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Taller para fabricar instrumentos matemáticos y calculadoras antiguas

Preparado por: D. Simón J. Rovira Forcada Prof. Ámbito Científico del Programa de Adaptación Curricular en Grupo (PACG) Dto. Ciencias Naturales I.E.S. “Hermanos Amorós” – Villena. Curso 2005 – 2006.

BRICO-MATES TALLER PARA FABRICAR INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS Y CALCULADORAS ANTIGUAS

OBJETIVOS: El objetivo principal de esta unidad consiste en aproximar a los alumnos/as a la construcción de auténticos aparatos e instrumentos matemáticos utilizables en sus cálculos. La docencia de las matemáticas más básicas que requiere el programa de adaptación curricular no resulta demasiado agradable a los alumnos/as del programa, así que intercalando estos “trabajos manuales” podemos conseguir despertar cierto interés y llevarles a que sumen, resten, multipliquen y dividan ya sea con los aparatos que se fabriquen, calculando “de cabeza” o usando –en última instancia- una calculadora electrónica para comprobar sus resultados. Contenidos de matemáticas: - Operaciones básicas: Suma, resta, multiplicación, división - Introducción al concepto de logaritmo - Aparatos analógicos y aparatos digitales -

Como contenidos transversales aparecen varios capítulos de interés: Historia de las matemáticas Historia de los inventos e instrumentos de cálculo Evolución del conocimiento humano Actitudes procedimentales y destrezas manuales Reciclado de materiales

Materiales: Los materiales para la construcción de los instrumentos que planteamos son verdaderamente simples. Todo el material que hemos usado en los ejemplos es reciclado, cartones de envases, palillos para brochetas, fragmentos de chapa de marquetería, etc., además se requiere material común y corriente como tijeras, pegamento, cola, pinturas, papel, ordenador e impresora.

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1.- REGLILLAS DE NAPIER. Materiales: Cartón Material de dibujo Papel Papel adhesivo Pegamento Tijeras Procedimiento: 1.- Se construye la plantilla para realizar las reglillas, ya sea a mano o bien usando una confeccionada con el ordenador. 2.- Se pega la plantilla sobre una base de cartón. 3.- Con el papel adhesivo se plastifica la superficie de la plantilla. 4.- Se recortan las reglillas en el sentido vertical de la tabla.

5.- Puede disponerse de varios juegos de reglillas de cada número, con el fin de poder ampliar el uso a cifras mayores y con dígitos repetidos. 6.- Una idea buena es construir un tablero con las indicaciones del uno al nueve según las columnas como guía para usar las reglillas.

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Uso básico: En cada reglilla vamos a tener la tabla de multiplicar correspondiente. Si deseamos multiplicar un número de tres cifras por otro de una, bastará con colocar las tres reglillas de las tres cifras y leer los números en la fila del factor multiplicador. En este caso, si las cifras aparecen sólo a la derecha de la diagonal, se colocan tal cual aparecen. En caso de que aparezcan cifras a la izquierda de la diagonal, se suman siguiendo dicha diagonal con la cifra correspondiente al nivel superior (si fueran unidades, a las decenas, etc). En caso de que el multiplicador sea de varias cifras, siempre se puede descomponer en sus factores, por ejemplo 321 x 42 = (321 x 40) + (321 x 2).

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2.- MÁQUINA DE NAPIER. Esta es una máquina de la cual existen algunas referencias, pero parece ser que no se conserva ninguna. Se trata de una aplicación de las reglillas de Napier pero con cilindros giratorios, lo cual permite mayor versatilidad en el cálculo. Materiales: Cartón Cartón pluma Material de dibujo Palillos Papel Papel adhesivo Papel para forrar Pegamento Plantilla de ordenador Tijeras Tubo de cartón Procedimiento: 1.- Se construyen varios juegos de plantillas completas de Napier al tamaño que sea necesario, bien a mano o bien con el ordenador. Calcular el tamaño según los tubos de cartón que tengamos.

2.- Se van pegando las plantillas sobre los tubos de cartón ya cortados a la medida que se desee. Con papel adhesivo plastificamos el exterior. 3.- Construiremos una caja con cartón pluma (o chapa de marquetería) teniendo en cuenta las dimensiones de los cilindros que hemos construido y cuántos vamos a colocar en su interior.

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4.- Se colocan los tubos y los fijamos con los palillos para que puedan girar libremente pero no salirse de la cajita. 5.- Pegamos la regleta de referencia en el borde de la cajita. 6.- Se decora el exterior forrándolo con papel o pintándolo.

Uso básico: Funciona exactamente igual que el juego de Reglillas de Napier. La ventaja es que no hace falta manejar cantidades de reglillas, basta con girar cada tambor para ver la columna de resultados que nos interesa. En nuestro ejemplo hemos puesto seis tambores, pero se pueden usar menos o más según las cifras que se vayan a manejar.

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3.- REGLA DE GUNTER. Materiales: Barniz transparente Listón de madera Logaritmos previamente calculados Material de dibujo Números transferibles Regla graduada Procedimiento: 1.- Elegimos un listón de madera como base para nuestra regla. 2.- Se lija y se limpia muy bien el listón de madera. 3.- Se dibuja la escala según los logaritmos previamente calculados. 4.- Se colocan los transferibles según se desee. 5.- Una vez seco todo, se limpia el polvillo y se procede al barnizado.

Uso básico: Para usar una regla de Gunter es necesario tener un compás, a poder ser de puntas y de buena calidad (bien ajustado). Para multiplicar: 1º.- Se mide la longitud del primer multiplicando desde el origen de la regla (el 1), o en el caso de que no podamos realizar así la operación completa, mediremos la longitud desde el final de la regla (el 10). 2º.- Se pincha el compás transportando la medida sobre el segundo multiplicando y se obtiene el resultado. En caso de que al medir hacia la derecha se escape de la escala, mediremos hacia la izquierda.

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Como la multiplicación o producto posee la propiedad conmutativa, resulta que a x b = b x a, de modo que no importa el orden de los factores. Cuidado porque esto no pasa con la división. Al igual que en las demás reglas de cálculo, los multiplicandos y el resultado se reducen a las longitudes disponibles en la regla, es decir, deberemos conocer las potencias de 10 para adecuar debidamente los números.

Para dividir: 1º.- Para un numerador mayor que el denominador (a / b , si a > b): 1.1.- Se toma con el compás la distancia entre numerador y denominador. 1.2.- Se traslada el compás con la medida al 1 y se lee el resultado. 2º.- Para un numerador menor que el denominador (a / b, si a < b): 2.1.- Se toma la distancia entre numerador y denominador. 2.2.- Se traslada el compás con la medida al 10 y se lee hacia la izquierda el resultado. Como en el caso anterior, deberemos añadir el producto por las potencias de 10 debidas para obtener la operación y resultado correctos.

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4.- REGLA DE CÁLCULO. Materiales: Cartón, cartón pluma o chapa de marquetería Logaritmos previamente calculados o fotocopia de una regla de cálculo Material de dibujo Papel Papel adhesivo Pegamento Tijeras, cuter o sierra según el caso Procedimiento: 1.- Se dibuja sobre un papel la regla logarítmica, o bien se utiliza una fotocopia de una regla ya existente. 2.- Se pega esta lámina sobre una superficie consistente, ya sea cartón, cartón pluma o chapa de marquetería. 3.- Se plastifica la superficie con el papel adhesivo. 4.- Se recorta la reglilla central lo mejor posible para que el juego posterior sea posible. 5.- Se fijan las reglas exteriores sobre un soporte, con cuidado para no perjudicar la acción de la reglilla central.

Uso básico: La mejor opción para conocer bien el funcionamiento de una regla de cálculo que se ha construido tomando como plantilla una ya existente, sería ver las instrucciones de la misma (porque cada una puede tener unas escalas diferentes). En internet aparecen páginas diversas sobre el uso de las reglas de cálculo. Para multiplicar: Usaremos las dos escalas principales, suelen estar marcadas con las letras C y D. 1º Situamos el número uno (1) de la primera escala sobre uno de los factores en la segunda escala. 2º Buscamos en la primera escala el otro factor del producto. 3º Leemos en la segunda escala el valor obtenido.

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Si por los factores utilizados no se puede realizar la operación con el uno del inicio de la escala (parte izquierda de la regla), podemos usar igualmente el uno (1) o diez (10) de la parte derecha. Para dividir: 1º Situamos el dividendo de la primera escala sobre el divisor en la segunda escala. 2º El número de la escala del dividendo que queda situado sobre el uno es el cociente que buscamos. 3º Si el desplazamiento de la escala no permite que ningún número de la escala del dividendo quede sobre el uno, el valor se encontrará sobre el uno de la derecha o diez (10).

Las reglas de cálculo solían llevar muchas más escalas, para obtener cuadrados, cubos, raíces, valores logarítmicos, valores trigonométricos, etc. 5.- REGLA DE CÁLCULO CIRCULAR. Se puede construir fácilmente partiendo de una fotocopia de una regla ya existente y recortando circularmente los diales que nos interesen, pero esto es complicado para los alumnos/as. La mejor opción es utilizar las imágenes en pdf listas para imprimir fabricadas por John Savard, que se pueden encontrar en www.sphere.bc.ca . Cuidado: el cursor debe imprimirse en una lámina de acetato (transparencia para impresora), mientras que la base se puede imprimir en un papel que pegaremos sobre un cartón o madera. Ambas piezas deben unirse por su centro usando un encuadernador, remache o tornillo.

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6.- COMPÁS DE GALILEO. Se trata de una aproximación casera al compás de proporciones “geográfico y militar” de Galileo Galilei. Básicamente nos servirá para obtener porcentajes de longitudes conocidas así como sus fracciones correspondientes. Materiales: Cartón pluma o cartón grueso Material de dibujo Encuadernador, remache o tornillo Tijeras Procedimiento: 1º Confeccionaremos dos reglillas idénticas que uniremos mediante una bisagra de abanico gracias a un encuadernador, remache o tornillo 2º Tomando como punto de fuga el centro del remache (esto debe ser lo más exacto posible), trazamos una línea en cada reglilla, usando como referencia una esquina o su punto medio. 3º Tomaremos una distancia como referencia para los cálculos. 4º Se van calculando los porcentajes o fracciones que nos interesen y se traslada la medida entre una reglilla y la otra, anotando a qué porcentaje o fracción corresponde cada una. 5º Se pueden combinar varias escalas o bien una de porcentajes con otra de fracciones en el mismo compás.

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Uso básico: Muy sencillo. Se toma una medida con los extremos de las reglillas (ojo, con la referencia de la línea que hemos dibujado), simplemente sin mover el compás, se obtienen los porcentajes o fracciones de la distancia original. Se puede usar directamente sobre los materiales a trabajar, o bien usar una regla graduada que nos permitirá casi obtener un nuevo aparato de cálculo.

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7.- CONTÓSTILO. Se trata de una calculadora simple para sumar, restar y multiplicar por repetición. Se basa en las antiguas calculadoras “de cremallera”. Su construcción es más laboriosa que los casos precedentes, pero los resultados sorprenden. Materiales: Cartón Chapa de madera de marquetería Papel Material de dibujo Pegamento y cola Palito para hacer de puntero Procedimiento: 1º Se cortan unas tiras de cartón de longitud suficiente para el tamaño de máquina que vayamos a construir. Debemos cortar una tira por cifra que vayamos a utilizar (en el caso de nuestro ejemplo seis). Les pegamos o dibujamos los números que veremos en las ventanitas.

2º Se construye una base sólida de cartón o si hubiese de chapa de madera. 3º Se pegan unos cartones para realizar las vías por donde se deslizarán las tiras. 4º Con mucho cuidado y tomando las medidas previas, realizamos los agujeritos suficientes en las tiras de cartón.

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5º Se montan las tiras en las vías y se coloca la tapadera que oculta el “mecanismo” 6º Se colocan los números de referencia para añadir o sustraer en cada caso 7º Decorar el exterior según las preferencias.

Uso básico: Para sumar y restar se desplazan las tiras de cartón dentro de la máquina mediante el uso de un puntero. Para sumar 325 + 234, simplemente movemos las tiras hasta obtener 325 en las ventanitas, a continuación añadimos en cada columna correspondiente un 2, un 3 y un 4, obteniendo en las ventanitas la suma buscada. Ojo, porque si superamos la decena nos aparecerá el cerito superior, en ese momento movemos la tira hacia arriba (obteniendo las unidades) y añadimos una unidad a la columna siguiente (sumamos una decena). Para restar, el sistema es el mismo pero al revés.

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BIBLIOGRAFÍA BOYER, C.B. (1986) Historia de las matemáticas. Alianza Universidad Textos. Ed. Alianza. Madrid. CIESA, Enciclopedia Temática. c.1970. Volumen VII. “Ciencia: Física y química”. Compañía Internacional Editora, Barcelona. CIESA, Enciclopedia Temática. c.1970. Volumen VIII. “Ciencia: Matemáticas”. Compañía Internacional Editora, Barcelona. COMPAÑÍA BIBLIOGRÁFICA ESPAÑOLA (Ed.) 1957. “Matemáticas Curso Primero”. Madrid. COMPAÑÍA BIBLIOGRÁFICA ESPAÑOLA (Ed.) 1958. “Matemáticas Curso Segundo”. Madrid. DURVAN, Gran Diccionario Enciclopédico. 1977. Volumen IX, páginas 34-35: “Nomografía” y “Nomograma”. Ed. Durvan, Bilbao. DURVAN, Gran Diccionario Enciclopédico. 1977. Volumen X, páginas 274-275: “Regla de cálculo”. Ed. Durvan, Bilbao. ENCICLOPEDIA UNIVERSAL ILUSTRADA EUROPEO-AMERICANA. 1911. Volumen X, páginas 601-616: “Cálculo”. Editorial Espasa-Calpe, Barcelona. FABER-CASTELL (Fabricante). (Sin fecha). “Instrucciones. Reglas de cálculo de precisión Novo-Biplex No. 2/83, 62/83. Nuremberg, Alemania. FABER-CASTELL (Fabricante). (Sin fecha). “Instrucciones. Reglas de cálculo de precisión sistema “Darmstadt”. No. 67/54b;67/54R; 111/54; 111/54A; 1/54 y 4/54”. Nuremberg, Alemania. FABER-CASTELL (Fabricante). (Sin fecha). “Instrucciones. Regla de cálculo de precisión para el bolsillo. No. 67/21 Hormigón armado”. Nuremberg. Alemania. GARCÍA SANTESMASES, J. 1980. “Obra e inventos de Torres Quevedo”. Colección Cultura y Ciencia. Instituto de España. Madrid. PASTORE, GIOVANNI. 2005. Página en internet. RAPHOPLEX (Fabricante). (Sin fecha). “Instructions générales pour l’emploi des règles a calculer de poche”. Paris, Francia. STERLING (Fabricante). 1972. “Slide rule operating instructions”. Mountainside, New Jersey, Estados Unidos. SHASHKIN, Y. (1991) Puntos fijos. Ed. Mir. Moscú. USPENSKI, V.A. (1978) Triángulo de Pascal. Ed. Mir. Moscú. www.comune.roma.it/museomatematica www.giovannipastore.it www.formacion.pntic.mec.es www.oughtret.org.html www.sphere.bc.ca/index.html

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