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• JOHN FREDY GOMEZ OSORIO

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TALLER 8 – TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

2)

Tema: Conteo de puntos de la muestra Regla de la multiplicación: Si una operación puede ejecutarse de n1 formas y si para cada una de éstas se pude llevar a cabo una segunda operación de n2 formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en n1n2n3…nk formas. Permutaciones: arreglos de objetos distintos tomados todos o parte de ellos, donde el orden en que se organizan en la uplas es importante:

¿De cuántas formas distintas se puede responder a una prueba de verdadero-falso que consta de nueve preguntas? n =9 posibilidades 2 2n=29=512 formas 3) Si una prueba de opción múltiple consiste en cinco preguntas cada una con cuatro posibles respuestas de las que solo una es correcta: a) ¿De cuántas maneras distintas puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta?, b) ¿De cuántas maneras puede un estudiante escoger una respuesta a cada pregunta y tener mal todas las respuestas?. n1,n2,n3,n4,n5 = 4.4.4.4.4 = 4^5 = 1024 diferentes formas de escoger una respuesta 4)

a) permutaciones de n objetos distintos, tomados n a la vez: n! b) Permutaciones de n objetos distintos, tomados k a la vez:

n

Pk 

n! ( n  k )!

c) Permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo: (n-1)! d) Permutaciones de n objetos de las que n1 son de una clase, n2 de una segunda

clase, …, nk de una k-ésima clase.

n! donde n1+n2+…+nk=n n1! n 2 !...n k !

Dado que el primer dígito es un 5, existen n1 = 9 posibilidades para el segundo dígito y luego n2 = 8 posibilidad es para el tercer dígito. Por lo tanto, por la regla de multiplicación hay n1n2 = (9) (8) = 72 registros a verificar 5)

e) Permutaciones con reemplazo: nk Combinaciones: Número de muestras posibles de tamaño k tomadas de una población de tamaño n. El orden dentro de las uplas no es importante. a)

b)

n

n!

Combinaciones sin reemplazo: n C k      k  ( n  k )! k! Combinaciones con reemplazo: n CRk 

(n  k  1)! (n  1)!k!

Un testigo de de un accidente de tránsito en que huye el culpable, dice a la policía que el número de placas tenía las letras RLH seguidas de tres dígitos, cuyo primer número es un 5. Si el testigo no puede recordar los últimos dos dígitos, pero tiene la certeza de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de placas de automóvil que la policía tiene que verificar.

En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos puede hacerse si: (1) los premios son diferentes; (2) los premios son iguales.

1) los premios son diferentes Es una permutación de 10 elementos en 3: Perm(10,3) = 10!/(10-3)! = 720 2) Los premios son iguales Es una combinación de 10 elementos en 3 Comb(10,3) = 10!/((10-3)!*3!) = 120

Ejercicios: 1)

En un estudio económico de combustibles, cada uno de tres autos de carreras se prueba con cinco marcas diferentes de gasolina en siete lugares que se localizan en diferentes regiones del país. Si se utilizan dos pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada uno de los distintos grupos de condiciones. ¿Cuántas pruebas se necesitan? n1=3, n2=5, n3=7, n4=2 3x5x7x2=210 Profesores: Patricia Carvajal Olaya – Alvaro Trejos C

6)

¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5 y 6, si cada dígito se puede usar una sola vez?, b)¿Cuántos de estos números son impares?, c)¿Cuántos son mayores de 330?. Posibilidades del primer dígito: (1,2 y 3) P(3,1) = 3 La cantidad de posibilidades para el segundo  y tercer digito dígito sera la cantidad de permutaciones de 6 en 2:

P(6,2) = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6*5 = 30 La cantidad de números a formar sera:

P3=3!=6 P4=4!=24 P6=6!=720 P2=2!=2 TOTAL=207360

3*30 = 90 ¿Cuántos de estos números son impares y cuantos son mayores de 330? P(3,1)*P(5,1) = 3*5 = 15 P(3,1)*P(6,2) = 3*6!/(6-2)! = 3*6!/4! = 3*6*5 = 3*30 = 90 La cantidad total de números que se pueden formar: 15 + 90 = 105

7)

¿De cuántas maneras se pueden sentar cuatro niños y cinco niñas en una fila se deben alternar?. Los niños y las niñas deben quedar alternados, luego las niñas podrán ubicarse en 5 puestos y los niños a su vez, en 4. Aplicando el teorema 2.3 permutaciones, el número total de maneras de sentar a las 5 niñas es de 5! = 120 y, en el caso de los niños es de 4!= 24. Luego, se aplica el teorema 2.1 multiplicación y se obtiene 210 x 24 = 2880 maneras 8)

¿De cuántas formas se pueden llenar las cinco posiciones iniciales en un equipo de baloncesto con ocho jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones?.

8P5 = 8! / 3! = 6720.

11) La mamá de Caperucita Roja, tenía una canasta con 12 guayabas, 8 duraznos, 6 manzanas y 5 peras, le encargó a su hija seleccionar 4 guayabas, 3 duraznos, 2 manzanas y 2 peras para llevárselos a su abuelita que vive en el bosque. a) Calcule el número de formas como Caperucita podría seleccionar las frutas para su abuelita, siendo obediente con su madre. b) Determine las selecciones posibles de la niña si decide ser desobediente y simplemente elige 11 frutas a azar. En ambos casos, considere que las frutas del mismo tipo son distinguibles entre sí. 12) Un envío de 12 aparatos de televisión contiene 3 aparatos defectuosos. ¿De cuántas formas puede un hotel adquirir 5 de esos aparatos y recibir cuando menos 2 de los defectuosos? Para resolver este planteamiento hacemos uso del criterio estadístico de la combinación, definido por la siguiente fórmula: Donde: n= total número de objetos. r= número de objetos a estudiar. En este caso tenemos cuatro combinaciones, elegir dos televisores defectuosos y elegir los otros tres buenos y viceversa: 2 defectuosos: 3C2 3 buenos: 9C3 3 defectuosos: 3C3 2 buenos: 9C2 Ct= 3C2*9C3+3C3*9C2

9)

¿De cuantas formas pueden sentarse seis ejecutivos en una mesa redonda si sólo importan las posiciones relativas entre ellos y, además, dos ejecutivos específicos tienen que hacerlo juntos?.

Ct= 3*84+1*36 Ct=288

6! = 720 maneras. 720 – ( 5) (2!) (4!) = 720 -240 = 480 10) Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química han de ser colocados en una estantería ¿Cuántas colocaciones distintas admiten si: (1) los libros de cada materia han de estar juntos; (2) solo los de matemáticas tienen que estar juntos?. Profesores: Patricia Carvajal Olaya – Alvaro Trejos C

13) De un grupo de 4 hombres y 5 mujeres. ¿Cuántos comités es posible formar con 3 personas, con 2 hombres y 1 mujer, si un hombre específico debe ser parte del comité?