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• Micky Psm

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RESUMEN.

El objetivo del tema es determinar funciones a partir de datos experimentales utilizando el método de mínimos cuadrados, el cual es un método analítico que permite obtener la ecuación de la mejor recta a partir de los pares ordenados (x,y), es decir de los datos experimentales. Si se tiene una curva se tiene que convertir en recta por el método que desee (cambio de variable, logarítmico, cambio de escala) después se aplica las formulas dadas, llenando la tabla, la cual se necesita la sumatoria de X, sumatoria de Y, sumatoria de XY, sumatoria de X^2, sumatoria Y^2, Y’=A+BX , las discrepancias y la sumatoria de las discrepancias al cuadrado. Después de llenar la tabla se halla el error de A y B y se escribe los resultados, los parámetros calculados, la relación funcional. Siguiendo estos pasos resolvemos los problemas del cilindro, disco, esfera.

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MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Objetivos. - Determinar funciones a partir de datos experimentales utilizando el método de mínimos cuadrados (MMC).

Fundamento Teórico. - Es un método analítico que permite obtener la ecuación de la mejor recta a partir de los pares ordenados (x,y), es decir de los datos experimentales. -Linealizar la curva por el método deseado. -Llenar las tablas. -Hallar los errores. -Dar el resultado.

Materiales. - Objetos: Tabla de datos de un cilindro, una esfera y un disco. - Instrumentos: Calculadora científica.

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Datos, Cálculos y Resultados.Datos.

Cilindro i L[cm] 1 1.00 2 2.00 3 3.00 4 4.00 5 5.00 6 6.00 Esfera i 1 2 3 4 5 6

D[cm] 0.713 0.998 1.501 1.746 1.905 2.222

Disco M[g] 8,65 17.25 25,95 34,63 43,31 51,95

M[g] 1.47 4.50 13.75 21.70 28.20 44.75

i 1 2 3 4 5 6

D[cm] 1.30 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

M[g] 1.22 4.90 10.40 19.52 30.71 43.75

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Cilindro

m=A+BH H=x m=y i 1 2 3 4 5 6 ∑ 𝑨= 𝑩=

x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 21

y 8.65 17.30 25.95 34.63 43.31 51.95 181.79

∑y∑𝑥 2 −∑xy∑x ∆ n∑xy−∑x∑y ∆

=

=

xy 8.65 34.6 77.85 138.52 216.55 311.7 787.87

𝒅𝒊 𝟐 4× 𝟏𝟎−𝟒 1× 𝟏𝟎−𝟒 1× 𝟏𝟎−𝟒 1× 𝟏𝟎−𝟒 9× 𝟏𝟎−𝟒 4× 𝟏𝟎−𝟒 2× 𝟏𝟎−𝟑

181.79×91−787.87×21

=-0.022

6×91−212

6×787.87−21×181.79 6×91−212

∆= 𝑛∑𝑥 − (∑𝑥) =105 2

𝒅𝒊 𝒙𝟐 y’=A+Bx 1 8.63 0.02 4 17.29 0.01 9 25.96 0.01 16 34.62 0.01 25 43.28 0.03 36 51.93 0.02 91

2

=8.66 2

𝜎 =

𝐲’𝒊 = −0.022 + 8.66 × 𝑥

𝜎𝐴 = √

𝒅𝒊 =𝐲’𝒊 − 𝒚

𝜎𝐵 = √

A=(0.022∓𝟎. 𝟎𝟐𝟎);0.90%

∑𝑑𝑖 2 𝑛−2

𝜎 2 ∑𝑥 2 ∆

=

=√

2×10−3 4

5×10−4 ×91 105

𝜎2n

5×10−4 ×6

∆

105

=√

=5× 10−4 =0.02

=0.005

B=(8.66∓0.005);0.0008%

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Disco

m=a𝑫𝟐 𝑫𝟐 =x m=y I 1 2 3 4 5 6 ∑

x 1.69 4.00 9.00 16.00 25.00 36.00 91.69

𝑨= 𝑩=

y xy y’=A+Bx 𝒅𝒊 𝒙𝟐 𝒅𝒊 𝟐 1.92 3.24 2.86 2.15 0.23 0.05 4.90 19.6 16 4.9 0 0 10.98 98.82 81 10.85 0.13 0.02 19.55 312.8 256 19.18 0.37 0.14 27.91 697.75 625 29.89 1.98 3.92 43.75 1575 1296 42.98 0.77 0.59 109.01 2707.21 2276.86 4.72

∑y∑𝑥 2 −∑xy∑x ∆ n∑xy−∑x∑y ∆

=

=

109.01×2276.86−2707.21×91.96

6×2707.21−91.69×109.01 6×2276.86−91.692

=1.19

∑𝑑𝑖 2

∆= 𝑛∑𝑥 − (∑𝑥) =5254.10

𝜎 =

𝐲’𝒊 = −0.14 + 1.19 × 𝑥

𝜎𝐴 = √

𝒅𝒊 =𝐲’𝒊 − 𝒚

𝜎𝐵 = √

2

=-0.14

6×2276.86−91.692

2

A=(-0.14∓𝟎. 𝟕𝟐);5.14%

2

𝑛−2

=

4.72

𝜎 2 ∑𝑥 2 ∆

4

=1.18

=√

1.18×2276.86 5254.10

𝜎2n

1.18×6

∆

5254.10

=√

=0.72

=0.04

B=(1.19∓0.04);0.03%

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Esfera

m=a𝑫𝒃 𝑳𝒐𝒈𝑴 = 𝑨 + 𝑩𝒍𝒐𝒈𝑫 M=x D=y I 1 2 3 4 5 6 ∑

logx -0.136 -0.008 0.176 0.242 0.279 0.347 0.9

𝑨= 𝑩=

logy 0.167 0.653 1.138 1.336 1.450 1.651 6.395

∑y∑𝑥 2 −∑xy∑x ∆ n∑xy−∑x∑y ∆

=

xy 0.022 0.005 0.200 0.232 0.405 0.573 1.473

=

y’=A+Bx 𝒅𝒊 𝒙𝟐 𝒅𝒊 𝟐 0.018 0.242 0.075 0.006 6.4× 𝟏𝟎−𝟓 0.627 0.026 0.001 0.031 1.179 0.041 0.002 0.059 1.378 0.042 0.002 0.078 1.489 0.039 0.002 0.120 1.693 0.042 0.002 0.306 0.015

6.395×0.306−1.473×0.9 6×0.306−0.92

6×1.473−0.9×6.395 6×0.306−0.92

=0.615

=3.004 ∑𝑑𝑖 2

∆= 𝑛∑𝑥 − (∑𝑥) =1.026

𝜎 =

𝐲’𝒊 = 0.651 + 3.004𝑥

𝜎𝐴 = √

𝒅𝒊 =𝐲’𝒊 − 𝒚

𝜎𝐵 = √

2

2

A=(0.615∓𝟎. 𝟎𝟑𝟓);5.69%

2

𝑛−2

=

0.015

𝜎 2 ∑𝑥 2 ∆

=0.004

4

=√

0.004×0.306 1.026

𝜎2n

0.004×6

∆

1.206

=√

=0.035

=0.153

B=(3.004∓0.153);5.09%

𝑳𝒐𝒈𝑴 = 𝟎. 𝟔𝟏𝟓 + 𝟑. 𝟎𝟎𝟒𝒍𝒐𝒈𝑫 → m=3.004𝑫𝟑

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Cuestionario 1. ¿Para qué sirve el método de mínimos cuadrados? Para poder hallar la mejor ecuación de la recta. 2. ¿Cuáles son los significados físicos de los parámetros A y B de la ecuación 5.18? Donde la recta corta al eje de ordenadas, ordenada 0.

3. ¿Cuáles son los significados físicos de los parámetros a y b de la ecuación 5.19?

Donde la recta corta al eje de ordenadas, ordenada 0.

4. ¿Cuáles son los significados físicos de los parámetros a y b de la ecuación 5.20?

Donde la recta corta al eje de ordenadas, ordenada 0.

5. ¿Qué ventajas tiene el MMC sobre los métodos gráficos? Poder hallar la mejor recta y poder graficarla.

6. ¿Qué criterio central utiliza el MMC? Representar con exactitud una gráfica linealizada

7. Cuando la relación de los datos experimentales no son lineales ¿Qué se debe hacer antes de aplicar el MMC? Se debe linealizar con cualquier método.

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8. ¿Qué representa el coeficiente de correlación lineal? El que establece una medida del grado de asociación lineal entre la variable dependiente y la variable independiente

Conclusiones. Concluido este tema nos damos cuenta que para lograr hallar la ecuación de la mejor recta se debe seguir los pasos y aplicar bien las formulas teniendo cuidado de ingresar mal los datos a la calculadora, revisando si el procedimiento se realiza correctamente y poder hallar los resultados deseados.