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• Yeraldi Suarez Cortes

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39

INSTRUMENTOS

CAPÍTULO 39: INSTRUMENTOS ÓPTICOS 321

ÓPTICOS

COMBINACIÓN DE LENTES DELGADOS: Para ubicar la imagen producida por la combinación de dos lentes: 1) calcule la posición de la imagen producida por el primer lente solo, sin tomar en cuenta el segundo lente; 2) luego considere esta imagen como el objeto para el segundo lente, y ubique su imagen como producida por el segundo lente solo. Esta última imagen es la imagen requerida. Si la imagen formada sólo por el primer lente está en la parte posterior del segundo lente, entonces dicha imagen es un objeto virtual para el segundo lente y su distancia desde el segundo lente se considera negativa.

EL OJO utiliza un lente de foco variable para formar una imagen sobre la retina en la parte posterior del ojo. El punto cercano del ojo, representado por dn, es la distancia más cercana al ojo desde donde un objeto se puede ver con claridad. Para un ojo normal, dn es aproximadamente 25 cm. Las personas que padecen hipermetropía sólo pueden distinguir objetos que están lejos de su ojo; las personas miopes sólo pueden ver objetos que estén cerca de su ojo. AMPLIFICACIÓN ANGULAR (MA ), también conocida a veces como poder de amplificación, es la razón de los ángulos subtendidos por las imágenes en la retina con y sin el instrumental en el sitio (vea la figura 39-1). UN VIDRIO AMPLIFICADOR (LUPA) es un lente convergente utilizado para formar una imagen virtual, recta y amplificada de un objeto colocado dentro de su distancia focal. La amplificación angular debida a un amplificador con distancia focal f (donde los lentes están cerca del ojo) es (dn f )  1 si la imagen es emitida en el punto cercano (figura 39-1b). Alternativamente, si la imagen está en el infinito, para una mirada reposada, la amplificación angular es dn f. UN MICROSCOPIO que consiste de dos lentes convergentes, un lente objetivo (distancia focal fO ) y un lente ocular ( fE ), tiene MA ¼ MAE MTO  MA ¼

  siO dn þ1 1 fE fO

Punto cercano

donde siO es la distancia desde el objetivo a la imagen que se forma. Esta ecuación se mantiene cuando la imagen final está en el punto cercano, dn
25 cm. UN TELESCOPIO que tiene un lente objetivo (o espejo) con distancia focal fO y un ocular con distancia focal fE tiene una amplificación MA ¼ fO =fE :

Figura 39-1

321

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322 FÍSICA GENERAL

PROBLEMAS RESUELTOS 39.1 [II]

Cierta persona miope no puede distinguir objetos que estén más allá de 80 cm de sus ojos. ¿Cuál es la potencia en dioptrías de los lentes de sus anteojos, los cuales le permitirán ver los objetos distantes con claridad? La imagen, que debe estar derecha, debe estar en el mismo lado del lente a la distancia del objeto (por lo que la imagen es virtual y si
80 cm) y más próxima al lente que el objeto (así es que están indicados lentes negativos o divergentes). Recuerde que, para imágenes virtuales formadas por un lente cóncavo, so  |si|. Como el objeto está a una gran distancia, so es muy grande y 1so es prácticamente cero. Entonces 1 1 1 þ ¼ so s i f

y

39.2 [II]

o

1 1 ¼ 80 f

0

Poder en dioptrías


f
80 cm (divergente)

o

1 1
f en metros 0.80 m

1.3 dioptrías

Cierta persona hipermétrope no puede ver con claridad objetos que estén a menos de 75 cm de sus ojos. Determine la potencia de los lentes de sus anteojos que le permitirán leer a una distancia de 25 cm. La imagen, que debe ser derecha, debe estar en el mismo lado del lente donde está el escrito (por lo que la imagen es virtual y si
75 cm) y más alejada del lente que el texto (por lo que se recomiendan lentes convergentes o positivos). Recuerde que, para imágenes virtuales formadas por un lente convergente, |si|  so. Se tiene 1 1 1 ¼  f 25 75

y 39.3 [II]

Potencia


o

f ¼ þ37:5 cm

1
2.7 dioptrías 0:375 m

Un solo lente delgado de proyección, con distancia focal de 30 cm, proyecta la imagen de una diapositiva de 2.0 cm × 3.0 cm sobre una pantalla ubicada a 10 m del lente. Calcule las dimensiones de la imagen. La imagen es real y por tanto si  0; 1 1 1 1 1 ¼  ¼  ¼ 3:23 m1 so f si 0:30 10

así que

MT ¼ 

si 10 m ¼ ¼ 32 so ð1=3:23Þ m

La amplificación es negativa porque la imagen está invertida. La longitud y el ancho de la diapositiva se amplifican cada una 32 veces, así que Tamaño de la imagen
(32 × 2.0 m) × (32 × 3.0 cm)
64 cm × 96 cm

39.4 [II]

Una cámara produce una imagen clara de un paisaje distante cuando el lente delgado está a 8 cm de la película. ¿Qué ajuste se requiere para conseguir una buena fotografía de un mapa colocado a 72 cm del lente? Cuando la cámara está enfocada para objetos distantes (para rayos paralelos), la distancia entre el lente y la película es la distancia focal del lente, a saber, 8 cm. Para un objeto a 72 cm de distancia: 1 1 1 1 1 ¼  ¼  si f so 8 72

o

si
9 cm

El lente deberá alejarse de la película una distancia de (9  8) cm
1 cm.

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CAPÍTULO 39: INSTRUMENTOS ÓPTICOS 323 39.5 [II]

Con una iluminación dada y una película determinada, la exposición correcta para el lente de una cámara colocada en f12 es (15). ¿Cuál es el tiempo de exposición adecuado para el lente que trabaja a f4? Un ajuste de f 12 significa que el diámetro del diafragma, u obturación, del lente es 112 de la distancia focal; f 4 significa que es 14 de la distancia focal. La cantidad de luz que pasa a través del diafragma es proporcional a su área y por consiguiente al cuadrado de su diámetro. El diámetro de la obturación en f4 es el triple que en f12, de modo que 32
9 veces más luz pasará a través del lente en f4 y la exposición correcta en f4 es (19) (tiempo de exposición en f12)
(1.45) s

39.6 [II]

Un grabador de objetos que tiene vista normal utiliza un lente convergente con distancia focal de 8.0 cm, el cual sostiene muy cerca de sus ojos. ¿A qué distancia del trabajo debe colocar el lente y cuál es el poder de amplificación de éste? Método 1 Cuando se utiliza un lente convergente como vidrio de aumento, el objeto está entre el lente y el punto focal. La imagen virtual, derecha y alargada se forma a la distancia de visión precisa, 25 cm del ojo. Para una imagen virtual si  0. Por tanto 1 1 1 þ ¼ so s i f

y

o

1 1 1 þ ¼ so 25 cm 8:0 cm MT ¼ 

o

so ¼

200 ¼ 6:06 cm ¼ 6:1 cm 33

si 25 cm ¼ ¼ 4:1 so 6:06 cm

Método 2 Por la fórmula, MA ¼

25 dn þ1¼ þ 1 ¼ 4:1 f 8:0

Observe que en este caso simple MT
MA.

39.7 [III] Dos lentes positivos, que tienen distancias focales de 2.0 cm y 5.0 cm, están separados 14 cm como se muestra en la figura 39-2. Un objeto AB se coloca a 3.0 cm frente al lente de 2.0. Determine la posición y la amplificación de la imagen final AB formada por esta combinación de lentes.

Figura 39-2

Para ubicar la imagen AB formada sólo por el lente de 2.0: 1 1 1 1 1 1 ¼  ¼  ¼ si f so 2:0 3:0 6:0

o

si ¼ 6:0 cm

La imagen AB es real, invertida y está 6.0 cm detrás del lente de 2.0.

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324 FÍSICA GENERAL Para ubicar la imagen final AB: La imagen AB está a (14  6.0) cm
8.0 cm enfrente del lente de 5.0 y se toma como un objeto real para este lente. 1 1 1 ¼  si 5:0 8:0

o

si ¼ 13:3 cm

A″B″ es real, derecha y se forma a 13 cm del lente de 5. Entonces, MT ¼

A 00 B 00 A 0 B 0 A 00 B 00 6:0 13:3 ¼
0 0 ¼
¼ 3:3 3:0 8:0 AB AB AB

Observe que la amplificación producida por una combinación de lentes es el producto de las amplificaciones individuales.

39.8 [II]

En el microscopio compuesto que se muestra en la figura 39-3, el objetivo y el ocular tienen distancias focales de 0.80 y 2.5 cm, respectivamente. La imagen real AB formada por el objetivo está a 16 cm de éste. Determine la amplificación total si el ojo se mantiene cerca del ocular y se observa la imagen virtual AB a una distancia de 25 cm. Método 1 Sea soO
distancia del objeto al objetivo siO
distancia de la imagen real al objetivo

Ocular Objetivo

1 1 1 1 19 1 ¼  ¼  ¼ cm1 soO fO siO 0:80 16 16

y así el objetivo produce una amplificación lineal MTO ¼ 

  siO 19 ¼ ð16 cmÞ cm1 ¼ 19 soO 16

Fig. 39-3 Figura 39-3

La imagen intermedia está invertida. El poder de amplificación del ocular es MTE

s ¼  iE ¼ siE soE



1 1  fE siE

 ¼

siE 25 þ1¼ þ 1 ¼ 11 fE þ2:5

El ocular no voltea la imagen: la imagen intermedia está invertida, lo mismo que la imagen final. Por tanto, el poder de amplificación del instrumento es 19 × 11
2.1 × 102. Alternativamente, bajo las condiciones establecidas, el poder de amplificación del ocular se puede calcular como 25 25 þ1¼ þ 1 ¼ 11 2:5 fE

Método 2 Por medio de la fórmula de la página anterior, con siO
16 cm,       siO dn 25 16 þ 1  1 ¼ þ 1  1 ¼ 2:1
102 Amplificación
fE fO 2:5 0:8

39.9 [III] El lente del telefoto que se muestra en la figura 39-4 consiste de un lente convergente con distancia focal de 6.0 cm colocado a 4.0 cm frente a un lente divergente con distancia focal de 2.5 cm. a) Ubique la imagen de un objeto muy distante. b) Compare el tamaño de la imagen formada por esta combinación de lentes con el tamaño de la imagen que podría producirse sólo por el lente positivo.

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CAPÍTULO 39: INSTRUMENTOS ÓPTICOS 325

Rayos desde la parte superior del objeto

Fig. 39-4 Figura 39-4

a)

Si no se emplea el lente negativo, la imagen AB se formaría en el punto focal del lente de 6.0, a 6.0 cm de distancia de dicho lente. El lente negativo disminuye la convergencia de los rayos refractados por el lente positivo y hace que se enfoquen en AB en lugar de en AB. La imagen AB (que se habría formado por el lente 6.0 solo) está a 6.0  4.0
2.0 cm al otro lado del lente 2.5 y se toma como el objeto (virtual) para este lente. Entonces, so
2.0 cm (negativo porque AB es virtual) y 1 1 1 1 1 1 ¼  ¼  ¼ si f so 2:5 cm 2:0 cm 10 cm

o

si ¼ þ10 cm

La imagen final AB es real y está a 10 cm del otro lado del lente negativo. b)

Amplificación del lente negativo ¼

s A 0B 0 10 cm ¼ i ¼ ¼ 5:0 so 2:0 cm AB

así que el lente divergente aumenta la amplificación por un factor de 5.0. Observe que la amplificación producida por el lente convexo es negativa y por tanto la amplificación neta de ambos lentes es negativa: la imagen final es invertida.

39.10 [II] Cierto microscopio tiene dos lentes objetivo intercambiables (3.0 mm y 7.0 mm) y dos oculares intercambiables (3.0 cm y 5.0 cm). ¿Qué amplificaciones se pueden obtener con el microscopio si se ajusta de modo que la imagen formada por el objetivo esté a 17 cm de los lentes? Debido a que siO
17 cm, la fórmula de amplificación para un microscopio, con dn
25 cm, da las posibilidades siguientes para MA:

39.11 [I]

Para fE
3 cm, fO
0.3 cm:

MA
(9.33)(55.6)
518
5.2 × 102

Para fE
3 cm, fO
0.7 cm:

MA
(9.33)(23.2)
216
2.2 × 102

Para fE
5 cm, fO
0.3 cm:

MA
(5)(55.6)
278
2.8 × 102

Para fE
5 cm, fO
0.7 cm:

MA
(5)(23.2)
116
1.2 × 102

Calcule el poder de amplificación de un telescopio que tiene objetivo y ocular con distancias focales 60 y 3.0 cm, respectivamente, cuando se enfoca para rayos paralelos. Poder de amplificación


distancia focal del objetivo 60 cm

20 distancia focal del ocular 3.0 cm

La imagen está invertida.

39.12 [II] Los telescopios de reflexión se construyen utilizando un espejo cóncavo, en lugar del lente objetivo, para poder enfocar los objetos distantes. ¿Cuál es el poder de amplificación de un telescopio que tiene un espejo con un radio de 250 cm y un ocular cuya distancia focal es de 5.0 cm?

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326 FÍSICA GENERAL Como para un telescopio de refracción (es decir, uno con dos lentes), se aplica de nuevo MA ¼ fO =fE R=2
125 cm y fE
5.0 cm. Así, MA
25. donde, en este caso, fO


39.13 [III] Como se muestra en la figura 39-5, un objeto se coloca a 40 cm de un lente convergente que tiene f
8.0 cm. Un espejo plano está 30 cm detrás del lente. Determine las posiciones de todas las imágenes formadas por este sistema. Para el lente 1 1 4 1 1 1 ¼  ¼  ¼ si f so 8:0 40 40

o

si ¼ 10 cm

Esta imagen es AB en la figura. Es real e invertida.

Figura 39-5

AB actúa como objeto para el espejo plano, a 20 cm de distancia. Una imagen virtual CD se forma 20 cm atrás del espejo. La luz reflejada por el espejo parece venir de la imagen en CD. Con CD como objeto, el lente forma una imagen de él a la izquierda del lente. La distancia si del lente a esta última imagen está dada por 1 1 1 1 1 ¼  ¼  ¼ 0:105 si f so 8 50

o

si ¼ 9:5 cm

Por tanto, las imágenes reales se ubican 10 cm a la derecha del lente y 9.5 cm a la izquierda del lente (esta última imagen es derecha). Una imagen virtual invertida se encuentra a 20 cm atrás del espejo.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 39.14 [II] Cierta persona hipermétrope no puede ver con claridad objetos ubicados a menos de 60.0 cm de sus ojos. Determine la distancia focal y el poder de los lentes de sus anteojos para que pueda leer libros a una distancia de 25.0 cm. Resp. 42.9 cm, 2.33 dioptrías. 39.15 [II] Cierta persona miope no puede ver con claridad objetos que estén más allá de 50 cm de sus ojos. Determine la distancia focal y el poder de los anteojos que le permitirán ver objetos distantes con claridad. Resp. 50 cm, 2.0 dioptrías. 39.16 [II] Un lente de proyección se utiliza para producir imágenes de 2.4 m × 3.2 m de transparencias de 3.0 cm × 4.0 cm sobre una pantalla que está a 25 m del lente. Calcule su distancia focal. Resp. 31 cm. 39.17 [II] Una cámara toma una fotografía tamaño natural de una flor cuando el lente está a 20 cm de la película. ¿Cuál debe ser la distancia entre el lente y la película para fotografiar una bandada de patos que vuelan sobre su cabeza? Resp. 10 cm.

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CAPÍTULO 39: INSTRUMENTOS ÓPTICOS 327 39.18 [II] ¿Cuál es la máxima rapidez de obturación del lente de una cámara que tiene una distancia focal de 10 cm y un diámetro de 2.0 cm? Si la exposición correcta en f6 es (1/90) s, ¿qué exposición se necesita cuando se cambia el diafragma a f 9? Resp. f5, (140) s. 39.19 [I]

¿Cuál es el poder de amplificación de un lente con distancia focal de 2.0 cm cuando se utiliza como lupa (o microscopio simple)? El lente se mantiene cerca del ojo y la imagen virtual se forma a una distancia de visión clara, a 25 cm del ojo. Resp. 14.

39.20 [II] Cuando la distancia de un objeto a un lente convergente es de 5.0 cm, se forma una imagen real a 20 cm del lente. ¿Qué amplificación se logra con este lente al utilizarlo como lente de aumento? ¿La distancia de visión más clara es de 25 cm? Resp. 7.3. 39.21 [II] En un microscopio compuesto, las distancias focales del objetivo y el ocular son 0.50 cm y 2.0 cm, respectivamente. El instrumento se enfoca a un objeto a 0.52 cm del lente objetivo. Calcule el poder de amplificación del microscopio si la imagen virtual la observa el ojo a una distancia de 25 cm. Resp. 3.4 × 102. 39.22 [II] Un telescopio astronómico de refracción tiene un poder de amplificación de 150 cuando se ajusta para un esfuerzo ocular mínimo. Su ocular tiene una distancia focal de 1.20 cm. a) Determine la distancia focal del lente objetivo. b) ¿Qué tan separados deben estar los dos lentes para que se pueda proyectar una imagen real de un objeto distante sobre una pantalla a 12.0 cm del ocular? Resp. a) 180 cm; b) 181 cm. 39.23 [III] El gran telescopio de Monte Palomar tiene como objetivo un espejo cóncavo de 5.0 m de diámetro y 46 m de radio de curvatura. ¿Cuál es el poder de amplificación del instrumento cuando se usa con un ocular de 1.25 cm de distancia focal? Resp. 1.8  103. 39.24 [II] Un telescopio astronómico con un lente objetivo con distancia focal de 80 cm se enfoca sobre la Luna. ¿Cuánto se debe mover el ocular para enfocar el telescopio sobre un objeto a 40 m de distancia? Resp. 1.6 cm. 39.25 [II] Una combinación de lentes contiene dos lentes con distancias focales de 4.0 cm y 8.0 cm, que están separados 16 cm. Ubique y describa la imagen de un objeto colocado 12 cm enfrente del lente de 4.0 cm. Resp. 40 cm atrás del lente de 8.0, real y derecha. 39.26 [II] Dos lentes, con distancias focales de 6.0 cm y 10 cm, están separados 1.5 cm. Ubique y describa la imagen de un objeto 30 cm enfrente del lente de 6.0 cm. Resp. 15 cm atrás del lente negativo, real, invertida, 58 el tamaño del objeto. 39.27 [II] Un lente telefoto consiste de un lente positivo con distancia focal de 3.5 cm colocado 2.0 cm enfrente de un lente negativo con distancia focal de 1.8 cm. a) Ubique la imagen de un objeto muy distante. b) Calcule la distancia focal de un solo lente que formaría una imagen igual en tamaño a la que formaría la combinación. Resp. a) imagen real a 9.0 cm detrás del lente negativo; b) 21 cm. 39.28 [II] Unos prismáticos tienen un lente objetivo con distancia focal de 3.60 cm y un ocular negativo con distancia focal de 1.20 cm. ¿Cuán separados deben estar los dos lentes para que el observador vea un objeto distante a 25.0 cm de su ojo? Resp. 2.34 cm. 39.29 [II] Repita el problema 39.13 si la distancia entre el espejo plano y el lente es de 8.0 cm. (real) y a 24 cm (virtual) a la derecha del lente.

Resp.

a 6.0 cm

39.30 [II] Resuelva el problema 39.13 si el espejo plano se sustituye con un espejo cóncavo con 20 cm de radio de curvatura. Resp. a 10 cm (real e invertida), 10 cm (real, derecha), 40 cm (real e invertida) a la derecha del lente.

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