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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ING. ELMER TELLO DE LA CRUZ

Sesión 04

PRODUCTO ACADÉMICO Analiza situaciones de la  Solución y Análisis de Trabajo aplicativo vida diaria que hacen uso Sensibilidad de de Modelos Lineales. modelos Lineales Usando enlaces de Lingo y Excel (Solver). CAPACIDADES

TEMÁTICA

Qué es análisis de sensibilidad Es un método que permite investigar los efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros sobre la solución óptima.

entorno entorno

entorno

SISTEMA

entorno

El modelo matemático puede ser afectado por cambios en sus parámetros como: - Cambios en los coeficientes de la función objetivo - Cambios en el lado derecho de las restricciones - Cambios en los coeficientes tecnológicos

Análisis de sensibilidad Responde a las siguientes preguntas: • ¿En qué intervalo puede variar los coeficientes (cj) de la F.O. sin que cambie la actual solución óptima? • ¿Cuánto varía el óptimo si se cambia el parámetro “del lado derecho” (bi) de una restricción? • ¿Qué recurso tiene mayor impacto en la F.O. y en el valor óptimo?

Importancia del análisis de sensibilidad El análisis de sensibilidad es una herramienta efectiva, por dos razones fundamentales: • Primera: los modelos de programación lineal son con frecuencia grandes y costosos; por lo tanto no es recomendable utilizarlos para un solo caso. • Segunda: los elementos que se dan como datos para un problema de programación lineal, la mayoría de las veces son estimaciones; por lo tanto es necesario investigar o tener en cuenta más de un conjunto de casos posibles.

Solución óptima

𝑍 = 210 𝑋1 = 70 𝑋2 = 90

𝑪𝑨𝑴𝑩𝑰𝑶𝑺 𝑬𝑵 𝑳𝑶𝑺 𝑪𝑶𝑬𝑭𝑰𝑪𝑰𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑭𝑼𝑵𝑪𝑰Ó𝑵 𝑶𝑩𝑱𝑬𝑻𝑰𝑽𝑶

DUALIDAD

(P) Mín. Z = c.x

s.a.

(D) Máx. W = y.b

A.x  b

s.a.

xi  0

At.y  c yi 

0

Todo problema de optimización (primal), tiene un problema asociado (dual) con numerosas propiedades que los relacionan y nos permiten hacer un mejor análisis de los problemas.

RELACIONES PRIMAL-DUAL Estas relaciones nos permiten pasar de un problema de primal a su dual en forma bastante algorítmica, tanto para problemas de minimización como de maximización.

Construcción del problema dual 1. Si es problema de minimización el dual será de maximización y viceversa. 2. En el dual habrá tantas variables como restricciones en el primal. 3. En el dual habrá tantas restricciones como variables en el primal.

4. Los coeficientes de la función objetivo del dual vendrán dados por los coeficientes del lado derecho de las restricciones del primal. 5. Los coeficientes del lado derecho del dual vendrán dados por los coeficientes de la función objetivo del primal. 6. Los coeficientes que acompañaran a las variable en una restricción del dual corresponderán a aquellos coeficientes que acompañan a la variable primal correspondiente a la restricción dual. 7. Para saber si las restricciones duales son de ≤,  ó ≥, se recurre a la tabla de relaciones primal-dual.

PRIMAL

DUAL

Resolvamos el siguiente caso: Una empresa especializada en ornamentación llamada “Puro Hierro” se dedica a la fabricación de puertas, rejas y ventanas; productos para los cuales ha establecido una utilidad de $6, $2 y $5 por unidad respectivamente. Para la manufacturación de dichos artículos la empresa cuenta con una disponibilidad semanal de 300 metros de lámina, 400 metros de ángulo y 240 metros de tubo. Además, se sabe que para producir una puerta se requieren 3 metros de lámina, 2 metros de ángulo y 2 metros de tubo; para producir una reja se necesitan 5 metros de lámina, 4 metros de ángulo y 3 metros de tubo; mientras que, para producir una ventana se requieren 2 metros de lámina, 5 metros de ángulo y un metro de tubo. • ¿Qué cantidad de cada uno de los artículos se debe fabricar para que la compañía “PURO HIERRO” obtenga la máxima utilidad posible? • •

Construir su problema dual asociado Realizar análisis de sensibilidad

Se definen las siguientes variables: X1 = Cantidad de puertas a producir por semana. X2 = Cantidad de rejas a producir por semana. X3 = Cantidad de ventanas a producir por semana. Modelo matemático:

Max Z = 6X1 + 2X2 + 5X3 (utilidad máxima) S.A. 3X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 300 metros de lamina. 2X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 400 metros de ángulo. 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 240 metros de tubo. X1, X2, X3 ≥ 0.

Problema DUAL asociado Se definen las siguientes variables duales: Y1 = Cantidad de puertas a producir por semana. Y2 = Cantidad de rejas a producir por semana. Y3 = Cantidad de ventanas a producir por semana. Modelo matemático:

Max Z = 6X1 + 2X2 + 5X3 (utilidad máxima) S.A. 3X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 300 metros de lamina. 2X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 400 metros de ángulo. 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 240 metros de tubo. X1, X2, X3 ≥ 0.

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE A 1) 654.5455 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 63.636364 B 0.000000 C X2 0.000000 8.181818 X3 54.545456 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3) 0.000000 4) 58.181820 NO. ITERATIONS=

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE RENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE E X1 6.000000 1.500000 4.000000 X2 2.000000 8.181818 INFINITY X3 5.000000 10.000000 1.000000

DUAL PRICES 1.818182 D 0.272727 0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 300.000000 80.000000 140.000000 3 400.000000 350.000000 200.000000 4 240.000000 INFINITY 58.181820 F

2

A Valor de la F.O.

C Costo reducido

B Solución básica factible

D Precio Dual

Intervalo de optimalidad de los coeficientes de la F.O. F Intervalo de factibilidad de los coeficientes del lado derecho de las restricciones E

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

654.5455  Es el valor de la F.O. es decir Z = 654.5455

COSTO REDUCIDO: Es la cantidad que se debe incrementarse + 1 , al coeficiente de una variable para que deje de ser CERO ( 0 ). Ejemplo: X2 tiene valor cero, para que deje de ser CERO su coeficiente en la Función Objetivo debe ser: MAX Z = 6X1 + (2+COSTO REDUCIDO+ 1)X2 + 5X3

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.818182  3) 0.000000 0.272727  4) 58.181820 0.000000 

metros de lámina metros de ángulo metros de tubo

El Precio Sombra del recurso metros de lámina es 1.818182 este valor indica cuánto cambia el valor de la función objetivo (óptimo) ante una variación marginal del lado derecho de esta restricción. Es decir si se adquiere dos unidades adicionales de metros de lámina, entonces la función objetivo aumenta en 2x1.818182. Z = 654.5455 + 2x1.818182 = 658.181864

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE RENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 1.500000 4.000000 X2 2.000000 8.181818 INFINITY X3 5.000000 10.000000 1.000000

El intervalo de valores de incremento y decremento permisible del coeficiente c1 es: 6 – 4 ≤ c1 ≤ 6 + 1.5 2 ≤ c1 ≤ 7.5 En este intervalo la solución básica sigue siendo óptima. Para c2 su intervalo óptimo es: 2 - ∞ ≤ c2 ≤ 2 + 8.181818 ∞ ≤ c2 ≤ 10.181818

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 300.000000 80.000000 140.000000 3 400.000000 350.000000 200.000000 4 240.000000 INFINITY 58.181820

El intervalo de valores de incremento y decremento permisible de los coeficiente b1 = 300 es: 300 – 140 ≤ b1 ≤ 300 + 80 160 ≤ b1 ≤ 380 En este intervalo la solución básica sigue siendo factible. Para b2 = 400 su intervalo óptimo es: 400 - 350 ≤ b2 ≤ 400 + 200 50 ≤ b2 ≤ 600

Para b3 = 240 su intervalo óptimo es: 50 - ∞ ≤ b3 ≤ 400 + 200 ∞ ≤ b3 ≤ 600

HOLGURA (slack) : Es la cantidad que sobra de un recurso, aparece cuando la limitante es = En nuestro ejemplo tenemos solo restricciones