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PROF. GUILLÉN PUNO PERÚ

993681038

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO - SISTEMAS ANGULARES

N É

GENERACIÓN Y CARACTERÍSTICAS : El ángulo trigonométrico es la figura generada sobre un plano por la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final y en un sentido determinado. Si la rotación se realiza en sentido horario, entonces la medida del ángulo será negativa y si se realiza en sentido antihorario, entonces la medida del ángulo será positiva, tal como se muestra en la figura siguiente :

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

SISTEMA DE UNIDADES ANGULARES SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS (S) La unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1/)

Unidades Complementarias Minuto ! (1') Segundo ! (1")

CARACTERÍSTICAS 1.

Equivalencias 1/ < > 60' 1' < > 60" 1/ < > 3600"

La medida del ángulo trigonométrico no se encuentra sujeto a restricciones pudiendo ser un ángulo de cualquier magnitud

NOTA : a/b’c” = a/+b’+c” SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS (C) La unidad de medida en este sistema es el grado g centesimal (1 )

2.

Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo, entonces su medida cambiará de signo

Unidades Complementarias m Minuto ! (1 ) s Segundo ! (1 )

OBSERVACIÓN: Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos estos deberán estar en el mismo sentido

Equivalencias g m 1 < > 100 m s 1 < > 100 g s 1 < > 10 000

-61-

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993681038

ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS” NOTA :

g m s

g

m

a b c < > a +b +c

Trigonometría

g

g

* 2B rad < > 400 !

s

SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R) La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad), el cual se define como el ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio

g

* 360/ < > 400 !

B rad < > 200

9/ < > 10

g

FACTORES DE CONVERSIÓN Son fracciones equivalentes a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar.

N É

L L

Ejemplo : Convertir 36/ a radianes, como : B rad < > 180/

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Entonces :

1

Luego :

OBSERVACIONES:

B=

36/ < >

3

Entonces :

rad

1

Luego :

Aproximaciones de “B”

B=

rad

Ejemplo : g g Convertir 80 a radianes, como B rad < > 200

1 rad < > 57/17'44" g 1 rad > 1/ > 1

B = 3,1416

36/

80

g

rad

3

EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES g mË1vta 360/ < > 400 < > 2B rad * 2B rad < > 360/ !

B rad < > 180/

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular “x” en la figura

A) 30 D) 10

B) 20 E) 5

C) 15

03. Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos : A) 80/ D) 60/

B) 54/ E) 22/30'

C) 135/

04. Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos: A) -10 D) 20

B) 10 E) -30

C) -20

g

g

A) 25 g D) 50

02. Calcular “x”

g

B) 150 g E) 20

C) 500

05. Convertir a grados sexagesimales: A) 17 D) 7

-62-

rad rad

B) 7

rad

E) 11

rad

C) 13

rad

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ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”

Trigonometría

06. Convertir a grados centesimales: A) 3

rad

B) 29

rad

D) 13

rad

E) 5B rad

14. Dado un triángulo rectángulo donde uno de sus C) 4

rad

ángulos agudos mide del otro ángulo agudo A) 40/ B) 42/ D) 46/ E) 48/

g

N É

07. El complemento de 40 en radianes es: A) D) 3

rad rad

B) 3 E) 4

rad

C) 2

rad

D)

L L

A) 33 D) 37

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

rad rad

B)

E)

rad

C) 44/

15. Calcular el valor de : rad

08. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 36/ y su g diferencia es 20 , ¿cuál es el mayor? A)

, determinar la medida

C) 3

B) 35 E) 38

C) 36

16. Calcular el valor de :

rad

rad

A) 1/9 D) 9/10

09. La suma de dos ángulos es

B) 5/9 E) 9/5

C) 10/9

B) ±3 E) 4

C) ±4

rad y su diferencia es

17. Calcular :

20/. Calcular el mayor ángulo. A) 49/ B) 31/ D) 44/ E) 50/

C) 55/

A) ±2 D) 3

10. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden g (6n)/ y (10n) . Calcular los ángulos en radianes.

18. Si :

A) C)

rad < > a/b’, calcular :

B)

;

D)

;

A) 1/3 D) 1/2

E)

B) 2/3 E) 3/2

C) 4/3

19. Calcular el valor de : 11. En un triángulo ABC se tiene A+B =

,B

g

+ C = 150 , entonces el triángulo es : A) Isósceles B) Rectángulo C) Equilátero D) Rectángulo isósceles E) Obtusángulo

A) B/60 D) B/200

calcular: (x+y) A) 80 D) 83

13. Si 42 grados A equivalen a 70/, ¿a cuántos radianes equivalen 72 grados A? rad

B) B rad

D)

rad

E)

C)

C) B/180

20. Si

12. Si se cumple : g (20 + x)/ < > (20 - x) calcular “x” A) -10/19 B) 10/19 C) 4/19 D) 20/19 E) -20/19

A)

B) B/100 E) B/150

rad

rad

-63-

x-2

+(x-y)

y

B) 81 E) 84

C) 82

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Trigonometría

TAREA 01. Calcular “x”

06. Calcular :

A) 19 D) 16

N É

B) 18 E) 15

C) 17

07. Determine el valor de :

A) 8 D) 20

B) 12 E) 24

C) 16

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

02. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden: g 9x/ y (11x - 4) . Hallar la medida radial del ángulo desigual A) D)

L L

rad

rad

B)

rad

E)

rad

C)

A) 2 D) 5

rad

B) 3 E) 6

C) 4

08. Calcular el valor de :

03. Calcular el valor de:

A) ±7 D) 8

B) 7 E) ±11

C) ±8

09. Calcular el valor de :

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

04. Un ángulo mide B/20 rad, pero en sexagesimales mide: . Calcular “x” A) 78 B) 80 C) 82 D) 86 E) 88

grados

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

10. Determinar el valor de:

05. En un triángulo ABC, se cumple: ËA = 9x/

g

ËB = 10x

y

ËC=

rad

A) 1 D) 4

entonces el triángulo es: A) Equilátero B) Isósceles C) Rectángulo D) Rectángulo isósceles E) escaleno

B) 2 E) 5

FÓRMULA DE CONVERSIÓN Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de medida, es decir, grados y radianes.

Simplificando :

también se cumple: Estos tres valores numéricos verifican la siguiente relación:

-64-

C) 3

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Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 10. Calcular el valor de : 01. Reducir: A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

siendo S y C lo convencional para una medida angular

N É

02. Calcule el ángulo en radianes que cumple con la relación : A) B/5 D) B/3

B) B/6 E) B/4

C) B/2

A) 18 D) 15

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P B) 30/ E) 22/

C) 16

11. Calcular :

03. Calcule el ángulo que cumple:

A) 27/ D) 33/

B) 17 E) 14

S : Número de grados sexagesimales C : Número de grados centesimales

C) 25/

A) 5 D) 25

04. Calcular un ángulo en radianes si: 6S + 5C = 1 040 A) B/4 B) B/5 C) B/3 D) B/2 E) B

B) -5 E) ±25

C) ± 5

12. Siendo S y C lo convencional, calcular “x”

05. Calcular un ángulo en radianes que cumpla con:

A) 2 D) 8

A) B/5 rad D) B/20 rad

B) 10B rad E) 20B rad

B) 4 E) 10

C) 6

13. Calcular la medida de un ángulo en grados sexagesimales, sabiendo que se cumple:

C) B/10 rad

06. Calcule el ángulo en radianes que cumpla con:

A) B/5 D) 4B/5

B) 2B/5 E) B

A) 9/ D) 36/

C) 3B/5

A) 21 D) 26

siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo trigonométrico B) 15 E) 19

C) 27/

14. S y C son lo convencional para una medida angular, calcular el valor de A a partir de : -1 -1 -1 -1 S + 2C = A(S - C )

07. Calcular el valor de “n” si:

A) 9 D) 13

B) 18/ E) 45/

B) 23 E) 28

C) 25

15. Calcular la medida de un ángulo en radianes si :

C) 11

08. Siendo S, C y R lo convencional, determinar el valor

A)

rad

B)

rad

D)

rad

E)

rad

C)

rad

de R, si : S.C.R = A) B/180 rad D) B/15

B) B/180 E) B/15 rad

C) B/30

16. Siendo S, C y R lo convencional para una medida angular y además se cumple :

09. Reducir la expresión si se tiene que S, C y R son los números convencionales

calcular la medida en radianes A) 3,2 D) 6,3

B) 4,4 E) 7,2

C) 5,6

A) 3B/4 rad D) 2B/3 rad

-65-

B) 3B/2 rad E) 5B/4 rad

C) 4B/3 rad

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Trigonometría

17.

19. La suma del doble del número de grados sexagesimales y el triple del número de grados centesimales de una medida angular resulta 96. Calcular el complemento del ángulo Calcular la medida en radianes A) B/10 rad D) -B/12 rad

B) B/12 rad E) B/15 rad

A) 72/ g D) 82

C) -B/10 rad

18. Al medir un ángulo en los sistemas convencionales se cumple :

20. Para un ángulo trigonométrico se cumple que: el triple de su número de grados centesimales disminuido en el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 36. Calcular la medida radial de dicho ángulo

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Calcular dicha medida en radianes A) B/2 D) B/8

N É

B) B/3 E) B/6

g

B) 75/ C) 80 E) Hay 2 respuestas

A) 3B/20 D) B/5

B) B/6 E) 3B/10

C) B/4

C) B/4

TAREA

01. Para un ángulo trigonométrico, se pide hallar el valor de:

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

06. Si : 2S + 3C = 80, calcular el ángulo en grados sexagesimales A) 10/ D)21/

C) 4

B) 15/ E) 36/

C) 18/

07. Sabiendo que :

02. Reducir la expresión:

A) 1 D) 4

calcular la medida del ángulo en radianes.

B) 2 E) 5

A)

B)

D)

E)

C)

C) 3 08. Calcule C :

03. Calcule un ángulo en radianes que verifica : S, C, y R números convencionales : m

A) 1 D) 6

B) 2 E) 9

A) 10 m D) 40

C) 4

B) 20 E) 50

m

C) 30

09. Calcular la medida del ángulo en radianes S = (x + 3)(x - 2) C = (x + 2)(x - 1)

04. Siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo, calcular:

A) 10 D) 40

m

B) 20 m E) 50

A) B D) B/4

C) 30

B) B/2 E) B/5

C) B/3

B) -4 E) -1

C) -2

10. Calcular : 05. Si el número de grados centesimales que contiene un ángulo excede a su número de grados sexagesimales en 8, ¿cuánto mide el ángulo en radianes? A) D)

rad rad

B) 2 E)

rad

C)

rad A) 4 D) 2

rad

-66-

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Trigonometría

LONGITUD DE ARCO Para que el sector esté definido se tendrá que :

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

N É

0 < 2 # 2B

L L

LONGITUD DEL ARCO (L)

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Longitud de la circunferencia:

Lu = 2Br

SECTOR CIRCULAR

L = 2r

Longitud de arco :

(0 < 2 # 2B)

PROBLEMAS PROPUESTOS 05. Calcular “L”, si : B = 22/7

01. Calcular “x”

A) 1 D) 0,5

B) 0,1 E) 1,1

A) 2/5 D) 10/3

C) 0,2

B) 3/4 E) 15/18

C) 22/5

06. De la figura se cumple : L1 = 8L2. Calcular 2

02. Calcular el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 cm de longitud subtiende un ángulo central de 3 rad. A) 15 cm B) 12 cm C) 10 cm D) 5 cm E) 2,5 cm 03. Calcular la longitud de arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 40/ y el radio es de 15 cm. A)

B)

D)

E)

04. En la figura, calcular “L” si : R =

A) 4 m D) 12 m

B) 6 m E) 15 m

A) B/2 D) B/7

C)

B) B/4 E) B/9

C) B/8

07. De la figura calcular “x” :

m

A) 2/5 D) 3

C) 9 m

-67-

B) 5/2 E) 6

C) 1

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Trigonometría

08. Calcular “2” si L2=5L1

D) 12

E) 13

13. Hallar “x”

A) B/3 D) B/6

B) B/4 E) B/8

N É

C) B/5

L L

A) 4/5 D) 5/4

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

09. En el gráfico calcular la longitud del arco

, si

C) 5/3

14. Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y 12 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en 2 cm sin que el ángulo central varíe, ¿cuál será la nueva longitud de arco?

AC=6 m

A) 8 cm D) 14 cm

A) B m D) 4B m

B) 3/5 E) 4/3

B) 2B m E) 5B m

B) 10 cm E) 16 cm

C) 12 cm

15. Calcular R - r, sabiendo que la longitud del arco AB es el triple de la del arco BC ( )

C) 3B m

10. Calcular :

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

16. En el gráfico mostrado, calcular la longitud del arco BC

A) 1 D) 5

B) 2 E) 7

C) 3

11. Calcular “x”

A) 3 m D) 6 m

A) 6 D) 3

B) 5 E) 2

B) 4 m E) 8 m

C) 5 m

17. Calcular la longitud de la circunferencia inscrita si la longitud de los arcos AB y CD miden 2 y 5

C) 4

12. En la figura mostrada, calcular la longitud del arco

A) B D) 4B A) 9

B) 10

C) 11 -68-

B) 2B E) 5B

C) 3B

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Trigonometría

18. Calcular “x” en los sectores mostrados

20. Si la longitud del arco

es B m, calcular la longitud

de

A) 2 D) 4

B) 2,5 E) 4,5

N É

C) 3

19. Un péndulo se mueve como indica la figura. Calcular la longitud del péndulo si su extremo recorre 9B m

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

A) 9 m D) 18 m

B) 12 m E) 21 m

A) 6 m D) 12 m

B) 8 m E) 14 m

C) 10 m

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

C) 15 m

TAREA

01. Calcular “L”

04. A partir de la figura calcular (x - y)

A) 2 D) 7

B) 4 E) 8

C) 5

02. Del gráfico determinar R

A) a/2 D) 3a/2

B) a/4 E) 2a

C) a

05. En la figura hallar la longitud del arco BC, si AC=18 m

A) 1 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

03. A partir de la figura calcular : A) B m D) 6B m

A=

B) 3B m E) 8 B m

C) 5B m

06. Calcular la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 60/ y el radio 12 m A) 2B m D) 8B m

-69-

B) 4B m E) 12B m

C) 6B m

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Trigonometría

07. Calcular la longitud de la circunferencia inscrita si la longitud del arco AB miden 2B

09. Calcular el perímetro de la región sombreada, si R=12 m

N É

A) 6B m D) 16B m

A) B D) 4B

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P B) 2B E) 5B

C) 3B

B) 8B m E) 24B m

C) 12B m

10. De la figura calcular :

08. Calcular :

A) 6B D) 12B

A) 1/2 D) 2/5

B) 2/3 E) 3/5

B) 8B E) 14B

C) 10B

C) 3/4

SECTOR CIRCULAR - TRAPECIO CIRCULAR Para que el sector esté definido se tendrá que :

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

0 < 2 # 2B

Área del círculo :

Au = Br

ÁREA DEL SECTOR

2

SECTOR CIRCULAR

Área del sector :

(0 < 2 # 2B)

-70-

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Trigonometría

TRAPECIO CIRCULAR

N É

Bases del trapecio : -

(0 < 2 # 2B)

L L

OTRAS FORMAS DE CALCULAR EL ÁREA DEL TRAPECIO

I U G 38 0 . Ú 0 R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Separación de bases : AD=BC=R-r Para que el trapecio exista se debe cumplir :

*

En función de los radios y el ángulo central :

*

En función de las bases y el ángulo central

0 < 2 # 2B

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR CENTRAL

- ÁNGULO

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 72/ y su radio mide 10 m. 2

A) 10B m 2 D) 40B m

2

B) 20B m 2 E) 50B m

C) 30B m

04. De la figura calcular el área de la región sombreada

2

02. Calcule el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 1/ y su radio mide 90 m. A) 20B m

2

B) 45

2

E) 15B m

D) 30B m

m

2

C) 45B m

2

2 2

A) BR /24 2 D) BR /6

03. Calcular el área de la región sombreada

2

B) BR /12 2 E) BR /3

2

C) BR /8

05. Calcular “x” (S: Área)

A) 25/4 D) 25/3

B) 25/8 E) 25/11

A) 8 D) 15

C) 25/16

-71-

B) 9 E) 18

C) 12

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Trigonometría

06. Calcular el área del sector sombreado

2

A) 4B m 2 D) 3,5B m

2

B) 6B m 2 E) 5,5B m

11. Calcule el área de la región sombreada.

C) 8B m

N É

2

07. Calcular : x (S: área)

A)

B)

D)

E) 7B

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

C)

12. Calcular :

A) 1 D) 5/2

B) 3/2 E) 4

C) 2

08. Calcular el área de la región sombreada si AOB es un cuadrante.

A) 1 D) 3/2

B) 2 E) 5/2

C) 3

13. Calcular el área de la región sombreada

2

A) BR /6 2 D) BR /2

2

B) BR /4 2 E) BR /12

2

C) BR /3

A)

B)

D) 2B

E)

C) B

09. Calcular el área de la región sombreada. 14. Calcular el área de la región sombreada:

A) 20 D) 50

B) 30 E) 60

C) 40

10. Calcular “2” si el área de la región sombreada es de 2 16 u

A) 2 D) 2,5

B) 3 E) 3,5

A)

B) B

D) 2B

E) 3B

C)

15. Calcular el área de la región sombreada si BAM es un sector circular y además AC=2

C) 1,5

-72-

A) 3

-B

B) 4

-B

D) 3

-B/3

E) 4

-B/4

C) 3

-B/2

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Trigonometría

16. Calcular el área de la región sombreada

A) 15 u 2 D) 8 u

2

2

B) 9 u 2 E) 16 u

C) 12 u

19. Calcular el área del círculo

N É

2

L L

2

A) 6B m 2 D) 24B m

17. S1 y S2 son áreas, calcular 2 sabiendo S1=S2

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

A) B/5 rad D) B/10 rad

B) B/6 rad E) B/12 rad

2

B) 12B m 2 E) 36B m

C) 18B m

2

20. Calcular el área de la región sombreada

C) B/8 rad

18. A: Área, calcular “x”

A) B D) 4B

A) 8 D) 5

B) E) 6

B) 2B E) 8B

C) 3B

C)

TAREA 2

2

A) 5 u 2 D) 6 u

01. De la figura, hallar

B) 12 u 2 E) 18 u

C) 15 u

2

03. Calcule el área del trapecio circular sombreado

A)

B) B+2

D)

E)

02. Si:

A) 8 D) 20

C)

B) 12 E) 24

C) 16

04. Calcule el área de la región sombreada, si OA=OB=AP=AQ=6 u

, calcular el área de la región

sombreada, donde la longitud del arco AD es igual a 4u

2

B) 2B u

2

E) B u

A) 3B u

D) 2B u

-73-

2

2

C)

2

u

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Trigonometría

05. Calcular “L” de la figura, si el área de la región sombreada es igual a la no sombreada

A) 4 D) 2

B) 8 E) 10

C) 6

06. Calcule el área de la región sombreada si BH=1. Dato: Triángulo ABC es rectángulo

08. Calcular el área de la región sombreada

N É 2

L L

2

A) 4 u 2 D) 10 u

B) 6 u 2 E) 12 u

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

A)

B)

D)

C)

A) 1,5 D) 3

D) 2

E)

B) 2 E) 3,5

C) 2,5

10. Calcular el área del círculo si :

07. Si: A = Área, calcular : b/a

B)

2

09. S1 y S2 son áreas, calcular :

E) 4-B

A)

C) 8 u

=B

C) 2 2

2

A) 32B u 2 D) 48B u

2

B) 64B u 2 E) 16B u

C)40B u

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS *

TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.

4

v

TEOREMA DE PITÁGORAS 2

2

AB = CA + CB

2

2

4

2

c =a +b

2

ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS

4 CA = b v CB = a

Catetos : Hipotenusa :

4

" + 2 = 90/

4 AB = c

Ángulos agudos :

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos se determinan en un triángulo rectángulo estableciendo la división entre las longitudes de sus

y

-74-

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Trigonometría

lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS : Llamadas también Co - Razones Trigonométricas, son las siguientes :

N É

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES : Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su complemento.

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P NOTA : Si :

* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES :

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS : Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas :

PROPIEDAD DE LAS RECÍPROCAS : El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo es igual a la unidad RAZONES TRIGONOMÉTRICAS NOTABLES: 30/ Sen

60/

45/

1/2

Cos

1/2

DE

ÁNGULOS

37/

53/

3/5

4/5

4/5

3/5

Tg

1

3/4

4/3

Ctg

1

4/3

3/4

5/4

5/3

5/3

5/4

NOTA : Sec Si :

*

Csc

-75-

2 2

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Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 09. Evaluar:

01. Calcular : Sen2, si Tg2= A)

B)

D)

E)

(Sen42/+3Cos48/) Csc42/ C)

A) 1 D) 4

N É

B) 6/5 E) 5/13

C) 6/13

A) 1 D) 7

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P B) 2 E) 9

B) 60 cm E) 150 cm

B) 5/8 E) 2/5

C) 4/5

B) Tg40/ E) -1

C) Tg10/

11. Simplificar:

C) 3

A) Tg80/ D) 1

04. En un triángulo rectángulo la tangente de uno de sus ángulos agudos es igual a 2,4. Hallar el perímetro de dicho triángulo si la hipotenusa mide 39 cm A) 30 cm D) 120 cm

Senx = Cos2y Tg(3y - 5) = Tg(x+30/)

A) 8/5 D) 5/4

03. Si: Sen"=0,75 v 0/ < " < 90/ calcular : 3 Ctg"

C) 3

10. Calcular “x/y” si :

02. Si “"” es agudo, además : 3Tg" - 2=0 hallar : E=Sen" Cos" A) 6 D) 2/13

B) 2 E) 5

12. Si :

Sen(2x+10/) Csc(x+20/) = 1

calcular :

C) 90 cm

05. Calcular Ctg"Tg$

A) 1 D) 2

B) 1/2 E) 1/3

C) 2/3

13. Si " y $ son ángulos agudos además : Sen2" = Cos$ y Tg

Ctg3" = 1

calcular : " + $

A) 1 D) 3

B) 2 E) 3/2

A) 40/ D) 70/

C) 2/3

C) 60/

B) 2 E) 5

C) 3

14. Si Sec" = Csc$ calcular :

06. Calcular Tg"Tg$

A) 1 D) 4 A) 1/3 D) 3/5

B) 50/ E) 80/

B) 2/3 E) 1/5

C) 2/5

15. Del gráfico, calcular Tg2

07. Calcule Ctg"

A) 1

B) 2

D) 3

E)

A) 1/3 D) 3/2

C)

B) 1/2 E) 1/6

C) 2/3

16. Del gráfico mostrado, calcule el valor de Tg2

08. Calcule 2 :

A) 2/ D) 8/

B) 4/ E) 10/

C) 6/ A) 1/2 D) 1/5

-76-

B) 1/3 E) 1/6

C) 1

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Trigonometría

17. De la figura AOB : cuadrante. Calcular Tg2

19. Calcular Tg2

N É

A) 1 D) 2/3

B) 1/2 E) 3/4

C) 1/3

L L

A) 1 D) 1/2

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

C) 3

C)

20. Calcular Tg"

18. Calcule Tg"

A) 3/4 D) 3/2

B) 2 E) 1/3

B) 3/8 E) 3/5

C) 1/2

A)

/2

B)

/3

D)

/5

E)

/6

TAREA

01. Si:

04. Calcular : Tg2 + Ctg2

v 0/ < " < 90/

Tg" =

calcular : 2

2

3Sec "+ 2Csc " A) 5 D) 20

B) 10 E) 25

C) 15 A) 1 D) 4

02. Si: Sec" = 2,6 v 0/ < " < 90/ calcular : Ctg" + Csc" A) 5 D) 3

B) 3/2 E) 2

B) 2 E) 5

C) 3

B) 3/2 E) 5/2

C) 2

05. Si : a+b+c=90/ reducir : C) 2/3

03. Calcule: Sen2 + Cos2

A) 1 D) 3

06. De la figura calcule Csc"

A) 1 D) 1,4

B) 1,2 E) 1,6

C) 1,3

-77-

A)

B)

D)

E)

C)

/4

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Trigonometría

07. Calcular :

09. De la figura calcular Tg2 Tg4"Tg5"Tg6"

si : Tg2"Tg7"=1 A) 1 D)

B) 2 /3

C)

N É

E) 3/4

08. Si: Sen("+20/) = Cos($+10/) Tg("+10/)Ctg($+40/) = 1

A)

/2

B)

/3

D)

/5

E)

/6

L L

10. Hallar : Tg2

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

calcular :

C)

Ctg" + Sec("+$)

A) 2 D) 5/2

B) 3 E) 4

C) 3/2

-78-

A) 1

B)

D) 2

E)

C)

/4

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS - ÁNGULOS VERTICALES Para resolver triángulos rectángulos, nos basamos en las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

L L

ÁREA DE TRIÁNGULOS I. Área de un triángulo rectángulo

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Tenemos los siguientes casos: CASO I

N É

Dada la longitud c de la hipotenusa y " la medida del ángulo A, el área S del triángulo rectángulo está dado por:

ÿ

y = aSen"

ÿ

x = aCos"

2

CASO II

II.

Área de un triángulo cualquiera Se requiere conocer la longitud de dos lados consecutivos y la medida del ángulo que forman ellos.

Por geometría elemental, sabemos que el área del ÿ

y = aTg"

triángulo ABC es:

x = aSec"

pero h = cSen" entonces:

2 ÿ CASO III

ÁNGULOS VERTICALES ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN Para definir los ángulos de elevación y de depresión, previamente daremos los conceptos de línea visual y línea horizontal basado en el siguiente gráfico. ÿ

y = aCtg"

ÿ

x = aCsc"

2

OBSERVACIÓN: Los casos anteriores se reducen a la siguiente regla:

-61-

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Trigonometría

Línea visual Es el rayo

ÁNGULO DE DEPRESIÓN Es aquel ángulo formado bajo la línea horizontal y comprendido entre ésta y la línea visual.

trazado desde el punto de observación

“O” hacia un punto del objeto en mira. t

Línea horizontal Es el rayo

N É

trazado horizontalmente desde el

punto de observación “O”. Ángulo de elevación es aquel ángulo formado sobre la línea horizontal y comprendido entre ésta y la línea visual. ÁNGULO DE ELEVACIÓN Es aquel ángulo formado sobre la línea horizontal y comprendido entre ésta y la línea visual

L L

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PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Hallar “x”:

D) aCos2 + b

E)

04. Hallar : “x”

A) mSen"Sen$ B) mSen"Cos$ D) mCos"Sen$ E) mTg"Ctg$

C) mCos"Cos$

A) aSen2Tg" D) aCos2Ctg"

02. Calcular : “a/b”

A) Sen"Csc2 Sen("+2)Sen" D) Sen("+2)Csc"

B) aCos2Tg" E) aTg"Tg2

C) aSen2Ctg"

A) aCtg"Ctg2

B) aCtg"Tg2

C) aTg"Ctg2

D) aTg"Tg2

E)

05. Hallar : “x”

B) Cos"Sec2

C

)

E) Sen("+2)Csc2

03. Hallar xCos2 de la figura : 06. Hallar “x”

A) aSen2 - b

B) aCos2 - b

C) aSen2 + b

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Trigonometría 11. A 20 metros del pie de un poste, el ángulo de elevación para lo alto del mismo es de 37/. ¿Cuál es la altura del poste? A) 15 m B) 12 m C) 20 m D) 24 m E) 25 m

A) RCtg2 D) R(Tg2+1)

B) RTg2 E) R(Sen2+1)

C) R(Ctg2+1)

07. Hallar la mínima distancia del punto “P” hacia la circunferencia

12. Desde un punto del suelo se ubica la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación 37/. Si nos acercamos 5 m el nuevo ángulo de elevación es de 45/. Calcule la altura del árbol A) 8 m B) 10 m C) 12 m D) 15 m E) 18 m

N É

L L

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A) R(Csc2+1)

B) R(Csc2+2)

D) R(Csc2 - 1)

E) F.D.

C)

Csc2

08. Calcular “56Csc2”

A) 50 D) 30

B) 65 E) 45

C) 70

09. Calcular el área de la región sombreada :

2

A) 10 u 2 D) 30 u

2

B) 15 u 2 E) 35 u

C) 20 u

2

10. De la figura, hallar H

A) D)

Sen2 Sen2

B) E)

Sen2

C)

Sen2

Sen2

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Trigonometría

13. Una persona de 2 m de altura observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “2”, si la persona se acerca 45 m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es “M”. Si Ctg2-CtgM=3, calcular la altura del poste A) 13 m B) 15 m C) 17 m D) 19 m E) 21 m 14. Dos ciudades A y B se encuentran separadas por un camino recto, que mide 2( +1)km; desde un avión que vuela la línea que separa ambas ciudades, se les observa con ángulos de depresión de 30/ y 45/. ¿A qué altura está volando el avión? A) 2 km B) (2 -1)km C) 1,5 km D) (

N É

L L

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-1) km

E) 2

km

15. Desde la azotea de dos edificios de 24 y 12 metros de altura se observa un punto en el suelo, ubicado entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53/ y 37/ respectivamente. Calcule la distancia entre ambos edificios A) 17 m B) 34 m C) 28 m D) 31 m E) 38 m

16. Desde el quinto piso de un edificio de nueve pisos de igual altura se observa en el suelo un objeto con un ángulo de depresión “2”, y desde la parte superior del edificio se observa el mismo objeto con una depresión angular que es el complemento de “2”. Calcular “Ctg2” A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 1 E) 3/2 17. Desde un avión que vuela horizontalmente se observa que antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y B, sus ángulos de depresión son 45/ y 37/ respectivamente, cuando está sobre “B” es visto desde “A” con un ángulo de elevación ". ¿Cuánto vale Tg"? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. Desde la parte superior de un muro de 2 m, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30/ su base y con un ángulo de elevación de 60/ su parte superior. Calcular la altura del árbol A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 10 m E) 12 m 19. Un mono se encuentra a 12 metros de altura en un árbol y ve una mona que está en el suelo con un ángulo de depresión de 53/; ambos se dirigen hacia la base del árbol y cuando la mona ha avanzado la mitad de la distancia que la separa del árbol, mira al mono con un ángulo de elevación de 45/. Calcular la distancia que los separa en ese instante A) 8 m B) 9 m C) 4,5 m D) 6 m E) 8 m

20. Una persona observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación “x” después de caminar 10 m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es “2”. Si la altura del edificio es de 30 m, entonces el valor de la expresión: W=Tgx(Ctg2+1/3) A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 1 E) 5/3

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Trigonometría

TAREA 01. S1 y S2 son áreas. Calcular S1/S2

06. Una paloma alza vuelo desde un plano horizontal con un ángulo de elevación de 30/; al cabo de 5 minutos qué altura habrá alcanzado la paloma; si va a una velocidad de 10 m/s

N É

A) 25 m D) 1 500 m

B) 50 m E) 3 000 m

C) 150 m

07. Hallar “x” de la figura :

A) 1/2 D) 2/3

B) 1/3 E) 3/4

C) 1/4

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02. Desde un punto de un terreno se observa una torre con un ángulo de elevación ". Si desde la mitad de la distancia que los separa el ángulo de elevación es el complemento del anterior, calcular : Ctg" A) D) 3

L L

B) 2

C)

E)

03. Hallar x:

2

A) bSec " 2 D) bCos "

3

B) bSec " 3 E) bTg "

4

C) bSec "

08. Desde lo alto de un faro a 15 m sobre el nivel del mar se observa una boya con un ángulo de depresión cuya tangente es 3/2, desde la base del faro a 8 m sobre el nivel del mar se vuelve a observar la boya con un ángulo de depresión “2”. Calcule el valor de “Tg2” A) 3/4 D) 4/5

A) aCos"Tg2 D) aSen"Ctg2

B) aCos"Ctg2 C) aSen"Tg2 E) aCsc"Tg2

B) 4/3 E) 5/3

C) 5/4

09. Del gráfico, hallar

04. Desde la parte superior e inferior de un muro se observa la parte superior de otro muro con ángulo de elevación de 37/ y 45/ respectivamente. Si el muro más alto mide 48 m; entonces la altura del otro muro es : A) 8 m D) 24 m

B) 12 m E) 32 m

C) 16 m

05. Calcular Tg"

A) mSenx+nSeny C) nSenx+mCosy E) mCosx-nCosy

B) mCosx+nSeny D) mCosx+nCosy

10. Un avión vuela en línea horizontal paralela al suelo, en un cierto instante el piloto observa en tierra una ciudad, con un ángulo de depresión de 37/ y luego de 3 minutos observa nuevamente dicha ciudad pero ahora con un ángulo de depresión de 53/. ¿A qué altura vuela el avión si viaja a 14 km/min? A) Tg2+1 D) Ctg2 - 1

B) Tg2 - 1 E) Tg2+Ctg2

C) Ctg2 +1

A) 42 km D) 72 km

-65-

B) 50 km E) 96 km

C) 60 km

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Trigonometría

GEOMETRÍA ANALÍTICA: PLANO CARTESIANO PUNTO MEDIO Sea : “d” distancia entre “A” y “B”

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Consideremos dos rectas numéricas perpendiculares entre sí.

N É

Del gráfico :

L L

Ejemplo : 1. Hallar la distancia entre los puntos A(2; 3) y B(-5; 4) Solución : Aplicando la fórmula se tiene :

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

2d=

d=

PUNTO MEDIO Sean A(x1 ; y1 ); B(x2 ; y2 ) puntos y “M” el punto medio entre AyB

t “O” origen de coordenadas t Eje “x” o eje de los abscisas t Eje “y” o eje de las ordenadas t Ambas rectas dividen al plano en 4 cuadrantes DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

Sean los puntos A(x1 ; y1 ); B(x2 ; y2 )

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dado el segmento AB donde A(2; 3) y B(11; 10); calcular la suma de sus proyecciones sobre los ejes coordenados A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

A) 26 u D) 30 u

perímetro si A(-3; 1); B(1; 4) y C(5; 1)

B) 19 E) 22

C) 20

06. Determinar el valor de “b” si la distancia entre los puntos A(7; 1) y B(3; b) es 5. (b < 0) A) - 1 B) - 2 C) - 8 D) - 5 E) - 3

03. Hallar las coordenadas del vértice C de un triángulo equilátero ABC, si A=(-3; 4) y B=(-3; -2), además la abscisa de A es menor que la abscisa de C. A) (-3 + 3 ; 1) B) (-3 + 3; 1) C) (-3 ; 1) D) (3; 1 + 3

)

E) (3

C) 28 u

05. Los vértices de un triángulo son los puntos A(-1; -1); B(-1; 12) C(11; 4). Calcular la longitud de la proyección del lado sobre . A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

02. Dado un triángulo ABC, donde AB = BC, hallar el A) 18 D) 21

B) 27 u E) 32 u

07. Se tiene un triángulo ABC, donde A(6; 5), B(3; 7) y C(2; -1) determinar la naturaleza del triángulo A) Equilátero B) Acutángulo C) Escaleno D) Obtusángulo E) Rectángulo

; -1)

04. Hallar el perímetro del trapecio ABCD

08. Encontrar un punto sobre el eje de las ordenadas que equidista de los puntos (3; 1) y (6; 2) A) (0; 3) B) (0; 4) C) (0; 5) D) (0; 6) E) (0; 7) 09. Hallar el perímetro de un triángulo equilátero si dos de sus vértices son : (-1; -1) y (5; 7) A) 10 B) 20 C) 30 D) 60 E) 120

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Trigonometría

10. Por el punto A(4; 2) se ha trazado una circunferencia tangente a los ejes coordenados. Calcular su radio A) 8 B) 10 C) 13 D) 14 E) 18

16. Se tiene un triángulo ABC, de vértices A (6; 5), B(3; 7) y C(2; -1). Calcular la longitud de la mediana relativa al lado AC A) B) C) D)

11. Se tiene el cuadrado ABCD, de vértices A(-1; 5) y C(3; 2). Hallar el área del cuadrado ABCD 2 2 2 A) 12 u B) 12,5 u C) 5 u 2 2 D) 25 u E) 10 u 12. Calcule la distancia entre los puntos P(a+1; b+4) y Q(a+5; b+1) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

E)

17. Calcule las coordenadas del punto medio del segmento , si A(a+3; b+4) y B(7-a; 6-b) A) (2; 3) B) (3; 2) C) (5; 3) D) (5; 5) E) (5; 4)

N É

L L

18. Se tiene un triángulo rectángulo ABC donde las longitudes de sus lados son proporcionales a números consecutivos. Si A(-1; 2) y B(-4; 2), calcular el perímetro A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

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13. Las coordenadas de los vértices de un cuadrado ABCD son A (-2; 6); B (4; 3); C (1; -3), calcular las coordenadas del cuarto vértice A) (5; 0) B) (-5; 0) C) (-4; 0) D) (4; 0) E) (6; 0)

19. Si A(2; 5) y B(6; 8) son los extremos de un diámetro de una circunferencia; hallar su longitud. A) 3B B) 4B C) 5B D) 8B E) 10B

14. Uno de los puntos extremos de un segmento es (5; 7) y su punto medio es (2; 0), calcular la suma de las coordenadas del otro extremo A) 8 B) - 8 C) 6 D) - 6 E) - 7 15. Dado tres vértices B(5; -3) y C(-1; 3), cuarto vértice “D” A) (1; 0) D) (1; 1)

20. El lado de un rombo es igual a 5 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4; 9) y Q(-2; 1). Calcular el área del rombo. A) 80 B) 150 C) 90 D) 100 E) 65

de un paralelogramo A(3; -5); determinar las coordenadas del B) (-3; 1) E) (0; 2)

C) (2; 0)

TAREA

01. El triángulo de vértices (3; 2), (5; -4) y (1; -2) es: A) Isósceles B) Rectángulo C) Equilátero D) Escaleno E) Rectángulo - isósceles

07. Dado el segmento donde A(1; 2) y B(5; 7), hallar la suma de sus proyecciones sobre los ejes coordenados. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

02. El punto P(a; a+1), es un punto que equidista de A(2; 1) y B(-6; 5). Calcular el valor de “a” A) - 2 B) - 4 C) - 6 D) - 8 E) - 10

08. Hallar las coordenadas del punto que pertenece al eje de abscisas y equidista de (-3; 1) y (6; 4)

03. La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B (5; -2) es . Hallar la abscisa del punto A) 13 B) - 13 C) 3 D) - 3 E) Hay 2 respuestas

A) ( D) (

05. Cuál es el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: (-3; -1), (0; 3), (3; 4), (4; -1) A) 12 + + B) 6 + + E) 8 +

+

D)

B) ( )

)

C) (

)

E) (15; 0)

09. Hallar el punto que equidista de A(1; 3), B(4; 2) y C(8; -2)

04. Uno de los puntos extremos de un segmento es (7; 8) y su punto medio es (4; 3). Hallar el otro extremo. A) (-1; -2) B) (1; -2) C) (1; 2) D) (-1; 2) E) (2; 1)

C) 18 +

)

A)

B)

D)

E)

C)

10. Dado el triángulo ABC, donde A(1; 1); B(5; 7) y C(6; 8), hallar la mediana relativa al lado AB A) 3 B) 6 C) 5 D) 8 E) 10

+

+

06. En un triángulo ABC los puntos medios de los lados AB, AC y BC son respectivamente (1; 3), (4; 2), (-3; 1). Hallar el vértice A A) (7; 4) B) (5; 7) C) (5; 8) D) (8; 4) E) (4; 7) -67-

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Trigonometría

GEOMETRÍA ANALÍTICA : DIVISIÓN DE SEGMENTOS BARICENTRO - ÁREA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Sean los puntos A; B y “P” un punto que divide a AB en la razón de “m” a “n”

N É

L L

!P=

Ejemplo : 1.

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P ˆ

Si : A(-4; 2); B(8; 8), hallar un punto “P” entre “A” y “B” tal que

=2

Solución :

Se observa que se debe ordenar en forma antihoraria, empezando por un vértice (en este caso A(x1; y1)) y terminando con el mismo vértice que se tomó como inicio. Ejemplo : 1. Sean los puntos A(1; -3); B(3; 3); C(6; -1) Hallar el área de la región encerrada que se forma al unir dichos puntos

! AP = 2k; PB=1k

Como :

Solución :

Luego :P =

P=

= (4; 6)

ˆ

P = (4; 6)

COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO Sean A, B y C los vértices de un triángulo entonces las coordenadas del baricentro “G” del triángulo será: Luego :

2 S=

(-1 + 18 - 9 + 18 + 3 - 3) =

2

(26) = 13 u

NOTA : Si el resultado sale negativo, sólo indica que los puntos se han tomado en sentido horario y lo único que se haría es tomar valor absoluto.

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES Sean : A(x1; y1); B(x2; y2); C(x3; y3)

-68-

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Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dado el segmento

A) (6; 8) D) (5; 6)

donde A(4; -3) y B(1; 4),

hallar las coordenadas del punto “P” tal que A) (2;

)

B) (2; 5)

D) (1;

)

E) (-1;

N É

)

09. Hallar la distancia del vértice A al baricentro )ABC donde A(1; -1); B(3; 11); C(11; -4) A) 2 B) 3 C) 5

L L

D) 2

B) (-11; 13) E) (-13; 11)

C) (11; -13)

del

E) 4

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

A) (11; 13) D) (13; 11)

C) (6; 5)

08. Hallar las coordenadas del baricentro del triángulo ABC si A(-3; -3), B(1; 7) y C(5; -7) A) (1; 1) B) (-1; -1) C) (1; -1) D) (-1; 1) E) (2; -2)

C) (2; 3)

02. Dado 3 puntos colineales A, M y B tal que B(5; -7) y M(1; -2), calcular las coordenadas del punto A, tal que

B) (8; 6) E) (5; 8)

10. Uno de los vértices de un triángulo es (2; -3) y su baricentro es el punto (4; 1). Determinar la longitud de la mediana que parte de dicho vértice. A) B) 2 C) 3

03. Calcular la distancia entre los puntos M y C

D)

E)

11. El baricentro de un triángulo es (-2; -1), si uno de los vértices es el origen de coordenadas, calcular las coordenadas del punto medio del lado formado por los otros dos vértices. A) (-1; 0) B) (-6; -3) C) (-3; -3/2) D) (-4; -1/2) E) (-8; -1)

A) 9 D) 12

B) 10 E) 13

C) 11

12. Si dos vértices de un triángulo son A(-4; 6) y B(-3; -8), calcular la suma de las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que las medianas de dicho triángulo se cortan en el punto (2; 6) A) 11 B) 22 C) 33 D) 43 E) 34

04. Hallar las coordenadas de P, sabiendo que:

13. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(a+2; 4-b); B(9; b+3); C(7-a; 11). Determine las coordenadas del baricentro A) (3; 3) B) (a; b) C) (a+3; b+3) D) (6; 6) E) (6; 9)

A) (1; 3) D) (2; 5)

B) (-2; 4) E) (3; 4)

14. El área del triángulo cuyos vértices son (0; 4); (-8; 0) y (-1; -4) es : 2 2 2 A) 25 u B) 35 u C) 40 u 2 2 D) 28 u E) 30 u

C) (-1; 6)

05. Se tiene el triángulo ABC donde A(3; 2), B(7; 10) y C(2; 8). Además M es un punto del lado AB de tal manera que las áreas de los triángulos ACM y CMB están en la relación de 1 a 3. Hallar CM A) B) C) D)

15. Calcular el área del triángulo formado por los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices tienen coordenadas (-4; 0), (2; -6) y (0; -8) 2 2 2 A) 9 u B) 6 u C) 3 u 2 2 D) 12 u E) 15 u

E)

06. Dados los puntos A(2;5) y B(14;17); determine las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento . A) (5;9) y (10;13) B) (6;9) y (12;15) C) (8;10) y (10;13) D) (6;9) y (10;13) E) (6;9) y (12;14)

16. Hallar el área del triángulo, sabiendo que dos de sus vértices son A(0; 0) y B(2; 2), además la intersección

07. Del gráfico mostrado, determine las coordenadas del punto “Q”

17. El área del polígono cuyos vértices son (1; 5), (-2; 4), (-3; -1), (3; -3), (5, 1) es : 2 2 2 A) 35 u B) 41 u C) 45 u 2 2 D) 38 u E) 28 u

de las medianas es 2

A) 2 u 2 D) 6 u

2

B) 4 u 2 E) 3,5 u

C) 4/3 u

2

18. Calcular el área del paralelogramo cuyos vértices, tienen por coordenadas a los puntos (-4; 5), (6; 4), (8; -1) 2 2 2 A) 5 u B) 48 u C) 15 u 2 2 D) 10 u E) 30 u -69-

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Trigonometría 2

19. Los vértices de un triángulo son (0; 0), (n; n+1), (n-1; n). Calcular el área del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados. 2 2 A) 1/2 u 2 C) 1/8 u B) 1/4 u 2 2 D) 1/16 u E) 1/32 u

20. El área de un triángulo es 4 u , dos de sus vértices son los puntos : A(2; 1) y B(3; -2); el tercer vértice “C” está situado en el eje x. Determinar las coordenadas del vértices C A) (0; 1/3) B) (0; -1/3) C) (1/3; 0) D) (0; 5) E) (5; 0)

N É

L L

TAREA

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

01. El segmento de recta de extremos A(-2; -1) y B(3; 3) es prolongado hasta C. Si BC = 3AB, hallar las coordenadas de C : A) (15; 20) B) (3; 15) C) (18; 15) D) (20; 15) E) (18; 20)

08. De la figura, determine las coordenadas del punto P

02. Determinar las coordenadas del punto “P” que se encuentra en el segmento de extremos A(-4; -11) y B(6; 9) y que la distancia al punto A es 4 veces mayor que la distancia al punto B. A) (3; 5) B) (4; 5) C) (-4; 5) D) (4; -5) E) (-4; -5) 03. Los vértices de un cuadrilátero son A(-3; -1), B(0; 3), C(3; 4) y D(6; -3). Calcular el punto medio del segmento que se obtiene al unir los baricentros de los triángulos ABC y ACD. A) (0; 1) B) (1; 0) C) (1; 1) D) (1, 2) E) (2; 1)

A) (-3; 2) D) (-8; 3)

B) (-5; 2) E) (-7; 3)

C) (-4; 5)

09. Del gráfico mostrado, determine la distancia de “P” a “Q”

04. Hallar el área del polígono cuyos vértices son: A(1; 5), B(-2; 4), C(-3; -1), D(3; -3) y E(5; 1) 2 2 A) 41 u 2 C) 39 u B) 45 u2 2 D) 36 u E) 52 u

05. Calcular el área del triángulo ABC; A= (-6; -8), B(-4; 3) y C(8; -2) 2 2 2 A) 29 u B) 32 u C) 35 u 2 2 D) 39 u E) 71 u 06. Los puntos P(7; 3) y Q(5; 1) son los puntos medios de los lados de un triángulo ABC; siendo el baricentro del triángulo el punto G(5; 3), determine la suma de los cuadrados de las medianas del triángulo ABC A) 36 B) 72 C) 81 D) 120 E) 144

A) 2 D) 3

B) 5 E) 7

C) 8

10. Los extremos de un segmento son A(1; 5) y B(10; 20). Determine las coordenadas de los puntos que trisecan a dicho segmento. A) (4; 10) y (8; 15) B) (4; 10) y (7; 15) C) (6; 10) y (8; 15) D) (3; 10) y (7; 15) E) (5; 10) y (9; 15)

07. Sabiendo que el vértice de un triángulo es A(3; 5) y el punto medio de su lado opuesto es M(9; -1), hallar las coordenadas del baricentro A) (3; -1) B) (7; -1) C) (5; 1) D) (7; 1) E) (1; -7)

-70-

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Trigonometría

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR Un ángulo trigonométrico está en posición normal o estándar, cuando su lado inicial pertenece al semieje positivo de abscisas y su lado final a cualquier parte del plano. Teniendo su vértice en el origen de coordenadas.

N É

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Caso general :

Si “"” es un ángulo positivo y menor de una vuelta se cumple :

Se observa que : t

" 0 IIC $ 0 IIIC 2 0 IVC

t

Los ángulos M y T no pertenecen a un cuadrante

" 0 IC ] 90/ > " > 0/ " 0 IIC ] 180/ > " > 90/ " 0 IIIC ] 270/ > " > 180/ " 0 IVC ] 360/ > " > 270/

Si “2” es un ángulo negativo se cumple : ÁNGULOS CUADRANTALES 2 0 IC ] -270/ > 2 > -360/ 2 0 IIC ] -180/ > 2 > -270/ 2 0 IIIC ] - 90/ > 2 > -180/ 2 0 IVC ] 0/ > 2 > -90/

Son aquellos ángulos que ubicados en posición normal tienen su lado final sobre los semiejes coordenados. Los ángulos cuadrantales son múltiplos de 90/ o la forma : 90/ k o

rad, tienen

rad siendo “k” un entero (k 0 Z)

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESTÁNDAR

Ubicación de un ángulo positivo y negativo

-71-

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Sen" =

Ctg" =

(y … 0)

Cos" =

Sec" =

(x … 0)

Csc" =

(y … 0)

Tg" =

(x … 0)

Trigonometría Si “"” y “2” son ángulos coterminales se cumple : I.

" - 2 = 360/ k ó " - 2 = 2kB, k 0 Z

II.

R.T(") = R.T(2)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CUADRANTALES

N É

TABLA DE SIGNOS

Sen

I

II

III

IV

+

+

-

-

+

-

-

+

Tg

+

-

+

-

Ctg

+

-

+

-

Sec

+

-

-

+

Csc

+

+

-

-

ÁNGULOS

0/

90/

180/

270/

360/

Sen

0

1

0

-1

0

Cos

1

0

-1

0

1

Tg

0

ò

0

ò

0

Ctg

ò

0

ò

0

ò

Sec

1

ò

-1

ò

1

Csc

ò

1

ò

-1

ò

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P Cos

DE

Para estos cálculos usamos los conceptos anteriores con un radio unitario.

Qué signo tiene; P = Sen(-200/) + Tg950/

ÁNGULOS COTERMINALES

Son aquellos ángulos trigonométricos que ubicados en posición normal, tienen el mismo lado inicial y final (con vértice común)

Ejemplos : Sen

=1

Tg

=ò

Cos

=0

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si P(-6; -8) 0 al lado final del ángulo “2” en posición estándar, calcular : Sec2 + Tg2 A) 3

B) -3

D)

E) 1

04. Hallar : si : Tg" = A) 17/25 D) 25/17

C) -

05. Calcular :

Sen" - Cos" ; " 0 IIIC B) -25/17 E) 1/17 A=

C) -17/25

Cscx - Ctgx

02. Si el lado final del ángulo “2” en posición estándar pasa por el punto medio del segmento donde A(-1; 1) y B(5; 7), calcular : Tg2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) -4 03. Si: Sen2 = -15/17, 2 0 IIIC, calcular: M = Sec2 + Tg2 A) -1/4 B) 1/4 C) -4 D) 4 E) 2

A) 3 D) 6 -72-

B) 4 E) 7

C) 5

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Trigonometría

06. De la figura hallar : 5Sen$ + 13Cos"

13. Determinar el valor de verdad. ( ) Todo ángulo del IC es positivo. ( ) Si Cos2 = - 1 Y 2 0 IC w 2 0 IVC ( ) Si " es negativo Y Sen" es negativo A) VVV D) VVF

B) FVF E) FFV

C) VFV

B) 4 E) -2

C) 2

N É

14. Reducir :

A) 1 D) -7 07. Si 8

Tg2

B) -1 E) 8

C) 7

L L

A) 1 D) -4

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

= 4 además : 2 0 IIIC, calcular : Sen2Cos2

A) 2/13 D) -6/13

B) 3/13 E) -3/13

15. Si : x = Cos1/Cos2/Cos3/ .... Cos179/ calcular : Senx + Cosx A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) -2

C) 6/13

08. Si : Sen" < 0 y Tg" > 0 indicar el cuadrante de " A) IC D) IVC

B) IIC E) F.D.

16. Calcular :

C) IIIC

09. Indicar el cuadrante de 2: Tg2 + 2Sen30/ < Tg45/ Sec2 < 0 A) IC D) IVC

P=

B) IIC E) F.D.

A) 1 D) -2

B) 2 E) -3

C) -1

17. Calcular el valor de :

C) IIIC

Cos(SenB + TgB) - Sec(BSen

A) 1 D) -2

10. Si : " 0 IIC y $ 0 IIIC, indique el signo de la siguiente expresión :

B) -1 E) 3

C) 2

B) -1 E) -2

C) 0

)

18. De la figura :

A) (+) D) (+) y (-)

B) (-) C) (+) ó (-) E) No se puede afirmar

11. Si: Sen"

< 0, encontrar el signo de: Tg" + Ctg"

A) + D) + ó -

C) + v -

B) E) F.D.

calcular : A) 1 D) 2

12. Si " es un ángulo positivo y menor que una vuelta del IIC, determinar el signo de : M = Sen

Sen

19. Si " y $ son ángulos coterminales, no cuadrantal, encontrar el signo de la expresión : Sen"Sen$Cos"Cos$ A) + ó B) + y C) + D) E) F.D.

y

N = Sen2"Cos A) +; + D) -; +

B) +; E) N.A.

20. ¿Qué ángulo no es coterminal de (-10/)? A) -730/ B) 350/ C) 1 070/ D) 710/ E) 1 420/

C) -; -

-73-

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Trigonometría

TAREA 01. Si se cumple : 3Tgx + 4 = 0; x 0 IVC calcular : A = Cscx - Ctgx A) 1/2 B) -1/2 C) -1/3 D) 1/3 E) -1/4

07. Resolver la ecuación :

02. Si M punto medio de AB, calcular : A = Csc2 - Ctg2

08. Según el gráfico mostrado, calcular: Sec2 + Csc2

xSec0+(x-1)TgB-(x+1)Sen A) 0 D) -2

N É

2

= x CosB+Csc

B) 1 C) -1 E) Hay 2 respuestas

L L

A) -2 D) 2

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P B) -1 E) 1

C) 3

03. Calcular el valor de : 4Tg0/ + 2Sen90/ - 3Cos180/ - 11Cos360/ A) 6 B) -6 C) -11 D) -5 E) -1

A)

B) 2

D) -2

E) 1

C) -

09. Siendo “2” positivo y menor que una vuelta perteneciente al IVC; determine el signo de : y Q = Cos

04. Calcular :

A) +; + D) -; +

A) 1/2 D) 1/9

B) 1/4 E) 1/6

B) -; E) N.A.

C) +; -

C) 1/3

10. Si :

Tg" + 2

Ctg$ + 3

2 -5 =0 además : " 0 IIC v $ 0 IVC calcular : Cos" . Cos$ A) -1/5 B) 3/5 C) -2/5 D) 2/5 E) -3/5

05. Si " y $ son ángulos coterminales calcular: Cos" - Cos(" - $) - Cos$ A) 0 B) 1 C) -1 D) -1/2 E) 1/2 06. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2 ( ) Sen30/ + Sen 45/ = -Cos180/ ( ) Sec180/ + Tg180/ = Ctg45/ ( ) Cos60/ - Cos0/ = Sen270/ - Sec30/ A) VVF B) FFV C) VFF D) VFV E) FVF

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE OBJETIVO Utilizar la reducción al primer cuadrante para casos especiales como son los ángulos complementarios, suplementarios, etc.

I.

R.T.

Reducir al primer cuadrante consiste en relacionar las razones trigonométricas de ángulos en posición estándar con las razones trigonométricas de ángulos agudos (ángulos del primer cuadrante)

II.

= ±Co - R.T(x)

Ejemplo: Reducir al primer cuadrante

CASOS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Para el estudio de reducción al primer cuadrante, se presentan los siguientes casos: I.

Primer caso

Sen(90/ + x)

= ....................................................

Tg(270/ + x)

= .................................................... = ....................................................

Cuando se trata de ángulos positivos, menores de una vuelta. Cuando se trata de ángulos negativos.

-74-

Tg120/

= ....................................................

Sec240/

= ....................................................

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Trigonometría Ejemplo 2 : Sen2110/ = Sen310/

R.T.

= ±R.T(x)

Porque :

Ejemplo: Reducir al primer cuadrante Tg(180/- x)

= ....................................................

Sen(360/- x)

= ....................................................

Sec(B - x)

= ....................................................

Csc(2B - x)

= ....................................................

Luego : Sen310/ = -Sen50/

N É

ÁNGULOS RELACIONADOS

L L 1.

Tg120/

II.

" + $ = 90/

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Sec300/

= ....................................................

Donde :

= ....................................................

Para ángulos negativos

!

R.T. " = Co - R.T. $

Sen" = Cos$ Tg" = Ctg$ Sec" = Csc$

Ejemplos : Sen10/ = Cos80/ Tg30/ = Ctg60/ Sec20/ = Csc70/

Sen(-x) = -Senx Cos(-x) = Cosx Tg(-x) = -Tgx

2.

" + $ = 180/

!

R.T. " = ±R.T. $

Ctg(-x) = -Ctgx

Sec(-x) = Secx

NOTA : Sólo (+) en seno y cosecante

Csc(-x) = -Cscx

Ejemplos : Sen130/ = Sen50/ Cos120/ = -Cos60/ Tg170/ = -Tg10/

Ejemplo:

Sen(-20/)

= ....................................................

Cos(-60/)

= ....................................................

Tg(-80/)

= ....................................................

Sec(-210/)

= ....................................................

2.

" + $ = 270/

!

R.T. " = ±Co - R.T. $

NOTA : Sólo (+) es tangente y cotangente Ejemplos : Sen240/ = -Cos30/ Cos210/ = -Sen60/ Tg250/ = Ctg20/

ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE 360/ En este caso el ángulo en consideración (x), se divide entre 360/, descartando el cociente (n) y tomando el residuo ("), en lugar del ángulo original. Por ejemplo : (x > 360/) 4.

" + $ = 360/

!

R.T. " = ± R.T. $

R.T. (x) = R.T(360/(n) + ") = R.T.(") NOTA : Sólo (+) en coseno y secante

Donde : NOTA : Si “"” es mayor de 90/, se sigue reduciendo

Ejemplos : Sen300/ = -Sen60/ Cos350/ = Cos10/ Tg280/ = -Tg80/

Ejemplo 1 : Tg1140/ = Tg60/ = Porque :

-75-

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ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”

Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular : Sen(180/-2)+Cos(180/-2)+Sen(180/+2)+Cos(180/+2) A) 1 B) 0 C) -1 D) 2Sen2 E) -2Cos2

11. ¿Cuál es el Sen3 615/?

B) -4 E) -10

C) -6

03. Siendo " y $ complementarios, reducir :

B)

D)

E)

N É

02. Calcular : 2Sen150/ + 3Tg135/ + 4Csc330/ A) -2 D) -8

A)

C)

12. Simplificar :

L L

A) 0 D) 2Tgx

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

B) 2 E) -2Tgx

C) -2

13. Reducir :

A) 1 D) 0

B) 2 E) -2

04. Si : x + y =

A) -7 D) -4

Sen(" - 180/) + Cos(" - 270/) A) 0 B) 2Sen" C) 2Cos" D) -2Sen" E) -2Cos"

C) -1

, calcular :

B) -6 E) -3

14. Reducir : A) D) 2

C) -5

B) -3 E) 5

C) 1

15. Indique la veracidad o falsedad de las proposiciones: ( ) Sen (-x)Cos (-x) = SenxCosx ( ) Sen (-x)Tg (-x) = SenxTgx ( ) Cos (-x)Ctg (-x) = CosxCtgx ( ) Sen (-x)Sec (-x) = Tgx A) FVVF B) FVVV C) FVFF D) FFVF E) FFFV

05. Indique la veracidad o falsedad de las proposiciones: ( ) Sen (90/ + x) = -Cosx ( ) Cos (180/ + x) = -Cosx ( ) Sen (270/ - x) = -Cosx ( ) Cos (360/ - x) = -Cosx Considere a “x” como un ángulo agudo A) FVVV B) FVVF C) FVFF D) FVFV E) VFFV

16. Calcular el valor de : P = Cos10/ + Cos30/ + Cos50/ + .... + Cos170/ A) 1/2 B) 0 C) /2 D) 1 E) -1

06. Simplificar :

17. Si " y 2 son suplementarios, calcular : Cos(Cos" + Cos2) + Tg(Tg" + Tg2) A) Tgx D) -1

B) -Tgx E) -2

A) 1 D) 2

C) 1

+ Tg(2B + 2C)Ctg2A

08. Calcular :

A) 1 D) -2

Sen780/Cos1 200/Tg1 215/ B) -1/2 C) -1 E) /2

B) VFVF E) VFFF

B) Sen3x E) 3Cosx

C) 2

20. Si : $+2=180/, reducir : Sen$+Sen2+Cos$+Cos2+Tg$+Tg2 A) 2Sen$ D) -2Sen$

C) VVFF

10. Reducir : Cos(8B + x) + Cos(10B + x) + Cos(14B + x) A) Senx D) 3Cos3x

B) -1 E) 0

19. Si : x + y + z = 180/, calcular : Tg(x + y)Ctgz + Tg(x + z)Ctgy + Tg(y + z)Ctgx A) 1 B) 3 C) -1 D) -3 E) 0

09. Indique la veracidad o falsedad de las proposiciones: ( ) Sen (360/ + x) = Senx ( ) Cos (720/ - x) = Cosx ( ) Tg (1080/ + x) = Tgx ( ) Ctg (1440/ - x) = Ctgx A) VVVF D) VVVV

C) 0

18. En un )ABC, reducir :

07. Calcular : “x” si A - B = 180/ y SenA=x-3; SenB=2/x A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 4

A) 1/2 D) 1

B) -1 E) -2

C) 2Sen2x

-76-

B) 2Cos$ E) -2Cos$

C) 2Tg$

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Trigonometría

TAREA 01. Reducir : Sen(180/+x)+Cos(90/+x)+Senx+Cos(270/+x) A) -1 D) Senx

B) 0 E) Cosx

08. Calcular :

C) 1

A) 2 D) 8

N É

02. Calcular :

A) 3/11 D) 3/17

C) 6

B) Cosx E) N.A.

C) Sen x

09. Simplificar : B) 3/13 E) 3/19

C) 3/16

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

03. De las siguientes proposiciones : I. Sen(720/ + 2) = Sen2 II. Cos(1 080/ - ") = Cos" III. Tg(1 800/ - $) = Tg$ son verdaderas : A) I B) II C) III D) Todas E) I y II

4

10. Si : SenA - 2CosA = 0, calcular :

A) -1/8 D) 5/8

05. Si " + 2 = 360/, reducir :

B) 2 E) -2

4

A) Cos x D) Senx

04. Calcular : 4Sen(-150/) + 3Tg(-225/) + 2Sec(-300/) A) -5 B) -4 C) -9 D) -1 E) 1

A) 1 D) -3

B) 4 E) 10

C) 3

06. Calcular el valor de : Sen150/-Cos120/+Tg135/ A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

07. Calcular el valor de : Sen120/ Cos330/ A) /4 B) /2 C) 1/4 D) 3/4 E) 1

-77-

B) 3/8 E) -5/4

C) -5/8

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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA : SENO - COSENO Es aquella circunferencia inscrita en el plano cartesiano, con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad del sistema.

N É

1 0 IC 4 0 IIIC

L L

2 0 IIC 5 0 IVC

3 0 IIC 6 0 IVC

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Representan una abscisa u ordenada (segmentos dirigidos) LÍNEA SENO : Está representada por la ordenada del extremo del arco

Elementos de la C.T. A(1; 0) M(x; y) B(0; 1) A' (-1; 0) B' (0; -1) ET EC

: : : : : : :

Origen de arcos Extremo del arco (2) Origen de complementos Origen de suplementos No tiene nombre Eje de tangentes Eje de cotangentes

y = Sen2 Y M(x; y) = M(x, Sen2) su extensión : -1 # Sen2 # 1

LÍNEA COSENO : Está representada por la abscisa del extremo del arco.

RELACIÓN ENTRE EL ARCO Y EL ÁNGULO CENTRAL 2 : Longitud de arco " : Medida del Ë central Y " = 2 rad Ejemplo :

x = Cos2 Y M(x; y) = M(Cos2; y) su extensión : -1 # Cos2 # 1

-59-

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Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Hallar el área de la región sombreada

A) Sen2-Cos2

B)

D)

E)

C) Sen2+Cos2

N É

08. Hallar la suma de los valores enteros de x a partir de:

A) Sen2

B) Cos2

D)

E) Sen2Cos2

C)

Sen2

L L

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

Cos2

C) 6

09. Calcular : Cos1/Cos2/Cos3/Cos4/.........

02. Determinar el mínimo valor de: Sena+3Cosb+5Sen4c (a…b…c) A) - 5 B) - 4 C) - 3 D) - 2 E) - 1

A) 1 D) 0

B) 2 E) F.D.

C) 3

10. Hallar el máximo valor de : F(x) = Senx+Cosx

03. Afirmar si es (V) o (F) : ( ) El seno es creciente en el IIQ ( ) El coseno es creciente en el IIIQ ( ) El seno es decreciente en el IIQ A) FFV B) VVF C) VFV D) FVF E) FVV

A)

B) 2

D)

E) 2

C)

/2

11. En la C.T. hallar el área de la región sombreada:

04. Hallar el intervalo de x, a partir de :

A) 1 #x # 3 D) 2 # x # 4

B) 1 # x # 4 E) 1 # x # 5

C) 2 # x # 5

05. A partir de la figura, hallar AB - CD

A) Sen"+Sen2

B) Sen"-Sen2

C) Sen2-Sen"

D)

E)

A) Sen"

B) Cos"

D)

E) 1

Cos"

C)

Sen"

12. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? A) Sen40/ B) Sen100/ C) Sen160/ D) Sen220/ E) Sen280/

(Sen"+Sen2)

13. Hallar los valores de “k” si :

(Sen"-Sen2)

Sen"= 06. Hallar los signos de : A=Cos4/ Sen3/ Cos2/ B=Sen6/ Cos5/ Sen4/ A) (+)(+) B) (+)(-) D) (-)(-) E) B y C

A) [-1; 1] D) [-2; 3] C) (-)(+)

14. Si : Senx=

B) [-1; 2] E) [-1; 4]

; hallar la suma de todos los valores

enteros que puede tomar “a” A) 6 B) 7 D) 9 E) 10

07. A partir de la figura hallar OB

15. Si : 2 0 IVC y Sen2= puede tomar “a”? A) 3 B) 4 D) 6 E) 7

-60-

C) [-1; 3]

C) 8

, ¿cuántos valores enteros C) 5

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ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”

16. Si :

Trigonometría 19. Determine el intervalo de “k” si se cumple la siguiente igualdad :

< x < y < B, entonces :

I. Senx < Senx II. Cosx < Cosy III. Senx > Cosy es(son) verdadera(s) : A) Sólo I B) Sólo II D) I y II E) Todas 17. Si : Cosx=

A) [-14; -6] D) [4; 12]

C) [-12; -4]

C) Sólo III

N É

20. Al simplificar la expresión :

, calcular la suma de todos los

valores enteros de “a” A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

B) [-13; -5] E) [5; 13]

L L

se obtiene : A) 2Cosx D) 2

C) 0

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

18. Calcular A . B donde A y B representan los valores mínimos de la expresión : 5 - 3 Cosx A) -15 B) -6 C) 8 D) 15 E) 16

B) 2Ctgx E) 1/2

C)

TAREA

01. Hallar el valor de :

A) - 0,5 D) - 3,5

B) - 1,5 E) - 4,5

02. Hallar el máximo valor de : A=3Senx-4Cos2y+Sen3z A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

07. Afirmar si es (V) o (F) ( ) SenKB=0 (K 0 Z) ( ) Cos(2K-1)B= -1 ( ) Cos KB =(-1)K A) FVF D) VVV

C) - 2,5

B) II E) F.D.

04. Si: B/2 < x1 < x2 < B afirmar si es (V) o (F) ( ) Cosx1 > Cosx2 ( ) Senx1 < Senx2 ( ) Senx2 Cosx1 < 0 A) VFV B) FFV D) VVF E) VVV

(x…y…z)

A) Sen220/; Sen110/; Sen20/ B) Sen110/; Sen220/; Sen20/ C) Sen110/; Sen20/; Sen220/ D) Sen220/; Sen20/; Sen110/ E) Sen20/; Sen220/; Sen110/

C) 6

C) IV

09. Calcular el valor de : N=Sen241(B/2) - Cos743B + Sen140B A) 1 D) - 2

C) ]-3; 2[

06. Hallar el intervalo de x si :

A) 3 # x # 5 D) 3 < x # 5

B) 2 < x < 5 E) 2 < x < 5

C) 2

B = SenMCos"CosM A) (+)(+) D) (-)(+)

B) ]-3; -2[ E) ]1; 3[

B) - 1 E) 4

10. Si " 0 IIQ; 2 0 IIIQ, M 0 IV Q hallar el signo de

C) FVV

05. Si 2 0 IIQ, hallar el intervalo de “n” a partir de

A) ]2; 3[ D) ]-2; 3[

C) FVV

08. Ordenar de mayor a menor : Sen20/; Sen110/, Sen220/

03. ¿En qué cuadrante el seno y coseno son crecientes? A) III D) I

B) VVF E) FFF

C) 3 # x < 5

-61-

B) (-)(-) E) F.D.

C) (+)(-)

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Trigonometría

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA : TANGENTE - COTANGENTE LÍNEA TANGENTE : Está representada por la ordenada del punto de intersección entre el eje de tangentes y la recta que pasa por el origen de coordenadas y el extremo del arco.

N É

LÍNEA COSECANTE : Está representada por la ordenada del punto de intersección entre el eje de las ordenadas y la recta tangente trazada por el extremo del arco

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P y = Tg2 Y T(1; y) = T(1; Tg2) su extensión : -4 < Tg2 < +4

LÍNEA COTANGENTE : Está representada por la abscisa del punto de intersección entre el eje de las cotangentes con la recta que pasa por el origen de coordenadas y el extremo del arco.

y = Csc2 Y C(0; y) = C(0; Csc2) su extensión : Cos2 # -1 w Csc2 $

1

LÍNEAS AUXILIARES I.

Senoverso o verso : Vers2 = 1 - Cos2 0 # Vers2 # 2

II.

Cosenoverso o coverso : Cov2 = 1 - Sen2 0 # Cov2 # 2

x = Ctg2 Y T(x; 1) = T(Ctg2; 1) su extensión : -4 < Ctg2 < +4

LÍNEA SECANTE : Está representada por la abscisa del punto de intersección entre el eje de las abscisas con la recta tangente trazada por el extremo del arco

III. La ex - secante o external : ExSec2 = Sec2 - 1 ExSec2 # - 2 w ExSec2 $ 0

x = Sec2 Y S(x; 0) = S(Sec2; 0) su extensión : Sec2 # -1 w Sec2 $ 1

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Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 10. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.

01. Si B < x1 < x2 < ( ) Sen x1 > Sen x2 ( ) Tg x1 > Tg x2 ( ) Cos x1 > Cos x2 A) VVF B) VFV D) FVV E) VFF

N É

C) FFV

02. Ordenar de mayor a menor : Tg20/, Tg250/.Tg300/ A) Tg300/; Tg250/, Tg20/ B) Tg20/; Tg250/, Tg300/ C) Tg250/; Tg20/, Tg300/ D) Tg300/; Tg20/, Tg250/ E) Tg20/; Tg300/, Tg250/

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P A)

Tg2

D) Ctg2

B)

Ctg2

C) Tg2

E) 1

11. Indicar el mayor valor de : Tg50/; Tg120/; Tg140/; Tg240/; Tg300/ A) Tg50/ B) Tg120/ C) Tg140/ D) Tg240/ E) N.A

03. Siendo (K) un número entero, hallar todos los arcos cuya tangente no se encuentra definida A) KB/2 B) KB C) 2KB D) (2K-1)B E) (2K-1)B/2

12. Hallar el signo de : Tg1 Ctg2 Tg3 A) + B) C) + o D) + y E)

04. ¿En qué cuadrante la línea tangente aumenta en valor absoluto? A) I B) II C) III D) IV E) I y III

13. Si 0 < " < 2
0 A) I y II B) III y IV C) II y III D) I y IV E) II y IV

señalar verdadero (V) o falso (F) ( ) Tg" < Tg2 ( ) Ctg" > Ctg2 ( ) Tg"Ctg2 > 0

06. ¿En qué cuadrantes el seno y la tangente crecen en valor relativo? A) I y II B) II y IV C) I y IV D) III y IV E) II y III

A) VVV D) FVV

A) 2 D) 0 08. Si:

+ Sen 243 B) 3 E) -2

C) VFF

14. Hallar el área de la región sombreada:

07. Calcular el valor de : A=Tg

B) VVF E) FVF

+Tg200B C) 1

< x1 < x2 < 2B; afirmar si es (V) o (F)

( ) Tgx1 < Tgx2 ( ) Senx1 < Senx2 ( ) Cosx1 < Cosx2 A) VVF B) FVV D) VVV E) FFV

A) Sen"+Cos"

B)

(Sen" + Cos")

C)

(Sen" + Tg")

D)

(Cos" + Ctg")

E)

(Cos" + Tg")

C) VFV

09. En la figura hallar PT

15. Hallar PT

A) Sen2Cos2 D) Sec2Tg2

B) Sen2Tg2 E) Csc2Tg2

C) Cos2Tg2 A) Tg2+Sen2 D) Ctg2-Cos2 -63-

B) Ctg2+Cos2 C) Tg2 - Sen2 E) Cos2-Sen2

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ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”

Trigonometría

16. Calcular el máximo valor de la expresión: 2 3 - 2Tg x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

19. Hallar el área de la región sombr+eada:

17. Señalar verdadero o falso : ( ) Si

0

( ) Si

y, se cumple:

I.

Si: " + $ + 2 = 180/ (triángulos)

II.

Si: " + $ + 2 = 360/

2Senx Cosy = Sen(x+y) + Sen(x-y) 2Seny Cosx = Sen(x+y) - Sen(x-y) 2Cosx Cosy = Cos(x+y) + Cos(x-y) 2Senx Seny = Cos(x-y) - Cos(x+y)

SERIES TRIGONOMÉTRICAS

NOTA: a : 1er ángulo u : último ángulo

r : razón de la P.A. n : número de términos

-69-

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ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”

Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Reducir:

11. Para un triángulo ABC reducir:

P = Sen2x + 2Senx . Cos3x A) -Sen4x B) Sen4x C) -Sen2x D) Sen2x E) 2Senx

Y=

N É

A) Tg

02. Calcular: P = 2Sen20/.Cos25/+Sen5/ A)

B) 2

.Tg

.Tg

B) Ctg

C) 1 E) 0

L L

C)

.Ctg

.Ctg

D) -1

12. Para un triángulo ABC, reducir:

D)

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P E)

03. Si: 2Sen

.Cos

hallar: A+B A) 1 D) 7

A) SenA . SenB . SenC B) CosA . CosB . CosC

= SenAx+SenBx

B) 2 E) 8

C) 3

04. Simplificar:

B) Tg2A E) -Tg6A

2

C) Tg6A

2

B) Sen 2" E) Cos4"

B) -Cos8x E) 2Cos4x

2

C) Cos 2"

D) 2Sen

. Sen

. Sen

14. Reducir: P = Sen1/ + Sen2/ + Sen3/ + ... + Sen180/ A) Tg30/ D) Ctg1/

C) Cos6x

A) Senx.Cos3x C) Sen2x.Sen4x E) Sen4x.Cos2x

B) Cos4x.Cos2x D) Sen2x.Cos4x

A) Senx . Sen6x . Sen8x B) Cosx . Cos6x . Cos5x C) Sen5x . Sen6x . Cscx D) Senx . Sen6x . Csc5x E) Senx . Sen9x

P=

09. Transformar:

C) Ctg30'

16. Transformar a producto: P = Sen2x + Sen4x + Sen6x + Sen8x + Sen10x

08. Reducir:

B) 2Sen3x E) Tg3x

B) Tg1/ E) 0

15. Calcular: 2 2 2 2 P = Sen 10/ + Sen 20/ + Sen 30/ + ... +Sen 90/ A) 0 B) 15 C) 10 D) 5 E) 2

07. Simplificar: P = Sen7x . Cos5x - Sen3x . Cos9x

A) 2Cos3x D) Cos3x

. Cos

A) 1 B) Senx . Seny . Senz C) 4Senx . Seny . Senz D) 4Cosx . Cosy . Cosz E) Cosx . Cosy . Cosz

06. Simplificar 2 2 P = (2Sen5x . Cosx - Sen6x) - Cos 4x A) Cos8x D) -Cos6x

. Cos

13. Si: x + y + z = 90/ reducir: P = Cos2x + Cos2y + Cos2z - 1

05. Reducir: 2 P = Cos0-(2Sen3".Cos"-Sen4") A) Sen 2" D) Sen2"

C) 2Cos

E) 1

P=

A) -Tg8A D) Tg8A

E=

C) Sen3x

17. Hallar el máximo valor de: P = 2Cos(x+45/) . Cosx

4

P = 8Sen x A) 3 - 4Cos2x + Cos4x C) 3 - 4Cos2x - Cos4x E) 6 + Cos2x - Cos4x

B) 3 + 4Cos2x + Cos4x D) 6 - Cos2x + Cos4x

2

P=Sen("+$) . Sen("-$) + Sen($+2) . Sen($-2) + Sen 2 2

2

B) Sen $ 2 E) Cos 2

B) 4

D)

E)

C) 2

18. Transformar a producto: P = 1 - 4Senx . Sen3x A) Sen5x . Cscx B) Sen5x . Secx C) Cos5x . Cscx D) Cos5x . Cosx E) Cos5x . Secx

10. Reducir:

A) Sen " 2 D) Cos "

A) 2+

2

C) Sen 2

-70-

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ASOCIACIÓN EDUCATIVA “PITÁGORAS”

Trigonometría

19. Hallar: A + B en la identidad 2 Senx . Cos x = ASenx + BSen3x

20. En un triángulo ABC se cumple: SenB + SenC = 2Sen A Calcular: Tg

A) 0

B)

D) 1

E) -1

. Tg

C) B)

D)

E)

N É

07. Reducir: P = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x + Sen9x

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

P = 2Sen3x . Cosx - Sen4x A) Senx B) Sen2x C) Sen3x D) Sen5x E) Sen6x

Csc8x

D)

Csc4x

E)

Csc9x

C)

3

Y = 4Sen x A) Senx-Sen3x B) Senx+Sen3x C) 3Senx-Sen3x D) 3Senx+Sen3x-1 E) 2Senx-Sen3x+1

P=

B)

B) Sen 5x.Cscx D) Sen5x.Senx

08. Transformar:

03. Reducir:

Sec8x

2

A) Sen5x.Cosx 2 C) Cos 5x.Cscx E) Cos5x.Senx

02. Calcular: P = Cos80/ + 2Sen70/ . Sen10/ A) 1 B) 0,5 C) -0,5 D) 1,5 E) 2

A)

C) 9

L L

TAREA 01. Reducir:

A)

09. Hallar el mínimo valor de: P = 2Sen(45/+x) . Cosx

Sec4x

04. Reducir: P = Sen7" . Cos" - Cos5" . Sen3" A) Cos8" B) Cos4".Cos2" C) Sen8" D) Sen4".Cos2" E) Sen".Sen2"

A)

B) 2

D) -1

E)

C) -2

10. Si: " + $ + 2 = 180/ indicar (V) o (F):

05. Reducir:

( ) Sen"+Sen$+Sen2 = 4Cos

.Cos

.Cos

( ) Cos"+Cos$+Cos2 = 4Sen

.Sen

.Sen

P= A)

B) 1

D) -

E)

C) -1

( ) Sen2"+Sen2$+Sen22 = 4Sen".Sen$.Sen2 A) VVF D) FVV

B) VVV E) VFV

06. Transformar a producto: P = 4Cosx . Cos3x + 1 A) Sen5x.Senx B) Sen5x.Cscx C) Sen5x.Secx D) Cos5x.Cosx E) Sen7x.Senx

FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS z

NOTACIONES PARA EL ARCO : Notación Inglesa Todo arco o ángulo puede ser expresado en términos del valor de sus razones trigonométricas; así por ejemplo si se tiene que : R.T(2)=n, entonces “2” es el arco o ángulo cuya R.T es igual a “n”

Ejemplos:

Notación Francesa

-71-

Si: Sen"=

! "= ArcSen

Si: Cos2=

! 2=ArcCos

Si: Tg$ =

! $=ArcTg

C) FFF

+1

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Trigonometría

z EXPRESIONES EQUIVALENTES: 2=Arc R.T(n)

< >

VALOR PRINCIPAL DEL ARCO (V.P.) Se llama así a aquel valor del arco que verifica una determinada igualdad y que se encuentra en los intervalos donde se definen las funciones trigonométricas inversas; siendo estos intervalos los siguientes :

R.T(2)=n

Ejemplos : Si: 2=ArcSen

! Sen2 =

N É

# ArcSen(x) #

Si: "=ArcCos

! Cos" =

L L

0 # ArcCos(x) # B

Si: $=ArcTg

! Tg$ =

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

OBSERVACIÓN

# ArcTg(x) #

-

Todo arco o ángulo se puede expresar de seis formas diferentes, todas ellas equivalentes entre sí, esto se debe a que son seis las razones trigonométricas del ángulo o arco que se pueden calcular, es decir:

0 < ArcCtg(x) < B

0 #

-

#

#

Estos intervalos muestran el RANGO de las funciones inversos.

PROPIEDAD

Sen2 =

! 2=ArcSen

Cos2 =

! 2=ArcCos

PROPIEDAD œ x 0 Dom(F-1)

! 2=ArcTg

Tg2 =

Ctg2 =

! 2=ArcCtg

Sec2 =

! 2=ArcSec

Csc2 =

! 2=ArcCsc

PROPIEDAD

Ejemplo: Calcule el valor de: S = 4 + 13Sen(ArcCos

)

Resolución: Sea : " =ArcCos(

)

0

S=4+13Sen" también: -1 F(F (n)) = x ; -1 œ x 0 Dom(F)

Ejemplo: Ë Tg(ArcTg5) = 5

Como : Cos" = -1

F (F(x)) = x ; -1 œ x 0 Ran(F )

Luego se tendrá: S=4+13Sen" !

ˆ

Ejemplo: # ArcSen(Sen150/) = -30/ \ Sen30/

S=9

-72-

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Trigonometría

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular:

09. Hallar x:

" = ArcSen

+ 2arcTg1 - ArcSec2

A)

B)

D)

E) -

C) 0

N É

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P B) FFF E) FVV

D)

B)

-ArcCtg3)} C)

D) -

E) 2

C) -3

E)

B)

2 = ArcCos

A) 0

B) B

D)

E) -B

+ ArcCos C) 2B

13. Calcular: 2 = ArcSen(-1) + ArcCos(-1) + ArcTg(-1)

C)

E)

A)

B) 2B

D) B

E)

C)

14. Si: ArcSenx + ArcSeny + ArcSenz =

;

x, y, z 0 [-1; 1] calcular: ArcCosx + ArcCosy + ArcCosz

06. Indicar (V) o (F): ( ) Sen

C) VVF

12. Calcular:

05. Calcular: 2 2 P = Sec (ArcTg ) + Ctg (ArcCsc5) A) 15 B) 20 C) 30 D) 24 E) 16

( ) Tg(ArcTg

B)

11. Indicar (V) o (F) ( ) ArcSen(-x) = -ArcSenx ( ) ArcCos(-x) = -ArcCosx ( ) ArcCtg(-x) = -ArcCtgx A) VVV B) FFF D) VFF E) VFV

C) VVF

04. Calcular:

A)

A) 3

)=

03. Calcular: " = ArcCos{Tg (ArcSec

D) B

C)

E)

L L

=

( ) ArcTg(-1) = ( ) ArcCos(

B)

10. Calcular:

( ) ArcSen

A)

A) D)

02. Indicar (V) o (F):

A) VVV D) VFV

si: ArcSen(3x-1) = ArcTg

=

A) 2B

B) B

D)

E)

C)

)=

( ) Sec

=

A) VVV D) VVF

B) FFF E) FFV

15. Indicar (V) o (F): ( ) ArcSen C) VFV ( ) ArcCos

07. Reducir: ( ) ArcTg A) 0,6 D) -0,8

B) -0,6 E) 0,5

A) VVV D) FVV

C) 0,8

B) VVF E) FFV

C) FFF

16. Calcular: 08. Calcular: 2 = ArcSec(Tg60/)+ArcCsc(2Sen60/) A)

B)

D) 0

E)

2 = ArcTg

C)

-73-

A)

B)

D)

E) B

+ ArcTg C)

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Trigonometría

17. Calcular:

19. Hallar el equivalente de: " = ArcTg2 + ArcTg3

A)

B)

D)

E)

ArcSec

C)

2

A) ArcCos(2x -1) 2 C) ArcCos(x -1) E) ArcCos(

B) ArcCos(2x) D) ArcCos( -1)

+1)

A) ArcTg

B) ArcTg

D) ArcTg

E) ArcTg

N É

18. Hallar el equivalente de: 2ArcCosx

;

x>1 C) ArcTg

20. Si: ArcCosx + ArcCos y = B calcular: P = Ctg(ArcCosx) + Ctg(ArcCosy) A) 1 B) -1 C) 2 D) 0 E) -2

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P TAREA

01. Indicar (V) o (F): ( ) ArcSen

=

( ) ArcTg(2-

)=

( ) ArcCos

=

A) VVV D) FVV

A) 0

B) B

D)

E)

C) -B

07. Hallar “x”: si: ArcCos

B) FFF E) FVF

= ArcSenx

A)

B)

D)

E)

C)

C) FFV

02. Calcular:

08. Calcular:

P=

A) 1

B)

D)

E)

B)

D)

E) 1

B)

D)

E) B

\09. )-ArcSec2)

C)

Si:

ArcCtga + ArcCtgb + ArcCtgc

C)

A) k +1

Sec(ArcTgk) 2 B) k -1

D)

E)

ArcTga + ArcTg b + ArcTg c =

calcular:

04. A qué es igual: 2

A)

+ ArcCsc2

C)

03. Calcular: Y = Sen(ArcTg(2+ A)

2 = ArcTg

C)

A)

B)

D)

E)

C)

10. Indicar (V) o (F): ( ) ArcCos(Cos

05. Reducir:

)=

( ) ArcCtg(CtgB) = B P = Sec(B+ArcTg

A)

B)

D) -5

E)

)

)=

A) FFF D) VFV

B) VVV E) FVV

C) 5

06. Calcular: " = ArcSen

( ) ArcCsc(Csc

+ ArcSen

-74-

C) VFF

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Trigonometría

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son igualdades entre razones trigonométricas de una o más variables y que se verifican para determinados valores de dichas variables.

OBSERVACIÓN :

OBSERVACIÓN: Senx - Cosx = 0 (Ecuación trigonométrica) Tg3x - Cosx = x (No es una ecuación trigonométrica) ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES Son igualdades de la forma:

N É

L L

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P F.T. (Kx) = a

;K0ú

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Los valores que verifiquen la ecuación, son las soluciones de la ecuación. Toda ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones, ejemplo: Resolver:

Ejemplo: 1. Resolver:

1.

Sen2x =

Senx =

2x = 60/; 120/; 420/; 480/; ... 9 9 IC IIC ! x = 30/; 60/; 210/; 240/; ...

! x = 30/; 150/; 390/; 510/; 750/; 870/; .... 2.

Tgx = 1 ! x = 45/; 225/; 405/; 675/; 765/; ...

2.

OBSERVACIÓN:

Resolver:

Cos

Es importante encontrar las dos primeras soluciones positivas de la ecuación; en ese sentido se puede considerar lo siguiente: Si la solución del IC’ es “"”, entonces si hubiese otra solución en el: IIC’: este sería: 180/ - " IIIC’: este sería: 180/ + " IVC’: este sería: 360/ - " Las otras soluciones se obtienen adicionando (o restando) múltiplos de 360/

= 45/; 315/; 405/; ...

x = 135/; 945/; 1215/; ...

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

01. Resolver:

04. Resolver: Sen x - 7Senx + 6 = 0 e indicar el número de soluciones por intervalo [-0; 8B] A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Cos2x = 0; n 0 Z A) (2n+1)

B) n

C) 2nB

D) (2n+1)B

E) (2n+1) 05. Indicar el valor principal: Tg3x + 1 = 0

02. Resolver: Tg A) 500/ D) 600/

A)

B)

D)

E)

C)

=

B) 400/ E) 240/

C) 480/

06. Resolver:

03. Resolver: Sen3x = 0 ; A)

B)

D) kB

E)

K0Z

= 0,5

C) 2kB A) 26/30' D) 15/20'

-75-

B) 18/30' E) 8/50'

C) 6/10'

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Trigonometría

07. Resolver:

14. Resolver: 2Sen5x . Cosx - Sen4x = 1

A) (4k-1)

B) (4k+1)

D)

E) (2k+1)B

3

4Sen x - 3Senx = 1 A)

B)

C) 2kB

D)

E) (4k-1)

C) 2kB

N É

15. Resolver: 08. Resolver: Sen2x = Senx

L L

e indicar cuantas soluciones hay para el intervalo ]0; 2B[ A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 10

e indicar el número de soluciones para [0; 2B] A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 7

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

09. Resolver:

16. Resolver:

2

4Sen x - 1 = 0

e indicar la suma de las soluciones para el intervalo [0; 2B] A) 6B

B)

D) 2B

A) 120/ D) 0/

C) 3B

Cosx = 2

B) 150/ E) 300/

C) 180/

Cos2x + Cosx + 1 = 0 e indicar cuantas soluciones en el intervalo [0; 2B] A) 6 B) 2 C) 4 D) 8 E) 5

10. Resolver:

Senx + Cosx =

18. Resolver: Tgx + Tg2x + Tgx . Tg2x . Tg3x = 0

B)

D)

Senx -

17. Resolver:

E) 4B

A)

=0

C)

A)

B)

D) 2kB

E) kB

C)

E)

19. Resolver: Senx . Sen(60/-x) . Sen(60/+x) = 0,125 e indicar la suma de las soluciones para el intervalo [0; 2B]

11. Resolver:

A) 30/ D) 45/ y 26/30'

3Tgx + Ctgx = 4 B) 60/ C) 45/ y 30/ E) 45/ y 18/30'

12. Resolver:

B)

D) 3B

E) 4B

C) 2B

2

(Senx+Cosx) = 3Sen2x A) 60/ D) 30/

A)

B) 90/ E) 37/

20. Resolver:

4

4

Sen x + Cos x = 1

C) 15/

13. Resolver:

A) (2k+1)B

B) kB

D) 2kB

E)

C)

=1

A)

y

B)

y

D)

y

E)

y

C) 0 y 2B

TAREA 01. Resolver:

02. Resolver: Cos3x = -1; k 0 Z

A) (2k+1)B

B)

D)

E) (2k+1)

Tg2x = 0; k 0 Z

C)

-76-

A)

B) kB

D)

E)

C) 2kB

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Trigonometría

03. Indicar el valor principal de:

07. Resolver: A) 30/ D) 75/

A)

B)

D)

E)

2

(Senx-Cosx) = Sen2x

Sen5x =

B) 150/ E) 180/

C) 90/

C) 08. Resolver:

N É

A) 18/30’ D) 71/30’

04. Resolver: 2Cos7x . Cosx - Cos6x = 0

L L

Tgx + 2Ctgx = 3 B) 26/30’ E) 37/

C) 63/30’

09. Resolver:

A) (2k+1)

B) (2k+1)

D)

E) kB

C)

Sen2x = 2Cosx e indicar el número de soluciones para [0; 2B]

I U G 38 Ú 0 . R 1 F E 8 O P 6 R P 93 O 9 UN P

05. Resolver:

A) 2 D) 4

B) 2 E) 6

C) 4

06. Resolver:

=

A) 15/ y 18/ D) 18/ y 48/

B) 12/ y 48/ E) 45/ y 30/

C) 5

10. Resolver:

2

Cos x - 4Cosx + 3 = 0 e indicar el número de soluciones para el intervalo [0; 8B] A) 3 D) 5

B) 3 E) 6

C) 30/ y 48/

-77-

Senx - Cosx =

A)

B)

D)

E)

C)