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Mate mátic a Finan ciera KATHERINE VALENCIA TERCERO “B” AMORTIZACIÓN 21/02/2017

9. Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda de $5000.00 con intereses al

4

1 2

% en 12 años

Datos: i=4

1 2

Deuda = $5000.00 Formula: n

1+i¿ −1 ¿ (¿ i¿) ¿ F= A ¿ n

1+i¿ −1 (¿¿) Fi ¿ A=¿

1+0.02 ¿12−1 ( ¿¿) 5000∗0.02 ¿ A=¿

A=

100 ( 0.268241794 )

A=$ 548.33

10. Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de $5000.00 con intereses al 4% convertible trimestralmente, en 10 años.

Datos: n=10(4 ) n=40

i=

0.04 4

F=$ 5000 Fórmula: n

1+ i¿ −1 ¿ (¿ i¿) ¿ F=A (1+i)¿

(

0.04 1+ −1 ( 4 ) 0.04 5000= A ( 1+ 4 ) ( 0.044 )

(

)

¿ 0.04 1+ ¿ 4 5000 ¿ A=¿

)

A=$ 152.80

11. Una deuda de $10000.00 con interés al 6% convertible trimestralmente está siendo amortizada mediante pagos trimestrales iguales durante los próximos 8 años. Hallar a) El capital insoluto justamente después del 12vo pago.

b) El capital insoluto justamente antes del 15vo pago. c) La distribución del 20vo pago respecto al pago del interés y a la reducción del capital. Datos: i=

0.06 4

Deuda = $10000.00 n=8 (4) n=32

a) El capital insoluto justamente después del 12vo pago. Formula: 1+i¿ n−1 ¿ (¿ i¿) ¿ F= A ¿ 1+i¿ n−1 (¿¿) Fi ¿ A=¿

0.06 −3 ¿ 4 1−(¿¿) 10000∗0.06 4 ¿ A=¿ 1+

A=$ 6794.83

b) El capital insoluto justamente antes del 15vo pago. Formula: 1+i¿ n−1 ¿ (¿ i¿) ¿ F= A ¿ 1+i¿ n−1 (¿¿) Fi ¿ A=¿

0.06 −3.9 ¿ 4 1−(¿¿) 10000∗0.06 4 ¿ A=¿ 1+

A=$ 6295,77

c) La distribución del 20vo pago respecto al pago del interés y a la reducción del capital. Formula: 1+i¿ n−1 ¿ (¿ i¿) ¿ F= A ¿

n

1+i¿ −1 (¿¿) Fi ¿ A=¿

0.06 −5 ¿ 4 1−(¿¿) 10000∗0.06 4 ¿ A=¿ 1+

A=$ 326,13

12.- una persona obtiene un préstamo de 10000 con intereses de

312

. la deuda será liquidada mediante un pago de 2500 al termino

de cuatro años seguido de cuatro pagos iguales a.- hallar el pago periódico necesario.- hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico c.- ¿Qué parte del pago se aplica al pago de interés?

1−(1+0,035) [¿¿−4]=1684,36 ( 10000 )∗(0,035) A= ¿ 1−(1+0,035) [¿¿ 3]=4718.96 ( 10000 )∗(0,035) A= ¿ 13.- Construir una tabla para la amortización de: Una deuda de 4000 con interés del 4% mediante cinco pagos anules iguales:

Semestre

Capital

Interés

Interés final

1 2 3 4 5

4000 4160 4326 4499.056 4679,01

ganado 160 166.4 173.056 179.96 187.16

4160 4326.4 4499.056 4679,01 4866.170

Una deuda de 6000 de interés al 6% convertible semestralmente mediante 6 pagos semestrales iguales Semestre

Capital

Interés

Interés final

1 2 3 4 5 6

6000 6180 6365.4 6556.36 6753.050 6955.641

ganado 180 185.4 190.96 196.69 202.59 208.66

6180 6365.4 6556.36 6753.050 6955.641 7164.3102

14. Construir una tabla para el pago de una deuda de $200.000, en bonos de $1000 que devengan intereses al 3%, durante un periodo de 5 años, procurando que el costo anual sea lo más igual posible. 1−(1+0,03) [¿ ¿−5]=43.670,91428 ( 200.000 )∗(0,03) A= ¿ I =200.000∗0,03=6.000

0 1 2 3 4 5

Amortización

Interés

Abono

37.670,91428

6.000,00

43.670,9142

Saldo 200.000,00 162.329,0857

4.869,87257

8 43.670,9142

2 123.528,04401

3.705,84132

8 43.670,9142

83.562,97105

2.506,88913

8 43.670,9142

42.398,94590

1.271,96838

8 43.670,9142

-

38.801,04171 39.965,07296 41.164,02515 42.398,94590

8 15. Construir una tabla para el pago de 5 bonos de $10.000 cada uno, 20 bonos de $1000 cada uno, 35 bonos de $500 cada uno y 125 bonos de $100 cada uno, pagando 4% por los próximos 6 años, procurando que el costo anual sea lo más igual. 10.000∗5=50.000

1000∗20=20.000 500∗35=17.500

100∗125=12.500 Deuda=50.000+20.000+17.500+12.500=100.000

1−(1+ 0,04) [¿ ¿−6 ]=19.076,19025 ( 100.000 )∗(0,04 ) A= ¿ I =100.000∗( 0,04 )=4000

0 1 2 3 4 5 6

Amortización 15.076,19025 15.679,2379 16.306,4074 16.958,6637 17.637,0103 18.342,4905

Interés 4.000

Abono 19.076,1902

Saldo 100.000 84.923,8098

3.396,9524

5 19.076,1902

69.244,5719

2.769,7829

5 19.076,1902

52.938,1645

2.117,5266

5 19.076,1902

35979,5008

1.439,1800

5 19.076,1902

18.342,4905

733.6996

5 19.076,1902

-

5

16. Hallar el importe del depósito anual que es necesario hacer en un fondo de amortización que pago el 4,5% efectivo, para liquidar una deuda de $25.000 con vencimiento en 10 años.

A=

25.000(0.045) ( 1+0.045 )10−1

A=2034,47 17. Una empresa obtiene un préstamo de $50.000 en 10 años acordados pagar intereses de 5% al final de cada año y al mismo tiempo, establecer un fondo de amortización para el pago del capital. a) Hallar el costo anual de la deuda si el fondo paga 3,5%

A=

50.000(0.035) ( 1+0.035 )10−1

A=4.262,07 b) ¿Cuánto habrá en el fondo justamente después del 7mo año? AÑOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CANTIDAD INICIAL 0 4262,07 8673,31 13238,95 17964,38 22855,20 27917,20 33156,37 38578,91 44191,24

INTERES 0 149,17 303,57 463,36 628,75 799,93 977,10 1160,47 1350,26 1546,69

DEPOSIT O 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07 4262,07

MONTO FINAL 4262,07 8673,31 13238,95 17964,38 22855,20 27917,20 33156,37 38578,91 44191,24 50000,00

c) Que tanto del incremento al fondo en la fecha del 5 to deposito es debido a interés. Habrá incrementado $628,75

18.- Una deuda de $75000 va a ser liquidado al término de 20 años, teniéndose que pagar interese del 4% convertible trimestralmente, cada tres meses. Puede establecerse un fondo de amortización mediante depósitos trimestrales iguales, el primero de los cuales vencería en tres meses, ganando el fondo de intereses de 3% convertible trimestralmente:

Hallar el costo trimestral de la deuda: Datos : 4 i: =1=0.01 4

D:75000

3 i 1 : =0.0075 4

n :20 x 4=80

El cargo por intereses es de 75000 ( 0.01 )=750

A=F

(

1 (1+i )n−1 i

A=75000

(

)

1 ( 1+0.0075 )80−1 0.0075

)

A=687.6158

El costo trimestral de la deuda es :687.6158+750=1437,62 La tasa nominal convertible trimestralmente a la cual podría ser amortizada la deuda con el mismo gasto trimestral: 1

j=m ( 1+i ) m −1 1 20

j=20 ( 1+0.04 ) −1 j=19.04 anualmente

j=4,75.04 trimestralmente 19. El 1 de junio de 1960, una institución empezó a hacer depósitos anuales de R cada uno en un fondo que produce el 3% efectivo, para poder disponer de $ 15000 anuales durante los siguientes 5 años, con los cuales redimirá unos bonos emitidos. Los primeros bonos vencen el 1 de junio de 1970. Hallar R si el último deposito en el fondo se hace, (a) el 1 de junio de 1970, (b) el 1 de junio de 1974.

1+i ¿ ¿ 1−¿ 15000 ( i ) A= ¿

A=

15000

[(

1− 1+

0.03 12

−48

) (

+ 1+

0.04 12

−72

)

]

1.0025 ¿ ¿ a 48 .0025+a72 .0033¿ 15000 A= ¿ 1.00 ¿ ¿

1 4

1 1 a 48 .00 +a72 .00 ¿ 4 3 15000 A= ¿ A=15000 (1+ a 4.03)

1 s111.03 .

20. Construir una tabla para acumular, (a) $ 6000 mediante depósitos anuales iguales, al término de cada uno de los próximos 4 años, en un fondo que produce el 3% efectivo, (b) $8000 mediante depósitos anuales iguales, al término de cada uno de los próximos 5 años en un fondo que produce el

Inciso (a), datos: Deuda= 6000 Cada 4 años t= 3%=0.03

212 efectivo.

A=

6000 ( 0.03 ) ( 1+0.03 )4 −1

A=¿ 1434.162271

Año s 1

Cantidad inicial

Interés

Deposito

Monto final

0

0

1434.162271

2

1434.162271

43.02

3

2911.344542

87.34

4

4432.846813

132.98

1434.16227 1 1434.16227 1 1434.16227 1 1434.16227 1

2911.344542 4432.846813 5999.98908 4

Inciso (b), datos: Deuda= 8000 Cada 5 años t= A=

212

=2.5=0.025

8000 ( 0.025 ) ( 1+0.025 )5−1

A=¿ 1521.974887 N

Cantidad inicial

Interés

Deposito

Monto final

1

0

0

1521.974887

2

1521.974887

3

3081.999146

4

4681.024012

5

6310.024499

38.0493721 8 77.0499786 5 107.025600 3 157.750612 5

1521.97488 7 1521.97488 7 1521.97488 7 1521.97488 7 1521.97488 7

3081.999146 4681.024012 6310.024499 7989.74999 9

21. Una cierta maquinaria cuyo costo es $ 1500, se estima que tendrá una vida útil de 5 años y al tiempo de dicho periodo un valor de salvamento de $ 200. Preparar una tabla de depreciación utilizando el método de fondo de amortización con intereses al 5%. $ 1500 VS= $200 t= 0,05 A=

1500 ( 0.05 ) ( 1+0.05 )5−1

A=¿ 271,4621972

N

Cantidad inicial

0 1

271,3264661

2

270,8478604

3

270,9832844

4

271,118776

5

271,2543354

Interés 0,1357310 986 0,6143367 67 0,4789128 368 0,3434211 946 0,2078618 066

Deposito

Monto final

271,4621972

1500 1228,673534

271,4621972

957,8256736

271,4621972

686,8423892

271,4621972

415,7236132

271,4621972

199.469299 8

22. Para depreciar una maquinaria, cuyo valor es $40.000 y un valor de salvamento de $5.000, al término de 25 años, se utiliza el método de fondo de amortización con intereses al 4%. Hallar el valor en libro al término de 15 años

A=

Fi [ (1+ i)n−1 ]

0,04 ( 12 ) A= [(1+ 0,0412 ) −1] 40000

25

A=1536,92

MONTO 15 AÑOS(1536,92)(15)=23.053,84 23. Se estima que una maquina con costo de $6.400 tendrá una vida útil de 8 años y al termino de los cuales un valor de salvamento de $400. Hallar el valor en libros del quinto año si se utiliza el método de fondo de amortización con interés al 3%

A=

Fi ( 1. i ) [(1+i )n−1 ]

0,03 ( 12 ) A= [(1+ 0,0312 ) −1] 6400

8

A=793,0262 MONTO 5 AÑOS(793,0262)(5)=3.965,13 24. Se espera que una mina de carbón tenga un rendimiento anual de $30 .000 por los próximos 25 años. Hallar el precio de compra sobre la base de un rendimiento de 7% anual, suponiendo que el fondo de rembolso produce el 4%

30.000(1,07)

[

1−(1,07)−25 0,07

]

374080,02−4 374080,02=$ 359.116,82 26. M paga $25000 por los derechos sobre la patente de un invento,

1

por 10 años. Si puede acumularse un fondo de amortización al 3 2 % ¿qué ingreso anual le producirá 8% sobre su inversión?

e 0.035 =(1+i )10 10

i= √e 0.035−1 i=0.0035

(1+ 0.0035 )10−1 25000= A 0.0035

(

A=

)

(25000)( 0.0035) (1+0.0035)10 −1

A=2460.88

I =25000−10 (2460.88) I =391.12 27. Se espera que una mina de carbón con costo de $225000 produzca un ingreso anual de $25000 en los próximos 20 años. Suponiendo que puede establecerse un fondo de amortización con rendimiento de 4% ¿Qué tasa de interés ganara el comprador?

1−(1+0.04) [¿¿−20]=16555.9 ( 225000 )∗(0,04) A= ¿ 1−(1+0,04 ) [¿¿ 20]=839.5 ( 25000 )∗(0,04) A= ¿ 28. Una cierta maquinaria avaluada en %3000 tiene una vida útil de 3 años, produce 250 unidades anuales, y se gastan $ 750 anuales por mantenimiento. Hallar el costo unitario de producción C, si se desea un rendimiento de 4%, sobre la inversión. Sugerencia. El costo total anual es la sumatoria del costo anual del mantenimiento, del interés sobre la inversión y del cargo anual por depreciación. Por tanto.

750+3000 ( 0.04 ) +3000 C=

250

1 s3 ¬ .04

3

s 3 ¬.04 =

(1+0.04) −1 0.04

s 3 ¬.04 =3.1216

750+3000 ( 0.04 ) +3000 C=

1 3.1216

250

C=7.32

29. Un comprador puede escoger entre dos máquinas. La primera produce 100 unidades anuales, cuesta $2000, tiene una vida útil de 8 años y requiere $600 anuales para mantenimiento; la segunda 125 unidades anuales, cuesta $2500, la vida útil es de 10 años y requiere $750 anuales para mantenimiento. Comparar el costo unitario en cada máquina suponiendo que se desea un rendimiento de 3 ½%. Máquina 1 Unidades Costo Vida útil Mantenimiento anual

600+ 2000 ( 0.035 )+ 3000 C=

1 s 8 ¬.035

100 8

(1+ 0.035) −1 s 8 ¬.035= 0.035

s 3 ¬.04 =9.0516 600+ 2000 ( 0.035 )+ 3000 C=

100

1 9.0516

100 $2000 8 años $600

C=8.90 Máquina 2 Unidades Costo Vida útil Mantenimiento anual

750+ 2500 ( 0.035 )+ 2500 C=

125 $2500 10 años $750

1 s 10 ¬.035

125 10

s 10 ¬.035=

(1+0.035) −1 0.035

s 3 ¬.04 =11.73139 750+ 2500 ( 0.035 )+ 2500 C=

1 11.73139

125

C=8.40

Costo Unitario

Máquina 1 $ 8.90

Máquina 2 $ 8.40

30. La máquina del problema 28 puede ser reacondicionada en tal forma que su vida útil sea de 5 años. Si en estas condiciones produce 300 unidades anuales y se necesitan únicamente $500 anuales para mantenimiento, ¿Cuánto debe estar dispuesto a gastar el propietario en el reacondicionamiento, sobre la base de 4%? Máquina 1

Antes

Reacondicionamiento

Después

Vida útil Rendimiento Unidades Mantenimient o Costo

8 años 3½% 100 $ 600

5 años 4% 300 $ 200

3 años 4% 400

$ 2000

$ 3600 2000 ( 0.04 ) x 2000 + 2000 100

Valor presente de una anualidad n= número intervalos

de

i = tasa interés período

de por

an ¬ i a3 ¬ .04

Máquina 2

Antes

Reacondicionamiento

Después

Vida útil

10 años 3½% 125 $ 750

5 años

5 años

4% 300 $ 200

4% 300

Rendimiento Unidades Mantenimient o

Costo

$ 2500

2500 ( 0.04 ) x 2500 2500$ 3000 + x2 125 5

Valor presente de una anualidad n= número intervalos

de

i = tasa interés período

de por

an ¬ i a5 ¬ .04

{

R= 400+ 3600

1 a3 ¬ .04

}

a5 ¬ .04−3000

31. Un préstamo de $ 4500 va a ser amortizado en los próximos 10 años mediante pagos mensuales iguales. La tasa de interés es de 3% convertible mensualmente durante los primeros 4 años y luego el 4% convertible mensualmente. Hallar el pago mensual. DATOS:

a1=1 a 2=1i=3 i=4 t=4 años t=6 años

1+i ¿ ¿ 1−¿ 4500 ( i ) A= ¿

A=

4500

[(

1− 1+

0.03 12

−48

) (

1.0025 ¿ ¿ a 48 .0025+a72 .0033¿ 4500 A= ¿

+ 1+

0.04 12

−72

)

]

1.00 ¿ ¿

1 4

1 1 a 48 .00 +a72 .00 ¿ 4 3 4500 A= ¿ 32. Demostrar que cuando un fondo de amortización puede ser acumulado a la misma tasa de interés que se está pagando por la deuda, el costo periódico de la deuda es igual al cargo periódico por amortización.

A=

Fi ( 1+i )n−1

i 12 A= =x i n 1+ −1 12 F

(

)

A=x deposito mensual

n ( x )=F 33. Una deuda está siendo amortizada al 5% mediante pagos de $ 500 anuales. Si el capital insoluto es $ 9282,57 justamente después del K- enésima pago, (a) ¿Cuándo era justamente después de (k-1) pago?, ¿Cuánto será justamente después del (k+1) pago? No usar tablas.

1+i ¿ ¿ ¿−n 1−¿ ¿ P= A ¿

[

− ( k−1 )

1−( 1+ 0.05 ) 9282,57=500 0.05 −k +1=−53.9999

]

k =55

+0.05 1¿ ¿ ¿−( 55−1 ) 1−¿ ¿ P=500 ¿ 1.05 ¿ ¿ ¿−54 1−¿ ¿ P=500 ¿ P=9282.57 1+0.05 ¿ ¿ ¿−( 55+1 ) 1−¿ ¿ P=500 ¿ 1.05 ¿ ¿ ¿−56 1−¿ ¿ P=500 ¿ P=9349.27 34. Un fondo de amortización está siendo acumulado al 3% mediante depósitos de$ 300,00 anuales. Si el fondo tiene $ 10.327,94 justamente después de k enésimo deposito.

1+ 0,03 ¿ ¿ ¿−n 1−¿ ¿ 10.327,94=300¿

( 1,03 )−n=

−10.327,94∗0,03 +1 300

−n∗log (1,03)=log −0,032794

n=

log 0,032 log 1,03

n=−155 A) ¿Cuánto tendrá justamente después de (k-1) depósitos?

1+0,03 ¿ ¿ ¿(−155−1) 1−¿ ¿ F=300 ¿ 1+0,03 ¿ ¿ ¿(−156) 1−¿ ¿ F=300 ¿

F=$ 9.735,86

B) ¿Cuánto tendrá justamente después del (k+1) depósitos?

1+ 0,03 ¿ ¿ ¿(−155+1) 1−¿ ¿ F=300 ¿ 1+0,03 ¿ ¿ ¿(−154) 1−¿ ¿ F=300 ¿ F=$ 10.937,78

35. Si una deuda A con intereses la tasa i por periodo de interés está siendo amortizada mediante pagos de R cada uno. Demostrar que el capital insoluto justamente después del k enésimo es: A (1+i)k-Rski

[ ]

A=R∗( 1+i )∗

( 1+i )k i

[ ]

( 1+i )k A =R∗(1+i )∗ Ski i A (1+i)k*RSKi

36. Si en el problema 35. A es el primer precio de compra de un activo. Demostrar que el interés del comprador por el activo, justamente después del k enésimo pago es: (R-Ai)Ski

[ ]

A=R∗( 1+i )∗

( 1+i )k i

[ ]

( 1+i ) A =R∗(1+i )∗ Ski i (R-Ai)*Ski

k