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• Denis Arias Lopez

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1. Objetivos   

Estudiar la Serie de Fourier y su importancia en comunicaciones electrónicas. Estudiar la Transformada de Fourier y su importancia en comunicaciones electrónicas. Nombrar las distintas aplicaciones de la Transformada de Fourier.

2. Procedimiento y Toma de Datos En el presente laboratorio no hubo ningún procedimiento practico pues todos los pasos a seguir eran en el software matemático MATLAB el cual se observó varias graficas de señales como ser: 1. Señal Escalón 2. Señal Pulso 3. Señal Impulso o Delta de Dirac 4. Señal Diente de Sierra 5. Señal triangular 6. Señal Exponencial 7. Señal Cuadrada 8. La serie de Fourier 9. La transformada de Fourier 3. Cuestionario P1. Investigue sobre el Power Spectral Density, también cuál es su uso en MATLAB. R. Sea X(t) un proceso aleatorio contínuo en el tiempo estacionario en el sentido amplio WSS, con media mX y función de autocorrelación RX(t). Si cambiamos el dominio de la función desde tiempo a frecuencia, lo anterior deberá también cambiarse de dominio. Si la función densidad de probabiliad se cambia de dominio, se conocería como periodograma estimador, y se llega a determinar la densidad espectral de potencia de X(t) definida como:

1 𝑆𝑋(𝑓) = log 𝑇→∞ 𝐸[|𝑥̃(𝑓)|2 ] 𝑇

La densidad espectral de potencia de X(t) está dada por la transformada de Fourier de la función de auto correlación: ∞

𝑆𝑋(𝑓) = 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟{𝑅𝑥(𝜏)} = ∫ 𝑅𝑥 (𝜏)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏 −∞

La potencia promedio de X(t) se expresa también como: ∞

𝐸[𝑋2(𝑡)] = 𝑅𝑋(0) = ∫ 𝑆𝑥 (𝑓)𝑑𝑓 −∞

La densidad espectral de potencia también se relaciona con la autocorrelación y autocovarianza por medio de la transformada de Fourier:

𝑆𝑋(𝑓) = 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟{𝐶𝑥(𝜏) + 𝑚𝑥2 } si consideramos que m_x es un componente constante o «dc»

𝑆𝑋(𝑓) = 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟{𝐶𝑥(𝜏)} + 𝑚𝑥2 𝛿(𝑓) ampliando el concepto a densidad espectral de potencia cruzada SXY (f) se define como:

𝑆𝑋, 𝑌(𝑓) = 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟{𝑅𝑋, 𝑌(𝜏)} En Matlab un uso común de densidad espectral de potencia es encontrar los componentes de frecuencia de una señal enterrada en una señal de dominio de tiempo ruidoso. P2. Obtenga los coeficientes de la serie de Fourier de las siguientes funciones y grafique la serie de Fourier en MATLAB utilizando 50 términos.

P3. Grabe en una extensión .wav con ayuda de un micrófono su nombre, luego proceda a cargar el archivo en MATLAB, grafique la señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. (si requiere configuración utilice seleccione el formato PCM con los siguientes atributos: 8 kHz, 16 bits, Mono). Explique detalladamente en el informe el proceso de dicha señal de audio.

4.Conclusiones Con ayuda del entorno Matlab se pudo estudiar de forma gráfica las series de Fourier, pudiendo así comprobar la teoría de Fourier del análisis de funciones periódicas a través de la descomposición en una suma de funciones sinusoidales. Se hizo el análisis de la transformada de Fourier mediante el uso de Matlab pudiendo descomponer una señal aperiódica en función de sus frecuencias, verificando de forma gráfica la aplicación de esta transformada.