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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CAMPECHE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

NOMBRE DE LA MATERIA: Matemáticas para Ingeniería

NOMBRE DEL MAESTRO: Ing. Marcos A. Acosta Peralta

NOMBRE DEL ALUMNO:  Israel Pérez Jiménez

GRADO:

GRUPO:

7° Cuatrimestre

“IMP” CARRERA: ING. En Mantenimiento Área petróleo

NO. DE LA UNIDAD: Ill

NOMBRE DE LA UNIDAD: Integral Múltiple NOMBRE DE LA ACTIVIDAD: Investigación

FECHA: 01 / Abril / 2020

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INTEGRAL ITERADA DOBLE Y TRIPLE. INTEGRAL DOBLE El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre un rectángulo R = [a,b] × [c,d]. 1. Si para cada x ∈ [a,b], la sección transversal fx(y) := f(x,y), y ∈ [c,d], es integrable sobre [c,d], entonces la función

es integrable sobre [a,b] y se verifica

2. Si para cada y ∈ [c,d], la sección transversal fy(x) := f(x,y), x ∈ [a,b], es integrable sobre [a,b], entonces la función

es integrable sobre [c,d] y se verifica

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b

c

El teorema de Fubini Si f es continua sobre un rectángulo R = [a,b] × [c,d], entonces

Ejemplo: Se desea calcular la integral dobleR x2y dxdy siendo R = [1,2] × [0,1].

RR

Solución: Dado que la función x2y es continua en R basta aplicar el Teorema de Fubini para obtener

INTEGRAL TRIPLE

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Las integrales triples no tienen ya mayor dificultad salvo la añadida por una dimensión más. Los rectángulos anteriores se substituyen ahora por rectángulos tridimensionales, o sea, cajas R = [a,b] × [c,d] × [p,q]. Una partición P de R es ahora P = P1 × P2 × P3 siendo P1, P2 y P3 particiones de los intervalos [a,b], [c,d] y [p,q], con respectivamente. Si P1 tiene n + 1 puntos, P1 tiene m + 1 puntos y P3 tiene r + 1 puntos, la partición P = P1×P2×P3 divide al rectángulo R en n·m·r su rectángulo Rijk = [xi−1,xi]×[yj−1,yj]×[zk−1,zk]; cada uno de los cuales tiene volumen v(Rijk = (xi − xi−1)(yj − yj−1)(zk − zk−1) Procediendo de forma similar al caso de dos variables, dada una función real acotada f definida en R, se define la suma de Riemann correspondiente a la partición de P de R como

con xijk ∈ Rijk. Definición Dada la función acotada f : R −→ R se define la integral triple como el límite de las sumas de Riemann cuando kPk tiende a 0:

223 siempre que dicho límite exista y sea independiente de la elección del punto xijk. Como antes toda función continua es integrable y toda función acotada cuyas discontinuidades tienen medida nula es integrable. Asimismo se cumplen las propiedades del Teorema Finalmente, el cálculo de una integral triple puede reducirse al cálculo de tres integrales iteradas:

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Teorema 10.10 Sea f una función integrable sobre un rectángulo R = [a,b]×[c,d]×[p,q]. Si existe cualquier integral iterada, es igual a la integral

y así sucesivamente hasta completar todas las ordenaciones posibles. Ejemplo 10.8 Calcular la integral sobre R = [−1,1] × [0,2] × [1,2] de la función f(x,y,z) = xyz

Solución : Se tiene que

EL TEOREMA DE FUBINI El Teorema de Fubini describe cómo puede calcularse efectivamente una integral múltiple: operando coordenada a coordenada. A continuación se da una explicación del motivo por el que “debe ser cierto”. Se hace en dimensión 2 para poder dar una idea gráfica, pero el razonamiento es exactamente igual para cualquier número de variables: solo depende de la definición de derivada. Recuérdese que si f(x) es una función real de variable real, es derivable en un punto c si el valor de f cerca de c puede aproximarse mediante una función lineal:

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f(c + dx) = f(c) + Ldx + odx, donde L es un número real (la derivada de f en c), y dx y o son infinitésimos. La igualdad de arriba se lee “el error que comete la función f(c) + Ldx como aproximación a f(c+dx) es un infinitésimo de mayor orden que dx”. El valor L se llama la derivada de f en c y se escribe L = f ′(y). Consideremos ahora una función de dos variables f(x, y), continua en un rectángulo R = [a1, b1] × [a2, b2]. La integral ∫

f(x, y)dx dy R es la “masa” del rectángulo si cada punto (x, y) tiene densidad (superficial, en este caso) f(x, y). Como esto es así para todos los rectángulos, podemos definir la siguiente función: F(y) = ∫ f(x, y)dx dy Ry donde Ry es el rectángulo [a1, b1] × [a2, y]. Es decir, F(y) es la masa de la b2 y R

y

a2 a1

b1

Figura 1: Un rectángulo y un subrectángulo: la función F(y). parte de R cuya altura va desde a2 hasta y, como en la Figura 1. La función F(y) está definida en todo el intervalo [a2, b2] y es una función de una sola variable. Veamos cómo cambia su valor si desplazamos la y una cantidad “muy pequeña”: F(y + dy). Como muestra la Figura 2, este valor F(y + dy) es

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Sy b2 y

dy Ry

a2 a1

b1

Figura 2: El valor de la función f(x, y) en la banda Sy, de altura dy, no depende de y. la masa de Ry más la masa del rectángulo Sy (más bien una banda) infinitamente estrecho que comienza en altura y y termina en altura y+dy. En forma de ecuación: F(y + dy) = F(y) + ∫ f(x, y)dx dy. Sy La banda Sy tiene anchura infinitesimal, así que el valor de f(x, y) en ella no depende de la variable y (puesto que y no cambia en Sy), así que la masa de Sy es la de un cable infinitamente delgado cuya densidad viene dada por f(x, y)dy (obsérvese que se multiplica f(x, y), la densidad superficial, por una longitud dy, de manera que se obtiene una densidad lineal). La masa de un cable infinitamente delgado es justamente la integral en una variable (para eso se define la integral): ∫

f(

x, y)dx dydy. Sy

El elemento dy es constante, por eso se puede sacar fuera de la integral, que es lo que se realiza en la última igualdad; como Sy es una banda muy estrecha, su masa tiene que ser pequeña, de ahí que sea un número multiplicado por dy. Otro detalle importante es que en la integral ∫

b1 f(x, y)dx a1 la y es constante: por eso tiene sentido tal expresión. Volviendo a F(y), hemos constatado que F

dy.

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Es decir, atendiendo a la definición de derivada dada arriba: ∫

b1 f(x, y)dx = F′(y).

a1 Por el Teorema Fundamental del Cálculo, se tendrá entonces que la masa del rectángulo R original es: F

dy,

lo que significa que: para hacer una integral doble, ha de procederse coordenada a coordenada, haciendo integrales de una variable cada vez, y considerando el resto de variables como constantes en cada paso.

APLICACIÓN DE INEGRAL DOBLE PARA EL CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES GENERALES PROYECTADAS SOBRE EL PLANO XY. El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera:

Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:

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Cuya área, denotada como dA , está dada por:

dA  dxdy  dydx Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la región plana R tiene la forma:

 f (x, y)dA R

Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:

PRIMERO haciendo un barrido vertical

x b

⎡y  f ( x ) ⎤ ⎢ f ( x, y)dy⎥dx ⎢ ⎥

 

xa

⎣ yg(x)

⎦

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SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal

yd

⎡x  f ( y ) ⎤ ⎢ f ( x, y)dx⎥dy

 

⎢

⎥ y c

⎣x  g ( y )

⎦

Si f (x, y)  1 , la integral doble representa el área de la región R , es decir:

A

dA R

La región anterior es llamada una región simple- xy , sin embargo pueden existir regiones simple- x , sólo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical.

y yf x R

d dx y yg

 x a

x b

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Como también pueden existir regiones simple- y , sólo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal. y d R xg y c

dy d x

xf y

x

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE PARA EL CÁLCULO DE VOLÚMEN DE UN SÓLIDO. Cálculo de volumen Si en una integral triple, la función f de integración es uno, la integral triple proporciona el volumen del sólido. Ejemplo 1 Determinar el volumen de la región en el primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x + z = 1 y y + 2z = 2. En la figura se muestra un dibujo del sólido.

Solución. Primero probamos si la variable z puede utilizarse para la integral exterior, se traza una recta de prueba (azul en el siguiente dibujo).

La recta entra en la región por el plano z = 0 y sale por el plano y + 2z = 2 o por el plano x + z = 1 según la posición de la recta de prueba al cruzar la región, por lo tanto, no se puede utilizar para la integral más exterior (su límite superior no siempre es el mismo).

Se prueba para la variable x trazando la recta de prueba en la dirección del eje x como se muestra en el siguiente dibujo.

La recta entra en la región en el plano x = 0 y sale por el plano x + z = 1, esta ecuación se puede escribir como x = 1 − z. Entonces, la variable de la integral exterior es x con límites 0 ≤ x ≤ (1 − z). Ahora se proyecta el sólido sobre el plano yz. Esta proyección corresponde a la del plano y + 2z = 2. En la figura se muestra la región plana.

Esta región es vertical simple con límites 0

y 0 ≤ y ≤ 2.

La integral del volumen es

volumen =

El volumen es 2/3 unidades cúbicas. También son posibles otros ordenes de integración, se deja como ejercicio probar el orden dxdz dy.