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• JEISON ALEJANDRO BEDOYA CUADROS

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA INGENIERÍA MECÁNICA LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR Superficies Extendidas (aletas / “fins”) OBJETIVOS - Analizar la transferencia de calor en superficies extendidas - Aletas. - Comprobar experimentalmente las relaciones teóricas para los diferentes tipos de aletas - Incorporar técnicas modernas de medición de temperatura usando cámara termo-gráfica y procesamiento de imágenes termo-gráficas en MATLAB. MARCO TEÓRICO La transferencia de calor por convección entre una superficie sólida y un fluido adyacente, está gobernada por la ley de enfriamiento de Newton

q=hA (T s−T ∞ ) Para incrementar dicha transferencia de calor existen varias opciones: - Aumentar el coeficiente de convección h (aumentando la velocidad y/o la turbulencia del fluido). - Aumentar el diferencial de temperatura (Ts - T) entre la superficie (Ts) y el fluido (T) - Incrementar el área de contacto A, usando superficies extendidas o aletas (Figura 1).

Figura

1. Uso de aletas para aumentar la Transferencia de calor (Tomado de ref. [1])

En muchas situaciones, el aumento de h o de (Ts - T), no son soluciones suficientes, prácticas o viables económicamente, por lo que el aumento del área usando aletas, suele ser la opción más adecuada. En la figura 2 se muestran diferentes configuraciones de aletas.

Figura 2. Configuraciones de aletas. a) Aleta recta de sección transversal uniforme. b) Aleta de sección transversal no uniforme (triangular). c) Aleta anular. d) Aleta de aguja (“pin fin”). (Tomado de ref. [1])

Laboratorio de Transferencia de Calor

Ecuación de energía para condiciones unidimensionales en una aleta En una aleta, el calor de la base es transferido internamente por conducción, de forma quasiunidimensional en la dirección perpendicular a la base, y adicionalmente, el calor también es transferido por convección a través de la superficie de la aleta. Para hallar la ecuación que describe el comportamiento de la temperatura en la aleta, se aplica la ecuación de conservación de energía al elemento diferencial de la figura 3:

q x =q x+dx + dqconv

(Ec. 1)

Figura 3. Balance de energía para un elemento diferencial de una superficie extendida. (Tomado de ref. [1])

Usando una expansión de Taylor de primer orden, la ley de Fourier y la ley de enfriamiento de Newton se puede demostrar que, para una aleta de sección transversal variable en dirección x, la ecuación que rige la variación de temperatura en la aleta es de la forma:

d2T 1 dAc dT 1 h dA s + − ( T −T ∞ )=0 2 A c dx dx A c k dx dx

(

) (

)

(Ec. 2)

Aletas de sección transversal uniforme Para las aletas de sección transversal uniforme, Ac es una constante y As = Pdx, donde As es el área superficial de la aleta y P es el perímetro de la sección transversal de la aleta. En consecuencia, dAc/dx = 0 y dAs/dx = P, y la ecuación 2 se reduce a

d 2 T hP − ( T−T ∞ ) =0 dx2 kA c

(Ec. 3)

Expresando esta ecuación, en términos de un exceso de temperatura θ(x), se obtiene

d2θ 2 −m θ=0 2 dx Donde:

m 2=

(Ec. 4)

hP (Ec. 5) k Ac

La solución general de la ecuación 5 es:

Laboratorio de Transferencia de Calor

θ ( x )=C 1 e mx +C 2 e−mx

(Ec. 6)

Para evaluar las constantes C1 y C2 de la ecuación 6, es necesario especificar condiciones de frontera apropiadas. La primera condición de frontera se especifica en términos de la temperatura en la base de la aleta (x = 0)

θ ( 0 ) =T b −T ∞ =θb

(Ec. 7)

donde Tb es la temperatura en la base de la aleta. La segunda condición de frontera, especificada en el extremo de la aleta (x = L), puede corresponder a cuatro situaciones físicas diferentes, las cuales se indican en la tabla 1. Para cada una de las cuatro posibilidades en el extremo de la aleta (x=L) se presentan en la misma tabla 1 las expresiones matemáticas para la distribución de temperatura (/b) así como el calor disipado por la aleta (q f). Como el calor disipado por la aleta (qf) es igual al calor que pasa por conducción a través de la base de la aleta (x = 0), entonces dicho qf se obtiene aplicando la ley de Fourier para lo cual es necesario encontrar el valor de la derivada de temperatura con respecto a x en x =0, esto es:

q f =qb =−k Ac

dT dx

|

x=0

=−k A c

dθ dx

|

(Ec. 8)

x=0

Como el calor que pasa por la base de la aleta (qf) es igual al calor que se disipa por convección al ambiente, entonces, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, qf también es igual: L

q f =∫ h ( T ( x )−T ∞ ) Pdx+hA ( x =L ) (T ( x=L )−T ∞ )

(Ec 9)

0

Tabla 1. Condiciones de frontera en x = L, distribución de temperaturas y transferencias de calor para aletas de sección uniforme. (Tomado de ref. [1])

Una vez calculada la transferencia de calor de la aleta, se puede calcular la eficiencia y la efectividad de ésta:

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Eficiencia ηf

ηf=

qf qf transferencia de calor de la aletareal = =Af es el área total de la superficie de transferencia de calor de toda la aleta a temperatura T b q max hA f θb la aleta. (Ec. 9)

Efectividad εf

εf=

qf transferencia de calor con aleta = transferencia de calor sin aleta hAc , b θ b

(Ec. 10)

Ac,b área de la sección transversal de la aleta en la base (x = 0).

En lugar de la expresión, un tanto elaborada, para la transferencia de calor qf de una aleta rectangular recta con un extremo activo (caso A, tabla 1), se mostró que se pueden obtener predicciones aproximadas, incluso precisas, usando la transferencia de calor qf del extremo adiabático resultante (caso B) con una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L + (t/2) para una aleta rectangular, y Lc = L + (D/4) para una aleta de sección circular uniforme [2]. La corrección se basa en la suposición de equivalencia entre la transferencia de calor de la aleta real con convección en el extremo y transferencia de calor de una aleta hipotética más larga con un extremo adiabático. Cálculo aproximado del coeficiente convectivo promedio Para calcular el valor aproximado del coeficiente convectivo promedio se puede usar la siguiente aproximación: 1. Si se puede asumir una condición de frontera de aleta infinita, se puede obtener un valor de m usando una regresión de mínimos cuadrados con los datos discretos de la distribución de temperatura y después despejar h de éste. Para la regresión elabore una gráfica de θ vs x y ajuste el intercepto con el valor de θb. 2. Si la aleta es de sección transversal uniforme, pero no se puede asumir una condición de frontera de aleta infinita, la distribución teórica de temperatura de la aleta no tiene un método de mínimos cuadrados disponible para encontrar el valor de m. En este caso es necesario realizar un procedimiento iterativo consistente en suponer valores de h (cinco en total) y graficar la distribución de temperatura para la condición de frontera A presentada en la tabla 1. Se seleccionará el valor de h que mejor se ajusta a los valores de temperatura experimentales. Siendo el que mejor se ajusta el que nos de una desviación estándar del error medio de las temperaturas (EMT) más pequeño. La desviación estándar del error se calcula con las siguientes expresión:

T medido −T icalculado| | i E= i

T medido i n

EMT =

1 ∑E n i=1 i

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n

σ=

√∑ i=1

2

( E i−EMT ) n

Una vez determinada la distribución de temperatura que mejor se ajusta a los datos experimentales se puede obtener el calor disipado por la aleta (q f) con la expresión de la tabla 1 (caso A). DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO Y PROCEDIMIENTO Se utilizará un horno como fuente de calor con un orificio localizado la puerta (ver figura 5). En el orificio se introducirá una barra de metal, de geometría larga, recta, delgada y sección transversal uniforme. Se esperará que el sistema alcance el estado estable y se medirán temperaturas a lo largo de la barra con la ayuda de termopares, a intervalos constantes, desde x = 0 hasta x = L y con la ayuda de una CÁMARA TERMOGRÁFICA. Mida la temperatura del ambiente (T). Mida la geometría de la sección transversal de la aleta (ancho y espesor). Anote la distancia de la barra expuesta al ambiente (L). Identifique el material de la aleta para establecer el valor de conductividad k en los cálculos. Usando una pinza amperimétrica y un voltímetro, mida la corriente (pasando un solo conductor –-diferente del neutro-- a través de la pinza) y el voltaje suministrados al horno.

Figura 5. Esquema del montaje experimental

TABLA DE DATOS, CALCULOS Y PREGUNTAS ALETA INFINITA 1. Incluya una tabla de datos con unidades (T, temperatura vs posición, conductividad, etc.) 2. Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas sobre la barra (T vs x). (no una los puntos con segmentos o curvas). Describa cómo se comporta la temperatura cuando x se acerca a L. Según su criterio, ¿puede asumirse una condición de frontera de aleta “infinita”? Explique. 3. Asumiéndose una condición de frontera de aleta “infinita” determine el valor promedio de h (use el valor identificado para la conductividad k del material). 4. A partir de las distribuciones teóricas presentadas en la tabla 1, determine las temperaturas teóricas para la aleta de longitud infinita. Determine también el calor disipado, la eficiencia y la efectividad de la aleta. 5. Grafique en una sola gráfica las temperaturas teóricas y las experimentales sin unir los puntos con líneas.

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6. Con el valor de h encontrado en el numeral 3, determine el calor disipado por la aleta dividendo esta en segmentos y sumando el calor evacuado por convección por cada uno de dichos segmentos. n

q f =∑ P ∆ xh(T i−T ∞)+ A c h(T i−T ∞ ) i=0

7. En una tabla presente los valores de temperatura teóricos, los experimentales, Ei, EMT, qf (numeral 4), la eficiencia ηf y la efectividad εf para el valor de h encontrado en la por medio de la regresión. 8. Con ayuda de los resultados plasmados en la tabla y la figura realice una discusión de los resultados obtenidos. 9. Con base en los calores calculados ¿Cuántas aletas de este tipo se necesitarían para disipar la potencia consumida por el horno? 10. Presentar código en Matlab utilizado para procesamiento de imágenes. ALETA FINITA 1. Repita los numerales 1 y 2 de aleta infinita. 2. Asumiéndose una condición de frontera de aleta de “extremo con convección” y usando el método explicado para la determinación aproximada de h determiné valor promedio de h (use el valor identificado para la conductividad k del material). Por las condiciones experimentales se sabe que 2