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INGENIERÍA MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS II

ING. WILLIAM CHAUCA NOLASCO

CIUDAD UNIVERSITARIA, 10 DE JULIO DEL 2018

El agua, con viscosidad 𝒖𝒖 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 − 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒇𝒇𝒇𝒇𝟑𝟑

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒊𝒊𝒊𝒊𝟐𝟐

y densidad 𝝆𝝆 =

, fluye a través de la red de tuberías se muestra en la figura.

Los datos de segmentos de tubería se muestran en la siguiente tabla. Elemento de tubería “e”

Diámetro (inch)

Longitud(inch)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 2 1.5 2 2.5 1 2 3 2.5 3

5000 7000 4000 6000 8000 5000 3000 2000 6000 4000

Determine lo siguiente: a. Presión en el nodo interior 3. Solución: 𝑄𝑄𝑖𝑖 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑4 1 −1 𝑃𝑃𝑖𝑖 �� � Para las tasas de flujo en tuberías �𝑄𝑄 � = 128𝜇𝜇𝑙𝑙𝑖𝑖 � 1 𝑃𝑃𝑗𝑗 𝑖𝑖 −1 𝑗𝑗 Para cada tubería “i”:

𝐶𝐶𝑖𝑖 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑖𝑖4 128𝜇𝜇𝑙𝑙𝑖𝑖

𝐶𝐶1 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑14 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 265.072 128𝜇𝜇𝑙𝑙1 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐶𝐶3 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑34 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 20.708 128𝜇𝜇𝑙𝑙3 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐶𝐶1 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑24 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 37.399 128𝜇𝜇𝑙𝑙2 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑44 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 43.633 𝐶𝐶4 = 128𝜇𝜇𝑙𝑙4 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑54 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 79.840 𝐶𝐶5 = 128𝜇𝜇𝑙𝑙5 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑64 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 3.270 𝐶𝐶6 = 128𝜇𝜇𝑙𝑙6 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐶𝐶7 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑74 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 87.266 128𝜇𝜇𝑙𝑙7 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐶𝐶8 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑84 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 662.679 128𝜇𝜇𝑙𝑙8 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐶𝐶10 =

4 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑10 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 331.339 128𝜇𝜇𝑙𝑙10 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐶𝐶9 =

𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑94 𝑖𝑖𝑖𝑖5 = 106.526 128𝜇𝜇𝑙𝑙9 𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Además la ecuación característica:

Para l=1

Para l=2

Para l=3

Para l=4

Para l=5

Para l=6

Para l=7

Para l=8

Para l=9

[𝐾𝐾𝑖𝑖 ] = 𝐶𝐶𝑖𝑖 � 1 −1� −1 1 1 4 [𝐾𝐾1 ] = 265.071 1 −1 1 � � −1 1 4 2 3 [𝐾𝐾2 ] = 37.399 1 −1 2 � � −1 1 3 4 3 [𝐾𝐾3 ] = 20.708 1 −1 4 � � −1 1 3 4 8 [𝐾𝐾4 ] = 43.633 1 −1 4 � � −1 1 8 8 7 [𝐾𝐾5 ] = 79.840 1 −1 8 � � −1 1 7 3 [𝐾𝐾6 ] = 3.27 1 � −1

5 3 −1 �5 1

5 7 [𝐾𝐾7 ] = 87.266 1 −1 5 � � −1 1 7 5 6 [𝐾𝐾8 ] = 662.679 1 −1 5 � � −1 1 6 7 9 [𝐾𝐾8 ] = 106.526 1 −1 7 � � −1 1 9

Para l=10

8 10 [𝐾𝐾10 ] = 331.339 1 −1 8 � � −1 1 10 Poniendo en matriz: 0 265.072 0 37.399 37.339 0 0 -376 61.377 -20.708 265.072 0 20.708 329.413 265.072

0

0

0

0

0

0

0

0 -3.27

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

0 -79.84 106.526

0

0 0 331.339

0

0

0

-3.27

0

0

0

0 0 -43.633 0 753.215 662.679 -87.266 0 0 662.679 662.679 0 0

0

0

0

0 -87.266

0

0

0 -43.633

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

273.63

0

-79.84 454.812 0 106.526 0 106.526 0 0 0 331.339 0 331.339

265.072𝑃𝑃1 = 5831.584 37.399𝑃𝑃2 = 747.98

37.339𝑃𝑃2 + 20.708𝑃𝑃4 + 3.27𝑃𝑃5 = 61.377𝑃𝑃3 … (1)

265.072𝑃𝑃1 + 20.708𝑃𝑃3 + 43.633𝑃𝑃8 = 329.413𝑃𝑃4 … (2) 3.27𝑃𝑃3 + 662.679𝑃𝑃6 + 87.266𝑃𝑃7 = 753.215𝑃𝑃5 … (3) 662.679𝑃𝑃6 = 11928.222

87.266𝑃𝑃5 + 79.84𝑃𝑃8 + 106.526𝑃𝑃9 = 273.63𝑃𝑃7 … (4)

43.633𝑃𝑃4 + 79.84𝑃𝑃7 + 331.339𝑃𝑃10 = 454.812𝑃𝑃8 … (5) 106.526𝑃𝑃9 = 1491.364

331.339𝑃𝑃10 = 5632.763 Reemplazando los datos: P1, P2, P6, P9, P10 en las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) tenemos:

20.708𝑃𝑃4 + 3.27𝑃𝑃5 − 61.377𝑃𝑃3 = −747.98

20.708𝑃𝑃3 + 43.633𝑃𝑃8 − 329.413𝑃𝑃4 = −5831.584 3.27𝑃𝑃3 + 87.266𝑃𝑃7 − 753.215𝑃𝑃5 = −11928.222 87.266𝑃𝑃5 + 79.84𝑃𝑃8 − 273.63𝑃𝑃7 = −1491.364

43.633𝑃𝑃4 + 79.84𝑃𝑃7 − 454.812𝑃𝑃8 = −5632.763

La siguiente ecuación nos dará la siguiente matriz:

61.377

20.708 20.708 329.413 3.27 0 0

0

0

0 0 0 753.215 87.266 0 87.266 273.63

43.633

43.633

3.27

0

0

P3 P4 P5 P7 P8

-747.98 −5831.584 −11928.222 −1491.364 −5632.763

79.84 79.84 454.812

Donde: P3= 20.3099 psi P4= 21.2662 psi P5= 17.7972 psi P7= 16.1630 psi P8= 17.2624 psi Entonces:

b) determine la presión en el nodo interior 3: P3=20.31 psi