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• Julio Jhonatan Perez Castaneda

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CURSO

: CALCULO II

FACULTAD

: INGENIERÍA

DOCENTE

: RAFAEL HUAMAN DE LA CRUZ

ALUMNOS

: CHUQUILIN ZAMORA, CECILIA ARIANA PEREZ CASTAÑEDA, JULIO JHONATAN TEJADA AYAY, SABINA

TEMA

: INTEGRALES IMPROPIAS

CAJAMARCA – PERU 2016

INDICE GENERAL

CALCULO II – Integral Impropia

Dedicatoria……………………………………………………………………………………………………………… 3 Objetivos…………………………………………………………………………………………………………………. 4 Metodología de investigación………………………………………………………………………………. 5 Integral impropia…………………………………………………………………………………………………… 6 Carácter y valor de las integrales impropias…………………………………………………… 9 Integral de primera especie……………………………………………………………………………….. 10 Integral de segunda especie……………………………………………………………………………….. 11 Integral de tercera especie………………………………………………………………………………… 12 Ejemplos de Integrales Impropias ……………………………………………………………………. 13 Conclusión…………………………………………………………………………………………………..................21 Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………….22

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CALCULO II – Integral Impropia

DEDICATORIA

“Al maestro que da un segundo más a su existencia, para impartir el conocimiento y hacer más digna la existencia humana”

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CALCULO II – Integral Impropia

OBJETIVOS: -

Incentivar en el estudiante la investigación y el gusto por ciencias exactas

-

Afianzar sus conocimientos impartidos en clase

-

Aumentar su óptica hacia el cálculo, al investigar sobre lo inmenso de las teorías matemáticas

-

Comprender la importancia y la aplicación de las teorías matemáticas

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CALCULO II – Integral Impropia

METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN La metodología usada para hacer este informe monográfico se basa básicamente en la recopilación de información publicada en la web y la organización según una secuencia lógica y didáctica del tema desarrollado. Al ser la teoría matemática amplia y tener varias ópticas bajo diversos especialistas, en el desarrollo de esta monografía la óptica mas aplicativa, dejando de lado la parte axiomática y rigurosa que exige este tema como todo el demás informe científico.

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CALCULO II – Integral Impropia

Integral impropia Introducción "Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites. La integral

puede interpretarse como

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. 6

CALCULO II – Integral Impropia

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

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CALCULO II – Integral Impropia

Definición de integral impropia: Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales

definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

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CALCULO II – Integral Impropia

si los límites existen.

Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es

divergente.

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Carácter y valor de las Integrales Impropias Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

1-Primera especie Son del tipo:

ó Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente): Si existe el

y es finito y en ese caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si

es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.

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CALCULO II – Integral Impropia

2-Segunda Especie Son del tipo:

y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración. Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a): Si el

existe y es finito y en este caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

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3-Tercera Especie Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración. Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

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Ejemplos de Integrales impropias Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva recta

la

y el eje

Como la curva es siempre positiva Area

Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se vuelve asintótica al eje ``rápidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la curva y el eje se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.

Integral impropia de 1ra clase. (divergente)

Ejemplo 2: Mirar si

es convergente

luego es convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo

se puede

decir que éste valor es el área bajo la curva

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CALCULO II – Integral Impropia

Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva

Como

para

con

Area =

Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.

2)

Se toma un valor para calcular

y luego se hace tender

hacia -

Es decir

Ejemplo 4: La región limitada por la curva

el eje , el eje rota

alrededor del eje ; encontrar el volumen del sólido obtenido. Utilizando discos 14

CALCULO II – Integral Impropia

Volumen =

Ejemplo 5: Determinar si

es convergente o divergente utilizando fracciones parciales

= Como

es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar

la indeterminación

Así :

3) Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores

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CALCULO II – Integral Impropia

Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea impropia en uno solo de los límites de integración

Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva

Por lo que la curva es siempre positiva Area=

y el eje

. Pero como la curva

es simétrica con respecto al eje Area =2

Ejemplo 7: Determinar si

converge o diverge

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CALCULO II – Integral Impropia

como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si

existe

por lo tanto

Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente

podía haber sido divergente y el resultado

no da cero.

Si es una función contínua en un intervalo

existe

Si es discontínua en

se hace

y si este límite

existe se dirá que la integral es convergente si no que es divergente.

Si es discontínua en

se hace

con la misma

observación anterior

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CALCULO II – Integral Impropia

Si es discontínua en algún número

pero contínua en todos los

demás valores

aplicándose sobre el número lo que se describió

Integral impropia de 2da clase.(convergentes)

Ejemplo 8: Decir si la integral

converge o diverge

El integrando es discontínuo en 0 entonces Como

siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva

Ejemplo 9: Decir si la integral

es convergente o divergente 18

CALCULO II – Integral Impropia

El integrando es discontínuo en

luego la

integral diverge

Ejemplo 10: Decir si

converge o diverge

Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo

!!! ¡Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!

Como

es discontínua en 0

Como la región es simétrica con respecto al eje si

converge

también;

luego es divergente

Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una circunferencia de radio es

La ecuación de una circunferencia de centro en

y de radio es

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CALCULO II – Integral Impropia

El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.

El integrando es discontínuo en

(el denominador se hace

);

En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que hacer uso de integrales impropias.

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CALCULO II – Integral Impropia

CONCLUCIONES: 

Al puede concluir con satisfacion que al desarrollar la monografia se aumentos la vision del alumnos al estar en contacto con una informacion vasta solo publicada en la web.



Se tiene claro las diversas escuelas matematicas, es decir la matematica aplicada y la matematica pura,que desarrolla la teoria matematica desde el punto de vista axiomatico y riguroso.

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CALCULO II – Integral Impropia

BIBLIOGRAFIA:      

Instituto de matemática y ciencias afines-Universidad Nacional de Ingeniería – Perú www.imca.edu.pe Universidad de Zaragoza - España www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/.../07- impropias.pdf Universidad Católica de Salta- Argentina www.ucasal.net/recursos/INTEGRALES_IMPROPIAS.pdf Facultad de Ingeniería ;Universidad de Buenos Aires- Argentina www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/II00.pdf Universidad de Alcalá – España www2.uah.es/josem_salazar/material_docente.../teoria/.../t6.pdf

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