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• Jhonny Carbonó

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Lógica Mat em ática L e c t ur a 6 Pr o f e sor : E i n st e i n M o r a l e s Marzo de 2020

D e p a rt a m e n t o d e C i e n c i a s B á si c a s

1. Tautología, Contradicción y Contingencia. La tautología, contradicción y contingencia son tipos de expresiones lógicas, tales que si la tabla de verdad de alguna proposición ya sea simple o compuesta es siempre verdadera, entonces la expresión es tautología. Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradicción; si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia. Antes de realizar la tabla de verdad de alguna proposición revisemos las tablas de verdad que conocemos hasta el momento: Negación

Conjunción

𝑝𝑝 0 1

𝑝𝑝 0 0 1 1

~𝑝𝑝 1 0

Equivalencia 𝑝𝑝 0 0 1 1

Disyunción

𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∧ 𝑞𝑞 0 0 1 0 0 0 1 1

𝑝𝑝 0 0 1 1

Implicación 𝑝𝑝 0 0 1 1

𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞 0 0 1 1 0 1 1 1

𝑞𝑞 𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 0 1 1 1 0 0 1 1

Disyunción Exclusiva

𝑞𝑞 𝑝𝑝 H → 𝑞𝑞 0 1 1 1 0 0 1 1

𝑝𝑝 0 0 1 1

𝑞𝑞 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞 0 0 1 1 0 1 1 0

Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Determinar qué tipo de expresión lógica es la siguiente: (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 ) ↔ ∼ (𝑝𝑝 ∧ ∼ 𝑞𝑞)

EN LA EXPRESION LÓGICA HAY 2 proposiciones SIMPLES POR TANTO NECESITAMOS 22 4 FILAS

Pit

2

𝑝𝑝 𝑞𝑞 ∼ 𝑞𝑞 (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 ) (𝑝𝑝 ∧ ∼ 𝑞𝑞) ∼ (𝑝𝑝 ∧ ∼ 𝑞𝑞) (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 ) ↔ ∼ (𝑝𝑝 ∧ ∼ 𝑞𝑞) 0 0 l 1 l l O 0 1 1

1 0 1

U l

O

l O

l

U L

O

l

O

LA EXPRESIÓN LÓGICA ES DEL TIPO

l

l l 1

TAUTOLOGÍA

Referencias: Barco, C., Barco, G., & Aristizabal, W. (1998). Matemática digital. McGraw-Hill.

Ejemplo 2 Determinar qué tipo de expresión lógica es la siguiente: (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 ) ↔ ∼ (∼ 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞)

Ps4

22 4 ELLAS

NECESITAMOS

𝑝𝑝 𝑞𝑞 ∼ 𝑝𝑝 (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 ) (∼ 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞) ∼ (∼ 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞) (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞 ) ↔ ∼ (∼ 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞) 0 0 1 O O 1 1 0 1 O O 1 1 1 0 O O O O 1 1

1

O

1

0

1

LA EXPRESIÓN LÓGICA Es DEL Tipo

Ejemplo 2

i

O

CONTRADICCIÓN

S

¿Qué tipo de expresión lógica es la siguiente: [∼ 𝑝𝑝 → (∼ 𝑞𝑞 ∨ ∼ 𝑟𝑟)] → [∼ (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞) ∨ ∼ (𝑝𝑝 → 𝑟𝑟)] ?

P9

r

3

2

NECESITAMOS

3 𝑝𝑝 0 0 0 0 1 1 1 1

𝑞𝑞 0 0 1 1 0 0 1 1

z

g ELLAS

𝑟𝑟 ∼ 𝑝𝑝 ∼ 𝑞𝑞 ∼ 𝑟𝑟 (∼ 𝑞𝑞 ∨ ∼ 𝑟𝑟) 𝑠𝑠 (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞) (𝑝𝑝 → 𝑟𝑟) ∼ (𝑝𝑝 → 𝑞𝑞) ∼ (𝑝𝑝 → 𝑟𝑟) 0 O l l O 1 l l l 1 1 1 O 1 1 O 1 1 1 O 0 1 O 1 1 1 O 1 O 1 1 O 1 O O O 1 O O 1 0 O O O 1 1 1 l 1 l 1 l U O l l O l O l 0 O 0 D O l l 1 l l 1 1

O O

O

O

1

LA EXPRESIÓN LÓGICA ES DEL Tipo

1

O

O

𝑡𝑡 𝑠𝑠 → 𝑡𝑡

O

O O O

l

l

O

O O 1 l l

1 O O

1

CONTINGENCIA

Referencias: Barco, C., Barco, G., & Aristizabal, W. (1998). Matemática digital. McGraw-Hill.