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LONGITUD DE ARCO 1. Hallar la longitud de arco de la curva C : y 2  4 x  x 2 comprendidos entre los dos puntos que cortan al eje X. Ver solucion

Solución:: y 2  4x  x 2 

y=  4 x  x 2

Graficamos

dy 4  2x   dx 2 4 x  x 2

2 x

D e 4x  x 2 r 2 2  2  x  dy  i    4x  x2  dx  v 2 2  2  x 4 x  xa2  4  4 x  x 2  dy  1     1 n4 x  x 2 4x  x2  dx  d 2 4 4 4 4 4 dx  dy  o 1   L  dx   2  4x  x 2 4 x : x 2  dx  4x  x2 0 0 0



4

L  2 0



dx

 x2  2



4



2

4

 2 0

dx



4  x2  2



2





dx

 x2  4x

 x24  2 Arcsen I  2 0

    L  2 Arcsen(1)  2 Arcsen( 1)  2   2        2u : Rpt 2  2

2. Hallar la longitud de arco de la curva y=Ln(x), desde x= 3 hasta x = 8 …

Solución:



Graficamos y=Ln(x) Derivando: 2

dy 1 1  dy      2 dx x x  dx  1 x2 1  dy  1    1 2  x x2  dx  2

8

L



3

x2 1 dx  x2

x2 1 dx  x

8



3

x2 1 xdx, u 2  x 2  1  udu  x x2

8



3

x 3  u  3  1  u  2; x  8  u 2  8  1  u  3 2

3

L 2

3 u2 u 2 11 du 1  u 1  3 udu  du   u I   2 u 2  1 2 u 2  1 2 2 Ln u  1  I2 u2 1 3

L  3 2

3.

3

1  3 1  1  2 1  3 Ln   Ln   1  Ln u : Rpt 2  3 1 2  2 1 2

Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5 y 2  x 2 , comprendida dentro de la circunferencia x 2  y 2  6

Solución: Graficamos x 2  y 2  6 ; 5 y 2  x 2 Derivando: 1

dy 2 x 3 5y  x   dx 33 5 3

2

2

2

4x 3  dy     3 9 25  dx  2

2

2

4 x 3 93 25 x 3  4 93 25 x 3  4  dy  1    3  L  2 2 0 3 23 dx 9 25  dx  9 x 3 3 25 9 25 x 2

5

L  2 0

93 25 x 3

2

3

3 5x

4

1 3

dx

5

Hacemos u 2  93 25x

2

3

 4  udu  33 25x

1 3

dx

x  5  u 2  45  4  u  7, x  0  u  2





udu 2u 3 7 2 7 3  8 134  I  u : Rpt 3 3 135 2 135 27 2 3 5 (3) 25

7

L  2

4. Encuentre la longitud del arco de la curva 9 y 2  4 x 3 del origen al punto (3,2 3 )

Solución: 1

3

2

dy 2(3) x 2 2x 2  dy  En la curva y  Derivando:     x dx 3(2) 3  dx  En la expresión de la longitud de arco:

2x  1  dy  1    dx   1  x dx  3  dx  0 2

b

L=

 a

3

3

2 3

I

2(4)

0

3

2

2

3



16  2 14  : Rpt 3 3

5. Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es y 3  x 2 , comprendida entre los puntos (0,0) y (8,4)

Solución: 1

La ecuación: y  x

3

2

2

dy 3 y 2 9y  dy   Derivando :     dx 2 4  dx 

En la expresión de la longitud de arco:

b

L a

9y 9y  4  dy  1    dx   1  dy   dy 4 4  dx  0 0

2(9 y  4) L 2(9)(3)

2

1 3 4

4

4

3

(40) 2  8 40 40  8 80 10  8 8 I    (10 10  1)u : Rpt 0 27 27 27 27

6. Hallar la longitud total del lazo de la curva 6 y 2  x( x  2) 2 , si x ɛ [0,2]

Solución:

Graficamos

6 y 2  x ( x  2) 2 x x y ( x  2)  6 Derivando :

3

2

 2x 6

1

2

1 1  dy 1  3 x 2  x 2  dx 6 2   1 2 1  1  3 x 2  dy  x 2     6 2  dx   

2

1 1  3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 1  3x 2  dy   dy     1    1       x 2     8 2 6 8 2 6 8 2 6 6 2  dx   dx    1

2

1

2

2

2

Dos regiones: L  2

 0

L

1 1  1  3 x 2 2  x 2  dx    6 2 6  

1

2

 3 x 12 1   2   x dx 0  2    2





2 1 2  32 2 4 12 8 3 2 22 2   : Rpt  x  2 x 2  I  0  3 3 6 6

7. Calcular la longitud del arco de la parábola y=2 x desde x =0 hasta x =1.

Solución: Derivamos la ecuación dada: 2

y2 dy y y2  dy  y=2 x  x       ; x  0, y  0, x  1, y  2 4 dx 2 4  dx  La longitud de la curva 2

y2 1  dy  L   1    dy   1  dy   1  y 2 dx 4 20  dx  a 0 2 y y 1 1 L 1  y 2  Ln y  1  y 2 I  5  Ln(2  5 ) : Rpt 0 4 4 2 2 b

2



2



8. Hallar la longitud total del arco de la parábola ay 2  x 3 desde el origen hasta x=5ª.

Solución:

2

Derivamos y arreglamos la expresión dada: La

2

dy 3x  dy  9 x 2ayy'  3x 2      dx 2 a 4a  dx 

5a

L

 0

2

 dy  1    dx   dx 

8a  45  1   L 27  4  

3

2

5a

 0

longitud de la curva

 9x  24a 1   9x 4a   1  dx  4a 3(9)

3

2 5a

I

0

 8a  343  335a  1   1  : Rpt  27   27  8

9. Hallar la longitud del arco de la curva x=

y2 1  Ln ( y ) desde y=1 hasta y=e. 4 2

Solución: y2 1 dy y 1  Ln ( y )    Derivamos la ecuación dada: x= 4 2 dx 2 2 y 2

y2 1 1 y2 1 1  dy   y 1   dy      2 1   1   2      4 2 4y 4 2 4y  dx   2 2 y   dx  2

Arreglamos

2

y 1  y2 1 1  dy   1      2    4 2 4y  dx   2 2y  2

2

De donde: e

L 1

L

2

 dy  1    dy    dx  1 e

2

e e y 1  y 1  y2 1    dy     dy   Ln( y ) I 1 2 2y  4 2  2 2y  1

e2 1 1 1 e2 1 1 e2  1  Ln(e)   Ln(1)     : Rpt 4 2 4 2 4 2 4 4 x a

10. Hallar la longitud de la catenaria y=aCosh   desde el vértice A(0,a) hasta el punto B(b,h).

Solución: x a

Derivamos la expresión dada: y=aCosh   

dy  x  Senh  dx a

2

 dy   x  x Arreglando: 1     1  Senh2    Cos 2 h   dx  a a b

De donde:

L 0

2

 dy   x  x  xb 1    dx   Cosh 2  dx   Cosh dx  aSenh  I  dx  a a aa 0 0

b L  aSenh  : Rpt a

b

b