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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Laboratorio Física III Nombres: Flores Limaylla Aldair Orlando Código: 1213220527 Grupo: 92G – Jueves 11:00-14:00 Fecha de entrega: 19-09-2014

Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE I.

OBJETIVOS:  En ésta práctica se pretende conocer las leyes que rigen el Movimiento Armónico Simple.  Verificar el número de oscilaciones que tiene el sistema cuando se aplica la torsión.  Determinar la constante elástica de un resorte, usando los métodos: elástico y dinámico.  Calcular indirecta y experimentalmente la masa de un resorte.

II.

MODELO FÍSICO: Para alcanzar los objetivos de ésta experiencia es necesario tener en consideración los siguientes aspectos: Elasticidad: La elasticidad es la propiedad que tiene todo cuerpo en recobrar su forma y tamaño original después que cesan las fuerzas deformadoras. Cuando un cuerpo elástico, tal como un resorte, se estira mediante una fuerza aplicada sobre él, se observa la deformación x del resorte es proporcional a dicha fuerza. Esto se verifica mientras no se exceda el límite elástico. Por lo tanto, la Ley de Hooke afirma que la fuerza que aparece internamente en el resorte y que hace que éste regrese a su posición de equilibrio es: F = - KX Donde K es la constante elástica del resorte que representa la fuerza requerida para producir una deformación lineal y el signo menor nos indica que siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio.

Fig 1. Diagrama de elasticidad

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Movimiento armónico simple: Consideremos un cuerpo de masa m suspendido del extremo inferior de un resorte vertical de masa despreciable con constante k.

Fig 2. Movimiento Armónico Simple

En el equilibrio, las fuerzas aplicadas son: el peso mg y la fuerza F ejercida por el resorte, cuya magnitud viene dada por: F = Kδ, siendo δ la deformación elástica del resorte en la posición de equilibrio. Por lo tanto: mg = k.δ Supongamos ahora, que se estira el resorte, llevando el bloque hacia debajo de la posición de equilibrio, un valor A, y luego se abandona a sí mismo sin velocidad inicial. Se originará un movimiento oscilatorio hacia arriba y debajo de la posición de equilibrio, desde la posición +A a la posición –A. Veamos el siguiente gráfico:

Fig 3. Movimiento oscilatorio

Para el estudio del movimiento supongamos al bloque en la posición (p) en el tiempo (t). Sea X la posición del bloque, medida desde la posición de equilibrio O (tomando hacia abajo como sentido positivo). Ya hemos afirmado que las fuerzas aplicadas son el peso mg y la fuerza F ejercida por el resorte en ésta posición; cuya magnitud será: F = k.(δ +X). De aquí las resultantes de ambas fuerzas vendrán dada por: Σ F = mg – k (δ +X) = mg - kδ - k.X Laboratorio de Física III

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Pero: mg = k.δ; ⇒ Σ F = - k.X Que nos dice que la resultantes de las fuerzas aplicadas al bloque, es proporcional a la posición X medida a partir de la posición de equilibrio O. ¨ Y ¨ el signo que siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio. Este tipo de movimiento bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica (ΣF = - k.X) y en ausencia de todo rozamiento se denomina MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Si X es la posición del cuerpo, respecto a la posición de equilibrio en el instante del tiempo (t) entonces la ecuación del movimiento es: m.a = - k.X Como: a = d2x / dt2, reemplazando y ordenando términos:

La solución matemática a esta ecuación diferencial, son las funciones armónicas seno o coseno, Coincidiendo en la práctica con lo observado, esto es, la masa ocupa la misma posición después lo tanto de intervalos iguales de tiempo, siendo por un movimiento periódico. Así tenemos que la solución de la ecuación anterior es: x = Acos (ωt+α) Donde A, ω y α son constantes características de cada movimiento armónico simple. Luego: el movimiento armónico simple es un movimiento periódico cuyo periodo está dado por: T = 2π /ω La frecuencia f de un movimiento armónico simple es igual al # de oscilaciones completas por unidad de tiempo; entendiéndose por oscilación, el movimiento de ida y vuelta hasta volver al punto de partida. Así: f = 1 /t La cantidad ω se denomina frecuencia angular de la partícula oscilante y está relacionada:

También: Si la masa m del resorte no es despreciable, pero si es pequeña comparada con la masa m del cuerpo suspendido del resorte, se demuestra que el periodo del movimiento es:

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III.

DISEÑO:

Fig 4. Diseño del experimento

IV.      

EQUIPOS Y MATERIALES: Dos resortes universales. Un portapesas. Un juego de pesas. Un cronometro. Un censor. Un cronometro.

V.

VARIABLES INDEPENDIENTES Las variables independientes son: masa (M), la longitud (L) y el tiempo (t) que son medidos por la balanza, la regla y el cronómetro respectivamente.

VI.

VARIABLES DEPENDIENTES Las variables dependientes son: velocidad angular w y la constante de deformación K.

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VII.

RANGO DE TRABAJO • Para el cronómetro: - Mínima medida 0:00:01s. - Máxima medida no definido. • Para la balanza: - Mínima medida 1 g. - Máxima medida 1000 g.

VIII. PROCEDIMIENTO Cálculo de K por el método estático  Medir la masa del porta pesas y del resorte. Anotar en la tabla N01.  Suspender el resorte del soporte y su extremo inferior debe coincidir con una medida de la regla.  Colocar una masa adecuada en el portapesas de tal forma que el resorte se estire sin deteriorarse. Anotar en la tabla N01 la masa totalmente (masa del porta pesas +masa del resorte) y usando la ecuación F = mg anotar la fuerza correspondiente a esta masa así como la deformación X0 producido por ésta fuerza.  Repetir el paso 3 para masas cada vez mayores o menores y seguir anotando los valores en la Tabla N°01.Hacer una toma de 10 muestras Cálculo de K por el método dinámico  Colocar en el portapesas una pequeña masa “m”, de tal manera que al estirarla una distancia “a” respecto de su posición de equilibrio, esta pueda oscilar sin perturbación alguna.  Anotar en la Tabla N02 la masa total “m” (masa del porta pesas +masa colocada) y el valor de la amplitud “a”, que se procurará que se mantenga constante para posteriores medidas.  Determinar el tiempo “t” en el cual la masa da por lo menos de 10 a15 oscilaciones completas. Tener el cuidado al comenzar la cuenta de 0.  En base a esto, calcular T  t / n y anotarlo también en la Tabla N02  Repetir los mismos pasos para diferentes pesos.

IX.

ANÁLISIS DE RESULTADOS: Mediciones directas: Valor de “a” (amplitud) = 5cm. mr=39g LrH=23cm LrV=23.5cm Laboratorio de Física III

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Tabla N°1 N°

masa(g)

X(cm)

n

t1

t2

t3

1

186

6

3

2.75

2.12

2.18

2

229

7.3

4

2.28

2.32

2.30

3

317

10.3

4

2.41

2.57

2.54

4

419

13.8

5

3.82

3.75

3.78

5

477

15.5

5

4

3.91

3.95

6

534

17.5

4

3.56

3.40

3.50

7

599

19.5

4

3.36

3.40

3.38

8

667

22

4

3.63

3.50

3.65

9

715

23.5

4

3.54

3.57

3.62

10

800

26.5

4

4.10

4.22

4.17

Mediciones indirectas: Tabla N°2 N°

tprom(s)

T(s)

F(N)

1

2.35

0.78

1.82466

2

2.3

0.575

2.93319

3

2.51

0.6275

3.10977

4

3.78

0.756

4.11039

5

3.95

0.79

4.67937

6

3.49

0.8725

5.23854

7

3.38

0.845

5.87619

8

3.59

0.8975

6.54327

9

3.58

0.895

7.01415

10

4.16

1.04

7.848

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X. CUESTIONARIO: 1. Usando los valores de la tabla N°1 graficar F=F(x). Realice el ajuste por el método de los mínimos cuadrados. ¿Pasa la curva trazada por el origen del sistema de coordenadas? Explicar. Aplicando mínimos Cuadrados: F(N)

X(cm)

1.82466

6

2.93319

7.3

3.10977

10.3

4.11039

13.8

4.67937

15.5

5.23854

17.5

5.87619

19.5

6.54327

22

7.01415

23.5

7.848

26.5

Como es una función potencial: Y=mx+b De donde: x=log(X) y=log(F) b=logX0 Reemplazando en la ecuación: LogF = mlog(X) + log X₀ Calculando “m”: m=

NΣxy − ΣxΣy = 0.280 NΣx² − (Σx)²

Calculando “b”: Σx²Σy − ΣxyΣx = 0.380 NΣx² − (Σx)² Entonces de la ecuación experimental para las tablas 1 y 2 es: b=

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0.280x + 0.380 2. A partir de la gráfica F=F(x), determinar el valor experimental de la constante elástica k del resorte. Como existe una relación directa entre F y X, entonces la pendiente de la recta F=F(x) es la constante elástica: K=0.280 N/cm ó K=28 N/m 3. ¿Cuál es el significado del área bajo la curva obtenida en la gráfica F=F(x)? Determine su valor. El área bajo la gráfica representa la variación de la energía potencial elástica que se obtiene por la deformación del resorte en la que actúa la fuerza recuperadora (fuerza elástica). Su valor es 1.01065 4. Usando los valores de la tabla N°2, m=m(T2), ¿Es ésta una curva totalmente lineal? ¿Por qué? Es lineal debido a que m y 𝑇2 son directamente proporcionales por lo que:

Teóricamente se tiene:

5. A partir de la gráfica m=m(T2), determinar el valor de la constante elástica k del resorte. Compara éste valor con el obtenido en la pregunta N°2 ¿Qué valor es más digno de confianza? ¿Por qué? De la gráfica N° 2: m vs T2 (m=13.109 T²+ 1.724) obtenemos su pendiente de la curva y la igualamos a la constante teórica: 𝑚 𝑘 = = 13.109 𝑇² ⟹ 𝑘 = 517.523 𝑁/𝑚 𝑇² 4𝜋² Este ultimo valor es más digno de confianza, porque se ha obtenido a través de la oscilación del cuerpo, lo cual le da más factibilidad.

6. ¿Qué conclusión experimental obtiene del paso (10) del procedimiento de ésta experiencia? ¿Varía el periodo al variar la amplitud para una misma masa? Por qué.

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Después de variar la amplitud sin cambiar o modificar la masa observe experimentalmente que el valor del periodo aproximadamente es casi el mismo, los valores que se generaron no varían mucho, esto sucedió porque el PERIODO no depende de la amplitud. Verificándose m  mr / 3 T  2 K Lo teórico: donde T no depende de la posición, por tanto no dependerá de la amplitud. 7. Corregida adicionando a la masa total m el valor m’’/3, como se indica en la ecuación (10). Si en el sistema masa–resorte, consideramos la masa del resorte (mr/3) aunque es muy pequeña, no se desprecia entonces en la ecuación, salida del movimiento armónico:

(A), de la que vamos a partir para agregar la masa adicional que debe considerarse por efecto del resorte, le superponemos a m de dicha ecuación el valor de (mr/3), el cual no se genero de la nada o porque se nos ocurrió más bien salió de la demostración física y matemática del análisis de dicho movimiento dando como resultado la siguiente expresión:

(B), de donde vino agregada la (masa del resorte/3) 8. ¿Por qué no se hace ésta misma corrección, de adicionar m/3, a la masa m de la expresión F=m.g usada en el paso (3) del procedimiento de ésta experiencia? Porque si comparamos la expresión(A) con F=M*g (C), la (A) es una ecuación demostrada del MAS , generada por el análisis matemático de dicho movimiento en cambio la (C) es una ley física que tienen los cuerpos ya establecida que se manifiesta en el sistema m (masa del portapesas +masa colocada ) la cual se ubica en su C.G del sistema por lo tanto en la expresión(A) se adiciono (mr/3) porque en su demostración de dicha ecuación apareció superpuesto ese valor ya que se consideró la masa del resorte en cambio en(C) solo podemos considerar la suma total de las masas tal como están sin ser fraccionadas dando como resultado lo siguiente: F = (m+mr)*g ; al

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considerar el sistema masa–resorte (masa del porta-pesas +masa colocada+ masa del resorte(no despreciable).

9. Explicar el significado de los dos signos posibles que se indican para la velocidad en función de la posición en la ecuación (6). Partimos según la ecuación de la posición para el movimiento M.A.S. Para obtener la velocidad derivamos respecto al tiempo la ecuación anterior obteniendo:

Relacionando ambas ecuaciones obtenemos como resultado la siguiente ecuación respecto de la posición:

Después de analizar la ecuación podemos decir que el significado de los signos positivo y negativo indica que la masa podría estarse moviendo un sentido u otro. 10. Citar algunos ejemplos de movimiento que sean, aproximadamente armónicos simples. ¿Por qué son raros los movimientos que son exactamente armónicos simples? Algunos ejemplos podemos ver en la rueda de una bicicleta, también en las agujas del reloj que giran en un movimiento armónico simple. Son raros, porque el medio en el cual oscilarían, siempre opone una fuerza denominada resistencia del medio, lo cual hace que las oscilaciones se extingan o no puedan hacerlo perfectamente. XI. CONCLUSIONES:  A mayor peso la longitud final del resorte estirado aumenta.  El de módulo de Young en cada material es propio e independiente de la forma y tamaño de la muestra empleada en su medición. XII. BIBLIOGRAFÍA

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 http://es.scribd.com/doc/162847605/MARCO-TEORICO-modulo-deyounghttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young  http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/permot3.html  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargami ento.htm  http://matensayos.webcindario.com/capitulos/05-tracesta-modyoung.pdf  http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lep/ramos_p_a/capitulo2. pdf

Grafico N° 1 9 8 7

y = 0.2802x + 0.3807 R² = 0.9893

6 5

F(N)

4

Linear (F(N))

3 2 1 0 0

5

10

15

20

25

30

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