• Author / Uploaded
• Jerson Jose Artezano Rojas

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Mecánica

PRIMER LABORATORIO Curso

:

Cálculo por Elementos Finitos – MC516

Sección :

“D”

Profesor :

Ing. Ronald Cueva Pacheco

Tema

:

Alumno(s):

Tracción Simple Apellidos y Nombres

Código

ARTEZANO ROJAS, Jerson Jose

2012403 6A

2015 - 1 INDICE

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Contenido 1

ENUNCIADO DEL PROBLEMA.............................................................................3

2

OBJETIVOS..............................................................................................................4

3

SOLUCIÓN:..............................................................................................................4 3.1

MODELADO DEL CUERPO REAL.................................................................4

3.2

GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento).....................5

3.3

VECTOR CARGA.............................................................................................6

3.4

MATRIZ DE RIGIDEZ......................................................................................7

3.5

ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO...............7

3.6

ESFUERZOS......................................................................................................8

4

RESULTADOS..........................................................................................................8

5

DIAGRAMA DE FLUJO...........................................................................................9

6

SOLUCION USANDO MATLAB..........................................................................10 6.1

7

LA SALIDA DE MATLAB..............................................................................12

CONCLUSIONES...................................................................................................12

2

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA (TRACCION SIMPLE) 1 ENUNCIADO DEL PROBLEMA Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Considerar: PA

= 30 KN

t (espesor)

= 150 mm

E

= 3.0x105 N/mm2

Y

= 8.0 gr-f/cm3

= 78,45x10-6 N/mm3

3

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

2 OBJETIVOS   

Comprobar experimentalmente si el objeto a analizar es un cuerpo rígido. Identificar qué tipo de esfuerzo se manifiesta en cada elemento finito. Familiarizarse con la herramienta MATLAB.

3 SOLUCIÓN: 3.1 MODELADO DEL CUERPO REAL Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos tendrán longitud de 500, 300 y 200 mm.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:

4

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Y las áreas se calculan de la siguiente relación: Cuadro de conectividad: NODOS

GDL

E 1 2 3

(1)

(2)

1

2

1 2 3

2 3 4

1 2 3

2 3 4

le

Ae

(mm)

(mm2)

500 300 200

90000 42000 12000

3.2 GRADOS DE LIBERTAD NODALES (VECTOR DESPLAZAMIENTO) A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

5

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Luego el vector de desplazamiento será:

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas. 3.3 VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

6

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:

7

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

3.5 ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

8

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Resolviendo obtenemos:

3.6 ESFUERZOS Para el cálculo de los esfuerzos se usará la siguiente expresión:

[ ]

Ee σ= [−1 1 ] Qi l Qi+1 e

()

Y obtenemos lo siguiente:

(

5

)

[ ]

3.0 x 10 σ= [−1 1 ] 0 −5 ⟶ σ 1=0.3660 N 2 600 x 10 mm 1

[ )[ ][

] ]

3.0 x 105 61.003 x 10−5 N 2 σ= [−1 1 ] −5 ⟶ σ =0.0163 300 62.629 x 10 mm 2 2

(

(

σ3=

)

3.0 x 105 62.629 x 10−5 N 3 −1 1 −5 ⟶ σ =0.0078 300 63.152 x 10 mm2

4 RESULTADOS Finalmente, los resultados son los siguientes:

N mm2 N σ 2=0.0163 2 mm N σ 3 =0.0078 2 mm σ 1=0.3660

5 DIAGRAMA DE FLUJO Inicio Modelado del Problema Se elige el vector X, los nodos y las partes de la figura 9

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

Crear Tabla de Conectividad Calculo de las Matrices de rigidez Local Calculo de Matriz de rigidez Global Creación de la Matriz de carga Obtención de las Matrices reducidas de carga, desplazamiento y de rigidez Calculo de los Desplazamientos Nodales Calculo de las cargas nodales y de las reacciones en los apoyos Calculo de esfuerzos en cada elemento finito Mostrar resultados: Desplazamientos, Cargas, esfuerzos y reacción de apoyos

FIN

6 SOLUCION USANDO MATLAB clc, clear all,close all; %--------------------------------------------------------------------% RESOLUCION DEL PROBLEMA 1ra practica (CEF) % Tema: Tracción Simple %--------------------------------------------------------------------% Nombre : ARTEZANO ROJAS Jerson Jose

10

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

% Curso : CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS - MC516 % Sección: D %--------------------------------------------------------------------% 1. DATOS %--------------------------------------------------------------------% 1.1. DIMENSIONES h1 = 800; % mm (base) L = 1000; % mm (alura) t = 150; % mm (espesor) %--------------------------------------------------------------------% 1.2. DEL MATERIAL E = 3e5; % N/mm2 %--------------------------------------------------------------------% 1.3. CARGAS Pa = 30000; % (N) gamma = 8; % (gr-f/cm^3) gamma = gamma*(9.81e-6); %--------------------------------------------------------------------% 1.4. ELEMENTOS FINITOS % Elemento 1 L1 = 500; % mm A1 = 600*t; % mm^2 % Elemento 2 L2 = 300; % mm A2 = 280*t; % mm^2 % Elemento 3 L3 = 200; % mm A3 = 80*t; % mm^2 %--------------------------------------------------------% 2. CODIGO PRINCIPAL %--------------------------------------------------------% 2.1. Vector desplazamiento Qj = zeros(4,1); % Qj = [Q1 Q2 Q3 Q4]' Q1=0; % 2.2. Vector carga Fi = zeros(4,1); % Fi = [F1 F2 F3 F4]' %--------------------------------------------------------------------% -> Valores de la mitad del peso de cada elemento finito g1 = gamma*A1*L1/2; g2 = gamma*A2*L2/2; g3 = gamma*A3*L3/2; % -> Por el momento sólo calcularemos F2,F3 y F4 Fi(2) = g1 + g2 + Pa; Fi(3) = g2 + g3; Fi(4) = g3; %--------------------------------------------------------------------% 2.3. Matriz de Rigidez Global k1 = E*A1/L1*[1 -1 0 0;-1 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0]; k2 = E*A2/L2*[0 0 0 0;0 1 -1 0;0 -1 1 0;0 0 0 0]; k3 = E*A3/L3*[0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 -1;0 0 -1 1]; Kij = k1 + k2 + k3; disp('Matriz de Rigidez') disp(Kij) %--------------------------------------------------------------------% 2.4. Usando la ecuación de rigidez % OJO: Normalmente el número de ecuaciones lineales serían 4, pero % se observa que la primera de ellas (la que contiene a "R1") % es independiente de las otras. %--------------------------------------------------------------------% -> se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones reducido

11

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

% Fi_r = Kij_r*Qj_r Fi_r = Fi(2:4); Kij_r = Kij(2:4,2:4); Qj_r = pinv(Kij_r)*Fi_r; % Aqui Qj_r es la variable %--------------------------------------------------------------------% -> Obtenemos los valores de Q2, Q3 Y Q4 Qj(2:4) = Qj_r; %--------------------------------------------------------------------% -> Calculamos la carga F1 y la reaccion en el apoyo R1 Fi(1) = Kij(1,:)*Qj; % Valor de F1 R1 = Fi(1)-g1; % Valor de R1 %--------------------------------------------------------------------% 2.5. Calculo de los esfuerzos sigma1 = (E/L1)*[-1 1]*[Qj(1) Qj(2)]'; sigma2 = (E/L2)*[-1 1]*[Qj(2) Qj(3)]'; sigma3 = (E/L3)*[-1 1]*[Qj(3) Qj(4)]'; sigma = [sigma1 sigma2 sigma3]'; %--------------------------------------------------------% 3. PLOTEANDO RESULTADOS %--------------------------------------------------------disp('----------------------RESULTADOS----------------------------') disp('1. Valor de la reacción en el apoyo "R1" (en N)') disp(R1) disp('2. Vector de desplazamiento "Qj" (en mm)') disp(Qj) disp('3. Vector de carga "Fi" (en N)') disp(Fi) disp('4. Vector de Esfuerzos para cada E.F "sigma_e" (en N/mm^2)') disp(sigma)

12

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

6.1 LA SALIDA DE MATLAB

7 CONCLUSIONES  





Se observa que las deformaciones son completamente pequeñas, por ende se trata de un cuerpo rígido. Los esfuerzos calculados son positivos, esto se debe a que el punto 2 de cada elemento se mueve más que el punto 1, esto significa que el elemento está a tracción en la línea de acción de nuestra referencia "x". Se observa que los resultados de MATLAB arrojan un error prácticamente cero, lo cual nos indica que la aproximación del cuerpo a tres elementos finitos es prácticamente exacta. Se aprecia también que el eje de referencia "x" considerado debe ser asumido en primera instancia con experiencia

13

Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MC516 - C

Facultad de Ingeniería Mecánica

visualizando como se deformaría el modelo y así tener menos problemas en la utilización del método.

14