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´ CALCULO 3 LECTURA 12. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES Camilo Andr´es Ram´ırez S´anchez Polit´ecnico Grancolombiano

´ CALCULO 3 LECTURA 12. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES

´Indice

´Indice

1. REGIONES GENERALES

2

1.1. TIPOS DE REGIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Regiones y-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Regiones x-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2. PROPIEDADES (GENERAL)

8

3. EJERCICIOS

9

Introducci´ on

Para las integrales sencillas (de una sola variable), la regi´on sobre la que se integra siempre ser´a un intervalo. Pero para las integrales dobles, resultar´ıa deseable que se pudiera integrar no solo en regiones rectangulares sino tambi´en en regiones con formas m´as generales. En esta lectura se presentan las ideas fundamentales para poder desarrollar integrales de dobles sobre regiones m´as generales.

1

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REGIONES GENERALES

1. REGIONES GENERALES

Considere una regi´ on D cerrada y acotada en el plano; esto quiere decir que toda la frontera pertenece a la regi´on D (cerrada) y que la regi´ on D se puede encerrar en una regi´ on rectangular R (acotada), tal como se muestra en la figura 1. Suponga que f es una funci´ on de dos variables que est´ a definida en la regi´on rectangular R que est´a acotando a la regi´on D, esto quiere decir que se puede calcular la integral doble de la funci´on f (x, y) sobre la regi´on rectangular R.

Figura 1: imagen tomada de: Steward, J.(2000). Calculus Concepts and Contexts. p855. As´ı pues, ahora se va a redefinir a la funci´ on f de tal manera que afuera de la regi´on D se anule, esto es:  f (x, y) si (x, y) est´a en D F (x, y) = 0 si (x, y) est´a en R pero no en D Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se puede definir la integral doble de f sobre D como ZZ

ZZ f (x, y)dA =

D

F (x, y)dA

(1)

R

Este procedimiento resulta razonable ya que los valores de F (x, y) son 0 cuando (x, y) no est´a en D, por lo que no contribuye en nada en la integral. Por lo cual, no importa las dimensiones del rect´angulo de la regi´on R que se utilice. De la misma manera que en las integrales dobles sobre regiones rectangulares, en el caso en que f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) en D, la integral se puede interpretar como el volumen del s´olido que est´a encima de D y debajo de la superficie z = f (x, y), en la figura 2 se puede ver la validez de este razonamiento.

Figura 2: imagen tomada de: Steward, J.(2000). Calculus Concepts and Contexts. p855.

2

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REGIONES GENERALES

1.1. TIPOS DE REGIONES Aunque ya se cuenta con una definici´ on de una integral doble sobre una regi´on no rectangular, al momento de calcular el valor de la integral (por ejemplo si se quiere encontrar el volumen de un s´olido) dicha definici´on resulta ineficiente. Para poder calcular el valor la integral doble sobre una regi´on plana cerrada y acotada D, esta se debe clasificar antes en una regi´ on de tipo I o de tipo II 1.1.1.

Regiones y-simple

Una regi´ on y-simple o de tipo I, es una regi´ on plana que est´a acotada a los lados por dos rectas verticales (x = a y x = b) y arriba y abajo por dos curvas dependientes de x (y = g1 (x) y y = g2 (x)), donde g1 y g2 son continuas en [a, b]. En la figura 3 se ilustra algunos ejemplos de las regiones y-simple.

Figura 3: regiones y-simple o de tipo I. Imagen tomada de: Steward, J.(2000). Calculus Concepts and Contexts. p855. El nombre y-simple se debe a que para este tipo de regiones planas, se puede escoger un “segmento” vertical que se mueve desde a hasta b y siempre comienza en g1 y termina en g2 . En el trabajo con integrales triples este razonamiento resulta muy eficaz. ZZ Ya que el objetivo es evaluar f (x, y)dA, cuando D es una regi´on de tipo I se puede acotar con la regi´ on rectangular D

R = [a, b] × [c, d] en donde c ≤ g1 (x) y d ≥ g2 (x) en todo [a, b], esta situaci´on se ilustra en la figura 4.

Figura 4: regi´ on de tipo I acotada por una regi´on rectangular Reescribiendo f (x, y) como F (x, y) (la funci´ on se anula fuera de la regi´on D), utilizando la definici´on de al ecuaci´ on (1) y

3

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REGIONES GENERALES

debido al teorema de Fubini presentado en la lectura anterior, se tiene que ZZ

ZZ

b

Z

f (x, y)dA =

Z

D

c

a

R

d

F (x, y)dydx

F (x, y)dA =

Adem´ as, se sabe que F (x, y) = 0 cuando y ≤ g1 (x) o y ≥ g2 (x) porque (x, y) est´a afuera de D. En consecuencia Z

d

Z

g2 (x)

F (x, y)dy = c

Z

g2 (x)

F (x, y)dy = g1 (x)

f (x, y)dy g1 (x)

Porque F (x, y) = f (x, y) cuando g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) (dentro de D). Resumiendo, si la regi´on D es y-simple o de tipo I, la integral doble se puede evaluar como la integral iterada ZZ

b

Z

g2 (x)

Z

f (x, y)dydx

f (x, y)dA = a

D

(2)

g1 (x)

La integral iterada de la ecuaci´ on(2) es similar a las ya estudiadas, salvo que en la integral interior (la cual se integra con respecto a y), se considera a x como una constante, tanto en f (x, y) como en los l´ımites de integraci´on, g1 (x) y g2 (x). 1.1.2.

Regiones x-simple

Planteando un razonamiento similar, una regi´ on plana x-simple o de tipo II es aquella en la que se puede escoger un “segmento” horizontal que se mueve desde c hasta d y siempre comience en h1 (y) y termine en h2 (y). La figura 5 muestra algunos ejemplos de regiones x-simple.

Figura 5: regiones x-simple o de tipo II. Imagen tomada de: Steward, J.(2000). Calculus Concepts and Contexts. p855. En consecuencia, si la regi´ on es x-simple o de tipo II, la integral doble se puede evaluar como la integral iterada ZZ

Z

d

Z

h2 (y)

f (x, y)dA = D

1.1.3.

f (x, y)dxdy c

(3)

h1 (y)

Teorema de Fubini

Las condiciones necesarias para evaluar integrales dobles sobre regiones generales (tipo I o tipo II) por medio de las ecuaciones (2) y (3) hacen parte del teorema de Fubini.

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REGIONES GENERALES

Teorema 1.1. [Teorema de Fubini (Versi´ on m´as fuerte)] Sea f (x, y) continua en una regi´ on D. 1. Si D es una regi´ on plana y-simple de la forma D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} Entonces ZZ

b

Z

Z

g2 (x)

f (x, y)dydx

f (x, y)dA = g1 (x)

a

D

2. Si D es una regi´ on plana x-simple de la forma D = {(x, y)|c ≤ y ≤ d, h1 (x) ≤ x ≤ h2 (x)} Entonces ZZ

Z

d

Z

h2 (x)

f (x, y)dxdy

f (x, y)dA = c

D

ZZ

h1 (x)

(x + 2y)dA, donde D es la regi´on acotada por las par´abolas y = 2x2 y y = 1 + x2 .

EJEMPLO 1.1. Evaluar D

´ SOLUCION Para establecer los l´ımites de integraci´on se puede graficar conjuntamente las par´abolas en el mismo plano cartesiano (figura 6), las par´ abolas se cruzan cuando 2x2 = 1 + x2 ; esto es cunado x = ±1. La regi´on D es y-simple, pues se puede trazar un segmento vertical que va desde x = −1 hasta x = 1 y siempre comienza en g1 (x) = 2x2 y termina g2 (x) = 1 + x2 , por lo tanto la regi´ on plana se escribe como D = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2 }

Figura 6: regi´on y-simple El teorema de Fubini 1.1, establece que ZZ

Z

1

Z

1+x2

(x + 2y)dA =

(x + 2y)dydx −1 Z 1

D

= −1 1

Z =

−1

5

2x2

1+x2 xy + y 2 2x2 dx   x(1 + x2 ) + (1 + x2 )2 − x(2x2 ) − (2x2 )2 dx

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Z

REGIONES GENERALES

1

=

(−3x4 − x3 + 2x2 + x + 1)dx

−1

= = ZZ

1 x5 x4 x3 x2 −3 − +2 + + x 5 4 3 2 −1 32 15

xydA, donde D es la regi´on acotada por la recta y = x − 1 y la par´abola y 2 = 2x + 6

EJEMPLO 1.2. Evaluar D

´ SOLUCION Al graficar ambas ecuaciones en el mismo plano se encuentra la regi´on D, en este caso, la regi´ on puede ser x-simple o y-simple. La figura 7 muestra la regi´ on al escogerla de tipo I y de tipo II, la descripci´on de D como regi´ on de tipo I es m´ as complicada, debido a que la frontera inferior consiste en dos partes, por el contrario, la descripci´ on de D como regi´ on de tipo II resulta m´ as sencilla, se tiene que 1 D = {(x, y)| − 2 ≤ 4 ≤ 4, y 2 − 3 ≤ x ≤ y + 1} 2 Para llegar a esta conclusi´ on fue necesario convertir las ecuaciones que acotan a la regi´on en funciones que dependieran de y tal que h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y). El teorema de Fubini 1.1, establece que

Figura 7: regi´on x-simple

ZZ

Z

4

Z

y+1

xydA =

xydxdy 1 2 2 y −3

−2

D

Z

4

= −2

= = = =

1 2

Z

y+1 x2 y dy 2 1 y2 −3 2

4

1 y[(y + 1)2 − ( y 2 − 3)2 ]dy 2 −2  Z 4 5 1 y − + 4y 3 + 2y 2 − 8y dy 2 −2 4 " 4 # 1 y6 y3 4 2 − + y + 2 − 4y 2 24 3 −2

36

EJEMPLO 1.3. Encuentre el volumen del tetraedro acotado por los planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 y z = 0. ´ SOLUCION En este caso, es aconsejable dibujar dos diagramas: uno de un s´olido tridimensional y otro de la regi´ on plana D sobre la que se ubica. La figura 8a muestra el tetraedro T acotado por los planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 y z = 0. En vista de que el plano x + 2y + z = 2 cruza al plano xy en la recta x + 2y = 2 (pues la ecuaci´on de este es z = 0), T

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(a) s´ olido T acotado por los planos x + 2y + z = 2, x = 0 y z = 0.

REGIONES GENERALES

(b) regi´ on triangular D

Figura 8 est´ a encima de la regi´ on triangular D en el plano xy que est´a acotado por las rectas x = 2y, x + 2y = 2 y x = 0, se escoge las ecuaciones de la regi´ on D de manera que sea y-simple como se muestra en la figura 8b. El plano x + 2y + z = 2 puede expresarse como z = 2 − x − 2y, de manera que el volumen que se requiere est´a bajo la gr´ afica de la funci´ on z = f (x, y) = 2 − x − 2y y encima de n x xo D = (x, y)|0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1 − 2 2 Por tanto ZZ V

Z

= =

1

Z

1−x/2

(2 − x − 2y)dA =

= =

Z

D 1

(2 − x − 2y)dydx 0

x/2

1−x/2 2y − xy − y 2 x/2 dx 0  Z 1  x  x 2 x2 x2 2−x−x 1− − 1− −x+ + dx 2 2 2 4 0 Z 1 (x2 − 2x + 1)dx 0

1 x3 = − x2 + x 3 0 1 = 3 ZZ sin x EJEMPLO 1.4. Evaluar la integral doble dA, donde D es el tri´angulo en el plano xy acotado por la recta y = x x D y la recta x = 1. ´ SOLUCION Se le deja al lector que realice la gr´afica de la regi´on de integraci´on D y observe que esta se puede expresar como tipo I o tipo II. 7

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PROPIEDADES (GENERAL)

Si se expresa de tipo I, primero se integra con respecto a y y luego con respecto a x ZZ Z 1Z x sin x sin x dA = dydx x x 0 D 0 0 Z 1 sin x = y· dx x x 0 Z 1 sin xdx = 0

= − cos(1) + 1 ≈ 0.46 Si se expresa D como una regi´ on de tipo II, se invierte el orden de integraci´on, teniendo en cuenta que la “dependencia” cambia, es decir, la regi´ on D expresada como tipo I es D{(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} En donde las funciones dependen de la variable x. Pero la regi´on D expresada como tipo II es D{(x, y)| 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1} En donde las funciones dependen de la variale y En consecuencia, integrando con D expresada como una regi´ on de tipo II queda ZZ Z 1Z 1 sin x sin x dA = dxdy x x D 0 y Y aqu´ı hay un problema, pues una antiderivada sencilla.

R

(sin x/x)dx no se puede expresar en t´erminos de funciones elementales, es decir, no existe

No existe una regla general que ayude a predecir cu´al ser´ıa el orden de integraci´on adecuado (o m´as sencillo). Si el orden elegido no funciona, es recomendable tratar con el otro. A veces, ninguno de los ´ordenes funciona y habr´ a que utilizar aproximaciones num´ericas.

2. PROPIEDADES (GENERAL)

Se supone que todas las integrales existen, las primeras tres propiedades de las integrales dobles sobre la regi´ on D son consecuencia directa de las propiedades dobles sobre regiones rectangulares. ZZ

ZZ

1.

[f (x, y) + g(x, y)]dA = D

ZZ f (x, y)dA +

D

ZZ

g(x, y)dA D

ZZ

2.

cf (x, y)dA = c D

f (x, y)dA, donde c es una constante. D

3. Si f (x, y) ≥ g(x, y) para todo (x, y) en D, entonces ZZ ZZ f (x, y)dA ≥ g(x, y)dA D

D

La propiedad siguiente de las integrales dobles es an´aloga a la propiedad de las integrales sencillas de la adici´on de intervalos. La propiedad de aditividad de dominios dice que si D se puede descomponer en dos regiones no traslapadas D1 y D2 con frontras formadas por un n´ umero finito de segmentos de recta o de curvas regulares (ver figura 9), entonces

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ZZ

ZZ

4.

ZZ

f (x, y)dA = D

EJERCICIOS

f (x, y)dA + D1

f (x, y)dA D2

(a) D no es tipo I ni tipo II

(b) D es la uni´ on de regiones

Figura 9: imagen tomada de: Steward, J.(2000). Calculus Concepts and Contexts. p860. La propiedad 4 sirve para evaluar integrales dobles sobre regiones D que no son ni y− simples ni x-simples, pero que pueden expresarse como la uni´ on de las regiones de ambos tipos. La siguiente propiedad establece que si se integra la funci´on constante f (x, y) = 1 sobre la regi´on D, se obtiene el ´ area de D. ZZ 5.

1dA = A(D) D

3. EJERCICIOS

ZZ 1. Con base en el ejemplo 1.2 y la figura 7 exprese la integral doble

xydA como una integral iterada sobre la regi´ on D

plana D y-simple.

2. Al evaluar una integral doble sobre una regi´ on de integraci´on D, se obtuvo una suma de integrales iteradas de la manera siguiente: ZZ Z 1 Z 2y Z 3 Z 3−y f (x, y)dA = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy D

0

0

1

0

Dibuje la regi´ on D y exprese la integral doble como una integral iterada, con un orden inverso de integraci´ on. Eval´ ue la integral iterada Z

1

Z

3.

(x + 2y)dydx 0

9

x2

0

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Z

1

ey

Z

4. 0

Z

√

EJERCICIOS

xdxdy

y 1

2−x

Z

(x2 − y)dydx

5. x

0

Eval´ ue la integral doble ZZ

x3 y 2 dA,

6.

D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x}

D

ZZ

4y dA, x3 + 2

7. D

ZZ

2

ey dA,

8.

D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x}

D = {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

D

ZZ

x cos ydA, D est´ a acotada por y = 0, y = x2 , x = 1

9. D

ZZ 10.

(x + y)dA, D est´ a acotada por y =

√

x, y = x2

D

Determine el volumen del s´ olido dado 11. Bajo el plano x + 2y − z = 0 y encima de la regi´on acotada por y = x y y = x4 . 12. Debajo de la superficie z = xy y encima del tri´angulo con v´ertices (1, 1), (4, 1) y (1, 2) Delimitado por el paraboloide z = x2 + 3y 2 y los planos x = 0, y = 1, y = x, z = 0 13. Determinar el volumen del prisma cuya base es el tri´angulo en el plano xy acotado por el eje x y las rectas y = x y x = 1 y cuya parte superior est´ a en el plano dado por la funci´on f (x, y) = 3 − x − y Dibuje la regi´ on de integraci´ on y cambie el orden de integraci´on. Z

4

√

Z

x

14.

f (x, y)dydx 0

Z

0 2

Z

ln x

15.

f (x, y)dydx 1

0

Eval´ ue la integral al invertir el orden de la integraci´on Z

1

Z

3

0

Z

3y 1Z

17.

1

√

0

Z

2

ex dxdy

16.

1

Z

p

x3 + 1dxdy

y

1

18.

x3 sin(y 3 )dydx

x2

0

Exprese D como una uni´ on de regiones tipo I o tipo II y eval´ ue la integral ZZ

x2 dA

19. D

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EJERCICIOS

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EJERCICIOS

Figura 10 ZZ 20.

xydA D

21. Encuentre el volumen V del s´ olido T limitado por los planos z = 6 y z = 2y, y por los cilindros parab´ olicos y = x2 y 2 y = 2 − x . Este s´ olido se ilustra en la figura 10

12