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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA Departamento Académico de Matemática

SEPARATA

Y  −1

dx ∫ √−1−x

y



−∞

+∞

∫



1

dx 3 ( x−1 )

 x 

















X

 1

∫



0

(x +1)dx x−1

 

Rosa N. Llanos Vargas

Nuevo Chimbote- Perú 2012 INDICE

INTRODUCCIÓN Existen dos condiciones que garantizan la existencia de la integral definida. La función que es parte del integrando sea continua y que el intervalo de integración sea cerrado. Cuando alguna de estas condiciones no se cumplen, se extiende la definición de integral definida para considerar límites de integración infinitos y/o discontinuidades de la función sobre el intervalo de integración; a estas integrales se les llama impropias. La presente separata presenta un enfoque de las integrales impropias de modo que al finalizar su estudio los estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional del Santa estarán en condiciones de analizar la convergencia y evaluar una integral impropia cualquiera. Se presentan un marco teórico de cada subtema, seguido de algunos ejemplos resueltos, empezando con los más fáciles hasta los de mayor dificultad y se han escogido listas de ejercicios y problemas propuestos para propiciar la transferencia. La separata contiene la definición de integrales impropias con límites infinito e integrales impropias con discontinuidad infinita en algún punto del intervalo de integración, los criterios de convergencia en cada caso , las funciones beta y gamma y sus aplicaciones. Se agradece a todas las personas que de una u otra forma han contribuído para hacer realidad la presente publicación. Cualquier sugerencia será recibida con gratitud y servirá para mejorar futuras ediciones de la presente separata en beneficio de los estudiantes. Rosa N. Llanos Vargas

1

INTEGRALES IMPROPIAS ( I . I ) La

definición de integral definida

exige que la

continua y definida sobre un intervalo cerrado [ a , b ]

función

integrando sea

: Cuando uno o ambos

extremos del intervalo de definición de la función no son finitos o cuando la función presenta un número finito de puntos de discontinuidad inevitable sobre el intervalo [ a, b] ; es decir : b

+∞

+∞

1. ∫ f ( x ) dx 2 . ∫ f ( x ) dx 3. ∫ f ( x ) dx a

−∞

−∞

b

4.∫ f ( x ) dx a

En 4.La función f presenta discontinuidad infinita en alguno punto“c”del intervalo[a , b] Todas ellas son llamadas integrales impropias , para cuyo cálculo se empleará un proceso de límite .Las integrales como 1,2,3, son llamadas integrales impropias con límite infinito, mientras

que las integrales como 4, son integrales impropias con

discontinuidad. DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE SUPERIOR INFINITO 1.



 a

Si f es continua en [ a, +∞ > , y si el límite existe , entonces

f ( x )dx 

b

Lim  f ( x)dx a b

2

DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE INFERIOR INFINITO b





f ( x)dx 

b

Lim  f ( x)dx a  a

2-

Si f es continua en < - ∞, b ] , y si el límite

existe , entonces

Si los límites en cada caso existen, se dice que la integral impropia es convergente y el valor de la integral es el valor del límite , en caso contrario se dice que la integral impropia es divergente . DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON LIMITE SUPERIOR E INFERIOR INFINITO   f ( x)dx  f ( x)dx  a f ( x)dx  3.-





a

Si f es continua en < - ∞, + ∞ > ,

entonces Estas se reducen a los casos 1 y 2, respectivamente .

X

3

+∞

La integral

∫ f ( x ) dx

Converge si ambas integrales convergen. Y diverge si alguna

−∞

de ellas diverge. +∞

Ejemplo 1 . Evaluar la integral, si es convergente

∫ x12 dx 1

Solución Por definición 1. +∞ b 1 1 dx ∫ x 2 dx=blim ∫ 2 →+∞ 1 x 1 b

En primer lugar, calculamos la integral

∫ x12 dx 1

−1 ⌉ x ¿ ¿ b 1 ∫ x2 dx=¿ 1 En segundo lugar, calculamos el límite de la última expresión

[ ]

1 −1 =1 b b →+∞ Por consiguiente +∞ ∫ x12 dx=1 1 lim −

Ejemplo 2.calcular la integral, en caso de ser convergente 0

∫ √ e x dx −∞

Solución Por la definición 2., se tiene, 0

∫ √ e x dx = lim −∞

0

e x dx √ ∫ a →−∞ a

0

x Calculamos la integral ∫ √ e dx a

0

0

a

a

0

∫ √ e x dx=∫ e x /2 dx=2 e x/ 2 ]a=2 ( e 0−e a /2 )

Calculamos el límite de la expresión anterior lim 2 ( 1−e a /2 )=2 a →−∞

Por lo tanto, 0

∫ √ e x dx =2 −∞

4

+∞

Ejemplo 3. Evaluar la integral, si es convergente,

∫ x 2 +41x +8 dx

−∞

Solución Por definición 3. +∞ 0 +∞ 1 1 dx= dx + ∫ x 2 +4 x +8 ∫ x 2 +4 x +8 ∫ x2 + 41 x+ 8 dx . .. . .(¿) −∞ −∞ 0 0

Calculamos la primera integral

∫ x 2 +41x +8 dx

−∞ 0

0

0

1 1 dx= lim ∫ dx ∫ x 2 +41x +8 dx=alim ∫ 2 2 →−∞ a x + 4 x +8 a →−∞ a (x+ 2) +4 −∞ 1 x+2 Arctg ⌉ 2 2 ¿ ¿ a0 ¿ ¿ ¿ lim ¿ a →−∞

Entonces 0 3 = π . . .. . .. . .. . . … .. .(1) ∫ x 2 +41x +8 dx= 12 π4 − −π 2 8 −∞

[ ( )]

+∞

Calculamos la segunda integral

∫ x 2+ 41x +8 dx 0

b

+∞

[

[ ( )

b

( )]

1 1 x +2 dx= lim Arctg ∫ 2 1 dx=blim ∫ 2 2 →+∞ 0 x + 4 x +8 b →+∞ 2 0 x + 4 x +8 1 b+2 1 π π π ¿ lim Arctg − Arctg(1) = − = 2 2 2 4 8 b →+∞ 2 Entonces +∞ ∫ x 2+ 41x +8 dx= π8 .. . ... . .. . . .. . .. . .. . . ... . ..(2) 0 Reemplazando ( 1 ) y ( 2 ) en (* ) , resulta

0

] [ ]

+∞

∫ x 2 +41x +8 dx= π8

−∞

DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA EN SU LÍMITE INFERIOR

Lim

4.-

Si f es continua en < a, b ] y si xa 

f ( x)  

ó : entonces

5

b

 a

b

Lim  f ( x)dx

f ( x)dx 

t a

t

Siempre que el límite exista

y

Y









x 

















a



b

X







1

Ejemplo 4. Evaluar la integral, si es convergente

1 dx ∫ √1−x 0

Solución 1 presenta una discontinuidad infinita en el punto x =1, que es el límite √1−x superior de la integral a calcular. Por definición, t 1 t →1−¿ ∫ dx 0 √ 1−x f (x) =

1

1 dx=lim ¿ ∫ √1−x ¿ 0

Calculamos la integral definida 1 t

[

t

]

1

1 ∫ √1−x dx=−2 ( 1−x )2 0=−2[ ( 1−t ) 2 −1] 0 Por consiguiente 1 −¿

t → 1 −2[ ( 1−t ) 2 −1]=2 1 1 dx=lim ¿ ∫ √ 1−x ¿ 0 DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA EN SU LÍMITE SUPERIOR b

 f ( x)dx

a



t

Lim  f ( x)dx

t b  a

Lim f ( x)  

xb

5.-

Si f es

continua

en [a,

b >

y si

ó () : entonces

6

DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA EN UN PUNTO INTERIOR 6.- Si f es continua en [ a , b ], excepto en c, donde a < c < b y si lim f ( x ) =+∞ ó−∞ x→ c

Entonces b

c

b

∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx a

a

c

Si las dos integrales son convergentes. 4

I =∫

Ejemplo 5.Calcular la integral, si es convergente,

0

dx x −2 x−3 2

x=3

Solución 1 1 = x −2 x−3 ( x−1 )2−4 Es discontinua en x = 3, como se La función f( x ) =

2

observa en la gráfica, por lo que

y



x−1 ¿ ¿ ¿ 2−4 ¿ x−1 ¿ ¿ ¿ 2−4 ¿ ¿ ¿ dx ¿







x 

























3

I =∫ ¿ 0

Calculamos primero la integral t

t

[ | |] [ | |

dx 1 x−3 = ln ∫ (x−1) 2 4 x +1 −4 0

=

0

1 t−3 1 ln − ln 3 4 t +1 4

]

Calculamos el límite

| |

1 t−3 1 t → 3−¿ ln − ln 3=∞ 4 t +1 4 lim ¿ ¿

7

x −1 ¿ ¿ ¿ 2−4 ¿ Por consiguiente la integral diverge dx ¿ 3

∫¿ 0

En conclusión 4

∫ (x−1)1 2−4

diverge

0

Resolución de ejercicios , cuando los límites son infinitos +∞

Ejemplo 6.Calcular la siguiente integral, si existen

∫ x e−x dx 0

Solución El problema , en este caso es el límite superior ( +∞), entonces por definición b

+∞

∫ x e−x dx=blim ∫ x e−x dx →+∞ 0

0

b

Primero calculamos la integral

∫ x e−x dx

, utilizando el método de integración por

0

partes , donde

u = x ⟹ du = dx dv = e-xdx ⟹ v = - e-x

b

b

∫xe

−x

0

−x e−x

dx =¿ ¿ −∫ (−e−x ) dx=−( b e−b −0 ) −(e−b−1) b 0

0

En segundo lugar calculamos el límite de la última expresión lim (−b e−b−e−b +1)= lim (

b →+∞

b →+∞

−b 1 − b + 1) b e e

Toda vez que −b b e ¿ es de la formaindeterminada

∞ ∞

lim ¿

b →+ ∞

8

Aplicamos la regla de L´Hospital , −b b e ¿ ¿ −1 eb ¿=0 lim ¿ b →+∞

Además es obvio que 1 lim b =0 b →+∞ e Entonces −b 1 lim ( b − b + 1)=1 b →+∞ e e En consecuencia +∞

∫ x e−x dx=1 0

+∞

Ejemplo 7. Evaluar la integral

∫ cosx dx −∞

Solución 0

+∞

+∞

∫ cosx dx=∫ cosx dx+∫ cosx dx −∞

0

−∞

Evaluamos la primera integral senx 0

0

cosx dx= lim ¿¿ 0a= lim ( 0−sena )= lim Sena ∫ cosx dx=alim ∫ →−∞ a→−∞ a →−∞ a →−∞ a

−∞

Pero

sena lim ¿ ) no existe , por lo que a →−∞ +∞

integral

∫ cosx dx

0

∫ cosx dx

es divergente, y por lo tanto la

−∞

es divergente

−∞

Algunas integrales impropias con límite infinito 1.- La integral p: para a > 0 y p un número real, converge si p > 1 y diverge en otros casos 

 a

1 p dx x calculamos

la integral:

9

b

[ ]

b

1 1 x 1− p 1 dx= lim dx=¿ lim = lim ( b1− p−a 1−p ) ∫ p p 1− p b →+ ∞ b →+∞ a x b →+∞ 1− p a x +∞

∫¿ a

El límite es infinito si

1-p

≥0

y su valor es

a1− p p−1

cuando 1- p < 0 ; es decir

la integral p converge si p > 1. 2.- La integral exponencial ,FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 

 a

e  kxdx ; k  IR , converge si k  0 y diverge si k  0

EJEMPLOS.- Calcular, en caso de existir : 1. 6.

 dx



1 x 

2.

5



dx

x x 0 e e

 dx  1/ 3 1 x

3.

  dx 7.  0 x

 dx

 2 1 1  x   dx 8.  x 0 1 e

4.

 dx   Cosx

5.

 9.  cos xdx 0

 x  x² e dx 0   x3dx 10.  2 2 1 ( x  1)

CRITERIOS DE CONVERGENCIA : I.I con límites infinitos  a g ( x)dx converge entonces  ii ) Si  f ( x )dx diverge entonces a i ) Si

 a f ( x)dx converge  a g ( x)dx diverge 1.-

Criterio

de

comparación :_ Sean f y g dos funciones tales que f ( x ) > 0 , g (x) > 0 y f (x) < g (x)

para todo x > a ; entonces :

2.- Criterio del Cociente .- Si f y g son funciones no negativas sobre [ a , + oo > y si :

10

f ( x)  0

a) Si e



a

g ( x)  0

y

y si

f ( x)

Lim x   g ( x)



A , A  IR

 { 0}

; luego



a

f ( x) dx ,

g ( x) dx ambas convergen o ambas divergen .

b) Si

A0 e

c) Si

A  e



a



g ( x) dx converge , luego

a

f ( x) dx converge

g ( x) dx diverge , luego

a

f ( x) dx diverge



a



Lim

3.- Teorema.- Sea x    xp f (x) = A , si f ( x )  0 y si A es un número real no nulo 

a)

a

f ( x) dx converge si

b)

a

f ( x ) dx diverge si



p1 y p 1 y

A es

finito

A  0 ( puede ser inf inito )

4.-Convergencia Absoluta y Condicional .- La integral :   1.   f ( x) dx se dice que es ABSOLUTAME NTE CONVERGENTE , si  / f ( x) / dx es convergente a a    2.  Si  f ( x) dx es convergente pero  / f ( x) / dx es divergente entonces ,  f ( x) dx es a a a CONDICIONA LMENTE CONVERGENTE. La transformada de Laplace .- Si f es una función definida para todos los valores positivos de t , la transformada de Laplace de la función f se define por :  s t F (s)   e f (t )dt 0 Si esa integral existe . A continuación halle la transformada de Laplace de : 1.- f ( t ) = 1, 2.- f ( t ) = t ,

3.- f ( t ) = t² , 4.- f ( t ) = Cos a t ,

5.- f ( t ) =

ea t ALGUNAS INTEGRALES CON INTEGRANDO DISCONTINUO b dx 1.   , converge si p  1 , diverge si p 1 a ( x  a) p b dx 2.   , converge si p  1 , diverge si p 1 a (b  x) p

11

CRITERIOS DE CONVERGENCIA : I . I. Con integrando discontinuo Para los criterios a continuación, se ha considerado el caso en que f(x) no es acotada en el punto “a” del intervalo [a , b] b

i ) Si

a g ( x)dx

ii ) Si

a f ( x)dx

converge entonces

b

diverge entonces

b

a f ( x)dx b

a g ( x)dx

converge diverge

1.-

Criterio

de

comparación :_ Sean f y g dos funciones tales que f ( x ) > 0 , g (x) > 0 y f (x) < g (x)

para todo elemento de < a , b ] ; entonces :

f ( x)  0 y g ( x )  0 y si

a) Si

b

a

e

b  A , A  IR  { 0 } ; luego  a

f ( x)

Lim x  a g ( x)

f ( x) dx ,

g ( x) dx ambas convergen o ambas divergen .

b) Si A  0 e c) Si A   e

b a

g ( x) dx converge , luego b

a

g ( x) dx diverge , luego

b a b a

f ( x) dx converge f ( x) dx diverge

2

.- Criterio del Cociente .- Si f y g son funciones no negativas sobre < a , b ] y si :

Lim

3.- Teorema.- Sea x a  (x –a )p f (x) = A , si

f(x)  0 y A es un número real no

nulo, b

a)

a

b)

a

b

f ( x) dx converge si f ( x) dx diverge si

p 1 y p 1 y

A es

finito

A  0 ( puede ser inf inito )

Si f n o es

acotada en x = b , se tiene :

Lim

4.-Teorema.- Sea x b  (b –x )p f (x) = A , f(x)  0 y A es un número real no nulo, entonces

12

b

a)

a

b)

a

b

p 1 y

f ( x) dx converge si f ( x) dx diverge si

es acotada en el punto

p 1 y

A es

finito

A  0 ( puede ser inf inito )

Si f n o

x = c donde c es un elemento de < a , b ] se empleará una

combinación de estos teoremas 5.-Convergencia Absoluta y Condicional .- La integral : b b 1.   f ( x) dx se dice que es ABSOLUTAME NTE CONVERGENTE , si  / f ( x) / dx es convergente a a b b b 2.  Si  f ( x) dx es convergente pero  / f ( x) / dx es divergente entonces ,  f ( x) dx es a a a CONDICIONA LMENTE CONVERGENTE. FUNCION GAMMA DEFINICIÓN .- La función Gamma , está definida para todo número real positivo y su regla de correspondencia es la siguiente ,

 ( x) 

 x 1 t t e dt 0 , converge para x >



0 x 1 t La función f(t) = t e ; es continua en < 0, +oo > . f es discontinua en t = 0 si

x - 1 < 0 ; es decir si x < 1. Si a є < 0 , +oo > , entonces : 

0

donde Para f (t ) 

f (t ) dt 

a

0

f (t ) dt  



1



a 

f (t ) dt   

e-t

→1 , lo cual implica

2

x 1 t f(t) = t e

(1) , si t 0 t x 1 

1 t

1 x

, entonces

pero la int egral :

a

que

1

0 t x 1 dt

, converge si 1-x < 1 ↔ x > 0 .

Es decir la integral ( 1) converge si x > 0 Al analizar (2) llegarás a una conclusión similar

13

PROPIEDADES : 1.  (n)  (n  1) ! ;  n  1 2.  (0)  0 !  1 3.  ( x  1)  x ( x) ; int egrando ( x ) 

por partes b

 1   lim  t x e t   0 b   x

  x 1 t t e dt 0





1   x t 1 t e dt  0  ( x  1)  x 0 x

  ( x  1)  x  ( x)



4.   (1 / 2)   (1 / 2) 

  1 / 2 1 t t e dt 0



  1 / 2 t t e dt 0





  e t

0



t

dt  

 ; 0  a 1 sen a

5.  (a)  (a  1) 

OBSEVACION .- Si en la regla de correspondencia de la función gamma , se hace : u = e - t entonces t = ln ( u – 1 ) = - lnu ; luego dt = -u – 1 du en consecuencia ( x) 

1

1 0  ln u 

x 1

du

FUNCIÓN BETA Definición.- la función beta es definida para valores positivos de m y n por : 1

 ( m,n )   x

m 1

0

La función f( x ) = x

m-1

(1–x)

(1  x )

n-1

n 1 dx

y converge si m > 0 y n > 0

es continua en < 0 , 1 > .

f ( x ) es discontinua en x = 0 si m -1 < 0

ó

en x = 1 cuando n – 1 < 0 ; en estos casos , si se elige

un número A  < 0 , 1 > A

 ( m, n )   x

m 1

0

Si x = 0 , f (x )



1 1 m

x

; la integral



1

A

0

1 m

x

(1  x )

n 1 dx 

1



A

x

m 1

(1  x)

n 1 dx

dx converge si 1 – m < 1 ; es decir si m > 0

14

 Si x = 1 , f (x )

1 1 1 dx 1 n  A (1  x )1 n ( 1 x) ; la integral converge si 1 – n < 1 ; es decir si m > 0

PROPIEDADES :

 ( m)  ( n )  ( m  n) 1 (cos ) 2 n 1 d   (m , n ) 2

1  (m , n )   (n , m )  2





0

2

( sen ) 2 m 1

15