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Universidad de la Frontera Facultad de Ingeniería y Ciencias Departamento de Ingeniería Mecánica

Trabajo de investigación FEM: Método de los Elementos Finitos

Profesor: Eduardo Aqueveque Ayudante: José Pérez Alumno: Jacob Lagos Palma Carrera: ICI-M

15-04-2015

2 Resumen

Se buscara conocer más acerca del método de los elementos finitos, desde como se fue originando, a través de distintas pruebas de elasticidad, hasta su formulación y áreas en las cuales, este método es ocupado. Para este propósito de describe los aspectos principales del método, las condiciones necesarias para su correcto análisis, y como se deben generar las particiones o elementos de un sistema, para obtener una solución aproximada.

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3 Índice Contenido Resumen..................................................................................................................................2 Introduccion............................................................................................................................3 Objetivos.................................................................................................................................5 Reseña histórica......................................................................................................................6 Marco Teórico.........................................................................................................................7 Metodo Directo..................................................................................................................11 Método de Rayleigh-Ritz..................................................................................................13 Criterios de Convergencia:................................................................................................17 Conclusiones.........................................................................................................................18 Observaciones...................................................................................................................18 Bibliografia...........................................................................................................................19

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4 Introducción

El método de los elementos finitos, ha adquirido gran importancia a lo largo del tiempo, debido a la solución que entrega a diferentes problemas de ingeniería, principalmente en aquellos sistemas complejos, en los cuales era muy difícil resolver con los métodos tradicionales, donde se necesitaban realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando pruebas hasta el punto de conseguir una tendencia. El FEM entrega una solución aproximada a la real, de forma más fácil y económica que los ensayos iterativos. Estas son ciertas ventajas por lo cual el método de los elementos finitos, está abarcando una gran cantidad de áreas de la industria, ofreciendo un análisis completo acerca de cualquier sistema por muy compleja que sea su geometría. Es un modelo matemático que utiliza ecuaciones diferenciales para obtener soluciones de distintas incógnitas.

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5 Objetivos

5.1 Objetivos Generales: -

Conocer de qué trata el método de los elementos finitos. Entender de qué manera el FEM ayuda a la resolución de problemas.

5.2 Objetivos Específicos: -

Reconocer diferencias entre un método clásico de resolución de esfuerzos, con un método de aproximación por ecuaciones diferenciales. Entender la formulación de la partición de un sistema determinado. Entender de qué manera un mayor número de partición afectara el resultado final.

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6 Reseña histórica

A pesar de que el empleo de discretizacion espacial y aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas físicos o de ingeniería, datan de hace varios siglos, la idea de elemento finito nace a partir de estas experiencias. El desarrollo de la idea, está relacionado al campo aeroespacial, fundamentalmente al cálculo estructural. En los años 40, Hrenikoff presento una solución a un problema de elasticidad, usando un método de estructura. Posteriormente en el año 43, aparece Courant, quien propone la utilización de funciones polinomicas para la formulación de problemas elásticos en subregiones triangulares, especialmente relacionados con torsión, como una variante del método variacional de Rayleigh-Ritz. Ya a mediados de los años 50, comienzan a aparecer los resultados con respecto a los estudios de elasticidad con el uso de pequeños elementos, que describían el comportamiento de una barra elástica. Finalmente, en 1960 surge el nombre de los elementos finitos, publicado en “Stifness and deflection analysis of complex structures”, desarrollado por Turner, Clough, Topp y Martin. Luego Oden, realiza un trabajo de revisión, contribuyendo con análisis matemáticos de importancia. Después aparecen una serie de publicación, donde se muestra el FEM como un método más profundo de análisis estructural. En los años 90, y con la publicación de Taylor y Zienkiewicz, se logra mostrar el amplio espectro de aplicación que posee el método de los elementos finitos, provocando el interés en matemáticos y físicos, por lo cual el FEM, es considerado una de las herramientas mas potentes y probadas para la solución de problemas ingenieriles. Actualmente el método se encuentra en una gran expansión debido a su gran utilización en la industria e investigación.

7 Marco Teórico 6

Uno de los objetivos más importantes que se busca en el análisis de ingeniería, consisten en conocer los principios físicos que rigen el comportamiento de un determinado sistema, y además tratar de transformarlos en modelos matemáticos de manera puedan predecir el comportamiento del sistema, teniendo en cuenta, que este resultado debe ser lo más preciso posible. Debido a la complejidad de ciertos sistemas, es necesaria la utilización de métodos, que puedan generar la mayor información de estos sistemas, es en estos tipos de problemas, donde el uso del método de los elementos finitos toma importancia. El método de los elementos finitos (FEM) constituye un método numérico, que mediante la resolución de ecuaciones matriciales, encuentra la solución de ecuaciones diferenciales que representan sistemas discretos y continuos. Para su utilización, este método requiere que el problema se encuentre definido en un espacio geométrico, de manera poder subdividirlo en un número finito de regiones pequeñas, formando la conocida malla. Ver figura 1

Figura 1.

En sistemas de dos dimensiones, es común el uso de triángulos o cuadriláteros. Sobre cada uno de estos elementos, las variables que se desconocen, sean temperaturas, velocidad, 7

deformación, entre otros, son aproximados mediante la utilización de funciones, las cuales pueden ser lineales o polinómicas. El método de los elementos finitos es ampliamente utilizado en varias áreas de la ingeniería, las cuales incluyen aplicaciones en el área de la mecánica, como transferencia de calor, mecánica de los sólidos, dinámica de fluidos, elasticidad y sobre todo, de elementos que están sometidos a esfuerzos. Ver figura 2

Figura 2.

Pero no solo está destinada al área mecánica, sino que también es utilizada en el área eléctrica, para analizar campos eléctricos y magnéticos en un punto de una línea de transmisión. Un ejemplo aplicado del FEM, seria la determinación de la deformación sobre la superficie de un sistema naval, o buque, donde se analiza el mamparo de una embarcación, que corresponde a las partes que forman los compartimientos internos de la estructura. Ver Figura 3

Figura 3.

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Donde se pueda apreciar la mayor deformación en el medio del mamparo, producto de la presión hidrostática. Las ventajas de la utilización del método de los elementos finitos son: -

Puede aplicarse a cuerpos compuestos por varios materiales. Las formas irregulares que se puedan presentar en las fronteras, pueden ser aproximadas usando elementos de lados rectos o redondos. El tamaño de los elementos puede variar.

En el área mecánica al efectuarse una clasificación de las estructuras, estas suelen dividirse en discretas y continuas. Las primeras son aquéllas que están formadas por un ensamblaje de elementos claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos concretos, de tal manera que el sistema total tiene forma de malla o retícula. La característica fundamental de las estructuras discretas es que su deformación puede definirse de manera exacta mediante un número finito de parámetros. De esta manera el equilibrio de toda la estructura puede representarse mediante las ecuaciones de equilibrio en las direcciones de dichas deformaciones. De forma distinta en los sistemas continuos no es posible separar el sistema en un número finito de elementos discretos. Si se toma una parte cualquiera del sistema, el número de puntos de unión entre dicha parte y el resto de la estructura es infinito, y es por lo tanto imposible utilizar el mismo método que en los sistemas discretos. Es en este tipo de casos, donde la formulación mediante elementos finitos toma un papel importante en la resolución de estos problemas. Con esto este método, realiza un procedimiento de aproximación de problemas continuos, de tal manera que, el problema continuo se divida en números finitos de partes, denominados elementos, y cuyo comportamiento está determinando por una serie de parámetros. Ver figura 4 Estos elementos se unen entre sí, en un número finito de puntos, denominados nudos. Realizado esto, la solución del sistema completo como un ensamblaje seguirá el procedimiento que se le aplican a los problemas discretos.

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Figura 4.

En este ejemplo, se considera una elasticidad lineal en los nodos, de manera que se pueden considerar, la fuerza distribuida P, que se observa en la imagen, además de los desplazamientos en la dirección de los ejes de coordenadas (u,v). Estos desplazamientos ocurren en cada uno de los nudos. Ver figura 5

Figura 5.

De manera que se puede representar de manera matricial, tanto las fuerzas que actúan en los nodos, por ejemplo

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Como además, los desplazamientos en los nodos.

Ejemplo de formulación Se mostrara como ejemplo, la formulación de los elementos finitos desde su aplicación directa, donde este no es nada más, que una extensión del método de rigidez, que se utiliza en el análisis estructural.

7.1 Método Directo

Este método directo logra establecer una interpretación clara hacerte del FEM, aunque en este punto, solo está determinado para estructuras simples. En el caso de un elemento unidimensional sometido a carga axial.

En este ejemplo se posee, una fuerza actuando en cada uno y un solo desplazamiento, por lo cual se tiene solo un grado de libertad por nodo, teniendo en total, dos grados de libertad. Debido a que posee dos grados de libertad se necesitaran dos ecuaciones que describan la fuerza-deformación. La cual se expresa de forma matricial como :

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Donde : -

K = Matriz de rigidez U = Es el vector desplazamiento F = Vector de fuerzas nodales

Sabiendo por mecánica de sólidos, que en un extremo libre sometido a carga axial, el desplazamiento está determinado por:

Siendo: -

A = área de la sección E = constante de elasticidad del material

De esta forma la matriz de rigidez, quedara como

.

Se aprecia que el elemento se subdividió en 2 elementos para obtener el análisis correspondiente a sus determinados desplazamientos nodales, con esto se logra armar la matriz final.

Para terminar de resolver este tipo de ejercicios, es necesario además, conocer condiciones de borde, de manera eliminar incógnitas y simplificar el cálculo.

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Como se dijo anteriormente, este método directo sirve solo para estructuras de simple armado, como en este caso, solo se usaron dos elementos, en estructuras más complejas, se tendrá un análisis mas complejo. A continuación se describirá uno de los métodos, que se emplea para la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales, sobra las cuales se basa mayormente el método de los elementos finitos. Este método se basa en principios vacacionales, y está asociado a la minimización de una determinada función.

7.2 Método de Rayleigh-Ritz Es un método variacional en el cual los problemas con condiciones de frontera, formulados en expresiones cuyo valor mínimo de la función corresponde a una ecuación diferencial gobernada por las condiciones de frontera. La respectiva solución se obtiene minimzando la función respecto a las variables. En forma específica se busca aproximar las soluciones u y v, que hacen estacionaria una función, mediante una suma pondera de funciones.

Donde , son constantes a determinar, llamadas normalmente como coordenadas generalizadas. Las funciones N(x,y) son funciones de prueba, donde generalmente se utilizan polinomios, donde el grado de estos, dependerá de la estructura, ya sea empotrada, o con una carga distribuida a lo largo de la estructura, todos estos factores, influirán en el grado de los polinomios. Se considera un sistema de ecuaciones diferenciales, cuya solución está asociada a la función

, que está en función de u y v, de manera que se tiene :

Y ahora obteniendo las derivadas de la función aproximación, tanto de u como de v:

Ahora lo que se busca, es encontrar los mejores valoras para que la constante , al ser reemplazada en la ecuación, dé como resultado la mejor aproximación posible. Para ello se aplica la condición de estacionaridad, y sabiendo que debe satisfacer la solución exacta, se obtiene:

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Además esta ecuación debe ser valida para variaciones arbitrarias, y esta condición debe ser cumplida por las siguientes “n” ecuaciones.

Generalizando la función , para situaciones donde está representada como una función cuadrática de u y v, se obtiene una función cuadrática de las coordenadas generalizadas, anteriormente descritas. La derivada de esta función, dará como resultado funciones lineales.

La cual se puede escribir de forma matricial, quedando como:

La resolución de este sistema de ecuaciones, en la cual es necesario invertir matrices, nos dará el resultado de las constantes, las cuales supondrán las aproximaciones de los desplazamientos.

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Ejemplo resolución de ejercicio usando el método R-R Se considera la siguiente barra (Figura), con fuerza de cuerpo cuadrático, por lo cual se buscara una solución aproximada utilizando R-R para la función:

(1)

Figura Por condiciones de borde se tiene que u(0)=u(L)=0, por lo cual la función u , puede escribirse de la siguiente manera:

Derivando esta expresión con respecto a “x” y reemplazando en la ecuación se obtiene.

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Ahora se prosigue a derivar esta función, con respecto a las constantes, e igualarlas a 0, para obtener la solución exacta, quedando.

Estas ecuaciones proporcionan, la matriz que al resolverla, da como resultado el valor de las constantes.

Ahora reemplazando estas constantes en la función, se puede obtener una solución aproximada del desplazamiento.

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El análisis por medio de los elementos finitos converge a la solución exacta (considerándose como solución el desplazamiento nodal), a medida que se va disminuyendo el tamaño de los elementos y por tanto, aumentando el número de nodos. Por lo que para obtener un análisis lo más cercano a lo ideal, se necesita determinar una serie de criterios de convergencia.

7.3 Criterios de Convergencia:

Criterio 1: -

La función de desplazamiento debe elegirse de tal manera, que represente un desplazamiento como solido rígido, sin producir tensión.

Criterio 2: -

La función de desplazamiento tiene que ser tal, que si los desplazamientos nodales son compatibles con un estado de deformación constante, se obtenga realmente dicho estado de deformación.

Criterio 3: -

La función de desplazamiento debe elegirse de manera que las deformaciones que se producen en los límites de separación entre los elementos, sean finitas.

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8 Conclusiones

El método de los elementos finitos, ha demostrado ser una herramienta muy útil al momento de solucionar problemas en distintas áreas de trabajo, ya sea estático o dinámico, y por muy complejo que sea el sistema. Dentro del área mecánica, este método busca maximizar la durabilidad de los elementos, principalmente ante los esfuerzos producidos por distintas fuerzas. Además de la ventaja que ofrece, al momento de analizar un sistema completo, por ejemplo estructural, y analizar que esfuerzos son admisibles para esta, antes de que sea construida, de manera entregar todos los detalles de posibles fallas o errores que se puedan producir después. Observaciones -

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-

Una de las virtudes que presenta este método, es que a partir de un sistema, se puede tomar una porción de esta, o elemento, y aislarla, para de este modo, poder observar su comportamiento particular, en la condición de carga original aplicada al sistema general. A medida que se realizan más particiones al sistema general, la solución se aproxima más a a solución real, pero en casos en los cuales la estructura a analizar sea demasiado compleja, ya sea por cantidad de incógnitas o comportamiento de deformación, una subdivisión demasiado grande podría dificultar la resolución. Se pueden realizar cálculos sobre geométricas asimétricas y en espacios dimensionales complicados, donde un cálculo manual sería muy complicado. Al ser un método en el cual, las soluciones pueden ser procesadas y analizadas por un computador, entrega una ventaja con respecto a determinar el comportamiento aproximado de una pieza frente a un esfuerzo o fuerza específica, con lo cual se deja de lado las experiencias y datos que entregaba el método ensayo-error. El hecho de que se pueda aplicar el método a sistemas que estén compuesto por más de un material, representa una ventaja considerable, debido a que con eso, se puede determinar que material va a traccionar o comprimir otro, y con esto tener otra variable de posible falla en la estructura.

9 Bibliografía 18

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“El método de los Elementos Finitos”. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona .1994.

-

“Método de los elementos finitos, pre proceso y pos proceso de los resultados”, Sergio Blanco. Transparencias de la asignatura MEF del Máster en Ingeniería de Estructuras, Cimentaciones y Materiales.

-

“El método de los elementos Finitos”. Zienkiewicz-Taylor, Volumen I.

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