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• Diego

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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

PROBLEMA 8. Dado el mecanismo de la figura y utilizando el Principio de los Trabajos Virtuales, obtener la fuerza aplicada por el cilindro hidraúlico C, para un ángulo 8= 30., si el mecanismo está en equilibrio bajo la acción de la carga vertical P de 5 kN sabiendo que el peso de las barras es despreciable.

..'..,. .' F .o: ~

¡:; '" -;

182

...~ ..., O:H

TEMA 2. ANALlSIS DINAMICO DE MECANISMOS

PLANOS

Solución: En primer lugar se obtendrá el áugulo a para poder calcular las componentes de la fuerza que ejerce el cilindro hidraúlico.

Xc

Xo

"

"

, ' ,

' 9," F

4 y

J

0:::1

'" '"


' ~+ b 2.a.e.F a.b

2.a.!;'.b64 2.a.b -2'a'J¿~ -+J64+b

+-2.a.e.F Q.b y

2.e1 b

= 2.e.F b

- Q

¿Cómo se podria conseguir que para una misma fuerza de accionamiento F aumente la fuerza punzonadora Q? Obsérvese corno la fuerza Q transmitida aumenta si se aumenta e y se disminuye a para una determinada F.

203

PROBLEJfAS RESUELTOS DE TEORÍADE MÁqUiNAS Y MECANISMOS

PROBLEMA

13.

El mecanismo de la figura corresponde al tren de aterrizaje de una avioneta, el cual se repliega al aplicar sobre la barra 2 un momento alrededor del eje que pasa por O,. Se pide: a) Para la posición que se indica en la figura, calcular el valor de T necesario que se debe aplicar para elevar la rueda. Utilícese el Planteamiento de Newton. b) Calcular también la fuerza cortante que debe aguantar el pasador situado en O2. Datos másicos e inercia!es:

m, = m, = O.Conjunto formado por la barra 4 y la rueda m.

~

dad en G.

Datos geométricos: El punto B se encuentra sobre la vertical de O,. 0.B=80cm,

O,A =50cm,

AB=50cm

y BG

~

20 cm.

40cm ---

T 20 cm

G)

204

50 Kg. con centro de grave-

TEM4 2. ANALISIS DINAMICO DE MECANISMOS

PLANOS

Solución:

Los diagramas de cuerpo libre son los siguientes:

¡,12y

¡,: 04

11;

O2

Barra 4

Barra 2

¡,;

1,; A

1131

¡

..l 32

-A

1,;

f(

G) 14;

Barra 3 F"43

B

ANGULOS Barra 4

BalTa 2

Barra3

04

e,

BA', -----

205

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

Del dibujo de la figura se obtiene que: -40 sen (B ) =-~B=120° 4

80

BJ=3600-B, ~cos(B3)=cos(B2) 80.cos(B,)+20=

2.cos(B,)~

B, = 296,77°~ B3= 63,230

Aplicando las ecuaciones de Newton a la barra 2, se tiene que:

¿F.=0

(1)

J,; + J3; = O

¿F }' =0

(2)

J,>' ,,+ p-O 32-

(3)

T+BC.cos(B,).Ji, -BC.sen(B,)'J3; =0

¿M

B

=O

Aplicando las ecuaciones de Newton a la barra 3, se tiene que:

¿F. =0

(4)

f{, +f,

¿Fy =0

(5)

f!,+f¡'o

¿MD=O

(6)

DC.cos(B,). Ji, -DC-sen(B3). Ji, =0

¿F,=O

(7)

¿F }' =0

(8)

F>' J14 +"f

(9)

-AD.cos(B,).J!' +AD.sen(B,).J,~ +AG.cos(B,)'P=O

¿MA

=O

o

>.-

-

P- O

Teniendo en cuenta que, por el principio de acción y reacción: J,~ =- J3;

J'¡;=-Ji,

J3~=-J,~

f 34-- J.43

)' -

y

las ecuaciones quedan así: (1)

J,; + J3; =0

(2)

J,~ + Ji, = O

(3)

T+BC.cos(B,).Ji, -BC.sen(B,)'J3; =0

(4)

-J3;+f4~=O

206

.

TEMA 2- ANÁLISIS DINÁMICO DE MECANISMOS PLANOS

y- O

y

(5)

-

f 32+ f, '3-

(6)

-

DC -cos(8,)- f3i + DC -sen(8])' f3;

(7)

¡,; -

(8)

¡;; - f./;

(9)

AD - cos(84)- fZ, - AD -sen(B4)- f4~ + AG - cos(B,)-

=O

f4~ = O - p

=O P

~

O

De la ecuación (4) Y (5) se obtiene:

f]~

= f4~

f]; ~f4; De la ecuación (6) se obtiene:

f3~

DC-cos(8])-f]; DC-sen(8])

=cot(8])-f3i-

Sustituyendo numéricamente f3~ = 0,5.f(, Sustituyendo J,~ en (9): - AD- cos(B,)- f(, + AD.sen(B,)-0,5 -J,i + AG -cos(8,)- P = O De donde se obtiene que:

fi o

AG-cos(B,)-P

-328,57 N

(AD-cos(84)-AD-sen(8.).0,5)

Sustituyendo en (3) f]i y f3~: T =-BC

-cos(8,)- f{, + BC -sen(8,)- f3;

T = 50 - cos(296,77')

-328,57 -

~

50 -sen(296,77') -0,5 -328,57 = 14733,42 N

Por otro lado, de la ecuación (7) y (4) se obtiene

¡,;

= fd; = J,~ = 0,5 -f(, = -164,28 N

y de (8) se obtiene ¡,; = fZ, +P como f./; = f(, y f(, = -328,57 N Entonces ¡,: = f!, + P = -161,92 N

207

PROBLEMASRESUELTOSDE TEORÍADE MÁQUINAS YMECANISMOS

PROBLEMA 14. La mitad de la carga W = 4 kN de la pala excavadora que muestra la figura está soportada por la barra ACG y por el cilindro hidráulico BC. Determinar fuerza que dicho cilindro debe de ejercer sobre el mecanismo si se quiere que este se encuentre en equilibrio estático para la configuración mostrada en la figura. Se pide resolver el problema mediante los siguientes métodos a) Leyes de Newton. b) Principio de los Trabajos Virtuales. c) Principio de las Potencias Virtuales. Datos geométricos: Los puntos A, C y G están alineados.

A

0,75 m

B

1m

0,5m

1,5m

208 -

TEMA 2. ANAuSIS

DlNAMICO DE MECANISMOS PLANOS

Solución:

a) Resolución mediante las Leyes de Newton. Si se aísla la barra ACG y se sustituye el cílíndro por la fuerza equívalente que este ejercería sobre la barra, es inmediato obtener el valor de la fuerza que debe ejercer dicho cilíndro, prar que esa posición (de la pala) sea la de equilíbrio, con solo usar una ecuación, la que resulta de tomar momentos respecto del punto A.

Fca

Quedaría la siguíente ecuacíón:

¿)1A =0, rAcxFcIL +rAGxW=O dAR .FCIL -dAG

Sustítuyendo

.W=

O

valores:

0,75.FCIL-3.2=0 Luego: FClL.= 8 KN sentido de B a C.

209

PROBLEMAS RESUELroS DE TEORÍADE MÁQUINAS YMECANISMOS

b) Resolución mediante el Principio de los Trabajos Virtual es.

Tomando un sistema de referencia en el punto A, los vectores posición de los puntos de aplicación de la fuerza aplicada por el cilindro y el peso serán respectivamente: i'AC

= XAC .i + y AC .] = AC .cos(q). i + AC.sen(q).]

i'AG =xAG.i

+ YAG.]

= AG.cos(q).i

+AG.sen(q).]

FCi/

De la figura se deduce que q =3600-arctg

O75

-'-- =333,43°. ( 1,5 J

Los desplazanúentos virtuales se obtiene al aplicar el operador 5( nores. De esa forma se tendrá:

&'AC=-AC.sen(q).&¡.i

+AC.eos(q).&¡.]

&'AD=-AD.sen(q).&¡.i

+AD.eos(q).&¡.]

Por otra parte, las fuerzas actuantes son: FelL =FClL.i W=-W'j 210

] a los vectores ante-

TEMA 2- ANALISIS DlNAMICO DE MECANISMOS PLANOS

por lo tanto, el trabajo virtual efectuado por dicbas fuerzas será: SW = [FCJL -

iJl

AC. sen(q)- 51 -, + AC. cos(q)- 51 ]]+

+ [- W -]J [- AD -sen(q) 51 -, + AD -cos(q) 51 -]J efectuando los productos escalares, 5ffl = FCIL

-[- AC -sen(q)- 51]-W

-[AD- cos(q )- 51]

y aplicando el principio de los trabajos virtuales a un sistema mecánico en equilibrio estático, se tendrá que: SW

~

FClL

-[- AC-sen(q)-51]-W

-[AD-cos(q)-51]= O

igualando a cero y sustituyendo valores se obtiene la solución: FCIL

= 8 KN

c) Resolución mediante el Principio de las Potencias Virtuales-

La aplicación del principio de las potencias virtuales conducirá a la siguiente ecuación:

-

-

P","wl = FClL-ve + W -ve = O

Para calcular esas velocidades, se puede suponer que la bana ACG tiene una velocidad angular de iiJ= 1-k rad/sAplicaudo las ecuaciones del movimiento relativo se tieue que: ve =iiJ x cAe=0,75-, +1,5-] y además: ve =iiJ x CAG=1,75-, +3-] Por otra parte, las fuerzas actuantes son: FCJL

= FCJL -,

w = -W

j

Sustituyendo y operando se obtiene que: FCIL = 8 KN

211

PROBLEMASRESUELTOSDE TEORÍADE MAoUINAS y MECANISMOS

PROBLEMA

15.

En el mecanismo mostrado en la figura, situado en un plano horizontal la baITa 2 es una baITarígida articulada en el punto O2y en el punto medio de la barTa3. El movimiento de la barra 3 está limitado por la barra 4, una varilla delgada y sin masa. Con el mecanismo en la posición indicada, se pide: a) Expresión del par a aplicar a la barra 2 para conseguir en dicha barra una velocidad angularú!2 y una aceleración angular a" ambas horarias. b) Fuerzas actuantes sobre la barra 3. Datos geométrico s y másicos: Las barras 2 y 3 poseen una longitud 1 y una masa uniformemente

distribuida m.

En la posición indicada, la barra 3 es paralela a la 2, y el ángulo OJ]A es igual a 60°. Supóngase que la distancia vertical entre las barTas2 y 3 es despreciable.

L

G)

%;
q---- T,'[,

-

"/114 g a ' [, +m, -r -sen- (q ) +1114 -o -

2 -9,81- I , 1,572+2-1-

q = 5,493 mI s'

271

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MAQUlNAS

y MECANISMOS

c) Velocidad angular de la polea 2 cuando la coordenada q = 90'. Cuando la polea gira 90', la masa m4 desciende una longitud de 1/4 de la longitud de la circunferencia de la polea. La configuración (1li2 rad).

J se establece cuando q = O' (O rad), y la configuración

JJ cuando q = 90'

Trabajo de las acciones exteriores al pasar el mecanismo de la configuración J a la IJ. WHll

=MCHll =ECll -

EC1 =ECll

WHll

=-MpHll _ (Epll -Epl ) =-m m, m, m,'

. g . (hll -h1

) = --m

4

. g . - lra 2

( )

W/~1I = m.' g.1!..a = 2.9,81. lr.1 = 30,879 J 2 2 La expresión del coeficiente de contribución a la energía cinética de la barra 2 es:

¡!l,= EC''-

'EC'

T

l , -.J,""; 2 1 -.2

J

",', ,'~"

1, -'In.. 2

'°,

'v G ,

J, I

,

J, +m, .,.' .sen'(q) + m. .a'

+-.m. 'vG,

2

Particularizando para la configuración J1. óll

,

=

1,572

- O38

1,572+1.0,75'.1'+2.1'

'

La energía cinética de la barra 2 en la configuración IJ será: EC;I = ¿,I .EC; = 0,38.30,819 = 11,717 J A partir de esta energía cinética se calculará la velocidad de la barra 2. ECll =2..J . (

,

2 ,q

'll

) q ' ~ .ll =~2'EC:J,

I572 , 2.11,717

=

3,861mIs

d) Aceleración angular de la polea 2 cuando la coordenada q = 90'. Se empleará en este momento la expresión completa de la ecuación de Eksergian.

.,.'

J '..

1 dJ;

.,

" = , .q+-;¡'dq.q

272

TEMA 2. ANÁLlSJS DJNÁMICO DE MECANISMOS PLANOS

La derivada de ]a inercia reducida respecto la coordenada generalizada será: dI; =mJ.r22.cos(q).sen(q) dq Para la configuración 11se tiene que q

~

90", con lo que:

dI; = O dq Y, por tanto, la ecuación de Eksergian en la configuración 11queda:

T: 2 -- 1'... 2 q .. T; 2.9,81 2 = 4,539 mi S2 q = 1; = 1,572+].0,752.12 +2. 1

273

PROBLEMASRESUELTOS DE TEORÍADE MÁQUINAS YMECANfSMOS

PROBLEMA

28.

La cinta transportadora de la figura adjunta es accionada por un motor unido al engranaje 2, el cual transmite el movimiento al engranaje 3 que está rígidameute unido a la polea 4. La cinta debe de transportar un objeto (barra 6) de 10 kg. de masa. El mecanismo parte del reposo y sus características geométricas e inercia]es son las siguientes:

2,

~

" ~r5

25

2)

~

60

~30cm

ID, ~ 0,035 kg. m ,

la, ~0,020kg'm2

1°4 ~ 105

~

O100k g .m' '

m, ~lOkg El peso de la cinta de transp0l1e se considera despreciable.

d~lm

y

.

G) . X

Motor

10m

Se pide determinar lo siguiente:

a) Par (N'm) que debe de suministrar el motor en el momento del arranque si se desea que el objeto 6 experimente una aceleración de l mis' hacia la izquierda. b) Velocidad del objeto 6 cuando se acciona la cinta transportadora con un motor que suministra un par de 2 N'm, sentido horario, y el objeto 6 alcanza la localización dada por d 5 m. ~

c) Aceleración del objeto 6 cuando llega a dicha posición.

274

TEMA 2. ANALISIS DINAMICO DE MECANISMOS PLANOS

Solución: a) Par (N'm) que debe de suministrar el motor en el momento del arranque si se desea que el objeto 6 experimente una aceleración de I mis' hacia la izquierda.

Inerciareducidaal engranaje2. 1 -.1

. .", ,1=-.1

2""

2'"

.", ,1+-.1

-'" ,1+-.1

'2'"

'2°'

.", ,1+-.1

'2°'

-'" ,1+-.m

'2

.v ,

,o,

siendo: "') = "', = aJ, Por otra parte:

z, aJ, z, - aJ,=--"",; -=--, "',

z vo,="', -', =--'--" -"', z,

z,

z)

Sustituyendo:

1~ = 1", +(1", +10, +10, ).( - ::)'

+m,.( - :: .,,)'

= 0,2294 kg. m'

Par reducido a la barra 2:

T;'aJ, =T, '&, +,0, ,vo, =T, 'aJ, luego:

T;=T, Por otra parte se tendrá que:

ao, =a,',;

a, = 3,3333 radls'

siendo a, = a3

z, a, =--.a3 z, Luego: 60

a, =--.3,3333=-8radls 25

, 275

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MAQUINAS y MECANISMOS

La ecuación de Eksergian en el instante del arranque será, 1',' =1; .ex, sustituyendo valores, se obtendrá que: T, =O,2294.(-8)=-1,8352N.m

b) Velocidad del objeto 6 cuaudo se acciona la cinta trausportadora con un motor que suministra un par de 2 N'm, sentido horario, y el objeto 6 alcanza la localización dada por d = 5m. La longitud a recorrer por el objeto 6 es de Al

=4 m

y el ángulo girado por la polea 4

será: dd

d&,

=-

r,

= 13,3333rad

y por lo tanto: z ILI&,I=...l..LI&,=31,9999rad

z,

Aplicando el Teorema de Conservación de la Energia, se tendrá: (ECTt -(ECT)' =T, .d&, (ECT)'f = 63,9998 J Aplicando el teorema de Quinn, se tendrá que: I -.1.0) o,

,

, 1 &_2 .' , I , , --EL=OI526 -. 1 .aJ l O, 2 O, ,

Luego: ~'IO' .{O;=&, .(ECrt

=9,7664J

Despejando: O), = 23,6237 radls sentido horario

77(,

TEMA 2. ANALlSIS DINAMICO DE MECANISMOS PLANOS

y por lo tanto: {Ú3 = -

z, . (2,

VGo= "'4

. r4

23,6237) = 9,8432 radls

= 2,9530 mis hacia la izquierda

c) Aceleración del objeto 6 cuando llega a dicha posición. Dado que la inercia generalizada es constante, la aceleración angular de la barra de entrada, vendrá dada por: - 2 = 0,2294. a, Luego: a2 = -8,7184 radls' Y, por lo tanto,

5-=-~ a2

z,

,

a3 = 3,6327 rad/s';

QG6 = a4 . r4 = 1,0898 mis

277

S¿¡iVNnION¿¡ Á SVA¿¡7

f VWlII

TEMA 3. LEVAS Y ENGRANAJES

PROBLEMA 1. Se desea diseñar una función de desplazamiento para una leva de movimiento alternativo de rodillo cuya velocidad de giro. es 200 r.p.m. constante, que cumpla las siguientes condiciones:

. Tramo de subida hasta

alcanzar una detención con una elevación de 1 cm, asociado a un

ángulogiradopor la leva de 90'.

. . . .

Detención durante un giro de la leva de 15'.

. Tramo de descenso hasta alcanzar un desplazamiento de primera derivada constante. Tramo de primera derivada constante que se mantendrá durante un giro de la leva de 45' y al que corresponderá un desceuso de un tercio de la elevación. Tramo de descenso hasta alcanzar una detención. Detención durante un giro de la leva de 30'

. Suponer que la elevación de los tramos 3 y 5 son iguales. Se pide: a) Seleccionar las funciones de desplazamiento adecuadas y obtener los parámetros que las definen utilizando las funciones que aparecen en el formulario anexo. b) Calcular la velocidad y aceleración del seguidor para un ángulo de la leva de 68'.

DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO A DISEÑAR 0.011

00.006

I

-O 8

Diagrama d, d"plmmiento

~

0.002

-0003

Ango"gi"',poeblm

281

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MAQUINAS y MECANISMOS

Solución: a) La solución de la función de desplazamiento buscada debe satisfacer las condiciones indicadas en las gráficas, que esencialmente consisten cn quc la segunda derivada dc la función de desplazamiento es nula para los tramos conocidos (segundo, cuarto y sexto). DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO A DISEÑAR Y SUS DERlV ADAS 0.011

Oi,seom,d,d"p]",mi,'"

,

~

"I

OOOor

8 o.oo,~

- 13, = 44,7214° /36

de la siguiente resta:

/h = 360 - /h - /3,- /3.- jJs-,o. = 208,7386° Las gráficas resultantes (fuera de escala, naturalmente) son: A y

B

e

D

E

F

1

0,6 0,5

0,2 ° /3¡

/h

jJ,

fi¡

/3s

/3,

&

293

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORiA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

e

B

A

y'

D

E

F

0,02

o

-0,022 /3¡ A

y"

jJ,

jJ, B

jJ¡ e

f3s D

(J

/36 E

F -,

o

-0,001 jJ¡

jJ¡

jJ,

jJ¡

f3s

(J fJ6

b) La tabla quedará completa así:

294

A

B

e

D

E

F

y (cm.)

o

0,2

0,6

1,0

0,5

o

y'(cm./".)

o

0,02

0,02

o

-0,022

o

y" (cmr.)

o

o

o

-0,001

o

o

TEMA 3. LEVAS y ENGRANAJES

PROBLEMA 4. Sea el siguiente tren de engranajes epicicloidaL

e p

8

~

B

~

s

.-.-.-.

.-._.

~

~ e%

.-..-.

Se pide calcular: a) Número de dientes del planeta, z p' b) Velocidad de giro del brazo portaplanetas B, OJE' c) Módnlo de la velocidad del centro de gravedad del planeta, ve,' d) Velocidad de giro del planeta, OJp' Datos: Velocidad de giro de la corona e, OJe ~ 3.000 r.p.m. Velocidad de giro del sol S, OJs Or.p.m. ~

Zc

~

100; Zs

~

50; m

~

4, para todos los engranajes.

Solución: a) Número de dientes del planeta, z p' Por la geometria del tren de engranajes, es fácil deducir que: dc=ds+2.dp 295

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MAQUlNAS y MECANISMOS

De la definición de módulo se puede despejar el valor del diámetro primitivo de un engranaje.

d m=-=;.d=m.z z

Como el tren de engranajes es simple, todas las ruedas tienen el mismo módulo. Sustituyendo la definición anterior en la primera ecuación se tiene: m.zc = m.zs + 2 .m.zp ze = Zs +2.zp 100=50+2.zp z p = 25 dientes b) Velocidad de giro del brazo portaplanetas B, "'E. Aplicando la fónnula de Willis al conjunto fonnado por la corona, el sol y el brazo portaplanetas, se tiene:

"'es -

"'e-úJE

"'SB

úJS-"'B

:::

= ( ¿;= 100, aJe = 25 r.p.m. (todas en el mismo sentido y constantes), se pide:

úJs

= 50

Y

a) Calcular el número de dientes del engranaje P. b) Calcular el diámetro de las circunferencias primitiva, de cabeza, pie y base del engranaje S, sabiendo que los engranajes están normalizados. c) Si en S se aplica un par de 15 N-m, calcular el par que hay que aplicar en By C.

e..........

Pf 1-

B

~

~ 00ZW

~

s

Solución: a) Calcularel númerode dientesdel engranajeP. Del dibujo de la figura se deduce la siguiente relación entre los diámetros de las ruedas: re =rs +2.rp d

2'1"

Puestoquesabemosque m =-z =- z

313

PROBLEMASRESUELTOSDE TEORÍADE MAQUINAS y MECANISMOS

La expresión anterior es equivalente

a:

~=2+2.2 2

Despejando se obtiene que z p

2

2

= 30 dientes.

b) Ca1cular el diámetro de las circunferencias primitiva, de cabeza, pie y base del engranaje S, sabiendo que los engranajes están normalizados. Los diámetros se obtienen ntilizando las expresiones correspondientes:

Diámetro primitivo (d

= m.

z) luego ds

= m. Zs = 2. 60 = 120mm

E] adendo y dedendo valen, por estar los engranajes normalizados: a

= l.m = 2 mm

d = ],25.m = 2,5 mm

Luego: Diámetro

de cabeza

d cabeca = d s

Diámetro de pie d pie = ds -2.d

+ 2 . a = 124 mm. ~ 115 mm.

Diámetrobase d, =ds .eos(a)=120.eos(20a)=lI2,7mm.

e) Si en S se aplica un par de 15 N-m, ca1cularel par que hay que aplicar eu B y C. Suponiendo que no hay perdidas de energía por rozamiento se cumple que: PS+PC+PB =0 es decir Ts.OJs+Tc.OJe+TB.OJB=O Por otro lado sobre el engranaje P, puesto que puede girar libremente, no transmitirá par parla que Ts +Tc +TB =0. Sustituyendo los valores ya conocidos de velocidades, se tiene el siguiente sistema donde las incógnitas son TE y Te' "¡00'Ts+25.Te+50.TB Ts + Te + TB = O. Despejando 314

~O

se tíene que TE = -45 N-m y Te ~ 30 N'm

...

TEMA 3. LEVAS Y ENGRANAJES

PROBLEMA 13. En el tren planetario de la figura, la rueda e engrana con los tres planetas denominados P y están montados sobre la barra portaplanetas B, sobre un círculo de 120 rnrn de diámetro (ver figura). Los planetas engranan también con la rueda S.

Se pide: a) Determinar la velocidad del portaplanetas B y de cada uno de los planetas alrededor de su propio eje de giro. b) Determinar el par que habria que aplicar sobre e para darle a dicha barra una aceleración de 50 rad/s2 Datos: ZC

~

100, Zp

~

30, Zs

~

40, aJs ~

O r.p. m., aJc ~ 7000 r.p.m.

mp ~ 500 g., lp ~ 0,15 g.m2, respecto su propio eje de giro. lc~ 4,8 g.m2, lB ~ 2,4 g.m2, respecto el eje de S. 315

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

Solución: a) Detenninar la velocidad del portaplanetas B y de cada uno de los planetas alrededor de su propio eje de giro. El esquema del tren planetario es el siguiente.

e

pT

1 B s

Aplicando la fónnla de Wil1is, siendo la entrada el engranaje e, la salida el S Yel brazo la barra B. úJSB= úJs úJCB

-úJs

-

úJc -úJB

O-úJB

700-úJB

Suponiendo fijo el brazo del planetario se tendrá que: úJSB

= úJSB.

úJpB

=

úJCB úJpB úJCE

_~

2 =( zp ) ( Zs ) .

=_100 =-!:.Q Zs 40 4 Zc

donde sustituyendo en la fónnu]a de Wil1is, se tendrá que: 10 -=

4

-úJ

B

700-úJ8

7000 14 = )00 r.p.m. = 52,36radls

úJB = -

316

TEMA 3. LEVAS y ENGRANAJES

Para determinar la velocidad de los planetas se aplicará nuevamente la fórmula de Willis. Ahora se considerará la entrada por S, la salida por P y el brazo B. O}pe

= O}p -

O}e

O}se

O}S

O}e

-

suponiendo fijo el brazo del planetario, el término de la izquierda de la ecuación anterior vendrá dado por - ~, luego zp -~

O}p-500 0-500

zp

operando: - 40 = O}p -500

30

O}p

= 166,67

-500

r.p.m.= 122,17 rad/s

b) Determinar el par que habria que aplicar sobre C para darle a dicha barra una aceleración de 50 rad/s' En primer lugar se reducirá el sistema a la corona Co

Par reducido a la corona e

T~ 'O}e =3!O}e

o

fO}e

+Ts fTe

o

oO}e

o

por lo tanto: T~

=Te

Inercia reducida a la corona e

I -./ 2

. e

00},1=-./ e 2

e

00},1+-./ e 2

e.

-O}' +3-

1 m -v ,1 +--/ -o 2 P Gp 2

(

p

00}, p

)

por lo tanto, se tendrá que: /~ 00}~ =/e

oa>~+/.

oa>; +30[mp o(re oa>e)' +/p oa>;]

317

PROBLEMASRESUELTOS DE TEORÍADE MAQUlNAS y MECANISMOS

Para

OJe = 700 r.p.m. se ha obtenido previamente

que:

OJa = 500 r.p.m. OJp = 1166,67

r.p.m.

Sustituyendo estas velocidades, junto con los datos inerciales del problema, se tendrá que: l~. 7002 = 4,8.10-3.7002 + 2,4.10-3.500' + 3. [0,5.(60 .10-3 .500)' + 0,15.10-3 '1166,672 ]= 4914,50 l e' =10,03.10

-3

kg. m

2

Dado que la inercia reducida es constante, la ecuación de Eksergian quedará reducida a lo qne sigue: T~

=l~ . (Xc

en consecuenCIa:

T~

318

~

Te =0,5015 N'm

TEMA 3. LEVAS YENGRANAJES

PROBLEMA 14. En el tren planetario de dos etapas mostrado en la figura, el anillo C, se mantiene fijo y los brazos B, y B, están unidos al eje B. El anillo C, y la rueda sol S, forman una rueda compuesta que gira libremente alrededor del eje AB. Se pide: a) Si el eje de entrada A gira a 3000 "p.m., determinar la velocidad de salida del eje B (en módulo y sentido). b) Si la potencia suministrada a la entrada es de 20 kW y el rendimiento de la máquina es del 95%, determinar el par que hay que aplicar al engranaje C2para mantenerlo fijo.

A i%% .-.-.

B,

i%%

Datos: Zs, =24,zS2 =2S,ze¡ =66,zC2 =62

Solución: a) Aplicando la fórmula de Willis al tren planetario Cl-Bl-S, se tendrá que: "'CIBI "'SIBI

"'c, - "'B,

"'e¡ - "'B,

- "'S,-"'B,

"'A-"'BI _24_"'c,-"'B,

"'CIB,-

zs, -

24

"'S,B,

Z/,

66

66

[1]

"'A - "'B1

¡

Aplicando de nuevo Willis, pero esta vez al tren planetario C,-B,-S" se teudrá que: "'C2B2 "'S2B2

= "'C2

- "'B2

"'S2 -"'82

319

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

pero como: OJB,

= OJB, = OJB'

OJS,

= OJc,'

OJc,= O quedará que:

-~=

0-OJ8,

Zc, 28 62

OJc, - OJB,

=

[2]

O-OJal

OJc,-

OJB,

Combinando [1] Y[2], se tendrá que: - 24 - OJc¡-OJB' 66

OJA-OJB¡

- 28 -

OJB¡

62

OJc,- OJ8,]

=> OJB = OJB = -590,77

r.p.m.= -61,68 radls (h)

,

La potencia a la entrada es 20 KW, por lo tanto: P,=T,.iiJ" OJ =OJ "

¡

2.ff =3000.-~314,60radls 60

(a )

Por lo tanto, el par a la entrada vendrá dado por: 20.103 = 63,66 N.m (a) T, = 314,16

b) La potencia consumida y la potencia aportada vendrán relacionadas por la siguiente expresión, donde r¡ es el rendimiento: r¡.

T,

. iiJ, +

i; . iiJ, =

O,

T, =- r¡' OJ, -T" =-095. OJ,

- 314,16 .6366=30711 ' , ( 6 16 ' 8)

N.m

Obsérvese que CI-S2 gira libremente, por lo tanto no transmitirá ningún par, en consecuencia se tendrá que:

T, +f; +T/, =0, Tc, = -(307,11+63,66)= -370,71 N. m (h) 320

TEMA 3. LEVAS YENGRANAJES

PROBLEMA

15.

Sea el siguiente reductor c,

c,

P,

~

~

E,

E,

~

s, s,

'-'-'-0-'-'-'--'-'-'-

~

~ ~

Datos: Velocidades: m e,

= 9.000 rp.m.

constante, me"

~

Orp.m., ms = Orp.m.

Par aplicado en la corona C¡, Tc, = 100 N'm. Z e" = Ze = 100; Zs" = Zs = SO;módulo de todos los engranajes, m = 4 mm. El brazo portaplanetas E¡ y el sol S, son solidarios. En cada brazo portaplanetas hay 2 planetas. Se pide calcular: a) Número de dientes del planeta p¡, Z P, .

b) Velocidad de giro del brazo portaplanetas E" mB,. e) Pares a aplicar en el brazo portaplanetas E" TB,' corona C" Tc, ' Y sol S¡, '!s" para mantener el actual estado cinemática. En otra situación cinemática, no actúa ningún par en el brazo E2, y está sometido a una aceleración de a B, = S radls' con sentido antihorario. Se tienen los siguientes datos másicos e inerciales: 2

me,= 2 Kg.lc, = 0,16 Kg.m'

,

mBs "" = 3 Kg. lBS = 0,05 Kg'm.

m =mp' = 1 Kg.I

=Ip, =0,005 Kg'm. 2 mB" = 1 Kg. lB = 0,008 Kg'm .

Todos los momentos de inercia son centrales.

321

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

Se pide: d) Inercia reducida a la corona CI. e) Par a aplicar en la corona CI, Te" para establecer este estado cinemática.

Solución: a) En primer lugar, se cumple la relación geométrica: de, = ds, +2.dR , Dado que: d m=-=,;>d=m.z z La relación geométrica se puede reescribir: m'z e =m.z s +2.m.z,

,

zp,

,

=,;>ze =zs +2.z,

'"

,

Ze - Zs =,;>z, =--'-'

,

2

100 - 50 = 25 dientes

2

b) El reductor está formado por dos trenes epicicloidales simples conectados a través del brazo E I Ydel sol S2. Aplicando la fórmula de Willis en el tren CI-El-SI, se tiene: "'e,B, = "'e, - "'B, = 9000- "'B, "'S,B, "'s, -"'B, 0-"'8,

::::: = «: Despejando",

H:;:)= r; , =

Te,

Como, además, la inercia reducida es uua constante, se tiene que: dI' -'"-- = O dGe, Con lo que la ecuación de Eksergian para este sistema queda:

r;, =I~, .ae , Sustituyendo

los valores obtenidos se obtiene el par Te, .

T;, = Te, = l e', . ae , = 0,2468.22,5 = 5,5533 N. m

325

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

PROBLEMA

16.

Sea el tren planetario de la figura.

P2

P,

, ,.......... ,...................... B

s, S2

x

,

y

..............

,

,..........

,

,..........

Se pide determinar el par que hay que aplicar en el eje X del engranaje SI para conseguir que el brazo del planetario adquiera una aceleración angular de 5 radls'. Datos: zs, = 40; z" = 30;zP, = 50. Módulo de todos los engranajes: 6 mm. Masa conjunto de los planetas PI y P,: 3 Kg. Radio de giro de los planetas PI y P,: rg~ 75 mm. Momento central de inercia del brazo del planetario: 0,35 Kg.m' Momento central de inercia del engranaje SI de 0,06 Kg.m2 El engranaje So.se mantiene inmóvil.

326

TEMA 3. LEVAS Y ENGRANAJES

Solución:

Para resolver el problema hay que reducir el tren de engranajes a la barra con el engranaje SI. La inercia reducida al eje X, sobre el que va montado en el engranaje S, vendrá dada por:

. [ -[ x -

' OJB

' OJf]

S, +[ B . -

+2.[ ~f] . -

( OJSI ]

( OJSI ]

' +2.m ~f] .-

Vf]

( OJ51 ]

Las diferentes relaciones de velocidades que aparecen en la inercia reducida se obtendrán mediante las fórmulas de los trenes de engranajes epicicloidales. En primer lugar se determinará el número de dientes del engranaje SI. Teniendo en cuenta que todos los módulos son iguales y que los ejes sobre los que giran el brazo del planetario y el eje SI están alineados, se tendrá que: rSI +r~ =rf] +rS2 m'(ZSI +z~)=m'(Zf]

+ZsJ

en consecuenCia: ZS, =Zf] +Zs, -z~

~60dientes

A continuación se obtendrán las diferentes relaciones de velocidades angulares. Aplicando la fórmula de Willis se tendrá que: OJS2B

=

- OJB OJ -OJ

OJS2

s,

OJSIB

B

donde: OJS,B OJSIB

= OJS2B. OJf]B

OJ~B OJSIB

=

_"!2

(

zs,

.

-~

] (

z~

= 50.60 =2,5

] 40.30

Por lo tanto:

2,5 =

-OJB

OJSI- OJB

de lo anterior se obtiene:

OJB=2=1,67 OJSI 3 327

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

Ahora se obtendrá la relación de velocidades entre los engranajes P, y PI (la misma) y el engranaje SI. En primer lugar se considera el tren planetario formado por el brazo B, el sol S2 y el planeta P" aplicando Willis:

= "'e,

"'e,B

- "'E

"'S2E

"'S2 - "'E

-~=

"'e, -"'E -"'B

que será igual a:

Ze, de lo anterior se obtiene que:

"'e,

=2.

"'B

5

pero como:

"'e, "'e, "'B -=-.-=-.-=3 "'SI "'B "'s,

9 5 5 3

La relación de aceleraciones angulares en engranajes es la misma que la de velocidades angulares, por lo tanto se tendrá que:

~_5 as] 3 por lo tanto: a

3 =-.5=3radis

2

s, 5

La velocidad del centro de gravedad de los engranajes P, y P, se podrá obtener como: v~., = 05,- +r~-, )'i1JB= m 2 '(2S2 +Zp,- )""B =0,27 ""B

Sustituyendo todo 10obtenido en]a expresión de la inercia reducida inicial, se obtendrá: l~ = 0,06+0,35. ],672 + 2- (3.0,0752 ).32 +2.3. (],67 .0,27)' = 2,5598 Kg.

m2

Por lo tanto, el par a aplicar sobre el eje X, que mueve el engranaje SI veudrá dado eu el instante del arranque por: Tx =l~ -as] = 2,5598.3 = 7,6794 N'm Hay que indicar, que dado que la inercia generalizada es constante en este mecanismo, el valor obtenido para esta aceleración se mantendrá a lo largo del tiempo. 328

TEMA 3. LEVAS YENGRANAJES

PROBLEMA

17.

Se desea fonnar un tren de dos pasos, o con dos pares de ruedas, para obtener una relación de velocidades de 1/12. El número de dientes no debe ser menor que 15 en ninguna rueda, y la reducción en el primer paso debe ser aproximadamente el doble de la obtenida en el 2°. Determinar el número de dientes de todas las ruedas.

Solución: La relación de transmisión

en trenes ordinarios es:

. producto de Z conductores z=:!: producto de Z conducidos en este caso es positiva ya que el número de ejes intermedios es impar, quedando: i~ZA.ZC =~ ZB 'ZD

12

Como la reducción en la primera etapa ha de ser el doble de la segunda: ~=2mc mB

~2=2zD mD

~~=.!..~

ZA

Zc

ZB

2

ZD

que sustituyendo en la expresión anterior: .!..~.~=~->~= 2 ZD ZD

[=0,4082 12

ZD

V6 329

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MAQUINAS y MECANISMOS

aproximando:

~=20 ZD 49 pero:

. 20 20 ¡=-.-=98 49

200 2401

que no es exactamente la relación buscada de 1/12. Para tener una reducción de 1/12 exactamente tomamos: ~= ZB

330

22 108

~_18 ZD 44