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Pistas Educativas, No. 100, Agosto-Diciembre 2012. México, Instituto Tecnológico de Celaya.

La lógica borrosa: conjuntos borrosos, razonamiento aproximado y control borroso Norma V. Ramírez Pérez, Instituto Tecnológico de Celaya [email protected] ,

Martín Laguna Estrada Departamento de Mecatrónica Instituto Tecnológico de Celaya [email protected]

RESUMEN La lógica borrosa es una herramienta de toma de decisiones. Inicialmente fue concebida como un concepto matemático con una única finalidad de involucrar datos numéricos y términos lingüísticos para representar la forma de razonamiento común cualitativo. Esta herramienta se utiliza muy eficientemente para realizar control de variables físicas que se adaptan al conjunto de reglas de dicha lógica. En este artículo se presenta un marco general de la lógica borrosa y sus aplicaciones. Palabras Clave: Lógica borrosa, conjuntos borrosos, razonamiento aproximado,

Introducción La lógica borrosa[9] surge de la necesidad de formalizar en un lenguaje matemático algunas situaciones de la vida cotidiana imprecisas o sin valor explicito, es decir, no cuantificable numéricamente. Especialistas en la materia consideran que el pensamiento humano se construye a partir de elementos lingüísticos, no mediante números, y si la lógica es la ciencia que busca representar el razonamiento, debe tener en cuenta estos factores. La lógica borrosa, en particular, sirve para representar muy convenientemente dichos conocimientos y datos inexactos. En la lógica clásica un elemento pertenece o no pertenece a un determinado conjunto, de tal manera, que si por ejemplo deseáramos hacer una clasificación de la estatura de las personas en un conjunto de personas altas y personas de mediana estatura, sería demasiado aventurado decir que una persona con 1.79 m de estatura pertenezca al conjunto de personas de mediana estatura y otra con 1,80 m al de conjunto de personas altas. En lógica borrosa se soluciona este tipo de situaciones, pues allí se consideran grados de Pistas Educativas Año XXXII - ISSN 1405-1249 Certificado de Licitud de Título 6216; Certificado de Licitud de Contenido 4777; Expediente de Reserva 6 98 62

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pertenencia a los conjuntos, esto es, un elemento puede pertenecer a más de un conjunto en un grado determinado. La lógica borrosa se puede describir en el contexto de la lógica multivaluada. En los años treinta fueron propuestas lógicas multivaluadas para un número cualquiera de valores ciertos (igual o mayor que 2), identificados mediante números racionales en el intervalo [0,1]. Lofti Zadeh [13] en su artículo Fuzzy Sets, presentó la teoría de conjuntos borrosos, entre algunos otros artículos derivados de esta teoría[1], y establece que uno de los objetivos es proporcionar las bases del razonamiento aproximado como un instrumento para formular el conocimiento, además de introducir el uso de la lógica borrosa a sistemas de control[17].

Definiciones y conceptos Teoría de conjuntos borrosos En un conjunto clásico (Crisp) se asigna el valor 0 ó 1 a cada elemento para indicar la pertenencia o no a dicho conjunto. Esta función puede generalizarse de forma que los valores asignados a los elementos del conjunto caigan en un rango particular, y con ello indicar el grado de pertenencia de los elementos al conjunto en cuestión. A dicha función se le denomina “función de pertenencia” y el conjunto por ella definida “conjunto borroso”. Esta función de pertenencia es definida por µ A para un conjunto borroso A, determinado por el rango de los números entre [0,1], definido de la siguiente manera: µA = X [0,1]

A diferencia de un conjunto clásico, los elementos pertenecen o no a él totalmente, por ejemplo, un número puede pertenecer o no al conjunto de números pares, pero no pertenecerá con un determinado grado al conjunto, como se hace en los conjuntos borrosos en donde hay grados de pertenencia en referencia a un universo local. Retomando el ejemplo expuesto en la introducción, sobre el conjunto de las personas altas y el conjunto de las personas de mediana estatura, si una persona con una estatura de 1.79 m pertenecerá al conjunto borroso de personas de mediana estatura con una grado de pertenencia con un grado de 0.9, en lugar de decir que pertenece totalmente al conjunto de personas de mediana estatura. Por lo que A será un subconjunto borroso de B, cuando µA(x) ≤ µB(x),  x  X

En la teoría de los conjuntos clásicos, existen operaciones entre ellos, que se extienden a los conjuntos borrosos, como: Pistas Educativas Año XXXII - ISSN 1405-1249 Certificado de Licitud de Título 6216; Certificado de Licitud de Contenido 4777; Expediente de Reserva 6 98 62

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Negación La negación, también denominada complemento a uno, de un conjunto borroso A con función de pertenencia , es denotada por y se define con

Unión La unión de dos conjuntos borrosos A y B, sus funciones de pertenencia son y , respectivamente, el cual puede definirse como un conjunto borroso C= A  B, definida por la expresión

Que se expresa de manera reducida de la siguiente manera

Intersección La operación de intersección de dos conjuntos borrosos A y B, con funciones de pertenencia y , respectivamente, se define como un conjunto borroso C = A  B cuya función de pertenencia se relaciona con A y B de la siguiente forma

Existe también otra forma de escribirla de manera abreviada como:

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Posteriormente, en [2] se definieron el conjunto de familias con propiedades axiomáticas adecuadas a la utilidad de cada operador, como las t-normas y t-conormas, que sirven como modelos de intersección y la unión respectivamente. Estas familias se remontan como consecuencias del artículo de Menger, denominado “Statistical Metrics”[6], que sirvieron para establecer la desigualdad triangular. Sin embargo, para completar un tipo de razonamiento análogo al que se realiza en la lógica clásica, es necesario definir el concepto de implicación. Una implicación borrosa I es en general una función de la forma:

Para cualquiera de los dos valores ciertos a y b de proposiciones borrosas p, q define el valor cierto de la proposición condicional “si p entonces q”. Es una extensión de la implicación clásica p  q del dominio restringido al dominio completo [0,1]. La implicación se puede expresar de diferentes formas en la lógica clásica y todas son equivalentes, sin embargo sus extensiones a la lógica borrosa resultan no ser equivalentes y ha dado lugar a diferentes clases de implicación borrosa. Existe también un principio que permite la generalización de conceptos matemáticos crisp a la teoría de conjuntos borrosos, donde cualquier función que asocie puntos del conjunto crisp al puede generalizarse de forma que asocie conjuntos borrosos de en , el cual es denominado “principio de extensión”[8]. Representación borrosa del conocimiento En el lenguaje natural se describen objetos o situaciones en términos no precisos, como: grande, joven, viejo, etc., sin embargo, el razonamiento basado en estos términos no puede ser exacto, y por lo regular representan impresiones no objetivas, quizás probables, pero no exactas. La teoría de los conjuntos borrosos, permite representar de forma mas adecuada el conocimiento humano, ya que permite que los fenómenos y observaciones tengan más de dos estados lógicos, como lo son en la lógica clásica que sólo tiene verdadero o falso, o bien 0 ó 1. Una de las aplicaciones de la lógica borrosa es cuando se quiere construir conjuntos borrosos para ser usados en sistemas inteligentes. Existen técnicas específicas de adquisición de conocimiento, donde una de las más usadas son las entrevistas y formularios, sin embargo, es necesario adecuar otras técnicas al campo borroso. En los sistemas basados en el conocimiento, la función de pertenencia debe ser obtenida de un experto en ese dominio del conocimiento, y no debe ser confundida con una distribución de probabilidad que es basada en la repetición de las observaciones, sino en la opinión del experto en la materia. La representación más común en el conocimiento, es en términos borrosos realizado por medio de reglas determinadas como: Pistas Educativas Año XXXII - ISSN 1405-1249 Certificado de Licitud de Título 6216; Certificado de Licitud de Contenido 4777; Expediente de Reserva 6 98 62

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Cada variable que interviene como hipótesis en una regla, tiene asociada un dominio. Es necesario aclarar que cada dominio puede ser dividido en tantos conjuntos borrosos que el experto considere oportuno, donde cada una de estas particiones tiene asociada una etiqueta lingüística. A continuación se muestra en la figura 1, una representación de los conjuntos borrosos, así como algunas definiciones involucradas en los conjuntos[1216].

Fig. 1. Representación Gráfica de los componentes de un conjunto Borroso.

La función de pertenencia es aquella aplicación que asocia o empareja a cada elemento de un conjunto borroso, el grado en que pertenece un valor lingüístico asociado. La variable lingüística es un concepto calificado de forma borrosa, por ejemplo: la altura, la edad, la temperatura, etc. A estos conceptos se les aplica el adjetivo lingüístico por la definición de sus características mediante el lenguaje hablado. El universo de discurso es el rango de valores en que está definida la variable lingüística. En el caso de la representación en la figura 1, el conjunto de valores está comprendido entre 100 y 250 m. Los valores lingüísticos son las clasificaciones que se efectúan sobre la variable lingüística. En el caso de la variable altura, el universo de discurso es dividido en los diferentes valores lingüísticos como bajo, mediano y alto.

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Los conjuntos borrosos son caracterizados por sus funciones de pertenencia. Un conjunto es borroso cuando el concepto al que representa tiene una función de pertenencia borrosa asociada a él.

Razonamiento Aproximado Lofti Zadeh introdujo la teoría del razonamiento aproximado[14] y muchos otros autores han hecho lo propio con contribuciones importantes en este campo. Aunque superficialmente pueda parecer que la teoría de razonamiento aproximado y la lógica clásica tienen diferencias enormes, la lógica clásica puede ser vista como un caso especial de la primera. En ambas áreas, se pueden ver a las premisas como inductoras de subconjuntos de mundos posibles que las satisfacen, aunque en el caso de la teoría de razonamiento aproximado esos conjuntos serán subconjuntos borrosos. La inferencia en ambos sistemas está basada en una regla de inclusión: una hipótesis se infiere de una colección precisa, si el subconjunto de mundos posibles que satisfacen la conjunción de las premisas está contenido en el subconjunto de mundos posibles que satisfacen la hipótesis. El uso del razonamiento aproximado es el uso que hace de las variables y la representación de las proposiciones en términos de valores de verdad lingüísticos, es decir -subconjuntos borrosos- como valores de esas variables. La lógica clásica sólo usa de modo implícito la idea de verdad asociada a una proposición. Sin embargo, su naturaleza binaria le permite ocultar este hecho ya que se puede referir a una proposición verdadera por su denotación p, y a una que es falsa, simplemente por su negación, p, evitando así la introducción de una variable Vp cuyo valor sea la valoración de la proposición p. El uso del concepto de variable en la teoría de razonamiento aproximado conduce a tratar dominios que no están dentro del ámbito de la lógica clásica, como es el caso de los problemas que tratan los sistemas expertos borrosos o los controladores borrosos. La teoría de razonamiento aproximado permite representar también cuantificadores lingüísticos como  y , que significan “para todo” y “existe” respectivamente, lo que facilita representar enunciados como: la mayoría de las personas de México son muy bajos de estatura”. Zadeh indicó que un cuantificador como “muy bajos” puede ser representado como un subconjunto borroso sobre el universo del discurso. Los cuantificadores aproximados se usan para representar conocimiento de sentido común. Una extensión de la teoría del razonamiento aproximado es la posibilidad de tratar con ella conocimiento prototípico, Reiter [8] sugirió una aproximación a la representación de conocimiento común y usando reglas por defecto y Yager lo estudió en el marco de la teoría de razonamiento aproximado[11]. La lógica binaria puede ser vista como un caso especial de la teoría del razonamiento aproximado en el cual los conjuntos base tienen dos elementos {V,F} y los grados de pertenencia se restringen a 1 ó 0. La lógica posibilista puede ser vista como una extensión de ésta, en tanto que, aunque se restringen los conjuntos base de

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valores a T y F, se permiten que los grados de pertenencia sean números en el intervalo [0,1]. La Lógica Borrosa es extendida de la lógica binaria permitiendo su formalización en términos de la teoría del razonamiento aproximado. Así, si p es verdadero, alcanzará la representación de Vp como {1/T, 0/F}; si p es falso, Vp es {0/T, 1/F}. La proposición Vp {1/T, 1/F}, indica que el valor de verdad de la proposición es desconocido. En cualquiera de los casos, el conjunto base asociado al valor de verdad de la proposición p es {T, F}. La regla principal de inferencia en lógica clásica es su modo de razonamiento modus ponens, que consiste en que si se tiene la regla A → B, es decir, se da por hecho que de A se puede concluir B. Como ejemplo podemos exponer un sistema inteligente de riego, donde tenemos dos conjuntos de temperatura y humedad, asociados a un nivel de riego, determinando la siguiente regla “Si la temperatura es fría, entonces la humedad es media”, si se da cierto que la temperatura es “fria”, entonces se podrá concluir que la humedad es “media”. En Lógica Borrosa, se puede generalizar esta regla conocida como el modus ponens generalizado, quedando el esquema de la siguiente forma: Regla: Si x es A, entonces y es B. Hecho: x es A’ Conclusión: y es B’

Por ejemplo, la regla se puede definir como “Si la temperatura es fría y la humedad es media, entonces riego mucho”, es decir de dos conjuntos borrosos se deriva otro conjunto borroso. Si suponemos que las variables no están relacionadas por una función, sino por cualquier relación, y esa relación es una relación binaria borrosa en el universo x . y son conjuntos borrosos en X e Y respectivamente. Si conocemos y podríamos conocer , por medio de la Regla composición de inferencia:

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Control Borroso La teoría de conjuntos borrosos es usada en muchos campos técnicos como control, modelado, procesamiento de imágenes y señales, sistemas expertos, etc., pero es quizás en el campo del control su más frecuente y exitosa aplicación. Se debe tener en cuenta que los sistemas con controladores borrosos son naturalmente no lineales, se les puede configurar para ajustarse a cualquier función, es decir que pueden emular funciones lineales pero en general se trabaja con configuraciones no lineales [4,5,10]. En general, se trabaja con configuraciones no lineales, por lo que las herramientas de diseño y análisis de control lineal no serán útiles en estos sistemas borrosos, de cualquier manera se hacen aproximaciones lineales para utilizar en alguna medida las herramientas bien conocidas del control lineal, se puede recurrir a esto ya que aún están en desarrollo las herramientas de diseño y análisis de sistemas borrosos.

Estructura de un controlador borroso Un controlador borroso está compuesto de los siguientes tres pasos de cálculo: fuzzificación, inferencia difusa y defuzzificación. Las reglas lingüísticas integradas en la base de reglas del controlador, implementan la estrategia de control en base al conocimiento o experiencia de ingeniería que se tiene sobre la aplicación a controlar. Un controlador borroso tiene una estructura estática y determinística, como se muestra en la figura 2, la cual se puede describir con una curva de características de entrada y salida.

Fig. 2. Estructura Interna de un Controlador Borroso.

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Fuzzificador La entrada de un sistema de lógica difusa tipo mandami[17], normalmente es un valor numérico, por ejemplo de un sensor, y para que este valor pueda ser procesado por el sistema difuso, se hace necesario convertirlo a un "lenguaje" que el mecanismo de inferencia pueda procesar. Esta es la función del fuzzificador, que toma los valores numéricos provenientes del exterior y los convierte en valores "difusos" que pueden ser procesados por el mecanismo de inferencia. Estos valores difusos son los niveles de pertenencia de los valores de entrada a los diferentes conjuntos difusos en los cuales se ha dividido el universo de discurso de las diferentes variables de entrada al sistema.

Mecanismo de inferencia difusa Teniendo los diferentes niveles de pertenencia arrojados por el fuzzificador, los cuales deben ser procesados para generar una salida difusa. La tarea del sistema de inferencia es tomar los niveles de pertenencia para que, apoyado en la base de reglas, pueda generar la salida del sistema difuso.

Base de Reglas Difusas La base de reglas es la manera que tiene el control borroso de guardar el conocimiento lingüístico que le permite resolver el problema para el cual ha sido diseñado. Estas reglas son del tipo IF-THEN. Una regla de la base de reglas o base de conocimiento tiene dos partes: el antecedente y la conclusión. En la figura 3 se observa esta situación. If la entrada es baja entonces la salida es alta

Antecedente

Consecuente

Fig. 3. Antecedente y consecuente de la base de reglas borrosas.

En un sistema difuso tipo mandami tanto el antecedente como el consecuente de las reglas están dadas por expresiones lingüísticas.

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Defuzzificador La salida que genera el mecanismo de inferencia es una salida difusa, lo cual significa que no puede ser interpretada por un elemento externo (por ejemplo un controlador) que sólo manipule información numérica. Para lograr que la salida del sistema difuso pueda ser interpretada por elementos que sólo procesen información numérica, hay que convertir la salida difusa del mecanismo de inferencia; este proceso lo realiza el fuzzificador. La salida del mecanismo de inferencia es un conjunto difuso resultante y para generar la salida numérica a partir de este conjunto, existen varias opciones como el Centroide [3] y los Centros Promediados, entre otros[17].

Conclusiones Las ciencias que estudian el mundo real resultan ser, en general, insuficientes para controlar y estudiar el comportamiento y llevan implícito, algún tipo de cuantificador meramente subjetivo, sin embargo, la lógica borrosa ha resultado ser una herramienta importante, por la estrecha relación con los sistemas de control. Se puede decir que esta disciplina es un arma apropiada y útil en campos con futuro y que ha sido objeto de múltiples estudios, como en el caso de la inteligencia artificial, la robótica y el desarrollo de nuevas tecnologías que promuevan la facilidad de las tareas del mundo real y la vida cotidiana. Sin embargo, hay que reflexionar que falta mucho para la emulación del razonamiento humano, pero sin duda la lógica borrosa seguirá siendo una herramienta con un gran potencial para ser utilizada en diferentes áreas en el campo de la investigación, por lo que se consideró importante mencionar en este estudio algunos de los conceptos más relevantes de la lógica borrosa, como son: los conjuntos borrosos, la teoría del razonamiento aproximado y el control borroso, de tal manera que el lector obtenga un conocimiento inicial para adentrarse en este tema.

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