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• Miguel Villanueva Dávila

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La ACADEMIA PREUNIVERSITARIA JOHN NEPER, institución educativa especializada en la formación preuniversitaria y a su vez comprometida con la Formación Propedéutica e Integral de los estudiantes y egresados del colegios con miras a postular a centros de estudios superiores; cumple con poner a vuestra disposición la Presente publicación del libro COMPENDIO ACADÉMICO I, donde se brinda la información necesaria para iniciar posteriormente estudios preuniversitarios, constituyéndose en una insustituible herramienta de estudio. Este valiosísimo compendio es el resultado del aporte de los profesores de nuestra academia, quienes con sus conocimientos e innovaciones en metodología educativa hicieron posible su publicación. así mismo, de manera coordinada se contó con la participación de nuestro equipo de revisión y nuestro personal de cómputo. El Éxito obtenido por nuestra institución en el ámbito preuniversitario, se da gracias al trabajo en equipo; realizamos nuestra labor educativa compitiendo con eficiencia, hemos ido cosechando logros que permitieron que se consolidándose como la “Mejor Empresa Preuniversitaria”. En el último Examen de Admisión UNACH 2016 – II, Logramos ocupar una vez mas de 120 vacantes a las diferentes carreras profesionales que ofrece la Universidad Nacional Autónoma de Chota y los todos los Cómputos Generales y Primeros Puestos a las diferentes carreras de la UNACH. Con pie firme vamos rumbo a la excelencia, ascendiendo al podio de los vencedores.

Atentamente Mirez Ruiz Lenin Ronal Director Académico

Tarrillo Silva Jaime Director General

Herrera Oblitas Ángel Director Administrativo

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RAZ. VERBAL

GEOMETRÌA

Sinónimos. .................................................................. 4 Antònimos................................................................... 8 Tèrmino Excluido ...................................................... 12 Hipónimos e Hiperónimos ........................................ 15 Series Verbales ........................................................ 18 Analogìas.................................................................. 22

Segmentos ..............................................................126 Ángulos ...................................................................130 Triàngulos ...............................................................136 Congruencia de Triàngulos ....................................142 Polìgonos ................................................................145 Cuadrilàteros ..........................................................149

RAZ. MATEMÀTICO I

TRIGONOMETRÌA

Sucesiones ............................................................... 27 Progresiones ........................................................... 31 Series y Sumatorias ................................................. 35 Fracciones ................................................................ 40 Regla de Tres ........................................................... 44 Porcentajes............................................................... 47 Conteo de Figuras .................................................... 51

Sistemas de Medición Angular ...............................154 Longitud de Arco y Sector Circular ........................158 Raz. Trig. en Ángulos Agudos ................................162 Ángulos Verticales y Horizontales ..........................167 Áng. Trig. en Posición Normal ................................171 Identidades Trigonomètricas ..................................175

RAZ. MATEMÀTICO II

FÌSICA I

Orden De Información. ............................................. 56 Notaciòn Polinòmica ................................................. 60 Operadores Matemáticos. ....................................... 63 Criptoaritmètica ........................................................ 67 Planteo de Ecuaciones ............................................. 70 Edades ..................................................................... 75

Anàlisis Dimensional...............................................178 Anàlisis Vectorial ....................................................181 MRU - MRUV ..........................................................185 Caída Libre y Mov. Parabòlico ...............................190 Movimento Circunferencial .....................................194 Estática I .................................................................198 Estàtica II ................................................................203

ARITMÈTICA

FÌSICA II

Teorìa de Conjuntos ................................................. 78 Sistema de Numeración ........................................... 83 Cuatro Operaciones ................................................. 87 Conteo de Nùmeros ................................................. 91 Divisibilidad............................................................... 94 Números Primos y Compuestos ............................... 97

Termometría. ..........................................................207 Dilatación ................................................................210 Calorimetrìa ............................................................213 Termodinámica .......................................................216 Electrostàtica. .........................................................221 Campo y Energìa Electrostática ............................222

ÀLGEBRA

QUÌMICA I

Teoría de Exponentes ............................................ 100 Polinomios .............................................................. 104 Productos Notables ................................................ 109 División Algebraica ................................................. 113 Cocientes Notables ................................................ 116 Factorizaciòn .......................................................... 120 MCM – MCD y Fracciones Algebraicas ................. 121

Materia y Energìa ...................................................226 Modelo Atómico .....................................................230 Configuraciòn Electrònica .......................................234 Tabla Periódica .......................................................238 Enlace Quìmico ......................................................241

2

BIOLOGÌA

GEOGRAFÌA

Introducción a la Biología ....................................... 247 Bioelementos y Biomolèculas ................................ 253 Carbohidratos – Lìpidos y Proteìnas ..................... 258 Ácidos Nucleicos y Los Virus ................................. 265 Citologìa ................................................................. 269

El Universo .............................................................482 El Sistema Solar .....................................................485 La Tierra: ................................................................488 Geografìa Matemàtica ...........................................491 Geosfera ................................................................495 Atmòsfera ...............................................................499

ANATOMÌA

ECONOMÌA Introducción a la Anatomía..................................... 275 Sistema Óseo ......................................................... 282 Sistema Cardiovascular ......................................... 295 Sistema Nervioso ................................................... 308 Sistema Sensorial ................................................. 317 LENGUAJE La Comunicación .................................................... 329 El Lenguaje............................................................. 330 La Semántica.......................................................... 332 El Signo Lingüístico: ............................................... 333 El Multilingüismo..................................................... 333 Ortografía ............................................................... 337 El Sustantivo........................................................... 342 El Adjetivo............................................................... 344 El Pronombre .......................................................... 348 LITERATURA Composiciòn Literaria ............................................. 351 Literatura Clàsica ................................................... 356 Literatura Medieval ................................................. 364 Renacimiento.......................................................... 369 Neoclasicismo ........................................................ 374 Romanticismo ........................................................ 378 Realismo ................................................................. 384 Literatura Uiversal Del Siglo Xx.............................. 392 Literatura Española ................................................ 400 Siglo De Oro ........................................................... 404

Economía como ciencia Social ...............................503 Necesidades Humanas – Bienes y Servicios .........509 Proceso Econòmico ................................................518 Costos de Producciòn.............................................524 Mercados ................................................................528 FILOSOFÌA Introducciòn a la Filosofía .......................................532 Problema del Conocimiento ...................................535 Problemas del Valor. ..............................................541 Problema del Hombre .............................................546 LÒGICA Introducciòn a La Lógica.........................................550 Lógica Proposicional...............................................553 Verdad Formal ........................................................556 Leyes Lógicas Notables..........................................557 Bibliografìa ..............................................................560

HISTORIA Y GEOPOLÌTICA Introducción a la Geopolítica .................................. 413 Realidad Nacional .................................................. 424 Perú en el Contexto Geopolítico Internacional ....... 431 Situación Geopolítica Actual y sus Repercusiones en el Perú .................................................................... 437 Introducciòn a la Historia: ....................................... 445 Horizontes Y Periodos Culturales .......................... 448

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Raz. Verbal

Sinónimos John Neper 2017 A. ETIMOLOGÍA La palabra sinónimo proviene de dos voces griegas: el prefijo SYN, que significa “con” o “conforme”, y la raíz ONOMA, que significa “nombre”.

3. CLAVE O RESPUESTA: Es la alternativa cuyo significado es idéntico o parecido al que presenta la premisa. PRESENTACIÓN TRADICIONAL Ejemplo: 01.

B. DEFINICIÓN Son aquellas que están comprendidas en el mismo campo semántico, pertenecen a la misma categoría gramatical y expresan significados semejantes o parecidos. C. LA SINONIMIA Y EL CAMPO SEMÁNTICO Todos están referidos a un mismo campo semántico: el trato de las personas en su interrelación. Si extraemos los términos AFABLE y CORDIAL, notaremos que no sólo se refieren a un mismo tema, sino que son adjetivos y además, tienen significados parecidos. AFABLE: agradable, dulce, suave en el trato. CORDIAL: afectuoso de corazón. D. ESTRUCTURA DE UN EJERCICIO DE SINONIMOS Los sinónimos como ejercicios de Razonamiento Verbal constan de una palabra base consignada en mayúsculas, llamada premisa y una serie de cinco (5) alternativas signadas con letras consecutivas, de las cuales una es la respuesta y las cuatro restantes funcionan como distractores. Cabe señalar que la respuesta correcta será la opción cuyo significado guarde la mayor semejanza con la premisa. 1. DISTRACTOR SEMÁNTICO: Son palabras cuyo significado es muy parecido al que presenta la clave. 2. DISTRACTOR FONÉTICO: Son palabras cuya identificación es idéntica (el caso de los homófonos) o muy parecida (el caso de los parónimos) a la clave.

SUSCINTO:

PREMISA

A) Exiguo B) Ínfimo C) Conciso D) Parco E) Moderado

Distractor Distractor Respuesta Distractor Distractor

APLICACIÓN DEL MÉTODO 02.

BALDÍO A) Improductivo C) Baldado D) Inculto

B) Inopinado E) Infecundo

BALDÍO: Adj. y m. 1. Aplicase a la tierra o terreno que ni se labra ni esta adehesado. 2. Vano, sin fundamento. 3. Vagabundo, sin ocupación. 4. Dic. de lo que resulta inútil. Sin guarda. A) IMPRODUCTIVO. Adj. 1. Que no da fruto, o no produce nada. 2. Fig. Dic. Año. En que la cosecha. Es muy escasa. 3. Medio libre de gérmenes patológicos. B) INOPINADO. Adj. 1. Inesperado C) BALDADO. Adj. 1. Cansado, fatigado. 2. Contenido de un cubo. D) INCULTO. Adj. 1. Que no tiene cultivo ni labor. 2. Carente de cultura. 3. Hablando de estilo, desaliñado y grosero. E) INFECUNDO. Adj. 1. No fecundo (fértil) Respuesta: Es La “A” cumple la categoría gramatical y campo semántico.

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Raz. Verbal SINÓNIMOS LÉXICOS 1. INDAGAR A) Inquirir D) Delinquir

B) Inferir E) Halagar

C) Hollar

2. IRRISORIO A) Exiguo D) Radical

B) Ínclito E) Jolgorio

C) Eximio

3. ABANTO A) Manirroto D) Derroche

B) Aturdido E) Vocinglero

C) Óbolo

4. DEROGAR A) Interpolar D) Abrogar

B) Propagar E) Coloquio

C) Confuta

5. DESPRECIABLE A) Frívolo B) Taciturno D) Apócrifo E) Cacaseno

C) Atávico

6. DEFERENCIA A) Cortesía B) Símbolo D) Chusma E) Trifulca

C) Crítica

7. TITUBEAR A) Triturar D) Decir

B) Oscilación E) Desdecir

C) Dudar

8. TRAJÍN A) Cansancio D) Circunvalar

B) Acarreo E) Traer

C) Trocar

9. TROJ A) Despensa D) Troica

B) Talega E) Tris

C) Carcaj

10. HATO A) Lleno D) Cansado

B) Víveres E) Deleite

C) Repleto

11. PERSPICUO A) Bronco D) Espeso

B) Venidero E) Nuevo

12. GAZNÁPIRO A) Palurdo D) Bobería

B) Gentil E) Protervo

13. PROPINA A) Óbolo D) Gratifica

B) Abofetear E) Premia

C) Asesta

14. ILUSO A) Iluminado D) Cantarín

B) Cándido E) Inútil

C) Ilusión

15. ASENTIR A) Disentir D) Columbrar

B) Discriminar E) Adepto

C) Acepta

16. CUPO A) Porción D) Lleno

B) Jefe E) Vació

C) Bolero

17. HARNERO A) Escasez D) Haragán

B) Saciar E) Valentón

C) Zaranda

18. NESCIENTE A) Alfabeto D) Ignaro

B) Inicio E) Estipendio

C) Dolo

19. ABSORTO A) Hacinado D) Privado

B) Enajenado E) Fragoso

C) Frugal

20. VESTIGIO A) Indumentaria B) Resumen D) Esperanza E) Vestal

C) Rastro

21. BRAVÍO A) Rebelde D) Bufo

B) Sosiego E) Solemne

22. GABELA A) Ágil D) Esperma

B) Gacela E) Contribuir

C) Tributo

23. VESÁNICO A) Demencia D) Ínsula

B) Orate E) A, B y C

C) Locura

E) Claro

24. LÁBIL A) Excitado D) Voluble

B) Inestable E) Primoroso

C) Labios

C) Avivado

25. AGRANDAR A) Ampliar D) Amasar

B) Escuchar E) Quitar

C) Agradar

C) Templado

5

Raz. Verbal SINÓNIMOS POR RELACIÓN 26.

1.- maraña 2.- vaticinio 3.- obstar 4.- beodo 5.- gula

( ( ( ( (

) ) ) ) )

glotonería impedir dipsómano presagio ardid

A) 5,3,2,4,1 D) 5, 2, 3, 4, 1

B) 5,3,2,1,4

C) 5,3,4,2,1 E) 5,2,1,4,3

27.

28.

29.

30.

1.- protervo 2.- pueril 3.- abra 4.- maldición 5.- impeler

( ( ( ( (

) ) ) ) )

arrojar perverso infantil abertura anatema

A) 5,1,2,3,4 D) 5,2,3,4,1

B) 5,1,2,4,3

1.- hito 2.- ínclito 3.- neófito 4.- apología 5.- raudal

( ( ( ( (

A) 3,2,5,4,1 D) 2,3,1,5,4

B) 2,3,5,4,1

1.- prosapia 2.- negligencia 3.- opulencia 4.- nativo 5.- epílogo

( ( ( ( (

A) 2,1,4,3,5 D) 2,1,3,5,4

B) 2,1,4,5,3

1.- medias 2.- calcina 3.- tino 4.- calicata 5.- oscuridad Son ciertas A) 2,5,3,1,4 D) 4,5,3,2,1

) ) ) ) )

novato ilustre señal exuberancia ditirambo

) ) ) ) )

( ( ( ( (

C) 5,1,3,2,4 E) 5,4,3,2,1

C) 3,2,1,5,4 E) 3,2,5,4,1

descuido abolengo aborigen pletórico colofón

) ) ) ) )

C) 2,1,5,4,3 E) 2,5,3,4,2

abrasa calígine caletre exploración calceta

B) 2,5,4,1,3

C) 2,4,5,3,1 E) 2,5,3,4,1

SINÓNIMOS POR SIGNIFICACIÓN 31. TRIDENTE A) Produce deleite B) Sonido fuerte C) Que va delante D) De tres dientes E) Explosión sonora 32. DIANA A) Mujer notable por su belleza B) Zalamería de una persona C) Inspiración del artista D) Concierto de instrumentos o voces E) Toque militar para despertar a la tropa 33. EMPÍREO A) Efecto de empinarse B) Ansia por dormir C) Perteneciente al cielo D) Acción de abolir E) Efecto de cortar 34. ANTIPIRÉTICO A) Contra la fiebre B) Intuición aguda contra la torpeza C) Que corresponde al fuego D) Argumentación candente E) Silogismo romano 35. LONTANANZA A) Ensuciar con barro B) Encontrarse a lo lejos C) Asir con la boca D) Decir boberías E) Transferir algo

SINÓNIMOS CONTEXTUALES 36. El Director le explicaba paulatinamente sobre el incidente sufrido por su carísimo hijo. A) Gradualmente-echo B) Brevemente-peligro C) Poco a poco- caso D) Bruscamente-pleito E) Sutilmente-hecho 37. El presidente interino del congreso leyó el reglamento y requirió a los parlamentarios a mejorar su comportamiento.

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Raz. Verbal A) B) C) D) E)

Temporal-inquirió Accidental-investigó Momentáneo-indagó Provisional-exigió Transitorio-pidió

38. El crítico literario era un versado en el tema disertado. A) Inteligente – Dicho B) Sabio –Designado C) Conocedor – Expuesto D) Hábil – Explicado E) Magnífico – Opinado 39. La venustez de la profesora encandiló a más de un docente. A) Encantó – Asombró B) Armonía –Encantó C) Perfección – Alucinó D)Beldad–Deslumbró E) Estética – Enamoró 40. Se explayó en sus apreciaciones cuando solamente leyó el exordio de la obra. A) Expandió – Epílogo B) Contuvo – El inicio C) Dilató – Colofón D) Propagó – Principio E) Extendió – Preámbulo 41. Los medios de comunicación responden a esquemas foráneos que se han impuesto a nuestra sociedad lo que genera una fuerte perturbación. A) Prototipos – Psicosis B) Arquetipos – Inclinación C) Modelos – Alienación D) Patrones – Drogadicción E) Idiosincrasias – Convulsión 42. Porque no iba a misa lo juzgaban un pagano A) Consideraban – Gentil B) Señalaban – Orgulloso C) Respetaban – Valiente D) Creían – Gallardo E) Conceptuaban – Ateo 43. En la antigua Esparta los ciudadanos eran estoicos, guerreros y parcos en el hablar A) Fríos - insuficientes B) Inquebrantables – Lacónicos C) Austeros – Frugales D) Insensatos – Callados E) Soberbios – Pobres

44. En mi primera estadía en aquel exótico paraje trabé amistad con estas últimas criaturas y créanme que fueron los seres más tiernos que conocí. A) Estancia – Extravagante – País – Puros B) Hospedaje – Forastero – Plaza – Reciente C) Permanencia – Extraño – Lugar – Dulces D) Visita – Extranjero – Paisaje – Blandos E) Encuentro – Raro – Sitio – Delicados 45. Sus expresiones chabacanas no fueron bien tomadas por el público. A) Refinadas B) Altruistas C) Ramplonas D) Apologéticas E) Paradójicas 46. El hombre está vestido en una forma muy ordinaria y andrajosa. A) Grosera B) Usual C) Mediocre D) Familiar E) Frecuente

SINÓNIMOS POR CONCEPTUALIZACION 47. Oposición y contrariedad en las ideas: A) Paralogismo B) Antología C) Inferencia D) Disensión E) Conjunción 48. Ácido destructor inmediato de los cuerpos: A) Voluble B) Expansivo C) Volátil E) Explosivo D) Corrosivo

CLAVES DE RESPUESTAS 1. C 2. A 3. B 4. D 5. E 6. A 7. C 8. B 9. B 10. B

11. E 12. A 13. C 14. B 15. C 16. A 17. C 18. D 19. B 20. C

21. A 22. C 23. B 24. B 25. A 26. C 27. A 28. C 29. A 30. E

31. D 32. E 33. C 34. A 35. B 36. C 37. E 38. C 39. D 40. E

41. C 42. A 43. B 44. C 45. C 46. A 47. D 48. D

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Raz. Verbal Son aquellas palabras cuyos significados muestran idea parcialmente opuestas, dejando la posibilidad de que otro término exprese una oposición más categórica.

Antónimos John Neper 2017

Ejemplo: A. ETIMOLOGÍA: El término ANTÓNIMO tiene etimológico en dos voces griegas: ANTY ONOMA

su

 

origen

= “contrato” u “opuesto” = “nombre”

D. ESTRUCTURAS DE LOS ANTÓNIMOS ACOPIAR  PREMISA

B. DEFINICIÓN:

A) B) C) D) E)

Los ANTONIMOS son aquellas palabras que expresan significados opuestos, que están comprendidos en el mismo campo semántico y pertenecen a la misma categoría gramatical. Ejemplo: VOCIFERAR: Es un verbo que significa vocear, dar grandes voces. SIN: gritar, ulular SUSURRAR: Es otro verbo que significa hablar quedo, produciendo un murmullo o ruido sordo. SIN: musitar, mascullar C. CLASES DE ANTÓNIMOS Por cuestiones de oposición semántica los ANTÓNIMOS pueden clasificarse en ABSOLUTOS Y ANTÓNIMOS RELATIVOS. a) ANTÓNIMOS ABSOLUTOS: Son aquellos vocablos cuyos significados expresan ideas total y exactamente contrarias entre sí.

El alpinista llegó a la cima El alpinista llegó a la

Desplegar Reclutar Difundir Dispersar Aminorar

ALT. MÚLTIPLES MÚLTIPLES

Los ejercicios de ANTÓNIMOS poseen una PREMISA que la palabra que va en mayúscula, las cinco ALTERNATIVAS MÚLTIPLES de los cuales cuatro son DISTRACTORES y solo una es la RESPUESTA. E.

MÉTODO DE SOLUCIÓN

Para desarrollar este tipo de ejercicios se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.

Determinar cuidadosamente el significado de la premisa.

2.

Pensar o abstraer el significado contrario al de la premisa. Elegir la alternativa que se adecue mejor al significado pensado

Ejemplo:  

Aquel hombre egoísta murió trágicamente. Aquel hombre murió trágicamente.

b) ANTÓNIMOS RELATIVOS:

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Raz. Verbal ANTÓNIMOS LÉXICOS 1. ZAHERIR A) Apreciar D) Anudar

B) Calumniar E) Emerger

2. FUTILIDAD A) Valor D) Validez

B) Importancia E) Corrección

C) Contenido

3. OBNUBILAR A) Diferir D) Ilustrar

B) Clarear E) Iluminar

C) Despejar

4. ALBEDRÍO A) Ofuscación D) Imponer

B) Control E) Dependencia

C) Rigor

5. MACIZO A) Ralo D) Débil

B) Escuálido E) Flaco

C) Escaso

6. JOLGORIO A) Silencio D) Tranquilo

B) Mudez E) Calmante

C) callado

7. EDÉN A) Purgatorio D) Abismo

B) Castigo E) Caverna

C) Báratro

C) Curar

8. TÓXICO A) Desintoxicar B) Remedio D) Poción E) Tableta

C) Antídoto

9. SUPREMO A) Peor D) Degradado

B) Último E) Ínfimo

C) Pésimo

10. SANDEZ A) Sensatez D) Necedad

B) Bobería E) Majadería

C) Tontería

11. PATÉTICA A) Jovial D) Alegre

B) Bromista E) Ánimo

C) Festiva

12. PLÉTORA A) Escasez D) Demasía

B) Copiosidad E) Plenitud

C) Hartura

13. FILÍPICA A) Inquina D) Bacanal

B) Elogio E) Cabalidad

14. APATÍA A) Empatía D) Voluntad

B) Alegría E) Entusiasmo

15. FOMENTAR A) Retirar D) Desalentar

B) Ignorar C) Desfinanciar E) Desmejorar

16. REMANSO A) Rápido D) Recreo

B) Lento E) Bullía

C) Alboroto

17. OPTAR A) Alternar D) Dudar

B) Proponer E) Decidir

C) Conceder

C) Oprobio

C) Simpatía

18. EMBAUCADOR A) Engaño B) Verídico D) Ingenio E) Probo

C) Realista

19. APOGEO A) Desgano B) Decadencia D) Destrucción E) Descenso

C) Penumbra

20. BRUSCO A) Hábil D) Lento

B) Suave E) Amable

21. SUPRIMIR A) Instaurar D) Levantar

B) Añadir E) Construir

C) Prorrogar

22. DEBILITADO A) Enervado D) Animado

B) Enajenado E) Reformado

C) Robustecido

23. FATUO A) Escéptico D) Modesto

B) Simple E) Esmerado

C) Inseguro

C) Tolerante

24. BENEFICIO A) Egoísmo B) Detrimento D) Postergación E) Malestar

C) Amenaza

25. DESIDIA A) Decisión D) Asiduidad

C) Cuidado

B) Rigidez E) Templanza

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Raz. Verbal ANTÓNIMOS CONTEXTUALES 26. Los maestros estaban convencidos de que Tomás era un zagal para desempeñar la función de líder. A) Persuadidos – Viejo B) Rechazados – Muchacho C) Disuadidos – Joven D) Dudosos - Mancebo E) Inseguros – Anciano 27. Cuando se dio cuenta que era vulnerable a sus críticas, evitó el encuentro con la escritora. A) Seguro – Evadió B) Fuerte – afrontó C) Sensible – Enfrentó D) Resistente – Esquivó E) Susceptible – Eludió 28. Era un cirujano incompetente y de despectivo. A) Apto – Arrogante B) Capaz – Afable C) Idóneo – Altivo D) Mediocre – Soez E) Malo – Amable

trato

29. No valía la pena entregarse a un trabajo engorroso. A) Sin importancia B) Fácil C) Complicado D) Insignificante E) Corto 30. La claridad de la solución fue causa de alegría para los interesados. A) Ambigüedad – Tristeza B) Confusión – Amargura C) Coherencia – Algarabía D) Duda – Algazara E) Transparencia – Felicidad 31. El hombre tiene adversarios con los cuales hay intereses opuestos. A) Competidores – Contrarios B) Émulos – Contradictorios C) Enemigos – Iguales D) Amigos – Semejantes E) Adictos – Iguales

32. Podemos evitar las discrepancias si nos esforzamos por no ahondarlas. A) Resistir – Profundizarlos B) Desafiar – Penetrarlas C) Afrontar – Mostrarlas D) Cautelar – Descubrirlas E) Enfrentar – Pensarlas 33. Estaba meditabundo y se sentía apesadumbrado por la pérdida de su amigo A) Absorto – Avergonzado B) Caviloso – Fatigoso C) Despreocupado – Entristecido D) Distraído – Alegre E) Pujante – Jubiloso 34. El experto abogado planteó sus argumentos con convicción A) Inseguro B) Insania C) Vacilación D) Improviso E) Certeza 35. Creo que el incendio era un hecho evitable A) Inobjetable B) Dantesco C) Anunciado D) Ineluctable E) Oscilante 36. Subí la escalera aceleradamente, y pronto me vi delante de aquella fatídica puerta por donde había entrado ya tres veces rebosando cariño y confianza. A) Afortunada – Destilando B) Adversa – Escaseando C) Graciosa – Derramando D) Favorable – Conteniendo E) Nefasta – Recogiendo 37. Enseña a conciencia, pero a media voz, como quien dice que tu mano izquierda no sepa lo que hace la derecha. A) En silencio B) Pregonándolo C) Interesadamente D) Despacio E) Gritando

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Raz. Verbal 38. El brillo del diamante que puedes cargar en el bolsillo no acrecentará en absoluto el brillo que falte en tus ojos. A) Atentará B) Encogerá C) Disminuirá D) Acortará E) Contraerá 39. La vanidad es un veneno, una enfermedad. A) Específico B) Antídoto C) Virtud D) Justicia E) Medicina

ANTÓNIMOS POR RELACIÓN PAREADA 45.

46.

40. La lógica clásica dio especial atención al género y a la especie A) Descortesía B) Indiferencia C) Pereza D) Desprecio E) Flojera 41. La principal preocupación científica de Aristóteles fue la clasificación zoológica y botánica. A) Desgano B) Desánimo C) Desidia D) Fastidio E) Inapetencia

ANTÓNIMOS POR SIGNIFICACIÓN 42. TRANSIGIR A) Oponer una cosa contra otra B) Poner condiciones C) Ufanarse de algo D) Espacio vacío E) Estar de acuerdo 43. MOHÍNA A) Jugador empedernido. B) Ave zancuda C) Cárcel hacinada D) Persona amistosa E) Hombre enojado 44. IMPROCEDENTE A) Acto extemporáneo B) Conducta inadecuada C) Acción realizada oportunamente D) Relativo al Derecho E) Que no procede

47.

48.

1. sucinto 2. afonía 3. esponsales 4. mezquino

( ( ( (

A) 4,3,2,1 D) 1,2,3,4

B) 3,1,2,4

1. majadero 2. enjuto 3. dilapidar 4. migración

( ( ( (

A) 2,4,3,1 D) 4,2,1 3

B) 2,3,1,4

1. empinado 2. coma 3. prelación 4. amainar

( ( ( (

A) 2, 3, 4, 1 D) 4,2,1 3

B) 3, 4, 1, 2

1. aplomo 2 gratitud 3. inquirir 4. crédito

( ( ( (

A) 3,1,2,4 D)1,3,4,2

) ) ) )

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generoso divorcio sonoridad prolijo C) 2,1,4,2 E) 4,2,1,3 rollizo regreso ahorrar prudente C) 3,4,1,2 E) 1,2,3,4 postergación arreciar plano recuperación C)1,3,2, 4 E) 1,3,2,4

nerviosismo débito contestar olvido

B) 2,4,3,1

C) 1,4,3,2 E) 4,2,1,3

CLAVES DE RESPUESTAS 1. A 2. B 3. C 4. E 5. D 6. A 7. C 8. C 9. E 10. A

11. D 12. A 13. B 14. D 15. D 16. A 17. D 18. E 19. B 20. B

21. A 22. C 23. D 24. B 25. C 26. E 27. B 28. B 29. B 30. A

31. D 32. C 33. D 34. C 35. D 36. D 37. B 38. C 39. C 40. B

41. C 42. A 43. D 44. C 45. A 46. A 47. B 48. C

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Raz. Verbal

Término excluido John Neper 2017 Es el ejercicio en el que se relacionan los elementos de una estructura léxica del mismo campo semántico o aspecto cultural para determinar qué palabra no guarda ninguna relación lógica con la base o premisa. El análisis consiste en darse cuenta qué términos están cercanos a la premisa y cuáles se alejan o no pertenecen al campo semántico de la misma. En otras palabras, se selecciona el término que no guarda relación semántica con la palabra matriz así como con las otras cuatro alternativas. CRITERIOS DE EXCLUSIÓN: Se elimina el término que:  POR SINONIMIA: es sinónimo de los demás.  POR AFINIDAD SEMÁNTICA: no comparte el sema (significado) de los otros.  POR GÉNERO Y ESPECIE: no es especie del género propuesto en la premisa.  POR COGENERIDAD: no es específico y no pertenece al mismo género de los demás.

TÉRMINO EXCLUIDO POR SINONIMIA 1. EVIDENTE A) Público B) Notorio C) Palmario D) Manifiesto E) Planificado 2. VIPERINO A) Venenoso B) Ponzoñoso C) Nocivo D) Serpentino E) Tóxico 3. REPRIMIR A) Encarcelar B) Obstaculizar C) Repeler D) Rechazar E) Refrenar

4. MEDITAR A) Reflexionar B) Pensar C) Urdir D) Discurrir E) Deliberar 5. MURMURAR A) Gemir B) Susurrar C) Murmullar D) Musitar E) Huchear 6. CELERIDAD A) Rapidez B) Velocidad C) Prontitud D) Violencia E) Presteza 7. NÓMADA

 POR CAUSALIDAD: no presente la relación de causa – efecto de la premisa o viceversa.  POR RELACIÓN MÚLTIPLE: no tenga ninguna relación lógica con la premisa. VEAMOS LOS RESPECTIVOS EJEMPLOS 1. PARCO

2. UBÉRRIMO

A) Escaso B) Callado C) Insuficiente D) Próvido* E) Frugal

A) Yermo B) Páramo C) Fructuoso* D) Estéril E) Árido

MÉTODOS DE SOLUCIÓN 1. Determinar el significado de la premisa y las alternativas. 2. Delimitar el campo semántico. 3. Prescindir del término que no se relaciona semántica ni culturalmente con las demás palabras.

A) Errante B) Migratorio C) Concurrente D) Peregrino E) Inestable 8. LEVANTAR A) Alzar B) Aupar C) Ascender D) Premiar E) Elevar 9. ENANO A) Diminuto B) Liliputiense C) Pigmeo D) Gnomo E) Amorfo 10. DESAFÍO A) Provocación B) Pelea

C) Reto D) Incitación E) Insinuación 11. LAYA A) Calaña B) Estofa C) Estirpe D) Abolengo E) Estufa 12. PERPLEJO A) Oscilante B) Dubitativo C) Hesitante D) Dudoso E) Resuelto 13. EXIMIR A) Soltar B) Exentar C) Condonar

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Raz. Verbal D) Exonerar E) Redimir 14. ALEGATO A) Abogado B) Escrito C) Sentencia D) Exposición E) Fundamento 15. INTERCEDER A) Abstenerse B) Conciliar C) Apaciguar D) Mediar E) Participar 16. MEDITAR A) Cavilar B) Improvisar C) Lucubrar D) Especular E) Abstraerse 17. INAUDITO A) Extraordinario B) Sorprendente C) Increíble D) Extravagante E) Corriente 18. BUHARDILLA A) Ventana B) Tejado C) Luz D) Abandono E) Desván 19. LITIS A) Lid B) Camorra C) Zipizape D) Marimorena E) Marioneta 20. MALTRATADO A) Dañado B) Fallado C) Deteriorado D) Estropeado E) Errado

TERMINO EXCLUIDO POR ANTONIMIA 21. AJUMADO A) Parco B) Frugal C) Abstemio D) Sobrio E) Zoquete 22. ESPLIN A) Gayo B) Jubilo C) Éxtasis D) Lipemanía E) Euforia 23. EMINENTE A) Vitoreado B) Lego C) Testarudo D) Nesciente E) Cernícalo 24. DICHA A) Afiliación B) Murria C) Sosiego D) Atribulación E) Melancolía 25. FACUNDO A) Lacónico B) Conciso C) Escueto D) Resumido E) Parlero 26. LUDIBRIO A) Apología B) Coba C) Escarnio D) Loor E) Ditirambo 27. CRESO A) Inope B) Ganapán C) Concomitante D) Paupérrimo E) Indigente

28. LETAL A) Inocuo B) Inofensivo C) Inerme D) Incólume E) Indefenso 29. INDOLENCIA A) Abulia B) Acicate C) Estimulo D) Pincho E) Estro 30. RECATADO A) Orondo B) Presumido C) Ufano D) Penacho E) Ortodoxo 31. COTO A) Preludio B) Proemio C) Colofón D) Exordio E) Prefacio 32. CAFRE A) Evanescente B) Tenue C) Sutil D) Torvo E) Suave 33. SOSIEGO A) Trapisonda B) Embrollo C) Agitación D) Escándalo E) Pueril 34. ENHIESTAR A) Yacer B) Reposar C) Descansar D) Erectar E) Supinar 35. DIESTRO

A) Zocato B) Zurdo C) Izquierdo D) Zote E) Siniestro 36. INGENTE A) Gnomo B) Homúnculo C) Pigmeo D) Arlequín E) Enano 37. IMBERBE A) Bozo B) Barba C) Vello D) Pelusa E) Lampiño 38. LUMBRERA A) Ignaro B) Nesciente C) Inicuo D) Lego E) Indocto 39. DILUCIDAR A) Enmarañar B) Enredar C) Desmallar D) Embrollar E) Confundir 40. MIRIFICO A) Corriente B) Malcarado C) Feo D) Vulgar E) Atrabiliario

TÈRMINO EXCLUIDO MISCELÁNEA 41. AGLOMERACIÓN A) Masa B) Muchedumbre C) Población D) Concurrencia E) Multitud

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Raz. Verbal 42. OÍDO A) Tímpano B) Yunque C) Estribo D) Iris E) Martillo

A) Hediondez B) Pestilencia C) Fetidez D) Hálito E) Tufo

43. "Él se puso a susurrar en la ceremonia". La palabra que no se relaciona semánticamente con la subrayada es: A) Musitar B) Murmurar C) Bisbisear D) Chillar E) Mascullar

A) Fisiología B) Oftalmología C) Cardiología D) Geología E) Anatomía

48. PRELUDIO A) Prefacio B) Prolegómeno C) Prontuario D) Proemio E) Preámbulo 49. PRESIDENTES A) Alan García B) Evo Morales C) José Insulza D) Hugo Chávez E) Sebastián Piñera

44. ENDEBLE A) Flaco B) Esmirriado C) Débil D) Elocuente E) Enfermizo

50. ENDEBLE A) Flaco B) Esmirriado C) Débil D) Elocuente E) Enfermizo

45. HUSMEAR A) Fisgonear B) Averiguar C) Observar D) Investigar E) Olisquear

51. Honoré de Balzac A) Eugenia Grandet B) Papá Goriot C) El primo Pons D) El lirio en el valle E) Poemas humanos

46. CONCILIAR A) Convenir B) Armonizar C) Concordar D) Arreglar E) Coordinar

52. HIPÓCRITA A) Desleal B) Taimado C) Irónico D) Falso E) Embustero

47. HEDOR

53. BIOLOGÍA

54. AEDO A) Poeta B) Bardo C) Trovador D) Juglar E) Escritor

59. ULTRAJE A) Agravio B) Insulto C) Herida D) Afrenta E) Injuria 60. PROSÉLITO A) Simpatizante B) Infidente C) Partidario D) Secuaz E) Discípulo

55. CAMINANTE A) Transeúnte B) Viajero C) Citadino D) Peregrino E) Errante 56. JABALÍ A) Silvestre B) Asta C) Elefante D) Jabato E) Paquidermo 57. Término que por su significado es distinto de los otros: A) Vernáculo B) Oriundo C) Patrio D) Nativo E) Céntrico 58. FIDELIDAD A) Devoción B) Lealtad C) Apego D) Constancia E) Fe

61. TORDO A) Faisán B) Ave lira C) Calandria D) Cuervo E) Pinzón 62. VERTEBRADO A) Carnívoro B) Cánidos C) Primates D) Bóvidos E) Mustélidos 63. PALEOZOICO A) Pérmico B) Carbonífero C) Devónico D) Jurásico E) Cámbrico 64. CAPITALES A) Berlín B) Damasco C) París D) Oslo E) Estocolmo

CLAVES DE RESPUESTAS 1. E 13. A 25. E 37. E 49. C 61. A

2. D 14. C 26. C 38. C 50. E 62. C

3. B 15. A 27. C 39. C 51. E 63. D

4. C 16. B 28. D 40. E 52. C 64. B

5. E 17. E 29. A 41. C 53. D

6. D 18. D 30. E 42. D 54. D

7. C 19. E 31. C 43. D 55. C

8. D 20. E 32. D 44. D 56. B

9. D 21. E 33. E 45. E 57. E

10. B 22. D 34. D 46. D 58. C

11. E 23. A 35. D 47. D 59. C

12. E 24. C 36. D 48. C 60. B

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Raz. Verbal hipónimo de la premisa, es decir, el vocablo de menor amplitud semántica. Ejemplos:

Hipónimos Hiperónimos

1. MAMÍFERO A) Lince C) Patas E) Cuadrúpedo

John Neper 2017 1. TÉRMINO INCLUYENTE O HIPERÓNIMO: Es el ejercicio formulado con una premisa (hipónimo) marcando como respuesta la alternativa que tenga un término de mayor amplitud semántica, es decir, el hiperónimo. Ejemplo: 1. CINEMÁTICA A) Dinámica C) Estática E) Fuerza *

B) Movimiento D) Física

En este segundo ejercicio la respuesta es la alternativa “d” porque la palabra FÍSICA es un hiperónimo, en relación a la premisa y las alternativas.

2. TÉRMINO INCLUIDO O HIPÓNIMO: Al contrario del término incluyente, este ejercicio llamado incluido o hipónimo se formula a través de una premisa que es un hiperónimo, marcando como respuesta la alternativa que sea un

TÉRMINO HIPÓNIMO 1. MAMÍFERO A) Lince B) Ave C) Patas D) Mamas E) Cuadrúpedo 2. ARTE A) Colores B) Música C) Literatura D) Pincel E) Poesía 3. AVES A) Alondra B) Bandada

C) Chorlito D) Azor E) Albatros 4. LIMEÑO A) Peruano B) Capitalino C) Provinciano D) Ate E) Miraflorino 5. NARRATIVA A) Etopeya B) Fábula C) Lírico D) Prosopopeya E) Épico 6. FLOR

*

B) Ave D) Mamas

En este primer ejemplo la respuesta es la alternativa “a” porque la palabra LINCE es el término de menor amplitud semántica, es decir, es un hipónimo en relación a la premisa y a las alternativas.

Recuerda que en este ejercicio debes marcar, para el caso de los hiperónimos, el término de mayor valor o jerarquía. 3. TÉRMINO COHIPÓNIMO: Son cohipónimos todas las palabras que pertenezcan o formen parte de la misma familia o género o compartan mismas características. Ejemplos: Tacabamba, Huambos, Chalamarca ( distritos chotanos) Cebra, burro, onagro ( mamíferos équidos) Diamante, esmeralda, turquesa (gemas) A) Poinciana B) Vegetal C) Árbol D) Ramo E) Haz 7. ESQUELETO A) Cabeza B) Cráneo C) Cara D) Nasal E) Vómer 8. PERIÓDICO A) Imprenta B) Editorial C) Artículo D) Volada E) Página

9. LINGÜÍSTICA A) Semiotica B) Saussure C) Gramática D) Signos E) Lenguaje 10. LENGUAJE A) Gramática B) Monema C) Morfema D) Habla E) Fonología 11. GEOLINGÜÍSTICA A) Lengua B) Dialecto C) Sociolectos D) “Choche” E) Culto

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Raz. Verbal 12. INSTRUMENTO A) Música B) Rabel C) Laúd D) Instrumento E) Arco 13. MAMÍFERO A) Ave B) Mamífero C) Volador D) Quiróptero E) Vampiro 14. CULTURA A) “El cuervo” B) Pintura C) Pintor D) E. A. Poe E) Literatura 15. DIPLOMACIA A) Torre Tagle B) Protocolo C) Embajada D) Gobierno E) Presidente 16. BIOLOGÍA A) Núcleo B) Vida C) Tejido D) Neurona E) Citología 17. CULTURA A) Arte B) Ciencia C) Tecnología D) Música E) Pincel 18. FÉLIDOS A) Koala B) Serval C) Pinzón D) Jabato E) Garceta 19. VANGUARDISMO

A) Vallejismo B) Dogmatismo C) Cubismo D) Liberalismo E) Ostracismo 20. GRAMÁTICA A) Morfología B) Sintáctico C) Formas D) Fonemas E) Vocales 21. AMERICANO A) Africano B) Paceño C) Romano D) Gaditano E) Ciudadano 22. GRAMÁTICA A) Morfología B) Sintáctico C) Formas D) Fonemas E) Vocales 23. LA GRANJA A) Oro B) Región C) Crianza D) Lambayeque E) Cajamarca 24. AMERICANO A) Africano B) Paceño C) Romano D) Gaditano E) Ciudadano 25. ARTE A) Mapa B) Mármol C) Cultura D) Escultura E) Ertista 26. MAMÍFERO A) Reptil

B) Garceta C) Reno D) Rumiante E) Équidos 27. BIOLOGÍA A) Ciencia B) Zoología C) Matemática D) Vida E) Célula 28. ALLINÁCEA A) Garceta B) Ánade C) Quetzal D) Pinzón E) Faisán 29. CONTINENTE A) Tierra B) Planeta C) Provincia D) Nueva Arica E) Región 30. HUESO A) Estribo B) Sistema C) Tejido D) Sodio E) Tríceps 31. MATEMÁTICA A) Ciencia B) Física C) Trigonometría D) Conjuntos E) Número 32. LEGUMBRE A) Frijol B) Follaje C) Cereal D) Camote E) Arroz 33. ARTE A) Arquitectura B) Escultura

C) Colores D) Imagen E) “La Gioconda” 34. ANIMAL A) Bacteria B) Invertebrado C) Rotífero D) Espongiario E) Molusco 35. CARROÑERA A) Buitre B) Alcatraz C) Perdiz D) Búho E) Carroñero 36. FELINO A) Onagro B) Carnívoro C) Mamífero D) Onza E) Hiena 37. GRAMÍNEA A) Lechuga B) Alpiste C) Palto D) Vegetal E) Arveja 38. TIERRA A) Planeta B) Siberiano C) Continente D) Somalia E) África 39. MOLUSCO A) Cetáceo B) Guanay C) Chita D) Sepia E) Fungi 40. VEGETAL A) Leguminosa B) Albaricoque C) Hortaliza

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Raz. Verbal D) Hidra E) Almidón

TÉRMINO HIPERÓNIMO 41. CINEMÁTICA A) Mecánica B) Óptica C) Matemática D) Arte E) Movimiento 42. BALLENA A) Marino B) Delfín C) Pez D) Cetáceo E) Quelonio 43. ERITROCITOS A) Plaquetas B) Glóbulos blancos C) Glóbulos rojos D) Sangre E) Cuerpo humano 44. AGUAMARINA A) Diamante B) Pedregal C) Gema D) Joya E) Mineral

46. CHIMPANCÉ A) Bípedo B) Mamífero C) Primate D) Cuadrúpedo E) Animal

52. LLUVIA A) Pluviómetro B) Llovizna C) Climatología D) Precipitación E) Clima

58. LAGARTO A) Lagartija B) Quelonio C) Saurio D) Ofidio E) Reptil

47. CÁNIDO A) Chacal B) Lobo C) Fauna D) Fiera E) Cuadrúpedo

53. SAN FRANCISCO A) Indígena B) Estado C) California D) Esquimal E) Norteamérica

59. CINEMÁTICA A) Dinámica B) Movimiento C) Estática D) Física E) Fuerza

48. HISTORIA A) Conquista Perú B) Ciencia C) Geografía D) Hecho E) Sociología

del

55. BIOLOGÍA A) Ciencia B) Zoología C) Matemática D) Vida E) Célula

49. CETÁCEO A) Ballena B) Mamífero C) Vertebrado D) Animal E) Pez 50. PICSI A) Ferreñafe B) La Libertad C) Poder Judicial D) Tumán E) Chiclayo

45. SAJINO A) Paquidermo B) Jabalí C) Mamífero D) Flora E) Vertebrado

54. CUARTETO A) Terceto B) Soneto C) Estrofa D) Lira E) Versificación

56. CUENTO A) Moreto B) Lit. Regional C) Escritor D) Fábula E) Narrativa 57. MIJO A) Legumbre B) Menestra C) Cereal D) Hortaliza E) Cacahuete

51. COBRA A) Insecto B) Flora C) Boa D) Ofidio E) Saurio

60. CETÁCEO A) Ballena B) Mamífero C) Vertebrado D) Animal E) Pez 61. CASERÍO A) Ciudad B) Provincia C) Jardín D) Calle E) Distrito 62. PINTURA A) Cuadro B) Pindeoteca C) Fresco D) Literatura E) Arte 63. ESPAÑA A) Navarra B) Continental C) Europa D) Iberoamérica E) Gilbrartar

CLAVES DE RESPUESTAS 1. A 13. E 25. D 37. B 49. D 61. B

2. E 14. A 26. C 38. D 50. E 62. E

3. D 15. B 27. B 39. D 51. D 63. C

4. E 16. E 28. E 40. B 52. D

5. B 17. D 29. C 41. A 53. E

6. A 18. B 30. A 42. D 54. C

7. E 19. C 31. C 43. D 55. B

8. B 20. A 32. A 44. E 56. E

9. A 21. B 33. E 45. E 57. C

10. C 22. A 34. C 46. B 58. E

11. B 23. E 35. A 47. C 59. D

12. B 24. B 36. D 48. B 60. D

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Raz. Verbal

Series Verbales John Neper 2017

Las series incluyentes se relacionarán dentro de un orden establecido y para determinar la forma de su estructura presentada se tendrá en cuenta la relación de SINONIMIA, ANTONIMIA, HIPERONIMIA, HIPONIMIA y COHIPONIMIA.

SERIES VERBALES

SERIES POR SINONIMIA Y ANTONIMIA

 Llamamos serie al conjunto de palabras que guardan una misma relación entre sí.

Es un ejercicio que consiste en incluir un término en las mismas relaciones semánticas (sinonimia o antonimia) de los elementos de la serie matriz; es decir, insertar en su secuencia un término equivalente o afín a la serie matriz.

 Son grupos de palabras que tiene un criterio común, un mismo significado o valor, el cual los une, formando así una SERIE o CADENA VERBAL.  Es la cadena o serie de palabras que corresponden al mismo campo semántico y que pueden incluir en su secuencia a términos que poseen mayor, menor o igual contenido de significado.

Ejemplo  POR SINONIMIA: 1. Manantial, fuente, filón, __________. A) Venero* C) Lábaro E) Cauce

B) Agua D) Decurso

Para este tipo de ejercicios se utiliza una secuencia de por lo menos cinco términos, en los cuales se ha omitido una palabra y su ubicación dependerá de la relación existente en toda la serie. Además, la alternativa escogida deberá poseer el mismo valor semántico.

En estos ejercicios se utilizan signos de puntuación como la coma, punto y coma y puntos suspensivos.

Ejemplo:

 POR ANTONIMIA:

Catolicismo, judaísmo, islamismo, budismo Serie conformada por religiones Recuerda que para completar una serie de palabras, primero debes encontrar la relación que existe entre ellas. Cuando hayas descubierto, podrás buscar secuencias similares. Por ejemplo:  Kerosene, parafina, aceite, gasolina. (Derivados del petróleo)  Serpiente, lagarto, tortuga, iguana. (Reptiles)  Correr, saltar, cantar, llorar. (Verbos)

Ejemplo

1. Inteligible, _____; tarde, planificado, ______. A) Confuso – Previsto B) Talentoso – Frecuente C) Abstruso – Fortuito* D) Difícil - Inopinado E) Ignaro – Frívolo

temprano;

SERIES POR HIPERONIMIA, HIPONIMIA Y COHIPONIMIA  POR HIPERONIMIA Es la serie o relación en la que los elementos coordinados poseen las mismas características y necesitan un término que posea la mayor extensión semántica, entendiéndose como tal al inmediato superior. Ejemplo:

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Raz. Verbal 2. ONCEAVO, DIEZ, VIGÉSIMO, TRIPLE: ____. A) Ordinales B) Adjetivos C) Cardinales D) Palabras E) Partitivos

Aquí se trabaja con el esquema 1, 2, 3 para dar con la respuesta, que en este caso, será la alternativa “c”

Todo hiperónimo globaliza semánticamente a otros elementos que tienen la misma relación o pertenecen al mismo nivel semántico. En los ejemplos anteriores, las palabras que incluyen a la serie son DESCRIPCIÓN (ejemplo 1) y ADJETIVOS (ejemplo 2).

Es la serie que necesita un término con las mismas características semánticas. Para la solución de este ejercicio se necesita de otro término cuyo nivel semántico sea semejante. Ejemplo:

 POR COHIPONIMIA

1. ZORRO, LOBO, ____, PERRO, CHACAL.  POR HIPONIMIA Es la serie o relación en la que los elementos coordinados poseen las mismas características y necesitan un término que posea la menor extensión semántica, es decir, al mínimo. Ejemplo: 1. ADVERBIOS: MAÑANA, POCO, DETRÁS, TODAVÍA, HARTO, _______. A) Encima* B) Adverbios C) Hoy D) Demasiado E) Adjetivos Existen otras formas en las cuales los elementos están dispersos, debiéndose encontrar la relación entre las palabras de la serie. Ejemplo: 1. PRONOMBRE, _________, ADVERBIO; 1 2 3 TÚ, HACIA, ___________ 1 2 3 A) B) C) D) E)

Sustantivo – Fácilmente Sujeto – Sutilmente Preposición – Rápido Conjunción – Tranquilo Sobre – Casi

Aquí se trabaja con el esquema 1, 2, 3 para dar con la respuesta, que en este caso, será la alternativa “c” La relación debe ir así: A, B, C; ___, ___, ____ 1 2 3 1 2 3

A) Lince C) Bóxer D) Pittbull

B) Cánido E) Coyote*

En el primer ejemplo la relación de cánidos se completa con el coyote mientras que en el segundo ejemplo guisante (legumbres).

SERIES POR SINONIMIA 1. Manantial, fuente, filón, __________. A) Venero D) Cauce

B) Agua E) Decurso

C) Lábar

2. Complacencia, ____; mezquinar, _____; áulico, palaciego. A) Júbilo, Sustraer C) Fruición, Escatimar E) Gozo, Avaricia

B) Algarabía, Acortar D) Triunfo, Ufanar

SERIES POR ANTONIMIA 3. Inteligible, ___; tarde, temprano; planificado, _____. A) Confuso – Previsto B) Talentoso – Frecuente C) Abstruso – Fortuito D) Difícil - Inopinado E) Ignaro – Frívolo 4. Eximio, egregio, eminente:___ A) Exaltar D) Procaz

B) Adocenado E) Exigente

C) Pueril

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Raz. Verbal SERIES POR HIPERONIMIA

12. Estéril, árido, yermo, …

5. CRINOGRAFÍA, RETRATO, PROSOPOGRAFÍA: _____ A) Especie C) Descripción E) Topografía

B) Género D) Literatura

6. ONCEAVO, DIEZ, VIGÉSIMO, TRIPLE: ____. A) Ordinales C) Cardinales E) Partitivos

B) Adjetivos D) Palabras

SERIES POR HIPONIMIA 7. ADVERBIOS: MAÑANA, POCO, TODAVÍA, HARTO, _______. A) Encima D) Adjetivos

B) Adverbios E) Demasiado

DETRÁS,

B) Paloma

C) Hoy

C) Aves E) Loro

SERIES POR COHIPONIMIA

B) Cánido

C) Bóxer E) Coyote

10. HABA, CHILENO, LENTEJA, _____. A) Avena C) Legumbre E) Berenjena

B) Guisant D) Centeno

13. Elija el término que no guarda relación con los demás. A) Tranquilo. C) Pacífico. E) Calmado.

B) Sosegado D) Atento

14. Prístino, original, ancestral, … A) Límpido. C) Primordial. E) Diáfano.

B) Veraz. D) Moderno.

A) Juicio. C) Proposición E) Sofisma.

E) Criterio. D) Aforismo

16. Intranquilizar, aquietar, alarmar, A) Detener. C) Adormecer. E) Apaciguar.

B) Eliminar. D) Distraer.

A) Amigable, serio B) Indolente, impasible C) Dañado, ileso D) Erudito, docto E) Egregio, modesto 18. Elija el término que no guarda relación con los demás. A) Honradez C) Rectitud E) Honestidad

MISCELÁNEA

B) Integridad D) Afabilidad

19. Poltrón, perezoso; frugal, parco; zafio, grosero;

11. Perverso, desalmado, protervo, … A) Hipócrita. B) Desconfiado. D) Inclemente. E) Imprudente.

C) Triste.

17. Determine el par formado por antonimia.

9. ZORRO, LOBO, ____, PERRO, CHACAL. A) Lince D) Pittbull

B) Infructuoso. E) Molesto.

15. Apotegma, sentencia, máxima,

8. CANARIO, RUISEÑOR, JILGUERO,TORDO,__: AVES A) Gaviota D) Zorzal

A) Híbrido. D) Opresivo.

C) Cínico.

A) Urente, Gélido B) Parlanchín, Locuaz C) Liberto, Esclavo

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Raz. Verbal D) Diáfano, Oculto E) Lábil, Macizo

A) Mutismo, Sosegado. B) Sabor, Insípido. C) Ocio, Retraído. D) Aflicción, Atribulado. E) Susurro, Callado.

20. Trampa, ardid, artimaña, ... A) Convenio D) Riña

B) Disputa

C) Treta E) Astucia

21. Cuestionar, criticar, refutar, ... A) Constreñir C) Objetar E) Imputar

B) Regañar D) Delimitar

22. Suspicaz, desconfiado, reticente, ... A) Rencoroso C) Rebelde E) Ramplón

B) Díscolo D) Receloso

B) Refinado. D) Sobrio.

24. Pelear, armonizar; lidiar, avenir; reñir, ... A) Otorgar. C) Comprender. E) Conciliar.

B) Atender. D) Escuchar.

25. Sofisma, embuste, argucia, ………. A) Desencanto. C) Engaño. E) Daño.

B) Ironía. D) Burla.

26. Abrasador, caliente, templado, frío, …... A) Gélido. C) Atemperado. E) Indiferente.

B) Tibio. D) Pálido.

27. Alianza, convenio, pacto, …………. A) Acuerdo. C) Asistencia. E) Contubernio.

A) Colosal. C) Cuantioso. E) Oneroso.

B) Confabulación. D) Mezcla.

28. Tristeza, taciturno; recelo, suspicaz; …….

B) Dantesco. D) Magnífico.

30. Atenuar, morigerar, paliar, … A) Limitar. C) Concentrar. E) Mitigar.

B) Ajustar. D) Anonadar.

31. Abandonar, desamparar, descuidar, ... A) Resignarse. C) Desentenderse. E) Repeler.

23. Insigne, egregio, ilustre, ... A) Célebre. C) Amable. E) Estimado.

29. Abundante, nutrido, profuso, …

B) Ausentarse. D) Desdeñar.

32. Goce, disfrute, satisfacción, ... A) Complacencia. C) Risa. E) Pasatiempo.

B) Recreo. D) Juerga.

33. Similar, semejante, parecido, .... A) Regular. C) Simétrico. E) Análogo.

B) Exacto. D) Contiguo.

34. Conciso, escueto, sucinto, ... A) Lacónico. C) Extenso. E) Denso.

1. A 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A

B) Prolijo. D) Superfluo.

CLAVES DE RESPUESTAS 8. D 15. E 22. D 9. E 16. D 23. A 10. B 17. C 24. E 11. D 18. D 25. C 12. B 19. B 26. A 13. D 20. C 27. A 14. C 21. C 28. D

29. C 30. E 31. C 32. A 33. E 34. A

21

Raz. Verbal

Analogías John Neper 2017 Es la similitud o afinidad de relaciones existentes entre dos pares de palabras. Esta semejanza emerge a raíz del proceso de comparación y se consolida considerando los rasgos más importantes y notorios de dichas relaciones. Relaciones Analógicas Son las diferentes denominaciones que se han establecido para referirse a las relaciones analógicas que resultan de confrontar dos palabras. A continuación se presentan las relaciones analógicas que se consideran prioritarias para el lector.

RELACION RELACION TIPOS BASE VERBALIZADA ANALOGICOS Electrón : El electrón es Parte a todo átomo parte del átomo La madre se Madre : caracteriza por Característica abnegación la abnegación Ambos se Arco : violín necesitan Complemento mutuamente La gangrena Gangrena : trae por efecto Causa a efecto amputación la amputación La boyada es el Boyada : Conjunto a conjunto de buey elemento bueyes La balanza Balanza : simboliza la Simbolización justicia justicia El silo es un Silo : granos depósito de Lugar a agente granos El azul es un Especie a Azul : color color género

Fa y el sol son notas musicales La calculadora , Calculadora ha superado al : ábaco ábaco De la leche se Leche : obtiene el yogurt yogurt Risa es menos Risa : que la carcajada carcajada Lacónico es Lacónico : sinónimo de conciso conciso Erudito es Erudito : antónimo de ignaro ignaro El crepúsculo Crepúsculo : sucede al atardecer atardecer El arqueólogo Arqueólogo : estudia las ruinas ruinas La función de la Estufa : estufa es calentar calentar El bisturí es el Cirujano : instrumento del bisturí cirujano Árbitro : El árbitro usa silbato un silbato El botones Botones : trabaja en un hotel hotel El lobo, Lobo : aúlla mamífero que aúlla Fa : sol

Cohiponimia Evolución Materia a producto Intensidad Sinonimia Antonimia Secuencia Agente a objeto d estudio Agente a función Agente a instrumento Agente a instrumento Agente a lugar Onomatopéyica

22

Raz. Verbal ANALOGÍAS BÁSICAS 1. CHIPRE : CHIPRIOTA :: A) Casa: casona B) Jerusalén: judío C) Israel: jesuita D) Iquique: iqueño E) Cádiz: gaditano 2. CUARTO: VIVIENDA:: A) Iglesia: Altar B) Jardín: Garaje C) Vestido: Blusa D) Aula: Colegio E) Cordón: Túnica 3. PÁJARO: ALA A) Perro: Hocico B) Vaca: Pezuña C) Pez: Aleta D) Hombre: Pierna E) Árbol: Fruta 4. HOJA: ÁRBOL A) Raíz: Árbol B) Motor: Automóvil C) Hora: Reloj D) Antena: Televisor E) Cimiento: Pared 5. BARCO: AGUA A) Peatón: Accra B) Satélite: Luna C) Lancha: Río D) Avión: Aire E) Automóvil: Carretera 6. SANDÍA: FRUTA:: A) Fibra: Tejido B) Mesa: Paja C) Lengua: Latín D) Estación: Tren E) Otoño: Estación 7. COLMENA: ABEJAS A) Jaula: Leones B) Peces: Agua C) Establo: Vacas D) Nido: Ovada E) Caparazón: Tortugas

8. RUEDA: VEHÍCULO A) Pata: Animal B) Suelo: Carretera C) Timón: Barco D) Bastón: Ciego E) Gusano: Tierra 9. ESCUCHAR: PALABRA:: A) Dictar: Dictado B) Piedra: Escupir C) Comer: Vianda D) Observar: Imagen E) Apreciar: Carta 10. TIZA: CRAYOLA:: A) Tinta: Pluma B) Mueble: Sillón C) Mota Borrador D) Pizarra: Cartulina E) Escritor: Dibujante 11. NOTICIA: PERIÓDICO:: A) Idear Alegoría B) Aire: Llanta C) Letra: Palabra D) Texto: Libro E) Norma: Publicación 12. PEZ: PECERA:: A) Pájaro: Nido B) Soldado: Guerra C) Preso: Cárcel D) Mujer: Hogar E) Abeja: Colmena 13. PLUSVALÍA: GANANCIA:: A) Adulto: Anciano B) Energía: Vigor C) Poder: Dinero D) Recurrir: ir E) Acudir: Inasistir 14. ESPUMA: AGUA A) Nata: Leche B) Nube: Cielo C) Ola: Mar D) Remolino: Aire E) Vino: Vinagre

A) Feticida: Aborto B) Hijo: Fraticida E) Muerto: Duelo D) Mujer: Homicida E) Amigo: Filicida 16. PELUDO: LAMPIÑO:: A) Cauto: Violento B) Bailar: Cantar C) Largo: Delgado D) Rico: Pobre E) Esperanza: Pesimismo 17. CERA: BETÚN:: A) Cuero: parquet B) Vela: pasta C) Líquido: sólida D) Zapato: piso E) Petróleo: derivado 18. PORO: PIEL:: A) Centro: círculo B) Punto: plano C) Coco: malla D) Estoma: hoja E) Nudo: red 19. VIOLÍN: ARPA :: A) Tambor: cajón B) Laúd: charango C) Piano: quena D) Trombón: metal E) Zampoña: cañas 20. PALABRA: FRASE:: A) Casa: Hombre B) Párrafo: Oración C) Párrafo: Texto D) Hora: Segundo E) Preparado: Instruido 21. REGADERA: REGAR A) Medicina: Tomar B) Zapato: Caminar C) Semilla: Sembrar D) Jeringa: Inyectar E) Casa: Vivienda

15. MADRE: MATRICIDA::

23

Raz. Verbal ANALOGÍAS TRINÒMICAS 22. ANCA: POTRO: FECHA: A) Mes B) Día D) Arco 23. PEZ: PÁJARO: SUBMARINO: A) Piloto B) Aeródromo D) Buque E) Mar

C) Epístola E) Galpón C) Avión

24. DARIO FO: 1997 :: GUNTER GRASS: A) 1999 B) 1989 C) 1985 D) 1995 E) 1990 25. PLUMA: ALA: SEGUNDO: A) Día B) Hora D) Semana

C) Minuto E) Reloj

26. SALA: CASA: MANECILLAS: A) Manubrio B) Bicicleta D) Reloj

C) Cuerpo E) Brazo

27. LIBRO: IDEAS: LAPICERO: A) Escribir B) Tapa D) Letras

C) Dibujar E) Tinta

28. MANZANA: FRUTA: CENTENO: A) Gramilla B) Árbol D) Alimento

C) Avena E) Cereal

29. BALDÓN: AFRENTA: ESCUDRIÑAR: A) Objetar B) Insinuar C) Proteger D) Prever E) Escrutar 30. ENOFILIA: VINO: ANAFIA: A) Gusto B) Tacto D) Oído

C) Visión E) Olfato

31. AXIS: COLUMNA: ASTRÁGALO: A) Omóplato B) Hombre D) Pie

C) Cara E) Cadera

32. PIURA: 1532: TRUJILLO: A) 1536 B) 1534 D) 1538

C) 1535 E) 1541

33. QUESO: LECHE: SIDRA: A) Mental B) Vino D) Naranja E) Manzana

C) Alcohol

34. SONETO: POESÍA: CUBOIDES: A) Geometría B) Trípode D) Polígono

C) Hueso E) Cubo

35. ZEUS: JÚPITER: HADES: A) Hefaistos B) Plutón D) Hera

C) Vulcano E) Tetis

36. SAPO: INSECTÍVORO:: FOCA: A) Anfibio B) Carnívoro D) Ictiófago

C) Morsa E) Rana

37. PIEL: POROS :: HOJAS : A) Antera B) Sépalo D) Estilo

C) Estomas E) Pedicelo

38. PATATA: CASCARA: ÁRBOL: A) Fruto B) Rama D) Tallo

C) Corteza E) Vegetal

39. MEDUSA: PERSEO: MINOTAURO: A) Minos B) Pisistrato C) Teseo D) Hércules E) Orfeo 40. BAHÍA: OCÉANO: PENÍNSULA: A) Océano B) Continente D) Meseta

C) Punta E) Golfo

41. ADENITIS: GLANDULAS: ORQUITIS: A) Vagina B) Testículos C) Hígado D) Huesos E) Bazo 42. SUBMARINO: NAVE: AURA: A) Fenómeno B) Alborada D) Ventarrón

C) Pez E) Ave

43. “LA PIEDAD”: MIGUEL ÁNGEL: “LA CENA”: A) Leonardo B) Rafael C) Goya D) Picasso E) Dali 44. ONZA: FELINO: CHITA: A) Hueso C) Omnívoro E) Humanoide

B) Bípedo D) Opúsculo

45. PEPA: MANGO: ENCÉFALO: A) Cerebro B) Cráneo C) Esqueleto D) Dicocefalo E) Cabeza

24

Raz. Verbal ANALOGÍAS TETRANÒMICAS 46. CEBRA: TORO :: VACA: ASNO A) León: caballo :: yegua: chacal B) Plátano: gato :: gata: palta C) Sofá: chivo :: cabra: silla D) Equino: torero :: vaquero: corcel E) Lobo: hombre :: mujer: macaco 47. BOYADA: TRIGO :: ARROZ: BUEYES A) Resma: papa :: camote: reses B) Jardín: apio :: oca: flores C) Jauría: barco :: nave: perros D) Bosque: avena :: cebada: pino E) Recua: bandera :: escudo: acémilas 48. MANGO: RIO :: PEPA: RECODO A) Oído: estadio :: yunque: tribuna B) Pico: cara :: cordillera: ojo C) Auto: oreja :: oído: gasolina D) Pata: playa :: mamífero: mar E) Aleta: mano :: foca: guante 49. “GIOCONDA”: MARTE :: PINTURA: PLANETA A) “La marsellesa”: medico :: himno: cirujano B) “Discóbolo”: búho :: cuadro: animal C) Pele: monstruo :: jugador: amorfo D) Coronel: corazón :: militar: órgano E) “La Piedad”: batracio :: escultura: libro 50. JUEZ: PATÍBULO :: VERDUGO: SENTENCIAR A) Oveja: colegio :: maestro: oír B) Payaso: prisión :: reo: reír C) Abogado: libro :: lector: defensa D) Maestro: altar :: sacerdote: enseñar E) Notario: sepulcro :: cadáver: legalizar 51. PLAN: EROSIÓN:: ROCA: PROYECTO A) Conjetura: corrosión:: metal: presunción B) Prontuario: fatiga :: trabajo: dato C) Archivo: desgaste :: uso: folio D) Trayecto: agua :: humedad: meta E) Tesis: distracción :: fiesta: hipótesis 52. MUJER: RECTOR :: HOMBRE: RECTORÍA A) Terno: artista :: chaleco: exposición B) Peineta: profesor :: peine: facultad C) Blusa: facultad :: camisa: universidad D) Saya: medicina :: pantalones: asamblea E) Infanta: Alcalde :: infante: alcaldía

53. ESTELA: ESCOBA :: ASPIRADORA: BARCO A) Surco: escalera :: ascensor: arado B) Ala: ábaco :: calculadora: ave C) Sala: fogón :: cocina: casa D) Proa: barrer :: aspirar: embarcación E) Interés: cometa :: avión: capital 54. ACERO: CALCULADORA: CALCULAR A) Vinagre: bote :: acritud: navegar B) Colmena: vaca :: miel: ordenar C) Vino: libro :: dulzura: biblioteca D) Algodón: leer :: suavidad: libro E) Rosa: avión :: roja: volar

DUREZA:

55. POCILGA: MARGARITA :: PALACIO: DUDA A) Denuedo: bandera :: cobardía: Perú B) Cenceño: cetro :: enjuto: poder C) Mórbido: búho :: saludable: inteligencia D) Marrano: rosa :: cerdo: amor E) Sagaz: lechuza :: crédulo: creencia 56. MEDICO: NEWTON :: PACIENTE: EINSTEIN A) Abogado: Goethe :: cliente: Van Gogh B) Galeno: Picasso :: enfermo: Chejov C) Fiscal: Arguedas :: Vallejo: abogado D) Profesor: Grau :: estudiante: Bolognesi E) Radiografía: sabio :: enfermo: genio 57. GLACIAL: AMORFO :: INFORME: GÉLIDO A) Frígido: sápido :: soso: helado B) Ardiente: caliente :: sanar: curar C) Antagonista: frágil :: débil: inconstante D) Desafecto: precario :: pobre: híspido E) Poluto: mueble :: portátil: maculado 58. MADERA: PEDAL :: PIE: SILLA A) Árbol: omóplato :: hombro: mueble B) Cochinilla: anzuelo :: carnada: tinta C) Pez: dedal :: dedo: nada D) Médico: hospital :: perro: ladra E) Autor: pintor :: pincel: obra 59. TENISTA: JUEZ :: JUZGADO: RAQUETA A) Futbolista: artista :: pelota: teatro B) Torero: empleado :: oficina: capote C) Marinero: locutor :: radio: barco D) Nadador: profesor :: escuela: agua E) Reo: madre :: hogar: cárcel

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Raz. Verbal ANALOGÍAS DE PARALELISMO 60. ........: UNGUIS :: TRONCO: ........ A) Ojo: Tórax B) Cara: Axis C) Mano: Pelvis D) Pie: Escápula E) Mano: Vértebra 61. ESTOMAGO: ..... :: HÍGADO: ..... A) Comida: Cólera B) Gastritis: Bilis C) Quimo: Bilis D) Esófago: Lóbulo E) Píloro: Metabolismo 62. ...........: AVE: DEPORTE: .......... A) Zopilote: Polo B) Avestruz: Correr C) Grulla: Atleta D) Paloma: Nadar E) Karate: Loro 63. OJOTA: ............ :: ..........: SOMBRERO A) Dedal: Visera B) Zapato: Chapeo C) Ojo: Cabeza D) Sandalia: Jipijapa E) Ojival: Sombrería 64. REVIENTA : _____::______ : VIENTO A) Ola: Silba B) Aceite: Huracán C) Maíz: Ventea D) Pop Corn: Tifón E) Bomba: Temporal 65. INTERJECCIÓN:_____ ::_____ : PEOR A) Entre: Modo B) ¡Bah!: Adverbio C) ¡Ay!: Adjetivo D) ¡Oh!: Sustantivo E) ¡Aja!: Conjunción 66. BUCINADOR: .............. :: RECTO MAYOR: ................ A) Antebrazo: Cadera B) Hombro: Tronco C) Cutáneo: Abdominal D) Cabeza: Antebrazo E) Pierna: Cuello 67. CACO: ...... :: ........: OPOSICIÓN A) Fruta: Contra B) Malo: Ad C) Exceso: In D) Igual: Iso E) Desagradable: Di 68. SENDOS: ................ :: ..............: PRONOMBRE A) Adverbio: Tu B) Pronombre: Mi C) Verbo: Mira D) Adjetivo: Si E) Sustantivo: Contigo

69. ......: PARPADOS: ORQUITIS: ...... A) Blefaritis: Testículos B) Retinitis: Cornea C) Renitis: Pelvis Renal D) Conjuntivitis: Huesos E) Sinovitis: Lengua 70. KARATE: ....... :: ........: HAMBRE A) Kumite: Alimento B) Cinturón: Miseria C) Golpe: Pobreza D) Pelea: Desempleo E) Deporte: Necesidad 71. MISOGINIA: .... :: PIROFOBIA: .... A) Mujeres: Fuego B) Locura: Soledad C) Matrimonio: Candela D) Dolor: Incendio E) Vejez: Luz 72. .....: PURIFICACIÓN :: ÓBICE: ..... A) Catarsis: Obstáculo B) Confesión: Muerte C) Puritano: Óbito D) Blanco: Oscuro E) Sumiso: Obstruir

1. E 2. D 3. C 4. D 5. D 6. E 7. C 8. A 9. D 10. C 11. D 12. C 13. B 14. A 71. A

CLAVES DE RESPUESTAS 15. D 29. E 43. A 16. D 30. B 44. A 17. D 31. D 45. E 18. D 32. C 46. C 19. B 33. E 47. E 20. C 34. C 48. A 21. D 35. B 49. D 22. C 36. D 50. E 23. D 37. C 51. A 24. A 38. C 52. E 25. C 39. C 53. A 26. D 40. B 54. A 27. E 41. B 55. C 28. D 42. E 56. D 72. A

57. E 58. B 59. B 60. B 61. C 62. A 63. D 64. A 65. B 66. C 67. E 68. D 69. A 70. E

26

Raz. Matemático - I CÁLCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Sucesiones A. John Neper 2017

Tiene la forma: Tn = an + b Hallar el término enésimo de: 8; 12; 16; 20; 24;……

Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los casos anteriores), de modo que cada uno ocupe un lugar establecido, tal que se pueda distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente; acorde a una ley de formación o fórmula de recurrencia. 1.

SUCESIONES NUMÉRICAS: En los siguientes ejercicios encontrar el número que sigue: 1) 2; 3; 7; 15; 28;............ 2)

b  4; 8; 12; 16; 20; 24;... a  4 4 4 4 4  Tn  4n  4

B.

 Sucesión Geométrica (P.G.): Si la ley de formación se halla mediante multiplicaciones o divisiones y la razón es constante. 64; 32; 16; 8; 4

3.

4.

2a  6 6 6 6

 Tn  3n2  n  0

C.

Hallar el término enésimo de: 5; 10; 25; 60; 125;… a  5; 10; 25; 60; 125; ....... b   5 15 35 c  10 20 d  10

 Tn  5C



1B; 1B; 2C; 3D; 5F; 8I;............



17L25; 25Ñ16; 33Q9;............

SUCESIONES GRÁFICAS: ¿Qué figura sigue en cada caso?



;

;

SUCESIONES DE GRADO SUPERIOR Tiene la forma: Tn  a.Cn01  b.C1n 1  c.Cn21  d.Cn31  ...

A; D; I; O;............

SUCESIONES ALFANUMÉRICAS: Hallar el término que sigue en cada caso:

;

; .......

2; 10; 24; 44; ......

a  b  2 8 14 20 26

SUCESIONES LITERALES: Se toma como base 27 letras del alfabeto; no se consideran las letras dígrafas "CH" y "LL". En los siguientes ejercicios hallar la letra que sigue:  A; C; F; J;............ 

SUCESIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO: Tiene la forma: Tn = an2 + bn + c Hallar el término enésimo de: 2; 10; 24; 44;…

c  0;

7; 9; 12; 17; 25;............

 Sucesión Aritmética (P.A.): Si la ley de formación se halla mediante sumas o restas y la razón es constante. 3; 6; 9; 12; 15

2.

SUCESIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO:



n 1 0

 5C

10 n1 1

105

65

40

30

10

 10C n2 1  10C n3 1

SUCESIONES NOTABLES – ESPECIALES Naturales Impares Pares Múltiplos de K Triángulos

1; 2; 3; 4;… 1; 3; 5; 7;… 2; 4; 6; 8;… k; 2k; 3k;… 1; 3; 6; 10;…

Cuadrados Cubos

1; 4; 9; 16;… 1; 8; 27; 64;…

n 2n – 1 2n nk n(n  1) 2 n2 n3

27

Raz. Matemático - I

…… Problemas Resueltos 1. Halle el sexto término de la sucesión

01. Hallar el número que sigue en:

10; 16; 14; 20; 18

8 , 10 , 13 , 17 , 22 , … A) 23

B) 24

C) 28

D) 26

E) 22

Solución:

A) 22 D) 26

B) 24

2. Hallar el valor de “W” en: 5; 13; 43; 177; W

 Considerando la primera opción encontraremos:

8 , 10 , 13 , 17 , 22 , +2

+3

+4

+5

x

+6

A) 800 D) 861

A) 55 D) 78

02. Hallar la letra que sigue en: U, D, T, C, C, … C) Y

D) D

U NO

,

D OS

T

, C

T RES

,

C UATRO

30; 31; 35; 62; 318;…...

,

C C INCO

S S EIS

A) 5184 D) 2593

C) 233

D) 304

E) 278

5

C) 363 E) 364

x + 1; x + 4; x + 27; x + 256;…... 3

Hallar el valor del sexto término, cuando x = (−36)3

4

1 2 3 x 4  256 , , ,  7 12 17 y 22

5

B) 353

6. Se tiene la siguiente sucesión:

Solución: 2

C) 3443 E) 3430

5. Calcular el término 15 en la siguiente sucesión:

A) 360 D) 373

1 4 27 x , , , , ... 7 12 17 y

2

B) 3125

−15; − 14; − 9; 0; 13; 30; 51;…..

03. Hallar "x  y" en:

B) 97

C) 67 E) 81

4. Hallar el término que continúa en la sucesión:

Rpta  E

A) 81

B) 65

E) S

Solución: U , D

C) 891 E) 250

1 3 ; ;5 ; 13; 30; ... 4 2

Rpta  C

B) X

B) 777

3. Indique el término que continua en la sucesión:

Se deduce

 x  22  6  28

A) P

C) 20 E) 28

5

A) 5 D) 2

 x  y  256  22  278 Rpta  E

B) 1

C) 3 E) 0

7. Hallar el valor de “x” en: m + 7; m6 + 12; m11 + 17;…; mx + 102

28

Raz. Matemático - I A) 90 D) 93

B) 96

C) 20 E) 40

8. Hallar el valor de “x + y” en:

A) PO D) ST

14 7 ; 7; 2 ; 2 7; 2 14; a1/2 2 2

Y dar como respuesta la suma de sus cifras. B) 6

C) SU E) VY

15. En la siguiente sucesión:

2; 14; 3; 16; 6; 20; 11; 26; x; y

A) 9 D) 7

B) TO

C) 8 E) 4

9. Hallar el número de términos de:

La suma de las cifras de “a” es: A) 13 D) 6

B) 11

C) 9 E) 4

16. La fracción inversa del término siguiente en la

a3;a6;a9;.......;(a  5)7

4 3 18 39 18 6 ; ; ; ; ; ... es: 5 4 22 42 17 5

sucesión: ; A) 106 D) 17

B) 19

C) 20 E) 18 A)

10. ¿Qué número o letra continua en:

D)

L; −2; J; −3; G; −4; …….? A) −6 D) C

B) −5

C) D E) B

11. La siguiente sucesión es una sucesión armónica

1 1 1 1 ; ; ; ;... 2x  3 x  8 3x  1 y Calcular el valor de: x + y A) 15 D) 18

B) 16

C) 17 E) 19

12. Hallar el número que continúa en: 8; 1; –1; 7; 31; 78;……. A) 146 D) 166

B) 148

C) 156 E) 168

13. Hallar los números que siguen en la siguiente sucesión: 3; 6; 18; 21; 24; 72; 75;…;… A) 99; 108 D) 78; 81

B) 54; 108 E) 102; 105

C) 99; 248

14. ¿Qué letras siguen en: B,D,E,G,I,K,N,O,…., …?

13 32 23

B)

13 23

C) E)

13

31 23 23

31

17. Determinar el número de términos de la siguiente sucesión: 8; 18; 38; 68;........... ; 1908. A) 16 D) 19

B) 17

C) 18 E) 20

18. La Escuela Profesional de Agroindustrial de la UNACH, realizó una encuesta en diferentes lugares del Departamento de Cajamarca sobre la preferencia de panetones “DONOFRIO”, arrojando los siguientes resultados: Celendín 3, San Miguel 10, Cutervo 29, Hualgayoc 66, y así sucesivamente y por último en la ciudad de Cajamarca se obtuvo 1730, dichos resultados siguen una secuencia. En el penúltimo lugar que es Jaén, la preferencia fue de: A) 1354 D) 1526

B) 1140

C) 1108 E) 1333

19. ¿Cuál es el tercer término de la siguiente sucesión: 3; 6; 11; 18; 27;….; que termina en cifra 7? A) 127 D) 627

B) 227

C) 427 E) 297

29

Raz. Matemático - I

20. Halle el término n – ésimo de:

n n1 n D) 2 n 1 A)

B)

1 2 3 2 ; ; ; ;... 2 5 10 17

n 2 n 1

n 2 n 1 n E) n C)

21. Halle la suma de las cifras del trigésimo término de la sucesión: 9; 12; 17; 24; ... A) 14 D) 17

B) 15

C) 16 E) 18

22. La siguiente sucesión está bien escrita desde el 2 sucesivamente hasta el número 13, después de este hay un término mal escrito. ¿Cuál es?

2; 6; 10; 15; 13; 78; 77; 82; 86; 90 A) 77 D) 13

B) 78

C) 82 E) 86

B) 39

C) 41 E) 52

7 9 11 13 24. En la sucesión: 5; ;  ; ;  ; ... 2 3 4 5 Calcular el valor de a9  a10 1 30 2 D)  15

B) 

A)

1 30

2 15 7 E) 15 C)

25. Calcular el a10 de la siguiente sucesión:

2; A)

1 1024

1 1 ; 8; ; 32; ... 2 8 B) 1024

C)

A) 8 D) 9

1 512

1 256

B) 7

C) 10 E) 6

27. En la sucesión siguiente: 7; 19; 37; 61; 91;….. Hallar la diferencia entre el último término de 3 cifras y el primer término de 3 cifras. A) 919 D) 797

B) 127

C) 792 E) 897

28. En la siguiente sucesión halla el primer término:…; 268; 274; 280 (41 términos) B) 40

C) 42 E) 46

29. ¿Qué número falta en: 324; 216; 144; 96; x? A) 64 D) 180

18; 21; 12; 24; 27; 72; 30; 33; ...

E)

26. ¿Cuántos términos de 4 cifras hay en la siguiente sucesión? 1; 12; 45; 112;…..

A) 38 D) 44

23. Halle el número que sigue en la sucesión:

A) 36 D) 33

D) 512

B) 48

C) 72 E) 154

30. De la siguiente sucesión numérica 11 13 5 17 21; 9; ; ; ; ; ... 3 9 9 81 Señale el término que ocupa el lugar 11

A)

1 93

D)

1 37

1. B 2. C 3. B 4. C 5. C 6. E

B)

1 273

CLAVES DE RESPUESTAS 7. B 13. D 19. D 8. D 14. C 20. C 9. B 15. E 21. D 10. D 16. C 22. B 11. D 17. E 23. D 12. C 18. E 24. B

C)

1 812

E)

3 272

25. C 26. D 27. C 28. B 29. A 30. A

30

Raz. Matemático - I

Progresiones John Neper 2017

PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A.) 1. Cálculo del n-ésimo término. an  a1  (n  1)r

2. Cálculo de la razón aritmética. a a r n 1 r  an  an1 n 1 3. Cálculo del primer término. a1  an  (n  1)r

4. Cálculo del número de términos. a a a a r n  n 1 1 n  n 1 r r 5. Cálculo del término central. a a t c  1 n Si “n” es impar. 2 6. Cálculo de la razón de interpolación. a a r n 1 m 1 7. Suma de términos de una progresión finita. (a  a )n Sn  1 n 2 8. Suma conociendo el término central. Sn  n.t c

9. Suma sin conocer el último término. n Sn  2a1  (n  1)r  2

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (P.G.) 1. Cálculo del n-ésimo término.

an  a1.r n1 2. Cálculo de la razón geométrica.

r

an an1

3. Cálculo del primer término.

a1 

an r n1

4. Cálculo del número de términos.

r  logr

an 1 a1

5. Cálculo del término central.

Tc  a1.an “n” impar. 6. Cálculo de la razón de interpolación.

r  m1 an  a1 7. Suma de términos de una P.G. finita. a .r  a1 Sn  n r 1 8. Suma de una P.G. sin conocer el último término.

Sn 

a1 (r n  1) r 1

9. Suma de una P.G. sin conocer el primer término.

Sn 

an (r n  1) r n  r n1

10. Suma sin conocer el primer término. n Sn  2an  (n  1)r  2

10. Suma de una P.G. decreciente infinita. a Sn  1 1 r

11. Termino equidistantes.

11. Producto de los términos de una P.G.

an  a1  an1  a2  an2  a3  ...

P  ( a1.an )n

31

Raz. Matemático - I

…… Problemas Resueltos 01. Los ángulos de un pentadecágono se encuentran en progresión aritmética. ¿Cuánto mide uno de dichos ángulos? A) 153º

B) 158º

C) 154º

D) 155º

E) 156º

Solución:

1. En una P.G. de 4 términos positivos se tiene que: a1  a3  49  a 2  a 4  36

Halle el cuatro término. A) 36/7 D) 5/4

B) 25/8

2. El cuarto término de una P.A. es 16 y el décimo término es 28. Hallar el término 50.

a ; a + r ; a + 2r ; …; a +14r.

15a  105r  180(15  2) a  7r  156º

A) 110 D) 105

Rpta  E

B) 108

a1  a  2; r  2  a; Sn  10  5a

Calcular el valor de n.

A) 1

A) 2 D) 5

C) 6

D) 8

E) 2

2

a, a , 3a r r a2  a  3 a  a2  r  2 a2  4 a

a2  2 a  0  a (a  2)  0  a = 2 Rpta  E 03. Sean: x; x  4; x  16, los tres primeros términos consecutivos de una progresión geométrica; hallar el quinto termino. UNACH – 2014 – II B) 158

C) 160

D) 162

B) 3

C) 7 E) 11

4. Hallar el número de términos de una progresión aritmética sabiendo que la suma de sus "n" términos no varía al aumentar en 1 a la razón y al mismo tiempo disminuir en 30 a su primer término.

Solución:

A) 152

C) 106 E) 50

3. En una P.A se conoce que:

02. Si a, a2 , 3a, ... son términos de una sucesión aritmética. Indicar el valor de a. B) 4

C) 49/6 E) 64/7

E) 170

Solución:

x  4 x  16  x2  x x4 La razón geométrica de: 2, 6, 18,…. Hallando: x  r  3 y a1  2

Hallando 5to término:

A) 41 D) 61

Rpta  D

C) 71 E) 81

5. Los siguientes números están en progresión aritméticas; 4,……, 32,……., 53. Si la suma del cuarto término y el sexto tèrmino es 64. Halle la suma de todos los términos de la sucesión dada. A) 224 D) 236

B) 228

C) 232 E) 240

6. Se tiene 3 números en progresión aritmética, si se aumenta en 2, 3 y 8 respectivamente obtenemos números proporcionales a 10, 25 y 50. Luego el mayor de estos es: A) 12 D) 15

an  a1.r n1  a5  2.351  a5  162

B) 51

B) 13

C) 7 E) 11

7. Halle el octavo término de la:

32

Raz. Matemático - I P.G.: 3125; 1250; 500; ... A) 4/5 D) 64/625

B) 16/25

C) 32/125 E) 128/25

5 8. En una P.G. se cumple que: a6  50 y r  . 2 Calcule a 2 . A) 32/25 D) 64/25

B) 8/5

C) 16/25 E) 4/25

9. Calcule la suma de los 13 primeros términos de la P.G.: 2;  4; 8; ... A) 2618 D) 5462

B) 3846

C) 4932 E) 6380

10. En una P.G. la suma de los 6 primeros términos es igual 28 veces la suma de los 3 primeros términos. Halle la razón. A) 6 D) 4

B) 5

C) 8 E) 3

11. Halle la razón de una progresión geométrica de 4 términos, si la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos es 175. A) 1 D) 4

B) 2

C) 2,5 E) 6,5

12. Dado:

A) 5/6 D) 12/25

B) 13/24

C) 8/9 E) 18/29

15. En una progresión aritmética, el primer término es 2, además los términos de lugares 2; 5 y 14 forman una progresión geométrica. Halle la suma de los 15 términos de dicha P.G. A) 200 D) 360

B) 250

C) 300 E) 450

3 7 15 31 16. Calcule el valor de: S      ... 4 16 64 256 A) 1 D) 5/8

B) 3/4

C) 7/10 E) 5/3

17. La suma de 3 números en progresión geométrica es 70; si se multiplica al primer y tercer término por 4 y al intermedio por 5 los productos están en progresión aritmética. Halle el primer término de dicha P.G. creciente. A) 10 D) 20

B) 12

C) 18 E) 36

18. Las edades de 5 personas están en P.G.; siendo

220 el producto de las edades. Halle la edad en

años de la persona intermedia.

1 1 1 S    2 8 32

3 1 1 Q     4 2 3

Calcule: Q  S. A) 2/3 D) 9/2

14. Calcule el valor de: 2 3 2 3 2 3 F   2  3  4  5  6  ... 5 5 5 5 5 5

B) 5/4

C) 3/8 E) 12/5

A) 4 D) 32

B) 8

C) 16 E) 64

19. Dada la P.G.: a; b; c; d; se sabe que: a  d  7. Calcule el valor de la expresión:

W   a  c    b  c   b  d  2

2

2

13. Hale el número de términos de la P.G.: A) 16 D) 65

3; 3 2; 6; ...;192 2

A) 10 D) 16

B) 12

C) 14 E) 18

B) 30

C) 49 E) 72

20. La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los 3 primeros términos. Halle la razón.

33

Raz. Matemático - I A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

21. La suma de los términos que ocupan el lugar impar es una progresión geométrica de 6 términos es 637, y la suma de los que ocupan el lugar par es 1911, hallar la suma del primer término y la razón. A) 14 D) 9

B) 13

C) 10 E) 8

22. El número de términos de una progresión geométrica creciente es 6, la suma de todos ellos es 364 y la diferencia entre el cuarto termino y el tercero es igual al séxtuplo del segundo ¿Cuál es el primer término? A) 1 D) 3/52

B) 2

C) 52/3 E) 4

23. Si en una progresión aritmética el décimo 1 1 séptimo es 11 y el primero es 3 , hallar la 2 2 razón.

1 2 1 D) 5 A)

B)

1 3

1 4 2 E) 3 C)

24. Si el séptimo término de una progresión aritmética es 16 y el décimo quinto término es 32, Indicar la suma de cifras del quinto término de esta progresión. A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3 25. Un numero positivo consta de 4 cifras, las cuales están en P.G., si la suma de sus cifras es 15, la última cifra es 8 y la razón es 2 ¿cuál es ese número? A) 1248 D) 2348

B) 1348

C) 1138 E) N.A

26. Una persona se propuso ahorrar en el orden siguiente: primer mes $/.10, segundo mes $. /13,

tercer mes $/.16 y así sucesivamente ¿Cuánto ahorro durante 2 años? A) $/.1068 D) $/.1060

B) $/.1680

C) $/.1100 E) $/.N.A

27. Si 2x1, 2x3 , 224 están en P.A. ¿Cuál es el siguiente término? A) 392 D) 340

B) 320

C) 300 E) 228

28. El sexto y el noveno término de una progresión geométrica son 8a y 27a, respectivamente, ¿Cuál es el octavo término? A) 12a D) 3a

B) 18a

C) 6 a E) 4 3a

29. En una P.A., creciente de 6 términos, el producto del segundo y el cuarto termino es 171, y su suma es 28 ¿Cuál es el sexto tèrmino? A) 30 D) 29

B) 27

C) 28 E) 32

30. Calcule el valor de: A  9  99  999 

 999

99

20 cifras

1020  180 8 1021  1 C) 18 1021  190 E) 9 A)

1. A 2. B 3. D 4. D 5. B 6. A

1021  120 9 1020  20 D) 90 B)

CLAVES DE RESPUESTAS 7. E 13. C 19. C 8. A 14. B 20. B 9. D 15. E 21. C 10. E 16. E 22. B 11. C 17. A 23. A 12. B 18. C 24. E

25. A 26. A 27. B 28. B 29. D 30. E

34

Raz. Matemático - I 3.- Suma de los “n” primeros números naturales impares:

Series y Sumatorias

1 3  5  7  ...  (2n  1)  n2

John Neper 2017

4.- Suma de los cuadrados de los “n” primeros números naturales: n(n  1)(2n  1) 12  22  32  ...  n2  6

 SERIES: Serie Numérica Serie Aritmética

 a1; a2 ; a3 ; a4 ; ... ; an

5.- Suma de los cubos de los “n” primeros números naturales:

Aritmética

Lineal

an  a1  (n  1)r

 n(n  1)  13  23  33  ...  n3     2 

a  a  Sn   1 n  n  ac n  2   2a   n  1 r  Sn   1 n 2  

Orden Superior

a1

;

a2

p

;

a3

q a

a4

;

r b

m

; .....

;

an

s

m



an  a1Cn01  pC1n1  aCn21  mCn31

Serie Geométrica

Lineal

Geométrica

 a1; a2 ; a3 ; a4 ; ... ; an Sn 

6.- Suma de los “n” primeros productos binarios: n(n  1)(n  2) 1 2  2  3  3  4  ...  n(n  1)  3 7.- Suma de los “n” primeros productos ternarios: 1 2  3  2  3  4  ...  n(n  1)(n  2)

c

S  a1C1n  pCn2  aCn3  mCn4

an  a1r n1

2

a1  r n  1 r 1

Suma límite: S  t1  t 2  t 3  t 4  ...   

t1 1 r

n(n  1)(n  2)(n  3) 4

8.- Suma de las inversas de los productos binarios:

1 1 1 1 1 1    ...      a1.a2 a2 .a3 an1.an r  a1 an  9.- Suma de los cuadrados de los “n” primeros números pares naturales.

22  42  62  ...   2n  2

Donde: 0  r  1 ; r  1; r  0

 SUMATORIAS NOTABLES: 1.- Suma de los “n” primeros números naturales n(n  1) 1  2  3  4  5  ...  n  2 2.- Suma de los “n” primeros números naturales pares: 2  4  6  8  ...  2n  n(n  1)

 2n 2n  1 2n  2 6

10.- Suma de los cuadrados de los “n” primeros números impares naturales. (2n  1)(2n)(2n  1) 12  32  52  ...  (2n  1)2  6 11.- Suma de los cubos de los “n” primeros números pares naturales. 23  43  63  ...   2n  2 nn  1 3

2

35

Raz. Matemático - I  SUMATORIAS

Solución:

n

a  a i1

Donde:  n 1 i ai

: : : : :

i

1

 a 2  ...  a n

Símbolo de la suma Límite Superior Límite Inferior Índice de la Suma Término general de la suma

Ah, entonces es la forma simplificada de una serie: n



1 1 1   1 S  36     ....  11.12   1.2 2.3 3.4  1 1 1 1 1 1 1 S  36  1       ....   11 12   2 2 3 3 4  11  S  36    S  33  12  Rpta  D 02. Dado el siguiente arreglo numérico:

: Sumatoria desde k = 1 hasta k = n.

2

k1

4

12 16 18 20 ……………………........... Halle la suma de la fila 15.

PROPIEDADES: q

I)

a kp

k

 Nº de términos  q  p  1

A) 3380 D) 3380

c  n  a  1 c ; c: constante k=a

IV)

 c  n.c

2;

n

n

ka

ka

n

V)

 at

VI)

(ak k 1

k

2

30 ;

68; ...

3

Rpta  B n

n

km

km

n

n

n

k1

k1

k1

 bzk   a t k  b zk  bk  c)   ak 2   bk   c

…… Problemas Resueltos 01. Los ángulos de un pentadecágono se encuentran Hallar el valor de S; donde: UNACH – 2014 – II

36 n1 n(n  1) 11

S A) 13 D) 33

10 ; 3

f15  153  15  3390

 at k   a t k

n

C) 3395 E) 3490

1  1 2  2 3  3 43  4 3

k1

km

B) 3390

Solución:

n

III)

10

14

n

II)

6

8

B) 18

03. Sobre el piso se ha dibujado un polígono regular de 24 metros de lado, un atleta se para sobre uno de los vértices y recorre todo el polígono; y luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada día un lado menos. Si ha recorrido en total 864 m ¿Cuántos lados tienen el polígono? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

Solución:

24 n  24 n  1  ...  24  3  24  2  24 1  864

24 n  n  1  n  2  ...  3  2  1  864 C) 26 E) 42

1 + 2 + 3 + .... +n = 36 n=8

Rpta  D

36

Raz. Matemático - I 7. Hallar el valor de “S”, si:

S

1. Hallar la suma total de: E = 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 +…+ 4 A) 780 D) 800

B) 802

C) 208 E) 890

3 3 3 3    ....  2x 6 6x10 10x14 78x 82

20 41 23 D) 27 A)

B)

7 21

15 41 3 E) 4 C)

2. Efectuar: S = 1+ 3 + 2 + 6 + 3 + 9 +... + 20 + 60 A) 480 D) 408

B) 804

C) 840 E) 484

3. Calcular el valor de “Z”; si se cumple que: Z + (Z+ 1) + (Z+ 2) +……+ (3Z) = 1640 A) 25 D) 20

B) 24

C) 23 E) 18

4. Calcular: S1 + S2 + S3 S1 = 1 + 3 + 5 + ..... + 19 S2 = 1 + 4 + 9 + ..... + 100 S3 = 0.1 + 0.2 + 0.3 +.... +8 A) 809 D) 819

B) 709

D)

1 9

B)

C) 909 E) 719

5 42

3 25

10 81 10 E 101 C)

6. Hallar “S”:

S A) 0,1 D) 1,9

2k  1  2k  1

k 1

A) 1

B)



2n  1  1

C) n

2n  1  1 E) 2n  1

D)

  x 2  3x  9. Hallar:    6x  x 1 

1 2 D) 1/4 A) 1

B) 2

1 2

C) 3/4 E) 1/2

2 2 2    ... 3 9 27 A) 1 D) 2/9

B) 1/2

C) 2/3 E) 3/2

11. Calcular: P  1 2  2  5  3 10  4 17  5  26  ... Sabiendo que hay 20 sumandos. A) 44210 D) 24310

B) 54510

C) 34210 E) 44310

n  2k  1)  (Bn2  Cn  D) A k 1 Hallar el valor de: 5( A  B  C  D) n

12. Si:

9 18 36 72     .... 20 80 320 1280 B) 0,7

n

10. Hallar la suma de las siguientes fracciones:

1 2 3 4 5. Sumar: S  1  2  3  4  ... 10 10 10 10 A)



8. Reducir:

C) 0,6 E) 0,9

(k

A) 160 D) 360

2

B) 280

C) 150 E) 120

37

Raz. Matemático - I 13. Calcular la suma de los 30 primeros términos de la sucesión numérica, cuya fórmula de recurrencia es: 4n  3 A) 1170 D) 1770

B) 1560

C) 1160 E) 1700

14. El valor de la expresión 1 2 1 2 1 2 D        ...  es: 2 3 4 9 8 27 A) −1 D) 0

B) 1/6

C) −1/6 E) 1

15. Si los radios de una sucesión de círculos son: 1 1 1 1m; m; m; m........ 2 4 8 La suma de sus correspondientes áreas es igual a:

3 A) m2 4

4 B) m2 3

2

B) 12710

B) 54 cm

C) 72 cm E) 108 cm

18. Un tren parte con 10 pasajeros; en el primer paradero suben 4 y bajan 2, en el segundo suben 6 y bajan 2, en el tercero suben 8 y bajan 2, así sucesivamente. ¿Cuántas personas subieron en el paradero central de su recorrido, si finaliza el viaje con 472 pasajeros a bordo? A) 20 D) 23

B) 21

C) 22 E) 24

B)

5 48

20 9 30 E) 7 C)

20. La suma de 20 enteros consecutivos es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes números enteros consecutivos? A) 830 D) 810

B) 840

C) 780 E) 790

21. Calcular:

M  42 (1 3  5  ...  39)0,10,20,3...2 A) 10 D) 40

B) 20

C) 30 E) 21

22. Calcular: “66P”

C) 12600 E) 13300

17. La masa de un péndulo recorre 27 cm en la oscilación inicial. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la oscilación anterior ¿Cuál será la distancia que habrá recorrido dicha masa hasta el momento de detenerse? A) 35 cm D) 81 cm

40 9 5 D) 16 A)

C) 1,3m

16. Hallar: S = 1(8) + 2 (9) +3 (10) + ... + 30 (37) A) 144000 D) 14610

5 5 5 5 5 E      .....  2 6 12 20 72

2

E) 2m

D) 2,4m2

19. Determinar el valor de “E”:

P

1 1 1    10x7 14x9 18x11

A) 0,2 D) 3,5

B) 2,8



1 62x33 C) 2,0 E) 1,8

23. Calcular:

S

205 824 204 D) 825 A)

1 2 3    4x 5 5x 7 7x10 40 sumandos B)

210 821

215 824 211 E) 824 C)

24. Se tienen 1240 bolitas del mismo peso y tamaño que pretendemos acomodar formando una pirámide completa, de base cuadrada. ¿Cuántos niveles se obtendrán?

38

Raz. Matemático - I A) 10 D) 18

B) 12

C) 15 E) 14

29. Hallar la suma de los términos de la fila 10.

25. Calcular la suma total del siguiente arreglo: 1 + 4 + 9 + 16 +…+ 100 4 + 9 + 16 +…+ 100 9 + 16 + …+ 100 16 + …+ 100 …… …. … 100 A) 3025 D) 1225

B) 4225

A) 1110 D) 1540

C) 2025 E) 4525

26. Una persona debe vaciar un balde de agua a cada lado de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8 m. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua y el pozo de dónde sacará el agua está a 10 m. del primer árbol, ¿qué distancia habrá recorrido después de haber terminado con su tarea y haber vuelto el balde hasta donde está el pozo? A) 1160 m D) 3440 m

B) 2520 m

C) 3820 m E) 5640 m

27. Lucy resuelve 66 problemas cada día, mientras su hermana Nelly resuelve dos el primer día, cuatro el segundo, seis el tercero, y así sucesivamente. Si empezaron el mismo día, ¿después de cuántos días habrán resuelto el mismo número de problemas? A) 62 D) 64

B) 63

C) 65 E) 66

28. Laura debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día lo logrará; pero si lee una página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero,…, etc., le faltarían aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 144 D) 182

B) 156

C) 169 E) 216

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………… ………………….. B) 505

C) 1820 E) 1624

30. Una niña deja caer un balón desde una altura de 27 m. y en cada rebote se eleva la tercera parte de la altura anterior. ¿Cuál es el espacio total recorrido por el balón hasta detenerse? A) 81 m. D) 54 m.

B) 72 m.

C) 60 m. E) N.A.

31. Efectuar:

R  2  30  3  58  6  28  4  54  ...  30  2 A) 9600 D) 9640

B) 9040

C) 8714 E) 9920

32. Si: Sn  n2  4n. Calcular: S  S5  S6  S7  ... 15 tèrminos

A) 1750 D) 1770

B) 1730

C) 1720 E) 1740

33. ¿Cuántas bolitas blancas hay en la figura (30)?

(1) A) 480 D) 485 1. B 2. C 3. D 4. A 5. C 6. E 31. E

(2)

(3)

B) 470 CLAVES DE RESPUESTAS 7. C 13. D 19. A 8. B 14. D 20. A 9. A 15. B 21. B 10. A 16. B 22. B 11. E 17. D 23. A 12. C 18. E 24. C 32. C 33. E

C) 460 E) 465 25. A 26. D 27. C 28. B 29. B 30. D

39

Raz. Matemático - I I. Fracciones homogéneas.- son aquellas que tienen igual denominador. 2 3 10 15 Por ejemplo , , , 7 7 7 7

Fracciones John Neper 2017

II. Fracciones heterogéneas.- son aquellas que tienen diferente denominador.

1. NÚMERO FRACCIONARIO: Es aquel que representa una o más partes de la unidad dividida en partes iguales.

f

a  Numerador b  Denominador

2. CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES:

Por ejemplo.

3. DEFINICIÓN DE FRACCIONES 3.1.-Fracciones iguales: Son aquellas cuyos términos correspondientes son iguales. Por ejemplo:

Las fracciones se les pueden clasificar en los siguientes rubros.

a b entonces se tiene la siguiente sub clasificación.

2.1.-Por la naturaleza del denominador. Si: f 

I. Fracción decimal. Es aquella en donde el denominador tiene la forma b=10n. 9 17 1 Por ejemplo , , 10 1000 1000 II. Fracción común. Se denomina fracción común a aquella en donde el denominador “b” es diferente de 10n . 2 9 8 Por ejemplo: , , 7 11 33 2.2.-Por la relación de sus términos. Dada la a fracción f  , por la relación de sus b términos se les puede clasificar en: I. Fracción propia.- Cuando a b 9 10 9 Ejemplos: , , 5 3 7 2.3.-Por grupos de fracciones.-

1 2 4 8 , , , 2 5 3 7

a 2   a  2b  5 b 5

3.2.-Fracciones equivalentes: Son aquellas que teniendo sus términos diferentes representan una misma parte de la unidad.

a 2   a  2k  b  5k,k  z b 5 3.3.- Fracción irreducible: Es aquella fracción cuyos términos son primos entre sí es decir no tienen ningún divisor común. Por ejemplo. 3 , 16 , 17 , 15 5 19 20 7

4.

MCD-MCM DE FRACCIONES

4.1.-El MCD de varias fracciones irreductibles es aquella fracción que se obtiene de dividir el MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. Es decir:

a a a Si se tiene 1 , 2 , 3 ,.... Entonces: b1 b2 b3

a a a  MCD(a1.a2 ,a3 ,...) MCD  1 , 2 , 3 ,...   b b b3  1 2  MCM(b1,b2 ,b3 ,...)

4.2.-El MCM de varias fracciones irreductibles es aquella fracción que se obtiene de dividir el MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores. Es decir.

40

Raz. Matemático - I

…… Problemas Resueltos

a a a Si se tiene 1 , 2 , 3 ,.... Entonces: b1 b2 b3

a a a  MCM(a1.a2 ,a3 ,...) MCM  1 , 2 , 3 ,...   b b b3 1 2   MCD(b1,b2 ,b3 ,...)

5.

NÚMEROS DECIMALES: Es la expresión en forma ideal de una fracción que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador.

5.1.-Clasificación de Números Decimales. Se les puede clasificar en: I.

Fracción decimal exacta: Es aquella que tiene un numero finito de cifras decimales. Por ejemplo: 0,32; 0,5; 0,258749, etc.

II. Fracción inexacta: Pueden ser: 

Periódica pura.



Periódica Mixta.

5.2.-Fracción generatriz (fg). Es la fracción común e irreductible que ha originado una fracción decimal. Por ejemplo. 1 Para 0,3  fg  3 1 Para 0,5  fg  2 6. CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES EN COMUNES  Si la fracción decimal es exacta:

0,ab(3)  0,ba(3)  1,1(3)  Si la fracción decimal es periódica pura:

z,ABC N 

abc

n cifras

z  ABC N  FG 999 9

 Si la fracción decimal es periódica mixta: A cifras

B cifras

C cifras

g, hij m np

parte entera

parte no periódica

z

parte periódica

C) 68

D) 52

E) 56

Solución: Tenía: x

3 x 4 2 Martes: 7

1 x 4 51  5 x  x  7  4  28

Lunes:

02. Dos caños pueden llenar un tanque de 24 litros en 5 y 6 horas, respectivamente; un desagüe puede vaciar el tanque en 10 horas. Si se abren los tres a la vez y se cierran apenas se llena el tanque, calcular cuántos litros de agua se fueron por el desagüe. A) 2 litros D) 9 litros

A BC cifras

A B cifras

abc z  abc m  FG 999 9000 0 C cifras

B) 7 litros E) 10 litros

C) 8 litros

Solución:

t1  5h ; t 2  6 h ; t D  10 h 1 1 1 1    5 6 10 T

 8 T  30  T 

En 10 h se desaguan 24 litros en

n cifras

abc

B) 64

Rpta  E

0,12; 0,125; 0,16372; etc.

m cifras

A) 48

5 x  10  x = S/. 56. 28

0,3; 0,2; 0,782; etc.

abc

01. Nataly gasta su dinero de la siguiente manera: el día lunes, 3/4 de su dinero; el día martes, 2/7 de lo que le quedaba. Si aún le quedan S/.10; con cuánto dinero contaba Nataly?

?

15 h 4

15 h 4

15 4  9 litros 10

24 ×

Rpta  D

B cifras

41

Raz. Matemático - I

1. Efectuar: E  A) 8,25 D) 8,27



3,6666...  0,916666... B) 8,23



2

C) 8,28 E) 8,29

2. De las siguientes fracciones propias:

4 5 3 ; ; . Calcular lo mínimo de: P + Q + R: P Q R A) 5 D) 15

B) 10

C) 13 E) 18

2 N M ; ; . 5 7 3 Calcular el máximo valor que toma: M + N.

3. Dadas las fracciones propias:

A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

4. Cuál es la fracción que dividida por su inversa da 25/49: A) 5/7 D) 5/2

B) 7/5

C) 2/5 E) 8/9

5. La fracción 23/55 está comprendida entre dos fracciones homogéneas cuyo denominador común es 19 y los numeradores son dos enteros consecutivos. Hallar estos números. A) 6 y 7 D) 7 y 8 6. Efectuar: A) 0,9 D) 0,99

B) 8 y 9

0,21  0,22  0,23  0,21  0,22  0,23  B) 0,99

C) 20 y 21 E) 19 y 20

 0,84  0,84 C) 0,9 E) 9,9

7. Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 113/49. A) 7/8 D) 8/7

B) 7/9

C) 7/6 E) 9/7

8. Un padre de familia, con el objeto de llevar a su familia al circo, adquiere 3 entradas de adulto y 2 de niño por S/. 2,20. Después, como hubiera invitado a otras personas, adquiere a los mismos precios, seis entradas para niño y 2 de adulto, en S/. 2,40. Hallar cuanto más cuesta una entrada de adulto que de niño: A) 0,6 D) 0,3

B) 0,5

C) 0,4 E) 0,2

9. Un padre y sus dos hijos van a construir una cerca. Si el padre trabaja solo demoraría 24h; si trabaja junto a su hijo mayor demoraría 15h y si trabaja junto a su hijo menor demoraría 20h ¿Cuánto demorarían en hacer el trabajo los dos hijos solos? A) 30h D) 25h

B) 20h

C) 40h E) 35h

10. José hace un trabajo en 8 días y María lo hace en 12 días. Si ambos empiezan el trabajo juntos ¿En qué tiempo lo harían? A) 5,2 días D) 4,8 días

B) 5 días E) 42 días

C) 6 días

11. Luego de perder en forma sucesiva 1/2y 2/5 de lo que le iba quedando. Alfredo gana en forma consecutiva sus tres últimos juegos: 1/2, 1/3 y 1/6 de la cantidad que iba acumulándose retirándose con S/.70 ¿Cuánto tenía al inicio? A) S/.120 D) S/.100

B) S/.80

C) S/.90 E) S/.70

12. Susana tiene S/.120 y pierde tres veces consecutivas 1/2, 1/3 y 1/4 de lo que le iba quedando. ¿Con cuánto se quedó? A) S/.20 D) S/.50

B) S/.30

C) S/.60 E) S/.40

a b   1,036; 11 5 3a  6b Determinar el valor de: 11

13. Si: a  b  , tales que:

42

Raz. Matemático - I A) 7 D) 4

B) 3

C) 5 E) 2

14. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 76/133 existen tal que sean de la forma xy yx ? A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

15. De un grupo de postulantes, ingresan a la universidad 3/4 de los que no ingresan ¿Qué parte de los postulantes ingresan? A) 4/3 D) 4/7

B) 3/2 E) 3/7

C) 2/3

16. ¿Cuál es la fracción que disminuida en su 5/7 da 5/7? Dar como respuesta la suma de términos de dicha fracción: A) 8 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5

17. Hallar el M.C.D. de las siguientes fracciones: 3 4 2 8 ; ; ; 5 12 3 6 A) 1/15 D) 1/3

B) 1/60 E) 15/12

C) 12/15

18. Una vasija llena de agua pierde durante la primera hora 1/3 parte de su capacidad, durante la segunda hora 1/3 del resto y así sucesivamente. Al cabo de 5 horas quedan 32 litros en la vasija. ¿Cuál es la capacidad de ésta? A) 243 litros D) 162 litros

B) 343 litros E) 160 litros

C) 81 litros

19. Señale la fracción ordinaria que resulta duplicada si se agrega a sus dos términos su denominador: A) 1/2 D) 2/3

B) 1/4 E) 1/3

20. Si : 0,a1 0,a2  0,a3 

C) 1/5

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

21. De un cajón que tiene naranjas. María tiene dos, en seguida Carla retira 1/4 del resto, Mario 1/2 de lo que queda y José se llevó 1/11 de lo que había. ¿Cuántas naranjas hubo originalmente, si al final sólo quedaron 30 naranjas? A) 94 D) 92

B) 88 E) 90

C) 86

22. Tres hombres y once mujeres hacen un trabajo en doce días; tres hombres y dos mujeres hacen el trabajo en 48 días. ¿En cuántos días, hace el mismo trabajo una sola mujer? A) 72 D) 108

B) 144 E) 120

C) 120

23. Nelly tuvo cierta cantidad de dinero, primero gastó los 3/5 en uniforme, luego los 3/4 del resto en cuadernos y por último un quinto de lo que le quedaba en pasajes, quedándole sólo S/. 20 ¿Cuánto dinero tuvo al inicio? A) S/. 300 D) S/. 200

B) S/. 350 E) S/. 250

C) S/. 150

24. Una digitadora se comprometío a tipear un informe en 5 días. El primer día tipeó 80 páginas, el segundo día los 4/7 de lo que faltaba; el tercer día los 6/11 de lo que le quedaba por tipear; el cuarto día los 3/5 del resto; el último día 24 páginas ¿Cuántas páginas tiene el informe? A) 288 D) 344

1. A 2. D 3. D 4. A 5. D

B) 388 E) 366 CLAVES DE RESPUESTAS 6. D 11. D 16. E 7. A 12. B 17. A 8. C 13. B 18. A 9. A 14. C 19. E 10. D 15. E 20. A

C) 244

21. E 22. B 23. E 24. B

14 ; Hallar “a”: 11

43

Raz. Matemático - I

…… Problemas Resueltos

Regla de tres John Neper 2017 Es una aplicación de la proporcionalidad donde al comparar 2 o más magnitudes se determina un valor desconocido. La regla de tres puede ser: 1. REGLA DE TRES SIMPLE: Resulta de comparar dos magnitudes. Puede ser: a. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Cuando las magnitudes son directamente proporcionales. Magnitud 1 a1 b1

X

Magnitud 2 a2 b2

b. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. Magnitud 1 a1 b1

X X

Magnitud 2 a2 b2

01. Ocho hormigas trabajando 8 horas diarias tienen 18 días para construir su hormiguero antes de que llegue el invierno. Después de trabajar 3 días, su instinto les dice que el invierno se adelantará a la mitad del tiempo previsto. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar para construir su hormiguero? UNACH – 2014 – II A) 8

B) 16

5 1 8.8.3. H  8.x.6. H  x  20 6 6

Rpta  C 02. Carlos es el doble de hábil que Luis, pero la cuarta parte de Pedro. Si Luis y Pedro hacen un trabajo en 33 días. ¿En cuántos días harán el mismo trabajo los tres juntos?

Para resolver estos problemas veamos un Método

Solución:

CAUSA

CIRCUNSTANCIA

EFECTO

E) 27

Hormigas h/d dias hormiguero 8 8 18 H 8 8 3 1/6H 8 x 6 5/6H

A) 24 días D) 18 días

CAUSA: obreros, cuadrillas, rendimiento, eficiencia, etc. CIRCUNSTANCIA: días, horas por día, semanas, raciones por día, etc. EFECTO: una obra, longitud, altura, dificultad, etc.

D) 22

Solución:

2. REGLA DE TRES COMPUESTA: Resulta de comparar más de 2 magnitudes, comparando siempre la magnitud de la incógnita con las otras.

CAUSA – CIRCUNTANCIA – EFECTO

C) 20

B) 20 días

C) 27 días E) 25 días

Habilidad de Luis: 1 Habilidad de Carlos: 2 Habilidad de Pedro: 8 Luego:  Habilidad días  Luis y Pedro: (1+8)  33 Los 3: (1 2  8)  x Se debe observar que:  Habilidad  I.P.  #días 

 9 . 33  11x  x  27 dias Rpta  C

44

Raz. Matemático - I

1. Si “Y” alumnos desarrollan un trabajo en 9 días. ¿Cuántos días tardará un solo alumno? A) 3–Y D) Y–4

B) Y/3

C) 9Y E) Y/4

2. Si 8 máquinas hacen una obra en 7 horas. ¿Cuántas máquinas deben agregarse para que dicha obra se termine en 4 horas? A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

3. Dos piezas de tela de la misma calidad cuestan S/.270 y S/.180. Si la primera tiene 15 metros más que la segunda ¿Cuál es la longitud de cada pieza? Dar como respuesta la suma de las longitudes. A) 65 D) 80

B) 70

C) 75 E) 85

4. Si se disuelve 240 gr. de sal en 4 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse para que un litro de la nueva mezcla tenga 10 gr de sal? A) 10 lt. D) 40 lt.

B) 20 lt.

C) 30 lt. E) 50 lt.

5. En un campamento hay 70 hombres y tienen víveres para 15 días. ¿Cuántos hombres deben retirarse para que los víveres alcancen 10 días más? A) 25 D) 28

B) 26

C) 27 E) 30

6. Una herencia se reparte entre dos hermanos proporcionalmente con sus edades. Al mayor, que tiene 28 años le corresponde S/.175000. Si el menor tiene 20 años. ¿Cuánto le corresponde de herencia? A) S/.12000 C) S/.130000 E) S/.150000

B) S/.125000 D) S/.145000

7. En una dulcería hay 9 empleados que, trabajando 8 horas; hacen y empacan 150 cajas de dulces. ¿Cuántas horas tardarán 12 empleados en hacer y empacar un pedido de 375 cajas? A) 12 D) 15

B) 13

C) 14 E) 16

8. En 12 días, 8 obreros han hecho los 2/3 de una obra. Si se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demoraran los obreros restantes en terminar la obra? A) 20 D) 26

B) 22

C) 24 E) 28

9. Para construir una carretera de 40 Km., 10 máquinas trabajando 8 horas diarias, tardaron 90 días. ¿Cuántos días tardaran 6 de estas máquinas, trabajando 6 horas diarias, para construir una carretera de 5 Km? A) 26 D) 25

B) 27

C) 28 E) 24

10. Para hacer 300 metros de zanja, 15 obreros han trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. ¿Cuántos días, trabajando 9 horas diarias, necesitaran 18 obreros de mitad de rendimiento que los anteriores para hacer 900 metros de zanja? A) 38 D) 41

B) 39

C) 40 E) 42

11. Carlos contrata dos empleadas para su atención administrativa. A la primera le paga S/.100 trabajando 8 horas diarias y cada seis días, a la segunda; que trabaja 12 horas diarias, le paga S/.200. Si el precio de una hora de trabajo es el mismo para ambas. ¿Cada cuántos días le paga a la segunda empleada? A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 11

12. Un destacamento de 320 hombres tienen alimentos para 26 días, después del 14avo día se

45

Raz. Matemático - I retiran 80 hombres. Determinar el número de días adicionales que duraron los alimentos. A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

13. Un ingeniero debidamente preparado tiene un rendimiento promedio de 90%. Si éste puede formular y evaluar un proyecto en 15 días, ¿en cuántos días podría hacer el mismo trabajo otro ingeniero con un rendimiento de 50%? A) 20 D) 27

B) 21

C) 24 E) 30

14. Doce albañiles se comprometen a terminar una obra en “x” días, si después de haber hecho la mitad de dicha obra, 8 obreros aumentan su producción en un 25%, gracias a lo cual el tiempo en hacer toda la obra fue de 13 días. Hallar “x”. A) 10 días D) 14 días

B) 11 días E) 16 días

C) 12 días

15. Siete autos necesitan 7 días para consumir 70 galones de gasolina. ¿Cuántos galones consumirán un auto en 7 días? A) 7 D) 17

B) 9

C) 10 E) 70

16. Se contratan N obreros en una fábrica para hacer un lote de zapatos, los cuales logran su objetivo en el tiempo requerido, trabajando ocho horas diarias con una eficiencia de 50%, mientras que 10 obreros trabajando 6 horas diarias y con una eficiencia del 40% realizan el mismo trabajo en el mismo plazo. Hallar N. A) 5 D) 11

B) 6

C) 7 E) 15

17. Si “h” hombres hacen un trabajo en “d” días, entonces “h + r” hombre pueden hacer el trabajo en: d A) d + r B) d – r C) hr hd hd D) E) hr r

1 de una n obra. ¿Cuántos obreros más se necesitan para terminar el resto en “b” días?

18. “x” obreros han hecho en “a” días

A) C) E)

x b x b x b

(an  a  b)

B)

(an  a  b)

D)

x b x b

(ab  b) (an  b  a)

(a  b  an)

19. En una sastrería hay 3 sastres. Se sabe que en el mismo tiempo confeccionan 5, 6 y 7 ternos respectivamente y además A y B juntos confeccionan 8 ternos en 28 días. ¿En cuántos días confeccionará C cuatro ternos? A) 20 días D) 22 días

B) 25 días

C) 24 días E) 21 días

20. Para hacer un canal de regadío un ingeniero contrata 32 obreros forman 2 cuadrillas, si la primera trabajó durante 18 días a razón de 6 horas por día y la segunda, 12 días a razón de 3 horas diarias, si cada cuadrilla hizo la mitad del trabajo. ¿Cuánto pagó en total a la segunda cuadrilla, si el pago diario por obrero era de 20 soles? A) S/. 3420 D) S/. 5760

B) S/. 4512 E) S/. 1500

C) S/. 5280

21. Para pintar una esfera de 20 cm de radio se gasta 64 soles. ¿Cuánto se gastará si se quiere pintar una esfera de 25 cm de radio? A) S/. 125 D) S/. 90 1. C 2. D 3. C 4. B 21. B

B) S/. 100 CLAVES DE RESPUESTAS 5. D 9. D 13. D 6. B 10. C 14. D 7. D 11. C 15. C 8. C 12. B 16. B

C) S/. 80 E) S/. 84 17. D 18. A 19. D 20. D

46

Raz. Matemático - I

…… Problemas Resueltos

Porcentajes John Neper 2017

 Se denomina porcentaje al resultado que se

01. Si el (x−1) % del 40% del 50% del 0,5% del quíntuplo de 4000 es 4, calcular el valor de “x” UNACH – 2016 – I

obtiene de calcular el tanto por ciento de una cantidad.

A) 15

 Se debe tener en cuenta que para la aplicación

Solución:

Ejemplos:  El 20% de 800 es 160

(x  1) 40 50 1     5  400  4 100 100 100 200 (x  1)  1  x  21 20

en problemas de porcentajes, las palabras “de” y “del” significan multiplicación y la palabra “es” significa igualdad.

20%

de

800

multiplicación

es

B) 16

C) 19

D) 21

Rpta  D

160

Igualdad

20%  800  160 APLICACIONES MERCANTILES EN PORCENTAJES

E) 23

02. Dos descuentos sucesivos del 10% y 20 %, ¿a qué descuento único equivale? A) 64 %

B) 54%

C) 28%

D) 11 % E) 45 %

Solución:

Sea:

PVenta  Precio de venta PCosto  Precio de costo Observando el gráfico podemos decir que:

PVenta  PCosto  Ganancia

Aplicando:

D D   DU   (D1  D2 )  1 2  % 100  

10  20   Du   10  20   %  28 % 100   Rpta  C

PVenta  PCosto  Pérdida DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Para dos descuentos sucesivos del D1% y D2 %

D D   DU   (D1  D2 )  1 2  % 100   Para dos aumentos sucesivos del A1% y A 2 %

A A   A U   (A1  A 2 )  1 2  % 100  

02. Jorge Vende su televisor en $ 120 perdiendo en la venta $ 30. ¿Qué % perdió? A) 10 % B) 15 %

C) 20 % D) 25 %

E) 30 %

Solución:

Pv  $ 120 

Pc  $ 150

P  $ 30 %P=

30  100  20 150

Rpta  C

47

Raz. Matemático - I A) 32% D) 35% 1. El 35% de una computadora Pentium es el 25% de una computadora de marca IBM. ¿Qué porcentaje de la suma es la diferencia de estos productos? A) 10% D) (70/3)%

B) (50/3)%

C) 20% E) 25%

2. Nicolás vende una radiograbadora en S/20 perdiendo así el 60% del 140% de lo que le costó. ¿Cuál es el 20% del costo de dicha radiograbadora? A) 20 D) 125

B) 25 E) 55

B) 2 E) 17

C) 14

4. Si un vendedor de autos dice que gana el 50% del precio de la venta. ¿Qué porcentaje del precio de costo gana? A) 80 D) 110

B) 90 E) 120

C) 100

5. Se tienen 50 Lt. de alcohol al 60%. ¿Cuántos litros de agua se necesitan aumentar para rebajarlo al 40%? A) 12 D) 45

B) 15 E) 75

C) 25

6. Se vende un automóvil ganando el 24 por 200 del precio de venta. ¿A qué precio se vendió si costó $ 2200? A) 2300 D) 2600

B) 2400 E) 2800

C) 34% E) 36%

8. Sobre el precio de venta de S/.8000 se incrementas los aumentos sucesivas del 5% y 3%. ¿Qué cantidad se paga por dicha venta? A) S/.8652 D) S/.8680

B) S/.8660 E) S/. 8690

C) S/.8670

9. ¿Qué porcentaje del área sombreada es la parte no sombreada?

C) 75

3. Si el 20% del 50% de un número es 10, hallar la suma de las cifras de dicho número. A) 1 D) 16

B) 33%

C) 2500

7. Un número sufre un aumento de un 10%; si al nuevo número se le aumenta un 20%. ¿Qué porcentaje de aumento hay al final con respecto al número original?

2 A) 14 % 7 D) 13%

B) 14%

1 C) 13 % 3 E) 15%

10. Se vendieron 2 casas a S/ 72000 cada una. En una se perdió el 25% del precio de compra y en la otra se ganó el 25% del precio de compra. Considerando ambas ventas. ¿Cuánto se ganó o perdió? A) Ganó S/.1000 B) Perdió S/.1000 C) Ganó S/.9600 D) Perdió S/.9600 E) Ni se gana, ni se pierde. 11. En una reunión hay 8 hombres y 12 mujeres. ¿Cuántas mujeres se deben ir para que el porcentaje de hombres presentes aumente en un 40%? A) 4 D) 10

B) 6

C) 8 E) 7

12. En una jaula el 60% de los ratones son grises y el resto son blancos. Si se retiran la mitad de los blancos. ¿Qué tanto por ciento serán ahora los blancos en la jaula? A) 20% D) 27,5%

B) 21,5%

C) 25% E) 30%

48

Raz. Matemático - I 13. La mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor de la obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra. ¿Qué tanto por ciento del valor de dicha obra equivale sólo la mano de obra? A) 27% D) 20%

B) 22%

C) 28% E) 25%

14. En un pedido de S/.10000 un comerciante puede escoger entre tres descuentos sucesivos de 20%; 20% y 10% o por 3 descuentos sucesivos de 40%, 5% y 5%. Escogiendo el mejor ¿Cuántos soles podrá ahorrar? A) Nada D) 345

B) 400

C) 330 E) 360

15. Si la base de un triángulo disminuye en su 30% la altura aumenta en 10%. ¿En qué tanto por ciento varía el área? A) 23% D) 35%

B) 30%

C) 27% E) 45%

16. Si 20 litros de agua contiene 15% de sal. ¿Cuántos litros de agua se debe evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? A) 5 D) 3

B) 10

C) 15 E) 8

17. Un artículo se ha vendido en S/.12000 ganando el 20% del precio de costo más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo. A) 7800 D) 8300

B) 8500

C) 8600 E) 9100

18. Se vendió dos artículos en S/.120 cada uno. En el primero se ganó y el segundo se perdió el 20%. En toda la actividad comercial ¿Se ganó o se perdió y cuánto? A) Ganó S/.10 B) Ganó S/.20 C) Pierde S/.10 D) Pierde S/.20 E) no gana ni pierde

19. Para fijar el precio de lista de un artículo se aumenta un 40%. Luego se hace un descuento de 30% perdiendo 200000 soles. ¿Cuál era el precio de venta? A) S/.2000000 C) S/.800000 E) S/.8000000

B) S/.10000000 D) S/.10000

20. Se vendió un objeto ganando el 12% sobre el precio de venta. ¿Qué porcentaje se gana sobre el precio de compra? A) 13,6% D) 11%

B) 10%

C) 15% E) 12,5%

21. Una blusa cuesta S/ 60, ¿A qué precio le deben vender en la tienda para que haciendo un descuento del 10% gane el 20% sobre el precio de compra? A) S/. 70 D) S/. 100

B) S/. 80

C) S/. 90 E) S/. 120

22. En la granja de Hipólito se declaró una epidemia, afectando el 20% de los pavos, de los cuales murieron el 60%, quedando tan sólo 40 pavos. ¿Cuántos pavos tenía inicialmente Hipólito? A) 200 D) 500

B) 300 E) 600

C) 400

23. Se tiene 5 litros de alcohol al 80 % ¿Cuántos litros de agua se necesitan aumentar para rebajarlo al 25%? A) 10 lt D) 9 lt

B) 11 lt

C) 12 lt E) 6 lt

24. Si el 40% de “X”, el 50% de “Y” y el 50% de “Z” son proporcionales a: 6; 4 y 5. ¿Qué porcentaje de (X + Z) es “Y”? A) 64% D) 80%

B) 60% E) 48%

C) 32%

25. A un número se le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 25% y 20%, al número que resulta se le hace 3 incrementos sucesivos del 20% , 25% y

49

Raz. Matemático - I 20% resultando un número que se diferencia del original en 204 unidades. Hallar el número. A) 1 200 D) 1 800

B) 1 400 E) 2 000

C) 1 500

26. Lo que queda de una cantidad, luego de 2 descuentos sucesivos de a% y b% es igual al recargo único equivalente a recargos sucesivos de a% y b%. Hallar “a + b” A) 30 D) 60

B) 40 E) 90

C) 50

27. Distribución de notas para un examen de Razonamiento Matemático. Si 270 estudiantes aprobaron el examen. ¿Cuántos alumnos recibieron la nota “B” en su examen?

B x% A 26%

C 19% D 20%

10%

Desaprobados A) 85 D) 55

B) 75 E) 65

C) 45

28. Al escribir en una pizarra se consume el 90% de cada tiza y con lo que quedó se vuelven a fabricar tizas, perdiendo en este proceso el 10% de la materia prima. El número de tizas que se puede fabricar con los residuos de una caja de 12000 tizas es: A) 960 D) 1080

B) 900 E) 986

C) 1200

29. ¿En qué porcentaje debemos disminuir la altura de un trapecio rectángulo, para que su área no varíe al aumentar en 20% la mitad de la suma de sus bases? A) 83 1/3 % D) 83 %

B) 83,3 %

C) 16 2/3 % E) 17 %

30. Renato vende un televisor a Juan con un descuento del 30% de lo que le costó. Juan lo vende a Tom perdiendo el 20% de lo que le costó y Tom se lo remata a Paola, perdiendo en la operación el 10% de lo que le costó. ¿Qué porcentaje de lo que costó a Renato, es lo que pagó Paola? A) 46,9 % D) 40 %

B) 49,6 % E) 46 %

C) 50,4 %

31. El precio de un auto se incrementa en el 30%, para tener nuevamente su precio original. ¿En qué porcentaje debe disminuir su precio actual?

1 % 13 13 D) % 20 A) 23

B) 25%

C) 13% E)

20 % 13

32. Tres personas almuerzan juntas en un restaurante, se sabe que lo que comió la primera es 1/5 del total y lo que comió la tercera, es el 70% de lo que comió la segunda, si la tercera pagó 84 soles por lo que comió. ¿Cuánto tuvo que pagar la primera persona? A) 58 soles D) 62 soles

B) 81 soles E) 39 soles.

C) 51 soles

33. Gepeto el carpintero elabora roperos de 1 y 2 cuerpos, para luego enviarlos a Lima. Si de 80 roperos enviados a Lima el 45% de los mismos son de dos cuerpos. ¿Cuántos roperos de 82 que le falta enviar deberán ser del 1 cuerpo, para que el total de ellos sea el 50% del envío total? A) 35 D) 43 1. B 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. A

B) 37 E) 5 CLAVES DE RESPUESTAS 8. A 15. A 22. D 9. A 16. A 23. B 10. D 17. B 24. C 11. D 18. C 25. C 12. C 19. B 26. C 13. E 20. A 27. B 14. D 21. B 28. D

C) 39

29. A 30. C 31. A 32. C 33. B

50

Raz. Matemático - I

Conteo de Figuras John Neper 2017

RECORRIDOS EULERIANOS Nociones Importantes Grafo Es una configuración que consiste en la convergencia de un número limitado de líneas hacia ciertos puntos llamados vértices, que según la cantidad de líneas que convergen hacia ellos se llaman puntos pares o puntos impares.

P I: punto impar P: punto par

I

P

Observación: 1. La mejor cantidad de puntos pares que puede existir en un gráfico es “uno”. 2. Los puntos impares siempre se presentan en parejas, no existe figura con un número impar de puntos impares. 3. Si tenemos una figura con más de dos puntos impares, entonces para dibujarlo tendremos que repetir trazos sobre una o más líneas, ya dibujadas. El número mínimo de líneas que se repite está dado por: Nº repeticiones 

I 2 2

Donde: I: número de puntos impares de la figura. Ejemplo:

I P

P

I

I

P

¿Cuál es el menor recorrido que se debe realizar para trazar la figura?

3 cm TEOREMA DE EULER Teorema I: “Todo gráfico admite un recorrido euleriano si todos sus puntos son pares, se comienza y se termina siempre en el mismo punto” Ejemplo:

3 cm 3 cm

3 cm

Número de segmentos 2 1 3

Teorema II: “Toda gráfica admite un recorrido euleriano su presenta como máximo dos puntos impares, debiendo empezar en un punto impar y terminar necesariamente en el otro punto impar”

3 cm

n 

de segmentos 

n(n  1) 2

Número de triángulos

Ejemplo: de Triàngulos 

1 2 3

n(n  1) 2

n

51

Raz. Matemático - I

 Número de triángulos en una Malla

 Número de paralelepípedos

m n

3

 

2 1 1 2

n

3

de Triàngulos 

m.n(m  n) 2

 Número de cuadriláteros en una malla 1

2

3

m

p 2     2 1

de paralelepìpedos 

m(m  1) n(n  1) p(p  1)   2 2 2

 Número de cubos

m



n

2

 

  

n

n m(m  1) n(n  1)  2 2

de cuadrilàteros 

 Número de cuadrados ( m  n ) 1 2



n 2    2 1 

 n(n  1)  de cubos     2 

2

 Número de cubos

m n

2

 

  

n

m

de cuadrados  m n  (m 1)(n  1)  ...

p 2     2 1

de cubos  m n p  (m 1)(n 1)(p 1)  ...

 Números de semicircunferencias 1

2



n

2   

n de cuadrados 

n(n  1)(2n  1) 6

de semicircunferencias  2(cìrculos)(rectas)

52

Raz. Matemático - I

…… Problemas Resueltos 1. Hallar le total de segmentos en: 01. Calcular el máximo número de cuadriláteros. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

C A) 28

U

B) 26

A

D

C) 24

E

R

N

D) 22

O E) 20

2. ¿Cuántas letras “C” hay en la figura?

Solución: Con 1 letra Con 2 letras Con 3 letras Con 4 Letras Con 7 letras Total

:1 :3 :1 :1 :1 :7

c

a b d

e

g f

Rpta  D 02. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? UNPRG – 2009 – II A) 50 B) 74 C) 82 D) 68 E) 70

36 7 15 29 21

3. Del gráfico ¿Cuántos triángulos como máximo hay? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 4. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para formar un cubo sólido compacto? A) 19 B) 15 C) 22 D) 26 E) 30 5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Solución:

1 2 3 4

A) B) C) D) E)

B

C A

D 1 2 3 4 E

ABC: (1 + 2 + 3 + 4) x2 + 4 = 24 CDE: (1 + 2 + 3 + 4) x5 = 50 Total: 24 + 50 = 74

Rpta  B

A) 24 B) 25 C) 30 D) 29 E) 28 6. Hallar el total de cuadriláteros.

A) 15 D) 18

B) 16 E) 14

C) 17

53

Raz. Matemático - I 7. Calcular el número de rombos. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 13 8. Calcular el máximo número de semicírculos. A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 9. El número de triángulos es: A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 10. ¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura?  A) 25 B) 30 C) 36 D) 40 E) 49 11. Halle el número total de trapecios circulares en: A) 55 B) 57 C) 58 D) 59 E) 60 12. Calcular el máximo número de ángulos agudos. A) 21 B) 20 C) 18 D) 17 E) 16 13. Hallar el número de cuadrados.

A) 98 B) 99 C) 101 D) 91 E) 121 14. Calcular el máximo número de Hexágonos. A) 21 B) 24 C) 30 D) 34 E) 42 15. ¿Cuántos cuadriláteros tienen por lo menos un asterisco () en la siguiente figura? A) 50 B) 66 C) 70 D) 80 E) 96









16. Calcular el máximo número de cuadriláteros. A) 600 B) 900 C) 588 D) 589 E) 590 17. Hallar el total de triángulos: A) 690 B) 693 C) 686 D) 695 E) 689

1 2 3 ... 20

18. En figura: cuántos paralepípedos se tienen y cuántos cubos se tiene: A) 900; 90 B) 90; 9 C) 90; 90 D) 100; 100 E) 900; 900 19. Calcular el número de triángulos.

54

Raz. Matemático - I 25. ¿Cuál de las figuras adjuntas se pueden trazar sin repetir el trazo, ni levantar el lápiz del papel?

A) 170 B) 174 C) 176 D) 178 E) 180

(I)

20. Calcular el número de cuadriláteros. A) 150 B) 100 C) 300 D) 200 E) 390 21. Calcular el cuadrados. A) 620 B) 621 C) 622 D) 623 E) 624

número

de

A) I y III D) Sólo II

cuadriláteros

no

A) 26 B) 42 C) 36 D) 34 E) 28

B) Sólo I

C) Sólo III E) Toda

26. Halle el número de paralelepípedos que no son cubos en la siguiente figura: A) 52 B) 64 C) 77 D) 83 E) 90

A) A B) B C) C D) D ó E E) A ó B

(I) B) 120 E) 130

A D B

E C

28. ¿Qué figura se puede construir sin levantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo por segunda vez?

23. El total de triángulos es:

C) 125

24. Halle el total de cuadriláteros en la siguiente figura. A) 70 B) 71 C) 61 D) 19 E) 20

(III)

27. ¿En qué vértice se debe empezar a dibujar la figura, para que esto se realice sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma línea?

22. ¿Cuántos cubitos más hay que adicionar como mínimo para formar un cubo sólido completo?

A) 124 D) 128

(II)

A) Sólo I D) I y II 1. A 2. E 3. C 4. C 5.C 6.B

(II) B) Sólo II CLAVES DE RESPUESTAS 7. C 13. D 19. E 8. C 14. C 20. E 9. C 15. C 21. D 10. E 16. C 22. D 11. E 17. A 23.A 12. B 18. A 24.B

(III) C) Sólo III E) II y III 25. A 26. C 27. D 28. D

55

Raz. Matemático - II

Orden de información John Neper 2017 De acuerdo con los datos del problema, se puede realizar un gráfico o un esquema de Orden de Información.

01. Seis amigos (A; B; C; D; E; y F) están sentados en una fila de seis asientos libres juntos. Si se sabe que:  “B” está junto y a la izquierda de “C”  “D” está a la derecha de “B” y a la izquierda de “E”  “E” está junto y a la izquierda de “F”  “A” está a la izquierda de “C” ¿Quién ocupa el cuarto lugar si los contamos de izquierda a derecha?

A. Ordenamiento horizontal Cuando los elementos se ubican en línea, uno al lado del otro. B. Ordenamiento vertical Cuando los elementos forman una línea vertical, y además, se compara su magnitud.

A) D

B) A

C) E

D) F

Solución: 

Ubicando los asientos en forma lineal A 1º

B 2º

C 3º

D 4º

E 5º

Cuando los elementos se ubican alrededor de un círculo o un polígono regular. D. Cuadro de doble entrada Cuanto existe una correspondencia entre elementos. Por ejemplo, si consideremos a Alberto, Beatriz y Carlos de 15, 17 y 22 años, respectivamente.

F 6º

Rpta  A

Se puede comparar su altura o los puntajes obtenidos en sus exámenes por ejemplo. C. Ordenamiento circular

E) C

02. Abel, Beto, Carlos y Daniel tienen S/.4, S/.6, S/.10, S/ .11, no necesariamente en ese orden. Se sabe: UNACH – 2016 - I  Abel no tiene S/.4, ni Carlos S/.6  Beto no tiene S/.11 , ni tampoco S/.6  Abel y Beto juntos tienen S/ .21 ¿Cuánto tienen juntos Beto y Daniel? A) S/. 14 B) S/. 16 C) S/. 15 D) S/. 17 E) S/. 10 Solución:

15 A B C

17

22

        

…… Problemas Resueltos

 Usando un cuadro de doble entrada Abel Beto Carlos Daniel

4

10

6

11

   

   

   

   

Beto  Daniel  10  6  16 Rpta  B

56

Raz. Matemático - II

1. Elmer y Oscar nacieron en la misma fecha. Marco es menor que Oscar, Freddy es menor que Marco, pero Gerardo es mayor que Elmer. Por lo tanto el menor de todos ellos es: A) Oscar D) Freddy

B) Marco E) Elmer

C) Gerardo

2. En una reunión están sentados 3 amigos. Luis se ubica al Oeste de Gustavo, Jorge está sentado al Oeste de Luis. ¿Quién está sentado al Este de Luis? A) Jorge B) Gustavo C) Luis D) Falta información E) A nadie se le puede ubicar. 3. Pedro está al Sur de Román, Román al norte de Pablo y Juan está entre Román y Pedro, éste más al norte que Pablo. Por tanto: A) Pablo está junto a Pedro. B) Juan está junto a Pablo C) Román y Juan están antes que Pedro. D) Román y Pablo están antes que Juan y Pedro. E) A nadie se le puede ubicar. 4. Se sabe que Leo Dan es mayor que Galy Galiano, Gianmarco es menor que Leo Dan y Galy es menor que Gianmarco. El menor, el mayor y el intermedio ese orden son: A) Leo, Gianmarco, Galy B) Galy, Leo, Gianmarco C) Gianmarco, Galy, Leo D) Galy, Gianmarco, Leo E) Leo, Galy, Gianmarco 5. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa, estos son: Luis, Eduardo, Hugo y Sabino. Si Eduardo no está frente a Sabino, además a la izquierda de Luis está Sabino. ¿Qué afirmación es cierta?

A) Sabino está frente a Eduardo B) Hugo está frente a Luis C) Luis está a la izquierda de Eduardo D) Hugo está a la derecha de Eduardo. E) Sabino está frente a Hugo. 6. Los FANS de tres modelos famosas tienen curiosidad por saber su edad; pero deben conformarse con saber que: Claudia Shiffer es mayor que Valeria Mazza; Noemi Campell es menor que Claudia Schiffer y Valeria Mazza es menor que Noemí Campell. La menor, la mayor y la intermedia es ese orden son: A) Valeria, Noemí, Claudia B) Claudia, Noemí, Valeria C) Noemí, Valeria, Claudia D) Valeria, Claudia, Noemí E) Noemí, Claudia, Valeria 7. Cuatro ingenieros asisten a una conferencia: un ingeniero civil, un ingeniero mecánico, un ingeniero electricista y un ingeniero industrial. Sus nombres, pero no con el mismo orden, son: Luis, Mario, Jorge y César: I. Se sabe que Luis y el Ing. Mecánico no se llevan bien II. El Ing. Mecánico y Mario son amigos III. Mario es pariente del Ing. Electricista. IV. El Ing. Civil es muy amigo de César y del Ing. Industrial. V. Jorge tiene a su cargo la obra de un edificio ¿Quién es el ingeniero electricista? A) Luis D) César

B) Mario C) Jorge E) No se puede determinar

8. Una ama de casa decide que su familia debe consumir una mayor cantidad de frutas. Para ello sirve plátano todos los días excepto lunes, miércoles y domingo; manzanas todos los días en que no sirve plátanos; duraznos sólo de lunes a jueves; uvas cuando sirve manzanas o duraznos; papayas cuando ha servido sólo plátanos. ¿Qué días sirve papaya? A) Sábado y Domingo B) Viernes, Sábado y Domingo

57

Raz. Matemático - II C) Viernes y Domingo D) Viernes y Sábado E) Nunca sirve

13. En el Casino Bingo “Monte Carlo” Peter, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para jugar POCKER en una mesa redonda. Se sabe que:

9. Tres amigos Carlos, Víctor y José estudian en tres universidades X, Y, Z. Cada uno de los tres estudia una carrera diferente A, B ó C. Carlos no está en X, José no está en y. El que está en Y estudia B. el que está en X no estudia en A. José no estudia C. ¿Qué estudia Víctor y donde? A) C en Y D) A en Z

B) C en X E) B en X

C) B en Z

10. Cinco amigos están sentados en una banca en el cine, ubicados uno a continuación de otro. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan. Zenaida está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados, ¿Quién se sienta al lado de Silvia? A) Zenaida D) Manuel

B) Pedro E) José.

C) Juan

11. Raúl, Víctor y Rolando son Matemáticos. Dos de ellos son Algebristas y uno es geómetra. Víctor y Rolando afirman que uno de ellos es algebrista el otro geómetra, por lo que podemos deducir que: A) Víctor y Rolando son geómetras B) Víctor y Rolando son Algebristas C) Raúl es Algebrista D) Raúl es geómetra E) Víctor es algebrista y geómetra 12. Santiago de Chile tiene menos habitantes que Lima; Lima tiene más habitantes que Quito pero menos que Buenos Aires. ¿Cuál de las conclusiones es necesariamente cierta? A) Santiago tiene menos habitantes que Quito B) Santiago tiene más habitantes que Buenos Aires C) Santiago tiene más habitantes que Quito D) Santiago tiene menos habitantes que Buenos Aires E) Santiago tiene igual número de habitantes que Quito

 Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Peter  Mario no se ubicó al lado de Peter ni de Raúl  Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario ¿Quién se sentó frente a Sergio? A) Daniel D) Mario

B) Raúl E) Saúl ó Mario

C) Peter

14. Seis miembros de una familia: José, Andrés, Julio, Pedro, Sara y Jorge, se reúnen para desayunar en una mesa de forma circular. De la cual se sabe que:  El padre José no se sentó al lado de su hijo Andrés ni de su hijo Julio.  Pedro que es nieto de José no se ubicó al lado de Julio ni de su abuelo  Sara que es madre de Andrés y Julio no se sentó al lado de Andrés ni de Pedro. ¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Julio? A) José D) Sara

B) Andrés E) Jorge

C) Pedro

15. Cinco caballeros comentan sobre el color de su traje que llevan a una fiesta:  A José no le gusta el marrón y a Pedro tampoco.  Carlos va a toda reunión con traje azul marino  Desde muy niño a Julio le gustaba llevar ropa de color plomo. ¿Quién lleva el traje de color marrón? A) Carlos D) José

B) Arturo E) Pedro

C) Julio

16. Un estudiante, un empleado y un obrero comentan cada uno de su preferencia por una marca de galletas.  “Yo prefiero las charadas” le dice Pepe a Mario.  Javier comenta: “Las galletas que al comerlas no producen ruido son las coronitas”  El empleado comenta: “Yo siempre como morochas, pues su sabor es incompatible”. ¿Cómo se llama el obrero?

58

Raz. Matemático - II A) Javier D) Mario

B) Pepe o Javier E) Pepe o Mario

C) Pepe

17. En el X Concurso Nacional de Marinera los concursantes fueron agrupados por edades. Gino tiene 5 años más que Angel; Julio tiene la mitad de la edad de Marcial y el triple de la edad de Angel; Gino no es mayor que Marcial. De acuerdo a esto: A) Julio es mayor que Gino B) Angel no es el menor C) Gino es menor que Julio D) Marcial no es mayor que Julio E) Gino no es el menor 18. En el festival de Viña del Mar, cinco profesores del Grupo de Estudio “OBJETIVO”, Robert (1), Carlos (2), Arnaldo (4), Williams (5), Marlon (3) estaban sentados en fila, Robert entre Marlon y Carlos, Carlos a la derecha y junto a Arnaldo, Carlos a la izquierda y junto a Robert, Williams a la izquierda de Arnaldo. Considerando que a cada profesor le hemos asignado un número de orden de colocación de izquierda a derecha. ¿Cuál es el orden de los números (colocación)? A) 51324 D) 24513

B) 45321 E) 52413

C) 54213

19. Toño, Rudy, Roberto y Martín practican cada uno deporte diferente (Box, tenis, Gimnasia, natación) no necesariamente es este orden. Toño quiere practicar Box en lugar de Gimnasia, Rudy le pide prestado su raqueta a Martín, Roberto no sabe nadar ¿Qué deporte práctica Rudy? ¿Quién Practica Box? A) Natación - Martín C) Natación - Roberto E) Tenis – Toño

A) Sapo - Segundo B) Corredor de autos - Rafael C) Sapo - Pedro D) Corredor de autos - Pedro E) Natación - Carlos 21. En un pentagonal de fútbol, la tabla de posiciones fue la siguiente:  Boys (B) obtuvo un punto más que Universitario (U).  Universitario (U) obtuvo un punto más que Cristal (C).  Municipal (M) obtuvo dos puntos menos que Universitario (U)  Boys (B) obtuvo dos puntos menos que Aurich (A). Ordene en forma creciente: A) ABUCM D) MCUBA

c) MUCBA

22. En una competencia automovilística los cuatro primeros puestos fueron ocupados por: Rómulo, Romel, Rogelio y Róger aunque no necesariamente en ese orden. ¿Puede deducir el orden de llegada, sabiendo que Róger cruzó la meta detrás de Romel y Rómulo lo hizo entre Rogelio y Róger? A) Rómulo - Róger - Romel - Rogelio B) Rómel - Rómulo - Róger - Rogelio C) Romel - Róger - Rómulo - Rogelio D) Romel - Rogelio - Rómulo - Róger E) Romel - Rómulo - Rogelio – Róger

B) Box - Rudy D) Box - Roberto

20. Carlos, Rafael, Pedro y Segundo practican cada uno un deporte diferente (Corredor de autos, natación, tejos, sapo) no necesariamente en ese orden. Carlos quiere correr autos en lugar de tejos. Rafael le pide prestado sus anteojos de agua a Segundo, Pedro no sabe jugar sapo. ¿Qué deporte practica Rafael? ¿Quién practica carrera de autos?

b) MUBAC e) MCUAB

1. D 2. B 3. B 4. A 5. E

CLAVES DE RESPUESTAS 6. A 11. C 16. B 21. A 7. A 12. D 17. D 22. C 8. D 13. D 18. C 9. B 14. D 19. C 10. C 15. C 20. C

59

Raz. Matemático - II

Notación Polinòmica

2 1. Dado: f  x   x  1.

Calcule f  3   f  5 

John Neper 2017 VARIABLE. Es la expresión que cambia de valor y en los polinomios generalmente se le denota con las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.)

A) – 2 D) 24 2. Si

B) 8

f  x   x 2  2x  5. Calcule el valor de:

CONSTANTE. Es la expresión que tiene un valor fijo o determinado.

E  f  2  f  3  f  4

REGLA DE CORRESPONDENCIA. Es una ecuación

A) 120 D) 420

de la forma: y  f  x  .

f   x,f (x)   × / x  Dom  f 

E

Ejemplo: Sea la función f :  , definida por la regla f (x)  3x  1, ésta también se puede escribir como:

Si: x  1 Si: x  2 Si: x  3



 f (1)  3(1)  1  2  f (2)  3(2)  1  5  f (3)  3(3)  1  8

Luego: f  1; 2 ,  2; 5 ,  3; 8 ,... Nota: f  x  se lee "f de x". Valor numérico de una función. Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le atribuye determinados valores a sus variables. 3 Ejemplo. Si: P  x   x  8x  3. Halle P  5  .

Solución: 

P  5   53  8  5   3



P  5   125  40  3

B) 240

C) 360 E) 520

2 3. Si: f  x   x  3x  2. Calcule:

Función Real.

f   x, 3x  1 / x 

B) 20 E) 32

 P  5   88  valor numérico

f  3   2f  2   f  0  f  3   f  2   2f 1

A) 2/5 D) 1/2

B) 9/4

C) 3/7 E) 3/8

1 1  1 x . Calcule g(3). 4. Si: g     x  x 1 A) – 2 D) – 4

B) – 6

5. Si: P  x  

x 1 . Calcule: x 1



C) – 8 E) – 1



R  P P P  25  A) – 2 D) 6

B) 0

C) 3 E) 11

3 6. Si: P  x   3x  2 Calcule:

P 1 P  0  E  P  4   

A) 120 D) 389

B) 194

2

C) 256 E) 415

60

Raz. Matemático - II 7. Si:

f  x   a x  b x ; además:

f 1  11 y 13. Halle la función lineal f  x  que cumple:

f  2   85. Calcule: f  3  , sabiendo que a < b. A) 526 D) 815

B) 698

C) 737 E) 941

A) 2 D) 13 9. Si:

P  x   P  x  2 x2

B) 5

A) 2 D) 1/4

además

C) 5 E) 9

C) 1/2 E) 1/8

f 1  5 y f  2   14. C) 5 E) 8

2 12. Si: f  x  3   x  1. Calcule el valor de:

f  a  2  f  2 A ; a2 a2

A) a D) – a2

B) a2

B) 8

15. Si: f  x  

C) 10 E) 22

x 1 ; con x  1. x 1

Calcule: f  f (x)

B) – 3x

C) 4x E) – 5x

f  x  es una función lineal, además

f  f  x   16x  30. Halle f  5 

f  x   ax 2  b. Calcule a.b, sabiendo que

B) 3

A) 6 D) 15

16. Si:

f  x2  1

11. Dada la función cuadrática:

A) 2 D) 6

f  x   f  2x   f  3x   140x 2  15

A) x D) 6x

f  x  1  f  x 

B) 1

D) f  x   3x  2

en:

10. Si: f  x   1  2  3  ...  x. Calcule E

C) f  x   x  7

C) 9 E) 18

f  2   4 y f  1  3. Calcule f 1 . B) 3

B) f  x   2x  3

2 14. Se define: f  x   ax  5. Halle el valor de "a"

f  x   f  x  3   f  x  1 ;

A) 1 D) 8

A) f  x   x  1 E) f  x   x  5

8. Si: P  x    x  1  1. Calcule: 2

Q

f 1  2  f  3  y f  4   2  f  1  1

A) 16 D) 32

B) 23

17. Sabiendo

que:

C) 26 E) 38

f  x   x  5,

además

f g  x   3x  8. Calcule g  2   g  6  . A) 25 D) 55

B) 38

18. Se define en





C) 46 E) 72

:

f 1  x x  2x3  1, entonces f  x  es igual

a: C) – a E) 1

2 A) f  x   2x  3x  1 2 B) f  x   2x  5

61

Raz. Matemático - II 2 C) f  x   4x  x  6

25. Sea:

g  x   x 2  2x  3;

además:

g  3x  1  3  g(x). Calcule: 6x  6x.

D) f  x   2x  4x  1 2

2

E) f  x   x  4x  8 2

f  2 , f  f  x   16x  5, calcule sabiendo que f  x  es una función lineal.

19. Si:

A) 3 D) 12 20. Se

B) 9

C) 6 E) 15

f  x  a  x  2a  b  b2 .

define:

Calcule: f  a  b  , para a,b  A) a D) 2b

f  x 

Calcule: f  f (x)

22. Si: f  x   A) a D) 4a2

C) b E) a – b

2x  1 , x2

con

x  2.

24. Siendo:

B) 2x

C) 5x E) 1





1  x. Calcule: f a  a2  1 . x B) 2a

C) a E) 0

3

B) 22

P  xx  n  1  6x x  6n;

B) 3

2 26. Si: f  x  1  x  2x  3. 4 Calcule: g(3), si se sabe que: f  g(y )  y  15

A) 80 D) 20

B) 60

C) 30 E) 10

2 27. Sabiendo que: h  x  1  x  3x  2.

A) 3 D) 12

B) 8

C) 10 E) 15

28. Si: f  x   x  2a, g  x   2x  a y además:

Calcule el valor de "a". A) 3 D) 15

además

C) 4 E) 12

B) 8

C) 12 E) 19

2 29. Si: P  x  1  x  3x  2.

Calcule el valor de "y", sabiendo que PP(y)  42 A) 1 D) 4

C) 27 E) 23

f P(x)  12x  12. Calcule f  6  . A) 2 D) 6

C) – 2 E) 1

f  g(x)  g  f ( x)   f  g(a) 19

23. Si P  x  1  3x  2. Calcule: P P(2)  P(3). A) 24 D) 25

B) – 4

Calcule el valor de "y" en: hh(y)  156.

B) 2a

21. Sabiendo que:

A) x D) 8x



A) 6 D) – 5

1. E 2. E 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C

B) 2

C) 3 E) 5

CLAVES DE RESPUESTAS 8. A 15. A 22. B 29. B 9. A 16. C 23. B 10. C 17. B 24. E 11. D 18. D 25. D 12. A 19. B 26. E 13. C 20. B 27. A 14. C 21. A 28. E

62

Raz. Matemático - II

Operadores matemáticos John Neper 2017

OPERADOR MATEMÁTICO. Es aquel símbolo que representa una determinada operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva Regla de Definición. Así tenemos que:

a * b  2a  3b2  8 operador matemático

Regla de dedefinición

Existen operadores matemáticos ya conocidos, así tenemos: + : Representa a operación adición.

– : Representa a operación sustracción. x : Representa a operación multiplicación.

: Representa a operación radicación.

: Representa a operación valor absoluto.

 : Representa a operación sumatoria. Pero también existen otro tipo de operadores matemáticos como son: *, #, , $, %, @, α, θ, ,

,

etc.

Sin embrago cualquier símbolo o figura geométrica puede ser utilizado como operador matemático.

OPERACIONES BINARIAS Las operaciones binarias más usadas y conocidas son la adición, sustracción, la multiplicación y la división. Una operación binaria es “CERRADA” cuando el resultado obtenido es un elemento del conjunto en el

cual se definió la operación en caso contrario se llamará “ABIERTA”. Operadores matemáticos Definidos en Tablas de Doble Entrada Propiedades: Sea el conjunto: A = {m; n; p; q} Con su operador (*) y su tabla: * m n p q

m n p q m

n p q m n

p q m n p

Q M N P Q

1. Propiedad Conmutativa Si: m * n = n * m  m ; n  A  se cumple la propiedad Conmutativa II. Propiedad Asociativa Si: (m * n) * p = m * (n * p)  m; n; p  A  se cumple al propiedad Asociativa III. Existencia del Elemento Neutro (e) Si: m * e = m = e * m  m  A  “e” es el Elemento Neutro Obsérvese la forma práctica de encontrar “e” en tablas * a b c d

a b c d a

b c d a b

c d a b c

D A B C D

IV. Existencia del Elemento Inverso (e) Si: m * m–1 = e  m–1 es el Elemento Inverso de “m”

63

Raz. Matemático - II

…… Problemas Resueltos 1. Si: a # b = 3ab2, hallar (2 # 3) + (3 # 2)

01. Si: m # n=3n−5m, Halle: (2 # 3) # (4 # 6) A) 0

B) −1

C) 1

D) 11

E) −11

A) 90 D) 54

Calcular: 64  81.

2 # 3=3(3) −5(2) = −1 4 # 6=3(6) −5(4) =−2 (−1) # (−2)=3(−2) −5(−1)= −1

Rpta  B

A) 2 D) 5 b

02. En la tabla:

 a b a a b

3. Si:

c

Reducir: E 

A) 6 D) 12 D) c

E

n = 1 (bn1  an1) n 1

a@b  a  b

E) 1

ac

a b  2b2  3a. Halle "E".

c

1

A) 1 D) 9

B) 3

5. Si: ab  ab1  2



A) 53

B) 45

C) 41



D) 14

A) 1 D) 3 E) 22

Solución:

6 2 @512 

72@8  72  8  8

 E  7@8 

2

49@23  49  22  45

Rpta  B

C) 6 E) 12

ab ; Calcular: P  16  32 2 B) 2

C) 4 E) 5

6. Si definimos: m  n  2m n  m Calcule el valor de (1 27) A) 30 D) 32

4 @27  16@33  16  32  7 3

C) 3 E) 27

4. Dado: E  3  3  3  ... ; además:

b  c   a  c

Halle: E   4@27 6 2 @512

2

B) 9

Rpta  E 3

x 0

Solución:  a  b   c   a E  a  (b  c)

C) 4 E) 10

3

a  b  c 

C) b

B) 3

Hallar el valor de:

 a  b  c   a

B) 0

X a

c

b b a c c c c a

03.

C) 72 E) 18

2. Si: y x  x y  x2  y 2 .

Solución:

A) a

B) 108

B) 36

7. Si se cumple lo siguiente:

C) 18 E) 20 ba

ab #ba   a  b  Calcular el valor de: 8#9

64

Raz. Matemático - II A) 1 D) 5

B) 2

C) 3 E) 7

13. Se define :

2a  3b ; si a  b  a  b  a  b ; si a  b 4a  b ; si a  b 

8. Si: x  5  3x  5 Calcular el valor de: 9  12 A) 43 D) 51

B) 24

C) 34 E) 27

9. Se define lo siguiente:  m; si 0  n  10  m* n   2   n ; otros casos A) 2 D) 11

B) 5

Hallar: E   4  2  3 10  6  2  2  2 A) 3 D) 6

B) 4

14. Se define la siguiente operación en el conjunto R:

a  b  a(b  a)2 ; (a  b)  0 C) 6 E) 8

10. Si se cumple lo siguiente: 2  a * b  b  3a  2b  2 2   ab  a  ab  b

Calcule: 8  1 A) 2 D) 0.2

B) 0.5

B) – 2

a b  ad  bc c d C) 3 E) – 3

11. Si se cumple lo siguiente:

a*b  x4



x 1  x  1

 a*b

Calcular:  a * b  A) x

1 x x E) 2

B) x2

C)

D) xx

Halle el mayor número que satisface la ecuación: x 1 0 1 2 x 1   2 x 3 x 2 4 3 1 A) – 1 D) 3

# 1 2 3 4

(5%)% 5% = 4 4% = 7

A) 3 D) 1

B) 4

C) 4 E) 2

operación mediante la siguiente tabla:

(3%)% %  4%

Si: 3% = 5 7% = 8

B) 6

16. En el conjunto: M  1; 2; 3; 4, definimos una

12. Hallar el valor de:

E

C) 1.5 E) 0.25

15. Si:

Calcular x, en: 2x  4 * x A) 2 D) 4

C) 5 E) 8

1 2 3 1 4

2 3 4 2 1

3 4 2 3 2

4 1 1 4 3

Según esta tabla, calcular: E  1# 2  # 3#(4 #1) 

C) 7 E) 2

A) 4#4 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

65

Raz. Matemático - II 17. Se define:

n  1 2  3  4 

3

 n; n

Hallar el valor de x, en:

10 operadores

x  231

A) 2 D) 7

B) 3

C) 5 E) 9

A) 3 D) 30

B) 7

22. Si:

 x  1; si x  10 x  x  2; si x  10

18. Si: a  b  c  b(c  b  a)2 Calcular:

(0  1  2) A) 1/2 D) 1 19. Hallar “x” :

Calcular: 1  2  3 

.. .. ..

(3 4 5)(678)

(2001 paréntesis)

B) 1,5 M

C) 12 E) 18

C) 0 E) 0,25

A  P  M=NP

A) 93 D) 146

 20

B) 170

C) 180 E) 190

1 1  , donde x es un entero, x2 x3 x  2, x  3.

23. Si x  2 

Halle" x"en 3x1

A  2(

3x1

A) 2 D) 5

Halle el valor de 1  2  3  ...  200

A)

B) 3

C) 4 E) 6

1 3 4 1 2 1

2 4 1 2 3

Calcular: E  (2 1)  4 A) 1 D) 4

B) 2/3 E) 202/201

C) 1

24. Se define:

20. Se define en IR. * 1 2 3 4

A) 199/201 D) 200/201

3 1 2 3 4

 a  c; si a  c y b es par  ab@c   c  a; si c  a y b es par  2 b  c  a; si b es impar, a,c 

4 2 3 4 1

Calcular:

 2   41@3@2 2@ 1

1

B) 2

C) 3 E) N.A

A) 2 D) 0

21. Si:

x  2x  x; x0 x Calcular el valor de:

1. A 2. D 3. B 4. B 5. D

B) – 2 CLAVES DE RESPUESTAS 6. B 11. D 16. E 7. D 12. E 17. B 8. A 13. E 18. D 9. D 14. B 19. B 10. B 15. D 20. A

C) – 1 E) 1 21. A 22. C 23. D 24. C

66

Raz. Matemático - II

Criptoaritmètica

Solución:

246  468 1968 1476 984 115128

John Neper 2017 Es el proceso de encontrar las cifras que están representadas por letras u otros símbolos los cuales intervienen en la formación de números en las operaciones aritméticas y otros teniendo en cuenta las propiedades de las mismas. Etimológicamente, CRIPTO significa escondido, oculto. Así pues, la criptografía trata del arte de escribir con clave secreta, y algo críptico es algo oscuro, enigmático. Una importante aplicación de las matemáticas, el criptoanálisis, trata de los métodos para proteger información, como el caso de las grandes cuentas bancarias. La Criptoaritmètica, un rico capítulo de la matemática recreativa, trata del arte de reconstruir operaciones matemáticas. Aunque los problemas de este tipo se conocían desde la antigüedad, el termino Criptoaritmètica apareció por primera vez en 1931 en la revista belga de matemática recreativa SPHINX.

…… Problemas Resueltos 01. Reconstruya la operación y de cómo respuesta la suma de las cifras del producto.

4 4

×

Piden: 1  1  5  1  2  8  18

Rpta  B 02. Si:

SOLExDAD  SUPONE;"O"  cero DADxL  423 DADxE  846 DADxS  282 Hallar: DALE  PAN A) 2083 D) 2473

UNACH – 2014 - II

B) 4023

C) 2183 E) 3084

Solución:

DADxSOLE 846 423 000 282

E6 N7 P7 U8 S2

287076  SUPONE

8 6

1

DADxE  846  D  1 A  4

7

DADxL  423  L  3

8

DALE + PAN  2183

1 A) 16 D) 15

B) 18

C) 17 E) 20

Rpta  C

67

Raz. Matemático - II A) 32 D) 45 1. Si: a + b + c = 18; hallar: cba  acb  bac A) 1998 D) 1888

B) 2098

C) 1988 E) 1999

C) 5 E) 3

U U II UNI

4. Se sabe que:

C) 15 E) 12

C) 10 E) 12

9. Hallar: (R + S) A en: RAS  SAR  787

A) 99 D) 80

B) 20

C) 36 E) 28

B) 48

C) 63 E) 96

11. Hallar: “a.b” máximo en: A) 27 D) 25

¿Cuánto es abc  mn ? C) 21954 E) 29271

5. Si: UNPRG 2003 – I

B) 28

C) 30 E) 7

12. Hallar el máximo valor de: “m + a + r” en:

rama  amar  9328 A) 15 D) 18

PRG RG 80 11

B) 16

C) 17 E) 19

13. Halle: SEIS si: SIETE + TRES = 100000 Además: T  R ; I  E

Entonces: P − R+G es: A) 0 D) 3

B) 9

aab  baa  aba  1665

abc  m  2312

B) 24854

C) 7 E) 5

10. Hallar: (a + b) (a − b) en: aba  bab  728

abc  n  1734

A) 9652 D) 25854

A) 8 D) 11

A) 45 D) 32

NN

B) 18

B) 8

8. Hallar: T – E + N en: TEN  NET  1272

3. El valor de U + N + I en la siguiente suma es:

A) 20 D) 13

Hallar “p”: mnp  pmn  npm  2331 A) 9 D) 6

P  43(6)  43(7)  43(8)  43(9)  ...43(43) B) 1

C) 40 E) 43

7. Si: m + n = 14

2. Hallar la cifra de unidades del producto:

A) 0 D) 7

B) 36

B) 1

C) 2 E) 4

6. Si (a + b + c)2 = 324. Hallar la suma de las cifras de :

E  abbab  baaba  ccccc

A) 8118 D) 9339

B) 1881

C) 9119 E) 3333

14. Si ADCV(99999999) = ...3518 Halle A  D  C  V :

68

Raz. Matemático - II A) 20 D) 12

B) 24

C) 18 E) 25

Determine el valor de TAL  E B) 1962

C) 2961 E) 5436

16. Hallar: E = a + b + c en:

abc  a  470 ; abc  b  705 ; abc  c  1175 A) 12 D) 9

AABB  CC .Hallar el valor de: A + B + C

A) 15 D) 24

15. Si LATE  999  ...8437

A) 1692 D) 4563

20. Si:

B) 3

C) 15 E) 10

B) 19

21. En la siguiente resta “O” = cero; determinar el valor de a +b + c en:  7ab4 A) 11 B) 12 cd0b C) 13 a7c8 D) 14 E) 15 22. Si se cumple:

Si: a1a  a2a  a3a  ...  a9a  bcd4 B) 10

C) 9 E) 7

18. En la siguiente sustracción, se sabe que:

A B C

* 8 3 8

El valor de ABC  BAC es: A) 170 D) 270

  -

1 * * A + C = 12. El valor de A x C es: B) 32

C) 37 E) 31

19. Hallar “axb”, en: 2º Examen CEPRE – UNACH 2015 - I A) 16 D) 19

4   x   5  1   4  3 8  a b c 9 d A) 24 D) 34

B) 25

B) 180

C) 240 E) 300

23. Si cada () representa una cifra, hallar la suma de cifras del dividendo.

-

C B A

A) 35 D) 20

x

A B C 1 4

17. Hallar: E = b + c + d – a

A) 11 D) 8

C) 21 E) 20

C) 27 E) 28

1. A 2. C 3. B 4. B 5. D

    -

 3    -



7 2





8  -

B) 17

C) 18 E) 20

CLAVES DE RESPUESTAS 6. D 11. B 16. E 21. C 7. C 12. B 17. D 22. D 8. B 13. C 18. A 23. C 9. E 14. A 19. C 10. D 15. B 20. B

69

Raz. Matemático - II

Planteo de eCuaciones John Neper 2017

FORMA LITERAL

Un aspecto importante en las Ciencias (Matemáticas, Físicas, Ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este capítulo nos ayudará traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y a partir de ellas resolverlas. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

TRADUCCIÓN

LENGUAJE MATEMÁTICO

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incógnitas. Ejms.:

5x 4 2x 1 x

2

3x

7 4

Un número, aumentado en su mitad El doble de un número El triple de “x”, más 8 El triple, de “x” más 8 El triple de “x” menos 5 Mitad de un número Dos números consecutivos Lo que falta para 50 Dos números pares consecutivos “A” es excede a “B” en 7 “A” es excedido por “B” en 7 “M” es a “N” como 2 es a3 “A” es 7 veces “B” “A” es 7 veces más que “B” Dos números están en la relación de 3 a 5

0 5x

TRADUCCION E INTERPRETACION

2

8x

3

x 3y 4 0 5x 7y 10 0

El exceso de “M” sobre “N” es “Z” Suma de dos números al cuadrado Suma de cuadrados de dos números Inverso de un número

Sugerencia para plantear una Ecuación

1.- Leer bien el enunciado del problema. 2.- Separar los datos. 3.- Fijar la incógnita mediante una variable. 4.- Fijar un plan de solución. 5.- Resolver la ecuación.

5 menos 4 veces un número

FORMA SIMBÓLICA

x

x 2

2x

3x  8 3(x  8) 3x  5 x 2 x; (x  1)

50  x 2x; (2x  2) A B  7 BA 7

M 2  N 3 A  7B

A  8B x 3  y 5 M N  Z

(x  y)2 x2  y 2 1 x

5  4x

70

Raz. Matemático - II

…… Problemas Resueltos 01. Halle el número cuyo quíntuplo, disminuido en los 3/4 del mismo, es igual al triple, de la suma de dicho número con cinco. A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

03. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 50

B) 60

C) 70

D) 80

Solución:

E) 14

Solución:

E) 90

5 4 esc 5

Sea “x” el número 3 5x  x  3  x  5  4

4 esc “x” escalones

Por (4): 

# pasos : 20x  3x = 12x + 60 17x 12x = 60 5x = 60 x = 12

En una fiesta infantil a Lenin le ofrecieron 60 galletas, luego de 1 hora le preguntaron por las galletas que se comió a lo que ella respondió: “Comí 2 veces más de lo que no comí, menos 40 galletas.” ¿Cuántas galletas comió Lenin?

A) 35 B) 20 Solución:

C) 30

D) 45

x 5

En el primero se dan 4 pasos más que en el segundo. x x  4 4 5 

5x  4x = 80 x = 80 escalones

Rpta  D

E) 37

Sea “x” lo que comió. De las 60 galletas, lo que no comió es: 60  x El enunciado dice: “Comí 2 veces más de lo que no comí, menos 40 galletas”, recordar que “2 veces más es equivalente al triple entonces, podemos plantear:

x  3(60  x)  40 Resolviendo:

# pasos:

Condición:

Rpta  C 02.

x 4

“x” escalones

x  180  3x  40

4x  140  x  35 Lo que comió: 35

Rpta  A

1. Triple de un número aumentado en su mitad es igual a 28. Hallar el número. A) 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 4

2. El exceso de 5 veces un número sobre 30 equivale al exceso de 40 sobre el doble de dicho número. Calcular dicho número. A) 10 D) 7

B) 12

C) 8 E) 9

3. Compré el cuádruplo de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 animales más de cada

71

Raz. Matemático - II clase, tendría triple número de caballos que de vacas. Dar la diferencia de caballos y vacas. A) 40 D) 25

B) 10

C) 30 E) 60

4. Dos personas poseen juntas S/. 100, la mitad de lo que tiene la primera persona equivale a un tercio de Io que tiene la segunda. Hallar lo que tiene la primera persona. A) 30 D) 70

B) 40

C) 60 E) 90

5. Mis camisas son de colores verde, azul y blanco. Si todas mis camisas son blancas, menos cuatro; todas son azules, menos cuatro; y todas son verdes, menos cuatro. ¿Cuántas camisas tengo en total? A) 16 D) 8

B) 5

C) 6 E) 10

6. Un niño le dice a su padre: "de los 140 soles que me diste, gasté 58 soles más de lo que no gasté. ¿Cuánto no llegó a gastar el niño? A) 21 D) 37

B) 75

C) 80 E) 41

7. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/. 1 200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra? A) 18 D) 12 8.

B) 36

C) 6 E) 20

Si subo una escalera de 5 en 5, doy 4 pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 60 D) 100

B) 120

C) 90 E) 80

9. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 4 niños, los restantes reciben 5 caramelos más. ¿Cuántos niños había inicialmente?

A) 20 D) 15

B) 16

C) 25 E) 30

10. Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos más 70 niños ó dé 42 adultos más 18 niños. Si entraron sólo niños. ¿Cuántas entradas cubrirán sus gastos? A) 216 D) 178

B) 200

C) 160 E) 232

11. A una iglesia asisten 399 personas entre hombres; mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo de mujeres y el de mujeres es el triple que el de los niños. ¿Cuántos hombres hay? A) 367 D) 234

B) 98

C) 298 E) 315

12. Un tanque lleno de gasolina cuesta 275 soles, si se le quita 85 galones, el precio es de 150 soles. ¿Cuántos galones contiene el tanque? A) 175 D) 165

B) 192

C) 187 E) 154

13. Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra están en la relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? A) 16 D) 15

B) 24

C) 32 E) 20

14. Si reparto tantos caramelos como niños hay, me faltan 2; pero si doy un caramelo a cada niño me sobran 70 caramelos. ¿Cuántos caramelos tengo? A) 70 D) 68

B) 79

C) 80 E) 54

15. Si se forma filas de 8 niños sobran 4; pero si se forman 3 filas más de 7 niños faltarían 8 niños. ¿Cuántos niños son? A) 78 D) 76

B) 72

C) 64 E) 84

72

Raz. Matemático - II 16. Manuel tiene dos veces más de lo que tiene José. Si Manuel le diera S/.15 a José, entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre los dos? A) S/.60 D) S/.90

B) S/.70 E) S/.100

B) 24

C) 4 E) 30

18. Tres canastas contienen 575 manzanas. La primera canasta tiene 10 manzanas más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas tienen la segunda y la tercera canastas juntas? A) 200 D) 385

B) 375

C) 390 E) 400

19. Se reparten 540 Kilos. de azúcar en tres mercados. En el primero se dejan 120 kilos más que en el segundo y en el tercero una quinta parte menos que en el segundo. ¿Cuántos kilos se dejan en el tercero? A) 60

B) 90 C) 120

D) 150

E) 270

20. Se divide 196 en tres partes de modo que la segunda parte sea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20. La mayor de las partes es: A) 36 D) 86

B) 72

C) 88 E) 89

21. Un gladiador se presenta a una competencia y enfrenta a 180 rivales. Ganó a 22 rivales menos de los que no ganó. ¿A cuántos ganó? A) 101 D) 79

B) 170

A) 46 D) 44

B) 39

C) 42 E) 40

C) S/.80

17. La suma de un número más los tres cuartos del mismo es igual a 21 unidades, más la mitad de aquella suma. ¿Cuál es la tercera parte del número? A) 8 D) 16

sientan de 4 en 4, una carpeta quedaría vacía. El número de alumnos es:

C) 15 E) 22

22. Si los alumnos de 5º A se sientan de 3 en 3, se quedarían de pie 8 alumnos. En cambio, si se

23. Se pesan 2 patos y 3 pollos, y luego 3 patos y 2 pavos y la balanza marcó 17 y 16 Kg. respectivamente. Si un pato pesa el doble que un pavo, hallar el peso de un pato. A)4 D)2

B)6

C)8 E) 10

24. Los nietos de don Pablito quieren regalarle un televisor. Si cada uno da 20 soles, les sobraría 96 soles; pero si cada uno da 18 soles, les sobraría 4 soles.¿ Cuántos nietos tiene don Pablito? A) 44 D) 47

B) 45

C) 46 E) 48

25. Royer da a su hermano Franklin los 2/7 de lo que tenía y a su primo Christian 380 soles. Si aún le queda 3/8 del dinero original, ¿cuánto tenía? A) 1020 D) 1480

B) 1400

C) 1120 E) 1220

26. Una empresa ofrece a un empleado un sueldo anual de 60 000 soles; un televisor y una cocina. A los diez meses el empleado es despedido y recibe 44 000 soles, más los dos artefactos ofrecidos. Si se hubiera retirado a los siete meses, hubiera obtenido 36 000 soles y la cocina. ¿Cuál es el precio de la cocina? A) 20 000 D) 5 000

B) 10 000 E) 16 000

C) 15 000

27. Un comerciante rehúsa vender en 150 000 soles un cierto número de pacas de algodón. Dos meses más tarde, cuando el precio ha subido 50 soles por paca, las vende en 151 900. Si en el curso de los dos meses se destruyeron dos pacas, ¿cuántas pacas vendió? A) 100 D) 42

B) 40

C) 98 E) 36

73

Raz. Matemático - II 28. Un número agregado a la mitad de su mitad es igual a 50. ¿A cuánto equivale la excedencia aritmética de su complemento aritmético? A) 40 D) 45

B) 50

C) 55 E) 60

29. Un pantalón y una camisa cuestan, respectivamente, 80 y 60 soles. Joel tiene una cantidad de dinero tal que si compra 2 camisas, le queda una cantidad que es el triple de lo que le quedaría si compra 3 pantalones. ¿Cuántos soles tiene Joel? A) 280 D) 450

B) 300

C) 350 E) 600

30. A una fiesta asistieron 150 jóvenes, entre chicas y muchachos. Cielito baila con 5 muchachos; Génesis baila con 6 muchachos; Rosaly baila con 7 muchachos y así sucesivamente hasta que Karen, la última de las chicas bailó con todos los muchachos. ¿Cuántos muchachos asistieron? A) 70 D) 77

B) 73

C) 75 E) 80

31. Al jugar casino con un amigo, me doy cuenta al final de que él tiene el triple del dinero que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos 60 soles. ¿Cuántos soles tenemos entre ambos? A) 50 D) 60

B) 30

C) 20 E) 40

32. Joel estaba indeciso entre comprar 72 patos o, por el mismo dinero, 9 vacas y 9 cuyes. Decide comprar el mismo número de animales de cada tipo con el mismo dinero. ¿Cuántos animales compró? A) 28 D) 24

B) 30

C) 20 E) 40

33. Un terreno tiene forma rectangular. Si tuviera 5 metros más de largo y 5 metros más de ancho, su área se duplicaría. Si tuviera 3 metros menos

de largo y 3 metros menos de ancho, su área disminuiría en 66 m2 .Hallar el área del terreno. A) 125 m2 D) 150 m2

B) 130 m2

C) 180 m2 E) 120 m2

34. En un grupo de conejos y gallinas, el número de patas excede en 14 al doble del número de cabezas. ¿Cuántos conejos hay? A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 10

35. Carlos le dice a Víctor: “Dame 5 de tus discos y tendremos tanto el uno como el otro”. Víctor le responde: “Dame 10 de los tuyos y tendré el triple de los que te quedan”. ¿Cuántos discos tiene Víctor? A) 40 D) 30

B) 20

C) 25 E) 35

36. Hay 180 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 3 niños, los restantes reciben 5 caramelos más. ¿Cuántos niños había inicialmente? A) 10 D) 11

B) 12

C) 13 E) 9

CLAVES DE RESPUESTAS 1. D 15. D 29. B 2. A 16. A 30. D 3. C 17. A 31. A 4. B 18. B 32. D 5. C 19. C 33. A 6. E 20. C 34. B 7. C 21. D 35. E 8. B 22. D 36. B 9. A 23. A 10. B 24. C 11. E 25. C 12. C 26. A 13. C 27. C 14. B 28. B

74

Raz. Matemático - II

…… Problemas Resueltos

Edades John Neper 2017

01. Daniel le dijo a Elvira: “Yo tengo 3 veces la edad de tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes; y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la edad de Elvira? UNACH – 2014 – I

Tiempo Pasado: Tenía, Tuve, Hace,... etc. Tiempo Presente:

A) 16

Tengo, Tienes, Actualmente,... etc. Tendrás, Dentro de,... etc. Condiciones: Son determinadas relaciones entre las cantidades o edades que intervienen y que se cumplen en un determinado tiempo o entre tiempos diferentes. TIPOS DE PROBLEMAS Tipo I: Cuando interviene la edad de una sola persona

y

Pasado

Dentro

Presente

xy

y Futuro

xy

x

. Tipo II: Cuando intervienen las edades de dos o más personas. Dentro b Hace a

Pasado

Presente

P1

xa

x

P2

y b

y

C) 5

D) 15

E) 10

Solución:

Tiempo Futuro:

Hace

B) 2

Futuro

xb

y b

Se cumple que la diferencia de edades entre dos personas es constante en cualquier tiempo

Año de Nacimiento  Edad Actual  Año Actual

Daniel Elvira

Tenía Y x

Tengo 3x Y=2x

Tendré 4x 3x

x +3x=Y+Y 4x+3x=35 Y=2x x=5 Entonces Elvira tiene: 10 años Rpta  E 02. Una persona de 50 años les pregunto a Tati y Patty sobre las edades que tenían, a lo que Tati contesto: “Cuando yo tenía un año menos de la edad que ella tiene, ella tenía 5 años menos de la edad que yo tengo, entonces la suma de nuestras edades excederá en 10 años el doble de la edad que usted tiene”. ¿Qué edades tienen Tati y Patty, respectivamente? UNACH – 2014 - II A) 30 – 27 D) 30 – 22

B) 30 – 28 E) 27 – 24

C) 27 – 25

Solución: Tati Patty Persona

Pasado x–1 y–5

Presente y X 50

Futuro m 2y

x  1 x  y  5  y  y  2  x y  2y  x  m  m  2  2y (m  2y)  2(50)  10  2  2y  2y  100  10 y  27

x  25

Rpta  C

75

Raz. Matemático - II

1. Mi hermano me lleva 8 años. ¿Dentro de cuantos años su edad será el doble que la mía, si hace tres años era el triple? A) 2 D) 5

B) 1

C) 3 E) 4

2. Las edades de dos hermanos son tales que dentro de 15 años sumaran 58 años y hace 4 años, la edad del mayor era tres veces más de la edad del menor. Hallar las diferencias de sus edades. A) 7 D) 12

B) 9

C) 13 E) 15

3. Hace 7 años la edad de A era el triple de la de su hijo; pero dentro de 9 años será sólo el doble. ¿Cuál es la suma de las edades actuales? A) 73 D) 78

B) 74

C) 76 E) 80

4. Las edades de Carlos y Luis están formados por las mismas cifras pero en orden invertido. Si cuando Carlos tenía el doble de la edad que tenía Luis, ésta tenía la mitad de la edad que tendría dentro de un año. La edad de Carlos es: A) 53 D) 35

B) 60

C) 65 E) 56

5. Dentro de cuántos años la relación de las edades de Luis y Carlos será igual a 7/6. Si sus edades actuales son de 40 y 30 años respectivamente. A) 10 años C) 30 años E) 15 años

B) 20 años D) 40 años

6. Carla tiene 24 años. Su edad es el séxtuple de la edad que tenía Mary, cuando Carla tenía la tercera parte de la edad que tiene Mary. ¿Cuál es la edad de Mary? A) 18 D) 16

B) 21

C) 22 E) 19

7. Mariela tuvo a los 20 años quintillizos; hoy las edades de los 6 suman 80 años, ¿Cuál es la edad de uno de los quintillizos? A) 5 D) 12

B) 8

C) 10 E) 13

8. La edad de Mario es el triple de la edad de María, pero dentro de 50 años ella tendrá 7/11 de lo que él tenga. ¿Qué edad tenía Mario cuando ella tenía 10 años? A) 20 D) 70

B) 50

C) 60 E) 80

9. Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la relación de 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5, 6 y 7, ¿qué edad tiene el mayor? A) 15 años D) 12 años

B) 21 años E) 16 años

C) 18 años UNPRG – 2008 – II

10. Las edades de Gustavo y William están formados por las mismas cifras pero en orden invertido. Si cuando Gustavo tenía el doble de la edad que tenía William, ésta tenía la mitad de la edad que tendría dentro de un año. La edad de Gustavo es: A) 53 D) 35

B) 60

C) 65 E) 56

11. La edad de mi esposo decía Doris, es un número formado por las dos mismas cifras de mi edad, pero dispuestos en orden inverso, él es mayor que yo, y la diferencia entre nuestras edades es un onceavo de su suma. Encontrar la edad de Doris. A) 36 D) 46

B) 45

C) 42 E) 38

12. Grimaldo le dice a José: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 81 años ¿Qué edad tiene Grimaldo? A) 18 B) 21 C) 24 D) 36 E) 42

76

Raz. Matemático - II 13. Habiéndose preguntado a un matemático por su edad, éste respondió: si al doble de mi edad le quito 20 años, esta diferencia será igual al doble de lo que me falta para obtener 90 años. ¿Qué edad tiene el matemático? A) 40 D) 55

B) 45

C) 50 E) 60

14. La diferencia de las raíces cuadradas de la edad que tendrá Manuel dentro de tres años con la que tuvo hace dos años es 1. ¿Cuál será la edad dentro de doce años? A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 18

15. Tania le dice a Raquel, el MCM de nuestras edades es el doble de mi edad y el MCD de nuestras edades es la tercera parte de mi edad. Si yo nací 24 años antes que tú. ¿Cuál es mi edad? A) 24 D) 60

B) 72

C) 36 E) 42

16. Estando reunidas Ana, Betty y Carmen, se escucha la siguiente conversación: * Betty: “Mi edad es la misma que tenía Ana cuando Carmen nació”. * Ana: “Así es, y en ese entonces nuestras edades sumaban 30 años”. * Carmen: “Mi edad actual es la misma que tenía Betty cuando yo nací”. ¿Cuál será la edad que tendrá Ana cuando Carmen tenga la edad que tiene Betty? A) 10 D) 40

B) 20

C) 30 E) 50

17. Una persona de 50 años les preguntó a Tati y Patty sobre las edades que tenían a lo que Tati contestó: “Cuando yo tenía un año menos de la edad que ella tiene, ella tenía 5 años menos de la edad que yo tengo; pero cuando ella tenga el doble de la edad que yo tengo, entonces la suma de nuestras edades excederán en 10 años el doble de la edad que usted tiene.

¿Qué edades respectivamente? A) 30, 27 D) 30, 22

tienen

Tati

B) 30, 28

y

Patty

C) 27, 25 E) 27, 24

18. Hace (a + b) años tu edad era "a" veces la mía, pero hoy es solo "b" veces la mía. ¿Cuántos años tenía yo hace (a + b) años?

(a  b)(a  b) 2a  b (a  b)(b 1) C) ab (a  b)(b  1) E) ab A)

(a  b)(b  1) 2a  b (a  b)(b 1) D) a b B)

19. Laura al ser interrogada por su edad responde: “Si al año en que cumplí 14 años le suman el año en que cumpliré 23 años y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán 19”. ¿Cuál es la edad de Laura? A) 18 años D) 16 años

B) 23 años E) 22 años

C) 19 años UNPRG – 2008 – II

20. Al preguntársele a un profesor del Departamento de Matemática de la UNPRG por su edad, éste responde: “No soy tan joven para decir que tengo 60 años ni tan viejo para tener 80 años. Cada hijo me ha proporcionado tantos nietos como hermanos tiene. Mi edad es exactamente el doble del conjunto de hijos y nietos que tengo” ¿Cuál es la edad del profesor? A) 76 años D) 68 años

B) 64 años E) 72 años

C) 75 años UNPRG – 2001 – I

1. B 2. D 3. D 4. A 5. C

CLAVES DE RESPUESTAS 6. B 11. B 16. B 7. C 12. D 17. C 8. B 13. C 18. D 9. D 14. E 19. A 10. A 15. B 20. E

77

Aritmética

Teoría de Conjuntos John Neper 2017

NÚMERO CARDINAL DE UN CONJUNTO: Indica la cantidad de elementos diferentes de un conjunto. Ejemplo: A  {p;q;{r;s} } n(A)  3

B  {p;a;r;a;d;a}  n(B)  4

IDEA DE CONJUNTO Un conjunto es una colección de elementos materiales o inmateriales de una misma naturaleza.

C  {x/xN  4  x  5}  n(0)  0

Notación: Conjuntos: A; B; C; etc. Elemento: a; b; c; etc. Ejemplo: Sea el conjunto A = {p; q; r; t}

1. Conjunto Universal (U): Es un conjunto diferencial que se establece para una situación particular.

CONJUNTOS NUMERICOS:

2. Conjunto Finito: Es el conjunto que tiene principio y fin. Ejemplo: A = {x/x es una letra del abecedario}

R Q Z

I N

CLASES DE CONJUNTOS

3. Conjunto Infinito: Tiene ilimitado número de elementos Ejemplos: T= {x/x es un número par} 4. Conjunto Unitario ò Singletòn: Tiene un sólo elemento Ejemplo: Y  {x/x  N  1  x  3}

N: números naturales Z: números enteros Q: números racionales I: números irracionales R: números reales DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a) Por Extensión: Se menciona los elementos Ejemplo: Sea: A= {a; e; i; o; u} b) Por Comprensión: Se menciona una característica común de los elementos. Ejemplo: Sea: A = {x/x es una vocal} RELACIÓN DE PERTENENCIA: Si un elemento está o no está en un conjunto, se dice que pertenece () o no pertenece () respectivamente al conjunto. 

Elemento ó Conjunto 

5. Conjunto Vacío: Es el conjunto que no tiene elementos. Ejemplo: H = {x/x es un número primo con tres divisores} RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Conjuntos Iguales: Los conjuntos A y B son iguales, si y solo si tienen los mismos elementos. Ejemplo: Sean: A = {4; 7; 3} y B = {3; 7; 4} A=B 2. Subconjunto: A  B Significados: “A está incluido en B” “A es parte de B” “A es subconjunto de B” PROPIEDADES: i) Si: A  B  B  A  A  C ii)   A;  A iii) A  A;  A

78

Aritmética 3. Conjunto Potencia: El conjunto potencia de A, denotado por Pot (A) o P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A = {4; 7; 9} * Los subconjuntos de A: {4}; {7}; {9}; {4; 7}; {4;9}; {7; 9}; {4; 7;9}; 

4. Complemento de A: A ' ; A c ; CA ó A B A

B

U

…… Problemas Resueltos Si el conjunto A tiene “n” elementos n

n 2 subconjuntos y (2  1) subconjuntos propios.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

B

A

B

B A

A y B no disjuntos

2. INTERSECCIÓN: ( A  B) A

B

A

B

B A

A y B no disjuntos

AB

AyB disjuntos

B

A



;m  7 , señale

la

proposición falsa. UNACH – 2015 – I B)

1A

C) 7A E) 6 A

Solución:

Reemplazando en: 3m  2  m  1  3(1)  2  1  m  2  3(2)  2  4  m  3  3(3)  2  7  m  4  3(4)  2  10  m  5  3(5)  2  13  m  6  3(6)  2  16  m  7  3(7)  2  19 A  1;4;7;10;13;16;19

3. DIFERENCIA: (A –B) A



1,2,3,4,5,6,7 valores que puede tomar m

AB

AyB disjuntos



A) 10A D) 13 A

1. UNIÓN O REUNIÓN: ( A  B) A

entonces tendrá A  3m  2 / m  01. Si

es falsa 13  A

Rpta  D B

A B

A y B no disjuntos

1. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

B A

AyB disjuntos

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA: (AB) A

B

A

B

A B

A y B no disjuntos

AyB disjuntos

B A

I. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito II. Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito III. Todo conjunto tiene subconjuntos propios IV. n[P(  )] = 1 A) VVVV D) VFFV

B) VFVF E) FFVV

C) FVVF

79

Aritmética 2. Dados los conjuntos unitarios:

A  3a  1;7 , B  3;b  c y C  2;bc

Donde: b  c Calcular: a  2b  3c A) 2 D) 4



A  x2 / x 



y 7  x  7,6

B  a  b;7;4a  1  b Si B es un conjunto unitario, halle: 2a  b  n(A)

B) 1

C) 3 E) 6

b  A  3a  5;7; B    2;5 3  Calcular: b  a B) 27

A) 10 D) 12

B) 6

C) 8 E) 20

 3n  1   8. Sea: A    / 1  n  9   2  

3. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales:

A) 26 D) 16

7. Si:



B  m





/ m  18 y m  3

Calcule: n( A)  n(B) C) 18 E) 28

4. Al determinar por extensión el conjunto  (2n  1)  / n  y 6  n  12 , se obtiene   3 

15 17 19 22  ; ; ;7;  3 3 3 3 15 17 20 23 24  B)  ; ; ; ;  3 3 3 3 3

A) 16 D) 19 9. Si:

B)17

C) 18 E) 20

A  B  5;7;5;8;7;6;10



B  n / n A, n 



Halle: n(A)

A) 

A) 0 D) 5

B) 4

C) 7 E) 6

10. Dados los conjuntos A, B y C definidos en los naturales:

14 16 20 22  ; ;6; ;  3 3 3 3

C) 

D) 7;8;9;10;11

A  n/n es un nùmero impar

E) 7;9;10;11

B  m/m es un nùmero que termina en cifra mayor que 6 C  p/p està comprendido entre 50 y 99

5. Dados los conjuntos:

Calcule: n( A B  C)

A  (n  2)(n  1) / n  ;0  n  4

B  (2n)  / 1  n  6

A) 5 D) 15

Calcular: n( A)  n(B) A) 8 D) 15

B)13

C) 10 E) 12

6. Hallar (m + n + a), si los conjuntos siguientes son unitarios: A = {(a2 + 1), (3a – 1)} B = {(3m + n), (m – n + 8)} A) 4

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

B) 10

C) 14 E) 9

11. Si:

A  7;8;5;4;3 B  5;4;9;11 C  4;9;7;15

Halle: n( A  B)  C

n(A): Número de elementos diferentes del conjunto A. A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

80

Aritmética M  1; 3; 7; 15; 31

12. Se tiene el conjunto:

determine M por comprensión:



A) 10 D) 20



x A) 2  1/ x N;1  x  5

B) 2x  1/ x  N;1  x  5 C)



x D) 3  1/ x N;0  x  5

E) 3x  1/ x  N;0  x  5 13. Hallar n (A  Bc), dado que n(A) = a, n(B) = b, n(A  B) = c. A y B son dos conjuntos cualquiera. A) b + c D) c – b

B) c – a

C) a – b E) c + a

14. Dados los conjuntos comparables A y B, si A  B tiene 12 elementos y A  B tiene 27 elementos. ¿Cuántos elementos tiene A  B? A) 11 D) 14

B) 12

C) 13 E) 15

15. Si (A  B) = U. Simplificar: [[(A  B)  (AB)]´  [A´ B)  (A  B´)]]´ A)  D) AC

B) A

C) A – B E) A  B

16. En cierto colegio hay 26 profesores en el área de ciencias, donde 12 de ellos enseñan física, 11 matemática y 8 química; 5 enseñan física y matemática, pero ninguno enseña física y química. ¿Cuántos profesores enseñan sólo matemática? A) 4 D) 8

B) 9 E) 6

B) 15 E) 36

C) 30

18. En una fiesta hay 197 personas, 85 no bailan; 68 no fuman, el número de personas que bailan y fuman es el doble del número de personas que no bailan y no fuman. ¿Cuántas personas bailan o fuman en dicho momento?

2x  1/ x N;1  x  5



4 no estudian ni inglés ni francés. ¿Cuántos estudian sólo inglés?

C) 5

17. De 64 alumnos que estudian idiomas; los que estudian sólo inglés es el triple de los que estudian inglés y francés; los que estudian solo francés son la mitad de los que estudian inglés y

A) 153 D) 156

B) 154

C) 155 E) 157

19. En un aula de 50 alumnos, aprueban matemática 30, física 30, castellano 35, matemática y física 18, física y castellano 19, matemática y castellano 20 y 10 alumnos aprueban los tres cursos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los tres cursos? A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

20. Unas 80 personas se distribuyen en 3 grupos. Si 28 no pertenecen al grupo de los “Pescadores”, 47 no pertenecen al grupo de los “Poetas”, 51 no pertenecen al grupo de los “artesanos”, 13 se excluyen de estos grupos, 7 pertenecen a los tres grupos. ¿Cuántas personas pertenecen sólo a dos de estos tres grupos? A) 31 D) 37

B) 33

C) 35 E) 39

21. En una fábrica trabajan 42 mujeres, de las cuales 15 no son casadas. De los varones, 36 son obreros y 12 empleados son casados. Si 58 trabajadores son casados (entre hombres y mujeres) y 35 varones no son casados. ¿Cuántos empleados varones se tienen? A) 36 D) 26

B) 32

C) 30 E) 66

22. Si se sabe que en una encuesta sobre las preferencias de tres productos A, B y C; 22 prefieren A, 24 prefieren B y 20 prefieren C. Si los que prefieren al menos un producto son 35 y

81

Aritmética los que prefieren solamente un producto son 5. ¿Cuántos prefieren los tres productos? A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 0

23. Al final de una jornada de cacería de liebres y conejos, 21 cazadores regresaron con por lo menos un animal, 9 no sólo cazaron liebres sino también conejos: 16 cazaron por lo menos un conejo y 22 regresaron sin haber cazado liebre alguna. ¿Cuántos no cazaron conejos? A) 5 D) 15

B) 20

C) 11 E) 18

24. En un salón de 45 alumnos, el número de los que estudian aritmética es el doble del número de los que estudian aritmética y geometría y el número de los que estudian geometría es séxtuplo del número de los que estudian aritmética y geometría. Si hay 10 personas que no estudian estos cursos. ¿Cuántos estudian ambos cursos? A) 3 D) 5

B) 2

C) 4 E) 6

25. Una institución educativa desea contratar a 25 profesores de Física y a 40 profesores de Matemática. De estos contratados, se espera que 10 realicen funciones tanto de profesor de Física como de profesor de Matemática. ¿Cuántos profesores deberán contratar la institución educativa? A) 40 D) 75

B) 50

C) 65 E) 55

26. De un grupo de 100 señoritas: 10 son solamente flaquitas; 12 solamente morenas; 15 son solamente altas, además 8 tienen por lo menos 2 de estas características. ¿Cuántas señoritas del grupo no tienen ninguna de las tres características? A) 50 D) 60

B) 51

C) 55 E) 40

27. A y B son 2 conjuntos disjuntos. A tiene 3 elementos más que B y el conjunto potencia de “A” tiene 896 elementos más que el conjunto potencia de B ¿Cuántos elementos tiene A?

A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 10

28. De un grupo de 242 deportistas se sabe que 95 practican natación, 82 practican atletismo y 110 no practican estos deportes. ¿Cuántos alumnos practican estos dos deportes? A) 37 D) 39

B) 45

C) 42 E) 40

29. Al planeta Marte han arribado 183 viajeros espaciales, de los cuáles 54 eran Venusinos, 65 eran machos, los Plutonianos superaban en dos al número de los machos arribados. De estos machos 20 eran Venusianos y 27 Plutonianos. ¿Cuántas hembras terrestres llegaron en este viaje, si los únicos viajeros eran de estos tres planetas? A) 42 D) 45

B) 43

C) 44 E) 46

30. En este gráfico la región sombreada representa el conjunto: C A B

A) [A – (B  C)]  (C  A) B) B  (A – B)  C C) [A – (B  C)]  (B  C)  (C – A) D) (A  B  C) – (B – A)' E) (A – C)  (B – A)  (C – A)

1. D 2. B 3. B 4. A 5. E 6. B

CLAVES DE RESPUESTAS 7. A 13. D 19. B 8. E 14. E 20. B 9. D 15. E 21. C 10. E 16. E 22. A 11. C 17. C 23. C 12. A 18. A 24. D

25. E 26. C 27. E 28. B 29. C 30. C

82

Aritmética

DEFINICIÓN

Las letras griegas  y  en numeración equivalen numéricamente a 10 y 11 respectivamente. Si analizamos en el cuadro, el sistema Eptal, significa que para escribir un número en base 7, solo puede utilizar los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es decir el máximo valor que puede tomar un digito será siempre una unidad menos que la base.

Se define a un sistema de numeración como “el conjunto de reglas y principios para leer y escribir correctamente a los números”.

 Propiedad A menor base le corresponde mayor número y viceversa a mayor base menor número.

Un numeral de una cifra será an , donde: a  n.

Por ejemplo:

Sistema de numeración John Neper 2017

Un numeral de dos cifras se denota por ab n , donde:

a, b  n. Un numeral de tres cifras se representará por abcn , donde: a, b, c  n. Sucesivamente. a. Las condiciones anteriores se pueden resumir literalmente de la forma siguiente: "Para que un numeral este bien representado (o esté bien escrito) es necesario que todos los dígitos sean estrictamente menores que la base".

68111  897510  132729  1053156

1.1. Conversión de base n  10 decimal (base 10)

a base

El algoritmo es muy simple de comprender, se le llama Descomposición Polinómica, y lo veremos con un ejemplo concreto. Ejemplo. Convertir 1053156 a base decimal

1053156  1 65  0  64  5  63  3  62  1 6  5 1053156  7776  0  1080  108  6  5  1053156  8975

b. El comentario anterior nos obliga a establecer los principales sistemas de numeración en el siguiente cuadro. Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sistema Binario Terciario Cuaternario Quinario Senario Eptal Octal Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

Cifras a utilizar 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…,  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…, , 

 Un numero de dos cifras se descompone como sigue:

abn  a  n  b

 Un numeral de tres cifras se descompone como sigue:

abcn  a  n2  b  n  c De lo comentado anteriormente se deduce fácilmente que:

ab  a  10  b  10a  b Así pues ab  10a  b, ojo es muy utilizado.

83

Aritmética 

 Propiedades 1.

Si es un número capicúa cumple lo siguiente:  a  4  c 1  3b  5  6  a 4b Donde: b  1 y c  6

n  1n  1n  1 n  1n  nk  1 k cifras

2.

aaa an  k cifras

a nk  1 n 1

Hallar: c  1  5

Rpta  E

3. Para bases sucesivas:

02.

k veces ab

N  abab ab abn

 Si: a  1 k  N  a n 

b  ak  1

A  1a14 , B  1101a y C  1a24a5 . Sean Determinar la suma de las cifras de C en base decimal, si C  A.B UNACH – 2016 – II

A) 9

a 1

B) 11

C) 13

D) 15

E) 8

Solución: C  A.B  1a24a 5  1a14  1101a

 Si: a  1

625  125a  50  20  a  (16  4a  1)(a 3  a 2  1)

 N  n  b k  n  a  b  c 

 1a1b

1c

695  126a  (17  4a)(a 3  a 2  1) C  132435  1073   cifras  11

a3

 x

1x n

Rpta  B  a b  c k n

 a0b 0c 0

03. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea: S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;… y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron?

k 0n

4. Métodos de conversión simples:  0,abn 

abn 100n

A) 16

 0,abn  abn  a

n  1 0n

B) 15

C) 14

D) 13

E) 12

Solución:

Transformando a base 7:

…… Problemas Resueltos 142 857 (1)

01. Dado el siguiente numeral capicúa: UNACH – 2014 – I (a  4)(3b  5)4b(6  a)(c  1)

Calcular: c  1 A) 9

B) 8

Solución:

C) 6

D) 7

E) 5

7 20 408 (3)

7 2 915 (3)

7 416 (3)

7 59 (3)

7 8 (1)

7 1

1 000000  11 333 311 7 Número de personas:

1 1 3  3  3  3  1 1  16  N  16

Rpta  A

84

Aritmética 9. Hallar: x + y si se sabe que: 1. ¿En qué sistema de numeración los números 123, 140 y 156 forman una progresión aritmética? A) Nonario D) Octal

B) Decimal

C) Binario E) Senario

B) 4

3. ¿Cuántos

números

la

forma:

(a  6)(b  2)(a  2)(11) existen?

A) 16 D) 18

B) 27

C) 24 E) 22

B) 4

B) 8

C) 5 E) 7

C) 7 E) 5

6. Si: Entonces el valor de: (c – a)(b – d) es: B) 9

C) 12 E) 0

7. Si: a4bc (9)  pq7rs(n) ; hallar el valor de “n”: A) 7 D) 11

B) 8

C) 10 E) 12

8. Si: ΧΥ  ΥΧ(4) .Calcular: Y4 – X100 A) 4 D) 80

B) 3

C) 6 E) 10

11. Si se cumple que: 151515  ab . 8

A) 8 D) 16

315 100 119 D) 216 A)

B) 12

C) 25 E) 18

B)

315 999

315 555 315 E) 215 C)

13. Un número se expresa como 157 en base “x” ¿Cómo se expresará en base “x + 2”? A) 110 D) 131

110211(3)  abcd(5) . A) 4 D) 18

B) 5

12. ¿Cómo se escribe 0,315(6) en fracción decimal?

5. Si: 354(n + 1) = 455(n). Determinar el valor de “n”: A) 9 D) 6

C) 6 E) 3

Calcular el valor de: ba ( b1)  ab ( a2 )

4. Si: 112 = 422(x); halle “x” A) 3 D) 6

B) 5

10. Hallar “x + y” Si:

A) 4 D) 8

C) 6 E) 2 de

A) 4 D) 7

xyyyx[2 x( y ) ]  xyyyx

2. Calcule: 2a + b2; si aab7  2135 A) 2 D) 5

2xy 4(n)  131(n  1)(6)

B) 111

C) 112 E) 142

14. La edad de mi esposo - decía Doris, es un número formado por las dos mismas cifras de mi edad, pero dispuestos en orden inverso, él es mayor que yo, y la diferencia entre nuestras edades es un onceavo de su suma. Encontrar la edad de Doris. A) 36 D) 46

B) 45

C) 42 E) 38

15. Expresar N en base 7: C) 27 E) 81

N = 12.74 + 8.73 + 9.72 + 20.

85

Aritmética A) 1622307 D) 1322427

B) 1217197 E) 1322467

C) 1622267

16. Si 5mn(p) ; 2p(7) ; 4nq(m)

A) Heptal D) Senario

B) Octal E) Nonario

23. Dado el número: N  (a  1)(a)(a  1)(a  1)2 (a+2)

Están bien representados, entonces “m + p” es:

Calcule P(a), si P(x)  x 2  x  2

A) 9 D) 12

A) 1 D) 5

B) 10

C) 11 E) 13

17. Calcular “a” si: (a  1)(a  1)(a  1)(a  1)(a  1)( a )  1023

A) 5 D) 4

B) 3

C) 2 E) 1

18. Si a un número de tres cifras se le agrega la suma de sus cifras, se obtiene 851. Hallar la cifra de las unidades del numeral A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

19. Calcular en base decimal

135( a )  12b( c )  15a(b)  14c(9) A) 361 D) 359

B) 360

C) 362 E) 363

20. Convertir el mayor número de 3 cifras diferentes del sistema quinario al sistema hexadecimal A) 151(16) D) 162(16)

B) 153(16)

C) 161(16) E) 75(16)

21. Sumar en base 8 los números: 2567(8) + 53274(8) + 25631(8) + 323(8) A) 10234(8) C) 91264(8) E) 140 237(8)

C) Quinario

B) 106 201(8) D) 104 237(8)

22. En qué sistema de numeración se cumple que : 6 x 6 = 44

B) 2

C) 3 E) 7

24. De todo los números de 4 cifras que existen en el sistema de base binaria ¿cuántos de ellos se escriben con dos cifras en el sistema decimal A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

25. La edad de un padre es 21a(4) y la de sus hijos son b2c( a ) y b(b  1)b( c ) ¿Cuál es la diferencia de edad entre el padre y su hijo menor? A) 28 D) 34

B) 30

C) 32 E) 36

26. Se arrojan tres dados, el resultado del primer dado se multiplica por 8, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 8, por último se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 413. ¿Cuál es la suma de los tres resultados? A) 6 D) 16

B) 8

C) 14 E) 10

27. Hallar el máximo valor de : " a  n ". Si: a0a(n)  (2a)a(2n) A) 5 D) 7 1. A 2. C 3. E 4. C 5.C 6.A

B) 6

C) 9 E) 4

CLAVES DE RESPUESTAS 7. B 13. B 19. A 25. D 8. D 14. B 20. E 26. C 9. A 15. C 21. D 27. D 10. C 16. C 22. B 11. C 17. D 23. B 12. D 18. C 24. A

86

Aritmética

Cuatro Operaciones

 MULTIPLICACIÓN M x m  P  M  M  M  ...  M  P "m veces"

John Neper 2017

Donde: M: Minuendo m: Multiplicador P: Producto

A B  S

 ADICIÓN:

 DIVISIÓN (Entera)

Ejemplo: 34 + 12  SUSTRACCIÓN:

D d r q

MS D

Donde: M: Minuendo S: Sustraendo D: Diferencia Propiedad (A):

M  S D

Propiedad (B):

M  S  D  2M

Donde: D: dividendo (D ϵ ℤ) d: divisor q: cociente r: resto o residuo

Clasificación: División exacta:

D d  D = d.q 0 q

Propiedad (C): Si a > c; además:

abc k  cbak  mnpk Se cumple que:

División inexacta: Por defecto

n  k  1 ; m  p  k 1 ; a  c  m  1 COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.) Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden.

D d  D = d.q + rd rd q Por exceso

D d  D = d(q+1) - re re q  1

Sea N un número de “K” cifras, se cumple:

C.A.(N)  10k  N

Propiedades de la división inexacta:

Método Práctico:

C.A.(abcd)  10  abcd

2.

r d rd  re  d

C.A.(abcd)  (9  a)(b  9)(c  9)(d  10)

3.

rmin  1

C.A.(ABCDn )  n  ABCD(para cualquier base)

4.

rmáx  d  1

4

4

1.

87

Aritmética

…… Problemas Resueltos 01. Un kilogramo de limones contiene 16 limones grandes ò 24 limones pequeños. El Precio de los más grandes varia de S/ 2.00 a S/ 2.90 cada kilogramo, y el de los más pequeños varia de S/ 1.30 a S/ 1.60 cada kilogramo. Si Felicita compra 4 docenas pagando lo máximo posible y Beatriz compra 8 docenas con el mínimo posible de dinero. ¿Cuánto es el total pagado por ambas personas? UNACH – 2016 – I A) S/ 13.90 D) S/ 14.90

B) S/ 12.90 E) S/ 15.20

C) S/ 11.90

Solución: 

Su Precio máximo seria 16 limones  2.90 Felicita : 4 doc  màx  : 48 limones 48  :  2.90  8.70 soles 16 Su Precio mínimo seria 24 limones  1.30 Beatriz : 8 doc  mìn  : 96 limones 96 : 1.30  5.20 soles 24



Pago Total : 13.90 Rpta  A 02. Halle:  a  b  si:

 

 

 

CA 1ab  CA 2ab  ...  CA 9ab  41ab A) 1

B) 6

C) 8

D) 10

E) 4

 

 

 

CA 1ab  CA 2ab  ...  CA 9ab  41ab

10

 







 1ab  10  2ab  ...  10  9ab  41ab 3



3



9  10  1ab  2ab  ...  9ab  4100  ab 3

9  103 



1ab  9ab  9  4100  ab 2



9000  500  ab  9  4100  ab 400  10  ab  ab  40

a+b=4

A) 9 D) 6

Rpta  E

B) 4

C) 5 E) 7

2. Una botella más su tapa cuestan 11 soles y la botella cuesta 10 soles más que la tapa. ¿Cuánto cuesta la tapa? A) 1 D) 0,5

B) 1,5

C) 2 E) 3,5

3. Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordando pagarle 700 soles más un televisor, pero al cumplir los 7 meses se le despide pagándole 250 soles más el televisor. El precio del televisor es: A) S/. 420 D) S/. 350

B) S/. 360

C) S/. 400 E) S/. 380

4. Se compraron 96 aves entre gallinas y palomas, cada gallina costó S/. 80 y cada paloma S/. 65. Si el importe de la compra ha sido S/. 6930 ¿Cuántas palomas se compró? A) 50 D) 76

Solución:

3

1. En un examen de conocimientos generales se tenía que 4 preguntas de Geometría equivalían a 3 de Química; 9 de Química a 7 de Física, 8 de Álgebra a 14 de Física, 2 de Álgebra a 3 de Razonamiento Matemático. ¿A cuántas preguntas de Razonamiento Matemático equivalen 12 preguntas de Geometría?

B) 46

C) 60 E) 66

5. Un ómnibus hace servicio de Lima a Trujillo y en uno de sus viajes recaudó 528 soles por la cobranza de adultos y 108 soles por los niños; sabiendo que para cualquier recorrido el pasaje adulto es de 8 soles y 4 soles el de niños. Si cada vez que un adulto bajó subieron dos niños y cada vez que baja un niño subieron tres adultos y llegaron a Trujillo 55 adultos y 11 niños. ¿Cuántos adultos y cuántos niños partieron de Lima? A) 18 y 5 D) 22 y 5

B) 17 y 6 E) 16 y 6

C) 20 y 8

88

Aritmética 6. En una sustracción se agrega 218 unidades al minuendo y 320 al sustraendo, siendo 582 la nueva diferencia. La diferencia original es: A) 470 D) 684

B) 902

C) 800 E) 649

7. En una división inexacta el residuo por defecto, el residuo por exceso y el divisor forman una progresión aritmética. Hallar la razón geométrica entre el residuo por exceso y el residuo por defecto. A) 3 D) 1/4

B) 4

C) 2 E) 1/2

8. Compré un lote de polos a 180 soles el ciento y los vendí a 24 soles la docena ganando en el negocio 600 soles. ¿Cuántos cientos tenía el lote? A) 20 D) 24

B) 25

C) 30 E) 28

9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pagar exactamente una deuda de S/. 33 con monedas de S/. 2 y S/. 5? A) 6 D) 7

B) 3

C) 4 E) 5

10. La diferencia de 2 números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85. La nueva diferencia es: A) 350 D) 180

B) 200

C) 240 E) 179

11. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19456 y el minuendo es el cuádruple del sustraendo. Hallar el sustraendo A) 2432 D) 608

B) 1216

C) 3648 E) 3040

12. La suma de los términos de una sustracción es 624, donde el sustraendo excede a la diferencia en 4 unidades. Dar la diferencia. A) 156 D) 162

B) 154

C) 158 E) 168

13. Hallar las 3 últimas cifras de la sgte suma: S = 7 + 77 + 777 + …………… (40 sumandos) A) 610 D) 160

B) 810

C) 370 E) 420

14. El cociente de dos números es 4; siendo la diferencia entre su media aritmética y geométrica la unidad. Determine su media armónica. A) 3,2 D) 4

B) 4,1

C) 3,1 E) 5,2

15. Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto, éste quedará aumentado en 1100. ¿Cuál será dicho producto si la diferencia de sus factores es 20? A) 4800 D) 1500

B) 3500

C) 2400 E) 6300

16. El producto de dos números es 720; si se añaden 6 unidades al multiplicando, el producto es entonces 816.¿Cuál es el multiplicador? A) 72 D) 16

B) 36

C) 45 E) 32

17. Un microbús que hace servicio de Cajamarca a Chiclayo cobra 3 soles como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero,' suben 3. Si llegó a Chiclayo con 35 pasajeros y una recaudación de 135 soles. ¿Cuántas personas partieron de Cajamarca? A) 14 D) 10

B) 15

C) 17 E) 16

18. La suma del dividendo y del divisor de una división inexacta es 31 veces el resto y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál es el cociente de dicha división? A) 9 D) 12

B) 7

C) 5 E) 15

19. Un numeral de 3 cifras es tal que al restarle el doble de su complemento aritmético resulta 523. ¿Cuál es la suma de las cifras de dicho número?

89

Aritmética A) 10 D) 13

B) 11

C) 12 E) 14

20. El Ing. Lenin Ronal decide dividir un número de 3 cifras entre otro de 2 cifras y obtiene 11 de cociente y 25 de residuo. No contento con esta operación, Miguel toma los complementos aritméticos de ambas y vuelve a dividir estas cantidades obtenidas, esta vez, obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la suma de la suma de cifras del dividendo y la suma de cifras del divisor. A) 25 D) 28

B) 26

C) 27 E) 29

21. Una arañita sube durante el día 5m de una torre y resbala durante las noches 3 m. ¿Cuántos días demorara en llegar a la cúspide si la torre tiene 145 m. de altura? A) 70 D) 49

B) 71

C) 48 E) 51

22. A una iglesia asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo del número de mujeres y el número de mujeres es el triple del número de niños. ¿Cuántos hombres hay? A) 312 D) 315

B) 318

C) 312 E) 327

23. En un baile donde asistieron 28 personas, Rebeca bailo con 9 hombres, Mónica con 10 hombres, Ana con 11 y así sucesivamente hasta Maribel que bailo con todos los hombres ¿Cuántos hombres había en el baile? A) 18 D) 20

B) 19

C) 8 E) 10 UNMSM – 2006

24. Una persona deja morir a cada uno de sus hijos 840 soles. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de este se repartió entre los demás, recibiendo entonces cada uno 1120 soles. ¿Cuál era la fortuna dejada? A) S/. 3360 D) S/. 3300

B) S/. 3630 E) Ninguna

C) S/. 3603

25. Una persona quiere rifar un reloj de un precio determinado emitiendo para esto cierto número de acciones. Si vende 2000 soles cada acción perderá 30000 soles y vendiendo en 5000 soles la acción ganara 60000soles. ¿Cuánto vale el reloj y cuantas son las acciones? A) 90000 soles, 30 acciones B) 80000 soles, 30 acciones C) 120000 soles, 40 acciones D) 160000 soles, 50 acciones E) Ninguna 26. A un baile asistieron 52 personas, una primera dama baila con 5 caballeros, una segunda dama baila con 6, una tercera baila con 7, y así sucesivamente, hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántas damas concurrieron? A) 28 D) 30

B) 26

C) 24 E) N.A.

27. Si trabaja los lunes inclusive, un peón economiza 40 soles semanales; en cambio, la semana que no trabaja el día lunes , tiene que retirar 20 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en estas 10 semanas? A) 1 D) 3

B) 9

C) 5 E) 7

28. Miguel y Percy juegan sobre la base de que en cada jugada se ganen 5 soles. Después de 20 ganadas Miguel resulto ganando 40 soles. ¿Cuántas de las veinte gano cada uno? A) 10 y 10 D) 16 y 4 1. D 2. D 3. E 4. A 5. A 6. D

B) 12 y 8

CLAVES DE RESPUESTAS 7. C 13. A 19. D 8. C 14. A 20. D 9. B 15. C 21. B 10. B 16. D 22. D 11. A 17. B 23. A 12. B 18. C 24. A

C) 14 y 6 E) N.A. 25. A 26. C 27. D 28. C

90

Aritmética

Conteo de números John Neper 2017

CONTEO DE CIFRAS Consiste en calcular el número de cifras de una sucesión numérica. Ejemplo: Calcule el número de cifras de: 37; 40; 43; …; 214 Resolución:

97  37  1  21 números de dos 3



Del 37 al 97 hay



cifras tenemos: 21 2  42 cifras 214  100 Del 100 al 214 hay  1  39 números 3 de tres cifras tenemos: 39  3  117 cifras Entonces en total hay 42  117  159 cifras

PAGINACIÓN Al imprimir un libro, periódico, etc. antiguamente se utilizaba en la tipografía por cada letra o símbolo un tipo de imprenta. Ejemplo: Diga Ud. la cantidad de tipos de imprenta que se utilizan para enumerar las páginas de un libro de 248 páginas. Resolución: Del 1 al 9 hay 9 páginas, del 10 al 99 hay 90 páginas, de 100 al 248 hay 149 páginas entonces en total hay:

9 1 90  2  149  3  636 cifras

Para un libro de "p" páginas el número de cifras o tipos de imprenta utilizado es: Nº cifras:  (p  1)k  111.....111 k cifras

k: número de cifras de “p”

…… Problemas Resueltos 01. ¿Cuántos números de la forma: a  a  1 b  b  2  c  c/2 

A) 960 D) 3600

 d

B) 2160

existen? C) 3200 E) 2400

Solución:

N  a  a  1 b  b  2  c  c/2 

1 2 3 . . . . 7 8 C#s= 8

2 3 4 . . . . . 9 x

8

0 2 4 6 8

 d 0 1 2 . . . . . 9

x 5 x 10 = 3200

Rpta  C 02. últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron. A) 2 661 D) 2 772

B) 2 771

C) 2 769 E) 2 774

Solución:

Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras. Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1. Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39 La última página de 3 cifras es la 999 La última página de 3 cifras que quedaron es =99939=960 Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772 Total de tipos = 2 772 Rpta  D

91

Aritmética 8. ¿Cuántos números de 3 cifras en la base 12 se escriben también con 3 cifras en las bases 10 y 11? 1. Halle la suma de los siguientes números impares consecutivos: 32n  34n  36n  41n 

A) 2244 D) 4668

 335n

B) 6447

C) 7448 E) 8877

2. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500 D) 635

B) 625

C) 675 E) 600

3. ¿Cuántos números existen, mayores que 100, de la forma a(2a)b y que sean divisibles por 5? A) 4 D) 6

B) 10

C) 8 E) 12

4. ¿Cuántos números de tres cifras usan por lo menos una cifra cinco en su escritura? A) 252 D) 500

B) 240

C) 648 E) 450

5. Si se escribe los enteros desde el 1000 hasta el 1100. Determinar, ¿cuántos ceros se han escrito? A) 113 D) 122

B) 104

6. ¿Hallar

C) 131 E) 136

cuántos numerales abc(a  b  c) existen?

A) 160 D) 120

de

B) 170

la

forma

C) 165 E) 130

7. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5 de manera que no aparezca el 3 en las decenas? A) 72

B) 60

C) 24

D) 36

E) 48

A) 548 D) 900

B) 855

C) 857 E) 856

9. ¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia? 20 ; 24 ; 23 ; 28 ; 26 ; 32 ; ...... ; 203 A) 124 D) 121

B) 123

C) 61 E) 125

10. El número de enteros de 4 dígitos mayores de 4000 y que terminan en 75 es : A) 90 D) 91

B) 60

C) 59 E) 61

11. Durante una fiesta a la que asistieron ab hombres y ba mujeres, en un momento dado el número de hombres que no bailan es (2a – b) y el número de mujeres que no bailan es la suma de las cifras del total de las mismas. Halle el número total de asistentes. A) 100 D) 152

B) 123

C) 136 E) 165

12. En la compaginación del último “BEST SELLER” de la colección de bolsilibros de Alberto Briceño se utilizaron 768 cifras, si se malogró la cifra 6 y se tuvo que usar el 9 invertido. ¿Cuántas veces se utilizó la cifra 9? A) 71 D) 73

B) 72

C) 111 E) 106

13. Cuántos números existen de la siguiente forma: a  2b  33  b2  a (6) A) 12 D) 8

B) 25

14. ¿Cuántos

números

C) 35 E) 20 de

la

forma:

(a  6)(b  2)(a  2)(11) existen?

92

Aritmética A) 16 D) 18

B) 27

15. Si: 25n  25n1  25n2 

C) 24 E) 22  253n  495; el valor de

“n” es: A) 15 D) 7

B) 9

C) 12 E) 18

16. ¿Cuántos números de tres cifras usan por lo menos una cifra cinco en su escritura? A) 252 D) 500

B) 240

C) 648 E) 450

17. En un sistema de numeración, cuya base es par, existen 156 números de la forma: b a a b  .  2   2 (n) Entonces la base es: A) 22 D) 28

B) 24

C) 26 E) 30

18. Si de los números del 1 al 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7. ¿Cuántos números se marcan? A) 506 D) 512

B) 510

C) 511 E) 515

19. ¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar utilizando los dígitos 1; 3; 6; 7; 8 y 9? A) 72 D) 84 20. ¿Hallar

B) 36 cuántos

numerales

C) 20 E) 40 de

la

forma

abc(a  b  c) existen? A) 160 D) 120

B) 170

C) 165 E) 130

21. Una persona empieza a numerar páginas desde el número 4000 y se detiene en el número que representa la cantidad de dígitos utilizados. Da la

suma de los cuadrados de las cifras del último número inscrito: A) 42 B) 47 C) 52 D) 54 E) 59 22. ¿Cuántos números de 3 cifras no contienen al 2 ni al 5 en su escritura? A) 567 D) 448

B) 512

C) 528 E) 568

23. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5 de manera que no aparezca el 3 en las decenas? UNI – 1998 A) 72 D) 36

B) 60

C) 24 E) 48

24. ¿Cuántos números naturales hay entre 105 y 134? A) 5 D) 1

B) 6

C) 2 E) 7

25. Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 D) 14

B) 13

C) 11 E) 15

26. Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 1. C 2. C 3. C 4. A 5. D 6. C

CLAVES DE RESPUESTAS 7. E 13. E 19. A 25. B 8. E 14. E 20. C 26. C 9. B 15. D 21. B 10. B 16. A 22. D 11. E 17. C 23. E 12. C 18. D 24. D

93

Aritmética

Divisibilidad

b.

Divisibilidad por 3 y 9: 0

0

0

0

N  3 a  b  c  d  e  3

John Neper 2017

N  9 a  b  c  d  e  9

I. Operaciones con los múltiplos: c. 0

0

0

0

n n  n 0

0

0

N  abc de

n n  n

+ - + - + 0

E

 n0   n;0 E     

0

k n n

Divisibilidad por 11.

0

N  11 e  d  c  b  a  11

 n0  r  n0  r  n0  r  ....  n0  r .r .r ...  1  2  3  1 2 3    

d.

2 3 1 2 31 -

II. Divisibilidad en el binomio de Newton: k

 n0  r   n0  r k ; Donde : k       0 k k  n0  r   n r . Si k es par( )   0   n r k . Si k es impar( ) 

+

0

0

N  7  f  3e  2d  c  3b  2a  7

e.

Divisibilidad por 13: N  abc de f g 1 4 3 1 431 - + + 0

0

N  13  g  3f  4e  d  3c  4b  a  13

f.

III. Criterios de divisibilidad:

Divisibilidad por 7: N  abc de f

Divisibilidad entre 37: 0

Sea el número “N”

N  a b c d e f g  37

Donde: N  abcde

N  37  g  10f  11e  d  10c  11b  a  37

a.

1 -1110 1 -1110 1 0

Divisibilidad por 2n y 5n ; n  0

IV. Propiedades: Principio de Arquímedes

0

N  2 e  2 0

0

0

0

0

0

Si: N  axb N  a  N  b

0

N  4  de  4 ó 2d  e  4 2 1

0

0

0

N  8  c de  8 ó 4c  2d  e  8 4 2 1

0

N  5 e  0 ó 5 0

0

N  25  de  25 ó de  00;25;50;75 0

0

N  125  cde  125 ó cde  000;125;...; 875

0 N  a r   0 0 Si: N  b r   A  mcm  a;b;c  r  0 N  c r  

94

Aritmética

…… Problemas Resueltos 1. Calcular la suma de todos los valores de a si el 01. El número de hojas que tiene un libro está comprendido entre 1000 y 1500. Si se cuenta de 30 en 30 sobran 17; de 45 en 45 sobran 32 y de 48 en 48 sobran 35. El número de hojas que tiene el libro es: A) 1427 D) 1460

B) 1437

C) 1457 E) 1464

Aplicando el MCM de 30, 45 y 48

0

0

0

45 13

0

0

0

720 13

Máx. Número que puede tomar es 2 El número de hojas es 1427 Rpta  A 02. Un alumno de la Pre recuerda que 53a33b5 es el número telefónico de su amiga. También recuerda que 3a33b es múltiplo de 7 y de 11 y no contiene ceros. Determine la suma de los dígitos de dicho número telefónico. C) 29

D) 30

E) 31

Solución:

C) 7 E) 5

3a33b 11 0 3  a 3 3  b  11

B) 2

C) 3 E) 5

5. Si el número: N  1abababa es múltiplo de 77. Halle a  b. A) 7 D)9

B) 5

C) 4 E) 6

o

6. Si: a72bb  55. Halle el mayor valor de a  b. A) 5 D) 12

A) 4 D) 7

a  9 b 1 N  5313395

A) 1 D) 4

B) 9

C) 10 E) 16

7. ¿Cuántas cifras 5 deben colocarse a la derecha del número 37 para obtener por primera vez un múltiplo de 9?

Descomponiendo el número 3a33b : 0

B) 8

0

MCM(30, 45, 48)

B) 28

C) 9 E) 8

numeral 124a31 sea divisible por 3.

48 13

0

B) 2

4. Determine el mínimo valor de a para que el

0

48 35



2. Si el número; 8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor numérico de: x  y.

A) 9 D) 6

30 13

45 32

C) 7 E) 11

o

0

30 17



B) 9

3. Sabiendo que: 4ab58a  56. Halle a  b.

1000< ho. 0 , Calcular:

E) 30

A) 5 D) 2

B) 4

3

1 1  1  1 3 3  a    3  a  3  3. a .  a   a a a    a 1 1 27  a3  3  3(3)  a3  3  18 a a Rpta  A x 8  x 8  5  6, x  0, hallar el valor de x 4  x 4

E A) -3 D) 6

B) 18

C) 21

D) 23

E) 19

Solución: 4

C) 3 E) 9

4. Teniendo en cuenta que: a  b  2ab  1 Calcule: F  A) 0 D) 1/2

a4  b4 a3  b3 B) – 1

C) 1 E) – 2

5. Calcula la suma de las cifras del resultado: 4

4 2

4

(x )  2x .x  (x )  5  2  6(x  x ) 4 2

a2 b2 c 2   bc ac ab

B) 0

x6  x 6

A) 17

C) 3 E) 1

3. Si: a  b  c  0. Halle el valor de la expresión:

Solución:

03. Si:

y2  1 x2  1  y. x2  1 y2  1

E  x.

D) 27

C) 8 E) 10

4

(x 4 )2  2x 4 .x 4  (x 4 )2  7  6(x 4  x 4 ) (x 4  x 4 )2  6(x 4  x 4 )  7  0

A  64  2  1  22  1 24  1... 2128  1  1

A) 8 D) 7

(x 4  x 4 )  7 (x 4  x 4 )  1

D) 6

B) 9 E) 4

 x 4  x 4  7 (x 2 )2  2x 2 .x 2  (x 2 )2  7  2 (x 2  x 2 )2  9 2 3

(x  x )  (3) 2

6. Si:

 x 2  x 2  3 3

 x6  x 6  3x2 .x 2 (x2  x 2 )  27

x6  x 6  3(3)  27  x6  x 6  18

Rpta  B

ab 5  . 2 a b 5 2

8

8

a b El valor para      es: b a A) 42 D) 49

B) 44

C) 47 E) 51

110

Álgebra 1 1 12. Si a   1 y b   1 Calcule abc. b c

7. Si se cumple que: a3  b3  c 3  3abc Encuentre el máximo valor que adopta:

A) c D) b

a2  b2  c 2 E ab  bc  ac

A) 10 D) 1

B) 8

B) – 1

13. Cumpliéndose que: ab  a  b   1  a3b3  a3  b3  

C) 2 E) – 2





a b  c 1 A) 1

a2  b2  c 2  2 a b c 3 3

Calcule: abc 

3

3

D)

2

A) 4 D) 25

B) 9

C) 16 E) 36

a b  c 1 a  b3  c 3  2 ab  bc  ac  3 3

B) 2/3

C) 1/3 E) 10/3

A) 1 D) −1/2

ab

a  b

B) 2

C) −1/3 E) 2

a2 9 a 9 b 2   2 0 b2 c c

9

9

B) 1

C) 3/9 E) 9

15. Hallar el valor numérico de: a3  b3  c 3  3abc x 3  y 3  z 3  3xyz

16. Calcule:

B) 1

C) 2 E) 1/4

2x2  x2  1 x 4  1 x6  1 x16  1

Cuando: x  1  2

 a  b  2c   a  c  2b  b  c  2a 2

2

a2  b2  c 2 B) 3abc

14. Al cumplirse que:

A) 0 D) 1/2

2

11. Si: a  b  c  0. Calcular: 2

E) 4

Sabiendo que: x  b  c  a, y  c  a  b, z  a  b  c

3 3 10. Si: a  b ; a  b Calcule el valor de:

N

C) 2

3 2

A) 1/4 D) 2

Hallar el valor de abc A) 1/2 D) 11

1 2

B)

 ac  Determine el valor de: E   2  b 

9. Se sabe que:

A) 0 D) 6

5 2

El valor de: a2b2 a2  b2 , será:

8. Si:

E

C) 2 E) 1

C) 3 E) 9

14 50 51 D) 14 A)

B)

14 51

50 14 14 E) 17

C)

111

Álgebra

17. Si: x 

A) 5 D) 2

m  m2  4 2m x

Halle el valor de: y 

A)

1 m

1 x2

1 x2 x



B) m

C)

D) 2m2 18. Si: A)

2

D)

a b

4

23. Si: x  2  3. Calcule el valor de:

1 2m

a 4 b13  b13 a

a

B)

C) E)

a

C) 2 2

B) 1

1 2 1 D) 5

B)

E) 6 2





25. Sabiendo que:



n  3 x  x2  1  3 x  x2  1 B) 4x

C) 3x E) x

a2  6a  1 21. Calcule: P  a3  1 , para a  3  2 2

B) 1

C) 2 E) 3

22. Sabiendo que: a2  3a  1  0. Calcule:

R

a  1 a5  1

99 97

x8  1 97 98 97 E) 99 C)

Proporcione el valor de: E 

A)

20. Calcule: A  n n  3 n  3 , si:

A) 0 D) – 2

B)

2

x2  y2  z2  14  2  x  2y  3z 

3

1 x2

D) 4 2

A) 5x D) 2x

98 97 98 D) 99 A)

6

19. Si x es un número que verifica: x  1  8x

A) 0

 x  1

24. Si: x, y, z son tres números reales que verifican la igualdad:

2

Calcule el valor de: x2 

C) 4 E) 1 4

E) m2

a b13   14. Calcule: b13 a

B) 3

1 4 1 E) 6

1 3

C)

a x9  7 x9 a

El valor de la expresión: A) 9 D)

1. E 2. D 3. C 4. C 5. D 6. C

B)

7

xyz x3  y3  z3

3

4

a 4 x9 es:  x9 a C)

5

E) 3 CLAVES DE RESPUESTAS 7. D 13. C 19. D 25. C 8. E 14. B 20. D 9. E 15. E 21. A 10. C 16. B 22. A 11. E 17. B 23. A 12. B 18. C 24. E

a3

112

Álgebra DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Divisibilidad algebraica

 Un polinomio D  x  es divisible por otro d  x  , si existe un polinomio Q  x  tal que:

John Neper 2017

D x   d x   Q  x 

DIVISIÓN ALGEBRAICA División inexacta: D  x   d  x   Q  x   R  x  División exacta: D  x   d  x   Q  x 

 Si P  x  es divisible entre  x  a  , entonces: Pa   0

 En general: D  x   d  x   Q  x   R  x 

D  x  : Dividendo

d  x  : Divisor

Q  x  : Cociente

R  x  : Resto o Residuo

…… Problemas Resueltos

Casos de la División Los métodos más usados son los de Horner y Ruffini.

01. Hallar el residuo al dividir:

MÉTODO DE HORNER

Cambiar de signo

d i v i s o r

D I V I D E N

D O

A) 4

B) 5



D) 8

E) 7

Haciendo: x2  y, se obtiene:

2y3  y2  2y  2 y 2 RESTO

 

Luego: y  2  0  y  2 Usamos el método de Ruffini: 2

MÉTODO DE RUFFINI D I V I D E N D

b a

C) 6

Solución:

C O C I E N T E

x

2x6  x 4  2x2  2 x2  2

O

–2

–2

4

6

8

3

4

6

y 2 2

 C O C I E N T E

–1



RESTO



Q  y   2y2  3y  4  R  y   6

TEOREMA DEL RESTO Conocido con el nombre de Teorema de Descartes. Se aplica cuando el divisor es de la forma  ax  b  o de cualquier expresión transformable a ésta. Este teorema nos permite determinar el residuo en forma directa sin la necesidad de efectuar la división:

Del esquema, se tiene que:



Como y  x 2 , se tendrá que: 4 2 El cociente es: Q  x   2x  3x  4

El residuo es: R  x   6

Rpta  C

113

Álgebra 7. El polinomio: Ax3  x2  Bx  6  0, es divisible por el polinomio:

1. Calcule el resto en la siguiente división:

A) 12 D) -14

4x 4  5x 3  6x 2  7x  8 x 1

A) 10 D) 8

B) 16





resto "b". Calcule b/a. B) 14

C) 16 E) 20

x3  px2  qx  6, sea divisible por x2  5x  6.

4. Al efectuar:

B) 11



C) –6 E) –5



.

Halle el resto.

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

x 5  mx 3  nx 2  x  2 ; x2  3 tiene como residuo R(x) = 2x + 7.

A) 3 D) 5

B) 9

10. Calcule el resto en:

3  2 x5  2 3x3  2 3x  3 x 2 3

C) -12 E) 10

9. Halle (m + n) si la división:

3. Halle el valor de "p" para que el polinomio

A) –11 D) 6

B) 14

8. Si el residuo de la siguiente división (x 3  mx 2  mx  m2 )  (x  m  2), es (5m + 11), el valor de “m” es:

C) 9 E) 5

2. Al dividir ax5  b   x  2 , se obtiene como

A) 10 D) 18

x2  x  2. Halle el valor de A.B

A) x + 1 D) 1

C) 8 E) 12

x242  x121  x  1 x2  x  1

B) x – 1

11. El residuo de dividir 2x  6x  x  9x  6 entre 4

A) 4 D) 7

B) 5

C) 6 E) 8

5. Calcule el resto en la siguiente división:

xn1(x  1)  n x(x  1)  1 xn  n

A) –n D) 1

B) nx

C) 0 E) n

2

x2  3x  2, es: A) x + 1 D) –1

B) 0

C) x – 1 E) 1

P(x)  mx5  (n  1)x 4  tx3  x2  4

2x 4  6x 3  x 2  9x  6 x 2  3x  2

C) x – 1 E) 1

es

3 2 divisible por d(x)  4x  2x  x  2, halle el valor de m  n  t .

A) 20 D) 5

Halle el residuo, luego de dividir

B) 0

3

12. Si el polinomio:

6. Si se satisfacen

A) x + 1 D) – 1

C) x E) –1

B) 12 5 m 1

C) 6 E) 3

m 4

13. Si n x  3n x  2 , es divisible entre (x – 2). Halle el valor de "n". 5 m

A) 1 D) –2

B) –1

C) 2 E) 3

114

Álgebra 14. El

resto

de

la

siguiente

división

x 3n  x 2n  xn  x n  x 2n  x 3n xn  x n  2

x3  2x2  ax  (2  a) entre 2x – 4 es 8. Halle el valor de a(a + 1). A) –25 D) 30

B) 25

A) 8 D) 5

C) –30 E) –15

15. Calcule el valor de

a  b, si la división

20x  3x  ax  b es exacta. 4x 2  3x  2 4

3

2

A) 9 D) 15

B) 18

2

exacta, debe ser: A) 2 D) –1

B) 0

21. Hallar el resto de dividir :

P(x)  (x  1)(x 2  1)(x 4  1)(x 8  1)....(x 64  1)

A) -1 D) 1-X

C) 36 E) 10

x  2x  3x  ax  b entre x2  2x  1, sea 3

B) 6

18. Al dividir el trinomio: ax  bx  c entre (x + 1) y (5x + 1) dio como restos 1 y 13 respectivamente. Halle el valor de (a – b). 2

A) –82 D) –41

B) 82

19. Halle el valor de

 m  n

C) –10 E) 0

polinomio: divisible por (x – 1)(2x +3). A) 4 D) 81

B) –4

20. Hallar el residuo de dividir:

C) 0 E) –81

B) 2x+1

C) 2x E) 2x−1

24. Calcular el resto de la división indicada:

xn (ax)n  xn (bx)n  xn (cx)n  (an  bn  c n ) x2  1 Si: n  f(m),f(n)  1x2x3...(n  1)(n) ; m N  2

sabiendo que el

P(x)  10x5  x 4  9x3  16x2  mx  n

C) 7 E) 9

(x  2)151  (x  1)200  7 (x  2)(x  1) A) 2x−4 D) 2x+4

C) 4 E) 1

C) X -1 E) X+1

23. Hallar el residuo de la siguiente división:

3x2  2x  1. B) 5

B) 0

22. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo -5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. El residuo de dividir P(x) entre (x-1) es: A) 5 D) 8

C) –2 E) 1

17. Calcule el valor de "A + B – C" si la división 8x5  4x3  Ax 2  Bx  C ; deja como resto: 2x 3  x 2  3

A) 6 D) 3

C) 6 E) 4

por d(x)  x 2  x  1.

16. El valor de (a + b) para que la división de 4

B) 7

es

A) 0 D) 3

B) 1

1. B 2. C 3. C 4. A 5. E 6. B

C) 2 E) 4

CLAVES DE RESPUESTAS 7. D 13. C 19. D 8. C 14. D 20. C 9. D 15. C 21. C 10. C 16. C 22. C 11. B 17. C 23. D 12. D 18. B 24. A

115

Álgebra

Cocientes Notables John Neper 2017 Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de división. Forma general:

xn  y n xy

Donde:  x, y: son términos del divisor  n ; n  2  La división es exacta

Nota:

xm  y n  Si: p es un Cociente Notable x  yq  

Donde k 

m n  k p q

Teoremas Sea la división:

Término General  Contado de izquierda a derecha: t k   signo  xn  k y k 1  Contado de derecha a izquierda: t k   signo  xk 1y n  k  Para determinar el signo: a. Si el divisor es "x – y" todos los términos del C.N. son positivos b. Si el divisor es "x + y" se tiene:  Contado de Izquierda a Derecha: i. Término de lugar impar son positivos ii. Términos de lugar par son negativos

y "k" es el número de términos

Casos de los Cocientes Notables Siendo dichas divisiones exactas, se tiene los siguientes casos:

…… Problemas Resueltos 01. Hallar el término central del cociente notable

A. Caso I:

x3m9  y 6m11 xm1  y 2m3

xn  y n  xn1  xn 2y  xn3y 2  ...  xyn 2  yn1 xy "n" es un entero positivo. OBS.: El grado absoluto de un término de un C.N. es: #términos – 1.

A) x 9 y15 D)  x15 y 9

B) x15 y 9

C)  x 9 y15 E) x10y12

Solución:

B. Caso II:

x y  xn1  xn 2y  xn3y 2  ...  xyn 2  yn1 xy n

xn  y n xy

n

"n" es un entero positivo impar. C. Caso III:

xn  y n  xn1  xn 2y  xn3y 2  ...  xyn 2  yn1 xy "n" es un entero positivo par.

3m  9 6m  11 (x 3 )7  (y 5 )7  m 4 n7 m  1 2m  3 x3  y 5 n 1 k  k4 Tk  (signo)xnk .y k1 2 Tc  (x 3 )74 .(y 5 ) 41  Tc  x 9y15 Rpta  C

116

Álgebra n

7. Si el C.N.: 1. Determinar el valor de n en el siguiente C.N.:

x 5 n 4  y 4 n5 x 4  y3 A) 5 D) 8

B) 6

8. Simplificar:

2. Hallar el número de término del C.N. A) x  1 D) x  1

x3n9  y6n11 xn1  y2n3 A) 7 D) 9

B) 6

4. Calcular el A) x30 D) –x30

15avo

C) 12 E) 18

C) –x40 E) x15

5. Determinar el grado del 8vo término del cociente x20  m30 notable: 2 x  m3 A) 24 D) 25

B) 18

xn  1 , es el C.N. con 5 términos, hallar la x3  1 suma de los términos 3ro y 5to. B) x6  x

, el segundo término es

4p2n 5

B) 6

C) 4 E) 1

x37  x36  x35   x  1 x36  x34  x32   x2  1 C) x  2 E) x  2

B) x

C) x6  1 E) x6

B) x12y-15 E) x-10y14

10. Si N es el número de términos que genera el desarrollo del cociente notable:

x 3a1  y5a5 x 5  y10 Indique el valor de: a  N. A) 7 D) 13

B) 9

C) 11 E) 28

11. ¿Qué lugar ocupa el término independiente en el desarrollo del C.N.?

C) 21 E) NA

6. Si:

A) x8  x2 D) x6  x2

1

x 6n  y 40 x n 4  y 4

x70  1 término del C.N.: 2 x 1 B) x40

p2

 y2

A) x2y3 C) x-14y16 D) x12y14

x 4n12  y 4n3 x n 8  y n 9 B) 10

1

9. Indique el octavo término del desarrollo del C.N.: C) 8 E) 4

3. Hallar el número de términos del C.N.:

A) 5 D) 15

p2

x2

x210y15, halle: E  A) 8 D) 2

C) 7 E) 9

n

x 3 3  y 3 3

Qx  A) 6 D) 9

x27  x 9 x3  x 1

B) 7 E) no tiene

C) 8

12. Sabiendo que n2 – 31n  234  0, halle el número de términos de la siguiente división exacta:

117

Álgebra xn1y  yn xy  y2 A) 11 D) 17

B) 12

C) 13 E) 18

13. Determine ab, si el tercer término de la x ab  yab expansión del cociente notable: ab ab ; es x y

A) x16  x8  1 C) x16 – x8 –1 D) x16  1

A) – 2400 D) 3500

B) 35

C) 600 E) 4200

14. Si x270 y288 es el término de lugar 25 en el desarrollo del siguiente cociente notable: 129m 86n x y , el valor de m  n es: x 3 m  y 2n A) 7 D) 10

B) 8

C) 9 E) 11

15. Determine el término central en el desarrollo del x 40  yb cociente notable 2 3 . x y A) –x16 y32

B) 7

x150  y 200 x 204  y136  6 8 x y x6  y 4 A) x60 y112

B) x78 y81

E) x114 y56

20. Del cociente notable que se genera de n 2 xa 40  yb 72 40 c , el noveno término es: x y ; a b x y b  9, además el número de términos del C.N. es 17, determine M 

E) x 20 y 32

A) 1 D) 9

 x70y12 – x63y15  Indique el número de términos. A) 12 B) 13 D) 15

8  a  nb  c  bc

B) 3

C) 6 E) 12

21. Halle el quinto término del desarrollo del cociente x12a4  y 9a3 notable de: a3 a4 x y A) –x 64 y 9

C) 14 E) 18

C) x 90 y72

D) x120 y52

B) x16 y32

16. Determine el cociente notable que contiene en su desarrollo los siguientes términos consecutivos:

C) 8 E) 10

19. Determine el término común que presentan los desarrollos de los cocientes notables:

C) –x18 y30 D) x18 y30

E) x16 –1

18. Si el tercer término del cociente notable x 2n  y n es x16 y 4 , determine el número de x 2  y  términos. A) 6 D) 9

x60 y 40 .

B) x16 – x8  1

B) x60 y12

C) –x 60 y15 D) x56 y21

E) –x60 y12

17. Reducir:

x62  x60  x58   1  x32  1 x14  x12  x10   1

22. Si un término del cociente notable que resulta de xm  ymn dividir 3 m3 m2 es x12 . xy y

118

Álgebra Entonces el valor m  n es: A) 45 B) 48 D) 55

C) 50 E) 65

23. Si el quinto término del cociente notable x x a4  b4 es a176b64 ¿Cuál es el número de y y a5 9  b5 9 términos del cociente? A) 8 D) 24

B) 12

C) 16 E) 32

24. Si la siguiente expresión es un cociente notable 3

3

xk n ykn  yk n kn

 xy 

kn

2

2

 y k n

, entonces k y n cumplen:

D) a6  a5  a4  a3  a2  a  1 E) a5  a3  1 28. Luego de dividir:

x95  x90  x85  x80   x5  1 x80  x60   x20  1 A) B) C) D) E)

x15  x10  1 x15  x10  x5  1 x15  x10  x5  1 x20  x15  x10  x5  1 x20  x15  x10  x5  1

29. Luego de simplificar: B) k  n  2

A) k  n  1 C) k  n  3 D) k  n  4

x156  x152  x148 

E) k  n  6

25. Si uno de los términos del desarrollo del cociente x m  y m n notable 2 m1 m 4 es x50 . Halle el valor de x y y n  m.

A) 23 D) 54

B) 35

C) 43 E) 129

26. Si x9 y20 es el quinto término del desarrollo del cociente notable de:

x

2 a b 1

a  2b 1

y x3  y5

, determine

a  b. A) 22 D) 57

B) 38

C) 45 E) 63

x 78  x 76  x 74  x80  1 x2  1 x8  1 C) 2 x 1 x78  1 D) 2 x 1 A)

a a a  a6  a5  a 4  10

8

A) a3  a2  a  1 B) a4  a3  a2  a  1

 a 1  a 1 2

B)

x80  1 x2  1

E)

x80  1 x2  1

30. En el siguiente cociente notable que se obtiene al x ab  y abb dividir: ; donde a,b  / a  b, se x a  x a1 sabe que el grado del término central es 15, calcule el número de términos del C.N. A) 5 D) 4

27. Calcule el cociente de: 12

 x4  1 2  x2  1 2 x 1

1. D 2. A 3. D 4. B 5. D 6. C

B) 7 CLAVES DE RESPUESTAS 7. C 13. D 19. C 8. A 14. E 20. D 9. D 15. D 21. B 10. C 16. D 22. D 11. B 17. D 23. C 12. B 18. B 24. A

C) 3 E) 6 25. C 26.D 27. D 28. B 29. E 30.C

C) a5  a4  a3  a2  a  1

119

Álgebra

Factorización John Neper 2017 Es la transformación de una expresión algebraica o trascendente es un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico.

II. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Consiste en agrupar convenientemente los términos de polinomio, generalmente en grupos de dos términos, descomponiéndolos a su vez en dos factores, apareciendo luego algún factor común a todas las agrupaciones realizadas. III. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES En este caso se utilizan los productos notables o identidades algebraicas ya estudiadas.

 Ejemplo 

P  x   5x 2  3x  9 ,

Está definido en 

y

a. Método del aspa simple. Se utiliza para factorizar expresiones de la siguiente forma.

Q  x   3x  6x  5 3

y

Está definido en 

IV. MÉTODO DEL ASPA

ax2m  bxmyn  cy2n  ax2n  bxn  c

R  x   x  7ix  9 3

2

b. Método del aspa doble. Se utiliza para factorizar expresiones de la forma:

Está definido sólo en CONCEPTOS FUNDAMENTALES I.

Factor. Es un polinomio de cualquier grado que divide exactamente a otro. II. Factor primo. Es aquel factor que no se puede transformar como el producto de dos polinomios. III. Divisor. Es una expresión que divide exactamente a otra.

Cálculo de número de factores. Dada una expresión E, expresada por:

E  F1   F2   F3  a

b

c

Fn 

m

Donde: F1 , F2 , F3 , , Fn son factores primos entre sí i. Nº de factores primos  n ii. Nº de factores  a  b  c   m iii. Nº divisores   a  1b  1 c  1

m  1

1. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN I.

FACTOR COMÚN Un factor común es aquel que aparece en cada uno de los términos que componen el polinomio a factorizar. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Ax2m  Bxm yn  Cy2n  Dxm  Eyn  F c. Método del aspa doble especial. Se utiliza para factorizar expresiones de la forma: Ax 4n  Bx 3n  Cx 2n  Dxn  E

V. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal. Este método se fundamenta en el siguiente principio: "Si un polinomio se anula para x  a; uno de sus factores será x a " Para obtener los valores de x que anulan al polinomio se tendrá en cuenta lo siguiente: Estas dos reglas se resumen en la siguiente fórmula.

 Divisores del término independiente  P.C.R      Divisores del coeficiente principal   Donde P.C.R: Posibles Ceros Racionales

120

Álgebra FRACCIONES ALGEBRAICAS

MCD – MCM

Frac. Algebraicas John Neper 2017

Las fracciones algebraicas son expresiones de la P x  forma , donde P  x  y Q  x  son Qx polinomios, siendo Q  x   0.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más expresiones algebraicas enteras, es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado contenida un número exacto de veces en cada una de las expresiones dadas.  Ejemplo: Sean las expresiones algebraicas

P  x,y   14x 2y 3 y Q  x,y   20xy 5

1. CLASIFICACIÓN ALGEBRAICAS I.

 MCD P, Q   2xy 3 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más expresiones algebraicas enteras, es la menor expresión algebraica entera y de menor coeficiente que contiene exactamente a cada una de las expresiones dadas.  Ejemplo: Sean las expresiones algebraicas

P  x,y,z   3x y z y Q  x,y,z   4x y z 2 5 3

 Ejemplo: Son fracciones siguientes: x2  5 x3  3 3 ,  , x  3 6x  7 2x  5

5 3 6

 MCMP, Q   12x5 y3z6  Propiedades 1. Si dos o más expresiones algebraicas son primas entre sí, entonces, el MCM es el producto de ellas y el MCD es la unidad. 2. Si P y Q son dos expresiones algebraicas enteras, entonces: MCD P, Q   MCMP, Q   P  Q 3. Todo polinomio P  x  , Q  x  ; contiene al MCD.

P x  Es decir es exacta. MCD

DE

algebraicas, las

LAS

FRACCIONES

Fracciones homogéneas. Cuando tienen el mismo denominador.

 Ejemplo: Son fracciones homogéneas: 2 x2  2 y x3 x3 II. Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores numéricos para todos los valores admisibles de sus variables.  Ejemplo: So fracciones equivalentes: x  1 x2  2x  1 y x 1 x2  1 Estas dos fracciones son equivalentes, puesto que en ambas se obtienen los mismos valores numéricos, x   1. III. Fracción propia. Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.  Ejemplo: Son fracciones propias: 2x 2  3 x 1 y 4x 3  5x  6 x 2  1 IV. Fracción impropia. Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

4. Todo MCM contiene a dichos polinomios.

121

Álgebra  Ejemplo: Son fracciones impropias: x3  7 10x 5  2x  6 y 3 2 x  x 1 3x 3  x  1 V. Fracción compuesta. Cuando el numerador y/o denominador poseen a su vez otras fracciones algebraicas.  Ejemplo: Es una fracción compuesta: x 2 6x  3 x x2  1 2 2 x 1 VI. Fracción de valor constante. Cuando asume el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores asignados a sus variables. Si F 

ax  bxy  cy es una fracción de valor a1x  b1xy  c1y

constante. Entonces se cumple que:

a b c    Valor constante de F a 1 b1 c 1 VII. Fracción irreductible. Cuando el numerador y denominador no tienen factores comunes.  Ejemplo: es una fracción irreductible: x2  3 x 1 2. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar una fracción se procede de la siguiente manera: 3. FRACCIONES PARCIALES Para descomponer una fracción racional en sus fracciones parciales, se debe cumplir las siguientes condiciones: 1. La fracción debe ser propia e irreductible. 2. El denominador debe ser factorizable. 4. CASOS

I.

Primer caso. Cuando el denominador contiene factores lineales sin repetición. P x  A B C     x  a x  b x  c  x  a x  b x  c

II. Segundo caso. Cuando el denominador contiene factores lineales con repetición. P x A B C    3 2 3  x  a x  a  x  a  x  a III. Tercer caso. Cuando el denominador contiene factores cuadráticos irreductibles sin repetición. P x Ax  B  2 x 2  ax  b x 2  cx  b x  ax  b









Cx  D x 2  cx  d

IV. Cuarto caso. Cuando el denominador contiene factores cuadráticos irreductibles con repetición. P x  Ax  B Cx  D  2  2 2 2 2 x  ax  b x  ax  b x  ax  b









V. Quinto caso. Cuando el denominador contiene un factor lineal y un factor cuadrático irreductible, ambos factores sin repetición. Px A Bx  C   2 2 x  a x  bx  c x  a x  bx  c  





VI. Sexto caso. Cuando el denominador contiene factores lineales y factores cuadráticos irreductibles, ambos con repetición.

P x

 x  a  x 2

2

 bx  c 

2





A B  x  a  x  a 2

Cx  D Ex  F  x 2  bx  c  x 2  bx  c 2

122

Álgebra

…… Problemas Resueltos 01. Al Factorizar, hallar cuantos factores primos tiene

1. Indicar un factor de:

E  a b2  c2   b  c2  a2 

P x,y   3x2  15y2  14xy A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) a  1

C) b  1 E) ac  b2

D) a  b

Solución: 

Ordenando el trinomio, se tiene:



Aplicando el aspa simple:



P  x   3x  3x x

2



2

2. Un factor primo de: x2  x  x2  x  6 es:

P  x,y   3x2  14xy  15y 2

 14xy  15  5y  5xy  3y  9xy 14xy  P  x    x  3y  3x  5y 

 Rpta B 02. Factorizar: P(x)  (x  2)(x 1)(x  2)(x  3)  60 e indicar la suma de los factores lineales: A) 2x + 3 D) 2x + 1

A) a  b

B) 2x – 1

C) 2x + 5 E) 2x – 3

Solución:

P(x)  (x  2)(x  1)(x  2)(x  3)  60

A) x 2  x  3

B) x  2

C) x  1

D) x 2  x  3

E) x  x  3 2

3. Indicar un factor de:

5x 6n1  10x 4n1  5x 2n1 n A) x3n  1 D) x  1

B) x2n  1



C) xn  1 E) xn  2

4. Indicar el número de factores primos:

x 7  8x 4  x 3  8 A) 2 D) 4

B) 8

C) 7 E) 5

5. Hallar la suma de coeficientes de un factor de:

x5  2x2  x  1

P(x)  (x2  x  6)(x2  x  2)  60  x2  x  m P(x)  (m  6)(m  2)  60

A) 1 D) 4

 m2  8m  48 P(x)  (m  12)(m  4)

B) 2

C) 3 E) 5

6. Mostrar un factor de:

P  x,y    x  1 x  4  9y  9y 2

P(x)  (x 2  x  12)(x 2  x  4) P(x)  (x  3)(x  4)(x 2  x  4) Hallar: x  3  x  4  2x  1  Rpta D

A) x  2y  1 C) x  3y  5 E) x  3y  4

B) x  3y  1 D) x  3y  5

123

Álgebra 7. Cuántos factores primos presenta: x8  x4  1 A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 8

8. Cuántos factores primos tiene: 2

B) 4

C) 3 E) 1

9. Al factorizar la expresión: x  4x  5x  2 3

2

Indicar uno de los factores. A) x  2 D) x  1

C) x  4 E) x  3

B) x2  x  1 D) x3  x  1

11. Hallar un factor de: x 4  2x 3  3x 2  4x  1 A) x  x  1 C) x 2  3x  1

B) x  x  1 D) x 2  3x  1

2

2

E) x  3x  1 2

12. Hallar el mayor coeficiente que presenta un factor primo del polinomio:

P  x,y   x 4  2x 2 y 2  9y 4

A) 1 D) 4

C) 3 E) 5

13. Hallar un factor de: x  x  1 A) x4  x2  1 C) x5  x  2 E) x5  x  2

A)  x  m

B)  x  m

2

E) 3  x  m

2

D) 2  x  m

2

2

2

x 4  8x 2  36 A) 3x D) 3x

B) 5x

C) 2x E) 5x

17. Señalar el término independiente de uno de los factores de:  x  1  x  2 5

A) 2 D) 0

B) – 1

C) 3 E) – 3

18. Sean:

Q  x   x3  3x 2  3x  1

P  x   x2  2x  1

B) 2

10

Indique la suma de los factores primos:

16. Halle el término lineal de uno de los factores de:

10. Indicar un factor de: x5  x4  1 A) x2  x  1 C) x3  x  1 E) x2  1

x4  m4  4xm x2  m2   5x2m2

C) 2  x  m

B) x  2

B) x2  x  1 D) x2  1

A) x  1 C) x2  x  1 E) x3  x  1 15. Factorizar:

x2  x  7  2x2  14x  1 A) 5 D) 2

14. Indicar un factor de: x5  x2  2x3  x  1

2

B) x6  x4  1 D) x8  x  1

R  x   x3  x S  x   x2  4x  3 Halle su MCD. A) x2  1

B) x  1

C) x2  1

D) x  1

E)  x  1

3

124

Álgebra 19. Hallar el MCD de los polinomios:

P x   1 x  x2 

 x5

Q  x   1 x  x2 

 x7

24. Sean los polinomios:

P1  x   ax2  2x  b, P2  x   ax2  4x  b

B) x  3

A) x  2 D) x  1

C) x  4 E) x  5

P x   x5  x  1  Q  x   x 4  x 2  1

 

A) x2  1





C) 4 E) 0

22. Al multiplicar dos polinomios, se obtiene: 2  x  1  x 4  x2 . Si el MCM de ellos es igual a

MCD   x  1. Halle el MCD. 2

A) x2 C) x2  1 D) x  x  1

polinomios

A) x6 D) x 6 y 6

B) x 5 y 8

E) P2  x 

A  x2  5x  6 B  2x2  12x  18 C  4x2  4x  24 A) – 45 D) – 48

B) x 8 y 4 E) y 4

A) 3 D) 5

es

H x,y,z   x 9 y13z 3 . Halle el MCD de los

mismos.

C) P  x 

B) – 46

C) 48 E) 50

2x  8 n k   x2  2x  3 x  1 x  3

Encontrar el valor de n – k.

E) x  x  1

dichos

 

D) P x2

27. Dado que:

B) x  1

n3 m2 n6 p1 23. Si P  x,y,z   x y , Q  x,y,z   x z y el

de

B) x3  1

26. Hallar el término independiente del cociente que resulta de dividir el MCM(A,B,C) entre el MCD(A,B,C), donde:

P  x   x 4  x2  1  Q  x   x 4  2x 3  x 2  1 B) 2

C) 18 E) 24

Hallar el MCD de: P  x  y P x2 .

B) x2 D) x2  x  1

grado que tiene el MCM P x  , Q x  ; donde:

MCM

B) 15

25. Sea el polinonio: P  x   x 4  x 3  x 2  x  1

21. Halle el número de factores primos de segundo

A) 3 D) 1

b2  a. A) 8 D) 21

20. Halle el MCD de los polinomios:

A) x2  x  1 C) x  1 E) x  1

Donde a y b son enteros positivos, además si, x3  x2  9x  9 es el MCM de P1 y P2 , halle

1. D 2. A 3. B 4. E 5. C 6. B

B) 1

C) 0 E) 4

CLAVES DE RESPUESTAS 7. C 13. B 19. D 25. C 8. E 14. D 20. D 26. D 9. A 15. D 21. A 27. A 10. D 16. C 22. D 11. D 17. C 23. A 12. C 18. B 24. A

125

Geometría 3. DIVISIÓN ARMÓNICA Sean A, B, C y D, puntos colineales y consecutivos; estos puntos constituyen una "Cuaterna Armónica" si se cumple:

Segmentos John Neper 2017 1. SEGMENTO DE RECTA

4 to  A

Definición 01 Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento de la recta, denotada por AB, es:  A

 P





Definición 02 Un punto M, se llama punto medio de un segmento AB, sí y sólo si M esta entre A y B y además:

M 

i.

1. Si en una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D; el segmento que une los puntos medios de AB y CD, se puede expresar de la siguiente manera:

Si:

AB AD  n  , n BC CD

x

 C

 F

ii. Si: n 

2. Si en una recta se tienen 4 puntos consecutivos A, B, C y D; y además C es punto medio de BD, entonces se cumple la siguiente igualdad:  A

 C

 B

 D

AB  AD  2 AC  BC 2

2

2

2



. Se cumple:

AB AD  , n AC CD



. Se cumple:

n 1 n   AC AB AD

 D

AC  BD 2



n1 n 1   AC AB AD

x  B

AB AD  BC CD

1 1 2   AB AD AC

2. CASOS PARTICULARES

 E

 D

7.1. Propiedades

 B Punto medio de AB

 A

3 ro

4. RELACIÓN DE DESCARTES La relación de Descartes se establece bajo las mismas condiciones de la división armónica y de donde se deduce la siguiente relación:

AM  MB  A

 C

2do

1ro 4 to  2do 3ro

 B

AB  A,B P : P está entre A y B

 B

1ro

5. TEOREMA DE NEWTON Siendo C y D conjugados armónicos de A y B, y además M es punto medio de AB, entonces se cumple:  A

M 

 C

 B

 D

AM2  MC  MD

126

Geometría

…… Problemas Resueltos 01. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, y E tal que: AB + CD = 3BC y DE = AB. Si luego se ubica el punto medio M de BE, donde MD = 2y AE = 16; calcular MC. UNACH–2014– II A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Solución: yx A y 2

2

C x M

B



Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB AD Hallar AC; si además: 2 . BC CD 2 1 1 UNACH – 2015 – II   AB AD 20 C) 60

D) 32

E) 25

Solución:  A

 B

 C

 D

AB  AD  AC   2AD  AC  AB  3AB  AD  AC  2AD  AB  3 2AD  AB 2 AD AB    AC AB  AD AB  AD AB  AD 3 2 1 1    AC AB AD 20 AC

20

A) 11 D) 12

B) 4

C) 6 E) 10

Calcular BD sabiendo que

B) 8

C) 9 E) 10

3. Sobre una recta se dan los puntos K, A, R, E, N de tal manera que los cuatro primeros constituyen una cuaterna armónica, calcular EN; si KA = 6m, RE = 4m y EN  2AR. . A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

4. Sobre una línea recta se consideran los puntos A, B, C y D tal que: AD = 2AC, BC = 4AB y CD = 9dm. Hallar BD. A) 3m D) 81dm

A) 6 D) 12

Dato

Finalmente: 3  1

 y AC  12 Hallar AB. .

B) 6cm

C) 9dm E) 162cm

5. A, B y C, son puntos colineales y consecutivos. M y N, bisecan a AB y BC, respectivamente. Hallar AC si: 3MN = 2MC y AB – BN = 2.

AB  AD  AB  AC  2AD  AC  2AD  AB



2

AD  CD  18.

Rpta  B

B) 18

AC

medio de AC.,

x3

A) 38

2

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tales que B es punto

D y 2 E

16  y  2  y  y  y  6 AB  CD  3BC  y  2  x  2  3(y  x)

01.

AB 



2 AB  BC

A) 2 D) 8

y

y



1. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C tales que:

 AC  60

Rpta  C

B) 8

C) 10 E) 16

6. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB.CD = BC.AD. Hallar AD si BC = 8m y 2 AB = 3CD A) 3m D) 24m

B) 6m

C) 12m E) 48m

127

Geometría 7. A, B y C son tres puntos colineales y AB 2 consecutivos tales que:  y 2AB + 3BC BC 3 =AC + 96. Hallar AB. A) 12 D) 38

B) 24

B) 4

C) 6 E) 10

9. Sean los puntos consecutivos P, Q, R y S tales que:

PQ QR RS   3 4 5

y

2PQ  5QR  8RS  132. Hallar: PQ. A) 3 D) 12

B) 6

C) 9 E) 4

2

EU  2EU  1, calcular la longitud de PU en mts. B) 2

C) 3 E) 5

11. J, O, P son puntos colineales y consecutivos, tales que:

2JO  3OP  81 Hallar OP, si

JP  36 A) 3 D) 12

B) 6

Hallar ER; si: PR  RU  64. B) 29

C) 9 E) 15

12. Se dan los puntos colineales U, N, P, R, G,

C) 32 E) 40

14. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que

AC 

CD ; hallar BC si : BD  4AB  20 4

A) 2 D) 4

B) 5

C) 6 E) 8

15. En una línea recta se toman los puntos PQ consecutivos: A 0 ; A1,A 2 ,A 3 ,A 4 ,.....; de modo

A 0 A1  1/3 ; A1A 2  1/9 ;

que

10. Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos, P, E, R, U, siendo PE media aritmética de PR y RU y además se cumple que:

A) 1 D) 4

la misma recta, E es el punto medio de PU.

A) 16 D) 36

C) 36 E) 48

8. P, Q, R, S y T son puntos consecutivos de una recta. Q, biseca a PT; PR = 3RS; QS = 12 y PT = 40. Hallar QR. A) 2 D) 8

13. Los puntos consecutivos: P.E.R.U. pertenecen a

A 2 A 3  1/27; A3 A4  1/81; ....... encontrar la suma límite de todos los segmentos. A) 0,5 D) 0,2

B) 1

C) 1,5 E) 2/3

16. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que constituyen una cuaterna armónica. Hallar AC, si 1 1 1   . AB AD 4 A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

17. Se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D en una línea recta dispuesta de tal manera que AB=2CD y además: BC2=AD.CD; si: 1 1 1   AB CD 4

Hallar: BC

siendo P punto medio de UG, además UN  PR.

A)

117  3

B)

17  3

Calcular la longitud de NR; si : UG  18

D)

17  3

E)

117  3

A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 0

C)

7 3

18. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; de modo que: AB  CD  x  BC  AD. Si además se sabe que:

128

Geometría medios de AB y AC respectivamente. Calcular PR sabiendo que BC=12m.

x 1 3x  7   AB AD AC El valor de x es: A) 1 D) 4

B) 2

A) 5m D) 6m

C) 3 E) 5

19. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que: 1 2 3 1 BC.AD   ; además  x AB.CD AD AB AC Hallar: “x” A) 1/2 D) 3

B) 1/3

C) 2 E) 5

20. Se dan los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que B es punto medio de AD y

AD  2CD  9. Calcular BC A) 3,5 D) 4,0

B) 4,5

C) 5,0 E) 3,0

21. B es punto medio de AC y D es el punto medio de BE si AE mide 45m y contiene 9 veces a BC; a que distancia de A esta D.

A A) 20m D) 18m

B

C B) 25m

D

E C) 24m E) 30m

22. Los puntos P y Q están situados en. El segmento AB, ambos del mismo lado del punto medio de AB, en el orden indicado y de manera que AP 2 AQ 3  ,y  , PQ  2m, entonces la PB 3 QB 4 longitud del segmento AB será: A) 75m D) 85 m

B) 80m

C) 70m E) 90m

B) 4m

C) 7m E) 3m

24. Si M, N, P, Q y R son puntos consecutivos de una recta de modo que NQ+MP+PR=50 y QN 2  , entonces NQ es: MR 3 A) 35 D) 20

B) 30

C) 15 E) 25

25. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, X, Q, R, S sabiendo que PQ=3QR y que X es punto medio de PR y PR 2 (PS)(PR )   169m2 ; calcular la longitud 4 de XS. A) 52m D) 26m

B) 25m

C) 4,5m E) 13m

26. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F, sabiendo que se cumple que: 5 AC  BD  CE  DF  91 y BE  AF. 8 Hallar AF. A) 52 D) 64

1. D 2. C 3. B 4. E 5. B 6. E

B) 48

C) 54 E) 56

CLAVES DE RESPUESTAS 7. B 13. C 19. C 25. E 8. B 14. D 20. B 26. E 9. B 15. A 21. B 10. B 16. D 22. C 11. C 17. E 23. D 12. D 18. D 24. D

23. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C si P y R son puntos

129

Geometría  Ángulos consecutivos.- Tres o más ángulos

Ángulos John Neper 2017

ÁNGULOS 1. Definición.- Reunión de dos rayos en un mismo origen llamado vértice y los rayos se denominan lados.

 Ángulos complementarios.- Dos ángulos son que sus medidas suman 90º

Elementos



A

O

son consecutivos, si cada uno es consecutivo con su inmediato. A  B C  O  D

θ



m AOB  θ

- Vértices: O - Lados: OA y OB

B

2. Clasificación.-

θ

β

β

Adyacentes complementario: θ + β = 90º También: C θ  : Complemento de θ : Cθ = 90º- θ Además:

- Según su medida:

CCCCC...C = θ θ

Nº Veces par

 Ángulos convexos: Ang. Agudo

θ

Ang. Recto

Ang. Obtuso

CCCCC...C = C θ  Nº Veces impar

θ

 Ángulos suplementarios.- Dos ángulo son

suplementarios si sus medidas suman 180º.

   180º

θ

θ 0º