teorema fundamental del c´alculo, entre otras. Es conveniente indicar que aunque Cauchy no explicita la ´ındole del intervalo en el cual est´ a definida f , tratamientos posteriores dejan ver que se refiere a intervalos cerrados. Es claro que la definici´on de Cauchy es de car´acter local, a diferencia de la definici´ on moderna que es puntual. Sin embargo, esto no representa problema alguno, dado que la continuidad de una funci´on en un intervalo cerrado implica la continuidad uniforme y viceversa.

8.7.

Cauchy y las series infinitas

A finales del siglo XVIII, el estudio de las series infinitas no era ni coherente ni sistem´atico, pues aunque se hab´ıa establecido la convergencia de algunas series sencillas, no se ten´ıa una definici´on unificada de lo que era la convergencia como tal.

266

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

Las principales dificultades se planteaban, en especial, en las series de valores oscilantes y en aquellas cuyo t´ermino en´esimo tend´ıa a cero. El tratamiento de este tipo de series no era unificado y se tomaban convergentes o divergentes a conveniencia. El caso m´ as singular es el de Euler, quien en su laborioso y fecundo trabajo sobre series se ve enfrentado a paradojas, tal como los griegos se hab´ıan visto conducidos a sus paradojas debido a la imposibilidad de establecer una idea precisa sobre el continuo y el infinito. Un ejemplo m´ as claro de lo anterior tiene que ver con el uso del criterio seg´ un el cual, si / l´ım Un ̸= 0, entonces la serie ∞ n=1 Un diverge. n→∞

Aunque se supone que Euler “sab´ıa muy bien” esto, le asigna valor num´erico a series que a pesar de provenir de series de potencia conocidas, no cumplen el criterio anterior; es el caso de la serie: /∞ n+1 xn n=0 (−1) que representa la funci´ on

f (x) =

1 , para x ∈ [−1, 1]. 1+x

Euler le asigna el valor de 1 a x y llega al resultado 1 2 Lo destacado de Cauchy en su trabajo en teor´ıa de series, es haber visualizado una vez m´as el l´ımite como concepto unificador, al tomar el l´ımite de la sucesi´on de sumas parciales como referencia para determinar la convergencia. Antes de Cauchy, muchos cre´ıan, a´ un existiendo el contraejemplo de la serie arm´ onica, que una serie converg´ıa cuando el t´ermino en´esimo tend´ıa a cero. Es importante destacar que en el siglo XVIII se ten´ıa un buen c´ umulo de resultados de series particulares; concretamente, Euler desarroll´o varios m´etodos operatorios a este respecto. La contribuci´on m´ as importante de Euler a la teor´ıa de series, tiene que ver con su forma particular de tratar procesos infinitos. Euler no se plantea los problemas ontol´ogicos del infinito. Su objetivo es incorporar t´ecnicas operatorias para el c´alculo de series, sin dejarse amedrentar por el llamado “horror al infinito”, prejuicio metaf´ısico que atormentaba a los matem´aticos desde los griegos. En este sentido, Euler establece formalmente, con base en intuiciones aproximadas al concepto de las ideas fundamentales, ciertas igualdades conocidas mediante t´ecnicas del c´alculo. Por su parte, Cauchy innova totalmente el tratamiento te´orico de las series, pues toma como punto de partida, las nociones de convergencia y divergencia que aparecen en el cap´ıtulo VI del Curso de an´ alisis: 1 − 1 + 1 − 1 + ... =

8.7 Cauchy y las series infinitas

267

Una serie divergente no tiene suma. / /n /∞ Sea la serie ∞ U , y S = U su en´ e sima suma parcial. La serie n k k k=0 k=0 k=0 Uk converge a S si l´ımn→∞ Sn = S existe y es finito. La serie diverge “si mientras n crece indefinidamente, la suma no se aproxima a ning´ un valor fijo [· · · ]”. Un aspecto que no podemos pasar por alto, tiene relaci´on en los requerimientos de convergencia sin concer el l´ımite. En este sentido Cauchy incorpor´o lo que actualmente conocemos como criterio de Cauchy. Para Cauchy “es necesario y suficiente que para valores infinitamente grandes de n, las sumas Sn , Sn+1 , Sn+2 , . . . difieran del l´ımite S y por consiguiente entre estas cantidades infinitamente peque˜ nas [· · · ]”, y que l´ımn→∞ Un = 0. Modernamente se dice que una sucesi´on {an } cumple el criterio de Cauchy o simplemente que es de Cauchy, para todo ϵ > 0, existe N ∈ N, tal que si n, m ∈ N, entonces |an − am | < ϵ. Hoy sabemos que para que una sucesi´on de Cauchy converja es necesario que el espacio sea completo. Eso significa que si bien Cauchy no contaba con una construcci´on formal de su sistema num´erico, presuponia que era completo.9 En 1817, cuatro a˜ nos antes de la publicaci´on del Curso de An´ alisis, Bolzano hab´ıa enunciado este mismo criterio en su Rein Analytischer Beweis: Si una secuencia de magnitudes F1 (x), F2 (x), . . ., Fn+r (x), . . ., sujeta a la condici´ on de que la diferencia entre el en´esimo t´ermino Fn (x) y cada miembro posterior Fn+r (x), no importa que tan lejos est´e el en´esimo t´ermino de los posteriores, sea menor que cualquier magnitud dada si n es suficientemente grande, entonces existe una y u ´nicamente una magnitud determinada a la cual los miembros de la sucesi´on se aproximan y a la cual ellos pueden estar tan cercanos como se desee si la sucesi´on es continuada lo suficientemente lejos. Despu´es de los enunciados primarios, Cauchy demostraba en el Curso de an´ alisis los siguientes criterios: * n

|Un |. = = = Un+1 = b. El del cociente, con base en el l´ımite de= Un =. a. El de la ra´ız, basado en el l´ımite de

c. El del producto: si converge.

9

/∞

n=1 Un

y

/∞

n=1 Vn

convergen, entonces

/∞

n=1 (Un .Vn )

Incluso en muchos casos se toma el criterio de Cauchy como referencia para definir la complet´es de un espacio, eso se debe al hecho que en R, el axioma de complet´es es equivalente al criterio de Cauchy.

268

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

d. El criterio de la integral: si U (x)/ tiende mon´otonamente a cero al tender x a >∞ ∞ infinito, entonces 1 U (x)dx y anean=1 U (n) convergen o divergen simult´ mente. La incorporaci´ on de los criterios es algo de suma importancia en la caracterizaci´on del infinito, pues implica la adopci´on de los procesos infinitos como operaciones en cierto sentido “regulares” en el quehacer matem´atico. Ya no es necesario analizar cada caso particular sino que existe un cuerpo te´orico que se puede usar sin llegar a contradicciones en el proceso de sumas infinitas. Esto implica el abandono de muchos prejuicios filos´ oficos anteriores, pues con los criterios se adopta, operativamente, lo infinito en sumas y productos infinitos, e incluso comparando el grado de variaciones infinitas de los procesos. Adem´ as la formalizaci´on de los criterios da lugar a un rigor antes inexistente y abre las puertas hacia una axiomatizaci´on de la teor´ıa de series. Pero adem´ as de apreciar estos m´etodos para determinar la convergencia de series, es importante analizar la propuesta te´orica de Cauchy en relaci´on con la estructura moderna de n´ umeros reales. Aunque Cauchy no consigui´o una formalizaci´on acabada del campo de los reales, el manejo que hace del concepto de l´ımite implica la adopci´ on espec´ıfica de una noci´ on de continuo. Esto no fue apreciado sino mucho despu´es, cuando se evidenci´ o que en sus demostraciones hac´ıa uso impl´ıcito de muchas propiedades, especialmente del axioma de completitud de los n´ umeros reales. Adem´as, tambi´en hace uso de algunas consecuencias a las que conduce este axioma, tales como: 1. Las propiedades de las sucesiones mon´ otonas: cada sucesi´on mon´otona acotada converge a un l´ımite. Esta caracter´ıstica de las sucesiones mon´otonas implica un control de las variaciones indefinidamente crecientes, en una caracterizaci´on completa de los procesos infinitos; en otras palabras implica la adopci´on te´orica del infinito como proceso.10 2. El criterio de comparaci´ on: dada una serie de t´erminos positivos, si est´a acotada t´ermino a t´ermino por una segunda serie convergente, entonces la serie dada es tambi´en convergente. En este criterio, Cauchy establece un grado de generalidad de un proceso infinito y de alguna forma presupone el infinito actual. Los resultados de mayor controversia de Cauchy, son aquellos que ten´ıan que ver con las aplicaciones en las series de funciones, en especial en su teorema: / Cuando los diferentes t´erminos de la serie Un son funciones de la misma variable x, continuas con respecto a esta variable en las proximidades de un valor particular para el que la serie es convergente, entonces la suma S de la serie es una funci´on continua de x en las proximidades de ese valor particular. 10

Cuesti´ on que algunos denominan, metaf´ oricamente, domesticaci´ on del infinito.

8.7 Cauchy y las series infinitas

269

Este enunciado se hab´ıa supuesto verdadero en el siglo XVIII; simplemente se tomaba como un caso particular del principio de continuidad de Leibniz, seg´ un el cual “lo que es verdadero hasta el l´ımite, es verdadero en el l´ımite”. De hecho, las series de Fourier, aparecidas en 1807, muestran un contraejemplo, aunque algo camuflado, puesto que Fourier un´ıa los puntos de discontinuidad de salto por l´ıneas verticales, y si estos segmentos se interpretaban como de pendiente infinita, entonces la serie no entrar´ıa en contradicci´on con el teorema. El matem´ atico noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) en 1826, advierte, de manera expl´ıcita, el error del teorema de Cauchy a trav´es del contraejemplo de la representaci´ on en series de la funci´on: f (x) = 12 x, para x ∈ [−π, π]

y

f (x + 2π) = f (x) para otro caso.

Si x se toma en (−∞, ∞), entonces f tiene discontinuidades en ±π, ±3π, ±5π,. . ., pero puede ser representada por la serie: sen x − 12 sen 2x +

1 3

sen 3x − . . .

Al no poder identificar el problema de la demostraci´on de Cauchy, Abel llega a la conclusi´on de que las series de Fourier constituyen un caso de excepci´on. En 1847, Philipp Ludwig Ritter von Seidel (1821-1896) profundiza en la demostraci´on de Cauchy, evidenciando un problema conceptual profundo en la forma como Cauchy concibe la convergencia de series. Veamos esto en detalle, usando terminolog´ıa moderna. / Sea f (x) = fn (x), tal que fn (x) es continua para todo n. Se definen

Tomando ε > 0 se tiene que

/ Sn (x) = nm=0 fm (x) / rn (x) = ∞ M =n+1 fM (x)

• Como Sn (x) es continua, entonces existe α > o, tal que

|Sn (x + b) − Sn (x)| < ε, si |b| < α. / • Dado que ∞ n=0 fn (x) converge, existe N , tal que |rn (x)| < ε, para todo n ≥ N . / • Como ∞ n=0 fn (x + b) es convergente, existe M tal que |rn (x + b)| < ε, para todo n > M . Entonces se tiene:

|f (x + b) − f (x)| = |Sn (x + b) + rn (x + b) − Sn (x) − rn (x)|

≤ |Sn (x + b) − Sn (x)| + |rn (x)| + |rn (x + b)| ≤ 3ε, para todo b < α y todo n > N, M

270

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

Hay algunas cuestiones que se pasan por alto en la demostraci´on: ∗ En la demostraci´ on anterior α depende de ε, cuando en realidad, depende de x y de n. ∗ Para Cauchy, la escogencia de N depende solo de ε, cuando debe depender tambi´en del x escogido. ∗ Para este caso, el M debe depender de x + b, y quedar´ıa

|Sn (x + b) + rn (x + b) − Sn (x) − rn (x)| = |f (x + b) − f (x)| < 3ε, tomando n = m´ axx N (ε, x) y b < α (ε, x, n).

La cuesti´ on radica en la existencia de m´axx N (ε, x) para el ε dado; o dicho de otra forma, el problema consiste en controlar comparativamente los restos de las series. Precisamente esto queda determinado cuando la convergencia es uniforme. En este momento hist´ orico no se hab´ıan trabajado los problemas de existencia de m´ aximos, que s´ olo se vienen a tratar en la escuela de Weierstrass.

8.8.

La derivada de Cauchy

En la tercera lecci´ on de su C´ alculo Infinitesimal, Cauchy presenta la definici´on de f ′ (x), funci´ on derivada de la funci´on f ;11 definici´on que introduce atendiendo a la condici´on necesaria de continuidad. Dado que f es continua en un intervalo [cerrado], un incremento infinitamente peque˜ no atribuido a la variable produce un incremento infinitamente peque˜ no de la funci´on; de esta manera, si se toma ∆x = i, los t´erminos de la raz´ on de diferencias: f (x + i) − f (x) ∆y = , ∆x i ser´ an cantidades infinitamente peque˜ nas. Tomando el l´ımite de cada uno de ellos, se tiene que a pesar de que cada componente tiende a cero, la raz´on, tomada en su totalidad, puede converger a un l´ımite, para cada valor de x. Cauchy inmediatamente presenta el ejemplo de la funci´on f (x) = xm , donde m es un entero. El cociente diferencial anterior, para este caso concreto, quedar´a: m(m − 1) m−2 (x + i)m − xm = mxm−1 + x i + . . . + im−1 , i 1·2

y tomando el l´ımite cuando i tiende a 0, se tiene que: f ′ (x) = mxm−1 . Es importante anotar que la definici´on de Cauchy se inscribe en la direcci´on de los trabajos de Lagrange en el sentido de que, a diferencia de Newton y Leibniz, la operaci´on de derivaci´ on se realiza sobre una funci´on y su resultado es otra 11

El adjetivo “derivada” precisamente indica la procedencia.

8.9 La integral de Cauchy

271

funci´on. Recordemos que Newton y Leibniz s´olo efect´ uan la derivaci´on para ciertos valores o cantidades variables; ellos no conciben un resultado para el dominio total de variaci´on.

8.9.

La integral de Cauchy

La vig´esima primera lecci´ on del C´ alculo infinitesimal est´a dedicada a las integrales definidas; para ello utiliza el concepto de l´ımite aplicado a la sucesi´on de sumas parciales. Al igual que para la derivaci´on, la operaci´on de integraci´on se define independiente de aplicaciones a las cuadraturas, y se efect´ ua sobre el objeto funci´on. Cauchy demuestra que la continuidad es una condici´on suficiente para la existencia de la integral definida. De esta forma, Cauchy sigue en su l´ınea de reconocer propiedades a las funciones continuas. Las condiciones para la existencia de la integral de funciones discontinuas correspondi´o a Riemann posteriormente, como lo veremos m´ as adelante. Cauchy parte de una funci´ on y = f (x), continua respecto a la variable x entre los l´ımites x = x0 , x = X. Tomando la partici´on x = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = X, obtiene la sucesi´ on de diferencias, x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , X − xn−1 , y se define la suma: Sn = (x1 − x0 ) f (x0 ) + (x2 − x1 ) f (x1 ) + . . . + (xn − xn−1 ) f (xn−1 ) . De donde se tiene que Sn depende de n, f y del m´aximo de {x1 − x0 , x2 − x1 , X − xn−1 }. Cauchy se propone demostrar que para valores de n muy grandes, con el m´aximo muy peque˜ no, la forma de la divisi´on no afectar´a significativamente el valor de S. En t´erminos modernos Cauchy demuestra que la sucesi´on de sumas parciales converge. Para ello sigue el siguiente proceso: Para cualquier valor l entre x0 y X, existe θ, tal que l = x0 + θ (X − x0 ), donde 0 < θ < 1. De esta manera, para un valor determinado de θ, 0 < θ < 1, se tiene: Sn = (x1 − x0 ) f (x0 ) + (x2 − x1 ) f (x1 ) + . . . + (xn − xn−1 ) f (xn−1 ) = (X − x0 ) f [x0 + θ (X − x0 )] .

Previamente Cauchy ha demostrado el siguiente resultado, del cual es un caso particular la ecuaci´ on anterior: Sean a1 , a2 , . . ., an ; b1 , b2 , . . ., bn ; c1 , c2 , . . ., cn tres listados de n n´ umeros tales que bi > 0, ci > 0, para 1 ≤ i ≤ n, entonces, ' ( a1 a2 an a1 c1 + a2 c2 + . . . + an cn =M , ,..., , b1 c1 + b2 c2 + . . . + bn cn b1 b2 bn

272

donde,

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

'

( a1 a2 an a≤M , ,..., ≤ b, b1 b2 bn ? @ a1 a2 an , ,..., tal que, a es igual al m´ınimo del conjunto y b corresponde al b1 b2 bn m´ aximo de este mismo conjunto. En el caso particular de Sn , tomando b1 = b2 = . . . = bn = 1, ai = f (xi ) , ci = ∆xi = xi − xi−1 , quedar´ a, Sn = (X − x0 ) M (f (x0 ) , f (x1 ) , . . . , f (xn−1 ) , ∆x1 , ∆x2 , . . . ). Por el teorema del valor medio, existe h en el intervalo [x0 , X], tal que M = f (h), donde h = x0 + θ (X − x0 ). Para obtener valores m´ as finos, se toman particiones sobre cada uno de los intervalos [xi−1 , xi ], 1 < i < n, form´andose una nueva partici´on de m componentes, m > n. De esta forma, en cada uno de estos intervalos [xi−1 , xi ], la suma parcial tomar´ a el valor, (xi − xi−1 ) f [xi−1 + θi−1 (xi − xi−1 )] , y entonces la suma total Sm con respecto a la nueva partici´on quedar´a: Sm = (x1 − x0 ) f [x0 + θ0 (x1 − x0 )] + (x2 − x1 ) f [x1 + θ1 (x2 − x1 )]

+ . . . (xn − xn−1 ) f [xn−1 + θn−1 (xn − xn−1 )] .

Dada la continuidad de f se tiene: f [x0 + θ0 (x1 − x0 )] = f (x0 ) ± ε0 ,

f [x1 + θ1 (x2 − x1 )] = f (x1 ) ± ε1 ,

f [xn−1 + θn−1 (xn − xn−1 )] = f (xn−1 ) ± εn−1 , Reemplazando estos valores en la igualdad anterior se obtiene: Sm = (x1 − x0 ) [f (x0 ) ± ε0 ] + (x2 − x1 ) [f (x1 ) ± ε1 ] + . . . + (xn − xn−1 ) [f (xn−1 ) ± εn−1 ]

Sm = (x1 − x0 ) f (x0 ) ± (x1 − x0 ) ε0 + (x2 − x1 ) f (x1 ) ± (x2 − x1 ) ε1 + . . . + (xn − xn−1 ) f (xn−1 ) ± (xn − xn−1 ) εn−1

Sm = Sn ± (x1 − x0 ) ε0 + ± (x2 − x1 ) ε1 + . . . + ± (xn − xn−1 ) εn−1 Para valores peque˜ nos de x1 − x0 , x2 − x1 ,. . . , X − xn−1 , se tiene valores peque˜ nos de, ε0 , ε1 , . . . , εn−1 ,

8.9 La integral de Cauchy

273

y dado que ± (x1 − x0 ) ε0 ± (x2 − x1 ) ε1 ± (xn − xn−1 ) εn−1 = εM (X − x0 ) donde εM > 0 y ±ε es la media de los valores ±ε0 , ±ε1 , ..., ±εn−1 . De esta forma, se puede afirmar que dos sumas Sn y Sm , correspondiente a dos particiones, difieren en una cantidad arbitrariamente peque˜ na, cuando las longitudes de los intervalos [xi−1 , xi ] sean arbitrariamente peque˜ nos. Es decir, |Sn − Sm | < ε, para ε = εM /(X − x0 ). En t´erminos modernos significa que la sucesi´on de sumas parciales {Sn } converge cuando n tiende a infinito y el m´aximo del conjunto {x1 −x0 , x2 − x1 , . . . , X − xn−1 } tiende a cero. En palabras de Cauchy, el valor de la suma Sn “termina por ser sensiblemente constante”, alcanzando un l´ımite que depende u ´nicamente de f y de los valores extremos x0 y X. Este l´ımite es lo que Cauchy designa como integral definida, que se denota como: 7 X f (x) dx. x0

El teorema fundamental del c´ alculo en Cauchy Aunque ya Newton y Leibniz hab´ıan evidenciado la relaci´on inversa entre el c´alculo de tangentes y el problema de cuadraturas, es Cauchy quien primero presenta una prueba propiamente anal´ıtica de lo que hoy denominamos el teorema fundamental del c´ alculo. Su demostraci´on constituye un punto de partida en la implementaci´on de los c´ anones de rigor en la idea de fundamentar el an´alisis sobre bases conceptuales firmes. La prueba de Cauchy se basa en dos resultados previamente demostrados: el teorema del valor medio para integrales y la aditividad de la integral definida sobre intervalos. Se transcribe a continuaci´on la demostraci´on que aparece en su C´ alculo infinitesimal: >x Teorema. Si f (x) es finita y continua en el intervalo [x0 , X] y F (x) = x0 f (x) dx, entonces F ′ (x) = f (x). >x Demostraci´ on. Si en la integral definida x0 f (x) dx variamos uno de los dos l´ımites de integraci´ on, por ejemplo X, la integral en s´ı misma variar´a con esa cantidad. Y si el l´ımite X, ahora variable, es remplazado por x obtenemos como resultado una nueva funci´ on de x la cual ser´ a la que es llamada una integral tomada desde x = x0 . Sea, 7 x

F (x) =

f (x) dx

(8.1)

x0

una nueva funci´on. Del teorema de valor intermedio para integrales se tiene que, F (x) = (x − x0 ) f [x0 + θ (x − x0 )] ,

F (x0 ) = 0,

0 s como S tienden a l´ımites espec´ıficos; el primero se denomina integral por defecto f (x)dx y el segundo > on es integral por exceso f (x)dx. Cuando los dos l´ımites coinciden, entonces la funci´ integrable, como sucede con las funciones continuas. De hecho, la igualdad entre s y S, corresponde a la definici´ on de las funciones Riemann-integrables (R-integrables). Los problemas encontrados en la integral de Riemann, hacen que Lebesgue siga el mismo libreto, pero le´ıdo a la inversa. 20

[Lebesgue 1904], p. 248.

286

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

Definici´ on integral de Lebesgue. Sea una funci´on f acotada, definida en el intervalo [a, b]; m y M , tales que m ≤ f (x) ≤ M , para todo x ∈ [a, b].21 Supongamos que para todo c, d, tales que m < c < d < M , el conjunto {x : c ≤ f (x) ≤ d} es L-medible. Sea una partici´ on P del intervalo [m, M ]: P = {m = y0 , y1 , . . . , yn = M }. Se define ek = {x : yk ≤ f (x) < yk+1 }, k = 0, . . . n − 122 y se toman las sumas, dn =

n−1 )

yi m(ei ), gn =

n−1 )

yi+1 m(ei ).

i=0

i=0

Se dice que f es integrable23 si y s´olo si l´ım dn = l´ım gn . Ese l´ımite com´ un se n→∞ n→∞ designa como: 7 b f (x)dx. a

Actualmente a las funciones que cumplen la propiedad anterior se les denomina L-integrables. Lebesgue llama la atenci´on en el hecho que las sumas dn y gn no solo tienen sentido para funciones que no necesariamente son continuas, sino tambi´en para las funciones sumables. Para estas funciones, dn y gn tienen un mismo l´ımite independientemente de la forma como se realice la partici´on P , tal como lo demuestra Lebesgue. Tomando como base las definiciones anteriores se demuestra que el conjunto de puntos de discontinuidad de una funci´on f integrable tiene medida cero. Veamos esto: sean A y B dos n´ umeros arbitrarios y E es el conjunto de puntos tales que: A ≤ f (x) ≤ B. Los puntos de discontinuidad corresponden a los puntos l´ımites de E, los cuales forman un conjunto e de medida cero. Adem´as como E ∩ e es cerrado, entonces es medible; como e es medible, entonces E tambi´en es medible y f es sumable. A continuaci´ on Lebesgue generaliza su noci´on de la integral a funciones f definidas para los puntos de un conjunto E, diferente a un intervalo. Sea E ⊂ [A, B]; se define la funci´on F (x) de la siguiente manera: E f (x), si x ∈ E F (x) = 0, si x ∈ [A, B] − E. 21

m y M , el extremo inferior de f y el extremo superior de f , existen por ser f acotada sobre [a, b]. 22 Por hip´ otesis, cada ek es medible 23 Lebesgue integrable o simplemente L-integrabale

8.12 La integral de Lebesgue

287

La integral de F se calcula en la forma ya establecida. De esta manera se tiene que, > >B f (x)dx = E A F (x)dx.

El siguiente paso de Lebesgue, fue explicitar las diferencias entre su integral y la integral de Riemann. En ese sentido se propone dar ejemplos de funciones L-integrables que no son R-integrables. Aunque Lebesgue se explaya en la caracterizaci´on de funciones que cumplan esta caracter´ıstica, basta aqu´ı traer a colaci´on la funci´on caracter´ıstica de los racionales presentada por Dirichlet en la primera mitad del siglo XIX. Lebesgue prueba que su teor´ıa de la integral restauraba el teorema fundamental del c´ alculo para derivadas acotadas. para lograr este prop´osito en primer lugar presenta la definici´ on de integral indefinida de la siguiente forma: Definici´ on. Se llama integral indefinida de una funci´on f (x), que tiene integral >b definida en [a, b], a una funci´ on F (x), definida en [a, b], tal que a f (x)dx = F (b) − F (a). >x De la anterior definici´ on se puede obtener la igualdad F (x) = a f (x)dx + F (a). Lo cual significa que toda funci´ on con integral definida, admitir´a una infinidad de integrales indefinidas, las cuales se diferencian por la constante F (a). Despu´es de mostrar que F (x) es continua, el siguiente paso de Lebesgue es demostrar que toda funci´ on derivable acotada admite una integral indefinida; teorema que justamente constitu´ıa uno de los problemas de la integral de Riemann, como lo detallamos en 8.11. Lebesgue finaliza este cap´ıtulo dando un ejemplo de la integral de la derivada de una funci´ on tipo problema en el sentido de Riemann. Adem´as extiende su definici´on a funciones no acotadas, estableciendo condiciones para su integrabilidad. Las limitaciones de la integral de Lebesgue La integral de Lebesgue parec´ıa ser el punto culminate del trayecto trazado por occidente, buscando dar una respuesta formal al problema de medir y contar. Sin embargo, el mismo Lebesgue se plantea la posibilidad de la existencia de conjuntos no medibles. En su libro Le¸cons sur l’int´egration et la recherche des fonctions primitives de 1904, Lebesgue se refiere a los conjuntos no medibles de la siguiente manera: ... es solamente para estos conjuntos [L-medibles] que nosotros estudiaremos el problema de la medida. Yo no se si se pueda definir, ni siquiera s´e si existen otros conjuntos que los conjuntos medibles; si existen, s´e que lo dicho en el texto no es suficiente para afirmar o no que el problema de la medida es posible, ni que se imposible para estos conjuntos [. . . ]. En cuanto a la pregunta de la existencia de conjuntos no medibles, ella

288

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

es apenas un adelanto despu´es de la edici´on de este libro. Toda vez que esta existencia sea cierta para aquellos que admiten un cierto modo de razonamiento basado sobre lo que se llama el axioma de Zermelo [axioma de elecci´ on]. Por este razonamiento, llegamos a la siguiente conclusi´on: S´ı existen los conjuntos no medibles; m´as esta afirmaci´on no se debe considerar como contradictoria si logramos mostrar que ning´ un hombre ser´ a capaz de encontrar un conjunto no medible. 24 Con esta afirmaci´ on, Lebesgue est´a llamando la atenci´on sobre un problema central de la historia de las matem´ aticas que tiene relaci´on el problema de la ontolog´ıa de los objetos matem´ aticos ¿Cu´ ales procesos permiten constituir objetos matem´aticamente significativos? A partir de 1904, con la aparici´on de las teor´ıas axiomaticas de conjuntos, se incorporan algunos axiomas que no daban lugar a procesos constructivos. En este sentido el axioma m´as controversial es el Axioma de elecci´on (o axioma de Zermelo). Muchos matem´ aticos notaron que su aceptaci´on le abr´ıa la puerta a objetos que ignoraban los procesos constructivos. Justamente a partir del Axioma de elecci´on, el matem´ atico italiano Giuseppe Vitali demostr´o la existencia de conjuntos que no son L-medibles, denominados C ¸ onjuntos de Vitali”. A continuaci´on se presenta un ejemplo de estos conjuntos. Supongamos que todos los subconjuntos acotados de R son L-medibles, lo cual significa que existe, una funci´ on m, llamada funci´on medida, m : {Conjuntos acotados de R} → R+ 0

(8.6)

que satisfaga las siguientes condiciones 8.5, es decir: 1. Diferente de cero: m(E) ̸= 0, para alg´ un E. 2. Invariante bajo translaciones: m(E) = m(E + a). '∞ ( ∞ D / 3. Aditividad contable: m En = m(En ), con Ei ∩Ej = ∅, cuando i ̸= j n=1

Sobre R

F

n=1

[0, 1], se define la relacion de equivalencia ≈: x ≈ y si y s´olo si x − y ∈ Q.

El Axioma de elecci´ on permite definir un conjunto X ⊂ [0, 1], de representantes de cada clase de equivalencia, formadas por la relaci´on ≈. Demostremos, por reducci´ on al absurdo que X es un conjunto no L-medible. 24

[Pier 1996], p. 122.

8.12 La integral de Lebesgue

289

Supongamos que X es un conjunto L-medible. F Sea {r1 , r2 , · · · , rn , · · · } = Q [−1, 1]; se definen los conjuntos Xk = X + rk = {x + rk : x ∈ X} Observemos que para dos enteros positivos diferentes, n y m, se tiene que: G (X + rn ) (X + rm ) = ∅, F pues si existe y ∈ (X + rn ) (X + rm ), entonces existen x1 , x2 ∈ X, tales que y = x1 + rn = x2 + rm , de lo cual se sigue que x1 − x2 = rn − rm ∈ Q; esto implica que x1 ≈ x2 , sin embargo, en X s´oF lo puede haber un elemento de cada clase de equivalencia. Por lo tanto, (X + rn ) (X + rm ) = ∅. Dada la definici´ on de cada Xk , se tiene que: [0, 1] ⊂

H

n∈Z+

Xn ⊂ [−1, 2].

/ D Dado que m es aditiva contable se tiene que m( n∈Z+ Xn ) = n∈Z+ m(Xn ) y por lo tanto: 1$

)

m(Xn ) $ 3.

(8.7)

n∈Z+

Dado que m es invariante bajo translaciones, entonces m(X) = m(Xn ), para todo n ∈ Z+ . Se pueden presentar dos casos: / 1. Si m(X) = 0, se tendr´ a que n∈Z+ m(Xn ) = 0 y de acuerdo a 8.7 1 $ 0 / 2. Si m(X) > 0, se tendr´ a que n∈Z+ m(Xn ) = ∞ y de acuerdo a 8.7 ∞ $ 3

En los dos casos se tendr´ a una contradicci´on. Por lo tanto X no puede ser Lmedible. Tenemos, entonces que es imposible establecer una teor´ıa de la medida que abarque todos los subconjuntos de R. En este sentido, una teor´ıa abstracta de la medida no se podr´ıa definir a trav´es de colecciones de conjuntos, sino sobre t´erminos establecidos en la estructura de los conjuntos Lebesgue-medibles. Tal tipo de estructura constituye una σ-´ algebra. De hecho los libros modernos sobre teor´ıa de la medida no detallan la problem´ atica que hemos planteado en este cap´ıtulo, sino que se remiten a incorporarla a trav´es de definiciones sint´eticas como la que presentamos a continuaci´ on. Definici´ on. Sea S un conjunto no vacio. Una colecci´on ϕ ⊂ ℘(S) es una σ-algebra de subconjuntos de S si:

290

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

1. Ø∈ ϕ y S ∈ ϕ 2. Si X ∈ ϕ, entonces S − X ∈ ϕ Las u ´ltimas investigaciones en l´ogica y teor´ıa de conjuntos buscan la pertinencia de establecer un modelo de teor´ıa de conjuntos que permita definir una medida para todos los subconjuntos del continuo.

8.13.

Seguimiento Lectura 8

1. ¿En qu´e consiste la rigorizaci´on o fundamentaci´on del an´alisis, que se discut´ıa en el ambiente de la Europa matem´atica de principios del siglo XIX? 2. De acuerdo a los presupuestos y al desarrollo de la teor´ıa de sucesiones, ¿c´omo concibe Cauchy los n´ umeros reales? 3. Analice la definici´ on de l´ımite presentada por Cauchy y comp´arela con la definici´on moderna. 4. Analice la noci´ on de cantidad infinitamente peque˜ na establecida por Cauchy y argumente en qu´e sentido corresponde a una salida conceptual a los problemas de los infinitesimales usados por Newton y Leibniz. 5. Analice la definici´ on de funci´on continua de Cauchy, y comp´arela con la definici´on moderna. 6. El teorema del valor intermedio, enunciado por Cauchy en 1821, en su Curso de an´ alisis, es el siguiente: Sea una funci´on f continua, de variable x entre los valores x0 y X. Si f (x0 ) y f (X) tienen signos opuestos, la ecuaci´on f (x) = 0, tiene una o m´ as soluciones en el intervalo X y x0 . Demostraci´ on: Sea h0 = X − x0 , y m un n´ umero entero mayor que 1. Consideremos la siguiente sucesi´on: 3 ' (4 3 ' (4 3 ' (4 h0 2h0 mh0 f [x0 ], f x0 + , f x0 + , f x0 + = f [X]. m m m Entre los t´erminos de este listado se encuentran dos sucesivos con signos opuestos. Sean las coordenadas x1 y X1 de tales t´erminos. Se toma ahora h1 = ⌊X1 − x1 ⌋, y se forma la secuencia, ' (4 3 ' (4 3 ' (4 3 2h1 mh1 h1 , f x1 + ,f x1 + = f [X1 ]. f [x1 ], f x1 + m m m Nuevamente, existir´ an dos consecutivos x2 y X2 con signos opuestos. Procediendo de esta manera, indefinidamente, se formar´an las dos sucesiones: x0 , x1 , x2 , . . .

8.13 Seguimiento Lectura 8

291

X0 , X1 , X2 , . . . Las dos sucesiones convergen al mismo l´ımite A. ¿Por qu´e? Ahora consideremos las dos sucesiones ordenadas, f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), . . . f (X0 ), f (X1 ), f (X2 ), . . . Ambas convergen al mismo l´ımite f (A). ¿Por qu´e? I. Responda los interrogantes antes anotados y complete la prueba, justificando rigurosamente todos los pasos. II. Evidencie el problema del infinito que aparece en la prueba y explique cuales de los pasos, dados por Cauchy, no pod´ıan ser justificados con base en la teor´ıa existente en ese momento. 7. Tome como referencia el llamado “falso teorema de Cauchy” y establezca la diferencia conceptual entre la convergencia puntual y la convergencia uniforme en series de funciones. 8. Contraste la manera de presentar el teorema fundamental del c´alculo Cauchy con la presentaci´ on moderna. 9. Demuestre el siguiente teorema, el cual constituye la base para demostrar que las funciones continuas son Cauchy integrables: Sean a1 , a2 , . . ., an ; b1 , b2 , . . ., bn ; c1 , c2 , . . .,cn tres listados de n n´ umeros tales que bi > 0, ci > 0, para 1 ≤ i ≤ n, entonces, ' ( a1 a2 an a1 c1 + a2 c2 + . . . + an cn =M , ,..., , b1 c1 + b2 c2 + . . . + bn cn b1 b2 bn donde,

( an a1 a2 , ,..., ≤ b, a≤M b1 b2 bn ? @ a 1 a2 an tal que, a es igual al m´ınimo del conjunto , ,..., y b corresponde b1 b2 bn al m´ aximo de este mismo conjunto. '

10. Demuestre la equivalencia de las dos condiciones alternativas a la definici´on de integral de Riemann. 11. Demuestre que efectivamente los puntos de discontinuidad de la funci´on g (x) g (x) g (x) f (x) = g1 (x) + 2 2 + 3 2 + . . . . . . + n 2 + . . . . . . 2 3 n p son de la forma , donde p es impar y (p, q) = 1. 2q

292

La instauraci´ on del an´ alisis como rama de las matem´ aticas

12. Demuestre que todos los conjuntos Jordan medibles son Lebesgue medibles. 13. Demuestre que la relaci´ on ≈, establecida en la demostraci´on de la existencia de conjuntos no Lebesgue medibles, efectivamente es una relaci´on de equivalencia. 14. En la demostraci´ on de la existencia de conjuntos noFLebesgue medibles se utiliza la existencia de un intervalo [a, b], tal que m(A [a, b]) > 0. Demuestre que efectivamente este intervalo existe. 15. ¿Cu´ ales son las implicaciones epistemol´ogicas de la existencia de conjuntos no Lebesgue medibles?

Bibliograf´ıa Lectura 8 [Bolzano 1991] Bolzano, Bernardo: Las Paradojas del Infinito, Servicios Editoriales de la Facultad de ciencias, UNAM, M´exico, 1991. [Boniface 2002] Boniface, J. Les constructions des nombres r´eels dans le mouvement d’arithm´etisation de l’analyse, editorial Ellipses, Paris, 2002. ´ [Borel 1898] Borel, Emile: Le¸cons sur la th´eorie des fonctions. Gauthier-Villars, Paris, segunda edici´ on 1914, Primera edici´on 1898. [Boyer 1982] Boyer, Carl: Historia de la Matem´ atica. Alianza Editorial, Madrid,1987. [Cauchy 1994] Cauchy, Agustin: Curso de An´ alisis. Servicios Editoriales de la Facultad de ciencias, UNAM, M´exico, 1994. [Darboux 1875] Darboux, G. (1875) “M´emoire sur les fonctions discontinues”. An´ nales sci. Ecole Normale Sup. (2) 4, p.p.57-112. [Dugac 1978] Dugac, Pierre. Les fondements de l’analyse de Cauchy ` a Baire. Tesis de Doctorado. Universidad Pierre y Maria Curie. Paris, 1978. [Edwards 1982] Edwards, C. H. The historical development of the Calculus. SpingVerlag, New York,1982. [Grattan-Guinnes 1984] Grattan-Guinnes, Ivor. Del c´ alculo a la teor´ıa de conjuntos 1630-1910. Una introducci´ on hist´ orica. Alianza Editorial. Madrid. 1984. [Hawkins 1979] Hawkins, T. Lebesgue’s Theory of Integration: Its Origins and Development. Chelsea Publishing company. New York, 1979. [Hrbacek-Jech 1979] Hrbacek, Karel and Jech, Thomas. Introduction to set theory. Marcel Dekker, Inc. New York, 1999. [Kline 1994] Kline, Morris: El Pensamiento Matem´ atico de la Antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Universidad. Tomos I, II y III, 1994. [Lakatos 1978] Lakatos Imre: Pruebas y refutaciones. Alianza Editorial, Madrid, 1978.

294

Bibliograf´ıa Lectura 8

[Lebesgue 1902] Lebesgue, Henry. Int´egrale, Longueur, Aire. Tesis doctoral. Ann Mat, (3), Pp. 231-359, 1902. [Lebesgue 1928] Lebesgue, Henry. Le¸cons sur l’int´egration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, 1904; 2a ´edition, 1928. R´eedition : Chelsea Bronx. [Medved 1955] Medved, Fedor: Scenes from de la theorie of real functions. Birkauser Verlag, Basel-Boston- Berlin, 1991. [Natanson 1955] Natanson, I. P: Theory of functions of a real variable. Frederick Ungar Publishing Co. New York. Vol 1, 2, 1955. [Pier 1996] Pier, Jean-Paul.: Histoire de l’integration. Masson, Paris, 1996. [Recalde 2004] Recalde, Luis: La teor´ıa de funciones de Baire. La constituci´ on de lo discontinuo como objeto matem´ atico. Universidad del Valle, 2004 [Restrepo 1997] Restrepo, Guillermo: An´ alisis en Rn . Universidad del Valle, 1997. [Rey y Balbino 1951] Rey P. y Balb´ın, J: Historia de la matem´ atica. Espasa, Buenos Aires, 1951. [R´ıbnikov 1987] R´ıbnikov, Konstant´ın: Historia de las Matem´ aticas. Editorial MIR, Mosc´ u, 1987. [Robles 1987] Robles Antonio: Las ideas matem´ aticas de George Berkeley. Universidad Nacional de M´exico, UNAM, M´exico, 1993.

Es muy notable que dos hombres tan diferentes en car´ acter y perspectiva como Abel y Galois deber´ıan haber estado interesados en el mismo problema y haberlo atacado por m´etodos similares. Ambos abordaron el problema de la ecuaci´ on qu´ıntica con la convicci´ on de que era posible una soluci´ on por radicales; Abel a los dieciocho a˜ nos, Galois a los diecis´eis. De hecho, ambos pensaron por un tiempo que hab´ıan descubierto tal soluci´ on; ambos pronto se dieron cuenta de su error y atacaron el problema con nuevos m´etodos. Tob´ıas Dantzig, Number: The Language of Science (1930)

Lectura

9 El surgimiento del ´algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas 9.1.

Los nuevos paradigmas de las matem´ aticas como parte de las revoluciones del siglo XIX

El siglo XIX corresponde a un periodo de cambios sustanciales tanto en el orden pol´ıtico y econ´ omico, como en el orden cient´ıfico. Es un siglo de revoluciones sociales y epistemol´ ogicas. A nivel econ´omico se pueden identificar dos grandes revoluciones industriales; en el aspecto pol´ıtico, la revoluci´ on francesa sienta las bases de las revoluciones burguesas, las cuales apuntan al derrumbamiento del feudalismo, abri´endole las puertas al imperialismo y, por ende, a la divisi´on social del trabajo. Aunque no podemos hablar de la destrucci´on total de los sistemas mon´arquicos, se va estableciendo un sistema capitalista que produce patronos y obreros o capitalistas y proletarios. La Europa rural le va abriendo paso a una Europa urbana e industrializada, en la cual se reemplaza el taller artesanal por la f´abrica, convirtiendo al trabajador manual en obrero. En este contexto emerge la perspectiva comunista, abanderada, fundamentalmente por Karl Marx y Federico Engels. En la introducci´on de su popular Manifiesto comunista, publicada el 21 de febrero de 1848, Marx sustenta la idea de que la historia de toda sociedad se puede resumir como el compendio de la lucha de clases. Por la misma ´epoca emergen las concepciones anarquistas, abanderadas por Mija´ıl Bakunin, quien reivindica la tesis colectivista y el ate´ısmo.

296

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

Para Bakunin se debe propugnar por la liberaci´on social sin las ataduras de gobiernos o autoridades oficiales. Si bien el trabajo constituye el elemento dinamizador de las sociedades, debe hacerse con absoluta libertad. Muy a tono con la concepci´on de que la matem´ atica es una creaci´on libre del esp´ıritu, vindicada por Georg Cantor. Sin embargo, es conveniente puntualizar que los desarrollos socio-econ´omicos en el siglo XIX s´ olo fueron posibles gracias a los desarrollos cient´ıficos y tecnol´ogicos. Los artefactos industriales se originaron en un contexto donde se reivindica el trabajo de laboratorio, la experimentaci´on y la investigaci´on, como consecuencia de la creaci´on o fortalecimiento de universidades e institutos de investigaci´on, como la Royal ´ Society inglesa, la Ecole Polythecnique francesa, la Academia de Ciencias de San Peterburgo de Rusia y las universidades alemanas de Gotinga y de Halle, entre otras. En estos centros de investigaci´ on no s´olo se desarrollan unas matem´aticas pr´acticas, sino que se va gestando un cambio de perspectiva en el quehacer de los matem´aticos. En paralelo a las revoluciones sociales y tecnol´ogicas se va dando tambi´en una revoluci´on epistemol´ ogica en las matem´aticas. Empiezan a derrumbarse muchos de los preceptos matem´ aticos, establecidos desde la antig¨ uedad griega, dando cabida a unas matem´ aticas cada vez m´ as abstractas. En esta direcci´on podemos llamar la atenci´ on, entre otros, en los siguientes aspectos: 1. Uno de los principios sobre los que se basa la geometr´ıa euclidiana, cual el “todo es mayor que la parte.”

1

seg´ un la

2. El quinto postulado de la geometr´ıa euclidiana,2 seg´ un el cual, por un punto exterior a una recta s´ olo existe una y s´olo una paralela. 3. La no aceptaci´ on del infinito actual en matem´aticas. 4. La no aceptaci´ on de la composici´on del continuo por indivisibles. 5. La idea de que las operaciones entre cantidades deb´ıan ser conmutativas. Sobre la ruina de estos muros te´oricos empiezan a levantarse unas nuevas maneras de medir, contar y ordenar. Emergen nuevas disciplinas y nuevos m´etodos. Se fundamentan los n´ umeros reales y complejos, emergen los hipercomplejos, los cuaterniones y las matrices. La topolog´ıa y la teor´ıa de conjuntos empiezan a tomar forma; al igual que la l´ ogica matem´atica y el an´alisis general. En este cap´ıtulo nos ocuparemos de dos de los hitos que contribuyeron a la producci´on matem´atica del siglo XIX. Nos refererimos a la emergencia del ´algebra abstracta y las geometr´ıas no euclidianas. Estas dos disciplinas hacen parte de las revoluciones del siglo XIX. Son revoluciones epistemol´ ogicas. 1 2

Corresponde a una de las nociones comunes del libro I de los Elementos de Euclides. Planteado en el libro I de los Elementos.

9.3 De la resoluci´ on de ecuaciones al ´ algebra abstracta

9.2.

297

De la resoluci´ on de ecuaciones al ´ algebra abstracta

Como se dijo en la secci´ on 5.7, Niels Henrik Abel demuestra que es imposible encontrar una expresi´ on general para resolver, por el m´etodo de radicales, una ecuaci´on de grado mayor a cuatro, lo que desmonta una creencia compartida por todas las generaciones que le antecedieron. El problema, despu´es del hallazgo de Abel, se orienta ahora en dar respuesta a la pregunta: ¿Cu´ando una ecuaci´on es resoluble por medio de radicales? Para la ´epoca ya era claro, gracias al trabajo de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que algunas familias particulares de ecuaciones de grado mayor a cuatro eran resolubles por radicales; el inter´es de los matem´aticos se enfoca ahora en caracterizar, de manera general, las ecuaciones de quinto grado y mayores que s´ı son ´ resolubles por radicales. Este problema es resuelto finalmente por Evariste Galois (1811-1832). En el proceso de resoluci´on, Galois incorpora algunos procedimientos operativos, los cuales constituyen el germen de las nociones de grupo y cuerpo. Es importante observar que en este proceso fueron determinantes algunos desarrollos de Gauss sobre polinomios ciclot´omicos. Bajo este marco de desarrollo conceptual, empieza a emerger la noci´ on de estructura algebraica, mediante la cual se busca caracterizar diferentes conjuntos de objetos con sus operaciones que son identificables formalmente a trav´es de un peque˜ no grupo de axiomas.

9.3.

Abel y la imposibilidad de resolver la ecuaci´ on de quinto grado

Abel desarrolla su demostraci´on sobre la imposibilidad de resolver, en forma general, por medio de radicales, la ecuaci´on de un polinomio de quinto grado, en su M´emoire sur les ´equations alg´ebriques o` u on d´emontre l’impossibilit´e de la r´esolution de l’´equation g´en´erale du cinqui`eme d´egre, desarrollada en dos partes; la primera en 1824 y la segunda en 1826.3 Al inici´o de esta memoria Abel anota: “. . . espero que acojan con agrado esta memoria, la cual est´a destinada a llenar el hueco existente en la teor´ıa de ecuaciones algebraicas” (Abel, 1824, p´ag. 3). Abel. parte de la ecuaci´on, x5 − ax4 + bx3 − cx2 + dx − e = 0,

(9.1)

y supone que esta ecuaci´ on se puede resolver por medio de radicales. En primer lugar, demuestra que la soluci´ on de 9.1, tendr´a la forma: x = p + p1 R1/m + p2 R2/m + . . . + pm−1 R(m−1)/m ,

(9.2)

donde m es un n´ umero primo y R, p, p1 , p2 , . . . , pm−1 tienen la misma forma que 9.2, que se forman iniciando con funciones racionales de a, b, c, d, e y adjuntando radicales 3

La memoria fue publicada en el Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik (Revista de Matem´ aticas Puras y Aplicadas), fundado en 1826 por el matem´ atico alem´ an August Leopold Crelle (1780-1855), uno de los patrocinadores de Abel.

298

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

con exponentes primos consecutivamente. Se supone que R1/m no se puede expresar como una funci´ on racional de a, b, . . . , p, p1 , p2 , . . . , pm−1 , de lo contrario sobrar´ıa en 9.2. Haciendo las sustituciones: R por R/(p1 )m , y z = R1/m , se tiene que: x = p + z + p1 z 2 + . . . + pm−1 z m−1 .

(9.3)

Sustituyendo x en 9.1, se llega a la ecuaci´on: q + q1 z + . . . + qm−1 z 5(m−1) = 0,

(9.4)

El siguiente paso del proceso de Abel consiste en demostrar que, q = 0, q1 = 0, q2 = 0, . . . , qm−1 = 0.

(9.5)

Procediendo por reducci´ on al absurdo, se supone que q, q1 , q2 , . . . , qm−1 no son simult´ aneamente cero. De esta forma, la ecuaci´on 9.4 tiene al menos un cero en com´ un con la ecuaci´ on: z m − R = 0. (9.6) Sea k, donde k ≤ m − 1, el n´ umero de ceros en com´ un; esto significa que se puede calcular el m´ aximo com´ un divisor de los polinomios iguales a cero correspondientes a las ecuaciones 9.4 y 9.6. Este polinomio es de grado a lo sumo k y cumple la ecuaci´on: r + r1 z + r2 z 2 + . . . + rk z k = 0. (9.7) Supongamos que el polinomio p(z) = r + r1 z + r2 z 2 + . . . + rk z k se puede factorizar, obteniendo el polinomio irreducible h(z) = t0 + t1 z + . . . + tu z u , como el factor de menor grado, de tal forma que: t0 + t1 z + . . . + tu z u = 0.

(9.8)

Las ecuaciones 9.6 y 9.8 tienen exactamente u ceros en com´ un, donde u ≥ 2, pues de u no ser as´ı, h(z) = t0 + t1 z + . . . + tu z ser´ıa l´ıneal y z ser´ıa una funci´on racional de a, b, . . . , p, p1 , p2 , . . . , pm−1 . De esta forma, 9.8 tiene, al menos, dos ceros, los cuales son de la forma z y αz, α es un cero de orden m de la unidad. De esta forma se tendr´ a que: t0 + t1 z + t2 z 2 + . . . + tu−1 z u−1 + tu z u = 0, (9.9) t0 + αt1 z + α2 t2 z 2 + . . . + αu−1 tu−1 z u−1 + αu tu z u = 0.

(9.10)

Si se multiplican los t´erminos de la ecuaci´on 9.9 por αu , se obtiene la ecuaci´on: αu t0 + αu t1 z + αu t2 z 2 + . . . + αu tu−1 z u−1 + αu tu z u = 0.

(9.11)

Restando t´ermino a t´ermino las ecuaciones 9.11 y 9.10, se obtiene la ecuaci´on de grado menor a u: (αu − 1)t0 + (αu − α)t1 z + . . . + (αu − αu−1 )tu−1 z u−1 = 0,

(9.12)

9.3 Abel y la imposibilidad de resolver la ecuaci´ on de quinto grado

299

lo cual implica que, g(z) = (αu − 1)t0 + (αu − α)t1 z + . . . + (αu − αu−1 )tu−1 z u−1

(9.13)

es un polinomio de grado menor a u que divide a p(z), lo cual es una contradicci´on. De esta forma si suponemos que los t´erminos q, q1 , q2 , . . . . . . , qm−1 no son simult´aneamente cero llegamos a una contradicci´on. Eso significa que se cumple 9.5. El hecho que q = 0, q1 = 0, q2 = 0, . . . , qm−1 = 0, significa que si en 9.4 reemplazamos z por alguno de los valores αz, α2 z, . . . , αm−1 z, cada una de las nuevas ecuaciones tambi´en ser´ a igual a cero. Estas ecuaciones se obtienen al hacer la sustituci´on αi R1/m = z, 1 ≤ i ≤ m − 1, en la ecuaci´on 9.2, obteniendo un sistema m de soluciones de 9.1. x1 = p + R1/m + p2 (R1/m )2 + . . . + pm−1 (R1/m )m−1 x2 = p + αR1/m + p2 α2 (R1/m )2 + . . . + pm−1 αm−1 (R1/m )m−1 .. .

(9.14)

xm = p + αm−1 R1/m + p2 αm−2 (R1/m )2 + . . . + pm−1 α(R1/m )m−1 . Si todas las ecuaciones son diferentes, teniendo en cuenta que es una ecuaci´on polinomial de quinto grado, m ≤ 5, del sistema de ecuaciones 9.14, se pueden despejar p, p2 , . . . , pm−1 , R y R1/m , como funciones de los ceros x1 , x2 , . . . , xm . Veamos el proceso para R1/m : Se suman las ecuaciones del sistema 9.14, obteniendo: x1 + . . . + xm = mp + R1/m (1 + α + . . . + αm−1 ) + p2 R2/m (1 + α + . . . + αm−1 ) + · · ·

(9.15)

+ pm−1 R(m−1)/m (1 + α + . . . + αm−1 ). Como αm − 1 = 0, pues α es un cero de orden m de la unidad, se tiene que αm = (α − 1)(αm−1 + αm−2 + . . . + α + 1) = 0, lo cual significa que: 1 + α + . . . + αm−1 = 0.

(9.16)

Combinando 9.15 y 9.16 se obtiene: x1 + x2 + . . . + xm = mp. Por lo tanto, p=

1 (x1 + x2 + . . . + xm ). m

Para despejar R1/m , se toma la primera ecuaci´on del sistema 9.14: R1/m = x1 − (p + p2 R2/m + . . . + pm−1 R(m−1)/m .

(9.17)

300

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

Se multiplica la segunda ecuaci´ on del sistema 9.14 por αm−1 y teniendo en cuenta que αm = 1, se tiene que: αm−1 x2 = pαm−1 + R1/m + p2 αR2/m + . . . + pm−1 αm−2 R(m−1)/m , de lo cual se sigue que R1/m = αm−1 x2 − (pαm−1 + p2 αR2/m + . . . + pm−1 αm−2 R(m−1)/m) . Siguiendo el mismo proceso para las otras ecuaciones del sistema 9.14 y sumando las ecuaciones resultantes, se obtiene: mR1/m = x1 + αm−1 x2 + αm−2 x3 + . . . + αxm , de lo cual,

1 (x1 + αm−1 x2 + αm−2 x3 + . . . + αxm ), m

(9.18)

1 (x1 + αm−1 x2 + αm−2 x3 + . . . + αxm )m . m m

(9.19)

R1/m = por lo tanto R=

Siguiendo el mismo proceso se pueden obtener p2 R2/m , p3 R3/m , . . . , pm−1 R(m−1)/m como funciones racionales de x1 , x2 , . . . , xm . Se observa que la expresi´ on del lado derecho de la ecuaci´ on es un polinomio de grado m. Siguiendo el mismo proceso empleado para la ecuaci´ on 9.1 se puede escribir una expresi´on an´aloga a la expresi´on 9.2, de la siguiente manera: R = Q + V 1/n + Q2 V 2/n + . . . + Qn−1 V (n−1)/n . De acuerdo al proceso anterior, los t´erminos Q, V, V 1/n , V 2/n , . . . , Qn−1 V (n−1)/n son funciones racionales de x1 , x2 , x3 , . . . , xm , de donde concluye que todas las expresiones irracionales contenidas en la expresi´on x = P + R1/n + P2 V 2/n + . . . + Pn−1 V (n−1)/n , son funciones racionales de las ra´ıces de la ecuaci´on 9.1. Tomando como base los resultados obtenidos por Lagrange, Ruffini y Cauchy, Abel concluye la demostraci´on, utilizando un resultado de Cauchy quien descarta los valores 3 o 4 para m. Abel analiza los casos m = 2 y m = 5 en la ecuaci´on 9.18. Para el caso m = 5, se obtiene la ecuaci´on: R1/5 = 1/5(x1 + α4 x2 + α3 x3 + α2 x4 + αx5 ). Mientras R puede tomar 5 valores, el lado derecho 120 valores; lo que resulta de las permutaciones de las 5 ra´ıces x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , descartando as´ı la posibilidad que m = 5. Con un razonamiento similar se descarta el caso m = 2. De esta manera Abel concluye que es imposible resolver por radicales la ecuaci´on general de quinto grado, al igual que las ecuaciones de grado superior a cinco.

9.4 Gauss y la ecuaci´ on ciclot´ omica

9.4.

301

Gauss y la ecuaci´ on ciclot´ omica

Carl Friedrich Gauss es considerado una de las figuras m´as destacadas en la historia de las ciencias. Contribuy´o al desarrollo de la f´ısica, la astronom´ıa y las matem´aticas. Un esp´ıritu universal que aport´o significativamente en muchas ramas de las matem´aticas como la teor´ıa de n´ umeros, el an´alisis matem´atico, la geometr´ıa diferencial, la estad´ıstica y el ´ algebra. Mostr´o perspicacia matem´atica desde muy temprana edad; a los siete a˜ nos dedujo la f´ormula para calcular la suma de los t´erminos de una progresi´ on aritm´etica y a los 19 a˜ nos, dio respuesta a uno de los problemas heredados de la antig¨ uedad griega, al demostrar que era posible construir con regla y comp´ as un heptadec´agono, un pol´ıgono regular de 17 lados. En 1801 public´ o Disquisiciones aritm´eticas, 4 una de las obras m´as importantes en el desarrollo de las matem´ aticas. En Disquisiciones Gauss desarrolla el marco conceptual que permite establecer la Teor´ıa de n´ umeros como una rama emergente de las matem´aticas. El libro comprende los siguientes siete cap´ıtulos: I. N´ umeros congruentes en general II. Congruencias de primer orden III. Residuos de potencias IV. Congruencias de segundo grado V. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado VI. Aplicaciones de las nociones anteriores VII. Ecuaciones de las secciones de un c´ırculo En los cap´ıtulos I y II, Gauss introduce la noci´on de congruencia con una notaci´on propia. Dos n´ umeros a y b son congruentes, respecto al m´odulo m, si a−b es divisible por m, lo cual se denota como ao b (m´od m). En los cap´ıtulos III y IV, estudia los residuos cuadr´aticos y de potencias superiores. Presenta una demostraci´on de dos teoremas importantes: (1) El llamado Teoremita de Fermat: “si p es un n´ umero primo que no divide a a, entonces ap−1 − 1 es siempre divisible por p”, y (2) El teorema de Wilson, seg´ un el cual: “para todo n´ umero primo p, el producto 1 × 2 × . . . × (p − 1) + 1, es divisible por p. En los cap´ıtulos V y VI desarrolla la teor´ıa de las formas cuadr´aticas y sus aplicaciones. Una forma cuadr´ atica es una expresi´on de la forma ax2 + 2bxy + cy 2 , donde a, b, c, x, y son n´ umeros enteros. Tambi´en demuestra el teorema, seg´ un el cual, 4

Disquisitiones arithmeticae

302

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

“todo n´ umero entero positivo es igual a la suma de tres n´ umeros triangulares”,5 un teorema que hab´ıa vencido a Euler y Fermat. En el capitulo VII, aborda las ecuaciones ciclot´ omicas, es decir, aquellas que dan cuenta de la divisi´ on del c´ırculo en un n´ umero determinado de partes iguales; problema que guarda una relaci´ on directa con la construcci´on de pol´ıgonos regulares con regla y comp´ as. Al final, Gauss enuncia la siguiente proposici´on, cuyos pormenores desarrolla en este cap´ıtulo: “Para dividir el c´ırculo en n partes iguales se debe cumplir que n no contenga ning´ un factor primo impar que no sea de la forma 2m + 1, ni tampoco ning´ un factor primo de la forma 2m + 1, m´as de una vez. De esta forma se encuentran los 38 valores n, menores que 300: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.” El problema de construir pol´ıgonos regulares con regla y comp´as, guarda estrecha relaci´on con dos momentos hist´ oricos relevantes que hemos estudiado en las Lecturas 1, 2 y 6. En la Lectura 1, con la cuadratura del rect´angulo, en la Lectura 2 con el c´alculo de la media proporcional y en la Lectura 6 con el c´alculo de la ra´ız cuadrada de magnitudes. Gauss entiende que el proceso consiste en aplicar reiterativamente el c´alculo de la ra´ız cuadrada, lo que equivale a establecer ra´ıces en´esimas tales que n = 2m . Esta es la perspectiva que tiene en mente Gauss cuando en el cap´ıtulo VII aborda el problema de hallar las soluciones a la ecuaci´on ciclot´omica: xn − 1 = 0. Es conveniente anotar, como ya lo conoc´ıa Gauss, que los n ceros de la ecuaci´on ciclot´omica corresponden a: cos(2πk/n) + i sen(2πk/n), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

(9.20)

Este resultado se deduce de la llamada “f´ormula de De Moivre”: (cos x + i sen x)n = cos (nx) + i sen (nx) ; apelativo que recibe por haber sido el matem´atico franc´es Abraham de Moivre, quien la incorpor´ o en sus investigaciones sobre n´ umeros complejos. En la ecuaci´on 9.20, las soluciones para las cuales k ̸= 0, se llama una soluci´on primitiva.

9.5.

La teor´ıa de Galois

La posteridad reconoce a Galois como uno de los matem´aticos m´as precoces. Vivi´o r´ apido e intenso. No s´ olo se interes´o por asuntos cient´ıficos, sino tambi´en por 5

Los n´ umeros triangulares fueron definidos en la lectura 2: Un n´ umero triangular es aquel que se puede representar en un arreglo de puntos que tiene la forma de un tri´ angulo equil´ atero.

9.5 La teor´ıa de Galois

303

los problemas sociales de su entorno. Galois escapa a los c´anones estereotipados del cient´ıfico aislado y ajeno a las preocupaciones pol´ıticas. Fue un defensor de las ideas republicanas en contraposici´ on de la corriente mon´arquica de la ´epoca. Galois naci´ o en Bourg-la-Reine, ciudad francesa, el 25 de octubre de 1811 y muri´o el 31 de mayo de 1832 en Paris. Galois inici´ o su producci´ on cient´ıfica en 1829 con su art´ıculo Demostration d’un theoreme sur les fractions continues periodiques, publicado en los Annales de mathem´ atiques pures et appliques, Vol. XIX, No. 10, PP. 294-301. Al igual que con sus dem´ as art´ıculos, tambi´en pas´ o desapercibido. En este mismo a˜ no Galois produjo los primeros resultados sobre la solubilidad de ecuaciones algebraicas que env´ıo a la Academia de Ciencias de Paris. Fourier, quien ejerc´ıa el cargo de secretario de las secciones de matem´ aticas de la Academia, nombr´o como evaluador a Cauchy, pero infortunadamente los documentos se perdieron. Hacia 1830, Galois public´ o en el Bulletin de F´erussac tres art´ıculos: Analyse d’une m´emoire sur la r´esolution alg´ebrique des ´equations, Vol. XIII, abril, pp. 271272; Note sur la r´esolution des ´equations num´eriques, Vol. XIII, junio, pp. 413-414; Sur la theorie des nombres, Vol. XIII, junio, pp. 428-435. En ellos presenta algunos de los resultados con respecto a las condiciones de solubilidad de ecuaciones. A instancias de su amigo Auguste Chevalier, Galois insisti´ o con la presentaci´on de su memoria a la Academia. Nuevamente fue rechazada bajo la consideraci´on de que: “su argumentaci´ on no es suficientemente clara ni est´a lo suficientemente desarrollada para permitirnos juzgar su rigor; ni siquiera nos es posible dar una idea de esta monograf´ıa”; finalizaban diciendo: “Por lo tanto, debemos esperar, antes de emitir una opini´ on definitiva, que el autor publique una versi´on m´as completa de la obra”. Sin embargo, Galois s´olo pudo completar parte de sus desarrollos el 29 de mayo de 1832, la v´ıspera de su deceso en un duelo, mediante algunas cartas escritas a algunos de sus amigos. Si bien la noci´ on de grupo constituye una herramienta fundamental en sus desarrollos, Galois, no aisl´ o esta noci´on del entramado conceptual que va estableciendo. Sin embargo, es un hecho que Galois proporcion´o los elementos de causalidad indispensables para que la teor´ıa de grupos tenga la importancia que ha adquirido en matem´ aticas. En este sentido, desde un punto de vista moderno, la teor´ıa de Galois se basa en cinco ideas centrales: 1. Se puede asociar a toda ecuaci´on polin´omica de grado n un grupo de permutaciones, su grupo de Galois G. Las permutaciones reflejan las propiedades de simetr´ıa. 2. El grupo G contiene un subgrupo privilegiado H, tal que para cada h ∈ H, se tiene que ghg −1 ∈ H, para todo g ∈ G. El grupo formado unicamente del elemento neutro es un subgrupo distinguido en G y G mismo es un subgrupo distinguido en G.

304

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

3. La noci´ on de subgrupo distinguido maximal, consistente en un subgrupo H diferente de G tal que el orden es mayor que el de los otros subgrupos de G. De esta manera, se forma una cadena descendiente de grupos maximales: H2 , maximal de G = H0 ,H2 maximal de H1 , H3 maximal de H2 , etc. Se define el ´ındice de Hi+1 en Hi al cociente del orden de Hi+1 entre el orden de Hi , el cual, se demuestra, que es siempre un n´ umero entero. 4. La noci´ on de grupo resoluble: Un grupo posee esta caracter´ıstica si el ´ındice de cada subgrupo maximal es primo. 5. La demostraci´ on de que una ecuaci´on polin´omica se puede resolver por radicales si su grupo G es resoluble. Revisemos estos cinco aspectos directamente en la memoria de Galois de 1831 en t´erminos entendibles para alguien con formaci´on matem´atica b´asica. Empezamos, tal como lo hace Galois, tomando como referencia la ecuaci´on polinomial f (x) = 0, cuyos coeficientes son n´ umeros racionales, irracionales o s´ımbolos literales. Modernamente hablando, estos coeficientes son elementos de un cuerpo K y, entonces f (x) ∈ K[x]. Galois utiliza, de manera impl´ıcita, la noci´on de un cuerpo de extensi´on: Para αn = √ a ∈ K, se define la extensi´ on K(α) = {a + b α : a, b ∈ K}. En t´erminos generales, α puede tomarse como una funci´on racional de las ra´ıces x1 , x2 , . . . , xn ; esto es α ∈ K(x1 , x2 , . . . , xn ). Si luego de un n´ umero finito de extensiones, el cuerpo de coeficientes contiene todas las ra´ıces de f (x), se dice que f es resoluble por radicales, esto es, f es resoluble por radicales cuando existen α1 , α2 , . . . , αm , tales que, K(x1 , x2 , . . . , xn ) ⊆ K(α1 , α2 , . . . , αm ), donde αni i ∈ K(α1 , α2 , . . . , αi−1 ). A continuaci´ on Galois establece los siguientes lemas: Lema 1. Si un polinomio irreducible g(x) comparte una ra´ız con otro polinomio f (x), entonces lo divide, pues, de lo contrario no ser´ıa un polinomio irreducible. Con este lema se demuestra que el campo de extensi´on K(V ), obtenido al adjuntar el cero V del polinomio irreducible g(x), est´a completamente caracterizado en la medida que se conozcan K y polinomio g(x). Lema 2. Si g(x) = 0 no tiene ra´ıces m´ ultiples, entonces existe una funci´ on lineal V = a1 x1 + . . . + an xn , con ai ∈ K, de las ra´ıces xi de g, de tal suerte que las n! diferentes permutaciones de x1 , x2 , . . . , xn producen n! valores diferentes de V . Ahora bien, si φ es funci´ on de una funci´on racional ψ de las ra´ıces, esto es, φ(ψ(x1 , x2 , . . . , xn )), entonces las permutaciones de las ra´ıces que dejan a ψ invariante, tambi´en dejan a φ invariante. Anotemos que el resultado rec´ıproco, hab´ıa sido probado por Lagrange. En t´erminos actuales decimos que K(x1 , x2 , . . . , xn ) es

9.5 La teor´ıa de Galois

305

una extensi´ on especial, extensi´ on normal de K(φ) para todo φ ∈ K(x1 , x2 , . . . , xn ), lo que significa que K(φ) es el cuerpo fijo del grupo Gf (K(x1 , x2 , . . . , xn ), K(φ)) de automorfismos que dejan fijo K(φ). Lema 3 (Teorema del elemento primitivo). Toda ra´ız x1 es de la forma f1 ∈ K(V ), lo cual significa que K(x1 , x2 , . . . , xn ) = K(V ). En otras palabras, si V se obtiene como en el Lema 2, todos los ceros x1 , x2 , . . . , xn son expresables como funciones racionales de V . Lema 4. Si V y V ′ son ra´ıces de un mismo polinomio irreducible g(x), entonces x′i = fi (V ′ ) es tambi´en ra´ız de f . Esto se debe al hecho que al tener f (fi (x)) = 0 una ra´ız V compartida con el polinomio irreducible g(x), entonces comparte todas sus ra´ıces: V, V ′ , V ′′ , . . . . Esto le permite a Galois asociar a f un grupo determinado Gf , tal que una funci´on φ(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K(x1 , x2 , . . . , xn ) de las ra´ıces de f es funci´on de φ ∈ K de los coeficientes f , si y s´olo si es invariante bajo las permutaciones de Gf entre las ra´ıces x1 , x2 , . . . , xn (Proposiciones I. II, III). En t´erminos modernos Galois demuestra la normalidad de Gt,K ′ ⊆ Gt,K para K ⊆ K ′ ⊆ K(x1 , x2 , . . . , xn ), si K ⊆ K ′ es una extensi´ on normal. Siguiendo a Gauss, Galois supone, de manera √ impl´ıcita, que al adjuntar p α al cuerpo de f , se le han anexado las ra´ıces p-´esimas de la unidad: 1, λ, . . . λp−1 , lo cual significa que la extensi´on obtenida es la misma que se obtiene al adjuntar las ra´ıces de la ecuaci´on xp − α = 0. De esto se sigue que la extensi´ on G′ ⊆ G es normal, con p como ´ındice de G′ en G. De esta forma, si la ecuaci´ on es resoluble por radicales se obtendr´a, para el grupo Gf una cadena de reducciones normales que finalizan con la identidad: 1 = Gn ⊆ . . . ⊆ G1 ⊆ Gf donde (Gi /Gi+1 ) = pi . Esto es Gf es resoluble. Resultado que Galois no demuestra. La memoria de Galois finaliza demostrando que las ecuaciones de grado tres y cuatro son resolubles por radicales, pero no necesariamente las ecuaciones de grado mayor o igual a cinco. Describamos, con notaci´on moderna el procedimiento de Galois para las ecuaciones de grado dos, tres y cuatro. Teor´ıa de Galois aplicada a la ecuaci´ on general de segundo grado Los polinomios sim´etricos asociados a la ecuaci´on cuadr´ atica x2 + bx + c = 0 son: b = −(r1 + r2 )

c = r1 r2 ,

donde r1 , r2 son las ra´ıces de la ecuaci´on cuadr´atica.

(9.21)

306

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

Dado que la soluci´ on de la ecuaci´on cuadr´atica en consideraci´on es: √ −b ± b2 − 4c , 2 √ se tiene que el radical b2 − 4c transforma la ecuaci´on sim´etrica: b2 − 4c = (r1 + r2 )2 − 4r1 r2 = (r1 − r2 )2 , en las dos funciones no sim´etricas ±(r1 − r2 ). Se realiza el siguiente proceso iterativo: 1. Se define K0 como el conjunto de todas las expresiones que resultan de operar los coeficientes b y c de la ecuaci´on cuadr´atica mediante sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Un elemento t´ıpico de este conjunto tiene la forma f (b, c). Teniendo en cuenta las ecuaciones 9.21 todos los elementos de K0 son invariantes bajo permutaciones. 2. Se define K1 como el conjunto de todas las √ expresiones que resultan de sumar, multiplicar y dividir los elementos: b, c y b2 − 4c. Observemos que K0 ⊂ K1 . Las ra´ıces del polinomio pertenecen a K1 , pero no pertenecen a K0 . Esto significa, en t´erminos que manejaba Galois, que K1 es el campo de extensi´on de K0 . 3. Dado que cada elemento de K0 , de acuerdo a lo expuesto por Galois, se ha formado a partir de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre los coeficientes de la ecuaci´ on, se tiene que K0 es isomorfo al grupo de permutaciones entre dos elementos S2 . √ 4. Los elementos de K1 , generados a partir de K0 y b2 − 4c no corresponden a polinomios sim´etricos de las ra´ıces; por esta raz´on, Galois asocia a K1 el grupo de simetr´ıas identidad, denotado como {Id }. La cadena de descomposici´on de la ecuaci´ on cuadr´ atica corresponder´a a la figura 9.1.

K0

S2

K1

{Id }

Figura 9.1. Descomposici´on ecuaci´on cuadr´atica

9.5 La teor´ıa de Galois

307

Teor´ıa de Galois aplicada a la ecuaci´ on general de tercer grado Dada la ecuaci´ on c´ ubica: x3 + bx2 + cx + d = 0,

(9.22)

los polinomios sim´etricos asociados son: b = −(r1 + r2 + r3 ),

c = r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 , d = −r1 r2 r3 . De acuerdo a lo estudiado en la quinta lectura, una soluci´on la ecuaci´on en consideraci´ on es: t b3 b − + + , 3 3 3t donde, , * 3 3 9bc − 2b − 27d + (9bc − 2b3 − 27d)2 + 4(3c − b2 )3 , t= 2 √ que se puede escribir como t = 3 E, donde: √ 9bc − 2b3 − 27d + D E= , 2 D = (9bc − 2b3 − 27d)2 + 4(3c − b2 )3 . Reemplazando b, c y d en t´erminos de las ra´ıces se tiene que: D = −27(r1 − r2 )2 (r1 − r3 )2 (r2 − r3 )2 , E = (r1 − αr2 + α2 r3 )3 ,

√ −1 + i 3 donde α = , que corresponde a una ra´ız c´ ubica no trivial de la unidad. 2 √ Si bien D es una funci´ on sim´etrica de las ra´ıces, D, es s´olo sim´etrica para las permutaciones: ' ( r1 r2 r3 G1 = r2 r3 r1 ' ( r r r 1 2 3 G21 = r3 r1 r2 . Siguiendo el mismo proceso que para la ecuaci´on de segundo grado se tendr´a:

308

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

1. Se define K0 como el conjunto de todas las expresiones que resultan de operar los coeficientes b, c y d de la ecuaci´on c´ ubica mediante sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Un elemento t´ıpico de este conjunto tiene la forma f (b, c, d). Todos los elementos de K0 son invariantes bajo permutaciones de las ra´ıces r1 , r2 y r3 . 2. Se define K1 como el conjunto de todas las expresiones que resultan de sumar, √ multiplicar y dividir los elementos: b, c, d y D. Observemos que K0 ⊂ K1 . Este conjunto se caracteriza por tener tres permutaciones invariantes: las dos permutaciones mencionadas antes y la identidad. Esto significa que K1 se puede asociar con el grupo alternante de grado 3, denotado por A3 , formado por todas las permutaciones alternantes de S3 . 3. Se define K2 como el conjunto de todas las√expresiones que resultan de sumar, √ 3 multiplicar y dividir los elementos: b, c, D y E. Observemos que K2 no corresponde a polinomios sim´etricos de las ra´ıces. Al igual que en caso anterior, Galois lo asocia al grupo de simetr´ıas identidad {Id }. La cadena de descomposici´ on de la ecuaci´on c´ ubica corresponder´a a la figura 9.2.

K0

S3

K1

A3

K2

{Id }

Figura 9.2. Descomposici´on ecuaci´on c´ ubica Siguiendo el mismo proceso para el caso de la ecuaci´on polin´omica de grado cuarto, se forma una cadena de descomposici´on de subgrupos normales. En su memoria de 1931, Galois lo dice de manera expl´ıcita: ... cuando un grupo G contiene otro H, el grupo G se puede dividir en grupos, cada uno obtenido mediante una operaci´on de permutaciones de sustituci´ on de H, de modo que G = H + HS + HS ′ + ... y tambi´en puede ser dividida en grupos que tienen las mismas sustituciones G = H +T H +T ′H +... Estas dos clases de descomposici´on no suelen coincidir. Y si coinciden, se dice que la descomposici´on es propia. Desde un punto de vista moderno, la descomposici´on se establece cuando H corresponde a un subgrupo normal. Galois observa que esto ocurre cuando el cociente entre el cardinal del grupo, denominado orden del grupo, y el cardinal del subgrupo, corresponde a un n´ umero primo. As´ı para el caso de la ecuaci´on cuadr´atica se tiene:

9.6 La constituci´ on hist´ orica del concepto de grupo

309

o(S2 ) = 2!, o({Id })) = 1, donde “o” simboliza el orden del grupo respectivo. Al cociente entre el grupo y el subgrupo se le denomina “indice” del grupo con respecto al subgrupo. Para el caso de la ecuaci´on cuadr´atica se tiene: o(S2 ) =2 o({Id }) Para el caso de la ecuaci´ on c´ ubica se tiene: o(S3 ) = 2, o(A3 )

o(A3 ) = 3. o({Id })

Aunque aqu´ı no desarrollamos el caso de la ecuaci´on polin´ omica de grado cuarto, no es dif´ıcil demostrar que los ´ındices respectivos son n´ umeros primos. La teor´ıa de Galois para polinomios de grado mayor o igual a cinco Dada la ecuaci´ on de quinto grado: x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, al realizar un proceso similar al establecido para ls ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, en la segunda extensi´on se pierden las simetr´ıas, obteniendo la cadena: {Id } ⊂ A5 ⊂ S5 . Dado que: o(S5 ) = 5! = 120, o(A5 ) = 60 y o({Id }) = 1, se tiene que

o(S5 ) = 2, pero o(A5 )

o(A5 ) = 60, que no es un n´ umero primo, fallando la condici´on de Galois para la o({Id }) resoluci´ on de ecuaciones polin´ omicas por medio de radicales, tal como tambi´en lo hab´ıa demostrado Abel. El resultado obtenido para las ecuaciones polin´omicas de grado 5, se repite para las ecuaciones polin´ omicas de grado mayor que cinco. Este resultado obviamente no implica que no se pueda resolver por radicales todas las ecuaciones polin´omicas de grado mayor o igual a cinco; lo que se demuestra es que no existe un algoritmo para resolver por radicales todas las ecuaciones de este tipo.

9.6.

La constituci´ on hist´ orica del concepto de grupo

Aunque los trabajos de Galois no fueron acogidos por la comunidad matem´atica de su ´epoca, algunos matem´ aticos como los franceses Joseph Liouville ( 1809-1882) y Charles Hermite (1822-1901), leyeron y complementaron sus trabajos; Joseph Alfred

310

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

Serret (1819- 1885), alumno de Liouville, public´o apartes de la obra de Galois en su texto Cours d’Alg`ebre sup´erieure. Veinte a˜ nos despu´es (1852) de la muerte de Galois, Enrico Betti (1823 –1892) escribe un texto dedicado a la obra de Galois en forma detallada. En 1870, Marie E. Camille Jordan (1838-1922) publica un tratado en el cual establece el concepto de grupo como una noci´on independiente de los procesos algor´ıtmicos y presenta la teor´ıa de Galois en un formato en el cual se vislumbra el algebra moderna como rama de las matem´aticas. ´ Aunque la obra de Jordan tuvo un papel determinante en el desarrollo de la teor´ıa de grupos, su trabajo fue complementado por el matem´atico alem´an Felix Christian Klein (1849-1925) y el matem´ atico noruego Marius Sophus Lie (1842-1899) , quienes en 1871 publicaron el art´ıculo titulado Ueber diejenigen ebenen curven, welche durch ein geschlossenes system von einfach unendlich vielen vertauschbaren transformationen in sich ubergehen en la revista cient´ıfica alemana Mathematische Annalen. En este documento presentan la generalidad del concepto de grupo, no en el sentido de los grupos de permutaciones de Jordan, Cauchy y Galois, sino como grupos de transformaciones. Hacia 1872, en su conferencia de admisi´ on al cuerpo profesoral de la Universidad de Erlangen, Klein presenta el concepto de grupo de una manera general. Klein clasifica las geometr´ıas (euclidianas y no-euclidianas) como el estudio de invariantes bajo varios grupos de transformaciones, pero adem´as introduce varios grupos y sus geometr´ıas asociadas. De ello argumenta que el concepto de grupo tiene un papel unificador entre el ´ algebra y la geometr´ıa. Hacia 1873, Klein establece que los grupos deben cumplir ciertas propiedades generales como la propiedad clausurativa para la operaci´ on y la existencia del inverso para cada uno de sus elementos. La primera definici´ on abstracta de la noci´on de grupo en matem´aticas, que se conozca, fue establecida por el matem´atico brit´anico Arthur Cayley (1821-1895), en su art´ıculo de 1854, titulado Sobre la teor´ıa de grupos que dependen de la ecuaci´ on n simb´ olica ? = 1, de la siguiente manera: Un conjunto de s´ımbolos 1, α, β, . . . , todos ellos diferentes, y tal que el producto de cualesquiera dos de ellos (no importa en qu´e orden), o el producto de cualquiera de ellos consigo mismo, pertenece al conjunto, se dice ser un grupo. 6 A pesar de la influencia de Cayley, fue solo hasta finales del siglo XIX que su definici´on de grupo logra llamar la atenci´on del grueso de la comunidad matem´atica. En el siglo XX empiezan a surgir diferentes teor´ıas como la teor´ıa de anillos, teor´ıa de campos, teor´ıa de m´ odulos, entre otras. En esta ´epoca el ´algebra se desarrolla fundamentalmente por los trabajos de Emmy Noether (1882-1935), una de las mujeres m´ as destacadas en la historia de las matem´aticas. Aunque al principio se dedic´o al estudio de los idiomas, en 1903 empez´o a interesarse por las matem´aticas, cuando ingreso a la Universidad de Gotinga, donde impart´ıan cursos Blumenthal, Hilbert, 6

[D´ avila 2003], p. 75.

9.7 La constituci´ on hist´ orica del concepto de grupo

311

Klein y Minkowsky; es as´ı como Emmy Noether fue la segunda mujer en graduarse como doctora de matem´ aticas en Alemania. Se interes´o por la f´ısica, en la que es reconocida por un famoso teorema relacionado con la teor´ıa de la relatividad y en matem´aticas, logr´ o darle un enfoque axiom´atico al ´algebra, el cual fue reconocido por importantes matem´ aticos como P´avel Sergu´eyevich Aleks´androv (1896-1982), quien afirm´ o que: Fue ella quien nos ense˜ n´ o a pensar en t´erminos de conceptos algebraicos generales –homomorfismos, grupos y anillos con operadores, ideales m´as que en t´erminos de complicados c´alculos algebraicos. Ella, por tanto, nos llev´o a descubrir principios algebraicos unificadores en lugares donde previamente ´estos hab´ıan estado tapados por complicadas condiciones espec´ıficas que la matem´ atica cl´asica no reconoc´ıa como algebraicos.7 Los conceptos de anillo, ideal y m´odulo sobre un anillo ya aparecen en su escrito de 1920: Ideal theory in rings. Es importante anotar que en sus trabajos, Emmy Noether plantea un estilo de matem´aticas que consiste en aislar los objetos de las propiedades, qued´andose finalmente con las propiedades que posiblemente las cumplen objetos de distintas naturalezas; a este estilo se le denomina begriffliche mathematik (matem´atica conceptual), la cual fue desarrollada despu´es por algunos matem´aticos, dando lugar a nuevas teor´ıas como la teor´ıa de categor´ıas. Bartel Leerdert van der Waerden (1903-1996) uno de sus alumnos define el planteamiento de Noether as´ı: La m´ axima por la que se guiaba Emmy Noether a lo largo de su obra podr´ıa ser formulada como sigue: “Cualquier relaci´on entre n´ umeros, funciones y operaciones se hace transparente, generalmente aplicable y completamente productiva s´olo si ha sido aislada a partir de objetos particulares y formulada como conceptos universalmente v´ alidos.8 Hac´ıa 1930, van der Waerden public´o Modern Algebra, una obra en la que presenta las nuevas ideas del ´ algebra de forma axiom´atica. Este libro fue escrito tomando como referencia conferencias dadas por Emmy Noether y otros matem´aticos. Muchas de las concepciones de Noether fueron conocidas gracias a Modern Algebra, obra que marca una nueva etapa en el desarrollo del ´algebra. El libro inicia con los conceptos b´ asicos del ´ algebra abstracta como lo son grupos, subgrupos, isomorfismos, automorfismos, etc. y contin´ ua a trav´es de estructuras m´as complejas como anillos, cuerpos, campos, extensiones infinitas de cuerpos; en esta obra quedaron sentados los fundamentos del ´ algebra como tambi´en sus aplicaciones a la geometr´ıa, las funciones algebraicas y la topolog´ıa. 7 8

[Aleks´ androv 1982], p. 99. Tomado de [Dick 1981], p. 101.

312

9.7.

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

Las incertidumbres del quinto postulado de Euclides

Las geometr´ıas no euclidianas constituyen uno de los legados mas importantes, no solo del siglo XIX, sino de toda la historia de las matem´aticas. Su irrupci´on en ella, corresponde a otra de las revoluciones cient´ıficas del siglo XIX.

9.8.

Las demostraciones del quinto postulado

En la primera lectura se hab´ıa anotado que el quinto postulado guardaba una diferencia conceptual con respecto a los otros cuatro postulados, los cuales correspond´ıan a construcciones. El quinto postulado establece la acci´on sobre dos rectas que llevan a una conclusi´ on determinada. Su presentaci´on tiene forma de teorema. Ese fue uno de los aspectos que llev´o a los matem´aticos a pensar que se trataba de una proposici´on y no de un postulado. La versi´on cl´asica del quinto postulado, es presentada por Euclides en el libro I de sus Elementos. Quinto postulado. Si una l´ınea recta que cae sobre dos rectas hace los ´angulos adentro y contra la misma parte menores a dos rectos, las dos l´ıneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran sobre el lado en el cual los ´angulos son menores que dos ´ angulos rectos. La lista de quienes pretendieron demostrar el quinto postulado es muy larga. Entre los m´ as importantes se sit´ uan: 1. El matem´ atico griego Proclo (410-485) 2. El matem´ atico ´ arabe Ibn-al-Haytham (965-1039) 3. El matem´ atico ´ arabe Thabit ibn Qurr´a (836-901) 4. El matem´ atico ´ arabe Omar Khayyam (1050-1123) 5. El matem´ atico ingl´es John Wallis (1616-1703) 6. El matem´ atico italiano Gerolamo Saccheri (1667-1733) 7. El matem´ atico alem´ an Johann Lambert (1728-1777) 8. El matem´ atico franc´es Adrien-Marie Legrendre (1752-1833)

9.8 Las demostraciones del quinto postulado

313

Demostraci´ on de Proclo Proclo, es se˜ nalado como uno de los comentaristas m´as autorizados de los Elementos de Euclides. Considera que se le debe quitar ese rango al quinto postulado por dos razones fundamentales; la primera porque no goza de una evidencia inmediata, propia de los otros cuatro postulados debido a la posibilidad de la existencia de as´ıntotas. Dadas dos rectas puede ocurrir que ellas no se corten, pero que al prolongarse se aproximen cada vez m´as sin llegar a juntarse, como es el caso (B) de la figura siguiente.

β

β

α

α (A)

(B)

Figura 9.3. Prolongaci´on de rectas El segundo aspecto que llama la atenci´on Proclo, es que Euclides ha demostrado la proposici´ on rec´ıproca del quinto postulado en la proposici´on I.17 de los Elementos. Proposici´ on I.17. La suma de los ´angulos cualesquiera de un tri´angulo es menor que dos rectos. Al respecto escribe en el libro V de sus Comentarios: Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un teorema henchido de dificultades, que Ptolomeo se puso a resolver en un libro, y su demostraci´ on requiere varias definiciones y teoremas. M´as a´ un: la proposici´ on conversa es efectivamente demostrada por el propio Euclides como un teorema. La afirmaci´on de que puesto que cuando las rectas son prolongadas m´ as y m´as, alguna vez se cortar´an parece plausible pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este teorema, que es ajeno al car´acter especial de los postulados. Para la demostraci´ on del quinto postulado, teniendo en cuenta la figura 9.4, Proclo argumenta: dadas dos rectas paralelas m y l, tales que la recta n, diferente de la recta m y la corta en P, entonces tambi´en cortar´a a l. Proclo razona por contradicci´ on , suponiendo que no la corta, lo que quiere decir que es una as´ıntota. Sea Q el punto de intersecci´ on de la perpendicular trazada de P a l. Si n coincide con la recta PQ, entonces, trivialmente, n corta a l. Si n no coincide con la recta PQ, sea Y un punto de la recta n, el cual est´a entre las rectas m y l. A partir de Y

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El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

se traza la perpendicular XY, donde X es el corte de la perpendicular con la recta m. Si Y empieza a variar sobre la recta n, el segmento XY crece indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante, en alg´ un momento deber´a cruzar l.

P

X

m

Y n l Q

Figura 9.4. Paralelas de Proclo La demostraci´on no es correcta porque usa dos resultados ad hoc: (i) Supone que la distancia entre las paralelas m y n es constante, que es un resultado equivalente al quinto postulado. (ii) Considera que la distancia entre dos rectas no paralelas que se prolongan, va aumentando indefinidamente hasta tornarse mayor que la longitud de cualquier magnitud fija, desconociendo el hecho que una magnitud puede crecer indefinidamente, pero de forma acotada, como en el caso de las as´ıntotas. 9 Demostraciones de tradici´ on ´ arabe Los matem´ aticos ´ arabes tambi´en abordaron el problema de las paralelas. En este aspecto uno de los matem´aticos ´arabes mas destacados fue Ibn-al-Haytham (965-1039), conocido como Alhazen en Occidente. En su demostraci´on del quinto postulado, Alhazen argumenta que si un cuadril´atero tiene tres ´angulos rectos, entonces el cuarto ´ angulo tambi´en tiene que ser recto. Cometi´o el error de utilizar la equidistancia entre lineas paralelas. Otra contribuci´ on importante provino del matem´atico, astr´onomo y poeta persa Omar Khayyam (en torno a 1050-1123) a trav´es de su obra La Verdad de las Paralelas y Discusi´ on sobre la famosa duda. En la parte I de este documento: Discusi´ on sobre las dificultades de Euclides, Omar analiza un cuadril´atero ABCD, como el que aparece en la figura, en el cual AB es igual a CD y los ´angulos A y D son rectos. 9

La identificaci´ on de paralelismo y equidistancia fue algo que imper´ o durante mucho tiempo. As´ı en el siglo X, Gerberto de Aurillac (940-1003), el primer papa de origen franc´es, escrib´ıa en su Geometr´ıa que “Dos l´ıneas rectas distintas continuamente una de la otra por el mismo espacio y que cuando se prolongan indefinidamente nunca se cortan se denominan paralelas; es decir, equidistantes.”

9.8 Las demostraciones del quinto postulado

315

B

C

A

D

Figura 9.5. Cuadril´atero de Omar Khayyam Con las hip´ otesis en consideraci´on Omar prob´o que los ´angulos B y C tambi´en eran iguales. Para ello plantea si BC es mayor que AD, el ´angulo B es agudo; si BC es menor que AD, el ´ angulo B es obtuso, pero como “la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es por lo menos lo que en verdad los fil´osofos piensan”, entonces BC es igual a AD y el ´angulo B es recto. En su traducci´ on al ´ arabe de los Elementos de Euclides, el astr´onomo ´arabe Nasir Eddin (1201-1274) reconocido por sus trabajos en trigonometr´ıa, introduce una demostraci´ on del quinto postulado, suponiendo que si un cuadril´atero ABCD tiene ´ angulos rectos en A y en D, entonces el ´angulo en B es agudo si y s´olo si el angulo en C es obtuso. Para ello utiliza una proposici´on de la geometr´ıa euclidiana ´ que en la geometr´ıa absoluta es equivalente al quinto postulado. Demostraciones de tradici´ on occidental Uno de los primeros ge´ ometras occidentales en realizar una prueba del quinto postulado fue Levi ben Gershon, mejor conocido como Gers´onides o Ralbag (12881344). Para ello se bas´ o en el hecho que los ´angulos de los cuadril´ateros equil´ateros y equi´ angulos son rectos; lo cual es equivalente al quinto postulado. B

C

A

D

Figura 9.6. Cuadril´atero de Gers´onides Otra figura importante, de la larga lista de matem´aticos que intentaron demostrar el quinto postulado, fue el jesuita alem´an Christopher Clavius (1538-1612), comentarista y traductor de los Elementos de Euclides. Clavius no s´olo traduce los Elementos, sino que tambi´en los analiza y les adiciona 671 proposiciones, en la que

316

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

incluye una prueba del quinto postulado. En su proceso demostrativo comete el mismo error de sus antecesores, utilizando la propiedad de equidistancia. Vale la pena observar que el libro de Clavius ya aparece en formato impreso y fue la edici´on que utilizaron Descartes y Saccheri para aprender geometr´ıa euclidiana. Entre la larga lista de matem´aticos que intentaron demostrar el quinto postulado podemos citar a: John Wallis (1616-1703), Giordano Vitale (1633-1711), Johann Lambert (1728-1777) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Una menci´on especial merecen Gerolamo Saccheri (1667-1733) y John Playfair (1748-1819). El primero porque se considera uno de los pioneros del surgimiento de las geometr´ıa no euclidianas y el segundo porque plante´o el quinto postulado en la terminolog´ıa simple que generalmente se le conoce: “Por un punto exterior a una recta pasa una paralela y s´ olo una.” El problema de las paralelas para Playfair El matem´ atico escoc´es John Playfair (1623-1687), profesor y primer presidente de la Astronomical Institution of Edinburgh de Oxford, revis´ o los Elementos de Euclides y adicion´ o tres libros m´ as, correspondientes a la cuadratura del c´ırculo, geometr´ıa de los s´olidos y trigonometr´ıa. Su versi´on de la geometr´ıa de Euclides, que data de 1795, goz´ o de buena acogida, alcanzando varias ediciones. En su demostraci´on del quinto postulado utiliz´ o el famoso enunciado, denominado “Postulado de Playfair”: “Por un punto exterior a una recta dada pasa una u ´nica recta paralela a ella”, el cual es equivalente al quinto postulado de Euclides, como se demuestra a continuaci´ on. Supongamos que se cumple el quinto postulado y demostremos el postulado de Playfair. Para la demostraci´ on se toma como base la figura 9.7. Dada la recta L1 y el punto P , que no pertenece a la recta, por la proposici´on I.31 10 de los Elementos de Euclides se puede trazar una recta L2 , paralela a L1 . Para probar que esta recta es u ´nica, supongamos que existe otra recta L3 , que es paralela a L1 , que tambi´en pasa por P . Por P se traza una perpendicular a L2 que corta a L1 en el punto Q. Se tiene que el segmento P Q es perpendicular a L1 y a L2 . Eso significa que L2 forma un ´ angulo recto con P Q y por lo tanto P Q forma un ´angulo agudo α con L3 . Dado que el ´angulo β formado entre P Q y L2 es recto, entonces β + α es menor que dos rectos. Por el quinto postulado, las rectas L1 y L3 se cortan, lo que significa que no son paralelas. Ahora supongamos que se cumple el postulado de Playfair y demostremos el quinto postulado. En la figura 9.8 supongamos que las rectas L1 y L2 son intersectadas por al recta L, en el punto P y forman, a un mismo lado, ´angulos internos α y β que suman menos que dos rectos. Ahora se traza la recta L3 , tal que forme, con L, un angulo δ igual a α. Esto es posible por la proposici´on I.23 de los Elementos.11 10

Ejercicio Proposici´ on I.23: Construir un angulo rectil´ıneo igual a un angulo rectil´ıneo dado, sobre una recta dada y en uno de sus puntos. 11

9.9 Los precursores de las geometr´ıas no euclidianas P α β

317

L2 L3

L1 Q

Figura 9.7. Quinto postulado implica postulado de Playfair Por la proposici´ on I.27,12 la rectas L1 y L3 son paralelas. Por la unicidad de la paralela, se tiene que L1 y L2 no son paralelas. Resta mostrar que se cortan en la prolongaci´ on del lado donde los ´angulos suman menos que dos rectos. Como γ + β es igual a dos rectos y α + β es menor que dos rectos, entonces γ es mayor que α; por la proposici´ on I.16 de los Elementos, el punto de corte de L1 y L2 es por el lado donde los ´ angulos suman menos de dos rectos.13 L3

γ

δ

β

α

L2

L1

L

Figura 9.8. Postulado de Playfair implica quinto postulado A los libros de los Elementos que se ocupan espec´ıficamente de la geometr´ıa plana, Playfair agreg´ o los libros; Sobre la cuadratura del c´ırculo y la geometr´ıa de los s´ olidos, Elementos de Plano y trigonometr´ıa esf´erica. Tambi´en incluye una secci´ on de notas en forma de un ap´endice, que dio sus razones para las modificaciones introducidas a lo largo de los vol´ umenes, y un esclarecedor debate sobre el dif´ıcil tema de las l´ıneas paralelas. El hecho de que se corri´o a seis ediciones muestra la popularidad de la edici´ on de Playfair de Euclides.

9.9.

Los precursores de las geometr´ıas no euclidianas

El surgimiento de las geometr´ıas no euclidianas fue consecuencia de los desarrollos conceptuales de un colectivo de matem´aticos que si bien visualizaron una 12

Si una recta al incidir sobre dos rectas forma los a ´ngulos alternos iguales entre si, las dos rectas ser´ an paralelas entre si.” 13 En todo tri´ angulo, dos a ´ngulos juntos, tomados de cualquier manera son menores que dos rectos.

318

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

manera diferente de hacer geometr´ıa, no dieron el paso decisivo para conformar un corpus te´ orico similar al propuesto por Euclides en los Elementos. Observemos que cada una de las demostraciones presentadas antes, toma como punto de partida enunciados que son correctos en la geometr´ıa euclidiana, pero que resultan ser l´ ogicamente equivalentes al quinto postulado, haciendo naufragar las demostraciones en c´ırculos viciosos. Algunos de estos enunciados, equivalentes al quinto postulado, y utilizados en diferentes instancias son los siguientes: 1. La distancia entre rectas paralelas es constante. 2. La l´ınea equidistante a una l´ınea recta es una l´ınea recta. 3. Los ´ angulos de un cuadril´atero equil´atero y equi´angulo son rectos. 4. Dado un tri´ angulo, existen tri´angulos no congruentes y semejantes a ´el. 5. Por un punto exterior a una recta dada pasa una u ´nica paralela. 6. Por tres puntos no colineales pasa una u ´nica circunferencia. 7. La suma de los ´ angulos de un tri´angulo es dos rectos. En esta direcci´ on un punto de inflexi´on hist´orico corresponde a los desarrollos del geometra italiano Gerolamo Saccheri (1667-1733), quien plantea el problema de las paralelas por un m´etodo novedoso, estableciendo algunos resultados no euclidianos, los cuales intent´ o desechar por todos los medios, pues su idea era reivindicar la geometr´ıa de Euclides. En lugar de tratar de demostrar el quinto postulado mediante los otros cuatro postulados, Saccheri supuso que el quinto postulado no era correcto y trat´ o de llegar a una contradicci´on. En esta misma linea de desarrollo te´orico podemos inscribir fundamentalmente a Heinrich Lambert (1728-1777), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Karl Schweikart (1780-1859) y Adolph Taurinus (1794-1874). Hubo otros que tambi´en se ocuparon de la teor´ıa de las paralelas como Thibaut y Legendre, pero recayeron en los m´etodos antiguos de pseudodemostraciones y sus resultados terminaron en callejones sin salida. Gerolamo Saccheri recibi´ o formaci´on acad´emica en la orden jesuita, de la cual fue miembro desde los 23 a˜ nos. Fue profesor de filosof´ıa y teolog´ıa en los colegios jesuitas de Mil´ an y Tur´ın, y ense˜ n´o matem´aticas en la Universidad de Pav´ıa. Su pasi´ on por las matem´ aticas se gest´o en las clases de Tommaso Ceva, quien le incentiv´ o el gusto por la lectura de los Elementos. En especial le atra´ıa la profundidad conceptual del proceso deductivo desplegado por Euclides. En 1697 escribi´o L´ ogica demostrativa y en 1773, el mismo a˜ no de su fallecimiento, se public´o su obra cumbre en geometr´ıa: Euclides liberado de toda imperfecci´ on.14 14

Euclides ab omni naevo vindicatus.

9.9 Los precursores de las geometr´ıas no euclidianas

319

El procedimiento de Saccheri se basa en la construcci´on de un cuadril´atero birect´ angulo, representado en la figura 9.9, que actualmente se conoce como cuadril´ atero de Saccheri, el cual se construye mediante el siguiente proceso: 1. Se traza el segmento AB 2. Se trazan perpendiculares a AB en los puntos A y B 3. Se trazan los segmentos AD y BC, iguales a AB 4. Se unen los puntos D y C, para formar el cuadril´atero ABCD C

D

A

B

Figura 9.9. Cuadril´atero de Saccheri Saccheri demuestra en las primeras seis proposiciones de su libro, que los ´angulos C y D son iguales, faltando demostrar que son ´angulos rectos. En este punto considera tres posibilidades: 1. Los ´ angulos C y D son rectos (Hip´otesis del ´angulo recto, HAR) 2. Cada uno de los ´ angulos C y D, es mayor que un recto (Hip´otesis del ´angulo obtuso, HAO) 3. Cada uno de los ´ angulos C y D, es menor que un recto (Hip´otesis del ´angulo agudo, HAA) En las proposiciones VIII y IX, Sacchieri demuestra que la suma de los ´angulos de un tri´angulo es igual a dos rectos si se toma la HAR, mayor que dos rectos si se toma la HAO y menor que dos rectos si se toma la HAA. En las proposiciones XI, XII y XIII, supone dos rectas y una transversal que las corta, llegando a una contradicci´on en el caso del ´angulo obtuso. Desde un punto de vista moderno podemos interpretar la contradicci´on por algunos aspectos impl´ıcitos en la geometr´ıa euclidiana. Hoy sabemos que la hip´otesis del ´angulo obtuso corresponde a la geometr´ıa el´ıptica plana. El problema fundamental es que en la geometr´ıa euclidiana se supone la longitud de la recta es potencialmente infinita, como se detall´ o en la primera lectura. Cuando Saccheri considera la hip´otesis del ´angulo obtuso

320

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

sigue esta misma directriz topando con enunciados contradictorios, pues como hoy lo sabemos en la geometr´ıa el´ıptica plana las rectas son finitas. Aqu´ı ya empieza a ventilarse una idea metodol´ ogica que va delineando las investigaciones de las geometr´ıas no euclidianas y que tiene que ver con el punto de partida de lo que se denomina una geometr´ıa. De la proposici´ on XV a la XXI, Saccheri demuestra algunas propiedades geom´etricas tomando como base la hip´otesis del ´angulo agudo que le hace pensar en la posibilidad de encontrar una contradicci´on: Al fin he descubierto en la hip´otesis del ´angulo agudo una falsedad manifiesta, ya que conduce necesariamente a reconocer la existencia de dos rectas que, en el mismo punto y en el mismo plano, tienen una perpendicular com´ un. Sin embargo no pasa de ser una intuici´on basada en el deseo de reivindicar a Euclides, lo que lo lleva a finalizar la demostraci´on con un argumento muy lejano a los principios deductivos: La hip´ otesis del ´ angulo agudo es absolutamente falsa, porque repugna a la naturaleza de las l´ıneas. Sin embargo no llega a ninguna contradicci´on. Johann Heinrich Lambert fue un intelectual polifac´etico, miembro de la Academia de Berl´ın que realiz´ o numerosos aportes a las matem´ aticas y a la f´ısica. En 1766 demostr´ o la irracionalidad de π y defini´o las funciones hiperb´olicas en trigonometr´ıa. Al igual que Saccheri, en su libro Teor´ıa de las paralelas 15 de 1766, Lambert consider´o un cuadrilatero con tres ´angulos rectos y analiz´o las tres posbibiliades: HAR, HAO, HAA, para el cuarto ´angulo, llegando a una contradicci´on con la HAO, pero no as´ı con la HAA. En su intento de encontrar una contradicci´on con la HAA, Lambert pudo establecer propiedades geom´etricas importantes, entre las cuales se destaca la f´ormula A = K(π − α − β − γ), donde A es el ´area de un tri´angulo con ´angulos α, β y γ y K es una constante. Partiendo del hecho, conocido en la ´epoca, de que el ´area S, de un tri´ angulo esf´erico era S = R2 (δ + σ + λ − π), donde R es el radio de la esfera, δ, σ y λ son los ´ angulos del tri´ angulo esf´erico, Lambert reemplaz´o R por Ri se obtiene el ´area del tri´ angulo correspondiente a la HAA, cuesti´on que lo llev´o a conjeturar que la ”hip´ otesis del ´ angulo agudo se verifica en una esfera de radio imaginario.” De esta forma Lambert dio algunas pinceladas al desarrollo de las geometr´ıas no euclidianas, llegando incluso a argumentar que la geometr´ıa la HAA era la geometr´ıa del mundo f´ısico. 15

Theorie der parallellinien.

9.9 Los precursores de las geometr´ıas no euclidianas

321

Ferdinand Karl Schweikart curs´o sus estudios de derecho en la Universidad de Marburgo. Se interes´ o en el problema de las paralelas a los 16 a˜ nos por la influencia de las clases dictadas por J. K. Hauff, autor de varios at´ıculos sobre geometr´ıa. Tal como lo argumenta Schweikart, en una misiva enviada a Gauss en 1818, se pueden distinguir dos geometr´ıas: La geometr´ıa euclidiana y la geometr´ıa astral, la cual se cumpl´ıa en el espacio sideral. Para Schweikart, en la geometr´ıa astral se verificaban los siguientes aspectos: 1. La suma de los ´ angulos interiores de un tri´angulo es menor que dos rectos 2. Mientras menor es la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo, mayor es el ´ area. 3. La altura de un tri´ angulo rect´angulo e is´osceles se incrementa al incrementarse continuamente sus lados, pero sin rebasar una cierta longitud, que llam´ o la constante. Un cuadrado de la geometr´ıa astral tiene la forma de la figura siguiente:

Figura 9.10. Geometr´ıa astral Gauss reconoci´ o la profundidad conceptual de los planteamientos de Schweikart , exprese´ andole su reconocimiento y entusiasmandole para continuar sus investigaciones. Eso no fue posible, pues sus ocupaciones como profesor de Jurisprudencia en K¨ onibsgerg no le dejaban mucho tiempo libre. Sin embargo, persuadi´o a sus sobrino Adolf Taurinus para que continuar´a desarrollando la Geometr´ıa Astral. Franz Adolph Taurinus, naci´o en Bad K¨onig y por influencia de su t´ıo Schweikart estudio derecho, el cual dej´ o de lado para dedicarse por completo a la geometr´ıa.

322

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

En 1825 public´ o Teor´ıa de las paralelas16 , cuyos planteamientos complement´o en 1826 en su obra Geometr´ıa primera elemental.17 En esta obra Taurinus describe un sistema geom´etrico asumiendo la HAA, de la siguiente manera: Sea el tri´angulo ABC sobre la superficie de una esfera de radio k > 0. la longitud de los lados del tri´ angulo, que correponden a arcos de circuferencias m´aximas, se designan por a, b y c y por α, β y γ, los ´ angulo apuestos a estos lados, respectivamente. Para este tri´ angulo se cumplen las siguientes identidades: 1. Teorema de los cosenos para lados cos

b c b c a = cos cos + sen sen cos α k k k k k

(9.23)

2. Teorema de los cosenos para ´angulos cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos

a k

(9.24)

√ Reemplazando k por ki = k −1, Taurinus introduce una esfera de radio imaginario, lo cual, si bien no tiene un sentido geom´etrico, tiene un sentido algebraico que le permite obtener las siguientes identidades de la trigonometr´ıa hiperb´olica: cosh

b c b c a = cosh cosh − senh senh cos α k k k k k

(9.25)

a (9.26) k Tomando como base estas identidades Taurinus llega a los siguientes resultados en su sistema geom´etrico: cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cosh

1. La suma de los ´ angulos interiores de un tri´angulo es menor a 180o . Sin p´erdida de generalidad, suponiendo que en el tri´angulo ABC, a = b = c, se tiene que: a a a c cosh = cosh2 − senh2 senh cos α, (9.27) k k k k de lo cual se sigue que, cos α =

cosh2

a k

− cosh ak

senh2

a k

cosh ak . = cosh ka + 1

(9.28)

1 Dado que cosh ka > 1, entonces cos α > , por lo tanto α < 60o , lo que implica 2 que α + β + γ < 180o . 16 17

Theorie der Parallellinien. Geometriae prima elementa.

9.10 Or´ıgenes de las geometr´ıas no euclidianas

323

2. La medida de los lados es inversamente proporcional a la medida de sus ´angulos. Para verificar esta afirmaci´on basta sacar l´ımite cuando α tiende a cero en la ecuaci´ on 9.27: cosh ak 1 = ; l´ım a α→0 cosh + 1 2 k

(9.29)

lo cual significa que α tiende a 60o , y por lo tanto la suma de los tres ´angulos en consideraci´ on tienden a 180o . 3. Si el radio k tiende a infinito, la suma de los ´angulos internos va aumentando y tiende a 180o . Para verificalo basta observar que l´ım cosh

α→0

a 1 = ,y k 2

cosh ka 1 = . l´ım a k→∞ cosh k + 1 2

(9.30)

(9.31)

3. angulo de paralelismo Tomando como referencia 9.26 y considerando α = 0o y γ = 90o , que corresponde a un tri´ angulo con un ´angulo recto en C y con el v´ertice del ´angulo α en el infinito, es decir con los dos lados del tri´angulo asint´oticos, se tiene que: a 1 = sen β cosh , k

(9.32)

1 a = . k sen β

(9.33)

Por lo tanto, cosh

El ´angulo β es el ´ angulo de paralelismo asociado al lado a.

9.10.

Or´ıgenes de las geometr´ıas no euclidianas

Uno de lo aspectos que muestran los estudios hist´oricos tiene relaci´on con el caracter social de la producci´ on de los resultados matem´aticos. Las nociones y conceptos no surgen de manera expont´anea en la mente de los matem´aticos; ellos son un producto colectivo que conjuga el acumulado y las ideas particulares validadas socialmente. Este movimiento socioepistemol´ogico se nota muy bien en la emergencia de las geometr´ıas no euclidianas. Si identificamos el origen de las geometrias no

324

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

euclidianas con el reconocimiento de la existencia de geometr´ıas diferentes a la geometr´ıa de Euclides podemos se˜ nalar a Lambert y a Taurinus. Si ubicamos ese origen en la discusi´ on del sistema de postulados de Euclides, en especial en lo concerniente al quinto postulado, debe se˜ nalarse a Saccheri y a sus antecesores, quienes intentaron encontrar un postulado sustituto. Sin embargo, hist´oricamente se considera que son dos, los aspectos m´ as relevantes en el proceso de emergencia de las geometr´ıas no euclidianas: el delineamiento de un corpus te´orico que tuviera como punto de partida la independencia del quinto postulado y el hecho de que las geometr´ıas no euclidianas pueden ser usadas como referencia para describir el espacio f´ısico. En este sentido se considera que los iniciadores de las geometr´ıas no euclidianas fueron el h´ ungaro Janos Bolyai (1802-1860), el ruso Nikolai Lobachevski (1793-1856) y el alem´an Carl Gauss (1777-1855). En diferentes contextos estos tres matem´aticos introdujeron el marco te´ orico de la llamada Geometr´ıa hiperb´olica. Las primeras publicaciones en relaci´on con las geometr´ıas no euclidianas se deben a Bolyai y Lobachevski. Gauss se resisti´o a publicar en vida por temor a que sus contemporaneos consideraran la teor´ıa de las paralelas como divagaciones pueriles. Si bien reconoci´o la importancia de los desarrollos no euclidianos y dio a conocer sus propias investigaciones a traves de cartas privadas, nunca quzo publicar por ”temor al grito de los beocios”, como consta en carta enviada a Bessel en 1829.

9.11.

La geometr´ıa de Bolyai

Janos Bolyai, naci´ o el 15 de diciembre de 1802 en Kolozsv´ar, actual Cluj-Napoca, Ruman´ıa y falleci´ o el 27 de enero de 1860 en Tˆargu Mure, Ruman´ıa. Considerado h´ ungaro, pues por esa ´epoca, Kolozsv´ar formaba parte del Imperio Austro-H´ ungaro. Hijo de Farkas Bolyai, un maestro de toda la vida, que hab´ıa hecho amistad con Gauss, cuando adelantaba sus estudios en Gotinga. Al regresar de Gotinga, Farkas obtuvo en Tˆargu Mure una plaza de profesor de Matem´ aticas, F´ısica y Qu´ımica en el Colegio Calvinista de Maros-Vasarhely. Era un docente preocupado por la formaci´on de sus alumnos, lo cual lo llev´o a publicar la obra, redactada en lat´ın: Intento de introducir a la juventud estudiosa en los elementos de la matem´ atica pura, dedicado a los alumnos de las clases superiores del colegio. Una obra elogiada por Gauss, consistente en una recopilaci´on de la matem´ atica de su tiempo. Farkas combinaba sus labores docentes en el Colegio, con sus investigaciones sobre los fundamentos de la geometr´ıa y con la formaci´on de su hijo Janos. Janos Bolyai ingres´ o a la educaci´on tradicional a los nueve a˜ nos. De acuerdo a cartas que su padre dirig´ıa a Gauss, a la edad de 13 a˜ nos ya ten´ıa conocimientos de c´alculo y de mec´ anica anal´ıtica y hablaba trece idiomas. A los 16 a˜ nos ingres´o en la Imperial y Real Academia de Ingenieros Militares de Viena. La vida militar no le impidi´ o obsesionarse por el problema de las paralelas, al extremo que su padre, quien

9.11 La geometr´ıa de Bolyai

325

hab´ıa fracasado en el empe˜ no de resolver el problema de las paralelas le recomend´o: No debes intentar ese camino hacia las paralelas, yo lo conozco hasta su final. He atravesado esa noche sin fondo que extingui´o toda la luz y toda la alegr´ıa de mi vida. ¡Por Dios! Te suplico que abandones las paralelas, aborr´ecelas como si fuera una pasi´on indecente, te pueden privar (como me ha ocurrido a m´ı) de tu tiempo, de tu salud, de la tranquilidad de esp´ıritu y de la felicidad de tu vida... Janos, hizo caso omiso de las recomendaciones de sus padre y finalmente lleg´o a la conclusi´ on de que el quinto postulado de Euclides es independiente de los otros postulados. Ello le permiti´ o idear diferentes geometr´ıas construidas a partir de la negaci´on de este postulado. En [Bonola 1955], se plantea que la idea de sustituir el postulado de las paralelas de Euclides por el enunciado: “Por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas”, se le ocurrio de las largas pl´aticas que sostuvo con su amigo K´ aroly Sz´ asz (1798-1853), durante su estancia en Viena. Al respecto le escribe a su padra: ¡Mi querido y buen padre! Tengo tanto que escribirle acerca de mis nuevos hallazgos que, por el momento, no puedo discutirlos aqu´ı en profundidad, as´ı que se los voy a escribir en una cuartilla aparte...Estoy decidido a publicar ahora una obra sobre la teor´ıa de las paralelas, apenas haya ordenado la materia y las circunstancias me lo permitan. Por el momento no he encontrado a´ un el camino definitivo, pero he descubierto cosas tan hermosas que yo mismo me he quedado sorprendido de ellas...Ahora no puedo a˜ nadiros nada m´as; solo esto: he creado un mundo nuevo y diferente a partir de la nada... Estoy tan persuadido de que esto me dar´ a gloria, como si eso ya hubiera sucedido. Hoy sabemos que Janos Bolyai se refer´ıa a la geometr´ıa hiperb´olica. Sin embargo su padre s´ olo mostr´ o el inter´es esperado por el hijo en 1831, proponi´endole publicar sus resultados como ap´endice a su libro Intento de introducir a la juventud estudiosa en los elementos de la matem´ atica pura, dedicado a los alumnos de las clases superiores del colegio, bajo el nombre de La ciencia absoluta del espacio independiente de la verdad o falsedad del axioma XI de Euclides (que nunca se podr´ a establecer apriori); seguido de la cuadratura geom´etrica del c´ırculo, en caso de la falsedad del axioma IX. Farkas Bolyai busc´ o la opini´on de Gauss sobre los desarrollos de Janos. Si bien Gauss alababa el manuscrito, llamba la atnci´on sobre sus propios trabajos: Respecto al trabajo de tu hijo comienzo por decirte, aunque te sorprender´ as por un momento, que si yo lo alabara, ello comportar´ıa alabarme a m´ı mismo, porque el contenido completo del trabajo, el camino

326

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

seguido por tu hijo y las conclusiones a las que llega, coinciden casi exactamente con mis propias ideas, que han ocupado mi pensamiento durante los pasados treinta o treinta y cinco a˜ nos. Esto me ha dejado, en efecto, estupefacto. Considero a este joven ge´ometra Bolyai como un genio de primera clase. Tan s´ olo en 1848 Janos Bolyai se dio cuenta que Lobachevski hab´ıa llegado a resultados similares a los suyos. Lobachevski se le hab´ıa adelantado en tres a˜ nos, publicando sus reaultados en 1829. Sin embargo, los historiadres de las matem´aticas est´an de acuerdo en que los dos desarrollaron la geometr´ıa hiperb´olica de manera independiente y por esta raz´ on se le conoce como geometr´ıa de Bolyai-Lobachevski. La persistente falta de reconocimiento p´ ublico hizo que Janos Bolyai abandonara sus investigaciones matem´ aticas, falleciendo el 27 de enero de 1860 en Marosv´ as´ arhely, Hungr´ıa. Curiosamente, a pesar de que Janos s´olo public´o las 24 p´aginas del apendice al libro de su padre, dej´o m´as de 20.000 p´aginas de manuscritos matem´aticos.

9.12.

La geometr´ıa de Lobachevski

Nikolai Ivanovich Lobachevski, naci´o en Nizhni N´ovgorod, Rusia el 1 de diciembre de el a˜ no 1792. Fue un estudiante precoz, que con solo 14 a˜ nos ingresa en la Universidad de Kaz´ an. Catedr´ atico de esta universidad desde 1816 y rector en 1827. Seg´ un consta en algunas de sus notas, entre 1815 y 1816 estuvo tratando de demostrar el quinto postulado de Euclides y se sabe que hasta 1825 a´ un segu´ıa convencido en la posibilidad de una demostraci´ on. Lobachevski dio a conocer su propuesta de una nueva geometr´ıa el 23 de febrero de 1826, en una conferencia dictada en el departamento de ciencias f´ısico-matem´aticas de la Universidad de Kaz´ an. Sus primeros escritos sobre una geometr´ıa no euclidiana, la cual denomin´ o Geometr´ıa imaginaria, fueron: Sobre los fundamentos de la geometr´ıa (1929-1830), Nuevos fundamentos de la geometr´ıa con una teor´ıa completa de las paralelas (1835-1837), publicados en la revista Bolet´ın de Kasan. En 1840 public´o Investigaciones geom´etricas sobre teor´ıa de las paralelas. Este libro fue publicado en alem´an, pues se quejaba del poco inter´es que sus coetaneos mostraba por sus ideas. En 1855, ya ciego, public´o su obra Pangeometr´ıa, en la cual desarrollaba una versi´ on mejorada de su geometr´ıa. Sobre los fundamentos de la geometr´ıa, publicada en el Mensajero de Kaz´ an en 1829, contituye el primer art´ıculo de Lobachevski de su geometr´ıa, luego complementado con otros art´ıculos del mismo a˜ no y de 1830. Consta de tres partes: en la primera parte estudia la geometr´ıa absoluta; esto es, una geometr´ıa que se constituye a partir de los cuatro primeros postulados de la geometr´ıa euclidiana. En la seguna parte desarrolla su propuesta geom´etrica, estudiando con detalle el ´angulo

9.12 La geometr´ıa de Lobachevski

327

de paralelimo. En la tercera parte establece resultados concernientes a longitudes, ´areas y vol´ umenes. En Nuevos fundamentos de la geometr´ıa con una teor´ıa completa de las paralelas Lobachevski plantea: La b´ usqueda de una prueba del quinto postulado, desde tiempos de Euclides y por espacio de casi 2000 a˜ nos, generaron en m´ı, no solo la sospecha de que era verdadero sino tambi´en el deseo de querer demostrarlo; para lograrlo, la ayuda de los datos de la experiencia, por ejemplo, de la observaci´ on astron´ omica como delas leyes de la naturalezaser´ıan necesarios. Cuando estuve finalmente convencido del alcance de mi conjetura y que llegar´ıa a resolver esta dificultad de forma definitiva, escrib´ı mis argumentos en 1826 en una Memoria. Investigaciones geom´etricas sobre teor´ıa de las paralelas es un folleto de 60 p´aginas, en cuya introducci´ on Lobachevski escribe: Acariciando la esperanza de haber satisfecho todas las exigencias me he dedicado a perfeccionar esta ciencia en su conjunto y he publicado mis resultados por partes, en las memor´ıas de la Universidad de Kaz´an de 1836, 1837 y 1838, bajo el t´ıtulo general de ”Nuevos elementos de la geometr´ıa con una teor´ıa completa de las paralelas”. Consta de 37 proposiciones: ⋆ Las primeras 15 proposiciones, pertenecientes a la geometr´ıa absoluta, aparecen sin demostraci´ on. ⋆ En la proposici´ on 16 Lobachevski introduce la noci´on de paralelismo. ⋆ En la proposici´ on 17 demuestra que toda l´ınea recta conserva el car´acter de paralelismo en todos sus puntos. ⋆ En la proposici´ on 18 demuestra que dos l´ıneas rectas son siempre rec´ıprocamente paralelas. ⋆ En las proposiciones 19 y 20 establece la suma de los ´angulos internos de un tri´ angulo. ⋆ En las proposiciones 21 a 24 estudia las propiedades del ´angulo de paralelismo. ⋆ En las proposiciones 25 a 28 analiza la geometr´ıa del espacio. ⋆ En las proposiciones 29 a 31 estudia la curva l´ımite (horociclo). Curva, en un plano, tal que todas las perpendiculares trazadas sobre los puntos medios de las cuerdas, son paralelas entre s´ı. A una cualquiera de esas paralelas se le llama eje de la curva-l´ımite.

328

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

⋆ En la proposici´ on 34 define la superficie l´ımite (horesfera). Esfera engendrada por la revoluci´ on de la curva l´ımite alrededor de uno de sus ejes. ⋆ En la proposici´ on 35 obtiene una serie de relaciones trigonom´etricas. ⋆ En la proposici´ on 36 obtiene el ´angulo de paralelismo. ⋆ En la proposici´ on 37 presenta una serie de relaciones trigonom´etricas. Finaliza esta proposici´ on planteando que la geometr´ıa euclidiana es un caso particular de la geometr´ıa imaginaria. Revisemos algunas proposiciones: Proposici´ on 2: Dos l´ıneas rectas no pueden cortarse en dos puntos. Proposici´ on 4: Dos l´ıneas rectas perpendiculares a una tercera, y situadas las tres en un mismo plano, no pueden cortarse por mas que las prolonguemos. Proposici´ on 7: Dos l´ıneas rectas no pueden cortarse, cuando ellas son cortadas por una tercera l´ınea recta bajo ´ angulos iguales. Proposici´ on 12: La intersecci´ on de una esfera con un plano es una circunferencia. Proposici´ on 14: En un tri´ angulo esf´erico, a los lados iguales se oponen´angulos iguales y rec´ıprocamente. Para Lobachevski una l´ınea recta es aquella l´ınea que ”descansa sobre s´ı misma en todas sus posiciones.”Se refiere a una l´ınea que pertenece a una superficie de revoluci´ on. En estas condiciones dos l´ıneas rectas se intersectan a lo m´as en un punto y se pueden extender en ambas direcciones. En la proposici´on 16 establece las condiciones de paralelismo. Proposici´ on 16: Todas las lineas rectas que en un plano que pasan por un punto, con referencia a una recta dada en el mismo plano, pueden ser divididas en dos clases -en las que la intersecan y las que no lo hacen. Las l´ıneas fronteras de la primera o segunda clase de estas rectas ser´an llamadas paralelas a la l´ınea dada. Para comprender el planteamiento de Lobachevski tomemos como referencia la figura 9.11. Sea la recta AB y el punto exterior P . Se traza la recta P H, perpendicular a AB y la recta pL, perpendicular a P H. En el ´angulo recto LP H se presentan dos casos: (1) Todas las l´ıneas rectas que inicien en P intersecan a la l´ınea AB; como por ejemplo P M . (2) Alguna l´ınea, por ejemplo P L no interseca a HB. Para resolver el problema de unicidad de P L Lobachevski supone que la linea P G es otra l´ınea que no corta HB por mas que se prolongue. Pasando de las l´ıneas secantes, como P M , a las l´ıneas no secantes, como P G, debemos onsiderar la l´ınea P E, paralela a HB, como una l´ınea frontera sobre un lado en el cual todas las l´ıneas como P G no intersecan a la l´ınea HB, mientras que en el otro lado toda l´ınea P M interseca la l´ınea HB.

9.12 La geometr´ıa de Lobachevski

329

E′

F′ P

L′

L Π(x)

F

x

E d

r A

H

M

B

Figura 9.11. Geometr´ıa hiperb´olica El ´angulo Π(x) que define la paralela P E y la perpendicular P H, es llamado angulo de paralelismo para P H = x. Si Π(x) es un ´angulo recto, la l´ınea P L′ , ´ prolongaci´ on de P L, es tambi´en paralela a HA, prolongaci´on de HB. Adem´as, con respecto a los cuatro ´ angulos rectos que se forman el punto P , ella misma o su prolongaci´on, estar´ a en uno de los ´angulos rectos en la direcci´on AB, de modo que excepto la paralela LL′ todas las otras rectas, si son suficientemente prolongadas en ambas direcciones, deben intersecar la l´ınea AB. Si Π(x) < 90o , entonces sobre el otro lado de P H, si se toma el mismo ´angulo Π(x), entonces P F ′ ser´ a paralela a AH y por lo tanto a AB. Con referencia a lo anterior, el haz de rectas que pasan por un punto exterior a una recta, se divide en dos clases: Las rectas secantes y no secantes respecto a la recta inicial. Las rectas que constituyen la frontera, como P E y P F en la figura 9.11 se llaman l´ıneas frontera y definen las rectas paralelas en la geometr´ıa de Lobachevsky, asumiendo HAA. Proposici´ on 19: En todo tri´ angulo la suma de los tres ´angulos internos no puede ser mayor que dos ´ angulos rectos Proposici´ on 20: Si en un tri´ angulo rectil´ıneo la suma de los tres ´angulos internos es igual a dos ´ angulos rectos, entonces se cumple que para cualquier tri´angulo la suma de los ´ angulos internos es igual a dos ´angulos rectos. Proposici´ on 22: Si dos perpendiculares a una misma recta son paralelas entre s´ı, entonces la suma de los tres ´ angulos de un tri´angulo rectil´ıneo es igual a dos ´angulos rectos. En la proposici´ on 24 Lobachevski establece la caracter´ıstica asint´otica de las rectas paralelas, al demostrar que dos rectas paralelas se aproximan indefinidamente por en el sentido del paralelismo y divergen en el sentido opuesto.

330

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

Proposici´ on 31: Llamamos l´ınea frontera (horiciclo) a la curva en un plano en la cual todas las perpendiculares trazadas en los puntos medios de las cuerdas son paralelas entre s´ı. Proposici´ on 33: Sean AA′ = BB ′ = x dos rectas paralelas entre ellas en la direcci´on de A′ hac´ıa A, y supongamos que estas rectas sirven de ejes de dos arcos de curvas´l´ımites AB = s y A′ B ′ = s′ , entonces se tendr´a que s′ = se−x . En las proposici´ on 35 Lobachevski demuestra que el ´angulo de paralelismo Π(x), que aparece en la figura 9.12 cumple la identidad: tan

−x Π(x) =e k 2

P D

Π(x)

A

H

B

´ Figura 9.12. Angulo de paralelismo Para Lobachevski la constante k puede tomar cualquier valor y para cada uno de esto valores se tendr´ıa una geometr´ıa imaginaria. La geometr´ıa euclidiana se obtiene cuando k tiende a infinito. Adem´as la funci´on Π(x) es continua, decreciente y mon´ otona, verifiando que: l´ımx→∞ Π(x) = 0 y l´ımx→0 Π(x) = π2 , lo cual significa que cuando se toman valores muy pr´oximos entre s´ı, se produce un comportamiento casi euclidiano. En las u ´ltimas proposiciones desarrolla una serie de resultados de la trigonometr´ıa. En general, en sus memor´ıa anteriores y en Investigaciones geom´etricas sobre teor´ıa de las paralelas establece los resultados que se describen a continuaci´on. En un tri´ angulo ABC de lados a = BC, b = CA, c = BA y ´angulos internos A, B y C, opuestos respectivamente a dichos lados. Sean los ´angulos de paralelismo

9.13 La geometr´ıa de Riemann

331

Π(a), Π(b) y Π(c), correspondientes a los lados a, b y c, respectivamente. Lobachevski demuestra que se verifican las siguientes relaciones: cot Π(a) = cot Π(c) sen A sen A = cos B sen Π(b) sen Π(c) = sen Π(a) sen Π(b) Como es de suponer, los desarrollos de Lobachevski no fueron aceptados de manera inmediata por la comunidad matem´atica. En esta direcci´on, empieza a preocuparse por las aplicaciones que pudiera tener su geometr´ıa. Al respecto plantea: En cuanto a saber cu´ al es el valor de k en nuestro espacio concreto, en el cual son los rayos luminosos los que sirven de l´ıneas rectas, no se trata de una cuesti´ on de l´ ogica, sino de f´ısica; a la cual s´olo se le puede encontrar una respuesta experimentalmente. Mientras nuestras medidas revelan algunas variaciones a la geometr´ıa euclidiana podemos suponer que s´olo ella rige nuestro espacio. Pero s, penetrando en los dominios extremadamente alejados del universo, nuestros aparatos de medida detectar´an tales variaciones, su naturaleza y su magnitud permitir´ıan determinar los valores de la constante k. En este sentido Lobachevski emprende la tarea de verificar cual tipo de geometr´ıa correspond´ıa a nuestro espacio f´ısico. Para ello analiz´ o el tri´angulo formado por la tierra, el sol y estrella Sirio. Seg´ un sus c´alculos, la suma de los ´angulos internos de este triangulo era menor que 180o − 0,000372′′ . Una cantidad que no arrojaba pruebas contundentes, dada la inexistencia, en la ´epoca, de aparatos de medida de alta precisi´ on.

9.13.

La geometr´ıa de Riemann

La geometr´ıa de Riemann aparece planteada en el art´ıculo Sobre las hip´ otesis en las que se funda la geometr´ıa. Es un art´ıculo de unas diez p´aginas, en el cual Riemann sintetiza diferentes formas como se puede concebir el espacio y las distintas maneras en las cuales se puede definir la actividad de medir. Se trata de un ensayo de car´ acter general, en el cual no realiza c´ alculos ni formaliza anal´ıticamente sus desarrollos. A pesar de ello, Riemann plantea ideas que no s´olo ata˜ nen a las matem´aticas, sino tambi´en a la filosof´ıa. En particular sus ideas se contraponen con los planteamientos del fil´osofo alem´ an Enmanuel Kant. Riemanna presenta el documento en los siguentes cuatro apartados:

332

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

1. Plan de la investigaci´ on 2. Concepto magnitud n-uplamente extensa 3. Relaciones m´etricas de las que es suceptible una una variedad de n dimensiones, bajo el supuesto de que las l´ıneas poseen una longitud independientemente de la posici´ on, y por lo tanto cada l´ınea es medible por cualquier otra 4. Aplicaci´ on al espacio En el Plan de la investigaci´ on Riemann, empieza llamando la atenci´on en el hecho que noci´ on de espacio, sus propiedades, las construcciones que normalmente se hacen y la manera de medir los objetos que lo componen, desde Euclides hasta Legendre, no han sido esclarecidas. Riemann se propone establecer la noci´on de magnitud m´ ultiplemente extensa y sus relaciones m´etricas, de tal suerte que espacio corresponda a un caso particular. En el apartado Concepto magnitud n-uplamente extensa Riemann introduce la noci´on de espacio n-dimensional tomando como referencia el tratamiento cl´asico de magnitudes desde Euclides, que denomina “teor´ıa de magnitudes extensas.” Riemann empieza estableciendo la diferencia entre magnitudes discretas y magnitudes continuas. Las magnitudes discretas, los n´ umeros naturales, se comparan a trav´es de la actividad de contar. Las magnitudes continuas se comparan a trav´es de la actividad de medir, manteniendo el contraste n´ umero-magnitud de Euclides. En este apartado, Riemann no est´ a interesado m´as que en un proceso de comparaci´on, tipo teor´ıa de la medida relativa de Euclides, que hemos desarrollado en la Lectura 1. Partiendo de esta teor´ıa de magnitudes extensas, Riemann desarrolla la noci´on de dimensi´ on de forma recursiva. Empieza considerando una magnitud unidimensional, 18 cuya caracter´ ıstica esencial es que partiendo de un punto fijo no se puede ir de manera continua m´ as que en un s´olo sentido (izquierda o derecha). Argumenta que nada impide imaginamos que podemos transportar esa magnitud unidimensional, por alg´ un medio, a otra variedad diferente formando una “variedad bidimensional”; de igual forma an´aloga se puede continuar con esta construcci´on para obtener una “variedad tridimensional” y as´ı sucesivamente. Si en un concepto cuyas determinaciones constituyen una variedad continua pasamos de una determinaci´on a otra de un modo definido. Las determinaciones recorridas constituyen una variedad unidimensional, cuya caracter´ıstica esencial es que en ella s´olo es posible la progresi´on continua a partir de un punto en dos direcciones, hac´ıa delante y hacia atr´as. Si ahora nos figuramos que esta variedad se transforma de nuevo en otra completamente distinta, y una vez m´as de modo definido, a saber, de 18

Que suele denominar variedad.

9.13 La geometr´ıa de Riemann

333

tal manera que cada punto se transforma en un punto determinado de la otra, la totalidad de las determinaciones as´ı obtenidas constituyen un variedad bidimensional. De manera semejante obtenemos una variedad tridimensional si nos representamos que una variedad bidimensional se transforma en otra totalmente distinta de modo definido, y es f´acil ver c´ omo podemos proseguir esta construcci´on. Si en lugar de pensar el concepto como susceptible de determinaciones, consideramos su objeto como variable, puede designarse esta construcci´on como la composici´on de una variabilidad de n + 1 dimensiones a partir de una variabilidad de n dimensiones y de una variabilidad de una dimensi´on. [[Riemann 1854], p. 753.] Es de anotar que, modernamente, la generaci´on del espacio n dimensional realizada por Riemann, se cumple s´ olo localmente, dado que una variedad es n-dimensional cuando se necesitan n magnitudes variables para determinar la posici´on de un punto cualquiera de ella. Sin embargo, como lo veremos en la Lectura 10, entre 1872 y 1878, Cantor demostr´ o la exitencia de una funci´on biyectiva entre una variedad ndimensional y una variedad unidimensional. Eso significaba, que s´olo ser´ıa necesaria un coordenada para caracterizarla. Sin embargo, posteriormente se demostr´o que la invarianza topol´ ogica no s´ olo depend´ıa de una funci´on biyectiva entre las variedades, sino que se exig´ıa que fuera una funci´on bicontinua. 19 Despu´es de introducir el concepto de variedad continua n-dimensional, en el apartado 2 de su memor´ıa: Relaciones m´etricas de las que es suceptible una una variedad de n dimensiones, bajo el supuesto de que las l´ıneas poseen una longitud independientemente de la posici´ on, y por lo tanto cada l´ınea es medible por cualquier otra, siguiendo a Gauss, Riemann pasa a definir sus relaciones m´etricas. En este sentido, Riemann establece la distancia ds para puntos muy cercanos, es decir puntos de la forma: (x1 , x2 , · · · , xn )) y (x1 + dx1 , x2 + dx2 , · · · , xn + dxn ), donde (dx1 , dx2 , · · · , dxn ), corresponden a cantidades infinitamente peque˜ nas de cada una de las variables enconsideraci´ on. Para Riemann la distancia entre esos dos puntos, correspondiente a la longitud de la l´ınea que los une, viene dada por: ⎛

ds = ⎝

19

) i,j

⎞1/2

gij dxi .dxj ⎠

El caso en el cual gij viene determinado por: ⎧ ⎨ 1 si i = j gij = ⎩ 0 si i ̸= j,

.

Es decir una funci´ on f biyectiva, continua y con su inversa tambi´en continua

334

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

corresponde a un espacio cuya forma es plano. Rimann incorpora la noci´ on de curvatura a trav´es de las geod´esicas o l´ıneas que minimizan la distancia, dado que ellas est´an un´ıvocamente determinadas por su direcci´ on inicial. En este contexto, Riemann muestra que pueden presentrse tres casos cuando la suma de los ´ angulos de un tri´angulo son invariantes: i. Si la suma de los ´ angulos internos de un tri´angulo es siempre mayor que dos rectos, entonces la curvatura del espacio es positiva. Corresponde a una geometr´ıa el´ıptica. ii. Si la suma de los ´ angulos internos de un tri´angulo es siempre menor que dos rectos, entonces la curvatura del espacio es negativa. Corresponde a una geometr´ıa hiperb´ olica. iii. Si la suma de los ´ angulos internos de un tri´angulo es siempre igual a dos rectos, entonces la curvatura es igual a cero. Corresponde a la geometr´ıa plana. Riemann muestra que existen espacios que no necesariamente tienen curvatura constante; en estos espacios se puede definir la curvatura localmente. Asistimos a los inicios de la geometr´ıa diferencial. El tercer apartado: Aplicaci´ on al espacio, Riemann aborda la pregunta sobre la geometr´ıa que rige el espacio f´ısico. En primer lugar, Riemann anota que si se supone que los cuerpos tienen una existencia independiente de su posici´on, significa que la curvatura del espacio es constante y num´ericamente igual a cero. Advierte que no se debe confundir la propiedades de extensi´on y las propiedades m´etricas. Particularmente, para unas mismas propiedades de extensi´ on se pueden definir variadas m´etricas. Esto conlleva una diferencia entre lo ilimitado y lo infinito. Nuestro espacio, por ejemplo, bien podr´ıa modelarse en t´erminos de variedad ilimitada de tres dimensiones pero no necesariamente infinita. Como pasa con las geod´esicas de una esfera, las cuales son ilimitadas, pero no infinitas. Para Riemann la respuesta a la pregunta si es posible conocer la curvatura de nuestro espacio sin salirnos del espacio mismo s´olo es posible a partir del conocimiento de las leyes f´ısicas: La respuesta a estas cuestiones no se puede obtener m´as que partiendo de los fen´omenos verificados hasta ahora por la experiencia, de la que Newton defini´ o sus bases y aportando a esta concepci´on aquellos hechos que no pueden ser explicados a partir de las mismas. Estas investigaciones que parten de conceptos generales, como el estudio que acabamos de hacer, no pueden tener otra finalidad que la de evitar que este trabajo sea obstaculizado por limitaciones de conceptos y que el progreso en el conocimiento de la conexi´ on de las cosas no encuentre una limitaci´on en

9.14 La recepci´ on de las geometr´ıas no euclidianas

335

los prejuicios tradicionales. Esto nos conduce a los dominios de otra ciencia, a los dominios de la f´ısica, en donde el objeto al que est´a destinado este trabajo no nos permite penetrar hoy.

Los planteamientos de Riemann catalizaron el desarrollo de la f´ısica y el establecimiento de un formalismo para el estudio del universo f´ısico. En estas geometr´ıas se bas´o Einstein para desarrollar su teor´ıa de la relatividad.

9.14.

La recepci´ on de las geometr´ıas no euclidianas

Aunque en principio las nuevas geometr´ıas no fueron acogidas por la comunidad matem´atica, el desarrollo de modelos explicativos, que tra´ıa como consecuencia la demostraci´ on de la consistencia relativa de los nuevos sistemas abrieron el camino que permiti´ o considerarlas como disciplinas matem´aticas. Se trataba de demostrar la independencia del Postulado de las paralelas. Este aspecto fue establecido primero por el matem´ atico italiano Eugenio Beltrami (1834-1900) y posteriormente por el matem´atico alem´ an Felix Klein (1849-1925). El m´etodo empleado por Beltrami y Klein se basaba en construir modelos euclidianos en los cuales se pod´ıan derivar los mismos resultados de las geometr´ıas no euclidianas. De esta forma, si se encontraran contradicciones en una de estas geometr´ıas, tambi´en ser´ıa contradictoria la geometr´ıa euclidiana. Es un m´etodo de consistencia relativa que luego se emplear´ıa de manera rigurosa para demostrar la hip´ otesis del continuo por parte de G¨odel y Cohen. Eugenio Beltrami desarroll´ o su modelo euclidiano de la geometr´ıa hiperb´ olica en su obra: Ensayo sobe la interpretaci´ on de las geometr´ıas no euclidianas. En este art´ıculo, Beltrami dio una interpretaci´on euclidiana de la geometr´ıa no eucl´ıdea bidimensional. La base del modelo es una superficie de revoluci´on que se genera al rotar alrededor del eje y, una tractiz, cuya ecuaci´on es:

y=±

1

*

a2 − x2 − a log

a+

2 √ a2 − x 2 , x

donde, a corresponde a la constante tal que la curvatura de la superficie es −

1 . a2

336

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

y

A′

O

A

x

Figura 9.13. Geometr´ıa sobre la pseudoesfera

El problema de este modelo es que tiene una singularidad en la circunferencia A′ A, de acuerdo a la figura 9.13.20 En este modelo y en una regi´on de la superficie pseudoesf´erica se verifican los cuatro primeros postulados del Libro I de los Elementos pero no el quinto postulado de Euclides. Sobre esta superficie pueden definirse las siguientes nociones geom´etricas, duales de la geometr´ıa euclidiana:

1. Punto: Un punto de la pseudoesfera. 2. L´ınea recta: Corresponde a la curva m´as corta sobre la pseudoesfera. 3. Distancia ente dos puntos: La longitud de la l´ınea recta que los une.

En 1872, el matem´ atico alem´an Felix Klein, define la geometr´ıa como el estudio de todas las propiedades invariantes bajo un grupo de transformaciones. Klein observ´ o que las geometr´ıas euclidiana, la esf´erica y la hiperb´olica son parte de la geometr´ıa proyectiva, lo que lo lleva a identificar la geometr´ıa euclidiana como geometr´ıa parab´ olica, la geometr´ıa esf´erica como geometr´ıa el´ıptica y la geometr´ıa de Lobachebski como geometr´ıa hiperb´olica. En el siguiente cuadro se hace una comparaci´on de las propiedades de las diferentes geometr´ıas. 20

Lo ideal ser´ıa tener una superficie de curvatura constante en toda su extensi´ on, sin sigularidades. Hilbert demostr´ o que eso no era posible. Bieberbach demostr´ o que es posible en un espacio de dimensi´ on infita.

9.15 Geometr´ıa y realidad

Descripci´ on Autores

Otros nombres

Postulados

Quinto Postulado Suma de los a ´ngulos de un tri´ angulo

9.15.

337

Hiperb´ olica Bolyai Lobachevski Gauss Lobachevskiana Imaginaria Pangeometr´ıa

Parab´ olica Antiguos Griegos Euclides Plana Euclidiana Euclidea

Se cumplen los primeros 4 postulados

Se cumplen los primeros 4 postulados

Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas es menor que 180◦

Por un punto exterior a una recta pasa una u ´nica recta paralela es igual que 180◦

El´ıptica Riemann Esf´erica Riemanniana Se cumplen los postulados 1, 3 y 4. Las l´ıneas no se pueden extender indefinidamente Por un punto exterior a una recta no pasan rectas paralelas es mayor que 180◦

Geometr´ıa y realidad

Como vimos en la Lectura 1, una de las caracter´ısticas de los objetos matem´aticos, en particular de los objetos de la geometr´ıa, es que corresponden a objetos puros del pensamiento, los cuales no tienen que estar ligados al mundo f´ısico. Sin embargo, en el siglo XIX, el af´ an de los creadores de las geometr´ıas no euclidianas, buscando el reconocimiento de la comunidad matem´atica, los lleva a intentar mostrar la validez de sus resultados a trav´es de las aplicaciones. Dada la existencia de geometr´ıas diferentes a la euclidiana, se supone que la “verdadera geometr´ıa” es aquella que describe el mundo circundante o, como dec´ıa Poincar´e, “la geometr´ıa m´as c´omoda para ser aplicada a un cierto mundo”. De esta forma, para decidir cual de las geometr´ıas es la que mejor se adapta al mundo, pareciera que el mejor m´etodo es recurrir a la experiencia. Siguiendo esta idea, Gauss tom´ o como referencia el tri´angulo formado por las cimas de los montes Brocken, Inselberg y Hohenhagen, y obtuvo que la suma de los a´ngulos interiores del tri´ angulo dieron un poco menos de 180o ; algo atribuible a errores de medici´on. Dado que los problemas en el proceso de medici´on emp´ırica son inevitables, dificilmente se podr´ıa determinar el tipo de geometr´ıa que m´as se acomoda a nuestro

338

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

entorno. Es claro que si consideramos un entorno cercano, la geometr´ıa que m´as se acomoda es sin duda la geometr´ıa euclidiana; de hecho los monumentos, las viviendas y las v´ıas se han construido con base a la geometr´ıa euclidiana. Sin embargo, si nos referimos a la forma como se determina la ruta de los aviones, parece natural que sea con la geometr´ıa el´ıptica. No sabemos cual ser´ıa la geometr´ıa conveniente para el micromundo de las part´ıculas elementales o si se trata de medir distancias siderales. Al respecto, a principios del siglo XX, el astr´onomo Karl Schwarzchild form´ o un tri´ angulo celeste con tres estrellas relativamente lejanas, llegando a la conclusi´on que se cumpl´ıa la geometr´ıa euclidiana.

El problema sobre la geometr´ıa que gobierna nuestro universo tambi´en fue una preocupaci´ on para el f´ısico alem´an Albert Einstein (1879-1955). En 1905, Einstein publica sus trabajos sobre la Relatividad Restringida, en los cuales planteaba relaciones interdependientes del espacio y del tiempo. En 1908, el matem´atico alem´an de origen ruso, Hermann Minkowski (1864-1909) establece que las transformaciones entre los diferentes sistemas de referencia inerciales se pod´ıan modelar geom´etricamente a trav´es de algunos cambios de coordenadas en un espacio de cuatro dimensiones, dando lugar a los diagramas de Minkowski. En uno de los ejes coordenados se representan las tres dimensiones espaciales y en el otro se representa el tiempo. En 1915, en sus desarrollos sobre la Relatividad General, Einstein se basa en la geometr´ıa riemanniana en cuatro dimensiones para describir nuestro universo. Pese a los trabajos de Einstein, actualmente a´ un ignoramos si la curvatura de nuestro universo es positiva o negativa, pues ello depende de la masa total del universo y de su densidad promedio, cuestiones que son dificiles de cuantificar. Se pueden presentar tres casos: (1) Si el universo tiene una masa cr´ıtica, se expandir´a eternamente, pero cada vez con mayor lentitud, hasta detenerse en el l´ımite. (2) Si el universo tiene una masa mayor que la cr´ıtica, la expansi´on se detendr´a en alg´ un momento y el universo empezar´a a contraerse hasta finalizar en un “big crunch” o “gran implosi´on”. En este caso tendr´ıamos un universo cerrado. (3) Si el universo tiene una masa inferior a la cr´ıtica, el universo se expandir´a al infinito, sin detenerse jam´as; en cuyo caso tendremos un universo abierto.

Es conveniente llamar la atenci´on en el hecho que la emergencia de las geometr´ıa no euclidianas tuvo grandes repercusiones en lo concerniente a las ideas filos´oficas del espacio. La consistencia de las geometr´ıas no euclidianas contradec´ıan las concepciones del fil´ osofo m´ as infuyente de la ´epoca, Enmanuel Kant (1724-1804), quien en su obra Cr´ıtica de la raz´ on pura de 1781 planteaba que el espacio y el tiempo eran nociones a priori, es decir que no depend´ıan del entorno ni de la experiencia. Sin embargo, los plantemientos de Riemann, Bolyai y Lobachevski mostraban que el espacio f´ısico podr´ıa ser explicado de diversas maneras.

9.16 Seguimiento Lectura 9

9.16.

339

Seguimiento Lectura 9

1. Demuestre la proposici´ on I.31 de los Elementos de Euclides: “Por un punto dado trazar una recta paralela a una recta dada”. 2. Explique, en t´erminos generales, las causas y consecuencias de las geometr´ıas no euclidinas. 3. ¿Es posible demostrar el quinto postulado de Euclides? 4. De acuerdo al contexto, ¿qu´e se quiere significar con la expresi´on “revoluciones epistemol´ ogicas”? 5. De un ejemplo de una extensi´on de Galois. 6. Explique las bases conceptuales de la demostraci´on de Abel sobre la imposibilidad de resolver las ecuaciones polin´omicas de grado mayor o igual a cinco 7. D´e un ejemplo de un grupo de Galois para una ecuaci´on particular. 8. Establezca los subgrupos de descomposici´on para el caso de la ecuaci´on polin´omica de grado cuarto y demuestre que los ´ındices respectivos son n´ umeros primos. 9. Un modelo de la geometr´ıa no euclidiana el´ıptica es la superficie de la esfera, considerando las rectas como las circunferencias m´aximas. Para conservar la propiedad de que dos rectas no se cortan en dos puntos diferentes, se identifican los puntos diametralmente opuestos como un s´olo punto. El quinto Postulado de Euclides: “por un punto externo a una recta pasa una s´ola paralela”, se sustituye por el enunciado: “Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela”. Demuestre que en esta geometr´ıa se cumplen los siguientes resultados: a) La suma de los ´ angulos interiores de un tri´angulo es mayor que dos rectos. b) El ´ area de un tri´ angulo es proporcional a su exceso esf´erico. c) En un cuadril´ atero de Sacheri se cumple la HAA. 10. El matem´ atico franc´es Henri Poincar´e (1854-1912) tom´o como referencia un disco sin frontera, donde las rectas corresponden a los arcos de circunferencia ortogonales a la frontera y los di´ametros. El modelo de Poincar´e, establecido en 1882, corresponde al semiplano {(x, y)|y > 0}, en el cual se caracterizan las nociones geom´etricos de la siguiente forma: a) Los puntos del eje x juegan el papel de puntos en el infinito.

340

El surgimiento del ´ algebra abstracta y las geometr´ıa no euclidianas

b) Las rectas hiperb´ olicas son las semicircunferencias perpendiculares al eje x y las rectas perpendiculares al eje x. As´ı, en la figura 9.14 se han representado tres l´ıneas del plano hiperb´olico de Poncair´e. c) Una recta queda determinada por dos puntos. d) Las rectas AU y AV son dos secantes. e) Las rectas AU y U V son paralelas f ) Dada una recta, por ejemplo U V en la figura 9.14 y un punto A que no pertenece a ella, las rectas que pasan por A pueden ser secantes o no secantes. Por ejemplo, las recta AV y AU son paralelas a U V . y

A r

x U

V

Figura 9.14. Modelo de Poincar´e Demuestre que en este modelo se cumplen las propiedades de la geometr´ıa hiperb´ olica. 11. La pseudoesfera de Beltrami, llamada plano hiperb´olico, se define como el conjunto de puntos en el interior de un c´ırculo euclidiano de radio r. Los puntos de la circunferencia frontera no pertenecen al plano hiperb´olico; estos puntos juegan el rol de puntos en el infinito. Las rectas hiperb´olicas son las cuerdas del c´ırculo sin sus puntos extremos. Dado un segmento sobre una tal recta hiperb´ olica, siempre puede prolongarse a un segmento mayor, situado sobre ella. Dos rectas hiperb´ olicas que no se cortan son paralelas por definici´on. Pero hay dos tipos de rectas hiperb´olicas paralelas: las que prolongadas se cortan en un punto del infinito (llamadas paralelas propiamente dichas) y aquellas que prolongadas se cortan en un punto exterior del c´ırculo.. Demostrar que las rectas hiperb´ olicas y los puntos hiperb´olicos as´ı definidos cumplen las siguientes proposiciones:

9.16 Seguimiento Lectura 9

341

a) Se puede trazar una recta hiperb´olica desde un punto hiperb´olico a cualquier otro punto hiperb´olico. b) La recta hiperb´ olica puede prolongarse indefinidamente. c) Por un punto hiperb´ olico exterior a una recta hiperb´olica pasan al menos dos rectas hiperb´ olicas paralelas. 12. Analice las repercusiones a nivel filos´ofico de la emergencia de las geometr´ıas no euclidianas.

Bibliograf´ıa Lectura 9 [Abel 1824] Abel, N. H: M´emoire sur les equations alg´ebriques, o` ul on d´emontre l´impossibilit´e de la r´esolution del ´equation g´en´erale du cinqui`eme d´egr´e. [Aleks´androv 1982] Aleks´ androv, P. S: Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work. New york: Marcel Dekker, 1982. [Bonola 1955] Bonola, R: Non-Euclidian Geometry. Dover, Toronto, 1955. [Coxeter 1942] Coxeter H. S: Non-Euclidean Geometry. University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America. [D´ avila 2003] D´ avila, G: El desarrollo del ´algebra moderna,parte III: el surgimiento del ´ algebra abstracta. Apuntes de historia de las matem´aticas, 38-78, 2003. [Dick 1981] Dick, A: Emmy Noether, 1882-1935. Michigan: Birkhauser, 1981. [Eves 1969] Eves, H: Estudio de las geometr´ıas. Centro Regional de Ayuda T´ecnica, M´exico, 1969. [Galois 2008] Galois, E: Memoria sobre las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales. En: I. Castro Chadid, y J. F. Caicedo, Temas de teor´ıa de cuerpos, teor´ıa de anillos y n´ umeros algebraicos (p´ags. 359-384), Bogot´a: Digiprint, 2008. [Grey 1989] Gray, Jeremy: Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, Clarendon Press, 1989. [Hadlock 1978] Hadlock, Charles: Fields theory and its classical problems. The mathematical association of america, Cambridge, Massachusetts, 1978. [Montesinos 1987] Montesinos, J. M: Las geometria no euclidianas: Gauss, Lobachebski y Bolyai. Real Academia de las Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales de Madrid, Madrid, 1987. [Riemann 1854] Riemann, F. B: Sobre las Hip´otesis en que se funda la Geometr´ıa. EN: Hawking, Stephen, Dios creo los n´ umeros (p´ags. 751-761), Barcelona: Cr´ıtica.

9.16 Bibliograf´ıa Lectura 9

343

[Santal´ o 1961] Santal´ o, L. A: Geometr´ıas no euclidianas. Editorial Universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires, 1961. [van der Waerden 1985] Waerden, B. L. van der: From alKhwarizmi to Emmy Noether. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1985.

Mi teor´ıa se mantiene firme como una roca; cualquier flecha dirigida contra ella r´ apidamente regresar´ a a su arquero. Georg Cantor. Como se cita en Journey Through Genius (1990) por William Dunham

Lectura

10 La emergencia de la teor´ıa de conjuntos 10.1.

El enfoque conjuntista en matem´ aticas

A partir de mediados del siglo XIX, la evoluci´on de algunas ramas de las matem´ aticas, como el ´ algebra, la aritm´etica, la geometr´ıa y el an´alisis, y la emergencia de otras disciplinas como la topolog´ıa y el an´alisis funcional, se dieron a la par del desarrollo de un tratamiento conjuntista en matem´aticas. Del mismo modo que el m´etodo anal´ıtico nos suministr´o algunas herramientas te´ oricas y procedimentales para la soluci´on del problema de la medida, el enfoque conjuntista en matem´ aticas nos proporcion´o los enlaces necesarios para acoplar las actividades de medir, contar y ordenar. Si bien la legalizaci´ on de los conjuntos actualmente infinitos se da a partir de las investigaciones de Georg Cantor y Richard Dedekind a finales del siglo XIX, el tratamiento conjuntista de algunos problemas se puede evidenciar en Riemann, Lipschitz, Hankel y en Bolzano. El enfoque conjuntista empez´o a mostrarse indispensable a partir de la estructuraci´ on de la teor´ıa de funciones. Especialmente en las investigaciones en torno a las denominadas funciones patol´ogicas, como aquellas continuas y no derivables en ning´ un punto, las funciones integrables, y en especial en el problema de la representaci´on de funciones en series de Fourier. Dirichlet fue uno de los pioneros en el uso de la perspectiva conjuntista al estudiar las condiciones de integraci´on para las funciones con un conjunto infinito de

10.1 El enfoque conjuntista en matem´ aticas

345

discontinuidades en un intervalo acotado. Para ello incorpor´o la noci´on de conjunto diseminado. Un subconjunto del intervalo [a,M b] es diseminado si no es denso en N 1 1 1 ning´ un subintervalo de [a, b], como el conjunto 1, 2 , 3 , . . . , n en el intervalo [0, 1]. No es dif´ıcil demostrar que si el conjunto de puntos de discontinuidad de una funci´on acotada es diseminado, la funci´on es Cauchy-integrable. Como lo mostramos en la octava lectura, Riemann resolvi´o el problema para algunas funciones con un conjunto denso de discontinuidades en un intervalo finito. El camino conjuntista establecido por Dirichlet y Riemann fue acogido por Weierstrass y algunos de sus alumnos, quienes abordaron la construcci´on de expresiones anal´ıticas que definieran funciones con infinitas oscilaciones y discontinuidades en un intervalo finito. En 1870, Lipschitz establece la siguiente clasificaci´on para A ⊂ [a, b]: i. A puede ser diseminado. ii. A puede recubrirse por intervalos cuya suma de longitudes puede ser arbitrariamente peque˜ na. iii. El conjunto derivado A′ compuesto de lo puntos de acumulaci´on de A puede ser finito o infinito.1 Por el mismo a˜ no Hermann Hankel, establece la noci´on de singularidades de una funci´on. Una singularidad es una discontinuidad de salto en un intervalo finito y cerrado. Basado en este concepto, Hankel establece la siguiente clasificaci´on de funciones seg´ un las discontinuidades: 1. La primera clase consiste de las funciones continuas. 2. La segunda clase est´ a formada por las funciones continuas excepto en un n´ umero finito de puntos en todo intervalo finito. 3. La tercera clase corresponde a las funciones que tienen un n´ umero infinito de discontinuidades en un intervalo finito. Estas pueden ser a su vez de dos clases: (a). Funciones puntualmente discontinuas. (b). Funciones totalmente discontinuas. Darboux toma como referente a Hankel para sus trabajos sobre funciones altamente discontinuas y sobre la integraci´on de tales funciones. En esta direcci´on, Darboux se inscribe en la l´ınea investigativa, originada por Weierstrass, que trata 1

A principios del siglo XX, Bolzano hab´ıa incorporado el concepto de punto de acumulaci´ on de un conjunto y hab´ıa demostrado que todo conjunto infinito aislado ten´ıa al menos un punto de acumulaci´ on. Este resultado se conoce como teorema de Bolzano-Weierstrass.

346

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

sobre la representaci´ on de funciones continuas no diferenciables en ning´ un punto. Adem´ as Weierstrass tiene el m´erito hist´orico de haber demostrado el primer teorema b´ asico de la representaci´ on de funciones, seg´ un el cual una funci´on continua pod´ıa aproximarse uniformemente por una sucesi´on de polinomios sobre un intervalo finito. Seguramente se pueden mencionar muchos matem´aticos trascendentes hist´oricamente, en la l´ınea que nos ocupa; sin embargo, es imposible dejar de lado al italiano Ulisse Dini; especialmente por su libro Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali de 1878, el cual fue recibido con gran entusiasmo por la comunidad matem´ atica, especialmente por Cantor. Entre 1870 y 1872, Cantor enfrenta el problema de la representaci´on de las series de Fourier en toda su dimensi´on. Este es uno de los per´ıodos m´as significativos hist´oricamente en el uso del enfoque conjuntista en la l´ınea de representaci´on de funciones, pues para su desarrollo Cantor produce unas t´ecnicas conjuntistas procedimentales que ser´ıan utilizadas por Baire, Lebesgue y Borel, los pioneros de la teor´ıa de funciones como rama de las matem´aticas. En la b´ usqueda de la soluci´on del problema la unicidad de la representaci´on de las series de Fourier, Cantor se da cuenta de la necesidad de desarrollar una teor´ıa sistem´ atica de conjuntos infinitos. Cantor y Dedekind comprenden que el primer paso para ello deber´a ser la construcci´ on formal de los n´ umeros reales.

10.2.

La teor´ıa de n´ umeros reales de Richard Dedekind

Los trabajos de Richard Dedekind (1831-1916) se enmarcan en la l´ınea de b´ usqueda de fundamentaci´ on de las matem´aticas que prevaleci´o en el siglo XIX. Desde 1850 estudi´o en la universidad de Gotinga bajo la supervisi´on de Gauss, al mismo tiempo que Riemann. En 1852 finaliz´ o su tesis doctoral, la cual vers´o, al igual que su disertaci´ on para aplicar como Privatdozent, sobre teor´ıa de n´ umeros. Es considerado, al lado de Cantor, como uno de los creadores de la teor´ıa de conjuntos como rama de las matem´ aticas. El pensamiento matem´ atico de Dedekind giraba alrededor de la idea de que la matem´ atica era la ciencia de los n´ umeros, cuyo soporte lo constitu´ıa la noci´on de conjunto. Para Dedekind un conjunto era una noci´on l´ogica. La l´ogica, a su vez, era la ciencia que daba cuenta de las leyes del pensamiento. El programa matem´atico de Dedekind, era entonces, un programa logicista. Dedekind desarrolla las bases de su propuesta en su libro ¿Qu´e son y para qu´e sirven los n´ umeros? Esta obra empieza con una presentaci´on rigurosa de los n´ umeros naturales y contin´ ua con una reflexi´on sobre la diferencia entre la naturaleza de las magnitudes geom´etricas continuas y los n´ umeros racionales. Por este camino llega a la noci´ on de cortadura, la base de su construcci´on de los n´ umeros reales. La construcci´ on de los n´ umeros reales de Dedekind, al igual que la de Cantor, da-

10.2 La teor´ıa de n´ umeros reales de Richard Dedekind

347

ta de 1872. Tanto Cantor como Dedekind entendieron que los racionales constitu´ıan la materia prima indispensable para la construcci´on de la totalidad del conjunto de los n´ umeros reales. Dado que los racionales se pod´ıan establecer rigurosamente a partir de los naturales, la dificultad proven´ıa de los irracionales. La gran idea de Cantor y Dedekind fue formalizar y generalizar el proceso de aproximaci´on de algunos irracionales t´ıpicos a partir de los racionales. En este sentido, la primera preocupaci´on de Dedekind fue constituir una herramienta conceptual que le permitiera definir los irracionales a partir del dominio Q de los n´ umeros racionales. Tomando de la definici´on de orden usual, seg´ un la cual, a < b si y s´olo si b − a > 0, para a, b ∈ Q, Dedekind llama la atenci´ on sobre las siguientes propiedades: 1. Si a > b y b > c, entonces a > c, a, b, c ∈ Q. Se dice que b est´a entre a y c. 2. Entre cualesquier a, c ∈ Q, existen infinitos n´ umeros b ∈ Q que est´an entre a y c. 3. Cada punto a ∈ Q, divide el sistema de n´ umeros racionales Q en dos clases: A1 y A2 , tal que A1 abarca todos los elementos de Q menores que a y A2 contiene todos los elementos de Q mayores que a. El n´ umero a puede pertenecer a A1 o a A2 . En s´ıntesis, a divide a Q en dos clases A1 y A2 , tales que todo n´ umero A1 es menor que cada n´ umero de la segunda clase A2 . A continuaci´ on Dedekind observa que el mismo proceso efectuado sobre el dominio Q se puede establecer sobre los infinitos puntos de la recta L, si se define la relaci´on de orden de acuerdo a la posici´on: si dos puntos p y q pertenecen a L, se tiene que p > q, si y s´ olo si p se encuentra ubicado a la derecha de q. Esta relaci´on de orden cumple con las siguientes leyes similares a las anteriormente listadas para Q: 1. Si p est´ a a la derecha de q, y q a la derecha de r, entonces p estar´a tambi´en a la derecha de r. Al igual que en el caso de Q, se dice que q est´a entre r y p. 2. Si p y q son dos n´ umeros diferentes, hay siempre infinitos puntos entre ellos. 3. Si p ∈ L, todos los puntos de L se dividen en dos clases, P1 y P2 tal que todo punto de P1 se encuentra a la izquierda de cada punto de P2 ; el punto p puede asignarse a P1 o a P2 . Se perfila aqu´ı un rompimiento con la tradici´on aristot´elica, en la cual la naturaleza ´ıntima de la recta no la constitu´ıan los indivisibles puntos. Para Dedekind, la recta, prototipo de continuo, no es m´as que un agregado de infinitos puntos distribuidos en la recta L, los cuales no agotan cuando se representan en forma de magnitudes, los elementos del dominio Q de los n´ umeros racionales.

348

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

La l´ınea recta L es infinitamente m´as rica en puntos que el dominio Q de los n´ umeros racionales.2 Los puntos sobrantes de la recta corresponder´an a los n´ umeros irracionales, de tal forma que la uni´ on de los racionales y los irracionales conforman el continuo aritm´etico. El plan metodol´ ogico de Dedekind consiste en construir un puente de contacto entre lo aritm´etico y lo geom´etrico. ¿Cu´al debe ser el punto de partida? Tradicionalmente los n´ umeros se defin´ıan a partir de las razones entre magnitudes lineales. Los n´ umeros racionales correspond´ıan a las magnitudes conmensurables con una unidad referencial y los irracionales proven´ıan de las magnitudes inconmensurables. De esta forma, continuidad num´erica se desprend´ıa de la noci´on de magnitud extensiva, de la cual no se ten´ıa una definici´on rigurosa. Dedekind plantea la necesidad de establecer una teor´ıa formal del continuo num´erico en s´ı mismo, sin desconocer que la continuidad, en cualquiera de sus manifestaciones, deber´ıa darse como reflejo de la estructura de la recta, arquetipo de continuo. Para Dedekind la esencia de la continuidad reposa en la noci´on de cortadura: Si todos los puntos de una l´ınea recta son de dos clases, de manera que cada punto de la primera clase est´a a la izquierda de cada punto de la segunda clase, entonces existe un punto y u ´nicamente uno que ocasiona la partici´ on de todos los puntos en dos clases, separando la recta en dos porciones.3 Dedekind entendi´ o que la imposibilidad de los racionales para “llenar” la recta, deb´ıa establecerse a trav´es del concepto de cortadura. Formalmente hablando, una cortadura de Q es un par (A1 , A2 ) de subconjuntos de Q tales que: 1. A1

D

A2 = Q.

2. a1 < a2 para todo a1 ∈ A1 y para todo a2 ∈ A2 . Es claro que cada racional q produce una cortadura (A1 , A2 ) o mejor, dos cortaduras esencialmente iguales, dependiendo de si q ∈ A1 o q ∈ A2 . Uno de los aspectos fundamentales de los desarrollos de Dedekind fue el haber demostrado que existen cortaduras de Q que no son producidas por ninguno de sus elementos. Los aspectos metodol´ogicos de Dedekind se encuentran plasmados en un breve art´ıculo sobre la teor´ıa de ideales de 1876: Admitiendo que la aritm´etica de los n´ umeros racionales, cuyo conjunto designaremos por Q, est´e definitivamente fundada, se trata de saber de qu´e manera debemos introducir los n´ umeros irracionales y definir las 2 3

[Dedekind 1988], p. 83. [Dedekind 1988], p. 85.

10.3 Los irracionales y las cortaduras de Dedekind

349

operaciones de adici´ on, sustracci´on, multiplicaci´on y divisi´on ejecutadas sobre estos n´ umeros.4 A continuaci´ on Dedekind plantea tres requisitos para que la definici´on de los n´ umeros irracionales pueda considerarse rigurosa: i) Su aritm´etica debe mantenerse alejada de todo referente geom´etrico como la raz´ on entre magnitudes, y reposar solamente en propiedades que se puedan constatar a partir del dominio Q. ii) Todos los n´ umeros irracionales deben provenir de la definici´on com´ un y no como soluciones a ra´ıces de ecuaciones, logaritmos, etc. iii) La definici´ on debe permitir establecer c´alculos entre los n´ umeros irracionales entre s´ı y entre racionales e irracionales. De esta forma, Dedekind entiende que para producir una teor´ıa rigurosa del continuo, era necesario establecer un puente de comunicaci´on entre lo geom´etrico y lo aritm´etico; para ello, como ha dicho antes Dedekind, parte de un presupuesto conceptual que ri˜ ne con la tradici´on aristot´elica, seg´ un el cual la recta es un agregado de puntos.

10.3.

Los irracionales y las cortaduras de Dedekind

El proceso utilizado por Dedekind, para demostrar la existencia de una cortadura que no es producida por ning´ un n´ umero racional, es el siguiente: Sea D ∈ Z+ , D diferente de n2 , para todo n ∈ N. Se definen los conjuntos A1 = {a1 ∈ Q

A2 = {a2 ∈ Q

| a21 < D

| a22 > D

´o y

a1 ≤ 0}, a2 >}.

Si a1 ∈ A1 y 0a1 > 0 se tiene que, a21 < D < a22 , entonces a1 < a2 . Si a1 ∈ A1 y a1 ≤ 0 entonces a1 < a2 para todo a2 , pues a2 > 0. (A1 , A2 ) constituye una cortadura de Q, la cual no es producida por un n´ umero racional. Para demostrar esto, Dedekind primero prueba por contradicci´on que no hay ning´ un n´ umero racional cuyo cuadrado sea D. 2 Sean p, q enteros positivos tales que pq2 = D. q se escoge de tal manera que sea el menor n´ umero, que satisfaga la igualdad Dq 2 = p2 . 4

[Dedekind 1988], p. 41.

350

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

Sea τ ∈ Z tal que τ 2 < D < (τ + 1)2 ; entonces se puede escribir p2 < (τ + 1)2 , q2 τ q < p < (τ + 1) q,

τ2
0,

p′ = Dq − τ p > 0, Se tiene que pero el hecho que

q ′ < q, p′ > 0.

- ′ .2 - .2 .. p − D q ′ = τ 2 − D p2 − Dq 2 = 0; - ′ .2 - .2 p − D q ′ = 0.

contradice la escogencia de q. Por lo tanto x2 < D

o x2 > D, para todo x ∈ Q.

A continuaci´ on Dedekind va a probar que, efectivamente, (A1 , A2 ) no es producida por un n´ umero racional. Para ello demuestra que A1 no tiene m´aximo y A2 no tienen m´ınimo. Veamos la demostraci´ on de√que A1 no tiene un m´aximo: Sea x ∈ R+ , tal que x < D, o lo que es igual, x2 < D, se define . x x2 + 3D , y= 3x2 + D de lo cual

Adem´as

. 2x D − x2 y−x= > 0, y por lo tanto y > x. 3x2 + D -

. 2 3 D − x > 0, D − y2 = (3x2 + D)2

por lo cual, D > y 2 , y esto significa que y ∈ A1 . Por lo tanto, A1 no tiene un m´aximo. De igual manera se demuestra que A2 no tiene un m´ınimo. Dedekind concluye entonces, que la cortadura (A1 , A2 ) no es producida por un n´ umero racional. Observemos que A1 es un conjunto de racionales, acotado superiormente, el cual no tiene un elemento m´ aximo, mientras que A2 es un conjunto de n´ umeros racionales, acotado inferiormente, el cual no tiene un elemento m´ınimo; m´as a´ un, los elementos de A2 son cotas superiores de A1 y los elementos de A1 son cotas inferiores de A2 .

10.4 La continuidad de los n´ umeros reales seg´ un Dedekind

351

√ Dedekind, entonces avizora la existencia de un nuevo n´ umero D, que corresponde al supremo de A1 y al m´ınimo de A2 . Este n´ umero umero irracional √ corresponde al n´ ra´ız cuadrada de D, que representamos como D, el cual cumple la igualdad: √ ´ınf A2 = sup A1 = D. Es conveniente anotar que si bien, √ a trav´es de la existencia del supremo de A1 o el umero irracional, Dedekind identifica ´ınfimo de A2 , se le da cabida a D, como n´ cada n´ umero con la cortadura que produce. Por lo tanto, el conjunto de todas las cortaduras de Q corresponde al conjunto de los n´ umeros reales R. Restar´ıa por definir en R una relaci´on de orden, las operaciones aritm´eticas y, adem´as, demostrar que corresponde a la versi´ on aritm´etica del continuo.

10.4.

La continuidad de los n´ umeros reales seg´ un Dedekind

La relaci´ on de orden en R se define en concordancia con la relaci´on de orden de Q y de acuerdo a propiedades conjuntistas. Sean dos cortaduras α y β, entonces: 1. Si α y β son producidas por los n´ umeros racionales q1 y q2 , entonces α = β, si y s´olo si q1 = q2 y α < β, si y s´olo si q1 < q2 . 2. Si alguna de las cortaduras α y β no es producida por alg´ un n´ umero racional, de tal forma que α corresponde a la cortudura (A1 , A2 ) y β a la cortadura (B1 , B2 ), entonces α = β, si y s´olo si A1 = B1 y α < β, si y s´olo si A1 ⊂ B1 . Tomando como base la relaci´on de orden definida antes, Dedekind concluye que los n´ umeros reales forman un dominio de una sola dimensi´on, ya que se cumplen los siguientes teoremas: Propiedad I. Para α, β, τ ∈ R, si α > β y β > τ , entonces α > τ . En este caso se dice que el n´ umero β est´a entre α y τ . Propiedad II. Si α, τ ∈ R, con α < τ , entonces existe β ∈ R, tal que α < β < τ. 5 Propiedad III. Si α ∈ R, entonces existen U1 y U2 , tales que U1 = {x ∈ R : x < α} y U2 = {x ∈ R : x > α}. En este caso se dice que α produce la cortadura (U1 , U2 ) de R. Dedekind comprende que estas tres propiedades son insuficientes para hacer de R un conjunto continuo, en el sentido que constituya la versi´ on aritm´etica del continuo lineal. Para ello se ve en la necesidad de demostrar el siguiente teorema. 5

Con este teorema se demuestra que existen una infinidad de n´ umeros entre α y τ.

352

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

Propiedad IV. Si (U1 , U2 ) es una cortadura de R, entonces existe uno y s´olo un n´ umero real α que produce esa cortadura. La propiedad IV, es necesaria para caracterizar el dominio de los reales y muestra la diferencia fundamental entre este conjunto y el conjunto de los racionales que satisface las tres primeras propiedades pero no la u ´ltima. En la carta con fecha del 17 de mayo de 1877 Cantor hace una cr´ıtica a Dedekind con respecto al ´enfasis que pone en la propiedad IV, como constitutiva de la esencia de la continuidad. En un aparte de la carta Cantor dice: “... esta propiedad pertenece tambi´en al sistema de todos los n´ umeros enteros, el cual puede, sin embargo, ser considerado como un prototipo de la discontinuidad”. Sin bien Cantor tiene raz´ on en el hecho de que el conjunto de n´ umeros enteros cumple la propiedade IV, no tiene en cuenta que est´a propiedad no es presentada por Dedekind de manera aislada. Por ejemplo el conjunto de los naturales no cumple la propiedad II, pues entre dos enteros consecutivos no existe ning´ un entero. Desde una presentaci´ on axiom´ atica de los n´ umeros reales, la propiedad IV, corresponde al axioma de completitud: “todo conjunto de n´ umeros reales, diferente de vac´ıo, acotado superiormente posee un extremo superior”.

10.5.

La teor´ıa de n´ umeros reales de Cantor

Para Cantor lo m´ as importante era desarrollar una teor´ıa satisfactoria de los n´ umeros irracionales, evitando caer en el c´ırculo vicioso de definir los n´ umeros reales como l´ımites de sucesiones convergentes sin haber definido de antemano un conjunto al cual pertenezcan dichos l´ımites. Cantor se˜ nala de manera expl´ıcita las objeciones a los intentos previos de definir n´ umeros irracionales en t´erminos de series infinitas: / Aqu´ı hay un error l´ ogico puesto que la definici´on de la suma av s´olo se obtiene igualando ´esta, al n´ umero dado b que necesariamente debe ser definido antes. Yo creo que hay un error l´ogico que solamente fue evitado por Weierstrass en ´epocas anteriores y no fue notado porque pertenecen a esos raros casos, en los cuales errores reales pueden no causar da˜ nos 6 importantes en el c´ alculo. Cantor trat´ o entonces de desarrollar una teor´ıa de los irracionales sin presuponer su existencia. Confiaba que el conjunto de todos los n´ umeros racionales servir´ıa de base para la definici´ on de los irracionales. Empieza por definir una sucesi´on fundamental: 6

[Dauben 1970], p. 37.

10.5 La teor´ıa de n´ umeros reales de Cantor

353

Definici´ on de sucesi´ on fundamental. La sucesi´on infinita a1 , a2 , a3 , . . ., an , . . . , de n´ umeros racionales, se llama una sucesi´on fundamental si para cualquier ε ∈ Q, existe un entero N tal que: |an+m − an | < ε, para todo m, y para todo n > N . Si una sucesi´on {an } satisface la anterior condici´on entonces dec´ıa que la “sucesi´ on infinita {an } ten´ıa un l´ımite definido b”. Esta era estrictamente una convenci´on para significar, no que la sucesi´ on alcanza el l´ımite actual b, o que se presum´ıa que b fuese el l´ımite, sino u ´nicamente que cada una de tales sucesiones {an } ten´ıa asociado un s´ımbolo definido b. Cantor fue bien expl´ıcito en usar la palabra “s´ımbolo” para describir el papel de b. Luego Cantor define las relaciones de igualdad y orden entre sucesiones. Definici´ on de igualdad entre sucesiones. Sean las sucesiones fundamentales {an } asociada con b1 , {bn } asociada con b2 . Se dice que b1 = b2 si para todo ϵ ∈ Q+ , existe un n´ umero natural N tal que |an − bn | < ϵ, para todo n > N . En t´erminos modernos, a trav´es de la igualdad de sucesiones, Cantor ha definido una relaci´on de equivalencia en el universo de las sucesiones fundamentales de n´ umeros racionales, lo cual le permite establecer, de forma implicita, una partici´on en dicho universo. As´ı, si una sucesi´on {an } asociada con un s´ımbolo b, y otra sucesi´ on {bn }, es tal que cumple el criterio de igualdad con {an }, entonces b es tambi´en el s´ımbolo asociado a {bn }. En otras palabras, b corresponde a la clase de equivalencia de todas las sucesiones de n´ umeros racionales que son iguales a la sucesi´on {an }. Para Cantor el conjunto de s´ımbolos, clases de equivalencia en teminolog´ıa moderna, constituyen un nuevo sistema B que adquiere la categor´ıa de sistema num´erico al ser dotado de una estructura de cuerpo ordenado. Es decir, cuando se establece una relaci´on de orden y se definen las operaciones aritm´eticas. Definici´ on de orden. Sean los s´ımbolos de clase de equivalencia b1 , b2 y las sucesiones fundamentales {an } asociada con b1 , {bn } asociada con b2 . Se dice que b1 < b2 si existe ϵ ∈ Q+ y un n´ umero natural N tal que bn − an > ϵ, para todo n > N . Las operaciones aritm´eticas del dominio de los n´ umeros son extendidas por Cantor a los elementos del sistema B de la siguiente manera: Sean tres n´ umeros a, b, c del dominio B, y sean las sucesiones infinitas {an }, {bn } y {cn } asociadas respectivamente con cada uno de estos n´ umeros. 1. a + b = c si y s´ olo si l´ım (an + bn − cn ) = 0. x→∞

2. ab = c si y s´ olo si l´ım (an .bn − cn ) = 0. x→∞

354

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

a 3. = c si y s´olo si l´ım x→∞ b

'

an − cn bn

(

= 0,7

bn ̸= 0 para todo n ∈ N.

De todas estas definiciones se sigue que si b es el l´ımite de la sucesi´on {an } (donde la designaci´ on “l´ımite de la sucesi´on” encuentra ya una justificaci´on), entonces b−an se hace infinitamente peque˜ no cuando n crece. Un n´ umero racional p se identifica con la sucesi´on constante {p} y adem´as puede ser comparado con una sucesi´ on {an } asociada a b. De tal suerte que p = b, p < b ´o p > b. El conjunto de estos s´ımbolos es un nuevo sistema B que, al ser dotado de una estructura de cuerpo ordenado y puesto en correspondencia uno a uno con los puntos de la l´ınea recta A, constitu´ıa para Cantor el conjunto de los n´ umeros reales. Los s´ımbolos del sistema B s´ olo adquieren sentido cuando son puestos en correspondencia uno a uno con los puntos de la l´ınea recta A. Ello no ofrece dificultades para los n´ umeros racionales. En el caso de los irracionales, Cantor sab´ıa que dado un punto sobre la l´ınea, si ´este no tiene una relaci´on racional con la unidad entonces podr´ıa ser aproximado por una sucesi´on de puntos racionales a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . , cada uno de los cuales corresponde a un elemento en A. La sucesi´on {an } es una sucesi´ on fundamental que se aproxima tanto como se quiera al punto dado. Cantor expresaba esta condici´ on como sigue: “la distancia del punto a ser determinado al origen, es igual a b, donde b es el n´ umero correspondiente a la sucesi´on {an }”. Dado que cada elemento de A tiene un u ´nico correspondiente en B, la unicidad de la representaci´ on de los puntos de la recta en B estaba garantizada. Pero Cantor no pudo garantizar la correspondencia inversa: que a cada elemento b de B le correspondiera un punto de la recta. Para esto tuvo que invocar el siguiente axioma: A cada n´ umero le corresponde un punto en la l´ınea recta, cuya coordenada es igual al n´ umero.

10.6.

El proyecto matem´ atico de Cantor

La posteridad reconoce a Georg Cantor (1845-1918) como el creador de los n´ umeros transfinitos. En conjunto con Richard Dedekind sintetiz´o los tratamientos conjuntistas de mediados del siglo XIX y estableci´o los fundamentos de la teor´ıa de conjuntos infinitos, una herramienta te´orica que espole´o el desarrollo de las matem´ aticas a l´ımites insospechados. an −cn corresponden a operaciones de n´ umeros racionales bn y, a su vez la operaci´ on l´ım corresponde al l´ımite de sucesiones de n´ umeros racionales 7

Las operaciones an +bn −cn , an bn −cn ,

10.7 La definici´ on formal de conjunto infinito

355

En 1863 ingres´ o a la universidad de Berl´ın, donde estudi´o matem´aticas, f´ısica y filosof´ıa. Fue compa˜ nero de Hermann Schwarz y tuvo como profesores a Weierstrass, Kummer y Kronecker. Recibi´ o su doctorado en 1867 con su tesis Sobre ecuaciones indeterminadas de segundo grado. En 1869, sucedi´ o a Schwarz como Privatdozent en la universidad de Halle, su fort´ın acad´emico de toda la vida. A instancias de su colega Eduard Heine, Cantor cambi´o la teor´ıa de n´ umeros por el an´alisis a partir de un problema abierto sobre la unicidad de la representaci´on de funciones en series de Fourier. Entre 1870 y 1872, Cantor resuelve este problema, que sin fortuna hab´ıa sido abordado por el mismo Heine, por Dirichlet, Lipschitz y Riemann. En su resoluci´ on Cantor produce unas t´ecnicas procedimentales aplicadas sobre conjuntos infinitos. Para ello se apoya en el siguiente teorema de Heine: Teorema. Una funci´ on f (x) continua, excepto en un n´ umero finito de puntos, puede representarse de una manera u ´nica por una serie trigonom´etrica de la forma: f (x) =

∞ ) 1 a0 + (an cos nx + bn sen nx), 2 n=1

si la serie es uniformemente convergente, excepto en un conjunto finito de puntos. En este caso se dir´ a que la serie representa la funci´on de −π a π y los puntos en los cuales la convergencia uniforme falla se denominan puntos excepcionales. Apoy´ andose en los desarrollos de Riemann y siguiendo el proceso de Heine, Cantor primero extiende el resultado para un conjunto de puntos excepcionales en intervalos acotados. Si se tiene un n´ umero infinito de puntos excepcionales en un intervalo acotado (a, t), el teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza la existencia de un punto de acumulaci´ on en cada vecindad que contenga infinitos de estos puntos excepcionales (excepcionales en el sentido que se dijo antes). Cantor empieza a considerar luego el caso cuando tenga infinitos puntos de acumulaci´on, y as´ı sucesivamente. Este proceso es precisamente el que utilizar´a Cantor en el estudio de los conjuntos perfectos y en la construcci´ on de los n´ umeros transfinitos. El concepto de punto de acumulaci´on constituye el soporte de la teor´ıa de conjuntos de Cantor como lo veremos m´ as adelante.

10.7.

La definici´ on formal de conjunto infinito

En el per´ıodo comprendido entre 1872 y 1888 Dedekind redacta su libroWas sind und was sollen die Zahlen? Para ello utiliza decididamente algunos adelantos de sus predecesores, especialmente, Las paradojas del infinito de Bolzano, y tambi´en la abundante y rica correspondencia con sus contempor´aneos como Weber, Schwarz y especialmente con Cantor. Este libro es especialmente importante porque, por primera vez aparece una definici´on precisa de conjunto infinito. Desde la ´epoca de Zen´on, donde el infinito

356

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

era visto con “horror”, nadie antes, hasta 1872, se hab´ıa aventurado a precisar qu´e era el infinito. Cuando se hablaba del infinito, se hac´ıa referencia a cuestiones de poder ilimitado que generalmente, desembocaban en la idea de Dios o se recurr´ıa sencillamente a la idea de magnitudes de crecimiento ilimitado. En pocos casos se hablaba de colecciones infinitas y cuando se llegaba a ellas, contradicciones como en Galileo o en paradojas como en Bolzano. Lo novedoso de Dedekind (y Cantor) fue visualizar en las paradojas de Bolzano no una anomal´ıa, sino una propiedad universal de los conjuntos infinitos. Precisamente la primera definici´ on de conjunto infinito surge hacia la segunda mitad del siglo XIX. En su art´ıculo Lo finito y lo infinito, Dedekind precisa que un conjunto S es infinito si existe una aplicaci´ on biyectiva de un subconjunto propio de S sobre S o si S es “equipotente” a una de sus partes propias. Un conjunto que no cumpla esta propiedad es finito.8 Dedekind estaba interesado, en primera instancia, en probar la tesis, tambi´en de Bolzano, sobre la existencia de conjuntos infinitos. Su demostraci´on sigue los mismos delineamientos que la de Bolzano, la cual evidentemente conoc´ıa, al igual que Cantor, como se constata en una carta de Cantor a Dedekind en octubre de 1882. Dedekind se propone demostrar que “el mundo de mis pensamientos, es decir, el conjunto de todas las cosas que pueden ser objeto de mis pensamientos, es infinito”, como dice ´el mismo. En principio Dedekind estuvo profundamente preocupado por la aceptaci´on de su definici´ on; pero luego se dio a la tarea de argumentar la primicia de sus trabajos sobre los de otros. La discusi´ on es principalmente con Cantor, quien asevera que la definici´on de Dedekind ya se encuentra impl´ıcita en sus trabajos de 1877. La verdad es que en dicho art´ıculo si bien Cantor expresa la idea de que un conjunto A, con un n´ umero infinito de elementos, puede ser isomorfo a un subconjunto propio de ´el mismo, no concluye que esta propiedad sea la base fundamental de la definici´on de un conjunto infinito. En la fase siguiente de sus investigaciones Cantor se dedica a desentra˜ nar la naturaleza del continuo. En 1873 retoma el concepto de conjunto derivado y busca nuevas propiedades topol´ ogicas a trav´es de algunas definiciones: Definici´ on. Sea P un conjunto, [a, b] un intervalo. Si P est´a contenido totalmente o en una parte del intervalo [a, b] puede ocurrir que para todo [c, d] contenido en [a, b], [c, d] contenga puntos de P, en este caso se dice que el conjunto P es denso en todas partes en el intervalo [a, b]. Inmediatamente Cantor relaciona la noci´on de conjunto denso en todas partes con la de derivado, demostrando que un conjunto P es denso en todas partes sobre un intervalo [a, b], siempre que el primer conjunto derivado P0 de P contenga al mismo intervalo [a, b]. A continuaci´on define el concepto de potencia, tal vez el m´as importante de todos los que introdujo en su empe˜ no por caracterizar los conjuntos 8

[Dedekind 1988]

10.8 Las diversas clases de infinitos y el continuo

357

infinitos. El concepto de potencia ven´ıa a solucionar el problema antes irresoluble de comparar conjuntos de acuerdo con el n´ umero de elementos. El mismo Cantor lo explica de la siguiente forma: Definici´ on. Se dice que los conjuntos M y N son de la misma potencia si a todo elemento de M corresponde uno de N y rec´ıprocamente, a todo elemento de N corresponde uno de M. Despu´es de esto, Cantor aprovecha el teorema de Bolzano-Weierstrass para clasificar los conjuntos infinitos de puntos en intervalos acotados. De hecho, el teorema como tal ya establece una aceptaci´on del infinito actual, al tomar un conjunto infinito de puntos como un todo en un intervalo finito. El concepto de punto de acumulaci´on constituye el soporte de la teor´ıa de conjuntos de Cantor. Con base en ´el, Cantor define los conjuntos derivados. Dado un conjunto arbitrario P, Cantor design´o por P ′ al conjunto de puntos de acumulaci´on de P y luego establece las siguientes convenciones: Sea P ′ el conjunto de puntos de acumulaci´on de P o primer derivado; Sea P ′′ el conjunto de puntos de acumulaci´on de P ′ o segundo derivado; y as´ı sucesivamente ... P (n) es el conjunto de puntos de acumulaci´on de P (n−1) o en´esimo derivado. En seguida, Cantor define los conjuntos de puntos de primera especie, como aquellos para los cuales existe un n tal que P (n) = ∅. En el caso que P (n) sea distinto de ∅ para todo n, los denomin´o de segunda especie.

10.8.

Las diversas clases de infinitos y el continuo

Como los reales, los racionales tambi´en gozan de la propiedad de ser densos; es decir, entre cada dos racionales hay un n´ umero infinito de ellos. Pero precisamente aqu´ı enfrent´ o Cantor el primer inconveniente para la caracterizaci´on de los conjuntos infinitos y del continuo, porque si bien los racionales Q eran densos, se pod´ıan poner en relaci´on un´ıvoca con los naturales N, que no lo eran. Cantor pens´o que deb´ıa existir un medio que permitiera establecer las diferencias fundamentales. Precisamente una de las grandes “ideas” que incorpor´o fue haber visualizado en la biyecci´on el medio efectivo para clasificar los conjuntos infinitos. Se pregunt´ o entonces: ¿podr´ıa establecerse una biyecci´ on entre los racionales y los reales? En la correspondencia Cantor-Dedekind aparecen comentarios al respecto:

358

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

Tomemos el conjunto de todos los individuos enteros positivos n, y represent´emoslo mediante (n); despu´es, consideremos el conjunto de todas las magnitudes reales positivas x, y represent´emoslo mediante (x). El problema es simplemente saber si (n) puede ponerse en correspondencia con (x) de tal manera que a cada individuo del uno corresponda uno y s´olo uno del otro. Una cuesti´ on muy importante de lo anterior tiene que ver con los fundamentos: Cantor exige la demostraci´ on de aquellos enunciados que son establecidos por “el sentido com´ un”. En una carta del 7 de diciembre de 1873, Cantor somete a consideraci´on de Dedekind la siguiente demostraci´on: Sea el intervalo (α, τ ) de n´ umeros de reales y supongamos que sus elementos se pueden listar en la sucesi´ on: w1 , w2 , w3 , . . . Sean α1 , τ1 los dos primeros n´ umeros de la sucesi´on que se encuentran en el intervalo (α, τ ). A continuaci´ on se identifican α2 , τ2 los dos primeros n´ umeros de la sucesi´on que se encuentran en el intervalo (α1 , τ1 ). En general, sean αv+1 , τv+1 los dos primeros n´ umeros de la sucesi´ on, contenidos en el intervalo (αv , τv ). Se presenta uno de los dos siguientes casos: 1. Se forma un n´ umero finito de intervalos (αv , τv ), con v = 1, 2, 3, . . ., n. Esto significa que para el u ´ltimo intervalo existe a lo m´as un n´ umero de la sucesi´on y, por lo tanto, habr´ a un n´ umero infinito de n´ umeros que no est´an en la lista. 2. Se forman infinitos intervalos (αv , τv ). La sucesi´on αv es mon´otona creciente y la sucesi´ on τv es mon´ otona decreciente. Las dos sucesiones son acotadas y por lo tanto los l´ımites siguientes existen: l´ım αv = A,

v→∞

y

l´ım τv = B.

v→∞

Si A = B entonces este valor est´a en todos los intervalos; lo cual significa que no est´a en la lista. Si A diferente de B, entonces existen infinitos valores que no est´an en la lista: todos los del intervalo [A, B] que no pertenecen a la sucesi´on. Esto concluye la demostraci´ on. La anterior es una demostraci´on demasiado dispendiosa que m´as tarde es reemplazada por otra mucho m´ as sencilla al parecer propuesta por Dedekind. Aunque no hay claridad sobre la autor´ıa de esta demostraci´on abreviada, apareci´o en el Journal de Crelle un a˜ no despu´es a nombre de Cantor; es la famosa demostraci´ on de la diagonal: Supongamos que los n´ umeros reales en el intervalo (0, 1) tienen la misma potencia que los n´ umeros naturales. Eso significa que existe una funci´on biyectiva entre los

10.9 Las diversas clases de infinitos y el continuo

359

naturales y los reales, y por lo tanto, la totalidad de los reales del intervalo en cuesti´on se pueden listar en una sucesi´on de la forma: r1 , r2 , r3 , . . . , rn , . . . Dado que cada uno de estos n´ umeros est´an ubicados en el intervalo (0, 1), quiere decir que su expansi´ on decimal consta de la parte entera igual a cero, y los podemos representar de la siguiente manera: r1 = 0.a11 a12 a13 . . . a1n . . . , r2 = 0.a21 a22 a23 . . . a2n . . . , r3 = 0.a31 a32 a33 . . . a3n . . . , .. . rn = 0.an1 an2 an3 . . . ann . . . , .. . Se supone que en la lista se encuentran la totalidad de los reales del intervalo (0, 1). Sin embargo, formemos el n´ umero real b = 0 · · · b1 b2 b3 · · · bn · · · , tal que, bi ̸= aii , para todo i. Se tiene que, por definici´on, bi ̸= ri , para todo i, lo cual contradice el hecho de que en la lista se encontraban “todos” los reales del intervalo (0, 1). Comentemos, por otra parte, que la demostraci´on de la no numerabilidad de los reales le permite a Cantor confirmar, desde otro ´angulo, la demostraci´on del teorema de Liouville sobre la existencia de n´ umeros trascendentes. En un art´ıculo posterior expresa: Este teorema nos viene a demostrar por qu´e algunos conjuntos de n´ umeros (por ejemplo, la totalidad de reales entre 0 y 1) no se pueden poner en correspondencia biun´ıvoca con el conjunto de N de los naturales. De esta manera, hemos encontrado la diferencia clara entre un llamado continuo y un conjunto del tipo de la totalidad de los n´ umeros algebraicos. El enunciado anterior es de gran importancia hist´orica, pues aunque ello no aparezca definido expl´ıcitamente, subyace en ´el el concepto de potencia; el cual, como veremos luego, va a permitir salvar muchas dificultades en la comparaci´on de conjuntos, y eliminar´ a de paso una de las paradojas que preocuparon a Galileo y a Bolzano.

360

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

10.9.

Cantor y la potencia del plano

La cuesti´ on a resolver a continuaci´on era la caracterizaci´on completa del continuo, puesto que la no numerabilidad era un criterio importante pero insuficiente. Cantor se propuso entonces la tarea de buscar conjuntos con potencias diferentes a N y R. El 5 de enero de 1874 le escribe a Dedekind, exponi´endole sus primeras inquietudes en este sentido, y que luego lo llevar´an a sentar las bases de la teor´ıa de la dimensi´ on. ¿Puede una superficie (por ejemplo un cuadrado comprendida su frontera) ponerse en relaci´ on un´ıvoca con una curva (por ejemplo un segmento, comprendidos sus extremos)? En esta indagaci´on estamos asistiendo a uno de los momentos cruciales de la creaci´ on de la teor´ıa de los espacios topol´ogicos. Despu´es de tres a˜ nos, de intensa labor Cantor crey´o hallar una respuesta adecuada a este dilema. En la carta del 20 de junio de 1877, plantea la siguiente demostraci´ on: Sean 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1, entonces x = 0.α1 α2 α3 . . . y y = 0.τ1 τ2 τ3 . . ., con 0 ≤ αv ≤ 9 y 0 ≤ τv ≤ 9. Tomamos un par (x, y) cuyas componentes se representar´an por la forma anterior; basta definir su imagen como z = 0.α1 τ1 α2 τ2 . . . ,

0 ≤ z ≤ 1.

Desafortunadamente esta primera demostraci´on presentaba un error fundamental: La doble representaci´ on de fracciones decimales, como por ejemplo: x = 0,4000 . . . y x = 0,3999 . . . , dar´ıan lugar a dos im´ agenes diferentes. Cantor resuelve el problema eliminando el representante con ceros desde cierta posici´on en adelante. Sin embargo, Dedekind descubre que existir´ıan valores que nunca podr´ıan ser imagen; como por ejemplo el n´ umero 0,2304050607020 . . ., o aquellos n´ umeros con ceros alternados desde cierta posici´on en adelante. En efecto, al intentar encontrar una preimagen, resultar´ıa que una de las fracciones se ha eliminado. En junio 25 de 1877 Cantor env´ıa a Dedekind una demostraci´on completa, planteando el teorema en forma general: Teorema. Una multiplicidad de n dimensiones puede ser puesta en correspondencia un´ıvoca con una multiplicidad continua de una dimensi´on. Veamos las consideraciones generales para el caso de R2 y R. Cantor divide su demostraci´on en dos partes : 1. Demuestra la correspondencia biun´ıvoca entre I ∩ (0, 1) × I ∩ (0, 1) y I ∩ (0, 1), donde I corresponde al conjunto de los n´ umeros irracionales y (0, 1) al intervalo de los n´ umeros reales comprendidos entre 0 y 1.

10.9 Cantor y la potencia del plano

361

2. Demuestra la correspondencia biun´ıvoca entre I ∩ (0, 1) y (0, 1). Para la primera parte de la demostraci´on Cantor parte de un conocido resultado de fracciones continuas, seg´ un el cual todo n´ umero irracional entre 0 y 1 se puede representar de una manera completamente bien determinada por la fracci´on continua: 1 e= (10.1) 1 α1 + 1 α2 + 1 α3 + .. . 1 .. . donde cada αv ∈ N. En Introducci´on al an´alisis de los infinitos De Fractionibus continuis dissertatio de 1737 y en el u ´ltimo cap´ıtulo de El an´ alisis de los infinitos, Euler demuestra que cada n´ umero racional se puede representar por medio de una fracci´ on continua finita y cada n´ umero irracional por medio una fracci´on continua infinita. De esta forma, para un n´ umero irracional, cada αv ̸= 0. Se define la funci´ on f : I ∩ (0, 1) × I ∩ (0, 1) → I ∩ (0, 1), de la siguiente manera: para (e1 , e2 ) perteneciente a I ∩ (0, 1) × I ∩ (0, 1) con αv +

e1 = (α11 , α12 , α13 , . . . , α1v , . . .) e2 = (α21 , α22 , α23 , . . . , α2v , . . .) , f (e1 , e2 ) = δ, tal que: δ = (α11 , α21 , α12 , α22 , . . . α1v , α2v , . . .) ; δ ∈ I ∩ (0, 1) puesto que: 1

δ=

(10.2)

1

α11 + α21 +

1 . α12 + . .

1 α1v +

1 .. .

Para un δ determinado se puede hallar la preimagen (e1 , e2 ). En este caso no se presenta el obst´ aculo de la segunda demostraci´on, pues no aparecen ceros en las sucesiones tomadas, dado que δ es un n´ umero irracional.

362

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

Para la segunda parte, se toman los racionales del intervalo (0, 1) en una sucesi´on: {rn } = {r1 , r2 , r3 , . . . , rn , . . .}. Si e ∈ (0, 1) ∩ I, entonces, e es diferente de rk para todo k = 1, 2, . . . Tomamos la sucesi´ on {cn } = {c1 , c2 , c3 , . . . , cn , . . .} de n´ umeros irracionales tal que: cv < cv+1 y l´ım cv = 1. v→∞

Si A = [(0, 1) − ({rn } ∪ {cn })], entonces: (0, 1) = A ∪ ({rn } ∪ {cn }) ,

(0, 1) ∩ I = [(0, 1) − ({rn } ∪ {cn })] ∪ {cn } = A ∪ {cn }.

Si t ∈ (0, 1), entonces t ∈ A o t ∈ ({rn } ∪ {cn }). Se define la funci´on biyectiva f de la siguiente manera: Si t ∈ A, entonces f (t) = t; si t ∈ {rn }, para alg´ un n, entonces f (t) = c2n−1 ; si t ∈ {cn }, para alg´ un n, entonces f (t) = c2n . Por lo tanto el conjunto (0, 1) es equipotente con el conjunto (0, 1) ∩ I, de lo cual se deduce que R es equipotente con I. La demostraci´ on de la equipotencia entre R × R y R se completa teniendo en cuenta que: (i). R × R = (I × I) ∪ (I × Q) ∪ (Q × I) ∪ (Q × Q). (ii). Cada uno de los conjuntos I × I, I × Q, Q × I es equipotente con I y Q × Q es equipotente con Q. (iii). (I × I) ∪ (I × Q) ∪ (Q × I) es equipotente con I. (iv). De acuerdo a los item anteriores, R × R es equipotente con I ∪ Q = R.

10.10.

El problema de la dimensi´ on en Cantor

A continuaci´ on Cantor se ve en la necesidad de demostrar que la totalidad del intervalo de los reales entre cero y uno, incluyendo los extremos, es equipotente con el mismo intervalo sin incluir uno de sus extremos. Esto se debe a que en el momento del desarrollo de la teor´ıa cantoriana de conjuntos no hay una distinci´on entre intervalos cerrados y abiertos; en este sentido Cantor se cura en salud, demostrando el teorema: Teorema. Un n´ umero que puede tomar todos los valores entre 0 y 1 con la u ´nica excepci´on del valor 0, puede ponerse en correspondencia un´ıvoca con otro n´ umero que puede tomar todos los valores entre 0 y 1 sin excepci´on. En su estudio de la correspondencia biun´ıvoca entre R2 y R, Cantor hace dos observaciones. En primer lugar, se manifiesta preocupado por la cuesti´on de la veracidad de los enunciados matem´ aticos, refiri´endose a aquellas hip´otesis habitualmente

10.11 De los conjuntos derivados a los n´ umeros transfinitos

363

asumidas como obvias sin que nadie haya asumido la responsabilidad de validarlas en un sistema axiom´ atico. O dicho de otro modo, Cantor se plantea la necesidad de adoptar procedimientos de rigor, en temas de la indagaci´on matem´atica en momentos en los cuales se proced´ıa con demasiada ligereza conceptual. En segundo lugar, dentro de su empe˜ no por comprender la estructura del continuo lineal, Cantor delimita un nuevo campo de estudios que se revelar´a de una riqueza sin igual en los decenios subsiguientes: la teor´ıa de los espacios topol´ ogicos. Examinemos de cerca estas dos cuestiones anteriores: Cantor critica severamente a Gauss y a Riemann, quienes al suponer que la dimensi´ on del espacio estaba determinada un´ıvocamente por el n´ umero de coordenadas independientes de uno de sus puntos, la tomaban como un invariante fundamental. Con su demostraci´ on Cantor crey´o poner en evidencia esta aseveraci´on, tal como ´el mismo lo expresa. Me parece entonces que todas las deducciones filos´oficas o matem´aticas que utilizan esta hip´ otesis err´onea son inadmisibles. M´ as bien, hay que buscar la diferencia que existe entre dos variedades de un n´ umero diferente de dimensiones, en alguna otra raz´on bien distinta de la que se ha tenido generalmente por caracter´ıstica del n´ umero de coordenadas independientes. En una larga carta del 2 de julio de 1877, Dedekind contradice las afirmaciones de Cantor, y declara que considera al n´ umero de dimensiones como el m´as importante de los invariantes de una multiplicidad continua. La cr´ıtica de Dedekind se enfoca al tipo de relaci´ on empleada por Cantor. Esta era discontinua y, opinaba Dedekind, la invarianza exige necesariamente la continuidad de la funci´on. Actualmente tenemos completamente caracterizados los invariantes a trav´es de la noci´on de homoemorfismo.9 Definici´ on. Una funci´ on f biyectiva de un espacio topol´ogico a otro que es continua y cuya inversa es continua se denomina homeomorfismo. En este caso, los dos espacios topol´ ogicos se dicen homeomorfos.

10.11.

De los conjuntos derivados a los n´ umeros transfinitos

Los conjuntos numerables ten´ıan la misma potencia del conjunto N de los n´ umeros naturales. Los continuos, conjuntos no numerables, tendr´ıan la potencia R. El terreno estaba preparado para que en 1882, en su manuscrito Fundamentos para una teor´ıa general de conjuntos (Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre), Cantor le diera carta de legitimidad a los n´ umeros transfinitos. 9

Se dice que una propiedad es un invariante topol´ ogico si ´esta se conserva bajo homeomorfismos.

364

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

Sin embargo, los n´ umeros transfinitos aparecen por primera vez en un corto art´ıculo de 1880, en el cual Cantor enuncia el transfondo de la construcci´on de los n´ umeros infinitos a trav´es de los conjuntos derivados de segunda especie. All´ı expresa que su teor´ıa es: [. . .] una generaci´ on dial´ectica de conceptos que continua siempre adelante, y est´ a as´ı libre de cualquier ambig¨ uedad. Esa generaci´ on dial´ectica part´ıa de la propiedad de los conjuntos P de segunda especie, seg´ un la cual, existe una sucesi´on P ′ , P ′′ , . . . , P (n) , P (n+1) , . . . ; donde P (n+1) es el conjunto de puntos de acumulaci´on de P (n) , tal que P (n) ̸= ∅, para todo n y P (n) ̸= P (n+1) , con n ̸= m. No es dif´ıcil probar que B=

∞ G

n=1

P (n) ̸= ∅;

adem´as B ̸= P n para todo n. Esto lo llev´o a definir B como B = P (∞) . Pero Cantor no se detuvo all´ı, sino que sigui´o siempre adelante en su “generaci´on dial´ectica de conceptos”: Si P (∞) diferente de ∅ entonces P (∞+n) es su primer derivado; y, en general, se toma a P (∞+n) como el en´esimo derivado de P (∞) . Cantor continu´ o de esta forma y construy´o cadenas interminables como: P n∞ , P ∞(∞+1) , . . . , P ∞(∞+n) , P ∞(∞+∞) , . . .

(10.3)

A estas alturas los n´ umeros transfinitos eran tomados por Cantor s´olo como “s´ımbolos infinitos” que le serv´ıan para el estudio de conjuntos de segunda especie; Cantor no perd´ıa de vista su objetivo central de producir una caracterizaci´on de la naturaleza del continuo. Los transfinitos con una identidad propia como n´ umeros aparecen por primera vez en 1882 en su manuscrito Fundamentos de una teor´ıa general de conjuntos. Los Fundamentos estructuraban la teor´ıa sobre la noci´on de infinito actual. Desde el comienzo Cantor plantea las diferencias entre infinito actual y el infinito potencial. Cantor era consciente de que la incorporaci´on pr´actica del infinito actual en sus trabajos le permit´ıa extender el concepto de n´ umero m´ as all´a de los niveles existentes. Ahora se trataba de formalizarlos: “definir´e a continuaci´on los n´ umeros enteros reales infinitos, a los que me vi conducido durante los u ´ltimos a˜ nos sin caer en la cuenta de que eran n´ umeros concretos con un significado real”. Cantor entonces define dos principios de generaci´on: Primer principio. Este principio consiste en producir nuevos ordinales mediante la adici´ on sucesiva de unidades. El primer ordinal, para Cantor, es el n´ umero 1.

10.11 De los conjuntos derivados a los n´ umeros transfinitos

365

Segundo principio. Cuando se tenga una sucesi´on ilimitada de n´ umeros, se define un nuevo n´ umero como el m´ınimo n´ umero mayor que cualquier componente de la sucesi´ on. Tercer principio (de restricci´ on o de limitaci´on). S´olo se procede a la creaci´on de un nuevo n´ umero, si la totalidad de los n´ umeros precedentes tiene la potencia de una clase num´erica definida, disponible ya en toda su extensi´on. Por el primer principio se genera el conjunto de los ordinales finitos, que para Cantor, corresponde a los n´ umeros naturales, empezando en 1. El segundo principio permite definir el n´ umero transfinito ω como el primer n´ umero que sigue a la sucesi´ on completa de los n´ umeros naturales {n}. Teniendo este n´ umero ω Cantor aplica el primer principio y obtiene la secuencia: ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ..., ω + n, ...

(10.4)

Luego, el segundo principio le permite definir el supremo de esta sucesi´on, denotado como 2ω.10 Al continuar de esta forma combinando los dos principios, obtiene cadenas como: 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 2ω + n, . . . .. . ω2 , ω2 + 1, ω2 + 2, . . . , ω2 + n, . . . Tomando los naturales como la primera clase de n´ umeros y a partir del transfinito ω la segunda clase, Cantor se dio cuenta que deb´ıa poner cierto tipo de cotas que permitieran diferenciar las diferentes clases. Al respecto escribe: Definimos por tanto la segunda clase de n´ umeros (II) como la colecci´on de todos los n´ umeros (en una sucesi´on creciente determinada) que pueden formarse por medio de los dos principios de generaci´on: ω, ω + 1, ..., v0 ω u + v1 ωu−1 + . . . + vu , . . . , ωω , . . . , ..., α, . . . Con la condici´ on de que todos los n´ umeros que posean (del 1 en adelante) constituyen un conjunto de potencia equivalente a la de la primera clase de n´ umeros (I). El concepto fundamental empleado para diferenciar las clases, es el de Potencia. Cantor prob´ o incluso no solo que las potencias de las clases de n´ umeros I y II son diferentes, sino que la potencia de los n´ umeros de clase II es precisamente la que sigue a la potencia de los n´ umeros de clase II. 10

Actualmente este supremo se denota como 2 · ω, en correspondencia con la forma moderna de definir las operaciones entre ordinales.

366

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

En una extensa carta del 5 de noviembre de 1882 a Dedekind, Cantor le plantea la necesidad del principio de limitaci´on a trav´es del concepto de potencia. Adem´as le explica algo que resulta muy importante para entender el procedimiento mental utilizado: ha decidido darle el tratamiento de n´ umeros reales de segunda clase a los objetos ω, ω + 1, ..., que hab´ıa llamado simplemente s´ımbolos de infinidad, porque entre ellos se pod´ıa establecer una cierta extensi´on de los n´ umeros finitos. Su explicaci´ on es la siguiente: (...) la libertad que me he tomado se explica observando que entre los objetos de pensamiento que llamo n´ umeros enteros reales de segunda clase, existen relaciones que pueden reducirse a las operaciones fundamentales. T´engase en cuenta que estos n´ umeros no cumpl´ıan las mismas propiedades de los n´ umeros finitos; por ejemplo la ley conmutativa: Sea ω = (a1 , a2 , . . . , an , an+1 , . . .): 1 + ω = (1, a1 , a2 , . . . , an , an+1 , . . .) diferente a (a1 , a2 , . . . , an , an+1 , . . . , 1) = ω + 1. 2ω = (a1 , b2 , a1 , b2 , ...), producto de 2 por ω es diferente a la secuencia (a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . .) = ω2.11 El hecho de que ω y ω + 1 son dos n´ umeros ordinales distintos, pero con igual cardinalidad llev´ o a Cantor a establecer una diferencia importante entre los n´ umeros finitos y los transfinitos. En los n´ umeros finitos no hay diferencia entre su ordinal y su cardinal, mientras que en los transfinitos hay diferencias sustanciales. Esta distinci´on proviene para Cantor de la diferencia conceptual entre “Zahl” y “Anzahl”. El t´ermino Zahl se refiere a un conjunto sin importar el orden. Anzahl toma en cuenta el orden. Partiendo de esta diferencia, Cantor define en su trabajo Contribuciones a la fundamentaci´ on de la teor´ıa de los conjuntos transfinitos (Beitr¨age zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre), los cardinales transfinitos: ℵ0 : es el cardinal de los conjuntos infinitos numerables. ℵ1 : es el n´ umero cardinal que sigue en orden de magnitud de acuerdo con la cadena de construcci´ on de los ordinales. Y as´ı llega a una sucesi´ on bien ordenada de potencias o n´ umeros cardinales, llamados “alephs” : ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ..., ℵω , ... 11

Actualmente 2ω = sup{2, 4, . . . } = ω, mientras que ω · 2 = ω · (1 + 1) = ω + ω.

10.12 Formalizaci´ on de los n´ umeros transfinitos

10.12.

367

Formalizaci´ on de los n´ umeros transfinitos

En principio, la teor´ıa cantoriana de conjuntos infinitos tuvo mucha resistencia. Se le criticaba fundamentalmente la poca rigurosidad de sus presentaciones, las cuales se tildaban de ligeras, demasiado intuitivas y repletas de matices psicol´ogicos. Como respuesta a sus detractores, Cantor escribe Contribuciones a la fundamentaci´ on de la teor´ıa de conjuntos transfinitos (Beitr¨ age zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre). En esta obra, publicada en dos partes (la primera en 1895 y la segunda en 1897), Cantor formaliza una teor´ıa intuitiva de conjuntos. Para ello establece las siguientes definiciones de conjunto, n´ umero ordinal y n´ umero cardinal: Definici´ on de conjunto. Por un “conjunto” entendemos una colecci´on M en un todo de objetos m definidos y separados de nuestra intuici´on o de nuestro pensamiento. Esos objetos los llamaremos “elementos” de M. Denotamos esto por M = {m}. Definici´ on de n´ umero cardinal. Llamamos “potencia” o “n´ umero cardinal” de M a aquel concepto general que surge, con ayuda de nuestra facultad activa del pensamiento, haciendo abstracci´ on del conjunto M del car´acter de sus diversos elementos m y del orden en que se nos presentan. umero cardinal como un Cantor utiliz´ o el s´ımbolo M , que sugiere pensar el n´ conjunto compuesto de “unidades”, que resultan de abstraer en cada elemento m de M su naturaleza y orden en M. A continuaci´on define una relaci´on de equivalencia entre conjuntos, basado en la noci´on de biyecci´on. Definici´ on de conjuntos equivalentes. Los conjuntos M y N son equivalentes, si existe una funci´ on biyectiva de M en N ; es decir, si M es equipotente con N ; en este caso se escribe M ∼ N o N ∼ M . Esto permite establecer una partici´on de la colecci´on de todos los conjuntos con base en su cardinal dado que M ∼ N si y s´olo si M = N . Si bien se ha designado como n´ umeros a los cardinales, el estatuto de n´ umero pasa por el establecimiento de una relaci´on de orden y de la definici´on de las operaciones aritm´eticas. Orden y operaciones en los cardinales Definici´ on de relaci´ on de orden. Sean M y N conjuntos y a = M y b = N . Se dice que “a es menor que b”, simb´olicamente a < b, si: 1. No existe un subconjunto propio de M que sea equivalente a N. 2. Existe un subconjunto propio N1 de N , tal que N1 ∼ M .

368

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

Definici´ on de las operaciones aritm´ eticas en los cardinales. Sean a = M , b = N y c = P , entonces, 1. Suma de cardinales: a + b = M

D

N, M

F

N = ∅.

2. Producto de cardinales: a × b = M × N .

3. Exponenciaci´ on de cardinales: ab = {f | f : N → M }. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades: 1. a + b = b + a. 2. a + (b + c) = (a + b) + c. 3. a . b = b . a. 4. a .(b . c) = (a . b) . c 5. a .(b + c) = a . b + a . c 6. ab . ac = ab+c 7. ac . bc = (a . b)c 8. (ab )c = ab . c . Definici´ on de los n´ umeros naturales. Cantor introduce los n´ umeros naturales a trav´es del siguiente proceso inductivo: Sea un objeto e0 , mediante el cual se forma el conjunto E0 = {e0 }. 1. Se define como n´ umero “uno”, denotado por 1, al cardinal de E0 ; esto es 1 = E0 . 2. Tomando otro objeto e1 se define el n´ umero 2 como el cardinal de E1 = D E0 {e1 }; es decir 2 = E1 .

3. En forma general, se define el n´ umero v como: v = Ev−1 , donde Ev−1 = {e0 , e1 , . . . ev−1 }. Se forma, entonces una sucesi´on ilimitada de n´ umeros 1, 2, 3,. . . que se denomina la sucesi´ on de “los n´ umeros cardinales finitos”. De la definici´on de suma de cardinales, se sigue que: Ev = Ev−1 + 1. El conjunto de n´ umeros cardinales finitos constituye el conjunto de los n´ umeros naturales, que denotamos como N. Para los elementos de este conjunto se cumple que:

10.13 De los ordinales transfinitos a los alephs

369

1. Si K es un conjunto de n´ umeros cardinales finitos, entonces K tiene un elemento m´ınimo. 2. Todo conjunto K de n´ umeros cardinales finitos distintos puede ser puesto en la forma K = (k1 , k2 , k3 , . . .), tal que k1 < k2 < k3 < . . . Observemos que en el m´etodo cantoriano de introducir los n´ umeros naturales se debe partir de la existencia de los elementos e0 , e1 , e2 , . . . , en , . . . Actualmente se parte de la existencia del conjunto vac´ıo, el cual define el n´ umero cero y a partir de este conjunto se van definiendo los dem´as, de manera recursiva.

10.13.

De los ordinales transfinitos a los alephs

La introducci´ on de los n´ umeros naturales le permite a Cantor definir los conjuntos actualmente infinitos y a partir de estos, los cardinales transfinitos. Los conjuntos con n´ umeros cardinales finitos ser´an denominados “conjuntos finitos”, todos los otros ser´an denominados “conjuntos infinitos” y sus n´ umeros cardinales “n´ umeros cardinales transfinitos”. Cantor establece como primer ejemplo de conjuntos infinitos, el conjunto de todos los n´ umeros cardinales finitos n, y le asigna el s´ımbolo ℵ0 (aleph-zero) a su n´ umero cardinal correspondiente. De esta manera, N = |N| = ℵ0 . A continuaci´on demuestra que ℵ0 es mayor que todo cardinal finito n y que es el menor cardinal transfinito. Ello significa que ℵ0 constituye el primer nivel de la jerarqu´ıa infinita y creciente de cardinales transfinitos. De hecho, se pueden demostrar los siguientes aspectos de la suma entre un cardinal finito y ℵ0 : Para cualquier cardinal finito n se tiene: 1. ℵ0 + n = ℵ0 2. ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 3. ℵ0 .n = n.ℵ0 = ℵ0 . 4. ℵ0 .ℵ0 = ℵ0 . El siguiente paso de Cantor es construir una sucesi´on ilimitada de n´ umeros cardinales transfinitos, similar al proceso seguido con los cardinales finitos. Esto es, los n´ umeros cardinales transfinitos pueden ser ordenados, y formar, como los n´ umeros finitos, un “conjunto bien ordenado”, en un sentido extenso de la palabra. Mediante un proceso bien especificado, de ℵ0 , por una ley definida, se obtiene el pr´oximo cardinal ℵ1 , y de ´este, por la misma ley, ℵ2 y as´ı sucesivamente.12 Para ello se basa 12

[Cantor 1955], p. 109

370

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

en los n´ umeros ordinales. Observemos que Cantor ha introducido primero los n´ umeros cardinales como formalizaci´ on de la actividad de contar. Sin embargo, para su descripci´on entiende que debe introducir los n´ umeros ordinales. Epistemol´ogicamente hablando, esto significa que estas dos actividades est´an ligadas dial´ecticamente: contamos ordenadamente. M´ as adelante establece el movimiento inverso, de tal forma que para ordenar, tenemos que establecer un proceso de contar. En resumen, con la teor´ıa cantoriana de conjuntos se muestra que contamos ordenadamente y ordenamos contando. Definici´ on de orden. Un conjunto M est´a simplemente ordenado si sus elementos est´an regidos por una regla determinada de tal forma que para dos elementos cualesquiera, uno de ellos precede al otro, en este caso decimos que uno es menor que el otro. Si m1 y m2 son dos elementos de M, la relaci´on “m1 es menor que m2 o m2 es mayor que m1 ” se denota por m1 ≺ m2 o m2 ≻ m1 . A continuaci´ on, Cantor introduce el concepto de “tipo de orden” de un conjunto ordenado M , mediante un proceso de abstracci´on similar al utilizado en su definici´on de n´ umero cardinal, pero esta vez s´olo abstrayendo la naturaleza de los elementos. Todo conjunto ordenado M tiene un “tipo de orden” determinado o, para mayor brevedad, un “tipo” determinado que representaremos por M ; por esto entendemos el concepto general que surge de M si hacemos abstracci´ on solamente del car´acter de sus elementos, pero conservamos el orden en que se presentan estos elementos . . . 13 . Para la definici´ on de n´ umeros ordinales Cantor se basa nuevamente en la noci´on de clase de equivalencia. Para ello recurre a la noci´on de semejanza entre conjuntos; concepto que actualmente corresponde a noci´on de un isomorfismo de orden. Definici´ on de conjuntos semejantes. Sean M y N conjuntos ordenados. Se dice que M y N son “semejantes”, si y s´olo si existe entre ellos una funci´ on biyectiva f de tal forma que si m1 y m2 son elementos de M se tiene que m1 < m2 si y solo si f (m1 ) < f (m2 ). Si M y N son conjuntos ordenados semejantes, se denota por M ≃ N . De la definici´on se siguen los siguientes resultados: 1. Para todo conjunto ordenado M, se tiene que M ≃ M . 2. Para conjuntos ordenados M, N y P, si M ≃ P y N ≃ P , entonces M ≃ N . Los anteriores aspectos implican que para dos conjuntos ordenados M y N, M ≃ N si y s´olo M = N . 13

[Cantor 1955], pp.111-112.

10.13 De los ordinales transfinitos a los alephs

371

Cantor llama la atenci´ on en el hecho que del concepto de conjunto ordenado se establece una diferencia sustancial entre los conjuntos finitos e infinitos. Para un n´ umero cardinal finito n, todos los conjuntos simplemente ordenados son semejantes y poseen el mismo tipo ordinal. Esto significa que presentan las mismas propiedades de los n´ umeros cardinales finitos, por lo tanto, Cantor no le ve ning´ un inconveniente en denotarlos con los mismos signos 1, 2, 3, . . . , n aunque conceptualmente son diferentes. Pero para los tipos ordinales transfinitos, la situaci´on es bien diferente, puesto que pueden tener el mismo cardinal, infinitos tipos de conjuntos simplemente ordenados, constituyendo lo que el denomina una “clase de tipos”. De acuerdo a lo anterior, para un cardinal α, est´a completamente determinada la clase de todos los tipos ordinales, de cardinal α la cual se denotar´a por [α]. Modernamente el proceso seguido por Cantor es el siguiente: En primer lugar se define los ordinales finitos, que corresponden a los n´ umeros 14 naturales 0, 1, 2, 3, . . . . Se define ω como el supremo de la sucesi´on anterior, y se denota simplemente como ω = {0, 1, 2, 3, . . . } que ser´ a el primer ordinal transfinito. Los siguientes n´ umeros transfinitos se definen recursivamente: ω + 1 = {0, 1, 2, . . . , ω},

ω + 2 = {0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1}, .. . Formando la cadena 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω + ω, . . . . Observemos primero que ω no es isomorfo a ω + 1, por lo tanto no corresponden al mismo n´ umero ordinal; pero si corresponden al mismo n´ umero cardinal, pues ambos son equipotentes con N. En segundo lugar, observemos que existe una diferencia importante entre ω + 1 y ω, pues mientras ω + 1 es el sucesor de ω, este no es el sucesor de ning´ un otro ordinal. A los ordinales que se forman como ω + 1 se llaman ordinales sucesor y a los que se forman como ω se llaman ordinales l´ımite. Este proceso de “producci´ on de ordinales” de manera “anidada”, permite formalizar, de manera general, la noci´on de n´ umero ordinal a trav´es de la relaci´on de orden definida por la petenencia y la noci´on de conjunto transitivo. Relaci´ on de orden en los ordinales. Dados dos ordinales α y β, α < β si y s´olo si α ∈ β. Conjunto transitivo. Un conjunto α es transitivo, si a ∈ b y b ∈ α, implica a ∈ α. 14

Cantor construye su teor´ıa de conjunto a partir del 1, sin tener en cuenta el conjunto vac´ıo.

372

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

N´ umero ordinal. Un conjunto es un n´ umero ordinal si es transitivo y es bien ordenado por ∈. De esta forma, si empezamos con el conjunto vac´ıo, como el primer ordinal, se puede introducir formalmente la cadena de ordinales: ω

0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω + ω, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω ω , . . . , ω ω , . . . , ω ω

ω ...

, . . . , . (10.5)

En la colecci´ on de n´ umeros ordinales se definen las operaciones suma y producto recursivamente. Suma. Sean α, β ordinales tales que (i) α + 0 = α. (ii) α + (β + 1) = (α + β) + 1. (iii) α + β = sup{α + k | k ∈ β}, β ̸= 0 es un ordinal l´ımite. Producto. Sean α, β ordinales (i) α · 1 = α. (ii) α · (β + 1) = α · β + α. (iii) α · β = sup{α · k | k ∈ β}, β ̸= 0 es un ordinal l´ımite. Estas operaciones no son conmutativas: Para la suma se tiene que 1 + ω = sup{1 + k | k ∈ ω}, ω + 1 = {0, 1, . . . , ω}. Para el producto se tiene que 2 · ω = sup{0, 2, 4, 6, . . . }, ω · 2 = ω · (1 + 1) = ω + ω ̸= ω · 2. Es conveniente observar que en la cadena definida en 10.5 cada uno de los ordinales a partir de ω son todos numerables. Cantor entendi´o que deb´ıa incorporar nuevos elementos conceptuales para introducir los ordinales no numerables. Aqu´ı Cantor entiende la relaci´ on dial´ectica entre las actividades de contar y ordenar. En esta direcci´ on establece los n´ umeros cardinales transfinitos de manera ordenada a trav´es de los ordinales. N´ umeros cardinales. Un ordinal α es un n´ umero cardinal si |α| = ̸ |β|, para todo β < α.

10.14 La Hip´ otesis del Continuo y la Topolog´ıa de la Recta

373

El primer cardinal transfinto corresponde a ω = ω0 que, tal como se hab´ıa mencionado, Cantor lo denota por ℵ0 . De esta forma, el conjunto de los naturales N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}, tiene dos facetas: Como ordinal corresponde a ω y como cardinal corresponde a ℵ0 . De otro lado no es dificil demostrar que el conjunto de los ordinales numerables, denominado el tipo de ordinal de ℵ0 , denotado por Z[ℵ0 ], comprende a todos los ordinales numerables: ω, ω + 1, . . . , ω ω , . . . Z[ℵ0 ] es un n´ umero ordinal, denotado por ω1 y con una cardinalidad mayor que la de ℵ0 . Adem´ as, |ω1 | > ℵ0 , lo cual significa que ω1 es un n´ umero cardinal; m´as concretamente, el n´ umero cardinal siguiente a ℵ0 , que Cantor denota como ℵ1 . Si se continua con el proceso, agrupando en un conjunto los ordinales con cardinalidad ℵ1 , se obtine ω2 . En general se obtiene la siguiente cadena de ordinales y cardinales: ℵ0

↓

ℵ1

0, 1, 2, . . . , n, . . . , ω , ω + 1, . . . , ω

ω

ℵ2

↓ ↓ , . . . , ω1 , . . . , ω2 , . . . .

Esta cadena muestra la interdependencia entre la actividad de ordenar (n´ umeros ordinales) y de contor (n´ umeros cardinales), esto es, contar ordenadamente y ordenar contando.

10.14.

La Hip´ otesis del Continuo y la Topolog´ıa de la Recta

Como se ha visto en el apartado, a partir de un proceso de recursi´on, Cantor define los n´ umeros naturales, los cuales tienen la caracter´ıstica de tener la propiedad dual de n´ umeros ordinales y n´ umeros cardinales. Como n´ umero ordinal, el conjunto de los n´ umeros naturales corresponde a ω, pero como n´ umero cardinal corresponde a ℵ0 . An´ alogamente, y ya con toda la fertilidad de la teor´ıa de los conjuntos bien ordenados, procede a considerar el conjunto Z[ℵ0 ] de todos los n´ umeros ordinales de n´ umero cardinal ℵ0 , que denominar´ıa “la segunda clase de n´ umeros”. El cardinal del conjunto Z[ℵ0 ] lo denota ℵ1 . Cantor demuestra no s´olo que ℵ1 es mayor que ℵ0 , sino que es el siguiente. Siguiendo el mismo proceso, se puede definir ℵ2 y en general, la cadena de cardinales transfinitos: ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , . . . Se tiene entonces que los n´ umeros de la primera clase tienen la potencia de N, (ℵ0 ), y que los n´ umeros de la segunda clase ten´ıan la potencia exactamente siguiente (ℵ1 ), y as´ı sucesivamente. Asign´ andole a la clase de n´ umeros reales o continuo lineal, el cardinal transfinito ℵ 0 c = 2 , Cantor se pregunta a cu´al de los alephs corresponde. Cantor intuye que es

374

La emergencia de la teor´ıa de conjuntos

ℵ1 , pero nunca pudo demostrarlo. Esta es la famosa Hip´ otesis del Continuo,15 resuelta gracias a los trabajos de Kurt G¨odel, 1938 y Paul Cohen, en 1963, quienes, de forma complementaria, demostraron la independencia del enunciado en el seno de la teor´ıa de conjuntos. Eso significa que se puede adoptar c = ℵ1 , o a cualquier otro cardinal mayor sin afectar la consistencia. Afortunadamente, en sus esfuerzos por resolver el problema de la potencia del continuo, Cantor hizo aportes muy originales en la caracterizaci´on de la topolog´ıa de la recta. En esta direcci´ on, retoma los conjuntos derivados e introduce la noci´on de uni´on e intersecci´ on. Utiliza la intersecci´on para definir P ∞ : P

∞

=

∞ G

P (n) ,

n=1

A partir de aqu´ı define otros derivados ”superiores”. Proceso que es precisamente el soporte conceptual de la teor´ıa de los n´ umeros transfinitos cantorianos, en el sentido de que en ´el se perciben las enormes generalizaciones que Cantor realiz´o antes de dar autonom´ıa conceptual a los n´ umeros infinitos. En 1883, Cantor establece algunas nociones y resultados importantes de la naciente topolog´ıa conjuntista, entre los cuales se pueden detacar: 1. Un conjunto P es cerrado, si y solo si P ′ ⊂ P , P ′ corresponde al conjunto de puntos de acumulaci´ on de P . 2. Si P es un conjunto perfecto, entonces P es no numerable; P es un conjunto perfecto si P = P ′ . Cantor utiliz´ o estos resultados para caracterizar el continuo. Es claro que el continuo es un conjunto perfecto; pero el enunciado rec´ıproco no era cierto, como se ilustraba con el ejemplo que el mismo Cantor present´o, del conjunto ternario que hoy lleva su nombre.

10.15.

Seguimiento Lectura 10

1. Defina, rigurosamente, el concepto de “cortadura”. 2. Defina suma y producto de cortaduras de n´ umeros racionales. 3. ¿Por qu´e la b´ usqueda de la fundamentaci´on de los n´ umeros reales exig´ıa un alejamiento del referente geom´etrico? 15

La hip´ otesis del continuo corresponde al primero de los 23 problemas, plantedos por Hilbert a los matem´ aticos del siglo XX en el Primer Congreso Internacional de Matem´ aticas, celebrado en Par´ıs, en 1900.

10.15 Seguimiento Lectura 10

375

4. Realice un an´ alisis detallado de la frase de Dedekind: “Si uno est´a dispuesto a renunciar a definiciones generales de suma, resta, multiplicaci´on y divisi´ √ o√n, entonces, sin olo uno necesita decir: entendemos √ duda, s´ √ √ por√el producto 2· 3 el n´ umero 6 y en consecuencia se tiene que 2 · 3 = 6; que es lo que se trataba de demostrar.” 5. Establezca diferencias y similitudes entre las sucesiones de Cauchy y las sucesiones fundamentales de Cantor. 6. En la construcci´ on de los n´ umeros reales, tanto Cantor como Dedekind, se ven obligados a introducir un principio de continuidad. Explicite este principio en cada uno de ellos. 7. ¿Cu´ ando se puede decir que un conjunto es un dominio continuo? 8. Presente el ejemplo de un conjunto P segunda especie tal que P n ̸= P n+1 para todo n. 9. Ejemplifique la diferencia entre infinito actual e infinito potencial. 10. ¿Cu´ ales propiedades algebraicas cumplen los n´ umeros finitos que no cumplen los transfinitos? 11. ¿En qu´e sentido se puede decir que los principios de generaci´on y limitaci´on vienen a solucionar los problemas de rigor de los n´ umeros transfinitos? 12. Demuestre que Rn tiene la misma potencia que R. 13. Demuestre que es imposible definir una funci´on continua entre R2 y R. 14. Describa el conjunto tri´ adico de Cantor y demuestre que no es numerable. 15. Defina expl´ıcitamente una una funci´on biyectiva entre (0, 1) y (0, 1]. 16. Defina n´ umero cardinal y n´ umero ordinal, estableciendo las diferencias epistemol´ ogicas. Detalle la importancia matem´atica de cada uno de estos conceptos. 17. Defina suma y producto de cardinales. 18. Defina suma y producto de n´ umeros ordinales. 19. Explique en qu´e consiste la hip´otesis del continuo establecida por Cantor e investigue sus implicaciones hist´oricas.

Bibliograf´ıa Lectura 10 [Apostol 1986] Apostol, Tom: An´alisis matem´atico. Editorial Revert´e, Barcelona, 1986. [Becker 1966] Becker, Oscar: Las magnitudes y l´ımites del pensamiento matem´atico. Ediciones Rialp, Madrid, 1966. [Bolzano 1991] Bolzano, Bernardo: Las Paradojas del Infinito, Servicios Editoriales de la Facultad de ciencias, UNAM, M´exico, 1991. [Boniface 2002] Boniface, J. Les Constructions des nombres r´eels, editorial Ellipses, Paris, 2002. [Boyer 1982] Boyer, Carl: Historia de la Matem´ atica. Alianza Editorial, Madrid,1987. [Cantor 1955] Cantor, Georg: Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Dover Publications, Chicago, 1955 (Primera versi´on 1895). [Cantor 2006] Cantor, Georg: Fundamentos para una teor´ıa de Conjuntos. Escritos y correspondencia selecta. Editorial Cr´ıtica, S.L., Barcelona, 2006 (Primera edici´ on 1883). [Cantor 2002] Cantor, Georg: Sur l´extension d´un th´eor`eme de la th´eorie des s´eries trigonom´etriques. EN: Jacqueline Boniface. Les constructions des nombres r´eels ´ dans le mouvement d´arithm´etisation de l´analyse. Ellipses Edition Marketing S.A., Paris, 2002. [Cavallies 1962] Cavailles, Jean: Philosophie math´ematique. Hermann, Paris, 1962. [Dauben 1970] Dauben, Joseph: Georg Cantor, His mathematics and philosophy on the infinite. Harvard University Press, Cambridge, 1979. [Dedekind 1988] Dedekind, Richard: ¿Qu´e son y para qu´e sirven los n´ umeros? Alianza editorial, Madrid, 1988 (Primera edici´on 1888). [Ferreiros 1991] Ferreiros, Jos´e: El nacimiento de la teor´ıa de conjuntos. Ediciones de la Universidad Aut´ onoma de Madrid, Madrid, 1991. 1999.

10.15 Bibliograf´ıa Lectura 10

377

[Ferreiros 1999] Ferreiros, Jos´e: Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its role in Modern Mathematics. Birkh¨auser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1999. [Grattan-Guinness 1982] Grattan-Guinness. Del c´ alculo a la teor´ıa de conjuntos 1630-1910. Una introducci´ on hist´ orica. Alianza Editorial. Madrid. 1982. [Kline 1994] Morris, Kline: El Pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Editorial, Vols. I, II , III, Madrid, 1994. [Rucker 1982] Rucker, R., Infinity and the mind, Birkh¨auser. Birkh¨auser, Boston, 1982.

Cualquier tipo de ciencia, solo si ha logrado cierto tipo de madurez, autom´ aticamente se vuelve una parte de las matem´ aticas. David Hilbert. “Axiomatic Thought” (1918), impreso en From Kant to Hilbert, Vol. 2 por William Bragg Ewald

Lectura

11 El problema de los fundamentos de las matem´aticas 11.1.

La necesidad hist´ orica de legalizar el infinito

Como hemos anotado en los cap´ıtulos anteriores, algunos de los grandes problemas que contin´ uan motivando el desarrollo de las matem´ aticas tienen relaci´on con las actividades de medir, contar y ordenar; aspectos que se sintetizan hist´oricamente en la constituci´ on de los n´ umeros reales: la versi´on anal´ıtica del continuo lineal. Esto se dio a partir del reconocimiento de un concepto que durante m´as de dos mil a˜ nos fue desterrado de las matem´aticas como es el infinito de la teor´ıa de conjuntos establecida por Georg Cantor en el siglo XIX. Este cap´ıtulo se enmarca en la perspectiva de analizar la controversia sobre la legalizaci´on de las nociones que surgen como consecuencia de los conjuntos infinitos. La discusi´ on apunta a la caracterizaci´on de los objetos y procedimientos legalmente v´alidos en matem´ aticas. En cada una de las primeras ocho lecturas hemos evidenciado que desde la antig¨ uedad griega hasta la segunda mitad del siglo XIX, el soporte ontol´ ogico de los objetos matem´aticos lo constituy´o la filosof´ıa aristot´elica. Los mayores inconvenientes conceptuales aparec´ıan con el empleo del infinito. Esta discusi´on es larga y milenaria. Ya desde el siglo IV A.C., Zen´on de Elea y Arist´oteles plantearon la cuesti´ on. Para Arist´oteles cualquier teor´ıa cient´ıfica consistente deb´ıa dejar por fuera el infinito actual y s´olo acoger el infinito potencial.

11.2 Las paradojas de la teor´ıa de conjuntos

379

Durante m´ as de veinte siglos el infinito actual fue condenado al ostracismo, pues constitu´ıa una fuente de paradojas. S´olo hasta finales del siglo XIX el infinito actual recibi´o su ciudadan´ıa matem´ atica a trav´es de la definici´on de conjuntos infinitos:1 Definici´ on. Un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia biun´ıvoca con un subconjunto propio. Sin embargo, abrirle la puerta a un conjunto actualmente infinito, verbigracia el conjunto de los n´ umeros naturales como un todo, signific´ o darle cabida a una cantidad incontrolable de ellos. Las paradojas aparecieron por doquier produciendo crisis en las bases conceptuales de la teor´ıa de conjuntos. Para dar respuesta a estos problemas surgieron tres escuelas que buscaban fundamentar las matem´aticas: el intuicionismo, el logicismo y el formalismo. Las tres fracasaron en tal empe˜ no y hubo que encontrar salidas que no tuvieran perspectivas totalitarias al problema de existencia en matem´ aticas.

11.2.

Las paradojas de la teor´ıa de conjuntos

Hacia 1891, Cantor se dio cuenta de que su definici´on de conjunto como una colecci´on arbitraria de elementos discernibles por nuestra intuici´on, daba lugar a contradicciones. La principal paradoja aparec´ıa al tomar la colecci´on U de todos los conjuntos como un conjunto, y asignarle un n´ umero cardinal α, pues si designamos como β al cardinal de partes de U, ℘(U ), por la inecuaci´on fundamental de la teor´ıa de conjuntos tenemos que α < β. Por otro lado, ℘(U ) ⊆ U , entonces α ≥ β, que contradice lo anterior. En 1895, Cantor se anticipa a la paradoja de Burali-Forti,2 al vislumbrar que el tomar la colecci´ on ∆ de todos los n´ umeros ordinales lleva a la siguiente contradicci´on: El conjunto bien ordenado ∆ tiene asociado un n´ umero ordinal δ, el cual debe ser mayor que cualquier ordinal en ∆; pero como δ ∈ ∆, entonces δ < δ. Las paradojas anteriores llevaron a que Cantor revisara su noci´on de conjunto, estableciendo la diferencia entre colecciones consistenes e inconsistentes. Para Cantor las colecciones que no llevan a contradicciones contitu´ıan las colecciones consistentes o sea los conjuntos propiamente dichos; las colecciones inconsistentes eran aquellas que llevaban a contadicciones. El infinito de este tipo de colecciones lo llam´o infinito absoluto. En este sentido, Cantor intentaba eludir el problema diferenciando multitudes consistentes e inconsistentes y restringiendo la palabra conjunto para las consistentes. Su noci´ on de multitud inconsistente, ligada al infinito absoluto era poco precisa 1

La autor´ıa de la definici´ on tambi´en es un hecho hist´ oricamente controversial. Fue enunciada expl´ıcitamente por Dedekind, pero Cantor se reclama el hecho por cuanto considera que ya aparece de manera impl´ıcita en sus art´ıculos. 2 Cesare Burali-Forti fue quien primero public´ o una antinomia de la teor´ıa de conjuntos en su art´ıculo Una questione sui numeri transfiniti, Rend. Cir. Mat. Palermo, 11(1897), 154-164.

380

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

y adem´ as, ten´ıa connotaciones m´ısticas que nada ten´ıan que ver con estructuras y teor´ıas matem´ aticas rigurosas. Un aspecto que llama la atenci´on de la teor´ıa de Cantor es su rechazo a las cantidades infinitamente peque˜ nas, cuesti´on que parec´ıa contradecir su concepci´on misma del infinito actual, pues, ¿Cu´al era la raz´on para aceptar la existencia matem´atica del infinito actual en lo grande y rechazarla en lo peque˜ no? En una carta a Weierstrass comenta: Los n´ umeros lineales, no cero, (resumiendo, n´ umeros los cuales pueden ser pensados como longitudes de una l´ınea recta, acotados y continuos) los cuales ser´ an m´ as peque˜ nos que cualquier n´ umero arbitrario, no existen, esto es, ellos contradicen el concepto de n´ umero lineal.3 La inconsistencia a la que se refer´ıa Cantor ten´ıa que ver con el hecho de que los infinitesimales no cumpl´ıan el principio de Arqu´ımedes, argumentaci´on que se antoja poco contundente por cuanto los n´ umeros transfinitos negaban de plano la noci´on com´ un 5. Seg´ un Cantor, la cuesti´on era que el principio de Arqu´ımedes, no era un axioma sino un teorema de la teor´ıa de n´ umeros reales. De esta forma, los infinitesimales no ten´ıan mucha importancia te´orica pues carec´ıan de una estructura propia como cuerpo te´ orico matem´atico. Los trabajos de Abraham Robinson, poco despu´es de mediados del siglo XX, demostrar´ıan otra cosa. Nuevamente cuando se crey´o posible la domesticaci´ on del infinito nos d´abamos cuenta que las rejas que hab´ıamos construido para encerrarlo eran muy fr´agiles. Adem´ as de las paradojas anteriores, surgieron otras paradojas como la paradoja de Russell,4 la paradoja del mentiroso,5 la paradoja de Richard6 y la paradoja de Berry,7 entre otras. Jean Ladri`ere clasifica estas paradojas en dos categor´ıas: paradojas sint´ acticas y paradojas sem´anticas.8 A la primera, pertenecen las que proceden de conceptos matem´aticos y a la segunda, las que proceden de problemas l´ogicos. Frank Ramsey denominaba paradojas epistemol´ ogicas a las primeras y paradojas l´ogicas a las segundas. 3

[Cantor 2006] ¿Existe un conjunto formado por todos los conjuntos que no se contienen a s´ı mismos? 5 Epim´enides, el cretense dice: ¡Todos los cretenses son mentirosos! ¿Dice Epim´enides la verdad? 6 Si las propiedades aritm´eticas se ordenan seg´ un su longitud y las definiciones que contienen la misma cantidad de letras se ordenan alfab´eticamente, se define n´ umero richardiano a aquel n´ umero que no le corresponde al n´ umero de la propiedad que lo describe. La definici´ on de n´ umero de Richard tambi´en es una definici´ on de la aritm´etica y a ella le corresponde tambi´en cierto n´ umero natural. Sea este n´ umero m. ¿Es el n´ umero m richardiano? 7 Sea m el “m´ınimo entero que no puede ser descrito con menos de trece palabras”. Como esta expresi´ on consta de doce palabras, ¿a cu´ al de estos conjuntos pertenece m: al conjunto de enteros expresables en espa˜ nol con menos de trece palabras o al conjunto de enteros que tan s´ olo podr´ an describirse usando trece palabras o m´ as? 8 [Mac Lane 1986] 4

11.3 Las respuestas fundacionistas a comienzos del siglo XX

11.3.

381

Las respuestas fundacionistas a comienzos del siglo XX

El surgimiento de las paradojas en el seno de la teor´ıa intuitiva de conjuntos, desarrollada por Cantor, plantea el problema de establecer los criterios que permitan dilucidar las condiciones para considerar un objeto matem´ atico como verdaderamente existente. Las herramientas te´oricas para dar salida a esta problem´atica fueron la l´ ogica y la axiom´ atica; dependiendo de la manera en que intervienen en las argumentaciones, las investigaciones que intentaban soportar las matem´aticas sobre una base firme, denominadas corrientes fundacionistas, se desarrollaron en cuatro direcciones: 1. La axiom´ atica de conjuntos. 2. El logicismo. 3. El intuicionismo. 4. El formalismo. Por la v´ıa de la axiom´ atica de conjuntos la existencia de un objeto se da a trav´es de un listado de axiomas previamente establecidos. A partir de los axiomas, que son principios de existencia, y una serie de procedimientos, no necesariamente l´ogicos, se va construyendo una red cada vez m´as compleja de conjuntos. El proceso mismo se autoregula, evitando paradojas. Las investigaciones en esta direcci´on se dieron a trav´es de Ernst Zermelo (1871-1953), Abraham Fraenkel (1891-1965), John Von Neumann (1903-1957) y Paul Bernays (1888-1977). Desde el logicismo los objetos matem´aticos son productos l´ogicos. La noci´on de n´ umero se deriva de la l´ ogica de relaciones y la noci´on de conjunto se incorpora a trav´es de funciones proposicionales. La propuesta logicista fue suscrita por Dedekind, Gottlob Frege, Alfred Nord Whitehead (1861-1947) y Bertrand Russell (1872-1970). Para los intuicionistas, la existencia en matem´aticas de un objeto est´a supeditada a la exhibici´ on de un proceso constructivo. Esto es, la exposici´on de una secuencia finita que s´ olo haga uso de la recursi´on propia del proceso de contar que se da en los n´ umeros naturales. Los objetos matem´aticos son independientes de la l´ogica, la cual se considera un artefacto de comunicaci´on. El fundamento de la matem´ atica lo constituye una intuici´ on originaria de tiempo, fuente de la base conceptual del n´ umero entero. Los gestores del programa intuicionista fueron Leopold Kronecker (1823-1891) y Luitzen Brouwer (1881-1966), aunque su desarrollo se debe en gran ´ parte a su adopci´ on parcial por parte de los franceses Ren´e Baire (1874-1932), Emile Borel (1871-1956) y Henri Lebesgue (1875-1941). Los desarrollos posteriores se deben principalmente a Arend Heyting (1898-1980).

382

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

Las bases filos´ oficas de la propuesta formalista, en su versi´on m´as fuerte, fueron establecidas por David Hilbert (1862-1943). Seg´ un Hilbert, la existencia en matem´ aticas se valida con la consistencia. Un objeto matem´atico existe cuando podemos demostrar que no produce inconsistencias, incluso as´ı no lo podamos exhibir con procesos constructivos, tal como pasa con muchos de los desarrollos de la teor´ıa cantoriana del infinito actual. Una teor´ıa formalizada consiste en un sistema de signos, con existencia propia, a los cuales se les da cabida mediante procesos intuitivos. El problema para Hilbert radicaba en demostrar que los enunciados expresados en un sistema formal no llevaran a contradicciones. Para ello incorpor´o una teor´ıa de la demostraci´ on, denominada metamatem´atica, la cual no acog´ıa la inducci´on transfinita ni el m´etodo de reducci´ on al absurdo.

11.4.

La respuesta desde la axiom´ atica

La base conceptual del m´etodo axiom´atico consiste en identificar unos ciertos enunciados base de los que se derivan otros nuevos a trav´es de razonamientos l´ogicos, de tal suerte que desaparezca cualquier rasgo de intuici´on f´ısica, metaf´ısica o geom´etrica. El desarrollo del m´etodo axiom´atico puede explicarse a partir de la adopci´ on de niveles de intuici´ on cada vez m´as refinados. En este sentido se pueden 9 diferenciar cuatro etapas. i. Axiom´ atica intuitiva Los objetos se establecen a partir de definiciones esenciales, pero con un fuerte contenido intuitivo, al igual que los axiomas. Los procesos de deducci´on se encuentran amarrados a una l´ogica natural, tipo l´ogica aristot´elica. Un ejemplo de este sistema se encuentra desarrollado en los cuatro primeros libros de los Elementos de Euclides, tal como lo estudiamos en la primera lecci´on. ii. Axiom´ atica abstracta Las nociones centrales de la teor´ıa se incorporan a partir de definiciones nominales, cuyas propiedades se establecen a partir de un conjunto de principios o leyes que cumplen el papel de los axiomas. Un ejemplo de esta perspectiva se encuentra en los libros t´ıpicos de an´alisis cuando se identifica a los n´ umeros reales como un conjunto de elementos, en el cual se especifican dos operaciones y una relaci´ on de orden, regidas por 5 axiomas algebraicos, 4 axiomas de orden y el axioma de completez. iii. Axiom´ atica formal 9

Ver [Mac Lane 1986], pp. 51-53.

11.5 La teor´ıa axiom´ atica de conjuntos

383

El significado de los objetos de la teor´ıa depende de las relaciones entre ellos a partir de los axiomas, cuyo sentido tiene matices intuitivos. Un ejemplo corresponde al sistema axiom´ atico formulado por Giuseppe Peano (1858-1932) para la aritm´etica. En este sistema se parte de los t´erminos primitivos: “0” (cero), “n´ umero” y “sucesor”, los cuales no se definen. Sin embargo, se sobreentiende que el s´ımbolo “0” corresponde al n´ umero cero, la designaci´on “n´ umero” corresponde a los n´ umeros naturales 0, 1, 2, 3,... , y la palabra “sucesor” de un n´ umero natural n designa al n´ umero natural inmediato siguiente de n en el orden natural. La axiom´ atica de Peano consta de los siguientes 5 postulados: a) 0 es un n´ umero. b) El sucesor de un n´ umero es siempre un n´ umero. c) Dos n´ umeros diferentes nunca tienen el mismo sucesor. d) 0 no es el sucesor de n´ umero alguno. e) Si P es una propiedad tal que (i) cero tiene la propiedad P, y (ii) siempre que un n´ umero n tenga la propiedad P el sucesor de n tambi´en tendr´a la propiedad P, entonces todos los n´ umeros tendr´an la propiedad P. iv. Axiom´ atica formal abstracta Los objetos de la teor´ıa se incorporan a trav´es de un lenguaje simb´olico rigurosamente delimitado, sin ninguna referencia a un orden de significaci´on exterior. Ellos son simples empaques cuyo significado se dinamiza a partir de relaciones establecidas. La intuici´ on no interviene m´as all´a de la manipulaci´on de cadenas de s´ımbolos: basta con diferenciar unos signos de otros y reemplazar un signo por otro seg´ un algunas reglas de sustituci´on.

11.5.

La teor´ıa axiom´ atica de conjuntos

La necesidad de una presentaci´on axiom´atica de la teor´ıa de conjuntos, desarrollada por Cantor en Contribuciones, se debe a dos consideraciones fundamentales: (1) La necesidad de solucionar el problema de las paradojas que aparecen como consecuencia de los desarrollos intuitivos de Cantor; (2) La necesidad de legalizar el uso de algunos principios que aunque ocultos en la teor´ıa de Cantor, juegan un papel decisivo en algunos resultados. La primera teor´ıa axiom´ atica de conjuntos fue desarrollada por Ernst Zermelo en su art´ıculo Investigaciones sobre teor´ıa de conjuntos de 1908.10 Esta primera presentaci´on aparece como respuesta a las cr´ıticas que se hab´ıan tejido alrededor de su demostraci´ on del teorema seg´ un el cual todo conjunto puede ser bien ordenado. 10

[Zermelo 1992], pp. 367-378.

384

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

En esta demostraci´ on, Zermelo hace uso de elecciones simult´aneas sin ning´ un soporte riguroso. Considera un “dominio” B, de objetos, llamados “cosas”. Los conjuntos son algunas de estas cosas, las cuales se articulan mediante las siguientes relaciones: a. Relaci´ on de “pertenencia”: se escribe de la forma a ∈ b para significar que “a es un elemento de b”. b. Subconjunto: Si todo elemento x de un conjunto M es tambi´en elemento del conjunto N, se dice que M es un subconjunto de N y se escribe M ⊂ N . c. Predicados: Un enunciado abierto E(x), donde x es un elemento de la clase K, se dice bien definido si es posible determinar la validez o no para cada x. Las relaciones del dominio B est´an regidas por los siguientes axiomas: Axioma I (de Extensi´ on): Si cada elemento de M es elemento de N y, rec´ıprocamente, cada elemento de N es elemento de M, entonces M = N . Esto es, si M ⊂ N y N ⊂ M , entonces M = N . Axioma II (de Conjuntos elementales): Existe un conjunto impropio, el “conjunto nulo” 0, que no tiene ning´ un elemento. Si a es una cosa, existe un conjunto {a} que contiene a a y s´olo a a como elemento. Si a y b son cosas, existe un conjunto {a, b} que tiene a y b como u ´nicos elementos. Axioma III (de Separaci´on): Si un enunciado abierto E est´a bien definido para todos los elementos de un conjunto M, existe un subconjunto ME que tiene todos los elementos x de M para los cuales E(x) es verdadero. Axioma IV (de Partes): A cada conjunto T, le corresponde un nuevo conjunto ℘(T ) que contiene todos los subconjuntos de T y solamente ellos. Axioma V (de Uni´ on): A cada conjunto T, le corresponde un nuevo conjunto D T que contiene todos los elementos de los elementos de T y solamente ellos. D D Para el caso del conjunto {a, b} en lugar de {a, b} se escribe a b Axioma VI (de Elecci´ on): Si T es un conjunto tal que todos sus D elementos son diferentes de vac´ıo y son disjuntos de dos en dos, su uni´ on T contiene un subconjunto S1 que tiene un elemento com´ un y s´olo uno con cada elemento de T .

Axioma VII (del Infinito): El dominio B contiene al menos un conjunto Z, que D contiene como elemento al conjunto vac´ıo y para todo a ∈ Z se tiene que a {a} ∈ Z.

11.6 El logicismo de Frege

385

En 1922, Abraham Fraenkel introduce el axioma de reemplazo y en 1925 Von Neumann introduce el axioma de regularidad. Axioma VIII (Reemplazo): Si se tienen un conjunto A y una funci´on F, entonces la imagen directa de A, bajo F, F [A] es un conjunto. Axioma IX (Regularidad): Todo conjunto A ̸= ∅, tiene un elemento x, tal que A y x no tienen elementos comunes. Una teor´ıa axiom´ atica alternativa fue establecida por Paul Bernays en 1937. En esta propuesta se consideran dos tipos de objetos: Clases (que representamos con letras may´ usculas) y conjuntos (que representamos con letras min´ usculas), los cuales se rigen por los siguientes axiomas: 1. (Axioma de Extensi´ on) Si cada elemento de la clase M es elemento de la clase N y, rec´ıprocamente, cada elemento de la clase N es elemento de la clase N, entonces las dos clases son iguales: M = N . 2. Todo conjunto es una clase. 3. Los elementos de las clases son conjuntos. 4. Si x, y son conjuntos, existe el conjunto {x, y}. 5. (Axioma de comprensi´ on) Si un enunciado abierto ϕ(x) est´a bien definido para todos los conjuntos x, se puede formar la clase A = {x : ϕ(x)}. 6. Axioma del infinito (Axioma VII de Zermelo) 7. Axioma de la uni´ on (Axioma V de Zermelo) 8. Axioma de potencia (Axioma IV de Zermelo) 9. Axioma de Reemplazo (Axioma VIII de Fraenkel) 10. Axioma de Regularidad (Axioma IX de von Neumann) 11. Axioma de Elecci´ on (Axioma VI de Zermelo)

11.6.

El logicismo de Frege

El logicismo plantea que la matem´atica es una parte de la l´ogica, es decir, que todo conocimiento matem´ atico puede ser reducido a principios l´ogicos, en lo que se conoce como la “salida logicista al problema de los fundamentos en matem´aticas”. De esta forma, las cuestiones de veracidad y de objetividad del conocimiento matem´ atico dependen de la l´ ogica. Entre los principales representantes de esta visi´on se pueden

386

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

se˜ nalar a Gottlob Frege, Bertrand Russell, Alfred Whitehead y Rudolf Carnap (18911970). Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) curs´o sus estudios de pregrado en la Universidad de Jena y obtuvo su doctorado en la Universidad de G¨ottingen en 1873, bajo la direcci´ on de Ernst Schering. Aunque sus primeras investigaciones fueron en el campo de la geometr´ıa, sus resultados m´as importantes fueron en l´ogica y filosof´ıa de las matem´ aticas. Entre sus obras m´as significativas podemos citar: 1. Escritura de conceptos, 1879 (Begriffsschrift). 2. Los fundamentos de la aritm´etica: Investigaci´ on l´ ogico-matem´ atica sobre el concepto de n´ umero, 1884 (Grundlagen). 3. Leyes b´ asicas de la aritm´etica: Vol. 1 (1893); Vol. 2 (1903) (Grundgesetze der Arithmetik). 4. Funci´ on y concepto (1891). 5. Sobre el sentido y la referencia (1892). 6. Sobre concepto y objeto (1892). 7. ¿Qu´e es una funci´ on? (1904). Podemos considerar a Frege como el fundador de la l´ogica moderna y de la corriente de la filosof´ıa de las matem´aticas reconocida como logicismo, puesto que: (a) Estableci´ o un sistema formal para la l´ogica, mediante el cual era posible una presentaci´ on de sentencias complejas y expresiones cuantificadas. (b) Desarroll´ o una teor´ıa de la prueba. (c) Expuso una teor´ıa conceptual mediante la cual se ofrece una salida al problema de los fundamentos de las matem´aticas. (d) Exhibi´ o un esquema de desarrollo l´ogico a partir de algunos axiomas b´asicos aplicados a la teor´ıa de los n´ umeros. (e) Defendi´ o la idea de que las matem´aticas se pod´ıan derivar de un conjunto limitado de conceptos l´ ogicamente primitivos y algunos axiomas. En primer lugar, Frege desarroll´o una notaci´on formal, que anuncia el moderno c´alculo de predicados, denominada “escritura conceptual”, que consta de los siguientes elementos: 1. Letras para representar “variedad de cosas”. Concretamente representan lo que hoy denominar´ıamos nombres y proposiciones at´omicas.

11.6 El logicismo de Frege

387

2. Figuras lineales para formar expresiones compuestas. 3. Expresiones significativas. 4. Conceptos. 5. Reglas de deducci´ on. 6. Axiomas l´ ogicos. Letras. Las letras especiales a, b, c . . . se usan como variables ligadas. Las letras may´ usculas A, B, . . . se utilizan como constantes o como oraciones. Las letras may´ usculas griegas Φ, Ψ, se utilizan como predicados. Las letras griegas min´ usculas α, β, . . . se utilizan como ´ındices. Las min´ usculas latinas: a, b, c, m y x se utilizan como variables libres o como variables proposicionales. Las letras: f, g, h y la may´ uscula F se usan como variables predicativas. Figuras lineales. En el siguiente cuadro se describen los s´ımbolos utilizados por Frege y su transcripci´ on moderna.

S´ımbolo de Frege

S´ımbolo moderno

∀ ¬ → Afirmaci´ on

∧ ∨

Tabla 11.1 Expresiones significativas. En el sistema l´ogico de Frege, las expresiones significativas son:

388

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

Notaci´ on de Frege

Ejemplo

M (J )

Jos´ e no es matem´ atico

entonces Jos´ e es matem´ atico

Jos´ e es profesional,

M (J )

M (J )

P (J )

y Jos´ e es matem´ atico

Jos´ e es profesional,

¬

M (J)

P (J )

Si Jos´ e es profesional,

Jos´ e es matem´ atico

Notaci´ on moderna

P (J) →P (J)

M (J)

P (J) y P (J)

M (J ) P (J )

P (J) o P (J)

o Jos´ e es matem´ atico

M (J )

Tabla 11.2 i. Los nombres que denotan objetos simples, como “2” y “π”. ii. Los t´erminos que se obtienen a trav´es de operaciones aritm´eticas que denotan objetos, como “22 ” y “3 + 1”. iii. Frases. Los t´erminos complejos en (i) y (ii) se forman a partir de las “expresiones incompletas”, que provienen de funciones, como por ejemplo la funci´on cuadr´atica “()2 ” o la funci´on suma “( ) + ( )”. En estas expresiones funcionales, “( )” se utiliza como “marcador de posici´ on” de los argumentos de la funci´on, que nosotros reconocemos modernamente como los elementos del dominio de la funci´on. Los marcadores de posici´ on corresponden a lugares vac´ıos que al ser ocupados forman las expresiones listadas en (i), (ii) y (iii). Por lo tanto, una expresi´on matem´atica, tal como “32 ” denota el resultado de aplicar la funci´on “()2 ” al n´ umero 3 como argumento. Frege distingue, en las expresiones ling¨ u´ısticas, entre el sentido y su significado (denotaci´on). Por ejemplo las expresiones “32 ” y “4 × 2 + 1” tienen el mismo significado pero no el mismo sentido; ambas denotan el n´ umero 9, pero de diferente manera. A partir de expresiones simples se obtienen expresiones compuestas utilizando las figuras lineales. En el cuadro siguiente se consignan algunos ejemplos:

11.6 El logicismo de Frege

389

Notaci´ on de Frege

Ejemplo

a

Cada cosa es mortal a

Existe una cosa mortal

Notaci´ on moderna

M (a)

M (a)

∀xM (x) ¬∀x¬M (x) esto es: ∃xM (x)

Tabla 11.3 En cuanto a las expresiones cuantificadas, los siguientes ejemplos nos dan una idea del uso de ´estas por parte de Frege. Sem´ antica. La l´ ogica de Frege es una l´ogica bivalente. A cada expresi´ on se le asigna uno de los valores: verdadero (v) - falso (f ), a partir de unos criterios que hemos heredado a

Φ(a)

() () ()

Tiene asignaci´ on v, si Φ tiene asignaci´ on v, para cada objeto; en otro caso tiene asignaci´ on f. Cambia la asignaci´ on primaria del objeto. Tiene la asignaci´ on f si el objeto de abajo tiene la asignaci´ on f y el de arriba la asignaci´ on v, y asigna v en otro caso.

Frege utiliza dos reglas de inferencia b´asicas: Modus Ponens. cuyo esquema ser´ıa el siguiente: A B A

B

Generalizaci´ on universal. que tiene el esquema: a

Φ(a) De la premisa

se concluye A

A

Φ(a)

390

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

siempre que A sea una expresi´ on en la cual no figura a y que a s´olo figure en Φ(a) en las posiciones que a ocupa en Φ(a). Es conveniente aclarar que aunque la justificaci´on de estas reglas es sem´antica, su aplicaci´ on depende s´ olo del esquema, es decir corresponde a una l´ogica formal. La leyes l´ ogicas ser´ıan aquellas expresiones que denotan verdades, independientemente de la denotaci´ on de sus partes. En t´erminos modernos, estas leyes l´ogicas en la propuesta de Frege son las siguientes: 1. (p → (q → p)) 2. ((p → (q → r)) → ((p → q) → (q → r))) 3. ((p → q → r)) → (q → (p → r))) 4. ((p → q) → (¬q → ¬p)) 5. (¬¬p → p) 6. (p → ¬¬p) 7. ((c = d) → (Φ(c) → Φ(d))) 8. (c = c) 9. (∀xΦ(x) → Φ(a)) Conceptos. Los Conceptos son funciones que asignan todos los argumentos que tienen uno de los valores de verdad en una determinada situaci´on. Por ejemplo, “‘( ) < 5” denota el concepto “menor que 5”. Cada una de las funciones se asocia a un objeto espec´ıfico que corresponde al recorrido de los valores que toman la valoraci´on respectiva. Para el caso del concepto “() < 5”, si nos referimos a los n´ umeros enteros positivos, el recorrido corresponde a los n´ umeros: 1, 2, 3 y 4. Dada una funci´on Φ(ξ), Frege designa el recorrido como εΦ(ε). Frege utiliza esta notaci´on para establecer algunas leyes de conceptos aritm´eticos b´ asicos. Una de estas leyes es: (V) (ϵ′ f (ϵ) = α′ g(α))=(

u

f (u) = g(u))

Infortunadamente, cuando Frege se preparaba para imprimir el tomo 2 de Grundgesetze, Bertrand Russell descubri´ o que la ley (V) entra˜ naba contradicciones. Russell observ´ o que algunos recorridos son elementos de s´ı mismos y otros no. El recorrido del concepto recorrido es un elemento de s´ı mismo, ya que ese concepto ser´ıa la asignaci´on de su propio recorrido a lo verdadero.11 Tambi´en hay recorridos que no 11

De manera ret´ orica significa que el recorrido del concepto recorrido es a su vez un recorrido.

11.7 El logicismo de Russell

391

se pertenecen a s´ı mismos; como en el caso del concepto “( ) < 5”. Si E representa el concepto “recorrido que no es un elemento de s´ı mismo” y e designa el recorrido de E, tendr´ıamos que e es un elemento de s´ı mismo, si y s´olo si E asigna a e lo verdadero (por definici´on de “elemento de” donde e es el recorrido de E ); pero E asigna e a lo verdadero si y s´olo si e es un recorrido que no es un elemento de si mismo, es decir, si e no es un elemento de s´ı mismo, si y s´olo si lo es. En gran medida, esta paradoja constituye una de las motivaciones de los desarrollos de Russell.

11.7.

El logicismo de Russell

A principios del siglo XX, Bertrand Russell expresaba que las matem´aticas puras s´ olo fueron descubiertas hasta 1853, por George Boole (1815-1864) en su famosa obra Las leyes del pensamiento. Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) fue un intelectual polifac´etico. Se movi´ o en diversos campos del saber, desde la pol´ıtica (fue activista comprometido con los procesos de pacificaci´on) hasta la literatura (recibi´o el premio Nobel de literatura en 1950). Hizo aportes decisivos a los fundamentos de las matem´aticas, al desarrollo de la l´ ogica formal contempor´anea y a la filosof´ıa anal´ıtica. Sus contribuciones relativas a las matem´aticas incluyen el descubrimiento de la paradoja de Russell, la introducci´ on de la teor´ıa de tipos y el perfeccionamiento del c´alculo de predicados. En compa˜ n´ıa de su compatriota Alfred North Whitehead, escribi´o una obra monumental, con la pretensi´on de materializar la propuesta logicista de establecer todos los resultados matem´aticos a trav´es de un lenguaje especial que permitiera erradicar cualquier vestigio de lenguaje natural: Principia Mathematica (1910-13). Desde 1897 Russell mostr´ o inter´es por los fundamentos al escribir Un ensayo sobre los fundamentos de la geometr´ıa; su primer objetivo investigativo lo centr´o en establecer una definici´ on rigurosa de n´ umero. Para ello analiz´o, adem´as de los desarrollos de Georg Boole, Cantor y Augustus De Morgan (1806-1871), los planteamientos de Charles Sanders Peirce (1839-1914) y Ernst Schr¨oder (1841-1902). Estos insumos y su acercamiento a los trabajos de Peano, en el Primer Congreso Internacional de Filosof´ıa, celebrado en el a˜ no 1900 en Paris, lo llevaron a concluir que los fundamentos de matem´ aticas reposaban en la l´ogica, cuyo tel´on de fondo lo constitu´ıa la teor´ıa de conjuntos. Entre 1900 y 1903 produjo algunos art´ıculos basado en los procedimientos y la simbolog´ıa de Peano. Russell descubri´ o la paradoja que lleva su nombre en mayo de 1901, al revisar los desarrollos de Gottlob Frege, mientras preparaba su obra Principios de las matem´ aticas (1903). En este libro intenta demostrar que la matem´atica pura se ocupa de conceptos cuyo sustrato reposa en nociones l´ogicas y sus resultados se pueden deducir a partir de principios l´ogicos. En el cap´ıtulo 10 de este libro se explica

392

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

que las paradojas de la teor´ıa de conjuntos provienen de la definici´on de conjunto como colecci´ on arbitraria de elementos dada por Cantor, la cual, en el esquema del posteriormente denominado principio de comprensi´on, plantea que para constituir un conjunto es suficiente dar una propiedad que lo describa; esto es, cualquier expresi´on predicada P (x), que contiene a x como variable libre, determinar´a un conjunto A cuyos elementos son exactamente aquellos que satisfacen P (x): A = {x/P (x)} Russell adopta el procedimiento utilizado en el an´alisis de los recorridos funcionales y distingue dos tipos de conjuntos: aquellos que no se pertenecen a s´ı mismos y otros que se pertenecen. Russell define el conjunto R de la siguiente manera: R = {x/x no se pertenece a s´ı mismo}. Supongamos que el conjunto R se pertenece a s´ı mismo. Al ser un elemento de R, y dado que en R est´ an los conjuntos que no se pertenecen a s´ı mismos, el conjunto R no se pertenece as´ı mismo. De otro lado, si R no pertenece a R, tendr´ıamos que R es un elemento del mismo R. En conclusi´on tenemos que R ∈ R y R ∈ / R, lo cual es una contradicci´ on. Para evitar el problema de las paradojas, Russell incorpor´o el “principio del c´ırculo vicioso”, adoptado tambi´en por Henri Poincar´e. La idea de fondo de este principio reposa en el hecho de evitar que una totalidad T contenga predicaciones cuyo dominio de variaci´ on contenga al mismo T. Para ello, Russell incorpor´ o la teor´ıa de tipos, la cual consist´ıa en introducir los conjuntos a trav´es de niveles de jerarqu´ıa: El primer nivel correspond´ıa a predicaciones sobre individuos; el segundo, a predicaciones sobre conjuntos y, as´ı sucesivamente. De esta manera, s´olo se permite hacer referencia a colecciones de objetos para los cuales el predicado cobra sentido s´ olo si todos los objetos est´ an en el mismo nivel o son del mismo “tipo”. Una primera versi´ on de la teor´ıa de tipos la introdujo en su libro Principios de la matem´ atica (1903). Una segunda versi´on aparece en su art´ıculo L´ ogica matem´ atica basada en la teor´ıa de tipos (1908), y la versi´on definitiva la desarroll´o en Principia Mathematica, escrito en coautor´ıa con Alfred North Whitehead.

11.8.

Principia Mathem´ atica de Russell

Principia Mathematica fue publicado en tres vol´ umenes: el primero en 1910, el segundo en 1912 y el tercero en 1913. La segunda edici´on, que involucraba algunos cambios, fue publicada en 1927. El contenido de Principia Mathematica marc´o el desarrollo y las directrices de la l´ogica matem´atica moderna. El prop´osito principal del libro era demostrar que la l´ ogica constitu´ıa el fundamento de las matem´aticas. En el prefacio del primer volumen, Russell y Whitehead comentan que el objetivo principal de la obra es presentar un “tratamiento matem´atico de los fundamentos de

11.8 Principia Mathem´ atica de Russell

393

las matem´ aticas”,12 el cual constituye un complemento a la fundamentaci´on filos´ ofica de las matem´aticas que hab´ıa desarrollado en Principios de la Matem´ atica. El mismo Russell admite que pens´ o en Principia como una segunda parte de Principios, pero que luego comprendi´ o que deb´ıa seguir un itinerario independiente: Nuestra intenci´ on inicial fue la de incluir este libro en Los Principios de la Matem´ atica, de forma que constituyese un segundo volumen de la obra. Teniendo presente dicho objetivo, comenzamos a escribirlos en el a˜ no 1900. A medida que avanz´abamos, se hac´ıa cada vez m´as evidente que este trabajo era de una envergadura mucho mayor de lo que hab´ıamos presupuesto; por otra parte, acerca de muchas cuestiones fundamentales, que en la obra anterior se hab´ıan abandonado por oscuras y dudosas, ahora hemos llegado a soluciones que creemos que son satisfactorias. Por este motivo se hizo preciso realizar nuestro libro con independencia de los Principios de la Matem´ atica.13 Russell y Whitehead, desarrollan su perspectiva en tres vol´ umenes. En conjunto, estos tres vol´ umenes se dividen en seis partes. Tomo 1. Introducci´ on: Las explicaciones preliminares de ideas y anotaciones, la teor´ıa de tipos l´ogicos, s´ımbolos incompletos. Parte I: L´ogica Matem´atica: A) La teor´ıa de la deducci´ on. B) Teor´ıa de las variables aparentes. C) Clases y Relaciones. D) L´ ogica de las relaciones. E) Productos y Sumas de clases. Parte II: Proleg´ omenos al Cardenal Aritm´etica: A) Clases unitarias y pares. Tomo 2. Declaraci´ on Preliminar: Las convenciones simb´olicas. Parte III: El cardenal Aritm´etico: A) Definici´ on y Propiedades de los l´ogicos. B) N´ umeros cardinales. C) La adici´on, la multiplicaci´on y exponenciaci´on. D) Lo finito y lo infinito. Parte IV: Relaci´ on-aritm´etica: A) Ordinal similitud y relaci´on N´ umeros. B) Suma de las relaciones, y el producto de dos relaciones. C) El principio de primeras diferencias, y la multiplicaci´on y exponenciaci´on de las relaciones. D) La aritm´etica de la Relaci´on-N´ umeros. Parte V (Primera parte): Series: A) Teor´ıa General de la Serie. B) Sobre las secciones, segmentos, estiramientos y derivadas. C) Sobre la convergencia y los l´ımites de las funciones. Tomo 3. Parte V (Continuaci´ on): D) Series Bien ordenadas. E) Series finitas e infinitas y ordinales. F) Series Compactas, series racionales y series continuas. Parte 12 13

[Whitehead y Russell 1981], p. 7. [Whitehead y Russell 1981], p. 94.

394

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

VI: Cantidad: A) La generalizaci´on de N´ umero. B) Familias de vectores. C) Medici´ on. D) Familias c´ıclicas. En la Introducci´ on, Russell y Whitehead argumentan que la emergencia de las paradojas se debe a la aceptaci´ on de totalidades indiscriminadamente. Como soluci´on a este problema proponen el Principio del c´ırculo vicioso: El principio que nos capacita para evitar totalidades ileg´ıtimas puede definirse as´ı: “Aquello que abarque la totalidad de una colecci´on no debe ser miembro de la colecci´on”; o, por el contrario “Si supuesto que una cierta colecci´ on contiene a su totalidad, entonces dicha colecci´on no contiene la totalidad”.14 Para entender un poco la manera como el Principio del c´ırculo vicioso constituye un poderoso ant´ıdoto contra las paradojas, revisemos algunos aspectos de la l´ogica expuesta en Principia. Russell y Whitehead parten de las nociones de proposici´on y funci´ on proposicional:15 Proposiciones elementales. Por proposici´ on “elemental” entendemos aquella que no contiene variable alguna; dicho de otra forma, que no entra˜ ne palabras como “todo”, “alg´ un”, “el”, o equivalente a ella. Toda proposici´on tiene un valor de verdad. Las proposiciones primitivas tomadas como referencia por Russell son:

2. 3. 4. 5.

O

p⊃p O :q⊃q p O O :p q⊃q p O O O O : p (q r) ⊃ q (p r) O O : q ⊃ r ⊃: p q ⊃ p r

1. : p

Funciones proposicionales elementales. Por “funci´on proposicional elemental” entendemos una expresi´ on que contiene un constituyente indeterminado, es decir una variable, o varios constituyentes tales que, cuando el constituyente indeterminado o los constituyentes se determinan (o sea cuando se asignen valores a la variable o variables), el valor resultante de la expresi´on en cuesti´on es una proposici´on elemental. Dado que la simbolog´ıa utilizada en Principia es un tanto bizarra, interpretemos los planteamientos de Russell y Whitehead con una notaci´on moderna. Las funciones proposicionales corresponden a predicados n-arios de la forma f (x1 , x2 , . . . , xn ). Los 14 15

[Whitehead y Russell 1981], p. 94. [Whitehead y Russell 1981], p. 151.

11.8 Principia Mathem´ atica de Russell

395

argumentos de la funci´ on son las variables, las cuales pertenecen a un determinado dominio, denominado, en Principia, como campo de significaci´ on de la variable. El tipo de un predicado se define con base al campo de significaci´on de las variables. Las funciones proposicionales se transforman en proposiciones elementales o simplemente proposiciones cuando se cuantifiquen o se les asignen valores a las variables. Los tipos establecen una jerarqu´ıa dial´ectica en la medida que los campos de significaci´on se van transformando. El tipo m´ as bajo son los “individuos”, los cuales corresponden a aquello “que existe por su propia cuenta” y, que de ninguna manera, corresponden a proposiciones. Si suponemos que los individuos conforman el tipo 0, una funci´on de una variable f (x), donde x es un individuo, corresponde al tipo (0) . Una funci´on g(f (x)), corresponder´a al tipo ((0)). En general, una funci´on de una variable ϕ(x), tal que x es del tipo t, corresponde al tipo (t). De esta forma, los tipos de las funciones de una variable forman la jerarqu´ıa: 0, (0), ((0)), (((0))),. . . Un poco m´as complejo es el caso de las funciones de varias variables. Por ejemplo, la funci´on de tres variables f (x, y, z), ser´ a del tipo (tipo x, tipo y, tipo z ). Si suponemos tipo x = 0, tipo y = (((0))), tipo z = ((0)), el tipo de f ser´ a (0, (((0))), ((0))). Este proceso se denomina teor´ıa simple de los tipos. Seg´ un el Principio del c´ırculo vicioso, no es posible tener predicados de la forma f (f (x)), lo cual impide la paradoja de Russell, pues, si se toma el predicado: Ψ(Φx) : Φx es un predicado que no es predicable de s´ı mismo. La paradoja de Russell corresponder´a a la expresi´on: ∀Φx(ΨΦx ↔ ΦΦx), sin embargo, en concordancia con el Principio del c´ırculo vicioso, la f´ormula ΦΦx carece de sentido. Con respecto a la Paradoja del mentiroso, tenemos que cuando el mentiroso dice “yo miento”, se presentan dos posibilidades: La expresi´on no tiene sentido, lo que quiere decir que no hay paradoja. Si bien la teor´ıa simple de tipos obraba bien para las funciones de una variable, contrariaba el Principio del c´ırculo vicioso para algunas funciones de varias variables y no le daba salida a las paradojas epistemol´ogicas. Para solucionar este impase, Russell incorpor´ o la “Teor´ıa ramificada de tipos” en la cual introduc´ıa un axioma que escapaba el ´ ambito de la l´ ogica, denominado “el Axioma de reducibilidad”, seg´ un el cual, para toda funci´ on proposicional existe una funci´on predicativa que tiene el mismo dominio de significaci´ on. Sin embargo, pese a los esfuerzos, Russell no consigue establecer un proceso para obtener la funci´on predicativa en referencia. Como dice Torretti: “M´ as que un principio l´ogico o matem´atico, el Axioma de reducibilidad parece la cruda expresi´ on de un deseo.”16 El abandono del Axioma de reducibilidad no signific´o la desaparici´on de los principios no l´ ogicos del programa de Russell, puesto que para una fundamentaci´on 16

[Torreti 1998], 205.

396

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

completa era necesario incorporar dos principios no l´ogicos: el axioma de elecci´on y el axioma del infinito. Esto mostraba la incapacidad del logicismo de fundamentar las matem´ aticas.

11.9.

La respuesta desde el constructivismo

La salida m´ as dr´ astica al problema de las paradojas se dio en una corriente filos´ ofica llamada el Intuicionismo, una de las vertientes del Constructivismo. El intuicionismo tuvo como precursor al alem´an Leopold Kronecker (1823-1891), uno de los enemigos personales de Cantor y sus ideas del infinito. Para Kronecker, los n´ umeros naturales constituyen la materia prima que permite construir los objetos matem´aticos. A la pregunta sobre la naturaleza de los n´ umeros naturales, Kronecker responde con su c´elebre frase: Dios hizo los n´ umeros naturales, todo lo dem´as es obra de los hombres.17 Seg´ un Kronecker, el rigor de la escuela de Weierstrass no estaba sobre bases epistemol´ ogicas sino nominales y la teor´ıa de n´ umeros transfinitos de Cantor era puro misticismo. En su ensayo de 1887 Sobre el concepto de n´ umero, incorpor´o la teor´ıa de n´ umeros racionales, pero desech´o por completo a los n´ umeros irracionales. Para los intuicionistas en general, y para Kronecker en particular, las matem´aticas consisten de todas las proposiciones que pueden derivarse en un n´ umero finito de pasos a partir de los n´ umeros naturales. Esto trae consigo una consecuencia bastante profunda, puesto que una proposici´on cuya verdad no se pueda decidir a partir de un n´ umero finito de pasos queda en la sala de espera. El principio del tercero excluido empieza a tambalear; una proposici´on no s´olo puede ser falsa o verdadera sino que tambi´en puede ser indecidible. Esto va abriendo la posibilidad para el uso de las l´ ogicas polivalentes. La eliminaci´ on del tercero excluido tiene repercusiones en la teor´ıa de la demostraci´ on; espec´ıficamente, el m´etodo de reducci´on al absurdo no tendr´ıa cabida. Desde Euclides, se institucionaliz´ o ´este proceso demostrativo indirecto, mediante el cual se demuestra que la negaci´ on de la proposici´on a demostrar es falsa y por lo tanto la proposici´ on original es verdadera. En su ´epoca, las ideas de Kronecker no encontraron mayor respaldo entre la comunidad matem´ atica, la cual segu´ıa con avidez la teor´ıa cantoriana de conjuntos infinitos. Sin embargo sus planteamientos encontraron eco en Francia, en principio ´ con Henri Poincar´e y luego con Emile Borel, Ren´e Baire y Henri Lebesgue, pioneros de la teor´ıa de la medida, la teor´ıa de funciones y la teor´ıa moderna de la integral, respectivamente. Debido a sus inclinaciones constructivistas, a Baire, Borel y Lebesgue se les conoce como semi-intuicionistas o empiristas franceses. No se puede reconocer en 17

[Hilbert 1993], p. 43.

11.9 La respuesta desde el constructivismo

397

sus planteamientos una filosof´ıa acabada de las matem´aticas, sino m´as bien una filosof´ıa sincr´etica en la cual conviven la concepci´on cantoriana con la visi´on finitista de las matem´aticas: los tres emplearon conceptos y teoremas cantorianos en sus investigaciones sobre funciones, pero ninguno de ellos suscribi´o su ontolog´ıa. Los primeros recelos se convirtieron en oposici´on luego de la demostraci´on del teorema del buen ordenamiento, establecida por Ernst Zermelo (1871-1953) en 1904, seg´ un el cual todo conjunto puede ser bien ordenado, a condici´on de aceptar la existencia de una funci´ on de elecci´ on. En diciembre de 1904, Borel escribe un breve art´ıculo, a pedido de Hilbert como editor de Annales, sobre la cuesti´on de la prueba de Zermelo. Seg´ un Borel, lo que hab´ıa hecho Zermelo era mostrar la equivalencia de los problemas: a) Establecer un buen orden en un conjunto arbitrario M b) Escoger un elemento distinto de cada subconjunto no vac´ıo de M. En efecto, para que el problema b) pueda considerarse resuelto con respecto a un conjunto dado M, ser´ıa necesario dar una manera al menos te´orica para determinar un elemento distinguido m′ de un subconjunto arbitrario M ′ y este problema parece ser uno de los m´ as dif´ıciles, si uno supone que M coincide con el continuo. Borel consider´ o que el argumento de Zermelo no era m´as v´alido que el proceso de seleccionar, de un conjunto bien ordenado M, un primer elemento, luego un segundo y as´ı transfinitamente, hasta que todos los elementos de M hayan sido agotados. Para Borel, matem´ aticamente las escogencias de Zermelo eran absolutamente inadmisibles y, aunque descart´ o de manera rotunda la prueba de Zermelo, dej´o abierta la posibilidad de una cantidad numerable de escogencias arbitrarias. Estos dos art´ıculos causaron revuelo inmediato entre partidarios y detractores. Es famosa la pol´emica que enfrent´ o a Borel, Baire y Lebesgue, de un lado, y a Jacques Hadamard del otro. Controversia que se desarroll´o a trav´es del g´enero epistolar, consignada bajo el apelativo de las Cinco cartas acerca de la teor´ıa de conjuntos.18 Hadamard le escribe a Borel una r´eplica, en la cual reivindica el uso del axioma de elecci´on sin ninguna restricci´ on. Hadamard enfatiza que las escogencias de Zermelo se efect´ uan independientemente unas de otras, sin la atadura de aquellas que se hacen recursivamente en lo numerable. Despu´es de analizar los argumentos epistolares de Hadamard, Baire le plantea su punto de vista en una misiva en que refuerza los argumentos de Borel. Baire considera v´ alidos u ´nicamente los procesos potencialmente infinitos, usando los ordinales transfinitos cantorianos s´olo referencialmente (como fa¸con de parler). Baire considera que la aceptaci´ on de los objetos matem´aticos debe rebasar la condici´on de consistencia, la cual se cumple en el proceso de Zermelo. 18

[Taylor 1981]

398

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

Lebesgue le escribe a Borel d´andole a conocer su posici´on respecto a los hechos. En un comienzo, Lebesgue trata de mantener una posici´on conciliadora, pero al final plantea una posici´ on alejada de Hadamard y un poco m´as cercana a Borel. Para Lebesgue, el problema gira en torno a la pregunta: ¿se puede probar la existencia de un objeto matem´ atico sin definirlo? Lebesgue dice que ´este es un asunto de convenci´ on; aunque seg´ un su concepci´on, solamente se puede mostrar la existencia de un objeto previamente definido. Sus concepciones se encuentran planteadas de manera directa en su memoria de 1905: Un objeto se define o se da cuando se ha pronunciado un n´ umero finito de palabras que se aplican a este objeto, es decir cuando se ha nombrado una propiedad caracter´ıstica del objeto.19 En este sentido, Lebesgue rechaza las pruebas de existencia pura, en las cuales intervenga el axioma de elecci´ on. Uno de los problemas formales en el desarrollo de las pruebas, donde interviene una funci´on de selecci´on es la unicidad: nada garantiza que las escogencias sean u ´nicas. Esta cuesti´ on era muy pertinente en 1904 debido a la falta de fundamentaci´on de la teor´ıa de conjuntos. El impase fue solucionado con la incorporaci´on de la primera axiom´atica de conjuntos en 1908 por parte de Zermelo, donde la unicidad era asegurada por el axioma de extensionalidad. En las axiom´aticas t´ıpicas de conjuntos se distinguen los axiomas de base: axioma de la uni´on, axioma de partes, el esquema de axiomas de comprensi´ on y el esquema de axiomas de sustituci´on, de los axiomas de elecci´on y del infinito. Lebesgue plantea que no necesariamente un proceso de construcci´on asegura la identificaci´ on de los objetos de manera concreta. Las funciones, para Lebesgue, no necesariamente sirven para establecer c´alculos ni sacar las im´agenes correspondientes a cada valor de la variable independiente. Justamente, este es el sentido que le gui´ o en la constituci´ on de una teor´ıa de la medida que va m´as all´a de la propuesta por Borel. La noci´ on de medida en el sentido de Lebesgue es una extensi´ on de la medida de Borel. Como dice el mismo Borel: “estos son los conjuntos (los Lebesgue medibles) que se obtienen adjuntando a un conjunto bien definido (boreliano de medida no nula) una porci´ on arbitraria de un conjunto bien definido de medida nula”. Precisamente, es el ideal de existencia el que hace que Lebesgue rechace los conjuntos no medibles, como el ejemplo propuesto por Giuseppe Vitali (1875-1932) en 1905: En cuanto a la cuesti´ on de la existencia de conjuntos no medibles, apenas si ha ganado progreso despu´es de la edici´on de este libro. Sin embargo, esta existencia es cierta para aquellos que admiten un cierto modo 19

[Lebesgue 1905], p.105.

11.9 La respuesta desde el constructivismo

399

de razonamiento basado en el llamado axioma de elecci´on. Por este razonamiento, se llega en efecto a esta conclusi´on: existen conjuntos no medibles; pero esta afirmaci´on no deber´ıa ser considerada como contradictoria si se llega a mostrar que jam´as ning´ un hombre podr´a nombrar 20 un conjunto no medible! Despu´es de la carta de Lebesgue, Hadamard le env´ıa a Borel una segunda carta, en la cual plantea que un objeto matem´atico puede existir incluso sin necesidad de definirlo de manera u ´nica. Para Hadamard, la cuesti´on era que Borel, Baire y Lebesgue interpretaban el problema del buen orden desde otra ´optica. Para ´el, la pregunta b´asica era: ¿es un buen orden posible?, mientras para ellos: ¿puede uno bien ordenar un conjunto? La u ´ltima pregunta pertenec´ıa m´as al terreno psicol´ogico que al matem´ atico propiamente dicho. En este sentido, Hadamard, afirma, de manera contundente, que el apuntalamiento de la matem´atica no puede provenir ni de la psicolog´ıa ni de la filosof´ıa. Podemos resumir la pol´emica en los siguientes t´erminos: al adoptar los presupuestos de Zermelo, Hadamard concibe que el principio del buen orden ha sido demostrado; Lebesgue considera que Zermelo ha probado que un conjunto proveniente de una funci´ on de elecci´ on se puede bien ordenar; Borel y Baire estiman que el principio de escogencia no tiene fundamento y que Zermelo no ha probado lo prometido. Una cuesti´ on bastante particular de esta discusi´on es que ella no se desarrolla en el campo de la l´ ogica; los problemas que preocupan a estos cuatro matem´aticos no tienen relaci´ on con aspectos de no contradicci´on o coherencia l´ogica de una teor´ıa con o sin el axioma de elecci´ on; la controversia se desarrolla en el campo del an´ alisis real a prop´ osito de la definibilidad de funciones de variable real y conjuntos de n´ umeros reales. Sin embargo, a diferencia de Hadamard, Baire, Borel y Lebesgue trabajaban en la elaboraci´ on de una teor´ıa de la medida. Para ello debieron analizar e interpretar conjuntos de n´ umeros reales que, aunque a primera vista parec´ıan sencillos, resultaron ser abstrusos. La complejidad era intr´ınseca: se buscaba capturar la esencia de uno de los conceptos m´as esquivos de las matem´ aticas como lo es el continuo. Aunque la mayor´ıa de matem´aticos no tiene ning´ un reparo en utilizar el principio de Zermelo, no ocurre as´ı con aquellos que trabajan con la teor´ıa de la medida. Ello se debe a que la aplicaci´ on del axioma de elecci´on a esta disciplina le da cabida a los conjuntos no medibles: una estirpe que contradice radicalmente nuestra intuici´on geom´etrica. El intuicionismo, en su versi´on m´as fuerte, fue reivindicado por el matem´atico holand´es Luitzen Brouwer (1881-1966), quien se contrapuso a la corriente formalista del matem´atico alem´ an David Hilbert. En su tesis doctoral de 1907: Los fundamentos 20

[Lebesgue 1904], p.114.

400

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

de las Matem´ aticas, critica el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el semi intuicionismo de los franceses. Brouwer argumenta que para fundamentar las matem´ aticas es perentorio erradicar los v´ınculos metaf´ısicos ´ımplicitos en la teor´ıa de conjuntos infinitos de Cantor. Brouwer considera que las matem´aticas constituyen un producto hist´orico enmarcado en la evoluci´ on del pensamiento humano con toda su carga falibilista. Las leyes de la l´ ogica resultan de las necesidades humanas de establecer agrupaciones que tengan un n´ umero finito de objetos. Estas leyes pueden ser extendidas a las agrupaciones infinitas a condici´ on de no utilizar el principio del tercio excluso (tertium non datur), pues en este caso las generalizaciones se utilizar´ıan de manera injustificada. Entre 1907 y 1912 sus investigaciones en Topolog´ıa son publicadas en Mathematische Annalen dirigida por Hilbert. En 1912 es nombrado profesor en la Universidad de Amsterdam, reiniciando sus investigaciones sobre los fundamentos. Es as´ı que en su trabajo Intuicionismo y Formalismo establece una fuerte cr´ıtica a la teor´ıa axiom´atica de Zermelo. En 1914 es invitado, por parte de Felix Klein (1849-1925) a formar parte del comit´e editorial de la prestigiosa Mathematischen Annalen. Sin duda, la obra cumbre de Brouwer es Fundamentos de la Teor´ıa de Conjuntos, escrita en dos partes. La primera parte aparece en 1917 y la segunda en 1918. En esta obra Brouwer se propone hacer una presentaci´on de la teor´ıa de conjuntos sin el uso del tercer excluido y establecer una fundamentaci´on del continuo, concepto soporte del edificio matem´ atico. Para Brouwer, el continuo matem´atico se deriva del continuo intuitivo y del poder de abstracci´on de los seres humanos. El programa intuicionista de Brouwer puede sintetizarse en los siguientes aspectos: 1. El continuo temporal es el u ´nico “elemento a priori”. 2. El continuo matem´ atico es una abstracci´on matem´atica que existe u ´nicamente en la mente del hombre. 3. El continuo es un concepto primitivo, que pertenece a la categor´ıa de Intuici´on primordial, proveniente de la conciencia del tiempo. 4. El continuo no puede ser construido a partir de puntos, los cuales se consideran como extremos de los intervalos en los que el continuo puede descomponerse. El programa intuicionista fue acogido con fervor por algunos matem´aticos de renombre, entre los que se destaca la figura de Hermann Weyl, un alumno de Hilbert, quien enarbol´ o las banderas del intuicionismo por influencia directa del propio Brouwer. En la segunda d´ecada del siglo XX, la rivalidad entre Brouwer y Hilbert es evidente, no s´ olo en los aspectos epistemol´ogicos, sino tambi´en en los aspectos ideol´ ogicos. Eso explica un poco la negativa de Brouwer para aceptar un nombramiento en Gotinga y sus largas temporadas como profesor visitante en Berl´ın, donde encontr´o un reducto de la corriente constructivista y anticantoriana de la tradici´on

11.10 La vida intelectual de David Hilbert

401

que iniciara Kronecker. Uno de sus representantes m´as fervientes de esta l´ınea era Ludwig Bieberbach (1886-1982), un reconocido ge´ometra y posterior militante del partido nacionalsocialista de la Alemania nazi.21 En 1927, Brouwer y Bieberbach impulsan un boicot al Congreso Internacional de Matem´aticas a celebrarse en Bolonia en el siguiente a˜ no, organizado por la Uni´on Matem´atica Internacional, debido a que manten´ıa una censura a los matem´aticos alemanes para participar en el comit´e organizador como represalia contra la matem´atica y ciencia alemana despu´es de la Primera Guerra Mundial. Hilbert no acat´o el llamado a veto y acudi´o al congreso participando activamente en intervenciones p´ ublicas donde atac´o de manera fuerte el intuicionismo de Brouwer. Como se puede evidenciar, el enfrentamiento Brouwer-Hilbert es un cap´ıtulo de la historia de las matem´ aticas bastante apasionante, en el cual se observa las ansias de poder de uno y otro. El duelo termin´o con la expulsi´on del holand´es, del consejo editorial de Mathematische Annalen, al regreso del congreso de Bolonia. Brouwer decide retirarse de las matem´ aticas, entreg´andole las banderas del intuicionismo a su amigo Arend Heyting.

11.10.

La vida intelectual de David Hilbert

Dado el fracaso del logicismo y las limitaciones del intuicionismo, David Hilbert (1862-1943) se propuso esquivar las paradojas a trav´es del formalismo. Hilbert fue uno de los matem´ aticos que m´ as influy´o en el desarrollo de las matem´aticas del siglo XX. Realiz´ o sus primeros estudios de matem´aticas en la Universidad de K¨onigsberg, obteniendo su doctorado en 1884, con su tesis Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares, bajo la direcci´on de Ferdinand von Lindemann (1852-1939). Asisti´o a los cursos de Weierstrass, Ernst Eduard Kummer (1810-1893), Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (18211894) y Leopold Kronecker en la universidad de Berl´ın. Fue alumno de Felix Klein (1849-1925) en Leipzig y pas´ o una temporada en Paris donde entabl´o relaci´on con Henri Poincar´e (1854-1912), Camille Jordan y Charles Hermite (1822-1901). Hilbert inici´ o su carrera docente en K¨onigsberg. En 1886 fue nombrado Privatdozent y en 1893 profesor en ejercicio. Por recomendaci´on de Klein, en 1895 obtuvo un nombramiento en la universidad de Gotinga. Esta universidad se constituy´ o en la sede de sus investigaciones matem´aticas. All´ı conform´o un grupo de estudiantes y de colegas que la posteridad reconoce como la Escuela de Gotinga. Entre sus estudiantes se destacan Hermann Weyl (1885-1955), Emanuel Lasker (1868-1941), Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel (1905-1997). Tuvo como asistentes a John von Neumann y a Paul Bernays, con quien desarroll´o gran parte de su programa for21

La ideolog´ıa de Bieberbach lo llev´ o a elaborar una clasificaci´ on perniciosa, de tal suerte que los de la tipolog´ıa superior fueran los matem´ aticos constructivistas alemanes, reservando los niveles m´ as bajos a los formalistas correspondientes a las razas del Este y Orientales.

402

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

malista. Entre sus colegas se cuentan Emmy Noether (1882-1935) y Alonzo Church (1903-1995). Hilbert es considerado uno de los matem´aticos m´as prol´ıficos. En general su obra se divide en las siguientes seis l´ıneas: 1. Teor´ıa de los invariantes (1885-1893). 2. Teor´ıa de los cuerpos de n´ umeros algebraicos (1894-1899). 3. Fundamentos de la Geometr´ıa y de la Aritm´etica (1899-1904). 4. An´alisis (principio de Dirichlet, c´alculo de variaciones, ecuaciones integrales, 1904-1909). 5. F´ısica te´ orica (1912-1914). 6. Fundamentos de las matem´aticas (a partir de 1918). Uno de los aspectos que muestra la influencia y la visi´on panor´amica de Hilbert sobre el desarrollo de las matem´aticas del siglo XX tiene relaci´on con su propuesta de los 23 problemas presentados en una conferencia, dictada en el marco del Segundo Congreso Internacional de Matem´aticas celebrado en Par´ıs en 1900. En la introducci´ on de esta conferencia, Hilbert expresaba: ¿Qui´en de nosotros no se alegra˜ na de levantar el velo tras el que se oculta el futuro; de echar una mirada a los pr´oximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos futuros? ¿Cu´ales ser´an los objetivos concretos por los que se esforzar´an las mejores mentes matem´ aticas de las generaciones venideras? ¿Qu´e nuevos m´etodos y nuevos hechos descubrir´ an las nuevas centurias en el ´amplio y rico campo del pensamiento matem´ atico?22 Entre 1905 y 1917, antes de materializar su propuesta formalista, Hilbert trabaj´ o en el campo de las ecuaciones diferenciales y en la matematizaci´on de algunos aspectos de la f´ısica. En el marco de estas investigaciones realiz´o uno de los aportes m´ as valiosos al an´ alisis funcional al incorporar un espacio euclidiano de infinitas dimensiones, que modernamente se conoce como Espacio de Hilbert. A partir de ello se abri´o la entrada a otros universos matem´aticos, hasta ese entonces insospechados, como los propuestos por Stefan Banach (1892-1945) que hoy reconocemos como los espacios de Banach. Sus primeros acercamientos a la f´ısica se dieron a trav´es de su colega Hermann Minkowski (1864-1909). En 1915 program´o un seminario de f´ısica en Gotinga que tuvo como invitado a Albert Einstein (1879-1955). En esta direcci´on 22

[Grattan-Guinnes 1982], p.13

11.10 La vida intelectual de David Hilbert

403

contribuy´ o en la formulaci´ on final de las ecuaciones de campo de la teor´ıa de la relatividad general. A partir de 1917 retom´ o las ideas que hab´ıa desarrollado para la geometr´ıa, con el prop´osito de enfrentar en toda su dimensi´on el problema de la fundamentaci´on de todas las ramas de las matem´ aticas. En ese a˜ no dict´o su conferencia El pensamiento axiom´ atico ante la Sociedad Matem´atica Suiza en Zurich, la cual fue publicada en los Mathematische Annalen. En este documento Hilbert llama la atenci´on respecto a algunos problemas inherentes a los sistemas axiom´aticos, tales como la consistencia y la decidibilidad, tambi´en reivindica el uso del m´etodo axiom´atico, no solo para las matem´aticas sino para todas las ciencias: Penetrar, en el sentido que hemos indicado, en niveles axiom´aticos m´as profundos, significa tambi´en alcanzar una visi´on mucho m´ as profunda de la naturaleza y la esencia del pensamiento cient´ıfico, y dar un paso significativo en el proceso de toma de conciencia de la unidad esencial del conocimiento.23 En la tercera d´ecada del siglo XX desarroll´o, en colaboraci´on con Paul Bernays, su programa formalista tomando como referencia una teor´ıa de la demostraci´on o metamatem´ atica. Hilbert estaba seguro de que la matem´atica pod´ıa formularse mediante un formalismo adecuado de tal suerte que: 1. La totalidad de las matem´aticas se pod´ıan establecer a partir de un sistema finito de axiomas. 2. Era posible demostrar la consistencia del sistema. La sustentaci´ on epistemol´ ogica y ontol´ogica de su propuesta aparece desperdigada en varios art´ıculos y conferencias, entre los cuales podemos citar: 1. La nueva fundamentaci´ on de las matem´ aticas (1922): conferencia presentada a la Sociedad Matem´ atica de Copenhague y en el Seminario de Matem´aticas de la Universidad de Hamburgo. Fue publicada en las memorias del seminario: Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universit¨at I (1922), pp. 157-177. 2. Los fundamentos l´ ogicos de las matem´ aticas (1922): ponencia en la Sociedad Alemana de investigadores de las ciencias, publicada en los Mathematische Annalen 88 (1923), pp. 151-165. 3. Acerca del infinito (1925): conferencia en homenaje a Weierstrass, publicada en Mathematische Annalen 95 (1925), pp. 201-215. 23

[Hilbert 1993], p.35.

404

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

4. Los fundamentos de la teor´ıa elemental de n´ umeros: ponencia dictada a la Sociedad filos´ ofica de Hamburgo, publicada en los Mathematische Annalen Bd. 104, S. 485-494 (1931)

11.11.

El programa formalista de Hilbert

En 1899 empez´ o a delinear su programa formalista para el caso de la geometr´ıa. Como vimos en la primera lectura, la geometr´ıa de Euclides presentaba algunos vac´ıos conceptuales especialmente en lo concerniente a las definiciones y algunas proposiciones. En Fundamentos de la geometr´ıa, que se puede considerar como la obra que da apertura a la axiom´atica contempor´anea en matem´aticas, Hilbert se propone solucionar estos inconvenientes a partir de una presentaci´on formal de la geometr´ıa. El segundo paso en el delineamiento de su programa formalista corresponde a su art´ıculo Acerca del concepto de n´ umero, publicado en octubre de 1899. En este documento, Hilbert contrasta el m´etodo de investigaci´on de la geometr´ıa y el de la aritm´etica. Llama la atenci´on en la manera en que se realizan extensiones num´ericas para formar sistemas num´ericos complejos a partir de otros m´as simples. En contraste con este proceso, la geometr´ıa se establece a partir de un sistema de axiomas. Al primer m´etodo Hilbert lo denomina m´etodo gen´etico y al segundo m´etodo axiom´ atico. Para Hilbert, el m´etodo axiom´atico es el m´as adecuado en los procesos de investigaci´ on: Mi opini´ on es esta: a pesar del gran valor pedag´ogico y heur´ıstico que el m´etodo gen´etico pueda tener, el m´etodo axiom´atico resulta claramente preferible para exposici´ on definitiva y l´ogicamente segura de los contenidos de nuestro conocimiento.24 En seguida hace una presentaci´on de los n´ umeros reales a partir de 18 axiomas, divididos en cuatro grupos: de conexi´on, para las operaciones, de orden y de continuidad, los cuales retomamos textualmente:25 ´ AXIOMAS DE CONEXION I.1 A partir de dos n´ umeros a y b podemos obtener por “adici´on” otro n´ umero c. Simb´ olicamente, a + b = c, o bien c = a + b. I.2 Dados dos n´ umeros a y b cualesquiera, existe un u ´nico n´ umero x y existe un u ´nico n´ umero y tales que a + x = b y y + a = b. I.3 Existe un n´ umero definido 0 con la propiedad de que, para todo n´ umero a, a + 0 = a y 0 + a = a. 24 25

[Hilbert 1993], p.18. [Hilbert 1993], pp.18-21.

11.11 El programa formalista de Hilbert

405

I.4 A partir de dos n´ umeros a y b podemos obtener por “multiplicaci´on” otro n´ umero c. En s´ımbolos, ab = c o bien c = ab. I.5 Si a y b son n´ umeros y a es distinto de 0, existen un u ´nico n´ umero x y un u ´nico n´ umero y, tales que a · x = b y y · a = b.

I.6 Existe un n´ umero definido 1 con la propiedad de que, para todo n´ umero a, a · 1 = a y 1 · a = a. AXIOMAS PARA LAS OPERACIONES II.1 a + (b + c) = (a + b) + c II.2 a + b = b + a II.3 a(bc) = (ab)c II.4 a(b + c) = ab + ac II.5 (a + b)c = ac + bc II.6 ab = ba AXIOMAS DEL ORDEN III.1 Si a y b son dos n´ umeros distintos cualesquiera, uno de ellos (por ejemplo, a) es mayor (>) que el otro; este u ´ltimo es menor que el primero. En s´ımbolos a > b y b < a. III.2 Si a > b y b > c, entonces a > c. III.3 Si a > b, entonces a + c > b + c y c + a > c + b. III.4 Si a > b, y c > 0 , entonces ac > bc y ca > cb. AXIOMAS DE CONTINUIDAD IV.1 (Axioma de Arqu´ımedes) Sean a y b dos n´ umeros cualesquiera, a > 0 y b > 0. Sumando a consecutivamente, puede obtenerse una suma con la propiedad de que a + a + . . . + a > b IV.2 (Axioma de completud) Si al sistema de los n´ umeros reales se a˜ nade otro sistema de objetos, entonces en el nuevo sistema no pueden ser v´alidos los axiomas I, II, III y IV.1. En otras palabras, los n´ umeros conforman un sistema de objetos que tiene la propiedad de hacer imposible una extensi´ on [propia] del mismo conservando la validez de la totalidad de los axiomas. El programa de Hilbert ya aparece delineado en su art´ıculo de 1904: Sobre los fundamentos de la L´ ogica y de la Aritm´etica. En este documento plantea los siguientes aspectos:

406

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

1. Es conveniente establecer axiomatizaci´on separada de la L´ogica y la Aritm´etica como teor´ıas separadas. 2. Establece un sistema de axiomas. 3. Demuestra la consistencia de su sistema. 4. Demuestra la existencia de un tipo de infinito. 5. Deduce la existencia de los n´ umeros reales. A partir de su conferencia El pensamiento axiom´ atico, dictada ante la Sociedad 26 Matem´atica Suiza en 1917, Hilbert retoma su empresa de fundamentaci´on de las matem´ aticas. Sin embargo es en sus art´ıculos La nueva fundamentaci´ on de las ma27 tem´ aticas (1922) y Los fundamentos l´ ogicos de las matem´ aticas (1923),28 donde desarrolla su propuesta. Hilbert empieza La nueva fundamentaci´ on de las matem´ aticas criticando las salidas fundacionistas dadas por el intuicionismo y el logicismo. El problema de la propuesta de Weyl y Brouwer es que buscan expulsar de una manera dictatorial aquellos conceptos inc´ omodos: Entre las cosas que Weyl y Brouwer pretenden proscribir de las matem´ aticas los conceptos generales de n´ umero irracional, de funci´on (lo mismo que el m´ as particular de funci´on num´erica), los n´ umeros cantorianos de clases superiores, etc. Teoremas como el de que en una totalidad infinita de n´ umeros enteros existe siempre un m´ınimo e inclusive la ley l´ ogica del tercero excluido en afirmaciones como “O bien existe solamente un n´ umero finito de n´ umeros primos pares, o bien existe un n´ umero infinito de los mismos” son ejemplos de proposiciones y principios deductivos que nos estar´ıan prohibidos.29 Por otra parte, para Hilbert el logicismo de Frege falla al considerar que la extensi´on de un concepto es a su vez un nuevo objeto sin argumentaci´on alguna, cayendo en un realismo conceptual extremo. El problema de Dedekind es tomar como base el sistema de todos los objetos, lo cual le permite tomar el infinito como fundamento de lo finito. Seg´ un Hilbert, para establecer una fundamentaci´on completa de las matem´aticas se deben tener en cuenta no s´olo las “matem´aticas reales”, es decir, el cuerpo 26

Fue publicada en los Mathematische Annalen (1918) 78, pp. 405-415. Nos hemos basado en la traducci´ on al espa˜ nol que aparece en [Hilbert 1993], 1993, pp. 22-36. 27 Una versi´ on en espa˜ nol aparece en [Hilbert 1993], pp. 37-62. 28 Una versi´ on en espa˜ nol aparece en [Hilbert 1993], 63-82. 29 [Hilbert 1993], pp.40-41.

11.11 El programa formalista de Hilbert

407

de resultados y procedimientos propios de esta disciplina, sino tambi´en la “metamatem´atica”: una teor´ıa de la demostraci´on en la que se hace uso de inferencias y procedimientos de car´ acter estrictamente finitista, y cuyo prop´osito es establecer la consistencia y la independencia de los axiomas. De esta forma, para Hilbert: 1. Las matem´ aticas reales se llevan a un lenguaje simb´olico transform´andose en un conjunto de f´ ormulas. A partir de unas f´ormulas b´asicas, tomadas como axiomas, se pueden demostrar las propiedades, que a su vez son tambi´en f´ormulas, a partir de la manipulaci´on deductiva. 2. Se debe demostrar que el sistema establecido en el apartado anterior es consistente. Esto es, que los axiomas no lleven a contradicciones. Para ello se utilizan procedimientos en los cuales la u ´nica regla de derivaci´on aceptada es el modus ponendo ponens. El sistema formal establecido por Hilbert consta de los siguientes elementos: I. Signos individuales a) 1, + (constituyentes de los numerales) b) ϕ(∗), ψ(∗), σ(∗, ∗), δ(∗, ∗), µ(∗, ∗) (funciones de individuos con un lugar vac´ıo, funciones de funciones de individuos) c) = (igualdad), ̸= (desigualdad), > (mayor que), (signos matem´aticos) d) Z (ser un n´ umero), Φ (ser una funci´on) e) →(“implicaci´ on”, un signo l´ogico) f ) ( ) (cuantificador universal) II. Variables (letras latinas) a) a, b, c, d, p, q, r, s, t (variables primitivas) b) f (∗), g(∗) (variables funcionales, variables de funci´on) c) A, B, C, D, S, T, U, V, W (variables para f´ormulas) III. Signos para la comunicaci´ on (letras g´oticas) a) a, b, c, f (funcionales) b) A, B, C, R, S, T (f´ ormulas)

408

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

Una f´ ormula corresponde a una secuencia de signos mediante la cual se expresa una propiedad matem´ atica. Una figura es un complejo de f´ormulas. Los axiomas corresponden a ciertas f´ ormulas que se utilizan como punto de partida y que “conforman el edificio formal de las matem´aticas”. Una demostraci´on es una figura que debe presentarse de manera expl´ıcita y cuyos componentes aparecen justificados por el modus ponendo ponens: s s→t t Tanto s, como s → t corresponden a un axioma o a otra f´ormula previamente demostrada. Una f´ ormula es demostrable si es la f´ormula final de una demostraci´on. Uno de los aspectos importantes en la propuesta formalista de Hilbert tienen que ver con la elecci´ on de los axiomas del sistema. En su conferencia: Acerca del infinito de 1925, plantea que los axiomas son algunas f´ormulas que se toman como punto de partida en el dise˜ no del edificio matem´atico. Si bien la escogencia de estos axiomas tiene un alto grado de relatividad, no se hace de forma completamente arbitraria pues ellos deben responder a la actividad matem´atica como constructo hist´orico. De esta forma, Hilbert distingue, como ejemplo, los siguientes grupos particulares de axiomas:30 I. Axiomas de implicaci´ on A → (B → A) (introducci´ on de una suposici´on) (B → C) → {(A → B) → (A → C)} (eliminaci´ on de un enunciado) II. Axiomas de la negaci´ on {A → (B ∧ ¬B)} → ¬A31 (Principio de contradicci´on) ¬¬A → A 32 (Principio de la doble negaci´on) III. Axiomas de transfinitud 30

Estos grupos de axiomas han sido tomados de [Hilbert 1993], pp.104-106. De este principio se obtiene (A ∧ ¬A) → B. 32 De este principio se obtiene el principio del tercero excluido. {(A → B) ∧ (¬A → B)} → B. 31

11.12 La filosof´ıa del signo de Hilbert

409

∀aA(a) → A(b) (Inferencia de lo universal a lo particular; axioma de Arist´oteles) ¬∀aA(a) → ∃a¬A(a) (Si un predicado no se aplica a todos los individuos, hay un contraejemplo) ¬∃aA(a) → ∀a¬A(a) (Si no hay un individuo al que un enunciado se aplique, entonces ´el es falso para todo a). Para Hilbert el proceso de fundamentaci´on s´olo se podr´ıa completar demostrando la consistencia de los axiomas. Durante m´as de diez a˜ nos intent´o establecer demostraciones de consistencia interna sin resultados positivos. En 1927 Hilbert33 escribi´o Los fundamentos de las Matem´ aticas,, un art´ıculo en el que empez´o a perfilar su obra culminante: Grundlagen der Mathematik, cuyo primer volumen fue publicado en 1934 y el segundo en 1936. Notemos que para esta ´epoca ya se conoc´ıa el teorema de incompletud de G¨ odel (1931), el cual derumbaba el sue˜ no hilbertiano de lograr una formalizaci´ on completa de las matem´aticas. Sin embargo, Hilbert confiaba que haciendo algunos afinamientos conceptuales podr´ıa lograrlo.

11.12.

La filosof´ıa del signo de Hilbert

Para Hilbert, el logicismo fracasa porque ha ignorado las intuiciones y las evidencias previas a los procesos l´ ogicos. Un buen programa de fundamentaci´on no debe eliminar las evidencias sino que, por el contrario, debe reconocerlas y develarlas. Ello es posible porque seg´ un Hilbert, “la inteligencia nunca recurre a misteriosos artificios; contrariamente, procede seg´ un reglas perfectamente determinadas que se pueden formular expl´ıcitamente y que constituyen la garant´ıa de la objetividad de nuestro juicio”.34 Las cartas de Hilbert est´ an jugadas. La objetividad se alcanza a trav´es de la raz´on. El hombre da un voto de confianza a su raz´on como medio para dar respuesta a los problemas que es capaz de plantearse. Eso nos da la seguridad de poder resolver cualquier problema cuyo enunciado no sea contradictorio. Esta convicci´on hilbertiana se apoya en su concepci´on de los objetos matem´ aticos. Para ´el, los objetos matem´ aticos tienen una existencia independiente del pensamiento y de las construcciones a trav´es de las cuales intentamos descubrirlos y describirlos. En este sentido Hilbert es plat´ onico, pero su platonismo no es exacerbado, para ´el, los objetos matem´aticos no habitan en el mundo de las ideas sino que se identifican con la realidad concreta de los signos: 33 34

En conlaboraci´ on con Bernays Tomado de [Mac Lane 1986], p. 25.

410

El problema de los fundamentos de las matem´ aticas

En este enfoque, en clara y expl´ıcita oposici´on a Frege y Dedekind, son los signos mismos los objetos de la teor´ıa de n´ umeros. Entendemos aqu´ı por signo algo cuya forma es independiente del espacio y del tiempo, as´ı como las condiciones especiales en las que se produce, de las variaciones insignificantes en su trazado y que, en general y de manera segura, puede ser identificado. El enfoque que consideramos adecuado y necesario para la fundamentaci´ on no s´ olo de las matem´aticas puras, sino en general de todo el pensamiento, la comprensi´on y la comunicaci´on cient´ıfica, puede entonces expresarse en una frase diciendo: en un principio era el signo.35 Como se ve, para Hilbert la objetividad matem´atica se encuentra ligada a la objetividad del signo, la validez del pensamiento matem´atico reposa en la intuici´on del signo; intuici´ on que disfruta de una evidencia privilegiada. Las paradojas y los axiomas extral´ ogicos no son problemas que desvelen a Hilbert, ante ellos, aconseja revisar los conceptos b´ asicos y desplazar las intuiciones a una zona segura, lejos de las serpientes tentadoras que pon´ıan en peligro el para´ıso cantoriano. Esa zona segura est´ a constituida por la intuici´on sensible del signo. Para explicar c´ omo operar con las verdades matem´aticas abstractas en el dominio de la intuici´ on sensible, Hilbert establece la diferencia entre matem´atica y metamatem´atica. A trav´es de la metamatem´atica, v´ıa el uso de una simbolog´ıa apropiada, se reemplazan las pseudo intuiciones por configuraciones que se encuentren amarradas a la intuici´ on pura del signo. A partir de estos elementos Hilbert establece una teor´ıa de la demostraci´on, en la cual lo primordial era establecer la consistencia.

11.13.

Seguimiento Lectura 11

1. Demuestre que la colecci´ on de alephs no es un conjunto. 2. ¿Por qu´e Cantor no aceptaba los n´ umeros infinitamente peque˜ nos y s´ı aceptaba los n´ umeros infinitamente grandes? 3. Describa las corrientes fundacionistas m´as reconocidas. 4. ¿Qu´e consecuencias se derivan de la aceptaci´on de clases en la teor´ıa axiom´atica de Bernays en 1973? 5. Explique las bases filos´ oficas del logicismo de Frege y los problemas de consistencia que se derivan de esta propuesta. 6. Explique en qu´e consiste la teor´ıa de tipos de Russell, especificando sus limitaciones. 35

[Hilbert 1993], p. 45.

11.13 Seguimiento Lectura 11

411

7. ¿Cu´ ales fueron las observaciones al axioma de elecci´on que hicieron los semi intuicionistas franceses Baire, Borel y Lebesgue? 8. Establezca los principios b´asicos de la corriente intuicionista. 9. Describa la propuesta formalista, establecida por Hilbert, anotando sus limitaciones.

Bibliograf´ıa Lectura 11 [Apostol 1986] Ap´ ostol, Tom: An´alisis matem´atico. Editorial Revert´e, Barcelona, 1986. [Bolzano 1991] Bolzano, Bernardo: Las Paradojas del Infinito, Servicios Editoriales de la Facultad de ciencias, UNAM, M´exico, 1991. [Boniface 2002] Boniface, J. Les Constructions des Nombres R´eels, editorial Ellipses, Paris, 2002. [Boyer 1982] Boyer, Carl: Historia de la Matem´ atica. Alianza Editorial, Madrid,1987. [Cantor 1955] Cantor, Georg: Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Dover Publications, Chicago, 1955 (Primera versi´on 1895). [Cantor 2006] Cantor, Georg: Fundamentos para una teor´ıa de Conjuntos. Escritor y correspondencia selecta. Editorial Cr´ıtica, S.L., Barcelona, 2006 (Primera edici´ on 1883). [Cantor 2002] Cantor, Georg: Sur l´extension d´un th´eor`eme de la th´eorie des s´eries trigonom´etriques. En: Jacqueline Boniface. Les constructions des nombres r´eels ´ dans le mouvement d´arithm´etisation de l´analyse. Ellipses Edition Marketing S.A., Paris, 2002. [Cavallies 1962] Cavailles, Jean: Philosophie math´ematique. Hermann, Paris, 1962. [Dauben 1970] Dauben, Joseph: Georg Cantor, His mathematics and philosophy on the infinite. Harvard University Press, Cambridge, 1979. [Dedekind 1988] Dedekind, Richard: ¿Qu´e son y para qu´e sirven los n´ umeros? Alianza editorial, Madrid, 1988 (Primera edici´on 1888). [Ferreiros 1991] Ferreiros, Jos´e: El nacimiento de la teor´ıa de conjuntos. Ediciones de la Universidad Aut´ onoma de Madrid, Madrid, 1991. 1999. [Ferreiros 1999] Ferreiros, Jos´e: Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its role in Modern Mathematics. Birkh¨auser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1999.

11.13 Bibliograf´ıa Lectura 11

413

[Grattan-Guinness 1982] Grattan-Guinness: Del c´alculo a la teor´ıa de conjuntos 1630-1910. Una introducci´on hist´orica. Alianza Editorial, Madrid, 1982. [Gray 2005] Gray, Jeremy: El reto de Hilbert. Los 23 problemas que desafiaron a la matem´ atica. Cr´ıtica, S. L., Barcelona, 2003. [Hilbert 1993] Hilbert, David: Fundamentos de las matem´aticas. Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, UNAM, M´exico, 1993. [Kline 1994] Morris, Kline: El Pensamiento matem´atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas. Alianza Editorial, Vols. I, II , III, Madrid, 1994. [Ladri`ere 1969] Ladri`ere, Jean: Limitaciones internas de los formalismos. Editorial Tecnos, Madrid, 1969. [Lebesgue 1904] Lebesgue, Henri: Le¸cons sur l’int´egration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, Paris, 1904. [Lebesgue 1905] Lebesgue, Henri: “Sur les functions repr´esentables analytiquement.” J. de Math. Pures et Appl., s´er. 6, 1, 1905, pp.139-216. [Rucker 1982] Rucker, Rudy: Infinity and the mind. Birkh¨auser, Boston, 1982. [Taylor 1981] Taylor, August, Dugac, Pierre: “Quatre lettres de Lebesgue `a Fr´echet.” Revue d’histoire des sciences, vol. 34, p. 149-169. [Torreti 1998] Torretti, Roberto: El paraiso de Cantor. La tradici´on conjuntista en la filosof´ıa de las matem´ aticas. Editorial Universitaria - Universidad Nacional Andr´es Bello, Santiago de Chile, 1998. [Whitehead y Russell 1981] Whitehead A. y Russell, B: Principia Mathem´atica. Paraninfo S. A., Madrid, 1981. [Zermelo 1992] Zermelo, Ernst: Recherches sur fondements de la th´eorie des ensembles. En: Fran¸cois Rivenc et Philippe de Rouilhan. Logique et fondements des ´ math´ematiques. Editions Payot, p´ags. 335-378., Paris, 1992.

Hab´ıa tambi´en un ingenioso arquitecto que hab´ıa dise˜ nado un nuevo M´etodo para construir las Casas, comenzando por el tejado, y siguiendo de all´ı a los Cimientos. Jonathan Swift. Los viajes de Gulliver. “O las matem´ aticas son muy grandes para la mente humana, o la mente humana es m´ as que una m´ aquina.? Como se cita en Topoi: The Categorial Analysis of Logic (1979) por Robert Goldblatt, p. 13

Lectura

12

El Estructuralismo en matem´aticas 12.1.

La vida intelectual de G¨ odel

Como hemos dicho antes, Hilbert estaba seguro de poder encasillar la totalidad de las matem´ aticas en un sistema formal; adem´as, cre´ıa que se lograr´ıa, mediante procedimientos totalmente expl´ıcitos, demostrar el car´ acter no contradictorio de las matem´aticas desde el sistema formal mismo. Los teoremas de G¨odel (1931) demostrar´ıan que el sue˜ no hilbertiano era una utop´ıa. Kurt G¨ odel (1906-1978) es considerado uno de los pensadores m´as influyentes en el desarrollo de las matem´ aticas del siglo XX. Siguiendo la senda de Frege, Russell y Hilbert se vali´ o de la l´ ogica y la teor´ıa de conjuntos para hacer sus contribuciones al problema de los fundamentos de las matem´aticas. Ha pasado a la posteridad fundamentalmente por sus dos teoremas de incompletitud, publicado en 1931. Ingres´ o a la Universidad de Viena a los 18 a˜ nos. Aunque su primera inclinaci´on fue por la f´ısica te´ orica, el ambiente acad´emico de la universidad lo fue encausando hacia las matem´aticas. En este aspecto tuvo incidencia su participaci´on en los cursos de teor´ıa de n´ umeros, los cursos de filosof´ıa dictados por Heinrich Gomperz, sus lecturas de Fundamentos metaf´ısicos de la ciencia natural de Immanuel Kant (17241804), su asistencia a las reuniones del C´ırculo de Viena con Moritz Schlick (18821936), Hans Hahn (1879-1934) y Rudolf Carnap (1891-1970), quienes lo guiaron en el estudio de la l´ ogica. Pero, al parecer, su mayor motivaci´on la encontr´o en el seminario de l´ ogica, dirigido por Schlick, en el cual se estudiaba el libro Introducci´ on

12.1 La vida intelectual de G¨ odel

415

a la l´ ogica matem´ atica de Bertrand Russell, y en una conferencia dictada por Hilbert sobre la completud y la consistencia de los sistemas formales matem´aticos. En su tesis doctoral G¨ odel abord´o un problema planteado en el libro de David Hilbert y Wilhelm Ackermann (1896-1962) Principios de la l´ ogica te´ orica, en el cual se plantean si son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar todas las verdades en el sistema. Culmin´o su trabajo doctoral en 1929, bajo la direcci´on de Hans Hahn, en la cual demostr´ o la completud del c´alculo de predicados de primer orden. El resultado demostrado por G¨odel en su tesis doctoral parec´ıa corroborar la perspectiva del programa de Hilbert. Sin embargo, el mismo G¨odel demostr´o otra cosa a trav´es de su teorema de incompletitud, publicado en 1931. En su c´elebre obra Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas ¨ relacionados (Uber formal unentscheidbare S¨ atze der Principia Mathematica und verwandter Systeme), demostr´ o que en todo sistema formal que describa la aritm´etica de los n´ umeros naturales, si es consistente no puede ser completo. Como una consecuencia de ello demostr´ o, tambi´en, que la consistencia de los axiomas no puede demostrarse al interior del sistema. En 1932 public´ o un art´ıculo corto: Zum intuitionistischen Aussagenkalk¨ ul, en el cual demostraba algunos principios de la l´ogica intuicionista. En este art´ıculo asienta las bases de lo que luego se conoci´o como la l´ogica intermedia de G¨odel-Dummett (o G¨ odel fuzzy logic). En 1932 se convierte en Privatdozent (profesor no remunerado) y en 1933, conoce a Albert Einstein, durante su primer viaje a Estados Unidos. Entre 1935 y 1937 se concentr´ o en dos de los problemas m´as importantes de la teor´ıa de conjuntos: (1) la consistencia del axioma de elecci´on y (2) La hip´otesis del continuo. En 1938, G¨ odel emigr´ o definitivamente a los Estados Unidos donde fue nombrado docente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. En 1940 sac´o a la luz Consistencia del axioma de elecci´ on y la hip´ otesis del continuo generalizada con los axiomas de la teor´ıa de conjuntos. Para ello incorpor´o el hoy llamado “Modelo constructible de G¨ odel”. Entre 1940 y 1945 estuvo trabajando algunos aspectos de f´ısica te´orica con Einstein. En este campo tambi´en realiz´o algunos aportes importantes en lo concerniente a la relatividad general. Concretamente incorpor´o la hoy denominada “m´etrica de G¨ odel”. Es importante anotar que G¨odel combin´o sus trabajos matem´aticos con estudios filos´oficos. En particular, estudi´o, con dedicaci´on, las obras de Gottfried Leibniz, Immanuel Kant y a Edmund Husserl (1859-1938). En 1951, se le otorg´o el primer Premio Albert Einstein (que comparti´o con Julian Schwinger) y en 1974 recibi´o la National Medal of Science. Citemos algunas de sus obras: En alem´ an: ¨ 1931. “Uber formal unentscheidbare S¨atze der Principia Mathematica und verwandter Systeme,” Monatshefte f¨ ur Mathematik und Physik 38: 173-98.

416

El Estructuralismo en matem´ aticas

1932. “Zum intuitionistischen Aussagenkalk¨ ul”, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65-66. En ingl´ es: 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press. 1947. What is Cantor’s continuum problem? The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds. Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85. En traducci´ on al ingl´ es: 1922. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition. 1930. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic, En: Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press, pp. 582-91. 1930. Some metamathematical results on completeness and consistency. En: Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press, pp. 595-96. 1931. On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems. En: Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press, pp. 596-616. 1931. On completeness and consistency. En: Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press, pp. 61617. Obras traducidas al Espa˜ nol: 1980. G¨ odel, Kurt. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Valencia: Teorema, 2.a edici´on. 1981. G¨ odel, Kurt. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Oviedo: krk ediciones. 1981. G¨ odel, Kurt. Obras completas. Madrid: Alianza Editorial. 1994. G¨ odel, Kurt. Ensayos in´editos. Francisco Rodr´ıguez Consuegra, editor. Biblioteca Mondadori. Fuentes secundarias importantes sobre la vida y obra de G¨ odel: 1991. Hao Wang, Reflexiones sobre Kurt G¨ odel, Madrid, Alianza Universidad. 2006. Karl Sigmund, John Dawson y Kurt M¨ uhlberger. Kurt G¨ odel: Das Album. The album., Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2006.

12.2 El teorema de incompletitud de G¨ odel

12.2.

417

El teorema de incompletitud de G¨ odel

El Teorema de incompletitud fue demostrado por G¨odel en 1931 en el art´ıculo Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y Sistemas afines, un documento de 25 p´ aginas, publicado en la revista Monatshefte f¨ ur Mathematik und Physik. En la introducci´ on de este art´ıculo, G¨odel expone su prop´osito: Como es sabido, el progreso de la matem´atica hacia una exactitud cada vez mayor ha llevado a la formalizaci´on de amplias partes de ella, de tal modo que las deducciones pueden llevarse a cabo seg´ un unas pocas reglas mec´ anicas. Los sistemas formales m´as amplios construidos hasta ahora son el sistema de Principia Mathematica (PM) y la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (desarrollada a´ un m´as por J. von Neumann). Estos dos sistemas son tan amplios que todos los m´etodos usados hoy d´ıa en la matem´ atica pueden ser formalizados en ellos, es decir, pueden ser reducidos a unos pocos axiomas y reglas de inferencia. Resulta por tanto natural la conjetura de que estos axiomas y reglas basten para decidir todas las cuestiones matem´aticas que puedan ser formuladas en dichos sistemas. En lo que sigue se muestra que esto no es as´ı, sino que por el contrario, en ambos sistemas hay problemas relativamente simples de la teor´ıa de los n´ umeros naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas (y reglas). El Teorema de Incompletitud, se puede enunciar, en t´erminos generales, de la siguiente manera: “Todo sistema formal consistente que incluya la aritm´etica es incompleto”. Es decir, en todo sistema formal que sea consistente, se pueden encontrar proposiciones que ni ella ni su negaci´on pueden demostrarse. Para introducirnos en la l´ınea de pensamiento de G¨odel, vamos a partir de la paradoja de Richard:1 consideremos definiciones de propiedades de n´ umeros naturales, expresadas en espa˜ nol y utilizando algunos signos matem´aticos. Por ejemplo podemos pensar en la definici´ on de n´ umero par o n´ umero primo, que las podr´ıamos escribir respectivamente as´ı: (1) a es par si y s´ olo si ∃t ∈ N, a = 2t. (2) a es primo si y s´ olo si, ∃c(c|a, entonces c = 1 ´o c = a). Podemos ordenar estas definiciones, que constituyen un conjunto numerable, orden´andolos seg´ un el n´ umero de letras (o s´ımbolos) que tenga la definici´on y luego 1

Enunciada por el matem´ atico franc´es Jules Richard (1862-1956), en 1905.

418

El Estructuralismo en matem´ aticas

usando un orden lexicogr´ afico, que de antemano se fijar´ıa ya que adem´as de letras hay s´ımbolos matem´ aticos. Por ejemplo en los casos anteriores, (1) preceder´ıa a (2), pues (1) tiene un menor n´ umero de s´ımbolos que (2). De esta manera obtendr´ıamos una sucesi´on de definiciones de propiedades sobre n´ umeros naturales, expresadas en los siguientes predicados: W1 (x), W2 (x), . . . , Wn (x), . . . Por ejemplo supongamos que: W2 (x) : x es un n´ umero natural par. W6 (x) : x es un n´ umero natural primo. Como cada predicado Wp (x) expresa una propiedad sobre los n´ umeros naturales, un n´ umero n cualquiera satisface o no la propiedad expresada por el predicado de sub´ındice k. Si n satisface el predicado de sub´ındice k, se cumple que “Wk (n) es verdadero” y si ello no sucede tenemos que: “Wk (n) es falsa” o equivalentemente: “¬Wk (n) es verdadera”. Vamos ahora a definir una propiedad de los n´ umeros naturales de la siguiente manera: “n es richardiano” si Wn (n) es falsa. Es decir n es richardiano, si n no posee la propiedad expresada por el predicado de sub´ındice n. Por ejemplo, 2 no es richardiano porque W2 (2) es verdadera; pero 6 es richardiano porque W6 (6) es falsa. La propiedad de ser richardiano es una propiedad de los n´ umeros naturales, y por ende, dado un n´ umero p nos podemos preguntar si es o no richardiano. Adem´as, esta propiedad est´ a expresada en espa˜ nol y con algunos s´ımbolos. Pero como en los predicados W1 (x), W2 (x), . . . , Wn (x), . . . est´an listadas todas las propiedades sobre los n´ umeros naturales, a la propiedad de “ser richardiano” le corresponde un n´ umero q, eso es: Wq (x) : x es richadiano. Analicemos Wq (q): 1. Si Wq (q) es verdadera, entonces q satisface la propiedad Wq (x); esto es, q es richardiano, lo cual, por definici´on, implica que q no satisface la propiedad Wq (x), es decir ¬Wq (q) es verdadera. 2. Si ¬Wq (q) es verdadera, Wq (q) es falsa, lo cual significa que q no satisface la propiedad Wq (x); entonces q es richardiano. Por lo tanto Wq (q) es verdadera.

12.2 El teorema de incompletitud de G¨ odel

419

Los dos casos anteriores llevan a la contradicci´on: Wq (q) ↔ ¬Wq (q). Esta paradoja se puede explicar de manera relativamente sencilla. La cuesti´on es que en el proceso argumentativo se est´an mezclando dos tipos de lenguaje: el lenguaje primitivo y el lenguaje en el que se habla del lenguaje primitivo: el metalenguaje. En nuestro caso la propiedad de ser richardiano no es una propiedad de los n´ umeros naturales, sino una propiedad que designa una peculiaridad de tipo gramatical de la expresi´on Wq (x). De tal suerte que la mezcla entre dos lenguajes, el primitivo y el metalenguaje, es lo que lleva a algo contradictorio. G¨ odel ha utilizado el proceso de Richard para hallar, mediante una modificaci´ on y precisi´ on del argumento, algo esencialmente nuevo, la demostraci´on de proposiciones formalmente indecidibles en Principia de Russell y Whitehead. Vamos ahora a formalizar el anterior argumento, expres´andolo en un lenguaje preciso que nos evite las mezclas anteriores. Sea (F ) un sistema formal, el cual puede tomarse como una axiomatizaci´on de los n´ umeros naturales N. Esto quiere decir que contamos con un sistema de axiomas y reglas de deducci´ on que nos permiten obtener propiedades de N. En general, (F ) consta del lenguaje de primer orden que considera los s´ımbolos: “+”, “∗”, “S” y “0”, donde el s´ımbolo S corresponde a la funci´on “sucesor”. Evidentemente, los axiomas de (F ) deben contemplar los axiomas de Peano: (P1) ¬∃x(0 = Sx) (P2) ∀x∀y(Sx = Sy → x = y) (P3) ∀x(x + 0 = x) (P4) ∀x(x + Sy = S(x + y)) (P5) ∀x(x ∗ 0 = 0) (P6) ∀x(x ∗ Sy = x ∗ y + x) (P7) Para cada f´ ormula ϕ(x), se tiene que (ϕ(0) ∧ ∀x(ϕ(x) → ϕ(Sx))) → ∀xϕ(x). Supongamos las propiedades de los n´ umeros naturales W1 (x), W2 (x), . . ., Wn (x), . . ., ahora en t´erminos del sistema (F ) y tratemos de expresar, de manera formal, la propiedad de que n es richardiano; es decir la proposici´on: “n no posee la propiedad expresada por el predicado de sub´ındice n”.

(12.1)

420

El Estructuralismo en matem´ aticas

Podr´ıamos, como antes, expresar esta proposici´on diciendo “Wn (n) no es verdadera” o “¬Wn (n) es verdadera”. Pero lo “verdadero” tiene en (F ) la connotaci´on de lo “demostrable”. De esta forma, la proposici´on 12.1 toma la forma: “La proposici´ on Wn (n) no es demostrable en

(F )”.

(12.2)

Si ahora tratamos de seguir la l´ınea de pensamiento de la paradoja de Richard, debemos identificar la propiedad de n descrita por 12.2 con una de las propiedades Wq (x). Pero nos topamos aqu´ı nuevamente con ciertas expresiones como “proposici´on”, “demostrable”, que no pertenecen al sistema formal (F ), sino que pertenecen al metalenguaje, que es justamente lo que queremos evitar. De tal suerte que parece excluido el hecho de que podemos identificarla con una de las Wq , puesto que nos llevar´ıa a una contradicci´ on, como lo vimos antes. Ahora lo que hace G¨ odel, para no perder la l´ınea de Richard, pero sin caer en contradicciones es usar un ingenioso artificio que ha sido denominado “aritmetizaci´on de la metamatem´atica”. Veamos cual es la idea, ligeramente modificada, que sigui´o G¨ odel. Inicialmente se asignan n´ umeros a los s´ımbolos l´ogicos, variables y n´ umeros del sistema formal: Signos l´ ogicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔ Signos aritm´eticos: =, +, ∗ Variable: x, el signo S representa “sucesor de”. ∀x significa: “para todo x”; x0 , x1 , x3 , . . ., indican diversas variables. Los signos (S0), (SS0), (SSS0), . . . son signos para los n´ umeros 1, 2, 3, . . .. Se van a asociar a estos s´ımbolos los siguientes n´ umeros: 0 S + ∗ = ( )

1 2 3 4 5 6 7

∀ ∃ → ¬ ∧ ∨ x0

8 9 10 11 12 13 14

x1 x2 x3 x4 etc.

15 16 17 18

Esta asignaci´ on num´erica de los s´ımbolos permite codificar cualquier f´ormula. As´ı, el c´odigo de la f´ ormula ∀x0 ∗ ¬ ser´a 8 14 4 11. El c´odigo de la f´ormula bien formada ∀x0 (x0 ∗ 0 = 0) es 8 14 6 14 4 1 5 1 7. La idea de G¨odel era establecer una biyecci´ on entre las f´ ormulas del lenguaje (F ) y los n´ umeros naturales. Para ello utiliz´ o el teorema fundamental de la aritm´etica, de tal forma, que a la primera

12.2 El teorema de incompletitud de G¨ odel

421

f´ ormula le corresponder´ a el n´ umero 28 × 314 × 54 × 711 y a la segunda f´ormula le corresponder´ a el n´ umero 28 × 314 × 56 × 714 × 114 × 131 × 175 × 191 × 237 . Lo extraordinario de este procedimiento, es que G¨odel logr´o aritmetizar el metalenguaje; es decir logr´ o expresar, a trav´es de relaciones num´ericas, conceptos metaling¨ u´ısticos como: “proposici´ on”, “demostrable”, etc. En este sentido, los teoremas del sistema (F ) est´ an representados por una cierta clase de n´ umeros y las proposiciones del sistema (F ) por otra cierta clase de n´ umeros. As´ı, el conjunto T , que se describe a continuaci´ on, corresponde a los n´ umeros de los teoremas del sistema (F ), T = {n/n es un n´ umero de G¨odel de un teorema de (F )}. De esta forma, 28 × 314 × 56 × 714 × 114 × 131 × 175 × 191 × 237 ∈ T , mientras que 28 × 314 × 54 × 711 ∈ / T . Sea ahora, P = {n : n es un n´ umero de G¨odel de una proposici´on del sistema S}. El n´ umero 28 × 314 × 54 × 711 ∈ / P , pues ∀x0 ∗ ¬ no es una proposici´on del sistema (F ). Veamos el camino que sigue G¨odel para expresar la propiedad 12.2: Sea la proposici´ on Wn (p), y representemos por ϕ(n, p) su n´ umero asociado de G¨odel. De esta forma, la expresi´ on “Wn (p) no es un teorema de (F )”, formalmente se expresa como: “ϕ(n, p) no es un elemento de T ” o en t´erminos simb´olicos “ϕ(n, p) ∈ / T ”. Eso significa que el enunciado 12.2 establece que “ϕ(n, n) ∈ / T ”. Pero esta expresi´on se refiere a una propiedad num´erica: Dado un n´ umero n, tenemos que ϕ(n, n), que es el n´ umero de G¨ odel de la proposici´on Wn (n), pertenece o no al conjunto T . Podemos, entonces formalizar la propiedad “ser richardiano”: Decimos que el n´ umero n es richardiano si ϕ(n, n) ∈ / T . Como la propiedad “ser richardiano” es una propiedad num´erica, entonces est´a ubicada en el listado de propiedades de N; es decir, para alg´ un q se tiene que: Wq (x) : x es richardiano. As´ı, Wq (n), significa “n es richardiano”, significa que “ϕ(n, n) ∈ / T ”, que traduce “Wn (n) no es demostrable en (F ) ”. Coloquemos ahora el n´ umero q en la proposici´on Wq : Wq (q): “ϕ(q, q) ∈ / T ” que traduce “Wq (q) es indemostrable”. Ello significa que la proposici´on Wq (q) afirma que ella misma es indemostrable. Tratemos de ver ahora que la proposici´on Wq (q) es indecidible en el sistema (F ): Si Wq (q) es demostrable, entonces q posee la propiedad expresada por Wq , entonces ϕ(q, q) ∈ / T pero esto significa que Wq (q) no es demostrable. De otro lado si ¬Wq (q) es demostrable entonces q no posee la propiedad expresada por Wq , entonces ϕ(q, q) ∈ / T , luego Wq (q) es demostrable.

422

El Estructuralismo en matem´ aticas

Observemos que aqu´ı ya no hay paradoja. Sencillamente lo que podemos decir es que Wq (q) es indecidible en (F ): es decir, no se puede probar ni ella ni su negaci´on; pero en cierto sentido es verdadera pues como lo anot´abamos anteriormente ella misma est´ a afirmando su propia indemostrabilidad. Observemos que en la demostraci´on de la indecidibilidad de Wq (q) hemos asumido que el sistema (F ) es consistente. Se puede formular, entonces el resultado anterior, as´ı: “Si (F ) es no contradictorio, entonces Wq (q) es indecidible en (F )”. Obviamente que aqu´ı se ha presentado una demostraci´on informal, pues una demostraci´on rigurosa exigir´ıa conocimientos de l´ogica de primer orden; sin embargo, ella nos da una idea intuitiva del camino seguido por G¨odel.

12.3.

Las consecuencias formales del teorema de G¨ odel

En el apartado anterior hemos demostrado la manera como G¨odel define una f´ ormula aritm´etica que representa la proposici´on metamatem´atica “La f´ ormula α es indecidible”. M´ as concretamente, G¨ odel demuestra que α es demostrable si y s´olo si ¬α es demostrable. Pero como el sistema es consistente se tiene que Si el sistema es consistente, entonces α no es demostrable. Y por lo tanto, Si el sistema es consistente, entonces es incompleto. Usando estas cuestiones G¨ odel demostr´o la imposibilidad de demostrar la consistencia del sistema dentro del sistema mismo. Veamos esto: si la f´ormula β representa la declaraci´ on metamatem´ atica: “El sistema es consistente”. Tendremos: β β α

→

α

Significar´ıa que α es demostrable, lo cual es contradictorio. Adem´ as del problema de la imposibilidad de establecer los sistemas formales su propia consistencia interna, podemos anotar las siguientes consecuencias importantes derivadas del teorema de incompletud:

12.4 El programa bourbakista

423

1. No se pueden demostrar todas las verdades matem´aticas a partir de los axiomas. 2. Verdad y demostrabilidad no coinciden. Los productos del pensamiento no caben dentro de un mismo sistema formal. 3. El sistema formal no es un prototipo de verdad absoluta. Ya no hay verdades absolutas garantizadas l´ ogicamente. 4. La raz´ on humana ya no puede asegurar, con base en las matem´aticas, que conozca tal tipo de verdades. 5. M´as all´ a de esto no se trata de desconocer la ganancia cultural involucrada en los sistemas formales.

12.4.

El programa bourbakista

De todas formas, la propuesta de Hilbert sigue teniendo gran acogida en la b´ usqueda de fundar las matem´ aticas sobre bases s´olidas. Es as´ı que hacia mediados del siglo XX se form´ o una versi´ on francesa bajo el apelativo del Grupo Bourbaki. Pese al teorema de incompletitud de G¨odel, la propuesta de Hilbert fue acogida por un alto porcentaje de los matem´aticos del siglo XX desde diferentes perspectivas. El enfoque que tuvo mayor impacto se debe a la corriente bourbakista que empez´o a gestarse hacia la tercera d´ecada del siglo XX en Francia. Esta propuesta matem´atica se materializ´ o en una obra monumental denominada Elementos de matem´ atica, una serie de libros escritos por un grupo de matem´aticos que se camuflaban bajo el pseud´onimo de Nicol´ as Bourbaki. Entre los principales gestores de esta singular idea podemos se˜ nalar a Henri Cartan (1904-2008), Andr´e Weil (1906-1998), Jean Dieudonn´e (1906-1992), Claude Chevalley (1909-1984), Jean Delsarte (1903-1968), Ren´e de Possel (1905–1974) y Charles Ehresmann (1905–1979), quienes hab´ıan estudiado ´ en la Ecole normale sup´erieure de Par´ıs. El prop´ osito fundamental de Bourbaki era elaborar un compendio que abarcara las m´ ultiples disciplinas matem´ aticas que aparec´ıan dispersas seg´ un el tipo de objetos tratados. En este sentido, los integrantes del grupo Bourbaki creyeron conveniente abordar en Elementos seis aspectos fundamentales: I. Teor´ıa de Conjuntos ´ II. Algebra III. Topolog´ıa IV. Funciones de una variable real V. Espacios vectoriales topol´ogicos

424

El Estructuralismo en matem´ aticas

VI. Integraci´ on Desde la perspectiva unificadora de la filosof´ıa bourbakista hay una matem´ atica u ´nica, la cual se fundamenta en la propuesta axiom´atica de Hilbert, bajo tres tesis medulares: 1. Se busca erigir las matem´ aticas en un edificio unificador. 2. El cimiento del edificio matem´atico corresponde a la teor´ıa de conjuntos. 3. La jerarquizaci´ on de los diversos compartimientos del edificio matem´atico se hace en t´erminos de “estructuras”. Bourbaki dedicaba un buen espacio de su exposici´on para explicar lo que se debe entender por una estructura: Ahora podemos hacer comprender lo que, de una manera general, debe entenderse por una estructura matem´atica. El rasgo com´ un de las diversas nociones agrupadas bajo este nombre gen´erico es que se aplican a conjuntos de elementos cuya naturaleza no est´a especificada; para definir una estructura, se dan una o varias relaciones en las que intervienen estos elementos; se postula luego que la o las relaciones dadas satisfacen ciertas condiciones (que se enumeran) y que son los axiomas de la estructura considerada. Hacer la teor´ıa axiom´atica de una estructura dada es deducir las consecuencias l´ogicas de los axiomas de la estructura, con exclusi´ on de toda otra hip´ otesis acerca de los elementos considerados (en particular toda hip´ otesis sobre su “naturaleza” propia).2 Seg´ un Bourbaki se pueden identificar tres tipos de estructuras, que se conocen como “estructuras madres”: estructuras algebraicas, estructuras de orden y estructuras topol´ogicas. En las estructuras algebraicas se acopian una o varias operaciones entre objetos, las cuales cumplen propiedades tales como la asociativa, existencia de elemento neutro, existencia de elemento inverso, conmutativa, etc. Por ejemplo la estructura de grupo, la estructura de anillo, la estructura de cuerpo, etc. Una estructura de orden. Es una relaci´on definida en un conjunto E, designada por “≤” que satisface las siguientes propiedades: 1. Reflexiva: x ≤ x 2. Antisim´etrica: x ≤ y, y ≤ x implican x = y 3. Transitiva: x ≤ y, y ≤ z implican x ≤ z.

2

[Bourbaki 1962]

12.4 El programa bourbakista

425

Estructuras topol´ ogicas. Son aquellas en las cuales se involucran las nociones de l´ımite, continuidad, o convergencia. Existen tambi´en estructuras en las que intervienen varias estructuras madre, relacionadas por condiciones de compatibilidad. Es importante se˜ nalar la considerable econom´ıa de pensamiento camuflado en las estructuras, dado que si se advierte que algunos objetos cumplen los axiomas de una determinada estructura, podemos utilizar todos los resultados que cumple la estructura sin necesidad de volver a demostrarlos. Debe quedar claro que el compromiso de Bourbaki es con la unificaci´on de las matem´ aticas no con sus fundamentos. El problema de la consistencia es eludido a trav´es de la exclusi´ on. Los matem´aticos proceden con “la fe del carbonero”, esto es, en cuanto se ha logrado la axiomatizaci´on de una teor´ıa, siguen adelante sin preocuparse de eventos parad´ ojicos. En caso de surgir contradicciones, sencillamente se expulsan del reino matem´ atico las nociones problema. Para clarificar estos aspectos, Bourbaki recurre, en La arquitectura de las matem´ aticas, a la met´afora de la matem´ atica como una ciudad: Es como una gran ciudad, cuyos suburbios no cesan de progresar, de manera un poco ca´ otica, sobre el terreno circundante, mientras que el centro se reconstruye peri´odicamente, siguiendo un plan cada vez m´as claro y una disposici´ on cada vez m´as majestuosa, echando abajo los viejos barrios y sus laberintos de callejuelas para lanzar, hacia la periferia, avenidas cada vez m´ as directas, m´as amplias y m´as c´omodas.3 Podemos reconocer los antepasados de la noci´on de estructura en muchas instancias: en la teor´ıa de Galois, en el ´algebra abstracta de Emmy Noether (1882-1935) y Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996), en la axiomatizaci´on de los espacios topol´ ogicos por Felix Hausdorff y, principalmente, en los desarrollos de Hilbert y Dedekind. ´ Seg´ un van der Waerden, la estructura del ´algebra moderna se debe a Evariste Galois y a Richard Dedekind, quienes delinearon el esqueleto de estructura al establecer un sistema te´ orico que fuera m´as all´a que la teor´ıa de ecuaciones y asentar las nociones de cuerpo, anillo e ideal. En 1871, Dedekind planteaba que el ´algebra se ocupaba de “las interrelaciones entre cuerpos”. De esta forma, abord´o el problema de la factorizaci´ on de los n´ umeros algebraicos de una manera conjuntista a trav´es de la teor´ıa de ideales. Como lo refieren Ledesma y Ferreiros:4 Dedekind consideraba los conjuntos como objetos sometidos a operaciones matem´ aticas an´ alogas a las tradicionales, tan “concretos” como 3 4

[Bourbaki 1962]. [Ferreiros 1991].

426

El Estructuralismo en matem´ aticas

los n´ umeros, y lo demuestra el que trabaje con particiones de grupos, leyes de composici´ on inducidas sobre clases de equivalencia, operaciones algebraicas sobre ideales, etc. Con lo cual se aproxima al planteamiento estructural y abstracto t´ıpico del ´algebra del siglo XX. Podemos considerar su obra como uno de los mayores esfuerzos por lograr una visi´on sistem´ atica, unitaria y rigurosa de la matem´atica: quiz´ a no sea casual el hecho de que Bourbaki parezca considerarlo su principal ancestro.

Si bien en las investigaciones de Dedekind encontramos las primeras columbas de las estructuras matem´ aticas, es Emmy Noether la encargada de articular los elementos indispensables que dan lugar a la identificaci´on de invariantes a partir del estudio sistem´ atico de los ideales en anillos, cuestiones que aparecen desarrolladas ´ en el Algebra Moderna de van der Waerden, un tratado que proporcion´o algunas directrices al programa de los Bourbaki. El estructuralismo no s´ olo perme´o la actividad matem´atica, sino que se constituy´o en una propuesta cultural que empez´o a mostrar su potencia a partir de las investigaciones de Ferdinand de Saussure (1857-1913) y Roman Jakobson (18961982) en ling¨ u´ıstica, y que luego se extiende a la antropolog´ıa con Claude L´eviStrauss (1908-2009), a la psicolog´ıa con Jean Piaget (1896-1980) y Jacques-Marie ´ Emile Lacan (1901-1981) y a la filosof´ıa con Jacques Derrida (1930-2004) y Michel Foucault (1926-1984).5 Un aspecto ampliamente debatido fue la extrapolaci´on de la propuesta bourbakista a la escuela a partir de la d´ecada de los setenta. Cuesti´on que puede resumirse en la famosa frase “¡abajo Euclides!”, lanzada por Dieudonn´e en 1959. Mediante esta proclama, los bourbakistas cre´ıan improcedente la ense˜ nanza de la geometr´ıa intuitiva, recreada por figuras que guiaban el proceso deductivo como en los Elementos, y propugnaban por una ense˜ nanza abstracta gobernada por el m´etodo axiom´atico. Esta propuesta pedag´ ogica fue impulsada desde Francia y Estados Unidos, pero r´ apidamente mostr´ o sus limitaciones, pues, al decir de Laurent Schwartz, canjeaba la riqueza de las matem´ aticas “por una pl´etora de axiomas y definiciones incomprensibles para la gran mayor´ıa de los alumnos”. Uno de los detractores m´as conocidos fue Morris Kline, quien desnud´ o los problemas did´acticos del bourbakismo en su obra: El fracaso de la matem´ atica moderna. ¿Por qu´e Juanito no sabe sumar?

5

Se sabe que al menos en 1943, Jakobson, L´evi-Strauss y Weil estuvieron en Nueva York. En sus investigaciones de 1949, sobre endogamia en poblaciones abor´ıgenes australianas, L´evi-Strauss cont´ o con la ayuda de Weil, quien aplic´ o propiedades de grupos para abordar el problema. Jean Piaget, visualiz´ o en las estructuras matem´ aticas un medio para explicar las etapas del desarrollo cognitivo del ni˜ no.

12.6 La teor´ıa de categor´ıas

12.5.

427

La teor´ıa de categor´ıas

Seg´ un Gustave Choquet (1915-2006), la teor´ıa de categor´ıas permite llevar el ideal bourbakista de unificaci´ on de las matem´aticas a su m´axima expresi´on. Para Amir Aczel (1950-2015) la teor´ıa de categor´ıas corresponde a una superestructura que se encuentra por encima de la teor´ıa de conjuntos, el ´algebra abstracta y la topolog´ıa. Surge en 1945 a partir de las investigaciones, en topolog´ıa algebraica, de Samuel Eilenberg (1913-1998) y Saunders Mac Lane (1909-2005). Si bien la teor´ıa de categor´ıas comulga con el bourbakismo en el ideal de buscar la unificaci´ on de las matem´ aticas, se diferencia en el m´etodo. Mientras para la teor´ıa de conjuntos el edificio matem´ atico se construye piedra a piedra a partir de los conjuntos, en la teor´ıa de categor´ıas se construye de m´odulos sint´eticos, establecidos a partir de relaciones (morfismos). Una categor´ıa C consta de: 1. Una clase de objetos de C, que designamos como O(C). 2. Para todo A, B ∈ O(C), se tienen un conjunto de morfismos de A en B, que designamos por M ORO(C) (A, B), tal que f ∈ M ORO(C) (A, B) se designa como f

A −→ B.

f

g

3. Para cada par de morfismos A −→ B −→ C, existe un morfismo compuesto g◦f

A −→ C.

1

A 4. Para cada A ∈ O(C), existe A −→ A.

f

5. Para la identidad se cumple la siguiente propiedad: Si A −→ B, entonces 1B ◦ f = f y f ◦ 1A = f . f

g

h

6. Si se tiene A −→ B −→ C −→ D, entonces (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ). Entre las categor´ıas m´ as conocidas tenemos: 1. Set, cuyos objetos son conjuntos y los morfismos son las funciones. 2. Top, cuyos objetos son los espacios topol´ogicos y los morfismos son las aplicaciones continuas. 3. G, cuyos objetos son los grupos y los morfismos son los homomorfismos. 4. VecK , cuyos objetos son los espacios vectoriales sobre un cuerpo K y los morfismos son las transformaciones lineales entre ellos. El objetivo de la teor´ıa de categor´ıas es axiomatizar diversas estructuras matem´aticas, como una sola. El vocablo “categor´ıa” fue tomado de la filosof´ıa aristot´elica, aunque con el sentido dado por Kant, quien lo asocia a una “forma pura” en el contexto exclusivamente matem´ atico.

428

12.6.

El Estructuralismo en matem´ aticas

Los problemas modernos de la teor´ıa de conjuntos: el tama˜ no del continuo

Como vimos en el cap´ıtulo anterior, en Fundamentos para una teor´ıa general de conjuntos de 1883, despu´es de demostrar que el infinito del continuo aritm´etico R, es mayor que el de N, Cantor plantea la inexistencia de A ⊂ R, tal que |N| < |A| < |R| inecuaci´on que se conoce como hip´otesis del continuo, HC . Una revisi´on minuciosa de la producci´ on de Cantor, entre 1883 y 1897, nos muestra su pretensi´on de demostrar este resultado, el cual permitir´ıa fijar el “tama˜ no del continuo”. Para ello muestra la relaci´on dial´ectica entre las actividades de ordenar y contar al establecer una mutua dependencia entre los n´ umeros ordinales y los cardinales. Teniendo en cuenta que un ordinal es un conjunto transitivo y bien ordenado bajo pertenencia, Cantor define la “reglilla” de todos los ordinales: 1, 2, . . . , n, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω · 2, . . . , ω ω , . . . , ω1 , . . . , ω2 , . . . . Aquellos ordinales que provienen del ordinal anterior agregando un nuevo elemento se llaman ordinales sucesores, como los naturales o w + 1; los ordinales que no tienen un ordinal anterior como w ´ o w · 2, se llaman ordinales l´ımites. Cantor asume que todo conjunto es bien ordenado y, por lo tanto, isomorfo a alguno de los ordinales de la reglilla anterior. En 1904 y 1908, Zermelo advierte que esto no se puede asumir como principio, sino como teorema: el teorema del buen orden. Como lo detallamos antes, para su demostraci´on Zermelo incorpora un enunciado controversial, como lo es el axioma de elecci´ on, AC . Al comprender que los ordinales no le dan informaci´ on sobre HC, Cantor incorpora la secuencia de tama˜ nos a trav´es de los n´ umeros cardinales, denominados los alephs. Como detallamos en el cap´ıtulo anterior, un n´ umero cardinal es un ordinal que no es equipotente con ninguno de los ordinales menores que ´el. Los cardinales quedan definidos ordenadamente a partir de la secuencia de ordinales como se puede observar en el siguiente esquema: ℵ0

↓

0, 1, 2, . . . , n, . . . , ω , ω + 1, . . . , ω

ℵ1

ω

ℵ2

↓ ↓ , . . . , ω1 , . . . , ω2 , . . . .

De otro lado, se puede demostrar que R es equipotente con 2N = {f |f : N → {0, 1}}, o lo que es igual |R| = 2ℵ0 . Eso significa que el problema de fondo planteado en HC es establecer cu´ al de los alephs: ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , . . . corresponde a 2ℵ0 . Justamente una de las salidas que se le ha dado a este problema es mediante la teor´ıa de modelos.

12.7.

Los modelos de la teor´ıa de conjuntos

Informalmente hablando, un modelo dota de sentido a los objetos que han sido establecidos de manera nominal en una teor´ıa axiom´atica. En el modelo, los objetos nominales cobran vida y consistencia. Pasamos del nivel sint´actico al nivel sem´antico.

12.8 Los modelos de la teor´ıa de conjuntos

429

En este sentido, un modelo de ZFC es un universo donde habitan los conjuntos generados por los axiomas y los teoremas. Esto significa que lo que es “verdadero” queda determinado por la manera como est´e estructurado el modelo. La teor´ıa de modelos ha cobrado importancia debido al teorema de completud de la l´ogica de primer orden de G¨odel,6 seg´ un el cual un conjunto S de estamentos es consistente si existe un modelo para S. Recordemos que estamos hablando de consistencia relativa, puesto que, como lo enunciamos antes, una consecuencia del teorema de incompletitud de G¨odel establece la imposibilidad de que podamos demostrar la consistencia interna de una teor´ıa formalizada. Siguiendo estas directrices y suponiendo que ZF es consistente, la demostraci´on de que un enunciado α es indecidible en ZF requiere dos movimientos. Primero se exhibe un modelo M1 de ZF en el cual vale tanto α como ZF . Esto es, el sistema ZF + {α} no pierde la consistencia. En segundo lugar, se exhibe un modelo M2 en el cual se cumpla lo anterior para el sistema ZF + {¬α}. La existencia de M1 y M2 quiere decir que α y ¬α son independientes de ZF y, por lo tanto, α ser´ a un enunciado indecidible en ZF. La teor´ıa de modelos de la teor´ıa de conjuntos se basa en la noci´on de estructura de la l´ ogica de primer orden. Un modelo M es un par (M, E), donde M es una clase, posiblemente propia, y E una relaci´on binaria en M, que en nuestro caso ser´a E =∈ ∩M 2 . Esto significa que E representar´a en M la pertenencia ∈, usual de conjuntos. El primer modelo referencial fue introducido por von Neumann en 1930, al definir la jerarqu´ıa acumulativa de conjuntos. Se trata de mini universos transitivos contenidos unos dentro de otros para obtener el universo V de todos los conjuntos de la teor´ıa. La construcci´ on se hace por recursi´on transfinita, como se puede visualizar en la figura 12.1, de acuerdo al siguiente proceso: 1. V0 = ∅ 2. Vn+1 = ℘(Vn ) 3. Vα = 4. V =

D

D

β