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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Facultad de Ingeniería Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica LABORATORIO 04: FUNCIONES PERIODICAS – TRANSFORMADA Z INVERSA

CONTROL II AUTOR

:

RONDO CUEVAS, Jose Luis CARRASCO CERVANTES, Marcia CARMONA ESCAMILO, Jesus

DOCENTE

:

ALVA ALCANTARA; Josmell Henry

CICLO

: VIII

Trujillo, Perú 2018 1

INDICE OBJETIVOS ......................................................................................................................... 3 CAPÍTULO 1 ........................................................................................................................ 3 Introducción ........................................................................................................................ 4 CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................ 5 Marco Teórico .................................................................................................................... 5 CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................ 8 Desarrollo de ejercicios ...................................................................................................... 8 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 19 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 19

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OBJETIVOS

 Utilizar Matlab como herramienta de solución de una transformada inversa de Z, en funciones periódicas  Reforzar los conocimientos adquiridos por los estudiantes en la teoría de sistemas de control discreto

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CAPÍTULO 1 Introducción En matemáticas y

en

el procesamiento

de

señales,

la transformada

Z convierte

una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

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CAPÍTULO 2 Marco Teórico

La Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada Z inversa. La notación para la transformada Z inversa será Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n]. Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán: Método de la División Directa. Método Computacional. Método de expansión en fracciones parciales. Método de la Integral de inversión. Transformada Z bilateral La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define:

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma 𝑧 = 𝐴𝑒 𝑗𝜔 , donde A es el módulo de z, y 𝜔 es la frecuencia angular en rad/s. Transformada Z unilateral De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n = 0, la transformada Z unilateral se define como

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Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z)suele escribirse como X(s), ya que s = z-1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad. Propiedades de la Transformada Z 

Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces: Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z] siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.



Desplazamiento temporal. Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene:



Multiplicación por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de anX[n] está dada por X[a-1Z].



Diferenciación con respecto a Z. Si se deriva la expresión

que es la transformada Z de una secuencia casual X[n], respecto a Z, se tiene:

6



Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n] se tiene que:

Desarrollando la sumatoria, se pude observar que cuando Z tiende al infinito, 𝑍 −𝑛 tiende a cero para todo n, por lo tanto:



Teorema del Valor final. Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:



Convolución. La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]. En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que: Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z] donde H[Z] es la transformada de h[n]. Para obtener la salida y[n] bastará hallar la transformada inversa de y[Z] .

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CAPÍTULO 3 Desarrollo de ejercicios En esta primera parte desarrollamos los ejercicios con ayuda de la herramienta SIMULINK en Matlab. Ejercicio 1

Obtenemos la función de transferencia para un periodo: 0.32 ∗ 𝑧 −1 − 0.32 ∗ 𝑧 −26 − 8 ∗ 𝑧 −12.5 + 8 ∗ 𝑧 −13.5 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )2 Aproximamos los índices fraccionarios de las potencias de z al máximo entero siguiente, ahora tenemos: 0.32 ∗ 𝑧 −1 − 0.32 ∗ 𝑧 −26 − 8 ∗ 𝑧 −12 + 8 ∗ 𝑧 −13 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )2 Según la teoría vista en el laboratorio tenemos nuestra función de transferencia para todos los periodos. 𝐹(𝑧) =

𝐺(𝑧) 𝑇 , 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = = 25 −25 (1 − 𝑧 ) 𝑇𝑠

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𝐹(𝑧) =

0.32 ∗ 𝑧 −1 − 0.32 ∗ 𝑧 −26 − 8 ∗ 𝑧 −12 + 8 ∗ 𝑧 −13 (1 − 𝑧 −25 )(1 − 𝑧 −1 )2

Utilizamos la herramienta Simulink para tener la representación de la señal periódica.

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Ejercicio 2

Obtenemos la función de transferencia para un periodo: 0.08 ∗ 𝑧 −1 − 0.16 ∗ 𝑧 −50 + 0.16 ∗ 𝑧 −51 + 0.08 ∗ 𝑧 −101 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )2 Según la teoría vista en el laboratorio tenemos nuestra función de transferencia para todos los periodos. 𝐹(𝑧) =

𝐺(𝑧) 𝑇 , 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = = 100 −100 (1 − 𝑧 ) 𝑇𝑠

0.08 ∗ 𝑧 −1 − 0.16 ∗ 𝑧 −50 + 0.16 ∗ 𝑧 −51 + 0.08 ∗ 𝑧 −101 𝐹(𝑧) = (1 − 𝑧 −100 )(1 − 𝑧 −1 )2 Utilizamos la herramienta Simulink para tener la representación de la señal periódica.

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Ejercicio 5

Por el método de fracciones parciales:

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Tenemos: 𝐺(𝑧) =

−1.071 1.667 + − 0.595 −1 1 − 1.4 ∗ 𝑧 1 − 1.2 ∗ 𝑧 −1

𝐺(𝑡) = Ȥ−1 {𝐺(𝑧)} = −1.071 ∗ 1.4𝑡 + 1.667 ∗ 1.2𝑡 − 0.595 ∗ʆ(t) Solución en Matlab:

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Ejercicio 6

Por el método de fracciones parciales:

Obtenemos:

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Hallamos el valor inicial que esta dado por: 𝐺(0) = lim 𝐺(𝑧), para 𝑧→∞

𝐺(0) = 0 El valor final está dado por: lim 𝐺(𝑘) = lim[(1 − 𝑧 −1 ) ∗ 𝐺(𝑧)], para

𝑘→∞

𝑧→1

Nos queda evaluar: 𝑧 −1 (1 − 0.4 ∗ 𝑧 −1 ) lim 𝐺(𝑘) = lim[ ] 𝑘→∞ 𝑧→1 1 + 1.5 ∗ 𝑧 −1 + 2.4 ∗ 𝑧 −2 lim 𝐺(𝑘) = 1.224

𝑘→∞

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Ejercicio 7

𝐺(𝑧) =

1 + 𝑧−1 − 𝑧−2 = 𝑋(𝑧) 1 − 𝑧−1

De la teoría del método de la integral de inversión se tiene: 𝑍−1 [𝑥(𝑧) ] = 𝑥(𝑘𝑇) = 𝑥(𝑘) =

1 ∮ 𝑋(𝑧) 𝑧𝑘−1 𝑑𝑧 2𝜋𝑗 𝑐

𝑚

𝑥(𝑘𝑇) = 𝑥(𝑘) = 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 + ⋯ + 𝐾𝑚 = ∑ 𝐾𝑛 𝑖=1

𝐾𝑚 = 𝑙𝑖𝑚[(𝑧 − 𝑎) ⋅ 𝑋(𝑧) ⋅ 𝑧𝑘−1 ] 𝑧→𝑎

Del problema 𝑋(𝑧) 𝑧𝑘−1 = (

1 + 𝑧−1 − 𝑧−2 𝑘−1 )(𝑧 ) 1 − 𝑧−1

𝑋(𝑧) 𝑧𝑘−1 =

(1 + 𝑧−1 − 𝑧−2 )(𝑧𝑘 ) 𝑧−1

Polos: 𝑧1 = 1 𝐾1 = 𝑙𝑖𝑚 [(𝑧 − 1) ⋅ 𝑧→1

(1 + 𝑧−1 − 𝑧−2 )(𝑧𝑘 ) ] 𝑧−1

𝐾1 = 1 𝑥(𝑘𝑇) = 𝑥(𝑡) = 1

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En MATLAB

Ejercicio 8

𝐺(𝑧) =

𝑧−1 (1 − 𝑧−2 ) (1 − 𝑧−2 )2

De la teoría del método de la división directa ∞

𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑘𝑇) 𝑧−𝑘 𝑘=0

𝑋(𝑧) = 𝑥(0) + 𝑥(𝑇) 𝑧−1 + 𝑥(2𝑇) 𝑧−2 + ⋯ + 𝑥(𝑘𝑇) 𝑧−𝑘 + ⋯ 𝑋(𝑧) = 𝑥(0) + 𝑥(1) 𝑧−1 + 𝑥(2) 𝑧−2 + ⋯ + 𝑥(𝑘) 𝑧−𝑘 + ⋯ Del problema 𝐺(𝑧) =

𝑧−1 (1 − 𝑧−2 ) 𝑧−1 − 𝑧−3 = (1 − 𝑧−2 )2 1 − 2𝑧−2 + 𝑧−4

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(1)

𝑧−1 − 𝑧−3

1 − 2𝑧−2 + 𝑧4

Tenemos que comparando con la ecuación 1 𝑥(0) 𝑥(1) 𝑥(2) 𝑥(3) 𝑥(4) 𝑥(5) 𝑥(6) 𝑥(7)

=0 =1 =0 =1 =0 =1 =0 =1

En MATLAB

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𝑥(𝑡) =

1 (−1)𝑡 − 2 2

Ejercicio 9

Obtenemos en Matlab:

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CONCLUSIONES  Representamos las señales periódicas con éxito con ayuda de la herramienta

SIMULINK y a partir de dos funciones step.  Para pasar del dominio de “z” en la cual se presentaban las señales periódicas al

dominio del tiempo, aplicamos el comando “iztrans” y en otros casos aplicamos la transformada manualmente por el método de fracciones parciales.  Solo fue necesario multiplicar por el factor 1⁄(1 − 𝑧 −𝑎 ) para obtener la señal

periódica; donde a es la relación entre el periodo de la señal y el periodo de muestreo respectivamente.

BIBLIOGRAFÍA  

Ogata, Katsuhiko (2010) Ingeniería de Control Moderna 5 Edición. DORF, Richard. BISHOP, Robert. (2005) Sistemas de Control Moderno 10 Edición

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