Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 1. Indique la transformada Z inversa
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Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 1. Indique la transformada Z inversa para cada funci´on de variables compleja de la siguiente lista. a) b) c) d) e)
z z+6 z z−1 6z 6 z+1 6z 6 z−1 z z 5 (z−1)
Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista: n
1) (−6) u(n) 2) 6−n u(n) 3) n 3n u(n) −n
4) (−6)
u(n)
5) u(n − 5) 6) u(n) 7) δ(n) + δ(n − 4) Soluci´ on Para a) tenemos: Z −1
z z+6
Z
= Z −1
z z − (−6)
n
= (−6) u(n)
Para b) tenemos: −1
z z−1
n
= (1) u(n) = u(n)
Para c) tenemos: Z
−1
n
6z 6 z+1
o
=
Z
=
Z −1
−1
n
6z 6 (z+ 16 ) z z+ 16
o
= − 61
n
u(n) = (−6)
−n
u(n)
Para e) tenemos: Z
−1
n
6z 6 z−1
o
= Z
−1
= Z −1
n
6z 6 (z− 16 ) z z− 16
o
=
1 n 6
u(n) = 6−n u(n)
z z−1
o
Para d) tenemos: Z −1
n z5
z (z−1)
o
n = Z −1 z −5 · =
Z −1
n
z z−1
o
= u(n − 5)
n=n−5
2. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
4 z2 z − 14 z − 12
D´e sus primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Apliquemos fracciones parciales a Z(x)/z: 4 z2 =z· X(z) = z − 14 z − 12
16 16 − 2z − 1 4z − 1
=
16 z 16 z − 2z − 1 4z − 1
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Por tanto x(n)
= Z −1 =
16 2
n
16 z 2 z−1 n
· Z −1
2
−
z z− 21
16 z 4oz−1
−
o 16 4
· Z −1
3. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
3 z2
n
z z− 41
o
= 8
1 n 2
−4
1 n 4
· u(n)
z − 6z + 3
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Al intentar aplicar fracciones parciales sobre X(z)/z en la TI obtenemos: 1 z =z· 3 z2 − 6 z + 3 3 (z 2 − 2 z + 1) esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado: 3 z2
z 1 1 = z· − 6z + 3 3 (z − 1)2
Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema est´a en las f´ormulas siguientes: Z {an u(n)} =
z z−a
y
Z {n x(n) u(n)} = −z ·
De ellas deducimos la f´ ormula Z {n an u(n)} =
az (z − a)2
d Z {x(n) u(n)} dz
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Si ahora regresamos a nuestro problema: Z −1 {X(z)}
= Z −1 =
1 3
n
o
1 z 3 (z−1)2
· F −1
n
z (z−1)2
o
=
1 3
· n · 1n · u(n) =
1 3
n · u(n)
4. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
3 z + z2 − 2z + 2
z2
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Al aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI obtenemos la misma expresi´on. Y al revisar las ra´ıces del denominador vemos que son complejas. Estas ra´ıces las salvaremos en las variables v1 y v2 y cambiaremos el denominador de la expresi´ on original para buscar fracciones parciales con ellas.
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Agrupando el resultado obtenemos: X(z)
Por tanto
x(n) =
r2 +3 r2 +3 1 1 + 1 · − · = z· r1 −r2 z−r1 r1 −r2 z−r2 r2 +3 r2 +3 z z = + 1 · − r1 −r2 z−r1 r1 −r2 · z−r2
1 1 − i 2 2
1 1 n n (1 + i) u(n) − − − i (1 − i) u(n) 2 2
Simplificando: x(n) = O bien
x(n) =
1 1 (1 − i) (1 + i)n + (1 + i) (1 − i)n 2 2
u(n)
1 1 (1 − i) (1 + i) (1 + i)n−1 + (1 + i) (1 − i) (1 − i)n−1 2 2
y observando que (1 − i) (1 + i) = 2 tenemos que: x(n) = (1 + i)n−1 + (1 − i)n−1 u(n)
u(n)
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5. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
−3 z 2 z2 − 9
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Aplicamos fracciones parciales a X(z) z : −3 z 2 =z· z2 − 9
−3 z z2 − 9
3 1 3 1 3 z 3 z =z· − · − · =− · − · 2 z+3 2 z−3 2 z+3 2 z−3
Por lo tanto y usando linealidad: Z −1 {X(z)}
= =
Por lo tanto
n o z z Z −1 − 32 · z+3 − 23 · z−3 o o n n z z − 32 · Z −1 z−3 − 32 · Z −1 z+3
3 3 n x(n) = Z −1 {X(z)} = − · (−3) u(n) − · 3n u(n) 2 2
6. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
−2 z z2 − 9 z + 9
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI obtenemos la misma expresi´ on:
El algoritmo se basa en la factorizaci´ on en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresi´ on nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las ra´ıces son irracionales o complejas. Para probar busquemos las ra´ıces complejas del denominador:
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Observamos que en nuestro caso las ra´ıces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que la primera de ella es r1 y la segunda r2 ; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z 2 en del denominador es 1, podemos pensar que la expresi´ on original es −2 z X(z) = (z − r1 ) (z − r2 ) Si aplicamos fracciones parciales a X(z)/z obtenemos: 2 1 2 1 2 z 2 z X(z) = z · · − · = · − · r1 − r2 z − r2 r1 − r2 z − r1 r1 − r2 z − r2 r1 − r2 z − r1
Por tanto x(n)
n z 2 · z−r − 2 · = Z −1 {X(z)} = Z −1 r1 −r 2 2 n r1 −r2 n o o 2 2 z z −1 −1 · Z − · Z = r1 −r z−r r −r z−r 2 2 1 2 1
Y as´ı: x(n) =
z z−r1
o
2 2 n n · (r2 ) u(n) − · (r1 ) u(n) r1 − r2 r1 − r2
Si asumimos los valores de r1 y r2 para hacer los siguientes c´alculos (observe que r1 y r2 son palabras reservadas en la calculadora!):
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7. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) = D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Aplicando fracciones parciales a X(z)/z tenemos: X(z) = z · −
−10 z + 21 z 2 −1 + 8 z − 21 z 2 + 18 z 3
3 9 2 + + 3 z − 1 (3 z − 1)2 2z − 1
De donde (si hacemos que los coeficientes de z en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando): X(z) = −
z z−
1 3
+
z z−
1 2 3
+
z z−
1 2
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Aqu´ı debemos recordar la f´ ormula: Z {n an u(n)} = obtenemos que: x(n)
= =
az (z − a)2
n n u(n) + 3 n 13 u(n) + 12 u(n) n n (3 · n − 1) · 13 u(n) + 21 u(n) −
1 n 3
8. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
−4 z + 20 z 2 −z 2 + 4 z 3
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on Aplicando fracciones parciales a X(z)/z obtenemos: 16 4 4 z X(z) = z · − + 2 =4· 4z − 1 z z z−
De donde:
1 4
− 4 · 1 + 4 z −1
n 1 x(n) = 4 u(n) − 4 δ(n) + 4 δ(n − 1) 4
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9. Determine la transformada Z inversa x(n) de: X(z) =
6z 23 − 10 z + z 2
D´e los primeros 4 valores iniciando en 0. Soluci´ on √ √ Como las ra´ıces del denominador de X(z) no son enteras (son r1 = 5 + 2 y r2 = 5 − 2), manej´emoslas en forma simb´ olica para hacer el desarrollo en fracciones parciales a X(z)/z: X(z) 6 1 6 1 X(z) = z · =z· · − · z r1 − r2 z − r1 r1 − r2 z − r2 Por lo tanto, Z −1 {X(z)}
=
o n 1 6 1 6 · − · Z −1 z · r1 −r z−r1 r1 −r2 z−r 2 o 2 n z 6 z 6 · − · Z −1 r1 −r z−r2 2 n z−r1 o r1 −r2 n o 6 6 z z −1 − r1 −r2 · Z −1 z−r r1 −r2 · Z z−r1 2
= =
6 n − 6 · rn · u(n) r1√ −r2 · r1 · u(n) √ n r1 −r2 √2 n 3· 2 2) − (5 − 2) · u(n) 2 · (5 +
= =
10. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias:
1 y(n − 1) 4 si y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1)n y (1/4)n . Soluci´ on Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos: 1 Z {y(n)} = Z x(n) + y(n − 1) 4 y(n) = x(n) +
Por la propiedad de linealidad: Z {y(n)} = Z {x(n)} +
1 Z {y(n − 1)} 4
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Por la propiedad de adelantamiento de se˜ nales: Z {x(n − 1)} Z {x(n − 2)} Z {x(n − 2)}
= z −1 Z {x(n)} + x(−1) = z −2 Z {x(n)} + z −1 · x(−1) + x(−2) = z −3 Z {x(n)} + z −2 · x(−1) + z −1 · x(−2) + ·x(−3) .. .
Al aplicarla a Z {y(n − 1)} nos queda: Z {y(n)} = Z {x(n)} +
1 · z −1 Z {y(n)} + y(−1) 4
Si pasamos los t´erminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda: 1 1 1 − z −1 Z {y(n)} = Z {x(n)} + y(−1) 4 4 Por lo tanto Z {y(n)} =
1 · Z {x(n)} + y(−1) 4 1 − 14 z −1 1
Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n); la expresi´on queda: 3 z 1 + · Z {y(n)} = z − (−1) 4 1 − 41 z −1 Y haciendo ´ algebra y fracciones parciales nos queda: Z {y(n)} =
z (7 z + 3) =z· (z + 1) (4 z − 1)
19 4 + 5 (4 z − 1) 5 (z + 1)
Por tanto, la soluci´ on para y(n) nos queda: y(n)
o n 19 = Z −1 {Y (z)} = 5·4 Z −1 z−z 1 + 4 19 1 n 4 n = 20 4 u(n) + 5 (−1) u(n)
4 5
Z −1
n
z z+1
o
En la u ´ltima imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la soluci´on encontrada al menos satisface los primeros valores.
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11. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias:
1 y(n − 1) 5 si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1/5)n y (1/5)n . Soluci´ on Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos: 1 Z {y(n)} = Z x(n) + y(n − 1) 4 y(n) = x(n) +
Por la propiedad de linealidad: 1 Z {y(n − 1)} 5 Por la propiedad de adelantamiento de se˜ nales a Z {y(n − 1)} nos queda: Z {y(n)} = Z {x(n)} +
Z {y(n)} = Z {x(n)} +
1 · z −1 Z {y(n)} + y(−1) 5
Si pasamos los t´erminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda: 1 −1 1 1− z Z {y(n)} = Z {x(n)} + y(−1) 5 5 Por lo tanto Z {y(n)} =
1 · Z {x(n)} + y(−1) 5 1 − 15 z −1 1
Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5)n u(n); la expresi´on queda: 1 z 4 Z {y(n)} = · + 5 1 − 15 z −1 z + 15 Y haciendo ´ algebra y fracciones parciales nos queda: z (45 z + 4) Z {y(n)} = =z· (5 z − 1) (5 z + 1)
5 13 + 2 (5 z + 1) 2 (5 z − 1)
Por tanto, la soluci´ on para y(n) nos queda: y(n)
= =
n o 5 Z −1 z+z 1 + Z −1 {Y (z)} = 2·5 5 1 1 n 13 1 n u(n) + 10 5 u(n) 2 −5
13 2·5
Z −1
n
z z− 15
o
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12. Resuelva la ecuaci´ on en diferencias: y(n + 1) = x(n) + 3 y(n) si y(0) = 3 y x(n) = 3n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 3n · u(n) y n · 3n · u(n). Soluci´ on Si suponemos que la se˜ nal y(n) es cero para n < 0, podemos pensar que y(n) = y(n) · u(n), y as´ı Z {y(n + 1)} = z · Z {y(n)} − z · y(0). Entonces al aplicar la transformada Z a la ecuaci´on de recurrencia tenemos: Z {y(n + 1)} = Z {x(n) + 3 y(n)} As´ı: z · Z {y(n)} − z · y(0) = Z {x(n)} + 3 · Z {y(n)} De donde z · Z {y(n)} − 3 · Z {y(n)} = Z {3n u(n)} + 3 · z =
z +3·z z−3
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Por lo tanto Z {y(n)} =
z z−3
+3·z
z−3
z z +3· (z − 3)2 z−3
=
Y as´ı y(n) = Z −1 {Z {y(n)}} = Z −1
z z +3· (z − 3)2 z−3
Como Z {n · an · u(n)} = As´ı Z −1
z (z − 3)2
= Z −1
a·z (z − a)2
1 3·z · 3 (z − 3)2
y
=
Z {an · u(n)} =
1 · Z −1 3
3·z (z − 3)2
z z−a
=
1 · n · 3n · u(n) 3
y por tanto y(n)
= 13 · n · 3n · u(n) + 3 · 3n · u(n) = 3 · 3n · u(n) + 31 · n · 3n · u(n) = 3 + 31 · n · 3n · u(n)
De acuerdo a lo solicitado, en la forma cerrada de y(n) el coeficiente de 3n · u(n) es 3, mientras que el coeficiente de n · 3n · u(n) es 1/3.