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La ley de Betz De Wikipedia, la enciclopedia libre

Esquema del flujo de fluido a través de un actuador en forma de disco. Para una densidad constante de fluido área de sección transversal varía inversamente con la velocidad.

La ley de Betz calcula la potencia máxima que puede ser extraída del viento, independiente del diseño de una turbina eólica en el flujo abierto. Fue publicado en 1919, por el físico alemán Albert Betz . [1] La ley se deriva de los principios de conservación de la masa y el impulso de la corriente de aire que fluye a través de un "disco actuador" idealizada que extrae energía de la corriente de viento. De acuerdo con la ley de Betz, sin turbina puede capturar más de 16/27 (59,3%) de la energía cinética en energía eólica. El factor de 16/27 (0,593) se conoce como coeficiente de Betz. Turbinas de viento utilidad de escala práctica lograr en el pico de 75% a 80% del límite de Betz. [2] [3] El límite de Betz se basa en un dispositivo de accionamiento de disco abierta; si un difusor se utiliza para recoger el flujo de viento adicional y dirigir a través de la turbina, más energía se puede extraer. Sin embargo, este tipo de turbinas envueltos son costosos de construir en unidades, debido a la estructura adicional que se requiere a escala comercial. [4]

Conceptos [ editar ]

Simple caricatura de dos moléculas de aire muestra por qué los aerogeneradores no se pueden ejecutar realmente en una eficiencia del 100%.

Ley de Betz se aplica a todos los fluidos newtonianos , pero este artículo utilizará el viento como un ejemplo. Considere que si toda la energía que viene de movimiento del viento a través de una turbina se extrajo en forma de energía útil la velocidad del viento después bajaría a cero. Si el viento dejó de moverse a la salida de la turbina, a continuación, sin viento más fresco podría entrar - que sería bloqueado. A fin de mantener el viento en movimiento a través de la turbina tiene que haber algún movimiento viento, aunque sea pequeña, en el otro lado con una velocidad del viento mayor que cero. La ley de Betz muestra que a medida que el aire fluye a través de la zona, y cuando se retarda de la pérdida de energía para la extracción de una turbina, debe extenderse a un área más amplia. Como resultado la geometría limita cualquier eficiencia de la turbina a 59,3%.

Tres descubrimientos independientes del límite de eficiencia de la turbina [ editar ] El científico británico Frederick W. Lanchester deriva el mismo máximo en 1915. El líder de la escuela rusa aerodinámica, Zhukowsky , también publicado el mismo resultado para una turbina de viento ideal en 1920, el mismo año que hizo Betz. [5] Por tanto, es un ejemplo de la ley de Stigler .

Relevancia económica [ editar ] El límite de Betz coloca un límite superior en la energía anual que se puede extraer en un sitio. Incluso si un viento sopló hipotético consistente durante todo un año, no más que el límite de Betz de la energía contenida en el viento de ese año podría ser extraído. En la práctica, el factor de capacidad anual de un sitio de viento varía alrededor de 25% a 60% de la energía que se podría generar con el viento constante. Esencialmente creciente eficiencia económica del sistema de resultados de aumento de la producción por unidad (por metro cuadrado molino de viento de la exposición de paletas u otro componente del sistema, tales como la transmisión) Aumenta en la eficiencia del sistema, que son disminuciones marginales en el costo por kWh se requieren para reducir el costo de la electricidad la producción de energía. Estos aumentos de eficiencia pueden o no pueden ser el resultado de la eficiencia de ingeniería que empujan en los niveles más altos del límite de Betz. Aumenta la eficiencia del sistema de aplicación de potencia, transmisión o almacenamiento pueden hacer lo mismo a menor costo / unidad de potencia.

Prueba [ editar ] Se muestra la máxima energía posible - conocido como el límite de Betz - que pueden derivarse por medio de un rotor infinitamente delgada de un fluido que fluye a una velocidad determinada. Con el fin de calcular la eficiencia máxima teórica de un rotor delgado (de, por ejemplo, un molino de viento ) uno se imagina que para ser reemplazado por un disco que retira energía del fluido que pasa a través de él. A una cierta distancia detrás de este disco el fluido que ha pasado a través de flujos con una velocidad reducida.

Supuestos [ editar ] 1. El rotor no posee un concentrador, se trata de un rotor ideales, con un número infinito de hojas que no tienen ningún arrastre. Cualquier fricción resultante sólo bajar este valor idealizado.

2. El flujo dentro y fuera del rotor es axial. Este es un análisis de control de volumen, y para la construcción de una solución del volumen de control debe contener todo el flujo que entra y sale, el fracaso para dar cuenta de que el flujo violaría las ecuaciones de conservación. 3. El flujo es incompresible. Densidad permanece constante, y no hay transferencia de calor.

Aplicación de conservación de la masa (ecuación de continuidad) [ editar ] La aplicación de conservación de la masa a este volumen de control, la tasa de flujo de masa (la masa de fluido que fluye por unidad de tiempo) está dada por:

Dotm= rhoA1v1= rhoSv= rhoA2v2 donde v es la velocidad 1 en la parte frontal del rotor y v 2 es la velocidad aguas abajo del rotor, y v es la velocidad a la que el dispositivo de alimentación de fluido. ρ es la densidad del fluido, y el área de la turbina está dada por S . La fuerza ejercida por el viento por el rotor puede ser escrito como

BeginalignF=may[6pt]Y=m fracdvdt[6pt]Y= dotm Deltav[6pt]Y= rhoSv(v1−v endalign Potencia y trabajo [ editar ]

2)

El trabajo realizado por la fuerza se puede escribir de forma incremental como

dE=F cdotdx y el poder (tasa de trabajo realizado) del viento es

P= beginmatriz fracdedt endmatriz=F cdot beginmatriz fracdxdt endmatriz=F cdotv Ahora la sustitución de la fuerza F calculada anteriormente en la ecuación de energía producirá la potencia extraída del viento:

P= rho cdotS cdotv2 cdot(v1−v2) Sin embargo, la energía se puede calcular de otro modo, mediante el uso de la energía cinética. Aplicando la ecuación de conservación de la energía a los rendimientos de volumen de control

P= beginmatriz frac DeltaE Deltat endmatriz = Beginmatriz frac12 endmatriz cdot dotm cdot(v21−v22) Mirando hacia atrás en la ecuación de continuidad, una sustitución de la tasa de flujo de masa se obtiene la siguiente

P= beginmatriz frac12 endmatriz cdot rho cdotS cdotv cdot(v21−v22) Ambas de estas expresiones para poder son completamente válido, uno se derivó mediante el examen de la obra incremental de hecho y el otro por la conservación de la energía. Igualando estas dos expresiones rendimientos

P= beginmatriz frac12 endmatriz cdot rho cdotS cdotv cdot(v21−v22)= rho cdot S cdotv2 cdot(v1−v2) El examen de las dos expresiones equiparados produce un resultado interesante, principalmente

Beginmatriz frac12 endmatriz cdot(v21−v22)= beginmatriz frac12 endmatriz c dot(v1−v2) cdot(v1+v2)=v cdot(v1−v2) o

v= beginmatriz frac12 endmatriz cdot(v1+v2) Por lo tanto, la velocidad del viento en el rotor puede ser tomada como el promedio de las velocidades de aguas arriba y aguas abajo. (Esta es posiblemente la etapa más contrario a la intuición de la derivación de la ley de Betz.)

La ley y el coeficiente de rendimiento de Betz [ editar ] Volviendo a la expresión anterior para poder basado en la energía cinética:

PuntoE= beginmatriz frac12 endmatriz cdot dotm cdot left(v21−v22 right) = Beginmatriz frac12 endmatriz cdot rho cdotS cdotv cdot left(v21−v22 right) = Beginmatriz frac14 endmatriz cdot rho cdotS cdot left(v1+v2 right) cdot left( v21−v22 right) = Beginmatriz frac14 endmatriz cdot rho cdotS cdotv31 cdot left(1− left( fracv2 v1 right)2+ izquierda( fracv2v1 right)− left( fracv2v1 right)3 right).

El eje horizontal refleja la relación v 2 / v 1, el eje vertical es el "coeficiente de potencia [1] "Cp.

Por la diferenciación PuntoE con respecto a Fracv2v1 para una velocidad v fluido dado 1 y un área dada S se encuentra el valor máximo o mínimo para PuntoE . El resultado es que PuntoE alcanza el valor máximo cuando Beginmatriz fracv2v1= frac13 endmatriz . Sustituyendo este valor en los resultados:

P max= beginmatriz frac1627 cdot frac12 endmatriz cdot rho cdotS cdotv31. La potencia obtenible a partir de un cilindro de fluido con el área de la sección transversal S y la velocidad v 1 es:

P=C mathrmp cdot beginmatriz frac12 endmatriz cdot rho cdotS cdotv31. La potencia de referencia para el cálculo de la eficiencia Betz es la potencia en un fluido en movimiento en un cilindro con sección transversal área S y la velocidad v 1:

P rmviento= beginmatriz frac12 endmatriz cdot rho cdotS cdotv31.

El "coeficiente de potencia [6] "C p (= P / viento P) tiene un valor máximo de: C = 16/27 = p.max 0,593 (o el 59,3%, sin embargo, los coeficientes de rendimiento se suelen expresar como un decimal, no un porcentaje). Grandes aerogeneradores modernos alcanzar valores máximos para C p en el intervalo de 0,45 a 0,50, [2] aproximadamente 75% a 85% de la teóricamente posible máximo. En alta velocidad del viento cuando la turbina está funcionando a su potencia nominal gira la turbina (lanzamientos) sus hojas para reducir C p para protegerse del daño. El poder en el viento aumenta por un factor de 8 12,5-25 m / s, por lo que C p debe caer en consecuencia, conseguir un precio tan bajo como 0,06 para vientos de 25 m / s.

La comprensión de los resultados Betz [ editar ] Los resultados Betz son a primera vista un poco difícil de entender. Por ejemplo, ¿por qué es la máxima eficiencia Betz 59,3%, cuando una relación de velocidad de [V 2 / V 1 = 0,333] implica el aire que pasa a través del rotor ha perdido el 88,9% de su energía cinética? El lado izquierdo de la curva de Betz muestra una eficiencia máxima del 50% cuando el aire que sale (V 2) no tiene velocidad axial. ¿Es esto realista? La respuesta a la segunda pregunta es fácil. 50% de eficiencia en [V 2 = 0] no es realista, el modelo se rompe a velocidades muy bajas de salida. El modelo asume Betz un fluido de densidad constante y que implica el área de la sección transversal del flujo varía inversamente con la velocidad axial. En [2 V = 0], el área de sección transversal es infinito!Matemáticamente el aire que sale no "se acumulan", ya que se está extendiendo radialmente, pero las energías cinéticas radiales no se contabilizan en el modelo de Betz. Para demostrar que el 59,3% de eficiencia de Betz es de hecho consistente con una pérdida de 88,9% de la energía cinética en el aire que pasa a través del rotor una imagen física es útil. Las ecuaciones para potencia extraída del flujo de aire se aplican a la 'botella de leche' de flujo en forma mostrada en la figura al principio de este artículo. El flujo de aguas arriba (V 1) tiene un área de sección transversal menor que el área del rotor S. A medida que el flujo se aproxima a la del rotor, empieza a perder energía, y a medida que pasa a través del rotor las ecuaciones muestran que se expande a exactamente el área del rotor S. El último paso en el cálculo de la eficiencia de Betz C p es dividir la potencia calculada extraída del flujo por un valor de potencia de referencia. El análisis Betz utiliza para su referencia de potencia, razonablemente, el poder de aire aguas arriba moviéndose a 1 V contenida en un cilindro con el área de la sección transversal del rotor (S).La clave para entender por qué el límite de Betz es más bajo que implica la relación de velocidad es entender que una parte del aire en el cilindro de referencia Betz no pasa a través del rotor. El área del flujo que va a pasar a través del rotor está aguas arriba menor que el área del rotor. Se expande a la zona del rotor ya que llega al rotor, lo que implica que aproximadamente la mitad de la transferencia de energía desde el aire al rotor se produce antes del paso a través del rotor. Por lo tanto, debe ser el caso de que el aire a las afueras del flujo es empujado radialmente hacia fuera como el rotor se acercó lo suficiente como para que no pasa por el rotor. Las ecuaciones Betz no incluyen cualquiera de los términos para el aire que pasa por el rotor, su contribución a la potencia extraída se supone que es cero. Como comprobación, calculamos las condiciones en el límite de Betz: eficiencia 59,3% en [V 2 / V 1 = 0,333]. Las ecuaciones muestran la velocidad de flujo en el rotor es el (aritmética) promedio de V 1 y V 2, o [V 1 (1 + 0.333) / 2 = 0,666 V 1]. Por fluido de densidad constante el producto de la velocidad y el área son constantes en todas partes a lo largo del flujo, por lo que [V × 1 A 1 = 0.666 V 1 × S], donde A 1 es el área del flujo de la corriente en V 1. Así, un 1 / S = 0,666, es decir, sólo 2/3 del aire en el cilindro de referencia aguas arriba eventualmente pasar a través del rotor y contribuir a la potencia extraída. Por lo tanto el denominador en el cálculo de la eficiencia Betz es (en efecto) inflada por 3/2, por lo que la

eficiencia sobre la base de los cambios de velocidad (88,9%) debe ser escalada por inverso de 3/2, o 2/3. [88,9% × 0,666 = 59,3%] nos da el límite de Betz. Los cheques. El modelo de Betz también se puede utilizar para estimar la velocidad del aire aguas abajo de las turbinas de viento real. La energía cinética del viento depende de la velocidad al cuadrado, por lo que si un gran aerogenerador moderno está extrayendo energía media del viento, que es posible, a continuación, a partir de consideraciones de energía, parece que la velocidad del aire aguas abajo (V 2) debe ser 0.707 veces el aire aguas arriba velocidad (V 1). Pero esto no es lo que la curva de Betz muestra. Resolviendo la ecuación [Betz para C p = 0,50] [rendimientos V 2 V / V 1 = 0,617] con 81% del aire en el cilindro de referencia aguas arriba en realidad va a través de la hoja de círculo, y el 19% sin pasar por las cuchillas debido a una radial empujar hacia afuera desde el flujo de aire que se expande interior cuando se aproxima a las cuchillas.

Puntos de interés [ editar ] Tenga en cuenta que el análisis anterior no tiene ninguna dependencia de la geometría, por lo tanto S puede adoptar cualquier forma, siempre que el flujo se desplaza axialmente desde la entrada al volumen de control a la salida, y el volumen de control tiene las velocidades de entrada y salida uniformes. Tenga en cuenta que los efectos extraños sólo pueden disminuir el rendimiento de la turbina desde este análisis fue idealizado hacer caso omiso de la fricción. Cualquier efecto no ideal sería en detrimento de la energía disponible en el fluido entrante, bajando las eficiencias globales. Ha habido varios argumentos esgrimidos sobre este límite y los efectos de las boquillas, y hay una dificultad distinta cuando se consideran dispositivos de potencia que utilizan el área más capturado que el área del rotor. Algunos fabricantes e inventores han hecho afirmaciones de límite superior a la de Betz por hacer precisamente esto; en realidad, sus supuestos iniciales están equivocados, ya que están utilizando una sustancialmente mayor A1 que el tamaño de su rotor, y esto sesga su número eficiencia. En realidad, el rotor es igual de eficiente que lo que sería sin el dispositivo de boquilla o de captura, pero mediante la adición de un dispositivo de este tipo a hacer más potencia disponible en el viento aguas arriba del rotor. Observación: Si utilizamos el medio siguiente (media armónica) de las velocidades

V textoavg= frac2 frac1V1+ frac1V2= frac2V1V2V1+V2 Para tomar el lugar de V textoavg=(V1+V2)/2 , Entonces si V2=0 entonces V textoavg=0 para cualquier valor de V1 (Impacto sin movimiento). El cálculo es muy simple y da una salida de 50%.

El desarrollo moderno [ editar ] En 1935 H. Glauert deriva la expresión para la eficiencia de la turbina, cuando se toma la componente de la velocidad angular en cuenta, mediante la aplicación de un balance de energía a través del plano del rotor. [7] Debido a la modelo Glauert, la eficiencia está por debajo del límite de Betz, y se acerca asintóticamente este límite cuando la relación de velocidad punta tiende a infinito. En 2001, Gorban , Gorlov y Silantyev introdujeron un modelo exactamente solucionable (SGG), que considera la distribución de la presión no uniforme y el flujo curvilíneo a través del plano de la turbina (asuntos no incluidos en el enfoque de Betz). [8] El modelo SGG predice que el pico la eficiencia se logra cuando el flujo a través de la turbina es de aproximadamente 61%, que es muy similar al resultado Betz de 2/3, pero el GGS predijo la máxima eficiencia es mucho menor: 30,1%.Recientemente, los cálculos viscosas de dinámica de fluidos computacional se aplicaron (CFD), para cerrar el modelado de la turbina satisfactorio con el

experimento. [9] la eficiencia óptima computarizada es, por lo general, entre el límite de Betz y la solución SGG.