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Medici´ on Directa: Di´ ametro de una moneda Chavez Mendoza Kamil Christopher Choque Mamani Jose Luis Flores Vela Larisa Quispe Lopez Nemuel FIS 122 LH 01, Laboratorio de F´ısica I, INF-FCPN-UMSA 06/09/2019

Resumen Se midi´ o 40 veces el di´ ametro de una moneda de 50 ctv. a cuya base de datos se le aplico la distribuci´ on Gaussiana a un nivel de confianza del 95 % que dio lugar al di´ametro experimental de la moneda el valor de: Dexp = (23, 93 + − 0, 07) [mm] ; N.C = 95 % mientras que la calidad de la base de datos dio un porcentaje del 0,29 % devido al uso de un calibrador Vernier digital. Palabras clave: Calibrador Vernier digital, di´ametro de una moneda de 50 ctv.y distribuci´on Gaussiana. Abstract The diameter of a 50 ctv coin was measured 40 times. to whose database the Gaussian distribution was applied at a 95% confidence level that resulted in the experimental diameter of the coin the value of: Dexp = (23, 93 + − 0, 07) [mm] ; N.C = 95 % while the quality of the database gave a percentage of 0.29 % due to the use of a digital Vernier caliper. Keywords: Vernier digital caliper, diameter of a coin of 50 ctv. And Gaussian distribution.

1

Introduci´ on

para la unidad de tiempo los latidos del coraz´ on que nos da una idea del tiempo transcurrido entre dos observaciones o fen´omenos f´ısicos por ejemplo: si tomamos nuestro pulso card´ıaco desde que salimos de casa hasta la tienda a comprar alg´ un producto y tomamos nota de esos latidos y el numero de pasos nos da una idea de la distancia recorrida, entonces podemos conocer la rapidez con al que fuimos a la tienda. Si bien los instrumentos b´asicos mencionados dan una idea del fen´omeno f´ısico de inter´es, con

La teor´ıa de errores que surge a partir de una necesidad de estandarizar las unidades de medida que se observaron en los pueblos que comercializaban productos del lugar. La conversi´ on de unidades fue fundamental ya que permite ampliar los horizontes de intercambio comercial tal como por ejemplo el sistema ingles y el sistema m´etrico. La unidad de medida b´asica hace cinco mil a˜ nos fue el pie y el codo para unidades de longitud (arca de Noe), mientras que 1

pero no se los puede eliminar del todo. De acuerdo a lo indicado anteriormente, la base de datos de la expresi´on (1) posee la denominada varianza (s2 ) a variabilidad de dicha base, es decir hay valores superiores e inferiores que a la final se distribuyen al rededor de ese valor supuesto verdadero que lo denominaremos valor mas probable y se la define de la siguiente manera:

el transcurrir del tiempo se fue mejorando las observaciones y la calidad de los instrumentos. A la fecha tenemos instrumentos l´ ogicos y digitales que poseen buena sensibilidad instrumental, es decir la menor divisi´on de la escala del instrumento, por ejemplo una regla com´ un tiene un mil´ımetro de sensibilidad instrumental, mientras que un calibrador Vernier posee cent´esimas de mil´ımetro de sensibilidad instrumental.

2 2.1

n P

=

Objetivos Objetivo general

n P

Objetivo espec´ıfico

2

S =

Se aplica la teor´ıa de grandes muestras para cuantificar el di´ametro mas probable y su incertidumbre al nivel de competencia del 5 % mas el error relativo porcentual.

3

(2)

[(Di − < D >)]

i=1

N

(3)

Si bien la varianza nos da una idea de la variabilidad de la base de datos, esta se quiere hacer m´ınima, de manera que se extrae la ra´ız cuadrada a la expresi´on (3) y da lugar a la denominada desviaci´on est´andar (σN ), es decir: v uP u n u [(Di − < D >)]2 t i=1 σN = +− (4) N

Marco te´ orico

La teor´ıa de grandes muestras debe su nombre ”Federico Gauss” desde su propuesta hasta nuestros d´ıas. Se enfatiza en dicha teor´ıa el numero de mediciones a realizarse que en sus inicios se dijo los suficientemente grande (N → ∞) con el discurrir del tiempo se a mejorado el numero de mediciones a realizarse el cual comprende que cuando se tiene mediciones superiores a 30 (N > 30), ya puede considerarse una distribuci´ on gaussiana o normal. En ese entendido si tenemos N - ´esimas mediciones de una variable f´ısica de inter´es tal por ejemplo el di´ametro de una moneda, entonces la base de datos experimental se puede escribir de la siguiente manera: D1 , D2 , D3 ,......Di ,...DN

N

La ecuaci´on de la i-´esima medida frente al valor mas probable hace que la varianza sea grande y/o peque˜ na, de tal suerte que:

Se pretende estudiar la din´ amica del proceso de medici´on del di´ametro de un conjunto de monedas con un instrumento de buena calidad.

2.2

Di

i=1

La expresi´on (2) esta sujeta a una indeterminaci´on en su medida o calculo y es necesario aplicar una distribuci´on estad´ıstica adecuada tal como la gaussiana para cuantificar la incertidumbre (I ), para tal efecto el calculo a proceder es:

σ

N I = Z α2 · √ N

(5)

En la expresi´on (5) el factor de correcci´on Z α2 se obtiene de una tabla especifica seg´ un el nivel de confianza deseado (por ejemplo α = 5 %).En la practica se elije uno de tres valores tales como 1, 2 y 3 que corresponden al 68 %, 95 % y 99 % de nivel de confianza, de manera que se emplea casi con frecuencia el 95 % que corresponde al entero 2, de manera que la expresi´on (5) se convierte en:

(1)

La expresi´on (1) esta con base a errores sistem´aticos tales como los errores gruesos o personales, o errores instrumentales como ser calibraci´ on instrumental errores de paralaje o ´ angulo de visi´on y los errores te´oricos como un mal empleo de una formula matem´atica. Tales errores son f´ aciles de corregir

2 · σN I = √ N 2

(6)

Conocidas las expresiones matem´ aticas para la base de datos experimental, entonces el resultado deseado se expresara de la siguiente manera: Dexp = < D >+ − I ; N.C = 95 %

(7)

Si bien el nivel de confianza es bastante bueno, nada dice sobre la calidad de base de datos, para dar una idea de dicha calidad, introducimos el concepto de error relativo porcentual definida como:

εexp =

(8)

Los valores de la expresion (8), se pueden resumir en lo siguiente: Del Del Del Y

4 4.1

0,2 % 16 % 21 % >

al 15 % al 20 % al 25 % a 25 %

Excelente. Bueno. Regular. Deficientes.

D[mm]

N

D[mm]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

24,03 23,89 24,01 23,91 23,99 24,01 24,02 24,00 24,06 23,97 24,07 23,94 24,06 24,03 23,99 23,09 22,81 24,07 23,94 23,98

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

23,98 23,94 23,97 23,99 23,98 23,84 23,96 24,00 23,95 23,87 23,97 23,99 23,94 23,95 23,98 23,99 23,97 24,05 24,03 24,02

Tabla 4.2.1: Se observa en la tabla los valores obtenidos a partir de un calibrador Vernier digital a una moneda de 50 ctv.

Marco experimental Introducci´ on

5

A partir de un calibrador Venier digital se procede a medir el di´ametro de una moneda de 50 centavos tal como se muestra en la figura 4.1.1.

Resultados y an´ alisis

Con base en la tabla 4.2.1 se procede a determinar los par´ametros para la distribuci´on gausiana mediante las expresiones (2),(4),(6),(7) y (8) de la secci´on 3, para tal efecto, se hace uso de una calculadora cient´ıfica, marca cassio modelo fx-350ES o mediante la aplicaci´on para un tel´efono celular tal como el CALC BUSINESS. En la calculadora cient´ıfica se presiona la tecla mode, en pantalla aparecer´an opciones de la cual se elige la tecla numero 2 y continuaci´on sale un men´ u de opciones de las cuales se elige la tecla numero 1, a continuaci´ on se introducen los datos seguidos de la tecla igual hasta completar la base de datos. Una ves introducido los datos se procede a extraer la informaci´on presionando AC SHIFT+1 y en pantalla hay opciones de la cual se elige la tecla numero 4:VAR, nuevamente aparecen opciones de las cuales se elige la tecla numero 2 seguido de la tecla = que nos da el valor mas probable o promedio aritm´etico, es decir:

Figura 4.1.1: Se observa en la figura el instrumento y objeto sujeto a medici´ on.

4.2

N

Datos Experimentales

Con el calibrador digital en mano se produce a medir el di´ametro de la moneda y tales mediciones se observan en la tabla 4.2.1.

3

40 P

=

calcula el error relativo porcentual mediante la siguiente expresi´on:

Di

i=1

εDexp =

N < D > = 23,93075 [mm]

0, 07 [mm] εDexp = 23, · 100 [ %] 93 [mm]

El resultado obtenido debe redondearse al numero al numero de d´ıgitos de la tabla 4.2.1 en ese entendido el resultado para el di´ ametro, sera:

εDexp = 0, 29 [ %] De acuerdo al resultado obtenido se puede inferir que la base de datos posee poca variabilidad.

< D >= 23,93 [mm]

6

A continuaci´on extraemos la informaci´ on para la desviaci´on est´andar y para ello se presionan las teclas SHIFT+1 seguido de la tecla 4 y se presiona la tecla numero 3 seguido de la tecla =, es decir:

A partir de un calibrador Vernier digital se realizo 40 mediciones al di´ametro de una moneda de 50 ctv. A dicha base de datos se aplica la teor´ıa de grandes muestras a un n nivel de confidencia del 5 % la cual dio como resultado para el di´ametro de la moneda el valor de:

v u 40 uP 2 u t i=1 [(Di − 23, 93)] +

σN = −

Conclusiones

40 Dexp = (23, 93+ − 0, 07) [mm] ; N.C = 95 %

σN = 0, 23279161819 [mm]

Tambi´en se calculo al error relativo porcentual que dio el valor del 0,29 % indic´andonos la escasa variabilidad en la base de datos, la cual hace que dicha base de datos se la catalogue como excelente.

Se procede a calcular la incertidumbre del valor mas probable para el di´ ametro de la moneda con la siguiente expresi´ on: 2 · σN I = √ 40 2 · 0, 23279161819 [mm] √ I = 40

Referencias [1] D. C. Baird (1995). Experimentaci´on: Una introducci´on a la teor´ıa de mediciones y al dise˜ no de experimentos (2da Ed.) Mexico: PrenticeHall Hispanoamericana.

I = 0, 07361517337 [mm] el resultado obtenido debe redondearse al numero de decimales del valor mas probable, entonces: I = 0, 07 [mm]

[2] Alvarez, A. C. y Huayta, E. C. (2008). Medidas y Errores (3ra Ed.) La Paz - Bolivia: Catacora.

obtenidos los resultados deseados, el di´ ametro de la moneda experimental se escribe como:

[3] Ronald E.W. y Raymond H.M. (2000). Probabilidad y Estadistica para la ingenieria y ciencias (6ta Ed.) Mexico: Naucalpan de Ju´ arez. [4] Porter, Theodore M. 1986. The Rise of Statistical Thinking, (1820-1900). Princeton University Press. Recuperado de https://bookdown.org/aquintela/EBE/lavariable-normal-o-gaussiana.html

+ − I ; N.C = 95 % + (23, 93− 0, 07) [mm] ; N.C = 95 %

Dexp =< D > Dexp =

Para conocer la calidad de la base de datos, se

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