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Anualidades y factores de interés compuesto

Objetivo general Analizar los diferentes modelos financiero-económicos de los egresos e ingresos de forma gráfica y los modelos matemáticos de su uso común en las operaciones empresariales y de las finanzas personales, como lo son las series uniformes (anualidades) y series de gradiente (incrementales o decrecientes).

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Objetivos específicos • Conocer el concepto de serie uniforme, así como las reglas para su manejo matemático. • Desarrollar el proceso de deducción de los modelos matemáticos para el cálculo del valor presente y futuro de las series uniformes. • Identificar el concepto de serie gradiente, así como las reglas para su manejo matemático. • Analizar los modelos matemáticos para el cálculo del valor presente de las series uniformes. • Desarrollar el proceso de deducción de los modelos matemáticos para el cálculo del CAUE. • Conocer el concepto de costo anual uniforme equivalente (CAUE), así como las reglas para su manejo matemático. • Exponer la aplicación de factores de interés compuesto para la simplificación de los cálculos de ingeniería económica. • Desarrollar el proceso de construcción de la tabla universal de factores de interés compuesto por medio de Excel. Alvarado, M. V. (2014). Ingeniería económica : Nuevo enfoque. Retrieved from http://ebookcentral.proquest.com Created from unadsp on 2020-06-24 10:07:28.

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  Ingeniería económica

2.1 Series uniformes o anualidades Una serie uniforme es una cantidad (A) que se replica durante “n” periodos de manera consecutiva, pudiendo ser una serie de ingresos o de egresos. Se denominan también anualidades, teniendo en cuenta que originalmente las cantidades se generaban o aplicaban de acuerdo con un número determinado de cambios de estación o temporadas, así como plazos que de manera aproximada eran de un año. La representación de una serie uniforme es como sigue: ■■ Ejemplo de ingresos: cuando las flechas apuntan hacia arriba

0 ■■

A

A

A

A

A

A

 A

A

A

A

      A

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n−1) n

Ejemplo de ingresos: cuando las flechas apuntan hacia abajo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n−1) n

A

A

A

A

A

A

 A

A

A

A

      A

A

O en su caso, se les puede representar también como se muestra a continuación:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n−1) n

0

1

2

3

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5

6

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(n−1) n

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Las series uniformes deben contar como mínimo con dos elementos para ser consideradas como tales. Este tipo de series pueden convertirse a un monto único tanto al presente como al futuro donde lo importante es la ubicación de estos montos, ya que el valor presente de una serie uniforme se sitúa un periodo antes de que empiece la serie, mientras que el valor futuro está en el último periodo de la serie, tal como se muestra a continuación: F P

0

A

A

A

A

A

A

 A

A

A

A

      A

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n−1) n

donde: P 5 Principal o capital semilla o inversión primera F 5 Futuro o último ingreso del periodo La deducción de la fórmula que permite calcular el valor presente de una serie uniforme es bastante simple; de hecho, considérese calcular el valor presente de cada monto de una serie de “n” elementos donde se recapitalizan los intereses, es decir, se suman al siguiente evento, lo que hace exponencial esta función. P=

A A A A + + +⋅⋅⋅+ 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n

(1)

donde: P 5 Valor presente A 5 Valor de la anualidad i 5 Tasa de interés que debe ser de la misma unidad de tiempo que (n) n 5 número de periodos

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0

A

A

A

A

A

A

 A

A

A

A

      A

A

1

2

3

4

5

6

7

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(n−1) n

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  Ingeniería económica

Considerando que los intereses de cada monto se encuentran en el periodo inmediato posterior, se calculan los valores presentes para cada monto: P A A A A = + + +⋅⋅⋅+ 2 2 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n+1



(2)

En atención a la premisa anterior, se resta la ecuación (1) a la (2), P A A A A A A A A −P = − + − + − + ⋅⋅⋅+ − + 2 2 3 3 n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n+1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )

reduciendo términos semejantes y factorizando,  1    1 1  P − 1 = A − +  (1 + i )   (1 + i ) (1 + i )n+1       1 1   − A  (1 + i )n+1 (1 + i )   

 A  1   1 −  (1 + i )  (1 + i )n 



(3)

desarrollando las operaciones dentro de los paréntesis,



1− i −1 A  1 − (1 + i )n  = P  (1 + i )  (1 + i )  (1 + i )n     

(4)

reduciendo términos,

 −i  A  1 − (1 + i )n  = P  (1 + i )  (1 + i )  (1 + i )n       1 − (1 + i )n   −P i = A  n   (1 + i ) 

(5)

Multiplicando ambos lados de la ecuación por 21 y despejando P se obtiene la fórmula del valor presente para una serie uniforme.



 (1 + i )n − 1   P = A  n   i (1 + i ) 

(6)

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eliminando paréntesis

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Donde A 5 valor del monto de la anualidad n 5 número de elementos de la serie i 5 tasa de interés Para deducir la fórmula del valor futuro de una serie uniforme considérese lo siguiente: Si (7) F 5 P(11i)n y P= A



(1 + i )n − 1 i (1 + i )n

(8)

Se sustituye P en F, F= A por tanto,

(1 + i )n − 1 (1 + i )n n i (1 + i )

 (1 + i )n − 1   F = A   i  



(9)

donde A 5 valor del monto de la anualidad n 5 número de elementos de la serie i 5 tasa de interés

Ejemplo 2.1 La licenciada Ilse Gómez está interesada en comprar una computadora tipo laptop, la cual se encuentra entre las promociones de la tarjeta de crédito de una tienda departamental. La promoción señala 12 pagos de $860.00 cada uno a una tasa de 2.8% mensual o un pago de contado de $7,980.00. La señora desea saber:

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Para dar cuenta de la aplicación y utilidad de los conceptos anteriores, considérense los siguientes ejemplos.

a) Teniendo en cuenta el valor de la mensualidad de la promoción, ¿cuál es el valor presente de la computadora a efectos de compararlo con su precio de contado? b) En caso de comprarla a través de la promoción, ¿a cuánto ascendería el precio de la computadora al término de los pagos? Solución a) El diagrama de ingresos para la tienda de las mensualidades se representa como sigue:

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  Ingeniería económica

P5?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

$860

Sustituyendo valores en la fórmula del valor presente para una serie uniforme, al término del año o los 12 meses deberá pagar:

P = $860.00

(1.028)12 − 1 = $860.0 00(10.0739) = $8, 663.55 (0.028) (1.028)12

Al comparar los valores, se puede deducir que lo más conveniente para la señora es comprar la laptop de contado. a) Si en la compra de contado se ahorra la diferencia entre $8,663.55 2 7,980.00. b) El diagrama de flujo de las mensualidades se representa como sigue: F5?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

$860

Sustituyendo valores en la fórmula del valor futuro para una serie uniforme: F = $860.00

(1.028)12 − 1 = $860.00(14.0318) = $12, 067.35 0.028

El resultado del cálculo propone un incremento significativo en el precio de la computadora por la recapitalización de los intereses y por ser exponencial, pero es de considerarse que las tiendas y los almacenes departamentales cubren importantes costos, gastos, publicidad y administración por financiar a sus clientes. Por tanto se pagará de más la diferencia de $12,067.35 − $7,980.00 contra el pago de contado.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Ejemplo 2.2 El ingeniero Juan Flores es un mediano empresario de la rama de los plásticos para juguetes; él prevé que su inversión semanal para la época navideña durante los meses de noviembre y diciembre será de $107,500.00. El ingeniero Flores tiene la intención de colocar la previsión presupuestal al inicio del año en su cuenta empresarial, la cual le paga una tasa de interés de 4.16% semanal, equivalente a la de los bonos de gobierno (CETES); por lo que se pregunta: ¿cuál es la cantidad de dinero que debe invertir al inicio del año para conseguir los $107,500.00 a fin de año? Solución De acuerdo con el planteamiento del ingeniero Flores, el flujo de caja a considerar es el siguiente: 2 meses × 4 semanas/mes = 8 semanas P

0

1

2

3

43

44

45 46

47

49 50 51 52

$107,500

En el diagrama se observa que la inversión se debe realizar al principio de la semana 44 u 8 semanas antes del fin de año donde el valor presente de la serie (P’) se encuentra en la semana 44, por lo que para obtener el valor presente al inicio de la primera semana se debe calcular aplicando la fórmula del valor presente. Por tanto, P' = $107,500.00

(1.0416)8 −1 = $107, 500.00 (6.8885) = $740,137.50 (0.0416) (1.0416)8

donde el monto a considerar al inicio del año es P= Grupo Editorial Patria

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P’

48

$740,137.50 $740,137.50 = = $1 123,159.99 6.0096 (1.0416)44

2.2 Series crecientes o decrecientes – series gradientes Son un conjunto de montos, los cuales se incrementan o reducen durante “n” periodos de acuerdo con una tasa o proporción definida, denominada gradiente (g).

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  Ingeniería económica

De manera gráfica, las series gradientes se representan por una pendiente (m) la siguiente manera: TE IEN

1 1)

(m

C

CRE

g

0

1

2

3

4

DEC

REC

5

IEN

g

1

2

3

4

TE (

n

m 21

5

)

n21

n

Al igual que las series uniformes, las series gradiente deben contar como mínimo con dos elementos para ser consideradas como tales. Además, este tipo de series pueden convertirse a un monto único al presente el cual se ubica un periodo antes del inicio de la serie. Debe

(g) más intereses

P (g)

Anualidad base

0

1

2

3

4

5

n21

n

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0

n21

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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precisarse que la deducción de la fórmula es de orden complejo, pero el cálculo del valor presente se fundamenta en que a partir de una serie uniforme o anualidad base se acumularán los incrementos o se descontarán las reducciones, así como la capitalización de los intereses, según sea el caso. En lo particular, para una serie gradiente creciente la ubicación del valor presente se explica de manera gráfica como sigue: De acuerdo con la gráfica, la fórmula del valor presente de este tipo de series cuenta con dos miembros: el valor presente de la serie uniforme base y la del valor presente de los incrementos; por tanto,  (1 + i )n − 1  g  (1 + i )n − 1 n     P = A (10)  i (1 + i )n  + i  i (1 + i )n − (1 + i )n      donde A 5 monto de la serie uniforme base g 5 monto a incrementar cada periodo de la serie. En caso de que el incremento sea una proporción expresada en porcentaje de la anualidad base (p%), entonces g 5 A 3 p% n 5 número de elementos de la serie i 5 valor de la tasa de interés

P

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Debe observarse que en el caso de las series gradientes crecientes el signo del valor presente de los incrementos es más (m+), que equivale al signo de la pendiente de la recta que señala el sentido de los mismos. De manera similar, las series gradiente decrecientes consideran el valor presente de una serie uniforme base, así como el valor presente de las reducciones.

0

(g)

1

2

3

4

5

Anualidad base

n21

(g) más intereses

n

En particular, para una serie decreciente la ecuación del valor presente es

 (1 + i )n − 1  g  (1 + i )n − 1 n  −  − P = A  n n   (1 + i )n   i (1 + i )  i  i (1 + i )

(11)

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  Ingeniería económica

donde A 5 monto de la serie uniforme base g 5 monto a incrementar cada periodo de la serie. En caso de que el incremento sea una proporción expresada en porcentaje de la anualidad base (p%), entonces g 5 A 3 p% n 5 número de elementos de la serie i 5 valor de la tasa de interés Debe observarse para el caso de las series gradientes decrecientes que el signo del valor presente de las reducciones es menos (m−), que equivale al signo de la pendiente de la recta que señala el sentido de las reducciones. Para dar cuenta de los conceptos anteriores, se desarrollan los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.3 El señor Martínez desea ahorrar al final de cada mes, a partir de enero, $500.00 incrementando $50.00 mensuales hasta diciembre. Si la cuenta de ahorro bancario le ofrece 1.4% mensual, ¿cuánto dinero tendrá al final del año? Solución Se establece que el problema expone un gradiente creciente (m+), y que el esquema básico de las series gradientes se fundamenta en el valor presente, por lo que habrá de obtenerse el valor presente de la serie propuesta para que posteriormente se calcule el valor futuro de la misma.

1

$500 P

2

3

4

5

11

12 meses

$550 $600 $650 $700 $1,000

$1,050

Sustituyendo valores en la fórmula del valor presente para una serie gradiente: Anualidad base 5 $500.00 g 5 $50.00 i 5 1.4% n 5 12

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0

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Sustituyendo valores de la ecuación del gradiente: P = $500.00

(1.014)12 − 1 $50.00  (1.014)12 − 1 12  + − = 0.014  (0.014) (1.014)12 (1.014)12  (0.014) (1.014)12

= $500.00 (10.9758) +

$50.00  10.9758 − 10.1561 = $8, 415.40 0.014 

P = $8,415.40

F5?

0

1

2

3

4

5

11

12

P 5 $8,415.40

Se calcula el valor futuro sustituyendo valores en la ecuación del valor futuro: F = P (1+ i )n = $8, 415.40 (1.014)12 = $8, 415.00 (1.1816) = $9, 943.16 F = $9,943.16

Ejemplo 2.4

Solución Como se observa en la gráfica, la serie gradiente es una erogación creciente, con pendiente negativa (m−) donde su valor presente (P’) se ubica en el mes de marzo, por lo que posteriormente se deberá calcular el valor presente al inicio del año tratándolo como un futuro. 0 Grupo Editorial Patria

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Una empresa de la rama metal-mecánica consume 1,000 litros al mes de un lubricante especial derivado del petróleo. El responsable del Departamento de Compras estima que el precio por litro de lubricante se incrementará $1.44 mensual a partir del precio programado desde el mes de abril a razón de $75.00/litro hasta agosto. Si los fondos asignados a compras se invirtieran en una cuenta empresarial con un rendimiento de una tasa de 2.60% mensual, determinar: ¿A qué cantidad deberá ascender la partida presupuestal asignada a la compra de lubricantes hasta el citado mes de agosto?

1

P

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

$72,000 $73,440 $74,880 $76,320 $77,760 P’ $79,200 $80,640 $82,080 $83,520

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  Ingeniería económica

Sustituyendo valores, para un litro de lubricante, en la fórmula del valor presente para una serie gradiente: Anualidad base 5 $72.00 lt 3 1,000 lts/mes 5 $72,000 g 5 $1.44 lt 31,000 lts 5 $1,440 i 5 2.6% n59 P = $72,000.00

 (1.026)9 − 1 $1,440.00  (1.026)9 − 1 9 = + − 9 9 9 0.026  (0.026) (1.026) (0.026) (1.026) (1.026) 

= $72,000.00 (7.9334) +

$1,440.00  7.9334 − 7.1436 = $614, 947.57 0.026 

Aplicando la fórmula del valor presente se obtiene la previsión de la partida presupuestal para lubricante al inicio del año. P=

P' $614,947.57 = = $488,103.41 n (1.026)9 (1+ i )

Por lo que este dato servirá de base para hacer el presupuesto anual o solicitar un préstamo bancario con pago de intereses sobre saldos insolutos.

2.3 Costo anual uniforme equivalente (caue)

P

0

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n−1) n

Para obtener la fórmula del CAUE partir de la fórmula del valor presente para una serie uniforme se despeja “A”:  (1 + i )n − 1    P = A (12)  i (1 + i )n   

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El CAUE expone la conversión de cualquier cantidad única a una serie uniforme equivalente de acuerdo con las reglas de las series uniformes. En el caso de que una cantidad se tenga en perspectiva como un valor presente, la serie uniforme equivalente empezará un periodo después, debido a las tasas de interés y periodos de recapitalización acumulados.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Pasando el numerador y denominador al primer miembro y despejando A=P



(1 + i )n i (1 + i )n − 1

o P= A

P= A

1  (1 + i )n − 1     i (1 + i )n    i(1 + i )n (1 + i )n −1

Ejemplo 2.5 El señor Hernández desea comprar una televisión LCD-3D con valor de $42,000.00 a 12 meses con la tarjeta de crédito de su almacén favorito, la cual le cobra 2.8% mensual. Determinar: ¿A cuánto deben ascender las mensualidades?, a fin de hacer un cálculo para conocer si tiene los suficientes ingresos para cubrirlas oportunamente. Solución

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

A5?

Aplicando la fórmula de la anualidad dado el presente de una serie uniforme: A = $42,000.00

(1.028)12 (0.028) = $42, 000.00 (0.0927) = $3, 893.40 (1.028)12 − 1

Por tanto deberá pagar mensualmente $3,893.40 cada mes incluida la tasa de intereses de 2.8% mensual.

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P 5 $42,000

Para calcular el CAUE de un monto que en perspectiva se considere como un futuro a partir del valor futuro de una serie uniforme se despeja “A”:

 (1 + i )n − 1   F = A   i  

(13)

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  Ingeniería económica

Pasando al primer miembro el multiplicando de “A”  i A =F  (1 + i )n − 1 



   

o también a través del inverso,       1 A =F   (1 + i )n − 1      i



(14)

Ejemplo 2.6 La señorita Gómez desea comprar un departamento en el norte de la ciudad con valor de $1’400,000.00. Se propone la meta de adquirirlo dentro de 5 años. ¿Cuánto tendrá que ahorrar anualmente si considera que el banco le otorga un rendimiento a una tasa de 24% anual? Solución El plan de la señorita Gómez se expone a través del siguiente diagrama de flujo: F 5 $1’400,000

1

2

3

4

5

A 5 ? (ahorro anual o inversión)

Aplicando la fórmula de la anualidad dado el futuro de una serie uniforme, A = $1'400,000.00

0.24 = $1'400,000.00 (0.1242) = $173,880.00 (1.24)5 − 1

Por lo tanto la señorita Gómez deberá ahorrar o invertir anualmente $173,880.00, para que a la citada tasa de 24% anual, al término de los cinco años pueda comprar el departamento con valor de $1’400,000.00.

2.4 Factores de interés compuesto Las fórmulas expuestas hasta el momento para el cálculo según los flujos de caja considerados cuentan con factores constantes y variables; de tal manera, por las constantes se pueden citar: P, F, A y g, mientras que por las variables se cuentan: n, i.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

39

El uso de fórmulas propicia que los cálculos se hagan con meticulosidad y atención, sobre todo cuando los flujos de caja cuentan con un número considerable de elementos; lo que puede generar confusión y errores respecto al uso o la interpretación adecuada de las siglas, además de consumir demasiado tiempo. Para facilitar los cálculos se considera la aplicación de los factores de interés compuesto cuyos valores se encuentran definidos por las variables de cada fórmula, o sea, existe un factor de interés compuesto para cada fórmula dependiendo de la combinación de los valores propuestos para el número de periodos o tasa de interés. Para ejemplificar la estructura general de los factores de interés compuesto se considera la fórmula del valor futuro. Así tenemos: Fórmula

Parte variable

Factor (constantes y variables)

F P(1 1 i ) n

(1 1 i ) n

(F/P, i %, n)

Por lo que F = P (1 + i )n ⇔ F = P (F/P, i%, n) El argumento del factor se lee: “El futuro (F) dado (/) el presente (P) a la tasa de interés (i%) a ‘n periodos’.” La colección de factores de interés compuesto se resume como sigue: Fórmula F = P (1+ i )n Futuro dado el futuro P=

F (1+ i )n

Factor ⇔

F = P (F/P,i %,n)

⇔

P = F (P/F,i %,n)

⇔

P = A (P/A,i %,n)

⇔

F = A (F/A,i %,n)

⇔

A = P (A/P,i %,n)

⇔

A = F (A/F,i %,n)

P=A

(1+ i )n −1 i (1+ i )n

Presente dada la anualidad (1+ i )n −1 i Futuro dada la anualidad F=A

A =P Grupo Editorial Patria

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Presente dado el futuro

(1+ i )n i (1+ i )n −1

Anualidad dado el presente A =F

i (1+ i )n −1

Anualidad dado el futuro

(continúa)

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  Ingeniería económica

P=A

(1+ i )n −1 g (1+ i )n −1 n + − n n i i (1+ i ) i (1+ i ) (1+ i )n

⇔

P = A (P/A,i %,n) + g (P/g,i %,n)

⇔

P = A (P/A,i%,n) − g (P/g,i%,n)

Presente dado el gradiente (1) P=A

(1+ i )n −1 g (1+ i )n −1 n .− − i i (1+ i )n i (1+ i )n (1+ i )n

Presente dado el gradiente (2)

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Los valores de los factores se encuentran en las denominadas tablas de interés compuesto y habrá una tabla para cada tasa de interés, donde se ubicará el valor del factor en razón del número de periodos (n) que se requieran. A continuación se muestra la tabla de factores de interés compuesto para i 5 10%.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

41

Para mostrar su aplicación considérese el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.7 Determínese el valor presente neto del siguiente flujo de caja utilizando factores de interés compuesto aplicando una tasa de interés de 10%. $200 $200 $150

$150

$100 $50

0 1

2

3

4 5

6

7

8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

$50 $100 $150 $200 $500

$50 $100

Solución Tal como se indicó anteriormente, se procede a calcular, en primer lugar, el valor presente de los ingresos, para que posteriormente se determine el valor presente de los egresos.

P150 = $150.00 (P/F,10%,1) = $150.00(0.9091) = $136.37 El presente de la serie uniforme de $200.00 se ubica en el periodo 11, por lo que se deberá calcular el valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro. P'A200 = $200.00 (P/A,10%,2) = $200.00(1.7355) = $347.10 PA200 = P'

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a) Valor presente de los ingresos (VPI)

A200

(P/F,10%,11) = $347.10(0.3505) = $121.66

De igual forma, el presente de la serie gradiente se ubica en el periodo 13, por lo que se deberá calcular el valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro. P'g50 = $50.00 (P/A,10%,4) + $50.00 (P/g,10%,4) = = $50.00 (3.1699) + $50.00(4.3781) = $377.40 Pg500 = P' g50 (P/F,10%,13) = $377.40 (0.2897) = $109.33

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  Ingeniería económica

Se determina el valor presente total de los ingresos:

∑ VPI = $136.37 + $121.66 + $109.33 = $367.36 b) Valor presente de los egresos (VPE) P500 = $500.00 (P/F,10%,2) = $500.00 (0.8264) = $413.20 El presente de la serie gradiente se ubica en el periodo 2, por lo que se procederá a determinar su valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro. P'g200 = $200.00 (P/A,10%,4) − $50.00 (P/g,10%,4) = = $200.00 (3.1699) − $50.00(4.3781) = $415.08 Pg200 = P' g200 (P/F,10%,2) = $415.08 (0.8264) = $343.02 El presente de la serie uniforme de $100.00 se ubica en el periodo 6, por lo que se deberá calcular el valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro. P'A100 = $100.00 (P/A,10%,4) = $100.00(3.1699) = $316.99 PA100 = P'

A100

(P/F,10%,6) = $316.99 (0.5645) = $178.94

De manera similar se procede con la serie uniforme de $50.00, cuyo valor presente se ubica en el periodo 17, por lo que se calculará su valor presente al periodo cero considerándolo como un futuro.

PA50 = P'

A50

(P/F,10%,17) = $124.33 (0.1978) = $24.59

Con los resultados obtenidos se calcula el valor presente total de los egresos:

∑ VPE = $413.20 + $343.02 + $178.94 + $24.69 = $959.85 Se calcula el valor presente neto:

∑ VPI − ∑ VPE = $367.36 − $959.85 = −$592.49 En este caso específico, cuando el resultado es negativo es común que se utilice la notación de colocar la cantidad entre paréntesis.

∑ VPI − ∑ VPE = ($592.49)

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P'A50 = $50.00 (P/A,10%,3) = $50.00(2.4869) = $124.33

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

43

2.5  Desarrollo de la tabla universal de factores de interés compuesto por Excel Como se muestra, el uso de factores de interés compuesto agiliza el proceso de cálculo, así como reduce el margen de error. Las tablas de factores de interés compuesto cuentan con la limitación de que éstas se generan, por lo común, para tasas de interés con valores discretos dentro del rango de 1 a 25%, para posteriormente referir valores con incrementos de 5%, lo que obliga a aplicar las fórmulas de interés compuesto. Para evitar lo anterior se puede elaborar una tabla de factores de interés compuesto usando una hoja de cálculo, como Excel, para cualquier tasa de interés, como se expone a continuación.

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Paso 1 Proceda a colocar los siguientes letreros dentro de una hoja de cálculo.

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  Ingeniería económica

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Paso 2 Inserte el valor de prueba de la tasa de interés de 10.00% tal como se indica.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Paso 3 Inserte en la celda el factor F/P, el cual expone: F/P ⇔ (1 + i )n

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donde “i” debe hacer referencia a la celda B5 donde se ubica la tasa de interés; debe mencionarse que cada vez que se haga referencia a la celda de la tasa de interés ésta deberá fijarse utilizando el signo de pesos ($), de manera que la dirección de la celda es $B$5. En el caso de “n”, éste debe hacer referencia a la celda del valor de “N” del renglón correspondiente.

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  Ingeniería económica

Paso 4 Para el caso del factor P/F, éste refiere ser el inverso de F/P; o sea 1 dividido entre la celda que contiene el valor del factor F/P.

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1 1 ⇔ n F/P (1 + i )

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P/F ⇔

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Paso 5 Para el factor P/A sustituya la dirección de la celda F/P donde aparezca (1+i)n, también supla “i” por la dirección de la celda donde se ubica su valor:

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(1 + i )n − 1 (F/P) − 1 ⇔ n i (1 + i ) ($B$5) (F/P)n

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  Ingeniería económica

Paso 6 Para el factor F/A sustituya la dirección de la celda F/P donde aparezca (11i)n, también supla “i” por la dirección de la celda donde se ubica su valor:

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(1 + i )n − 1 (F/P) − 1 ⇔ i ($B$5)

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Paso 7 Para el factor A/P sustituya la dirección de la celda F/P donde aparezca (11i)n, también sustituya “i” por la dirección de la celda donde se ubica su valor; o en su caso, obteniendo el inverso del factor P/A.

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(1 + i )n i (F/P) ($B$5) 1 ⇔ ⇔ n (F/P)-1 P/A (1 + i ) - 1

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  Ingeniería económica

Paso 8 Para el caso del factor A/F sustituya la dirección de la celda F/P donde aparezca (11i)n y supla “i” por la dirección de la celda donde se ubica su valor; o en su caso obteniendo el inverso del factor F/A.

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i ($B5$5) 1 ⇔ ⇔ n (1 + i ) − 1 ( F/P ) − 1 F/A

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Paso 9 Para el factor P/g sustituya la dirección de la celda F/P donde aparezca (11i)n y sustituya “i” por la dirección de la celda donde se ubica su valor,

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1 (1 + i )n − 1 n − n i i (1 + i ) (1 + i )n

1 (F/P) − 1 n − ($B$5) i (F/P) F/P

1 n (P/A) − ($B$5) F/P

De manera que al concluir la inserción de las fórmulas, tan solo bastará con proceder a copiar o ejecutar el autollenado de las celdas de los periodos posteriores a N 5 1, con lo que se obtendrá la tabla tal como se ejemplificó anteriormente. Para obtener los valores para cualquier tasa de interés se deberá cambiar el valor en la celda correspondiente. Una de las ventajas de este procedimiento es que las tablas de interés se pueden desarrollar en, o transferir, a dispositivos móviles como smartphones o agendas electrónicas que cuenten con los programas adecuados y así disponer de ellas sin necesidad de recurrir a libros y prontuarios técnicos.

Ejemplo 2.8 Proceda a determinar el valor futuro neto en el periodo 15 del flujo de caja propuesto considerando una tasa nominal mensual basada en una tasa real de 3.5% y una tasa de inflación de 1.6% mensuales.

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  Ingeniería económica

$280 $210

$200

$140

$100

$70

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

$50

$150

$150

Solución El cálculo del valor futuro neto en el periodo 15 se realizará mediante dos alternativas de cálculo basadas en el valor presente neto. La primera de ellas es resolviendo el flujo original, y la segunda a través del flujo simplificado. En primer lugar se procede a calcular la tasa de interés nominal basada en la tasa real y la tasa de inflación. i n = i r + i f + (i r × i f ) = 0.035 + 0.016 + (0.03 35 ⋅ 0.016) = 0.0516 i n = 0.0516 ×100 = 5.16%

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Acto seguido se ingresa el valor de la tasa nominal calculada en la tabla universal de factores de interés compuesto.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

53

I. Cálculo basado en el flujo de caja original Se procede a calcular los valores presentes de los ingresos y egresos tal como se expone a continuación: a) Valor presente de los ingresos (VPI) Se calcula el valor presente de la serie gradiente, el cual se ubica en el periodo 6, por lo que se procederá a tratarlo como un futuro con respecto al periodo cero. P'g70 = $70.00 (P/A, 5.16%,3) + $70.00 (P/g,5.16%,3) = = $70.00(2.7153) + $70.00(2.6243) = $373.77 Pg70 = $373.00 (P/F, 5.16%,6) = $373.77 (0.7396) = $276.44 Se calcula el valor presente del monto de $280.00: P280 = $280.00 (P/F, 5.16%,10) = $280.00(0.6046) = $169.29 El presente de la serie uniforme de $200.00 se ubica en el periodo 10, por lo que se deberá calcular el valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro. P'A200 = $200.00 (P/A,5.16%,2) = $200.00(1.8552) = $371.04 PA200 = P'

A200

(P/F,5.16%,10) = $371.04(0.6046) = $224.33

De igual forma se determina el valor presente de la serie uniforme de $100.00, el cual se ubica en el periodo 12, por lo que se deberá calcular el valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro.

PA100 = P'

A100

(P/F,10%,12) = $575.38 (0.5470) = $314.73

Se determina el valor presente total de los ingresos:

∑ VPI = $276.44 + $169.29 + $224.33 + $314.73 = $984.79 b) Valor presente de los egresos (VPE)

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P'A100 = $100.00 (P/A,5.16%,7) = $100.00 (5.7538) = $575.38

Se determina el valor presente de la serie uniforme de $50.00, el cual se ubica en el periodo 4, por lo que se deberá calcular el valor presente en el periodo cero considerándolo como un futuro. P'A50 = $50.00 (P/A,5.16%,10) = $50.00 (7.6621) = $383.11 PA50 = P'

A50

(P/F,5.16%,4) = $383.11 (0.8177) = $313.27

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  Ingeniería económica

Se calculan los valores presentes de los montos puntuales de $150.00. P50 = $150.00 (P/F,5.16%,16) = $150.00 (0.4471) = $67.07 P50 = $150.00 (P/F,5.16%,18) = $150.00 (0.4043) = $60.65 Con los resultados obtenidos se procede a encontrar el valor presente total de los egresos:

∑ VPE = $313.27 + $67.07 + $60.65 = $440.99 Se calcula el valor presente neto:

∑ VPI − ∑ VPE = $984.79 − $440.99 = $543.80 Por tanto, el valor futuro neto es: F = $543.80 (F/P, 5.16%, 15) = $543.80 (2.1270) = $1,156.66

II. Cálculo basado en el flujo de caja simplificado Para obtener el flujo de caja simplificado se calculan las diferencias en cada uno de los periodos del flujo. $230 $160

$150

$90

$100 $50

$20

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

$50

$50

$50

El cálculo de los valores presentes de los ingresos y egresos se desarrollará de manera simplificada a efecto de mostrar la aplicación concatenada de los factores de interés compuesto. a) Valor presente de los ingresos (VPI) Para calcular el valor presente de la serie gradiente, el cual se ubica en el periodo 6, se procederá a tratarlo como un futuro con respecto al periodo cero. Pg20 = [$20.00 (P/A, 5.16%,4) + $70.00 (P/g,5.16%,4)] (P/F,5.16%,6) = = [$20.00(3.5328) + $70.00(5.0772)](0.7394) = $315.03

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

55

Para calcular el valor presente de la serie uniforme de $150.00, el cual se ubica en el periodo 10, se tratará como valor futuro con respecto al periodo cero. PA150 = $150.00 (P/A, 5.16%,2) (P/F,5.16%,10) = $150.00(1.8552) (0.6046) = $168.25 De la misma manera, se calcula el valor presente de la serie uniforme de $50.00. PA150 = $50.00 (P/A, 5.16%,2) (P/F,5.16%,12) = $50.00(1.8552) (0.5468) = $50.72 Se calcula el valor presente de los montos puntuales de $100.00. P100 = $100.00 (P/F, 5.16%,15) + $100.00 (P/F,5.16%,17) + $100.00 (P/F,5.16%,19) = = $100.00 [(P/F, 5.16%,15) + (P/F,5.16%,17) + (P/F,5.16%,19)] = $100.00[0.4702 + 0.4251+ 0.3844] = $100.00[1.2797] = $127.97 Se determina el valor presente total de los ingresos:

∑ VPI = $315.03 + $168.25 + $50.72 + $127.97 = $661.97 b) Valor presente de los egresos (VPE) Se calcula el valor presente de egresos considerando los montos puntuales de $50.00. P50 = $50.00 (P/F, 5.16%,5) + $50.00 (P/F,5.16%,16) + +$50.00 (P/F,5.16%,16) + $50.00 (P/F,5.16%,18) = = $50.00 [(P/F, 5.16%,5) + (P/F,5.16%,16) + (P/F,5.16%,16) +

= $50.00[2.3684] = $118.42 Por tanto, el valor presente total de los egresos es:

∑ VPE = P

50

= $118.42

Se calcula el valor presente neto:

∑ VPI − ∑ VPE = $661.97 − $118.42 = $543.55 Grupo Editorial Patria

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+(P/F,5.16%,18)] = $1 100.00[0.7776 + 0.7394 + 0.4471+ 0.4043] =

Se calcula el valor futuro neto en el periodo 15: F = $543.80 (F/P, 5.16%, 15) = $543.80 (2.1270) = $1,156.13 Como se observa, debe obtenerse el mismo resultado independientemente del método de cálculo.

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  Ingeniería económica

Contar con las tablas de factores de interés compuesto puede ofrecer múltiples ventajas dependiendo de la aplicación que se pretenda. Una de las aplicaciones interesantes se expone en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.9 La señora Gutiérrez tiene la oportunidad de comprar un terreno fuera de la Ciudad de México. El promotor inmobiliario le ofrece un terreno de 420 m2 a razón de $800.00 el metro cuadrado. Si la señora Gutiérrez propone comprar el terreno en mensualidades de $12,600.00 a una tasa de 2.83% mensual, ¿cuántas mensualidades deberá pagar? Solución Considerando que el valor de contado del terreno corresponde al valor presente, entonces: P = $420 m2 × $800.00/m2 = $336,000.00 Además, se sabe el monto de la mensualidad propuesta, por lo que utilizando el cálculo de la anualidad dado el presente es posible determinar el valor de “n” basado en el valor del factor A/P, tal como se muestra a continuación: A partir de

A = P (A/P, i %, n)

se despeja el factor A = (A/P, i %, n) P sustituyendo valores,

$12,600.00 = 0.0375 $336,000.00

Sustituyendo el valor de la tasa de interés de 2.83% en la tabla universal de factores de interés compuesto se localiza el valor calculado en la columna del factor A/P.

Dentro de la tabla el valor del factor calculado corresponde a n = 50, por lo que la señora Gutiérrez deberá cubrir 50 mensualidades.

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(A/P, 2.83%, n) =

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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Preguntas 1. Elabore una compilación de las reglas para la ubicación del valor presente y del valor futuro de series uniformes. 2. Desarrolle una compilación de las fórmulas para el cálculo de los valores presente y futuro tanto para montos puntuales como para montos seriales. 3. Describa con sus propias palabras el significado de anualidad. 4. Explique el significado del CAUE. 5. Califique con falso (F) o verdadero (V) los siguientes argumentos. Si una tasa de interés es compuesta a un tercio anual significa que el periodo de capitalización es de tres meses. (F/A,24%,48) = (F/A,1%,1152) (F/P, i%,10) > (F/P, i%,10) cuando i % >0%

F F F

V V V

Problemas para resolver 6. A partir de la ecuación   1  1  1 P − 1 = A − 1 n   (1+ i )  (1+ i )  (1+ i )   



proceda a obtener la ecuación para el cálculo del futuro de una serie uniforme. F=A

(1+ i )n − 1 i

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7. Determine la tasa de interés que permite obtener el siguiente flujo de caja:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

$4,000

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  Ingeniería económica

8. Usando tablas de interés compuesto, determine el número de periodos, si P = $4,985

A = $850

i = 12.5%

n=?

9. Usando tablas de interés compuesto, determine la tasa de interés, si P = $1,000 A = $238.50 n = 10 i=? 10. Un microempresario pide prestados $12,000 a una tasa de 14%, lo cual será pagado de acuerdo con el esquema que se muestra en el siguiente flujo de caja: $2,000

0

1

2

3

$X

4

5

6

$12,000

¿Cuál es el valor del último pago que cubra la deuda?

$3,600

0

$2,000

1

2

3

4

5

6

$X

7

8

9

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11. Determine el valor de la serie uniforme X si la tasa de interés es de 20%.

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

59

12. Determine el valor presente neto del flujo de caja que se muestra si i = 22%. $230 $160 $90 $20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

$20 $90 $160 $230

13. Determine el valor presente neto del flujo de caja que se muestra considerando una tasa de interés real cuyo valor se encuentra fundamentado en una tasa nominal de 18% y una tasa de inflación de 12% anual.

$300

$300

$200

$200

$100

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$400

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

$150 $250

$250

$200 $250

$180

$150

$320

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  Ingeniería económica

14. Resuelva el problema 15 a través del CAUE de los ingresos y egresos. 15. Determine el valor presente neto del diagrama de flujo que se muestra considerando que la tasa efectiva es de 21% anual y la escala de tiempo se encuentra en meses. $300 $125 $100

$150

$75 $50

$25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

$250

$100 $500 $200

16. Determine el valor futuro neto del flujo de caja que se muestra. La escala de tiempo se encuentra en semestres y la tasa de interés es de 18% efectiva anual. $500 $400 $300 $200

$200

$100

0

1

2

3

4

5 6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

$100 $250

$250

$100

$100

$250

17. Una importante empresa editorial compró una máquina rotuladora semiautomática para pastas de libros por valor de $13,000.00 dólares. Su mantenimiento y operación

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$300 $200

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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anual ascendió a $1,700.00 dólares. Sin embargo, cinco años después la compañía decidió comprar una unidad adicional para que la máquina fuera totalmente automática. La unidad adicional tuvo un costo original de $7,100.00 dólares, con lo cual el costo de mantenimiento y operación anual se redujo a $900.00 dólares a partir del año 6. Si la empresa usó la máquina durante 16 años, se desea saber si se justificó la compra de la unidad adicional de operación automática, tomando en cuenta que la tasa de interés anual efectiva fue de 9%. 18. Se propone que un proyecto de postulación política tenga un plan de trabajo de 20 meses. El comité de propaganda plantea recaudar fondos vía colectas y eventos sociopolíticos, donde la proyección de ingresos y gastos se muestra en el siguiente diagrama de flujo de caja. Si los fondos se invertirán de forma diversificada y, de forma ponderada, proponen una tasa de interés real de 9.72% mensual y considerando una inflación promedio mensual de 0.52%, el Comité Ejecutivo del Partido desea saber: ¿Cuál será el valor futuro de la campaña (periodo 20) a tasa nominal compuesta? $15,000

$10,000 $20,000

0

1 2 3 4 5 6 7

$1,000

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

$2,000 $2,500

19. Proceda a obtener el valor futuro neto en el periodo 14 del flujo de caja que se muestra considerando una tasa de interés de 17.8%. $1,000 $800 $200

$600

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$5,000

0 1

$300 $280 $260 $240 $220

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

$200 $400

$250

$250

$240 $280 $220 $300 $260

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  Ingeniería económica

20. Con base en el flujo de caja del problema 21, calcule el CAUE de los ingresos y egresos para determinar el valor presente neto y comprobar el valor futuro neto. 21. Determine el valor presente neto del flujo de caja que se muestra en el siguiente diagrama. Los procesos de cálculo deberán desarrollarse utilizando factores de interés compuesto basándose en el diagrama original. La escala de tiempo está en años. Considere una tasa de interés nominal compuesta a partir de ir = 12% e if = 8%. $400 $300

$300

$200 $100

0 1

2 3

$200

4

5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

$200

$180

$150

$320

$250

2. Resuelva el problema 21 a través del flujo de caja simplificado. 2 23. Determine el valor futuro en el periodo 15 del flujo de caja del problema 23 mediante el CAUE. 24. Determine el valor futuro neto para el periodo 12 del flujo de caja que se muestra en el siguiente diagrama, si la tasa de interés es de 9%. $650

0 1

2 3

4

$100 $150 $200

5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

$50

$100 $150 $200

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$100

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Capítulo 2 Anualidades y factores de interés compuesto    

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25. Resuelva el problema 26 a través del flujo de caja simplificado. 26. Calcule el valor presente neto del siguiente flujo de caja considerando una tasa de 18% anual compuesta mensualmente y que la escala de tiempo se encuentra en meses. $300 $250 $200

$150 $125

0

1 2 3 4 5 6 7

8

$100 $75 $50

$150 $100

$25

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

$100 $250 $500

27. Determine el valor futuro neto del flujo de caja del problema 26 mediante el flujo de caja simplificado. 28. Calcule el valor futuro neto del problema 25 mediante el CAUE. Además, determine el valor futuro en el periodo 20 del flujo de caja que se muestra en el siguiente diagrama. La escala de tiempo está en años y la tasa de interés es del 9% trimestral. $600 $450

$450

$300 $150

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$620

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1 2 3 4 5 6 7

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9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

$100 $225 $500

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  Ingeniería económica

29. Calcule el valor futuro neto en el periodo 20 del flujo de caja que se muestra (sin simplificarlo), considerando una tasa de 2.94% semestral, sabiendo que la escala de tiempo se encuentra en años. $200

$200

$200

$20 $40

$200

$60

$80

$200

$200

$120 $100 $100 $80 $60

$200

$200

$200

$200

$40 $20

$2,000

0

1 2 3 4 $500

$300

5 6 $500

7 $300

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $500

$300

$500

$300

$500

$300

$700 $120

30. Resuelva el problema 29 a través del flujo de caja simplificado. 31. Resuelva el problema 29 mediante el CAUE de los ingresos y egresos.

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$240 $180 $300 $360 $420

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