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ONDAS Laboratorio # 1 Movimiento armónico simple

Integrantes JOSE JAVIER RUIZ MENDOZA LORENA DIAZ SIMANCA OSMAN SANCHEZ FLOREZ RONAL DAZA DAZA

Profesor: Fredy Oñate

Universidad popular del cesar Valledupar 2014

INTRODUCCIÓN El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye a una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se presentan en la naturaleza, como lo son el péndulo simple y el sistema masa resorte y que es muy sencillo de describir matemáticamente se llama armónico por que la ecuación que lo define es función del seno o coseno. Este trabajo lo realizamos con la finalidad de calcular experimentalmente el periodo y frecuencia de un movimiento armónico simple, describiendo este movimiento con el sistema masa resorte y el péndulo. El propósito principal es dar una visión unificada de los conceptos de física vistos en clase. Se deberá hacer esto entrando a analizar, los principios básicos.

OBJETIVOS    

Reconocer y analizar las características de un cuerpo que se mueve describiendo un movimiento armónico simple. Estudiar, experimentalmente el movimiento de un péndulo simple establecer su correspondiente ley mediante la observación, medición y el análisis del fenómeno. Estudiar teóricamente, el modelo físico del movimiento pendular. Comparar las relaciones experimentales y teóricos para obtener nuevos resultados.

MATERIALES       

Varillas Pesas Cuerdas Cronometro Resortes Nueces Cinta métrica

Montajes Péndulo simple

Figura No 1

Oscilador armónico masa-resorte

Figura No 2.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Movimiento Armónico: El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los cuerpos elásticos. Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene, (en vaivén) sobre una misma trayectoria. Oscilador Armónico Simple: Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

Figura No 3.

Supongamos un oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la F restauradora = tiende a devolverlo en dicha posición. Esta fuerza producirá una aceleración m*a

( ) (

Como: (

)

)

( )

√

La fuerza que produce un M.A.S es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este. Como El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la longitud pendular e inversamente con la aceleración de la gravedad. Su valor está dado por:

√

El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema, pero es independiente de la amplitud. La f sería √

Figura No 4.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está

dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación. El Péndulo Simple: Péndulo simple es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable. Si el péndulo se suelta después de haberlo separado de la posición de equilibrio comienza a oscilar alrededor de dicha posición. Sobre el péndulo actúan el Peso y la tensión. Podemos decir que el peso se descompone en una componente normal , y una componente tangencial de valor Este es positivo si estamos desplazado el cuerpo hacia posiciones negativas y negativo cuando el péndulo se desplaza hacia posiciones positivas. Esta componente tangencial es la que actúa como fuerza restauradora. Si

no es demasiado grande es aproximadamente θ si lo expresamos en radianes. Por tanto .

(15°-

20°)

Ecuación diferencial del movimiento péndulo simple

Frecuencia angular W

√ Periodo T √

Figura No 5.

Ecuación diferencial del movimiento (masa pendular)

Figura No 6.

Las fuerzas que actúan son la tensión y el peso 



T: es la fuerza que ejerce la cuerda sobre la masa Mg: es la fuerza gravitatoria

Las componentes tangenciales de la fuerza gravitatoria es la fuerza restauradora, luego

En la dirección tangencial

 Ft=-mg = La longitud, L del péndulo es contante y para ángulos pequeños



=

Esto confirma que se trata de un movimiento armónico simple (MAS) Al variar las masas en el resorte el alargamiento es directamente proporcionales a sus fuerzas, haciendo aumentar el número de oscilación en el sistema. Al dejar una masa constante y aumentar la amplitud el número de oscilaciones en el sistema también aumentan.

PROCEDIMIENTOS Péndulo simple Para la práctica del péndulo simple realizamos el montaje indicado en la figura 1. Una vez dispuesto los materiales se procede a la prueba, tomando una masa M cualquiera y una longitud inicial de 100cm luego colocamos a oscilar la masa con un Angulo no mayor de 15 grados procedemos con un cronometro a tomar el tiempo que tarda la masa en realizar 10 oscilaciones, este proceso se repite 5 veces para esta longitud y así obtenemos un tiempo y un periodo promedio. Este procedimiento del péndulo simple vario su longitud de la cuerda en: L1=100cm L2=90cm L3=80cm L4=70cm L5=60cm L6=50cm L7=40cm L8=30cm L9=20cm L10=10cm Estos datos obtenidos durante el experimento fueron registrados en la tabla No 1.

Oscilador armónico masa – resorte Luego quitamos el péndulo simple y colocamos el sistema masa resorte indicado en la figura 2 medimos la longitud X0 del resorte X0=5.5cm seguidamente colocamos ahora una masa m determinada en el extremo libre del resorte y medimos la elongación del resorte X=16cm y para el primer caso la masa fue de m=50gr hacemos oscilar el resorte y determinamos el tiempo que tarda el resorte en hacer 10 oscilaciones y dividimos el resultado entre 10 para obtener el periodo de oscilaciones del resorte y repetimos este procedimiento 5 veces. t=5.676

T=

T=0.5676seg

El siguiente procedimiento variamos 5 diferentes masas y repetimos el proceso anterior y los datos fueron registrados en la tabla No 3.

DATOS PENDULO SIMPLE LONGITUD T1(seg) 100cm 19,89 90cm 19 80cm 18,17 70cm 16,68 60cm 15,62 50cm 14,60 40cm 12,82 30cm 11,09 20cm 8,46 10cm 7,89

T2(seg) 20,25 19,23 18,11 16,01 15,63 14,40 12,57 11,33 9,50 7,11

T3(seg) 20,32 19,06 18,27 16,69 15,76 14,24 12,92 11,48 9,50 7,20

T4(seg) 20,07 19,43 17,86 16,86 15,73 14,40 12,96 11,53 9,37 7,22

T5(seg) PROMEDIO PERIODO 19,68 20,042 2,0042 18,89 19,142 1,9142 18,04 18,09 1,809 16,71 16,59 1,659 15,68 15,684 1,5684 14,19 14,376 1,4376 12,77 12,808 1,2808 11,43 11,372 1,1372 9,40 9,246 0,9246 6,74 7,232 0,7232 Tabla No 1.

Observamos que cuando la longitud de la cuerda disminuye su periodo de oscilación disminuye de igual forma, lo cual nos conlleva a deducir que el periodo es directamente proporcional a la longitud de la cuerda y con respecto a el tiempo entre menor longitud más rápido realiza las oscilaciones

Gráfica L vs T

GRAFICA No 1 2.5

PERIODO (T)

2

1.5

1

0.5

0 0

20

40

60 LONGITUD (L)

80

100

120

Linealizacion de la gráfica 1(L vs T2 ) PERIODO (T)2 0,52301824 seg 0,85488516 seg 1,19322384 seg 1,64044864 seg 2,06669376 seg 2,45987856 seg 2,862281 seg 3,272481 seg 3,66416164 seg 4,01681764 seg

LONGITUD (L) 10cm 20 cm 30 cm 40 cm 50 cm 60 cm 70 cm 80 cm 90 cm 100 cm Tabla No 2.

Grafica No 2 4.5 4 3.5 PERIODO T2

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

20

40

60 LONGITUD L

La pendiente de la gráfica 2

m= 0.041

80

100

120

La ecuación diferencial que describe el movimiento de la gráfica es: ( (

) )

La relación entre estas dos magnitudes es directamente proporcional, ya que a medida que se aumenta la longitud del péndulo, el valor del periodo aumenta también. La curva debe pasar por el origen ya que cada vez que aumenta la fuerza aumenta la elongación, al ser estos dos valores que son directamente proporcionales. Suponiendo que no conoce la gravedad tomamos un valor L con su respectivo periodo T y calculamos la gravedad. L = 0.7m; T = 1.659

(

)

DATOS SISTEMA MASA - RESORTE MASA(gr)

t1(seg)

t2(seg)

t3(seg)

t4(seg)

t5(seg)

PROMEDIO(seg)

50 100 150 200 250

5.12 7.72 9.30 11.29 11.84

5.93 8.86 9.40 10.48 12.27

5.94 7.91 9.46 10.69 11.98

5.96 7.64 9.33 10.87 11.90

5.43 7.67 9.21 10.72 12.05

5.676 7.96 9.348 10.81 12.008

X(cm)

T 9 0.5676 16 0.796 23.3 0.9348 30 1.081 37.1 1.2008 Tabla No 3.

Elaboráramos una tabla de datos con los valores correspondientes a Fuerza (F) y a elongación (X) para calcular la fuerza se utilizó la fórmula: F= m*g.

Calculamos la fuerza para la primera masa que corresponde a 50gr

F(N) F1=0.49 F2=0.98 F3=1.47 F4=1.96 F5=2.45

X(cm) 9 16 23.3 30 37.1 Tabla No 4.

Grafica No 3 3 2.5

FUERZA (N)

2 1.5 1 0.5 0 0

5

10

15

20

25

30

35

ELONGACION (cm)

Hallamos la constante K de elasticidad del resorte con base a la gráfica 3.

Donde m es la pendiente del grafico

40

Elaboráramos una tabla de datos con los valores correspondientes a la Masa (M) y el Periodo (T) M(kg) 0,05 0.1 0.15 0.2 0.25

T (seg) 0.5676 0.796 0.9348 1.081 1.2008 Tabla No 5.

Grafica 4. 0.3 0.25

MASA

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PERIODO

El grafico representa una relación de proporcionalidad, en el que el periodo aumenta con respecto al aumento de la masa colgante. La relación que se obtuvo para él según resorte también representa una proporcionalidad directa, en el que el periodo aumenta con respecto al aumento de la masa. Linealizacion de la gráfica anterior, es decir ( M(kg) 0,05 0.1 0.15 0.2 0.25

)

T 2(seg) 0,322 0,567 0,873 1,16 1,441 Tabla No 6.

Grafica 5. 0.3 0.25

MASA

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

PERIODO T2

La pendiente de la gráfica 5.

M= 0.179 La ecuación diferencial que describe el movimiento de la gráfica es: ( (

) )

1.4

1.6

CONCLUSIONES 





Después de realizar la experiencia se observó a simple vista que al variar las masas las oscilaciones de este variaron proporcionalmente además cuando tomamos los datos y los graficamos obtuvimos una línea recta la cual es directamente proporcional a la fuerza que ejerce la masa del cuerpo suspendido en el resorte El periodo que se obtuvo al momento que tomamos los datos de tiempo nos dio una gráfica con línea recta demostrándonos que al aumentar las masas y sus fuerzas el periodo de tiempo en las diez oscilaciones aumenta cada vez proporcionalmente Al dejar la masa constante y variamos las amplitudes del resorte de a un centímetro cada vez el número de oscilaciones también aumentan sin ser afectada por la masa comprobándose así que no importa la masa si no la amplitud que está presente para obtener más números de oscilaciones y el periodo estas utilizan para llegar a su posición inicial.

BIBLIOGRAFIA     

HOLLIDAY, David y RESNICK, Robert. Física parte I. México, C.E.C.S.A primera edición 1970. Pág. 461-470 y 475-477. http://www.slideshare.net/CesarLagos1/laboratorio-pendulo-simple http://www.monografias.com/trabajos98/analisis-experimentopendulo-simple/analisis-experimento-pendulo-simple.shtml SEARS, Francia y ZEMANSKY, Mark. Física General. Madrid, editorial Aguilar, 1979. Cap. II. TIPLER, Paul A. Física. Volumen I. España. Editorial Reverte S.A. 1984 pág. 401-404 y 410-418.

ANEXOS

Resorte.

Montaje con resorte.

Pesas.

Cinta métrica.

Montaje con cuerda (Péndulo).