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• Eder Mendoza Mendoza

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C

ap ít ul

1

o

CONTEO DE FIGURAS

Por lo general, toda persona mayor de 3 años ya sabe contar y esta operación se vuelve un procedimiento cotidiano y elemental. Sin embargo hay ciertas situaciones que se presentan, donde contar requiere de cierto procedimiento sistemático y ordenado, pues el conteo por simple inspección sería demasiado engorroso.

I. Contar figuras

Con 1 letra:

a - b - c - d - e - f - g - h...

8

Ia.Contar triángulos

Con 2 letras:

bc - de - fg - ah...

4

* Ejemplo 1:

Con 3 letras:

ninguno...

0

Con 4 letras:

abch - defg - bcde - fgha...

4

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Total de triángulos: 8 + 4 + 0 + 4 = 16 * Ejemplo 2: En la siguiente figura: M = número de triángulos con 1 letra. N = número de triángulos con 2 letras. P = número de triángulos con 5 letras. Resolución: El procedimiento consiste en colocar una letra en cada una de las regiones en que está dividida la figura y luego proceder a contar cuántos triángulos se determinan con una letra, dos letras, etc.

b

b

c

a

d

h

e g

Hallar: M + N - 1 P+1

a d c

e

f

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 1

Contar Resolución: con con con con con

Como se observa, hay que intentarlo varias veces hasta lograr determinar el mayor número de triángulos.

1 letra: a - b - c - d - e... 5 = M 2 letras: ab - cd.. 2 = N 3 letras: cde... 1 4 letras: ninguno... 0 5 letras: abcde... 1 = P

Luego:

M+N-1 = P+1

5+2-1 1+1

* Ejemplo 4: ¿Cuántos triángulos en la siguiente figura, tienen sólo un asterisco?

=

6 =3 2

*

* Ejemplo 3:

*

En la siguiente figura, trazar una recta y determinar el mayor número de triángulos.

*

Resolución:

c Resolución:

a

b

a

c

b a

c

1 letra: a - c... 2 2 letras: bc... 1 3 letras: abc... 1 Total: 4 triángulos

1 letra: a - b - c... 3 2 letras: bc... 1 3 letras: abc... 1 Total: 5 triángulos

b

*

d * f

e *

g

h

Con 1 letra:

a-b-c-e f - g - h... 2 triángulos con un asterisco

Con 2 letras:

ninguno

Con 3 letras:

cde.. 1 triángulo con un asterisco

Con 4 letras:

abcf - efgh... 2 triángulos con un asterisco.

Total: 2 + 1 + 2 = 5 triángulos con un asterisco Ib.Contar cuadrados * Ejemplo 1:

a c

1 letra: a - b... 2 2 letras: ab - ac - bd... 3 4 letras: abcd... 1 Total: 6 triángulos

b d

a c

b d

¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

1 letra: a - b - c... 3 2 letras: ab - ac - bd - cd... 4 4 letras: abcd... 1 Total: 8 triángulos

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 2

RAZONAMIENTO Resolución:

Resolución:

a

con con con con con

1. ACDB 2. ACDEFB 3. ACDEFGB

i

b c

MATEMÁTICO

d

e

f

g

k h

4. AB 5. AHGB 6. AHGFB

7. AHGFEDB Total: 7 maneras

* Ejemplo 2: Un parque tiene sus jardines distribuidos de la manera indicada en el gráfico. ¿De cuántas maneras una persona podrá entrar por "A" y salir por "B", sin pasar 2 veces por un mismo punto en cada viaje?

j

1 letra: d - e - f - g - i - j... 6 cuadrados 2 letras: ninguno 3 letras: cdf - egh - ijk - bde... 4 cuadrados 4 letras: defg... 1 cuadrado 8 letras: abcdefgh... 1 cuadrado

Total cuadrados: 6 + 4 + 1 + 1 = 12

A

C

E

D

B

II.Contar caminos * Ejemplo 1:

F

¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" hacia "B", usando los caminos trazados, sin pasar 2 veces por un mismo punto en cada viaje?

C

A

D

E

B

Resolución: 1. 2. 3. 4.

AB ACDB ACEDB ACDEFB

5. 6. 7. 8.

ACEFB AFB AFEDB AFECDB

Total: 8 maneras.

H

G

F

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 3

Contar

Practiquemos Bloque I

5. En la siguiente figura:

1. En la siguiente figura:

M: triángulos de 1 letra N: triángulos de 2 letras P: triángulos de 3 letras

a

b

c

a) 6 d) 9

M: triángulos de 1 letra N: triángulos de 2 letras P: triángulos de 5 letras

b

d

b) 10 e) 12

a f

e j

Hallar: M+N-P a) 25 d) 13

c) 5

c

d g i

h

Hallar: M - P + 2N

l k

b) 24 e) 15

c) 23

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

2. En la siguiente figura:

c

d

b

e

M: triángulos de 1 letra N: triángulos de 2 letras P: triángulos de 3 letras

a

Hallar: M+N-P

f

a) 12 d) 8

b) 10 e) 13

c) 9

b

e d

c a) 11 d) 12

g b) 10 e) 9

f

a) 4 d) 1

A

Hallar: M+N-P

G

D

E F C

c) 13

a) 9 d) 11

b) 10 e) 13

c) 12

8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

M: triángulos de 1 letra N: triángulos de 2 letras P: triángulos de 3 letras

c

a

d f

c) 15

B

M: triángulos de 1 letra N: triángulos de 2 letras P: triángulos de 5 letras

4. En la siguiente figura:

b

b) 14 e) 17

7. ¿De cuántas maneras se puede desplazar una persona del punto "A" hasta "D", sin pasar dos veces por un mismo punto?

3. En la siguiente figura:

a

a) 13 d) 11

Hallar:

e 4 3 e) 2

b)

c)

3 2

M+N P

a) 14 d) 16

b) 12 e) 15

c) 13

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 4

RAZONAMIENTO 9. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

MATEMÁTICO

13.¿De cuántas maneras se puede viajar de la ciudad "A" a la ciudad "B"? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje). C

A

a) 13 d) 11

b) 10 e) 15

D

B

c) 12 E

10.¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadrilátero? a) 7 d) 4

b) 6 e) 8

c) 5

14.¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 6 d) 12

b) 10 e) 7

c) 8

11.¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

a) 13 d) 11

b) 14 e) 12

c) 15

15.¿Cuántos caminos hay para ir de "A" a "B", sin pasar 2 veces por un mismo punto en cada viaje?

A a) 11 d) 15

b) 12 e) 13

c) 16

B

12.¿De cuántas maneras puede ir Pedrito a recoger su pelota? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje).

a) 12 d) 11

b) 13 e) 14

a) 7 d) 9

b) 8 e) 10

c) 6

c) 10

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 5

Contar Bloque II 1. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" hasta "B", si en cada viaje no se debe pasar 2 veces por un mismo punto?

5. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" a "B", si en cada viaje no se puede pasar 2 veces por un mismo punto?

B

A

B

A

Rpta.: ______

a) 26 d) 28

b) 25 e) 29

6. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado?

c) 27

2. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

Rpta.: ______ 7. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura dibujada en el cuadriculado, que tengan por lo menos una región sombreada? Rpta.: ______ 3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura que tienen solo un asterisco?

* * *

Rpta.: ______ 8. ¿De cuántas maneras puede ir un alumno de su casa al colegio? (Sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje)

*

Rpta.: ______

Colegio

4. ¿Cuántos triángulos en la siguiente figura tienen solo un asterisco?

* *

* *

*

Casa

* *

Rpta.: ______

Rpta.: ______

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 6

RAZONAMIENTO 9. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "A" a "F", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje? B

E

A

F

C

hallar:

MATEMÁTICO

P+M N-Q c) 3 5

a) 2

b) 1

2 9

e) 4 3

d)

3. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de "A" hasta "B", si en cada viaje no se puede pasar 2 veces por un mismo punto?

D

Rpta.: ______ 10.¿Cuántos triángulos hay en la figura, que tengan sólo una región sombreada? A

a) 19 d) 22 Rpta.: ______

B

b) 20 e) 23

c) 21

4. ¿Cuántos triángulos en la siguiente figura tienen sólo un asterisco?

Bloque III

*

1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

*

*

*

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

*

c) 12

5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 34 d) 32

b) 35 e) 33

c) 36

2. Si: M: triángulos con 1 letra N: triángulos con 2 letras P: triángulos con 4 letras Q: triángulos con 8 letras

b

f c

a

e

j i

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

n k

l

g h

d

ñ

m o

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 7

Contar

Tarea domiciliaria * En la siguiente figura:

B

6. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “A” a “E”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

E

C

A

F

D

I

H

* En la siguiente figura:

J

G

B C D

M: triángulos con 1 letra

E

N: triángulos con 2 letras

A

1. ¿Cuál es el valor de “M”? 2. ¿Cuál es el valor de “N”?

7. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “A” a “C”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

* En la siguiente figura:

g

c b

h

f

a

G

F

9. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “B” a “G”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo camino?

i

e d

8. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “F” a “B”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

j

* En la siguiente figura:

M: triángulos con 1 letra N: triángulos con 2 letras P: triángulos con 3 letras R: triángulos con 5 letras

*

3. Hallar “N - P”

*

*

*

4. Hallar “M + R” 10.¿Cuántos triángulos hay que tengan sólo un asterisco?

* En la siguiente figura:

11.¿Cuántos triángulos hay en la figura?

C

B A

D

E

* En la siguiente figura:

G H F

5. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “B” a “E”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

12.¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 8

RAZONAMIENTO 13.¿Cuántos triángulos se determinan como máximo al trazar una recta en la siguiente figura?

B

MATEMÁTICO

* En la siguiente figura:

C

a

h c

e g

b A

d

D

14.En la figura anterior, ¿cuántos triángulos como mínimo, se determinan al trazar una recta secante? 15.¿De cuántas maneras se puede viajar de “A” a “C”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

f

M: triángulos con una letra N: triángulos con dos letras P: triángulos con tres letras Q: triángulos con cuatro letras 18.Hallar “M + N” 19.Hallar “N + P” 20.Hallar “P + Q”

A

21.¿Cuántos triángulos tienen sólo un asterisco?

C

*

16.¿De cuántas maneras se puede viajar de “M” a “N”?

*

* La siguiente figura es una red de caminos

M

N

B

E

17. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

A

F

D

C

Responder: 22.¿De cuántas maneras se puede viajar de “A” a “C”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto? 23.¿De cuántas maneras se puede viajar de “B” a “E”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto? 24.¿De cuántas maneras se puede viajar de “F” a “D”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 9

Contar 25.¿De cuántas maneras se puede viajar de “P” a “Q”, si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto?

* Sobre la siguiente red de caminos:

C

B F

D

G

P

Q A

26.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

E

Responder de cuántas maneras se puede viajar de una ciudad a otra (indicadas en cada pregunta), si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto. 27. De “A” a “D”, pasando por “F” 28.De “B” a “E”, pasando por “A” 29.De “F” a “D”, pasando por “A” 30.De “E” a “C”, pasando por “G”

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 10

I

C

INDUCTIVO

ap ít ul

2

o

MÉTODO

2

333333333333334 = 3 3 3 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 2

3 3 3 0 0 0 0 2

3 3 3 0 0 0 2

3 3 3 0 0 2

3 3 3 0 2

3 4 x 3 4 3 6 2

...

... .

.

3 3 3 0 0 0 0 0 0

...

...

...

... .

.

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

3 3 3 0 0 0 0 0 0

111111111111111555555555555556

¡Muy laborioso! Introducción La abundancia y variedad de problemas que se han presentado hasta el momento, por lo general se han resuelto de manera directa, usando los datos y las relaciones que se dan en cada problema. En muchos casos la respuesta llega después de laboriosas y variadas operaciones, que son inevitables. Pero hay también otros problemas donde la solución es todavía más laboriosa, por la cantidad de operaciones reiterativas que se deben hacer. En estos casos la matemática cuenta con una poderosa herramienta: la inducción, que consiste en observar casos iniciales, menores y particulares para luego de una "brillante adivinación" se pueda generalizar y presentar una "ley o fórmula" que sirva para los casos mayores. Hasta aquí es el alcance de la idea de inducción. En realidad, la "inducción matemática" va mas allá y demuestra la "ley o fórmula" mediante rigurosos pasos y usando en algunos casos mucha álgebra.

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 11

Método Inductivo I

Problemas resuelt os * Ejm 1: Hallar el resultado de: 5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5 Resolución: Observar:

2

2

= = = =

5 0 5 0

2

334 =

4 = 16 2

334x 334 1336 1002 10 0 2 11 1 5 5 6

34x 34 136 10 2 11 56

3334 =

3334x 3334 13336 10002 10002 10 0 0 2 11 1 1 5 5 5 6

Conclusión:

Conclusión:

Cuando es un número par de “cincos” el resultado es cero (0) y cuando es un número impar de “cincos” el resultado es cinco (5).

El resultado está formado por tantos “unos” como cifras tiene el número, seguido de tantos “cincos” como la cantidad de cifras menos 1, terminando siempre en 6. Luego:

Luego:

2

5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5=5 15 cincos

E = (1111111)2

2

2

2

111 = 11x 11 11 11 121

15 cifras

Resolución:

Resolución: Observar: 1=1

333333333333334 = 111111111111111555555555555556

* Ejm 4: Calcular: E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n

* Ejm 2: Hallar el resultado de:

2

Resolución: Observar:

34 =

1 “cinco”: 5 2 “cincos”: 5 -5 3 “cincos”: 5 - 5 +5 4 “cincos”: 5 - 5 + 5 - 5

11 =

* Ejm 3: Hallar el resultado de: E = 3333333333333342

111x 111 111 111 111 12321

1111 =

1111x 1111 1111 1111 1111 1111 1234321



1

2 términos



12 3

3 términos



1236 

23 2 3 4 2

Entonces para sumar los "n" elementos:

1 + 2 + 3 + 4 +... + n = Conclusión:

El resultado está formado por números consecutivos en orden ascendente, desde el 1 hasta la cantidad de “unos” y luego en orden descendente.

1 2 2

Un término

n(n + 1) 2

* Ejm 5: Calcular: P = 1 + 3 + 5 + 7+... +(2n - 1) “n” elementos

Resolución:

Luego: 2

(1111111) = 1234567654321 siete unos

Un término



1 = 12

2 términos



1 + 3 = 4 = 22

3 términos



1 + 3 + 5 = 9 = 32

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 12

RAZONAMIENTO Entonces, para sumar los "n" primeros elementos:

1 + 3 + 5 + ... +(2n - 1) = n

MATEMÁTICO

Ahora analizamos la potencia del 5:

2

Si la potencia es 1: 51 termina en cifra 5 (5) Si la potencia es 2: 52 termina en cifra 5 (25)

* Ejm 6: Calcular:

En general: Para cualquier potencia terminará en cifra 5

E = 2 + 4 + 6 + 8 + ... +2n “n” elementos

Por lo tanto: E= 423 + 546 = ... 4 + ... 5 = ... 9 termina en cifra 9.

Resolución: Un término



2=1x2

2 términos



2 + 4 = 6= 2 x 3

3 términos



2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4

Pract iquemos

Entonces, para sumar los "n" primeros elementos: 2 + 4 + 6 + ... +2n = n (n + 1) * Ejm 7: Calcular: 2

2

2

2

E = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

2

“n” elementos

1 (1  1) 2(1)  1 6

2 2 2 términos  1  2  5 

2 (2  1) 2(2)  1 6

3 (3  1) 2(3)  1 3 términos  1  2  3  14  6 2

2

2

2

2

2

1

= 1 (1 +1) = 2

2

= 2 (2 +1) = 6

3

= 3 (3 +1) = 12

hallar: 10

2. Sabiendo que:

b) 111 e) 115

c) 112

2

1

=1 +1=2

2

=2 +2=6

3

= 3 + 3 = 12

2 2

hallar: 12

2

Entonces, para sumar los "n" primeros términos:

1 + 2 + 3 + ... + n =

1. Sabiendo que:

a) 110 d) 114

Resolución: 2 Un término  1  1 

Bloque I

n (n + 1) (2n + 1) 6

a) 144 d) 158 3. Sabiendo que:

* Ejm 8: ¿En qué cifra termina el resultado de calcular: E= 423 + 546? Resolución: Primero analizamos la potencia del 4: Si la potencia es 1: 41 termina en cifra 4 (4) Si la potencia es 2: 42 termina en cifra 6 (16)

b) 156 e) 160

c) 150

2

1

= 2 x 3 = 12

2

= 3 x 4 = 36

3

= 4 x 5 = 80

2 2

hallar: 15 a) 4352 d) 4353 4. Sabiendo que:

b) 4300 e) 4800 1 =2+1

Si la potencia es 3: 43 termina en cifra 4 (64)

2 =3+4

Si la potencia es 4: 44 termina en cifra 6 (256)

3 =4+9

En general: Si la potencia es impar termina en 4 y si es par termina en 6 En el problema se tiene 423, al ser la potencia impar debe terminar en 4.

c) 256

hallar: 10 a) 111 d) 132

b) 110 e) 140

c) 121

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 13

Método Inductivo I 5. Sabiendo que:

hallar:

1

=1x2+4=6

2

= 2 x 3 + 9 = 15

3

= 3 x 4 + 16 = 28

10

a) 231 d) 250

b) 230 e) 249

c) 240

10.Hallar: E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 19 + 20 a) 210 d) 260 11.Hallar: a) 552 d) 558

6. Si:

1x2x3x4+1 5

12.Calcular:

2 x 3 x 4 x 5 + 1  11 a) 324 d) 378

3 x 4 x 5 x 6 + 1  19 hallar:

10 x 11 x 12 x 13 + 1

a) 131 d) 141

b) 132 e) 142

c) 140

a) 2 d) 8 b) 2040 e) 7225

c) 2025

8. Si:

1

=1x2+3

2

=2+3x4

3

=3x4+5

4

=4+5x6

a) 830 d) 834

22

c) 550

E = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 35 b) 330 e) 390

c) 350

b) 1250 e) 1300

c) 1225

+

b) 4 e) 9

c) 6

b) 2 e) 5

c) 3

Bloque II 1. Hallar el resultado en la fila 10. Fila Fila Fila Fila

15

b) 831 e) 835

c) 833

32 = 9 332 = 1089 3332 = 110889 33332 = 11108889 Rpta.:____

2. Hallar el resultado en la fila 10. Fila 1 Fila 2 Fila 3

62 = 36 662 = 4356 6662 = 443556

Fila 10

Rpta.:____

3. Hallar el resultado de:

hallar el resultado de la fila 12. b) 90 e) 140

1 2 3 4

Fila 10

9. Sabiendo que: Fila 1: 1 x 19 = 19 Fila 2: 2 x 18 = 36 Fila 3: 3 x 17 = 51

a) 144 d) 120

b) 460 e) 560

15.¿En qué cifra termina el resultado de la operación? 4 x 624 + 8 x 912 - 2 x 1015 a) 1 d) 4

hallar:

E = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 46

14.¿En qué cifra termina el resultado de la operación? E = 2 x 4 x 512 + 6 x 8 x 421

hallar: 852 a) 7680 d) 7200

c) 250

13.Calcular: E = 12 + 22 + 32 + 42 + ... +152 a) 1240 d) 1280

7. Si: 152 = 225 252 = 625 352 = 1225 452 = 2025

b) 240 e) 280

c) 96

777... 77 x 999... 99 20 cifras

20 cifras

Rpta.:____

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 14

RAZONAMIENTO 4. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras del resultado. a) 180 d) 220

b) 200 e) 250

c) 140

Rpta.:____

c) 17

8. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras del resultado.

1 2 3 4

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

4 ... 5 ... 6 ... 7 ...

9 10 11 12 ...

...

2 3 4 5

9 10 11 12... 10 11 12 13...

17 18

18 19

a) 729 d) 850

3 4 5 6

b) 1000 e) 1900

10 11 12 13

c) 512

...

5. Hallar la suma de todos los números de la siguiente matriz.

Fila 20 ...

2 4 6

c) 45000

18 20 22

18 20 22 ... 20 22 24 ...

34 36

555... 555 x 999... 999 100 cifras

a) 2500 d) 2000

b) 1900 e) 3600

20 22 24 ...

1. Calcular la suma de las cifras del resultado:

4 6 8

...

6 ... 8 ... 10 ... ...

...

Bloque III

100 cifras

c) 300

...

1 2 3 4

c) 1000

4 4 9 9 9 16 16 16 16

b) 44000 e) 47000

b) 100 e) 2000

4. Hallar la suma de todos los números de la siguiente matriz.

1

a) 44100 d) 46000

c) 25000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

a) 10 d) 1000

10.Calcular la suma de los términos de las 20 primeras filas, en el triángulo numérico siguiente.

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

b) 125000 e) 75200

Fila 10 ...

... b) 2048 e) 1150

3 5 7 9 11 13 15 17 19

Fila 50 ...

Fila 12 ... a) 1024 d) 120

1

...

c) 92

9. Hallar la suma de los números que forman la fila 12.

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

c) 100

3. Calcular la suma de los términos de la fila 10. Rpta.:____

b) 90 e) 93

Fila Fila Fila Fila

a) 9750 d) 12500

7. Hallar el resultado de: (9999999995)2

a) 88 d) 91

b) 10 e) 900

...

6. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras del resultado. b) 18 e) 21

a) 1 d) 90

2. Calcular la suma de los términos de la fila 50.

5. Hallar el resultado de: (77777777 + 2222225)2

a) 19 d) 20

MATEMÁTICO

36 38

c) 1650

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 15

Método Inductivo I

Tarea domiciliaria * En cada caso, indicar en qué cifra termina el resultado de la operación:

17. En el problema anterior, indicar la cifra de las unidades de 25

1. 2532 2. 47218

18.Si:

3. 23612 4. 5 x 318 - 17 x 65 5. 10 x 34715 + 23 x 2610 6. Hallar la cifra que ocupa el lugar 12 desde la derecha, en el resultado de la siguiente operación: 111111112 7. En el problema anterior, hallar la suma de las cifras del resultado.

=1+2x3

2

=2+3x4

3

=3+4x5

hallar: 98 19.En el problema anterior, calcular:

17 + 27 20.Si: 1 = 4 + 5 x 6

2 = 9 + 10 x 11

8. Calcular el valor de la siguiente suma: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 60 9. Calcular el valor de la siguiente suma: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 36

1

3 = 16 + 17 x 18 hallar: 15

10.Calcular el valor de la siguiente suma: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 31 + 33

21.En el problema anterior, indicar en qué cifra termina:

11.¿Qué cifra ocupa el lugar 10, en el resultado de la siguiente operación? (Contado desde el extremo derecho). 2222222

22.Hallar el resultado de la operación: 452 + 752 - 252

334

23.Hallar la suma de los números que forman la fila 15

12.¿Qué cifra ocupa el lugar 8 en el resultado de la siguiente operación? (Contado desde el extremo derecho). 333332 13.En el problema anterior, calcular la suma de las cifras del resultado.

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 .. .

15.En el problema anterior, calcular la suma de las cifras del resultado.

2 = 3 + 42 3 = 4 + 52 hallar: 10

00 00 10 01

24.Hallar la suma de todos los números hasta la fila 9

14.¿Qué cifra ocupa el lugar 7, desde la derecha, en el resultado de la siguiente operación? 9999952

16.Si: 1 = 2 + 32

00010 00101 01020 10303

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 .. .

Fila 9

0001000 0020200 0303030 4040404 9

9

9

9

25.Efectuar:

15 1515 151515    ... 23 2323 232323   23 sumandos

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 16

RAZONAMIENTO 26.Sabiendo que: 1! = 1 2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4

28.En el problema anterior, calcular la suma de los números que forman la fila 40 29.En la siguiente distribución:

¿En qué cifra termina 12!? 27. En la siguiente distribución:

Fila Fila Fila Fila .. .

1 2 3 4

MATEMÁTICO

000100 001020 010203 102030

0 0 0 4

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 .. .

100200 200300 300400 4. 0 0 5. 0 0 .. ..

3 4 5 6. ..

hallar la suma de los números de la fila 20 30.En el problema anterior, calcular la suma de los números de la fila 36.

hallar la suma de los números que forman la fila 24

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 17

II

C

INDUCTIVO

3

o

MÉTODO

ap ít ul

Cuántos triángulos hay

El método inductivo desarrollado en la clase anterior, permitirá entender la solución de los problemas que se presentan en el presente capítulo, usando los mismos principios. Una figura parecerá demasiado compleja, pero si la analizamos desde su forma más elemental, seguro que se encontrará en ella un patrón que nos permita usar la inducción de tal manera que al generalizar se podrá hallar el número de segmentos, de triángulos, cuadrados, palabras, etc que se busca en una determinada situación. * Ejemplo 1:

5 puntos: C

¿Cuántos segmentos hay en la figura?

C

R

E

CR; RE; EM; MA...

M

A

M

A

3

CM; RA...

2

CA...

1 Total: 10 segmentos

2 puntos: C 1 segmento

R

3 puntos:

R

En general, si sobre una recta hay "n" puntos, estos determinan:

C

E

CR; RE... 2 +

A

CE... 1 Total: 3 segmentos C

R

CR; RE; EM... 3 + CE; RM...

E

4+

CE; RM; EA...

Resolución:

4 puntos:

R

2

1 CM... Total: 6 segmentos

B

C

D

E...

Nº Segmentos =

E

M

n (n - 1) 2

Nota: Si consideramos los "espacios" entre las letras, entonces hay: Nº segmentos =

n (n + 1) 2

donde "n" es el número de espacios

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 18

RAZONAMIENTO * Ejemplo 2:

MATEMÁTICO

Resolución: Observar:

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

2 triángulos (1 x 2 = 2)

6 triángulos (2 x 3 = 6)

12 triángulos (3 x 4 = 12)

20 triángulos (4 x 5 = 20)

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Luego, en la figura 8 hay: Resolución: Observar que cada segmento que hay en la base, determina un triángulo. Luego, como hay 11 puntos, habrán:

Nº triángulos =

11 (11 - 1) = 55 2

8 x 9 = 72 triángulos * Ejemplo 5: ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “TELEVISOR”?

T E

* Ejemplo 3:

L V I

S

... Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Resolución: Observar:

R

R

V

V I

I

S

O R

E

I S

O

R

V

S

O

E

I

S

O

L

E V

I

Fig. 1

L

E

¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

E

O R

S

S

O

O

R

R

O R

R

Resolución:

3 letras: Fig. 1 1 esfera

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

1+2=3 esferas

1+2+3=6 esferas

1 + 2 + 3 + 4 = 10 esferas

1 + 2 + 3 + 4 +... + 15 =

15 (15 + 1) 2

* Ejemplo 4: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

1 letra:

E

T E

T

1

1

1

+

1

L

E

1

1 =2

+

1

L 2

E 1

+

L

1=4

maneras de leer TEL: 2 4 (=2 )

maneras de leer TE: 1 2 (=2 )

maneras de 0 leer T: 1 (=2 )

Luego: El número de esferas en la figura 15 es:

T

2 letras:

4 letras: T

= 120

E L E 1

1

+

1

E 3

1

L 2

+

E 1

E 3

L 1

+

E

1=8

maneras de leer TELE: 3 8 (=2 )

Luego: En esta distribución de letras se observa que el número de maneras de leer una palabra es 2n - 1, donde "n" es el número de letras de la palabra:

TELEVISOR

n = 9 letras

= 2 = 256 maneras de leer TELEVISOR.

9-1

2

8

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 19

Método Inductivo II

Practiquemos Bloque I

5. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 204 d) 209

b) 205 e) 220

c) 208

6. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

... Fig. 1

Fig. 2

a) 136 d) 139 a) 70 d) 73

b) 36 e) 74

c) 72

Fig. 3

b) 137 e) 140

c) 138

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?

3. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? Fig. 1

a) 210 d) 240

Fig. 2

...

Fig. 3

b) 220 e) 250

c) 230

8. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra SEBASTIAN? a) 13 d) 15

b) 12 e) 16

c) 14

S E B

4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

A S T I A N

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

N

a) 256 d) 127

A S

T I

A

B

A S

T I

A N

E B

T I

A N

b) 255 e) 512

A S I

A N

S T

T I

A N

I A

N

A N

N

c) 128

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 20

RAZONAMIENTO 9. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra ROMINA?

R R O R O M R O M I a) 63 d) 66

R O M I N

R O M I N A

b) 64 e) 128

R O M I N

a) 32 d) 36

3. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?

R O R M O R I M O R

... Fig. 1

c) 65

10.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra TRILCE?

T T T T T T

MATEMÁTICO

Fig. 2

a) 59 d) 63

Fig. 3

b) 60 e) 64

c) 61

4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

R R R R R

I I L I L C I L C E

b) 30 e) 40

c) 34 1

Bloque II 1. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?

2

3

a) 1305 d) 900

4...

29

b) 1300 e) 1350

30

c) 400

5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?

... Fig. 1

Fig. 2

a) 440 d) 380

...

Fig. 3

b) 450 e) 500

Fig. 1

a) 85 d) 89

c) 400

Fig. 2

Fig. 3

b) 101 e) 77

c) 81

6. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra AUTOMOVIL?

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

A U T O M O V 1

a) 19 d) 42

2

3

4

b) 38 e) 45

5...

19

c) 40

20

I L

L

a) 256 d) 127

M

V

T O

M O

V I

L

T O

O

I

U

O V

I L

b) 255 e) 125

O M V

I L

M O

O V

I L

V I

L

I L

c) 128

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 21

L

Método Inductivo II 7. ¿Cuántas regiones sombreadas "

" hay en la figura?

Bloque III

..

L

..

.. ..

.. ..

..

..

1. En la siguiente figura, determinar cuántos puntos de intersección determina la recta “L” con los lados de la figura:

1

.... .... 1

2

3

a) 2550 d) 2450

4....

38

b) 2600 e) 2680

39

40

a) 200 d) 197

2

3

4

5

b) 203 e) 201

...

...

99 100

c) 199

2. ¿Cuántos puntos de intersección se determinan cuando se intersectan 6 circunferencias?

c) 2700

a) 12 d) 42

8. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?

b) 27 e) 30

c) 36

3. ¿Cuántos palitos de fósforo se emplean en la figura 10?

Fig. 1

Fig. 2

a) 21 d) 25

Fig. 3

b) 22 e) 26

...

c) 24

9. ¿Cuántos palitos de fósforo se emplearon en la siguiente figura?

1

2

a) 196 d) 199

3

4

5

c) 198

10.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra EDUARDO?

E E D E D U E D U A a) 63 d) 255

E D U A R

b) 64 e) 125

Fig 2

98 99 100

b) 197 e) 200

E D U A R D

Fig 1

E D U A R D O

E D U A R D

E D U A R

Fig 3

E D E U D E A U D E c) 127

a) 165 d) 155

b) 187 e) 201

c) 205

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 22

RAZONAMIENTO 4. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “DEMONIOS”? DEMOMED DEMONOMED DEMONINOMED DEMONIOINOMED DEMONIOSOINOMED a) 210 d) 250

b) 240 e) 255

c) 190

MATEMÁTICO

5. Una bola especial cae desde una altura de “x” metros y en el primer rebote se eleva “a” metros, en el segundo rebote se eleva “b” metros, en el tercer rebote se eleva “c” metros y así sucesivamente. Hallar el producto de las alturas que va perdiendo en cada rebote. a) 0 c) x29 - 1 e) x29 - 27

b) x27 - 1 d) x27 - 27

Tarea domiciliaria 1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

5. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

F

I

G

U

R

A

6. ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan en la siguiente distribución?

2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

1

2

3

4

5

...

48

49

50

7. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

1 2 3 4 5

...

17 18 19 20

3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura anterior? 9. En la figura hay 8 rectas secantes entre sí. ¿Cuántos puntos de intersección se determinan? 4. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

10.¿Cuántos puntos de intersección se determinan con 12 rectas secantes?

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 23

Método Inductivo II 11.¿Cuántos puntos de intersección hay en la figura 10?

...

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

12.En el problema anterior, ¿cuántos puntos de intersección se determinan en la fig. 18? 13.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: AMIGOS en la siguiente distribución? A MM I I I G G G G O O O O O S S S S S S 14.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: INGRESASTE en la siguiente distribución? I N N G G G R R R R E E E E E S S S S S S A A A A A A A S S S S S S S S T T T T T T T T T E E E E E E E E E E 15.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

17. ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para hacer la figura mostrada?

1 2 3 4 .. . 15 18.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

... 1 2 3 4

48 49 50

19.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra LUNAR? L LUL LUNUL LUNANUL LUNARANUL 20.¿De cuántas maneras se puede leer la palabra PATRIOTA? P PAP PATAP PATRTAP PATRIRTAP PATRIOIRTAP PATRIOTOIRTAP PATRIOTATOIRTAP 21.¿Cuántas esferas se necesitan para formar la pirámide mostrada?

16.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

...

...

... ... 30 esferas

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 24

RAZONAMIENTO 22.¿Cuántas monedas hay en la figura 20?

MATEMÁTICO

26.En la siguiente distribución de palitos, ¿cuántos habrán en la figura 10?

...

... Fig 1

Fig 2

Fig 1

Fig 3

Fig 2

Fig 3

Fig 4

23.En el problema anterior, ¿cuántas monedas hay en la figura 39?

27. En la distribución anterior, hallar cuántos palitos se necesitan en la figura 20.

24.¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

* En la figura mostrada:

E C

B A

G

F

1

D

H

I

J

2

3 4

K ...

25.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

18 19 20

1

2 3 4 5 6

...

38 39 40

28.¿Cuántos triángulos hay hasta la fila 10? 29.¿Cuántos triángulos hay hasta la fila 15? 30.¿Cuántos triángulos hay hasta la fila 20?

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 25

C

I

4

o

FRACCIONES

ap ít ul

Fracción deriva del vocablo latín "fractum" que significa: roto, quebrado, fracturado. La idea general de fracción es que es una manera de

Vitrium Fractum

expresar que una cantidad ha sido dividida en partes iguales y se están considerando algunos de ellos. Por ejemplo, si dividimos una torta en 8 partes iguales y tomamos 3 de las partes, entonces se representa con la expresión: 3 . 8 El número de partes tomadas se llama numerador y se escribe sobre una barra (o raya 1 10

de la fracción) y el número total de partes iguales

5 41

3 70

1

10

en que se dividió la cantidad, se llama denominador y se escribe debajo de la raya.

Problemas resuelt os

2. En la siguiente figura, representar: 4 9

1. Representar gráficamente: 5 8 Resolución: * Se escoge una figura geométrica elemental y se divide en tantas partes iguales como lo indica el denominador. * Se sombrean tantas partes iguales como lo indica el numerador.

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

Resolución:

1/8

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 26

RAZONAMIENTO 3. ¿Qué fracción del cuadrado está sombreado?

MATEMÁTICO

Resolución:

3x5-4x2 7 = 4x5 20

3 2 4 5 E= 1 2+ 1 1 1 2

1x2-1x1 1 = 1x2 2

Reemplazando: Resolución: Se divide la figura en partes iguales, efectuando para ello trazos auxiliares (prolongando líneas, uniendo puntos, etc)

7 20 E= 1 2+ 1 2

7 20 4 1

= 2

=

7 80

5. Efectuar:

4 3 x + 5 2 E= 3 5  8 2

Partes sombreadas Total de partes

8 1 = 16 2

4. Efectuar:

Resolución:

6 5

3 2 4 5 1 E= 2+ 1 12

3 5 2



4 3 x + 5 2 3 5  8 2

3 10

3 5 2 3 20

=

6 3 3 + 5 10 2 = = 10 3 3 20 20

E = 10

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 27

Fracciones I

Practiquemos Bloque I

5.

Indicar en cada caso, que parte o fracción de la figura es la parte sombreada. 1.

Rpta.: ______ 6. En la siguiente figura, representar la fracción

3 . 10

7. En la siguiente figura, representar la fracción

1 . 4

8. En la siguiente figura, representar la fracción

5 . 24

9. En la siguiente figura, representar la fracción

1 . 3

Rpta.: ______ 2.

Rpta.: ______ 3.

Rpta.: ______ 4.

Rpta.: ______

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 28

RAZONAMIENTO Efectuar las siguientes operaciones:

10.

11.

12.

13.

MATEMÁTICO

3.

2 1 3 6 1 2

2

1 1 - 1 3 4 2

4.

1 1 1 1 + 2 3 4 8

1

1+

1+

14.

2 3 4

15.

3 5 4

1 2

1 6



1 . 4

5. Representar en la siguiente figura a la fracción

1 2

Bloque II Indicar en cada caso, que parte o fracción de la figura es la parte sombreada:

6. Representar en la siguiente figura, la fracción

1 . 4

7. En la siguiente figura, representar la fracción

7 . 10

1.

2.

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 29

Fracciones I Efectuar las siguientes operaciones:

3 1 + 5 2 8.

2

5+ 1+

3

1 2 + 8 5 3

+ 7

3 4

8

3 1 + 7 4 5

+ 3

2 3

=

2 1 3 4

9.

3. Efectuar:

1 2 2-

1 2 1 e) 3

a) 1

=

d)

1 4

b)

3 4

c)

5 8

4. Efectuar: 10.

1 1 3 5 6+ 3 5

3

1+

4

2+

=

1-

Bloque III

9 22 13 e) 3 22

7 22 13 d) 2 22 a) 1

1. ¿Qué parte de la figura, está sombreada?

b) 2

1 4

c) 1

9 22

5. Efectuar:

1-

5 a) 16 1 d) 3

3 b) 8 5 e) 24

5 c) 12

1 2

2 3 1 d) 120 a)

1-

1 3

1-

1 7 1 e) 2 b)

1 4

1-

1 5

c)

1-

1 6

1-

5 42

2. ¿Qué parte de la figura, está sombreada?

1 2 9 d) 16 a)

3 4 27 e) 32 b)

c)

5 8

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 30

1 7

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Tarea domiciliaria * Efectuar cada una de las siguientes operaciones:

1.

2.

9.

1 5  2 4 1 2 4

10.

1 4 2 3 1 4 2 4

1 1 1 2 4 1 1 2 3 3 2 3

2 3 4

2 4 1

1 2

11.¿Qué parte de la figura está sombreada? 3.

4.

1 2 5 3 3 5

4 1  5 2 1 1 1 1 2 12.¿Qué parte de la figura está sombreada?

5.

1 3 1  4 2 2 5 3

3 4

6.

1

1

1

1 2 13.¿Qué parte de la figura está sombreada?

7.

2 3 1   5 4 2 1 3 5   5 2 2

8.

2

2 2

2 2

1 2

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 31

Fracciones I 14.¿Qué parte de la figura está sombreada?

19.¿Qué parte de la figura está sombreada?

15.¿Qué parte de la figura está sombreada? 20.¿Qué parte de la figura está sombreada?

16.¿Qué parte de la figura está sombreada? 21.Efectuar:

3 1  4 25 1 4 2 8 17. ¿Qué parte de la figura está sombreada? 22.Efectuar:

2 3 1

1 3



4 5

23.Efectuar: 1  1  1  1   1   1   2  3 4 

18.¿Qué parte de la figura está sombreada? 24.Efectuar:

3 1  4 21 2 2 5 3

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 32

RAZONAMIENTO 25.Efectuar:

MATEMÁTICO

28.¿Qué parte de la figura está sombreada?

5 1  4 28 1 3 3 8

26.Efectuar:

2 1 1   5 3 2 1 5 9 2 3   3 4 5

29.¿Qué parte de la figura no está sombreada?

27. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

30.¿Qué parte de la figura no está sombreada?

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 33

C

5

o

FRACCIONES II

ap ít ul

Desafío "Tres días después, nos acercábamos a las ruinas de una pequeña aldea denominada Sippar cuando encontramos caído en el camino a un pobre viajero con las ropas desgarradas y al parecer gravemente herido. De inmediato nos acercamos a socorrerlo, y nos relató lo acontecido con la caravana del cual era jefe, ya que había sido saqueada, pero él consiguió escapar milagrosamente. ¿Traéis quizás algo de comer? Me estoy muriendo de hambre. -

Me quedan tres panes, le respondí. Yo llevo cinco, dijo a mi lado Bereniz.

Pues bien sugirió el jeque, yo os ruego que juntemos esos panes y hagamos un reparto equitativo. -Cuando llegue a Bagdad, prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma- y así lo hicimos. Cuando llegamos a Bagdad el jeque encontró un amigo suyo que de inmediato le entregó ocho monedas de oro. El jeque nos dijo entonces: Os agradezco amigos por el auxilio prestado, y dirigiéndose a Bereniz le dijo: Recibirás cinco monedas por los cinco panes que aportaste y tú oh Bagdalí! recibirás tres monedas por los tres panes. Más con gran sorpresa mía, el calculador objetó respetuoso: ¡Perdón oh jeque! La división hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta. (Texto adaptado de: "El hombre que calculaba")

¿Podrías explicar el razonamiento del calculador?

Aspectos elementales En esta clase dedicaremos nuestro estudio a la aplicación de fracciones a situaciones cotidianas, y serán resueltas de manera elemental.

2. ¿Cuánto le falta a

5 1 para ser igual a 2 ? 8 3

Resolución: -

Situación 1

Para efectuar una comparación, restamos; la 1 5 pregunta nos sugiere que 2 es mayor que . 3 8

Para hallar lo que le falta a una fracción respecto a una cantidad.

 2

1 5  3 8



Ejemplos: 1. ¿Cuánto le falta a

3 para ser igual a 4? 5

Resolución: 4

3 5



3. ¿En cuánto es excedido

7 5 41 17   1 3 8 24 24 5 3 por ? 3 7

Resolución: 5 3 26 5   1 3 7 21 21

17 2 3 5 5

Situación 2 Para hallar lo que le sobra a una fracción respecto a una cantidad.

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 34

RAZONAMIENTO Ejemplos:

3. Un atleta

entrena diariamente los

3  24  9 8

3 1 4   5 3 15 1 3 2. ¿Cuánto le sobra a 4 respecto a 1 ? 3 5 Resolución: 1 3 13 8 65  24 41 11 1     2 3 5 3 5 15 15 15

3. ¿En cuánto excede

8 3 a ? 5 7

8 3  5 7

pues:

Entrena 9 horas diarias. Situación 4 Para hallar qué fracción es una cantidad de otra. Esta comparación la haremos de acuerdo al esquema:

ES DE Ejemplos:

Resolución:

¿Cómo debe resolverse?

ó

3 8  7 5

1. Hallar qué parte de 48 es 32. Resolución:

8 3 56  15 41 6    1 5 7 35 35 35

Situación 3

ES DE

ES DE

5 de 48. 8

5 8



25 5  60 12

3. Tenía S/.30 y gasté S/.18. ¿Qué parte DE lo que gasté ES lo que no gasté?

Resolución: 6

x 48 = 30

3 15 de los de 4.. 5 6

Resolución: -

32 2  48 3

Resolución:

Ejemplos:

2. Hallar los



2. Hallar qué fracción de 60 es 25.

Para hallar la fracción de una cantidad.

1. Hallar los

del día.

Resolución:

Resolución:

4

3 8

¿Cuántas horas entrena al día?

3 1 respecto a ? 5 3

1. ¿Cuánto le sobra a

MATEMÁTICO

Para resolver estas situaciones, tengamos en cuenta que la palabra "de" indica una multiplicación. Así: 1

3

1

2 1

Resolución:

 ES 12 2 :   DE 18 3 No gasté : S/. 12  Gasté :

S/. 18

4. En el siguiente gráfico, indica qué parte del total representa la región no sombreada.

2

3 x 15 x 4 = 6 5 6

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 35

Fracciones II 3 2 de 1600 soles y Raúl gana los 8 9 de 5400 soles. ¿Cuánto le falta a Julián para ganar

Resolución:

2. Julián gana los

* Partes sombreadas: 3 * Partes no sombreadas: 9 * Total partes: 3 + 9 = 12

como Raúl?

3

ES DE

a) S/.1200 d) 1000

9 = 3 12 4 4

b) 600 e) 900

3. En un salón de 32 alumnos, faltaron los

Situación 5

alumnos asistieron?

Para hallar la variación (aumento o disminución) de una cantidad.

a) 28 d) 9

Ejemplos: 1. Si gasté

1 de mi diario, ¿qué parte me queda? 3

1 31 2   3 3 3

2 2. Se agregó a una cantidad sus , ¿qué parte resulta? 5 Resolución:

a)

3 8

b)

4 9

d)

2 9

e)

3 5

4 3. Si han transcurrido los del día, ¿qué parte del día 9 queda?

Resolución: 1

4 94 5   9 9 9

Pract iquemos Bloque I

1 1. El contenido de una botella de 2 litros de gaseosa, 2 1 se vacía en otra botella vacía de 1 litros. ¿Cuántos 4 litros quedan en la primera botella?

a) 1

2 3

b) 1

d) 2

1 3

e)

1 2

2 3

c) 1

c) 26

c)

3 9

5. Ricardo le pregunta a Carmela la hora y ella le responde: 5 "Han transcurrido los del día". ¿Qué hora es en ese 8 momento? a) 5:00 p.m. d) 4:00

2 52 7 1   5 5 5

b) 30 e) 32

3 . ¿Cuántos 16

4. En una reunión de amigos, 8 son hinchas de Alianza Lima, 6 de Cienciano y 4 de Cristal. ¿Qué parte del total de amigos, son hinchas de Alianza Lima?

Resolución: 1

c) 800

b) 6:00 e) 7:00

c) 3:00

6. Un cliente de un banco recibe como interés por su 1 dinero, del dinero que tenía ahorrado. ¿Qué fracción 16 del dinero que tenía es lo que tiene ahora? a)

1 17

b)

1 16

d)

17 16

e)

17 2

c)

16 17

7. Cirilo tenía 120 soles y gastó 80 soles en una camisa. ¿Qué parte de lo que gastó, es lo que le queda? a)

1 2

b)

2 9

d)

1 4

e)

3 4

c)

3 5

8. En el problema anterior, ¿qué parte de lo que tenía, es lo que no gastó? 1 4

a)

2 3

b)

2 5

d)

2 9

e)

3 4

c)

1 3

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 36

RAZONAMIENTO 9. Un depósito tiene 200 litros de agua. La primera hora 5 3 se consume los y la segunda hora los . ¿Cuántos 8 10 litros quedan en el depósito? a) 125 l d) 180

b) 60 e) 15

c) 185

10.En un concurso de "Salsa" fueron eliminados los de los participantes. ¿Qué fracción queda todavía?

a)

3 5

b)

8 3

d)

8 5

e)

2 9

c)

5 8

1 de 4 1 pulgada, pero en realidad sólo necesitaba de 2 2 pulgada. ¿Cuál es la diferencia de longitud de los tornillos? 2 5

b)

3 d) 4

1 4

c)

1 5

1 kg y el doctor le ha dicho que debe 2 1 bajar por lo menos 5 kg. ¿Cuál es el peso que debe 4 tener Ricardo?

d) 57

e) 60

13.Hallar los a) 380 d) 600

c) 57

1 4

2 3 5 de de de 3600. 8 9 4 b) 400 e) 500

c) 375

b) 802 e) 800

Bloque II

2 1. De una finca de 4200 hectáreas se venden los de 3 4 3 1 y se alquilan los de los de la finca. ¿Cuántas 5 4 7 hectáreas quedan? b) 1600 e) 1280

2. Si vendo una casa por los

c) 1500 3 5 de los de $ 7200 y un 8 9

1 1 1 de de de $ 2400, ¿cuánto recibiré é 2 3 4

caballo por en total?

b) 2700 e) 2600

c) 2900

en un traje los

7 del resto. ¿Cuánto me queda? 10

a) $ 28 d) 20

b) 16 e) 15

c) 30

4. Un muchacho tiene que hacer 30 problemas. Un día resuelve los

3 4 y al día siguiente los del resto.. 10 7

¿Cuántos problemas le faltan resolver aún? a) 9 d) 12

b) 24 e) 18

5. Tenía $ 96, con los y con los

c) 21

5 de esta cantidad compré libros 12

3 de lo que me quedó compré un traje. 8

¿Cuánto me queda?

1 14.Se quiere almacenar 200 kg de arroz en bolsas de 2 1 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitan? 4 a) 760 d) 780

c) 525

3. Con los $ 65 que tenía compré libros por $ 15 y gasté

12.Ricardo pesa 62

b) 58

b) 450 e) 225

a) $ 1600 d) 2800

1 e) 2

a) 61

¿Cuánto tiene ahora?

a) 1300 ha d) 1400

11.Carlos compró en la ferretería un tornillo de 3

a)

15.Julián tiene S/. 360 y gastó los 3 en comida. Luego le 8 pagaron los 1 13 del dinero que le quedó.

a) S/. 625 d) 425

3 8

MATEMÁTICO

c) 790

a) $ 35 d) 60

b) 20 e) 70

c) 30

1 menos de la edad que tengo, tendría 21 4 años. ¿Qué edad tengo?

6. Si tuviera

a) 32 años d) 31

b) 30 e) 28

c) 29

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 37

Fracciones II 1 1 de de mi finca y me quedaron 680 hectáreas. 5 7 ¿Cuál era la extensión de mi finca?

7. Vendí

a) 700 Ha d) 900

b) 600 e) 680

c) 595

8. Habiendo salido 80 alumnos de un colegio, permanecen 3 en el mismo los del total de alumnos. ¿Cuántos 8 alumnos hay en el colegio? a) 132 d) 140

b) 130 e) 134

c) 128

9. Si gastara $ 65 me quedaría con los

2 de lo que tengo.. 15

¿Cuánto tengo? a) $ 80 d) 90

b) 105 e) 75

c) 100

2 1 de mis lápices son blancos, son azules y los 5 3 12 restantes, verdes. ¿Cuántos lápices tengo?

10.Los

a) 70 d) 30

b) 40 e) 45

c) 60

2. Ayer perdí los 3 de mi dinero y hoy presté 5 del resto. 8 7 Si me quedan $ 33, ¿cuánto tenía y cuánto perdí? a) ($ 190 - 70) c) (160 - 32) e) (154 - 66)

b) (180 - 42) d) (180 - 30)

3. Si 2 de las gallinas de un campesino son blancas, 1 3 5 son negras y las 20 restantes pintadas. ¿Cuántas gallinas tiene en total, cuántas blancas y cuántas negras? a) (80 - 20 - 60) c) (100 - 30 - 70) e) (90 - 50 - 40)

b) (75 - 30 - 25) d) (120 - 60 - 60)

4. De una finca de 6300 hectáreas se venden primero los 5 de los 2 y más tarde los 2 de los 5 de los 9 . 3 6 5 7 9 ¿Cuánto me queda?

a) 2800 Ha d) 2900

b) 5300 e) 1000

c) 1800

2 9 de los 5 10 del costo, lo que me ha costado S/. 5000?

5. ¿Cuánto pierdo, cuando vendo por los

Bloque III 2 5 de una finca están sembrados de caña, los 9 8 de café y las 22 hectáreas restantes, de tabaco. ¿Cuál

1. Los

a) S/. 4000 d) 1800

b) 3200 e) 6800

c) 3400

es la extensión de la finca? a) 160 Ha d) 144

b) 148 e) 150

c) 180

Tarea domiciliaria 1. Un depósito tiene 500 litros de agua. Se extraen los 2/5 de su contenido y luego 60 litros más. ¿Cuántos litros quedan? 2. ¿Qué parte del año, son los días del primer bimestre? (año es bisiesto). 3. ¿Cuántas botellas de 3/4 litros se necesitan para almacenar el vino contenido en una pipa de 240 litros? 4. En cierto salón sólo dio examen los 5/8 de los alumnos. ¿Qué parte del salón no rindió examen?

1 5. ¿Cuántos quintos hay en 22 ? 5

6. ¿En cuánto excede 4 a la diferencia de 2 y 1 ? 3 3 2 7. ¿Cuánto le falta a 3 para ser igual al exceso de 2 4 sobre 1 ? 2

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 38

RAZONAMIENTO 8. En el Monumental hay 15000 hinchas de la “U”, 5000 hinchas de Alianza, 10000 hinchas de Cristal y 20000 hinchas del Boys, ¿qué parte del total son hinchas del Boys? 9. Según el problema anterior, si se retiran del estadio 15000 hinchas del Boys y 5000 hinchas de Cristal, ¿qué parte del nuevo total son hinchas de la “U”? 10.José tiene S/. 360 y gastó 2 en comprarse un pantalón; 5 1 del resto en un polo y del resto le dio la mitad a 6 Carlos. ¿Cuánto gastó en el pantalón? 11.En el problema anterior, ¿cuánto gastó en el polo? 12.Claudia reparte S/. 30 entre sus cuatro mejores amigas. A Mariana le da S/. 5, a Rocío S/. 15, a Luciana S/. 3 y el resto a Cirila, ¿qué parte del total le tocó a Cirila? 13.Teresa desea embotellar 70 litros de ron “Rasca Rasca Limón” en envases de 2 13 cada uno, ¿cuántos envases

MATEMÁTICO

20.En un salón de clase de 40 alumnos, los 2 viven en 5 Surco, 3 en Chorrillos y el resto vive en Surquillo.. 8 ¿Cuántos alumnos viven en Surquillo? 21.Una orquesta ganó S/. 2400 en una presentación. Un quinto se pagó en impuestos y el resto se repartió en partes iguales entre los 6 integrantes. ¿Cuánto recibió cada uno? 22.Restar el producto 3 por 10 de 8 5 9 5 23.Angie dice que tiene 20 años, después de bajarse la edad en 1 , ¿cuál es su verdadera edad? 6 24.En un concurso eliminaron a 2 de los participantes y 9 luego a la mitad de los que quedaban. Si todavía quedan 28 participantes, ¿cuántos eran inicialmente?

necesita?

7 de lo que no vendo, ¿qué parte del 4 total no vendo?

14.Si vendo los

15.Si gasto los 3 de lo que no gasto, ¿qué parte del total 8 gasto? 16.Rebeca gastó 2 de su dinero y le quedaron S/. 60. 5 ¿Cuánto tenía? 17. En una reunión, los 3 son hombres. Si hay 20 mujeres, 4 ¿cuál es el total de personas en la reunión? 18.Cuando son las 10 a.m., ¿qué parte del día ha transcurrido?

25.En el problema anterior, indicar cuántos concursantes fueron eliminados la primera vez. 26.En una fiesta, la tercera parte son hombres, además se sabe que de las mujeres, la quinta parte son profesionales y las mujeres restantes son 8 estudiantes. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? 27. En el problema anterior, indicar cuántos son los hombres en la fiesta. 28.Norma fue al colegio con 36 soles. Cada vez que sale al recreo gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento. ¿Cuánto le queda después del segundo recreo? 29.En el problema anterior, ¿cuánto gastó en el primer recreo? 30.En el problema 28, ¿qué parte de lo que tenía inicialmente Norma, es lo que gastó?

1 litros en 6 min. ¿Qué 4 tiempo demora en llenar otro depósito de 7 litros?

19.Un caño llenó un depósito de 5

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 39

1 = 1% 100 100 part es

C

6

o

TANTO POR CIENTO I

ap ít ul

TANTO POR CIENTO Es una o más de las partes de una cantidad dividida en 100 partes iguales. Por ejemplo, si tomamos 1 de las 100 partes, se 1 representa como y se lee "un 100 centésimo". Si tomamos 3 de las 100 partes, se 3 representa como y se lee "tres centésimos". 100 El tanto por ciento se representa con el símbolo: % Luego:

3 = 3% 100

a Por lo tanto: a% = 100

Fracciones equivalentes a:

10% =

10 1 = 100 10

50% =

20% =

20 1 = 100 5

100% =

25% =

25 1 = 100 4

200% = 200 = 2 100

50 1 = 100 2 100 =1 100

I. Aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

a a% de N = 100 x N

*

3 3 % 4 de 800 = 4 100

* 20% de 25N =

x 800 =

3 x8=6 4

1 20 x 25N = x 25N = 5N 5 100

II. Operaciones con porcentajes. Ejm: 20% M + 50%M - 10% M = (20 + 50 - 10)% M = 60% M 40% X + X - 20% X = 40% X + 100% X - 20% X = 120% X M M M M x 100% + x 100% + 25% M + + 25% M = 2 4 2 4 = 50% M + 25% M + 25% M = 100% M

Ejm: * 20% de 85 =

1 = 1% (se lee 1 por ciento) o también 100 3 = 3% (se lee 3 por ciento) 100

20 1 x 85 = x 85 = 17 100 5

* 65% de 700 =

65 x 700 = 455 100

(20% A) (80%A) =

20 80 16 2 = 4 2 A. A= A 25 A 100 100 100

3 3 1 3X Y 30X 15X X  10% Y = X Y=    10 10 4 4 4 4Y 2Y

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 40

RAZONAMIENTO III.Calcular el tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad.

a b a% de b% de N = x xN 100 100

MATEMÁTICO

5. Calcular el 20% del 40% de 1000. a) 80 d) 60

b) 70 e) 100

c) 90

6. Calcular el 25% del 75% de 1600. Ejm: Calcular:

a) 300 d) 340

20% de 30% de 600 =

15% de 42% de 8000 =

20 30 x x 600 = 36 100 100

15 42 x x 8000 = 504 100 100

10% de 20% de 50% de x =

x 10 20 50 . . .x= 100 100 100 100

IV.Calcular el tanto por ciento de una cantidad, respecto a otra.

B x 100% A

¿Qué % de "A" es "B"? = Ejm.: * ¿Qué % de 240 es 60?... Rpta:

60 x 100% = 25% 240

* Juan gana S/.1800 y le aumentaron S/.450. ¿Qué % de lo que gana es el aumento?

Pract iquemos Bloque I

c) 400

b) 750 e) 800

c) 760

3. Calcular el 30% de 400 más el 20% de 60. a) 132 d) 144

b) 140 e) 160

8. Efectuar: 25% M  20% M

Rpta.:______

9. Calcular: 1 % de a2 - b2 a+b

Rpta.:______

10.Calcular: x y % de y x

Rpta.:________ 11.Rigoberto ganó el premio de la Tinka que es de S/. 2000000 pero le descontaron el 30% en impuestos. ¿Cuánto cobrará? b) 1400000 d) 14500

12.Sandalio va a comprar un TV en S/.1200, pero le descontaron el 10%. ¿Cuánto pagó? a) S/.1080 d) 1300

b) 1100 e) 1400

c) 1200

a) 10% d) 50

b) 20 e) 60

c) 32

14.En un salón de 36 alumnos, 9 son mujeres. ¿Qué % del salón son mujeres?

2. Calcular el 62% de 1200. a) 744 d) 780

Rpta.:______

13.¿Qué % de 640 es 64?

1. Calcular el 25% de 800. b) 300 e) 600

c) 320

7. Efectuar: (30% X) (20% Y)

a) S/.14000 c) 1400 e) 160000

450 x 100% = 25% 1800

a) 200 d) 500

b) 400 e) 380

c) 142

a) 25% d) 32

b) 30 e) 48

c) 40

15.En el problema anterior, ¿qué % del salón son hombres? a) 60% d) 80

b) 50 e) 90

c) 75

4. Calcular el 40% de 850 menos el 10% de 500. a) 290 d) 340

b) 300 e) 350

c) 310

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 41

Tanto por ciento I Bloque II 1. Fátima pagó el 20% de una deuda de 300 soles. ¿Cuánto pagó Fátima? a) S/.60 d) 90

b) 70 e) 100

c) 80

2. Una secretaria gana 600 soles mensuales y le van a aumentar el 15%. ¿Cuánto ganará? a) S/.90 d) 100

b) 690 e) 80

c) 700

3. En un salón de 36 alumnos, fueron desaprobados 9 alumnos. ¿Qué % del salón desaprobó? a) 25% d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

4. Carmelo compró una casa en $ 20000 pagando el 50% al contado y el resto en 5 partes. ¿Cuánto debe abonar por cada una de las partes? a) $2000 d) 6000

b) 3000 e) 2500

c) 5000

5. Después de descontarle a una persona el 18% de su sueldo, ésta cobró $820. ¿Cuánto cobraría la persona sin el descuento? a) $1000 d) 900

b) 1200 e) 890

c) 1100

6. Una casa es de dos hermanos; la parte de uno de ellos es el 40% y está valorizada en $ 12000. ¿Cuál es el valor de la parte que corresponde al otro hermano? a) $18000 d) 12800

b) 19000 e) 12000

c) 20000

7. Se pagó $413 por una casaca de cuero, luego de aumentarle el 18% de IGV. ¿En cuánto se vendía dicha casaca (sin IGV)? a) $350 d) 400

b) 300 e) 380

c) 200

9. Después de descontarle el 20% al precio de una lancha, se pagó $80000. ¿En cuánto se vendía inicialmente la lancha? a) $100000 d) 140000

b) 120000 e) 150000

c) 130000

10.Tres socios se reparten $ 48000. El primero recibe el 40% y el segundo el 35%. ¿Cuánto recibirá el tercer socio? a) $12000 d) 18000

b) 15000 e) 20000

c) 16000

Bloque III 1. ¿8% de 36 es 72% de qué número? a) 2,06 d) 4

b) 2,88 e) 40

c) 3,24

2. De un tonel de vino se extraen, primero el 20% y luego el 25% de lo que queda. ¿Qué porcentaje del total se extrajo? a) 45% d) 35

b) 40 e) 30

c) 38

3. ¿Qué tanto por ciento respecto al costo se ha ganado cuando se vende en 120 soles lo que ha costado 96 soles? a) 15% d) 24

b) 18 e) 25

c) 20

4. Tengo 2000 soles. Si gastara el 20% de lo que tengo y ganara el 20% de lo que me quedaría, ¿cuánto tendría? a) S/.200 d) 1900

b) 2100 e) 1920

c) 1980

5. De un granero, el 40% es arroz. Si se ha vendido el 15% de arroz, ¿en qué porcentaje disminuye el granero? a) 55% d) 6

b) 15 e) 5

c) 25

8. En un Instituto hay 125 alumnos de los cuales el 36% son varones. ¿Cuántas mujeres hay en dicho Instituto? a) 45 d) 25

b) 80 e) 60

c) 100

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 42

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Tarea domiciliaria 1. Expresar como fracción: 20% + 40% 2. Expresar como fracción: 30% + 50% 3. Expresar como fracción: 60% - 10% 4. Hallar: 20% de 400

17. Una señora va al mercado, donde al comprar un cierto número de naranjas le regalan un 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró? 18.Hallar el 10% de los 2/5 del 40% de 6000.

5. Hallar: 33% de 60

19.Una cantidad aumentada en su 13% es S/.1356. ¿Cuál es dicha cantidad?

6. Hallar: 10% del 40% de 800

20.¿De qué número es 384 el 4% menos?

7. Hallar: 20% del 30% de 600

21.¿Qué porcentaje de “A” es “B”, si: 45%A = 75%B?

8. ¿Qué % de 80 es 20?

22.Si “M” aumenta en un 50%, ¿qué porcentaje del número “M” aumentado, representa “M”?

9. ¿Qué porcentaje de 640 es 32? 10.Hallar el 20% más de 480 11.¿De qué número es 315 el 5% más? 12.¿El 4/9% del 9/12% de qué número es 5 x 10-5? 13.¿El 20% de qué número es el 40% del 5% de 600? 14.El 15% del 40% de los 5/8 de un número es equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El número es: 15.¿Cuál es el número mayor? a) b) c) d) e)

Un Un Un Un Un

número cuyo número cuyo número cuyo número cuyo número cuyo

60% es 240 80% es 64 5% del 40% es 80 0,03% es 15 0,05% del 6% es 0,003

16.Si Olga tuviera el 35% menos de la edad que tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 8 años?

23.Si el 80% de “M” es igual al 40% de “N”, ¿qué porcentaje de “N” es “M”? 24.Una secretaria ejecutiva gana 1200 soles mensuales y una auxiliar de oficina gana el 60% de la secretaria. ¿Cuánto gana una auxiliar? 25.Un balón de gas costaba 30 soles y debido a la inflación del 10% aumentó su precio. ¿Cuánto cuesta ahora el balón de gas? 26.Juan compró un terno en 600 soles, luego que le rebajaron el 20%. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja? 27. Las pensiones en un colegio eran de 360 soles mensuales y subieron el 10%. ¿Cuál es el monto actual de la pensión? 28.Si: 20% M = N y además M + N = 600, hallar “M” 29.Hallar el 32,48% de 50

30.El

a b2 % de es 2, hallar “b” b a

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 43

C

7

o

TANTO POR CIENTO II

ap ít ul

Aplicaciones comerciales

% 10 20%

10%

15%

15%

10%

10%

Cuando se colocan precios a los artículos para venderlos al público, se tienen presente muchas variables: FOB (precio de factura), FLETE (marítimo, terrestre o aéreo), SEGURO, Ad Valorem (Impuesto arancelario), Comisión Agencia Aduana, Gastos financieros, Gastos operativos (desaduanaje), margen de utilidad, descuento al precio de lista, IGV, entre otros. Los elementos básicos a considerar en el presente capítulo son únicamente: V: precio de venta C: precio de costo g: ganancia p: pérdida Estos elementos están relacionados de la siguiente manera: V=C+g

Problemas resuelt os 1. Un comerciante compró un TV en $400 y luego lo vendió ganando el 10% del costo. ¿En cuánto vendió el TV? Resolución: Costo:

C = $400

V=x

Ganancia:

g = 10% (venta) = 10% (x) =

Luego:

V=C+g

x-

9x

g = 10% (costo) = 10% (400) =

10 100

(400) = $40

V=C+g V = 400 + 40 = $440

2. Un comerciante compró un VHS en S/.270 y lo vendió ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto vendió el VHS? Resolución: Costo:

Venta:

x = 270 +

Ganancia:

Venta:

V=C-p

C = S/.270

10

x 10

x 10

x 10

= 270

= 270

x = S/.300

3. Hermenegildo vendió un DVD en $ 420, ganando el 5% del costo. ¿Cuánto costó el DVD? Resolución: V=C+g 420 = x + 5% (x) x 420 = x + 20 21x 420 = x = $400 20

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 44

RAZONAMIENTO 4. Casimiro vendió una filmadora en $ 400, ganando el 15% de la venta. ¿Cuánto costó la filmadora? Resolución:

V

= C +

6. Plutarco iba a comprar una casa en $ 86000, pero le hicieron dos descuentos sucesivos del 20% y 15%. ¿Cuánto se pagó por la casa? Resolución:

g

400 = x +

15% (400)

400 = x +

60

1er Dscto. 20%

5. Telémaco iba a comprar un auto y le hicieron sucesivamente dos descuentos del 20% y luego del 30%. ¿Cuál fue el descuento único? Resolución:

Queda: 80%

2do Dscto. 15%

x = $340 Queda: 80%

1er Dscto. 20%

MATEMÁTICO

x

85%

=

80 x 85 % = 68% 100

Luego: Por la casa se pagó: 68 68% (86000) = (86000) = $58480 100

2do Dscto. 30% x

70%

=

80 x 70 % = 56% 100

Luego: El descuento único = 100 - 56 = 44%

Practiquemos Bloque I 1. Se compró un auto en S/. 4800 y se vendió en S/. 5200. ¿Cuánto se ganó? a) S/.400 d) 700

b) 500 e) 800

c) 600

2. Javancho compró una cámara fotográfica digital en $ 360 y la vendió en $ 410. ¿Cuánto ganó? a) $50 d) 80

b) 60 e) 90

c) 70

3. Waldir compró un par de chimpunes "ADEDOS" en $ 180 y los vendió en $ 120. ¿Cuánto perdió? a) $60 d) 160

b) 40 e) Nada

c) 300

4. Cuto vendió un buzo "WATON" en S/. 320, ganando S/. 80. ¿Cuánto le costó? a) S/.240 d) 280

b) 400 e) 260

c) 350

5. Xamir vendió un DVD en $ 320, perdiendo $ 30. ¿Cuánto le costó? a) $300 d) 310

b) 350 e) 280

c) 290

6. Teléforo compró una lavadora en $ 560 y la vendió ganando el 10% del costo. ¿En cuánto se vendió la lavadora? a) $616 d) 640

b) 620 e) 650

c) 630

7. Rosauro compró una moto en $ 2500, pero luego de un accidente tuvo que venderla perdiendo el 20% del costo. ¿En cuánto se vendió la moto? a) $2000 d) 2200

b) 3000 e) 2400

c) 2300

8. Plenitud compró una bicicleta en S/. 800 y la vendió en S/. 1000. ¿Qué porcentaje del costo ganó? a) 25% d) 40

b) 20 e) 45

c) 30

9. En el problema anterior, ¿qué % de la venta ganó? a) 20% d) 25

b) 30 e) 32

c) 40

10.Nikita compró un TV en $ 600 y lo vendió ganando $ 50. ¿Qué % del costo ganó? 50 % 3 d) 25

a)

b) 30

c) 40

e) 32

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 45

Tanto por ciento II 11.En el problema anterior, ¿qué % de la venta ganó? a) 13 % d) 38

100 13 e) 42

b)

c) 20

12.Cándido vendió un auto en $ 6000 ganando el 20% del costo. ¿Cuánto se ganó por el auto? a) $ 1000 d) 1500

b) 2000 e) 1800

c) 3000

13.En el problema anterior, ¿en cuánto se compró el auto? a) $5000 d) 5800

b) 4000 e) 6120

c) 5200

14.¿Cuánto se pierde al vender en S/. 340 lo que costó S/. 400? a) S/.60 d) 200

b) 40 e) 100

c) 160

15.En el problema anterior, ¿cuánto se pierde (%) respecto a la venta? a) 300 % 7 d) 69

b) 200 7 e) 70

c) 40

1. Ricardo pone a la venta un lote de 100 camisas, luego de un tiempo, como no se vendía el lote, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. ¿Cuál fue el descuento único? b) 72 e) 30

c) 38

2. Un equipo de sonido AIGUA se pone a la venta en S/.1000. Pasado algún tiempo, se le hicieron dos descuentos sucesivos de 20% y 10%. ¿En cuánto se vendió el equipo? a) S/. 800 d) 500

b) 720 e) 660

c) 900

3. En el problema anterior, ¿cuál fue el descuento único? a) S/. 280 d) 300

b) 380 e) 260

c) 800

4. Una casa está valorizada en $ 60000. Se le hacen dos descuentos sucesivos del 5 % y 10 %. ¿En cuánto se vendió? a) $5200 d) 5310

b) 5300 e) 4000

c) 5130

5. En el problema anterior, ¿cuál fue el descuento único? a) S/. 870 d) 600

b) 800 e) 500

a) 25% d) 45

c) 900

b) 30 e) 32

c) 40

7. Un equipo SONIER es vendido en $ 800 con una pérdida del 10 % de su precio de venta. ¿Cuál fue su costo? a) $ 880 d) 890

b) 720 e) 820

c) 800

8. Se compró un reloj en S/. 240 y se vendió perdiendo el 30 %. ¿Cuál fue su precio de venta? a) S/. 168 d) 170

b) 210 e) 180

c) 72

9. Un auto se compró en 3600 dólares; después de hacerle algunas mejoras, se vendió en 4200 dólares. ¿Cuál fue el % de ganancia respecto al costo? a) 20%

b) 30

d) 60

e) 16

c) 40 2 3

10.En el problema anterior, ¿cuál fue el % de ganancia respecto al precio de venta? a) 100 % 7 d) 60

Bloque II

a) 28 % d) 20

6. Sofía compró una tabla en $ 120 y luego la vendió en $ 150. ¿Cuál fue su ganancia en porcentaje?

b) 30

c) 40

e) 80

Bloque III 1. Una camisa que costó S/. 140 se vende ganando el 20% del precio de venta. ¿En cuánto se vendió? a) S/. 200 d) 108

b) 175 e) 160

c) 150

2. Se vende un vestido en 4200 pesos ganando el 14 % del costo mas el 5 % de la venta. ¿Cuánto costó el vestido en pesos? a) 3685 d) 4000

b) 3475 e) 3500

c) 3800

3. Se venden dos objetos en S/. 1200 cada uno. En uno ganó el 20 % del costo y en el otro perdió el 100/7 % del costo. ¿Cuánto se gana o se pierde? a) S/. 100 d) 300

b) 400 e) 0

c) 200

4. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo cuyo costo es 75 soles, sabiendo que se va a hacer una rebaja del 20 % y aún así se ganará el 60 % del costo? a) S/. 150 d) 160

b) 90 e) 180

c) 120

5. Un comerciante vendió un lote de tela por 9600 soles ganando el 20% del costo. Si por cada metro ganó 20 soles, ¿cuántos metros negoció? a) 64 d) 72

b) 80 e) 96

c) 120

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 46

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Tarea domiciliaria 1. Un TV se compró en $300 y se vendió en $360. ¿Qué porcentaje del costo se ganó? 2. Un TV se compró en $450 y se vendió en $480. ¿Qué porcentaje de la venta se ganó? 3. Un auto se vendió en $6600 ganando el 10% del costo. ¿Cuánto costó el auto? 4. Un auto se vendió en $8000, ganando el 10% de la venta. ¿Cuánto costó el auto? 5. Un terreno se compró en $3000 y se vendió ganando el 20% del costo. ¿En cuánto se vendió el terreno? 6. Un terreno se compró en $4500 y se vendió ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto se vendió el terreno? 7. Se perdió $600 al vender una moto en $5400. ¿Qué porcentaje del costo se perdió? 8. Se perdió $400 al vender una moto en $5000. ¿Qué porcentaje de la venta se perdió? 9. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único de: 10.Dos descuentos sucesivos del 30% y 50% equivalen a un descuento único de: 11.Dos descuentos sucesivos del 40% y 10% equivalen a un descuento único de: 12.Se vendió un artículo ganando el 10% del costo. Si costó S/.1200, ¿en cuánto se vendió? 13.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivalen al 24% del 0,01% de 1000. Hallar dicho número. 14.Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único del: 15.Un televisor cuesta $300. Si al venderlo se hace un descuento del 10%, ¿en cuánto se vendió? 16.El 20% del 30% de 500 es:

17. En un salón de 45 alumnos el 20% salió desaprobado en un examen y el 50% del resto no asistió. ¿Cuántos aprobaron el examen? 18.En un centro de trabajo el 40% de los trabajadores son mujeres. Para el día del trabajo, se fueron de paseo el 30% de las mujeres con el 20% de los varones. ¿Qué porcentaje del total de los trabajadores se fue de paseo? 19.Un alumno, en su viaje de promoción a Tacna, compró un reloj en 240 soles. En Lima vende el reloj a un amigo en 300 soles. ¿Qué porcentaje del costo es su ganancia? 20.Juana vende un reloj ganando el 50% del precio de compra. Si el reloj le costó S/.60, ¿a cuánto lo vendió? 21.Ruperto vende una tostadora a $30 perdiendo el 15% del precio de compra, ¿cuánto le costó la tostadora? (aprox). 22.El libro “La fiesta del chivo” cuesta $40. Si Mario decide rematar el libro haciendo dos descuentos sucesivos del 30% y 50%, ¿cuánto costará el libro luego de dichos descuentos? 23.Si vendo en $40 algo que me costó $ 25, ¿cuánto gano? 24.Dos descuentos sucesivos del 80 % y 60% equivalen a uno del: 25.Dos descuentos sucesivos del 30% y 60% equivalen a uno del: 26.Se vendió un equipo de sonido en $480, luego de descontarle el 20%. ¿Cuál era el costo antes del descuento? 27. Una casa se vendió en $25000 ganando la quinta parte de la venta. ¿Qué porcentaje del costo se ganó? 28.En el problema anterior, ¿qué porcentaje de la venta se ganó? 29.Se vendió un horno microondas en S/.600 ganando el 20% del costo. ¿Cuánto costó el horno? 30.En el problema anterior, ¿qué porcentaje de la venta se ganó?

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 47

C

8

o

REPASO

ap ít ul

Practiquemos Bloque I

6. Sabiendo que:

En la siguiente figura: M: número de triángulos con 1 letra. N: número de triángulos con 2 letras. P: número de triángulos con 3 letras.

b

e

=4+9

2

= 9 + 16

3

= 16 + 25

hallar: 20 + 40

d a

1

a) 4370 d) 4500

f

c

b) 4380 e) 4600

c) 4390

7. Indicar en qué cifra termina: 2 x 555 + 7 x 3542 + 9

1. Hallar: M + N Rpta.:______

2. Hallar: N + P

Rpta.:______

3. Hallar el número total de triángulos.

Rpta.:______

4. ¿Cuál es el máximo número de triángulos que se determinan al trazar una recta, en la siguiente figura?

a) 5 d) 6

b) 9 e) 2

8. Calcular:

1 + 2 + 3 +... + 50

a) 1275 d) 1300

b) 1280 e) 1400

9. Calcular:

5. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "A" hacia "B", si en cada viaje no se puede pasar dos veces por un mismo punto? B

c) 1290

2 + 4 + 6 +... + 60

a) 930 d) 850 Rpta.:______

c) 4

b) 950 e) 600

10.Calcular:

c) 1000

11 + 13 + 15 +... + 63

a) 1000 d) 900

b) 999 e) 1500

c) 860

11.¿Cuántos palitos de fósforo se emplearon en la siguiente figura?

1

A

Rpta.:______

a) 50 d) 56

2

b) 52 e) 58

3

...

24

c) 54

"Y si alguno de vosotros tiene falta de sabiduría, pídala a Dios, el cual da a todos abundantemente y sin reproche, y le será dada" Santiago 1:5 48

RAZONAMIENTO 12.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

MATEMÁTICO

2. ¿De cuántas maneras se puede viajar de "A" hacia "B", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada viaje?

A

a) 12 d) 15 a) 72 d) 56

b) 73 e) 36

c) 74

13.Efectuar:

3 1 4 x 4 2 5 1 2 5 7 a) 44

1 b) 1 2

44 d) 7

3 e) 5

2 c) 9

14.Efectuar:

3 1 2 a) 16 d) 22

b) 18 e) 24



3 4 2

b) 62 e) 90

a) $660

b) 650

d) 300

e) 666

M M M M M M M

2 3

E E E E E E

D D D D D

R R A R A N R A N O b) 63 e) 127

c) 32

5. Efectuar:

5 1 8 2 3 4 1 4

b)

1 8

d) 4

e)

1 9

a)

1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

c) 540

4. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra MEDRANO?

c) 70

Bloque II

c) 14

3. Luis Angel Fabricio, compró una bicicleta en $ 600 y la vendió ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto se vendió la bicicleta?

15.Calcular el 25% del 10% del 50% de 5000. a) 62,5 d) 80

b) 13 e) 16

a) 64 d) 128 c) 20

B



1 1+

1 2

c)

1 5

6. ¿Qué parte de la figura, está sombreada?

a) 63 d) 58

b) 56 e) 62

c) 57

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 49

Repaso 1 a) 2

d)

1 b) 3

1 5

e)

1 c) 4

1 6

3 ; se le agregaron 5 80L y se llenó completamente. ¿Cuál es la capacidad

7. Un depósito estaba lleno hasta sus

2. Al vender un auto en $6600, se está ganando el 10% del costo más el 10% de la venta. ¿Cuánto costó el auto? a) $ 5600 d) 5200

b) 5400 e) 5100

c) 6000

3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

del depósito? a) 40L d) 250

b) 200 e) 400

c) 220

8. Un reloj se vendió en 220 soles, ganando el 10% del costo. ¿En cuánto se debió vender para ganar el 10% del costo?

10.El 30% del 20% de 360 es igual al 25% del 10% de un número. Hallar el número. a) 864 d) 950

b) 860 e) 840

c) 900

Bloque III

2 de lo que 3 le falta recorrer. ¿Qué parte de la distancia total, le falta recorrer todavía?

1. Un auto recorrió una distancia igual a los

1 2 2 d) 5 a)

1 3 3 e) 5

b)

1 1 1 1

c)

2 3

Fila 20: a) 180 d) 105

1

1 1

1

1... b) 320 e) 210

1 1

1 .

c) 108

Fila 1: Fila 2: Fila 3: Fila 4:

1

..

b) 104 e) 120

4. Hallar la suma de todas las filas de números, en la siguiente distribución:

..

a) 144 d) 109

c) 32

.

hombres quedan.

b) 25 e) 42

..

3 5 son mujeres. Si se retiran 40 parejas, indicar cuántos

9. En una reunión hay 360 personas, de las cuales los

a) 40 d) 35

.

c) 220

..

b) 210 e) 204

.

a) S/.200 d) 230

1 c) 420

5. Efectuar: 25 2525 252525 25252525 + + + 36 3636 363636 36363636

5 6 25 d) 36 a)

25 9 1 e) 3 b)

c)

5 12

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 50

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Tarea domiciliaria 10.¿En qué cifra termina el resultado de la operación siguiente: 2313 + 1153 + 365?

1. ¿Cuántos tercios hay en 6 2/3? 2. Hallar el 40% de los 2/3 de 120 3. Julián compró un auto en $2500 y luego lo vendió en $3000. ¿Qué porcentaje del costo ganó?

11.Mafalda tiene dos celulares y decide venderlos a S/.150 c/u. Si en “LG” gana el 20% del precio de compra y en “Motorola” pierde el 20% del precio de compra, al final, ¿ganó o perdió dinero?¿cuánto?

4. ¿Cuánto le falta a los 4/5 de 120 para ser igual a los 3/4 de los 4/5 de 500?

12.Cuatro descuentos sucesivos del 10%, 50%, 40% y 50% equivalen a uno del:

* En la siguiente figura: * Si: a 

C

B

A

G

5 1 4 ; b ; c 8 3 9

13.Hallar: 1 1 1   a b c

D

F

14.Hallar: 1 1 23 a b

E

5. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “A” hacia “D”, sin pasar dos veces por un mismo punto?

15.Hallar:

b c  3 5 4 2

6. ¿De cuántas maneras se puede viajar de “B” a “D”, pasando por “C”, sin pasar dos veces por un mismo punto? 7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

16.Tengo S/.240. Gasto la mitad en un walkman y la tercera parte del resto en un CD de Dina Páucar. ¿Cuánto dinero me sobra luego de las dos compras? 17. En el problema anterior, ¿cuánto costó el CD de Dina Páucar?

8. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

18.En la siguiente suma, hallar “a + b + c”

30 sumandos

7 + 77 777 7777

... ...

...

7 7 7 ... 7 7 ... a b c

19.En la siguiente suma, hallar “a + b + c” 9. Si:

1 1

13 2

hallar “x”

... ...

1  3  5  ...  15  x

40 sumandos

.. .

135 3 . . .

4 + 44 444 4444 4 4 4 ... 4 4 4 ... a b c

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 51

Repaso * En la siguiente figura:

24.Hallar los 2/3 de 60 y sumarlos con los 4/5 de 125 25.Un depósito tiene 300 litros de agua. Se extrae los 2/5 y luego se agregan 20 litros. ¿Cuántos litros de agua hay ahora en el depósito?

c d h

e

b a se sabe que:

M: triángulos con 1 letra N: triángulos con 2 letras P: triángulos con 3 letras Q: triángulos con 4 letras R: triángulos con 6 letras

g f

26.Juan pesa 80 kg y después de una dieta bajó 1/8. ¿Cuánto pesa ahora Juan? 27. El 20% de 40 equivale al 10% del 50% de “N”. Hallar “N” 28.En un negocio, Raquel ganó 1/5 del dinero que tenía. ¿Qué fracción del dinero inicial tiene ahora Raquel? 29.Efectuar:

1 2 x 13 1 10 3 4 2

20.Hallar “M + P” 21.Hallar “N - Q” 22.Hallar “Q - R”

30.¿Cuántos triángulos hay en la figura?

23.Hallar “M - R”

1

2

3

4

38 39 40

"Te exaltaré, mi Dios, mi Rey, y bendeciré tu nombre eternamente y para siempre" Salmos 145-1 52