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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

JUNIO 2015

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS

INTEGRANTES:  Campos Salazar, Axel  Cusquisiban Retuerto, Xavier Alejandro  Jara Coavoy, Alexandra Janet PROFESOR: Miguel Saavedra HORARIO DE CLASE: Sábados 12:00-14:00. N° DE INFORME: 6 CICLO: 2015-I

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OBJETIVOS  Analizar el comportamiento de las fuerzas del sistema.  Saber el concepto de cuerpo rígido y de equilibrio.  Realizar el estudio del equilibrio de un cuerpo rígido.  Conocer las condiciones necesarias para que un cuerpo se encuentre en reposo.  Aprender a usar correctamente los materiales del laboratorio.

 Aprender a manejar nuevos instrumentos como el dinamómetro.

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MATERIALES SOPORTE UNIVERS

POLEAS

CUERDA REGLA PATRON

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CLAMPS DINANOMET RO

BALANZA

TRANSPORTAD PESAS

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TEORIA n

∑ F´ ¡=0 i

F´ ¡=fuerzas que actúan sobre el sólido

n

∑ M´ ¡=0 i

´ ¡=momentos de fuerzarespecto a algún punto M W =m∗g

⃗ ⃗ F1 F ⃗ E = 2 = sen γ sen β sen α

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METODOLOGIA – PROCEDIMIENTO 1. Arme el sistema de la Fig. 4. Suspenda en los extremos de la cuerda pesos ´ diferentes F1 y

´2 F

y en el centro un peso

´ E . Deje que el sistema se

estabilice. Recuerde que debe cumplirse la ley de la desigualdad de los lados del triángulo “un lado es menor que la masa de los otros dos y mayor que su diferencia”

2. Coloque el tablero (con un papel) en la parte posterior de la cuerda y marque las direcciones de las cuerdas en el papel. 3. Retire el papel y anote en cada línea los valores de los pesos correspondientes.

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4. Complete el paralelogramo de fuerzas con una escala conveniente para los ´ valores de F1 y

´2 F .

5. Repita los pasos 1, 2, 3 y 4. ´ ´ ´ 5.1. Coloque F1 , F2 y E iguales en módulo y mida los ángulos: α , β

y γ

que se forman alrededor del punto.

Los pesos que se colocaron son 100 g, 100 g, 100 g en dónde los ángulos son: 122°, 118°, 120°. ´ 5.2. Coloque |F 1| ,

|F´ 2| y |E´ |

que estén en relación 3:4:5 y mida los

ángulos que forman entre ellos. Los pesos que se colocaron son 60 g, 80 g, 100 g en dónde los ángulos son: 92°, 134°, 134°. ´ 5.3. Coloque |F 1| ,

|F´ 2| y |E´ | que estén en relación 12:5:13.

Los pesos de las fuerzas son: 120 g, 50 g, 130 g en donde los ángulos son 93°, 147°, 120°.

Masas utilizadas Caso 1° Caso

Ángulos formados

m F´ 1

m F´ 2

m E´ 3

100g

100g

100g

α

β

γ

122°

118°

120°

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2° Caso

60g

80g

100g

92°

134°

134°

3° Caso

120g

50g

130g

93°

147°

120°

6. Suspenda la regla con los dinamómetros, utilice los agujeros en 10 cm y 70 cm ´ para las fuerzas F1 ,

´2 F

como muestra la Figura 6.6. Anote las lecturas en

cada dinamómetro

7. Coloque en el agujero del centro de gravedad de la regla un cuerpo de masa 450g que es la

⃗ F3

. Anote las lecturas en cada dinamómetro.

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⃗ F3

8. Desplace el cuerpo de al agujero a 20cm del primer dinamómetro. Anote las lecturas de cada uno de ellos.

9. Adicione un cuerpo de masa de 300 g a 10 cm del otro dinamómetro. Anote sus lecturas de cada uno de ellos.

CUESTIONARIO

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1. ¿Concuerda el valor hallado por el método gráfico con la fuerza ¿Qué diferencias hay entre la fuerza resultante y la fuerza equilibrante?

⃗ F 1  2,05 N ⃗ E1  2,34 N

⃗ F 2  1,96 N ;

;  = 107,5° FR  F 1  F 2 2  2 F 1F 2Cos 2

F 12  4,20 N F 2 2  3,84 N 2 F 1F 2

= 8,04 Cos = Cos (107,5) = -0,3 FR  4,20  3,84  8,04(0,3)  2,37 N

⃗ F 1  2,37 N

F  0,03 N

⃗ E1  2,34 N y

Los valores de la fuerza

´ E

hallados por el método gráfico concuerdan

aproximadamente con los valores de la fuerza experimentalmente.

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´ E

hallados

´ E ?

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La fuerza resultante y la fuerza equilibrante tienen el mismo módulo y dirección pero sentidos contrarios, de tal manera que ambas fuerzas se anulan mutuamente y permiten un sistema en equilibrio. 2. Encuentre teóricamente el valor de la fuerza equilibrante para cada caso, por la ley de senos o de Lamy, por la ley del coseno y por ´ descomposición rectangular. Compare los valores |E| y los ángulos

α,β yγ

hallados con el obtenido en el paso 1 y las medidas

experimentalmente. Confeccione un cuadro de sus resultados y de los errores experimentales porcentuales con respecto a la equilibrante colocada. CASO I: Cálculo Teórico de

⃗ E

Ley de senos: (Lamy) E 1,956 2,0538   Sen(107,5) Sen(122,5) Sen(130)

E = 2,38N

Ley de cosenos: E 2=(2,0538) 2+(1,956) 2 – 2(2,0538)(1,956)cos (72,5 °)

E = 2,37N 11

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Descomposición rectangular: E=2,0538(Sen 32,5 °)+1,956 (Sen 40° )

E = 2,36N

Valor Experimental E = 2,34N

CASO II: Cálculo Teórico de

⃗ E

Ley de senos: (Lamy) E 1,956 2,0538   Sen(106) Sen(130) Sen(124)

E = 1,78N

Ley de Cosenos: E2 = (1,467)2 + (1,467)2– 2(1,467)( 1,467)Cos(74°) E = 1,76N

Descomposición rectangular: 12

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E=1,467 (Sen 34 ° )+1,467(Sen 40 ° )

E = 1,76N

CASO III: Cálculo Teórico de

⃗ E

Ley de senos: (Lamy) E 1,467 1,956   Sen(95) Sen (133) Sen (132)

E = 2,30N

Ley de Cosenos: E2 = (1,956)2 + (1,467)2– 2(1,956)

(1,467)Cos(85°)

E = 2,35N

Descomposición rectangular: E=1,467 (Sen 42° )+1,956( Sen 43 °)

E = 2,31N

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Valor Experimental E = 2,44N

CASO IV: Cálculo Teórico de

⃗ E

Ley de senos: (Lamy) E 1,174 0,489   Sen (83) Sen (119) Sen (158)

E = 1,32N

Ley de Cosenos: E2 = (0,489)2 + (1,174)2– 2(0,489)(1,174)Cos(97°) E = 1,32N

Descomposición rectangular: E=1,174 (Sen 68°)+0,489(Sen 29° )

E = 1,31N

Valor Experimental E = 1,27N 14

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⃗ E

En conclusión: Teóricamente el valor de la fuerza equilibrante ( ) hallado mediante Ley de Senos, ley de cosenos, descomposición rectangular es casi idéntico al valor hallado experimentalmente, debido a que la medición de los ángulos ,  y  no fueron exactamente los precisos y además la gravedad pudo ser distinta a la tomada como referencia. Valor Teórico de Valor exp. de

⃗ E

⃗ E

Ley de Ley de Descomp. Error Senos

Coseno Rectangul Porcentu s

ar

al

I

2,34 N 2,38 N 2,37 N

2,36 N

0,73 N

II

1,46 N 1,78 N 1,76 N

1,76 N

1,38 N

III

2,44 N 2,30 N 2,35 N

2,31 N

1,97 N

IV 1,27 N 1,32 N 1,32 N

1,31 N

0,93 N

E% = Er(100) Er 

x x

x  E1  Ea

Ea 

3 n 1

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x

Caso I:

Caso II:

Caso III:

Caso IV:

Er = 0,0073  E%= 0,73

=2,37

x

Er = 0,0138  E%= 1,38

=1,76

x

x

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=2,32

Er = 0,0197  E%= 1,97

= 1,32

Er = 0,0093  E%= 0,93

3. Mida los ángulos en los pasos 5.1 ¿Concuerda con el valor teórico de 120°? Como hemos verificado pues el valor teórico no concuerda con el experimental. 4. Verifique que el ángulo  entre las cuerdas en los casos 5.2 y 5.3 sea 90° Luego de medir experimentalmente se han obtenido los siguientes datos:

1°) Para las fuerzas:

2°) Para las fuerzas: ⃗ F 1  1,17 N

⃗ F 1  1,46 N

=83°

=95° ⃗ F 2  0,48 N

⃗ F 2  1,96 N

=158°

=132° F1

F2  16

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 E

Como observamos el ángulo “”, debería ser 90° teóricamente; pero en forma experimental no es así pues hemos obtenido otros ángulos que difieren un poco de 90°, y esto se da debido a los errores cometidos como son: al medir los pesos, los ángulos. 5. ¿Son iguales las lecturas en los dinamómetros en los pasos 6 y 7? ¿Por qué? Luego de medir experimentalmente, hemos observado que las medidas en los pasos 6 y 7 no son iguales debido a que en el paso 7 aumentamos una fuerza más (m=450 g), entonces para que se cumpla la 1era y 2da condición de equilibrio la medidas en los dinamómetros tienen que variar, es decir aumentar su valor. Esquema gráfico de los pasos (6 y 7) Paso 6: wb=peso de la barra mb= 205 g 2,1N

4,3N

w=2,0N

Paso 7: w1=peso que hace variar las lecturas del dinamómetro.

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3,6N

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2,9N

w1=4,4N

w=2,0N

6. Calcule teóricamente las reacciones en los puntos de suspensión para los pasos 8 y 9 y compare con las lecturas en los dinamómetros a).

Haciendo uso del diagrama del cuerpo libre para el paso 8 se tiene: F1

F4=mg=2N

B

F2 A

F3=4,40N

Puesto que con la 1era condición que equilibrio (equilibrio de traslación)

F  0

no se puede determinar F1, F2, hacemos uso en la 2da condición de equilibrio (equilibrio de rotación)

M

F 0

0

Consideraciones previas: Aceleración de la gravedad en lima g=9,78 m/s2 Masa de la barra 0,205 kg., masa acondicionada a la barra: m 1= 0,45 kg. F 3=m1 g=(0,45)(9,78)=4,40 N

mg=(0,205)(9,78)=2 N

F 1(0,6)=F 3(0,4)+ F 4(0,2)

Reemplazando valores 18

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F 1=3,6 N

F 1(0,6)=4,4( 0,4)+2(0,2)

F 2=2,8 N

Tomamos momentos en el punto B: se obtiene De este procedimiento se obtiene: F 1+ F 2=F 3+ F 4

F 1=3,6 N

F 2=2,8 N

;

de donde

se cumple la 1era condición de equilibrio.

b). Haciendo uso del diagrama de cuerpo libre para el paso 9 se tiene:

De

la primera condición de equilibrio

F3 + F4 + F5 = F1+ F2 ....... (1) F3 = 4,40N

F5 =0,3(9,78) = 2,93N

F4 =(0,205)(9,78) = 2N

9,33 = F1+ F2 .......

(2)

Tomando momento en el punto A.

 M     M  



F1(0,6) + F5(0,1) = F4(0,2) + F3(0,4)

F1(0,6) + (2,93)(0,1) = 2(0,2) + 4,4(0,4) F2= 6,21N

=

3,12N

tomando momento en el punto “B” también se obtiene el mismo

resultado.

Cálculo

Cálculo Teórico

Experimental F1 F2

F1

F2

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3,6N

2,9N

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3,6N

2,8N

Paso 9

Cálculo

Cálculo Teórico

Experimental F1 F2

F1

F2

3,1N

3,12N

6,21N

6,4N

7. ¿Qué observa de las fuerzas que actúan sobre la regla acanalada?

Se observa que si dos fuerzas en puntos diferentes del cuerpo (no coloniales) se necesitara de una tercera que este colocada en el centro para que el cuerpo este en equilibrio. De igual modo para una mayor cantidad de fuerzas aplicadas al cuerpo. Para que el cuerpo este en equilibrio este deberá cumplir las dos condiciones de equilibrio.

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EQUILIBRIO Cuestionario adicional; Lab. de física I 1. Un balón de futbol es disparado de forma vertical, ¿Cuándo llega a su punto más alto, se encuentra en equilibrio? a)

El balón de futbol disparado empieza con una velocidad = X, entonces al

alcanzar su punto máximo su velocidad tendrá el valor de cero (0). b)

Sabemos que la gravedad en caída libre hacia arriba y hacia abajo es de

-9.8m/s2 y +9.8m/s2 respectivamente. c)

Este balón tiene una masa “m”, por lo tanto Fuerza de gravedad es igual a

“M*9.8m/s” d)

Por ultimo en ese punto donde se detiene con la primera ley de Newton

F= Máx., por último en este punto la aceleración es nula ya que tiene V=0, y está a punto de bajar, por lo tanto solo existiría una fuerza que hace que no esté en equilibrio. (Despreciando el rozamiento aerodinámico) e)

Con el rozamiento aerodinámico las fuerzas se calcularía así:

F: SUMA DE FUERZAS P: PESO O FUERZA DE GRAVEDAD f: ROZAMIENTO AERODINAMICO

2. Una pequeña esfera de un péndulo simple que oscila, ¿Está en equilibrio en algún punto de su balanceo? Si es así, ¿En qué punto? 21

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Sí. Un péndulo simple consiste de un cuerpo suspendido de un punto mediante un hilo inextensible. El péndulo se halla en su posición de equilibrio cuando el hilo está en vertical.

3. Una rueda que gira a velocidad angular constante w respecto a un eje fijo ¿Está en equilibrio? No, porque hay una fuerza que tiende a cambiar la velocidad, no en magnitud, sino en dirección. Esta fuerza no está equilibrada.

4. Si colocamos un bloque uniforme en el borde superior de la mesa, el centro del bloque debe estar sobre la mesa para que el bloque no se caiga. A) Si apilamos dos bloques idénticos en el borde de la mesa, el centro del bloque superior debe estar en el borde inferior, y el centro de gravedad de los bloques juntos debe estar sobre la mesa. En términos de la longitud L de cada bloque, ¿Cuál es la máxima saliente posible? (figura 2)? B) Repita el inciso anterior para 3 y 4 bloques idénticos. C) ¿Es posible apilar bloques de modo que el de arriba no este directamente sobre la mesa? ¿cuantos bloques serían necesarios?

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B)

L/16 L/8 L/4 L/2

MESA Centro de gravedad

La máxima saliente seria L L L L 4 L−( + + + ) 2 4 8 16

¿

49 L 16

C) Como apreciamos en a y b los centros de gravedad es una sucesión infinita por lo tanto no se podría apilar “n” objetos sin que uno de ellos no concentre su gravedad en la mesa.

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CONCLUSIONES  Del experimento efectuado llegamos a conclusiones como de ⃗

las ecuaciones de cuerpo rígido

⃗

F  0

;

, ⃗ ⃗   0 

establecen que

las sumas vectoriales de las fuerzas y torques que actúan sobre un cuerpo deben ser nulas, por otro lado que para los cuerpos rígidos, en reposo (estático), la velocidad angular

⃗ 

⃗ V

y la velocidad

deben ser idénticamente nulas.

 Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar el equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación. Por lo tanto se requieren las dos condiciones de equilibrio.  Otro aspecto que debemos recalcar es pues el uso importante del álgebra vectorial en la composición de fuerzas y en particular el equilibrio de ellas un problema de gran aplicación en la ingeniería.

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BIBLIOGRAFÍA  Manual de Laboratorio Física I, UNMSM, Lima  MARCELO, ALONSO; EDWARD J. FINN  1976

Física Volumen 1, México, Fondo educativo

Interamericano S.A.  SABRERA ALVARADO, Régulo; PEREZ TERREL, Walter    

1992 Física 1, Lima, W.H.Editores S.R.Ltda. http://cpreuni.blogspot.com/2010/04/teorema-de-lamy.html Física para ciencia e ingeniería, volumen 1 - SERWAY JEWETT http://www.academia.edu/6433603/Equilibrio_de_un_cuerpo_r

%C3%ADgido_Est%C3%A1tica  http://fisica1paratodos.blogspot.com/2011/11/mecanica-delcuerpo-rigido.html

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