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Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica

“Año de la universalización de la salud”

LABORATORIO N°01 CURSO:

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

PROFESOR:

M. SC. ING. JULIO BORJAS CASTAÑEDA

GRUPO HORARIO: SEMESTRE:

90G 2020B

INTEGRANTES:  ALBINAGORTA PAREDES LEONARDO

1219120276

 CANALES CHAVEZ JUAN

1623225546

 INCHICAQUI GUTIÉRREZ ALEJANDRO

1523220841

 QUINO BRICEÑO JEFFRY

1713210041

 SANTIVAÑEZ KOVALEFF JEROME

1613215086

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica

SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS EN EL TIEMPO

OBJETIVOS  Diseñar programas que permitan al alumno graficar señales en tiempo continuo y en tiempo discreto, utilizando el software MATLAB.  Obtener un mejor manejo de las distintas herramientas que pueden apoyar al alumno para el procesamiento digital de señales.

PLANTEAMIENTO DEL LABORATORIO Problemas Resuelva los siguientes problemas utilizando la programación en Matlab, analizando la respuesta gráfica. 1.

Determine si las siguientes señale son periódicas. En caso afirmativo,

especifique su frecuencia fundamental. a. b.

( π6 ) π x ( n )=3 cos ( 5 n+ ) 6 x a ( t )=3 cos 5 t+

c.

n x ( n )=2 exp ⁡[ j( −π )] 6

d.

x ( n )=cos

e.

( n8 ) cos ⁡( πn8 ) πn πn πn π x ( n )=cos ( )−sen ( ) +3 cos ⁡( + ) 2 8 4 3

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Solución

(

a. x a ( t )=3 cos 5 t+

π 6

)

Usando el software Matlab obtenemos la gráfica de dicha función, esto es: Señal SeñalCosenoidal Cosenoidal

33

Amplitud(m) Amplitud(m)

22 11 00

-1-1 Leyenda Leyenda x(t)=3*cos(5*t x(t)=3*cos(5*t++pi/6) pi/6)

-2-2 -3-3 00

0.5 0.5

11

1.5 1.5

22

2.5 2.5

33

tiempo(s) tiempo(s)

Observamos en la gráfica que la señal es periódica, determinaremos su periodo de la siguiente manera, esto es:

(

x ( t )=3 cos 5 t+

π 6

)

Como observamos la función coseno sufre un desfasamiento.

Para la parte inicial: π 5 t+ =0 → 6

Para la parte final:

t=

−π 30

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π 5 t+ =2 π → 6

t=

11π 30

Restando estos dos valores obtendremos el periodo.

T=

11 π π + 30 30

T=

2π 3

Obteniendo la frecuencia fundamental es:

f=

3 2π

Señal SeñalCosenoidal Cosenoidal

33

Leyenda Leyenda x1=3*cos(5*t x1=3*cos(5*t++pi/6) pi/6) x2=3*cos(t) x2=3*cos(t)

Amplitud(m) Amplitud(m)

22 11 00

-1-1 -2-2 -3-3 00

11

22

33

t(s) t(s)

44

55

66

Como se observa la frecuencia fundamental de la función seno aumenta con un desfasamiento de 60 grados sexagesimales. La programación en MATLAB es: clear all; close all; clc; t=0:0.01:6;%VECTOR TIEMPO x1=3*cos(5*t + pi/6); %EJE DE LAS ORDENADAS x2=3*cos(t); y1=stem(t,x1,'b'); %FUNCION STEM hold on y2=stem(t,x2,'r'); xlabel('t(s)')

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica ylabel('Amplitud(m)') title('Señal Cosenoidal') grid

(

b. x ( n )=3 cos 5 n+

π 6

)

Expresamos la función en el lenguaje de programación de Matlab y luego hallamos la frecuencia fundamental

Observamos en la gráfica que la señal es periódica, determinaremos su periodo de la siguiente manera, esto es:

(

x ( t )=3 cos 5 t+

π 6

)

Como observamos la función coseno sufre un desfasamiento.

En la parte que la función empieza: π 5 n+ =0 → 6

n=

−π 30

Al terminar un ciclo y empezar de nuevo tenemos: π 5 n+ =2 π → 6

n=

11 π 30

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Restando estos dos valores obtendremos el periodo.

T=

11π −π −( ) 30 30

T=

12 π 30

Entonces la frecuencia fundamental se halla: 1 5 f= = T 2π Se colocó el código utilizado para la gráfica de la función junto a otra función sin el termino π/6 de modo que se puede ver la desviación:

Código utilizado en Matlab:

clear all; close all; clc; t=0:0.01:8;%fragmentacion del tiempo x1=3*cos(5*t + pi/6);%primera funcion x2=3*cos(5*t);%funcion de comparacion y1=stem(t,x1,'b'); hold on y2=stem(t,x2,'r'); xlabel('t(s)') ylabel('Amplitud(m)')

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title('FUNCION COSENO') grid

n c. x ( n )=2 exp ⁡[ j( −π )] 6 Expresamos la función en el lenguaje de programación de Matlab para un dominio de 0 a 100. clear all; close all; clc; n=0:1:100; x=2*exp(j*((n/6)-pi)); stem(n,x,'filled'); xlabel('indice n') ylabel('x[n]') title('Señal Exponencial') grid

Como observamos, la señal es periódica y posee una frecuencia fundamental igual a: ω 0=2 π f 0 1 1 =2 π f 0 → f 0= 6 12 π

d. x ( n )=cos

( n8 ) cos ⁡( πn8 )

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Para el cálculo de la frecuencia fundamental para esta función al contener 2 funciones cosenos, realizamos el cálculo de la frecuencia fundamental de cada una de ellas, y así observar si éstas son periódicas o no, para finalmente comprobar si la función es periódica.  cos 2 π f o n= f 0=

( n8 )

n 8

1 16 π

Se observa que la función es no periódica.

 cos ⁡(

2 π f o n= f 0=

πn ) 8

πn 8

1 16

Observamos que la función es periódica con N p=16. Pero como x(n) es el producto de ambas funciones, al multiplicar ambas funciones se obtendrá que x(n) es no periódica.

e. x ( n )=cos

( πn2 )−sen( πn8 )+3 cos ⁡( πn4 + π3 )

Para la solución de este problema, se observó que hay 3 funciones, se comprobó de manera separada cada función para comprobar si estas eran periódicas, en caso de ser periódicas, la suma de estas 3 funciones debería ser una función periódica también. Programa para corroborar si toda la función es periódica: clear all; clc; n=-10:0.1:30; x=cos(pi*n/2)-sin(pi*n/8)+(3*cos((pi*n/4)+(pi/3)));

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica stem(n,x,'filled') xlabel('n'); ylabel('x(n)');

Podemos observar que es una función periódica, además de manera individual se comprobó si cada función era periódica, a continuación, se muestra el análisis en MATLAB  cos

( πn2 )

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 −sen

( πn8 )

 3 cos ⁡(

πn π + ) 4 3

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Se comprobó que las funciones sean periódicas, y por la tanto la función total es periódica también, ahora debemos calcular la frecuencia fundamental, según lo investigado la frecuencia fundamental se calcula igualando la 2π frecuencia de la función a ω= , siendo N igual al periodo, ahora como N nuestra función es la suma de 3 funciones, lo que haremos será calcular el periodo o “N” de cada función, y sacar el mínimo común múltiplo entre estos 3 periodos, para así obtener el periodo de la función total y calcular la frecuencia fundamental.  cos

( πn2 )

Calculo del N: ω=

π 2

Pero como sabemos: ω=

2π N

Por lo tanto: π 2π = 2 N N=4

 sen

ω=

π 8

2π π = N 8

( πn8 )

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N=16

 3 cos ⁡(

ω=

πn π + ) 4 3

π 4

2π π = N 4 N=8

Ahora como se mencionó previamente, para calcular la frecuencia fundamental 2π de la función debe de ser igual a ω= por lo tanto la frecuencia fundamental N para la función sería: ω=

2π 16

ω=

π 8

2.

Esquematice las señales de tiempo continuo

a.

x ( t )=u ( t +1 )−2 u ( t−1 )+u (t−3)

b.

x ( t )=( t +1 ) u ( t−1 ) −tu ( t )−u(t−2)

c.

x ( t )=2 ( t−1 ) u ( t−1 ) −2 ( t−2 ) u ( t−2 ) +2 (t−3 ) u( t−3)

Solución: a. x ( t )=u ( t +1 )−2 u ( t−1 )+u (t−3) Con el uso del software en MATLAB obtenemos la función escalon unitario en tiempo continuo. clear all; close all; clc; t=-5:0.01:5; %VECTOR TIEMPO

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica %SEA LAS FUNCIONES ESCALONES UNITARIOS u1=(t>=-1); u2=(t>=1); u3=(t>=3); X=u1 - 2*u2 + u3; plot(t,X,'g','LineWidth',2) grid xlabel('tiempo') ylabel('Amplitud') title('Suma de Funciones Escalon')

b.

Suma Suma de de Funciones Funciones Escalon Escalon

11 0.8 0.8 0.6 0.6

Amplitud Amplitud

0.4 0.4 0.2 0.2 00 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -5 -5

-4 -4

-3 -3

-2 -2

-1 -1

00

11

22

33

44

55

tiempo tiempo b. x ( t )=( t +1 ) u ( t−1 ) −tu ( t )−u(t−2)

Con el uso del software en MATLAB obtenemos la función escalón unitario en tiempo continuo.

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica clear all; close all; clc; t=-5:0.01:5; %division del tiempo u1=(t>=1); u2=(t>=0); u3=(t>=2); X=u1.*(t+1)-u2.*t - u3; plot(t,X,'g','LineWidth',2) grid xlabel('tiempo') ylabel('Amplitud')

Una vez utilizado el software de Matlab procedemos a graficar la función respectiva y queda de la siguiente forma:

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c. x ( t )=2 ( t−1 ) u ( t−1 ) −2 ( t−2 ) u ( t−2 ) +2 (t−3 ) u( t−3)

Sabemos que u(t ) representa a una función escalón unitario. u ( t )= 1 , t ≥ 0 0 , t< 0

{

Realizamos el siguiente cambio de variable: a=2 ( t−1 ) u ( t−1 ) b=2 ( t−2 ) u ( t−2 ) x (t )=a−b +c c=2 ( t−3 ) u(t−3)

}

El lenguaje de programación en el Software Matlab sería el siguiente: t=linspace(-5,5); x1=zeros(size(t)); x1(t>=1)=1; a=2*(t-1).*x1; x2=zeros(size(t)); x2(t>=2)=1; b=2*(t-2).*x2; x3=zeros(size(t)); x3(t>=3)=1; c=2*(t-3).*x3; m=a-b+c; stem(t,m,'filled'); xlabel('tiempo t') ylabel('x(t)') title('Gráfica del Problema 02') grid

Obtenemos la siguiente gráfica:

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3.

Grafique las señales sobre el intervalo −1 ≤t ≤5

a.

x ( t )=e−t u ( t ) +e−t [ exp ( 2 t−4 )−1 ] u ( t−2 ) −e t−4 u(t−4)

b.

x ( t )=cost u t+

π 3π −2u ( t−π ) + ( cost ) u(t − ) ( ) [ 2 ] 2

Solución: a. x ( t )=e−t u ( t ) +e−t [ exp ( 2 t−4 )−1 ] u ( t−2 ) −e t−4 u(t−4) El programa utilizado en MATLAB para poder desarrollar este problema es el siguiente: clc close all clear t = -1:0.01:5; %intervalo del tiempo y= exp(-t).*u(t,-3) + exp(-t).*(exp(2*t-4)-1).*u(t,-2)-exp(t4).*u(t,-4); plot(t,y,'LineWidth',2,'Color','b'); title(' Grafique las señales sobre el intervalo -1