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• Alejandra Alvarez

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Lectura 6: Probabilidad: probabilidad condicional, independencia, y la regla del producto Estadística Agosto 25, 2017

La probabilidad condicional es un aspecto muy importante en teoría de probabilidad. Por ejemplo, en vez de interesarnos en la probabilidad de falla de una línea de transmisión, puede resultar más útil evaluar la probabilidad de falla después de que ha ocurrido un evento en particular en el sistema de potencia como un fenómeno climático u otra falla. Es decir, se está condicionando a que ha ocurrido una falla inicialmente. En probabilidad condicional el espacio muestral del evento condicionado pareciera cambiar. Por ejemplo, la afirmación de que “la probabilidad de que falle la línea entre las subestaciones X y Y es 0.01” es completamente diferente a “la probabilidad de que falle la línea entre las subestaciones X y Y cuando se presenta una tormenta eléctrica en la zona es de 0.1”. En general, a este tipo de estudios de fallas en sistemas de transmisión se le conoce como análisis de contingencias, donde interesa evaluar la robustez y confiabilidad del sistema ante una serie de eventos desafortunados inesperados.

1.

Probabilidad condicional Hasta el momento, hemos aprendido a calcular y analizar la probabilidad incondicional

de ocurrencia de un evento A cualquiera. Sin embargo, la ocurrencia del evento A puede

1

estar afectada de la ocurrencia de otro evento B. Por ejemplo, el tiempo para desplazarse de un lugar a otro en Medellin es afectado en gran medida por el estado del clima. A mayor lluvia, mayor trafico y mayor el tiempo de desplazamiento. Por lo tanto, si A es el evento de emplear más de 20 minutos para llegar al destino final, y B es la probabilidad de lluvia en la ciudad, entonces intuitivamente asumimos P (A) crece a medida que P (B) crece. Para establecer dicha dependencia, en estadística se usa la notación P (A|B), que denota la probabilidad condicional de A dado que el evento B haya ocurrido. Por ejemplo, en el proceso de producción de transformadores (10 monofásicos de 50MVA, 15 monofásicos de 70MVA, 12 trifásicos de 50MVA, y 20 trifásicos de 70MVA) la empresa XY selecciona al azar un transformador para pruebas de calidad. Si M es el evento de seleccionar un transformador monofásico, entonces P (M ) =

10+15 10+15+12+20

=

25 . 57

Si N es el evento de seleccionar

un transformador de 70MVA, entonces la probabilidad de seleccionar un transformador monofásico dado que es (o entre los) de 75MVA podemos decir que P (M |N ) =

15 15+20

=

15/57 . 35/57

Observe que la probabilidad condicional cambia el espacio muestral original por el del evento condicionante. Para dos eventos A y B, la probabilidad condicional de B, dado A, está definida por

P (A|B) =

P (A ∩ B) , dado que P (B) > 0. P (B)

Ejemplo 1. (Ejemplo 2.25 de [1]). Supóngase que de todos los individuos que compran cierta cámara digital, 60 % incluyen una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40 % incluyen una bateria extra, y 30 % incluyen tanto una tarjeta como una bateria. Considere seleccionar al azar un comprador y sean A= tarjeta de memoria adquirida, B = bateria adquirida. Entonces P (A) = 0,6, P (B) = 0,4, y P (A ∩ B) = 0,3. El individuo seleccionado adquirió una bateria extra, entonces la probabilidad de que una tarjeta opcional también haya sido adquirida es

2

P (A|B) =

P (A ∩ B) 0,3 = = ,75 P (B) 0,4

Es decir, entre los que escogieron bateria, el 75 % de los individuos seleccionó tarjeta adicional. También podemos calcular P (B|A), que determina entre los que escogieron la tarjeta, la probabilidad de haya seleccionado la bateria.

P (B|A) =

0,3 P (A ∩ B) = = ,5 P (A) ,6

Ejemplo 2. (Ejemplo 2.26 de [1]). Una revista de noticias publica tres columnas tituladas “Arte” (A), “Libros” (B) y “Cine” (C). Los hábitos de lectura de un lector seleccionado al azar con respecto a estas columnas son

Lee regularmente:

A

B

C

Probabilidad:

,14 ,23 ,37

A∩B A∩C B∩C A∩B∩C ,08

,09

,13

,05

Determine a) P (A|B), b) P (A|B ∪ C), c) P (A|lee por lo menos una), d) P (A ∪ B|C). Ejemplo 3. La probabilidad de que un vuelo programado despegue a tiempo es P (D) = 0,83; la probabilidad de que aterrice a tiempo es P (A) = 0,82; y la probabilidad de que despegue y aterrice a tiempo es P (D ∩ A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de que el vuelo: (a) aterrice a tiempo dado que despegó a tiempo, (b) despegó a tiempo, dado que ha aterrizado a tiempo, (c) no despegó a tiempo dado que ha aterrizado a tiempo, (d) aterrice a tiempo dado que no despegó a tiempo.

3

2.

Regla del producto Básicamente, cuando se conoce la probabilidad condicional P (A|B) (o P (B|A)) y se desea

conocer P (A ∩ B), se usa la siguiente expresión:

P (A ∩ B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A) Ejemplo 4. (Ejemplo 2.36 de [2]). Suponga que tenemos una caja que contiene 20 fusibles, de los cuales 5 están defectuosos. Si 2 fusibles se seleccionan aleatoriamente y son removidos de la caja sucesivamente sin reemplazar el primero, cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos? Solución. Sea A el evento de seleccionar el primer fusible defectuoso, y B el evento de seleccionar el segundo fusible defectuoso. Entonces, debemos calcular P (A∩B). En la primer selección tenemos que P (A) = 5/20 = 1/4. Dado que no hay reemplazo, P (B|A) = 4/19; luego P (A ∩ B) = 1/4 × 4/19 = 1/19.

3.

Independencia En el ejemplo anterior, observamos que P (B|A) 6= P (B) lo cual indica que B depende

de A. Esto no ocurriría si el primer fusible defectuoso se reemplazara porque resultaría que P (B|A) = P (B). Definición. Los eventos A y B son independientes si y solo si

P (B|A) = P (B) o P (A|B) = P (A),

y son dependientes en caso contrario.

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Teorema. Dos eventos A y B son independientes si y solo si

P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Por lo tanto, para obtener la probabilidad de que dos eventos independientes ocurrirán, simplemente multiplicamos sus dos probabilidades individuales. Ejemplo 5. Se lanza una moneda infinitamente. Determine la probabilidad de que la priP k mera “C” ocurra en un número impar de lanzamientos. [Sugerencia: recuerde que ∞ k=0 x = 1 , 1−x

|x| < 1]

Después de resolver el ejemplo teóricamente, podemos correr el siguiente código en R que ilustra el experimento. Básicamente se lanzará la moneda hasta que se encuentre una “C” (o un 2 para el código). Y este procedimiento se repite n veces. Al final, la probabilidad solicitada se calcula como el número de veces que se obtuvo cara en un lanzamiento par dividido entre el número total de veces n. # Lanzamiento infinito de una moneda. rm(list = ls()) # Borra todas las variables n = 10000 # numero de veces que se repite el experimento

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