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• Diana Lucia Gamarra Franco

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8. Una firma financiera tiene $500 mil disponibles para invertir y, busca determinar cuánto de esa cantidad debe invertirse en cada una de las cuatro siguientes opciones: bolsa X, bolsa Y, bonos X y bonos Y, en el lapso de un año. Un máximo de $105 mil puede ser invertido en bonos de tipo X y un máximo de $100 mil puede ser invertido en bonos del tipo Y. La inversora sabe que existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X, por lo tanto, ha determinado que no invertirá más de un cuarto del total en esa bolsa. Además, la cantidad total invertida en la bolsa Y debe equivaler, al menos, a tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Además, la inversora necesita que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de sus inversiones en las bolsas. Los retornos netos anuales son: BOLSA X 20%

BOLSA Y 10%

BONOS X 9%

BONOS Y 11%

a) Variables de Decisión: 𝑋𝑗 : 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑗 𝑗: 1,2,3,4 𝑋1: 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 𝑋 𝑋2 : 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 𝑌 𝑋3 : 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑛𝑜 𝑋 𝑋4 : 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑏𝑜𝑛𝑜 𝑌 b) Función Objetivo: Maximizar el retorno de las inversiones 𝑀á𝑥 𝑍 = 0.2 𝑋1 + 0.1 𝑋2 + 0.09 𝑋3 + 0.11 𝑋4 c) Restricciones:  Disponibles para invertir 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 ≤ 500 000 

Máximas cantidades por tipo de inversión 𝑋1 ≤ 125000 𝑋3 ≤ 105000 𝑋4 ≤ 100000



Cantidad total invertida en la bolsa Y 3𝑋1 − 𝑋2 ≤ 0



Inversión en bonos 0.5𝑋1 + 0.5𝑋2 − 𝑋3 − 𝑋4 ≤ 0



No negatividad

𝑋𝑗 ≥ 0

9. El departamento de Ingeniería de la empresa Prolineal C.A, señala que cuando sólo se produce el bien 1, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo, utilizando a plenitud la capacidad instalada de máquinas del tipo A, dejando de utilizar un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C, el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B, obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que, bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere el 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien, que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son propicias para su aplicación, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteamientos de los dos gerentes.

TIPO DE PRESTAM O BIEN 1 BIEN 2 BIEN 3

MÁQUINAS (% CAPACIDAD) A

B

C

1 0.125 0.02

0.25 0.75 0.10

0.5 1 0.05

PRODUCCIÓ N MÁXIMA (UND)

UTILIDA NETA ($/UND)

200 100 1

1 3 14

a) Variables de Decisión: 𝑋𝑖 : 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑖 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑖: 1,2,3 b) Función Objetivo: $1 $3 $14 𝑀á𝑥 𝑍 = × 𝑋1 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋2 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋3 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 c) Restricciones: 1 0.125 0.02 × 𝑋1 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋2 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋3 𝑢𝑛𝑖𝑑 ≤ 200 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 0.75 0.75 0.10 × 𝑋1 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋2 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋3 𝑢𝑛𝑖𝑑 ≤ 100 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 0.50 1 0.05 × 𝑋1 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋2 𝑢𝑛𝑖𝑑 + × 𝑋3 𝑢𝑛𝑖𝑑 ≤ 1 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑 𝑢𝑛𝑖𝑑

d) No negatividad

𝑋𝑖 ≥ 0