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• Marimar Perez Soberanis

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Dirección General de Educación Superior Tecnológica Instituto Tecnológico Superior de Champotón

Carrera: INGENIERIA ELECTROMECANICA Materia: Ingeniería de control clásico. Docente: Gabriel Turriza Tamayo. Tarea: Investigación unidad 5. Alumnos: Christian Solis Moreno. Favian Avila Poot. Victorino Rodríguez Cob. Daniel Ehuan Canche.

Champotón, Campeche a 5 de Diciembre del 2019.

INTRODUCCION. Un sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, si el sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema es críticamente o marginalmente estable, una magnitud infinita hace al sistema inestable. La estabilidad es un requerimiento básico de los sistemas dinámicos destinados a realizar operaciones o procesar señales, y es lo primero que debe garantizarse en el diseño de un sistema de control.

ÍNDICE.  5.1 Criterio de Routh-hurwitz.  5.2 Lugar geométrico de las raíces.  5.2.1 Reglas generales de construcción  5.3 Cancelación de los polos y ceros

5.1 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ. El número de raíces de en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo que se suceden en la primera columna del arreglo de Routh de dicho polinomio. Determina la localización de las raíces de un polinomio con coeficientes constantes y reales con respecto al semiplano derecho o izquierdo de Laplace. Puede ser aplicado a Sistemas SISO, MIMO, y multilazos.

Aplicación: Dada la FTLC del sistema:

1. Se toma la ecuación característica del sistema:

2. Se construye el arreglo de Routh:

Donde:

3. Se investigan los signos de la primera columna del arreglo. “Las raíces de la ecuación característica están todas en el semiplano izquierdo del plano s Si: todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. Si existen cambios de signo, el número de cambios de signo es el número de raíces con parte real positiva”.

Ejemplo 5.1: Considere la ecuación característica: 1+GH(s)= S 3 + S2 + 2S + 8 Procedemos a construir el arreglo de Routh: Hay dos cambios de signo; por lo tanto, hay dos polos en el semiplano derecho. Observe que:

5.2 LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES. Este método permite el diseño del AVR y del PSS. Para el diseño del AVR, se analiza la salida del sistema de potencia sin el lazo de realimentación de V term, ni el lazo del PSS. La figura 4.5 nos muestra que la respuesta del tiempo tiende a 0.0747 p.u, lo que implica un error en régimen permanente del 25% con respecto a la entrada.

El primer paso es representar el AVR como un controlador proporcional K v(s)=Kp, cerrando el lazo de control y aumentado poco a poco el valor de K p podemos encontrar el valor de ganancia que hace que el sistema se vuelva oscilatorio. Este valor es aproximadamente 50, y la respuesta en el dominio del tiempo se muestra en la figura 4.6, donde también se puede observar como a pesar de que el sistema se vuelve más oscilatorio al aumentar K p, el error permanente se reduce, y el comportamiento final del sistema tiende a comportarse similar a la tensión referencia.

La figura 4.7, muestra el LGR del sistema donde se observa que la ganancia con la cual el sistema se vuelve inestable (cruza el eje imaginario), es 47.2, que es un valor muy cercano a 50 mencionado anteriormente.

Con un controlador proporcional, si aumentamos la ganancia tenemos oscilaciones y si la disminuimos, aumentamos el error permanente. Para evitar esta situación se cambiara el AVR de un K p a un KPI (controlador proporcional integral), representado por la función de transferencia:

Donde:

KP=Ganancia del controlador proporcional. KI=Ganancia del controlador integral.

Los parámetros del controlador se escogen de manera que K P se encuentre entre un intervalo de 0 a KU, (KU: ganancia donde se inestabilidad el sistema) en este caso KU= 47.2. El controlador K I se encuentran entre 0.1 y 10 debido que en este intervalo de valores se logra obtener un tiempo de retardo menor a 0.5 s (tr = tiempo que dura la señal en alcanzar el 50% de su valor final), y un sobre paso máximo menor al 10% (MP= valor máximo de la respuesta que sobre pasa el valor final), debido a que estas son las especificaciones para los modernos reguladores de tensión de alta ganancia.

Se escoge por lo tanto un valor de K P =35 y KI=0.4, el resultado se puede ver en la figura 4.8, donde las oscilaciones tienden a amortiguarse y el error permanente se reduce casi totalmente. Con este controlador se obtiene un tr = 0.446 s y un M P = 12.5%, parámetros que se verán afectados al final del diseño, ya que el PSS disminuye el tiempo de respuesta y a la vez proporciona el amortiguamiento necesario para que el sobrepaso pueda ser reducido y cumpla con las especificaciones.

Una vez diseñado el regulador se procede a diseñar el PSS, como la entrada al PSS proviene de la velocidad angular se obtiene la función de transferencia desde la tensión de referencia, hasta la entrada del PSS, se realiza el análisis del LGR de la función de transferencia obtenida (ver anexo 1). El resultado se muestra en la figura 4.9, donde se observa como el ángulo de apertura del polo en el semiplano derecho es de 60º. Para proporcionar un adecuado amortiguamiento este ángulo de salida debe ser 180º, por lo tanto se debe agregar 120º de compensación en el lazo de realimentación del PSS.

Para compensar los 120º necesarios se utiliza un filtro de segundo orden de adelanto de fase de la forma:

Para encontrar los parámetros del filtro, se hace uso de ecuaciones que nos permitan encontrar los valores correctos para K d, α, z, y p. Para averiguar α se usó la figura 4.10, que es la relación entre el Φm (grados que deben ser compensados) y el α. En la figura 4.10 se indica utilizar dos filtros que compensen 60º cada uno, siendo α igual a 14

Otra forma de averiguar la ganancia α del filtro es mediante la fórmula [7].

Con lo que para un ángulo de 60º se obtiene un α=14, que es igual al encontrado mediante la figura 4.10.

El valor del cero y el polo del filtro se encuentra haciendo uso de las siguientes ecuaciones [7]:

Donde wc es la frecuencia de cruce por cero, igual a 9.33 rad/s y α es la ganancia igual a 14. Con esto se encuentra que el cero debe ubicarse en s=-2.94 y el polo en s=-34.9. Falta por determinar el valor de la ganancia K d que suministre un amortiguamiento del 15%. Para esto se realiza el LGR de la función de transferencia desde la tensión de referencia hasta la salida del PSS, y se busca que la ganancia que proporcione el amortiguamiento deseado. Esta ganancia es aproximadamente 0.762, como se observa en la figura 4.11.

Por lo tanto se tiene:

Sustituyendo el controlador proporcional Kd(s), por el obtenido en la ecuación 4.7, y al cerrar el lazo de realimentación del PSS se obtiene la figura 4.12, donde se

observa como el error permanente tiende a cero, y como la respuesta se amortigua rápidamente con un sobrepaso máximo de 7.4%, aspectos que cumplen con los parámetros del diseño. Las figuras 4.13 y 4.14 muestran como no solo se mejora la salida Vterm, sino que también se amortigua adecuadamente las salidas w y Pe.

5.2.1 REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR EL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES. Resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las raíces del sistema de la figura 2.5.3.

Primero, obtenga la ecuación característica

A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en forma

En estos análisis suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde K >0. (Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, bebe modificarse la condición de ángulo.) Sin embargo observe, que el método todavía es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia. 1. Ubique los polos y ceros de G(s) (Hs) en el plano s. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito). A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los de (Gs) (Hs), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de (Gs) y los polos de (Hs). Observe que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados. Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geométricos de las raíces y localice también el número de lugares geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geométrico que corresponde a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que

Esta última ecuación implica que conforme K disminuye, el valor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un polo de la función de transferencia en lazo abierto (Gs) (Hs). Conforme K tiende a infinito, cada lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente: si suponemos que K tiende a infinito en la condición de magnitud, entonces:

Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en la cuenta, (Gs) (Hs) tiene la misma cantidad de ceros que de polos.] Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la función característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del lugar geométrico de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n - m ramificaciones restantes terminan en infinito (n - m ceros implícitos en infinito) a lo largo de las asíntotas.

Sí incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de (Gs) (Hs) y terminan en los ceros de (Gs) (Hs) conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aquéllos finitos y en infinitos en el plano s. 2.- Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Los lugares geométricos de las raíces sobre el je real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360°sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el je real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces. El lugar geométrico de las raíces y su firma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real. 3.- Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante Ángulos de las asíntotas:

En donde n = número de polos finitos de (Gs) (Hs) m = números de ceros finitos de (Gs) (Hs)

Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite así mismo y la cantidad de asíntotas es n - m. Todas las asíntotas interceptan al eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abierto, el resultado es

Si un punto de prueba se localiza lejos del origen, entonces dividiendo el denominador entre el numerador, podemos escribir (Gs) (Hs) como

Dado que la ecuación característica es

Puede escribirse como:

Para un valor grande de s la ecuación anterior se aproxima mediante

Si la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se representa mediante s =σ a, entonces

O bien:

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, σ a siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo. Es importante señalar que las asíntotas muestran el comportamiento de los lugares geométricos de las raíces para s >> 1. Una ramificación del lugar geométrico de las raíces puede encontrarse en un lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de un lado al otro. 4.- Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetría conjugada

de

los

lugares

geométricos

de

las

raíces,

los

puntos

de

desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados. Si un lugar geométrico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos. Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces esta entre dos ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -∞) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geométrico de las raíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, puede o no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o bien pueden existir ambos. Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante

Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de las raíces de

En donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar que los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las raíces de la ecuación anterior, aunque no todas las raíces de la ecuación anterior se encuentran en la parte del eje real del lugar geométrico de las raíces, es un punto de desprendimiento o de ingreso real. Si una raíz real de la ecuación anterior no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta raíz no corresponde a un desprendimiento ni a un punto de ingreso. Si dos raíces s = s1 y s = -s1 de la ecuación anterior son un par complejo conjugado y si no es seguro que están en los lugares geométricos de las raíces, es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a la raíz s = s1 de dK/ds = 0 es positivo, el punto s = s1 es un punto de desprendimiento o de ingreso real. (Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor obtenido de K el punto s = s1 no es de desprendimiento ni de ingreso.) 5.- Determine el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un ángulo geométrico de las raíces a partir de un polo complejo (un cero complejo). Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ángulo

de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométrico de las raíces de un polo complejo (o de un cero complejo), se encuentra restando a 180°la suma de todos los ángulos de vectores, desde todos los polos y ceros hasta el polo complejo (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados. Angulo de salida desde un polo complejo = 180° -(suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (Suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros) Angulo de llegada a un cero complejo = 180° -(suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero) + (Suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos) El ángulo de salida aparece en la figura 2.5.4

6.- Encuentre los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. Los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces intersectan al eje jω se encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh, o (b) suponiendo que s = jω en la ecuación característica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K. En este

caso, los valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponden a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce. 7.- Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares geométricos. Determine los legares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen. La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje jω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. 8.- Determine los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar geométrico de las raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces específicas sobre el lugar geométrico. ) si es necesario, se establece una graduación de los lugares geométricos en términos de K. Los lugares geométricos de las raíces son continuos con K). El valor de K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces se obtienen a partir de la condición de magnitud, o bien

Este valor debe calcularse en forma gráfica o analítica. Si este problema de la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto, entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación

de los lugares geométrico de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB, lo cual se presentara en la sección 2.5.1.

Configuraciones comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geométricos de las raíces. Para concluir Esta sección mostramos la tabla 2.5.1, que contiene varias configuraciones de polos y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares geométricos de las Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 12 raíces. El patrón de los lugares geométricos de las raíces sólo depende de la separación relativa de los polos y ceros en lazo abierto. Si el número de polos en lazo abierto excede el número de ceros finitos en tres o más, existe un valor de la ganancia K más allá del cual los lugares geométricos de las raíces entran en el semiplano derecho del plano s y, por lo tanto, el sistema puede volverse inestable. Un sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo del plano s. Observe que, una vez que hemos adquirido cierta experiencia con el método, nos es fácil evaluar los cambios en los lugares geométricos de las raíces debidos a las modificaciones en el número y ubicación de los polos y ceros en la lazo abierto

visualizando las gráficas de los lugares geométricos de las raíces que se producen de las diversas configuraciones de los polos y ceros.

5.3 CANCELACIÓN DE POLOS Y CEROS. Si G(s) contiene polos idénticos a cero H(s), al obtener la función de transferencia de lazo abierto se cancelarán y no se tendrán en cuenta a la hora de dibujar el lugar de las raíces. Sin embargo ese polo que se ha cancelado es un polo de la función de transferencia de lazo cerrado del sistema. Por lo tanto para obtener el total de los polos de lazo cerrado se ha de añadir dicho polo a los obtenidos mediante el lugar de las raíces.

Para un sistema complejo en lazo abierto con muchos polos y ceros, puede parecer complicado construir una gráfica del lugar geométrico de las raíces, aunque en realidad no es difícil si se aplican las reglas para construir dicho lugar geométrico. Ubicando los puntos y las asíntotas específicos y calculando los ángulos de salida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, podemos construir la forma general de los lugares geométricos de las raíces sin dificultad. CONCLUSIÓN. Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están en el eje imaginario del plano-s, en el estudio de estabilidad sólo los polos de la función de transferencia son importantes los ceros son irrelevantes, los polos de un sistema

son las raíces obtenidas del denominador de la función de transferencia cuando es igualado a cero y el polinomio es característico, el concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a sistemas de lazo abierto .